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1-2自然坐标系

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自然坐标系

自然坐标系

r

t
t 0
AB .
t R
ern
v2 R
en
法向加速度
a

an

v2 R


vB

B vA
R

O
A
大小，方向，作用
2. 一般圆周运动的
切向加速度和法向加速度 分析方法
vB r
v vB vA vrn vr v
vrn 表示速度方向改变量 vr 表示速度大小改变量
lim lim vr
t 0
rr t
t 0
s t
er

ds dt
er


ds dt
三、 自然坐标系下的加速度
1. 匀速圆周运动， 法向加速度
v vB
vA

v vB
vA
Δv vB vA ,

AB R
lim lim ar
t 0
则：a an2 a 2 (1.88)2 (1.2)2 2.23(m / s2 )
tg an
a
12233'
总结解题策略：
（1）分析问题特点，建立恰当的坐标系 （2）由运动方程求解速度随时间变化的表达式 （3）分别计算出切向加速度与法向加速度，再 求解合加速度的大小和方向
解：根据加速度的定义：
ar
anern
a er

v2 R
ern

dv dt
er
a an2 a 2
v

ds dt
2
R
a

d
dt
1.2t

工程力学-弧坐标系中研究点的运动

工程力学-弧坐标系中研究点的运动
v vt s 2RAcost
y
O
v
an
O1
a
M at
M0
B x
at v s 2R2 Asin t
an
v2
4R2 2 A2
R
cos2 t
4R 2 A2
cos2 t
v 2RAcostet
a at an
12
例1.4 半径r的车轮在直线轨道上纯滚动(滚而不滑)， 已知轮心A的速度为常矢量 u ，求轮缘上一点M
的轨迹、速度、加速度、轨迹曲率半径。
y
Au
根据纯滚动的条件： 轮心A的坐标：
M
xA=OC= MC=ut
O
C
x 轮子转过的角度：
= MC/r = ut / r= xA/ r 即 xA r
选择 为广义坐标（也可选xA）。
点M运
xM
OC r sin
ut r sin ut r
动方程
yM
AC r cos
vB ——B点的速度
38
rB
O
B
vBA
B
rrABvAvABAvABvA以B BvvB为vvABA基A关以(点3A于)两为((21v基)点)指Bv点ABv速A向(BBA的的度与相方大关对向的小系于：转：式A垂向的vvB直一BA速=于致度vAA。)A B应B连v注B线A意，中：
vBA表示以A为基点时B点相对于
(1.15)
et
eb
en
en
lim
S0 S
d dS
(1.17)
可视为副法线 eb 绕切线 et 的转角
5
已知对单位矢量 a ：
da d a
对自然轴系的活动标架，有：

1-2马克思主义自然观的形成与发展(系统自然观)

1-2马克思主义自然观的形成与发展(系统自然观)

• 著名物理学家玻尔兹曼(Ludwig Boltzmann， 1844-1906) 1886年在皇家科学院的一次讲演中直 截了当地宣告：“如果你要问我 截了当地宣告： 如果你要问我，我们的世纪是 我们的世纪是 钢铁世纪、蒸汽世纪，还是电气世纪，那么我会 毫不犹豫地回答 我们的世纪是机械自然观的世 毫不犹豫地回答，我们的世纪是机械自然观的世种 坚信化学元素之间 定有某种秩序各种 元素周期表：被认为彼此孤立、无关的元素 成为内在联系的统一整体。
1.2机械唯物主义自然观的方法论危机
• 恩格斯指出 恩格斯指出，18世纪末以后，经验自然科学积累 世纪末以后 经验自然科学积累 了如此庞大数量的确实的知识材料，以至于在每 一个研究领域中 都不可避免地出现把这些材料 一个研究领域中，都不可避免地出现把这些材料 有系统地和依据其内在联系加以整理的要求。 • 观察、实验、归纳和演绎等经验方法远不够，必 观察 实验 归纳和演绎等经验方法远不够 必 须重视理论方法 • 分析方法有局限 有 • 比较、假说等思维方法获得了较大发展
4、辩证唯物主义自然观的作用
• 是对古希腊有机论自然观和机械论自然观的 扬弃 • 它消除了神秘主义、神创论、目的论、物种 它消除了神秘主义 神创论 目的论 物种 不变论的自然观 • 批判了自然依赖于外部作用而运动的观点， 指出了机械唯物论的某些不足之处，是具有 革命性、科学性特点的自然观。 • 辩证自然观不是人类自然观的终结，辩证自 然观也没有终结机械论自然观
（2）挽救以太的尝试和经典物理学的努力
• 1892年爱尔兰物理学家菲兹杰拉德（George FitzGerald，1851-1901）对迈克耳逊—莫雷实验 的零结果提出了一种新奇的解释：物体在以太风 中的收缩假说。 • 他认为在运动方向上，物体长度将会缩短，包括 他认为在运动方向上 物体长度将会缩短 包括 一切可能的测量装置以及人的感官在内，都以同 样的方式相应地收缩 以致我们无法在光学实验 样的方式相应地收缩，以致我们无法在光学实验 中探测出以太漂移的迹象。

2第二讲自然坐标系圆周运动的角量描述

2第二讲自然坐标系圆周运动的角量描述
dx
vx
u
dt
dy
gt
vy
dt
v u2 g 2 t 2
2
g
t
dv d
2
2 2

u g t
a
dt dt
u2 g 2 t 2
an a a
2
ug
2
u g t
2
2 2
相对运动
球
垂
直
往
返
运动具有相对性
球作曲线运动
如何变换？
描述运动三参量合成的约定
绝对量
建立自然坐标系：（P的切向）（P的法向）
p
o
ˆ
n̂
规定：切向单位矢量 ˆ ， 指向运动方向
法向单位矢量 n̂
指向轨道的凹侧
用这样一对正交的切向、法向单位矢量构成坐
标系统称为自然坐标系。
在自然坐标系中，切向、法向单位矢量并不固
定，它们随质点的位置而变。
p
ˆ
o
ˆ
n̂
n̂
直角坐标系是静坐标系
教学基本要求：
能计算质点在平面内运动时的速度和加速度；
能计算质点作圆周运动时的角速度、角加速度
、切向加速度和法向加速度。
本节内容提纲
一，自然坐标系
1，运动方程
2，速度
3，加速度
二，圆周运动的角量描述
1，角位置
2，角速度
3，角加速度
三，角量与线量的关系
四，一般曲线运动
一、自然坐标系中的运动方程，速度及加速度表示：

=

‫ ׬‬tgα


=


−

tgα

自然坐标圆周运动相对运动

自然坐标圆周运动相对运动
《关于两门新科学的对话和数学证明对话集》 一书，总结了他的科学思想以及在物理学和天文学 方面的研究成果。
伽利略所取得的巨大成就，开创了近代物理学 的新纪元。
自然坐标、圆周运动、角量描述、相对运动
3、绝对运动、牵连运动、相对运动
（1）位矢的关系
r
r'
质点P在相对作匀速直线运动
的两个坐标系中的移动 y y' u
自然坐标、圆周运动、角量描述、相对运动
2、相对运动
物体运动的轨迹依赖于观察者所处的参考系
自然坐标、圆周运动、角量描述、相对运动
伽利略（Galileo Galilei，1564—1642）
伽利略杰出的意大利物理学家和 天文学家，实验物理学的先驱者。
他提出著名的相对性原理、惯性 原理、抛体的运动定律、摆振动的等 时性等。
2
1 x2g
y 2
v02
y
an
a
g
自然坐标、圆周运动、角量描述、相对运动
(2)
o v0
x
vx v0, vy gt
an
a
y
v
vx2 vy2
v02 g 2t 2
tan 1
gt v0
a
dv dt
g2t v02 g2t2
an g2 a 2
g
v0 g v02 g2t 2
与速度同向
与切向加速度垂直
总结：自然坐标
v v
a a an a ann
a
a
an
切向加速度
法向加速度
反映速度大小变 化的快慢
反映速度方向变 化的快慢程度
dv a dt
an
v2
aa
a 2 an 2

2 自然坐标系 圆周运动 相对运动

2 自然坐标系 圆周运动 相对运动

(3) 匀变速率圆周运动基本公 式的角量表示
0 t
1 2 2 2 0 2 0
(1) 一般圆周运动
0 0 t t 2
dv at dt
at 0
v2 an R
(2) 匀速圆周运动
与匀变速直线运动基本公式 的数学形式相同.

总加速度
a a t an
改变 改变 速度方向
速度大小
dv et 切向加速度 at at et dt
法向加速度 总加速度
v2 an en
at
an

et

a a t an
改变
讨论: (1) at = 0 匀速率运动; at≠ 0 变速运动. (2) an = 0 直线运动; an≠ 0 曲线运动 例1-7. 抛体运动 y u0
y = u0 sina t -
自然坐标:
du at dt a a a
2 2 t 2 n
1 2 gt 2 u2 an
a at
an
A g
g sin g cos
2 v0 gcos
B g
C
g

0 g
2 v0 cos2 g
g sin g cos
2 v0 gcos
ag
相对速度 牵连速度 注意: 暗含两个参考系时间与空 绝对速度 （风对地） （风对人） （人对地） 间测量的绝对性(绝对时空观).
aOP aOP aOO
例1-9. 某人骑自行车以速率 v0向 东行驶.有风以同样的速率由北偏 西 30方向吹来.问: 人感到风是 从那个方向吹来？
a
vax vab v xb

质点运动学


r ∆r = ∆r r ∆s = ∆r
r ∆ r = ∆r
∆s = ∆r
r ∆s = ∆ r
质点的运动学方程为x=6+3t-5t3(SI),判断正误 判断正误: 质点的运动学方程为 判断正误 质点作匀加速直线运动，加速度为正。 质点作匀加速直线运动，加速度为正。 质点作匀加速直线运动，加速度为负。 质点作匀加速直线运动，加速度为负。 质点作变加速直线运动，加速度为正。 质点作变加速直线运动，加速度为正。 质点作变加速直线运动，加速度为负。 质点作变加速直线运动，加速度为负。
Y
1.角位移
t时刻 P点 角位置θ
P′ ω (t + ∆t ) ω (t ) R ∆θ P
t＋∆t时刻 P′点 角位置θ + ∆θ
角位移
顺时针为负 ∆θ 逆时针为正
θ
s
X
O
2.角速度
平均角速度：
∆θ dθ = ds = v 瞬时角速度（角速度）： ω＝ lim = Rdt R ∆t →0 ∆t dt 角速度方向： 右手螺旋，四指指向质点旋转方向，则大拇指 表示角速度方向。
Z
r r r ∆v d v d 2 r r a = l im = = 2 ∆ t → 0 ∆t dt dt
p1
r v1 ( t )
•
r dvx r dv y r dvz r r r • r a = ax i + a y j + az k = i+ j+ k r r r1 dt dt dt r2 d 2x r d 2 y r d 2z r = 2i + 2 j+ 2k dt dt dt
r v = | v |=
v +v +v =

自然坐标系

dv a dt
v 2 (t ) an R
ˆ v v(t )
3 一般平面曲线运动
dv v 2 a n dt
曲线变化缓慢大 曲线变化急大
详细推导
ˆ v v
ˆ dv dv d ˆ a v dt dt dt

ˆ d的大小为 d 1
• 随质点一起运动，自然变换位置和方向。
举例：圆周运动 1 匀速圆周运动 速度 大小：v=衡量
ˆ n
ˆ
方向：切向
ˆ v v
v ˆ ˆ a an n n R
2
a 加速度 大小： n v / R
2
方向：指向圆心
2 变速率圆周运动 速度 加速度
ˆ ˆ a a an a an n
dv a dt 2 v an

a
a a
a 2 an 2
2 2 2
dv v dt
a tg an

加速度总是指向曲线的凹侧，因为正是加速 度的法向分量改变了质点的运动方向。
1.3 角量描述
v2 B v1
§1.2 自然坐标系
• 自然坐标中的位置、路程和速度
（1）自然坐标
s st
ˆ
s st
ˆ ˆ (2) 自然坐标系n,
P
ˆ n
Q
O
ˆ n
ˆ
ˆ 切向单位矢量
ˆ ˆ n 1
（沿轨道法向并指向轨道凹侧。）
（沿轨道切向并指向质点前进的方向。）
ˆ 法向单位矢量 n
自然坐标的特点
ˆ 方向为n
dˆ d d dr v ˆ ˆ ˆ ˆ n n n n dt dt dt dt

01-2自然坐标系中的描述及相对运动


(1) a 0 匀速率运动； a 0 变速率运动
(2) an 0 直线运动; an
0
曲线运动
第二讲 自然坐标系：切向加速度和法向加速度、相对运动
例1.由楼窗口以水平初速度v0射出一发子弹，取枪 口为原点，沿v0为x轴，竖直向下为y轴，并取发射 时t=0.试求： (1)子弹在任一时刻t的位置坐标及轨道方程； (2)子弹在t时刻的速度，切向加速度和法向加速度。

C
v2
法向加速度大小等于速率平方除以曲率半径， 方向沿轨道的法线指向。
第二讲 自然坐标系：切向加速度和法向加速度、相对运动
dv v a a an n dt
a a
2
a an

a
a an
2 2 2
2
2 v dv dt
2 2
相对性：参照系、坐标系
直角坐标
22Leabharlann 2222
x
x
x
x
x
第二讲 自然坐标系：切向加速度和法向加速度、相对运动
2-1. 在自然坐标中描述质点的运动
1. 位置：在轨道上取一固定点O，用质点距离O的路程
长度 s，可唯一确定质点的位置。位置 s有正负之分
2. 位置变化: s 3. 速度： 沿切线方向。
解：(1) x v0 t
2
1 2 y gt 2
o
v0
x

1 x g y 2 2 v0
an
y g
a
第二讲 自然坐标系：切向加速度和法向加速度、相对运动
(2) v x v0 , v y gt
o
2 0 2 2

直角坐标系极坐标系自然坐标系的定义

直角坐标系、极坐标系和自然坐标系的定义在数学和物理学中，直角坐标系、极坐标系和自然坐标系是描述空间中点的位置和关系的工具。

它们各自具有不同的特点和应用场景。

本文将介绍这三种坐标系的定义及其基本特点。

直角坐标系直角坐标系，又称笛卡尔坐标系，是最为常见和基础的坐标系。

它由两条彼此垂直的坐标轴组成，通常为x轴和y轴，并以原点作为坐标轴的交点。

直角坐标系中的点的位置可以用两个数值表示，即横坐标x和纵坐标y。

这两个数值分别表示点在x轴和y轴上的投影长度。

在直角坐标系中，任意两点之间的距离可以通过勾股定理计算。

直角坐标系在几何学、物理学、计算机科学等领域被广泛应用。

它可以方便地描述平面上的几何图形，同时也可以用于描述三维空间中的物体位置。

极坐标系极坐标系是一种二维坐标系，它由一个原点和一个极轴组成。

与直角坐标系不同的是，极坐标系使用极径和极角来表示点的位置。

极径表示点与原点的距离，而极角表示点与极轴的夹角。

在极坐标系中，点的位置可以通过一个有序对(r, θ)表示。

其中，r为极径，θ为极角。

极径可以为正或者负，而极角通常在范围[0, 2π)内取值。

极坐标系可以方便地描述围绕原点的对称性，例如圆形、花瓣状和螺旋形的几何图形。

此外，在天文学、物理学、工程学等领域，极坐标系也具有独特的应用。

例如，描述天体运动中的角度和距离，以及雷达中的目标定位等。

自然坐标系自然坐标系是一种用于描述曲线、曲面等的坐标系。

它的特点是将点的位置表示为离散对象沿曲线或曲面的位置参数。

自然坐标系中的坐标值通常为0到1之间的数值，表示点在曲线或曲面上的相对位置。

自然坐标系的引用点通常选择为曲线或曲面上具有特殊含义的点，例如极值点、交点或重心等。

通过自然坐标系，可以用简洁的方式描述和计算曲线或曲面上的各种性质和变化。

自然坐标系在计算机图形学、有限元分析、仿真等领域被广泛应用。

例如，可以使用自然坐标系来表示二维和三维几何图形中的点、线和面，以及描述物体的形变和变形等。

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加速度
速度、
2、题设加速度关于时间（坐标）的函数
积分
速度、
运动学方程。需注意积分常量和积分上下限。
2015/3/16
DUT 常葆荣
6

例题
一质点运动轨迹为抛物线
x t 2 y t 4 2t 2
z0
求：x = - 4 m 时（t >0) 的位移、速度、速率、加速度。
2 4 2 解 r t x t i y t j z t k t i t 2t
10
圆周运动 速度
v R j
2 v an R 2 R
沿切线方向
法向加速度
沿半径方向指向圆心
切向加速度
dv a R dt
沿切线方向
2015/3/16
DUT 常葆荣
11
三、自然坐标系
速度：
r r s v lim lim ( ) t 0 t t 0 s t r s r ds ( lim )( lim ) ( lim ) t 0 s t 0 t t 0 s d t

j
r 4i 8 j m
x = -4 t= 2
dr v 2ti 4t 3 4t j d t 1 1 2 2 v 4i 24 j ms v 4 24 4 37 ms
a 2i 12t 4 j
2
a 2 i 4 4 j m s 2
所以
的方向 τ / / n 法线方向指向圆心 d( R ) ds v dτ d n n n n dτ d n Rdt Rdt R dt dt
dv v a n dt R
2



圆周运动 的半径
13
2015/3/16
DUT 常葆荣
dv v a n dt R
v k (l x )
dx 质点沿x方向运动 v k (l x ) dt
O
P
A
x
dx kdt (l x )

x 0
dx (l x )

t 0
kdt
x l e kt
a
DUT 常葆荣
v
2015/3/16
dx ke kt dt
dv k 2 e kt dt
2015/3/16
DUT 常葆荣
20
ds (2) v dt
ds vd t
s

t 0
a τ td t
1 2 s aτ t 2
此即用自然坐标法表示的质点的运动学方程
第2秒内通过的路程
1 s 3 ( 2 2 12 ) 4 .5 m 2
2015/3/16
DUT 常葆荣
在自然坐标系中，只要知道质点的运动学方程s=f(t), 就可 以求出质点在任意时刻速度的大小和方向。
2015/3/16
DUT 常葆荣 12
加速度——对于圆周运动 由定义
dv d ( v ) a dt d t dv a v dt dt d ？
n

当t0， 的大小

v
v
加速度 a 的大小
a 2 a n 2
14
一般的曲线运动
其中 为曲率半径，n的方向指向曲率圆中心
引入曲率圆后，整条曲线就可看成是由许多不同曲率半 径的圆弧所构成 P v aτ A •
d dv dτ dv v2 a (v τ ) τv τ n dt dt dt dt
2015/3/16
dt
DUT 常葆荣
8
例题
一质点沿X轴运动，采用SI单位制，其加速度和位置 在数值上满足a=2+6x。已知在x=0处，速度v=10，求 质点的速度与位置的关系。
解：根据加速度的定义
dv d v d x d x d v dv a v dt dt dx dt dx dx
dv v 2 6x dx
an

a
an

a
v2 an R
变化
a
a
2 2 n
a a a
变化
DUT 常葆荣
a
2015/3/16
an tg a
变化
18
均匀=不变
例题 一汽车在半径 R=200 m 的圆弧形公路上行驶，其运动 学方程为s =20t 0.2 t 2 (SI) . 求 汽车在 t = 1 s 时的速度和加速度大小。
v d v ( 2
6 x )d x
1 2 v 2x 3x2 c 2
根据初始条件，x=0时，v=10.确定积分常数：c=50
1 2 v 2 x 3 x 2 50 2
2015/3/16
v 4 x 6 x2 100
DUT 常葆荣 9
例题 如图，质点沿x轴正方向向A点运动，已知OA=l,设 t=0时，质点位于坐标原点，质点在任意时刻的速率 正比于它所在的位置到A点的距离，比例常量为k， 试求：x,v,a随时间变化的规律。 解：设任意时刻质点位于P点，根据题意
a R 2i R j
d2r 0 2 dt
dr vr 0 dt
2015/3/16
DUT 常葆荣
2
加速度
a R i R j
2
j
O
i

O/
2 v 法向加速度—— 沿半径方向指向圆心 an R 2 R
dv a R dt
只改变速 度的方向
切向加速度——沿切线方向 只改变速 度的大小 质点做圆周运动时线量（速度、 加速度）和角量（角速度、角 加速度）之间的关系


B
an

2 2


a
a aτ a n
2015/3/16
an , tan θ aτ
DUT 常葆荣
15
线量
R
关
系
角量
角位 移 角速 度 角加 速度
o

S 线量S
S=R
d dS R 速度v v R dt dt
圆 周 运 动
切向加 a 速度 法向加 速度
d dv R R dt dt 2 v 2 an R R
2 τ 2 n
dv aτ 0 .4 dt

2
( 20 0 .4 1) a (1) 0 .4 200
2
2015/3/16
DUT 常葆荣
2
2 1 . 44 m/s
19
2
例题 质点沿半径R=3m的圆周运动，已知切向加速度 a=3m/s2, t=0时质点位于O1点，其速度为vO1=0. 试求（1）t=1s时质点速度和加速度的大小（2） 第2秒内质点所通过的路程。 R 解： t=0时质点位于O1点，就以 O1点作为自然坐 标的原点，以质点运动的方向为自然坐标的 正方向。设t时刻质点速度大小为v，自然坐 标为s. v t d v (1) a dv a dt dv a dt
v
dx 2 dy 2 ( ) ( ) dt dt
a
d2x 2 d2 y 2 ( 2) ( 2 ) dt dt

先求矢量的各分量对时间的导数，再求速度和加速度 的模。 正确区别矢量导数的模与矢量模的导数的不同。
2015/3/16
DUT 常葆荣 5
运动学的两类问题
求导
1、题设+坐标系+初始条件运动学方程
21
例题 在离水面高度为h的岸边，有人用v0 的速度收绳拉船靠 岸，求船被拉到离岸边x处的速率。 v0 解：设船速为 。在∆t时间内，船发生的位移为 r 绳缩短的距离为 r r h r dr dr
1
曲线运动的特例——圆周运动
圆周运动：指质点的轨迹在平面极坐标内的投影是一个半 径为R的圆，并且圆心在极点上。
速度
dr v i r j dt dr dR 0 dt dt
v R j
速度只有 沿切线方 向的分量
加速度
d2r a ( 2 r 2 )i ( r 2vr ) j dt
第一项： 切向加速度
2
dv a dt
v n ann R
加速 减速
DUT 常葆荣
dv 大小：a dt
方向：

意义： 反映速度大小变化的快慢
2
第二项： 法向加速度
v2 大小： an R
方向：
n
意义： 反映速度方向变化的快慢
a a a n n
2015/3/16
1、基本概念： 位置矢量 r ：坐标原点质点
dv d r 速度： v d r 加速度： a 2 dt dt dt 2、速度和加速度在不同坐标系中的分量表示
位移 r ：位置矢量的增量
2
直角坐标系
dr 速度 v i r j 平面极坐标系 dt d2r 2 法向加速度 a r 2vr 切向加速度 ar 2 r dt
DUT 常葆荣 3
2 v 2 an R R dv a R dt
2015/3/16
v R
圆周运动 速度
v R j
2 v an R 2 R
沿切线方向
法向加速度
沿半径方向指向圆心
切向加速度
dv a R dt
沿切线方向
2015/3/16
DUT 常葆荣
DUT 常葆荣
2015/3/16
16
讨论
分析行星通过M、N点时速率分别是增大
还是减小？