诱导公式(1)

§5.3 诱导公式(一)学习目标 1.借助圆的对称性理解诱导公式二、三、四的推导过程.2.掌握诱导公式一～四并能运用诱导公式进行求值、化简与证明．知识点 公式二～四终边关系 图示 公式公式二角π＋α与角α的终边关于原点对称sin(π＋α)＝－sin α， cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α 公式三角－α与角α的终边关于x 轴对称sin(－α)＝－sin α， cos(－α)＝cos α， tan(－α)＝－tan α 公式四角π－α与角α的终边关于y 轴对称sin(π－α)＝sin α， cos(π－α)＝－cos α， tan(π－α)＝－tan α思考 诱导公式中角α只能是锐角吗？答案 诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠k π＋π2，k ∈Z .1．若sin(π＋α)＝13，则sin α＝ .答案 －13解析 sin(π＋α)＝－sin α＝13，∴sin α＝－13.2．若cos(π－α)＝13，则cos α＝ .答案 －13解析 ∵cos(π－α)＝－cos α＝13，∴cos α＝－13.3．已知tan α＝6，则tan(－α)＝ . 答案 －64．sin 585°＝ . 答案 －22解析 sin 585°＝sin(360°＋180°＋45°) ＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°＝－22.一、给角求值例1 求下列三角函数值： (1)cos(－480°)＋sin 210°； (2)sin ⎝⎛⎭⎫－8π3·cos 23π6·tan 37π6. 解 (1)原式＝cos 480°＋sin(180°＋30°) ＝cos(360°＋120°)－sin 30° ＝cos 120°－12＝cos(180°－60°)－12＝－cos 60°－12＝－12－12＝－1.(2)原式＝sin ⎝⎛⎭⎫－4π＋4π3·cos ⎝⎛⎭⎫4π－π6·tan ⎝⎛⎭⎫6π＋π6 ＝sin 4π3·cos ⎝⎛⎭⎫－π6·tan π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3·cos π6·tan π6 ＝－sin π3·cos π6·tan π6＝－32×32×33＝－34. (学生)反思感悟 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 (1)“负化正”——用公式一或三来转化．(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角． (3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角． (4)“锐求值”——得到锐角三角函数后求值． 跟踪训练1 sin 5π6＋tan 7π4－cos ⎝⎛⎭⎫－2π3＝ . 答案 0解析 原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π－π6＋tan ⎝⎛⎭⎫2π－π4－cos 2π3 ＝sin π6＋tan ⎝⎛⎭⎫－π4－cos ⎝⎛⎭⎫π－π3 ＝sin π6－tan π4＋cos π3＝12－1＋12＝0. 二、给值(式)求值例2 (1)(多选)已知cos(π－α)＝－35，则sin(－2π－α)的值是( )A.45 B ．－45 C ．－35 D.35 答案 AB解析 因为cos(π－α)＝－cos α＝－35，所以cos α＝35，所以α为第一或第四象限角， 所以sin α＝±1－cos 2α＝±45，所以sin(－2π－α)＝sin(－α)＝－sin α＝±45.(2)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋5π6＝ . 答案 －33解析 cos ⎝⎛⎭⎫α＋5π6＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33. 延伸探究1．若本例(2)中的条件不变，如何求cos ⎝⎛⎭⎫α－13π6？ 解 cos ⎝⎛⎭⎫α－13π6＝cos ⎝⎛⎭⎫13π6－α＝cos ⎣⎡⎦⎤2π＋⎝⎛⎭⎫π6－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33. (教师)2．若本例(2)条件不变，求cos ⎝⎛⎭⎫56π＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6 的值．解 因为cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33， sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝sin 2⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α ＝1－⎝⎛⎭⎫332＝23， 所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝－33－23 ＝－2＋33.反思感悟 解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． 跟踪训练2 (1)已知sin(π＋α)＝45，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是( )A ．－35 B.35 C ．±35 D.45答案 B解析 由sin(π＋α)＝45，得sin α＝－45，而cos(α－2π)＝cos α，且α是第四象限角， 所以cos α＝1－sin 2α＝35.(2)已知sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－13，且θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋θ＝ . 答案 －223解析 cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋θ＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫θ－π3＋π ＝－cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3， ∵θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴θ－π3∈⎝⎛⎭⎫－π3，π6， ∴cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3>0， 即cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫θ－π3＝223，∴原式＝－223.三、化简求值例3 化简：(1)cos (－α)tan (7π＋α)sin (π－α)；(2)sin (1 440°＋α)·cos (α－1 080°)cos (－180°－α)·sin (－α－180°). 解 (1)cos (－α)tan (7π＋α)sin (π－α)＝cos αtan (π＋α)sin α＝cos α·tan αsin α＝sin αsin α＝1.(2)原式＝sin (4×360°＋α)·cos (α－3×360°)cos (180°＋α)·[－sin (180°＋α)]＝sin α·cos α(－cos α)·sin α＝cos α－cos α＝－1.反思感悟 三角函数式化简的常用方法(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数． (2)切化弦：一般需将表达式中的正切函数转化为正弦、余弦函数． (3)注意“1”的代换：1＝sin 2α＋cos 2α＝tan π4.跟踪训练3 tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为( )A.m ＋1m －1B.m －1m ＋1 C ．－1 D ．1 答案 A解析 因为tan(5π＋α)＝tan α＝m ，所以原式＝sin (π＋α)－cos α－sin α＋cos α＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1.1.如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P ⎝⎛⎭⎫－55，255，则cos(π－θ)的值为( )A ．－255B ．－55C.55D.255答案 C2．sin 780°＋tan 240°的值是( ) A.332B.32C.12＋ 3 D ．－12＋ 3答案 A解析 sin 780°＋tan 240°＝sin 60°＋tan(180°＋60°) ＝32＋tan 60°＝32＋3＝332.3．已知sin(π＋α)＝35，且α是第四象限角，那么cos(α－π)的值是()A.45 B ．－45 C ．±45 D.35 答案 B解析 因为sin(π＋α)＝－sin α＝35，所以sin α＝－35.又α是第四象限角， 所以cos α＝45，所以cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－45.4．化简：cos (3π－α)sin (－π＋α)·tan(2π－α)＝ .答案 －1解析 原式＝cos (π－α)sin (π＋α)·tan(－α)＝－cos α－sin α·(－tan α) ＝－cos αsin α·tan α＝－1. 5.cos (－585°)sin 495°＋sin (－570°)的值等于 ．答案2－2解析 原式＝cos (360°＋225°)sin (360°＋135°)－sin (360°＋210°)＝cos (180°＋45°)sin (180°－45°)－sin (180°＋30°)＝－cos 45°sin 45°－(－sin 30°)＝－2222＋12＝2－2.1．知识清单：(1)特殊关系角的终边对称性． (2)诱导公式二～四．2．方法归纳：公式法、角的构造． 3．常见误区：符号的确定．1．sin 240°＋cos(－150°)的值为( ) A ．－ 3 B ．－1 C ．1 D. 3 答案 A解析 原式＝sin(180°＋60°)＋cos 150° ＝－sin 60°＋cos(180°－30°) ＝－sin 60°－cos 30° ＝－32－32＝－ 3. 2．(多选)已知sin(π－α)＝13，则cos(α－2 020π)的值为( )A.23 2 B ．－23 2 C.13 D ．－13 答案 AB解析 sin(π－α)＝13，∴sin α＝13，cos(α－2 020π)＝cos α＝±1－sin 2α＝±23 2.3．在△ABC 中，cos(A ＋B )的值等于( ) A ．cos C B ．－cos C C ．sin C D ．－sin C答案 B解析 由于A ＋B ＋C ＝π， 所以A ＋B ＝π－C .所以cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C .4．若600°角的终边上有一点(－4，a )，则a 的值是( ) A ．4 3 B ．±4 3 C ．－4 3 D. 3 答案 C解析 由题意，得tan 600°＝a－4， 则a ＝－4·tan 600°＝－4tan(180°＋60°) ＝－4tan 60°＝－4 3.5．已知cos(508°－α)＝1213，则cos(212°＋α)等于( )A ．－1213 B.1213 C ．－513 D.513答案 B解析 方法一 因为cos(508°－α) ＝cos(360°＋148°－α) ＝cos(148°－α)＝1213，所以cos(212°＋α)＝cos(360°＋α－148°) ＝cos(α－148°)＝cos(148°－α)＝1213.方法二 cos(212°＋α)＝cos [720°－(508°－α)] ＝cos(508°－α)＝1213.6．计算：sin ⎝⎛⎭⎫－19π3cos 7π6＝ . 答案 34解析 原式＝－sin ⎝⎛⎭⎫6π＋π3cos ⎝⎛⎭⎫π＋π6 ＝－sin π3·⎝⎛⎭⎫－cos π6 ＝sin π3·cos π6＝34.7．已知sin(－π－α)＝35，且α为第二象限角，则sin (π－α)tan (α－2π)＝ .答案 －45解析 ∵sin(－π－α)＝35，∴－sin(π＋α)＝35，∴sin α＝35，∵α为第二象限角，∴cos α＝－45，sin (π－α)tan (α－2π)＝sin αtan α＝cos α＝－45.8．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π4＝ ，cos ⎝⎛⎭⎫π4－α·cos ⎝⎛⎭⎫α－9π4＝ . 答案 －13 89解析 sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π4＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π4＋π ＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－13， cos ⎝⎛⎭⎫π4－α·cos ⎝⎛⎭⎫α－9π4 ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－π4·cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π4－2π ＝cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4 ＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝89. 9．化简：(1)sin (540°＋α)·cos (－α)tan (α－180°)；(2)sin (2π＋α)cos (－π＋α)cos (－α)tan α.解 (1)sin (540°＋α)·cos (－α)tan (α－180°)＝sin (180°＋α)·cos αtan α＝－sin α·cos αtan α＝－cos 2α.(2)sin (2π＋α)cos (－π＋α)cos (－α)tan α＝sin α(－cos α)cos αtan α＝－cos α. 10．已知f (α)＝sin (π＋α)cos (2π－α)tan (－α)tan (－π－α)sin (－π－α). (1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且sin(α－π)＝15，求f (α)的值； (3)若α＝－31π3，求f (α)的值． 解 (1)f (α)＝－sin αcos α(－tan α)(－tan α)sin α＝－cos α. (2)∵sin(α－π)＝－sin α＝15， ∴sin α＝－15. 又α是第三象限角，∴cos α＝－265，∴f (α)＝265. (3)∵－31π3＝－6×2π＋5π3， ∴f ⎝⎛⎭⎫－31π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫－6×2π＋5π3 ＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12.11．若sin(－110°)＝a ，则tan 70°等于( )A.a 1－a 2 B ．－a 1－a 2 C.a 1＋a 2 D ．－a 1＋a 2答案 B解析 ∵sin(－110°)＝－sin 110°＝－sin(180°－70°)＝－sin 70°＝a ，∴sin 70°＝－a ，∴cos 70°＝1－(－a )2＝1－a 2，∴tan 70°＝sin 70°cos 70°＝－a 1－a 2.12．(多选)已知A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)cos α(k ∈Z )，则A 的值是( ) A ．－1 B ．－2 C ．1 D ．2答案 BD解析 当k ＝2n ，n ∈Z 时，A ＝sin (2n π＋α)sin α＋cos (2n π＋α)cos α＝sin αsin α＋cos αcos α＝2， 当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，A ＝sin[(2n ＋1)π＋α]sin α＋cos[(2n ＋1)π＋α]cos α＝sin (π＋α)sin α＋cos (π＋α)cos α＝－2.13．已知a ＝tan ⎝⎛⎭⎫－7π6，b ＝cos 23π4，c ＝sin ⎝⎛⎭⎫－33π4，则a ，b ，c 的大小关系是 ．(用“>”表示)答案 b >a >c 解析 因为a ＝－tan π6＝－33， b ＝cos 23π4＝cos π4＝22， c ＝sin ⎝⎛⎭⎫－33π4＝－sin π4＝－22， 所以b >a >c .14．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx (x <0)，f (x －1)－1(x >0)，则f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116的值为 ． 答案 －2解析 因为f ⎝⎛⎭⎫－116＝sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6 ＝sin π6＝12；f ⎝⎛⎭⎫116＝f ⎝⎛⎭⎫56－1＝f ⎝⎛⎭⎫－16－2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6－2＝－12－2＝－52. 所以f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116＝－2.15．设函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β都是非零实数，且满足f (2 019)＝－1，则f (2 020)的值为 ．答案 1解析 ∵f (2 019)＝a sin(2 019π＋α)＋b cos(2 019π＋β)＝－1，∴f (2 020)＝a sin(2 020π＋α)＋b cos(2 020π＋β)＝a si n[π＋(2 019π＋α)]＋b cos[π＋(2 019π＋β)]＝－[a sin(2 019π＋α)＋b cos(2 019π＋β)]＝1.16．在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．解 由题意得sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B ，平方相加得2cos 2A ＝1，cos A ＝±22， 又因为A ∈(0，π)，所以A ＝π4或3π4. 当A ＝3π4时，cos B ＝－32<0， 所以B ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以A ，B 均为钝角，不合题意，舍去．所以A ＝π4，cos B ＝32， 所以B ＝π6，所以C ＝7π12. 综上所述，A ＝π4，B ＝π6，C ＝7π12.。

1.2.4诱导公式(一)学习目标 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.知识点一角α与α＋k·2π(k∈Z)的三角函数间的关系思考角α与α＋k·2π(k∈Z)的终边有什么位置关系？其三角函数值呢？梳理诱导公式(一)知识点二角α与－α的三角函数间的关系思考1设角α的终边与单位圆的交点为P1(x，y)，角－α的终边与角α的终边有什么关系？如图，－α的终边与单位圆的交点P2坐标如何？思考2根据三角函数定义，－α的三角函数与α的三角函数有什么关系？梳理诱导公式(二)知识点三角α与α＋(2k＋1)π(k∈Z)的三角函数间的关系思考1设角α的终边与单位圆交于点P1(x，y)，则角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？如图，设角α的终边与单位圆交于点P1(x，y)，则角π＋α的终边与单位圆的交点P2的坐标如何？思考2根据三角函数定义，sin(π＋α)、cos(π＋α)、tan(π＋α)的值分别是什么？对比sin α，cos α，tan α的值，(2k＋1)π＋α的三角函数与α的三角函数有什么关系？梳理诱导公式(三)特别提醒：公式一～三都叫做诱导公式，他们分别反映了2k π＋α(k ∈Z )，－α，(2k ＋1)π＋α(k ∈Z )的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.简记为“函数名不变，符号看象限”！类型一 利用诱导公式求值命题角度1 给角求值问题例1 求下列各三角函数式的值.(1)cos 210°；(2)sin11π4； (3)sin(－43π6)；(4)cos(－1 920°).反思与感悟 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤：(1)“负化正”：用公式一或二来转化.(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°之间的角.(3)“角化锐”：用公式一或三将大于90°的角转化为锐角.(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.跟踪训练1 求下列各三角函数式的值.(1)sin 1 320°； (2)cos ⎝⎛⎭⎫－31π6； (3)tan(－945°).命题角度2 给值求角问题例2 已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( ) A.－π6 B.－π3 C.π6 D.π3反思与感悟 对于给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角.跟踪训练2 已知sin(π－α)＝－2sin(π＋β)，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)，0<α<π，0<β<π，求α，β.类型二 利用诱导公式化简例3 化简下列各式.(1)tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)cos (α－π)sin (5π－α)； (2)1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°.引申探究若将本例(1)改为：tan (n π－α)sin (n π－α)cos (n π－α)cos[α－(n ＋1)π]·sin[(n ＋1)π－α](n ∈Z )，请化简.反思与感悟 三角函数式的化简方法(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数.(2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数.(3)注意“1”的变式应用：如1＝sin 2α＋cos 2α＝tan π4. 跟踪训练3 化简下列各式.(1)cos (π＋α)·sin (2π＋α)sin (－α－π)·cos (－π－α)； (2)cos 190°·sin (－210°)cos (－350°)·tan (－585°).1.sin 585°的值为( )A.－22B.22C.－32D.322.cos(－16π3)＋sin(－16π3)的值为( ) A.－1＋32B.1－32C.3－12D.3＋123.已知cos(π－α)＝32(π2<α<π)，则tan(π＋α)等于( ) A.12 B.33 C.－ 3 D.－334.sin 750°＝________.5.化简：cos (α－π)sin (5π＋α)·sin(α－2π)·cos(2π－α).1.明确各诱导公式的作用2.诱导公式的记忆这三组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号.α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.答案精析问题导学知识点一思考 角α与α＋k ·2π(k ∈Z )的终边相同，根据三角函数的定义，它们的三角函数值相等． 梳理 cos α sin α tan α知识点二思考1 角－α的终边与角α的终边关于x 轴对称．角－α与单位圆的交点为P 2(x ，－y )．思考2 sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x； sin(－α)＝－y ＝－sin α；cos(－α)＝x ＝cos α，tan(－α)＝－y x＝－tan α. 梳理 cos α －sin α －tan α知识点三思考1 角π＋α的终边与角α的终边关于原点O 对称．P 2(－x ，－y )．思考2 sin(π＋α)＝－y ，cos(π＋α)＝－x ，tan(π＋α)＝－y －x ＝y x. 梳理 －cos α －sin α tan α题型探究例1 (1)cos 210°＝－32. (2)sin 11π4＝22. (3)sin(－43π6)＝12. (4)cos(－1 920°)＝－12. 跟踪训练1 解 (1) sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. (2)cos ⎝⎛⎭⎫－31π6＝cos 31π6＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋7π6 ＝cos(π＋π6)＝－cos π6＝－32. 例2 D跟踪训练2 解 由题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β. ② ①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2，即sin 2α＋3(1－sin 2α)＝2，∴sin 2α＝12，∴sin α＝±22. ∵0<α<π，∴sin α＝22， ∴α＝π4或α＝34π. 把α＝π4，α＝34π分别代入②， 得cos β＝32或cos β＝－32. 又∵0<β<π，∴β＝π6或β＝56π. ∴α＝π4，β＝π6或α＝34π，β＝56π. 例3 解 (1)原式＝sin (2π－α)cos (2π－α)·sin (－α)cos (－α)cos (π－α)sin (π－α)＝－sin α(－sin α)cos αcos α(－cos α)sin α＝－sin αcos α＝－tan α.(2)原式＝1＋2sin (360°－70°)cos (360°＋70°)sin (180°＋70°)＋cos (720°＋70°) ＝1－2sin 70°cos 70°－sin 70°＋cos 70°＝|cos 70°－sin 70°|cos 70°－sin 70°＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70°＝－1. 引申探究 解 当n ＝2k 时，原式＝－tan α·(－sin α)·cos α－cos α·sin α＝－tan α；当n ＝2k ＋1时，原式＝－tan α·sin α·(－cos α)cos α·(－sin α)＝－tan α.综上，原式＝－tan α.跟踪训练3 (1)1 (2)12当堂训练1．A 2.C 3.D 4.125．解 原式＝cos (π－α)sin (π＋α)·[－sin(2π－α)]·cos(2π－α) ＝－cos α－sin α·sin α·cos α＝cos 2α.。

《三角函数的诱导公式（一）》教学设计◆教学目标1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．◆教学重难点◆教学重点：推导出四组的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数．教学难点：解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题．◆课前准备PPT课件．◆教学过程一、新课导入对称美是日常生活中最常见的，在三角函数中－α、π±α、2π－α等角的终边与角α的终边关于坐标轴或原点对称，那么它们的三角函数值之间是否也存在对称美呢？引语：要解决这个问题，就需要进一步学习三角函数的诱导公式.（板书：7.2.3三角函数的诱导公式（一））设计意图：情境导入，引入新课。

【探究新知】问题1：当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？它们的三角函数之间有什么关系？师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：它们的终边重合．由三角函数的定义知，它们的三角函数值相等．诱导公式一：sin（α＋k·2π）＝sinα，cos（α＋k·2π）＝cosα，tan（α＋k·2π）＝tanα，其中k∈Z.即终边相同的角的同一三角函数值相等．问题2：角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？角π＋α的终边与单位圆的交点P1(cos(π＋α)，sin(π＋α))与点P(cosα，sinα)呢？它们的三角函数之间有什么关系？师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，P1与P也关于原点对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式二：sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝tanα.问题3：角－α的终边与角α的终边有什么关系？角－α的终边与单位圆的交点P2(cos(－α)，sin(－α))与点P(cosα，sinα)有怎样的关系？它们的三角函数之间有什么关系？师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：角－α的终边与角α的终边关于x轴对称，P2与P也关于x轴对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式三：sin（－α）＝－sinα，cos（－α）＝cosα，tan（－α）＝－tanα.问题4：角π－α的终边与角α的终边有什么关系？角π－α的终边与单位圆的交点P3(cos(π－α)，sin(π－α))与点P(cosα，sinα)有怎样的关系？它们的三角函数之间有什么关系？师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：角π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，P3与P也关于y轴对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式四：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，tan(π－α)＝－tanα.追问1：如何记忆这四组诱导公式呢？预设的答案：2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，可以简单地说成“函数名不变，符号看象限”．“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原三角函数值是取正值还是负值，如sin (π＋α)，若把α看成锐角，则π＋α是第三象限角，故sin (π＋α)＝－sinα． 追问2：诱导公式一、二、三、四的作用是什么？预设的答案：公式一的作用在于把绝对值大于2π的任一角的三角函数问题转化为绝对值小于2π的角的三角函数问题；公式三的作用在于把负角的三角函数转化成正角的三角函数；公式二、公式四的作用在于把钝角或大于180°的角的三角函数转化为0°～90°之间的角的三角函数．设计意图：培养学生分析和归纳的能力.【巩固练习】例1. 求值：(1)sin (-60°)+cos 120°+sin 390°+cos 210°；（2师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：(1) 原式=-sin 60°+cos (180°-60°)+sin (360°+30°)+cos (180°+30°) =-sin 60°-cos 60°+sin 30°-cos 30°1122=+=（2 cos1012cos102︒=︒.反思与感悟：利用诱导公式求任意角三角函数的步骤： (1)“负化正”——用公式一或三来转化；(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角； (3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角； (4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值．设计意图：掌握利用诱导公式求任意角三角函数的方法。

1.3三角函数的诱导公式（一）学习目标 ：理解正弦、余弦、正切函数的诱导公式；能用它们化简或计算三角函数。

一．自主学习1. 课前阅读教材P23-29，并完成下列必会基础知识。

sin α=cos α=tan α=角π+α终边诱导公式一：sin(2)k πα+= cos(2)k πα+= tan(2)k πα+=2、根据角π+α的终边与单位圆交点P 2的坐标分析π+α与α的三角函数值的关系。

诱导公式二：sin()πα+=cos()πα+= tan()πα+=3、在上图中画出-α的终边，并标出终边与单位圆交点的坐标，分析-α与α的三角函数值得关系。

诱导公式三：sin()α-=cos()α-= tan()α-=4、在上图中画出π-α的终边，并标出终边与单位圆交点的坐标，分析π-α与α的三角函数值得关系。

诱导公式四：sin()πα-=cos()πα-=tan()πα-=小结：2,,k παπαα+±-的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成 时_______函数值的符号。

二、例题讲解例1、利用公式求下列三角函数值。

1、cos225o2、sin 311π3、sin （-316π） 4、cos （-2040o ）y ） 终边例2、化简)180cos()180sin()360sin()180cos(αααα----++oo o o课后作业：１、求下列三角函数值: （1）0sin 690 (2) 11cos 4π(3)10tan()3π-2、化简 （1）)3sin()cos()cos()2sin(απαπαπαπ--+-（2）5cos()2πα-3、已知sin(π+α)=54（α为第四象限角）， 求)2cos(απ+ 和tan(－α)的值。