2021届湖南省长沙市第一中学高三第6次月考数学(文)试题

长沙市一中2021届高三月考试卷(六)语文本试卷共10页,时量150分钟,满分150分。

一、现代文阅读(35分)(一)现代文阅读Ⅰ(本题共5小题，19分)阅读下面的文字,完成1～5题。

材料一在互联网的出现之初,麻省理工学院的传媒与科技专家尼古拉斯•尼葛洛庞帝就预言了“the Daily Me”(我的日报)——一种完全个人化的报纸的出现。

在the Daily Me 上,每个人都可以在其中挑选他喜欢的主题和看法。

对于社会普通公众中的某些人而言,是一个真正的机会，也是风险,有时会给商业和民主带来不幸的结果。

桑斯坦在其著作《网络共和国》开篇生动地描述了“个人日报”现象。

在互联网时代,伴随网络技术的发达和网络信息的剧增，我们能够在海量的信息中随意选择我们关注的话题,完全可以根据自己的喜好定制报纸和杂志。

每个人都拥有为自己量身定制一份个人日报的可能。

这种“个人日报”式的信息选择行为会导致网络茧房的形成。

当个人长期禁锢在自己所建构的信息茧房中,久而久之,个人生活呈现一种定式化、程序化。

长期处于过度的自主选择,沉浸在个人日报的满足中,失去了解不同事物的能力和接触机会,不知不觉间为自己制造了一个“信息茧房”。

桑斯坦解释说,生活在“信息茧房”里，公众就不可能考虑周全，因为他们自身的先入之见将逐渐根深蒂固。

一些国家就由于这个原因走向灾难。

对于生活在信息茧房的领导人和其他人而言：这是一个温暖、友好的地方。

但是,重大的错误就是舒适的代价。

对于私人和公共机构而言,茧房可能变成公众一种可怕的梦魇。

(摘编自“百度百科”)材料二在与“信息茧房”相关的常见讨论中,最常被指责的对象,是最近几年在互联网领城大热的推荐算法。

推荐算法最大的卖点，就是能够根据用户的习惯与偏好，为其提供“量身定做”的个性化信息流。

许多以推荐算法为核心的互联网产品，都凭着这一优势在市场上异军突起。

然而，事物总有两面，这种“量身定做”常常会令人怀疑：算法的自我迭代,是否让用户看到的内容越来越极端而单一?与用户的既有认知相异的信息,又是否会直接遭到算法的屏蔽?由于这些质疑,与“信息茧房”的形象正好相符，于是，许多人都认为“算法”是制造“信息茧房”的元凶。

2021年湖南省长沙一中高考语文月考试卷题号一二三四五六总分得分一、默写（本大题共1小题，共6.0分）1.补写出下列句子中的空缺部分。

(1) 在《永遇乐•京口北固亭怀古》中，辛弃疾多处运用了对比的手法，如用四十三年前的“烽火扬州路”与眼下的“______ ，______ ”相对比，抒发忧国伤时的感慨。

(2) 欧阳修在《醉翁亭记》中，用光线的晦明变化展现出山间早晨、傍晚时不同美景的句子是“______ ，______ ”。

(3) 庄子在《逍遥游》中用“且夫水之积也不厚，则其负大舟也无力”的观点，类比得出“______ ，______ ”的观点，说明大鹏只有飞到万里高空，才能乘风而行。

二、诗歌鉴赏（本大题共2小题，共9.0分）阅读下面这首宋诗，完成各题。

次韵伯氏寄赠盖郎中喜学老杜诗黄庭坚老杜文章擅一家，国风纯正不欹斜。

帝阍①悠邈开关键，虎穴深沈探爪牙。

千古是非存史笔，百年忠义寄江花。

潜知有意升堂室，独抱遗编校舛差②。

[注]①帝阍：指天帝宫门或守门人，又指帝都宫门。

②舛差：指差误、差错。

2.下列对这首诗的理解和赏析，不正确的一项是______A.伯氏与作者得知盖郎中研习杜甫诗歌，先后赠诗，体现了古人以诗酬和的雅趣。

B.颔联通过“帝阍悠邈”虎穴深沈”两个比喻，表现了杜诗深沉雄健、笔意纵横的风格。

C.颈联运用借代的手法，用“史笔”和“江花”来代指杜甫的诗歌，使得语言更具形象性。

D.诗人认为要想在诗歌学习上升堂入室，还需要开拓视野，只是研读杜甫的诗歌是远远不够的。

3.作者就盖郎中学习杜诗提出了哪些看法？请结合诗歌内容简要分析。

三、现代文阅读（本大题共9小题，共35.0分）阅读下面的文字，完成各题。

材料一：苏辙晚年卜居颍昌，作为元祐旧党独自生存于党禁环境之中，寻求内心的安宁，但又并未真正远离朝政。

在矛盾心境中，苏辙愈加体悟颜子的处世观念，追求孔颜之乐，追求内心真正的自适与自足，将生命的价值建立在对“无假于外”的人生道德境界的追求中。

长沙市一中2021届高三月考试卷(五)时间：120分钟满分：150分一､单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.)1. 若集合{|1}M x x =>，{|04}N x Z x =∈≤≤，则()R C M N ⋂=（ ） A. {0} B. {0,1} C. {0,1,2} D. {2,3,4}B先求出集合N ，然后进行补集、交集的运算即可． N ＝{0，1，2，3，4}，∁R M ＝{x|x≤1}； ∴（∁R M ）∩N ＝{0，1}．故选B ．本题考查补集、交集的运算，描述法、列举法的定义，熟记交集，补集的定义是关键，是基础题． 2. 复数31iz i i+=-+在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限D由复数运算法则化简为代数形式，得其对应点坐标后可得结论． ∵3(3)(1)42221(1)(1)2i i i iz i i i i i i i ++--=-=-=-=-++-，对应点坐标为(2,2)-， ∴复数z 在复平面内对应的点在第四象限，故选：D.3. 函数ln ||()x e x f x x-=的部分图象大致为（ ）A. B.C. D.C根据函数为非奇非偶函数，可排除B,D ，再根据0x →且0x <函数值的正负，即可得答案；ln ||()x e x f x x -=，∴()()f x f x -≠±， ∴函数为非奇非偶函数，可排除B,D ，当0x →且0x <时，ln ||0xe x ->，∴ln ||0x e x x-<，即()0f x <，故排除A ，故选：C.本题考查根据函数的解析式选择函数图象，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意极限思想的应用. 4. 如果21()2nx x-的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数和是( ) A. 0 B. 256 C. 64 D.164D分析：先确定n 值，再根据赋值法求所有项的系数和.详解：因为展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以n ＝6.令x ＝1，则展开式中所有项的系数和是611(1)264-=, 选D.点睛：二项式系数最大项的确定方法①如果n 是偶数，则中间一项(第12n+ 项)的二项式系数最大；②如果n 是奇数，则中间两项第12n +项与第1(1)2n ++项的二项式系数相等并最大. 5. 已知O三角形ABC 所在平面内一点，20OA OB OC ++=，则OBC ABCSS=（ ）A. 13B.14C.12D. 15C取BC 边中点D ，由已知得22OB OC ODAO +==，即O 是AD 的中点，可得到答案. 取BC 边中点D ，连接AD ，由20OA OB OC ++=，得22OB OC OD AO +==，所以OD AO =，所以O 是AD 的中点，OBC 与ABC 有相同的底边BC ，它们的高之比即为OD 与AD 的比为12，12OBC ABCS S∴=故选：C.向量的加减运算是解决问题的关键，要正确分析.6. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”.下图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”，其中正方形ABCD 内部为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的.我们将图中阴影所在的四个三角形称为“风叶”，若从该“数学风车”的八个顶点中任取两点，则该两点取自同一片“风叶”的概率为（ ）A. 37B.47C.314D.1114A利用组合数计算出基本事件的总数，以及事件“所选的两个顶点取自同一片“风叶””所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.从“数学风车”的八个顶点中任取两个顶点的基本事件有2828C =种， 其中这两个顶点取自同一片“风叶”的基本事件有23412C =种，故所求概率123287P ==.故选：A.本题考查数学文化与古典概型，考查运算求解能力，属于基础题.7. 已知直线(2)(0)y k x k =+>与抛物线28y x =相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若||2||FA FB =，则点A 到抛物线的准线的距离为（ ）A. 7B. 6C. 5D. 4B直线l 过准线与x 轴的交点(2,0)P -，作AM l ⊥于M ，BN l ⊥于N ，则由抛物线的定义及已知条件得||2||AM BN =，得B 是AP 中点，然后可得OB BF =，得到B 点坐标，从而可得A 点坐标，再由抛物线的定义可得结论．由题意得，设抛物线28y x =的准线方程为:2l x =-，直线(2)y k x =+恒过定点()2,0P -， 如图过A ，B 分别作AM l ⊥于M ，BN l ⊥于N ，连接OB ，由||2||FA FB =， 则||2||AM BN =，点B 为AP 的中点，因为点O 是PF 的中点，则1||||2OB AF =， 所以||||OB BF =所以点B 的横坐标为1，所以点B 的坐标为()1,22，同理可得点(4,42)A ， 所以点A 到拋物线准线的距离为426+=，故选：B.关键点点睛：本题考查直线与抛物线相交，考查抛物线的定义，解题关键是过过A ，B 分别作AM l ⊥于M ，BN l ⊥于N ，由抛物线的定义,A B 到焦点的距离的关系为到准线的距离的关系，利用平面几何的知识得出,B A 坐标，从而解决问题．8. 若不等式32ln(1)230a x x x +-+>在区间(0,)+∞内的解集中有且仅有三个整数，则实数a 的取值范围是（ ）．A. 2780,2ln 2ln 5⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 2780,2ln 2ln5⎛⎫⎪⎝⎭C. 2780,2ln 2ln 5⎛⎤⎥⎝⎦D. 27,2ln 2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C令32()ln(1),()23f x a x g x x x =+=-，根据导数判断出()g x 的单调性并求得最值，根据32ln(1)23a x x x +>-在区间(0,)+∞内的解集中有且仅有三个整数，转为()()f x g x >在区间(0,)+∞内的解集中有且仅有三个整数，结合图像可得结果.不等式32ln(1)230a x x x +-+>，即32ln(1)23a x x x +>-，不等式成立则{}|1x x >-， 令32()ln(1),()23f x a x g x x x =+=-，则2()666(1)g x x x x x '=-=-. 令()0g x '>，得1x >或0x <；()0g x '<，得01x <<，()g x ∴在(1,0)-和(1,)+∞上单调递增，在(0,1)上单调递减，min ()(1)1g x g ∴==-，且3(0)02g g ⎛⎫== ⎪⎝⎭.如图所示当0a ≤时，()()f x g x >至多有一个整数解.当0a >时，()()f x g x >在区间(0,)+∞内的解集中有且仅有三个整数，只需(3)(3)(4)(4)f g f g >⎧⎨≤⎩，即3232ln 42333ln 52434a a ⎧>⨯-⨯⎨≤⨯-⨯⎩， 解得27802ln 2ln 5a <≤.故选：C 本题考查不等式解法和应用问题，考查利用导数研究函数的单调性最值和函数图像，考查数形结合思想的应用，属于中档题.二､多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.) 9. 下列说法正确的是（ ）A. 命题“若a b >，则22a b >”的否命题是“若a b >，则22a b ≤”B. 设,a b ∈R ，则“||||a a b b >”的充分必要条件是“a b >”C. 命题“x ∀∈R ，sin 1x ≤”的否定是“0x ∃∈R ，0sin 1x >”D. 对命题p ，q ，r ，若p 是q 的充分条件，r 是q 的必要条件，则p ⌝是r ⌝的必要条件 BCD根据充分必要条件的定义，命题的否定的定义，否命题的概念分别判断各选项，可得正确选项． 对于A.命题“若a b >，则22a b >”的否命题是“若a b ≤，则22a b ≤”，故A 错误；对于B.设22,0(),0x x f x x x x x ⎧≥==⎨-<⎩，在R 上单调递增，()||f a a a =，()||f b b b =，所以()()a b f a f b >⇔>，故B 正确；对于C.命题“x ∀∈R ，sin 1x ≤”的否定是“0x ∃∈R ，0sin 1x >”，故C 正确； 对于D.对命题p ，q ，r ，若p 是q 的充分条件，则p q ⇒， 若r 是q 的必要条件，则q r ⇒，所以p r ⇒，则r p ⌝⇒⌝，则p ⌝是r ⌝的必要条件，故D 正确.故选：BCD.10. 某中学高一年级半期考试后将进行新高考首选科目的选择，每位同学必须在“物理”、“历史”中二选一．学校采用分层抽样的方法，抽取了该年级部分男、女学生选科意愿的一份样本，并根据统计结果绘制如下两个等高堆积条形图．根据这两幅图中的信息，下列统计结论正确的是（ ）A. 该年级男生数量多于女生数量B. 样本中对物理有意愿的学生数量多于对历史有意愿的学生数量C. 样本中对物理有意愿的男生人数多于对历史有意愿的男生人数D. 样本中对历史有意愿的女生人数多于对物理有意愿的女生人数 BC由图1可知选项A 错误；由图2可知选项B ,C 正确, 选项D 不正确. 由图1可知女生数量多于男生数量，故选项A 错误；由图2可知样本中对物理有意愿的学生数量多于对历史有意愿的学生数量，故选项B 正确； 由图2可知样本中对物理有意愿的男生人数多于对历史有意愿的男生人数，故选项C 正确； 由图2样本中对历史有意愿的女生人数少于对物理有意愿的女生人数，故选项D 不正确.故选：BC.本题考查了等高条形图的应用，属于基础题.11. 关于函数2()2cos cos 212f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭的描述正确的是（ ）A. 其图象可由22y x =的图象向右平移8π个单位得到 B. ()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增C. ()f x 在[0,]π有2个零点D. ()f x 在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最小值为2- CD利用诱导公式、二倍角公式、两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后根据正弦函数性质判断．2()2cos cos 21cos 2sin 2224f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由2y x =的图象向右平移8π个单位，得到2284y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以选项A 错误； 令222242k x k πππππ-≤+≤+，k ∈Z ，得其增区间为3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ， ()f x 在0,8π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在,82ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调遒减，所以选项B 错误； 令()0f x =，24x k ππ+=，k ∈Z 得：28k x ππ=-，k ∈Z ，又[0,]x π∈，所以x 取38π，78π，所以选项C 正确；当,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，即432,44x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦时，sin 21,42x π⎡⎛⎫+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，()[f x ∈，所以选项D 正确.故选：CD.方法点睛：本题考查两角差的正弦公式，二倍角公式，考查正弦函数的性质．此类问题的解题方法是：利用二倍角公式降幂，利用诱导公式、两角和与差的正弦（余弦）公式展开与合并，最终把函数化为()sin()f x A x m ωϕ=++形式，然后结合正弦函数性质求解．12. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点P 在其表面上运动，且||PA x =，其中点P 的轨迹长度为()f x ，给出下列结论正确的有（ ）A. 13216f π⎛⎫= ⎪⎝⎭B. 3(1)2f π=C. f =D.f ⎝⎭BD根据半径的长度，确定动点P 的位置，在求出相应圆弧的半径及圆心角，即可求解.12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭由如图1三段相同的四分之一个圆心为A ､半径为12的圆孤长组成，因此1324f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；(1)f 由如图2三段相同的四分之一个圆心为A ､半径为1的圆弧长组成，因此3(1)2f π=；(2)f 由如图3三段相同的四分之一个圆心分别为B ，D ，1A ，半径为1的圆孤长组成，因此13(2)32142f ππ=⨯⨯⨯=；21f ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭由如图4三段相同弧长组成，圆心角为6π，半径为3，因此213363f ππ⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.故选：BD.本题考查了空间轨迹问题，需要准确地作出1212,2x =这四种情况下的轨迹，再用平面几何知识计算.三､填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13. 已知：4sin cos 5αα+=，那么sin 2α=________. 925- 对4sin cos 5αα+=两边平方即可. 对4sin cos 5αα+=两边平方得：2216sin 2sin cos cos 25αααα++=，由于22sin cos 1αα+=，所以1692sin cos 12525αα=-=-，即9sin 225α=-. 故答案为：925-.14. 若关于x 的不等式220x ax +-<在区间[1,4]上有解，则实数a 的取值范围为________.(,1)-∞本题现将不等式220x ax +-<运用参变分离化简为2a x x <-，再构造新函数2()f x x x=-求最大值，最后求实数a 的取值范围.解：∵ 不等式220x ax +-<在区间[1,4]上有解，∴ 不等式22x a x-<在区间[1,4]上有解，∴ 不等式2a x x<-在区间[1,4]上有解， 令2()f x x x =-，（14x ≤≤），则22'()1f x x=--， ∴ 当14x ≤≤时，'()0f x <，()f x 单调递减， ∴ max 2()(1)111f x f ==-= 不等式2a x x<-在区间[1,4]上有解，即max ()a f x∴1a <故答案为：(,1)-∞本题考查不等式存在性问题，借导函数研究原函数单调性求最大值，是中档题.15. 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为1F ，过点1F y 轴及双曲线的右支分别交于,A B 两点，若1F A AB =，则双曲线的离心率为__．由1F A AB =知A 为1F B 的中点，连接2BF ，利用中位线的性质得出2//OA BF ，利用直线1BF 的斜率得出212BF F F =2BF ，由勾股定理得出1BF ，最后利用双曲线的定义得出a 与c 的等量关系，从而可求出双曲线离心率的值．设双曲线的右焦点为2F ，连接2BF ，1||||F A AB =，可得A 为1F B 的中点，即有2BF x ⊥轴，由题意可得21221tan BF BF F F F ∠==，即有2||BF =，可得1||BF =，由双曲线的定义可得12|||2BF BF a -=-=，可得c e a ==．本题考查双曲线的离心率，充分分析焦点三角形的性质、利用三角形中相关定理以及双曲线的定义来解题，是解本题的关键，综合性较强，着重考查学生分析能力和运算求解能力，属于中等题．16. 对于正整数k ，记()g k 表示k 的最大奇数因数，例如(1)1g =，(2)1g =，(10)5g =.设(1)n S g =+()(2)(3)2n g g g ++⋅⋅⋅+.则2020S =________.2020423+ 根据定义计算(1),(2),(3),,(9)g g g g 等等，可归纳出()g n 的一个规律：(2)()g m g m =，此规律对n S 进行变形得出递推式114n n n S S --=+，计算出1S 后用累加法可求得通项公式n S ，从而得2020S ．通过计算可得(1)1g =，(2)1g =，(3)3g =，(4)1g =，(5)5g =，(6)3g =，(7)7g =，(8)1g =，(9)9g =，由此可以发现(2)()g m g m =，*m ∈N ，则()()(1)(2)(3)212n nn S g g g g g =+++⋅⋅⋅+-+()()(5)21(2)(4)(6(1)(3))2nn g g g g g g g g ⎡⎤=+⎣⎦⎡⎤++⋅⋅⋅+-++++⋅⋅⋅+⎣⎦ ()()113521(21)(22)(23)22nn g g g g -⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅+-+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯⎣⎦⎣⎦()()111212(1)(2)(3)22nn n g g g g --+-⎡⎤=++++⋅⋅⋅+⎣⎦114n n S --=+，所以114n n n S S ---=，又1(1)(2)2S g g =+=，累加得()()()112211n n n n n S S S S S S S S ---=-+-+⋅⋅⋅+-+124442n n --=++⋅⋅⋅++423n +=， 所以20202020423S +=. 故答案为：2020423+. 关键点点睛：本题考查归纳推理，考查累加法求数列的通项公式，解题关键是求出数列的前面几项，然后归纳得出数列的规律，通过这个规律得出数列的递推公式，然后由累加法求得通项公式．四､解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.)17. 在①2a =，②4B π=，③=c 这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中，并解决该问题.在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且满足()())sin sin sin b a B A c B C -+=-.（1）求A 的大小；（2）已知______，______，若ABC 存在，求ABC 的面积；若ABC 不存在，说明理由. （1）6A π=；（2）答案不唯一，具体见解析.（1）由题中的条件，根据正弦定理，得到222b c a +-=，再由余弦定理，即可求出结果；（2）方案一：选条件①和②，先由正弦定理求出b =，再三角形内角和得出712C π=，进而求出7sin124π=，进而可求出三角形面积；方案二：选条件①和③，先由余弦定理求出2b =，进而得到c =，进而可求出三角形的面积；方案三：选条件②和③，由条件得sin 1C >，不成立，所以三角形不存在.（1）因为()())sin sin sin b a B A c B C -+=-，又由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，得()())b a b ac c -+=-，即222b c a +-=，所以222cos 222b c A bc bc a +===-，因为0A π<<，所以6A π=.（2）方案一：选条件①和②.由正弦定理sin sin a bA B=，得2sin sin sin 4sin 6a b B A ππ===. 76412C A B πππππ=--=--=.71sinsin 124322224πππ⎛⎫=+=+⨯=⎪⎝⎭所以ABC的面积11sin 21224S ab C ==⨯⨯=. 方案二：选条件①和③.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222433b b b =+-，则24b =，所以2b =.所以c ==，所以ABC的面积111sin 2222S bc A ==⨯⨯=方案三：选条件②和③，这样的三角形不存在，理由如下： 在三角形中，因为=c由正弦定理得sin 1422C B π====>，不成立，所以这样的三角形不存在.本题主要考查正弦定理、余弦定理、面积公式，考查学生的计算能力及对公式的掌握程度，属于中档题.18. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且12n n a S +=+对一切正整数n 恒成立. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）数列)()1(11nn n n a b a a +=++的前n 项和为n T 求n T .（1）21,132,2n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩；（2）1318132n n T -=-+⨯. （1）2n ≥时，将12n n a S +=+转化为1n a +与n a 的递推关系即可； （2）运用裂项相消法即可求解.（1）由12n n a S +=+得：当2n ≥时，12n n a S -=+， 两式相减得：12(2)n n a a n +=≥，又211223a S a =+=+=，当2n ≥时，222232n n n a a --=⋅=⨯，所以21,132,2n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩. （2）当2n ≥时，∵()()()()221121321111132132132132n n nn n n n n n a b a a -----+⨯===-+++⨯+⨯+⨯+⨯，此时123n n T b b b b =+++⋅⋅⋅+2211111111813132132132132132n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1318132n -=-+⨯， 当1n =时，1118T b ==也满足上式，综上可得，1318132n n T -=-+⨯. 给出n S 与n a 的递推关系，求a n ，常用思路：一是利用1n n n a S S -=-转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n . 19. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1BB BC ⊥，AB AC =（1）求证：11A B A C =；（2）若四边形11BCC B 为正方形，1A AB 为正三角形，M 是1C C 的中点，求二面角B AM C --的余弦值（1）证明见解析；（2）57.（1）取BC 的中点为N ，通过线线垂直证明BC ⊥平面1AA N ，即可推出1BC A N ⊥，利用等腰三角形三线合一的性质即可得证；（2）首先证明1A ABC -为正三棱锥，过点1A 作1A O ⊥平面ABC ，则O 为正ABC 的中心，取BC 上靠近点C 的三等分点为E ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角的余弦值. （1）取BC 的中点为N ，连接AN ，1A N ， 在ABC 中，AB AC =，所以AN BC ⊥， 又1BB BC ⊥，且11//AA BB ，所以1AA BC ⊥， 因为1AA ，AN ⊂平面1AA N ，1AA AN A =，所以BC ⊥平面1AA N ，又1A N ⊂平面1AA N ，所以1BC A N ⊥，所以在1A BC 中，由1BC A N ⊥及BC 的中点为N ，得11A B A C =.（2）由四边形11BCC B 为正方形，得1BB BC =，由1A AB 为正三角形，得11A A AB A B ==，所以11A A AB A B BC AC ==== 又由（1）知11A B A C =，所以1A ABC -为正三棱锥，过点1A 作1A O ⊥平面ABC ，则O 为正ABC 的中心，取BC 上靠近点C 的三等分点为E ， 则1OA ，OB ，OE 两两垂直，分别以射线OB ，OE ，1OA 为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系，设2OB =，则32223AC =⨯=221(23)222AO =-= ()2,0,0B ，(1,3,0)A -，(3,0)C -，1(0,0,22)A ，(0,23,0)AC =，(3,3,0)AB =，1(1,3,22)AA =，1113153(0,23,0)22222AM AC CM AC AA ⎛⎛=+=+=+= ⎝⎝， 设平面BAM 的法向量(,,)n x y z =，则153202330x y z x ⎧++=⎪⎨⎪=⎩，取1x =，得721,3,2n ⎛=- ⎝⎭，设平面CAM 的法向量(),,m x y z '''=，则153202230x y z ''''⎧++=⎪⎨⎪=⎩，所以0y '=，取2x '=，得22,0,2m ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 72572cos ,49113422m n -==++⋅+ 设二面角B AM C --为θ，因为θ为钝角，所以57cos 57θ=-， 即所求二面角的余弦值为57. 本题考查等腰三角形性质、线面垂直的判定、空间向量法求二面角夹角的余弦值，属于较难题.20. 已知定点(2,0)A -，(2,0)B ，直线AP ､BP 相交于点P ，且它们的斜率之积为12-，记动点P的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）设直线y x m =+与曲线C 交于M ､N 两点，点D 在曲线C 上，O 是坐标原点，若四边形OMDN 为平行四边形，求四边形OMDN 的面积.（1）22142x y +=；（2. （1）设动点(),P x y ，由斜率乘积为12-可得轨迹方程，注意x 的取值范围即可；（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，直线方程与椭圆方程联立方程组，消元后由判别式得m 范围，应用韦达定理得12x x +，12x x ，由平行四边形得D 点坐标，由D 在椭圆上求得参数m 的值．然后由弦长公式求得弦长MN ，求得原点到直线MN 的距离，这样可计算出四边形面积． （1）设动点(),P x y ， 则(2)2PA y k x x =≠-+，(2)2PB y k x x =≠-， ∵12PA PB k k ⋅=-，即1222y y x x ⋅=-+-， 化简得：22142x y +=. 由已知2x ≠±，故曲线C 的方程为22142(2)x y x +=≠±. （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，联立22142y x mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2234240x mx m ++-=，()2860m ∆=->，得m <<， ∴1243m x x -+=，212243m x x -=，∴1212223y y x x m m +=++=，由四边形OMDN 为平行四边形， ∴OM ON OD +=， 即1243D m x x x =+=-，1223D y y y m =+=， ∵点D 在椭圆C 上，所以有224233142m m -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，整理得232m =，12||MN x x =-= 点O 到直线MN的距离d ==， ∴平行四边形OMDN的面积122||23OMN S S MN d ==⨯⨯==△故四边形OMDN .思路点睛：本题考查求轨迹方程，考查直线与椭圆相交中的面积问题，解题方法是设交点坐标()11,M x y ，()22,N x y ，直线方程与椭圆方程联立方程组后消元应用韦达定理得1212,x x x x +，由平行四边形求得D 点坐标，代入椭圆方程求得参数m 值，然后求弦长，求点到直线的距离，从而计算出面积．这就是设而不求的思想方法． 21. 已知函数()ln f x x ax =-的最大值为-1. （1）求实数a 的值；（2）设2()()x g x e f x x ex ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦，求证：()1g x >.（1）1a =；（2）证明见解析.（1）按0a ≤，0a >，判断函数（结合导数）在定义域中的单调性，然后根据函数的最大值求得结果.（2）等价转换即证明2ln x xx x e e +>，利用导数求解2ln y x x e=+的最小值，x x y e =的最大值，通过比较可得结果.1()(0)f x a x x'=->当0a ≤时，()0f x '>恒成立，则()f x 在(0,)+∞上单调递增，()f x 无最大值； 当0a >时，令()0f x '<，得1x a >；令()0f x '>，得10x a<<，则()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，此时max 1()1ln 1f x f a a ⎛⎫==--=- ⎪⎝⎭，所以1a =.（2）因为2()ln x g x e x ex ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故要证2()ln 1x g x e x ex ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，只需证21ln x e x x e +>，故只需证2ln x xx x e e +>， 令2()ln x x x eω=+，则()ln 1x x ω'=+，令()ln 10x x ω'=+=，得1=x e，所以当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0x ω'<，()x ω单调递减； 当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0x ω'>，()x ω单调递增，所以min 11()x e eωω⎛⎫== ⎪⎝⎭，令()x x x e ϕ=，则1()x xx eϕ-'=， 令1()0x xx eϕ-'==1x =，所以当(0,1)x ∈时，()0x ϕ'>，()ϕx 单调递增； 当(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'<，()ϕx 单调递减，所以max 1()(1)x eϕϕ==，所以1()x e ω≥，1()x e ϕ≤，∴()()x x ωϕ≥，由于等号不能同时取得，所以()()x x ωϕ>，所以()1g x >.思路点睛：第（1）问在于讨论a 的大小并结合导数进行求解;第（2）问在于等价转化思想的应用，以及利用导数来证明不等式.22. 当今世界环境污染已经成为各国面临的一大难题，其中大气污染是目前城市急需应对的一项课题.某市号召市民尽量减少开车出行以绿色低碳的出行方式支持节能减排.原来天天开车上班的王先生积极响应政府号召，准备每天从骑自行车和开车两种出行方式中随机选择一种方式出行.从即日起出行方式选择规则如下：第一天选择骑自行车方式.上班，随后每天用“一次性抛掷4枚均匀硬币”的方法确定出行方式，若得到的正面朝，上的枚数小于3，则该天出行方式与前一天相同，否则选择另一种出行方式.（1）求王先生前三天骑自行车上班的天数X 的分布列；（2）由条件概率我们可以得到概率论中一个很重要公式—全概率公式.其特殊情况如下：如果事件1A ，2A 相互对立并且()()01,2i P A i >=，则对任一事件B 有()()()()1122()P B P B A P A P B A P A =+⋅=∣∣()()12P A B P A B +.设()n p n N ∈表示事件“第n 天王先生上班选择的是骑自行车出行方式”的概率. ①用1n p -表示(2)n p n >；②请问王先生的这种选择随机选择出行方式有没有积极响应该市政府的号召？请说明理由. （1）分布列答案见解析；（2）①135(2)816n n p p n -=+≥；②王先生积极响应该市政府的号召，理由见解析.（1）设一次性抛掷4枚均匀的硬币得到正面向上的枚数为ξ，先算出(3)P ξ<和(3)P ξ≥ 再根据得到的正面朝上的枚数小于3，则该天出行方式与前一天相同分析即可；（2）设1n A -表示事件“第1n -天王先生选择的是骑自行车出行方式”，n A 表示事件“第n 天王先生选择的是骑自行车出行方式”，由全概率公式知()()()()()1111n n n n n n n n p P A P A A P A P A A P A ----==+∣∣，带入相关量即可求出递推关系式，再通过构造法求出通项公式，再说明12n p >即可. （1）设一次性抛掷4枚均匀的硬币得到正面向上的枚数为ξ，则1~4,2B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，44401244411111(3)C C C 22216P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，5(3)1(3)16P P ξξ≥=-<=，21由已知随机变量X 的可能取值为1，2，3；51155(1)(3)(3)1616256P X P P ξξ==≥⋅<=⨯=； 1155580(2)(3)(3)(3)(3)16161616256P X P P P P ξξξξ==<⋅≥+≥⋅≥=⨯+⨯=； 1111121(3)(3)(3)1616256P X P P ξξ==<⋅<=⨯=. 所以随机变量X 的分布列为（2）①设1n A -表示事件“第1n -天王先生选择的是骑自行车出行方式”，n A 表示事件“第n 天王先生选择的是骑自行车出行方式”，由全概率公式知()()()()()1111n n n n n n n n p P A P A A P A P A A P A ----==+∣∣()()1111111535(3)1(3)11616816n n n n n p P p P p p p ξξ-----=⋅<+-⋅≥=+-=+. 所以135(2)816n n p p n -=+≥. ②由①知1131282n n p p -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，2n ≥， 又11p =，所以数列12n p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为12，公比为38的等比数列， 所以1113228n n p -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，1131282n n p -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 因为113112822n n p -⎛⎫=+> ⎪⎝⎭恒成立，所以王先生每天选择骑自行车出行方式的概率始终大于选择开车出行方式，从长期来看，王先生选择骑自行车出行方式的次数多于选择开车出行方式的次数是大概率事件，所以王先生积极响应该市政府的号召.本题是概率和数列的一道综合试题，需要根据全概率公式()()()()1122()P B P B A P A P B A P A =+⋅=∣∣()()12P A B P A B +构建递推关系，从而求出第n 天王先生上班选择的是骑自行车出行方式的概率.。

2020届湖南省长沙市第一中学高三第六次月考数学（文）试题一、单选题 1．已知复数21z i=-（i 是虚数单位），则共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】先化复数代数形式，再求共轭复数，最后根据复数几何意义确定选项. 【详解】2111z i z i i==+∴=--Q ，对应点为(1,1)-,在第四象限，选D. 【点睛】本题考查共轭复数定义以及复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题. 2．设全集为，集合2{|90},{|15}A x x B x x =-<=-<≤，则（ ）A ．(3,0)-B ．(3,1]--C ．(3,1)--D ．(3,3)-【答案】B【解析】试题分析：由题首先计算集合B 的补集然后与集合A 取交集即可． 由题A=（-3,3）,{1R C B x =≤-或5}x >，(]3,1R A C B ⋂=-，故选B ． 【考点】集合的运算 3．函数()sin 1xf x x =+的部分图象可能是( ) A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】由函数的奇偶性可排除B 、C,再利用特殊值排除D【详解】 由()sin 1xf x x =+,x ∈R , 因为()()()sin sin 11x xf x f x x x --==-=-++,所以()f x 为奇函数,图象关于原点对称,故排除B 、C, 又由()sin11011f =>+,排除D, 故选:A 【点睛】本题考查函数的图像,考查函数的奇偶性的图像性质,考查特殊值法处理选择题4．某部门有8位员工，其中6位员工的月工资分别为8200，8300，8500，9100，9500，9600（单位：元），另两位员工的月工资数据不清楚，但两人的月工资和为17000元，则这8位员工月工资的中位数可能的最大值为( ) A ．9100 B ．8800C ．8700D ．8500【答案】B【解析】讨论两员工均为8500和两员工中一位大于8500,一位小于8500,进而分析求解即可 【详解】设两位员工的月工资分别为x 和y ,则17000x y +=, 若8500x y ==时,8位员工月工资的中位数为8500；若,x y 中有一位工资大于8500,一位工资小于8500,则8位员工月工资的中位数的最大值为()18500910088002⨯+=, 故选:B 【点睛】本题考查中位数,考查分类讨论思想5．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅、…、癸酉，甲戌、乙亥、丙子、…、癸未，甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳，…，共得到60个组合，周而复始，循环记录.2010年是“干支纪年法”中的庚寅年，那么2020年是“干支纪年法”中的( )A ．已亥年B ．戊戌年C ．庚子年D ．辛丑年【答案】C【解析】“天干”以10为周期,“地支”以12为周期,分别对“庚”和“寅”向后推算10即可 【详解】由题,2020201010-=,因为“天干”以10为周期,所以2020年仍为“庚”； 因为“地支”以12为周期,所以2020年为“子”, 故选:C 【点睛】本题考查周期性的应用,考查阅读理解能力6．如图所示，已知AB 是圆O 的直径，C ，D 是半圆弧的两个三等分点，设AB a =u u u r r，AD b =u u u r r，则AC =u u u r ( )A ．12a b -r rB ．12a b -r rC ．12a b +r rD ．12a b -+r r【答案】D【解析】连接OC ,OD ,CD ,由圆的性质可得OAC V 和OCD V 均为边长等于圆O 的半径的等边三角形,则四边形OACD 为菱形,所以AC OD =u u u r u u u r,进而求解即可 【详解】连接OC ,OD ,CD ,由点C ,D 是半圆弧的三等分点,得60AOC COD BOD ∠=∠=∠=︒,所以OAC V 和OCD V 均为边长等于圆O 的半径的等边三角形,所以四边形OACD 为菱形,所以1122AC OD OA AD AB AD a b ==+=-+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r rr .故选:D 【点睛】本题考查圆的性质的应用,考查平面向量基本定理的应用7．在平面直角坐标系中，随机从()0,0O ，()2,0A ，()1,1B ，()0,2C ，()2,2D 这五个点中选取三个，则以这三点为顶点能构成三角形的概率是( ) A ．45B ．710C ．35D ．12【答案】A【解析】先得到五个点中选取三个的情况,当三点共线时无法构成三角形,以此为依据找到三点共线的情况数,进而求解即可 【详解】从五个点中选取三个,则有(),,O A B ,(),,O A C ,(),,O A D ,(),,O B C ,(),,O B D ,(),,O C D ,(),,A B C ,(),,A B D ,(),,A C D ,(),,B C D ,共10种情况；其中(),,O B D ,(),,A B C 为三点共线,不能组成三角形, 所以能组成三角形的有8种情况,所以以这三点为顶点能构成三角形的概率是84105=, 故选:A 【点睛】本题考查列举法求概率,考查古典概型的应用,属于基础题8．在ABC △中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c =π3C =，sin 2sin B A =，则ABC △的周长是（ ）A ．B ．2+C ．3+D ．4+【答案】C【解析】首先用正弦定理将sin 2sin B A =转化为2b a =，再利用余弦定理列方程，求出,a b 的值，由此求得三角形周长. 【详解】因为sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =，由余弦定理得，22222222cos 423c a b ab C a a a a =+-=+-=，又c =1a =，2b =．则ABC V 的周长是3+．故应选C【点睛】本小题主要考查解三角形，考查正弦定理和余弦定理的应用.正弦定理主要用于边和角的互化，余弦定理主要用于列方程求未知数.属于基础题.9．过点()()0,0A a a >，且倾斜角为120︒的直线与圆()222:0O x y rr +=>相切于点B ，且3AB =，则OAB V 的面积是( )A ．12B ．1C ．3 D ．3【答案】C【解析】由倾斜角为120︒,可知30OAB ∠=︒,由相切的性质可得OAB V 为直角三角形,进而求解即可 【详解】由倾斜角为120︒,可知30OAB ∠=︒,∵直线AB 与圆O 相切, ∴OB AB ⊥, ∵3AB ,∴tan301OB AB =︒=,∴13132AOB S =⨯=△故选:C 【点睛】本题考查直线倾斜角的应用,考查直线与圆的相切关系的应用10．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（ ）A ．3 B ．34C．5 D ．54【答案】B【解析】设BC 的中点为D ，连接1A D 、AD 、1A B ，易知1A AB ∠即为异面直线AB 与1CC 所成的角（或其补角）．由余弦定理，计算得1cos A AB ∠即可． 【详解】如图，设BC 的中点为D ，连接1A D 、AD 、1A B ，易知1A AB ∠即为异面直线AB 与1CC 所成的角（或其补角） 设三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长均为1， 则32AD =，112A D =，12A B =，由余弦定理，得222111111132cos 22114A A AB A B A AB A A AB +-+-∠===⋅⨯⨯故应选B.【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，通过平移找到所成角是解这类问题的关键，若平移不好作，可采用建系，利用空间向量的运算求解，属于基础题.解答本题时，易知1A AB ∠即为异面直线AB 与1CC 所成的角（或其补角），进而通过计算1ABA △的各边长，利用余弦定理求解即可． 11．已知函数()22cos 23463f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列判断错误的是（ ） A ．()f x 为偶函数B ．()f x 的图像关于直线4x π=对称C ．()f x 的值域为 []1,3-D ．()f x 的图像关于点,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称【答案】D【解析】化简f （x ）＝1+2cos4x 后，根据函数的性质可得． 【详解】f （x ）＝1+cos （4x π3+）（4x π3+）＝1+2sin （4x ππ36++）＝1+2cos4x ，f （x ）为偶函数，A 正确； 4x k π,=得k πx 4=,当k=1时，B 正确； 因为2cos4x []()22f x ∈-∴，，的值域为 []1,3-，C 正确； 故D 错误． 故选D ． 【点睛】本题考查三角恒等变换，三角函数的性质，熟记三角函数基本公式和基本性质，准确计算是关键，是基础题12．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为2F ，O 为坐标原点，M 为y 轴上一点，点A 是直线2MF 与椭圆C 的一个交点，且22OA OF OM ==，则椭圆C 的离心率为( ) A．BCD【答案】D【解析】设椭圆的左焦点为1F ,由椭圆的对称性可知21OA OF OF ==,则1290F AF ∠=︒,所以2121tan 2OM AF F OF ∠==,即可得到1212,,AF AF F F 的关系,利用椭圆的定义进而求得离心率 【详解】设椭圆的左焦点为1F ,因为21OA OF OF ==,所以1290FAF ∠=︒,如图所示,所以2121tan 2OM AF F OF ∠==, 设1AF m =,2AF n =,则::21:25m n c =所以22523c c e a m n ===+, 故选:D 【点睛】本题考查求椭圆的离心率,考查椭圆的定义的应用,考查数形结合思想二、填空题13．已知曲线()11ln y a x x=-+在点()1,0处的切线方程为1y x =-，则a =______. 【答案】2【解析】先求导,则1x =处的导数为1,进而求解即可 【详解】由题,设()()()11ln 1ln f x a x a x x x=-+=--, 则()1f x a x'=-, 所以()111f a '=-=, 所以2a =, 故答案为:2 【点睛】本题考查已知切线斜率求参数,考查导函数的几何意义 14．已知tan 2α=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πcos 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ______.【答案】10【解析】利用22sin cos 1sin tan cos ααααα⎧+=⎪⎨=⎪⎩求得sin ,cos αα,再利用余弦的和角公式求解即可 【详解】 由tan 2α=,得sin 2cos αα=,即sin 2cos αα=, 又22sin cos 1αα+=,且π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,解得sin α=cos 5α=,∴πππcos cos cos sin sin 44422ααα⎛⎫+=-== ⎪⎝⎭, 故答案为: 【点睛】本题考查余弦的和角公式的应用,考查同角的三角函数关系的应用,考查运算能力15．已知函数()3f x x ax =+，()2g x x bx =+，0a b <<，当()()0f x g x ''⋅≥在区间I 上成立，则称()f x 和()g x '在区间I 上单调性一致.若()f x 和()g x 在区间(),a b 上的单调性一致，则实数a 的最小值为______. 【答案】13-【解析】先求导可得()23f x x a '=+,()2g x x b '=+,则()f x 和()g x 在区间(),a b 上的单调性一致,即为()()2320x ax b ++≥在区间(),a b 上成立,可判断20x b +<,则230x a +≤在(),a b 上恒成立,进而求解即可【详解】由题,()23f x x a '=+,()2g x x b '=+,∵()f x 和()g x 在区间(),a b 上的单调性一致, 即()()2320x ax b ++≥在区间(),a b 上成立,∵0a b <<,a x b <<,∴20x b +<, ∴230x a +≤,即23a x ≤-在(),a b 上恒成立,得()22min33a x a ≤-=-,解得103a -≤<, ∴a 的最小值为13- 故答案为:13- 【点睛】本题考查求导公式的应用,考查转化思想16．四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面SAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，若π2π,33SAB ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，则四棱锥S ABCD -的体积的取值范围为______.【答案】224,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】分别取AD 与BC 的中点M 、N ,连接MS ,MN ,先证得AD ⊥平面SMN ,再SO MN ⊥,垂足为O ,证得SO ⊥平面ABCD ,即四棱锥S ABCD -的高为SO ,过O 作//OE AD 交AB 于点E ,连接SE ,则在Rt SEA △中由SAB ∠的范围求得SE 的范围,进而求得SO 的范围,从而求解即可 【详解】如图,分别取AD 与BC 的中点M 、N ,连接MS ,MN ,因为SAD V 是以AD 为斜边的等腰直角三角形, 所以SM AD ⊥,又四边形ABCD 是正方形,所以MN AD ⊥, 所以AD ⊥平面SMN , 作SO MN ⊥,垂足为O , 则SO AD ⊥,由AD MN M ⋂=,所以SO ⊥平面ABCD ,即四棱锥S ABCD -的高为SO ,过O 作//OE AD 交AB 于点E ,连接SE ,易知90SEA ∠=︒,其中2SA AD ==当π2π,33SAB ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦时,sin 2SAB ⎤∠∈⎥⎣⎦,sin SE SA SAB =⋅∠∈⎣, 因为1EO =,所以,12SO ⎤=⎥⎣⎦,则144333S ABCD V SO -⎡⎤=⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦,故答案为:433⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【点睛】本题考查棱锥的体积,考查空间想象能力,考查运算能力三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()23n n S a n n *=-∈N.(1)设3n n b a =+，证明数列{}n b 为等比数列，并求出通项公式n a ； (2)求2462n a a a a ++++L .【答案】(1)证明见解析，()321nn a =-；(2)1434n n +--.【解析】（1）由题可得()11231n n S a n ++=-+,与条件作差可得123n n a a +=+,则()1323n n a a ++=+,即可证明数列{}n b 为等比数列,利用等比数列的通项公式求得数列{}n b 的通项公式,进而求得数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得22323nn a =⋅-,进而利用等比数列的前n 项和公式求解即可【详解】(1)由23n n S a n =-,得()11231n n S a n ++=-+, 两式相减,得123n n a a +=+,所以()1323n n a a ++=+,即()12n n b b n *+=∈N ,当1n =时,11123a S a ==-,所以13a =,则1136b a =+=, 所以数列{}n b 是以6为首项,2为公比的等比数列, 所以162n n b -=⋅,所以()13623321n n n n a b -=-=⋅-=-(2)由(1)知22323nn a =⋅-,则24224623232323nn a a a a n ++++=⋅+⋅++⋅-L L()14143343414n n n n +-=⋅-=---【点睛】本题考查等比数列的证明,考查利用n a 与n S 的关系求通项公式,考查分组法求数列的和,考查等比数列前n 项和公式的应用18．已知在图1所示的梯形ACDE 中，//AE CD ，BC AE ⊥于点B ，且2AB BC CD BE ===.将梯形ACDE 沿BC 折起，使平面BCDE ⊥平面ABC ，如图2所示，连接AD ，取AD 的中点M .(1)求证：平面EMC ⊥平面ACD ； (2)设BC a =，求几何体ABCME 的体积.【答案】(1)证明见解析；(2)36a . 【解析】（1）取AC 的中点F ,连接BF ,FM ,先证得BF ⊥平面ACD ,再证明四边形BFME 是平行四边形,即可得证EM ⊥平面ACD ,进而证得结论；（2）视几何体ABCME 以平面EMFB 为底,AC 为高,由对称性可得其体积是三棱锥A MFBE -的体积的2倍,进而求解即可【详解】(1)证明:如图,取AC 的中点F ,连接BF ,FM ,因为AB BC =,所以BF AC ⊥,因为平面CDEB ⊥平面ABC ,DC CB ⊥,平面CDEB I 平面ABC BC =, 所以CD ⊥平面ABC ,又BF ⊂平面ABC ,所以CD BF ⊥, 又CD AC C =I ,所以BF ⊥平面ACD ①, 因为AM MD =,AF CF =,所以//MF CD ,12MF CD =, 因为//BE CD ,12BE CD =,所以//BE MF ,BE MF =, 所以四边形BFME 是平行四边形, 所以//EM BF ②,由①②得,EM ⊥平面ACD ,又EM ⊂平面EMC ,所以平面EMC ⊥平面ACD (2)由(1)知四边形MFBE 为矩形,BF AC ⊥,MF AC ⊥, 所以AC ⊥平面MFBE , 所以2ABCME A MFBE V V -=, 因为BC a =,所以22BF a =,2a BE =,22AF a =,所以222224MFBE a S a a =⋅=, 因为AF 为棱锥A MFBE -的高, 所以321122334212A MFBEa V S h a a -=⋅⋅=⋅⋅=, 所以326ABCME A MFBEa V V -==本题考查面面垂直的证明,考查几何体的体积,考查转化思想和运算能力19．已知抛物线()220x py p =>的焦点为F ，C ，D 是抛物线上关于y 轴对称的两点，点E 是抛物线准线l 与y 轴的交点，ECD V 是面积为4的直角三角形. (1)求抛物线的方程；(2)若A 为抛物线上异于原点的任意一点，过F 作AF 的垂线交准线l 于点B ，则直线AB 与抛物线是何种位置关系？请说明理由.【答案】(1)24x y =；(2)相切，理由见解析.【解析】（1）由直角三角形及对称性可设直线EC 的方程为2p y x =-,联立222x pyp y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩,解得C 点坐标,则可得到D 点坐标,进而利用三角形面积求得p ,即可得到抛物线方程；（2）设()00,A x y ,则直线AF 的斜率为001y x -,则可设直线BF 的方程为011x y x y =+-,令1y =-,求得点B 坐标,进而求得直线AB 的斜率,利用导数得到抛物线在A 点处的切线斜率,即可判断位置关系 【详解】 (1)由题,E 为0,2p ⎛⎫-⎪⎝⎭,ECD V 是直角三角形,且C ,D 是抛物线上关于y 轴对称的两点, 所以90DOC ∠=︒,设原点为O ,则45CEO ∠=︒, 不妨设点C 位于第一象限,则设直线EC 的方程为2p y x =-, 联立方程222x py p y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩,解得2x p p y =⎧⎪⎨=⎪⎩, 所以,2p C p ⎛⎫ ⎪⎝⎭,,2p D p ⎛⎫- ⎪⎝⎭, ()11242222ECD p p S p p p p ⎡⎤⎛⎫=----=⋅⋅=⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦△, 解得2p =,故抛物线的方程为24x y =由（1）得焦点()0,1F ,设()00,A x y ,则直线AF 的斜率为001y x -, 所以直线BF 的方程为011x y x y =+-, 令1y =-,得()0021y x x -=,所以点()0021,1y B x -⎛⎫-⎪⎝⎭, 则直线AB 的斜率为()200002020000141212214x x y x y x x x x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==-⎛⎫--- ⎪⎝⎭, 由24x y =得2x y '=,即抛物线在点A 处的切线的斜率为02x ,故直线AB 与抛物线相切 【点睛】本题考查由几何性质求抛物线方程,考查直线与抛物线的位置关系的判定,考查导函数的几何意义的应用,考查运算能力20．政府工作报告指出，2018年我国深入实施创新驱动发展战略，创新能力和效率进一步提升；2019年要提升科技支撑能力，健全以企业为主体的产学研一体化创新机制.某企业为了提升行业核心竞争力，逐渐加大了科技投入；该企业连续6年来的科技投入x （百万元）与收益y （百万元）的数据统计如下：根据散点图的特点，甲认为样本点分布在指数曲线2bxy c =⋅的周围，据此他对数据进行了一些初步处理，如下表：其中2log i i z y =，6116i i z z ==∑.(1)（i ）请根据表中数据，建立y 关于z 的回归方程（保留一位小数）；（ii ）根据所建立的回归方程，若该企业想在下一年的收益达到2亿，则科技投入的费用至少要多少（其中2log 5 2.3≈）？(2)乙认为样本点分布在二次曲线2y mx n =+的周围，并计算得回归方程为20.9212.0y x =-，以及该回归模型的相关指数20.94R =，试比较甲、乙两位员工所建立的模型，谁的拟合效果更好.附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线方程ˆˆˆvu αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆniii nii u u v v u u β==--=-∑∑，ˆˆav u β=-，相关指数：()()22121ˆ1ni i i nii v vR v v ==-=--∑∑.【答案】(1)(i) 0.512x y += ；(ii) 13.2百万元；(2)甲.【解析】（1）（i ）由数据可得7x =,由指数曲线2bxy c =⋅,取对数,设22ˆlog log z y bx c ==+,令2ˆlog a c =,则ˆˆz bx a =+,代入公式求解可得0.51z x =+,进而求解即可；（ii ）令0.512200x +≥,求解即可；（2）由（1）,将科技投入x 数据依次代入0.512x y +=中得到ˆi y,得到关于残差的数据,求得()621ˆ298.5iii y y=-=∑,利用公式求得相关指数,比较即可【详解】(1)(i)2468101276x +++++==,令22ˆlog log z y bx c ==+, 令2ˆlog a c =,则ˆˆz bx a =+,根据最小二乘估计可知:()()()12134.7ˆ0.570niii n i i x x zz bx x ==--==≈-∑∑, 从而ˆˆ 4.50.571a z bx=-=-⨯=, 故回归方程为0.51z x =+,即0.512x y +=(ii)令0.512200x +≥,则20.51log 200x +≥,即244log 513.2x ≥+≈, 所以科技投入的费用至少要13.2百万元(2)由（1）,将科技投入x 数据依次代入0.512x y +=中得到ˆi y ,则计算残差：则()621ˆ298.5iii y y=-=∑,从而2298.5110.020.980.9412730.4R =-≈-=>.即甲建立的回归模型拟合效果更好. 【点睛】本题考查最小二乘法求回归方程,考查相关指数的应用,考查数据处理能力 21．已知函数()ln f x ax x =-. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）若21,a e ⎛⎤∈-∞-⎥⎝⎦，求证：()12ax f x ax xe -≥-. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题意可得()11'ax f x a x x-=-=，分0a ≤和0a >两种情形讨论()'f x 的符号可得单调性．（Ⅱ）令()()12ax g x f x ax xe-=-+ 1ln ax xe ax x -=--，可得()()()()11111'1ax ax ax xe g x ax e x x --+-⎛⎫=+-=⎪⎝⎭，构造函数()11ax r x xe -=-，结合导数可得()2max1110r x r a ae ⎛⎫⎛⎫=-=-+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，于是可得()g x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故()min 1g x g a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后再证明10g a ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，即可得()0g x ≥，从而可得()12ax f x ax xe -≥-成立．试题解析：（Ⅰ）由题意得()11'ax f x a x x-=-=， ①当0a ≤时，则()'0f x <在()0,+∞上恒成立， ∴()f x 在()0,+∞上单调递减. ②当0a >时， 则当1,x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()()'0f x f x >，单调递增， 当10x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()()0f x f x '<，单调递减．综上：当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递减； 当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.（Ⅱ）令()()12ax g x f x ax xe -=-+ 1ln ax xe ax x -=--，则()111'ax ax g x eaxea x --=+-- ()()()111111ax ax ax xe ax e x x --+-⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，设()11ax r x xe-=-，则()()1'1ax r x ax e -=+，∵10ax e ->,∴当10,x a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()'0r x r x >， 单调递增； 当1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()()0r x r x '<， 单调递减． ∴()2max 1110r x r a ae ⎛⎫⎛⎫=-=-+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（因为21a e ≤-）， ∴110ax ex --≤. ∴()g x 在10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，∴()min 1g x g a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 设(210,t e a⎤=-∈⎦， 则()221ln 1(0)t g h t t t e a e ⎛⎫-==-+<≤ ⎪⎝⎭， ()211'0h t e t=-≤，()h t 在(20,e ⎤⎦上递减， ∴()()20h t h e≥=；∴()0g x ≥，故()12ax f x ax xe -≥-.说明：判断11ax ex--的符号时，还可以用以下方法判断： 由110ax e x --=得到1ln x a x -=， 设()1ln x p x x -=，则()2ln 2'x p x x -=，当2x e >时，()'0p x >；当20x e <<时，()'0p x <. 从而()p x 在()20,e 上递减，在()2,e +∞上递增.∴()()22min 1p x p e e ==-.当21a e ≤-时，1ln x a x -≤，即110ax e x--≤. 22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为2x m y =+.曲线2C的参数方程为sin cos22x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数）.(1)求2C 的直角坐标方程；(2)若1C 与2C 有三个不同的公共点，求实数m 的取值范围.【答案】(1)(2212,4x y x y -=≥≥≤；(2)(. 【解析】（1）由参数方程求得,x y 的范围,消去参数即可求得直角坐标方程； （2）曲线1C 为过点()2,0且关于x 轴对称的两条射线,曲线2C 的图像为双曲线右支的一部分,也过点()2,0且关于x 轴对称,其端点为(,则转化1C 与2C 有三个不同的公共点为1C 与2C 在x 轴上方有一个公共点,进而求解即可 【详解】(1)2x =≥,由πsincos2224y ααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,知y ⎡∈⎣,所以()()222sin 1sin 14x y αα-=+-+=,所以2C 的直角坐标方程为(2212,4x y x y -=≥≥≤.(2)由曲线1C 的方程为2x m y =+可知:1C 的图像为过点()2,0且关于x 轴对称的两条射线,由曲线2C 的直角坐标方程为(2212,4x y x y -=≥≤≤,可知2C 的图像为双曲线右支的一部分,也过点()2,0且关于x 轴对称,其端点为(,则1C 与2C 有三个不同的公共点等价于1C 与2C 在x 轴上方有一个公共点,当端点(在2x my =+上时,m =,所以(m ∈时,1C 与2C 有三个不同的公共点 【点睛】本题考查参数方程与直角坐标方程的转化,考查由直线与曲线的交点个数求参数范围,考查运算能力第 21 页 共 21 页 23．已知函数()2145f x x x =++-的最小值为M .（1）求M ；（2）若正实数a ，b ，c 满足a b c M ++=，求证：2222227a b a c b c c b a+++++≥. 【答案】（1）72；（2）详见解析. 【解析】（1）先化简函数的解析式，再通过函数的图像得到当54x =时，()f x 取得最小值72M =；（2）由题得72a b c ++=，再利用均值不等式证明不等式. 【详解】 解：（1）()146,21562,24564,4x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=--≤<⎨⎪⎪-≥⎪⎩， 由于函数y=146,2x x -<-,是减函数，y=1562,24x x --≤<,是减函数，y=564,4x x -≥，是增函数， 故当54x =时，()f x 取得最小值72M =. （2）222222222a b a c b c ab ac bc c b a c b a+++++≥++ b c a c a b a b c c b c a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()27a b c ≥++=.【点睛】本题主要考查分段函数的图像和性质，考查分段函数的最值和不等式的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。