高中数学必修5第二章等差数列

2.2等差数列的概念与通项公式一、教学目标：1.知识目标：理解等差数列的概念，了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，掌握等差数列的通项公式。

2.能力目标：培养学生观察、归纳能力，在学习过程中，体会归纳思想和化归思想并加深认识；通过概念的引入与通项公式的推导，培养学生分析探索能力，增强运用公式解决实际问题的能力3.情感目标：①通过个性化的学习增强学生的自信心和意志力。

②通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识。

③体验从特殊到一般，又到特殊的认知规律，培养学生勇于创新的科学精神。

二、教学重点：研究等差数列的概念以及通项公式的推导。

教学难点；（1）理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。

（2）等差数列的通项公式的推导过程及应用。

三、学情及导入分析：高一学生对数列已经有了初步的接触和认识，对方程、数学公式的运用具有一定技能，一开始就注意培养学生自主合作探究的学习习惯，学生思维比较活跃，课堂参与意识较浓。

本节课先由教师提供日常生活实例，引导学生通过对实例的分析体会数列的有关概念，再通过对数列的项数与项之间的对应关系的探究，认识数列是一种特殊的函数，最后师生共同通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式.弄清楚等差数列与通项公式的含义以及通项公式的推导过程。

四、教学过程：教学环节教学内容师生活动设计意图复习旧知识，引入新1、知识链接；数列的通项公式与递推关系.学生回答，引导温故知新。

由复习引入，通过数学知识的内部提出问题。

知归纳抽象形成概念比较分析，深化认识创设问题情景：1.下述数列有什么共同特点？根据下述数列的共同特点，可以给出等差数列的定义吗？能将以上的文字语言转换成数学符号语言吗？[来源:学#科#网Z#X#X#K]引例1：从0开始，将5的倍数从小到大排列，得到的数列？引例2：从1开始，将自然数从小到大排列，得到的数列？引例3：为了保证考试笔试的秩序，每次放入2个人考试，依次排列下去，已经考试的人员组成一个什么数列？得出等差数列的定义：从第二项起，每一项与它前一项的差(公差d)为同一常数，这样的一组数列，叫做等差数列”。

《等差数列》说课稿尊敬的各位评委老师：大家好！今天我说课的内容是《等差数列》。

下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程、板书设计这几个方面来展开我的说课。

一、教材分析“等差数列”是高中数学必修 5 第二章数列中的重要内容。

数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型。

等差数列在现实生活中有着广泛的应用，如建筑设计、经济增长等方面。

本节课是在学生已经学习了数列的基本概念和函数特性的基础上，进一步研究一类特殊的数列——等差数列。

通过本节课的学习，不仅可以深化学生对数列的理解，还为后续学习等比数列以及数列求和等知识奠定基础。

教材在内容编排上，先通过实例引入等差数列的概念，然后通过通项公式的推导，让学生体会从特殊到一般的数学思维方法。

同时，教材还配备了丰富的例题和习题，以帮助学生巩固所学知识。

二、学情分析我所授课的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和抽象概括能力，但对于数学概念的理解和应用还需要进一步加强。

在之前的学习中，学生已经掌握了函数的相关知识，这为理解数列这种特殊的函数提供了一定的帮助。

然而，由于等差数列的概念较为抽象，通项公式的推导需要一定的数学技巧，学生在学习过程中可能会遇到困难。

三、教学目标基于对教材和学情的分析，我制定了以下教学目标：1、知识与技能目标（1）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式。

（2）能够运用等差数列的通项公式解决相关问题。

2、过程与方法目标（1）通过观察、分析、归纳等方法，培养学生的抽象概括能力和逻辑思维能力。

（2）经历等差数列通项公式的推导过程，体会从特殊到一般的数学思想方法。

3、情感态度与价值观目标（1）让学生感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。

（2）通过合作探究，培养学生的团队合作精神和创新意识。

四、教学重难点1、教学重点（1）等差数列的概念和通项公式。

（2）通项公式的应用。

2、教学难点（1）等差数列通项公式的推导。

数学人教B 必修5第二章2.2.2 等差数列的前n 项和1．理解等差数列前n 项和公式的推导过程． 2．掌握等差数列前n 项和公式，并能利用前n 项和公式解决有关等差数列的实际问题． 3．熟练掌握等差数列的五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 的关系，能够由其中的三个量求另外的两个量．1．(1)倒序相加法是解决等差数列求和问题的基本方法，利用倒序相加法可以推出等差数列的前n 项和公式．(2)等差数列的前n 项和公式有两个，一共涉及a 1，a n ，S n ，n ，d 五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量，解答方法就是解方程组．(3)当已知首项a 1和末项a n 及项数n 时，用公式S n ＝n (a 1＋a n )2来求和，用此公式时常结合等差数列的性质．(4)当已知首项a 1和公差d 及项数n 时，用公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d 来求和．【做一做1－1】已知数列{a n }为等差数列，a 1＝35，d ＝－2，S n ＝0，则n 等于( )． A ．33 B ．34 C ．35 D ．36【做一做1－2】等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 17＝10，则S 19的值为( )． A ．55 B ．95C ．100D ．不能确定2．等差数列前n 项和公式与函数的关系 由于S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n ，当d ≠0时，此公式可看做二次项系数为d 2，一次项系数为(a 1－d2)，常数项为0的________，其图象为抛物线y ＝d 2x 2＋(a 1－d2)x 上的点集，坐标为(n ，S n )(n ∈N ＋)．因此，由二次函数的性质立即可以得出结论：当d ＞0时，S n 有最____值；当d ＜0时，S n 有最____值．数列中的最值问题可以根据二次函数的最值加以求解，这也是利用函数解决数列问题的一个重要应用．【做一做2－1】已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝19－2n ，则{a n }的前________项和最大．【做一做2－2】已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－12n ，则当n 等于________时，S n 最小．一、关于等差数列中奇数项和、偶数项和的问题剖析：(1)当等差数列{a n }有偶数项时，设项数为2n ， 设S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ，① S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1，② ①－②，得S 偶－S 奇＝nd . ①＋②，得S 偶＋S 奇＝S 2n .①②，得S 偶S 奇＝n2(a 2＋a 2n )n2(a 1＋a 2n －1)＝2a n ＋12a n ＝a n ＋1a n .(2)当等差数列{a n }有奇数项时，设项数为2n ＋1， 设S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1，③ S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ，④③－④，得S 奇－S 偶＝a 1＋nd ＝a n ＋1.③＋④，得S 偶＋S 奇＝S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1. ③④，得S 奇S 偶＝n ＋12(a 1＋a 2n ＋1)n 2(a 2＋a 2n )＝(n ＋1)a n ＋1na n ＋1＝n ＋1n .综上，等差数列奇数项和、偶数项和有如下性质： (1)项数为2n 时，S 偶－S 奇＝nd ，S 偶＋S 奇＝S 2n ，S 偶S 奇＝a n ＋1a n.(2)项数为2n ＋1时，S 奇－S 偶＝a 1＋nd ＝a n ＋1，S 偶＋S 奇＝S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1，S 奇S 偶＝(n ＋1)a n ＋1na n ＋1＝n ＋1n .熟练运用这些性质，可以提高解题速度．除了上述性质外，与前n 项和有关的性质还有：①等差数列的依次连续每k 项之和S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…组成公差为k 2d 的等差数列． ②若S n 为数列{a n }的前n 项和，则{a n }为等差数列等价于{S nn }是等差数列．③若{a n }，{b n }都为等差数列，S n ，S n ′为它们的前n 项和，则a m b m ＝S 2m －1S 2m －1′.二、教材中的“？”如果仅利用通项公式，能求出使得S n 最小的序号n 的值吗？剖析：如果仅利用通项公式，也可求出最小序号n 的值．因为该数列的通项公式为a n＝4n －32，其各项为－28，－24，…，－4,0,4，…，可以看出，所有负数或非正数的项相加其和最小时，n 的值为7或8.三、教材中的“思考与讨论”1．如果已知数列{a n }的前n 项和S n 的公式，那么这个数列确定了吗？如果确定了，那么如何求它的通项公式？应注意一些什么问题？剖析：确定了，由公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2来求解，求解时注意要分类讨论，然后对n ＝1的情况进行验证，能写成统一的形式就将a 1合进来，否则保留分段函数形式．2．如果一个数列的前n 项和的公式是S n ＝an 2＋bn ＋c (a ，b ，c 为常数)，那么这个数列一定是等差数列吗？剖析：等差数列前n 项和公式可以变形为S n ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n .当d ≠0时，是关于n 的二次函数，如果一个数列的前n 项和公式是S n ＝an 2＋bn ＋c (a ，b ，c 为常数)，那么这个数列的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ，n ＝1，2an －a ＋b ，n ≥2.只有当c ＝0时，a 1＝a ＋b ＋c 才满足a n ＝2an －a ＋b .因此，当数列的前n 项和公式为S n ＝an 2＋bn 时，所确定的数列才是等差数列，这时，等差数列的公差d ＝2a .题型一 等差数列的前n 项和公式的直接应用 【例1】在等差数列{a n }中，(1)已知a 10＝30，a 20＝50，S n ＝242，求n ； (2)已知S 8＝24，S 12＝84，求a 1和d ； (3)已知a 6＝20，S 5＝10，求a 8和S 8； (4)已知a 16＝3，求S 31.分析：在等差数列的前n 项和公式中有五个基本量a 1，a n ，d ，n ，S n ，只要已知任意三个量，就可以求出其他两个量．反思：在等差数列{a n }中，首项a 1与公差d 是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，均可化成有关a 1，d 的方程或方程组求解．解题过程中，要注意：(1)选择适当的公式；(2)合理利用等差数列的有关性质．题型二 S n 与a n 的关系问题【例2】已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和满足S n ＞1，且6S n ＝(a n ＋1)(a n ＋2)，n ∈N ＋，求{a n }的通项公式．分析：由a 1＝S 1，求a 1.由a n ＋1＝S n ＋1－S n 确定a n ＋1与a n 的关系，再求通项a n .反思：利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2求a n 时，切记验证n ＝1时的情形是否符合n ≥2时a n 的表达式．题型三 等差数列前n 项和性质的应用【例3】项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数．分析：已知等差数列的奇、偶数项的和，求特殊项与项数，可从整体上直接考虑奇、偶数项的和与特殊项及项数的关系．反思：在等差数列{a n }中，(1)若项数为2n ＋1(n ∈N ＋)，则S 奇S 偶＝n ＋1n ，其中S 奇＝(n ＋1)a n＋1，S 偶＝n ·a n ＋1；(2)若数列项数为2n (n ∈N ＋)，则S 偶－S 奇＝nd .题型四 等差数列前n 项和的最值问题【例4】在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 17＝S 9，求S n 的最大值．分析：本题可用二次函数求最值或由通项公式求n ，使a n ≥0，a n ＋1＜0或利用等差数列的性质求出大于或等于零的项．反思：本例四种解法从四个侧面求解前n 项和最值问题，方法迥异，殊途同归． 解等差数列的前n 项和最大(最小)问题的常用方法有：(1)二次函数法：由于S n ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n 是关于n 的二次式，因此可用二次函数的最值来确定S n 的最值，但要注意这里的n ∈N ＋.(2)图象法：可利用二次函数图象的对称性来确定n 的值，使S n 达到最大(或最小)． (3)通项法：由于S n ＝S n －1＋a n ，所以当a n ≥0时，S n ≥S n －1；当a n ≤0时，S n ≤S n －1，因此当a 1＞0且d ＜0时，使a n ≥0的最大的n 的值，使S n 最大；当a 1＜0，d ＞0时，满足a n ≤0的最大的n 的值，使S n 最小．题型 五易错辨析【例5】若数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n 2－2n ＋1，求数列{a n }的通项公式，并判断它是否为等差数列．错解：∵a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n ＋1)－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5， ∴a n ＋1－a n ＝[6(n ＋1)－5]－(6n －5)＝6(常数)． ∴数列{a n }是等差数列．错因分析：本题忽略了a n ＝S n －S n －1成立的条件“n ≥2”．【例6】已知两个等差数列{a n }与{b n }，它们的前n 项和的比S n S n ＝n ＋3n ＋1，求a 10b 10.错解：设S n ＝k (n ＋3)，S n ′＝k (n ＋1)， 则a 10b 10＝S 10－S 9S 10′－S 9′＝k (10＋3)－k (9＋3)k (10＋1)－k (9＋1)＝1. 错因分析：本题由于错误地设出了S n ＝k (n ＋3)，S n ′＝k (n ＋1)，从而导致结论错误．1已知在等差数列{a n }中，a 2＝7，a 4＝15，则前10项的和S 10等于( )． A ．100 B ．210 C ．380 D ．400 2已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n ＋1n ＋2，则a 3等于( )．A ．120B ．124C ．128D ．1323等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为( )． A ．130 B ．170 C ．210 D ．2604设数列{a n }是等差数列，且a 2＝－6，a 8＝6，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( )． A ．S 4＜S 5 B ．S 4＝S 5 C ．S 6＜S 5 D ．S 6＝S 5 5设数列{a n }的前n 项和为S n ＝2－2·3n ，则通项公式a n ＝________. 6设公差不为零的等差数列{a n }，S n 是数列{a n }的前n 项和，且S 23＝9S 2，S 4＝4S 2，则数列{a n }的通项公式为____________．答案： 基础知识·梳理 1．n (a 1＋a n )2 na 1＋n (n －1)2d【做一做1－1】D 由公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，得到35n ＋n (n －1)2(－2)＝0，即n 2－36n＝0，解得n ＝36或n ＝0(舍去)．【做一做1－2】B 2．二次函数 小 大 【做一做2－1】9 【做一做2－2】6 典型例题·领悟【例1】解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ a 10＝a 1＋9d ＝30，a 20＝a 1＋19d ＝50，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝2.∵S n ＝242，∴12n ＋n (n －1)2×2＝242.解得n ＝11或n ＝－22(舍去)． ∴n ＝11.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ S 8＝8a 1＋28d ＝24，S 12＝12a 1＋66d ＝84，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝2.∴a 1＝－4，d ＝2.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧ a 6＝a 1＋5d ＝20，S 5＝5a 1＋10d ＝10，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－10，d ＝6.∴a 8＝a 6＋2d ＝32，S 8＝8(a 1＋a 8)2＝88.(4)S 31＝a 1＋a 312×31＝a 16×31＝93.【例2】解：由a 1＝S 1＝16(a 1＋1)(a 1＋2)，解得a 1＝1或a 1＝2，由已知a 1＝S 1＞1，知a 1＝2. 又由a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝16(a n ＋1＋1)(a n ＋1＋2)－16(a n ＋1)(a n ＋2)， 得a n ＋1－a n －3＝0或a n ＋1＝－a n ，因a n ＞0，故a n ＋1＝－a n 不成立，舍去．因此a n ＋1－a n ＝3，从而{a n }是公差为3，首项为2的等差数列，故{a n }的通项为a n ＝3n －1.【例3】解：设等差数列{a n }共有(2n ＋1)项，则奇数项有(n ＋1)项，偶数项有n 项，中间项是第(n ＋1)项，即a n ＋1.∴S 奇S 偶＝12(a 1＋a 2n ＋1)×(n ＋1)12(a 2＋a 2n )×n ＝(n ＋1)a n ＋1na n ＋1＝n ＋1n ＝4433＝43，得n ＝3.∴2n ＋1＝7.又∵S 奇＝(n ＋1)·a n ＋1＝44，∴a n ＋1＝11. 故这个数列的中间项为11，共有7项． 【例4】解：解法一：由S 17＝S 9，得25×17＋172(17－1)d ＝25×9＋92(9－1)d ，解得d ＝－2，∴S n ＝25n ＋n2(n －1)(－2)＝－(n －13)2＋169，由二次函数的性质得当n ＝13时，S n 有最大值169. 解法二：先求出d ＝－2(解法一)．∵a 1＝25＞0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝25－2(n －1)≥0，a n ＋1＝25－2n ＜0，得⎩⎨⎧n ≤1312，n ＞1212.∴当n ＝13时，S n 有最大值169. 解法三：先求出d ＝－2(同解法一)． 由S 17＝S 9，得a 10＋a 11＋…＋a 17＝0，而a 10＋a 17＝a 11＋a 16＝a 12＋a 15＝a 13＋a 14， 故a 13＋a 14＝0.∵d ＝－2＜0，a 1＞0， ∴a 13＞0，a 14＜0.故n ＝13时，S n 有最大值169.解法四：先求出d ＝－2(同解法一)得S n 的图象如图所示，由S 17＝S 9知图象的对称轴n ＝9＋172＝13，∴当n ＝13时，S n 取得最大值169.【例5】正解：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n ＋1)－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.∴数列{a n }不是等差数列．【例6】正解1：利用等差数列的性质，得a 10b 10＝192(a 1＋a 19)192(b 1＋b 19)＝S 19S 19′＝19＋319＋1＝1110. 正解2：设S n ＝kn (n ＋3)，S n ′＝kn (n ＋1)，所以a 10b 10＝S 10－S 9S 10′－S 9′＝k ·10(10＋3)－k ·9(9＋3)k ·10(10＋1)－k ·9(9＋1)＝1110.随堂练习·巩固1．B d ＝a 4－a 24－2＝15－72＝4，a 1＝3，所以S 10＝210.2．A3．C 令m ＝1，则S m ＝S 1＝a 1＝30，S 2m ＝S 2＝a 1＋a 2＝100，则有a 1＝30，a 2＝70，d ＝40，则a 3＝110，故S 3m ＝S 3＝S 2＋a 3＝100＋110＝210.4．B 方法一：设该等差数列的首项为a 1，公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝－6，a 1＋7d ＝6.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，d ＝2. 从而有S 4＝－20，S 5＝－20，S 6＝－18.从而有S 4＝S 5.方法二：由等差数列的性质知a 5＋a 5＝a 2＋a 8＝－6＋6＝0，所以a 5＝0，从而有S 4＝S 5.5．－4·3n －1 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－2·31＝－4.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2－2·3n )－(2－2·3n －1)＝－4·3n －1.此时对n ＝1，有a 1＝－4·31－1＝－4，也适合．综上，对n ∈N ＋，a n ＝－4·3n －1.6．a n ＝49(2n －1) 设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，首项为a 1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧(3a 1＋3d )2＝9(2a 1＋d )，4a 1＋6d ＝4(2a 1＋d ).解得a 1＝49，d ＝89或a 1＝d ＝0(舍去)．∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝49＋(n －1)×89＝49(2n －1)．。