平面自然坐标系的选取及符号规则!
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坐标系知识点
坐标系知识点一、直角坐标系在平面上，通过选取两条互相垂直的坐标轴，可以确定一个直角坐标系。
其中，一条轴称为x轴，另一条轴称为y轴。
两条轴的交点称为原点，用O表示。
在直角坐标系中，每个点都可以用一组有序数对(x, y)来表示，其中x表示点在x轴上的投影，y表示点在y轴上的投影。
x和y之间的有向线段称为该点的坐标向量。
二、极坐标系极坐标系是一种用有序数对(r, θ)表示平面上点的坐标系统。
其中，r 表示点到原点的距离，θ表示点与x轴正半轴的夹角。
在极坐标系中，每个点都可以唯一地表示为(r, θ)的形式。
其中，r 为非负数，θ的取值范围一般为[0, 2π)或(-π, π]。
三、坐标系之间的转换将点的坐标从一个坐标系转换到另一个坐标系，需要使用一些基本的转换公式。
1. 直角坐标转极坐标：给定点P的直角坐标为(x, y)，则其极坐标(r, θ)的计算公式如下：r = √(x² + y²)θ = arctan(y / x)2. 极坐标转直角坐标：给定点P的极坐标为(r, θ)，则其直角坐标(x, y)的计算公式如下：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)注意：在进行坐标转换时，应特别注意θ的取值范围。
四、常见坐标系除了直角坐标系和极坐标系外，还存在其他常见的坐标系，如球坐标系、柱坐标系等。
这些坐标系在不同的物理、数学和工程领域中有着特定的应用。
五、坐标系在几何中的应用1. 描述点、直线和曲线的位置和运动。
2. 计算物体的位置、速度和加速度等物理量。
3. 确定图形的对称性和相似性。
4. 解决几何问题，如寻找两直线的交点、确定图形的面积和周长等。
六、小结坐标系是描述平面上点的重要工具，直角坐标系和极坐标系是最常见的两种坐标系。
熟练掌握坐标系的知识和转换方法，对于理解几何问题、解决物理问题等具有重要意义。
在实际应用中，还可以使用其他类型的坐标系，根据具体情况选择适合的坐标系来描述问题。
自然坐标系中的速度、加速度
h 已知：R， a1t / 2
2
解：如图建立自然坐标系O׳S+ 设M点在t=0时的初位置为 s0 则：运动方程：
求： aM ?
S+ M
a1 t ˆ aM n a1ˆ R
a1 t v ˆ ˆ an n n R 2 2R
ds 2 s s0 a1t / 2 v a1t dt 2 2 2
dv a ˆ a1ˆ dt
s0
O׳
注意：同一质点的加速度无论在直角坐标还是 自然坐标中总加速度 只能是一个值。 Y A O’ O
a
a
ay
ax
an
aY
四 、平面自然坐标中的加速度表示 在a点附近取 dt 时间内 切向单位矢的增量为
dv d (vˆ) a dt dt ˆ d dv ˆ v dt dt
ˆ v v
dˆ
O中 O’ S
d
ˆ dˆ
ˆ
d
S+ '
ˆ n
a
ds
a
称为法向加速； an
a a a
2 n 2
讨论：
a 0, 0 / 2, v a 0, / 2, v const a 0, / 2 , v an 0 直线运动 0,
五、关于圆周运动
( R)
v an 0 R
O
r
s
a
X
ˆ n r
ˆ
s
s s(t )
三、平面自然坐标系中的速度表示
O׳
s
ˆ
c
s
s t
地形图及坐标表示方式
１、地形图坐标系：我国的地形图采用高斯－克吕格平面直角坐标系。
在该坐标系中，横轴：赤道，用Ｙ表示；赤道以南为负，以北为正；纵轴：中央经线，用Ｘ表示；中央经线以东为正，以西为负。
坐标原点：中央经线与赤道的交点，用Ｏ表示。
我国位于北半球，故纵坐标均为正值，但为避免中央经度线以西为负值的情况，将坐标纵轴西移５００公里。
２、北京５４坐标系：１９５４年我国在北京设立了大地坐标原点，采用克拉索夫斯基椭球体，依此计算出来的各大地控制点的坐标，称为北京５４坐标系。
３、ＧＳ８４坐标系：即世界通用的经纬度坐标系。
４、６度带、３度带、中央经线。
我国采用６度分带和３度分带：１∶２．５万及１∶５万的地形图采用６度分带投影，即经差为６度，从零度子午线开始，自西向东每个经差６度为一投影带，全球共分６０个带，用１，２，３，４，５，……表示．即东经０～６度为第一带，其中央经线的经度为东经３度，东经６～１２度为第二带，其中央经线的经度为９度。
１∶１万的地形图采用３度分带，从东经１．５度的经线开始，每隔３度为一带，用１，２，３，……表示，全球共划分１２０个投影带，即东经１．５～４．５度为第１带，其中央经线的经度为东经３度，东经４．５～７．５度为第２带，其中央经线的经度为东经６度．地形图上公里网横坐标前２位就是带号，例如：河北省１：５万地形图上的横坐标为２０３４５４８６，其中２０即为带号，３４５４８６为横坐标值。
在分层设色地形图中,绿色表示的地形是A高原B平原C山地D盆地一.什么是地图地图是按一定的数学法则和综合法则，以形象－符号表达制图物体(现象)的地理分布、组合和相互联系及其在时间中的变化的空间模型，它是地理信息的载体，又是信息传递的通道。
二.地图制图学及其理论基础地图制图学属地球科学中的一门学科。
主要是研究地图的实质(性质、内容及其表示方法)发展、制图理论和技术方法的的一门科学。
它的任务是获取各种类型的、高速优质的地图。
是制作地图的科学。
各种坐标法——精选推荐
各种坐标法::⽮径::...选取参考系上某确定点 O 为坐标原点，⾃点O 向动点M 作⽮量，称为点 M 相对原点 O 的位置⽮量，简称⽮径。
::运动⽅程::...当动点M 运动时，⽮径随时间⽽变化，并且是时间的单值连续函数，即=(t)。
上式称为以⽮量表⽰的点的运动⽅程。
::轨迹::...动点M 在运动过程中，其⽮径的末端描绘出⼀条连续曲线，称为⽮端曲线。
显然，⽮径的⽮端曲线就是动点M 的运动轨迹，如图所⽰。
::速度::...动点的速度⽮等于它的⽮径对时间的⼀阶导数，即：。
动点的速度⽮沿着⽮径的⽮端曲线的切线，即沿动点运动轨迹的切线，并与此点运动的⽅向⼀致。
::加速度::...点的速度⽮对时间的变化率称为加速度。
动点的加速度⽮等于该点的速度⽮对时间的⼀阶导数，或等于⽮径对时间的⼆阶导数，即：为⽅便起见，记为如在空间任意取⼀点O ，把动点M在连续不同瞬时的速度⽮，…等都平⾏地移到点O ，连接各⽮量的端点M ，，…，就构成了⽮量端点的连续曲线，称为速度⽮端曲线，如下图所⽰。
动点的加速度⽮的⽅向与速度⽮端曲线在相应点M 的切线相平⾏。
::运动⽅程::...取⼀固定的直⾓坐标系Oxyz ，如下图所⽰。
由于原点与直⾓坐标系的原点重合，因此有如下关系式中分别为沿三个定坐标轴的单位⽮量。
由于是时间的单值连续函数，因此x ，y ，z 也是时间的单值连续函数，即：这些⽅程称为以直⾓坐标表⽰的点的运动⽅程。
当点在某⼀平⾯运动时，运动⽅程为：::轨迹::...将运动⽅程中的时间 t 消去，可以得到点的轨迹⽅程。
对于平⾯问题有：f （x ，y ） =0::速度::...有结论：速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的⼀阶导数。
::加速度::...结论：加速度在直⾓坐标轴上的投影等于动点各对应坐标对时间的⼆阶导数。
::例⼀::...已知：椭圆规的曲柄OC 可绕定轴O 转动，其端点C 与规尺AB 中点以铰链相连接，⽽规尺A ，B 两端分别在相互垂直的滑槽中运动，如图所⽰。
空间直角坐标系、大地坐标系、平面坐标系、高斯平面直角坐标系
本篇学习了空间直角坐标系、大地坐标系、平面坐标系、高斯平面直角坐标系。
这个个坐标系有时很容易弄混淆！（一）空间直角坐标系空间直角坐标系的坐标原点位于参考椭球的中心，Z轴指向参考椭球的北极，X轴指向起始子午面与赤道的交点，Y轴位于赤道面上切按右手系于X轴呈90度夹角，某点中的坐标可用该点在此坐标系的各个坐标轴上的投影来表示。
空间直角坐标系可用如下图所示：（二）大地坐标系大地坐标系是采用大地纬度、经度和大地高程来描述空间位置的。
纬度是空间的点与参考椭球面的法线与赤道面的夹角；经度是空间的点与参考椭球的自转轴所在的面与参考椭球的起始子午面的夹角；大地高程是空间的点沿着参考椭球的法线方向到参考椭球面的距离。
地面点的高程和国家高程基准(1)绝对高程。
地面点沿垂线方向至大地水准面的距离称为绝对高程或称海拔。
过去我国采用青岛验潮站(tide gauge station)1950～1956年观测成果求得的黄海平均海水面作为高程的零点，称为“1956年黄海高程系”(Huanghai height system 1956水准原点高程为72.289m)。
后经复查，发现该高程系的验潮资料时间过短，准确性较差，改用青岛验潮站1950～1979年的观测资料重新推算，并命名为“1985年国家高程基准”（Chinese height datum 1985）。
国家水准原点(leveling origin高程为72.260m)设于青岛市观象山附近，作为我国高程测量的依据。
它的高程值是以“1985年国家高程基准”所确定的平均海水面为零点测算而得。
在使用原“1956年黄海高程系”的高程成果时，应注意将其换算为新的高程基准系统。
(2)相对高程。
地面点沿铅垂线方向至任意假定的水准面的距离称为该点的相对高程，亦称假定高程。
在图l—5中，地面点A和B的相对高程分别为H'A 和H'B。
(3)高差。
地面上任意两点的高程(绝对高程或相对高程)之差称为高差。
1-2自然坐标系
加速度
速度、
2、题设加速度关于时间（坐标）的函数
积分
速度、
运动学方程。需注意积分常量和积分上下限。
2015/3/16
DUT 常葆荣
6
例题
一质点运动轨迹为抛物线
x t 2 y t 4 2t 2
z0
求：x = - 4 m 时（t >0) 的位移、速度、速率、加速度。
2 4 2 解 r t x t i y t j z t k t i t 2t
10
圆周运动 速度
v R j
2 v an R 2 R
沿切线方向
法向加速度
沿半径方向指向圆心
切向加速度
dv a R dt
沿切线方向
2015/3/16
DUT 常葆荣
11
三、自然坐标系
速度：
r r s v lim lim ( ) t 0 t t 0 s t r s r ds ( lim )( lim ) ( lim ) t 0 s t 0 t t 0 s d t
j
r 4i 8 j m
x = -4 t= 2
dr v 2ti 4t 3 4t j d t 1 1 2 2 v 4i 24 j ms v 4 24 4 37 ms
a 2i 12t 4 j
2
a 2 i 4 4 j m s 2
所以
的方向 τ / / n 法线方向指向圆心 d( R ) ds v dτ d n n n n dτ d n Rdt Rdt R dt dt
dv v a n dt R
速度、
2、题设加速度关于时间（坐标）的函数
积分
速度、
运动学方程。需注意积分常量和积分上下限。
2015/3/16
DUT 常葆荣
6
例题
一质点运动轨迹为抛物线
x t 2 y t 4 2t 2
z0
求：x = - 4 m 时（t >0) 的位移、速度、速率、加速度。
2 4 2 解 r t x t i y t j z t k t i t 2t
10
圆周运动 速度
v R j
2 v an R 2 R
沿切线方向
法向加速度
沿半径方向指向圆心
切向加速度
dv a R dt
沿切线方向
2015/3/16
DUT 常葆荣
11
三、自然坐标系
速度：
r r s v lim lim ( ) t 0 t t 0 s t r s r ds ( lim )( lim ) ( lim ) t 0 s t 0 t t 0 s d t
j
r 4i 8 j m
x = -4 t= 2
dr v 2ti 4t 3 4t j d t 1 1 2 2 v 4i 24 j ms v 4 24 4 37 ms
a 2i 12t 4 j
2
a 2 i 4 4 j m s 2
所以
的方向 τ / / n 法线方向指向圆心 d( R ) ds v dτ d n n n n dτ d n Rdt Rdt R dt dt
dv v a n dt R
4-CGCS2000-平面坐标系
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
无角度变形，中央 经线长度比为 0.9996 ， 距中央经线约± 180km 处的两条割线上无变形。 亦采用6°或3°分带。 长度变形 < 0.04%
墨卡托投影 正轴等角切圆柱投影
投影后等经差经线等距平行。纬线间平行，并与经线 垂直。纬线间距不等。 任意两点间连线为等角航线，广泛用于航海图，航空 图，赤道附近地图。 高纬度面积变形大。
正轴等角割圆柱投影 有两条割线为标准纬线
web墨卡托投影将地球看做一个球体，精度差别 GIS常用坐标系 0.33%，基本可以忽略。可以认为基准面是WGS84椭球 。 2005年，谷歌地图中首次使用，国内外主流的Web地 图几乎都在使用。 以赤道为标准纬线，本初子午 线为中央经线，其交点为坐标 原点，向东向北为正。 X和Y轴的取值范围(米)：
1、点的带号和中央子午线可互算或直接在上图查； 2、知道点的经度，可以计算其带号和中央子午线；
通用坐标与自然坐标 例如：6度带19带的点 自然
x
x
y
y
通用
自然坐标 通用坐标
1、将各带的坐标纵轴西移500公里。 Y=y+500000m 2、前面加上投影带号。 Y通=n*1000000+Y 在我国，通用坐标Y值整数为8位，自然坐标6位以下。 注意软件输入输出的是通用坐标还是自然坐标
二 城市独立坐标系
城市独立坐标系
《城市测量规范》 《工程测量规范》 《公路勘测规范》 边长变形2.5cm/km（1/40000） 在城市测量和工程测量中，若直接在国家坐标系（ 54，80，2000）中建立控制网，高斯投影后会使长度的变 形较大，难以满足实际或工程上的需要。为此，往往需要 建立地方独立坐标系。
高斯正反算和换带
无角度变形，中央 经线长度比为 0.9996 ， 距中央经线约± 180km 处的两条割线上无变形。 亦采用6°或3°分带。 长度变形 < 0.04%
墨卡托投影 正轴等角切圆柱投影
投影后等经差经线等距平行。纬线间平行，并与经线 垂直。纬线间距不等。 任意两点间连线为等角航线，广泛用于航海图，航空 图，赤道附近地图。 高纬度面积变形大。
正轴等角割圆柱投影 有两条割线为标准纬线
web墨卡托投影将地球看做一个球体，精度差别 GIS常用坐标系 0.33%，基本可以忽略。可以认为基准面是WGS84椭球 。 2005年，谷歌地图中首次使用，国内外主流的Web地 图几乎都在使用。 以赤道为标准纬线，本初子午 线为中央经线，其交点为坐标 原点，向东向北为正。 X和Y轴的取值范围(米)：
1、点的带号和中央子午线可互算或直接在上图查； 2、知道点的经度，可以计算其带号和中央子午线；
通用坐标与自然坐标 例如：6度带19带的点 自然
x
x
y
y
通用
自然坐标 通用坐标
1、将各带的坐标纵轴西移500公里。 Y=y+500000m 2、前面加上投影带号。 Y通=n*1000000+Y 在我国，通用坐标Y值整数为8位，自然坐标6位以下。 注意软件输入输出的是通用坐标还是自然坐标
二 城市独立坐标系
城市独立坐标系
《城市测量规范》 《工程测量规范》 《公路勘测规范》 边长变形2.5cm/km（1/40000） 在城市测量和工程测量中，若直接在国家坐标系（ 54，80，2000）中建立控制网，高斯投影后会使长度的变 形较大，难以满足实际或工程上的需要。为此，往往需要 建立地方独立坐标系。
高斯正反算和换带
也谈自然坐标系中的符号规则
z J ’
二
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重
杯
为 乳 追 圈 软 王 括 玫 止 万 回甄 法 网
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U
万
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卜
1
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U
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~ ~ _ ~ … 以 表不 分 价 回 题 盯 仕 机 退
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四
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“
二
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评平面自然坐标系的正确使用方法
８ ５
向 行分解 在运用牛顿定理∑ Ｆ： 进 ，
。
＋
— ｎ ｏ的方向
Ｐ
时， 一定要注意， 公式的法向分解，
Ｐ
”
是指向曲线凹侧为正的。 故第（） 即法向分量发生错 ６ 式，
误。 所以正确的解法应是： 如图 ２建立坐标系， ， 则小球的运动方程为，
图 ２
切向：
维普资讯
第２ ４卷 第 ５期
Ｖｏ ． Ｎｏ． １２４ ５
丽 水 师 范 专 科 学 校 学 报
ＪＯＵＲＮＡＬ ＳＨＵＩＴＥＡＣＨＥＲＳ ＣＯＬＬＥＧＥ ＯＦ ＬＩ
２０ ０２年 １ ０月
ＯＣ ． ０ ２ ｔ２ ０
谈 平 面 自然 坐 标 系 的正 确 使 用 方 法
÷。 重新定义， 通过 不难发现 角与 角是两个完全不相同
概念的量。 两者不能混为一谈。 当然， 角与０角是有关系 的， 有时可以相等， 如图 １有时不相等， ； 如图 ３ 角与０角 ，
之间的关系往往相差一个整数角， 即 ＝ ＋ 。
从上面分析及重新定义夹角 ， 可以明白， 自然坐标与
（） ５ （） ６
ｆ：一ｍ ｓ Ｏ ｇｉ ； ｎ
．
（０ １） （１ １）
２
切向：
一
ｎ，
法向： 一
＝ ｍ ｃ Ｏ—Ｒ。 ｇｏ ｓ
法 ：车： ｃ 一 ， 向，Ｄ ｇｓ 尺 ， ０ ｊ ０
・
以下解法与正确解（ ） １ 相同（ 。 略） 其次， 概念要清楚。 要正确使用 自然坐标系还需重新定
， ＝
０ 所旋转的角度， 因此 的变 【２１ 生误 到自然坐标系的切线正 向ｒ ， —发错。 ｂ） 化范围是０ ≤ ≤ 。 而投影三角形中的 ０ 角是 自然坐标系
重点内容平面坐标系基本绘图命令高级绘图命令基本机械
三、高级绘图命令
3、绘制样条曲线
样条曲线是通过一系列指定点的光滑曲线。在绘制光滑曲线时，如 汽车外形的流线设计，使用样条曲线是非常有用的。AutoCAD 2006系统 提供了绘制样条曲线的命令SPLINE。使用SPLINE命令绘制样条曲线时， 需要指定样条曲线通过的控制点。可以绘制闭合的样条曲线，它的起点 和终点重合或是相切。在绘制样条曲线时，还可以改变样条拟合的偏差， 以改变样条与指定拟合点的距离。此偏差值越小，样条曲线就越靠近这 些点。
练习
AutoCAD机械制图基础教程（2006版）
三、高级绘图命令
4、绘制修订云线
修订云线命令主要用于图形文件的修改。对于一个复杂的图形文件， 可能要经过多次的修订，才能达到合适的结果，在修改的区域，可以使 用一个修订云线进行标明。查看修改结果的用户则可以直接发现图形修 改的结果，或者通过快速选择直接计算图形经过了多少处的修改，大大 节省了查找修改的时间。
练习
AutoCAD机械制图基础教程（2006版）
二、绘制基本图形
4、绘制正多边形
多边形指的是由三条以上的线段围成的封闭图形，它在工程制图中 用得很多。AutoCAD 2006提供了专门用来绘制正多边形的POLYGON命令， 利用这一命令可以方便地绘制出边数从3到1024的正多边形。
练习
AutoCAD机械制图基础教程（2006版）
二、绘制基本图形
7、绘制圆
AutoCAD 2006提供了六种画圆方式，这些方式是根据圆心、半径、 直径以及圆上的点等参数的不同组合来控制的。绘制圆的基本命令是 CIRCLE。
AutoCAD机械制图基础教程（2006版）
二、绘制基本图形
8、绘制点
选择“格式”|“点样式”菜单项，系统会弹出如图3-27所示的 “点样式”对话框。系统提供了20种点的样式供用户选择，点的大小也 可自行设置。
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# #
质点沿曲线的不变向运动， 另一类是质点在某一段曲 线上的往复运动。 )D ) 质点沿曲线的不变方向的运动 对于质点沿曲线的不变向运动问题， 我们作如下 规定： ! ) & 取沿切线质点的实际运动方向为质点切向的 正方向。 ! $ & 取沿曲线的法线并指向凹向的方向为坐标系 的法向正方向。 ! " & 取切向正方向与 H 轴正方向的夹角为 ! 角 的值。 这里请注意： ! ) & I< 总是大于零的， I< 为质点运动的微小路程。 ! $ & ! 总是大于零的， ! 为曲线上某一点的曲率半 径。 ! " & I" 的正负视具体问题而论。如图 )， I !J #K 而在图 $ 中 I ! L#。对 I !J # 的情况， #" #$ 。 #" L# 的情况， #! #$ ， 对 I! #!
$ ( ’"
& - /8 4 3
’
这里， 我们是以在第四象限质点向上运动， 来求 得运动微分方程的， 大家可推一下， 在其它情况下， 得 5 9 出的方程亦相同， 只是那时方程中的 !、 !、 ! 的正负将
>S
南昌航空工业学院学报 ( 自然科学版 @
>==O 年
发生变化。
求解结果的正确性。
参考文献 〔Q〕 N O P 周衍柏 8 理论力学教程， 高等教育出版社 第二版 8 8 ORST ，
力及媒质阻力， 我们依据前面的规定选取自然坐标系 如图 $ 所示。
图$ 取沿节线逆时针旋转方向为切向正方向， 沿法线 指向曲线凹向为法向正方向， 竖直向上方向为所选定 图. 质点所受的力为重力 +, 和曲线的支持 - 在自 然坐标系中得其运动微分方程： . $+ ( * $, *-./& ’ " / ! ( / *-&!" ! !"# ’ + . " " * ( *-./& 0 1 # 0 *-./& ! 0 1 / !0 ’ ’ # 的参考方向， 分析受力可得其运动微分方程。
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作者简介： 胡全连， 男， 讲师， 研究方向： 计算机应用。 )-., 年 $ 月生，
第.期
胡全连： 平面自然坐标系的选取及符号规则
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献2"3。 "4 ’ 质点在某段曲线上作往复运动 对于质点在某段曲线上作往复运动的问题，取 平面自然坐标系时， 我们作如下规定： ! " # 取沿切线逆时针旋转方向为切向正方向； ! ’ # 取沿法线并指向曲线凹向方为法向正方向； ! . # 取法线正方向与某固定方向的夹角为 ! 角的 值， 且角量正方向与逆时针方向符合右手螺旋法则。 下面我们以一具体例题作说明： 图’ ! $ # 若同时需建立平面直角坐标系， 则有关系式 %!" ! # $% 。 $& 下面以具体例题作说明： 例： 假定单摆在阻力的媒质中振动， 并假定振幅 5 成正比， 5， 很小， 故阻力与 ! 且可写成 6 ( / ’+7 3 ! 其 中 + 是摆锤质量， 3 为摆长， 7 为比例系数，试证 4’5 8 时， 单摆的振动周期为 $ ( ’ " 3 - / 4 ’3 证： 单摆作往复运动， 且受力为重力和摆锤的拉
$##) 年 - 月 第 ), 卷第 " 期
南昌航空工业学院学报 /012345 06 7438943: ;3<=>=1=? 06 *?20341=>845 @?893050:A
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$% &!" ! ( $& !’# 此时 ./& ! ( / & ’"2 ’ ’ % 由其它的已知条件解此方程组 ! " # 即可求出反作 用力改变符号 ! 即 - ( 1 # 时的具体位置， 详见参考文
引言
解质点力学问题， 关键的一步是运动微分方程的 建立。需要将质点的受力投影到各坐标轴方向， 利用 加速度在各坐标轴上的分量表达式列出微分方程。 在需用到平面自然坐标系时，由于牵涉的量比较多， 同时坐标系的选择比较灵活，从而极易得出错误方 程， 给解题带来相当大的困难， 若是重大工程力学问 题，将会造成不可估量的损失。如果能对此作些规 定，使各种不同情况下套用此规定能得出正确的结 果， 则对质点力学问题的分析将带来相当帮助。 在平面自然坐标系中， 取所研究的质点为坐标系 的原点， 两个互相垂直的轴分别沿曲线的切线的方向 ! 单位矢量为 > & 和法线方向 ! 单位矢量为 F & ， 由此可得
平面自然坐标系的选取及符号规则
胡全连
! 江西师范大学 江西 南昌 ""##$% &
摘
要
本文介绍了一种求解质点力学问题，当需要用到自然坐标系时的规定，能迅速得出可靠的运动 直角坐标系 ’()) 自然坐标系 切向 法向 !角
微分方程。 关键词 中图分类号 文献标识码： *
我们所遇到的质点力学问题一般有两类： 一类是
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例： 一质点穿在一光滑抛物线上方 & 处， 并从此 处无初速地滑下，抛物线的方程为 %’ ( ’ ’() 式中 * 为一常数， 问滑至何处， 曲线对质点的作用力将改变 符号。 这是质点作平面运动的问题， 由于牵涉到质点所 受的约束反力 ! 抛物线对质点的支持力 # 所以需取平 面自然坐标系，同时要用到曲线方程 %’ ( ’ ’(，所以 还需建立平面直角坐标系点沿抛物线不变向运动， 依 据前面规定， 选取坐标系如图 )。
出： - " #$ & ! #% . " ’ "’ & ( ’)* #! G !$ ， 分别为质点的切向加速度和法向加速 ’ #% # 度。 ’G 在平面自然坐标中， 质点的运动微分方程为： + + #! G ," #% !$ G ,) #
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平面自然坐标系的选举，符号规则 及应用实例
图)
收稿日期： $##) + #, + ),
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结论
在质点动力学问题求解时， 通过众多的理论及工
〔Q〕 N > P 上海市物理学会 8 理论物理习题集 8 高等教育出版社， ORSU 年， 第一版 8 〔Q 〕 N < P 梁昆淼 8 力学 8 高等教育出版社， ORR> 年第一版 8
程实例， 表明采用上述的平面自然坐标系的选取及符 号规则， 可以充分可靠地建立正确的微分方程， 保证
质点沿曲线的不变向运动， 另一类是质点在某一段曲 线上的往复运动。 )D ) 质点沿曲线的不变方向的运动 对于质点沿曲线的不变向运动问题， 我们作如下 规定： ! ) & 取沿切线质点的实际运动方向为质点切向的 正方向。 ! $ & 取沿曲线的法线并指向凹向的方向为坐标系 的法向正方向。 ! " & 取切向正方向与 H 轴正方向的夹角为 ! 角 的值。 这里请注意： ! ) & I< 总是大于零的， I< 为质点运动的微小路程。 ! $ & ! 总是大于零的， ! 为曲线上某一点的曲率半 径。 ! " & I" 的正负视具体问题而论。如图 )， I !J #K 而在图 $ 中 I ! L#。对 I !J # 的情况， #" #$ 。 #" L# 的情况， #! #$ ， 对 I! #!
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这里， 我们是以在第四象限质点向上运动， 来求 得运动微分方程的， 大家可推一下， 在其它情况下， 得 5 9 出的方程亦相同， 只是那时方程中的 !、 !、 ! 的正负将
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南昌航空工业学院学报 ( 自然科学版 @
>==O 年
发生变化。
求解结果的正确性。
参考文献 〔Q〕 N O P 周衍柏 8 理论力学教程， 高等教育出版社 第二版 8 8 ORST ，
力及媒质阻力， 我们依据前面的规定选取自然坐标系 如图 $ 所示。
图$ 取沿节线逆时针旋转方向为切向正方向， 沿法线 指向曲线凹向为法向正方向， 竖直向上方向为所选定 图. 质点所受的力为重力 +, 和曲线的支持 - 在自 然坐标系中得其运动微分方程： . $+ ( * $, *-./& ’ " / ! ( / *-&!" ! !"# ’ + . " " * ( *-./& 0 1 # 0 *-./& ! 0 1 / !0 ’ ’ # 的参考方向， 分析受力可得其运动微分方程。
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引言
解质点力学问题， 关键的一步是运动微分方程的 建立。需要将质点的受力投影到各坐标轴方向， 利用 加速度在各坐标轴上的分量表达式列出微分方程。 在需用到平面自然坐标系时，由于牵涉的量比较多， 同时坐标系的选择比较灵活，从而极易得出错误方 程， 给解题带来相当大的困难， 若是重大工程力学问 题，将会造成不可估量的损失。如果能对此作些规 定，使各种不同情况下套用此规定能得出正确的结 果， 则对质点力学问题的分析将带来相当帮助。 在平面自然坐标系中， 取所研究的质点为坐标系 的原点， 两个互相垂直的轴分别沿曲线的切线的方向 ! 单位矢量为 > & 和法线方向 ! 单位矢量为 F & ， 由此可得
平面自然坐标系的选取及符号规则
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摘
要
本文介绍了一种求解质点力学问题，当需要用到自然坐标系时的规定，能迅速得出可靠的运动 直角坐标系 ’()) 自然坐标系 切向 法向 !角
微分方程。 关键词 中图分类号 文献标识码： *
我们所遇到的质点力学问题一般有两类： 一类是
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例： 一质点穿在一光滑抛物线上方 & 处， 并从此 处无初速地滑下，抛物线的方程为 %’ ( ’ ’() 式中 * 为一常数， 问滑至何处， 曲线对质点的作用力将改变 符号。 这是质点作平面运动的问题， 由于牵涉到质点所 受的约束反力 ! 抛物线对质点的支持力 # 所以需取平 面自然坐标系，同时要用到曲线方程 %’ ( ’ ’(，所以 还需建立平面直角坐标系点沿抛物线不变向运动， 依 据前面规定， 选取坐标系如图 )。
出： - " #$ & ! #% . " ’ "’ & ( ’)* #! G !$ ， 分别为质点的切向加速度和法向加速 ’ #% # 度。 ’G 在平面自然坐标中， 质点的运动微分方程为： + + #! G ," #% !$ G ,) #
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平面自然坐标系的选举，符号规则 及应用实例
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结论
在质点动力学问题求解时， 通过众多的理论及工
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程实例， 表明采用上述的平面自然坐标系的选取及符 号规则， 可以充分可靠地建立正确的微分方程， 保证