-可分离变量的微分方程

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例2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比 已知t0时铀的含量为M0 求在衰变过程中铀含量Mt)随时间t 变化的规律
解 根据题意 得微分方程 即 lnMtlnC
dM M ( 是正常数)
dt 初始条件为M|t0M0
将方程分离变量 得
dM dt
M 两边积分 得
也即 MCe t
由初始条件 得M0Ce0C 所以铀含量Mt)随时间t变化的 规律MM0e t
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例3 设降落伞从跳伞塔 两边积分得
下落后 所受空气阻力与速度 成正比 并设降落伞离开跳伞
dv mg kv
dt m
塔时速度为零 求降落伞下落 即 速度与时间的函数关系
1 k
ln(
mg
k
v)
t m
C1
解 设降落伞下落速度为 vt) 根据题意得初值问题
m
dv dt
mg
kv
v |t 0 0
将方程分离变量得
是否可分离变量 是 是 不是 是 是
不是
例 1 求微分方程 dy 2xy 的通解 dx
解 这是一个可分离变量的微分方程
分离变量得
1 dy 2xdx y
两边积分得
1dy y
2xdx
即ln|y|x2C1 来自 加常数的另一方法从而
y eC1ex2 Cex2 从而
其中 C eC1 为任意常数
ln|y|x2lnC y Cex2
§.2 可分离变量 的微分方程
❖可分离变量的微分方程 如果一个一阶微分方程能写成
gy)dyf(x)dx (或写成y(x)(y))
的形式 那么原方程就称为可分离变量的微分方程 ❖可分离变量的微分方程的解法

即 y xu,
dy du u x , dx dx du 代入原式 u x f ( u), dx du f ( u) u 即 . 可分离变量的方程 dx x
6
齐次微分方程的解
1 : 当 f (u) u 0时,
du 得 ln C1 x , f ( u) u du 即 x Ce ( u ) , （ ( u ) ） f ( u) u y
dy y P ( x )dx ,
ln y P ( x )dx ln C ,
齐次方程的通解为 y Ce
P ( x ) dx
.
13
dy (2) 线性非齐次方程 P ( x ) y Q( x ). dx dy Q( x ) P ( x ) dx, 讨论 y y Q( x ) 两边积分 ln y dx P ( x )dx , y Q( x ) 设 dx为v ( x ), ln y v ( x ) P ( x )dx , y
9.2一阶微分方程

最基本的微分方程是一阶微分方程。 一阶微分方程的一般形式为F(x,y,y’)=0或 y’=f(x,y),其中F(x,y,y’)是x,y,y’的已知函数； f(x,y)是x,y的已知函数。
1
一、可分离变量方程

分离变量方程： g( y )dy f ( x )dx 可分离变量的微分方程：通过适当 变形，能够转化为分离变量方程
dy dx 2 例如 y x , x sin t t 2 , 线性的; dx dt yy 2 xy 3, y cos y 1, 非线性的.
12
一阶线性微分方程的解法
(1) 线性齐次方程

作变量代换
u
y x
,即
y
xu,
dy dx
u
x
du dx
,
代入原式
u x du dx
f (u),
即 du f (u) u .
dx
x
可分离变量的方程
例7
求微分方程
y
y x y
的通解
解 把原方程化为
y
dy x dx 1 y
x
令u y ，则y xu，dy u x du ，代入上式
x
dx
司将在第36年破产；
当 W0= 600 百万元时，公司将收支平衡，将资 产保持在600百万元不变；
当 W0 =700 百万元时，公司净资产将按指数 不断增大.
二、齐次方程
1.定义 形如 f x, y n f x, y，
称为n次齐次方程.
2.定义
形如
dy dx
f
(
y x
)
的微分方程称为齐次方程.
3.解法
解 方程两边同除以y，再乘dx，得
1 dy 2xdx y
两端分别积分
1 dy y
2xdx, 得
ln y x2 C1
即 y ex2 C1 eC1 ex2 Cex2
又显然y 0是方程的解，且它已包含在通解中
(当C 0)，故原方程的通解为 y Cex2 .
例3 求方程 dy 1 x y2 xy2的通解． dx
可分离变量方程求解步骤: 第一步，分离变量
g( y)dy f (x)dx
第二步，对上式两端分别积分：
g(y)dy f (x)dx
得到通解 G(y) F(x) C
其中G y与F x分别是g(y)与f x的一个原函数，

可分离变量的微分方程公式可分离变量的微分方程公式，这可是数学中的一个重要知识点呢！咱们先来说说啥是可分离变量的微分方程。

简单来讲，就是能把方程中的变量和它们的导数分离开来，写成一边只有 x 和 dx，另一边只有 y 和 dy 的形式。

比如说，像 dy/dx = f(x)g(y) 这样的式子，就能通过变形变成 g(y)dy = f(x)dx 。

给大家举个例子哈，比如说有个微分方程 dy/dx = x/y ，咱们就能把它变成 ydy = xdx 。

然后两边积分，左边积分得到 1/2 * y^2 ，右边积分得到 1/2 * x^2 + C ，这就求出了方程的解。

我记得我之前教过一个学生，叫小李。

这孩子刚开始接触可分离变量的微分方程时，那叫一个迷糊，怎么都弄不明白。

我就一点点给他讲，先从最简单的例子入手，让他自己动手去分离变量，去积分。

结果他总是在一些小细节上出错，不是积分公式记错了，就是忘了加常数 C 。

我看着他着急的样子，心里也挺着急的。

但我知道不能急，得慢慢来。

于是我又给他重新梳理了一遍知识点，让他多做几道练习题。

慢慢地，他好像找到了一点感觉，能做出一些简单的题目了。

可是，当遇到稍微复杂一点的题目，比如 dy/dx = (x^2 + 1) / (y^2 - 1) 这样的，他又懵了。

我就陪着他，一步一步地分析，告诉他怎么把方程变形，怎么确定积分的上下限。

经过好几天的努力，小李终于掌握了可分离变量的微分方程。

他开心得不行，我也为他感到高兴。

再来说说可分离变量的微分方程在实际中的应用。

比如说，在物理学中，研究物体的运动规律时，经常会用到这个公式。

还有在生物学中，分析种群的增长模型时，也能派上用场。

总之，可分离变量的微分方程公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们掌握了方法，多做练习，就能轻松应对。

可别像小李刚开始那样被它给难住啦！希望大家都能学好这个知识点，在数学的海洋里畅游无阻！。

常微分方程基本公式一、一阶常微分方程。

1. 可分离变量方程。

- 形式：(dy)/(dx)=f(x)g(y)- 解法：将方程变形为(dy)/(g(y)) = f(x)dx，然后两边分别积分∫(dy)/(g(y))=∫f(x)dx + C，其中C为任意常数。

2. 齐次方程。

- 形式：(dy)/(dx)=F((y)/(x))- 解法：令u = (y)/(x)，即y = ux，则(dy)/(dx)=u + x(du)/(dx)。

原方程化为u + x(du)/(dx)=F(u)，这是一个可分离变量方程，可按照可分离变量方程的方法求解。

3. 一阶线性微分方程。

- 形式：(dy)/(dx)+P(x)y = Q(x)- 通解公式：y = e^-∫ P(x)dx(∫ Q(x)e^∫ P(x)dxdx + C)二、二阶常系数线性微分方程。

1. 齐次方程。

- 方程形式：y''+py'+qy = 0（其中p,q为常数）- 特征方程：r^2+pr + q=0- 当特征方程有两个不同实根r_1,r_2时，通解为y = C_1e^r_1x+C_2e^r_2x；- 当特征方程有重根r时，通解为y=(C_1+C_2x)e^rx；- 当特征方程有一对共轭复根r_1,2=α±β i时，通解为y = e^α x(C_1cosβ x + C_2sinβ x)。

2. 非齐次方程。

- 方程形式：y''+py'+qy = f(x)- 通解结构：y = y_h+y_p，其中y_h是对应的齐次方程的通解，y_p是一个特解。

- 当f(x)=P_m(x)e^λ x（P_m(x)是m次多项式）时，特解y_p的形式：- 若λ不是特征方程的根，则y_p=Q_m(x)e^λ x（Q_m(x)是m次待定多项式）；- 若λ是特征方程的单根，则y_p=xQ_m(x)e^λ x；- 若λ是特征方程的重根，则y_p=x^2Q_m(x)e^λ x。

M M0
（2）解微分方程： ）解微分方程： 分离变量 两边积分
dM ∫ M = ∫ λdt ,
O
t
ln M = λt + ln C , 即M = Ce λt , 代入M t = 0 = M 0 ,得 M 0 = Ce 0 = C ,
∴ M = M 0e
λt
衰变规律
放射性物质都具有类似的衰变规律： 放射性物质都具有类似的衰变规律：
A B C ,b = , 记a = D D
若a = 0, 即A = B ,
饮食量仅够维持新陈代谢 身体快速消瘦
则w = w0 e bt . lim w ( t ) = 0
dw = a bw(t ). 若b = 0,即C = 0, 只吃饭、不锻炼 dt 只吃饭、 dw 则方程变为 = a , 解得w = at + w0 . dt 当t → ∞时，w → ∞ . 身体越来越胖 危险！ 危险！
思考题
下列微分方程是否为可分离变量方程 下列微分方程是否为可分离变量方程? 是否为可分离变量方程
y′ 1. x = y x +y
2 2
不是 是 是
2. y(1 + x 2 ) y′ x 1 y 2 = 0
3. 2e dx + ( 1 x ) dy = 0
y
作业
p.269 习题 －2 习题12－ 1. (3), (7); 2. (1), (4); 4; 6.
(1 )
y′ = f ( x , y )
问题： 问题： d y = 2 x y 2 dy = 2 xdx dy = 2 xdx dx y2 y2 dy dx 1 xy ′ y ln y = 0 = = x2 + C 例如： 例如： y ln y x y 1 ( e x + y e x ) dx + ( e x + y + e y ) dy = 0y = x 2 + C e x (e y 1)dx + e y (e y + 1)dy = 0 y e ex dy = x dx y 1e e +1 均可化为(1)的形式 的形式. 均可化为 的形式

可分离变量的微分方程知乎可分离变量的微分方程是微积分中的一个重要概念，它在物理学、工程学以及经济学等领域都有广泛的应用。

本文将围绕这一主题展开，介绍可分离变量的微分方程的概念、特点以及解法等内容。

可分离变量的微分方程是指可以通过对方程两边同时进行变量分离，从而得到两个独立变量的函数的形式。

通常情况下，可分离变量的微分方程可以写成dy/dx = f(x)g(y)，其中f(x)和g(y)是关于自变量x和因变量y的函数。

可分离变量的微分方程的特点在于，方程中的未知函数可以通过变量分离而得到两个独立的函数，从而简化了求解过程。

这种类型的微分方程在理论上是比较容易求解的，因为可以通过分离变量、积分等方法求解。

解可分离变量的微分方程的一般步骤是：首先将方程两边关于x和y进行变量分离，得到f(y)dy = g(x)dx；然后对两边同时进行积分，得到∫f(y)dy = ∫g(x)dx；最后解出积分后的方程，得到y的解析表达式。

举个简单的例子来说明可分离变量的微分方程的解法。

考虑方程dy/dx = x/y，我们可以对方程两边同时进行变量分离，得到ydy = xdx。

然后对两边同时积分，得到∫ydy = ∫xdx，解得y^2/2 = x^2/2 + C，其中C为常数。

最后解出y，得到y = ±√(x^2 + C)。

这就是方程的解析解。

可分离变量的微分方程在实际应用中有着广泛的应用。

例如，在物理学中，可分离变量的微分方程可以用来描述物体的运动、电路中的电流等现象。

在工程学中，可分离变量的微分方程可以用来描述控制系统的动态行为、电路中的电压等。

在经济学中，可分离变量的微分方程可以用来描述经济增长、人口变化等问题。

可分离变量的微分方程是微积分中的重要概念，它在物理学、工程学以及经济学等领域都有重要的应用价值。

掌握可分离变量的微分方程的概念、特点以及解法，对于深入理解和应用微积分具有重要意义。

希望本文对读者对可分离变量的微分方程有所帮助。

高等数学
可分离变量的微分方程
例1 一曲线过点（1，0），且曲线上任意点M(x, y)处的切 线斜率为该点横、纵坐标之比的相反数，求该曲线方程。
解 设曲线方程为y=f(x)，则曲线在点M(x, y)处的切线斜率
为 dy 。 dx
根据题意有
dy x dx y
初始条件为
y 0 x 1
例1 一曲线过点（1，0），且曲线上任意点M(x, y)处的切 线斜率为该点横、纵坐标之比的相反数，求该曲线方程。
（2）质量变成一半时m=25，将其代入上式，得
25 50e0.053t
即
e0.053t 1
2
则
t ln2 1（3 年）
0.053
于是可以预测大约经过13年，该材料质量变成一半。
高等数学
两边积分，得
ln P(t) 0.08t ln C
化简，得通解
P(t) Ce0.08t
将 P(0) 80 423 代入通解中，得 C 80 423
例4 【国民生产总值】1999年我国的国民生产总值（GDP） 为80 423亿元，如果每年的增长率保持当年的8%，问2012 年我国的GDP是多少？
于是所求特解为
C 1 y ex2
在解微分方程时，为方便起见，遇到如
1 y
dy， 1x
dx等
形式的积分，自然对数符号后可以不加绝对值，通解形式
不变。
例3 解微分方程 x( y2 1) dx y(x2 1) dy 0
解 分离变量，两边同乘以2，得
两边积分，得
2 y2
y 1
dy
2x x2 1
dx
dy f (x) g( y) dx
求解步骤如下： （1）分离变量 dy f (x)dx

解: 方程变形为
y (1) 0
dy y y 2 1 ( ) dx x x y 这是齐次方程, 令u 代入方程得 x du x 1 u2 dx du dx 将变量分离后得 2 x 1 u
两边积分得: ln u 1 u 2 ln x ln c 整理后得 变量还原得
dx 2 x 1 u
du
u 1 u cx
2
y y 2 1 ( ) cx x x
最后由初始条件 (1) 0, 可定出c 1. y
故初值问题的解为
1 2 y ( x 1) 2
(II) 形如
dy a1 x b1 y c1 , dx a2 x b2 y c2
dy dx
a1 x b1 y c1 dY a1 X b1Y Y f a x b y c dX f ( a X b Y ) g ( X ) 2 2 2 2 2
此外,诸如
dy f (ax by c) u ax by c dx
(2.2)
f (x)的某一原函数 1 的某一原函数 ( y)
由(2.2)所确定的函数 ( x, c)就为(2.1)的解. y
例：
分离变量: 两边积分:
dy x2 y2 1 dx dy x 2 dx y2 1
dx C
1 3 arctan y x C 3
1 两边积分得: sin x c, y
dy cos xdx 2 y
1 因而通解为: y sin x c ,
其中c为任意常数 .
此外y 0也是方程的解 且不能在通解中取适当 c得到. , 的
再求初值问题的通解, 以y(0) 1代入通解 得c 1 ,

dx
2
2
解 d y cos x y cos x y 0,
dx
2
2
d y 2sin x sin y 0,
dx
22
dy 2sin
y
sin x d x, 2
2
ln csc y cot y 2cos x C 为所求通解.
22
2
例3 一个充满气体的气球突然破了一个孔，
漏气的速率正比于气球内气体的质量，
x
x
例6 求方程sin x d y y cos x 5sin x ecos x的通解 dx
解 将方程化为标准型
d y y cot x 5ecos x, dx 则, P( x) cot x, Q( x) 5ecos x ,
利用公式常数变易公式得通解
y e P( x)d x Q( x)e P( x)d x d x C e cot xd x 5ecos xe cotd x d x C
x,
ln y P( x)d x ln C ,
齐次线性方程的通解为：y Ce P( x)d x .
2º非齐次线性方程： d y P( x) y Q( x). dx
将 C 变易 C( x) (待定)
作变换 y C( x)e P( x)d x
y C( x) e P( x)d x C( x) [P( x)]e P( x)d x ,
第九章
第二节 可分离变量的微分方程 和一阶线性微分方程
一、可分离变量的微分方程
二 、一阶线性微分方程
一、可分离变量的微分方程
类型1. d y h( x)g( y) (1.1) dx ——可分离变量的微分方程.
求解法： 设函数g( y)和h( x)是连续的,

dx
22
2
dy sin
y
sin
x 2
dx,
2
ln csc y cot y 2cos x C, 为所求解.
三、小结
分离变量法步骤: 1、分离变量; 2、两端积分-------隐式通解.
作业：1(1、3、4)、4(2、3)
思考题
求解微分方程 dy cos x y cos x y .
dx
2
2
思考题解答
dy cos x y cos x y 0,
dx
2
2
dy 2sin x sin y 0,
例2 求方程 f ( xy) ydx g( xy)xdy 0 通解.
解 令u xy, 则 du xdy ydx,
f (u) ydx g(u)(du ydx) 0
[ f (u) g(u)] u dx g(u)du 0, x
dx
g(u) du 0,
x u[ f (u) g(u)]
y(0)
1
解：令 u x y 1, du 1 dy， du 1 sin u dx dx dx
dx
du 1 sin
u
1 sin u cos2 u
du
sec2 udu secu tan udu
解得 x tan u secu C，
x tanx y 1 secx y 1 C
代入 y(0) 1，得 C 1.
的含量, 用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机
通入含 0.03%的CO2的新鲜空气, 同时以同样的
风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6分
钟后, 车间内CO2的百分比降低到多少?
解 设鼓风机开动后 t 时刻 CO2的含量为 x(t )% 在[t, t dt]内,

M t=0 = M 0 (初始条件)
对方程分离变量,
然后积分:
∫
dM M
=
∫(−λ )d t
得 ln M = −λ t + ln C, 即 M = C e−λ t
M
利用初始条件, 得 C = M 0
M0
故所求铀的变化规律为 M = M 0 e−λ t . o
t
解法 1 分离变量 e− y d y = ex dx
− e−y = ex + C
即
(ex +C)ey +1= 0 ( C < 0 )
解法 2 令 u = x + y, 则u′ = 1+ y′
故有 积分
u′ =1+ eu
∫
1
d +
u eu
=
x+C
∫
(1
+ eu 1+
)− eu
eu
du
u − ln (1+ eu ) = x + C
(1 −
−
e
k m
t
)
v
≈
mg k
k
内容小结
1. 微分方程的概念 微分方程; 阶; 定解条件; 解; 通解; 特解 说明: 通解不一定是方程的全部解 .
例如, 方程 (x + y) y′ = 0 有解
y=–x 及 y=C 后者是通解 , 但不包含前一个解 . 2. 可分离变量方程的求解方法: 分离变量后积分; 根据定解条件定常数 .
dt
初始条件为 v t=0 = 0
∫ ∫ 对方程分离变量, 然后积分 :
dv = mg − kv
dt m

下列微分方程中是可分离变量的微分方程的是微分方程是数学中的一种重要方法，它广泛应用于物理、经济和工程等领域。

其中可分离变量的微分方程是求解较为简单的类型，下面我们将探讨下列微分方程中哪些是可分离变量的微分方程。

一、定义可分离变量的微分方程是指一个未知函数y的微分方程，可化为dy/dx=f(x)g(y)，其中f(x)和g(y)是只与x和y有关的函数。

二、判断方法1.观察方程形式若微分方程的形式能够把x和y分离出来，例如dy/dx=x/y，则是可分离变量的微分方程。

2.重整方程如果存在一个变量z使f(x,y,z)g(y,z)dy/dx=h(x,y,z)成立，则该微分方程是可分离变量的。

3.将微分方程化为积分形式，通过分离变量的技巧化简，可以判断是否是可分离变量的。

三、举例分析1.【非】可分离变量的微分方程dy/dx = (2x + y) / x观察方程，将右侧的分母x拆分出来，变为 dy/dx = 2 + y/x，不满足只有x和y两个变量的条件，不是可分离变量的微分方程。

2.【可】分离变量的微分方程dy/dx + 2xy = 0重整微分方程，移项得到dy/y=-2xdx，将其积分得到y=Ce^(-x^2)，该微分方程只包含一个未知函数y和一个独立变量x，是可分离变量的微分方程。

3.【可】分离变量的微分方程dy/dx = (x+y) / (x-y)将分母进行有理化，可得dy/(x+y) = -dx/(x-y)，对两边同时进行积分，可以得到ln(x+y) + ln(x-y) = -x + C，整理之后即为y^2 - x^2 = Ke^-x，是可分离变量的微分方程。

综上所述，我们可以通过观察方程形式，重整微分方程或者将微分方程化为积分形式，来判断一个微分方程是否是可分离变量的微分方程。

只有在满足条件的情况下，我们才能够通过分离变量和积分求解微分方程。

（2）两边积分：
g(y)dy f (x)dx
（3）得通解:
G( y) F(x) C
其中函数 G( y)和 F (x)分别为g( y) 和 f (x)的原函数.
（4）若给出了初始条件，可确定 C 的值，求出特解.
例2 求微分方程 dy y 2 cosx 在满足初始条件 y 1的特解．
dx
x0
解
把方程分离变量，得到
dy y2

cos
xdx
两端积分

dy y2


cos
xdx
得
1 sin x C
y
将 y 1代入上式可得 C = －1. x0
所求的特解为 y 1 . 1 sin x
练习：
方程 y x 的通解是否为 y2 x2 C
A
y
A .是
B .否
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
三、小结
1.可分离变量的方程 : g( y)dy f (x)dx
2.解法: (分离变量法)
(1)分离变量; (2)两端积分;
(3)得到通解.
例如 dy 2xydx
1 dy 2xdx
y
练习：
判断下列方程是否为可分离变量的微分方程
(1) dy 3x2 y
A
dx
(2) y exy
B
(3) yy y x 0
B
(4) y ex2 y
A
A .是
B .否
二、可分离变量的微分方程的解法
例1
求微分方程 dy exy 的通解.
dx
解 此方程是可分离变量的，分离变量后得
eydy exdx

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令u = xy, 则 du = xdy + ydx ,
du − ydx f ( u) ydx + g ( u) x ⋅ = 0, x u [ f ( u) − g ( u)] dx + g ( u)du = 0, x
dx g(u) du = 0, + x u[ f (u) − g(u)] g ( u) du = C . 通解为 ln | x | + ∫ u[ f ( u) − g ( u)]
u − ln(1 + eu ) = x + C ln(1 + ex+ y ) = y − C ( C 为任意常数 ) 所求通解: 所求通解
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三、小结
1.可分离变量微分方程的概念 可分离变量微分方程的概念 说明］ ［说明］通解不一定是方程的全部解 . 例如, 例如 方程
y x 提示］ ［提示］(1) 分离变量 1 + y2dy = 1 + x2dx
(2) 方程变形为 y′ = −2cos xsin y y ln tan = −2sin x + C 2
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补例1】 【补例 】 当一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的37° 按照牛 当一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的 °C按照牛 顿冷却定律（ 顿冷却定律（物体温度的变化率与该物体和周围介质 温度之差成正比）开始变凉。 温度之差成正比）开始变凉。假设两个小时后尸体温 并且假定周围空气的温度保持 空气的温度保持20° 度变为 35°C ，并且假定周围空气的温度保持 °C ° 不变。 不变。 (1)求出自谋杀发生后尸体的温度 是如何作为时间 t 求出自谋杀发生后尸体的温度H是如何作为时间 求出自谋杀发生后尸体的温度 以小时为单位）的函数随时间变化的; （以小时为单位）的函数随时间变化的; (2)画出温度 画出温度——时间曲线； 时间曲线； 画出温度 时间曲线 (3)最终尸体的温度如何？用图象和代数两种方式表示 最终尸体的温度如何？ 最终尸体的温度如何 这种结果； 这种结果； (4)如果尸体被发现时的温度是 °C， 时间是下午 如果尸体被发现时的温度是30° ， 时间是下午4 如果尸体被发现时的温度是 那么谋杀是何时发生的？ 时，那么谋杀是何时发生的？

x ydx ( x2 1) dy 0
y(0) 1
dy y
1
x x
2
dx
两边积分得
即
y C x2 1
( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
1 y
x2 1
例3. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原
子的含量 M 成正比,已知 t = 0 时铀的含量为 求在
衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律.
半衰期：放射性元素衰减一半所需时间.
M0 e t
1 2
M0
.
半衰期： ln 2 .
小结：
一、可分离变量的微分方程类型：
二、可分离变量方程的求解方法: 分离变量后积分; 根据定解条件定常数 .
作业
P270习题4_2 1(单)，2(单)，3
解: 根据题意, 有
dM M ( 0)
dt M t 0 M 0 (初始条件)
分离变量, 然后积分:
得 ln M t ln C M0
故所求铀的变化规律为 M M 0 e t . O
t
M M 0 e t . ( 0 ) 指数衰减
第二节 可分离变量的微分方程
变量分离的微分方程的标准形式：g( y)dy f ( x)dx
例如
dy
2x2
4
y5
4
y 5dy
2 x2dx,
dx
解法：两边积分
g( y)dy f ( x)dx
设G( y)和F( x)分别为g( y)和 f ( x)的原函数,则
G ( y ) F ( x ) C 为微分方程的通解.
例1 求微分方程
的通解.
解: 分离变量得 d y 3x2 dx y

由初始条件得 C = 1 故所求特解为 y x 2 1 1
4
例3
求方程
y
dy dx
e
x y
的通解 .
解法 1：分离变量 e y d y e x d x
e e C
y
x
或
( e C ) e 1 0
x
(C<0 )
解法 2: 令 u x y , 则 u 1 y 故有 积分
2
问 从运 动开 始经 过了一 分钟 后的 速度是 多少? 四 、小 船 从 河 边 点 0 处 出 发 驶 向 对 岸 ( 两 岸 为 平 行 直 线 ) . 设 船速为 a , 船 行 方 向 始 终 与 河 岸 垂 直 , 设 河 宽
为 h ,河中任 意点 处的 水流速 度与 该点 到两 岸距离
y
3 x y 的通解. 说明: 在求解过程
2
3x d x
2
中每一步不一定是 同解变形, 因此可 能增、减解.

dy y
3x d x
2
得 ln y x 3 C1 即 y e e 令 C eC 1
x C1
3
或
C1 x
3
如此例, y = 0 也是原 方程的解 , 但在变量 分离时丢失了此解.
2
解: 令 则
u x y 1 u 1 y
2
故有 1 u sin u 即
sec u d u d x
2
解得 tan u x C
即
tan( x y 1) x C
( C 为任意常数 )
6
例5
求解微分方程
dy dx dy dx 2 sin