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高等数学课件D72可分离变量微分方程

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《可分离变量方程》PPT课件

《可分离变量方程》PPT课件

2
2
解 dy cos x y cos x y 0,
dx
2
2
dy 2sin x sin y 0,
dx
22
dy 2sin
y
sin
x 2
dx,
ln csc y cot y 22
2cos x C, 2
2
为所求解.
y 2k (k Z)也是解. 奇解
15
二、齐次方程___可化为可分离变量方程
1
微分方程的解: 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之. 微分方程的解的分类： (1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且(独立的) 任意常数的个数与微分方程的阶数相同.
例 y y, 通解 y ce x; y y 0, 通解 y c1 sin x c2 cos x;
2yy x 0, 通解 x2 2 y2 C （隐式通解）
2
(2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解. 解的图象: 微分方程的积分曲线. 通解的图象: 积分曲线族. 初始条件: 用来确定任意常数的条件.
例：函数 y 3e2x 是微分方程 y 4 y 0
的一个特解.
y y(0)
4y 3,
0
y(0)
6.
3
初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.
四、小船从河边点 0 处 出发驶向对岸(两岸为平行直线). 设船速为 a ,船行方向始终与河岸垂直,设河宽 为 h ,河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离 的乘积成正比(比例系数为 k ).求小船的航行路 线.
32
练习题答案
一、1、tan x tan y C ； 2、(e x 1)(e y 1) C ； 3、4( y 1)3 3 x4 C .

高等数学课件--D72可分离变量微分方程-文档资料

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2
例3. 求下述微分方程的通解: 2 y sin ( x y 1 ) x y 1 , 则 解: 令 u
u 1 y
故有 即 解得
2 1 u sin u
2 sec u d u d x
tan u x C
( C 为任意常数 ) x y 1 ) x C 所求通解: tan(
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分离变量方程的解法: g ( y ) d y f ( x ) d x
①
设 y＝ (x) 是方程①的解, 则有恒等式 g ( ( x )) ( x ) d x f ( x ) d x

两边积分, 得
设左右两端的原函数分别为 G(y), F(x), 则有 G ( y ) F ( x ) C ②
流量系数 孔口截面面积 重力加速度
O h d h
即
d V k S2 g h d t
t,t d t]内水面高度由 h 降到 h 设在 [ d h ( d h 0 ),
2019/3/13 同济版高等数学课件
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对应下降体积 2 d V r d h
2 2 2 2 hh r 1 ( 1 h )
x g(y)dy f (x)d
当G(y)与F(x) 可微且 G (y) g(y) 0 时, 说明由②确定
的隐函数 y＝ (x) 是①的解. 同样, 当 F (x) = f (x)≠0 时, 由②确定的隐函数 x＝(y) 也是①的解.
称②为方程①的隐式通解, 或通积分.
2019/3/13 同济版高等数学课件
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dy 例1. 求微分方程 3 x 2 y 的通解. dx dy 3x2 dx 说明: 在求解过程中 解: 分离变量得 y 每一步不一定是同解 dy 变形, 因此可能增、 两边积分 3x2 dx y 减解. 或 3 ln y x C 得 1

可分离变量的微分方程

可分离变量的微分方程
另一方面，设在微小时间间隔[t,t+dt]内，水面 高度由h降直h+dh(dh<0)，则又可得到
dV πr 2 dh
(3)
其中r是时刻t的水面半径，右端置负号是由于dh<0 而dV>0的缘故，又因
r 100 2 (100 h) 2 200h h 2
所以(3)式变成：dV π(200h h )dh (4) 比较(2)和(4)两式，得：
设G ( y )、F ( x)分别为g ( y )、f ( x)的原函数, 则 :
G ( y ) F ( x) c
(3)
隐式解:(3)式为微分方程(2)的隐式解 隐式通解:(3) 式中含有任意常数,因此(3)式为微分方 程(2)的隐式通解.
dy 例1 求微分方程 2 xy的通解. dx
此方程为逻辑斯蒂曲线方程.
例3 放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子 而变成其他元素，铀的含量就不断减少，这种现象
叫做衰变.由原子物理学知道，见到的衰变速度与当
时未衰变的原子的含量M成正比.已知t=0时铀的含量
为M0，求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t变化的规
律.
dM 解 铀的衰变速度就是M(t)对时间t的导数 .由于 dt 铀的衰变速度与其含量成正比，故得微分方程 dM M0000 c ( ) 0.62 2 g 3 5 π 14 105 0.62 2 g 15
π t 4.65 2 g
3 (7 105 103 h 2
5 3h 2 )
解 : 由原方程得 dy 2 xdx y
dy 两端积分得 2 xdx y
当y 0时，有 ln y x 2 c1 ye
x 2 c1

高数第七章(2)可分离变量的微分方程.

高数第七章(2)可分离变量的微分方程.

设在
内水面高度由 h 降到 h d h ( d h 0),
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对应下降体积
dV r 2 dh
r 1002 (100 h)2
dV (200h h2 ) dh
因此得微分方程定解问题:
200h h2 h
hr
100cm
o hdh
将方程分离变量:
dt
x
y
即 Fx cos x F sin x Fy y sin x F sin x
Fx y tan x
y
Fy
因此有
y y tan x y x0 1
y 1 sec x cos x
பைடு நூலகம்
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练习题
一、求下列微分方程的通解: 1、sec 2 x tan ydx sec 2 y tan xdy 0 ； 2、(e x y e x )dx (e x y e y )dy 0 ； 3、( y 1)2 dy x 3 0. dx
mg ) m g (1
e
k m
t
)
t
足够大时
v
mg k
k
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例8.
求解微分方程
dy dx
cos
x
2
y
cos
x
2
y.
解 dy cos x y cos x y 0,
dx
2
2
dy 2sin x sin y 0,
dx
22
2
dy sin
y
sin
x 2
dx,
2
ln csc y cot y 2cos x C, 为所求解.

高数72可分离变量微分方程

高数72可分离变量微分方程

04 可分离变量微分方程的图 形解法
微分方程的几何意义
微分方程与曲线族
01
可分离变量微分方程对应一族曲线，这些曲线在平面上表示微
分方程的解。
初始条件与特解
02
给定初始条件，可以从曲线族中选出一条特定曲线作为微分方
程的特解。
方向场与积分曲线
03
方向场表示微分方程在各点的切线方向，积分曲线是满足微分
01
微分方程组的可分离 变量形式
形如$begin{cases} x' = f(x, y) y' = g(x, y) end{cases}$的微分方程组， 在某些情况下可以通过适当的变量代 换化为可分离变量的形式。
02
求解方法
通过变量代换和积分，可以求解微分 方程组的可分离变量形式。需要注意 的是，不是所有的微分方程组都可以 化为可分离变量的形式。
在化学中的应用
化学反应速率
在化学反应中，反应速率常与时间成反比关系，这种关系可 以用可分离变量微分方程来描述。通过求解这类方程，可以 得到反应物浓度、生成物浓度等随时间变化的规律。
放射性衰变
放射性元素的衰变过程也可以用可分离变量微分方程来描述 。通过求解这类方程，可以得到放射性元素剩余量、衰变速 度等随时间变化的规律。
在生物学中的应用
种群增长模型
在生物学中，种群增长模型常用可分离变量微分方程来描述。例如，Logistic模 型就是一个典型的可分离变量微分方程。通过求解这类方程，可以得到种群数量 、增长速度等随时间变化的规律。
药物代谢动力学
在药物代谢动力学中，药物在体内的吸收、分布、代谢和排泄过程也可以用可分 离变量微分方程来描述。通过求解这类方程，可以得到药物浓度、代谢速度等随 时间变化的规律，为药物设计和治疗方案的制定提供依据。

高等数学可分变量的微分方程

高等数学可分变量的微分方程

10ydy10xdx ————
是否可分离变量 是 是 不是 是 是
不是
例 1 求 微 分 方 程 d 2 x 的 通 解 y y dx
解 这是一个可分离变量的微分方程
分离变量得 1 d 2 x y dx y
两边积分得 1 y d 2 x y dx
即
ln|y|x2C1 注 加常数的另一方法
d d M t
M
两边积分 得
d M ( ) d M t
下页
例3 设降落伞从跳伞塔 下落后 所受空气阻力与速度 成正比 并设降落伞离开跳伞 塔时速度为零 求降落伞下落 速度与时间的函数关系
解 设降落伞下落速度为 v(t) 根据题意得初值问题
m d d m k v t v g v | t 0 0
解 设降落伞下落速度为 或 v m C m k t ( C g e e k 1 ) C
v(t) 根据题意得初值问题
k
k
将初始条件v|t00代入上式得
v m | t d d 0 0 m k v t 于v 是 降C g 落 伞 m 下k 落 速 度 与 时 间
方程由G(y)F(x)C所确定的函数,称为隐式(通)解
讨论
微分方程
分离变量
y2xy
y1dy2xdx
3xy2)dxxydy=0 ————
y1xy2xy2 y(1x)(1y2)
y10xy y x y
yx
变化的规律 解 根据题意 得微分方程 即 lnMtlnC d M ( 是 正 常 数 M ) 也即 MCe t
dt 由初始条件
初始条件为M|t0M0

可分离变量的微分方程

解: 方程变形为
y (1) 0
dy y y 2 1 ( ) dx x x y 这是齐次方程, 令u 代入方程得 x du x 1 u2 dx du dx 将变量分离后得 2 x 1 u
两边积分得: ln u 1 u 2 ln x ln c 整理后得 变量还原得
dx 2 x 1 u
du
u 1 u cx
2
y y 2 1 ( ) cx x x
最后由初始条件 (1) 0, 可定出c 1. y
故初值问题的解为
1 2 y ( x 1) 2
(II) 形如
dy a1 x b1 y c1 , dx a2 x b2 y c2
dy dx
a1 x b1 y c1 dY a1 X b1Y Y f a x b y c dX f ( a X b Y ) g ( X ) 2 2 2 2 2
此外,诸如
dy f (ax by c) u ax by c dx
(2.2)
f (x)的某一原函数 1 的某一原函数 ( y)
由(2.2)所确定的函数 ( x, c)就为(2.1)的解. y
例：
分离变量: 两边积分:
dy x2 y2 1 dx dy x 2 dx y2 1
dx C
1 3 arctan y x C 3
1 两边积分得: sin x c, y
dy cos xdx 2 y
1 因而通解为: y sin x c ,
其中c为任意常数 .
此外y 0也是方程的解 且不能在通解中取适当 c得到. , 的
再求初值问题的通解, 以y(0) 1代入通解 得c 1 ,

D7_2变量可分离方程与齐次方程


sec2 udu dx
tan u x C ( C 为任意常数 )
变量回代
所求通解:
tan x y 1 x C . ( C 为任意常数 )
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例4.
求微分方程：d y e x y 的通解。
解法 1. 分离变量法： e y d y e x d x

h
t 0
100
因此容器内水面高度 h 与时间 t 有下列关系:
t
7 105 103 4.65 2 g


h 3 3 h
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5

.
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7.2.2 齐次方程
dy y 形如： f 的方程叫做齐次方程。 dx x y 解法: 令 u x , 则 y ux , dy u x du , dx dy d u 代入原方程得： u x f u , dx du dx 变量分离： , f u u x du dx F u ln x C , 两边积分， 得 f u u x
10. 当
dy axby c f dx a x b y c 1 1 1 c c1 0 时，方程为齐次微分方程；
2 20. 当 c, c1 至少有一个不为0 时，( c 2 c1 0)
作变换，令 x 则
X h , y Y k（可将原方程化为齐次的）
dx dv v y dy dy
y v 1 v C y 2 2 2 yx 2 x y v 1 v y C
2


(抛物线)
故反射镜面为旋转抛物面。
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【数理方程】72可分离变量的微分方程


y y x ln csc cot 2 cos C , 2 2 2
csc xdx ln csc x cot x c
2、齐次微分方程
dy y 形如： f x, y dx x 称为齐次微分方程。
解法：
dy du 2） 求导 u x dx dx
两边积分得
u arctan u x C
原方程的通解为
x y y C arctan
河北联合大学基础数学系
3. 求xln x ln y dy ydx 0的通解 .
x dy y 方程变形为 ln y dx x
dy du y 令 u, 则 u x dx dx x
du 代入原方程 ln u u x u dx
河北联合大学基础数学系
ln u 1 du dx 整理得 u1 ln u x
ln1 lnu lnu ln x lnc
原方程的通解为
y ln cy 1 0 x
河北联合大学基础数学系
y 1) 代换 令 u ，即 y ux x
du 3） 代入微分方程为 u x u dx
化为一阶可分离变量的 微分方程
1 1 du dx u u x y 4) 求出通解，再把u 换成 ，即为所求。 x
dy y y 例1 求微分方程 tan 的通解。 dx x x y 解 令 u , 则 y ux x dy du 得 u x dx dx
解
令 x y u,
dy du 1 dx dx
代入原方程
解得 u 2 14x C ,
2
du u 5 1 dx u 2

高数下D7_2可分离

积分得
故有
得
(抛物线)
故反射镜面为旋转抛物面.
于是方程化为
(齐次方程)
( h, k 为待
三、可化为齐次方程的方程
作变换
原方程化为
令
, 解出 h , k (齐次方程)源自定常数), 求出其解后,
即得原方
程的解.
原方程可化为
令
(可分离变量方程)
注: 上述方法可适用于下述更一般的方程
例8. 求解
设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度
降落伞下落速度与时间的函数关系.
t 足够大时
二、齐次方程
形如
的方程叫做齐次方程 .
令
代入原方程得
两边积分, 得
积分后再用
代替 u,
便得原方程的通解.
解法:
分离变量:
例5. 解微分方程
解:
代入原方程得
分离变量
两边积分
得
故原方程的通解为
( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解)
常用的方法:
1) 根据几何关系列方程
2) 根据物理规律列方程
3) 根据微量分析平衡关系列方程
(2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.
(3) 求通解, 并根据定解条件确定特解.
3. 解微分方程应用题的方法和步骤
思考与练习
求下列方程的通解 :
提示:
(1) 分离变量
(2) 方程变形为
解:
令
得
再令 Y＝X u , 得
令
积分得
代回原变量, 得原方程的通解:
得 C = 1 ,
故所求特解为
思考: 若方程改为
如何求解?
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令CeC1
lnyx3lnC
( C 为任意常数 )
( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
18.06.2019
同济版高等数学课件
xydx(x21)dy0
例2. 解初值问题 y(0)1
解: 分离变量得
dy y
1xx2
dx
两边积分得
即
y x21C ( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
y x211
18.06.2019
同济版高等数学课件
例3. 求下述微分方程的通解: 解: 令 uxy1,则
故有
1usi2n u
即
解得
ta u n x C
所求通解: ta x n y 1 ( ) x C ( C 为任意常数 )
18.06.2019
同济版高等数学课件
练习:
例4. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原
子的含量 M 成正比, 已知 t = 0 时铀的含量为 求在
衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律.
解: 根据题意, 有
dMM(0)
dt Mt0M0 (初始条件)
对方程分离变量, 然后积分:
得 lM n t lC n ,即
初始条件为 vt0 0
dt
对方程分离变量, 然后积分 :

得
(此 m g 处 k v 0 )
利用初始条件, 得 C1ln(mg) 代入上式后化简, 得特解 kvmg(1emk t )
t 足够大时
v

mg k
k
18.06.2019
同济版高等数学课件
例6. 有高 1 m 的半球形容器, 水从它的底部小孔流出,
①
设 y＝ (x) 是方程①的解, 则有恒等式
g (( x ) ( ) x ) d x f( x ) d x
两边积分, 得
f(x)dx
设左右两端的原函数分别为 G(y), F(x), 则有
②
当G(y)与F(x) 可微且 G (y) g(y) 0 时, 说明由②确定
的隐函数 y＝ (x) 是①的解. 同样, 当 F (x) = f (x)≠0
可见水流完所需时间为 t1.06814 0(s)
18.06.2019
同济版高等数学课件
内容小结
1. 微分方程的概念 微分方程; 阶; 定解条件; 解; 通解; 特解 说明: 通解不一定是方程的全部解 .
例如, 方程 (xy)y0有解
y=–x 及 y=C 后者是通解 , 但不包含前一个解 . 2. 可分离变量方程的求解方法: 分离变量后积分; 根据定解条件定常数 .
第二节
第七章
可分离变量微分方程
可分离变量方程
dy dx

f1(x)
f2(y)
M 1 ( x ) M 2 (y )d x N 1 ( x )N 2 (y )d y 0
转化
解分离变量方程 g (y )d yf(x )d x
18.06.2019
同济版高等数学课件
分离变量方程的解法:
g (y )d yf(x )d x
18.06.2019
同济版高等数学课件
3. 解微分方程应用题的方法和步骤 (1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.
常用的方法: 1) 根据几何关系列方程 ( 如: P298 题5(2) ) 2) 根据物理规律列方程 例4 例5 3) 根据微量分析平衡关系列方程 例6 (2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.
同济版高等数学课件
对应下降体积
dVr2dh
r 12(1h)2 2hh2
dVπ(2hh2)dh 因此得微分方程定解问题:
h h r 1m O hdh
将方程分离变量:
π
1
3
dt
(2h2h2)dh
kS 2g
18.06.2019
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两端积分, 得
h
π t
(4
利用初始条件, 得
MCet CM0
M
M0
故所求铀的变化规律为 MM 0et. O
t
18.06.2019
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例5. 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度
成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 求
降落伞下落速度与时间的函数关系.
解: 根据牛顿第二定律列方程 m d v mg kv
时, 由②确定的隐函数 x＝(y) 也是①的解.
称②为方程①的隐式通解, 或通积分.
18.06.2019
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例1. 求微分方程
的通解.
解: 分离变量得 dy 3x2 dx y
两边积分
得 lnyx3C1
或
说明: 在求解过程中 每一步不一定是同解 变形, 因此可能增、 减解.
即
(3) 求通解, 并根据定解条件确定特解.
18.06.2019
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思考与练习
求下列方程的通解 :
提示: (1) 分离变量 1yy2dy1xx2dx
(2) 方程变形为 y 2co xssiyn lntayn2sixnC 2
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作业
P 304 1 (1) , (5) , (7) , (10); 2 (3), (4) ; 4 ; 5 ; 6
3
h2
2h52 C)
kS 2g 3 5
利用初始条件,
得
C

14 15
,
因此
t 14π (110h32 3h52) 15kS 2g 7 7
hr
1m
O hdh h t0 1
以 k0.6,2 S14 0m 2,g9.8m s2代入则上 得容
器内水面高度 h 与时间 t 的关系:
t1.06 18 4(0 11h 0 2 33h5 2)(s) 77
小孔横截面积
开始时容器内盛满了水, 求水
从小孔流出过程中, 容器里水面的高度 h 随时间 t 的变
化规律.
解: 由水力学知, 水从孔口流出的流量为 h
流量系数 孔口截面面积 重力加速度
h r 1m O hdh

内水面高度由 h 降到 h dh(dh0 ),
解法 1 分离变量
积分
eyexC
即
(exC)ey10 ( C < 0 )
解法 2 令 uxy,
故有 积分
u1eu
(1eu)eu 1eu
du
uln (1eu)xC
所求通解: ln (1exy)yC( C 为任意常数 )
18.06.2019
同济版高等数学课件