高考数学一轮总复习 第29讲 平面向量的综合应用考点集训 理 新人教A版

2021年高考数学一轮总复习专题29平面向量的综合应用检测理本专题专门注意：1.平面向量的几何意义应用2. 平面向量与三角形的心3. 向量垂直的应用4.向量的数量积问题等综合问题5. 向量夹角为锐角、钝角时注意问题6.向量数量积在解析几何中应用7.向量数量积在三角形中的应用。

【学习目标】1．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．2．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题【方法总结】1.用向量解决平面几何问题的步骤(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.2.应用向量解决问题的关键是要构造合适的向量，观看条件和结构，选择使用向量的某些性质解决相应的问题，如用数量积解决垂直、夹角问题，用三角形法则、模长公式解决平面几何线段长度问题，用向量共线解决三点共线问题等，总之，要应用向量，假如题设条件中有向量，则能够联想性质直截了当使用，假如没有向量，则更需要有向量工具的应用意识，强化知识的联系，善于构造向量解决问题.3.几点注意事项(1)在处理三点共线问题时，转化为两个向量共线解决，需说明两个向量有公共点，两直线不能平行，只能重合.(2)在解决夹角问题时，应注意向量的方向，向量的夹角与所求角可能相等，也可能互补.(3)证明垂直问题一样要通过向量的运算得到数量积a·b＝0，尽量用坐标运算.【高考模拟】：一、单选题1．在直角梯形中，，同一平面内的两个动点满足，则的取值范畴为（ ） A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由题意，得点是以点为圆心，半径为1的圆上的一个动点，点是的中点，取的中点，连接，利用三点共线时取得最值，即可求解.点睛：本题要紧考查了平面向量的运算，以及圆的最值问题，其中把，得点是以点为圆心，半径为1的圆上的一个动点，转化为圆的应用问题求解是解答的关键，着重考查了转化思想方法以及分析问题、解答问题的能力.2．在ABC ∆中， BC 边上的中线AD 的长为2，点P 是ABC ∆所在平面上的任意一点，则PA PB PA PC ⋅+⋅的最小值为（ ）A. 1B. 2C. -2D. -1 【答案】C【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，使得点D 在原点处，点A 在y 轴上，则()0,2A ．3．设A 、B 、C 、D 是半径为1的球面上的四个不同点，且满足0AB AC ⋅=， 0AC AD ⋅=， 0AD AB ⋅=，用1S 、2S 、3S 分别表示ABC ∆、ACD ∆、ABD ∆的面积，则123S S S ++的最大值是（ ） A.12B. 2C. 4D. 8 【答案】B【解析】设AB a =， AC b =， AD c = ∵0AB AC ⋅=， 0AC AD ⋅=， 0AD AB ⋅=∴AB ， AC ， AD 两两互相垂直，扩展为长方体，它的对角线为球的直径，即222244a b c R ++== ∵1S 、2S 、3S 分别表示ABC ∆、ACD ∆、ABD ∆的面积 ∴()()22212311222S S S ab ac bc a b c ++=++≤++=，当且仅当a b c ==时取等号 ∴123S S S ++的最大值是2 故选B点睛：本题考查球的内接多面体及差不多不等式求最值问题，能够把几何体扩展为长方体，推知多面体的外接球是同一个球，是解答本题的关键．4．已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是( )A. －2B. －C. －D. －1【答案】B【解析】分析：依照条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行运算即可.详解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．5．已知是内部一点，，且，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由可知点O是的重心，，，因此，=，选A.【点睛】在中，给出，即已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点），重心分中线为比2:1，重心与三个项点连线三等分三角形面积。

核心素养测评二十九平面向量的数量积及应用举例(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知向量a=(1,-1),b=(2,x),若a·b=1,则x= ( )A.-1B.-C.D.1【解析】选D.a·b=1×2+(-1)×x=2-x=1,所以x=1.2.(2020·十堰模拟)若夹角为θ的向量a与b满足|b|=|a-b|=1,且向量a为非零向量,则|a|= ( )A.-2cos θB.2cos θC.-cos θD.cos θ【解析】选B.因为|b|=|a-b|=1,所以b2=a2-2a·b+b2,a2=2a·b,|a|2= 2|a||b|cos θ,因为a为非零向量,所以|a|=2|b|cos θ=2cos θ. 3.已知向量a=(1,2),b=(2,-1),c=(1,λ),若(a+b)⊥c,则λ的值为( )A.-3B.-C.D.3【解析】选A.因为a+b=(3,1),由(a+b)⊥c得(3,1)·(1,λ)=0,3+λ=0,λ=-3.4.(2019·广州模拟)已知非零向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|a-2b|=2,则|b|等于 ( )A.4B.2C.D.1【解析】选D.因为|a-2b|=2,所以|a-2b|2=4,a2-4a·b+4b2=4,4-4·2|b|cos 60°+4|b|2=4,解得|b|=1.(|b|=0舍去)5.已知|a|=6,|b|=3,向量a在b方向上的投影是4,则a·b为( )A.12B.8C.-8D.2【解析】选 A.因为|a|cos<a,b>=4,|b|=3,所以a·b=|a||b|·cos<a,b>=12.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知△ABC的三边长均为1,且=c,=a,=b,则a·b+b·c+a·c=________.【解析】因为<a,b>=<b,c>=<a,c>=120°,|a|=|b|=|c|=1,所以a·b=b·c=a·c=1×1×cos 120°=-,a·b+b·c+a·c=-.答案:-7.已知向量m与n满足|m|=1,|n|=2,且m⊥(m+n),则向量m与n的夹角为________.【解析】设m,n的夹角为θ,因为m⊥(m+n),所以m·(m+n)=m 2+m·n=1+1×2cos θ=0,所以cos θ=-,又θ∈,所以θ=.答案:【变式备选】已知向量a,b满足|a|=|b|=2且(a+2b)·(a-b)=-2,则向量a与b的夹角为________.【解析】设a与b的夹角为θ.由已知a2-2b2+a·b=-2,4-8+4cos θ=-2,cos θ=,又θ∈[0,π],所以θ=,即a与b的夹角为.答案:8.已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则·=________.【解析】在边长为2的正方形ABCD中,·=0,因为·=(+)·(+)=·(-)=+·-·-=4+0-0-×4=2.答案:2【变式备选】已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则·的值为________;·的最大值为________.【解析】以射线AB,AD为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),设E(t,0),t∈[0,1],则=(t,-1),=(0,-1),所以·=(t,-1)·(0,-1)=1.因为=(1,0),所以·=(t,-1)·(1,0)=t≤1,·的最大值为1.答案:1 1三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是120°.(1)计算:①|a+b|,②|4a-2b|.(2)当k为何值时,(a+2b)⊥(k a-b).【解析】由已知a·b=4×8×=-16.(1)①因为|a+b|2=a2+2a·b+b2=16+2×(-16)+64=48,所以|a+b|=4.②因为|4a-2b|2=16a2-16a·b+4b2=16×16-16×(-16)+4×64=768,所以|4a-2b|=16.(2)因为(a+2b)⊥(k a-b),所以(a+2b)·(k a-b)=0,k a2+(2k-1)a·b-2b2=0,即16k-16(2k-1)-2×64=0,k=-7,所以当k=-7时,a+2b与k a-b垂直.10.在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).(1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形两条对角线的长.(2)设实数t满足(-t)·=0,求t的值.【解析】(1)由已知=(3,5),=(-1,1),则+=(2,6),-=(4,4).所以|+|=2,|-|=4.所以所求的两条对角线的长分别为4,2.(2)由已知,=(-2,-1),-t=(3+2t,5+t).由(-t)·=0得(3+2t,5+t)·(-2,-1)=0,所以5t=-11,所以t=-.(25分钟45分)1.(5分)(2020·潮州模拟)已知向量a、b为单位向量,且a+b在a的方向上的投影为+1,则向量a与b的夹角为( )A. B. C. D.【解析】选A.设向量a与b的夹角为θ,因为向量a、b为单位向量,a+b 在a的方向上的投影为+1,所以(a+b)·a=|a|,变形得1+a·b=+1,即a·b=1×1×cos θ=cos θ=,又由0≤θ≤π,则θ=,故选A.2.(5分)(2019·开封模拟)已知向量a=(m-1,1),b=(m,-2),则“m=2”是“a⊥b”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.当m=2时,a=(1,1),b=(2,-2),所以a·b=2-2=0,所以充分性成立;当a⊥b时,a·b=m(m-1)-2=0,解得m=2或m=-1,必要性不成立.综上,“m=2”是“a⊥b”的充分不必要条件.3.(5分)在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=2,AB=1,D为BC的中点,E在斜边AC上,若=2,则·=______.【解析】如图,以B为原点,AB所在直线为x轴,BC所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则B(0,0),A(1,0),C(0,2),=(-1,2).因为D为BC的中点,所以D(0,1),因为=2,所以E,=,所以·=·(-1,2)=-+=.答案:4.(10分)(2020·郑州模拟)已知向量m=(2sin ωx,cos2ωx-sin2ωx),n=(cos ωx,1),其中ω>0,x∈R.若函数f(x)=m·n的最小正周期为π.(1)求ω的值.(2)在△ABC中,若f(B)=-2,BC=,sin B=sin A,求·的值.【解析】(1)f(x)=m·n=2sin ωxcos ωx+cos2ωx-sin2ωx=sin 2ωx+cos 2ωx=2sin.因为f(x)的最小正周期为π,所以T==π,又ω>0,所以ω=1.(2)由(1)知f(x)=2sin.设△ABC中角A,B,C所对边分别是a,b,c.因为f(B)=-2,所以2sin=-2,即sin=-1,又0<B<π,解得B=.因为BC=,即a=,又sin B=s in A,所以b=a,b=3.由正弦定理得,=,解得si n A=.又0<A<,解得A=,所以C=,c=a=,所以·=c a cos B=××cos =-.5.(10分)在如图所示的平面直角坐标系中,已知点A(1,0)和点B(-1,0),||=1,且∠AOC=x,其中O为坐标原点.(1)若x=,设点D为线段OA上的动点,求|+|的最小值.(2)若x∈,向量m=,n=(1-cos x,sin x-2cos x),求m·n的最小值及对应的x值.【解析】(1)设D(t,0)(0≤t≤1),当x=时,可得C,所以+=,所以|+|2=+(0≤t≤1),所以当t=时,|+|2取得最小值为,故|+|的最小值为.(2)由题意得C(cos x,sin x),m==(cos x+1,sin x),则m·n=1-cos2x+sin2x-2sin xcos x=1-cos 2x-sin 2x=1-sin.因为x∈,所以≤2x+≤.所以当2x+=,即x=时,m·n=1-sin取得最小值1-,所以m·n的最小值为1-,此时x=.6.(10分)一条河的两岸平行,河的宽度d=500 m,一艘船从A处出发到河对岸.已知船的速度|v1|=10 km/h,水流速度|v2|=2 km/h.要使船行驶的时间最短,那么船行驶的距离与合速度的比值必须最小.此时我们分三种情况讨论:当船逆流行驶,与水流成钝角时;当船顺流行驶,与水流成锐角时;当船垂直于对岸行驶,与水流成直角时.请同学们计算上面三种情况,并判断是否当船垂直于对岸行驶,与水流成直角时,所用时间最短.【解析】设v1与v2的夹角为θ,合速度为v,v2与v的夹角为α,行驶距离为s,则sin α==,s==,=.所以当θ=90°,即船垂直于对岸行驶,与水流成直角时所用时间最短.关闭Word文档返回原板块。

2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)专题29平面向量的综合应用最新考纲1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．2.会用向量方法解决简单的力学问题及其他一些实际问题.基础知识融会贯通1．向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题――→设向量向量问题――→运算解决向量问题――→还原解决几何问题． 2．向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体． 3．平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．(2)物理学中的功是一个标量，是力F 与位移s 的数量积，即W ＝F·s ＝|F||s |cos θ(θ为F 与s 的夹角)． 4．向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题． 【知识拓展】1．若G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝0.2．若直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，则向量(A ，B )与直线l 垂直，向量(－B ，A )与直线l 平行．重点难点突破【题型一】向量在平面几何中的应用【典型例题】如图，在△ABC 中，设，，AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点为P ，若，则m +n ＝ ．【解答】解：由题意，，， ∴ ∴ ∴ 故答案为【再练一题】已知点G 是△ABC 的重心，（λ，μ∈R ），若∠A ＝120°，，则的最小值是（ ） A ．B ．C ．D ．【解答】解：由向量加法的三角形法则及三角形重心的性质可得， ∵∠A ＝120°，，则根据向量的数量积的定义可得， 设∴ 即xy ＝4x 2+y 2≥2xy ＝8（当且仅当x ＝y 取等号） ∴即的最小值为 故选：C ．思维升华 向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．(2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．【题型二】向量在解析几何中的应用【典型例题】已知定点A（﹣1，0）、B（1，0），动点M满足：•等于点M到点C（0，1）距离平方的k倍．（Ⅰ）试求动点M的轨迹方程，并说明方程所表示的曲线；（Ⅱ）当k＝2时，求|2|的最大值和最小值．【解答】解：（I）设M（x，y），则（x+1，y），（x﹣1，y）由题意可得，•k即（x+1，y）•（x﹣1，y）＝k[x2+（y﹣1）2]整理可得，（1﹣k））x2+（1﹣k）y2+2ky＝1+k即为所求的动点轨迹方程①k＝1时，方程化为y＝1，表示过（0，1）且与x轴平行的直线②当k≠1时，方程可化为表示以（0，）为圆心，以||为半径的圆（II）当k＝2时，方程可化为x2+（y﹣2）2＝1|2|设则|2|∴|2|∴求|2|的最大值为3，最小值【再练一题】已知点H（﹣3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足，．（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；（2）过定点D（m，0）（m＞0）作直线l交轨迹C于A、B两点，E是D点关于坐标原点O的对称点，试问∠AED＝∠BED吗？若相等，请给出证明，若不相等，说明理由．【解答】解：（1）设M（x，y），P（0，y'），Q（x'，0）（x'＞0），∵，．∴且（3，y'）•（x，y﹣y'）＝0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴．∴y2＝4x（x＞0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴动点M的轨迹C是以O（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线（除去原点）﹣（2）①当直线l垂直于x轴时，根据抛物线的对称性，有∠AED＝∠BED；﹣②当直线l与x轴不垂直时，依题意，可设直线l的方程为y＝k（x﹣m）（k≠0，m＞0），A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点的坐标满足方程组消去x并整理，得ky2﹣4y﹣4km＝0，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣设直线AE和BE的斜率分别为k1、k2，则：k1+k2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴tan∠AED+tan（180°﹣∠BED）＝0，∴tan∠AED＝tan∠BED，∵，∴∠AED＝∠BED．综合①、②可知∠AED＝∠BED．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣思维升华向量在解析几何中的“两个”作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．(2)工具作用：利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)，a∥b⇔a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法．【题型三】向量的其他应用命题点1向量在不等式中的应用【典型例题】已知向量，满足||，||＝1，且对任意实数x，不等式|x|≥||恒成立，设与的夹角为θ，则tan2θ＝（）A．B．C．﹣2 D．2【解答】解：当，如图所示（）时，对于任意实数x，或，斜边大于直角边恒成立，不等式|x|≥||恒成立，∵，向量，满足||，||＝1∴tan，tanθ，∴tan2θ2．故选：D．【再练一题】定义在（0，3）上的函数f（x）的图象如图所示（f（x），0），（cos x，0），那么不等式•0的解集是（0，1）∪（，3）．【解答】解：∵（0，3）上的函数f（x）的图象如图所示，（f（x），0），（cos x，0），∴x∈（0，1）时f（x）＜0，cos x＞0；x∈[1，]时，cos x≥0，f（x）≥0；x∈（，3）时，f（x）＞0，cos x＜0，∴f（x）cos x＜0的解集是（0，1）∪（，3）．故答案为：（0，1）∪（，3）．命题点2向量在解三角形中的应用【典型例题】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD为边BC上的中线．（1）若a＝4，b＝2，AD＝1，求边c的长；（2）若，求角B的大小．【解答】解：（1）在△ADC中，因为，由余弦定理：．故在△ABC中，由余弦定理，得，所以．（2）因为AD为边BC上的中线，所以，所以，∴c＝b cos A．∴AB⊥BC，∴B＝90°．【再练一题】已知A、B、C分别为△ABC的三边a、b、c所对的角，向量（sin A，sin B），（cos B，cos A），且•sin2C．（1）求角C的大小；（2）若a，c，b成等差数列，且•（）＝18，求边c的长．【解答】解（Ⅰ）由已知得sin A cos B+cos A sin B＝sin（A+B），又∵在△ABC中，A+B+C＝π，∴A+B＝π﹣C，∴sin（A+B）＝sin（π﹣C）＝sin C，又∵•sin2C，∴sin C＝sin2C＝2sin C cos C，∴cos C，又0＜C＜π，∴C．（Ⅱ）由a，c，b成等差数列，2c＝a+b，由，∴，即ab cos C＝18，由（Ⅰ）知cos C，所以ab＝36，由余弦弦定理得c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝（a+b）2﹣3ab，∴c2＝4c2﹣3×36，∴c＝6命题点3向量在物理中的应用【典型例题】已知两个力的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与的夹角为60°，那么的大小为（）A．N B．5N C．10N D．N【解答】解：由题意可知：对应向量如图由于α＝60°，∴的大小为|F合|•sin60°＝10．故选：A．【再练一题】已知，，，其中为单位正交基底，若，，共同作用在一个物体上，使物体从点M1（1，﹣2，1）移到M2（3，1，2），则这三个合力所作的功为（）A ．14B ．C ．﹣14D ．【解答】解：∵，，， ∴即合力坐标为（2，1，7）当物体从点M 1（1，﹣2，1）移到M 2（3，1，2）时， 平移向量（2，3，1）故三个合力所作的功W •（2，1，7）•（2，3，1）＝4+3+7＝14 故选：A ．思维升华 利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化．基础知识训练1．【四川省棠湖中学2019届高三二诊模拟】扇形OAB 的半径为1，圆心角为90º，P 是弧AB 上的动点，则()·OP OA OB -的最小值是（ ）A ．－1B ．0C D ．12【答案】A 【解析】由题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，设点且满足[0,1],[0,1]x y ∈∈，221x y +=， 则， 则，当x 取最小值0时，y 取得最大值1，此时x y -取得最小值-1， 故()-OP OA OB ⋅的最小值为-1，选A.2．【安徽省涡阳第一中学2018-2019学年高一下学期第二次质量检测】在直角三角形ABC ∆中，，2,4AB BC ==，点P 在ABC ∆斜边BC 的中线AD 上，则的最大值为( )A ．258B ．8C ．52D ．5【解析】因为，所以以的方向为,x y轴的正方向，建立直角坐标系，如下图所示：所以设，所以(,2)Pλλ，，，所以当12λ=时，的最大值为52，故本题选C.3．【云南省云天化中学2018-2019学年高一下学期期中考试】已知是四边形所在平面上任一点，则四边形一定为( )A．菱形B．任意四边形C．平行四边形D．矩形【答案】C【解析】由，可得，即四边形中，又由，所以，即四边形中有一组对边平行且相等，所以四边形为平行四边形，故选C.4．【天津市红桥区2019届高三二模】已知点M是所在平面内一点，满足，则的面积之比为（）A．B．C．3D．【答案】C【解析】设点上一点,且,点上一点，且，如下图所示：由，可知，以为邻边作平行四边形,连接，延长，交，设,因为，所以，由平行四边形，可知,设，，所以,因此的面积之比为3，故本题选 C.5．【四川省雅安市2019届高三第三次诊断考试】在半径为2的圆O的内接四边形ABCD中，AB是直径，120COD∠=︒，P是线段CD上异于C、D的点，则的取值范围是（）A．B．(1,3)C．D．【解析】依据题意，作出如下图象：PA PO OA =+,PB PO OB =+.因为AB 是圆直径且圆半径为2r ，所以所以24PO =-，在ODC ∆中，由余弦定理可得：22222cos 3CD OC OD OC OD π=+-⋅⋅ 解得：.设O 到CD 的距离为d ，则. 解得：1d =，又P 是线段CD 上异于C 、D 的点，所以12OP ≤<. 所以[)243,0PO -∈-. 故选：C6．【2019届湘赣十四校高三联考第二次考试】已知正方体中，2AB =，E 为AD 的中点，P 为正方形1111D C B A 内的一个动点（含边界），且PE ≤111PA PB PC ++的最小值为（ ）A 1B 3CD 1【答案】B 【解析】设11A D 的中点为F ，连接EF 、PF ，则在EFP ∆中，，222EP EF FP =+，∴21FP ≤. ∴P 是以F 为圆心，以1为半径的圆面（位于正方形1111A B C D 内）. 以1A 为原点建系如图所示，则()10,0A ，，，设P 的坐标为(),x y ，则 ,.(1114PA PB PC ++=设Q 点的坐标为，则 3. 故选：B7．【2011届广东省高州三中高三上学期期中考试】如图，D 是ABC 的边AB 的中点，则向量CD 等于（ ）A ．1BC BA 2-+ B ．1BC BA 2--C ．1BC BA 2-D ．1BC BA 2+【答案】A 【解析】由题意，根据三角形法则和D 是ABC 的边AB 的中点得，1BD BA 2=， 所以，故选：A ．8．【贵州省凯里市第一中学2018-2019学年高一下学期期中考试】在ABC ∆中，1,2,AB AC BC D ==为ABC ∆所在平面内一点，且2BD AB AC =+，则BCD ∆的面积为（ ）A ．BC ．D 【答案】D 【解析】由题可作如图所示的矩形，则易知6BCA π∠=，则3BCD π∠=，则，所以=故选D.9．【浙江“七彩阳光”新高考研究联盟2018-2019学年高一下学期期中考试】已知a，b是两个单位向量，与a，b共面的向量c 满足2()0c a b c a b -+⋅+⋅=，则的最大值为（ ）A ．22B ．2CD ．1【答案】C【解析】 由-（）•+=0得：（）•（-）=0，即（）⊥（-），设=，=，=，则=，-=，则点C 在以AB 为直径的圆O 上运动，由图知：当DC ⊥AB 时，|DC|≥|DC′|，设∠ADC=θ，则|DC|=|DO|+|AO|=sinθ+cosθ=sin （），所以当时，|DC|取最大值，故选：C ．10．【河南省洛阳市第一高级中学2018-2019学年高一5月月考】自平面上一点O 引两条射线OA ，，点P 在OA 上运动，点Q 在上运动且保持为定值a （点P ，Q 不与点O 重合），已知3AOB π∠=，a =取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】D【解析】设OPQ α∠=，则23PQO πα∠=-其中tan ϕ=，则sin ϕ= 20,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭当()sin 1αϕ-=时，原式取最大值：()()sin sin 0sin αϕϕϕ->-=-= ()7sin αϕ->3PQ POQP QOPO QO ⎛⎤⋅⋅+∈ ⎥ ⎝⎦∴ 本题正确选项：D11．【江西省景德镇市2019届高三第二次质检】已知22:(2)(2)2C x y -+-=，O 为坐标原点，OT 为C 的一条切线，点P 为C 上一点且满足OP OT OC λμ=+（其中λ≥，R μ∈），若关于,λμ的方程存在两组不同的解，则实数t 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】A【解析】解：由()()22:222C x y -+-=22OC =因为OT 为C 的一条切线，所以2CT =6OT = ·0OT CT =，2·6OC OT OT ==，2·2OC CT CT =-=- 因为所以即()()222612181λλμμ=+-+-化简得()()223614110λμλμ+-+--=，在上有两解所以解得01μ<≤又因为20t ≤<故选：A.12．【山东省潍坊市2018-2019学年高一下学期期中考试】已知O 是ABC ∆内一点，且0OA OB OC ++=，点M 在OBC ∆内（不含边界），若AM AB AC λμ=+，则2λμ+的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】B【解析】因为O 是ABC ∆内一点，且0OA OB OC ++=所以O 为ABC ∆的重心M 在OBC ∆内（不含边界），且当M 与O 重合时，2λμ+最小，此时 所以11,33λμ==，即21λμ+= 当M 与C 重合时，2λμ+最大，此时AM AC =所以0,1λμ==，即22λμ+=因为M 在OBC ∆内且不含边界所以取开区间，即()21,2λμ+∈所以选B13．【湖北省黄冈中学2019届高三第三次模拟考试】已知m ，n 是两个非零向量，且，|2|4m n +=，则||||m n n ++的最大值为______.【答案】【解析】【详解】设m 的起点为坐标原点，因为，所以设m 的终点坐标为(2,0)，即(2,0)m =，设，因为|2|4m n +=，所以，21x -≤≤，，而，所以有，≤=1x =-时，取等号，即||||m n n ++的最大值为14．【辽宁省葫芦岛市普通高中2019届高三第二次模拟考试】12,e e 均为单位向量，且它们的夹角为60︒，设,a b 满足212a e +=，，则的最小值为______.【解析】 由于212a e +=，即()212a e --=，即a 与2e -两个向量终点的距离为12，即a 的终点在以2e -的终点为圆心，半径为12的圆上.由于，根据向量加法的平行四边形法则可知，b 的终点在过1e 的终点且平行于2e 的直线上.画出图像如下图所示.由于12,e e 均为单位向量，且它们的夹角为60︒，故圆心到直线的距离，表示,a b两个向量终点的距离，所以最短距离也即的最小值为12AB ==.15．【江西省临川一中2019届高三年级考前模拟考试】如图，点D 在ABC ∆的边AC 上，且3CD AD =，BD =，cos24ABC ∠=，则3AB BC +的最大值为________．【解析】因为cos2ABC ∠=， 所以因为3CD AD =，所以3CD DA =即，整理得到，两边平方后有22291316168BD BA BC BA BC =++⋅， 所以即，整理得到， 设,c BA a BC ==，所以()22239329322c a ac c a ac =++=+-， 因为，所以，35c a +≤=，当且仅当a =，c =. 16．【江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)2019届高三第三次调研考试】在平面四边形ABCD 中，， ．若， 则的最小值为____．【答案】【解析】如图，以的中点为坐标原点，以方向为轴正向，建立如下平面直角坐标系.则，设，则因为所以，即：整理得：，所以点在以原点为圆心，半径为的圆上。

第29讲 平面向量的应用【课程要求】1．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．2．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．对应学生用书p 80【基础检测】概念辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线．( )(2)在△ABC 中，若AB →·BC →<0，则△ABC 为钝角三角形．( )(3)若平面四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则该四边形一定是菱形．( )(4)设定点A(1，2)与动点P(x ，y)满足OP →·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是x ＋2y －4＝0.( )(5)已知平面直角坐标系内有三个定点A(－2，－1)，B(0，10)，C(8，0)，若动点P 满足：OP →＝OA →＋t(AB →＋AC →)，t∈R ，则点P 的轨迹方程是x －y ＋1＝0.( )[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)√教材改编2．[必修4p 108A 组T 5]已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A(3，4)，B(5，2)，C(－1，－4)，则该三角形为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形[解析] AB →＝(2，－2)，AC →＝(－4，－8)，BC →＝(－6，－6)， ∴|AB →|＝22＋（－2）2＝22，|AC →|＝16＋64＝45， |BC →|＝36＋36＝62， ∴|AB →|2＋|BC →|2＝|AC →|2， ∴△ABC 为直角三角形． [答案]B3．[必修4p 109例1]在△ABC 中，D 为BC 的中点，则2AB 2＋2AC 2＝____________．(用BC ，AD 表示)[解析] AB →＋AC →＝2AD →，AB →－AC →＝CB →， 两式平方相加得2AB 2＋2AC 2＝BC 2＋4AD 2. [答案]BC 2＋4AD 2易错提醒4．在△ABC 中，已知AB →＝(2，3)，AC →＝(1，k)，且△ABC 的一个内角为直角，则实数k 的值为____________．[解析]①若A ＝90°，则有AB →·AC →＝0，即2＋3k ＝0， 解得k ＝－23；②若B ＝90°，则有AB →·BC →＝0， 因为BC →＝AC →－AB →＝(－1，k －3)， 所以－2＋3(k －3)＝0，解得k ＝113；③若C ＝90°，则有AC →·BC →＝0，即－1＋k(k －3)＝0， 解得k ＝3±132.综上所述，k ＝－23或113或3±132.[答案]－23或113或3±1325．在四边形ABCD 中，AC →＝(1，2)，BD →＝(－4，2)，则该四边形的面积为________． [解析]依题意得AC →·BD →＝1×(－4)＋2×2＝0， 所以AC →⊥BD →，所以四边形ABCD 的面积为 12|AC →|·|BD →|＝12×5×20＝5. [答案]56．设点A ，B ，C 不共线，则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →＋AC →|>|BC →|”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] AB →与AC →的夹角为锐角，所以|AB →|2＋|AC →|2＋2AB →·AC →>|AB →|2＋|AC →|2－2AB →·AC →， 即|AB →＋AC →|2>|AC →－AB →|2，因为AC →－AB →＝BC →，所以|AB →＋AC →|>|BC →|；当|AB →＋AC →|>|BC →|成立时，|AB →＋AC →|2>|AB →－AC →|2⇒AB →·AC →>0，又因为点A ，B ，C 不共线，所以AB →与AC →的夹角为锐角．故“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →＋AC →|>|BC →|”的充分必要条件，故选C .[答案]C 【知识要点】1．向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a ∥b ，且b ≠0⇔存在唯一的λ∈R ，使a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝λx 2，y 1＝λy 2，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)；(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质：a ⊥b ⇔__a ·b ＝0__⇔__x 1x 2＋y 1y 2＝0__； (3)求夹角问题，利用夹角公式． 2．平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解和合成与向量的加法和减法相似，可用向量的知识来解决．(2)物理学中的功是一个标量，是力F 与位移S 的数量积，即W ＝F ·S ＝|F |·|S |·cos θ(θ为F 与S 的夹角)．【知识拓展】(1)若G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝0.(2)若直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，则向量(A ，B)与直线l 垂直，向量(－B ，A)与直线l 平行．对应学生用书p 81向量在物理中的应用1 一个重为|G |(单位：N)的物体，在竖直平面内受到两个力F 1、F 2(单位：N)的作用处于平衡状态，已知F 1、F 2的大小分别为1N 和2N ，且二力所成的角为120°，则G 与F 2所成的角的大小为________．[解析]如图，∵∠AOB ＝120°， ∴∠A ＝60°.在△AOC 中，|OC →|2＝|AO →|2＋|AC →2|－2|AO →|·|AC →|·cos60°＝3，∴|OC →|＝ 3. 于是|OA →|2＋|OC →|2＝|AC →|2，即∠AOC ＝90°， ∴G 与F 2所成的角为150°.[答案]150°[小结]用向量法解决物理问题的步骤： ①将相关物理量用几何图形表示出来；②将物理问题抽象成数学模型，转化为数学问题； ③最后将数学问题还原为物理问题．1．一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：N)的作用而处于平衡状态，已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2N 和4N ，则F 3的大小为________N.[解析]∵F 1＋F 2＝－F 3，∴|F 3|2＝|F 1＋F 2|2＝4＋16＋2×2×4×12＝28，∴|F 3|＝27.[答案]27向量在平面几何中的应用2 在等腰直角三角形ABC 中，AC ＝BC ，D 是BC 的中点，E 是线段AB 上的点，且AE ＝2BE ，求证：AD⊥CE.[解析]法一：(基向量法)设CA →＝a ，CB →＝b ，则|a |＝|b |，且a ·b ＝0， 则CE →＝CB →＋BE →＝CB →＋13BA →＝CB →＋13(CA →－CB →)＝13a ＋23b . AD →＝CD →－CA →＝12CB →－CA →＝12b －a .AD →·CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋23b ＝－13a 2＋13b 2＝0，所以AD →⊥CE →，即AD ⊥CE . 法二：(坐标法)以C 为坐标原点，CA ，CB 所在直线分别为x 轴，y 轴建立直角坐标系．设CA ＝2，则A (2，0)，B (0，2)，D (0，1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，43，所以AD →＝(－2，1)，CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，43，所以AD →·CE →＝－43＋43＝0，所以AD →⊥CE →，即AD ⊥CE .[小结]用向量法解决几何问题的步骤：①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算，研究几何元素之间的关系； ③把运算结果“翻译”成几何关系．2．如图所示，四边形ABCD 是正方形，P 是对角线DB 上的一点，四边形PECF 是矩形．证明：(1)PA ＝EF ； (2)PA⊥EF.[解析]以D 为坐标原点，以DC ，DA 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的坐标系．设正方形的边长为1，设P(t ，t)(0<t<1)，则F(t ，0)，E(1，t)， A(0，1)，所以PA →＝(－t ，1－t)，EF →＝(t －1，－t)． (1)|PA →|＝（－t ）2＋（1－t ）2＝2t 2－2t ＋1， |EF →|＝（t －1）2＋（－t ）2＝2t 2－2t ＋1， 所以|PA →|＝|EF →|，即PA ＝EF.(2)PA →·EF →＝－t(t －1)＋(1－t)(－t) ＝－t 2＋t －t ＋t 2＝0， 所以PA →⊥EF →，即PA⊥EF.平面向量在三角函数中的应用3 已知函数f(x)＝A sin ()πx ＋φ的部分图象如图所示，点B ，C 是该图象与x 轴的交点，过点C 的直线与该图象交于D ，E 两点，则()BD →＋BE →·()BE →－CE →的值为( )A ．－1B ．－12C .12D ．2[解析]()BD →＋BE →·()BE →－CE →＝()BD →＋BE →·BC →＝2BC →·BC →＝2|BC →|2，显然|BC →|的长度为半个周期，周期T ＝2ππ＝2，∴|BC →|＝1，所求值为2.[答案]D4 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若AB →·AC →＝CA →·CB →＝k(k∈R )． (1)判断△ABC 的形状； (2)若k ＝2，求b 的值．[解析] (1)∵AB →·AC →＝cb cos A ，CA →·CB →＝ba cos C ， ∴bc cos A ＝ab cos C .根据正弦定理，得sin C cos A ＝sin A cos C ， 即sin A cos C －cos A sin C ＝0，sin(A －C )＝0， ∴∠A ＝∠C ，即a ＝c . 则△ABC 为等腰三角形．(2)由(1)知a ＝c ，由余弦定理，得 AB →·AC →＝bc cos A ＝bc ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b 22.AB →·AC →＝k ＝2，即b 22＝2，解得b ＝2.[小结]三角函数与向量综合往往以向量运算构造问题的题设条件，因此依据向量知识转化为三角函数问题是问题求解的切入点．3．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，1，b ＝(4，4cos α－3)，若a⊥b ，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3等于( )A ．－34B ．－14C.34D.14[解析]由a⊥b 得a·b ＝0， 即4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋4cos α－3＝0， ∴23sin α＋6cos α＝ 3. ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝14， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－14. [答案]B平面向量在解析几何中的应用5 已知点P(－3，0)，点A 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线AQ 上，满足PA →·AM →＝0，AM →＝－32MQ →，当点A 在y 轴上移动时，动点M 的轨迹方程为____________．[解析]设M(x ，y)为轨迹上的任一点，设A(0，b)，Q(a ，0)(a>0)， 则AM →＝(x ，y －b)，MQ →＝(a －x ，－y)． 因为AM →＝－32MQ →，所以(x ，y －b)＝－32(a －x ，－y)，所以a ＝13x ，b ＝－y 2，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－y 2，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3，0， PA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－y 2，AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，32y .因为PA →·AM →＝0，所以3x －34y 2＝0，即所求轨迹的方程为y 2＝4x(x>0)． [答案]y 2＝4x(x>0)[小结]向量的坐标运算可将几何问题用代数方法处理，也可以将代数问题转化为几何问题来解决，其中向量是桥梁，因此，在解此类题目的时候，一定要重视转化与化归思想的运用．6 已知F 1, F 2分别为椭圆C ：x 28＋y22＝1的左、右焦点，点P(x 0，y 0)在椭圆C上．(1)求PF 1→·PF 2→的最小值；(2)设直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A, B 两点，若点P 在第一象限，且PF 1→·PF 2→＝－1，求△ABP 面积的最大值．[解析] (1)依题意可知F 1(－6，0), F 2(6，0)， 则PF 1→＝(－6－x 0，－y 0), PF 2→＝(6－x 0，－y 0)， ∴PF 1→·PF 2→＝x 20＋y 20－6，∵点P(x 0，y 0)在椭圆C 上，∴x 208＋y 202＝1，即y 20＝2－x 204，∴PF 1→·PF 2→＝x 20＋2－x 204－6＝－4＋3x 204(－22≤x 0≤22)，∴当x 0＝0时，PF 1→·PF 2→的最小值为－4.(2)设l 的方程y ＝12x ＋b ，点A(x 1，y 1), B(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋b ，x 28＋y 22＝1得x 2＋2bx ＋2b 2－4＝0，令Δ＝4b 2－8b 2＋16>0，解得－2<b<2. 由韦达定理得x 1＋x 2＝－2b, x 1x 2＝2b 2－4，由弦长公式得|AB|＝1＋14（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝5（4－b 2）， 且由PF 1→·PF 2→＝－1，得P(2，1)． 又点P 到直线l 的距离d ＝|b|1＋14＝2|b|5， ∴S △PAB ＝12|AB|d ＝12×2|b|5×5（4－b 2）＝b 2（4－b 2）≤b 2＋4－b 22＝2，当且仅当b ＝±2时，等号成立， ∴△PAB 面积的最大值为2.4．已知圆x 2＋y 2＋4x －5＝0的弦AB 的中点为(－1，1)，直线AB 交x 轴于点P ，则PA →·PB →的值为__________．[解析]设M(－1，1)，圆心C(－2，0)， ∵k MC ＝1－0－1＋2＝1，根据圆的性质可知，k AB ＝－1，∴AB 所在直线方程为y －1＝－(x ＋1)，即x ＋y ＝0，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋4x －5＝0，x ＋y ＝0，可得，2x 2＋4x －5＝0，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1x 2＝－52，令y ＝0可得P(0，0)， PA →·PB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2＝－5. [答案]－5对应学生用书p 82(2019·江苏)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE ＝2EA ，AD 与CE 交于点O.若AB →·AC →＝6AO →·EC→，则AB AC的值是________．[解析]如图，过点D 作DF∥CE，交AB 于点F ，由BE ＝2EA ，D 为BC 的中点，知BF ＝FE ＝EA ，AO ＝OD.6AO →·EC →＝3AD →·()AC →－AE→ ＝32()AB →＋AC →·()AC →－AE →，＝32()AB →＋AC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AC →－13AB → ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →·AC →－13AB →2＋AC →2－13AB →·AC → ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫23AB →·AC →－13AB →2＋AC →2 ＝AB →·AC →－12AB →2＋32AC →2＝AB →·AC →， 得12AB →2＝32AC →2，即||AB →＝3||AC →，故AB AC ＝ 3. [答案] 3。