第02节 可分离变量的微分方程

第二节 可分离变量的微分方程微分方程的类型是多种多样的，它们的解法也各不相同. 从本节开始我们将根据微分方程的不同类型，给出相应的解法. 本节我们将介绍可分离变量的微分方程以及一些可以化为这类方程的微分方程，如齐次方程等.内容分布图示★ 可分离变量微分方程★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7★ 逻辑斯谛方程★ 齐次方程★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 例11 ★ 例12★ 例13 ★ 可化为齐次方程的微分方程★ 例14 ★ 例15 ★ 例16★ 例17★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 题库12—2 ★ 返回内容要点：一、可分离变量的微分方程设有一阶微分方程),(y x F dxdy=, 如果其右端函数能分解成)()(),(x g x f y x F =，即有)()(y g x f dxdy=. (2.1) 则称方程(2.1)为可分离变量的微分方程，其中)(),(x g x f 都是连续函数. 根据这种方程的特点，我们可通过积分来求解. 求解可分离变量的方程的方法称为分离变量法. 二、齐次方程：形如⎪⎭⎫⎝⎛=x y f dx dy (2.8) 的一阶微分方程称为齐次微分方程，简称齐次方程..三、 可化为齐次方程的方程：对于形如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=222111c y b x a c y b x a f dx dy的方程，先求出两条直线,0111=++c y b x a 0222=++c y b x a的交点),(00y x ，然后作平移变换⎩⎨⎧-=-=00y y Y x x X 即 ⎩⎨⎧+=+=00y Y y x X x 这时，dXdYdx dy =，于是，原方程就化为齐次方程 ,2211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=Y b X a Y b X a f dX dY例题选讲：可分离变量的微分方程例1（讲义例1）求微分方程xy dxdy2=的通解. 例2（讲义例2）求微分方程ydy dx y xydy dx +=+2的通解.注：在用分离变量法解可分离变量的微分方程的过程中, 我们在假定0)(≠y g 的前提下, 用它除方程两边, 这样得到的通解, 不包含使0)(=y g 的特解. 但是, 有时如果我们扩大任意常数C 的取值范围, 则其失去的解仍包含在通解中. 如在例2中，我们得到的通解中应该0≠C ，但这样方程就失去特解1±=y ，而如果允许0=C ，则1±=y 仍包含在通解22)1(1-=-x C y 中.例3 已知 ,tan 2cos )(sin 22x x x f +=' 当10<<x 时，求).(x f例4（讲义例3）设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却. 试求物体温度随时间t 的变化规律.注：物体冷却的数学模型在多个领域有广泛的应用. 例如，警方破案时，法医要根据尸体当时的温度推断这个人的死亡时间，就可以利用这个模型来计算解决，等等.例5（讲义例4）设降落伞从跳伞塔下落后, 所受空气阻力与速度成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时)0(=t 速度为零, 求降落伞下落速度与时间的关系.下面我们借助树的增长来引入一种在许多领域有广泛应用的数学模型——逻辑斯谛方程.一棵小树刚栽下去的时候长得比较慢, 渐渐地, 小树长高了而且长得越来越快, 几年不见, 绿荫底下已经可乘凉了; 但长到某一高度后, 它的生长速度趋于稳定, 然后再慢慢降下来. 这一现象很具有普遍性. 现在我们来建立这种现象的数学模型.如果假设树的生长速度与它目前的高度成正比, 则显然不符合两头尤其是后期的生长情形, 因为树不可能越长越快; 但如果假设树的生长速度正比于最大高度与目前高度的差, 则又明显不符合中间一段的生长过程. 折衷一下, 我们假定它的生长速度既与目前的高度, 又与最大高度与目前高度之差成正比.设树生长的最大高度为H (m), 在t (年)时的高度为),(t h 则有)]()[()(t h H t kh dtt dh -= (2.8)其中0>k 的是比例常数. 这个方程称为Logistic 方程. 它是可分离变量的一阶常微分方程.注：Logistic 的中文音译名是“逻辑斯谛”.“逻辑”在字典中的解释是“客观事物发展的规律性”, 因此许多现象本质上都符合这种S 规律. 除了生物种群的繁殖外, 还有信息的传播、新技术的推广、传染病的扩散以及某些商品的销售等. 例如流感的传染, 在任其自然发展(例如初期未引起人们注意)的阶段, 可以设想它的速度既正比于得病的人数又正比于未传染到的人数. 开始时患病的人不多因而传染速度较慢; 但随着健康人与患者接触, 受传染的人越来越多, 传染的速度也越来越快; 最后, 传染速度自然而然地渐渐降低, 因为已经没有多少人可被传染了.例如，837年, 荷兰生物学家Verhulst 提出一个人口模型00)(),(y t y by k y dtdy=-= (2.9)其中b k ,的称为生命系数.这个模型称为人口阻滞增长模型. 我们不细讨论这个模型, 只提应用它预测世界人口数的两个有趣的结果.有生态学家估计k 的自然值是0.029. 利用本世纪60年代世界人口年平均增长率为2%以及1965年人口总数33.4亿这两个数据, 计算得2=b ，从而估计得：(1) 世界人口总数将趋于极限107.6亿. (2) 到2000年时世界人口总数为59.6亿.后一个数字很接近2000年时的实际人口数, 世界人口在1999年刚进入60亿. 例6 有高为1米的半球形容器，水从它的底部小孔流出，小孔横截面积为1平方厘米. 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h (水面与孔口中心间的距离)随时间t 的变化规律.例7 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中含有0.1%的C02, 为了降低车间内空气中C02的含量, 用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含0.03%的C02的新鲜空气, 同时以同样的风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6分钟后, 车间内C02百分比降低到多少?齐次方程例8（讲义例5）求解微分方程 x y x y dx dy tan +=满足初始条件61π==x y 的特解. 例9 求解微分方程.2222xyy dy y xy x dx -=+-例10（讲义例6）求解微分方程 .22dxdy xy dx dy xy =+ 例11 求下列微分方程的通解:.0)ln (ln =--ydx dy y x x例12 抛物线的光学性质. 实例:车灯的反射镜面 ——旋转抛物面.例13（讲义例7）设河边点O 的正对岸为点A , 河宽h OA =, 两岸为平行直线, 水流速度为a, 有一鸭子从点A 游向点O , 设鸭子(在静水中)的游速为)(a b b >, 且鸭子游动方向始终朝着点O , 求鸭子游过的迹线的方程.可化为齐次方程的方程例14（讲义例8）求31-++-=y x y x dx dy 的通解. 例15（讲义例9）利用变量代换法求方程2)(y x dxdy+=的通解. 例16 求微分方程)2(tan 212y x y +='的通解. 例17 求下列微分方程的通解. .222222x xy x e y y xy x -++='+课堂练习 1.求微分方程2cos2cos yx y x dx dy +=-+的通解. 2.方程)()()(2022x xy dt t y t t y x=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎰是否为齐次方程?3.求齐次方程0cos )cos (=-+dy xyx dx x y y x 的通解.。

第二节 可分离变量的微分方程微分方程的类型是多种多样的，它们的解法也各不相同. 从本节开始我们将根据微分方程的不同类型，给出相应的解法. 本节我们将介绍可分离变量的微分方程以及一些可以化为这类方程的微分方程，如齐次方程等.分布图示★ 可分离变量微分方程 ★ 例1 ★ 例2★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6★ 齐次方程 ★ 例7★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 例 11★ 可化为齐次方程的微分方程★ 例 12 ★ 例 13 ★ 例 14 ★ 例 15★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题8-2内容要点一、可分离变量的微分方程设有一阶微分方程),(y x F dxdy =, 如果其右端函数能分解成)()(),(x g x f y x F =，即有)()(y g x f dxdy =. (2.1) 则称方程(2.1)为可分离变量的微分方程，其中)(),(x g x f 都是连续函数. 根据这种方程的特点，我们可通过积分来求解. 求解可分离变量的方程的方法称为分离变量法.二、齐次方程：形如⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y f dx dy (2.8) 的一阶微分方程称为齐次微分方程，简称齐次方程..三、可化为齐次方程的方程：对于形如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=222111c y b x a c y b x a f dx dy 的方程，先求出两条直线,0111=++c y b x a 0222=++c y b x a的交点),(00y x ，然后作平移变换⎩⎨⎧-=-=00y y Y x x X 即 ⎩⎨⎧+=+=00y Y y x X x 这时，dXdY dx dy =，于是，原方程就化为齐次方程,2211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=Y b X a Y b X a f dX dY例题选讲可分离变量的微分方程例1（E01）求微分方程xy dx dy 2=的通解.解 分离变量得xdx y dy 2=两端积分得⎰⎰=xdx y dy 212||ln C x y += 从而2112x C C xe e e y ⋅±=±=+,记,1C e C ±=则得到题设方程的通解 .2x Ce y =例2（E02）求微分方程ydy dx y xydy dx +=+2的通解.解 先合并dx 及dy 的各项,得dx y dy x y )1()1(2-=-设,01,012≠-≠-x y 分离变量得dx x dy y y 1112-=- 两端积分⎰⎰-=-dx x dy y y 1112得 ||ln |1|ln |1|ln 2112C x y +-=- 于是 2212)1(1-±=-x C y 记,21C C ±=则得到题设方程的通解 .)1(122-=-x C y注：在用分离变量法解可分离变量的微分方程的过程中, 我们在假定0)(≠y g 的前提下, 用它除方程两边, 这样得到的通解, 不包含使0)(=y g 的特解. 但是, 有时如果我们扩大任意常数C 的取值范围, 则其失去的解仍包含在通解中. 如在例2中，我们得到的通解中应该0≠C ，但这样方程就失去特解1±=y ，而如果允许0=C ，则1±=y 仍包含在通解22)1(1-=-x C y 中.例3 已知 ,tan 2cos )(sin 22x x x f +=' 当10<<x 时，求).(x f解 设,sin 2x y =则,21sin 212cos 2y x x -=-=.1sin 1sin cos sin tan 22222y y x x x x x -=-==所以原方程变为,121)(y y y y f -+-='即.112)(yy y f -+-=' 所以 =)(y f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-y y 112dy 2y -=,)1ln(C y +-- 故 C x x x f +-+-=)]1ln([)(2).10(<<x例4 设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却. 试求物体温度随时间t 的变化规律.解 设物体的温度T 与时间t 的函数关系为),(t T T =在上节的例1中我们已经建立了该问题的数学模型:⎪⎩⎪⎨⎧=--==100|)20(0t T T k dt dT )2()1( 其中)0(>k k 为比例常数.下面来求上述初值问题的解.分离变量,得;20kdt T dT -=- 两边积分,201⎰⎰-=-kdt dT T 得1|20|ln C kt T +-=-(其中1C 为任意常数)， 即 kt kt C C kt Ce e e e T --+-=±=±=-1120(其中1C e C ±=).从而,20kt Ce T -+=再将条件(2)代入,得,8020100=-=C于是，所求规律为.8020kt e T -+=注：物体冷却的数学模型在多个领域有广泛的应用. 例如，警方破案时，法医要根据尸体当时的温度推断这个人的死亡时间，就可以利用这个模型来计算解决，等等.例5（E03）在一次谋杀发生后，尸体的温度按照牛顿冷却定律从原来的37℃开始下降，假设两个小时后尸体温度变为35℃，并且假定周围空气的温度保持20℃不变，试求出尸体温度T 随时间t 的变化规律。