自然坐标相对运动讲解

船在江中 向北的航速
绝 船对岸
相 船对水
牵 水对岸
28
例
北
地看雨
南 21.6º
车看雨垂直
88.2 m/s
雨对地
雨对车 车对地
车对地
雨对地 雨对车
雨对地
88. 2 21.6 º
239. 6 m ·s –1
车对地
29
人骑车以速率
向正西行驶
遇到从北向南刮的风 , 速率也是
人感到风 从 什么方向吹来
人对地 风对人 风对人 人对地
2 2
2 v 2 2 a ax ay 2R R
r (R cost )i (R sin t ) j
a ( R cost )i ( R sin t ) j r
2
11
自然坐标系描述：
圆周运动中 s R ，则
y v2 R
o
v1
2 2
解：
y
vo
o
o
x
x
v v0 cos 0 g g
2
2
13
汽车在半径为 R = 200m 的圆弧形公路上 行驶，运动方程为S = 20t - 0.2t2[SI], 试求 汽车在t=5s时的速度和加速度。
解：
ds v 20 0.4t dt
dv a 0.4 dt
在相对作匀速直线运动的参考系中，同一质 点的加速度相同。 22
讨论 空间的绝对性：长度的测量不依赖于参考系” 时间的绝对性：时间的测量不依赖于参考系 绝对时空观： 对于不同的参考系，长度和 时间的测量结果是相同的。 在低速（远低于真空光速）运动情况下，绝 对时空观符合实验结果。
23
伽利略变换是线性的－时空的性质 伽利略变换只适用于低速情况。高速情况 （u ~ c）必须用洛仑兹（Lorentz）变换： 时间的测量依赖于参考系 长度的测量也依赖于参考系 不同参考系中的矢量不能再按平行四边形 法则叠加！
d 曲率半径愈大则曲线的弯曲程度愈小。
轨迹上任一点的弯曲程度不同， ds 引入曲率半径的概念：
A
ds

.
d
4
加速度的表达式：
d 2s ds 2 1 a ( ) n 2 dt dt d 2 n dt
故切向加速度和法向加速度分别为： d 2 a , an dt
头 速度关系： PS 尾
PS uSS
u



称为绝对速度（adsolute velocity）
称为相对速度（relative velocity）
称为牵连速度（convected velocity）
20
PS PS uSS
称为伽利略速度变换 人只在
例 可用速度关系解释：雨天骑车 胸前铺一块塑料布即可遮雨
3
由右图可知： d d 1d
d 方向与 n

1
A


B d d
1


一致，故有：
d d d 1d n n dt dt
代入加速度公式，有：
d n n
2
d 2 s ds d d 2 s ds ds d a 2 n 2 n dt dt dt dt dt dt ds
两组单位矢量 n i jk 与

a
o
an
o
？
的区别是什么？
6
r xi yj ( m ) r xi yj zk （m）
v an R
2
注意：容易出错的地方
a an at
a a a
2 n 2 t
a an at
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运动的描述是相对的 本节将给出：
同一物体在不同参考系中各自测量的状态量
之间的定量关系
平动速度为u
设参考系S'相对参考系S平动
17
坐标系如图
y S系
S'系 u
y
r
o
r
o
P
x
x
研究的问题是：t 时刻质点运动到P点
S系描述的物理量是: r a S'系描述的物理量是: r a
x
ds d d v ( R ) R R dt dt dt
式中 有：
d dt
是 随时间的变化率，称为角速度
2 2
dv d v ( R ) 2 an R a R R dt dt
12
求抛体轨道顶点的曲率半径.
v v0 cos 0 an g
ds 就是切向单位矢量 的方向，故 . dt dν 对加速度： a dt 将速度的表达式代入，得：
ds dt

2 d d ds d s ds d a ( ) 2 dt dt dt dt dt dt
此处的 d 是什么呢？ dt
自然坐标系：
• 如果质点是被约束在已知的轨道上，则可采 用“自然坐标系”。 • 所谓“自然”，意即“顺其自然”，把轨道 当作坐标的“轴”。
质点的坐标是代表路程， 质点的运动方向规定为轨道切线的正方向。
1
自然坐标系
2
在此坐标系中速度和加速度怎么表示？
速度：因为瞬时速度的大小等于瞬时速率（注意平均
速度的大小不等于平均速率），故速度大小为 ，方向
(d) an 0, a 0
变速直线运动
匀速率曲线运动 变速(率)曲线运动
9
10
直角坐标系描述（匀速圆周运动）
y v2
x R cost , y R sin t
x y R
2 2
2
o
P2 v1 R an P 1 t x
dr v (R sin t )i (R cos t ) j dt
所以在自然坐标系中，作曲线运动的质点的加速度可以 分解为两个分量：一个是反映速度大小变化的切向加速 度，一个是反映速度方向变化的法向加速度.
5
自然坐标系中总加速度为：
改变
a a an
a a
1
改变
速度大小
速度方向
加速度 的大小 和方向
a
2
2 n
a
an t an a
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运动的合成 描述运动三参量变换的约定
绝对量
静系（不动参考系S）的量。
相对量 动系（运动参考系S ）的量。 牵连量 动系对静系的量。
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相对运动
对岸
岸
26
运动目标
(船)
绝
相
牵 动系 (水)
对
对
对
静系 (岸)
对
对
对
对
对
对
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例
北岸
江 船 南岸 东
船对岸 水对岸 船对水 绝 牵 相
人
水向东流速
a
2 a2 an
(20 0.4t ) an R v
2
2
2 ( 20 0 . 4 t ) (0.4) 2 ( )2 R
在t=5s时
2 ( 18 ) 2 a a2 an (0.4) 2 ( ) 2 1.67m / s 2 200 14
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雨对地=雨对人+人对地(骑车)
（ ） （′） （u ）
人对地(骑车)
雨对地 雨对人
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加速度的变换
dv dv du a a0 a d t dt dt
a a a0
a a
绝对加速度＝相对加速度＋牵连加速度 如果参考系相对作匀速直线运动,则
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牛顿的相对运动关系
引入矢量 rSS
位矢之间的关系：
y
S系
S'系 u
r r o rSS
P
x
y
r r rSS
o
x
通常为了记忆，将上式写为：
S rSS rPS rP
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S rSS 位矢关系： rPS rP
！
dv 2 v 2 2 a ( ) ( ) dt
20 a 的方向永远指向 曲线凹的一方。
dv v 2 a n dt
8
（2） 讨论:切向加速度和法向加速度为零时 的运动情况：
(a ) an 0, a 0
匀速直线运动
(b) an 0, a 0
(c) an 0, a 0
实质： 已知 北偏西45° 北 由45° 得 西
人对地
风对人
和
风对地
求
风对地
风对地 风对地
人对地 人对地
人对地
45°
风对地 风对人
人感到风 从 北偏西45° 方向吹来
30
7
在自然坐标系中：
a

a
注意：
dv v v a dt d (v ) dv d v dt dt dt
可以证明:
an a a an n
n
a
an v
dv dt
2

1
0
dv a dt
dv a dt