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自然坐标系

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直角坐标系和自然坐标系的转化

直角坐标系和自然坐标系的转化

直角坐标系和自然坐标系的转化直角坐标系和自然坐标系是我们在数学和物理学中经常接触到的两种坐标系。

它们在表达平面或空间中的点的位置和运动方向时具有重要作用。

两种坐标系结合使用，可以更加准确地描述物理现象和解答数学问题。

直角坐标系直角坐标系是我们最为熟悉的坐标系，通常在平面直角坐标系中，我们将平面分成了四个象限，以原点为中心，横轴为X轴，竖轴为Y轴。

其中X轴和Y轴互相垂直，它们所形成的角度是90度。

在直角坐标系中，我们用一个有序数对(x, y)来表示平面上一个点的坐标位置，其中x是该点在X轴上的投影长度，y 是该点在Y轴上的投影长度。

按照惯例，在平面直角坐标系中选取X轴向右为正方向，Y 轴向上为正方向。

自然坐标系自然坐标系是一种身体坐标系，也称为物体坐标系，通常是将一个物体或者人体作为基准，以该物体或人体的中心点作为坐标系的原点。

人类自然坐标系起源于解剖学，我们通常用xyz三轴表示人体（或动物）在三维空间中的位置。

x轴代表从前往后方向，y轴代表从左到右方向，z轴代表从上到下方向。

同样的，自然坐标系也可以用有序数对(x,y,z)来表示三维空间中一个点的坐标位置。

不同于平面直角坐标系，自然坐标系是三维的，它可以很方便地描述三维物理现象。

此外，自然坐标系还有其他一些特点，例如坐标值可以为负数，和三个坐标轴可以任意排列。

由于自然坐标系和直角坐标系都有各自的优点和适用范围，因此在实际应用中，我们常常需要将自然坐标系转换为直角坐标系，或者将直角坐标系转换为自然坐标系，以便更加准确地描述和解决问题。

当我们需要将自然坐标系转换为直角坐标系时，需要判断当前自然坐标系的x、y、z 轴分别对应直角坐标系中的哪个轴。

为此，我们需要测量该物体或人体的朝向和方向，通常使用惯性导航仪或者静电陀螺仪等设备进行测量。

拿人体为例，可以根据人体的面朝方向，将自然坐标系中的x、y、z轴重组成一个新的坐标系。

假设x轴对应人体的前后方向，y轴对应人体左右方向，z轴对应人体的上下方向，则人体的中心点就是该新坐标系的原点。

1-3 坐标系的运用

1-3 坐标系的运用
ω
r r
r
ω
r
r
υ
r
ω
r
r r υ = ω×r
d ω d 2θ 角加速度： 角加速度： β = = 2 dt dt
r
P
3、 角加速度 (Angular Acceleration ) 、
14
1.3 坐标系的运用
圆周运动的角量与线量的关系： 圆周运动的角量与线量的关系： 的关系
第1章 质点运动学
ds r dθ υ= = = rω dt dt dυ dω aτ = =r = rβ dt dt
8
1.3 坐标系的运用
曲线运动的 加速度小结： 加速度小结：
第1章 质点运动学
2
r dυ υ ˆ ˆ ˆ a = aττ + ann = n τˆ + dt ρ
r υ2 法向加速度： 法向加速度： a = ˆ n n
大小： 大小：
切向加速度： r 切向加速度：a = dυ τ ˆ τ dt dυ 大小： 大小： aτ = dt
1.3 坐标系的运用
第1章 质点运动学
1.3 坐标系的运用
1
1.3 坐标系的运用
一、自然坐标系
第1章 质点运动学 S为弧坐标。 为弧坐标。
在已知运动轨道上任取一参照点 O，由质点 已知运动轨道上任取一参照点 ， 来表示质点的位置 质点的位置。 与参考点之间轨迹的长度 s 来表示质点的位置。 速度方向为切向坐标方向；指向曲率中心的 速度方向为切向坐标方向； 切向坐标方向 方向为法向坐标方向 与速度的方向垂直） 法向坐标方向（ 方向为法向坐标方向（与速度的方向垂直）。
ds = v0 − bt 解：1） v = ） dt dv = −b 2） at = ） dt 2 2 v (v0 − bt ) an = = R R

自然坐标系

自然坐标系

r

t
t 0
AB .
t R
ern
v2 R
en
法向加速度
a

an

v2 R


vB

B vA
R

O
A
大小，方向，作用
2. 一般圆周运动的
切向加速度和法向加速度 分析方法
vB r
v vB vA vrn vr v
vrn 表示速度方向改变量 vr 表示速度大小改变量
lim lim vr
t 0
rr t
t 0
s t
er

ds dt
er


ds dt
三、 自然坐标系下的加速度
1. 匀速圆周运动， 法向加速度
v vB
vA

v vB
vA
Δv vB vA ,

AB R
lim lim ar
t 0
则：a an2 a 2 (1.88)2 (1.2)2 2.23(m / s2 )
tg an
a
12233'
总结解题策略：
（1）分析问题特点，建立恰当的坐标系 （2）由运动方程求解速度随时间变化的表达式 （3）分别计算出切向加速度与法向加速度，再 求解合加速度的大小和方向
解：根据加速度的定义：
ar
anern
a er

v2 R
ern

dv dt
er
a an2 a 2
v

ds dt
2
R
a

d
dt
1.2t

7自然坐标系

7自然坐标系

University ຫໍສະໝຸດ hysics三. 角加速度（描述质点转动角速度变化快
慢的物理量）

o

t : t t :
r
P
lim

(t t ) (t )
dt
角加速度的方向与 dω 的方向相同
t 0
d d 2 k k 2 k dt dt
aτ

aτ
思考 求抛体运动过程中的曲率半径？ 对B 点
a
y
2 2 2
aτ 0, an g , v B v 0cos
vo
B
vB (v 0cos ) xm ρ B an g 8 ym
o

C x
Xu Zhongfeng, Xi’an Jiaotong University, 2010
法向加速度

Xu Zhongfeng, Xi’an Jiaotong University, 2010
University Physics
2 2 v d v d s ds 2 1 a an n aτ τ n τ 2 τ ( ) n dt dt dt 2 v 对匀速率圆周运动 a 0 an an n n r 加速度的正交分解 a an n aτ τ Pv • a an a aτ 2 an 2 , tg n
两类问题（圆周运动的角量描述） 1. 第一类问题 已知运动学方程， (t ) 求 ,
P
aτ v
d ω k dt
d d d 2 k 2 k dt dt dt
Xu Zhongfeng, Xi’an Jiaotong University, 2010

自然坐标圆周运动相对运动

自然坐标圆周运动相对运动
《关于两门新科学的对话和数学证明对话集》 一书，总结了他的科学思想以及在物理学和天文学 方面的研究成果。
伽利略所取得的巨大成就，开创了近代物理学 的新纪元。
自然坐标、圆周运动、角量描述、相对运动
3、绝对运动、牵连运动、相对运动
（1）位矢的关系
r
r'
质点P在相对作匀速直线运动
的两个坐标系中的移动 y y' u
自然坐标、圆周运动、角量描述、相对运动
2、相对运动
物体运动的轨迹依赖于观察者所处的参考系
自然坐标、圆周运动、角量描述、相对运动
伽利略（Galileo Galilei，1564—1642）
伽利略杰出的意大利物理学家和 天文学家，实验物理学的先驱者。
他提出著名的相对性原理、惯性 原理、抛体的运动定律、摆振动的等 时性等。
2
1 x2g
y 2
v02
y
an
a
g
自然坐标、圆周运动、角量描述、相对运动
(2)
o v0
x
vx v0, vy gt
an
a
y
v
vx2 vy2
v02 g 2t 2
tan 1
gt v0
a
dv dt
g2t v02 g2t2
an g2 a 2
g
v0 g v02 g2t 2
与速度同向
与切向加速度垂直
总结：自然坐标
v v
a a an a ann
a
a
an
切向加速度
法向加速度
反映速度大小变 化的快慢
反映速度方向变 化的快慢程度
dv a dt
an
v2
aa
a 2 an 2

自然坐标系

自然坐标系
2 ω 2 − ω0 = 2 β (θ − θ 0 )
1 2 βt 2
****************************************************** 匀速圆周运动 匀速直线运动 θ = θ 0 + ωt x = x0 + Vt 匀变速圆周运动 匀加速直线运动 ω = ω 0 + βt V = V0 + at 1 1 θ − θ 0 = ω 0t + βt 2 x − x0 = V0 t + at 2 2 2 2 2 2 2 ω − ω 0 = 2 β (θ − θ 0 ) V − V0 = 2 a ( x − x 0 ) ******************************************************
4
V2
V2 ⇒ρ= ：计算曲率半径 （4） a n = ρ an 例： R =800m 的圆形轨道，汽车，静止开始，
速率均匀增加， t =3（分） ， V =20m/s r ， a ， at ， a n 求： t =2（分） 解：设 V = kt ，t=3（分）=180s， V =20m/s
k =20/180=1/9， V = t /9 dV at = = 1 / 9 = 0.111(m / s 2 ) dt t =2（分）=120s， V =120/9(m/s) V2 = 0.222m / s 2 an = R
at
α
an R
O
r a
2 a = at2 + a n = 0.248m / s 2 ， tgα = a n / at =2， α = 63.4 o
第5节
P
相对运动
S ′ 相对于 S 作平动运动 r r r r = r ′ + r0 r r r ∆r = ∆r ′ + ∆r0 r r r dr dr ′ dr0 = + dt dt dt

自然坐标系

dv a dt
v 2 (t ) an R
ˆ v v(t )
3 一般平面曲线运动
dv v 2 a n dt
曲线变化缓慢大 曲线变化急大
详细推导
ˆ v v
ˆ dv dv d ˆ a v dt dt dt

ˆ d的大小为 d 1
• 随质点一起运动，自然变换位置和方向。
举例：圆周运动 1 匀速圆周运动 速度 大小：v=衡量
ˆ n
ˆ
方向：切向
ˆ v v
v ˆ ˆ a an n n R
2
a 加速度 大小： n v / R
2
方向：指向圆心
2 变速率圆周运动 速度 加速度
ˆ ˆ a a an a an n
dv a dt 2 v an

a
a a
a 2 an 2
2 2 2
dv v dt
a tg an

加速度总是指向曲线的凹侧，因为正是加速 度的法向分量改变了质点的运动方向。
1.3 角量描述
v2 B v1
§1.2 自然坐标系
• 自然坐标中的位置、路程和速度
（1）自然坐标
s st
ˆ
s st
ˆ ˆ (2) 自然坐标系n,
P
ˆ n
Q
O
ˆ n
ˆ
ˆ 切向单位矢量
ˆ ˆ n 1
（沿轨道法向并指向轨道凹侧。）
（沿轨道切向并指向质点前进的方向。）
ˆ 法向单位矢量 n
自然坐标的特点
ˆ 方向为n
dˆ d d dr v ˆ ˆ ˆ ˆ n n n n dt dt dt dt

自然坐标系

自然坐标系
自然坐标系是指一个基于自然规律和观测事件的坐标系。

在物理学、地理学、
生物学等领域中，自然坐标系被广泛应用于描述和研究自然现象。

自然坐标系的建立通常以某个客观参照物或事件为基准点，以此构建具有一定方向和单位的坐标轴。

在物理学中，自然坐标系常用于描述空间位置、运动和力等物理量。

其中，笛
卡尔坐标系是最常见的一种自然坐标系，由三个垂直的坐标轴构成，分别代表空间中的长度、宽度和高度。

物体在笛卡尔坐标系中的位置可以通过三个坐标值来确定，这种描述方法简单直观。

在地理学中，地球表面的经纬度坐标就是一种自然坐标系。

经线和纬线交叉形
成网格状结构，用于描述地球表面上的位置。

经纬度坐标在导航、地图绘制等方面有着重要的应用，能够准确描述地球上任意点的位置。

生态学中也常常使用自然坐标系来描述生物群落的分布和生态系统的结构。

例如，树种分布图就是利用自然坐标系进行绘制的，通过对树木种类和数量在空间中的分布进行记录和统计，可以帮助研究者了解生态环境的特点和动态变化。

总的来说，自然坐标系是描述和研究自然现象不可或缺的工具之一。

通过建立
合适的坐标系，可以更好地理解和解释自然规律，促进科学研究和技术发展的进步。

对于不同领域的研究者来说，熟练掌握各种自然坐标系的原理和应用方法非常重要，能够帮助他们更准确地进行科学分析和实验推断。

自然坐标极坐标


dt
dt 2
注意：角加速度不是矢量 （参看《教与学参考》Ｐ71）
5.角量与线量的关系 s = Rθ ∆s = R∆θ
P′( t + ∆t )
∆s
R ∆θ
Oθ
P( t )
s
O' 参考
方向
v = ds = R dθ = Rω
dt
dt
aτ
=
dv dt
=
R dω
dt
=
Rβ
an
=
v2
ρ
=
( Rω
R
)2
=
Rω 2
A
B
第一项
r
∆ vτ
lim
∆t→ 0
∆t
=
lim
∆t→ 0
∆v ∆t
τr
=
d v τv
dt
v
v
∆v
v
A
v ∆s
v A
B
A
v
r
v B
rD r
vA ∆vn
∆v
∆v r C
∆ vτ
∆θ
r vB
E
B
第二项
r
lim
∆t→ 0
∆vn ∆t
=
v∆θ
lim
∆t→ 0
∆t
r n
=
vdθ
dt
r n
y
∆s ∆θ
A
x
o
=
练习
教材第44页例6
某发动机工作时，主轴边缘一点作圆周运动方程为
θ = t 3 + 4 t + 3 ( SI )
（1）t =2s 时，该点的角速度和角加速度为多大？

自然坐标系中的描述及相对运动


(2) vx v0 , v y gt
o v0
x
v
vx2
v
2 y
v02 g 2t 2
tan1( gt )
v0
y
an
a
g
切向加速度
at
dv dt
g2t v02 g2t 2
与速度同向
总加速度总是竖直向下的重力加速度 g
法向
an
g2 at2
v0 g 与切向加速度垂直 v02 g2t 2
A v1
n B
C
v2
法向加速度大小等于速率平方除以曲率半径， 方向沿轨道的法线指向。
第二讲 自然坐标系：切向加速度和法向加速度、相对运动
a
a
an
dv dt
v2
n
a
an
a
a a a 2 an 2
dv dt
2
v2
2
tg a
an
加速度总是指向曲线的凹侧，因为正 是加速度的法向分量改变了质点的运动方向。
2-2 圆周运动 角量
1、圆周运动中的切向加速度和法向加速度
曲率半径是恒量 a dv v2 n
dt R
匀速圆周运动v c a v2 n 向心加速度
R
2、圆周运动的角量描述
t A
角位置
t t B 角位移
v2 B v1
R s A
沿逆时针转动，角位移取正值
O
X
沿顺时针转动，角位移取负值
第二讲 自然坐标系：切向加速度和法向加速度、相对运动
第二讲 自然坐标系：切向加速度和法向加速度、相对运动
例2：手球运动员以初速度v0与水平方向成α0 角抛出一球，如图所示。当球到达M点处，与水 平线夹角为θ，求(1)球在M点速度的大小；(2)球 在M点处的切向加速度和法向加速度大小；(3)M 点处的曲率半径。
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t)
-
et
(t)
当： t 0 , 0
et
t

t

O Δ P2
s
et t
有 det et d d
P1
方向
det

et
d et d
d t dt
即en方向
en
et
t

t


et
et
t

4
d ds
at

dv dt

c
an

v2 R

(b ct)2 R
（2） at an
解得 t b R cc
12
§1-3 相对运动
一 时间与空间
在两个作相对运动的参考系中，时间 的测量是绝对的，空间的测量也是绝对的, 与参考系无关．
时间和长度的的绝对性是经典力学或 牛顿力学的基础．
13
二 相对运动
o
at
0.4
M at
a
x
11
例5 一质点沿半径为R的圆周运动，其路程s随时
间t 的变化规律为 s bt 1 ct 2，式中b，c为大于
零的常数，且 b2 Rc 。求（2 1）质点的切向加速
度和法向加速度。（2）经过多长时间，切向加速
度等于法向加速度。
解： （1）
v ds b ct dt
解： 按题意作矢量图
y
v v0 v
v v0 tan 60 10 tan 60m s1
17.3 m s1
y´ x´
v0
v
速度：
v

vet

ds dt
et
2
质点的加速度：
a

dv dt

d(vet dt
)
dv dt
et

v
det dt
dv dt
et
：
速度大小的变化率，其方向指向曲线的切线方向
切向加速度：
at

dv dt
et

d2s dt 2
et
3

讨论
det
dt
et

et (t

1-2-5 自然坐标系：
把坐标建立在运动轨迹上的坐标系统。
P
s
et
en
s
• 切向规坐定标：轴O沿质点e前n 进方向Q的切向为正，et单位矢量为et
• 法向 坐标轴沿轨迹的法向凹侧为正，单位矢量为en
1
s
P
et
O
en s
Q
et
v
质点位置： s st
路程： s sQ sP
15
位移关系
r r'D 或 r r'ut
速度变换
r r' u t t v v'u
yy'
P P'
*
oo'
xx'
t0
y
o
y' u Q
P
D
r r'
P'
xx'
ut o' t t
16
v v u
伽利略速度变换
at R an R 2
ds R d
dt dt
dv R d
dt
dt
an

v2 R

R
2
8
可以把角速度看成是矢量 ！
方向弯曲，拇指
的指向即为角速度矢量的方向。
线速度与角速度的关系：
v r
ω y v
R
d v d ω r ω d r

d et dt

ds ρdt
en

v ρ
en
et
t

t

O Δ P2
s
P1
et
t

v det
dt

v2 ρ
en
法向加速度：
沿法线方向
an
v det
dt

v2 ρ
en
5
综上所述：
a

at

an

dv dt
et

v2

en
加速度的大小：
物体运动的轨迹依赖于观察者所处的参考系
14
质点在相对作匀速 直线运动的两个坐标系 中的位移
S系 (Oxyz)
基本参考系
S'系(O' x' y' z')
运动参考系
u 是S’系相对S系
运动的速度
yy'
P P'
*
oo'
xx'
t0
y
o
y' u Q
P
D
r r'
P'
xx'
ut o' t t
绝对速度 v
dr
dt
绝对速度 v v
u 牵连速度
相对速度
相对速度
牵连速度 u
注意： 当物体运动速度 接近光速时，速度变换不 成立．
加速度关系
dv dv' du
dt
若
dudt 0
dt a a'
dt
17
例6 一观察者A坐在平板车上，车以10 m/s的速率沿 水平轨道前进。他以与车前进的反方向呈 60°角向上 斜抛出一石块，此时站在地面上的观察者B看到石块 沿铅垂线向上运动。求石块上升的高度。
dt dt
dt
r
O
x
z
9
a r ω v
r R 方向沿着运动的切线方向。
r为切向加速度
即 at r v v v 2R ω v 方向指向圆心
ω y v
R
r
O
x
为法向加速度
a an2 at2
加速度的方向（以与切线方向的夹角表示）：
arctan an
at
例：抛体运动

an
at
g
6
1-2-6 圆周运动及其角量描述
角位置 ： 质点所在的矢径与x 轴的夹角。
角位移： 质点从A到B矢径转过的角度 。
规定： 逆时针转向为正 顺时针转向为负
即
an

ω
v
z
10
例4 半径为r = 0.2 m的飞轮，可绕 O 轴转动。已知
轮缘上一点M的运动方程为 = -t2+4t ，求在1秒时
刻M点的速度和加速度。
解：
d
dt
2t 4
d
dt
2
v r r(2t 4) 0.2 (21 4) m s1 0.4 m s1
角速度：
lim t 0

t

d
dt
角加速度：


lim
t 0

t

d
dt
y
B

s
A

RO
x
7
角量表示匀加速圆周运动的基本公式：
0 t


0 0t

1 2

t2
2 02 2 0
角量和线量的关系：
s R
v R
at r (2) 0.2m s2 0.4 m s2 v
an r 2 0.2(21 4)2 m s2 0.8 m s2
a at2 an2 0.89 m s2
an
arctan an arctan 0.8 63.4