- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
规衰变律
思考题
求解微分方程 d yco x syco x sy.
dx 2
2
思考题解答
d yco x syco x sy0 ,
dx 2
2
dy2sin xsin y0, dx 2 2
2sdiyny sin2xdx,
2
lncscy coty 22
2cosxC, 2
为所求解.
三、齐次方程
1.定义 形如 dy f(y) 的微分方程称为齐次方程. dx x
正 比 , 已 知 M t0 M0 , 求 衰 变 过 程 中 铀 含 量 M(t)随时间t 变化的规律.
解 衰变速d度 M, 由题设条件
dt
dM M dt
(0衰变)系dM数 M dt
dMMdt, l|n M | t lC n 1 ,即 MC et,
代M 入 t0M 0 得M0C0e C,
M M 0et
dx
解 dy 2 y y dx x x
令u y , 则 dy u x du ,
x
dx
dx
有uxdu 2 uu, dx
1 du dx 0, 2(u u) x
2(u1 u)dudxx 0,
x( u 1) c
微分方程的解为
xy x c
四、小结
1分离变量法步骤: 分离变量;
化下列方程为齐次方程,并求出通解:
1、 y x y 1 ; x y3
2、 (2 x 5 y 3)dx (2 x 4 y 6)dy 0 .
练习题答案
一、1、y2 x2(2lnx C);
x
2、x2yey C. 二、1、y2 x2 y3;
2、x2 y2 x y. 三、1、arctayn21ln[(x1)2 (y2)2]C;
两端积分
ex dx ey dy0,
1ex
ey 1
得 通 解 ( e x 1 )(e y 1 ) c
再 由 y x 0 1 ,得 ( e 0 1 ) ( e 1 1 ) 2 ( e 1 ) c
故 特 解 为 ( e x 1 )(e y 1 ) 2 (e 1 )
例 4 衰变问题:衰变速度与未衰变原子含量 M 成
x1 2 2、(4yx3)(y2x3)2 C.
2齐次方程 dy f ( y). dx x
齐次方程的解法
令
u
y. x
思考题
方程 0 x 2 y ( t ) t 2 y 2 ( t ) d x t ( x ) y
是否为齐次方程?
思考题解答
方程两边同时对 求x导:
2 yx 2 y 2 y x y ,
xyx2y2y, y 1y2 y,
分离变量法
设函数G( y)和F ( x)是依次为 g( y)和 f ( x)的原函数, G (y) F (x ) C为微分方程的解.
二、典型例题
例1
求解微分方程
dy2xy的通解 . dx
解 分离变量 dy 2xdx, y
两端积分
dy y
2xdx,
ln |y|x2C1
yCex2为所求通 . 解
例2 求 ( 1 e x )y y e x 满 足 yx 0 0 特 解 .
x x
原方程是齐次方程.
练习题
一、求下列齐次方程的通解:
1、 ( x 2 y 2 )dx xydy 0 ;
2、 (1
2e
x y
)dx
2e
x y
(1
x )dy
0.
y
二、求下列齐次方程满足所给初始条件的特解:
1、 ( y 2 3 x 2 )dy 2 xydx 0, y x 0 1 ;
2、 ( x 2 2 xy y 2 )dx ( y 2 2 xy x 2 )dy 0 ,
解 分离变量 两端积分
ex
ydy
dx,
1 ex
ex
ydy 1ex dx,
得通解y2 lnc(1ex) 2
再 由 yx00,得 0ln2lnc,c1 2
故特解为y2
(1ex) ln
2
2
例3 求 (exyex)dx(exyex)dy0 满 足 yx0 1特 解 .
解 分离变量 ex(ey 1 )d xey(ex 1 )d y0
第二节 可分离变量的微分方程
• 一、可分离变量的微分方程 • 二、典型例题 • 三、齐次方程 • 三、小结
一、可分离变量的微分方程
g (y)d yf(x )dx可分离变量的微分方程.
例如 dy2x2y54 y54dy2x2dx, dx
解法 设函数g( y)和f (x)是连续的,
g(y)d yf(x)dx
2.解法
作变量代换
u y, x
即yxu,
dyuxdu, dx dx
代入原式
uxduf(u), dx
即duf(u)u. dx x
可分离变量的方程
当 f(u)u0时 , 得f(u d) uulnC1x,
即xC(eu),
((u)
du ) f(u)u
将u y代入, 得通x 解 Ce(xy), x
例5 求解微分方程 x dy y 2 xy