(完整版)数学必修5等差数列练习题

《等差数列》同步练习基 达 ： 1．等差数列 40，37， 34 中的第一个 数 是( )A ．第 13B ．第 14C ．第15D ．第 162．在 -1 与 7 之 次插入三个数，使 五个数成等差数列， 此数列 ________.3. 增等差数列 {a } 中，若 a +a +a =12, a · a · a =28,a =______.n 3 6 9 3 6 9 n4. 数列 {a } 中， a =3n-5,S =__________.nn 95. 等差数列 {a n } 中，已知 a 2+a 9 +a 12+a 19 =100,S 20 =________.6. 等差数列 {a } 中， a >0, d ≠0, S =S S 取得最大 的n 的 _____.n 1 2030, n7. 在公差 d=1的等差数列 {a n } 中，已知 S 100=145， a 1+a 3+a 5+⋯⋯ +a 99 的 _____.28. 把 20 分成四个数成等差数列，使第一 与第四 的 同第二 与第三 的 的比2∶ 3， 四个数从小到大依次 ____________.9. -401 是不是等差数列 -5 ， -9 ， -13 ⋯的 ？如果是，是第几 ？10. 求等差数列 10， 8， 6，⋯⋯的第 20 .11. 在等差数列 {a n } 中，已知 a 4=1， a 7+a 9=16，求通 公式 .12. 在等差数列 {a n } 中， a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=450，求 a 2+a 8. 13．已知数列 {a n } 是等差数列，令 b n a n 2 1 a n 2 ，求 ： {b n } 也是等差数列 .能力提升：14．等差数列 {a n } 中， a 2+a 5=19，S 5=40， a 10 ( )A ．27B ．28C ．29D ．3015、已知等差数列{a n }的前 3 依次a 1， a 1 ， 2a 3 ， 通 公式a n （） .A. 2n 5B. 2n 3C.2n 1 D. 2n 116．已知等差数列 {a } 足： a a =-12 ， a +a =-4 ， 通 公式a =________.n3 746n17、已知等差数列 { a n } 中， a mn ， a n m ，且 m n ， a m n __________.18、首24 的等差数列，从第10 开始 正数， 公差的取 范 是__________.19、等差数列 { a n } 中， a 1 a 4 a 7 39 ， a 2 a 5 a 8 33 ， a 3 a 6 a 9 _________.20、已知ABC 中，角 A ， B ， C 依次成等差数列，cos 2 A cos 2 C 的取 范 是 __________.21．已知等差数列 {a n } 足： S 10=310， S 20=1220，求 a n .22．已知等差数列 {a } 中， a +a =4，求 S .n3131523．一个有 n 的等差数列，前四 和 26，最后四 和 110，所有 之和187，求 数 n.24．已知等差数列 {a n } 的前 n 和 S n ，求 ： S n ， S 2n -S n ， S 3n -S 2n ，⋯⋯成等差数列 .25．已知等差数列 {a n } 足， S p =q ， S q =p ， (p ≠ q) ，求 S p+q .26．已知等差数列 {a } 中， a ＜0， S =S ，求 S 何 取最小 .n1912 n合探究：27. 求 : 数列 {lg(100sin n 1 )} 是等差数列，并求它的前n 和的最大. （精确到十分位，4lg 2 B 0.3010 ）参考答案： 基础达标： 1． C2. -1 ，1，3，5，73. n-2 ；提示 : 由 a 3+a 6+a 9=12 得 3a 6=12 即 a 6=4,又 a 3· a 6·a 9=28 有 (4-3d) · 4· (4+3d)=28 ，解得 d=± 1( 舍负 ) ， ∴ a n =a 6+(n-6)d=n-2. 4.90 ；提示 : 依题意知数列 {a n } 成等差数列，故 S 99(a 1a 9 )90 .25. 500 ；提示 : ∵ a 2+a 19=a 9+a 12=a 1+a 20=50, ∴S 20 =20(a 1a 20 )=500.26. 25 ；提示 : 等差数列前 n 项和 S n =an 2+bn 可判断 a<0，故考查函数 S(x)=ax 2+bx.由 S(20)=S(30) 知抛物线对称轴 x=20 30即 x=25，故 n=25.27.60 ；提示 : 原式 =(145-50d)× 1=60.28. 2 ，4， 6， 8；提示 : 设这四个数依次为 :x-3d, x-d, x+d, x+3d.9. 解析：由 a 1 5, d 9 ( 5)4 ，得数列通项公式为： a n 5 4(n 1) .令 4015 4( n 1) ，解之得 n=100，即 -401 是这个数列的第100项.10. 解析：根据题意可知： a 1 =10,d=8 － 10=－ 2.∴该数列的通项公式为：a n =10+（ n － 1）×（－ 2） , 即 a n =－ 2n+12,∴ a 20 =－ 2× 20+12=－ 28.11. 解析：设等差数列 {a n } 的首项为 a 1，公差为 d ，则a 1 3d 1a 117 42a 1 14d, 解方程组得7 16d4∴ a na 176 .(n 1)dn412. 解析：解法一：统一成关于 a 1， n ， d 的表达式 .设 {a } 的首项和公差分别为 a 和 d ，则n1a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=5a 1+20d=450a 2 a 82a 1 8d2(5a 120d )2 450 180 .解法二： a +a =a +a55qm+n=p+qmnp由等差数列的性质可知a 2+a 8=a 3+a 7=a 4+a 6=2a 5∴ a 2 a 82a 1 8d 2 (a 3 a 7 a 4 a 6 a 5 )2450 180 .13． 证明： 55设 {a } 公差为 d ，则nb n 1bna n 2 2 a n 2 1 ( a n 2 1a n 2 )=(a n+2+a n+1) · d-(a n+1+a n ) ·d =d· [(a n+2+a )-(a n+1 +a )]n+1n=d · (a n+2-a n )=d · 2d2∵ 2d 2 是与 n 无关常数∴ {b n } 是等差数列 .能力提升：14． C ； 15 、 B16． a n =2n-12 或 a n =-2n+8 ； ； 18．(8,3]； 19 ．27； 20． (1,5]21． 解析：3 2 4解法一：利用公式S nna 1 n(n 1)d ，列方程组求 a 1， d.10 9 d2S1010a 1310 ①2S2020a 1 20 19d 1220②2①、②联立解方程得 a 1=4， d=6∴ a n =4+6(n-1)=6n-2.解法二：利用公式 S n =An 2+BnS nAn2Bnd n 2 (a 1 d)n22S 10100A 10B 310 A 3∴400A，解方程得1S2020B 1220 B∴ S n =3n 2+nd3a 1 4 ∴2dd 6a 1 21∴ a n =6n －2. 22． 解析：解法一： 一成关于 a 1， n ， d 的表达式 . a 3+a 13=4，∴ 2a 1+14d=4即 a 1+7d=2S1515 (15 1)d7d ) 15 2 30.15a 1215 ( a 1解法二：利用 a +a =a +a .115 3 13S15(a 1 a 15 ) 15 (a 3 a 13 ) 154 152230 .223． 解析：a 1+a 2+a 3+a 4=2(a 1+a 4)=26 ，∴ a 1+a 4=13a n-3 +a n-2 +a n-1 +a n =2(a n-3 +a n )=110 ，∴ a n-3 +a n =55 a 1+a 4+a n-3 +a n =2(a 1+a n )=13+55 ，∴ a 1+a n =34(a 1 a n ) n2 18711.S n187 ，∴ n34224． 明：取数列 S n ， S 2n -S n ，⋯⋯中的第k+1 和第 k 作差：(S (k+1)n -S kn )-(S kn -S (k-1)n )=a kn+1+a kn+2+⋯+a (k+1)n -(a (k-1)n+1 +⋯ +a kn )=(a kn+1-a (k-1)n+1 )+(a kn+2-a (k-1)n+2 )+ ⋯+(a (k+1)n -a kn )nd ndnd n 2 dn 个故 S n ， S 2n － S n ，⋯⋯成公差 n 2d 的等差数列 . 25． 解析：S ppa 1 p ( p 1) dq2S qqa 1q (q 1) dp2①②①－②得d p 2 p q 2q q p()( p q)a 12即d p q pqqp( pq) a 1()(1)2p ≠ q ，∴ a 1d( p q 1) 12 dSp q ( p q)a ( p q)( p q 1) ( p q).1226． 解析：S － S =a +a +a =0∴3a +30d=0 ∴ a =－ 10d ， a ＜ 0，∴ d ＞ 0129101112111S n na 1n (n 1)dd n 2 ( a 1 d) n ， d ＞ 0，22 2∴ f ( x)d x 2 (a 1 d) x 是开口向上的二次函数且 f (9) f (12)2291210 1 a 1 d 1∴ f (x) 的图象对称轴为x2 10 ，∴2 22 d22*n又 n ∈ N ，故 n=10 或 11 时 S 最小∴S 和S 最小.10 11综合探究： 27. 解析：（ 1）证明： ∵ a n lg(100sin n 1) ，41∴a n 1 a n lg(100sin n ) lg(100sin n 1 ) lg(sin )lg 244 4 2∴数列 {lg(100sin n 1 )} 是等差数列 .4 1lg 2（ 2）解： ∵ a 1 lg100 2 0 , d0. 2a nlg(100sinn 1) 0n 1 415∴由4，解得lg 24 ，an 1lg(100sin n ) 0n 1144lg 2∴数列 {lg(100sin n 1 )} 从第 15 项起，它及其后每一项都是负数，前14 项都为正数 .414(14 1)1 故它的前 n 项和的最大值为前14 项的和 S 1414 ( 2lg 2) 14.3.22。

选择题（本大题共25小题，每小题4分，共100分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.数列1，－58，715，－924，…的一个通项公式是 ( )A ．a n ＝(－1)n ＋12n －1n 2＋n(n ∈N *) B ．a n ＝(－1)n －12n ＋1n 2＋3n (n ∈N *) C ．a n ＝(－1)n＋12n －1n 2＋2n (n ∈N *) D ．a n ＝(－1)n－12n ＋1n 2＋2n(n ∈N *) 解析：观察数列{a n }各项，可写成：31×3，－52×4，73×5，－94×6，故选D 。

答案：D2.已知a 1＝1，a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式是( )A ．2n －1 B.11-⎪⎭⎫⎝⎛+n n nC ．n 2D ．n解析：因为a n ＝n (a n ＋1－a n )，所以a n ＋1a n ＝n ＋1n ，所以a n ＝a n a n －1×a n －1a n －2×a n －2a n －3×…×a 3a 2×a 2a 1×a 1＝n n －1×n －1n －2×n －2n －3×…×32×21×1＝n 。

答案：D3．已知数列{a n }，a n ＝－2n 2＋λn ，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是( ) A ．(－∞，6) B ．(－∞，4] C ．(－∞，5) D ．(－∞，3]解析：数列{a n }的通项公式是关于n (n ∈N *)的二次函数，若数列是递减数列，则－λ2·－211，即λ14。

答案：B4.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n ＋k2n ，若数列{a n }为递减数列，则实数k 的取值范围为( )A ．(3，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)答案 D解析 因为a n ＋1－a n ＝3n ＋3＋k 2n ＋1－3n ＋k 2n ＝3－3n －k2n ＋1，由数列{a n }为递减数列知，对任意n ∈N *，a n ＋1－a n ＝3－3n －k 2n ＋1＜0，所以k ＞3－3n 对任意n ∈N *恒成立，所以k ∈(0，＋∞)．故选D. 5.已知正数数列{a n }中，a 1＝1，(n ＋2)·a 2n ＋1－(n ＋1)a 2n ＋a n a n ＋1＝0，n ∈N *，则它的通项公式为( )A ．a n ＝1n ＋1B ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝n ＋12 D ．a n ＝n答案 B解析 由题意可得a n ＋1a n ＝n ＋1n ＋2，则a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝n n ＋1·n －1n ·…·23×1＝2n ＋1.故选B.6.已知等差数列{}n a 不是常数数列，则下列数列不是等差数列的是 （ ）．A {}n a 2. ．B {}－１n a 2 . ．C {}２n a . ．D {}1+n n a a ＋. 答案：C7.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题目：把100个面包分给5个人，每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的1份为( )A.53B.56C.103D.116解析：设这5份分别为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d (d ＞0)，则有17(a ＋a ＋d ＋a ＋2d )＝a －2d ＋a －d ，a －2d ＋a －d ＋a ＋a ＋d ＋a ＋2d ＝100，故a ＝20，d ＝556，则最小的一份为a －2d ＝20－553＝53。

高中数学学习资料金戈铁骑整理制作等差数列测试题A 组 一．填空题( 本大题共8 小题，每题 5 分，共40 分)1.已知数列{ a n } 知足a 11， a n 1a n1，求a n_______.1.n ．提示：易知 { a n } 是等差数列， a n =1+1×（ n-1 ） =n.2. 2005 是数列 7,13,19,25,31,, 中的第项.2. 334.提示： a n =7+6(n-1)=6n+1,3.等差数列a n 中， S 10 120 ，那么 a 1 a10.（ a 10 )10 a 1120 ， a 1 a 1024.3.24.提示： S10 24. 在等差数列｛ a n ｝中，已知 a 310 ， a 9 28 ，则 a 12 的值为 _____ .4. 提示： a 9-a 3=6d=18, 得 d=3.a 12 = a 3+3(12-3)=37.5. 已知 a 1, a 2 ,a 3, a 4 成等差数列， 且 a 1, a 4 为方程方程 2x 25x 2 0 的两根， 则 a 2 a 3 等于。

5.5。

提示： 由韦达定理知 a 1a 4 = 5，又 a 2 a 3 = a 1 a 4 =2a 1+3d . ∴ a 2 a 3 = 5 .2226. 等差数列a n 的前 n 项和为 S n ，若 S 3 3,S 6 7,则 S 9 等于。

6． 12.提 示 ： 由 a n 是 等 差 数 列 知 S 3, S 6 S ,3S9S 成6等差数列，即2 43 S 9 7 ，解得 S 9127. 在等差数列a n 中， a 40.8 ， a 11 2.2 ，则 a 51 a 52 a 80 =7.393.提示： a 11-a 4=7d=1.4 , ∴d=0.2. a 51=0.8+0.2(51-4)=10.2, a 80=0.8+0.2(80-4)=16.（a 80 )a 51a52a80 30 a 51393.=S 10 28.已知数列 {a n } 的通项公式 a n =12 n,b n =1 ,则{b n } 的前 n 项na nan 1和为。

状元舟同步指导班祝你成就绚烂联系电话：（张老师）（王老师）高中数学必修五等差数列专项训练题班级姓名成绩一、1．无数列 1， 3，6， 10⋯⋯的通公式（）（ A ） a n=n 2-n+1（ B） a n=n 2+n-1（ C） a n n 2n n n2n=2（D ） a =22.在等差数列 {a n} 中，若 a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33, a3+a6+a9的（）（A） 30（B） 27（ C）24（D）213．一个直角三角形的三条成等差数列，它的最短与最的比（）（A） 4∶5（ B ）5∶ 13 （C） 3∶5 （ D） 12∶ 134．S n是等差数列a n的前n和，若S735 ， a4（）A ．8B ． 7C． 6D． 5 5．已知等差数列a n中, a2a88 ,数列前9 和S9等于（）A ．18B．27C． 36D． 456．S n是等差数列a n的前n和，若S31，S6＝（）S63S123111A ．10B ．3C．8D．97．a n是等差数列，a1a3a59 ， a69 ，个数列的前 6 和等于（）A ．12B．24C． 36D． 488．已知某等差数列共有10 ，其奇数之和15，偶数之和30，其公差（）A ．5 B ． 4C．3D． 29．已知等差数列a n足a1a2a3a110 ，有（）A ．a1a110B ．a2a100C．a3a90D．a6610．等差数列{ a n} 中， a2＝ 6，a5＝ 15．若b n＝a2n，数列{ b n } 的前 5 和等于()A ．30B． 45C． 90 D ．18611.已知等差数列，，等于A. -1B. 1C. 312.S n是等差数列a n的前n 和，已知a2 3 ， a611 ，S7等于()A ．13B． 35C． 49D．6313.等差数列{ a n }的前n 和S n，且S3=6，a1 =4，公差 d 等于5A ． 1B2 D 3314.已知a n为等差数列，且a7－2 a4＝－1,a3＝0,则公差d＝A. －21C.1 B. －2 215. a n是首项a1 =1，公差为 d =3的等差数列，假如a n=2005，则序号 n 等于()A 667B668C669 D 67016．数列 {a } 是首项为2，公差为 3 的等差数列，数列{b } 是首项为 -2，公差为 4 的等差数列。

精品文档1欢迎下载1等差数列｛a n ｝中已知a , a 4 a^39,a s a 6 a=2，则前9项和S 9的值为（ ）A. 66B. 99 C . 144D. 2972 •已知数列 a 「是公比为2的等比数列，若a^16，则a i =（） A. 1B. 2C. 3D. 43.公差不为零的等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n .若a 4是a 3与a ?的等比中项，S * =32,则編等于A. 18 B24 C .60D .904 .已知等比数列 {a n } 的公比为正数，且 a 3 • a 9 =2a 52 ,a 2 =1 , 则 a 1 =() A.1B2■ / C ■ 2D .25 . 已知等差数列 {a n } 的前n 项和为S n , 且 a 4 =18- -a 5,则 S 8 =:( ) A. 18 B .36 C . 54 D726.等比数列爲冲，a 4=4，则a 2 a 6 =（） A. 4 B . 8 C . 16 D . 32 7.数列 中，a i 一 -60,a n a n 3，则此数列前30项的绝对值的和为()A.720B.765C.600D.630&已知等比数列前n 项和为S n ,若S 2 =4, S 410 .数列｛a n ｝为等差数列，ai,a 2,a 3为等比数列, A. 5 B . -1 C . 0 D . 1 11.已知等比数列、a n 中，a 1 a^1, a 4 • a 5 - -8，则公比q =()(A ) -2(B ) 21 1 (C ) - 1(D ) 12212 .观察下列数的特点,1,1,2,3,5,8,x,21,34,55,A. 12 B . 13 C . 14 D . 1513.右 a 1 =3,a 2 -6, a n 2 - a n 1 —a .，贝V 833=( )A. -3B. 3C. -6D. 614 .已知数列{a n }满足二二;让、二那么坛碍的值是() 2 —A. 2011B . 2012 X 2011C . 2009 X 2010D . 2010 X 201115 .数列 --------- 1 ------- ，… 的一个通项公式是1 2 2 3 3 4A. 160B. 64C. -64D.-1609.公比为2的等比数列｛a n ｝的各项都是正数，且 a 3 311=16，贝U a 6 =(A ) 1 (B ) 2(C ) 4(D )=16，则 S & 二(a5 =1，贝U aw =(…中，其中x 是（）12O O试卷第2页，总4页A.D .以上都不对n(n -1)n(n 1)(n 1)(n 2)16 .数列:an ?是等差数列, a4 ~ -4, a ? = 4, &是：a n 』的前n 项和，则(c.S5 = S 7D.S6 = S 7｛a *｝中，3a 1, 1 —a 3，2 2a 2成等差数列, D. 9 A.S 5 ：：： S 6 B. S 5 = S 5 17•各项都是正数的等比数列 则 a 2012 - a 2014二( ) a2013 ' a 2011A. 1B. 3C. 6 18.等差数列｛a n ｝®的前n 项和分别为"，若=3^，则b/() fl 2 B 2n +1 C 2n -1 D 2n -1 A.— 3 3n 1 3n -1 3n 4 19.已知某等差数列共有 10项，其奇数项之和为 15,偶数项之和为 30，则公差为 20•在等差数列｛a n ｝中，So=12O ,则a 1+a 10等于 () A. 12 B.24 C.36 D.48 21 •数列｛a n ｝为等差数列，4,a 2,a 3为等比数列，=1，则 術二( ) A. 5 B . -1 C . 0 D . 1 22•已知数列 心｝中，a 1=1, a n=a n 」+3,( n^2, n^N *)，则 a . = _____________________ 23.若数列｛n(n+4)2 n｝中的最大项是第 k 项，则k= 3 ----------- 24 •设S n 为数列①•啲前n 项和，若 S 2S n (n ・N *)是非零常数，则称该数列 “和等比数列”.若数列｛b n ｝是首项为3,公差为d(d =0)的等差数列， 且数列｛b n ｝是“和等比数列”，则d =________ 2 25._________________________________________________________________ 如果数列｛a n ｝的前n 项和S n =2n -3n ，那么这个数列是 ___________________________数列 26. 若三个数5+2 J6, m,5 -2>/6成等差数列，则 m= __________ . 27•已知等比数列、a n 』中，S n 为前n 项和且a 1 a^ 5, S 4 =15〔 (1) 求数列、a n 1的通项公式。

2.2 等差数列2．2.1 等差数列1．等差数列的前4项依次是a －1，a ＋1,2a ＋3，2b －3，则a ，b 的值为( ) A ．1,2 B ．－1,4 C ．0,4 D ．2，－22．在等差数列{a n }中，a 3＋a 12＝60，a 6＋a 7＋a 8＝75，则其通项公式为( ) A ．a n ＝10n ＋45 B ．a n ＝6n －24 C ．a n ＝10n －45 D ．a n ＝6n ＋243．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，则tan(A ＋C)＝________.4．若a ，x 1，x 2，x 3，b 与a ，y 1，y 2，y 3，y 4，y 5，b 均为等差数列，则x 3－x 1y 3－y 1＝__________.答案：1．C 方法一：依题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋2a ＋3＝2(a ＋1)，a ＋1＋2b －3＝2(2a ＋3)，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝4.方法二：由(a ＋1)－(a －1)＝2可得d ＝2，再利用通项公式可得a ，b 的值．方法三：采用特殊值代入法求解．2．C ∵a 6＋a 7＋a 8＝3a 7＝75，∴a 7＝25. 又∵a 3＋a 12＝a 7＋a 8＝60， ∴a 8＝35，d ＝a 8－a 7＝10.∴a n ＝a 8＋(n －8)d ＝35＋10×(n －8)＝10n －45. 3．－ 3 ∵∠A 、∠B 、∠C 成等差数列， ∴2∠B ＝∠A ＋∠C .∴∠A ＋∠B ＋∠C ＝3∠B ＝180°. ∴∠B ＝60°.∴∠A ＋∠C ＝120°. ∴tan(A ＋C )＝tan120°＝－ 3. 4.32∵a ，x 1，x 2，x 3，b 成等差数列， ∴其公差d 1＝b －a4.又∵a ，y 1，y 2，y 3，y 4，y 5，b 成等差数列，∴其公差d 2＝b －a6.∴x 3－x 1y 3－y 1＝2d 12d 2＝d 1d 2＝b －a 4×6b －a ＝32.课堂巩固 1．已知m 和2n 的等差中项是4,2m 和n 的等差中项是5，则m 和n 的等差中项是( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．92．(2009辽宁高考，文3){a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d 等于( )A ．－2B ．－12 C.12D ．23．等差数列的首项为125，第10项为开始比1大的项，则公差d 的取值范围为( )A ．d ＞875 B.875＜d ≤325 C ．d ＜325 D.875＜d ＜3254．(2009山东高考，文13)在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝__________. 5．若lg2，lg(2x －1)，lg(2x ＋3)成等差数列，则x 的值为__________．6．已知1a ，1b ，1c成等差数列，并且a ＋c ，a －c ，a ＋c －2b 均为正数，求证：lg(a ＋c)，lg(a－c)，lg(a ＋c －2b)也成等差数列．7．等差数列{a n }中，已知a 59＝70，a 80＝112，求a 101.答案：1．B 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋2n ＝8，2m ＋n ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝2. ∴m 和n 的等差中项是3.2．B 方法一：a 7－2a 4＝a 1＋6d －2(a 1＋3d )＝－a 1＝－1，∴a 1＝1.∴a 3＝a 1＋2d ＝1＋2d ＝0.∴d ＝－12.方法二：∵a 7－2a 4＝a 3＋4d －2(a 3＋d )＝－a 3＋2d ＝2d ＝－1，∴d ＝－12.3．B 依题意⎩⎪⎨⎪⎧a 10>1a 9≤1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 125＋9d >1125＋8d ≤1⇒⎩⎪⎨⎪⎧d >875d ≤325⇒875<d ≤325. 4．13 等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5－a 2＝6， ∴3d ＝6.∴a 6＝a 3＋3d ＝7＋6＝13.5．log 25 2lg(2x －1)＝lg2＋lg(2x＋3)，所以可得(2x －1)2＝2(2x＋3)，即(2x )2－4·2x－5＝0.解之，得2x ＝5或2x＝－1(舍)． 所以x ＝log 25.6．证明：由已知1a ，1b ，1c成等差数列，∴2b ＝1a ＋1c .∴2b ＝a ＋c ac. ∴2ac ＝ab ＋bc .∴－2ac ＝2ac －2b (a ＋c )．∴－2ac ＋a 2＋c 2＝2ac －2b (a ＋c )＋a 2＋c 2.∴(a －c )2＝(a ＋c )(a ＋c －2b )．又∵a －c ，a ＋c ，a ＋c －2b 都是正数， ∴2lg(a －c )＝lg(a ＋c )＋lg(a ＋c －2b )．∴lg(a ＋c )，lg(a －c )，lg(a ＋c －2b )成等差数列． 7.解法一：设首项为a 1，公差为d ，则由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋58d ＝70，a 1＋79d ＝112. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－46，d ＝2.∴a 101＝a 1＋100d ＝－46＋100×2＝154.解法二：设公差为d ，则a 80＝a 59＋(80－59)d ＝a 59＋21d ， 即112＝70＋21d ， ∴d ＝2.∴a 101＝a 80＋(101－80)d ＝112＋21×2＝154.解法三：∵a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d 是关于n 的一次函数，其图象是直线上的点， ∴点(59，a 59)，(80，a 80)，(101，a 101)共线． ∴a 80－a 5980－59＝a 101－a 80101－80，即112－7021＝a 101－11221. ∴a 101＝154.1．在数列{a n }中，a 1＝－2,2a n ＋1＝2a n ＋3，则a 11等于( ) A.272B ．10C ．13D ．19 1．答案：C 由2a n ＋1＝2a n ＋3得a n ＋1－a n ＝32，∴{a n }是等差数列．a 1＝－2，d ＝32，a 11＝13.2.(2009安徽高考，文5)已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20等于( )A ．－1B ．1C ．3D ．7 2．答案：B 设其公差为d ，∵a 1＋a 3＋a 5＝105， ∴3a 3＝105.∴a 3＝35.同理，由a 2＋a 4＋a 6＝99，得a 4＝33. ∴d ＝a 4－a 3＝－2.∴a 20＝a 4＋16d ＝33＋16×(－2)＝1.3．已知等差数列{a n }的公差为d ，若c ≠0，且c 为常数，则数列{ca n }是( ) A ．公差为d 的等差数列 B ．公差为cd 的等差数列 C ．不是等差数列 D ．不能判断 3．答案：B 因为a n ＋1－a n ＝d ，所以ca n ＋1－ca n ＝cd . 所以数列{ca n }是公差为cd 的等差数列．4．设{a n }是递增的等差数列，其前三项的和为12，前三项的积为48，则数列{a n }的首项为( )A ．1B ．2C ．4D ．6 4．答案：B 方法一：设首项为a ，公差为d ，则由题意知：d >0，且⎩⎪⎨⎪⎧a ＋a ＋d ＋a ＋2d ＝12，a (a ＋d )(a ＋2d )＝48，解得a ＝2.方法二：设三数为：a －d ，a ，a ＋d ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧d >0，a －d ＋a ＋a ＋d ＝12，(a －d )·a ·(a ＋d )＝48，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，d ＝2.∴a －d ＝2.5．等差数列{a n }单调递增且a 3＋a 6＋a 9＝12，a 3·a 6·a 9＝28，则此数列的通项公式a n ＝__________.5．答案：n －2 ∵a 3＋a 9＝2a 6，a 6＝4， ∴a 3＋a 9＝8，a 3·a 9＝7.∴a 3、a 9是一元二次方程x 2－8x ＋7＝0的两个根． 又∵{a n }单调递增， ∴a 3＝1，a 9＝7，d ＝1.从而a n ＝a 3＋(n －3)d ＝1＋(n －3)＝n －2.6．已知方程(x 2－2x ＋m)(x 2－2x ＋n)＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n|等于________．6. 答案：12 设a 1＝14，a 2＝14＋d ，a 3＝14＋2d ，a 4＝14＋3d ，而方程x 2－2x ＋m ＝0中的两根之和为2，方程x 2－2x ＋n ＝0中的两根之和也为2，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋6d ＝4.∴d ＝12.因此a 1＝14，a 4＝74是一个方程的两根，a 2＝34，a 3＝54是另一个方程的两个根．∴m ，n 分别为716，1516.∴|m －n |＝12.7．第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算．(1)试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式； (2)2012年伦敦奥运会是第几届？2050年举行奥运会吗？7．答案：解：(1)由题意知，举行奥运会的年份构成的数列是一个以1 896为首项，4为公差的等差数列．这个数列的通项公式为a n ＝1 896＋4(n －1)＝1 892＋4n (n ∈N ＋)．(2)假设a n ＝2 012，由2 012＝1 892＋4n ，得n ＝30. 假设a n ＝2 050,2 050＝1 892＋4n 无正整数解，即所求通项公式为a n ＝1 892＋4n (n ∈N ＋),2012年伦敦奥运会是第30届奥运会，2050年不举行奥运会．8．已知f(x)＝x a(x ＋2)，且方程x ＝f(x)有唯一解，且f(x 0)＝11 005，f(x n －1)＝x n ，n ＝1,2,3，….(1)问数列{1x n}是否是等差数列？(2)求x 2 009的值．8．答案：解：(1)由f (x )＝x 得x a (x ＋2)＝x ，即x [1－1a (x ＋2)]＝0.解得x ＝0或x ＝1a－2.∵方程x ＝f (x )有唯一解， ∴1a －2＝0.∴a ＝12.∴f (x )＝2x x ＋2. 又x n ＝f (x n －1)＝2x n －1x n －1＋2，∴1x n ＝1x n －1＋12.∵x 1＝f (x 0)＝11 005，∴{1x n }是首项为1 005，公差为12的等差数列． (2)由(1)知1x n ＝1x 1＋(n －1)12＝1 005＋(n －1)12＝2 009＋n2，∴x n ＝22 009＋n.∴x 2 009＝22 009＋2 009＝12 009.9．如下图，三个正方形的边AB 、BC 、CD 的长组成等差数列，且AD ＝21 cm ，这三个正方形的面积之和是179 cm 2.(1)求AB 、BC 、CD 的长； (2)以AB 、BC 、CD 的长为等差数列的前三项，以第10项为边长的正方形的面积是多少？ 9．答案：解：(1)设公差为d (d >0)，BC ＝x ， 则AB ＝x －d ，CD ＝x ＋d .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(x －d )＋x ＋(x ＋d )＝21，(x －d )2＋x 2＋(x ＋d )2＝179，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，d ＝－4(舍去)．所以AB＝3(cm)，BC＝7(cm)，CD＝11(cm)．(2)正方形的边长组成首项是3，公差是4的等差数列{a n}，所以a10＝3＋(10－1)×4＝39.a210＝392＝1 521(cm2)．所求正方形的面积为1 521 cm2.。

高中数学必修5等差数列精选题目（附答案）1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )2. 3．等差数列的通项公式及前n 项和公式与函数的关系(1)a n ＝a 1＋(n －1)d 可化为a n ＝dn ＋a 1－d 的形式．当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；当d >0时，数列为递增数列；当d <0时，数列为递减数列．(2)数列{a n }是等差数列，且公差不为0⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和． (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)在等差数列{a n }中，当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．特别地，若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)．(3)a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等差数列，公差为md (k ，m ∈N *)． (4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也成等差数列，公差为n 2d . (5)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(6)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }公差的12.(7)若项数为偶数2n ，则S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)；S 偶－S 奇＝nd ；S 奇S 偶＝a na n ＋1.(8)若项数为奇数2n －1，则S 2n －1＝(2n －1)a n ；S 奇－S 偶＝a n ；S 奇S 偶＝n n －1. (9)在等差数列{a n }中，若a 1>0，d <0，则满足⎩⎨⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n取得最大值S m ；若a 1<0，d >0，则满足⎩⎨⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值S m .一、等差数列的基本运算1.(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )A ．－12B ．－10C ．10D ．122.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝4，S 4＝22，a n ＝28，则n ＝( ) A ．3 B ．7 C ．9 D ．10注：(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．3．(2019·开封高三定位考试)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 5＝10，S 4＝16，则数列{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3·a 5＝12，a 2＝0.若a 1>0，则S 20＝( )A ．420B ．340C ．－420D ．－3405．在等差数列{a n }中，已知a 5＋a 10＝12，则3a 7＋a 9＝( ) A ．12B ．18C ．24D ．30二、等差数列的判定与证明6.已知数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列．(2)求a n 的表达式．注： 等差数列的判定与证明方法 方 法 解 读适合题型 定义法对于任意自然数n (n ≥2)，a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)为同一常数⇔{a n }是等差数列解答题中证明问题等差中项法 2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)成立⇔{an }是等差数列通项公式法a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)对任意的正整数n 都成立⇔{a n }是等差数列选择、填空题中的判定问题前n 项和公式法 验证S n ＝An 2＋Bn (A ，B是常数)对任意的正整数n 都成立⇔{a n }是等差数列7．(2019·陕西质检)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R )且a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( )A ．13B ．49C ．35D ．638．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，设b n ＝1a n －1(n ∈N *)．求证：数列{b n }是等差数列．三、等差数列的性质与应用(一)等差数列项的性质9.已知在等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( ) A ．10 B ．20 C ．40D ．2＋log 2510.(2019·福建模拟)设S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，若a 5＝2b 5，则S 9T 9＝( )A ．2B ．3C ．4D ．6(二)等差数列前n 项和的性质11.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A ．63B ．45C ．36D ．27(三)等差数列前n 项和的最值12.在等差数列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( )A ．S 15B ．S 16C ．S 15或S 16D ．S 17注：1．应用等差数列的性质解题的2个注意点(1)如果{a n }为等差数列，m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．因此，若出现a m －n ，a m ，a m ＋n 等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与a m (或其他项)有关的条件；若求a m 项，可由a m ＝12(a m －n ＋a m ＋n )转化为求a m －n ，a m ＋n或a m ＋n ＋a m －n 的值．(2)要注意等差数列通项公式及前n 项和公式的灵活应用，如a n ＝a m ＋(n －m )d ，d ＝a n －a m n －m，S 2n －1＝(2n －1)a n ，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a 2＋a n －1)2(n ，m ∈N *)等．2．求等差数列前n 项和S n 最值的2种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎨⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎨⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .13．在等差数列{a n }中，若a 3＝－5，a 5＝－9，则a 7＝( ) A ．－12 B ．－13 C ．12D ．1314．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1>0，a 3＋a 10>0，a 6a 7<0，则满足S n >0的最大自然数n 的值为( )A ．6B ．7C ．12D ．1315．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S n ＝324(n ＞6)，则数列{a n }的项数为________．巩固练习:1．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2，S n 为{a n }的前n 项和，则S 10等于( ) A ．90 B ．100 C ．110D ．1302．(2018·北京东城区二模)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，a 5＝5，则S 7的值是( )A ．30B ．29C ．28D ．273．(2019·山西五校联考)在数列{a n }中，a n ＝28－5n ，S n 为数列{a n }的前n 项和，当S n 最大时，n ＝( )A ．2B ．3C ．5D ．64．(2019·广东中山一中统测)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝－2n ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前11项和为( )A ．－45B ．－50C ．－55D ．－665．(2018·南昌模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5＝50，S 10＝200，则a 10＋a 11的值为( )A．20 B．40C．60 D．806．(2019·广州高中综合测试)等差数列{a n}的各项均不为零，其前n项和为S n.若a2n＋1＝a n＋2＋a n，则S2n＋1＝()A．4n＋2 B．4nC．2n＋1 D．2n7．已知等差数列5,427，347，…，则前n项和S n＝________.8．已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________.9．等差数列{a n}中，已知a5>0，a4＋a7<0，则{a n}的前n项和S n的最大值为________．10．在等差数列{a n}中，公差d＝12，前100项的和S100＝45，则a1＋a3＋a5＋…＋a99＝________.11．(2018·全国卷Ⅱ)记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.(1)求{a n}的通项公式；(2)求S n，并求S n的最小值．12．(2019·山东五校联考)已知等差数列{a n}为递增数列，其前3项的和为－3，前3项的积为8.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{a n}的前n项和S n.参考答案：1.[解析]设等差数列{a n}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，得3(3a1＋3d)＝2a1＋d ＋4a1＋6d，即3a1＋2d＝0.将a1＝2代入上式，解得d＝－3，故a5＝a1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10.2.解：因为S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝4a2＋2d＝22，d＝(22－4a2)2＝3，a1＝a2－d＝4－3＝1，a n＝a1＋(n－1)d＝1＋3(n－1)＝3n－2，由3n－2＝28，解得n＝10.3.解析：选B设等差数列{a n}的公差为d，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1＋4d ＝10，4a 1＋4×32×d ＝16，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2，故选B.4.解析：选D 设数列{a n }的公差为d ，则a 3＝a 2＋d ＝d ，a 5＝a 2＋3d ＝3d ，由a 3·a 5＝12得d ＝±2，由a 1>0，a 2＝0，可知d <0，所以d ＝－2，所以a 1＝2，故S 20＝20×2＋20×192× (－2)＝－340，选D.5.解析：选C 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 因为a 5＋a 10＝12， 所以2a 1＋13d ＝12，所以3a 7＋a 9＝3(a 1＋6d )＋a 1＋8d ＝4a 1＋26d ＝2(2a 1＋13d )＝2×12＝24. 6.[解] (1)证明：因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)， 又a n ＝－2S n ·S n －1，所以S n －1－S n ＝2S n ·S n －1，S n ≠0. 因此1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．故由等差数列的定义知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1＝1a 1＝2为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知1S n＝1S 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)×2＝2n ，即S n ＝12n .由于当n ≥2时，有a n ＝－2S n ·S n －1＝－12n (n －1)，又因为a 1＝12，不适合上式． 所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n (n －1)，n ≥2.7.解析：选B 由S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R )可知数列{a n }是等差数列，所以S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7(a 2＋a 6)2＝49.8.证明：∵a n ＝2－1a n －1(n ≥2)，∴a n ＋1＝2－1a n.∴b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝12－1a n－1－1a n －1＝a n －1a n －1＝1， ∴{b n }是首项为b 1＝12－1＝1，公差为1的等差数列．9.[解析]因为2a 1·2a 2·…·2a 10＝2a 1＋a 2＋…＋a 10＝25(a 5＋a 6)＝25×4， 所以log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝log 225×4＝20.选B.10.解：由a 5＝2b 5，得a 5b 5＝2，所以S 9T 9＝9(a 1＋a 9)29(b 1＋b 9)2＝a 5b 5＝2，故选A.11.[解析] 由{a n }是等差数列， 得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列， 即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)， 得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45，故选B. 12.[解析] ∵a 1＝29，S 10＝S 20，∴10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，解得d ＝－2， ∴S n ＝29n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋30n ＝－(n －15)2＋225. ∴当n ＝15时，S n 取得最大值．13.解析：选B 法一：设公差为d ，则2d ＝a 5－a 3＝－9＋5＝－4，则d ＝－2，故a 7＝a 3＋4d ＝－5＋4×(－2)＝－13，选B.法二：由等差数列的性质得a 7＝2a 5－a 3＝2×(－9)－(－5)＝－13，选B. 14.解析：选C 因为a 1>0，a 6a 7<0，所以a 6>0，a 7<0，等差数列的公差小于零，又a 3＋a 10＝a 1＋a 12>0，a 1＋a 13＝2a 7<0，所以S 12>0，S 13<0，所以满足S n >0的最大自然数n 的值为12.15.解析：由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，① a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180，②①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216， ∴a 1＋a n ＝36，又S n ＝n (a 1＋a n )2＝324，∴18n ＝324，∴n ＝18.练习：1.解析：选C 由递推公式可知该数列是公差为2的等差数列，S 10＝10×2＋10×92×2＝110.故选C.2.解析：选C 由题意，设等差数列的公差为d ，则d ＝a 5－a 35－3＝1，故a 4＝a 3＋d ＝4，所以S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7×2a 42＝7×4＝28.故选C.3.解析：选C ∵a n ＝28－5n ，∴数列{a n }为递减数列． 令a n ＝28－5n ≥0，则n ≤285，又n ∈N *，∴n ≤5.∵S n 为数列{a n }的前n 项和，∴当n ＝5时，S n 最大．故选C.4.解析：选D ∵a n ＝－2n ＋1，∴数列{a n }是以－1为首项，－2为公差的等差数列， ∴S n ＝n [－1＋(－2n ＋1)]2＝－n 2，∴S n n ＝－n 2n ＝－n ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以－1为首项，－1为公差的等差数列，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前11项和为11×(－1)＋11×102×(－1)＝－66，故选D.5.解析：选D 设等差数列{a n }的公差为d ， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧S 5＝5a 1＋5×42d ＝50，S 10＝10a 1＋10×92d ＝200，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝10，a 1＋92d ＝20，解得⎩⎨⎧a 1＝2，d ＝4.∴a 10＋a 11＝2a 1＋19d ＝80.故选D.6.解析：选A 因为{a n }为等差数列，所以a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，又a 2n ＋1＝a n ＋2＋a n ，所以a 2n ＋1＝2a n ＋1.因为数列{a n }的各项均不为零，所以a n ＋1＝2，所以S 2n ＋1＝(a 1＋a 2n ＋1)(2n ＋1)2＝2×a n ＋1×(2n ＋1)2＝4n ＋2.故选A.7.解析：由题知公差d ＝－57，所以S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝514(15n －n 2)． 8.解析：∵a 3＋a 5＝2a 4，∴a 4＝0.∵a 1＝6，a 4＝a 1＋3d ，∴d ＝－2. ∴S 6＝6a 1＋6×(6－1)2d ＝6×6－30＝6.9.解析：∵⎩⎨⎧ a 4＋a 7＝a 5＋a 6<0，a 5>0，∴⎩⎨⎧a 5>0，a 6<0，∴S n 的最大值为S 5.10.解析：因为S 100＝1002(a 1＋a 100)＝45，所以a 1＋a 100＝910， a 1＋a 99＝a 1＋a 100－d ＝25，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝502(a 1＋a 99)＝502×25＝10. 11.解：(1)设{a n }的公差为d ， 由题意得3a 1＋3d ＝－15. 又a 1＝－7，所以d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9.(2)由(1)得S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2－8n ＝(n －4)2－16，所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16. 12.解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，d >0，∵等差数列{a n }的前3项的和为－3，前3项的积为8， ∴⎩⎨⎧3a 1＋3d ＝－3，a 1(a 1＋d )(a 1＋2d )＝8， ∴⎩⎨⎧a 1＝2，d ＝－3或⎩⎨⎧a 1＝－4，d ＝3.∵d >0，∴a 1＝－4，d ＝3，∴a n ＝3n －7. (2)∵a n ＝3n －7，∴a 1＝3－7＝－4， ∴S n ＝n (－4＋3n －7)2＝n (3n －11)2.。

必修5 数列2．等差数列{}n a 中，()46810129111120,3a a a a a a a ++++=-则的值为A ．14B ．15C ．16D ．173．等差数列{}n a 中，12910S S a =>，，则前 项的和最大．解：0912129=-=S S S S ， 10111211111030,00a a a a a a ∴++=∴=∴=>，，又4．已知等差数列{}n a 的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为 ．解：∵ ，，，，，1001102030102010S S S S S S S ---成等差数列，公差为D 其首项为10010=S ，6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知001213123<>=S S a ，，．①求出公差d 的范围；②指出1221S S S ，，， 中哪一个值最大，并说明理由． 解：①)(6)(610312112a aa a S +=+=36(27)0a d =+>②12671377666()013000S a a S a a a S =+>=<∴<>∴， 最大。

1． 已知等差数列{}n a 中，12497116a a a a ，则，===+等于( )A ．15B ．30C ．31D ．64794121215a a a a a +=+∴= A2． 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，971043014S S S S ，则，=-== ．543． 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若=+++=118521221a a a a S ，则 ． 4． 等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知50302010==a a ，． ①求通项n a ；②若n S =242，求n ． 解：d n a a n )1(1-+=111020193012305021019502n a d a a a a n a d d +==⎧⎧==∴∴=+⎨⎨+==⎩⎩，解方程组5．甲、乙两物体分别从相距70m 的两处同时相向运动，甲第一分钟走2m ，以后每分钟比前一分钟多走1m ，乙每分钟走5m ，①甲、乙开始运动后几分钟相遇? ②如果甲乙到对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前一分钟多走1m ，乙继续每分钟走5m ，那么，开始运动几分钟后第二次相遇?故第一次相遇是在开始运动后7分钟． 故第二次相遇是在开始运动后15分钟 10．已知数列{}n a 中，，31=a 前n 和1)1)(1(21-++=n n a n S ． ①求证：数列{}n a 是等差数列； ②求数列{}n a 的通项公式； ③设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和为n T ，是否存在实数M ，使得M T n ≤对一切正整数n 都成立? 若存在，求M 的最小值，若不存在，试说明理由．12122(1)(1)()2n n n n n n n a n a a a a a ++++∴+=++∴=+ ∴数列{}n a 为等差数列．②1)1(311-+==+n n a n na a ，{}212121522n a a a a a ∴=-=∴-=即等差数列的公差为1(1)3(1)221n a a n d n n ∴=+-=+-⋅=+121n +++n 三、等比数列 知识要点1. 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为()0q q ≠，．2. 递推关系与通项公式mn m n n n n n q a a q a a qa a --+⋅=⋅==推广：通项公式：递推关系：111 3. 等比中项：若三个数c b a ,,成等比数列，则称b 为a 与c 的等比中项，且ac b ac b =±=2，注：是成等比数列的必要而不充分条件． 4. 前n 项和公式)1(11)1()1(111≠⎪⎩⎪⎨⎧--=--==q q qa a qq a q na S n nn5. 等比数列的基本性质，),,,(*∈N q p n m 其中①q p n m a a a a q p n m ⋅=⋅+=+，则若，反之不成立！ ②)(2*+--∈⋅==N n a a a a a qm n m n n mn mn ， ③{}n a 为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列．④若项数为()*2n n N ∈，则S q S =偶奇．⑤nn m n m S S q S +=+⋅．⑥ ，，，时，n n n n n S S S S S q 2321---≠仍成等比数列． 6. 等比数列与等比数列的转化 ①{}n a 是等差数列⇔{})10(≠>c c cna ，是等比数列；②{}n a 是正项等比数列⇔{})10(log ≠>c c a n c ，是等差数列；③{}n a 既是等差数列又是等比数列⇔{}n a 是各项不为零的常数列． 7. 等比数列的判定法 ①定义法：⇒=+（常数）q a a nn 1{}n a 为等比数列； ②中项法：⇒≠⋅=++)0(221n n n n a a a a {}n a 为等比数列；③通项公式法：⇒⋅=为常数）q k q k a nn ,({}n a 为等比数列； ④前n 项和法：⇒-=为常数）（q k q k S nn ,)1({}n a 为等比数列． 性质运用1．103107422222)(++++++=n n f 设()()()n N f n *∈，则等于1342222(81)(81)(81)(81)7777n n n n A B C D +++----．．．．D2．已知数列{}n a 是等比数列，且===m m m S S S 323010，则， ．3．⑴在等比数列{}n a 中，143613233+>==+n n a a a a a a ，，． ①求n a ，②若n n n T a a a T 求,lg lg lg 21+++= ．⑵在等比数列{}n a 中，若015=a ，则有等式n n a a a a a a -+++=+++292121)29(*∈<N n n ，成立，类比上述性质，相应的在等比数列{}n b 中，若119=b ，则有等式成立．解：⑴①由等比数列的性质可知：16341616163233321a a a a a a a a a a ⋅=⋅=+=>==又，解得，②由等比数列的性质可知，{}n a lg 是等差数列，因为⑵由题设可知，如果0=m a 在等差数列中有n m n a a a a a a --+++=+++122121)12(*∈-<N n m n ，成立，我们知道，如果q p n m a a a a q p n m +=++=+，则若，而对于等比数列{}n b ，则有q p n m a a a a q p n m ⋅=⋅+=+，则若所以可以得出结论，若n m n m b b b b b b b --==1221211 ，则有)12(*∈-<N n m n ，成立，在本题中 n n b b b b b b -=372121 则有)37(*∈<N n n ，1．{a n }是等比数列，下面四个命题中真命题的个数为 ( ) ①{a n 2}也是等比数列；②{ca n }(c ≠0)也是等比数列；③{na 1}也是等比数列；④{ln a n }也是等比数列． A ．4 B ．3C ．2D ．12．等比数列{a n }中，已知a 9 =－2，则此数列前17项之积为 ( ) A ．216 B ．－216 C ．217 D ．－2173．等比数列｛a n ｝中，a 3=7，前3项之和S 3=21， 则公比q 的值为 ( )A ．1B ．－21 C ．1或－1 D ．－1或214．在等比数列{a n }中，如果a 6=6，a 9=9，那么a 3等于 ( )A ．4B ．23 C ．916 D ．25．若两数的等差中项为6，等比中项为5，则以这两数为两根的一元二次方程为 ( )A ．x 2－6x ＋25=0B ．x 2＋12x ＋25=0C ．x 2＋6x －25=0D ．x 2－12x ＋25=06．某工厂去年总产a ，计划今后5年内每一年比上一年增长10%，这5年的最后一年该厂的总产值是 ( )A ．1.1 4 aB ．1.1 5 aC ．1.1 6 aD ．(1＋1.1 5)a7．等比数列{a n }中，a 9＋a 10=a (a ≠0)，a 19＋a 20=b ，则a 99＋a 100等于 ( ) A ．89abB ．(ab )9C ．910abD ．(ab )108．已知各项为正的等比数列的前5项之和为3，前15项之和为39，则该数列的前10项之和为( )A ．32B ．313C ．12D ．159．某厂2001年12月份产值计划为当年1月份产值的n 倍，则该厂2001年度产值的月平均增长率为 ( ) A ．11n B ．11n C ．112-n D ．111-n10．已知等比数列{}n a 中，公比2q =，且30123302a a a a ⋅⋅⋅⋅=，那么36930a a a a ⋅⋅⋅⋅等于 ( )A ．102 B ．202 C ．162 D ．15211．等比数列的前n 项和S n =k ·3n ＋1，则k 的值为 ( )A ．全体实数B ．－1C ．1D ．312．某地每年消耗木材约20万3m ，每3m 价240元，为了减少木材消耗，决定按%t 征收木材税，这样每年的木材消耗量减少t 25万3m ，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于90万元，则t 的范围是 ( )A ．[1，3]B ．[2，4]C ．[3，5]D ．[4，6]一、选择题： BDCAD BACDB BC13．在等比数列{a n }中，已知a 1=23，a 4=12，则q =_____ ____，a n =____ ____．14．在等比数列{a n }中，a n ＞0，且a n ＋2=a n ＋a n ＋1，则该数列的公比q =___ ___．15．在等比数列｛a n ｝中，已知a 4a 7＝－512，a 3＋a 8＝124，且公比为整数，求a 10＝ ．16．数列｛n a ｝中，31=a 且n a a n n (21=+是正整数)，则数列的通项公式=n a ．二、填空题：13.2， 3·2n －2． 14.251+．15.512 ．16.123-n ． 17．已知数列满足a 1=1，a n ＋1=2a n ＋1 (n ∈N *)．(1)求证数列{a n ＋1}是等比数列；(2)求{a n }的通项公式． (1)证明由a n ＋1=2a n ＋1得a n ＋1＋1=2(a n ＋1)又a n ＋1≠0 ∴111+++n n a a =2即{a n ＋1}为等比数列．(2)解析： 由(1)知a n ＋1=(a 1＋1)q n－1即a n =(a 1＋1)q n －1－1=2·2n －1－1=2n －118．在等比数列｛a n ｝中，已知对n ∈N *，a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，求a 12＋a 22＋…＋a n 2．解析： 由a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1 ① n ∈N *，知a 1＝1且a 1＋a 2＋…＋a n －1＝2n －1－1 ②由①－②得a n ＝2n －1，n ≥2 又a 1＝1，∴a n ＝2n －1，n ∈N *212221)2()2(-+=n n nn a a ＝4 即｛a n 2｝为公比为4的等比数列 ∴a 12＋a 22＋…＋a n 2＝)14(3141)41(21-=--nn a 19．在等比数列｛a n ｝中，已知S n ＝48，S 2n ＝60，求S 3n ．解析一： ∵S 2n ≠2S n ，∴q ≠1 根据已知条件121(1)481(1)601n na q qa q q ⎧-=⎪-⎪⎨-=⎪⎪-⎩①②②÷①得：1＋q n ＝45即q n ＝41 ③ ③代入①得q a -11＝64 ④解析二：∵｛a n｝为等比数列∴(S2n－S n)2＝S n(S3n－S2n)20．求和：S n＝1＋3x＋5x2＋7x3＋…＋(2n－1)x n－1 (x≠0)．解析：当x=1时，S n=1＋3＋5＋…＋(2n－1)=n2当x≠1时，∵S n=1＋3x＋5x2＋7x3＋…＋(2n－1)x n－1，①等式两边同乘以x得：xS n=x＋3x2＋5x3＋7x4＋…＋(2n－1)x n．②21．在等比数列｛a n｝中，a1＋a n=66，a2·a n－1=128，且前n项和S n=126，求n及公比q．解析：∵a1a n=a2a n－1=128，又a1＋a n=66，∴a1、a n是方程x2－66x＋128=0的两根，解方程得x1=2，x2=64，∴a1=2，a n=64或a1=64，a n=2，显然q≠1．22．某城市1990年底人口为50万，人均住房面积为16 m2，如果该市每年人口平均增长率为1%，每年平均新增住房面积为30万m2，求2000年底该市人均住房的面积数．(已知1.015≈1.05，精确到0.01 m2)解析：依题意，每年年底的人口数组成一个等比数列{a n}：a1=50，q=1＋1%=1．01，n=11 则a11=50×1．0110=50×(1．015)2≈55.125(万)，又每年年底的住房面积数组成一个等差数列{b n}：b1=16×50=800，d=30，n=11∴b11=800＋10×30=1100(万米2)因此2000年底人均住房面积为：1100÷55.125≈19．95(m2)。

等差数列练习 1.已知数列{a n }为等差数列，且a 1+a 7+a 13=4π，则tan(a 2+a 12)的值为2. 已知等差数列{a n }的公差为d(d ≠0),且a 3+a 6+a 10+a 13=32,若a m =8，则m 为3.已知等差数列{a n }中，a 2=6,a 5=15.若b n =a 2n ,则数列{b n }的前5项和等于4. 等差数列{a n }的公差d<0，且a 2·a 4=12,a 2+a 4=8,则数列{a n }的通项公式是5.已知{a n }为等差数列，a 1+a 3+a 5=105,a 2+a 4+a 6=99.以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是6. 在等差数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a 7=5,S 7=21,那么S 10等于7.数列{a n }中，a 2=2，a 6=0，且数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，则a 4= .9 .已知一个等差数列前四项的和为124，后四项的和为156，各项的和为210，则此等差数列共有 项.10. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4-a 2=8,a 3+a 5=26,记2n n S T n=,如果存在正整数M ，使得对一切正整数n, n T ≤M 都成立，则M 的最小值是 .11.(2010·浙江)在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么位于数表中的第n 行第n+1列的数是 .12.( 2010·辽宁)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3=3,S 6=24,则a 9= .13.（2009·山东）在等差数列{a n }中，a 3=7,a 5=a 2+6,则a 6= .14.（2010·全国Ⅱ）如果等差数列{a n }中，a 3+a 4+a 5=12,那么a 1+a 2+…+a 7=15.（2008·福建）设{a n }是等差数列，若a 2=3,a 7=13，则数列{a n }前8项的和为16.已知等差数列{a n }的前三项为a-1,4,2a,记前n 项和为S n .（1）设k S =2 550,求a 和k 的值；（2）设n n S b n=,求b 3+b 7+b 11+…+b 4n-1的值.17.已知数列{a n }的首项a 1=3,通项a n 与前n 项和S n 之间满足2a n =S n ·S n-1(n ≥2). (1)试说明1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求其公差.（2）求数列{a n }的通项公式.18.设a 1,d 为实数，首项为a 1,公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6+15＝0.（1）若S 5＝5，求S 6及a 1;(2)求d 的取值范围.。

等差数列测试题、选择题（每小题 5分，共40 分）i.设数列、2, ..5,2、2, .. ii ,……则2 5是这个数列的C.第八项D.第九项2•在1和8之间插入两个数a,b ，使这四个数成等差数列，则A. a 2, b 5B. a 2, b=5C. a 2, b 5 3.首项为 24的等差数列，从第i0项开始为正数，则公差 d 的取值范围是则该数列的公差为C . 2是4,则抽取的是 A. d > - 3 B.d >3 C. 8<d v 3 3 8 D. — v 3 d <34.等差数列｛a n ｝共有2n 项, 其中奇数项的和为 90,偶数项的和为72,且a 2n a i33 , A.第六项B.第七项 D. a 2，b5.在等差数列｛a n ｝中, a io 0, a ii0,且a ii | a io |,则在S n 中最大的负数为A . S ]7 S i8 C . S ]9 D . S 206•等差数列｛a n ｝中, a i 5，它的前ii 项的平均值是5,若从中抽取i 项，余下的i0项的平均值 A. a ii B.a i0 C.a 9 D.a 87.设函数f (x)满足f (n+i)= 2f (n) “(n € N *)且 f (i)=2,则 f (20)为A.95B.97C.i05D.i92&已知无穷等差数列｛a n ｝, 前n 项和SA .在数列｛a n ｝中a 7最大B .在数列｛a n ｝中,a 3或a 4最大C .前三项之和S 3必与前 ii 项之和S ii 相等D .当n 》8寸，a n <0二、填空题（每小题 6分，共30 分）9 .集合M mm 6n,n N ,且 m 60 中所有元素的和等于L a n，则i0 .在等差数列｛a n｝中，a3 a7印。

8且a ii i4.记S n a i a2 a3S311 •已知等差数列｛a n ｝中，a 7 a 9 16,1，则a 16的值是13.等差数列｛a n ｝、｛ b n ｝、｛ c n ｝与｛ d n ｝的前n 项和分别记为 3、T n 、P n 、Q n .f(n)空；C ^ = 5^-2，g( n) 旦•则也 的最小值= __________________________b n d n 3 n 2 Q n g(n)三、解答题(每小题 10分，共30分)114. (1)在等差数列｛a n ｝中，d —月7 8，求a n 和S n ; 3⑵等差数列｛a n ｝中，a 4=14，前10项和S 10 185 .求a .；15•数列｛a n ｝中，a 1 8, a 4 2，且满足 a n 2 2a n 1 a n 0(1)求数列的通项公式； ⑵设S n 61 ai L |a n |，求S n 。

状元舟同步辅导班 祝你成绩辉煌 高中数学必修五等差数列专项训练题班级 姓名 成绩一、选择题1．无穷数列1，3，6，10……的通项公式为〔 〕〔A 〕a n =n 2-n+1 〔B 〕a n =n 2+n-1〔C 〕a n =22n n + 〔D 〕a n =22nn -2.在等差数列{a n }中，假设a 1+a 4+a 7=39,a 2+a 5+a 8=33,则a 3+a 6+a 9的值为〔 〕〔A 〕30 〔B 〕27 〔C 〕24 〔D 〕213．一个直角三角形的三条边成等差数列，则它的最短边与最长边的比为〔 〕〔A 〕4∶5 〔B 〕5∶13 〔C 〕3∶5 〔D 〕12∶134．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，假设735S =，则4a = 〔 〕A ．8B ．7C ．6D ．55．已知等差数列{}n a 中,288a a +=,则该数列前9项和9S 等于〔 〕A ．18B ．27C ．36D ．456．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，假设3613S S =，则612S S ＝〔 〕A ．310 B ．13 C ．18 D ．197．设{}n a 是等差数列，1359a a a ++=，69a =，则这个数列的前6项和等于〔 〕A ．12B ．24C ．36D ．488．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为〔〕 A ．5 B ．4 C ． 3 D ．29．已知等差数列{}n a 满足011321=+++a a a a ，则有〔 〕A ．0111>+a aB ．0102<+a aC ．093=+a aD ．66=a10．等差数列{a n }中，a 2＝6，a 5＝15．假设b n ＝a 2n ，则数列{b n }的前5项和等于 ( )A ．30B ．45C ．90D ．18611.已知为等差数列，，则等于A. -1B. 1C. 3D.712.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于( )A ．13B ．35C ．49D ． 6313.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4， 则公差d 等于A ．1B 53C.- 2 D 3 14.已知{}n a 为等差数列，且7a －24a ＝－1, 3a ＝0,则公差d ＝A.－2B.－12C.12D.2 15.{}n a 是首项1a =1，公差为d =3的等差数列，如果n a =202X ，则序号n 等于 ( )A 667B 668C 669D 67016．数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为-2，公差为4的等差数列。

等差数列练习题一。

选择题1.已知为等差数列，135246105,99a a a a a a ++=++=，则20a 等于（ ）A. -1 B 。

1 C 。

3 D.72。

设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于（ )A ．13B ．35C ．49D ． 633.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4， 则公差d 等于( )A ．1B 53C.- 2 D 3 4。

已知{}n a 为等差数列，且7a －24a ＝－1， 3a ＝0,则公差d ＝（ ）A 。

－2 B.－12 C.12D 。

2 5.若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a =（ ) A.12 B.13 C.14 D 。

156.在等差数列{}n a 中， 284a a +=,则 其前9项的和S 9等于 （ ）A ．18B 27C 36D 97。

已知{}n a 是等差数列，124a a +=,7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于（ ）A ．64B ．100C ．110D ．1208。

记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112a =，420S =，则6S =（ ） A ．16 B ．24 C ．36 D ．489.等差数列{}n a 的前n 项和为x S 若＝则432,3,1S a a ==（ ）A ．12B ．10C ．8D ．610。

设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ ）A ．63B ．45C ．36D ．2711。

已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是 （ ）A ．15B ．30C ．31D ．6412.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1221S =，则25811a a a a +++=．13、设数列的通项公式为72-=n a n ,则=+++1521a a a （ )A 、153B 、210C 、135D 、12014、已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的等差数列,则=-n m ( ）A 、1B 、43C 、21 D 、83 15.若{}n a 是等差数列,首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是( ）A 、4005B 、4006C 、4007D 、400816。