2.2 等差数列 学案(人教A版必修5)

等差数列与等比数列性质的综合应用一、学习目标：等差数列与等比数列性质的综合应用 二、自主学习： 【课前检测】1.x=ab 是a 、x 、b 成等比数列的( D )条件A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分又非必要 2．等比数列}{n a 中，233,9a a ==，若243=k a ，则k 等于（ C ）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）42直面考点：1）等比数列的定义；2）等比数列的通项公式。

略解：6k 22433q a a 3a a q 51-k 2-k 2k 23=⇒====⇒==3．若数列{}n a （N n ∈*）是等差数列，则有数列12nn a a a b n+++=（N n ∈*）也为等差数列，类比上述性质，相应地：若数列n {c }是等比数列，且n c >0（N n ∈*），则有n d=N n ∈*）也是等比数列．4．设n S 和n T 分别为两个等差数列的前n 项和，若对任意*n N ∈，都有71427n n S n T n +=+ ，则第一个数列的第11项与第二个数列的第11项的比是43． 说明：2121n n n n a S b T --=． 【考点梳理】1.基本量的思想：常设首项、（公差）比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等。

转化为“基本量”是解决问题的基本方法。

解读：“知三求二”。

2.等差数列与等比数列的联系1）若数列{}n a 是等差数列，则数列}{n aa 是等比数列，公比为da ，其中a 是常数，d 是{}n a 的公差。

（a>0且a ≠1）；2）若数列{}n a 是等比数列，且0n a >，则数列{}log a n a 是等差数列，公差为log a q ，其中a 是常数且0,1a a >≠，q 是{}n a 的公比。

3）若{}n a 既是等差数列又是等比数列,则{}n a 是非零常数数列。

三、合作探究：例1 （2010陕西文16）已知{a n}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列.（Ⅰ）求数列{a n}的通项;（Ⅱ）求数列{2an}的前n项和S n.解：（Ⅰ）由题设知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得121d+＝1812dd++，解得d＝1，d＝0（舍去），故{a n}的通项a n＝1+（n－1）×1＝n. (Ⅱ)由（Ⅰ）知2m a=2n，由等比数列前n项和公式得S m =2+22+23+ (2)=2(12)12n --=2n+1-2.变式训练1 （2010北京文16）已知{a n }为等差数列，且36a =-，60a =。

2.2.2等差数列的通项公式（第4课时）等差数列前n项和的性质学案（含答案）第4课时等差数列前n项和的性质学习目标1.会利用等差数列性质简化求和运算.2.会利用等差数列前n 项和的函数特征求最值知识点一等差数列an的前n项和Sn的性质性质1等差数列中依次k项之和Sk，S2kSk，S3kS2k，组成公差为k2d的等差数列若等差数列的项数为2nnN*，则S2nnanan1，S 偶S奇nd，S奇0；性质2若等差数列的项数为2n1nN*，则S2n12n1anan是数列的中间项，S奇S偶an，S奇0知识点二等差数列an的前n项和公式与函数的关系1将公式Snna1变形，得Snn2n.若令A，a1B，则上式可以写成SnAn2Bn，1等差数列前n项和Sn不一定是关于n的二次函数当公差d0时，Snna1，不是项数为n的二次函数当d0时，此公式可看成二次项系数为，一次项系数为，常数项为0的二次函数，其图象为抛物线yx2x上的点集，坐标为n，SnnN*因此，由二次函数的性质可以得出结论当d0时，Sn有最小值；当d0时，Sn有最大值2关于n的二次函数也不一定是等差数列的前n项和，由SnAn2BnC，当C0时，Sn不是某等差数列的前n项和；当C0时，令A，a1B，则能解出a1和d，因此这时一定是某等差数列的前n项和2若an为等差数列，公差为d，则为等差数列，公差为.1等差数列的前n项和一定是常数项为0的关于n的二次函数2等差数列an的前n项和SnAn2Bn.即an 的公差为2A.3若等差数列an的公差为d，前n项和为Sn.则的公差为.4数列an的前n项和Snn21，则an不是等差数列题型一等差数列前n项和的性质的应用例11等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，求数列an的前3m项的和S3m；2已知某等差数列an共有10项，若其奇数项之和为15，偶数项之和为30，求其公差解1在等差数列中，Sm，S2mSm，S3mS2m成等差数列，30,70，S3m100成等差数列27030S3m100，S3m210.2依题意有a1a3a5a7a915，a2a4a6a8a1030，得5d15，d3.反思感悟等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简.化难为易.事半功倍的效果跟踪训练11等差数列an的前n项和为Sn，若S33，S69，则S9________.2等差数列an的公差为，且S100145，则奇数项的和a1a3a5a99________.答案118260解析1S3，S6S3，S9S6成等差数列，2S6S3S3S9S6，即2933S99，S918.2设a1a3a5a99S奇，a2a4a6a100S偶，则S奇S偶S100145.S偶S奇50d25.得2S奇120，S奇60.题型二Sn与函数的关系命题角度1SnAn2Bn的应用例21两个等差数列an，bn的前n项和分别为Sn和Tn，已知，求的值解方法一设Snk7n22n，Tnkn23n，k0，则a5S5S4k75225k7422465k，b5T5T4k5235k423412k..方法二.2已知an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，且S77，S1575，求数列的前n项和Tn.解设等差数列an的公差为d，则Snna1d.S77，S1575，即解得a1d2，，数列是等差数列，且其首项为2，公差为.Tnn2nnN*反思感悟将等差数列前n项和公式Snna1d整理成关于n的函数，可得Snn2n.即Snna1dn2n，利用Sn与函数的关系可以使运算更简便跟踪训练21在例21的条件下，求的值2已知等差数列an的前n项和为Sn，若S33，S515，求S9.解1设Snk7n22n，Tnkn23n，则a565k，b6T6T5k6236k523514k，.2为等差数列，设公差为d，则d1，n3d1n3n2，927，S97963.命题角度2等差数列an的前n项和Sn的最值例3在等差数列an中，若a125，且S9S17，求Sn的最大值解方法一S9S17，a125，925d1725d，解得d2.Sn25n2n226nn132169.当n13时，Sn有最大值169.方法二同方法一，求出公差d2.an25n122n27.a1250，由得又nN*，当n13时，Sn有最大值169.方法三同方法一，求出公差d2.S9S17，a10a11a170.由等差数列的性质得a13a140.a130，a140.当n13时，Sn有最大值169.方法四同方法一，求出公差d2.设SnAn2Bn.S9S17，二次函数fxAx2Bx的对称轴为x13，且开口方向向下，当n13时，Sn取得最大值169.反思感悟1等差数列前n项和Sn取得最大小值的情形若a10，d0，则Sn 存在最大值，即所有非负项之和若a10，d0，则Sn存在最小值，即所有非正项之和2求等差数列前n项和Sn最值的方法寻找正.负项的分界点，可利用等差数列性质或利用或来寻找运用二次函数求最值跟踪训练3已知等差数列an中，a19，a4a70.1求数列an的通项公式；2当n为何值时，数列an的前n 项和取得最大值解1由a19，a4a70，得a13da16d0，解得d2，ana1n1d112nnN*2方法一由1知，a19，d2，Sn9n2n210nn5225，当n5时，Sn取得最大值方法二由1知，a19，d20，an是递减数列令an0，则112n0，解得n.nN*，n5时，an0，n6时，an0.当n5时，Sn取得最大值数形结合感悟事物本质典例在等差数列an中，a17，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n8时Sn取得最大值，则d的取值范围为________答案解析方法一由当且仅当n8时Sn 最大，知a80且a90，于是解得1d，故d的取值范围为.方法二Snn2n，由题意知d0，对称轴x，n8时，Sn取最大值7.58.5，即87，d.素养评析利用数形结合抓住事物本质，解决问题才能思路清晰，方法简捷等差数列ana10，d0或a10，d0中，andna1d，其图象为ydxa1d上的一系列点，要求Sn的最大小值，只需找出距x轴最近的两个点；Snn2n，其图象为yx2x上的一系列点要求Sn的最大小值，只需找出距对称轴最近的点.1若数列an的前n项和Snn22n，则an1an的值为A1B2C3D4答案B解析由Snn22n可判断an为等差数列，公差为2.an1an2.2若等差数列an的前5项和为25，则a3的值为A2B3C4D5答案D解析S55a325，a35.3设Sn是等差数列an的前n项和，已知a23，a611，则S7________.答案49解析S77749.4等差数列an中，若公差为2，a1a4a76，则a3a6a9________.答案18解析a3a6a9a1a4a7a3a1a6a4a9a76d12，a3a6a912618.5等差数列an中，公差d0，前n项和为Sn，S100，则Sn 取最小值n________.答案5解析S100，可设Snnn10，对称轴n5，且d0.n5时，Sn最小1等差数列an的前n项和Sn，有下面几种常见变形1Sn；2Snn2n；3n.2求等差数列前n项和最值的方法1二次函数法用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意nN*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观2通项法当a10，d0，时，Sn取得最大值；当a10，d0，时，Sn取得最小值。

2.2等差数列性质预习案【学习目标】1.准确理解等差数列的性质，掌握由等差数列的通项公式研究其图象的方法，提高运算求解能力.2.通过对等差数列通项公式的推导和等差数列性质的探究，进一步渗透数形结合思想、函数思想及方程思想.3.激情参与、惜时高效，激励学生自主探究，发现规律，感受等差数列的内在奥妙. 【重点】：等差数列的性质. 【难点】：等差数列的性质的应用. 【学法指导】1. 阅读探究课本上的基础知识，初步掌握等差数列通项公式的求法;2. 完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测；3. 将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑”处.Ⅰ.相关知识1. 等差数列的通项公式是什么？与一次函数有什么关系？2. 利用等差数列的通项公式可以解决那些问题？3. 若a 、A 、b 成等差数列，则A 叫做a 、b 的________，即A=_______________4. 判断一个数列是否为等差数列的方法有哪些？ Ⅱ.教材助读1.依据等差数列的概念，你能写出等差数列的通项公式吗？公差对数列的增减性有何影响？2.已知等差数列的公差为d ，第m 项为m a ，第n 项为n a （n>m ）则n a =m a +_________3.已知一个等差数列的首项是1a ，公差为d ，（1）将数列的前m 项去掉，其余各项组成的数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差各是什么？（2）取出数列的所有奇数项，组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差各是什么？（3）取出数列中所有项数是7的倍数的项，组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差各是什么？（4）数列,,,543432321a a a a a a a a a ++++++......是等差数列吗？如果是，它的首项和公差各是什么？【预习自测】1.在△ABC 中，A 、B 、C 成等差数列，则B 等于（ ） A ．30 B.60 C.90 D.不能确定2.若{a n }是等差数列，则,,,543432321a a a a a a a a a ++++++987a a a ++,……,n n n a a a 31323++--,……( )A.一定不是等差数列B.一定是递增数列C.一定是等差数列D ．一定是递减数列 3.已知等差数列{a n }中，741a a a ++=39，33852=++a a a ，则963a a a ++等于（ ） A ．30 B.27 C.24D.21【我的疑惑】探究案Ⅰ.质疑探究——质疑解惑、合作探究 探究一：等差数列的性质问题1：如果数列{a n}是等差数列，首项为a1,公差为d，则通项公式a n=____________=___________.其中变化的量为n，a n，则点(n,a n)在直线____________上；点(n,a n)的横坐标每增加1，函数值增加_____.问题2：等差数列的性质：已知一个等差数列{a n}，其中首项是a1，公差为d，（1）下标成等差数列且公差为m的项a k，a k+m，a k+2m，…（k,m∈N*）组成公差为_____的等差数列.（2）a1+a2，a3+a4,a5+a6，…组成公差为_____的等差数列. a1+a2+…+a m,a m+1+a m+2+…+a2m，a2m+1+a2m+2+…+a3m,…组成公差为_____的等差数列.（3）若{b n}是公差为d0的等差数列，则数列{pa n+qb n}（p，q为常数）是公差为________的等差数列.（4）若{a n}是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都_______，且等于_______________.（5）若正整数m,n,p,q满足m+n=p+q,则a m+a n与a p+a q相等吗？说明理由.（6）若m+n=2p，则a m+a n_____2a p，a m+a n_____a2p（填“=”或“≠”）.【归纳总结】等差数列的性质有哪些？数列{a n}为等差数列，首项是a1，公差为d.（1）d＞0,{a n}是递增数列；d＜0，{a n}是递减数列；d=0,｛a n｝是常数列.（2）a n=a m+(n-m)d(m,n∈N*).（3）a1+a2+…+a m,a m+1+a m+2+…+a2m,…组成公差为m2d的等差数列.（4）a m,a2m,a3m,…,a km,…组成公差为md的等差数列.（5）若数列{b n}是公差为b的等差数列，p，q为常数，则{pa n±qb n}是公差为pd±qb的等差数列.（6）若m,n,p,q∈N*，且满足m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q.探究二：等差数列性质的应用（重难点）【例1】若{a n}是等差数列，a15=8,a60=20，求a75的值. 【规律方法总结】等差数列{an}的性质：（1）a1+a n=a2+a n-1=….（2）m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q a m+a n=a p+a q.（3）若m,n,p∈N*,且m,n,p 成等差数列，则a m,a n,a p成等差数列.（4）a n=a m+(n-m)d.（5）若数列{a n}是等差数列，则a n=an+b（a,b为常数,n∈N*）.（6）若{a n}与{b n}均为等差数列，则{a n±b n}也是等差数列.【拓展提升】已知等差数列{a n}中,a3a7=-16，a4+a6=0，求{a n}的通项公式.探究三：综合应用（重难点）【例2】数列{a n}的首项为3，{b n}为等差数列且b n=a n+1-a n(n∈N*).若b3=-2，b10=12，则a8等于( )A.0B.3C.8D.11【规律方法总结】（1）求通项公式常用的方法：①不完全归纳法；②公式法；③叠加法；④累积法.（2）判断一个数列是等差数列常用的方法有：①定义法；②等差中项法；③函数法：若a n=an+b（a,b为常数）,则数列{a n}是等差数列.（3）求数列的最大（小）项常用的方法：①不等式组法；②函数单调性判断法.Ⅱ.我的知识网络图训练案一、基础巩固------把简单的事做好就叫不简单！1．已知等差数列{a n}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是( )A．15 B．30 C．31 D．642.已知{a n}是等差数列，a3＋a11＝40，则a6－a7＋a8等于( )A．20 B．48 C．60 D．723. 已知等差数列{a n}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有( )．A.a1＋a101>0 B．a2＋a100<0 Ca3＋a100≤0 D．a51＝04.已知等差数列{a n}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若a m＝8，则m等于( ) A．4 B．6 C．8 D．125. 在等差数列{a n}中，a18＝95，a32＝123，a n＝199，则n=________.6. 已知{a n}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20=_________7. 设数列{a n},{b n}都是等差数列, 若711=+ba,2133=+ba, 则=+55ba___。

高中数学 2.2等差数列（1）学案新人教A 版必修5学习目标1. 理解等差数列的概念，了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列；2. 探索并掌握等差数列的通项公式；3. 正确认识使用等差数列各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定项.学习重难点1.重点： 等差数列的通项公式2.难点： 灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定项一、课前准备 （预习教材P 36 ~ P 39 ，找出疑惑之处）复习1：什么是数列？ 复习2：数列有几种表示方法？分别是哪几种方法？二、试一试问题一：等差数列的概念1：请同学们仔细观察，看看以下四个数列有什么共同特征？① 0，5，10，15，20，25，… ② 48，53，58，63③ 18，15.5，13，10.5，8，5.5 ④ 10072，10144，10216，10288，10366 新知：1.等差数列：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它 一项的 等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的 ， 常用字母 表示.2.等差中项：由三个数a ，A ， b 组成的等差数列，这时数 叫做数 和 的等差中项，用等式表示为A =问题二：等差数列的通项公式2：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？若一等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则据其定义可得：21a a -= ，即：21a a =+ 32a a -= ， 即：321a a d a =+=+ 43a a -= ，即：431a a d a =+=+ ……由此归纳等差数列的通项公式可得：n a =∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项1a 和公差d ，便可求得其通项n a .※ 学习探究探究1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项；⑵ －401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？变式：（1）求等差数列3，7，11，……的第10项.（2）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.小结：要求出数列中的项，关键是求出通项公式；要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n 值，使得n a 等于这一数. 探究 2 已知数列{n a }的通项公式n a pn q =+，其中p 、q 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是多少？变式：已知数列的通项公式为61n a n =-，问这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？小结：要判定{}n a 是不是等差数列，只要看1n n a a --（n ≥2）是不是一个与n 无关的常数. ※ 模仿练习练1. 等差数列1，－3，－7，－11，…，求它的通项公式和第20项.练2.在等差数列{}n a 的首项是51210,31a a ==， 求数列的首项与公差.三、总结提升 ※ 学习小结1. 等差数列定义： 1n n a a d --= (n ≥2)；2. 等差数列通项公式：n a =1(1)a n d +- (n ≥1).※ 知识拓展1. 等差数列通项公式为1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-. 分析等差数列的通项公式，可知其为一次函数，图象上表现为直线1(1)y a x d =+-上的一些间隔均匀的孤立点.2. 若三个数成等差数列，且已知和时，可设这三个数为,,a d a a d -+. 若四个数成等差数列，可设这四个数为3,,,3a d a d a d a d --++.当堂检测1. 等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是（ ）. A. 92 B. 47 C. 46 D. 452. 数列{}n a 的通项公式25n a n =+，则此数列是（ ）.A.公差为2的等差数列B.公差为5的等差数列C.首项为2的等差数列D.公差为n 的等差数列3. 等差数列的第1项是7，第7项是－1，则它的第5项是（ ）. A. 2 B. 3 C. 4 D. 64. 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 成等差数列，则∠B ＝ .5. 等差数列的相邻4项是a +1，a +3，b ，a +b ，那么a ＝ ，b ＝ .课后作业1. 在等差数列{}n a 中，⑴已知12a =，d ＝3，n ＝10，求n a ； ⑵已知13a =，21n a =，d ＝2，求n ；⑶已知112a=，627a=，求d；⑷已知d＝－13，78a=，求1a.2. 一个木制梯形架的上下底边分别为33cm，75cm，把梯形的两腰各6等分，用平行木条连接各分点，构成梯形架的各级，试计算梯形架中间各级的宽度.课后反思。

2．2 等差数列(一)[学习目标] 1.理解等差数列的定义，把握等差数列的通项公式.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简洁的问题.3.把握等差中项的概念，深化生疏并能运用．[学问链接]第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典进行，此后每4年进行一次，奥运会如因故不能进行，届数照算．这样进行奥运会的年份数构成一个数列，这个数列有什么特征呢？这个数列叫什么数列呢？ [预习导引] 1．等差数列的概念假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示． 2．等差中项的概念若三个数a ，A ，b 构成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，并且A ＝a ＋b2.3．等差数列的通项公式若等差数列的首项为a 1，公差为d ，则其通项a n ＝a 1＋(n －1)d . 4．等差数列的单调性等差数列{a n }中，若公差d >0，则数列{a n }为递增数列；若公差d <0，则数列{a n }为递减数列.要点一 等差数列的概念例1 若数列{a n }的通项公式为a n ＝10＋lg 2n ，试说明数列{a n }为等差数列．解 由于a n ＝10＋lg 2n ＝10＋n lg 2，所以a n ＋1－a n ＝[10＋(n ＋1)lg 2]－(10＋n lg 2)＝lg 2(n ∈N *)． 所以数列{a n }为等差数列．规律方法 推断一个数列是不是等差数列，就是推断a n ＋1－a n (n ＞1)是不是一个与n 无关的常数． 跟踪演练1 数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋5，则此数列( ) A ．是公差为2的等差数列 B ．是公差为5的等差数列 C ．是首项为5的等差数列 D ．是公差为n 的等差数列答案 A解析 ∵a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)＋5－(2n ＋5)＝2，∴{a n }是公差为2的等差数列．要点二 等差中项及其应用例2 (1)在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c 使这五个数成等差数列，求此数列．(2)已知数列{x n }的首项x 1＝3，通项x n ＝2n p ＋nq (n ∈N *，p ，q 为常数)，且x 1、x 4、x 5成等差数列．求：p ，q 的值．解 ∵－1，a ，b ，c,7成等差数列，∴b 是－1与7的等差中项．∴b ＝－1＋72＝3.又a 是－1与3的等差中项，∴a ＝－1＋32＝1.又c 是3与7的等差中项，∴c ＝3＋72＝5.∴该数列为－1,1,3,5,7. (2)由x 1＝3，得2p ＋q ＝3，①又x 4＝24p ＋4q ，x 5＝25p ＋5q ，且x 1＋x 5＝2x 4， 得3＋25p ＋5q ＝25p ＋8q ，即q ＝1，② 将②代入①，得p ＝1.故p ＝1，q ＝1.规律方法 在等差数列{a n }中，由定义有a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)，即a n ＝a n ＋1＋a n －12，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项．跟踪演练2 若m 和2n 的等差中项为4,2m 和n 的等差中项为5，求m 和n 的等差中项． 解 由m 和2n 的等差中项为4，得m ＋2n ＝8. 又由2m 和n 的等差中项为5，得2m ＋n ＝10. 两式相加，得m ＋n ＝6. ∴m 和n 的等差中项为m ＋n2＝3.要点三 等差数列的通项公式及应用例3 (1)若{a n }是等差数列，a 15＝8，a 60＝20，求a 75.(2)已知递减等差数列{a n }的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并推断－34是该数列的项吗？解 (1)设{a n }的公差为d .由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 15＝a 1＋14d ＝8，a 60＝a 1＋59d ＝20，解得⎩⎨⎧a 1＝6415，d ＝415.所以a 75＝a 1＋74d ＝6415＋74×415＝24.(2)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝18，a 1·a 2·a 3＝66，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝18，a 1·(a 1＋d )·(a 1＋2d )＝66，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝11，d ＝－5，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝5.∵数列{a n }是递减等差数列，∴d <0.故取a 1＝11，d ＝－5.∴a n ＝11＋(n －1)·(－5)＝－5n ＋16. 即等差数列{a n }的通项公式为a n ＝－5n ＋16. 令a n ＝－34，即－5n ＋16＝－34，得n ＝10. ∴－34是数列{a n }的第10项．规律方法 在等差数列{a n }中，首项a 1与公差d 是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，假如条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a 1，d 的关系列方程组求解，但是要留意公式的变形及整体计算，以削减计算量．跟踪演练3 已知{a n }为等差数列，分别依据下列条件写出它的通项公式： (1)a 3＝5，a 7＝13； (2)前三项为a,2a －1,3－a .解 (1) 设首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝a 1＋2d ＝5，a 7＝a 1＋6d ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.(2)由等差中项公式得2×(2a －1)＝a ＋(3－a )，a ＝54，∴首项为a ＝54，公差为2a －1－a ＝a －1＝54－1＝14，∴a n ＝54＋(n －1)×14＝n 4＋1.1．已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差d 为( ) A ．2 B ．3 C ．－2 D ．－3 答案 C解析 由等差数列的定义，得d ＝a 2－a 1＝－1－1＝－2. 2．△ABC 中，三内角A 、B 、C 成等差数列，则角B 等于( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120°答案 B解析 由于A 、B 、C 成等差数列，所以B 是A ，C 的等差中项，则有A ＋C ＝2B ，又因A ＋B ＋C ＝180°，所以3B ＝180°，从而B ＝60°.3．下列数列是等差数列的有________． (1)9, 7, 5, 3, …，－2n ＋11, …； (2)－1, 11, 23, 35, …， 12n －13, …； (3)1, 2, 1, 2, …； (4)1, 2, 4, 6, 8, 10, …； (5)a ，a ，a ，a ，…，a …. 答案 (1)(2)(5)解析 由等差数列的定义，得(1)，(2)，(5)为等差数列，(3)，(4)不是等差数列． 4．等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，求n 的值．解 ∵a 2＋a 5＝(a 1＋d )＋(a 1＋4d )＝2a 1＋5d ＝4， ∴d ＝23.∴a n ＝a 1＋(n －1)×23＝23n －13.由a n ＝23n －13＝33，解得n ＝50.1.推断一个数列是否是等差数列的常用方法有(1)a n＋1－a n＝d(d为常数，n∈N*)⇔{a n}是等差数列；(2)2a n＋1＝a n＋a n＋2(n∈N*)⇔{a n}是等差数列；(3)a n＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)⇔{a n}是等差数列．但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．2．由等差数列的通项公式a n＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1、d、n、a n四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．一、基础达标1．若a ≠b ，则等差数列a ，x 1，x 2，b 的公差是( ) A ．b －a B.b －a 2 C.b －a 3 D.b －a4答案 C解析 由等差数列的通项公式，得b ＝a ＋(4－1)d ，所以d ＝b －a3.2．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＋1＝0，则数列的通项a n 等于( ) A ．n 2＋1 B ．n ＋1 C ．1－n D ．3－n答案 D解析 ∵a n ＋1－a n ＝－1，∴数列{a n }是等差数列，公差为－1，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)×(－1)＝3－n . 3．等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是( ) A ．第7项 B ．第8项 C ．第9项 D ．第10项 答案 B解析 a 1＝20，d ＝－3，∴a n ＝20＋(n －1)×(－3)＝23－3n ，∴a 7＝2＞0，a 8＝－1＜0. 4．若5，x ，y ，z,21成等差数列，则x ＋y ＋z 的值为( ) A ．26 B ．29 C ．39 D ．52 答案 C解析 ∵5，x ，y ，z,21成等差数列，∴y 是5和21的等差中项也是x 和z 的等差中项． ∴5＋21＝2y ，∴y ＝13，x ＋z ＝2y ＝26. ∴x ＋y ＋z ＝39.5．等差数列的前三项依次是x －1，x ＋1,2x ＋3，则其通项公式为________． 答案 a n ＝2n －3解析 ∵x －1，x ＋1,2x ＋3是等差数列的前三项， ∴2(x ＋1)＝x －1＋2x ＋3，解得x ＝0. ∴a 1＝x －1＝－1，a 2＝1，a 3＝3，∴d ＝2，∴a n ＝－1＋2(n －1)＝2n －3.6．已知数列{a n }满足a 2n ＋1＝a 2n ＋4，且a 1＝1，a n >0，则a n ＝________.答案 4n －3解析 由已知a 2n ＋1－a 2n ＝4，∴{a 2n }是等差数列，且首项a 21＝1，公差d ＝4，∴a 2n ＝1＋(n －1)·4＝4n －3. 又a n >0，∴a n ＝4n －3.7．若关于x 的方程x 2－x ＋m ＝0和x 2－x ＋n ＝0(m ，n ∈R ，且m ≠n )的四个根组成首项为14的等差数列，求m＋n 的值．解 设x 2－x ＋m ＝0，x 2－x ＋n ＝0的根分别为x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＝x 3＋x 4＝1. 设数列的首项为x 1，则依据等差数列的性质，数列的第4项为x 2.由题意知x 1＝14，∴x 2＝34，数列的公差d ＝34－144－1＝16，∴数列的中间两项分别为 14＋16＝512，512＋16＝712. ∴x 1·x 2＝316.x 3·x 4＝512×712＝35144.∴m ＋n ＝316＋35144＝3172.8．甲虫是行动较快的昆虫之一，下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度：时间t (s) 1 2 3 … ？ … 60 距离s (cm)9.819.629.4…49…？(1)(2)利用建立的模型计算，甲虫1 min 能爬多远？它爬行49 cm 需要多长时间？解 (1)由题目表中数据可知，该数列从第2项起，每一项与前一项的差都是常数9.8，所以是一个等差数列模型．由于a 1＝9.8，d ＝9.8，所以甲虫的爬行距离s 与时间t 的关系是s ＝9.8t . (2)当t ＝1 min ＝60 s 时， s ＝9.8t ＝9.8×60＝588 cm.当s ＝49 cm 时，t ＝s 9.8＝499.8＝5 s.二、力量提升9．设函数f (x )＝(x －1)2＋n (x ∈[－1,3]，n ∈N *)的最小值为a n ，最大值为b n ，记c n ＝b 2n －a n ·b n ，则{c n}是( ) A ．常数列 B ．摇摆数列C ．公差不为0的等差数列D ．递减数列 答案 C解析 ∵f (x )＝(x －1)2＋n (x ∈[－1,3])， ∴a n ＝n ，b n ＝n ＋4，∴c n ＝b 2n －a n ·b n ＝b n (b n －a n )＝4(n ＋4)＝4n ＋16. 10．若数列{a n }满足3a n ＋1＝3a n ＋1，则数列是( ) A ．公差为1的等差数列 B ．公差为13的等差数列C ．公差为－13的等差数列D ．不是等差数列 答案 B解析 由3a n ＋1＝3a n ＋1，得3a n ＋1－3a n ＝1， 即a n ＋1－a n ＝13.所以数列{a n }为公差为13的等差数列．11．首项为－24的等差数列，从第10项起开头为正数，则公差d 的取值范围是________． 答案 83<d ≤3解析 设a n ＝－24＋(n －1)d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 9＝－24＋8d ≤0a 10＝－24＋9d >0，解不等式得：83<d ≤3.12．若等差数列{a n }的公差d ≠0且a 1，a 2是关于x 的方程x 2－a 3x ＋a 4＝0的两根，求数列{a n }的通项公式．解 由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＝a 3，a 1a 2＝a 4，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝a 1＋2d ，a 1(a 1＋d )＝a 1＋3d .解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2，∴a n ＝2＋(n －1)×2＝2n .故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . 三、探究与创新13．已知等差数列{a n }：3,7,11,15，….(1)135,4m ＋19(m ∈N *)是{a n }中的项吗？试说明理由．(2)若a p ，a q (p ，q ∈N *)是数列{a n }中的项，则2a p ＋3a q 是数列{a n }中的项吗？并说明你的理由． 解 a 1＝3，d ＝4，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4n －1. (1)令a n ＝4n －1＝135，∴n ＝34， ∴135是数列{a n }中的第34项．令a n ＝4n －1＝4m ＋19，则n ＝m ＋5∈N *. ∴4m ＋19是{a n }中的第m ＋5项． (2)∵a p ，a q 是{a n }中的项， ∴a p ＝4p －1，a q ＝4q －1. ∴2a p ＋3a q ＝2(4p －1)＋3(4q －1) ＝8p ＋12q －5＝4(2p ＋3q －1)－1∈N *，∴2a p ＋3a q 是{a n }中的第2p ＋3q －1项．。