广西第二轮中考数学题型专项突破重难点题型4 函数图象与性质综合题

题型（三） 函数图象与性质综合题1.（2017某某某某第10题）二次函数y =ax 2+bx +c （≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac ﹣b 2＜0；②3b +2c ＜0；③4a +c ＜2b ；④m （am +b ）+b ＜a （m ≠1），其中结论正确的个数是（ B ）A ．1B ．2C ．3D ．42.（2017凉山州）已知抛物线222y x x m =+--与x 轴没有交点，则函数my x=的大致图象是（ C ）3.（2017某某）在同一平面直角坐标系中，函数）（与0)0(≠=≠+=m xmy m m mx y 的图象可能是（ D ）A B C D4.（2017某某）已知二次函数y = (x +m )2- n 的图象如图所示，则一次函数y = mx + n 与反比例函数mn y x=的图象可能是（ C ）A B C D5.（2017某某）已知抛物线2y ax bx c =++与反比例函数by x=y bx ac =+的图象可能是（ B ） x yOD ．x yOC ． x yOB ． x yOA ．A. B ． C. D ． 6.（2017潍坊）一次函数b ax y +=与反比例函数xba y -=，其中0<ab ,b a 、为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是（ C ）7.（2017某某）一次函数b ax y +=和反比例函数xcy =在同一个平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数c bx ax y ++=2的图象可能是（ C ）A. B ． C. D ．8.（2017某某）0a ≠，函数a y x=与2y ax a =-+在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）答案：D解析：如果a ＞0，则反比例函数a y x=图象在第一、三象限，二次函数2y ax a =-+图象开口向下， 排除A ；二次函数图象与Y 轴交点（0，a ）在y 轴正半轴，排除B ； 如果a ＜0，则反比例函数a y x=图象在第二、四象限，二次函数2y ax a =-+图象开口向上，排除C ；故选D 。

动点E在BC段的平均速度是1 cm/s，∴动点E在
BC段的运动时间为：4÷1=4（s）. 1 1 ∵y= · AB· BE= ×6×t=3t，∴y=3t (0≤t≤4), 2 2
∴当0≤t≤4时，y随t的增大而增大，故排除A、 B；②动点E在CD上运动.∵CD=AB=6 cm，动
点E在CD段的平均速度是2 cm/s，∴动点E在
k1 AM 别为M和N，则有以下的结论：① ； 1 CN k2
②阴影部分面积是 （k1+k2）；③当 2 ∠AOC=90°时，|k1|=|k2|；④若OABC是菱
形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对 称.
①④ （把所有正确的结 其中正确的结论是_______
论的序号都填上）.
【解析】本题涉及的知识点有反比例函数的图
CD段的运动时间为：6÷2=3（s）. 1 1 ∵y= · AB· BC= ×6×4=12，∴y=12（4＜ 2 2 t≤7），∴当4＜t≤7时，y=12；③动点E在DA 上运动.∵DA=BC=4 cm，动点E在DA段的平 均速度是4 cm/s，∴动点E在DA段的运动时间 为：4÷4=1（s）.
1 1 ∵y= · AB· AE= ×6×［4-4（t-7）］=96-12t， 2 2 ∴y=96-12t（7＜t≤8），∴当7＜t≤8时，y随t的
增大而减小，故排除D.综上可知C选项正确.
【方法指导】解决此类几何图形中的动点问 题判断函数图象的方法为：1.根据题意确定 出动点在几何图形不同的线段上运动时的范
围，得到自变量t（或x）的取值范围；2.在
某一个确定的范围内，用含自变量t（或x）
的代数式表示出所需的线段长，利用面积公
式或三角形相似的性质，表示出所要求的图 形面积或线段比，化简得出y与t（或x）的关 系式；3.根据关系式，结合自变量取值范围， 判断出函数图象.

6．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论： ①b＜0，c＞0；②a＋b＋c＜0；③方程的两根之和大于0；④a－b＋c＜0 ，其中正确的个数是( B )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
点拨：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴在 y 轴右侧，且抛物线 与 y 轴交于正半轴，∴b＞0，c＞0，故①错误；由图象知，当 x＝1 时，y＜0， 即 a＋b＋c＜0，故②正确，令方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根为 x1，x2，由对称轴 x ＞0，可知x1＋2 x2＞0，即 x1＋x2＞0，故③正确；由图象可知抛物线与 x 轴的左侧 交点的横坐标的取值范围为：－1＜x＜0，∴当 x＝－1 时，y＝a－b＋c＜0，故 ④正确．故选 B
数学
广西专用
专题二 选填重难点题型突破
命题规律总结：反比例函数的图象与性质一般在选择题或填空题中考 查，以填空题为主．考查类型有以下三种：1.单纯考查反比例函数的图 象与性质；2.反比例函数与一次函数结合；3.反比例函数与几何图形结合 ，设问形式有：①求反比例函数解析式；②求代数式的值；③求三角形 的面积；④函数值比较大小．
命题规律总结：图形判定问题考查题型有选择题和填空题，考查类
型有以下几种：1.全等三角形的判定；2.相似三角形的判定；3.等腰三
角形的判定；4.特殊四边形的判定．设问形式有：①添加条件判定相似
三角形或特殊四边形；②找出图中全等三角形或等腰三角形的个数．
【例3】 (2016·武汉)平面直角坐标系中，已知A(2，2)，B(4，0)．
【例2】 如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示， 给出以下四个结论：①abc＝0；②a＋b＋c＞0；③a＞b；④4ac－b2＜0. 其中正确的结论有( C )

题型（四）二次函数与几何综合1.（2017某某某某第25题）如图，抛物线21144y x x c 与x 轴的负半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，连结AB ，点C （6，215）在抛物线上，直线AC 与y 轴交于点D . (1)求c 的值及直线AC 的函数表达式；(2)点P 在x 轴正半轴上，点Q 在y 轴正半轴上，连结PQ 与直线AC 交于点M ，连结MO 并延长交AB 于点N ，若M 为PQ 的中点.①求证：APM AON △∽△；②设点M 的横坐标为m ，求AN 的长(用含m 的代数式表示).【答案】(1)c=-3; 直线AC 的表达式为：y=34x+3；（2）①证明见解析；②52024m m ++ 【解析】试题分析：（1）把点C(6,152)代入21144y x x c 中可求出c 的值；令y=0，可得A 点坐标，从而可确定AC 的解析式；（2）①分别求出tan∠OAB=tan∠OAD=34，得∠OAB=tan∠OAD，再由M 就PQ 的中点，得OM=MP ，所以可证得∠APM=∠AON，即可证明APM AON △∽△；②过M 点作ME⊥x 轴，垂足为E ，分别用含有m 的代数式表示出AE 和AM 的长，然后利用APM AON △∽△即可求解.（1）把点C(6,152)代入21144y x x c 解得：c=-3∴211344y x x当y=0时，2113=044x x 解得：x 1=-4，x 2=3∴A（-4，0） 设直线AC 的表达式为：y=kx+b(k≠0)把A （-4，0），C(6,152)代入得0=-4+b 15=6+2k k b ⎧⎪⎨⎪⎩解得343.k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线AC的表达式为：y=34x+3.(2)①在RtΔAOB中，tan∠OAB=34 OBOA=.在RtΔAOD中，tan∠OAD=34ODOA=，∴∠OAB=∠OAD.∵在RtΔPOQ中，M为PQ的中点，∴OM=MP.∴∠MOP=∠MPO. ∵∠MPO=∠AON，∴∠APM=∠AON.∴ΔAPM∽ΔAON.②如图,过点M作ME⊥x轴于点E.又∵OM=MP，∴OE=EP.∵点M横坐标为m，∴AE=m+4，AP=2m+4.∵tan∠OAD=34，∴cos∠EAM=cos∠OAD=45.∴AM=54AE=5(4)4m+.∵ΔAPM∽ΔAON，∴AM APAN AO=.∴AN=52024AM AO mAP m+=+.考点：二次函数综合题.2.（2017某某A卷第26题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线3223x3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上．（1）求直线AE的解析式；（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值；（3）点G是线段CE的中点，将抛物线y=33x2﹣233x﹣3沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在一点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=33x+33．（2）3，（3）点Q的坐标为（3，-43+2213），Q′（3，-43-2213）或（3，23）或（3，﹣235）．【解析】试题分析：（1）抛物线的解析式可以变天为y=33(x+1)(x-3),从而可得到点A和点B的坐标，然后再求得点E的坐标，设直线AE的解析式为y=kx+b，将点A和点E的坐标代入，求得k和b的值，从而得到AE的解析式；（3）由平移后的抛物线经过点D，可得到点F的坐标，利用中点坐标公式可求得点G的坐标，然后分为QG=FG、QG=QF、FQ=FQ 三种情况求解即可.试题解析：（1）∵y=33x 2﹣233x ﹣，∴y=33（x+1）（x ﹣3）． ∴A（﹣1，0），B （3，0）．当x=4时，y=533． ∴E（4，533）． 设直线AE 的解析式为y=kx+b ，将点A 和点E 的坐标代入得：-05343k b k b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 解得：k=33，b=33． ∴直线AE 的解析式为y=33x+33． （2）设直线CE 的解析式为y=mx ﹣3，将点E 的坐标代入得：4m ﹣3=533，解得：m=233． ∴直线CE 的解析式为y=233x ﹣3． 过点P 作PF∥y 轴，交CE 与点F ．设点P 的坐标为（x ，33x 2﹣33x 3），则点F （x ，33x 3），则FP=（233x ﹣3）﹣（33x 2﹣233x ﹣3）=3-3x 2+433x ． ∴△EPC 的面积=12×（3-3x 2+433x ）×4=﹣233x 2+833x ． ∴当x=2时，△EPC 的面积最大． ∴P（2，﹣3）．如图2所示：作点K 关于CD 和CP 的对称点G 、H ，连接G 、H 交CD 和CP 与N 、M ．∵K 是CB 的中点，∴k（32，﹣32）．∵点H 与点K 关于CP 对称，∴点H 的坐标为（3233．∵点G 与点K 关于CD 对称， ∴点G （0，0）． ∴KM+MN+NK=MH+MN+GN．当点O 、N 、M 、H 在条直线上时，KM+MN+NK 有最小值，最小值=GH ．22333（）+()22．. ∴KM+MN+NK 的最小值为3． （3）如图3所示：∵y′经过点D ，y′的顶点为点F ，∴点F （3，﹣33）． ∵点G 为CE 的中点，∴G（2，33）． 22532211+（）=3． ∴当FG=FQ 时，点Q （3，-43+2213），Q′（3，3-2213）．当GF=GQ 时，点F 与点Q ″关于y=33对称， ∴点Q″（3，3．当QG=QF 时，设点Q 1的坐标为（3，a ）．由两点间的距离公式可知：432231+（-a ）3a=23．∴点Q 1的坐标为（3，﹣235）． 综上所述，点Q 的坐标为（3，3+2213），Q′（3，-43-2213）或（3，33，﹣235）．考点：二次函数综合题.3.（2017某某庆阳第28题）如图，已知二次函数y=ax 2+bx+4的图象与x 轴交于点B （-2，0），点C （8，0），与y 轴交于点A ．（1）求二次函数y=ax 2+bx+4的表达式；（2）连接AC ，AB ，若点N 在线段BC 上运动（不与点B ，C 重合），过点N 作NM∥AC，交AB 于点M ，当△AMN 面积最大时，求N 点的坐标；.（3）连接OM ，在（2）的结论下，求OM 与AC 的数量关系．【答案】（1）y=﹣14x 2+32x+4；（2）N （3，0）；（3）OM=14AC ． 【解析】试题分析：（1）由B 、C 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）可设N （n ，0），则可用n 表示出△ABN 的面积，由NM∥AC，可求得AMAB，则可用n 表示出△AMN 的面积，再利用二次函数的性质可求得其面积最大时n 的值，即可求得N 点的坐标； （3）由N 点坐标可求得M 点为AB 的中点，由直角三角形的性质可得OM=12AB ，在Rt△AOB 和Rt△AOC 中，可分别求得AB 和AC 的长，可求得AB 与AC 的关系，从而可得到OM 和AC 的数量关系． 试题解析：（1）将点B ，点C 的坐标分别代入y=ax 2+bx+4可得424064840a b a b ⎧-+=⎨++=⎩， 解得1432a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴二次函数的表达式为y=﹣14x 2+32x+4；（2）设点N 的坐标为（n ，0）（﹣2＜n ＜8）， 则BN=n+2，=8﹣n ． ∵B（﹣2，0），C （8，0）， ∴BC=10， 在y=﹣14x 2+32x+4中，令x=0，可解得y=4， ∴点A （0，4），OA=4， ∴S △ABN =12BN•OA=12（n+2）×4=2（n+2）， ∵MN∥AC， ∴810AM NC nAB BC -==∴810AMN ABNS AM nSAB -==， ∴38n11(8)(2)(n 3)51055AMNABNSS n n -==-+=--+ ∵﹣15＜0， ∴当n=3时，即N （3，0）时，△AMN 的面积最大； （3）当N（3，0）时，N为BC 边中点，∵MN∥AC， ∴M 为AB 边中点， ∴OM=12AB ，====∴AB=12AC ， ∴OM=14AC ． 考点：二次函数综合题．4.（2017某某某某第26题）如图甲，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c 与x轴的另一个交点为A，顶点为P．（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）．【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）（2，32）或（2，7）或（2，﹣1+25）或（2，﹣1﹣25）；（3）E点坐标为（32，34）时，△CBE的面积最大．【解析】试题分析：（1）由直线解析式可求得B、C坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由抛物线解析式可求得P点坐标及对称轴，可设出M点坐标，表示出MC、MP和PC的长，分MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，可分别得到关于M点坐标的方程，可求得M点的坐标；（3）过E作EF⊥x轴，交直线BC于点F，交x轴于点D，可设出E点坐标，表示出F点的坐标，表示出EF的长，进一步可表示出△CBE的面积，利用二次函数的性质可求得其取得最大值时E点的坐标．试题解析：（1）∵直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，∴B（3，0），C（0，3），把B、C坐标代入抛物线解析式可得9+3b03cc⎧+=⎨=⎩，解得b43c⎧=⎨=⎩，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线对称轴为x=2，P（2，﹣1），设M（2，t），且C（0，3），∴MC=2222+（3)613t t t -=-+，MP=|t+1|，PC=222+（-1-3）=25，∵△CPM 为等腰三角形，∴有MC=MP 、MC=PC 和MP=PC 三种情况，（3）如图，过E 作EF⊥x 轴，交BC 于点F ，交x 轴于点D ，设E （x ，x 2﹣4x+3），则F （x ，﹣x+3）， ∵0＜x ＜3，∴EF=﹣x+3﹣（x 2﹣4x+3）=﹣x 2+3x ， ∴S △CBE =S △EFC +S △EFB =12EF•OD+12EF•BD=12EF•OB=12×3（﹣x 2+3x ）=﹣32（x ﹣32）2+278， ∴当x=32时，△CBE 的面积最大，此时E 点坐标为（32，34）， 即当E 点坐标为（32，34）时，△CBE 的面积最大． 考点：二次函数综合题．5.（2017某某某某第24题）已知点(1,1),(4,6)A B -在抛物线2y ax bx =+上．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点F 的坐标为(0,)(2)m m >，直线AF 交抛物线于另一点G ，过点G 作x 轴的垂线，垂足为H ，设抛物线与x 轴的正半轴交于点E ，连接,FH AE ，求证//FH AE ；（3）如图2，直线AB 分别交x 轴，y 轴于,C D 两点，点P 从点C 出发，沿射线CD 方向匀速运动，2个单位长度，同时点Q 从原点O 出发，沿x 轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度，点M 是直线PQ 与抛物线的一个交点，当运动到t 秒时，2QM PM =，直接写出t 的值．【答案】（1）抛物线的解析式为：y=12x 2-12x ；（2）证明见解析；（3）151136±；13892±.【解析】试题分析：（1）把A ，B 两点坐标代入2y ax bx =+，解方程组求出a ，b 的值，即可得到二次函数解析式；（2）过点A 作AN⊥ｘ轴于点N ，则N(-1，0)，再求出E 点坐标，从而可求tan∠AEN=12,再求出直线AF 的解析式与抛物线方程联立,求出点G 的坐标,则可得到tan∠FHO=12，从而得证； （3）进行分类讨论即可得解.试题解析：（1）∵点A （-1，1），B （4，6）在抛物线y=ax 2+bx 上 ∴a -b=1，16a+4b=6 解得：a=12，b=-12∴抛物线的解析式为：y=12x 2-12x （2）过点A 作AN⊥x 轴于点N ，则N(-1，0)∴AN=1当y=0时，12x2-12x=0解得：x=0或1 ∴E（1，0）∴EN=2∴tan∠AEN=AN1= EN2设直线AF的解析式为y=kx+m∵A (-1,1)在直线AF上，∴-k+m=1即：k=m-1∴直线AF的解析式可化为：y=(m-1)x+m与y=12x2-12x联立，得（m-1）x+m=12x2-12x∴(x+1)（x-2m）=0 ∴x=-1或2m∴点G的横坐标为2m ∴OH=2m∵OF=m∴tan∠FHO=FO1= HO2∴∠AEN=∠FHO ∴FH∥AE（3）151136±；13892±.考点：二次函数综合题.6.（2017某某某某第24题）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线25y ax bx 与x 轴交于1,0A，5,0B 两点，与y 轴交于点C . (1)求抛物线的函数表达式；(2)若点D 是y 轴上的一点，且以,,B C D 为顶点的三角形与ABC △相似，求点D 的坐标；(3)如图2，CE x ∥轴玮抛物线相交于点E ，点H 是直线CE 下方抛物线上的动点，过点H 且与y 轴平行的直线与BC ，CE 分别交于点F ，G ，试探究当点H 运动到何处时，四边形CHEF 的面积最大，求点H 的坐标及最大面积； (4)若点K 为抛物线的顶点，点4,M m 是该抛物线上的一点，在x 轴，y 轴上分别找点P ，Q ，使四边形PQKM 的周长最小，求出点P ，Q 的坐标.【答案】(1) y=x 2﹣4x ﹣5，(2) D 的坐标为（0，1）或（0，103）；(3) 当t=52时，四边形CHEF 的面积最大为252．(4) P （137，0），Q （0，﹣133）． 【解析】试题分析：（1）根据待定系数法直接抛物线解析式；（2）分两种情况，利用相似三角形的比例式即可求出点D 的坐标；（3）先求出直线BC 的解析式，进而求出四边形CHEF 的面积的函数关系式，即可求出最大值； （4）利用对称性找出点P ，Q 的位置，进而求出P ，Q 的坐标．试题解析：（1）∵点A（﹣1，0），B（5，0）在抛物线y=ax2+bx﹣5上，∴50 25550a ba b⎧--=⎨+-=⎩，∴a=1=-4b⎧⎨⎩，∴抛物线的表达式为y=x2﹣4x﹣5，（2）如图1，令x=0，则y=﹣5，∴C（0，﹣5），∴OC=OB，∴∠OBC=∠OCB=45°，∴AB=6，2要使以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，则有AB BCCD BC=或AB BCBC CD=，①当AB BCCD BC=时，CD=AB=6，∴D（0，1），②当AB BCBC CD=时，652 52CD=，∴CD=253，∴D（0，103），即：D的坐标为（0，1）或（0，103）；（3）设H（t，t2﹣4t﹣5），∵CE∥x轴，∴点E的纵坐标为﹣5，∵E在抛物线上，∴x2﹣4x﹣5=﹣5，∴x=0（舍）或x=4，∴E（4，﹣5），∴CE=4，∵B（5，0），C（0，﹣5），∴直线BC的解析式为y=x﹣5，∴F（t，t﹣5），∴HF=t﹣5﹣（t2﹣4t﹣5）=﹣（t﹣52）2+254，∵CE∥x轴，HF∥y轴，∴CE⊥HF，∴S四边形CHEF=12CE•HF=﹣2（t﹣52）2+252，当t=52时，四边形CHEF的面积最大为252．（4）如图2，∵K为抛物线的顶点，∴K（2，﹣9），∴K关于y轴的对称点K'（﹣2，﹣9），∵M（4，m）在抛物线上，∴M（4，﹣5），∴点M关于x轴的对称点M'（4，5），∴直线K'M'的解析式为y=73x﹣133，∴P（137，0），Q（0，﹣133）．考点：二次函数综合题．7.（2017某某建设兵团第23题）如图，抛物线y=﹣12x2+32x+2与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．（1）试求A，B，C的坐标；（2）将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD．3①求点D的坐标；②判断四边形ADBC的形状，并说明理由；（3）在该抛物线对称轴上是否存在点P，使△BMP与△BAD相似？若存在，请直接写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1) A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）；(2)①D（3，﹣2）；②四边形ADBC是矩形；理由见解析，(3) 点P的坐标为：（1.5，1.25），（1.5，﹣1.25），（1.5，5），（1.5，﹣5）．【解析】试题分析：（1）直接利用y=0，x=0分别得出A，B，C的坐标；（2）①利用旋转的性质结合三角形各边长得出D点坐标；②利用平行四边形的判定方法结合勾股定理的逆定理得出四边形ADBC的形状；（3）直接利用相似三角形的判定与性质结合三角形各边长进而得出答案．试题解析：（1）当y=0时，0=﹣12x2+32x+2，解得：x1=﹣1，x2=4，则A（﹣1，0），B（4，0），当x=0时，y=2，故C（0，2）；（2）①过点D作DE⊥x轴于点E，∵将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD，∴D E=2，AO=BE=1，OM=ME=1.5，∴D（3，﹣2）；②∵将△ABC 绕AB 中点M 旋转180°，得到△BAD， ∴AC=BD，AD=BC ，∴四边形ADBC 是平行四边形，AB=5，∴AC 2+BC 2=AB 2， ∴△ACB 是直角三角形， ∴∠ACB=90°， ∴四边形ADBC 是矩形；（3）由题意可得： 则12BD AD =， 当△BMP∽△ADB 时，12PM BD BM AD ==， 可得：BM=2.5， 则PM=1.25， 故P （1.5，1.25）， 当△BMP 1∽△ABD 时， P 1（1.5，﹣1.25）， 当△BMP 2∽△BDA 时， 可得：P 2（1.5，5）， 当△BMP 3∽△BDA 时， 可得：P 3（1.5，﹣5），综上所述：点P 的坐标为：（1.5，1.25），（1.5，﹣1.25），（1.5，5），（1.5，﹣5）． 考点：二次函数综合题．8.(2017某某第23题)如图，直线23y x c =-+与x 轴交于点(3,0)A ，与y 轴交于点B ，抛物线243y x bx c =-++经过点A ，B .（1）求点B 的坐标和抛物线的解析式；（2）M （m ，0）为x 轴上一个动点，过点M 垂直于x 轴的直线与直线AB 和抛物线分别交于点P 、N ， ①点M 在线段OA 上运动，若以B ，P ，N 为顶点的三角形与APM ∆相似，求点M 的坐标；②点M 在x 轴上自由运动，若三个点M ，P ，N 中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M ，P ，N 三点为“共谐点”.请直接写出使得M ，P ，N 三点成为“共谐点”的m 的值.【答案】（1）B （0，2），2410233y x x =-++；（2）①点M 的坐标为（118，0）或M （52，0）；②m=-1或m=14-或m=12. 【解析】试题分析：(1) 把点(3,0)A 代入23y x c =-+求得c 值，即可得点B 的坐标；抛物线243y x bx c =-++经过点(3,0)A ，即可求得b 值，从而求得抛物线的解析式；（2）由MN x ⊥轴，M （m ，0），可得N(2410,233m m m -++ )，①分∠NBP=90°和∠BNP =90°两种情况求点M 的坐标；②分N 为PM 的中点、P 为NM 的中点、M 为PN 的中点3种情况求m 的值. 试题解析： （1）直线23y x c =-+与x 轴交于点(3,0)A ， ∴2303c -⨯+=，解得c=2 ∴B（0，2），∵抛物线243y x bx c =-++经过点(3,0)A ， ∴2433203b -⨯++=，∴b=103∴抛物线的解析式为2410233y x x =-++； （2）∵MN x ⊥轴，M （m ，0），∴N(2410,233m m m -++ )①有（1）知直线AB 的解析式为223y x =-+，OA=3，OB=2 ∵在△APM 中和△BPN 中，∠APM=∠BPN, ∠AMP=90°， 若使△APM 中和△BPN 相似，则必须∠NBP=90°或∠BNP =90°， 分两种情况讨论如下：（I ）当∠NBP=90°时，过点N 作NC y ⊥轴于点C ， 则∠NBC+∠BNC=90°，NC=m ， BC=22410410223333m m m m -++-=-+ ∵∠NBP=90°，∴∠NBC+∠ABO=90°， ∴∠BNC=∠ABO， ∴Rt△NCB∽ Rt△BOA∴NC CB OB OA = ,即24103323m mm -+= ，解得m=0（舍去）或m=118 ∴M（118，0）；（II ）当∠BNP=90°时， BN ⊥MN ， ∴点N 的纵坐标为2，∴24102233m m -++= 解得m=0（舍去）或m=52∴M（52，0）；综上，点M 的坐标为（118，0）或M （52，0）；②m=-1或m=14-或m=12.考点：二次函数综合题.9.(2017某某某某第25题)如图，已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象经过)2,0(),0,4(),0,1(C B A -三点. （1）求该二次函数的解析式；（2）点D 是该二次函数图象上的一点，且满足CAO DBA ∠=∠(O 是坐标原点)，求点D 的坐标；（3）点P 是该二次函数图象上位于一象限上的一动点，连接PA 分别交y BC ,轴与点,,F E 若CEF PEB ∆∆,的面积分别为,,21S S 求21S S -的最大值.【答案】（1）223212++-=x x y ；（2）满足条件的点D 有：),2,3(1D )18,5(2--D ；（3）当35=t 时，21S S -有最大值，最大值为：625.【解析】试题解析：（1）由题意得：设抛物线的解析式为：)4)(1(-+=x x a y ； 因为抛物线图像过点)2,0(C ,,24=-∴a 解得21-=a所以抛物线的解析式为：)4)(1(21-+-=x x y 即：223212++-=x x y (2)设BD 直线与y 轴的交点为),0(t M8,24;2tan tan ;,±==∴=∠=∠∴∠=∠∴∠=∠t t CAO MBA CAO MBA CAO DBA 即：当8=t 时，直线BD 解析式为：82+-=x y⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧++-=+-=23,04,223218222112y x y x x x y x y 解得：联立 所以，点)2,3(D当8-=t 时，直线BD 解析式为：82-=x y⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧++-=-=185,04,223218222112y x y x x x y x y 解得：联立 所以，点)18,5(--D综上：满足条件的点D 有：),2,3(1D )18,5(2--D （3）：过点P 作PH//y 轴交BC 直线于点H ，设)22321,(2++-y t t P BC 直线的解析式为221+-=x y 故：)221,(+-t t H ;2212t t y y PH H p +-=-=∴AP 直线的解析式为：;2120),1)(221(t y x x t y -==++-=得：取故：;21)212(2),212,0(t t CF t F =--=-;5,221)1)(22(t t x x y x t y E -=⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=解之得：联立)55)(221(21))((2121t t t t x x y y S E B H P --+-=--=∴；ttt S -⋅⋅=52212 ttt t t t t S S ----+-=-∴5221)55)(221(21221 即：;625)35(235232221+--=+-=-t t t S S所以，当35=t 时，21S S -有最大值，最大值为：625.10.（2016·某某随州·12分）已知抛物线y=a （x+3）（x ﹣1）（a≠0），与x 轴从左至右依次相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，经过点A 的直线y=﹣x+b 与抛物线的另一个交点为D ．（1）若点D 的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；（2）若在第三象限内的抛物线上有点P ，使得以A 、B 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P 的坐标； （3）在（1）的条件下，设点E 是线段AD 上的一点（不含端点），连接BE ．一动点Q 从点B 出发，沿线段BE 以每秒1个单位的速度运动到点E ，再沿线段ED 以每秒个单位的速度运动到点D 后停止，问当点E 的坐标是多少时，点Q 在整个运动过程中所用时间最少？解：（1）∵y=a（x+3）（x﹣1），∴点A的坐标为（﹣3，0）、点B两的坐标为（1，0），∵直线y=﹣x+b经过点A，∴b=﹣3，∴y=﹣x﹣3，当x=2时，y=﹣5，则点D的坐标为（2，﹣5），∵点D在抛物线上，∴a（2+3）（2﹣1）=﹣5，解得，a=﹣，则抛物线的解析式为y=﹣（x+3）（x﹣1）=﹣x2﹣2x+3；（2）作PH⊥x轴于H，设点P的坐标为（m，n），当△BPA∽△ABC时，∠BAC=∠PBA，∴tan∠BAC=tan∠PBA，即=，∴=，即n=﹣a（m﹣1），∴，解得，m1=﹣4，m2=1（不合题意，舍去），当m=﹣4时，n=5a，∵△BPA∽△ABC，∴=，即AB2=AC•PB，∴42=•，解得，a1=（不合题意，舍去），a2=﹣，则n=5a=﹣，∴点P的坐标为（﹣4，﹣）；当△PBA∽△ABC时，∠CBA=∠PBA，∴tan∠CBA=tan∠PBA，即=，∴=，即n=﹣3a（m﹣1），∴，解得，m1=﹣6，m2=1（不合题意，舍去），当m=﹣6时，n=21a，∵△PBA∽△ABC，∴=，即AB2=BC•PB，∴42=•，解得，a1=（不合题意，舍去），a2=﹣，则点P的坐标为（﹣6，﹣），综上所述，符合条件的点P的坐标为（﹣4，﹣）和（﹣6，﹣）；（3）作DM∥x轴交抛物线于M，作DN⊥x轴于N，作EF⊥DM于F，则tan∠DAN===，∴∠DAN=60°，∴∠EDF=60°，∴DE==EF，∴Q的运动时间t=+=BE+EF，∴当BE和EF共线时，t最小，则BE⊥DM，y=﹣4．11.（2016·某某某某·12分）抛物线y ＝ax 2＋c 与x 轴交于A 、B 两点，顶点为C ，点P 为抛物线上，且位于x 轴下方．（1）如图1，若P(1，－3)、B(4，0)， ① 求该抛物线的解析式；② 若D 是抛物线上一点，满足∠DPO ＝∠POB ，求点D 的坐标；（2） 如图2，已知直线PA 、PB 与y 轴分别交于E 、F 两点．当点P 运动时，OCOFOE +是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．xx y yPFEA B C O O CB A【考点】二次函数综合；考查了待定系数法求函数解析式；平行线的判定；函数值相等的点关于对称轴对称。

解：（1）∵y＝ax2＋4ax＋b＝a（x＋2）2－4a＋b，
∴二次函数图象的顶点坐标为（－2，－4a＋b）.
（2）由（1）得二次函数图象的对称轴为直线x＝－2.
分两种情况讨论： ①当a＞0时，二次函数图象的开口向上. ∵｜3－（－2）｜＞｜1－（－2）｜＞｜（－1）－（－2）｜＝｜（－3）－ （－2）｜，∴d＞c＞e＝f； ②当a＜0时，二次函数图象的开口向下. ∵｜3－（－2）｜＞｜1－（－2）｜＞｜（－1）－（－2）｜＝｜（－3）－ （－2）｜，∴d＜c＜e＝f. 综上所述，当a＞0时，d＞c＞e＝f；1（a＞0）的图象经过点（3，1）， ∴1＝a（3－2）2－1，解得a＝2， ∴二次函数的解析式为y＝2（x－2）2－1.
（2）分两种情况讨论：
（1）①若函数y＝4 044x，当t＝1时，求函数y的“共同体函数”h的值； ②若函数y＝kx＋b（k≠0，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析 式；
（3）由（1）知二次函数图象的对称轴为直线x＝－2. 分两种情况讨论：
2.（2022·丽水）如图，已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在二次函数y＝a（x－ 2）2－1（a＞0）的图象上，且x2－x1＝3. （1）若二次函数的图象经过点（3，1）. ①求这个二次函数的解析式； ②若y1＝y2，求顶点到MN的距离； （2）当x1≤x≤x2时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的 异侧，求a的取值范围.
专项突破四 二次函数性质综合问题
类型一 二次函数对称性、增减性问题
【例】（2022·遵义）新定义：我们把抛物线y＝ax2＋bx＋c（其中ab≠0）与抛物 线y＝bx2＋ax＋c称为“关联抛物线”.例如，抛物线y＝2x2＋3x＋1的“关联抛物 线”为y＝3x2＋2x＋1.已知抛物线C1：y＝4ax2＋ax＋4a－3（a≠0）的“关联抛物 线”为C2. （1）写出抛物线C2的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标； （2）若a＞0，过x轴上一点P作x轴的垂线，分别交抛物线C1，C2于点M，N. ①当MN＝6a时，求点P的坐标； ②当a－4≤x≤a－2时，抛物线C2的最大值与最小值的差为2a，求a的值.

=
(+ )-


,∵BE= - ,

-(- )


+

,化简得(t-3)2=4,解得 t=5 或 t=1,
因为点 M 在对称轴右侧,所以 t=5,所以源自=+

.法 2:过点 C 作 CH⊥m,垂足为 H,连接 CM,




由(2)知 CM=R= ,CH=R-1= .
2






解: (2)当 a= 时,抛物线的解析式为 y= x2+bx+ ,∴抛物线的对称轴为直线 x=-b,Δ=b2-3,仅当 x=0,x=1 或
x=-b 时,抛物线上的点可能离 x 轴最远,
















∴0+0+ = , +b+ =2+b, (-b)2+b·(-b)+ =- b2+ ,ⅰ)当|2+b|=3 时,b=1 或 b=-5,且顶点不在范围内,满足条
相等,求定点 F 的坐标.
•11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。
•12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。
•13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2021/11/52021/11/5November 5, 2021
解:(1) ②由于抛物线与 x 轴相交于点 E,F,

∴Δ>0,即(-2a-1)2-4a× >0,∴4a2-2a+1>0,得 a 为任意实数.

重难点题型(二) 新定义问题1．（2015·永州）定义［x］为不超过x的最大整数，如［3。

6］＝3，［0。

6]＝0，［－3。

6]＝－4.对于任意实数x，下列式子中错误的是(C）A．[x]＝x（x为整数)B．0≤x－［x]＜1C．[x＋y]≤［x]＋［y]D．[n＋x］＝n＋［x]（n为整数）2．(2015·宜宾）在平面直角坐标系中，任意两点A（x1，y1）,B（x2，y2)，规定运算：①A⊕B＝（x1＋x2，y1＋y2)；②A⊗B＝x1x2＋y1y2；③当x1＝x2且y1＝y2时，A＝B.有下列四个命题：（1)若A(1,2），B（2,－1）,则A⊕B＝(3，1），A⊗B＝0；（2)若A⊕B＝B⊕C,则A＝C;（3）若A⊗B＝B⊗C，则A＝C；(4）对任意点A，B，C，均有（A⊕B）⊕C＝A⊕（B⊕C)成立．其中正确命题的个数为(C)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2016·梅州)对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b＝错误!，这里等式右边是实数运算．例如:1⊗3＝11－32＝－错误!。

则方程x⊗（－2）＝错误!－1的解是（B）A．x＝4 B．x＝5 C．x＝6 D．x＝7 4．(2016·岳阳)对于实数a,b，我们定义符号max{a，b｝的意义为当a≥b时，max｛a，b}＝a;当a＜b时，max｛a，b}＝b；如:max{4，－2｝＝4,max{3，3}＝3，若关于x的函数为y ＝max｛x＋3，－x＋1},则该函数的最小值是(B）A．0 B．2 C．3 D．45．（2016·湖州）定义：若点P(a，b）在函数y＝错误!的图象上，将以a为二次项系数,b 为一次项系数构造的二次函数y＝ax2＋bx称为函数y＝错误!的一个“派生函数”．例如:点（2,错误!）在函数y＝错误!的图象上，则函数y＝2x2＋错误!x称为函数y＝错误!的一个“派生函数”．现给出以下两个命题:(1)存在函数y＝错误!的一个“派生函数”，其图象的对称轴在y轴的右侧；(2）函数y＝错误!的所有“派生函数"的图象都经过同一点．下列判断正确的是(C)A．命题（1)与命题(2）都是真命题B．命题（1)与命题（2)都是假命题C．命题（1)是假命题，命题(2)是真命题D．命题（1）是真命题，命题(2)是假命题6．(2016·乐山）高斯函数[x］，也称为取整函数，即［x]表示不超过x的最大整数．例如：［2。

重难点题型（三）函数的图象与性质类型1 函数的图象与性质（不含几何）1．（2016·株洲)已知，一次函数y1＝ax＋b与反比例函数y2＝错误!的图象如图所示，当y1<y2时，x的取值范围是(D)A．x〈2 B．x〉5C．2〈x<5 D．0<x<2或x>52．如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝kx＋b交点的横坐标为－2和3，则不等式ax2＋c＋kx<b的解集为(C)A．－2〈x<3 B．x>3或x<－2C．－3<x<2 D．x>2或x〈－33．已知直线y＝mx＋n和抛物线y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的位置如图所示，且抛物线与x轴交于点（－1，0）,（2，0)，抛物线与直线交点的横坐标为1和－错误!，那么不等式mx ＋n〈ax2＋bx＋c<0的解集是(A)A．1<x〈2B ．x<－32或x 〉1C．－错误!<x〈2D．－1〈x<24.已知函数y＝错误!若使y＝k成立的x值恰好有一个，则k的取值范围是k〉3或k〈－1．类型2 二次函数与几何图形综合1．如图，将抛物线y＝－错误!x2平移后经过原点O和点A(6，0），平移后的抛物线的顶点为点B，对称轴与抛物线y＝－错误!x2相交于点C,则图中直线BC与两条抛物线围成的阴影部分的面积为（C)A。

错误!B．12C。

错误!D．152．如图，已知抛物线y＝mx2－6mx＋5m与x轴交于A，B两点，以AB为直径的⊙P经过该抛物线的顶点C,直线l∥x轴，交该抛物线于M，N两点，交⊙P于E，F两点，若EF＝23,则MN的长为（A）A．2 6 B．4错误!C．5 D．63．如图，已知抛物线y＝－x2＋px＋q的对称轴为x＝－3，过其顶点M的一条直线y＝kx＋b与该抛物线的另一个交点为N(－1，1)，要在坐标轴上找一点P,使得△PMN的周长最小,则点P的坐标为（A)A．(0，2)B．(43,0）C．(0,2)或（错误!,0）D．以上都不正确尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。

，则一次函数 y＝ cx＋ b 与反 2a
比例函数 y＝ axb在同一坐标系内的大致图象是 (B)
4 5． (2016 ·钦州 )如图 ， 在△ ABC 中 ， AB ＝ 6， BC ＝ 8， tan∠ B ＝3.点 D 是边 BC 上的一个动点 (点 D 与点 B 不重合 )， 过点 D 作 DE ⊥AB ， 垂足为 E， 点 F 是 AD 的中点 ， 连接 EF， 设△ AEF 的面积为 y， 点 D 从点 B 沿 BC 运动到点 C 的过程中 ， D 与 B 的距离为 x， 则能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是 (B)
定点 ， 该定点坐标为 (0，4 )．
8． (2016 ·达州 )如图 ， 在平面直角坐标 系中 ， 矩形 ABCD 的 边 AB ∶ BC＝3∶ 2，点 A( 3， 0)， B(0 ， 6)分别在 x 轴 ，
k y 轴上 ， 反比例函数 y＝ x(x ＞ 0)的图象经过点 D ， 且与边 BC 交于点 E，则点 E 的坐标为 (2 ， 7)．
k 9．(2016 ·温州 )如图 ，点 A ，B 在反比例函数 y＝ x(k ＞ 0)的图象上 ，AC ⊥ x 轴，BD ⊥ x 轴，垂足 C， D 分别在 x 轴的 正、负半轴上 ，C D＝ k，已知 AB ＝ 2AC ，E 是 AB 的中点 ，且△ BCE 的面积是△ ADE 的面积的 2 倍 ，则 k 的值是 3 2 7．
6． (2016 ·青岛 )已 知二次函数 y＝ 3x2＋ c 与正比例 函数 y＝ 4x 的图象只有一个交点 ，则 c 的值为 43．
7．(2016 ·大庆 )直线 y＝ kx ＋ b 与抛物线
y
＝
1 4x
2
交于
A(x 1，y1)，B(x 2，y 2)两点 ，当 O A ⊥ OB

(5)与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式ax2+bx+c﹙a≠0﹚本身
就是含有字母x的二次函数.
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例题3
已知,点M为二次函数y=-(x-b)2+4b+1图象的顶点,直线y=mx+5分别交x轴、y轴于点
A,B.
(1)判断顶点M是否在直线y=4x+1上,并说明理由;
(2)如图1,若二次函数图象也经过点A,B,且mx+5>-(x-b)2+
即为所求;(3)根据反函数的图象和性质,当点P在第一象限时,p>0;当点P在第三象限
时,p≤-2.

解析：(1)把A(2,m),B(n,-2)代入y= 得k2=2m=-2n,即m=-n,则A(2,-n),

如图,过A作AE⊥x轴于E,过B作BF⊥y轴于F,延长AE,BF交于D,
∵A(2,-n),B(n,-2),
方法点拨
解答此类问题需要掌握二次函数的概念、图象和性质,画出草图观察分析,将函数
的平移、最值、增减性等贯穿在草图中,此类问题就会迎刃而解.
解题技巧
解决这类问题一般遵循这样的方法:
(1)求二次函数的图象与x轴的交点坐标,需将二次函数转化为一元二次方
程;
(2)求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶
点入口.两车距学校的路程s(单位:km)和行驶时间t(单位:min)之间的函数关系如
图所示.
请结合图象解决下面问题:
(1)学校到自然保护区的路程为 40 km,大客车途中停留了
5min, a=
;15
(2)在小轿车司机驶过自然保护区入口时,大客车离景点入口还有多远?
(3)小轿车司机到达自然保护区入口时发现本路段限速80 km/h,请你帮助小轿车司