【附加15套高考模拟试卷】湖南省长沙市一中2020届高三下学期第一次月考数学试题(文)含答案
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湖南省长沙市一中2020届高三下学期第一次月考数学试题（文）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 A ．12l l ⊥，23l l ⊥13//l l ⇒B ．12l l ⊥，23//l l ⇒13l l ⊥C ．233////l l l ⇒1l ，2l ，3l 共面D ．1l ，2l ，3l 共点⇒1l ，2l ，3l共面2．已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递增，则不等的解集为（ ） A ． B ．C ．D ．3．已知1x >，1y >，且lg x ，2，lg y 成等差数列，则x y +有 A ．最小值20 B ．最小值200C ．最大值20D ．最大值2004．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）A ．－B ．C ．－D ．5．已知集合{}2|3410A x x x =-+≤,{}|43B x y x ==-,则A B =I ( )A ．3(,1]4B ．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．13[,)34 6．如图，网格纸上小正方形的为长为1，粗实线面出的是某几何体的三视图，该几何体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）A ．6B ．9C ．D ．7．根据市场调查，预测某种日用品从年初开始的n 个月内累计的需求量 n S （单位：万件）大约是()2 21527n nS n n =--（1,?2,? ,1?2n L =）．据此预测，本年度内，需求量超过 5?万件的月份是（ ） A ．5月、6月 B ．6月、7月 C ．7月、8月 D ．8月、9月8．袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有和、“谐”、“校”“园”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“和”、“谐”两个字都摸到就停止摸球，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止摸球的概率。
利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，分别用1，2，3，4代表“和”、“谐”、“校”、“园”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：343432341342234142243331112342241244431233214344142134由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为（ ）A ．19B ．16C ．29D ．5189．下面关于复数21iz =--的四个命题： 1:2p z =2:p z 的共轭复数z 在复平面内对应的点的坐标为()1,1--3:p z 的虚部为-1 24:2i p z =-其中的真命题是（ ） A ．23,p p B ．12,p p C ．24,p p D ．34,p p10．已知直线y=2b 与双曲线22x a -22y b=1（a ＞0，b ＞0）的斜率为正的渐近线交于点A ，曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，若21tan AF F 15∠=，则双曲线的离心率为（ ）A ．4或1611B ．1611 C ．2D ．411．已知点p 是直线0x y m -+=上的动点，由点p 向圆22:1O x y +=引切线，切点分别为M ，N 且90MPN ∠=︒，若满足以上条件的点p 有且只有一个，则m =（ ）A ．2B ．2± CD．12．已知函数22()log f x x x =+，则不等式(1)(2)0f x f +-<的解集为（ ）A ．(,1)(3,)-∞-+∞UB ．-∞-+∞U (,3)(1,)C ．(),111)3(,---UD ．(1,1)(1,3)-U二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数()xf x e ax =-有两个零点1x ，2x ，则下列判断：①a e <；②122x x +<；③121x x ⋅>；④有极小值点0x ，且1202x x x +<.则正确判断的个数是__________.14．已知关于x 的方程3284x x mx -+=有且仅有2个实数根,则实数m 的取值范围为_____________。
15．已知i 为虚数单位，若121ai i +++是纯虚数，则实数a =__________．16．已知变量x ，y 满足03,0,30,x x y x y ≤≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≤⎩则z 2x 3y =-的最大值为______．三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设函数()()2log 124xxf x a =+⋅+，其中a 为常数．(Ⅰ)当()()214f f =-+，求a 的值；(Ⅱ)当[)1,x ∈+∞时，关于x 的不等式()1f x x ≥-恒成立，求a 的取值范围．18．（12分）某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器。
现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X 表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数。
求X 的分布列；以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？ 19．（12分）已知{}n b 为正项等比数列，242,8b b ==，且数列{}n a 满足：21log n n n a b b -=．求{}n a 和{}n b 的通项公式；求数列{}n a 的前n 项和nT，并求使得()1nn T λ-<恒成立λ的取值范围．20．（12分）已知()f x 2x 2x 1=++-的最小值为t ．()1求t 的值；()2若实数,a b 满足222a 2b t +=，求2211a 1b 2+++的最小值．21．（12分）如图，在三棱锥P —ABC 中，过点P 作PD ⊥AB ，垂足为D 。
E ，F 分别是PD ，PC 的中点，且平面PAB ⊥平面PCD ．求证：EF ∥平面ABC ；求证：CE ⊥AB ．22．（10分）从某工厂生产的某种产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：求这1000件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s （同一组数据用该区间的中点值作代表）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μσ，其中以μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ．利用该正态分布，求(127.6140)P Z <<；某用户从该工厂购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值为于区间(127.6,140)的产品件数，利用（ⅰ）的结果，求EX ．15412.4≈．若2(,)Z N μσ:，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B 2．B 3．B 4．D 5．B 6．A 7．C 8．C 9．C 10．D 11．B 12．C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．114．(,2)(2,)-∞-+∞U15．2- 16．-9三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）a=﹣34（2）[﹣2，+∞） 【解析】 【分析】（1）直接计算出f （1）和f （2），根据条件解方程即可求得a ；（2）采用分离参数法，分离变量a ，再根据函数的单调性求最值，得出a 的取值范围． 【详解】（1）∵f （x ）=log 2（1+a•2x +4x ）， ∴f （-1）=log 2（1+2a +14），f （2）=log 2（1+4a+16）， 由于()()214f f =-+， 即log 2（4a+17）=log 2（2a +54）+4， 解得，a=﹣34； （2）因为f （x ）≥x ﹣1恒成立， 所以，log 2（1+a•2x +4x ）≥x ﹣1， 即，1+a•2x +4x ≥2x ﹣1，分离参数a 得，a≥12﹣（2x +2﹣x ）， ∵x≥1，∴（2x +2﹣x ）min =52，此时x=1，所以，a≥12﹣52=﹣2， 即实数a 的取值范围为[﹣2，+∞）． 【点睛】本题主要考查了对数函数的图象和性质，涉及对数的运算性质，以及不等式恒成立问题的解法，属于中档题．18．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）选择延保方案二较合算 【解析】 【分析】（Ⅰ）X 所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6，分别求出对应的概率，列出分布列即可；（Ⅱ）求出两种方案下所需费用的分布列，然后分别求出对应的期望值，比较二者的大小即可选出最合算的方案。
【详解】解：（Ⅰ）X 所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6，()11101010100P X ==⨯=，()1111210525P X ==⨯⨯=，()11213225551025P X ==⨯+⨯⨯=， ()13121132210105550P X ==⨯⨯+⨯⨯=，()22317425510525P X ==⨯+⨯⨯=， ()2365251025P X ==⨯⨯=，()33961010100P X ==⨯=，∴X 的分布列为（Ⅱ）选择延保一，所需费用1Y 元的分布列为：170009000110001300015000100502525100EY =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 10720=（元）. 选择延保二，所需费用2Y 元的分布列为：267691000011000120001042010025100EY =⨯+⨯+⨯=（元）. ∵12EY EY >，∴该医院选择延保方案二较合算.本题考查了离散型随机变量的分布列，考查了概率的计算，考查了期望的求法，属于中档题。
19．（Ⅰ）12n n n a -=，12n n b -=；（Ⅱ）1242nn n T -+=-；λ的取值范围为()1,2-． 【解析】 【分析】（Ⅰ）设正项等比数列{}n b 的公比为q ，由22b =，48b =，可求出q ，利用等比数列的通项公式可得n b ，又数列{}n a 满足：21log n n n a b b -=，将n b 代入可得n a ；（Ⅱ）利用错位相减法可得n T ，由(1)n n T λ-<恒成立，对n 分类讨论，利用数列的单调性即可得出λ的值． 【详解】解：（Ⅰ）设正项等比数列{}n b 的公比为q ，22b =Q ，48b =，2q ∴==． 2212222n n n n b b q ---∴==⨯=．又数列{}n a 满足：21log n n n a b b -=．1211n n a n -∴⋅-=-，可得12n n n a -=． （Ⅱ）21231222n n n T -=+++⋯+， 21112122222n n n n n T --=++⋯++， 两式相减得：2111111121122222212n n n n n n n T --=+++⋯+-=--， 化为：1242n n nT -+=-．1102n n n nT T ---=>，因此数列{}n T 为单调递增数列．(1)n n T λ-<恒成立．n 为偶数时，min 2()2n T T λ<==．n 为奇数时，min 1()1n T T λ-<==，解得1λ>-．综上可得：λ的取值范围为()1,2-． 【点睛】本题考查了数列的递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法求数列的前n 项和、数列的单调性等知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 20．（1）2；（2）1 【解析】（1）分类讨论将函数f （x ）化为分段函数，进而求出t 的值；（2）根据t 的值求得a 2+b 2的值，进而得到a 2+1+b 2+2的值再根据基本不等式求最小值． 【详解】（1）f （x ）=|2x+2|+|x-1|=311311311x x x x x x +≥⎧⎪+-⎨⎪--≤-⎩，，，＜＜，，． 故当x=-1时，函数f （x ）有最小值2，所以t=2． （2）由（1）可知2a 2+2b 2=2，故a 2+1+b 2+2=4，所以22222211111212124a b a b a b +++⎛⎫+=+⋅ ⎪++++⎝⎭ =22222121214b a a b ++++++≥当且仅当a 2+1=b 2+2=2，即a 2=1，b 2=0时等号成立，故221112a b +++的最小值为1． 【点睛】本题考查分段函数的性质以及基本不等式在求最值中的应用，属于中档题． 21．（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】（1）由中位线知识可得//EF DC ，结合线面垂直的判定定理，问题得解。
