必修5等差数列基础(一般)

等差数列知识集结知识元等差数列的性质知识讲解1．等差数列的性质【等差数列】如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：a n＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：S n＝na1+n（n﹣1）或S n＝（n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2a m＝a p+a q（p，q，m都为自然数）例：已知等差数列{a n}中，a1＜a2＜a3＜…＜a n且a3，a6为方程x2﹣10x+16＝0的两个实根．（1）求此数列{a n}的通项公式；（2）268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由．解：（1）由已知条件得a3＝2，a6＝8．又∵{a n}为等差数列，设首项为a1，公差为d，∴a1+2d＝2，a1+5d＝8，解得a1＝﹣2，d＝2．∴a n＝﹣2+（n﹣1）×2＝2n﹣4（n∈N*）．∴数列{a n}的通项公式为a n＝2n﹣4．（2）令268＝2n﹣4（n∈N*），解得n＝136．∴268是此数列的第136项．这是一个很典型的等差数列题，第一问告诉你第几项和第几项是多少，然后套用等差数列的通项公式a n＝a1+（n﹣1）d，求出首项和公差d，这样等差数列就求出来了．第二问判断某个数是不是等差数列的某一项，其实就是要你检验看符不符合通项公式，带进去检验一下就是的．【等差数列的性质】（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；（3）m，n∈N+，则a m＝a n+（m﹣n）d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则a s+a t＝a p+a q，其中a s，a t，a p，a q是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有a s+a t＝2a p；（5）若数列{a n}，{b n}均是等差数列，则数列{ma n+kb n}仍为等差数列，其中m，k均为常数．（6）a n，a n﹣1，a n﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2a n+1＝a n+a n+2，2a n＝a n﹣m+a n+m，（n≥m+1，n，m∈N+）（8）a m，a m+k，a m+2k，a m+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．例题精讲等差数列的性质例1.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a8=15-a5，则S9等于（）A．18B．36C．45D．60例2.记等差数列{a n}的前n项和为S n．若a5=3，S13=91，则a1+a11=（）A．7B．8C．9D．10例3.在等差数列{a n}中，a3+a9=24-a5-a7，则a6=（）A．3B．6C．9D．12等差数列的通项公式知识讲解1．等差数列的通项公式【知识点的认识】等差数列是常见数列的一种，数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，已知等差数列的首项a1，公差d，那么第n项为a n＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m项为a m，则第n项为a n＝a m+（n﹣m）d．【例题解析】eg1：已知数列{a n}的前n项和为S n＝n2+1，求数列{a n}的通项公式，并判断{a n}是不是等差数列解：当n＝1时，a1＝S1＝12+1＝2，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2+1﹣（n﹣1）2﹣1＝2n﹣1，∴a n＝，把n＝1代入2n﹣1可得1≠2，∴{a n}不是等差数列考察了对概念的理解，除掉第一项这个数列是等差数列，但如果把首项放进去的话就不是等差数列，题中a n的求法是数列当中常用到的方式，大家可以熟记一下．eg2：已知等差数列{a n}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7则这个数列的通项公式为解：∵等差数列{a n}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7，∴2（2a+1）＝a﹣1+a+7，解得a＝2．∴a1＝2﹣1＝1，a2＝2×2+1＝5，a3＝2+7＝9，∴数列a n是以1为首项，4为公差的等差数列，∴a n＝1+（n﹣1）×4＝4n﹣3．故答案：4n﹣3．这个题很好的考察了的呢公差数列的一个重要性质，即等差中项的特点，通过这个性质然后解方程一样求出首项和公差即可．【考点点评】求等差数列的通项公式是一种很常见的题型，这里面往往用的最多的就是等差中项的性质，这也是学习或者复习时应重点掌握的知识点．例题精讲等差数列的通项公式例1.在等差数列{a n}中，a4，a12是方程x2+3x+1=0的两根，则a8=（）A．B．C．D．不能确定例2.在等差数列{a n}中，a2+a10=0，a6+a8=-4，a100=（）A．212B．188C．-212D．-188例3.在等差数列{a n}中，若a2=5，a4=3，则a6=（）A．-1B．0C．1D．6当堂练习单选题练习1.在等差数列{a n}中，a3+a9=24-a5-a7，则a6=（）A．3B．6C．9D．12练习2.等差数列{a n}中，已知a2+a6=4，则a4=（）A．1B．2C．3D．4练习3.在等差数列{a n}中，若a3+a9=17，a7=9，则a5=（）A．6B．7C．8D．9练习4.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题”（又称“物不知数题”），后来我国南宋数学家秦九韶在《数书九章∙大衍求一术》中将此问题系统解决．“大衍求一术”是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题．后传入西方，被称为“中国剩余定理”．现有一道一次同余式组问题：将正整数中，被3除余2且被5除余1的数，按由小到大的顺序排成一列，则此列数中第10项为（）A．116B．131C．146D．161练习5.已知2，b的等差中项为5，则b为（）A．B．6C．8D．10练习6.数列{a n}是等差数列，a1=1，公差d∈[1，2]，且a4+λa10+a16=15，则实数λ的最大值为（）A．B．C．D．练习7.等差数列{a n}中，S n是它的前n项和，a2+a3=10，S6=54，则该数列的公差d为（）A．2B．3C．4D．6练习8.等差数列{a n}中，a1+a8=10，a2+a9=18，则数列{a n}的公差为（）A．1B．2C．3D．4练习9.在等差数列{a n}中，已知a2+a6=18，则a4=（）A．9B．8C．81D．63。

等差数列一．等差数列知识点：知识点1、等差数列的定义:①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示知识点2、等差数列的判定方法：②定义法:对于数列，若(常数），则数列是等差数列③等差中项:对于数列,若,则数列是等差数列知识点3、等差数列的通项公式:④如果等差数列的首项是，公差是，则等差数列的通项为该公式整理后是关于n的一次函数知识点4、等差数列的前n项和：⑤⑥对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数知识点5、等差中项:⑥如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项即：或在一个等差数列中,从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项知识点6、等差数列的性质:⑦等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有⑧对于等差数列，若，则也就是:⑨若数列是等差数列，是其前n项的和,，那么,,成等差数列如下图所示：10、等差数列的前项和的性质：①若项数为，则，且，．②若项数为,则，且，（其中,）．二、题型选析：题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用)1、。

等差数列{a n｝的前三项依次为a-6，2a -5, -3a +2，则a 等于（）A . -1B . 1C 。

—2 D. 22．在数列｛a n}中，a1=2，2a n+1=2a n+1，则a101的值为( ）A．49 B．50 C．51 D．523．等差数列1,－1,－3，…，－89的项数是（)A．92 B．47 C．46 D．454、已知等差数列中,的值是（）（)A 15B 30C 31D 645. 首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是（）A.d＞B.d＜3 C。

≤d＜3 D.＜d≤36、。

在数列中，，且对任意大于1的正整数,点在直上,则=_____________。

《等差数列》说课稿等差数列说课稿尊敬的各位评委、老师们：大家好！今天我说课的内容是《等差数列》。

一、说教材《等差数列》是高中数学必修 5 第二章数列中的重要内容。

数列作为一种特殊的函数，在实际生活中有着广泛的应用。

等差数列是数列中最基本的模型之一，它不仅是研究其他数列的基础，而且在数学和其他学科中都有着重要的地位。

通过对等差数列的学习，学生能够掌握一种常见的数学规律，提高观察、分析和解决问题的能力。

同时，等差数列的研究方法也为后续学习等比数列以及其他数学知识奠定了基础。

二、说学情我所面对的学生是高一年级的学生，他们在初中已经接触过数列的初步知识，具有一定的数学思维能力和逻辑推理能力。

但是，对于抽象的数学概念和复杂的数学运算，他们可能还存在一定的困难。

在日常的教学中，我发现学生对于数学公式的记忆比较机械，缺乏对公式的理解和灵活运用。

因此，在本节课的教学中，我将注重引导学生通过观察、归纳、类比等方法，自主探究等差数列的定义和通项公式，培养学生的数学思维能力和创新能力。

三、说教学目标基于对教材和学情的分析，我制定了以下教学目标：1、知识与技能目标（1）理解等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式。

（2）能够运用等差数列的通项公式解决相关问题。

2、过程与方法目标（1）通过观察、分析、归纳等方法，培养学生的观察能力、分析能力和归纳能力。

（2）通过等差数列通项公式的推导，培养学生的逻辑推理能力和创新能力。

3、情感态度与价值观目标（1）让学生在自主探究和合作交流中，体验数学学习的乐趣，增强学习数学的信心。

（2）培养学生严谨的科学态度和勇于探索的精神。

四、说教学重难点教学重点：等差数列的定义和通项公式。

教学难点：等差数列通项公式的推导和应用。

五、说教法和学法为了实现教学目标，突破教学重难点，我将采用以下教法和学法：教法：启发式教学法、讲授法、讨论法。

学法：自主探究法、合作交流法。

六、说教学过程接下来，我将详细介绍本节课的教学过程，我把它分为以下几个环节：（一）创设情境，引入新课在上课之初，我会给学生讲一个小故事：有一天，小明去参加一个数学竞赛，竞赛中有这样一道题：一个数列 2，5，8，11，14，······，请问第 100 个数是多少？小明看到这道题后，一下子就懵了，他不知道该从哪里入手。

2020年高中数学必修5 等差数列 基础复习一、选择题1.在数列{a n }中，a 1=1，a n ＋1=a n ＋1，则a 2 017等于( )A ．2 009B ．2 010C ．2 018D ．2 0172.已知数列3,9,15，…，3(2n-1)，…，那么81是它的第几项( )A ．12B ．13C ．14D ．153.在等差数列{a n }中，a 2=-5，a 6=a 4＋6，则a 1等于( )A ．-9B ．-8C ．-7D ．-44.若等差数列{a n }中，已知a 1=13，a 2＋a 5=4，a n =35，则n=( )A ．50B ．51C ．52D ．535.已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10=8，则a 100=( )A ．100B ．99C ．98D ．976.在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8=10，则3a 5＋a 7=( )A ．10B ．18C ．20D ．287.设{a n }是公差不为0的等差数列，且a 24＋a 25=a 26＋a 27，则该数列的前10项和S 10=( )A ．－10B ．－5C ．0D ．58.设等差数列{a n }的公差为d ，且a 1a 2=35,2a 4－a 6=7，则d=( )A ．4B ．3C ．2D ．1 9.已知等差数列{a n }中,a 7+a 9=16,a 4=1,则a 12的值是( )A.64B.31C.30D.1510.首项为－20的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是( )A.d ＞920 B.d ≤25 C.920＜d ≤25 D.920≤d ＜25 11.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5=3，则S 5=( )A ．5B ．7C ．9D ．1112.设{a n }是等差数列，若a 2=3，a 7=13，则数列{a n }的前8项和为( )A ．128B ．80C ．64D ．5613.记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=12，S 4=20，则S 6=( )A ．16B ．24C ．36D ． 4814.等差数列{a n }中，d=2，a n =11，S n =35，则a 1等于( )A ．5或7B ．3或5C ．7或-1D ．3或-115.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2=4，S 4=20，则该数列的公差d 为( )A ．7B ．6C ．3D ．216.已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4=4，a 3＋a 5=10，则它的前10项的和S 10等于( )A ．138B ．135C ．95D ．2317.数列{a n }是等差数列，a 1＋a 2＋a 3=-24，a 18＋a 19＋a 20=78，则此数列的前20项和等于( )A ．160B ．180C ．200D ．22018.在等差数列{a n }中，S 10=120，那么a 1＋a 10的值是( )A ．12B ．24C ．36D ．4819.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6=13，则S 6S 12为( )A.310B.13C.18D.1920.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3=59，则S 9S 5等于( )A ．1B ．-1C ．2 D.12二、填空题21.已知48，a ，b ，c ，-12是等差数列的连续5项，则a ，b ，c 的值依次是________．22.数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为－2，公差为4的等差数列．若a n =b n ，则n 的值为________．23.已知a ，b ，c 成等差数列，那么二次函数y=ax 2＋2bx ＋c(a≠0)的图象与x 轴的交点有______个．24.设{a n }是等差数列，且a 1=3，a 2＋a 5=36，则{a n }的通项公式为________． 25.等差数列{a n }中，若a 10=10，a 19=100，前n 项和S n =0，则n=________.26.等差数列{a n }中，a 2＋a 7＋a 12=24，则S 13=________.27.有两个等差数列{a n }，{b n }，它们的前n 项和分别为S n 和T n .若S n T n =2n ＋1n ＋2，则a 8b 7等于________．28.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 4=1，S 5=10，则当S n 取得最大值时，n 的值为________．三、解答题29.一个各项都是正数的无穷等差数列{a n }，a 1和a 3是方程x 2-8x ＋7=0的两个根，求它的通项公式．30.在等差数列{a n }中，(1)已知a 5=－1，a 8=2，求a 1与d ； (2)已知a 1＋a 6=12，a 4=7，求a 9.31.在等差数列{a n }中，a 10=18，前5项的和S 5=-15，(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和的最小值，并指出何时取得最小值．32.已知等差数列{a n}中，a1=1，a3=-3.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{a n}的前k项和S k=-35，求k的值．33.记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1=－7，S3=－15．(1)求{a n}的通项公式；(2)求S n，并求S n的最小值．34.记S n为等比数列{a n}的前n项和．已知S2=2，S3=－6．(1)求{a n}的通项公式；(2)求S n，并判断S n＋1，S n，S n＋2是否成等差数列．参考答案1.2.答案为：D ；解析：由于a n ＋1-a n =1，则数列{a n }是等差数列，且公差d=1， 则a n =a 1＋(n-1)d=n ，故a 2 017=2 017.3.答案为：C ；解析：由已知数列可知，此数列是以3为首项，6为公差的等差数列， ∴a n =3＋(n-1)×6=3(2n -1)=6n-3，由6n-3=81，得n=14.4.答案为：B ；解析：法一：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝－5，a 1＋5d ＝a 1＋3d ＋6，解得a 1=-8.法二：由a n =a m ＋(n-m)d(m ，n ∈N *)，得d=a n －a m n －m ，∴d=a 6－a 46－4=66－4=3.∴a 1=a 2-d=-8.5.答案为：D ；解析：依题意，a 2＋a 5=a 1＋d ＋a 1＋4d=4，将a 1=13代入，得d=23.所以a n =a 1＋(n-1)d=13＋(n-1)×23=23n-13，令a n =35，解得n=53.6.答案为：C ；解析：由已知，⎩⎪⎨⎪⎧9a 1＋36d ＝27，a 1＋9d ＝8，所以a 1=－1，d=1，a 100=a 1＋99d=－1＋99=98，故选C.7.答案为：C ；解析：由题意可知a 3＋a 8=a 5＋a 6=10，所以3a 5＋a 7=2a 5＋a 5＋a 7=2a 5＋2a 6=20，故选C ．8.答案为：C ；解析：由a 24＋a 25=a 26＋a 27得a 24－a 26=a 27－a 25，即(a 4－a 6)(a 4＋a 6)=(a 7－a 5)(a 7＋a 5)，也即－2d×2a 5=2d×2a 6，由d≠0，得a 6＋a 5=a 1＋a 10=0，所以S 10=5(a 1＋a 10)=0．故选C ．9.答案为：C ；10.D.11.答案为：C ；解析：由题意知a 10>0,a 9≤0,即-20+9d>0,-20+8d ≤0即920＜d ≤25.12.答案为：A ；解析：a 1＋a 3＋a 5=3a 3=3⇒a 3=1，S 5=5a 1＋a 52=5a 3=5.13.答案为：C ；解析：设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 8=8a 1＋a 82=8a 2＋a 72=8×3＋132=64.14.答案为：D ；解析：设数列{a n }的公差为d ，则S n =n 2＋n n －12d ，∴S 4=2＋6d=20，∴d=3，∴S 6=3＋15d=48.15.答案为：D ；解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a n ＝11，S n ＝35，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2n －1＝11，na 1＋n n －12×2＝35.解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝5，a 1＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝7，a 1＝－1.16.答案为：C ；解析：由S 2=4，S 4=20，得2a 1＋d=4,4a 1＋6d=20，解得d=3.17.答案为：C ；解析：由a 2＋a 4=4，a 3＋a 5=10，可知d=3，a 1=-4.∴S 10=-40＋10×92×3=95.18.答案为：B ；解析：∵{a n }是等差数列，∴a 1＋a 20=a 2＋a 19=a 3＋a 18. 又a 1＋a 2＋a 3=-24，a 18＋a 19＋a 20=78， ∴a 1＋a 20＋a 2＋a 19＋a 3＋a 18=54. ∴3(a 1＋a 20)=54.∴a 1＋a 20=18.∴S 20=20a 1＋a 202=180.19.答案为：B ；解析：由S 10=10（a 1＋a 10）2，得a 1＋a 10=S 105=1205=24.20.答案为：A ；解析：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9，构成一个新的等差数列，因为S 3=1，S 6－S 3=3－1=2，所以S 9－S 6=3，S 12－S 9=4.所以S 12=S 3＋(S 6－S 3)＋(S 9－S 6)＋(S 12－S 9)=1＋2＋3＋4=10.所以S 6S 12=310.21.答案为：A ；解析：S 9S 5=92（a 1＋a 9）52（a 1＋a 5）=9×2a 55×2a 3=9a 55a 3=95×59=1.一、填空题22.答案为：33,18,3；解析：∵2b=48＋(-12)，∴b=18，又2a=48＋b=48＋18，∴a=33，同理可得c=3.23.答案为：5；解析：a n =2＋(n －1)×3=3n－1，b n =－2＋(n －1)×4=4n－6， 令a n =b n ，得3n －1=4n －6，所以n=5.24.答案为：1或2；解析：因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b=a ＋c ，又因为Δ=4b 2－4ac=(a ＋c)2－4ac=(a －c)2≥0所以二次函数的图象与x 轴的交点有1或2个．25.答案为：a n =6n －3；解析：法一：设数列{a n }的公差为d.∵a 2＋a 5=36，∴(a 1＋d)＋(a 1＋4d)=36， ∴2a 1＋5d=36.∵a 1=3，∴d=6，∴a n =6n －3.法二：设数列{a n }的公差为d ，∵a 2＋a 5=a 1＋a 6=36，a 1=3，∴a 6=33，∴d=a 6－a 15=6.∵a 1=3，∴a n =6n －3.26.答案为：17；解析：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝10a 1＋18d ＝100，∴d=10，a 1=-80.∴S n =-80n ＋n n －12×10=0，∴-80n ＋5n(n-1)=0，n=17.27.答案为：104；解析：因为a 1＋a 13=a 2＋a 12=2a 7，又a 2＋a 7＋a 12=24，所以a 7=8.所以S 13=13a 1＋a 132=13×8=104.28.答案为：3115；解析：由{a n }，{b n }是等差数列，S n T n =2n ＋1n ＋2，不妨设S n =kn(2n ＋1)，T n =kn(n ＋2)(k≠0)，则a n =3k ＋4k(n-1)=4kn-k ，b n =3k ＋2k(n-1)=2kn ＋k.所以a 8b 7=32k －k 14k ＋k =3115.29.答案为：4或5；解析：由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝a 1＋3d ＝1，S 5＝5a 1＋5×42 d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝－1.所以a 5=a 1＋4d=0， 所以S 4=S 5同时最大．所以n=4或5.二、解答题30.解：由题意，知a 1＋a 3=8，a 1a 3=7，又{a n }为正项等差数列，∴a 1=1，a 3=7， 设公差为d ，∵a 3=a 1＋2d ，∴7=1＋2d ， 故d=3，a n =3n-2.31.解：(1)因为a 5=－1，a 8=2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝－1，a 1＋7d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，d ＝1.(2)设数列{a n }的公差为d.由已知得， ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1＋5d ＝12，a 1＋3d ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2. 所以a n =1＋(n －1)×2=2n－1， 所以a 9=2×9－1=17.32.解：(1)设{a n }的首项，公差分别为a 1，d.则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝18，5a 1＋52×4×d＝－15，解得a 1=-9，d=3，∴a n =3n-12.(2)S n =n a 1＋a n 2=12(3n 2-21n)=32⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722-1478，∴当n=3或4时，前n 项的和取得最小值为-18.33.解：(1)设等差数列{}a n 的公差为d ，则a n =a 1＋(n-1)d.由a 1=1，a 3=-3可得1＋2d=-3，解得d=-2. 从而a n =1＋(n-1)×(-2)=3-2n. (2)由(1)可知a n =3-2n.所以S n =n[1＋3－2n ]2=2n-n 2.进而由S k =-35可得2k-k 2=-35，即k 2-2k-35=0.解得k=7或k=-5.又k ∈N *，故k=7为所求结果． 34.解：(1)设{a n }的公差为d ，由题意，得3a 1＋3d=－15． 由a 1=－7，得d=2．所以{a n }的通项公式为a n =－7＋(n －1)×2=2n－9．(2)由(1)，得S n =n×(－7)＋n (n －1)2×2=n 2－8n=(n －4)2－16．所以当n=4时，S n 取得最小值，最小值为－16． 35.解：(1)设{a n }的公比为q ，由题设可得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝2，a 1(1＋q ＋q 2)＝－6.解得q=－2，a 1=－2． 故{a n }的通项公式为a n =(－2)n．(2)由(1)可得S n =a 1(1－q n )1－q =－23＋(－1)n·2n ＋13．由于S n ＋2＋S n ＋1=－43＋(－1)n ·2n ＋3－2n ＋23=2－23＋(－1)n·2n ＋13=2S n ，故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列．。

《等差数列》教案一、教学目标（一）知识与技能:1.通过实例，理解并掌握等差数列的概念，能用定义判断一个数列是否为等差数列；2.引导学生了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，会求等差数列的公差及通项公式，并能在解题中灵活应用；3.初步引入“数学建模”的思想方法并能运用.（二）过程与方法:1.让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出等差数列的概念；2.由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究.（三）情感态度与价值:在解决问题的过程中培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；使学生认识事物的变化形态，养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯.并通过一定的实例激发同学们的民族自豪感和爱国热情.二、教学重难点重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；会用公式解决一些简单的问题，理解等差数列是一种函数模型.难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法.三、教学过程（一）创设情景上节课我们学习了数列.在日常生活中，人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决.今天我们就先学习一类特殊的数列. （二)课题引入请同学们观察课本36-37的四个实例引出的四个特殊数列，引导同学们发现其中的共同规律.①从0开始数数，每隔5数一次，数到的数组成的数列为：0,5,10,15,20…特点：无穷递增数列，从第二项起每一项与前一项的差等于5.②较轻的4个举重级别：（我们可以发现举重级别级差是5）48,53,58,63.特点：有穷递增数列，从第二项起每一项与前一项的差等于5.③定期放水清理水库，自然放水每天水位降低2.518,5.10,8,5.5.15,13,5.特点：有穷递减数列，从第二项起每一项与前一项的差等于.④ 银行单利问题，单利即不把利息加入本金计算下一期的利息，也就是说每一年算利息时本金都是1000，只是利息逐年累加而已.10072,10144,10216,10288,10360.特点：有穷递减数列，从第二项起每一项与前一项的差等于72. 它们共同的特点是？从第二项起，每一项与前一项的差等于同一个常数. 我们把有这一特点的数列叫做等差数列. (三)新课探究 1.等差数列的定义过渡：对于以上几组数列我们称它们为等差数列.请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征，尝试着给等差数列下个定义.等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示.那么对于以上四组等差数列，它们的公差依次是5，5，-2.5，72. 对定义的理解应注意：（1）“从第2项起”是因为第一项没有前一项.（2）“每一项与它的前一项的差”指出了作差的顺序性，即后项减去它前面相邻的一项，不可颠倒. （3）定义中的“同一个常数”是指d a a a a a a n n ==-==-=-- 12312，其中d 是与n 无关的常数.因此，等差数列的定义可用数学符号语言描述为：-1 (,2*)n n a a d d n n N -=≥∈是常数且或者+1 (,*)n n a a d d n N -=∈是常数试一试：它们是等差数列吗？ ①1,1-,1,1-,1,1-… ②4-,1-,2,5,8… ③每一项都是5的常数列④每一项都是a 的常数列（其中a 是常数） 2.等差中项的定义定义：由三个数a ，A ，b 组成的成等差数列可以看成是最简单的等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项.且有：22b a A b a A +=⇒+=不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项.如数列：1，3，5，7，9，11，13…中 5是3和7的等差中项，1和9的等差中项. 9是7和11的等差中项，5和13的等差中项. 看来73645142,a a a a a a a a +=++=+从而可得在一等差数列中，若m +n =p +q ，则q p n m a a a a +=+ 3.等差数列的通项公式对于以上的等差数列，我们能不能用通项公式将它们表示出来呢？这是我们接下来要学习的内容. （1）等差数列的通项公式(求法（一)：迭代法)如果等差数列{}n a 首项是1a ，公差是d ，那么这个等差数列432,,a a a 如何表示？n a 呢？ 根据等差数列的定义可得：d a a =-12 ，d a a =-23，d a a =-34，…所以： d a a +=12，()32112a a d a d d a d=+=++=+，()431123a a d a d d a d=+=++=+，猜想：514a a d=+，……由此猜想:dn a an)1(1-+=，因此等差数列的通项公式就是: d n a a n )1(1-+=，*N n ∈注：需要特别强调的是在求432,,a a a 的过程中采用了迭代法，由猜想归纳出n a 的通项公式的方法称作不完全归纳法，这种方法仅仅是猜想出来的结论，没有说服力，完整的方法——数学归纳法将在以后学习.所以下面我们引入第二种方法（累加法）来证明等差数列的通项公式是d n a a n )1(1-+=，*N n ∈ （2）等差数列的通项公式(求法（二)：迭加法) 根据等差数列的定义可得：d a a =-12da a =-23 da a =-23…… ()1-n 个式子相加12n n a a d---= 1n n a a d--=将以上1-n 个式子累加得等差数列的通项公式就是: dn a a n )1(1-+=，*2N n n ∈≥且当1=n 时也满足上述式子，所以：等差数列的通项公式就是: d n a a n )1(1-+=，*N n ∈4、等差数列的判定 （1）引入由课本38页的例3，得出一种等差数列的判定方法，再强调定义和等差中项都可以用来判定等差数列，其中定义和例3的方法最常用. 例3：已知数列{}n a 的通项公式为q pn a n+=，其中p ，q 为常数，那么这个数列一定是等差数列吗?分析：可以利用等差数列的定义判定数列是否是等差数列，也就是计算n n a a -+1是不是一个与n 无关的常数.解：取数列}{n a 中的任意相邻两项1-n n a a 与（n ＞1），求差得pq p pn q pn q n p q pn a a n n =+--+=+--+=--](])1{[)(1它是一个与n 无关的数.所以}{n a 是等差数列. （2）归纳等差数列的三种判定方法（3）应用1、等差数列的通项公式的应用例1、⑴求等差数列8，5，2，…的第20项.⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？ 分析：⑴要求出第20项，可以利用通项公式求出来.首项知道了，还需要知道的是该等差数列的公差，由公差的定义可以求出公差；⑵这个问题可以看成是上面那个问题的一个逆问题.要判断这个数是不是数列中的项，就是要看它是否满足该数列的通项公式，并且需要注意的是，项数是否有意义. 解：⑴由1a =8，d=5-8=-3，n=20，得49)3()121(820-=-⨯-+=a⑵由1a =-5，d=-9-（-5）=-4，得这个数列的通项公式为,14)1(45--=---=n n a n由题意知，本题是要回答是否存在正整数n,使得-401=-4n-1成立. 解这个关于n 的方程，得n=100，即-401是这个数列的第100项.注：在应用等差数列的通项公式()d n a a n 11-+=过程中,对n a ,1a ,n ,d 这四个基本量,知道其中三个量就可以通过列方程求余下的一个量,这是一种方程的思想，我们称作“知三求一”.例2：某市出租车的计价标准为2.1元/km ，起步价为10元，即最初的km 4（不含4km ）计费10km 14处的目的地且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费?分析：这道题需要个别注意的是“最初的km 4（不含4km ）”km 处的计费为10元，在4.1km 处的计费为11.2元，在4.0km 处的计费也为11.2元.法一、那么在1km 处的计费应和13km 处的计费一样，为10+1.2+（13-4）*114km 处的计费为10+1.2+（14-4）*1.2=23.2元.法二、如果我们从第km 4处开始，每隔km 1记一次费，那么所记的数组成的数列是一个首项2.112.1101=+=a ，公差2.1=d 的一个等差数列，那么，当出租出行至km 14处时，11=n ，此时所要支付的车费为()2.232.11112.1111=⨯-+=a 元.注：在利用等差数列方法解决实际问题时，一定要分清楚首项、项数、公差、末项等关键问题. （四）小结1、等差数列的定义，定义的符号形式，等差数列的定义2、等差数列的通项公式: d n a a n )1(1-+=公差*1(N n d d a a n n ∈=-+是常数，；3、知三求一：等差数列的计算问题,通常知道其中三个量就可以利用通项公式()d n a a n 11-+=求余下的一个量；4、等差数列的判定 （五）作业课本39页的练习1、2、3。

1．本章是通过对一般数列的研究，转入对两类特殊数列──等差数列、等比数列的通项公式及前n项求和公式的研究的。

教科书首先通过三角形数、正方形数的实例引入数列的概念，然后将数列作为一种特殊函数，介绍了数列的几种简单表示法（列表、图象、通项公式）。

作为最基本的递推关系──等差数列，是从现实生活中的一些实例引入的，然后由定义入手，探索发现等差数列的通项公式。

等差数列的前n项和公式是通过的高斯算法推广到一般等差数列的前n项和的算法。

与等差数列呈现方式类似，等比数列的定义是通过细胞分裂个数、计算机病毒感染、银行中的福利，以及我国古代关于“一尺之棰，日取其半，万世不竭”问题的研究探索发现得出的，然后类比等差数列的通项公式，探索发现等比数列的通项公式，接着通过实例引入等比数列的前n项求和，并用错位相减法探索发现等比数列前n项求和公式。

最后，通过“九连环”问题的阅读与思考以及“购房中的数学”的探究与发现，进一步感受数列与现实生活中的联系和具体应用。

2．人们对数列的研究有的源于现实生产、生活的需要，有的出自对数的喜爱。

教科书从三角形数、正方形数入手，指出数列实际就是按照一定顺序排列着的一列数。

随后，又从函数的角度，将数列看成是定义在正整数集或其有限子集上的函数。

通过数列的列表、图象、通项公式的简单表示法，进一步体会数列是型，借助数列的相关知识解决问题的思想。

三、编写中考虑的几个问题1．体现“现实问题情境——数学模型——应用于现实问题”的特点数列作为一种特殊函数，是反映自然规律的基本数学模型。

教科书通过日常生活中大量实际问题（存款利息、放射性物质的衰变等）的分析，建立起等差数列与等比数列这两种数列模型。

通过探索和掌握等差数列与等比数列的一些基本数量关系，进一步感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决了一些实际问题。

教科书的这一编写特点，可由下面图示清楚表明：数列：三角形数、正方形数数列概念数列的三种表示回归到实际问题（希尔宾斯基三角形、斐波那契数列、银行存款等）等差数列：4个生活实例等差数列概念等差数列通项公式等差数列基本数量关系的探究（出租车收费问题等）前100个自然数的高斯求解等差数列的前n项和公式等差数列数量关系的探究及实际应用（校园网问题）等比数列：细胞分裂、古代“一尺之棰”问题、计算机病毒、银行复利的实例等比数列概念等比数列的通项公式等比数列基本数量关系的探究及实际应用（放射性物质衰变、程序框图等）诺贝尔奖金发放金额问题等比数列前n项和公式等比数列基本数量关系探究及实际应用（商场计算机销售问题、九连环的智力游戏、购房中的数学等）教科书的这种内容呈现方式，一方面可以使学生感受数列是反映现实生活的数学模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学不仅仅是形式的演绎推导，数学是丰富多彩而不是枯燥无味的；另一方面，这种通过具体问题的探索和分析建立数学模型、以及应用于解决实际问题的过程，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断，提高数学地提出、分析、解决问题的能力，提高学生的基本数学素养，为后续的学习奠定良好的数学基础。