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《可分离变量方程》PPT课件
2
2
解 dy cos x y cos x y 0,
dx
2
2
dy 2sin x sin y 0,
dx
22
dy 2sin
y
sin
x 2
dx,
ln csc y cot y 22
2cos x C, 2
2
为所求解.
y 2k (k Z)也是解. 奇解
15
二、齐次方程___可化为可分离变量方程
1
微分方程的解: 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之. 微分方程的解的分类： (1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且(独立的) 任意常数的个数与微分方程的阶数相同.
例 y y, 通解 y ce x; y y 0, 通解 y c1 sin x c2 cos x;
2yy x 0, 通解 x2 2 y2 C （隐式通解）
2
(2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解. 解的图象: 微分方程的积分曲线. 通解的图象: 积分曲线族. 初始条件: 用来确定任意常数的条件.
例：函数 y 3e2x 是微分方程 y 4 y 0
的一个特解.
y y(0)
4y 3,
0
y(0)
6.
3
初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.
四、小船从河边点 0 处 出发驶向对岸(两岸为平行直线). 设船速为 a ,船行方向始终与河岸垂直,设河宽 为 h ,河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离 的乘积成正比(比例系数为 k ).求小船的航行路 线.
32
练习题答案
一、1、tan x tan y C ； 2、(e x 1)(e y 1) C ； 3、4( y 1)3 3 x4 C .
可分离变量的微分方程ppt课件
§.2 可分离变量的微分 方程
1
❖可分离变量的微分方程 如果一个一阶微分方程能写成
g(y)dyf(x)dx (或写成y(x)(y))
的形式 那么原方程就称为可分离变量的微分方程 ❖可分离变量的微分方程的解法
•分离变量 将方程写成g(y)dy f(x)dx的形式
•两端积分 g(y)dy f (x)dx 设积分后得 G(y)F(x)C
)
k
7
结束
m
dv dt
mg
kv
v |t 0 0
提示 降落伞所受外力为Fmgkv(k为比例系数)
牛顿第二运动定律Fma 6 下页
例3 设降落伞从跳伞塔 两边积分得
下落后 所受空气阻力与速度 成正比 并设降落伞离开跳伞
dv mg kv
dt m
塔时速度为零 求降落伞下落 即 速度与时间的函数关系
1 k
ln(
dx 设积分后得 G(y)F(x)C
方程由G(y)F(x)C所确定的函数,称为隐式(通)解 2
讨论
微分方程
分离变量
y2xy
y1dy2xdx
3x25xy0
dy(3x25x)dx
(x2y2)dxxydy=0 ————
y1xy2xy2 y(1x)(1y2)
y10xy y x y
yx
10ydy10xdx ————
是否可分离变量 是 是 不是 是 是
不是
3
例 1 求微分方程 dy 2xy 的通解 dx
解 这是一个可分离变量的微分方程
分离变量得
1 y
dy 2xdx
两边积分得
1 dy y
2xdx
即
ln|y|x2C1 注 加常数的另一方法
1
❖可分离变量的微分方程 如果一个一阶微分方程能写成
g(y)dyf(x)dx (或写成y(x)(y))
的形式 那么原方程就称为可分离变量的微分方程 ❖可分离变量的微分方程的解法
•分离变量 将方程写成g(y)dy f(x)dx的形式
•两端积分 g(y)dy f (x)dx 设积分后得 G(y)F(x)C
)
k
7
结束
m
dv dt
mg
kv
v |t 0 0
提示 降落伞所受外力为Fmgkv(k为比例系数)
牛顿第二运动定律Fma 6 下页
例3 设降落伞从跳伞塔 两边积分得
下落后 所受空气阻力与速度 成正比 并设降落伞离开跳伞
dv mg kv
dt m
塔时速度为零 求降落伞下落 即 速度与时间的函数关系
1 k
ln(
dx 设积分后得 G(y)F(x)C
方程由G(y)F(x)C所确定的函数,称为隐式(通)解 2
讨论
微分方程
分离变量
y2xy
y1dy2xdx
3x25xy0
dy(3x25x)dx
(x2y2)dxxydy=0 ————
y1xy2xy2 y(1x)(1y2)
y10xy y x y
yx
10ydy10xdx ————
是否可分离变量 是 是 不是 是 是
不是
3
例 1 求微分方程 dy 2xy 的通解 dx
解 这是一个可分离变量的微分方程
分离变量得
1 y
dy 2xdx
两边积分得
1 dy y
2xdx
即
ln|y|x2C1 注 加常数的另一方法
高等数学(第二版)下册课件：可分离变量的微分方程
的一阶微分方程，称为可分离变量的微分方程，其中 f (x)，g( y) 是已知的函数
9.2.2 可分离变量法
方程（9.13）的解题步骤如下： 第一步：
把方程左右两边分离变量
dy f (x)dx, g( y) 0. g( y)
第二步： 根据一阶微分形式的不变性，对两端分别积分
dy g( y)
f
(x)dx,
dy dx . yx
对方程左右两端积分
dy y
dx , x
得 ln y ln x ln C,
因此 xy C.
y 0 也是方程的解，在上式中令可C 0 以转化
为 y 0 .所以方程的通解为 xy C.
例9.2.3
求微分方程 dy 1 y2 dx 满足条件的 x π , y 1
dy y
2xdx,
得 ln y x2 C1 ,
整理得 y ex2 C1 Cex2 , (C eC1 )
可以验证 y 0 也是方程的解，在上式 中令 C 0 可以转
化为 y 0．所以方程的通解为 y Cex2 .
例9.2.2 求微分方程 xdy ydx 0 的通解.
解： 方程为可分离变量方程，分离变量得
4
特解
解： 方程为可分离变量方程，分离变量得
dy dx 1 y2
对方程左右两端积分
dy 1 y2
dx
得方程的通解 arctan y x C
把条件
x
π 4
,
y
1
代入方程得
C
0.所以方程的特
解为 y tan x .
例9.2.4
求微分方程
y
ex y
的通解。
分析： 本题应用分离变量的方法即可求解微分方
2可分离变量的微分方程.ppt
8小时24分钟，所以谋杀是在上午7点36分发生的．
练习5 [第二宇宙速度]
地球对物体的引力F与物体的质量m、物体离地心的
距离s的关系为
，这里g是重力加速度，
R为地球半径．验证：如果物体以 度发射，则永远不会返回地球．
的初速
研究 解 （1）建立微分方程 由牛顿第二定律F=ma，其中
，有
故有 初始条件为时s=R时， .
练习3 [环境污染问题]
某水塘原有50000t清水(不含有害杂质)，从时间 t=0开始，含有有害杂质5%的浊水流入该水塘．流入的 速度为2t/min，在塘中充分混合(不考虑沉淀)后又以 2t/min的速度流出水塘．问经过多长时间后塘中有害物 质的浓度达到4%?
解 （1）建立微分方程 设在时刻t塘中有害物质的含量为Q(t)，此时塘中
三、进一步的练习
练习1 [国民生产总值]
1999年我国的国民生产总值（GDP）为80 423亿元， 如果我国能保持每年8%的相对增长率，问到2010年我 国的GDP是多少？
解 (1)建立微分方程 记t=0代表1999年，并设第t年我国的GDP为P(t)．由 题意知，从1999年起，P(t)的相对增长率为8%，即
2. [死亡年代的测定] 遗体死亡之后，体内碳的含 量就不断减少，已知碳的衰变速度与当时体内碳的含 量成正比，试建立任意时刻遗体内碳含量应满足的方 程．
3. [镭的衰变] 镭的衰变有如下规律：镭的衰变速度 与它的现存量成正比．由经验材料得知，镭经过1600
年后，只剩原始量R0的一半．试求镭量与时间t的函数
4.2 可分离变量的微分方程
一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步的练习 四、实训
一、案例 1 [人口问题 ] 英国学者马尔萨斯(Malthus，1766-1834)认为 人口的相对增长率为常数，即如果设t时刻的人口 数为x(t)，则人口增长速度 与人口总量x(t) 成正比，从而建立了Malthus人口模型。
高等数学课件7第二节 可分离变量的微分方程ppt
故所求特解为 lnln| yy|11lnln((xx2 21)1.). 22
思考与练习
1. 求下列方程的通解 :
提示:
(1)
分离变量
y
x
1 y2 dy 1 x2 dx
(2) 方程变形为 y 2cos x sin y
ln tan y 2sin x C 2
4
y5,
dx
是可分离变量的微分方程．
4
y 5dy
Байду номын сангаас
2 x 2dx,
若 dy f ( x, y) dx
dy dx
f1(x) f2( y) ；
或由 P( x, y)dx Q( x, y)dy 0
M1( x)M2( y)dx N1( x)N2( y)dy 0 .
则均为可分离变量的微分方程．
二、分离变量法
( Q( x, y) 0 )
将它看成以 y 为自变量、x 为未知函数的方程
dx Q( x, y) dy P( x, y)
( P(x, y) 0 )
引例1. 求一阶微分方程 dy 2x 的通解． dx
解: 两端积分得通解 y x2 C ．
引例2. 求一阶微分方程 dy 2xy2 的通解． dx
说明: 在求解过程中 每一步不一定是同解 变形, 因此可能增、 减解.
令 C eC1
( C 为任意常数 ) ( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
例2. 求下列微分方程的通解:
解: 原方程化为
dy ex e y dx
分离变量
e ydy exdx
两边积分
通解： e y e x C
(2)
反之，
当 g( y) 0 时，
由(2)式所确定的隐函数y ( x)是(1)式的解;
思考与练习
1. 求下列方程的通解 :
提示:
(1)
分离变量
y
x
1 y2 dy 1 x2 dx
(2) 方程变形为 y 2cos x sin y
ln tan y 2sin x C 2
4
y5,
dx
是可分离变量的微分方程．
4
y 5dy
Байду номын сангаас
2 x 2dx,
若 dy f ( x, y) dx
dy dx
f1(x) f2( y) ；
或由 P( x, y)dx Q( x, y)dy 0
M1( x)M2( y)dx N1( x)N2( y)dy 0 .
则均为可分离变量的微分方程．
二、分离变量法
( Q( x, y) 0 )
将它看成以 y 为自变量、x 为未知函数的方程
dx Q( x, y) dy P( x, y)
( P(x, y) 0 )
引例1. 求一阶微分方程 dy 2x 的通解． dx
解: 两端积分得通解 y x2 C ．
引例2. 求一阶微分方程 dy 2xy2 的通解． dx
说明: 在求解过程中 每一步不一定是同解 变形, 因此可能增、 减解.
令 C eC1
( C 为任意常数 ) ( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
例2. 求下列微分方程的通解:
解: 原方程化为
dy ex e y dx
分离变量
e ydy exdx
两边积分
通解： e y e x C
(2)
反之，
当 g( y) 0 时，
由(2)式所确定的隐函数y ( x)是(1)式的解;
可分离变量的微分方程
M M0
（2）解微分方程： ）解微分方程： 分离变量 两边积分
dM ∫ M = ∫ λdt ,
O
t
ln M = λt + ln C , 即M = Ce λt , 代入M t = 0 = M 0 ,得 M 0 = Ce 0 = C ,
∴ M = M 0e
λt
衰变规律
放射性物质都具有类似的衰变规律： 放射性物质都具有类似的衰变规律：
A B C ,b = , 记a = D D
若a = 0, 即A = B ,
饮食量仅够维持新陈代谢 身体快速消瘦
则w = w0 e bt . lim w ( t ) = 0
dw = a bw(t ). 若b = 0,即C = 0, 只吃饭、不锻炼 dt 只吃饭、 dw 则方程变为 = a , 解得w = at + w0 . dt 当t → ∞时，w → ∞ . 身体越来越胖 危险！ 危险！
思考题
下列微分方程是否为可分离变量方程 下列微分方程是否为可分离变量方程? 是否为可分离变量方程
y′ 1. x = y x +y
2 2
不是 是 是
2. y(1 + x 2 ) y′ x 1 y 2 = 0
3. 2e dx + ( 1 x ) dy = 0
y
作业
p.269 习题 －2 习题12－ 1. (3), (7); 2. (1), (4); 4; 6.
(1 )
y′ = f ( x , y )
问题： 问题： d y = 2 x y 2 dy = 2 xdx dy = 2 xdx dx y2 y2 dy dx 1 xy ′ y ln y = 0 = = x2 + C 例如： 例如： y ln y x y 1 ( e x + y e x ) dx + ( e x + y + e y ) dy = 0y = x 2 + C e x (e y 1)dx + e y (e y + 1)dy = 0 y e ex dy = x dx y 1e e +1 均可化为(1)的形式 的形式. 均可化为 的形式
（2）解微分方程： ）解微分方程： 分离变量 两边积分
dM ∫ M = ∫ λdt ,
O
t
ln M = λt + ln C , 即M = Ce λt , 代入M t = 0 = M 0 ,得 M 0 = Ce 0 = C ,
∴ M = M 0e
λt
衰变规律
放射性物质都具有类似的衰变规律： 放射性物质都具有类似的衰变规律：
A B C ,b = , 记a = D D
若a = 0, 即A = B ,
饮食量仅够维持新陈代谢 身体快速消瘦
则w = w0 e bt . lim w ( t ) = 0
dw = a bw(t ). 若b = 0,即C = 0, 只吃饭、不锻炼 dt 只吃饭、 dw 则方程变为 = a , 解得w = at + w0 . dt 当t → ∞时，w → ∞ . 身体越来越胖 危险！ 危险！
思考题
下列微分方程是否为可分离变量方程 下列微分方程是否为可分离变量方程? 是否为可分离变量方程
y′ 1. x = y x +y
2 2
不是 是 是
2. y(1 + x 2 ) y′ x 1 y 2 = 0
3. 2e dx + ( 1 x ) dy = 0
y
作业
p.269 习题 －2 习题12－ 1. (3), (7); 2. (1), (4); 4; 6.
(1 )
y′ = f ( x , y )
问题： 问题： d y = 2 x y 2 dy = 2 xdx dy = 2 xdx dx y2 y2 dy dx 1 xy ′ y ln y = 0 = = x2 + C 例如： 例如： y ln y x y 1 ( e x + y e x ) dx + ( e x + y + e y ) dy = 0y = x 2 + C e x (e y 1)dx + e y (e y + 1)dy = 0 y e ex dy = x dx y 1e e +1 均可化为(1)的形式 的形式. 均可化为 的形式
高等数学课件--D7_2可分离变量微分方程
第二节 可分离变量微分方程
可分离变量方程
dy dx f1 ( x ) f 2 ( y )
第七章
M 1 ( x)M 2 ( y ) d x N1 ( x) N 2 ( y ) d y 0
转化
解分离变量方程
2012-10-12
g ( y ) d y f ( x) d x
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同济版高等数学课件
分离变量方程的解法:
g ( y ) d y f ( x) d x
g ( ( x)) ( x) d x f ( x) d x
①
设 y＝ (x) 是方程①的解, 则有恒等式 两边积分, 得
f ( x) d x
设左右两端的原函数分别为 G(y), F(x), 则有 ②
1
h
2
3 2
以k 0.62, S 10
则得容 m , g 9.8 m s 代入上式，
器内水面高度 h 与时间 t 的关系:
t 1.068 10 (1
4
10 7
h
3 2
3 7
h ) (s)
5 2
可见水流完所需时间为 t 1.068 104 (s)
2012-10-12 同济版高等数学课件
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例2. 解初值问题 解: 分离变量得
x y d x ( x 1) d y 0
2
y(0) 1
dy y x 1 x
2
dx
两边积分得
即
y x 1 C
2
( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
可分离变量方程
dy dx f1 ( x ) f 2 ( y )
第七章
M 1 ( x)M 2 ( y ) d x N1 ( x) N 2 ( y ) d y 0
转化
解分离变量方程
2012-10-12
g ( y ) d y f ( x) d x
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同济版高等数学课件
分离变量方程的解法:
g ( y ) d y f ( x) d x
g ( ( x)) ( x) d x f ( x) d x
①
设 y＝ (x) 是方程①的解, 则有恒等式 两边积分, 得
f ( x) d x
设左右两端的原函数分别为 G(y), F(x), 则有 ②
1
h
2
3 2
以k 0.62, S 10
则得容 m , g 9.8 m s 代入上式，
器内水面高度 h 与时间 t 的关系:
t 1.068 10 (1
4
10 7
h
3 2
3 7
h ) (s)
5 2
可见水流完所需时间为 t 1.068 104 (s)
2012-10-12 同济版高等数学课件
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例2. 解初值问题 解: 分离变量得
x y d x ( x 1) d y 0
2
y(0) 1
dy y x 1 x
2
dx
两边积分得
即
y x 1 C
2
( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
第二节 可分离变量的微分方程
曲线族的包络。
y
y ( x C)
2
o
y0
x
例5 设雨滴在下落的过程中所受到的空气的阻力与其下落的
速度的平方成正比，求雨滴运动速度随时间变化的规律。 解 设雨滴下落的速度为 v(t) ，雨滴下落时，同 时受到重力 P 与阻力 R 的作用，重力大小为 mg , 方向与 v 一致，阻力大小为 kv
例10 解 如图
抛物线的光学性质
实例: 车灯的反射镜面------旋转抛物面
y T
设旋转轴ox轴
光源在(0,0), L : y y( x ) 设M ( x , y )为上任一点，
M
R
MT为切线, 斜率为 y,
O
N
x
OMN NMR ,
1 MN为法线, 斜率为 , y
L
T
y
M
CO2 的通入量 2000 dt 0.03, CO2 的排出量 2000 dt x( t ),
CO2 的改变量 CO2 的通入量 CO2 的排出量
12000dx 2000 dt 0.03 2000 dt x( t ),
1 t 6
dx 1 ( x 0.03), x 0.03 Ce dt 6
2
A
h
}
O
b
P
a
v
x
所以
a x y dx vx x dy v y by y
2
dx a x x 1 dy b y y
2
dx a x x 1 dy b y y
令
2
x dx du u, y u, dy dy y
代入上方程，得
《微积分》第二节 可分离变量的微分方程
x ydx ( x2 1) dy 0
y(0) 1
dy y
1
x x
2
dx
两边积分得
即
y C x2 1
( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
1 y
x2 1
例3. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原
子的含量 M 成正比,已知 t = 0 时铀的含量为 求在
衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律.
半衰期：放射性元素衰减一半所需时间.
M0 e t
1 2
M0
.
半衰期： ln 2 .
小结：
一、可分离变量的微分方程类型：
二、可分离变量方程的求解方法: 分离变量后积分; 根据定解条件定常数 .
作业
P270习题4_2 1(单)，2(单)，3
解: 根据题意, 有
dM M ( 0)
dt M t 0 M 0 (初始条件)
分离变量, 然后积分:
得 ln M t ln C M0
故所求铀的变化规律为 M M 0 e t . O
t
M M 0 e t . ( 0 ) 指数衰减
第二节 可分离变量的微分方程
变量分离的微分方程的标准形式：g( y)dy f ( x)dx
例如
dy
2x2
4
y5
4
y 5dy
2 x2dx,
dx
解法：两边积分
g( y)dy f ( x)dx
设G( y)和F( x)分别为g( y)和 f ( x)的原函数,则
G ( y ) F ( x ) C 为微分方程的通解.
例1 求微分方程
的通解.
解: 分离变量得 d y 3x2 dx y
高等数学第七章第二节可分离变量微分方程课件.ppt
例如, 方程 (x y) y 0 有解
y=–x 及 y=C 后者是通解 , 但不包含前一个解 . 2. 可分离变量方程的求解方法: 分离变量后积分; 根据定解条件定常数 .
3. 解微分方程应用题的方法和步骤 (1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.
常用的方法: 1) 根据几何关系列方程 2) 根据物理规律列方程 3) 根据微量分析平衡关系列方程 ( 如: 例6 ) (2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.
练习:
解 分离变量
ey ex C
即
(ex C)ey 1 0
(C<0 )
例4. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原 子的含量 M 成正比, 已知 t = 0 时铀的含量为 求在 衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律.
dM M ( 0)
解: 根据题意, 有 d t M t0 M 0 (初始条件)
(3) 求通解, 并根据定解条件确定特解.
思考与练习
求下列方程的通解 :
提示:
(1)
分离变量
1
y y2
dy
x 1 x2
dx
(2) 方程变形为 y 2cos x sin y ln tan y 2sin x C 2
解: 分离变量得
dy y
1
Hale Waihona Puke x x2dx两边积分得
即
y x2 1 C ( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
y x2 1 1
例3. 求下述微分方程的通解:
解: 令 u x y 1, 则
故有
1 u sin2 u
即
解得
tan u x C
所求通解: tan(x y 1) x C ( C 为任意常数 )
y=–x 及 y=C 后者是通解 , 但不包含前一个解 . 2. 可分离变量方程的求解方法: 分离变量后积分; 根据定解条件定常数 .
3. 解微分方程应用题的方法和步骤 (1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.
常用的方法: 1) 根据几何关系列方程 2) 根据物理规律列方程 3) 根据微量分析平衡关系列方程 ( 如: 例6 ) (2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.
练习:
解 分离变量
ey ex C
即
(ex C)ey 1 0
(C<0 )
例4. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原 子的含量 M 成正比, 已知 t = 0 时铀的含量为 求在 衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律.
dM M ( 0)
解: 根据题意, 有 d t M t0 M 0 (初始条件)
(3) 求通解, 并根据定解条件确定特解.
思考与练习
求下列方程的通解 :
提示:
(1)
分离变量
1
y y2
dy
x 1 x2
dx
(2) 方程变形为 y 2cos x sin y ln tan y 2sin x C 2
解: 分离变量得
dy y
1
Hale Waihona Puke x x2dx两边积分得
即
y x2 1 C ( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
y x2 1 1
例3. 求下述微分方程的通解:
解: 令 u x y 1, 则
故有
1 u sin2 u
即
解得
tan u x C
所求通解: tan(x y 1) x C ( C 为任意常数 )
可分离变量的微分方程(2)省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
设G( y)及 H ( x) 依次为g( y)及 h( x)原函数，
于是有 G( y) H ( x) C
称为微分方程(1)（隐式）解。
因为关系式(2)含有任意常数，故称为 （隐式）通解.
第4页
例1 求解微分方程 dy 2xy 0的通解. dx
解 分离变量： dy 2xdx, y 0 y 0
y
两端积分
dy y
2
xdx,
也是解， 可与通解 合并为
ln y x2 C1
y Ce x2
y e x2 C1 Ce x2为所求通解.
记C eC1，仍为任意常数
第5页
例2 求解微分方程 xy y ln y 0 满足初始
条件 y x1 e 特解.
解 分离变量： dy dx
y ln y x
解 由力学知识得,水从孔口流 出流量为
Q dV 0.62 S 2gh , dt
流量系数 孔口截面面积 重力加速度
第20页
S 1 cm2,
h
dV 0.62 2gh dt,
(1)
h
h dh r
100 cm
另首先，设在微小时间间隔
o
[t, t dt], 水面高度由h降至 h dh,
则 dV r 2dh,
不是
2. y(1 x2 ) y x 1 y2 0 是
3. 2e ydx 1 x dy 0
是
第18页
作业
p.269 习题12－2 1. (3), (7); 2. (1), (4); 4; 6.
第19页
例 5 有高为1米半球形容器, 水从它底部小 孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出 过程中容器里水面高度h(水面与孔口中心 间距离)随时间t改变规律.
于是有 G( y) H ( x) C
称为微分方程(1)（隐式）解。
因为关系式(2)含有任意常数，故称为 （隐式）通解.
第4页
例1 求解微分方程 dy 2xy 0的通解. dx
解 分离变量： dy 2xdx, y 0 y 0
y
两端积分
dy y
2
xdx,
也是解， 可与通解 合并为
ln y x2 C1
y Ce x2
y e x2 C1 Ce x2为所求通解.
记C eC1，仍为任意常数
第5页
例2 求解微分方程 xy y ln y 0 满足初始
条件 y x1 e 特解.
解 分离变量： dy dx
y ln y x
解 由力学知识得,水从孔口流 出流量为
Q dV 0.62 S 2gh , dt
流量系数 孔口截面面积 重力加速度
第20页
S 1 cm2,
h
dV 0.62 2gh dt,
(1)
h
h dh r
100 cm
另首先，设在微小时间间隔
o
[t, t dt], 水面高度由h降至 h dh,
则 dV r 2dh,
不是
2. y(1 x2 ) y x 1 y2 0 是
3. 2e ydx 1 x dy 0
是
第18页
作业
p.269 习题12－2 1. (3), (7); 2. (1), (4); 4; 6.
第19页
例 5 有高为1米半球形容器, 水从它底部小 孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出 过程中容器里水面高度h(水面与孔口中心 间距离)随时间t改变规律.
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规衰变律
思考题
求解微分方程 d yco x syco x sy.
dx 2
2
思考题解答
d yco x syco x sy0 ,
dx 2
2
dy2sin xsin y0, dx 2 2
2sdiyny sin2xdx,
2
lncscy coty 22
2cosxC, 2
为所求解.
三、齐次方程
1.定义 形如 dy f(y) 的微分方程称为齐次方程. dx x
正 比 , 已 知 M t0 M0 , 求 衰 变 过 程 中 铀 含 量 M(t)随时间t 变化的规律.
解 衰变速d度 M, 由题设条件
dt
dM M dt
(0衰变)系dM数 M dt
dMMdt, l|n M | t lC n 1 ,即 MC et,
代M 入 t0M 0 得M0C0e C,
M M 0et
dx
解 dy 2 y y dx x x
令u y , 则 dy u x du ,
x
dx
dx
有uxdu 2 uu, dx
1 du dx 0, 2(u u) x
2(u1 u)dudxx 0,
x( u 1) c
微分方程的解为
xy x c
四、小结
１分离变量法步骤: 分离变量;
化下列方程为齐次方程,并求出通解:
1、 y x y 1 ； x y3
2、 (2 x 5 y 3)dx (2 x 4 y 6)dy 0 .
练习题答案
一、1、y2 x2(2lnx C)；
x
2、x2yey C. 二、1、y2 x2 y3；
2、x2 y2 x y. 三、1、arctayn21ln[(x1)2 (y2)2]C；
两端积分
ex dx ey dy0,
1ex
ey 1
得 通 解 ( e x 1 )(e y 1 ) c
再 由 y x 0 1 ,得 ( e 0 1 ) ( e 1 1 ) 2 ( e 1 ) c
故 特 解 为 ( e x 1 )(e y 1 ) 2 (e 1 )
例 4 衰变问题:衰变速度与未衰变原子含量 M 成
x1 2 2、(4yx3)(y2x3)2 C.
２齐次方程 dy f ( y). dx x
齐次方程的解法
令
u
y. x
思考题
方程 0 x 2 y ( t ) t 2 y 2 ( t ) d x t ( x ) y
是否为齐次方程?
思考题解答
方程两边同时对 求x导:
2 yx 2 y 2 y x y ,
xyx2y2y, y 1y2 y,
分离变量法
设函数G( y)和F ( x)是依次为 g( y)和 f ( x)的原函数, G (y) F (x ) C为微分方程的解.
二、典型例题
例1
求解微分方程
dy2xy的通解 . dx
解 分离变量 dy 2xdx, y
两端积分
dy y
2xdx,
ln |y|x2C1
yCex2为所求通 . 解
例２ 求 ( 1 e x )y y e x 满 足 yx 0 0 特 解 .
x x
原方程是齐次方程.
练习题
一、求下列齐次方程的通解:
1、 ( x 2 y 2 )dx xydy 0 ；
2、 (1
2e
x y
)dx
2e
x y
(1
x )dy
0.
y
二、求下列齐次方程满足所给初始条件的特解:
1、 ( y 2 3 x 2 )dy 2 xydx 0, y x 0 1 ；
2、 ( x 2 2 xy y 2 )dx ( y 2 2 xy x 2 )dy 0 ,
解 分离变量 两端积分
ex
ydy
dx,
1 ex
ex
ydy 1ex dx,
得通解y2 lnc(1ex) 2
再 由 yx00,得 0ln2lnc,c1 2
故特解为y2
(1ex) ln
2
2
例３ 求 (exyex)dx(exyex)dy0 满 足 yx0 1特 解 .
解 分离变量 ex(ey 1 )d xey(ex 1 )d y0
第二节 可分离变量的微分方程
• 一、可分离变量的微分方程 • 二、典型例题 • 三、齐次方程 • 三、小结
一、可分离变量的微分方程
g (y)d yf(x )dx可分离变量的微分方程.
例如 dy2x2y54 y54dy2x2dx, dx
解法 设函数g( y)和f (x)是连续的,
g(y)d yf(x)dx
2.解法
作变量代换
u y, x
即yxu,
dyuxdu, dx dx
代入原式
uxduf(u), dx
即duf(u)u. dx x
可分离变量的方程
当 f(u)u0时 , 得f(u d) uulnC1x,
即xC(eu),
（(u)
du ） f(u)u
将u y代入, 得通x 解 Ce(xy), x
例５ 求解微分方程 x dy y 2 xy