湖南省长沙市第一中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题(解析版)

2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共15小题，每小題3分，45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知集合U＝{1, 3, 4, 5, 7, 9}，A＝{1, 4, 5}，则∁U A＝（）A.{3, 9}B.{7, 9}C.{5, 7, 9}D.{3, 7, 9}2. 函数y=√x−1+lg(3−x)的定义域为（）A.(1, 3)B.[1, 3)C.(3, +∞)D.[1, +∞)3. 若函数f(x)＝x2+mx−4m在区间[−1, 4]上单调，则实数m的取值范围为（）A.(−∞, −8]∪[2, +∞)B.[2, +∞)C.(−∞, −8]D.(−∞, −2]∪[8, +∞)4. 函数y=3x3x+2x的值域为（）A.(0, +∞)B.(−∞, 1)C.(1, +∞)D.(0, 1)5. 已知函数f(x)是定义在(0, +∞)上的增函数，对于任意实数x，y∈(0, +∞)都满足f(xy)＝f(x)+f(y)，若f(3)＝1且f(m)<f(1−m)+2，则实数m的取值范围为（）A.(0, 1)B.(0, 2)C.(910,1) D.(0,910)6. 设a＝log1314，b＝(14)14，c＝(13)13，则a，b．c的大小关系是（）A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.c<a<b7. 幂函数的图象经过点(12,2)，若0<a<b<1，则下列各式正确的是（）A.f(a)<f(b)<f(1b )<f(1a) B.f(1a)<f(1b)<f(b)<f(a)C.f(a)<f(b)<f(1a )<f(1b) D.f(1a)<f(a)<f(1b)<f(b)8. 对于一个声强为I为（单位：W/m2）的声波，其声强级L（单位：dB）可由如下公式计算：L＝10lg II0（其中I0是能引起听觉的最弱声强），设声强为I1时的声强级为70dB，声强为I 2时的声强级为60dB ，则I 1是I 2的（ ）倍 A.10 B.100C.1010D.100009. 已知函数f(x)=3sin (2x −π3)，下列结论中正确的是（ ） A.函数f(x)的最小正周期为2π B.函数f(x)的图象关于直线x =π6对称 C.函数f(x)的图象关于点(−π6,0)对称 D.函数f(x)在(−π12,5π12)内是增函数10. 为了得到函数y ＝3sin 2x +1的图象，只需将y ＝3sin x 的图象上的所有点（ ） A.横坐标伸长2倍，再向上平移1个单位长度 B.横坐标缩短12倍，再向上平移1个单位长度 C.横坐标伸长2倍，再向下平移1个单位长度 D.横坐标缩短12倍，再向下平移1个单位长度11. 扇形周长为6cm ，面积为2cm 2，则其圆心角的弧度数是（ ） A.1或5 B.1或2 C.2或4 D.1或412. 若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P(cos B −sin A, sin B −cos A)在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限13. 已知函数f(x)=3sin (π2x +2)，若对于任意的x ∈R ，都有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立，则|x 1−x 2|的最小值为（ ） A.4 B.1 C.12D.214. 已知平面向量a →=(1, −3)，b →=(4, −2)，若λa →−b →与a →垂直，则实数λ＝（ ） A.−1 B.1 C.−2 D.215. 如图，圆O 是边长为2的正方形ABCD 的内切圆，若P ，Q 是圆O 上两个动点，则AP →⋅CQ →的最小值为（ ）A.−6B.−3−2√2C.−3−√2D.−4二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.）计算：(−8125)−23+log 3√2743−log 29⋅log 32=________．若f(x)对于任意实数x 都有2f(x)−f(1x )=2x +1，则f(12)=________．已知sin α+2cos αsin α−2cos α=5，则cos 2α+12sin 2α=________．已知sin (α2−π4)=√210，则sin α＝________．若存在正整数ω和实数φ使得函数f(x)＝sin 2(ωx +φ)的部分图象如图所示，则ω的值为________．三、解答题[本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）若函数f(x)=ax 2+1bx+c是奇函数，(a, b, c ∈N)且f(1)＝2，f(2)<3．（1）求实数a ，b ，c 的值；（2）判断函数f(x)在(−∞, −1]上的增减性，并证明．设向量a →=(cos α, λsin α)，b →=(cos β, sin β)，其中λ>0，0<α<β<π2，且a →+b →与a →−b →相互垂直． （1）求实数λ的值；（2）若a →⋅b →=45，且tan β＝2，求tan α的值．已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，点N 、M 满足AN →=λAB →，AM →=(1−λ)AC →，λ∈R ，设AC →=a →，AB →=b →．（1）试用向量a →和b →表示BM →，CN →；（2）若BM →⋅CN →=−32，求λ的值．将函数g(x)=4sin x cos (x +π6)的图象向左平移φ(0<φ≤π2)个单位长度后得到f(x)的图象．（1）若f(x)为偶函数，求f(φ)的值；（2）若f(x)在(π,76π)上是单调函数，求φ的取值范围．已知函数f(x)＝|x −a|−1，（a 为常数）．（1）若f(x)在x ∈[0, 2]上的最大值为3，求实数a 的值；（2）已知g(x)＝x ⋅f(x)+a −m ，若存在实数a ∈(−1, 2]，使得函数g(x)有三个零点，求实数m 的取值范围．参考答案与试题解析2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共15小题，每小題3分，45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.【答案】D2.【答案】B3.【答案】A4.【答案】D5.【答案】D6.【答案】B7.【答案】B8.【答案】A9.【答案】D10.【答案】B11.【答案】D12.【答案】B13.【答案】 D 14. 【答案】 B 15.【答案】 B二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.） 【答案】 4【答案】 3【答案】 25【答案】2425【答案】 2三、解答题[本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 【答案】根据题意，函数f(x)=ax 2+1bx+c是奇函数，(a, b, c ∈N)且f(1)＝2，则f(−1)＝−2，又由f(2)<3，则有{ a+1b+c =2a+1−b+c =−24a+12b+c <3 且a 、b 、c ∈N ，解可得a ＝1，b ＝1，c ＝0；由（1）可得：f(x)=x 2+1x=x +1x ，函数f(x)在(−∞, −1]上为增函数，设x 1<x 2≤−1，f(x 1)−f(x 2)＝(x 1+1x 1)−(x 2+1x 2)=(x 1x 2−1)(x 1−x 2)x 1x 2，又由x 1<x 2≤−1，则(x 1−x 2)<0且(x 1x 2−1)>0， 则有f(x 1)−f(x 2)<0，故函数f(x)在(−∞, −1]上为增函数． 【答案】由a →+b →与a →−b →互相垂直，可得(a →+b →)⋅(a →−b →)=a →2−b →2＝0， 所以cos 2α+λ2sin 2α−1＝0，又因为sin 2α+cos 2α＝1，所以(λ2−1)sin 2α＝0， 因为0<α<π2，所以sin 2α≠0，所以λ2−1＝0，又因为λ>0，所以λ＝1．由（1）知a →=(cos α, sin α)，由a →⋅b →=45，得cos αcos β+sin αsin β=45，即cos (α−β)=45，因为0<α<β<π2，所以−π2<α−β<0， 所以sin (α−β)=−√1−cos 2(α−β)=−35， 所以tan (α−β)=sin (α−β)cos (α−β)=−34，因此tan α＝tan (α−β+β)=tan (α−β)+tan β1−tan (α−β)tan β=12． 【答案】BM →=AM →−AB →=(1−λ)AC →−AB →=(1−λ)a →−b →； CN →=AN →−AC →=λAB →−AC →=λb →−a →； BM →⋅CN →=−32，即[＝(1−λ)a →−b →]•(λb →−a →)＝[λ(1−λ)+1]a →⋅b →−λb →2−(1−λ)a →2＝(λ−λ2+1)⋅2⋅2⋅12−4λ−4(1−λ)=−32， 化为4λ2+1−4λ＝0，解得λ=12．【答案】∵ g(x)=4sin x(√32cos x −12sin x)=√3sin 2x −(1−cos 2x)=2sin (2x +π6)−1， ∴ 函数g(x)＝2sin (2x +π6)−1的图象向左平移φ(0<φ≤π2)个单位长度后得到f(x)=2sin (2x +π6+2φ)−1的图象，又f(x)为偶函数，则π6+2φ=π2+kπ(k ∈Z)，∵ 0<φ≤π2，∴ φ=π6，∴ f(x)＝2sin (2x +π2)−1＝2cos 2x −1，f(φ)＝f(π6)＝2cos π3−1＝0． ∵ x ∈(π,7π6)，∴ 2x +π6+2φ∈(2π+π6+2φ,2π+π2+2φ)， ∵ 0<φ≤π2，∴ π6+2φ∈(π6,7π6]，π2+2φ∈(π2,3π2]，∵ f(x)在(π,7π6)上是单调函数．∴ π6+2φ≥π2，且0<φ≤π2，∴ φ∈[π6,π2]． 【答案】f(x)={x −a −1,x ≥a−x +a −1,x <a，当a ≥1时，f(x)max ＝f(0)＝3，∴ a ＝4； 当a <1时，f(x)max ＝f(2)＝3，∴ a ＝−2； 综上：a ＝4或−2．g(x)＝x|x −a|−x +a −m ＝0有三个零点，等价于ℎ(x)＝x|x −a|−x +a 和y ＝m 有三个不同的交点， ℎ(x)={x 2−ax −x +a,x ≥a−x 2+ax −x +a,x <a ，当1≤a ≤2时，ℎ(x)在(−∞, a−12)上递增，在(a−12, a+12)递减，在(a+12, +∞)递增；∴ 0<m <ℎ(a−12)，即0<m <(a+1)24∈(1, 94]，∴ 0<m <94．当−1<a <1时，ℎ(x)在(a−12, a+12)上递减，在(−∞, a−12)(a+12, +∞)上递增；∴ ℎ（(a+12)<m <ℎ(a−12)即−(a−1)24<m <(a+1)24，∴ −1<m <94．。

2019-2020学年湖南省长沙市县第一中学高一数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若为圆的弦的中点，则直线的方程是（）A． B．C． D．参考答案：D略2. 已知定义在R上的奇函数和偶函数满足，若，则（）A. B. C. D.参考答案：B3. 幂函数，满足，则的值为（）A.0B. 2C. 0或2D. 0或1参考答案：A4. 函数f（x）=的定义域为（）A．（﹣∞，1] B．[1，+∞） C．（，1] D．（，+∞）参考答案：C【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数成立的条件，即可求函数的定义域．【解答】解：要使函数f（x）有意义，则，即0＜2x﹣1≤1，即1＜2x≤2，解得＜x≤1，故函数的定义域是（，1]，故选：C【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．5. 已知函数是(0,)上的单调递减函数，则实数的取值范围是A. B.C. D.参考答案：D略6. 已知全集，A，B，那么B∩(C---U A)= ▲.参考答案：{4}略7. 已知全集集合=（）A． B．C． D．参考答案：C略8. 图中的图象所表示的函数的解析式为（）A．y=|x﹣1|（0≤x≤2）B．y=﹣|x﹣1|（0≤x≤2）C．y=﹣|x﹣1|（0≤x≤2）D．y=1﹣|x﹣1|（0≤x≤2）参考答案：B【考点】函数的图象与图象变化．【分析】求已知图象函数的解析式，常使用特殊值代入排除法．【解答】解：由已知函数图象易得：点（0，0）、（1、）在函数图象上将点（0，0）代入可排除A、C将（1、）代入可排除D故选B．9. ，则f[f（﹣2）]=（）A．B．C．﹣3 D．5参考答案：D【考点】函数的值．【分析】利用分段函数进行分段求值．【解答】解：因为当x＜0时，，所以，所以f[f（﹣2）]=f（4）=4+1=5．故选D．【点评】本题主要考查分段函数的应用，比较基础．10. 下列说法中，正确的是（）A．数据5，4，4，3，5，2的众数是4B．一组数据的标准差是这组数据的方差的平方C．频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数D．数据2，3，4，5的标准差是数据4，6，8，10的标准差的一半参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点，，动点满足（其中a和是正常数，且），则P的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”，该圆的半径为__________．参考答案：【分析】设，由动点满足（其中和是正常数，且），可得，化简整理可得.【详解】设，由动点满足（其中和是正常数，且），所以，化简得，即，所以该圆半径故该圆的半径为.【点睛】本题考查圆方程的标准形式和两点距离公式，难点主要在于计算.12. 设第一象限内的点满足约束条件，若目标函数的最大值为40，则的最小值为: .参考答案：略13. 如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=，则下列结论中正确的是．①EF∥平面ABCD；②平面ACF⊥平面BEF；③三棱锥E﹣ABF的体积为定值；④存在某个位置使得异面直线AE与BF成角30°．参考答案：①②③④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①，由EF∥平面ABCD判定；②，动点E、F运动过程中，AC始终垂直面BEF；③，三棱锥E﹣ABF的底△BEF的面积为定值，A到面BEF的距离为定值，故其体积为定值，；④，令上底面中心为O，当E与D1重合时，此时点F与O重合，则两异面直线所成的角是∠OBC1，可求解∠OBC1=300．【解答】解：如图：对于①，∵面ABCD∥面A1B1C1D1，EF?面A1B1C1D1，∴EF∥平面ABCD，故正确；对于②，动点E、F运动过程中，AC始终垂直面BEF，∴平面ACF⊥平面BEF，故正确；对于③，三棱锥E﹣ABF的底△BEF的面积为定值，A到面BEF的距离为定值，故其体积为定值，故正确；对于④，令上底面中心为O，当E与D1重合时，此时点F与O重合，则两异面直线所成的角是∠OBC1，可求解∠OBC1=30°，故正确．故答案为：①②③④14. 若幂函数y=x a的图象过点（2，），则a= ．参考答案：﹣1【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】函数思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据题意，将点（2，）的坐标代入y=x a中，可得=2a，解可得a的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，点（2，）在幂函数y=x a的图象上，则有=2a，解可得a=﹣1；故答案为：﹣1．【点评】本题考查幂函数解析式的计算，注意幂函数与指数函数的区别．15. 锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA，则cosA+sinC的取值范围是．参考答案：（，）【考点】余弦定理．【分析】已知等式利用正弦定理化简，根据sinA不为0求出sinB的值，确定出B的度数，进而表示出A+C的度数，用A表示出C，代入所求式子利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由A的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域确定出范围即可．【解答】解：已知等式a=2bsinA利用正弦定理化简得：sinA=2sinBsinA，∵sinA≠0，∴sinB=，∵B为锐角，∴B=30°，即A+C=150°，∴cosA+sinC=cosA+sin=cosA+cosA+sinA=cosA+sinA=（cosA+sinA）=sin（A+60°），∵60°＜A＜90°，∴120°＜A+60°＜150°，∴＜sin（A+60°）＜，即＜sin（A+60°）＜，则cosA+sinC的取值范围是（，）．故答案为：（，）．16. 若等比数列{a n}满足：a2+a4=5，a3a5=1且a n＞0，则a n= ．参考答案：2﹣n+4【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出a n．【解答】解：∵等比数列{a n}满足：a2+a4=5，a3a5=1且a n＞0，∴，且q＞0，解得，a n==2﹣n+4．故答案为：2﹣n+4．17. 正方体的各项点都在同一个球的球面上，若该正方体的体积为8cm3，则其外接球的表面积为cm2．参考答案：12π．【分析】由体积求出正方体的棱长，球的直径正好是正方体的体对角线，从而可求出球的半径，得出体积．【解答】解：设正方体的棱长为a，则a3=8cm3，即a=2cm，∴正方体的体对角线是为2cm∴球的半径为r=cm，故该球表面积积S=4πr2=12πcm2．故答案为：12π．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2019-2020学年湖南省高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）已知集合{|13}A x x =-<<，{|10}B x x =-<，则()(R A B =⋂ð ) A ．{|13}x x <„B ．{|11}x x -<„C ．{|12}x x <„D ．{|13}x x 剟2．（4分）函数()(1)f x lg x =+的定义域是( ) A ．[1-，2] B ．(1-，2]C ．(1，2]D ．(1,2)3．（4分）已知a =，b =c =，则( ) A ．b c a <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．c a b <<4．（4分）函数5()()42x f x =-的零点所在的区间是( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(0,1)5．（4分）已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且//l α，m β⊥，则下列命题中为真命题的是( ) A ．若//αβ，则//l β B ．若αβ⊥，则l m ⊥ C ．若l m ⊥，则//l βD ．若//αβ，则m α⊥6．（4分）若直线20x y ++被圆224x y +=截得的弦长为(m = )AB ．5C ．10D ．257．（4分）已知圆柱的底面圆的面积为9π，高为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为( ) A ．16πB ．20πC ．40πD ．403π8．（4分）函数2(31),1()3,1a log x x f x ax x a x +>⎧=⎨-++⎩„在R 上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．3(1,)2B ．3[2C ．D ．3(1,]29．（4分）已知(2,0)A -，(2,0)B ，点P 是圆22:(3)(1C x y -+-=上的动点，则22||||AP BP +的最小值为( ) A ．9B ．14C ．18D ．2610．（4分）设1x ，2x ，3x 分别是方程3log 3x x +=，3log (2)x x +=-，4x e lnx =+的实根，则( ) A ．123x x x <+B ．213x x x <<C ．231x x x <<D ．321x x x <<二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 11．（4分）若直线220x y -+=与3(5)10x a y +-+=平行，则a 的值为 ． 12．（4分）已知点(3,1)A ，(1,3)B -，则以线段AB 为直径的圆的标准方程为 ． 13．（4分）若幂函数222()(22)mmf x m m x -=+-在(0,)+∞上为减函数，则m = ．14．（4分）已知圆221:(2)(1)10C x y -+-=与圆222:66C x y x y ++-=，则两圆的公共弦所在的直线方程为 ．15．（4分）如图，在ABC ∆中，AB BC ⊥，D ，E 分别为AB ，AC 边上的中点，且4AB =，2BC =．现将ADE ∆沿DE 折起，使得A 到达1A 的位置，且160A DB ∠=︒，则1A C = ．三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（6分）已知直线l 的方程为43120x y ++=，1l 与l 垂直且过点(2,3)--． （1）求直线1l 的方程；（2）若直线2l 经过1l 与l 的交点，且垂直于x 轴，求直线2l 的方程． 17．（8分）（1）求值0.5021()(3)16π-+-；（2）求值21log 5400222lg lg +-+．18．（8分）已知圆C 的圆心在x 轴正半轴上，且圆C 与y 轴相切，点(2,4)P 在圆C 上． （1）求圆C 的方程；（2）若直线:(1)40l m x y m ++++=与圆C 交于A ，B 两点，且||8AB =，求m 的值． 19．（8分）如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，3AB =，4BC =，AC AP =，PA ⊥平面ABC ，过A 作AD PB ⊥于D ，过D 作DE PC ⊥于E ，连接AE ． （1）证明：AE PC ⊥． （2）求三棱锥P ADE -的体积．20．（10分）已知函数22()3x xe ef x -+=，其中e 为自然对数的底数．（1）证明：()f x 在(0,)+∞上单调递增； （2）函数25()3g x x =-，如果总存在1[x a ∈-，](0)a a >，对任意2x R ∈，12()()f x g x …都成立，求实数a 的取值范围．。

2019-2020学年湖南省长沙市第一中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．设集合{|21,}A x x k k ==+∈Z ，则（ ） A ．3A ⊆ B ．3A ∈ C ．3A ∉ D ．3 A【答案】B【解析】根据元素与集合的关系以及表示方法即可求解. 【详解】由21,x k k =+∈Z ，可得x 表示的是奇数， 所以3A ∈， 故选：B 【点睛】本题考查了元素与集合之间的关系以及表示方法，属于基础题. 2．下列函数既是偶函数又有零点的是（ ） A ．21y x =+ B ．||2x y = C ．2y x x =+ D ．1lg ||y x =+【答案】D【解析】利用函数的奇偶性定义以及函数的零点定义即可求解. 【详解】对于A ，函数21y x =+为偶函数，令210y x =+=，方程无解，故函数无零点，A 不选；对于B ，函数||2x y =为偶函数，令||20x y ==，方程无解，故函数无零点，B 不选；对于C ，函数2y x x =+为非奇非偶函数，C 不选；对于D ，函数1lg ||y x =+为偶函数，令1lg ||0y x =+=，解得110x =±，故函数有零点，D 符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查了函数的奇偶性以及函数的零点，需掌握函数奇偶性定义和零点定义，属于基础题.3．函数f （x ），g （x ）由如下表格给出，则f （g （3））=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A【解析】通过表格求出g （3）的值，然后求解f （g （3））的值． 【详解】由表格可知，g （3）＝2， ∴f （g （3））＝f （2）＝4． 故选：A ． 【点睛】本题考查函数值的求法，考查两次对应，考查计算能力．4．函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()4x f x m =+，则12f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭( ) A ．1 B ．2- C ．1-D ．32-【答案】C【解析】由题意可得()00f =，进而求出1m =-，再利用函数为奇函数可得1122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，代入解析式即可求解 【详解】由函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()4xf x m =+，则()00f =，即040m +=，解得1m =-， 所以()41xf x =-又1122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1214112f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以112⎛⎫-=- ⎪⎝⎭f ， 故选：C 【点睛】本题考查了奇函数的性质，利用函数的奇偶性求函数值，解题的关键是求出参数值，属于基础题.5．函数()f x 与()xg x a =互为反函数，且()g x 过点()2,4-，则()()12f f +=( )A ．1-B ．0C ．1D ．14【答案】A【解析】利用反函数的定义以及性质求出()f x 的解析式，代入即可求解. 【详解】由题意可得()log a f x x =，又()g x 过点()2,4-，则()4,2-在()f x 上，即2log 4a -=，解得12a =，所以()12log f x x =，所以()()1122log 1l 1og 20121f f +=+=-=-，故选：A 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的关系以及反函数的性质，属于基础题.6．根据表格中的数据，可以断定方程e 20x x --=的一个根所在的区间是( )A ．(1,0.5)-B ．()1,0-C ．()1,2D ．()2,3【答案】C【解析】利用零点存在性定理即可判断.【详解】令()2xf x e x =--，由表中数据可得()1 2.7230.280f =-=-<，()27.394 3.390f =-=>，所以()()120f f ⋅<， 故函数零点所在的区间为()1,2. 故选：C 【点睛】本题考查了零点存在性定理的应用，需熟记定理的内容，属于基础题.7．如图，在直三棱柱111ABC A B C -(侧棱1AA 垂直于底面ABC 中，D 为11A B 的中点，12AB BC BB ===，25AC =，则异面直线BD 与AC 所成的角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C【解析】取11B C 的中点E ，连接,DE BE ，得BDE ∠或其补角为所求，在DEB ∆中求解角即可. 【详解】如图，取11B C 的中点E ，连接,DE BE ，则11DE AC AC P P ， 故BDE ∠或其补角为所求异面直线BD 与AC 所成的角，又5BD BE ==5DE所以DEB ∆为等边三角形，所以60DEB ∠=o ， 故选：C 【点睛】本题考查了求异面直线所成角的大小，解题的关键是找到与异面直线所成角的大小相等的两角，属于基础题.8．我们处在一个有声世界里,不同场合,人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝()dB ,对于一个强度为I 的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：10lgII η=⋅(其中0I 是人耳能听到的声音的最低声波强度)，设170dB η=的声音强度为1I ，260dB η=的声音强度为2I ，则1I 是2I 的（ ） A ．76倍 B ．10倍C ．7610倍D ．7ln 6倍【答案】B【解析】根据题意代入170dB η=，260dB η=，得到方程组，然后将两式相减，整理化简后得到12I I 的值，得到答案. 【详解】因为010lgI I η=⋅， 代入170dB η=，260dB η=，得10207010lg 6010lg I I I I ⎧=⋅⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩，两式相减，得12001010lglg I I I I ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭得到12lg1I I =，即1210II =， 故选：B. 【点睛】本题考查利用已知函数模型解决问题，对数运算公式，属于简单题. 9．下列不等式中不成立的是（ ）A ．0.50.556<B ．22log 3log 5<C ．0.23log 0.83-<D ．0.30.40.10.1<【答案】D【解析】利用指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质，即可判断. 【详解】对于A ，0.5y x =为增函数，0.50.556∴<，故A 正确； 对于B ，2log y x =为增函数，22log 3log 5∴<，故B 正确； 对于C ，33log 0.8log 10<=，0.230->，0.23log 0.83-∴< ，故C 正确；对于D ，0.1xy =为减函数，则0.30.40.10.1>，故D 不正确； 故选：D 【点睛】本题考查了指数函数、对数函数、幂函数的性质，属于基础题.10．若三棱锥P ABC -中，PA PB ⊥，PB PC ⊥，PC PA ⊥，且1PA =，2PB =，3PC =，则该三棱锥外接球的表面积为（）A ．72π B ．14π C ．28π D ．56π【答案】B【解析】将棱锥补成长方体，根据长方体的外接球的求解方法法得到结果. 【详解】根据题意得到棱锥的三条侧棱两两垂直，可以以三条侧棱为长方体的楞，该三棱锥补成长方体，两者的外接球是同一个，外接球的球心是长方体的体对角线的中点处。

湖南省长沙市铁路一中2017-2018学年高一数学上学期期末考试试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1、已知三个数－2，x ，3成等差数列，则x ＝（ ）。

A ．21-B ．21C ．－1D ． 1 2、不在623<+y x 表示的平面区域内的点是（ ）。

A ．（0，0）B ．（1，1）C ．（1，2）D ．（0，2）3、若a b >，则下列各式中正确的是（ ）。

A ．22a b >B ．11a b< C ．33a b > D ．a-b<0 4、已知△ABC 中，a =2，b =3，B=60°，那么角A ＝（ ）。

A ．30°B ．45°C ．90°D ．135°5、已知{a n }为等差数列，a 3 + a 8 = 22，a 6 = 7，则a 5 ＝（ ）。

A ．15 B ．16 C ．17 D ．186、在△ABC 中，有sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC 为（ ）。

A ．直角三角形 B ．等腰直角三角形．等边三角形D ．等腰三角形7、已知x ＞0，当16x x+取最小值时x 的值为（ ）。

A.2 B.3 C.4 D.168、已知数列{a n }的前n 项为12,3 ,112,8,212...的通项公式为（ ）。

A. a n ＝542n - B. a n ＝322n - C. a n ＝652n - D. a n ＝1092n -9、已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋n ，则{a n }的通项公式为（ ）。

A. a n ＝2nB. a n ＝n ＋1C. a n ＝3n －1D. a n ＝3n10、已知x 、y 满足约束条件226x y x y ≥≥+≤，则2 x ＋4y 的最大值为（ ）。

A.12B.16C.20D.30 11、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对应边分别为a 、b 、c ，若222a cb +-=，则角B 的值为 （ ）。

湖南省2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x|−2<x <2}，B ={x|(x −1)(3−x)>0}，则A ∩(∁R B)=( )A. (−2,3)B. (−2,1)C. (−2,1]D. (1,2)2. 函数f(x)=√x −3+log 3x 的定义域是( )A. (0,3)B. [0,+∞)C. [3,+∞)D. (−∞,3] 3. 已知a =√3，b =12516，c =log 47，则下列关系正确的是( )A. b <a <cB. a <b <cC. b <c <aD. c <a <b4. 函数f(x)=x +3x 的零点所在的区间为( )A. (−2,−1)B. (−1,0)C. (0,1)D. (1,2)5. 设m ，n ，l 为空间不重合的直线，α，β，γ是空间不重合的平面，则下列说法准确的个数是( )①m//l ，n//l ，则m//n ；②m ⊥l ，n ⊥l ，则m//n ；③若m//l ，m//α，则l//α； ④若l//m ，l ⊂α，m ⊂β，则α//β；⑤若m ⊂α，m//β，l ⊂β，l//α，则α//β⑥α//γ，β//γ，则α//β．A. 0B. 1C. 2D. 36. 直线x +y =1被圆x 2+y 2=4截得的弦长为( )．A. √14B. 2√14C. 2√7D. √77. 已知圆锥的高为5，底面圆的半径为√5，它的顶点和底面的圆周都在同一个球的球面上，则该球的表面积为( )A. 4πB. 36πC. 48πD. 24π8. 已知函数f(x)={x −1,x ≤1lnx,x >1，则满足f(1−t)<f(1+t)的t 的取值范围是( ) A. (−∞,0) B. (−1,0) C. (0,+∞) D. (0,1)9. 已知A(1,0)，B(−1,0)，点P 为圆x 2+y 2=1上的动点，则|PA|+|PB|的最大值是( )A. 2B. 2√2C. 4D. 4√210. 方程log 2x =7−x 的实根x 0∈(n,n +1)，则整数n =( )．A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11. 若直线l 1:2x +(m +1)y +4=0与直线l 2:mx +3y −2=0平行，则m 的值为____.12. 已知点A(−2,3)，B(6,−1)，则以线段AB 为直径的圆的标准方程是______．13.若幂函数f(x)=(m2−4m+4)·x m2−6m+8在(0,+∞)上为增函数，则m的值为________．14.已知两圆C1：x2+y2=10，C2：x2+y2−2x+2y−14=0，则经过两圆交点的公共弦所在的直线方程为________．15.已知PA垂直于△ABC所在的平面，AB=AC=5，BC=6，PA=8，则P到BC的距离为______三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）16.设A、B为x轴上两点，点P的横坐标为2，直线PA的方程：x−y+1=0．(1)若|PA|=|PB|，求直线PB的方程．(2)若直线l:(m2−2)x+my+1=0与直线PA垂直，求m的值．17.化简求值：(1)(279)12−(2√3−π)0+0.25−32;(2)2lg5+23lg8+lg5⋅lg20+(lg2)2．18.已知点P(2,0)及圆C：x2+y2−6x+4y=0，若过点P的直线l与圆C交于M，N两点，且|MN|=4√2，求直线l的方程．19.如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD是矩形，侧面PAD是等腰直角三角形，∠APD=90°，平面PAD⊥平面ABCD．(1)求证：PA⊥PC．(2)若AD=4，AB=8，求三棱锥P−ABD的体积．(3)在(2)的条件下，求四棱锥P−ABCD的外接球的表面积．20.定义在[−4,4]上的奇函数f(x)，已知当x∈[−4,0]时，f(x)=14x +a3x(a∈R)．(1)求f(x)在[0,4]上的解析式．(2)若x∈[−2,−1]时，不等式f(x)≤m2x −13x−1恒成立，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：可求出集合B ，然后进行补集、交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，以及交集和补集的运算．B ={x|1<x <3}；∴∁R B ={x|x ≤1，或x ≥3}；∴A ∩(∁R B)=(−2,1]．故选：C ．2.答案：C解析：解：由{x −3≥0x >0，解得x ≥3． ∴函数f(x)=√x −3+log 3x 的定义域是[3,+∞)．故选：C ．由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0联立不等式组得答案．本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．3.答案：D解析：本题考查对数值的大小比较，考查有理指数幂的运算性质及对数的运算法则，是基础题．利用有理指数幂的运算性质及对数的运算法则分别比较b ，c 与√3的大小得答案．解：∵b =12516=√5>√3，c =log 47=12log 27<32<√3，∴c <a <b ，故选：D ．4.答案：B解析：解：由函数的解析式可得f(−1)=−1+13=−23<0，f(0)=0+1=1>0，∴f(−1)f(0)<0，根据函数零点的判定定理可得函数f(x)=x+3x的零点所在的区间为(−1,0)，故选：B．由函数的解析式可得f(−1)f(0)<0，根据函数零点的判定定理可得函数f(x)=x+3x的零点所在的区间．本题主要考查求函数的值，函数零点的判定定理，属于基础题．5.答案：C解析：解：①若m//l，n//l，则m//n，根据公理4：平行于同一直线的两只线平行，所以①正确；②由m⊥l，n⊥l，在同一个平面可得m//n，在空间不成立，故错误；③若m//l，m//α则l//α或l⊂α，故错误；④若α∩β=a且m//a//l，此时α//β不成立．故错误；⑤若α∩β=a且m//a//l，此时α//β不成立．故错误；⑥α//γ，β//γ，利用平面与平面平行的性质与判定，可得α//β，正确．故选：C．要判断线线、线面、面面的位置关系，要根据线面平行(垂直)、面面平行(垂直)的判定和性质，八个定理来判断．此题考查学生对空间中点、线、面的位置关系的理解与掌握．重点考查学生的空间想象能力．6.答案：A解析：本题考查圆的弦长计算，求出圆心到直线的距离，运用勾股定理即可求解．解：d=√2=√22，则弦长为2(√22)=√14，故选A．7.答案：B解析：本题考查的知识点是球的体积和表面积，根据已知，求出球的半径，是解答的关键．设球的半径为R ，根据圆锥的几何特征，可得R 2=(R −ℎ)2+r 2，解出半径，可得答案．解：设球的半径为R ，∵圆锥的高ℎ=5，底面圆的半径r =√5，∴R 2=(R −ℎ)2+r 2，即R 2=(R −5)2+5，解得：R =3，故该球的表面积S =4πR 2=36π．故选B ．8.答案：C解析：本题考查分段函数的单调性和运用：解不等式，考查转化思想和运算能力，属于基础题．由分段函数f(x)，结合对数函数和一次函数的单调性，可判断f(x)在R 上递增，即可得到1−t <1+t ，求得t 的范围．解：函数f(x)={x −1,x ≤1lnx,x >1， 可得x >1时，f(x)=lnx 递增；x ≤1时，f(x)=x −1递增，且x =1处f(1)=0，可得f(x)在R 上为增函数，由f(1−t)<f(1+t)，即1−t <1+t ，解得t >0，即t 的范围是(0,+∞)．故选：C ．9.答案：B解析：本题考查点和圆位置关系的应用，考查三角函数的性质，是中档题．分两种情况讨论：①当点P 与点A 或点B 重合时，易得|PA|+|PB|=2；②当点P 与点A 和点B 都不重合时，设∠PAB =θ，得到|PA|+|PB|=2cosθ+2sinθ，结合两角和的正弦函数公式，辅助角公式和三角函数的性质可得|PA|+|PB|的最大值．解：∵点P为圆x2+y2=1上的一个动点，且点A(1,0)，B(−1,0)为此圆上两个定点，①当点P与点A或点B重合时，易得|PA|+|PB|=2；②当点P与点A和点B都不重合时，设∠PAB=θ，，则，所以当，即时，(|PA|+|PB|)max=2√2．综上|PA|+|PB|的最大值是2√2，故选B．10.答案：C解析：【分析】本题主要考查了函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题．设函数f(x)=log2x+x−7，则f(x)是(0,+∞)上的增函数，x0是f(x)的零点，由f(4)f(5)<0，可得x0∈(4,5)，从而可求出n的值．解：由于x0是方程log2x=7−x的根，设f(x)=log2x+x−7，显然f(x)是(0,+∞)上的增函数，x0是连续f(x)的零点．∵f(4)=log24+4−7=−1<0，f(5)=log25+5−7=log25−2>0，故x0∈(4,5)，则n=4.故选C．11.答案：2或−3解析：本题考查了两直线平行，属于基础题．根据两直线平行，斜率相等即可求出m的值．解：∵直线l1:2x+(m+1)y+4=0与直线l2:mx+3y−2=0平行，∴m+1≠0，两条直线的方程可以化为：l1：y=−2m+1x+−4m+1，l2：y=−m3x+23，∴2m+1=m3，且−4m+1≠23，解得m=2或m=−3．故答案为2或−3．12.答案：(x−2)2+(y−1)2=20解析：本题考查了求圆的标准方程应用问题，是基础题．求出线段的中点和线段的长，得出圆心与半径，写出圆的标准方程．解：点A(−2,3)，B(6,−1)，则线段AB的中点为(2,1)，|AB|=√(6+2)2+(−1−3)2=4√5，∴r=2√5，∴以线段AB为直径的圆的标准方程是(x−2)2+(y−1)2=20．故答案为(x−2)2+(y−1)2=20．13.答案：1解析：本题考查了幂函数的定义与性质，由函数f(x)为幂函数可知m2−4m+4=1，解出m的值，再根据函数在(0,+∞)上为增函数判断出满足条件的m值．解：函数f(x)为幂函数，所以m2−4m+4=1，解得m=1或m=3，又因为f(x)=(m2−4m+4)·x m2−6m+8在(0,+∞)上为增函数，所以m2−6m+8>0，解得m>4或m<2，综上可知m=1，故答案为1．14.答案：x−y+2=0解析：联立两圆的方程，消去x与y的平方项，即可得到经过两圆交点的公共弦所在直线的方程．解：将两圆C1：x2+y2=10，C2：x2+y2−2x+2y−14=0方程相减，得x−y+2=0，就是两圆的公共弦所在的直线方程．故答案为x−y+2=0．15.答案：4√5解析：本题考查点到直线的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．取BC中点O，连结AO，PO，推导出PO⊥BC，由此能求出P到BC的距离．解：取BC中点O，连结AO，PO，∵PA垂直于△ABC所在的平面，BC在平面ABC内，∴PA⊥BC，∵AB=AC=5，BC=6，PA=8，∴AO⊥BC，又AO、PA为平面PAO内两条相交直线，∴BC⊥平面PAO，又PO在平面PAO内，∴PO⊥BC，AO=√AB2−BO2=√25−9=4，∴P到BC的距离为PO=√PA2+AO2=√64+16=4√5．故答案为：4√5．16.答案：解：(1)根据|PA|=|PB|得到点P一定在线段AB的垂直平分线上，根据y=x+1求出点A的坐标为(−1,0)，由P的横坐标是2代入y=x+1求得纵坐标为3，则P(2,3)，过P做x轴的垂线交x轴于Q，则Q(2,0)，又因为Q为A与B的中点，所以得到B(5,0)，(x−5)化简后为x+y−5=0；所以直线PB的方程为：y−0=3−02−5(2)由题意得，(m2−2)×1−m=0，解得m=2或m=−1．解析：此题是一道基础题，要求学生会根据题中的条件利用数形结合的数学思想解决实际问题．考查学生会根据两点坐标写出直线的一般式方程．(1)把P 点的横坐标代入x −y +1=0求出纵坐标得到P 的坐标，然后根据|PA|=|PB|得到P 在线段AB 的垂直平分线上，则过P 作PQ ⊥x 轴即为AB 的中垂线，根据中点坐标公式求出点B 的坐标，然后根据P 和B 的坐标写出直线方程即可．(2)由题意得，直接运用两直线的关系化简即可求解．17.答案：解：(1)(279)12−(2√3−π)0+0.25−32 =53−1+8 =263；(2)2lg5+23lg8+lg5⋅lg20+(lg2)2 =2lg5+lg4+(1−lg2)(1+lg2)+(lg2)2=2+1−(lg2)2+(lg2)2=3．解析：(1)利用指数与指数幂的运算性质计算即可；(2)利用对数的运算性质计算即可．18.答案：解：由圆C：x2+y2−6x+4y=0，即(x−3)2+(y+2)2=13，故圆心C(3,−2)，半径r=√13，因为|MN|=4√2，设圆心到直线的距离为d，由|MN|=4√2=2√r2−d2，得d=√5．①当l的斜率k存在时，设直线方程为y−0=k(x−2)．又圆C的圆心为(3,−2)，半径r=√13，由|3k+2−2k|√1+k2=√5，解得k=12．所以直线方程为y=12(x−2)，即x−2y−2=0．②当l的斜率不存在时，l的方程为x=2，经验证x=2不满足条件．综上所述，直线l的方程为：x−2y−2=0解析：求出圆的标准方程，利用直线和圆相交的弦长公式求出圆心到直线的距离即可求出直线方程．本题主要考查直线方程的求解，根据直线和圆相交的弦长公式是解决本题的关键．19.答案：证明：(1)∵平面PAD平面ABCD，底面ABCD是矩形，∴CD⊥平面PAD．∵PA⊂平面PAD，∴CD⊥PA．∵∠APD=90°，∴PA⊥PD．∵PD∩CD=D，∴PA⊥平面PCD．∵PC⊂平面PCD，∴PA⊥PC；(2)过点P作PF⊥AD于F，∵侧面PAD是等腰直角三角形，平面PAD⊥平面ABCD．平面PAD∩平面ABCD=AD，∴DF ⊥面ABD ，PF =2．∴三棱锥P −ABD 的体积：V P−ABD =13×12×4×8×1=323；(3)根据题意，O 为球心，球的半径OD =12√42+82=2√5，∴四棱锥P −ABCD 的外接球的表面积为S =4π⋅OD 2=80π．解析：(1)推导出CD ⊥平面PAD ，CD ⊥PA.由∠APD =90°，得PA ⊥PD.从而PA ⊥平面PCD.由此能证明PA ⊥PC ；(2)过点P 作PF ⊥AD 于F ，则DF ⊥面ABD ，PF =2.由此能求出三棱锥P −ABD 的体积；(3)O 为球心，球的半径OD =12√42+82=2√5，由此能求出四棱锥P −ABCD 的外接球的表面积． 本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查四棱锥的外接球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题． 20.答案：解：(1)f(x)是定义在[−4,4]上的奇函数，∴f(0)=1+a =0，∴a =−1，∵f(x)=14x −13x ，设x ∈[0,4]，∴−x ∈[−4,0]，∴f(x)=−f(−x)=−[14−x −13−x ]=3x −4x ，∴x ∈[0,4]时，f(x)=3x −4x ,(2)∵x ∈[−2,−1]，f(x)≤m 2x −13x−1，即14−13≤m 2−13，即14x +23x ≤m 2x ，x ∈[−2,−1]时恒成立，∵2x >0，∴(12)x +2⋅(23)x ≤m ，∵g(x)=(12)x +2⋅(23)x 在R 上单调递减，∴x ∈[−2,−1]时，g(x)=(12)x +2⋅(23)x 的最大值为：g(−2)=(12)−2+2⋅(23)−2=172， ∴m ≥172．解析：本题考查函数的奇偶性及其应用，不等式恒成立的问题，考查学生解决问题的能力，属于中档题．(1)根据奇函数的性质即可求出a ，设x ∈[0,4]，−x ∈[−4,0]，易求f(−x)，根据奇函数性质可得f(x)与f(−x)的关系；(2)分离参数，构造函数，求出函数的最值问题得以解决．。

2019-2020学年高一第一学期期末数学试卷一、选择题1．已知集合U＝{1，3，4，5，7，9}，A＝{1，4，5}，则∁U A＝（）A．{3，9} B．{7，9} C．{5，7，9} D．{3，7，9}2．函数的定义域为（）A．（1，3）B．[1，3）C．（3，+∞）D．[1，+∞）3．若函数f（x）＝x2+mx﹣4m在区间[﹣1，4]上单调，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣8]∪[2，+∞）B．[2，+∞）C．（﹣∞，﹣8] D．（﹣∞，﹣2]∪[8，+∞）4．函数的值域为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，1）C．（1，+∞）D．（0，1）5．已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，对于任意实数x，y∈（0，+∞）都满足f（xy）＝f（x）+f（y），若f（3）＝1且f（m）＜f（1﹣m）+2，则实数m的取值范围为（）A．（0，1）B．（0，2）C．D．6．设a＝log，b＝（），c＝（），则a，b．c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．c＜a＜b7．幂函数的图象经过点，若0＜a＜b＜1，则下列各式正确的是（）A．B．C．D．8．对于一个声强为I为（单位：W/m2）的声波，其声强级L（单位：dB）可由如下公式计算：L＝10lg（其中I0是能引起听觉的最弱声强），设声强为I1时的声强级为70dB，声强为I2时的声强级为60dB，则I1是I2的（）倍A．10 B．100 C．1010D．100009．已知函数，下列结论中正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为2πB．函数f（x）的图象关于直线对称C．函数f（x）的图象关于点（）对称D．函数f（x）在内是增函数10．为了得到函数y＝3sin2x+1的图象，只需将y＝3sin x的图象上的所有点（）A．横坐标伸长2倍，再向上平移1个单位长度B．横坐标缩短倍，再向上平移1个单位长度C．横坐标伸长2倍，再向下平移1个单位长度D．横坐标缩短倍，再向下平移1个单位长度11．扇形周长为6cm，面积为2cm2，则其圆心角的弧度数是（）A．1或5 B．1或2 C．2或4 D．1或412．若A、B是锐角△ABC的两个内角，则点P（cos B﹣sin A，sin B﹣cos A）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限13．已知函数，若对于任意的x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x1﹣x2|的最小值为（）A．4 B．1 C．D．214．已知平面向量＝（1，﹣3），＝（4，﹣2），若λ﹣与垂直，则实数λ＝（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．215．如图，圆O是边长为2的正方形ABCD的内切圆，若P，Q是圆O上两个动点，则的最小值为（）A．﹣6 B．C．D．﹣4二、填空题（本题共5小题）16．计算：＝．17．若f（x）对于任意实数x都有，则＝．18．已知，则＝．19．已知，则sinα＝．20．若存在正整数ω和实数φ使得函数f（x）＝sin2（ωx+φ）的部分图象如图所示，则ω的值为．三、解答题21．若函数是奇函数，（a，b，c∈N）且f（1）＝2，f（2）＜3．（1）求实数a，b，c的值；（2）判断函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上的增减性，并证明．22．设向量＝（cosα，λsinα），＝（cosβ，sinβ），其中λ＞0，0＜α＜β＜，且+与﹣相互垂直．（1）求实数λ的值；（2）若•＝，且tanβ＝2，求tanα的值．23．已知△ABC为等边三角形，AB＝2，点N、M满足＝λ，＝（1﹣λ），λ∈R，设＝，＝．（1）试用向量和表示，；（2）若•＝，求λ的值．24．将函数的图象向左平移个单位长度后得到f（x）的图象．（1）若f（x）为偶函数，求f（φ）的值；（2）若f（x）在上是单调函数，求φ的取值范围．25．已知函数f（x）＝|x﹣a|﹣1，（a为常数）．（1）若f（x）在x∈[0，2]上的最大值为3，求实数a的值；（2）已知g（x）＝x•f（x）+a﹣m，若存在实数a∈（﹣1，2]，使得函数g（x）有三个零点，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题1．已知集合U＝{1，3，4，5，7，9}，A＝{1，4，5}，则∁U A＝（）A．{3，9} B．{7，9} C．{5，7，9} D．{3，7，9} 【分析】利用补集的运算，求出即可．解：集合U＝{1，3，4，5，7，9}，A＝{1，4，5}，所以∁U A＝{3，7，9}，故选：D．2．函数的定义域为（）A．（1，3）B．[1，3）C．（3，+∞）D．[1，+∞）【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．解：由题意可知，，解可得，1≤x＜3，即函数的定义域为[1，3）．故选：B．3．若函数f（x）＝x2+mx﹣4m在区间[﹣1，4]上单调，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣8]∪[2，+∞）B．[2，+∞）C．（﹣∞，﹣8] D．（﹣∞，﹣2]∪[8，+∞）【分析】先求出对称轴，然后根据题意可知，或，可求．解：f（x）＝x2+mx﹣4m的对称轴x＝﹣，∵f（x）＝x2+mx﹣4m在区间[﹣1，4]上单调，∴，或，∴m≥2或m≤﹣8，故选：A．4．函数的值域为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，1）C．（1，+∞）D．（0，1）【分析】由＝，结合指数函数的性质即可求解函数的值域．解：∵＞0，∴，∴＝∈（0，1），故选：D．5．已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，对于任意实数x，y∈（0，+∞）都满足f（xy）＝f（x）+f（y），若f（3）＝1且f（m）＜f（1﹣m）+2，则实数m的取值范围为（）A．（0，1）B．（0，2）C．D．【分析】先令x＝y＝3求出f（9）＝2，再利用把原不等式化为f（m）＜f（9﹣9m），再利用函数f（x）的单调性列出不等式组，即可求出m的取值范围．解：∵对于任意实数x，y∈（0，+∞）都满足f（xy）＝f（x）+f（y），且f（3）＝1，∴令x＝y＝3得：f（9）＝f（3）+f（3）＝2，∴原不等式f（m）＜f（1﹣m）+2可化为f（m）＜f（1﹣m）+f（9），∴f（m）＜f（9﹣9m），又∵函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，∴，解得：0，故选：D．6．设a＝log，b＝（），c＝（），则a，b．c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．c＜a＜b【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．解：∵a＝log＝log34＞1，0＜b＜1，0＜c＜1，∴a最大，又∵b＝（）＝（），c＝（）＝（），且幂函数y＝x在（0，+∞）上单调递增，∴c＜b，∴c＜b＜a故选：B．7．幂函数的图象经过点，若0＜a＜b＜1，则下列各式正确的是（）A．B．C．D．【分析】利用待定系数法求出幂函数解析式，再利用幂函数单调性即可比较出函数值的大小关系．解：设幂函数解析式为：y＝xα（α为常数），∵幂函数的图象经过点，∴＝2，解得α＝﹣1，∴幂函数解析式为：y＝x﹣1＝，∴幂函数y＝在（0，+∞）上单调递减，∵0＜a＜b＜1，∴0＜a＜b＜1＜＜，又∵幂函数y＝在（0，+∞）上单调递减，∴f（a）＞f（b）＞f（）＞f（），故选：B．8．对于一个声强为I为（单位：W/m2）的声波，其声强级L（单位：dB）可由如下公式计算：L＝10lg（其中I0是能引起听觉的最弱声强），设声强为I1时的声强级为70dB，声强为I2时的声强级为60dB，则I1是I2的（）倍A．10 B．100 C．1010D．10000【分析】根据声强级与声强之间的关系式，将两个声强级作差，结合对数的运算律可得出的值，得出答案．解：由题意可得：，即，两式相减得，∴，∴I1是I2的10倍，故选：A．9．已知函数，下列结论中正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为2πB．函数f（x）的图象关于直线对称C．函数f（x）的图象关于点（）对称D．函数f（x）在内是增函数【分析】利用正弦函数的性质判断即可．解：A错，最小正周期为π，当时，f（x）≠1，B错，f（﹣）＝3sin（）≠0，C错，当x∈时，2x﹣∈（﹣，），f（x）单调递增，D成立，故选：D．10．为了得到函数y＝3sin2x+1的图象，只需将y＝3sin x的图象上的所有点（）A．横坐标伸长2倍，再向上平移1个单位长度B．横坐标缩短倍，再向上平移1个单位长度C．横坐标伸长2倍，再向下平移1个单位长度D．横坐标缩短倍，再向下平移1个单位长度【分析】直接利用三角函数的图象的伸缩变换和平移变换的应用求出结果．解：将y＝3sin x的图象上的所有点的横标缩短原来的倍，得到y＝3sin2x的图象，再将函数的图象向上平移1个单位，即可得到函数y＝3sin2x+1的图象．故选：B．11．扇形周长为6cm，面积为2cm2，则其圆心角的弧度数是（）A．1或5 B．1或2 C．2或4 D．1或4【分析】设扇形的半径为r，弧长为l，由题意可得r和l的方程组，解方程组代入α＝计算可得．解：设扇形的半径为r，弧长为l，则由题意可得，解得，或，当，时，其中心角的弧度数α＝＝4；当时，其中心角的弧度数α＝＝1故选：D．12．若A、B是锐角△ABC的两个内角，则点P（cos B﹣sin A，sin B﹣cos A）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据若A、B是锐角△ABC的两个内角，分析出A+B＞，进而A＞﹣B，B ＞﹣A，运用诱导公式，sin A＞cos B，sin B＞cos A得出答案．解：∵△ABC为锐角三角形，∴A+B＞．∴A＞﹣B，B＞﹣A．∴sin A＞cos B，sin B＞cos A∴cos B﹣sin A＜0，sin B﹣cos A＞0∴P在第二象限．故选：B．13．已知函数，若对于任意的x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x1﹣x2|的最小值为（）A．4 B．1 C．D．2【分析】直接利用正弦型函数的性质求出函数的周期和函数的最值，进一步求出结果．解：函数，所以函数的周期T＝．对于任意的x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，﹣3≤f（x）≤3．则|x1﹣x2|的最小值为．故选：D．14．已知平面向量＝（1，﹣3），＝（4，﹣2），若λ﹣与垂直，则实数λ＝（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【分析】利用向量的运算法则和向量垂直与数量积的关系即可得出．解：∵＝λ（1，﹣3）﹣（4，﹣2）＝（λ﹣4，﹣3λ+2），与垂直，∴＝λ﹣4﹣3（﹣3λ+2）＝0，解得λ＝1．故选：B．15．如图，圆O是边长为2的正方形ABCD的内切圆，若P，Q是圆O上两个动点，则的最小值为（）A．﹣6 B．C．D．﹣4【分析】建立坐标系求出各点坐标；表示出所求问题结合三角函数的性质即可求解【解答】解以O为坐标原点建立如图坐标系，则P，Q在以O为圆心的单位圆上，设P（cosα，sinα），Q（cosβ，sinβ），又A（﹣1，﹣1），C（1，1），∴，，∴＝cosαcosβ+cosβ﹣cosα﹣1+sinαsinβ+sinβ﹣sinα﹣1＝（cosαcosβ+sinαsinβ）+（sinβ+cosβ）﹣（sinα+cosα）﹣2＝，当cos（α﹣β）＝﹣1，且，且时，则有最小值，此时α﹣β＝（2k+1）π，且，且，∴能取到最小值，故选：B．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.）16．计算：＝ 4 ．【分析】利用指数对数运算性质即可得出．解：原式＝﹣﹣•＝﹣﹣2＝4．故答案为：4．17．若f（x）对于任意实数x都有，则＝ 3 ．【分析】根据题意，用特殊值法分析：令x＝2可得：2f（2）﹣f（）＝2×2+1＝5，令x＝可得：2f（）﹣f（2）＝2×+1＝2，联立两个式子分析可得答案．解：根据题意，f（x）对于任意实数x都有，令x＝2可得：2f（2）﹣f（）＝2×2+1＝5，①令x＝可得：2f（）﹣f（2）＝2×+1＝2，②，联立①②解可得：f（）＝3；故答案为：318．已知，则＝．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求tanα的值，利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可求值得解．解：∵，∴＝5，解得tanα＝3，∴＝＝＝＝．故答案为：．19．已知，则sinα＝．【分析】由已知利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求即可求值得解．解：∵，∴sinα＝cos（﹣α）＝cos2（﹣）＝1﹣2sin2（﹣）＝1﹣2×（）2＝．故答案为：．20．若存在正整数ω和实数φ使得函数f（x）＝sin2（ωx+φ）的部分图象如图所示，则ω的值为 2 ．【分析】化简函数的表达式为一个角的三角函数的形式，通过周期的范围，确定ω的范围，利用图象经过点（1，0），以及f（0）＞，缩小ω的范围，根据ω为整数，即可求出ω的值．解：由f（x）＝sin2（ωx+φ）＝及图象知：函数的半周期在（，1）之间，即＜•＜1，∴＜ω＜π，∴ω＝2 或ω＝3．由图象经过点（1，0），所以f（1）＝＝0，知2ω+2φ＝2kπ（k∈Z），∴2ω＝﹣2φ+2kπ，由图象知f（0）＝＞，得cos2ω＜0，又当ω为正整数2时，可得：cos2ω＝cos4＜0，cos6＞0，所以可得：ω＝2．三、解答题[本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）21．若函数是奇函数，（a，b，c∈N）且f（1）＝2，f（2）＜3．（1）求实数a，b，c的值；（2）判断函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上的增减性，并证明．【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得f（﹣1）＝﹣2，进而可得，解可得a、b、c的值，即可得答案；（2）根据题意，由作差法分析可得答案．解：（1）根据题意，函数是奇函数，（a，b，c∈N）且f（1）＝2，则f（﹣1）＝﹣2，又由f（2）＜3，则有且a、b、c∈N，解可得a＝1，b＝1，c＝0；（2）由（1）可得：f（x）＝＝x+，函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上为增函数，设x1＜x2≤﹣1，f（x1）﹣f（x2）＝（x1+）﹣（x2+）＝，又由x1＜x2≤﹣1，则（x1﹣x2）＜0且（x1x2﹣1）＞0，则有f（x1）﹣f（x2）＜0，故函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上为增函数．22．设向量＝（cosα，λsinα），＝（cosβ，sinβ），其中λ＞0，0＜α＜β＜，且+与﹣相互垂直．（1）求实数λ的值；（2）若•＝，且tanβ＝2，求tanα的值．【分析】（1）利用向量垂直，数量积为0以及平方关系式可得；（2）根据三角变换公式可得．解：（1）由+与﹣互相垂直，可得（+）•（﹣）＝2﹣2＝0，所以cos2α+λ2sin2α﹣1＝0，又因为sin2α+cos2α＝1，所以（λ2﹣1）sin2α＝0，因为0＜α＜，所以sin2α≠0，所以λ2﹣1＝0，又因为λ＞0，所以λ＝1．（2）由（1）知＝（cosα，sinα），由•＝，得cosαcosβ+sinαsinβ＝，即cos（α﹣β）＝，因为0＜α＜β＜，所以﹣＜α﹣β＜0，所以sin（α﹣β）＝﹣＝﹣，所以tan（α﹣β）＝＝﹣，因此tanα＝tan（α﹣β+β）＝＝．23．已知△ABC为等边三角形，AB＝2，点N、M满足＝λ，＝（1﹣λ），λ∈R，设＝，＝．（1）试用向量和表示，；（2）若•＝，求λ的值．【分析】（1）运用向量的加减和数乘运算可得所求；（2）由向量数量积的定义和性质，化简解方程可得所求值．解：（1）＝﹣＝（1﹣λ）﹣＝（1﹣λ）﹣；＝﹣＝λ﹣＝λ﹣；（2）•＝，即[＝（1﹣λ）﹣]•（λ﹣）＝[λ（1﹣λ）+1]•﹣λ2﹣（1﹣λ）2＝（λ﹣λ2+1）•2•2•﹣4λ﹣4（1﹣λ）＝﹣，化为4λ2+1﹣4λ＝0，解得λ＝．24．将函数的图象向左平移个单位长度后得到f（x）的图象．（1）若f（x）为偶函数，求f（φ）的值；（2）若f（x）在上是单调函数，求φ的取值范围．【分析】（1）由题意利用两角和差的三角公式化简函数g（x）得解析式，再利用函数y ＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的奇偶性，求得φ的值，可得f（φ）的值．（2）先求出2φ+的范围，再根据正弦函数的单调性，求得φ的取值范围．解：（1）∵，∴函数g（x）＝2sin（2x+）﹣1的图象向左平移个单位长度后得到的图象，又f（x）为偶函数，则（k∈Z），∵，∴，∴f（x）＝2sin（2x+）﹣1＝2cos2x﹣1，f（φ）＝f （）＝2cos﹣1＝0．（2）∵，∴，∵，∴，，∵f（x）在上是单调函数．∴，且，∴．25．已知函数f（x）＝|x﹣a|﹣1，（a为常数）．（1）若f（x）在x∈[0，2]上的最大值为3，求实数a的值；（2）已知g（x）＝x•f（x）+a﹣m，若存在实数a∈（﹣1，2]，使得函数g（x）有三个零点，求实数m的取值范围．【分析】本题（1）将f（x）写成分段函数形式，分类讨论a的范围．（2）将零点个数转化为交点个数求解．解：（1）f（x）＝，当a≥1时，f（x）max＝f（0）＝3，∴a＝4；当a＜1时，f（x）max＝f（2）＝3，∴a＝﹣2；综上：a＝4或﹣2．（2）g（x）＝x|x﹣a|﹣x+a﹣m＝0有三个零点，等价于h（x）＝x|x﹣a|﹣x+a和y＝m有三个不同的交点，h（x）＝，当1≤a≤2时，h（x）在（﹣∞，）上递增，在（，）递减，在（，+∞）递增；∴0＜m＜h（），即0＜m＜∈（1，]，∴0＜m＜．当﹣1＜a＜1时，h（x）在（，）上递减，在（﹣∞，）（，+∞）上递增；∴h（（）＜m＜h（）即﹣＜m＜，∴﹣1＜m＜．。

一、单选题1．已知集合，，则（ ）{}24M x x =≤{}24xN x =<M N ⋂=A ． B ． {}2x x ≤-{}22x x -≤<C ． D ．{}22x x -≤≤{}02x x <<【答案】B【分析】化简集合即得解.M N 、【详解】由题得， {}22,{|2}M x x N x x =-≤≤=<所以. M N ⋂={}22x x -≤<故选：B2．”是“”的（ ） b >2a b >A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】根据不等式性质，结合特殊值，从充分性和必要性进行分析，即可判断和选择.【详解】取，但不满足，故充分性不满足； 4,3a b ==-b >2a b >当，故满足必要性； 20a b >≥b >综上所述，”是“”的必要不充分条件. b >2a b >故选：B.3．函数的定义域为，则的定义域为（ ） ()21y f x =-[]0,1()y f x =A ． B ．C ．D ．[]1,1-1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]0,1[]1,0-【答案】A【分析】由的取值范围求得的范围，即得所求 x 21x -【详解】因为，所以， 01x ≤≤1211-≤-≤x 所以的定义域为 ()y f x =[]1,1-故选：A.4．某同学在研究函数时，分别给出下面四个结论，其中正确的结论是（ ）2()||1x f x x =+A ．函数是奇函数B ．函数的值域是()f x ()f x ()1,+∞C ．函数在R 上是增函数D ．方程有实根()f x ()2f x =【答案】D【分析】由函数的奇偶性，单调性等对选项逐一判断【详解】对于A ，，故是偶函数，，不是奇函数，2()()()||1x f x f x x --==-+()f x (1)(1)1f f -==()f x 故A 错误，对于B ，当时，，由对勾函数性质知，0x ≥21()1211x f x x x x ==++-++()()00f x f ≥=而是偶函数，的值域是，故B 错误，()f x ()f x [0,)+∞对于C ，当时，，由对勾函数性质知在上单调递增，0x >21()1211x f x x x x ==++-++()f x (0,)+∞而是偶函数，故在上单调递减，故C 错误，()f x ()f x (,0)-∞对于D ，当时，，即，解得，故D 正确， 0x >()2f x =2220x x --=1x =+故选：D5．已知函数若，则实数的取值范围是（ ）()33,0,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩()()22f a f a -≥-a A ． B ．C ．D ．[2,1]-1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦(,1]-∞1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】根据分段函数每一段的单调性及端点值判断函数在定义域内的单调性，再利用单调性解抽象不等式即可.【详解】因为，当时单调递减，且，()33,0,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩0x ≤()3x f x -=()1f x ≥当时，单调递减，且，0x >3()f x x =-()0f x <所以函数在定义域上单调递减，因为，()33,0,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩()22()f a f a -≥-所以，解得，即实数的取值范围为：. 22a a -≤-21a -≤≤a [2,1]-故选：A.6．已知函数的值域与函数的值域相同，则实数a 的取值范围是22(1),1()3,1a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩y x =（ ） A ．B ．(,1)-∞(,1]-∞-C ．D ．[1,1)-(,1][2,)-∞-+∞ 【答案】B【分析】根据的值域为列不等式，由此求得的取值范围.()f x R a 【详解】依题意，，22(1),1()3,1a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩当时，，1x ≥2()33=≥f x x 函数的值域与函数的值域相同，即为，()f x y x =R 需满足，解得.∴()211310a a a ⎧-⨯+≥⎨->⎩1a ≤-所以实数a 的取值范围是. (,1]-∞-故选：B7．已知函数则下述关系式正确的是（ ）()e 31e 111e ,log ,log ,log ,3e 9xf x a f b f c f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ． B ． b a c >>b c a >>C ． D ．c a b >>a b c >>【答案】A【分析】根据，为偶函数，在（0，+∞）上单调递减求解. ||()x f x e -=【详解】解：∵，||()x f x e -=∴f （x ）为偶函数，且f （x ）在（0，+∞）上单调递减，∴.e e 331e 111(log (log 3),(log )(log e),(log )3e 9======a f f b f f c f e (log 9)f ∵， 3e e 0log e 1log 3log 9<<<<∴， b a c >>故选：A.8．已知，函数在上存在最值，则的取值范围是（ ）0ω>()sin f x x ω=π,π3⎛⎫⎪⎝⎭ωA ． B ． C ． D ．13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1339,,2222⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 133,,222⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【分析】根据的最值点为，进而根据不等式得到，由()sin f x x ω=ππ+2,k x k ω=∈Z 1132k ωω<+<的取值范围即可求解.ωk ，【详解】当取最值时，．()sin f x x ω=ππ+,2x k k ω=∈Z 即， ππ+2,k x k ω=∈Z 由题知，故． ππ+π2<<π3ωk 1132k ωω<+<即．33,2Z 1,2k k k ωω⎧<+⎪⎪∈⎨⎪>+⎪⎩因为时，；时，； 0,0k ω>=1322ω<<1k =3922ω<<显然当时，，此时在上必有最值点．32ω>2πππ2=π32232T ωω==<()sin f x x ω=π,π3⎛⎫⎪⎝⎭综上，所求．133,,222ω⎛⎫⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故选:D ．二、多选题9．已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图()π2cos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x π6()g x 象，则（ ）A ．的图象关于轴对称B ．的最小正周期是 ()g x y ()g x πC ．的图象关于点对称D ．在上单调递减()g x π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭()g x π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】BCD【分析】根据余弦函数图象的平移变换可得的解析式，结合余弦函数的奇偶性、周期、对称()g x 性以及单调性一一判断各选项，即可得答案. 【详解】将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，则()f x π6()g x ,()πππ2cos 22cos 2666g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦该函数不是偶函数，最小正周期为，则A 错误，B 正确. 2ππ2=令，，解得，，当时，， ππ262x k π-=+Z k ∈ππ23k x =+Z k ∈1k =-π6x =-即的图象关于点对称，则C 正确.()g x π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭令，，解得，，π2π22ππ6k x k ≤-≤+Z k ∈π7πππ1212k x k +≤≤+Z k ∈当时，即得在上单调递减，则D 正确.0k =()g x π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：BCD.10．下列说法正确的是（ ）A ．若不等式的解集为，则220ax x c ++>{}12x x -<<2a c +=B ．若命题，则的否定为 ():0,,1ln p x x x ∞∀∈+->p ()0,,1ln x x x ∃∈+∞-≤C ．在中，“”是“”的充要条件ABC A sin cos sin cos A A B B +=+A B =D ．若对恒成立，则实数的取值范围为 2320mx x m ++<[]0,1m ∀∈x ()2,1--【答案】ABD【分析】由一元二次不等式的解法可判断A ；由全称量词命题的否定可判断B ；由充要条件的判断可判断C ；变元转化为一次函数恒成立可判断D【详解】对于A ：不等式的解集为，220ax x c ++>{}12x x -<<则和是方程的两个根，故，1-2220ax x c ++=()()021212a a c a ⎧⎪<⎪⎪-+=-⎨⎪⎪-⨯=⎪⎩解得，所以，故A 正确； 2,4a c =-=2a c +=对于B ：命题， ():0,,1ln p x x x ∞∀∈+->则的否定为，故B 正确；p ()0,,1ln x x x ∃∈+∞-≤对于C ：由可得， sin cos sin cos A A B B +=+2sin cos 2sin cos A A B B ⋅=⋅所以， sin2sin2A B =又， 0<222πA B +<所以或， π2A B +=A B =所以“”不是“”的充要条件，故C 错误；sin cos sin cos A A B B +=+A B =对于D ：令，由对恒成立，()()223f m x m x +=+()0f m <[]0,1m ∀∈则，解得， ()()20301320f x f x x ⎧=<⎪⎨=++<⎪⎩2<<1x --所以实数的取值范围为，故D 正确； x ()2,1--故选：ABD11．下列说法正确的是（ ）A ．如果是第一象限的角，则是第四象限的角 αα-B ．如果，是第一象限的角，且，则 αβαβ<sin sin αβ<C ．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为3ππ23πD ．若圆心角为的扇形的弦长为23π83π【答案】AD【分析】由象限角的概念判断A ；举反例判断B ；由扇形弧长、面积公式计算判断C ，D 作答. 【详解】对于A ，是第一象限的角，即，则α22,Z 2k k k ππαπ<<+Î，22,Z 2k k k ππαπ--<<-Î是第四象限的角，A 正确；α-对于B ，令，，是第一象限的角，且，而，B 不正确； 11,66ππαβ=-=αβαβ<sin sin αβ=对于C ，设扇形所在圆半径为r ，则有，解得，扇形面积，C 不正3r ππ=3r =13322S ππ=⨯⨯=确；对于D ，设圆心角为的扇形所在圆半径为，依题意，，扇形弧长23πr '4r '==2833l r ππ'==，D 正确. 故选：AD12．已知函数，，，有，()()23log 1f x x =-()22g x x x a =-+[)12,x ∃∈+∞21,33x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦()()12f x g x ≤则实数a 的可能取值是（ ） A ． B ．1 C ．D ．31252【答案】CD【分析】将问题转化为当，时，，然后分别求出两函数的[)12,x ∈+∞21,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()12min min f x g x ≤最小值，从而可求出a 的取值范围，进而可得答案【详解】，有等价于当，时，[)12,x ∃∈+∞21,33x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦()()12f x g x ≤[)12,x ∈+∞21,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．()()12min min f x g x ≤当时，令，则，因为在上为增函数，在定义[)2,x ∞∈+21t x =-3log y t =21t x =-[2,)+∞3log y t =域内为增函数，所以函数在上单调递增，所以．()()23log 1f x x =-[2,)+∞()()min 21f x f ==的图象开口向上且对称轴为， ()22g x x x a =-+1x =∴当时，，1,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()min 11g x g a ==-∴，解得． 11a ≤-2a ≥故选：CD ．三、填空题13．函数的定义域为___________.3tan 24y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭【答案】 5|,Z 82k x x k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【分析】先得到使函数有意义的关系式，求解即可. 32,Z 42x k k πππ-≠+∈【详解】若使函数有意义，需满足：， 32,Z 42x k k πππ-≠+∈解得； 5,Z 82k x k ππ≠+∈故答案为： 5|,Z 82k x x k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭14．函数的单调递减区间是______.()20.8log 43y x x =-+-【答案】(]1,2【分析】先求得函数的定义域，结合二次函数、对数函数的单调性，利用复合函数单调性的判定方法，即可求解.【详解】由题意，函数，()20.8log 43y x x =-+-令，即，解得，2430x x -+->243(1)(3)0x x x x -+=--<13x <<又由函数的对称为，可得在区间单调递增，在单调递减， 2=+43y x x --2x =(1,2](2,3)又因为函数为定义域上的单调递减函数，0.8log y x =根据复合函数的单调性的判定方法，可得函数的单调递减区间是.()20.8log 43y x x =-+-(1,2]故答案为：.(1,2]15．已知是第四象限角，且___________.αcos α=()()sin cos cos sin 22πααππαα++-=⎛⎫⎛⎫-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】3-【分析】利用同角三角函数关系可得.sin α=【详解】由题设， sin α==. ()()sin cos cos sin 3sin cos cos sin 22πααααππαααα++--===-+⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：3-16．命题“对任意的，总存在唯一的，使得”成立的充要条件是[]1,1m ∈-[]0,3x ∈2210x x am ---=______.【答案】11a -<<【分析】方程变形为，转化为函数与与有且仅有一个交点，依221x x am -=+22y x x =-1y am =+据，，分类讨论，数形结合，求解a 的范围即可 0a =0a >a<0【详解】由得：；2210x x am ---=221x x am -=+当时，，则，解得：∵，，满足题意； 0a =11am +=221x x -=1x =[]10,3[]10,3当时，；若存在唯一的，使得成立，则0a >[]11,1am a a +∈-+[]0,3x ∈221x x am -=+22y x x =-与有且仅有一个交点，在平面直角坐标系中作出在上的图象如下图所1y am =+22y x x =-[]0,3示，由图象可知：当时，与有且仅有一个交点，∴，解013am <+≤22y x x =-1y am =+0131aa<-⎧⎨≥+⎩得：，则；1a <01a <<当时，,结合图象可得：，解得：，则；a<0[]11,1am a a +∈+-0131aa <+⎧⎨≥-⎩1a >-10a -<<综上所述：原命题成立的充要条件为， 11a -<<故答案为：-1<a <1.四、解答题17．设集合，.{}24120A x x x =--={}20B x ax =-=(1)若，求a 的值； {}2,1,6A B =- (2)若，求实数a 组成的集合C . A B B = 【答案】(1) 2a =(2)11,0,3C ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭【分析】（1）求出集合，根据，即可得出，从而即得； A A B ⋃1B ∈（2）由题可知，然后分类讨论，从而得出实数组成的集合． B A ⊆a 【详解】（1）由，解得或，所以， 24120x x --=2x =-6x ={}2,6A =-因为， {}2,1,6A B =- 所以，则， 1B ∈120a ⋅-=所以；2a =（2）因为，则， A B B = B A ⊆当时，； B =∅0a =当时，；{}2B =-1a =-当时，，{}6B =13a =综上可得集合.11,0,3C ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭18．已知函数. ()()222log log 2f x x x =--(1)若 ， 求 的取值范围; ()0f x …x (2)当时， 求函数 的值域. 184x ≤≤()f x【答案】(1)；1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2). 9,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）利用换元法令，列不等式先解出的范围，再解出的范围即可； 2log x t =t x （2）利用（1）中的换元，先得到的范围，再根据的范围求值域即可.t t 【详解】（1）令，，可整理为，则即，解得2log x t =R t ∈()f x 22y t t =--()0f x ≤220t t --≤，所以，解得， 12t -≤≤21log 2x -≤≤142x ≤≤所以.1,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（2）当时，，因为，且当，有最小值；184x ≤≤23t -≤≤22y t t =--12t =94-当或3时，有最大值4； 2t =-所以的值域为.()f x 9,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦19．设函数.()2,4f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；()f x （2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取最值时的值．()f x 3,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦x 【答案】（1），；（2）见解析 T π=3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据正弦函数性质求函数的最小正周期和单调递增区间； ()f x （2）先确定取值范围，再根据正弦函数性质求最值及其对应自变量.24t x π=-【详解】（1）函数的最小正周期为 ， ()f x 22T ππ==由的单调增区间是可得sin y x =2,2,22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，解得222242k x k πππππ-+≤-≤+388k x k ππππ-+≤≤+故函数的单调递增区间是． ()f x 3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）设，则，24t x π=-3,84x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦50,4t π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦由在上的性质知，当时，即，y t =50,4t π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2t π=38x π=max f当时，即， ． 54t π=34x π=min 1f ⎛=- ⎝【点睛】本题考查正弦函数周期、单调区间、最值，考查基本分析求解能力，属中档题. 20．已知定义域为R 的函数是奇函数， ()221x f x a =++（1）求的值．a （2）判断函数在上的单调性并加以证明；()f x R （3）若对于任意不等式恒成立，求的取值范围． ,t R ∈()()22620f t t f t k -+-<k 【答案】（1）；（2）减函数；（3）1a =-(),3-∞-【详解】试题分析：（1）可利用如果奇函数在处有意义，一定满足，代入即可解得；（2）用单调性定义证明，特别注意“变形”这一步中，需通过通分、分解因式等手段，达到能判断差式的符号的目的；（3）含参数的不等式恒成立问题，我们往往可以采用分离参数的办法，将其转化为求函数的最值问题，从而求得参数的取值范围．试题解析：（1）因为是R 上的奇函数，则()f x ()00=f 即所以 20,11a +=+1a =-又成立，所以()()f x f x -=-1a =-（2）证明：设， 12x x <()()()()()21121212222221121212121x x x x x x f x f x --=--+=++++因为，所以，故12x x <1222x x <()()12f x f x >所以是R 上的减函数且为奇函数()f x （3）由于是R 上的减函数且为奇函数()f x 故不等式可化为()()22620f t t f t k -+-<()()2262f t t f k t -<-所以 即恒成立2262t t k t ->-()2236313k t t t <-=--所以 ，即的取值范围为3k <-k (),3∞--21．某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的关系满足如图所示的曲线．当p t 时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数(]0,14t ∈[]14,40t ∈图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数大于80时学习效果()()log 5830,1a y x a a =-+>≠p 最佳．（1）试求的函数关系式；()p f t =（2）教师在什么时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由．【答案】（1）（2）1232t -≤≤【详解】【解】（1）当时， [014]t ∈，设，2()(12)82(0)p f t c t c ==-+<所以当时，. [014]t ∈，21()(12)824p f t t ==--+当时，将(14，81)代入，得 [1440]t ∈，()log 583a y x =-+1.3a =于是（2）解不等式组得1214.t -<解不等式组得131440{log (5)8380t t ≤≤-+>，1432.t ≤<故当时，，1232t -<<()80p t >答：老师在时段内安排核心内容能使得学生学习效果最佳．()1232t ∈-22．若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在，使成立，()y T x =1x 2x ()()121T x T x ⋅=则称该函数为“圆满函数”.已知函数；()sin ,()224x x f x x g x π-==-（1）判断函数是否为“圆满函数”，并说明理由；()y f x =（2）设，证明：有且只有一个零点，且. 2()log ()h x x f x =+()h x 0x 05sin 46x g π⎛⎫< ⎪⎝⎭【答案】（1）不是“圆满函数”，理由见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）取特殊值，代入“圆满函数”的定义，判断是否有实数能满足123x =2x ；（2）当时，利用零点存在性定理讨论存在零点，以及当22sin()sin 1434x ππ⎛⎫⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭(]0,2x ∈时，证明在上没有零点，再化简，转化为证明不等式()2,x ∈+∞()h x ()2,∞+0sin 4x g π⎛⎫ ⎪⎝⎭00156x x -<.【详解】解：（1）若是“圆满函数”.取，存在，使得 ()sin 4f x x π=123x =2x R ∈，即，整理得，但是，矛盾，所以()()121f x f x =2sinsin 164x ππ⋅=2sin 24x π=2sin 14x π≤()y f x =不是“圆满函数”. （2）易知函数的图象在上连续不断. ()2log sin 4h x x x π=+()0+∞，①当时，因为与在上单调递增，所以在上单调递增.(]0,2x ∈2log y x =sin 4y x π=(]0,2()h x (]0,2因为，， 2222221log sin log log 033632h π⎛⎫=+=+=< ⎪⎝⎭()1sin 04h π=>所以.根据函数零点存在定理，存在，使得， ()2103h h ⎛⎫< ⎪⎝⎭02,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00h x =所以在上有且只有一个零点.()h x (]0,20x ②当时，因为单调递增，所以，因为.所以()2,x ∈+∞2log y x =22log log 21y x =>=sin 14y x π=≥-，所以在上没有零点.()110h x >-=()h x ()2,∞+综上：有且只有一个零点. ()h x 0x 因为，即，()0020log sin 04x h x x π=+=020sin log 4x x π=-所以，. ()2020log log 020001sin log 224x x x g g x x x π-⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭02,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭因为在上单调递减，所以，所以. 1y x x =-2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭001325236x x -<-=05sin 46x g π⎛⎫< ⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是根据零点存在性定理先说明零点存在，并且存在，使得，再利用，化简，利用02,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00h x =020sin log 4x x π=-()020sin log 4x g g x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用函数的最值证明不等式.. 02,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭。

湖南省长沙市浏阳市2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合A ={x ∈R|x >1}，B ={x ∈R|−1≤x ≤2}，则A ∪B =( )A. [−1,+∞)B. (1,+∞)C. (1,2]D. [−1,1)2. 用二分法研究函数f(x)=x 5+8x 3−1的零点时，第一次经过计算得f(0)<0，f(0.5)>0，则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为( )A. (0,0.5)，f(0.125)B. (0.5,1)，f(0.875)C. (0.5,1)，f(0.75)D. (0,0.5)，f(0.25)3. 若1a <1b <0,则下列不等式：(1)a +b <a ⋅b ；(2)|a |>|b |；(3)a <b 中，正确的不等式有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 0个4. 已知三点A(4,1，3)、B(2,−5,1)、C(3,λ,−14)满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ的值( ) A. 14 B. −14 C. 7 D. −75. 如图是一个几何体的三视图，尺寸如图所示，(单位：cm)，则这个几何体的体积是( )A. (10π+36)cm 3B. (11π+35)cm 3C. (12π+36)cm 3D. (13π+34)cm 36. 如图，在矩形ABCD 中，AB =2，AD =1，M 为AB 的中点，将△ADM 沿DM 翻折．在翻折过程中，当二面角A—BC—D 的平面角最大时，其正切值为( )A. √33B. 12C. √23D. 147. 已知函数f(x)=5x ，若f(a +b)=3，则f(a)⋅f(b)等于( )A. 3B. 4C. 5D. 258. 若直线x −y −m =0被圆x 2+y 2−8x +12=0所截得的弦长为2√2，则实数m 的值为( )A. 2或6B. 0或8C. 2或0D. 6或89.设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面．考查下列命题，其中正确的命题是()A. m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥βB. α//β，m⊥α，n//β⇒m⊥nC. α⊥β，m⊥α，n//β⇒m⊥nD. α⊥β，α∩β=m，n⊥m⇒n⊥β10.某物体一天中的温度T是时间t的函数：T(t)=t3−3t+60(时间：h；温度：∘C)，t=0表示时间12:00，其后t取值为正，则上午8h的温度是()A. 8∘CB. 112∘CC. 58∘CD. 18∘C11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，则点B到平面AB1C的距离是()A. √32B. √3 C. √33D. 412.设函数f(x)={log2(−x),x<0,2x,x≥0,若关于x的方程f2(x)−af(x)=0恰有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是()A. [0,+∞)B. (0,+∞)C. (1,+∞)D. [1,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知幂函数的图象经过点(2,18)，则函数的解析式f(x)=__________．14.两条平行直线3x+y−4=0与6x+2y−3=0之间的距离为 ___ ．15.正方体ABCD−A1B1C1D1中，异面直线AD与CB1所成的角为______ ．16.设函数，则f(f(−4))=________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.三角形ΔABC的一个顶点为A(2,3)，两条高所在的直线方程是x−2y+3=0和x+y−4=0，求B、C点坐标18.求经过直线x+2y+1=0与直线2x+y−1=0的交点，圆心为C(4,3)的圆的方程．19.若函数f(x)=ax+b1+x2是定义在(−1,1)上的奇函数，且f(2)=25．(Ⅰ)求函数f(x)的解析式；(Ⅱ)求满足f(t−1)+f(t)<0的t的取值范围．20.如图，在三棱锥P−ABC中，PA垂直于平面ABC，AC⊥BC.求证：BC⊥平面PAC．21.已知函数f(x)=x2+(x−1)|x−a|−1．(1)若a=−1，求出函数f(x)在(0,+∞)上的零点；(2)若函数f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围．22.某公司生产一种电子仪器的月固定成本为60000元；而每台仪器的可变成本为100元，最大月产量是400台.又知总收入y1(单位：元)与月产量x(单位：台)的函数关系式为y1=700x−x2.(利润=总收入−总成本)(1)写出总成本y2(单位：元)与x的函数关系式，并标出x的范围；(2)求利润y(单位：元)与x的函数关系式；(3)当x为何值时，公司所获得利润最大?最大利润为多少？-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题考查了并集的运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．直接求出A与B的并集即可．解：∵A={x∈R|x>1}，B={x∈R|−1≤x≤2}，∴A∪B=[−1,+∞)，故选A．2.答案：D解析：本题考查的是二分法研究函数零点的问题；根据零点定理f(a)f(b)<0，说明f(x)在(a,b)上有零点，已知第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈(0,0.5)，根据二分法的定义即可得到第二次应计算的函数值f(0.25)．解：令f(x)=x5+8x3−1，则f(0)<0，f(0.5)>0，∴f(0)⋅f(0.5)<0，∴其中一个零点所在的区间为(0,0.5)，第二次应计算的函数值应该为f(0.25)故选D．3.答案：A解析：本题考查了不等式的基本性质．熟练掌握不等式的性质是解题关键.由1a <1b<0，可得b<a<0.利用不等式的性质即可得出．解：∵1a <1b<0，∴b<a<0．则下列不等式：(1)a+b<0<a⋅b，正确；(2)|a|>|b|不正确；(3)a <b 不正确．故正确的不等式只有1个． 故选A ．4.答案：C解析：解：∵三点A(4,1，3)、B(2,−5,1)、C(3,λ,−14)， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−5,1)−(4,1，3)=(−2，−6，−2)， AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,λ,−14)−(4,1，3)=(−1，λ−1，−17)． ∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−6,−2)⋅(−1,λ−1,−17)=0， ∴2−6(λ−1)+34=0， 解得λ=7． 故选C ．利用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇔AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =0即可得出． 本题考查了AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇔AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =0，属于基础题． 5.答案：C解析：解：由三视图可知：该几何体是一个由上下两部分组成的几何体，其中上面是一个圆锥，底面半径为3，高为4；下面是一个棱长分别为3，3，4的长方体． 因此该几何体的体积V =13⋅π⋅9⋅4+3⋅3⋅4=(12π+36)cm 3． 故选C ．由三视图可知：该几何体是一个由上下两部分组成的几何体，其中上面是一个圆锥，底面半径为3，高为4；下面是一个棱长分别为3，3，4的长方体．.据此即可得出体积．由三视图正确恢复原几何体即熟练掌握台体和柱体的体积计算公式是解题的关键．6.答案：B解析：本题考查二面角的平面角的求法，考查空间想象能力与思维能力，注意运用面面垂直的性质定理，考查运算求解能力，是难题．过A作DM的垂线，垂足为E，交CD于F，交BC于G，设A在平面BCD内的射影为O，则O在直线EG上，过O作BC的垂线，垂足为H，则∠AHO为二面角A−BC−D的平面角，通过辅助角公式和正弦函数的值域，解不等式可得所求正切值．解：在图1中，过A作DM的垂线，垂足为E，交CD于F，交BC于G，在图2中，设A在平面BCD内的射影为O，则O在直线EG上，过O作BC的垂线，垂足为H，连接AH，则∠AHO为二面角A−BC−D的平面角，设∠AEO=θ，(0<θ<π)，AE=√22，AO=AEsinθ=√22sinθ，由∠GAB=45°，可得AG=2√2，OG=2√2−√22−√22cosθ=2√2−√22(1+cosθ)，OH=√22OG=2−12(1+cosθ)，即有tan∠AHO=AOOH =√22sinθ2−12(1+cosθ)=√2⋅sinθ3−cosθ(0<θ<π)，令t=sinθ3−cosθ>0，0<θ<π，可得sinθ+tcosθ=3t≤√t2+1，解得0<t≤√24，则tan∠AHO≤12．所以当二面角A−BC−D的平面角最大时，其正切值为12．故选：B．7.答案：A解析：本题考查指数函数以及运算，属于基础题．根据指数幂的运算即可求解．解：因为f(x)=5x，所以f(a+b)=3=5a+b，则f(a)⋅f(b)=5a·5b=5a+b=3；故选Ａ．8.答案：A解析：解：x2+y2−8x+12=0，可化为(x−4)2+y2=4∵直线x−y−m=0被圆x2+y2−8x+12=0所截得的弦长为2√2，=√4−2=√2，∴圆心(4,0)到直线x−y−m=0的距离d=√2∴解得m=2或6，故选：A．=√4−2，即可求出实数m的值．由已知得圆心(4,0)到直线x−y−m=0的距离d=√2本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要注意圆的性质和点到直线的距离公式的合理运用．9.答案：B解析：解：设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则：m⊥α，n⊂β，m⊥n时，α、β可能平行，也可能相交，不一定垂直，故A不正确α//β，m⊥α，n//β时，m与n一定垂直，故B正确α⊥β，m⊥α，n//β时，m与n可能平行、相交或异面，不一定垂直，故C错误α⊥β，α∩β=m时，若n⊥m，n⊂α，则n⊥β，但题目中无条件n⊂α，故D也不一定成立，故选B．本题考查的知识点是空间中直线与平面之间位置关系的判定，我们要根据空间中线面关系的判定及性质定理对四个结论逐一进行判断．若m⊥α，n⊂β，m⊥n时，α、β可能平行，也可能相交，不一定垂直；若α⊥β，m⊥α，n//β时，m与n可能平行、相交或异面，不一定垂直，α⊥β，α∩β=m 时，与线面垂直的判定定理比较缺少条件n⊂α，则n⊥β不一定成立．判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义(无公共点)；②利用线面平行的判定定理(a⊂α,b⊄α,a//b⇒b//α)；③利用面面平行的性质定理(α//β,a⊂α⇒a//β)；④利用面面平行的性质(α//β,a⊄α,a⊄,a//α⇒a//β).线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．10.答案：A解析：因为t=0表示时间12:00，其后t取值为正，所以上午8h表示t=−4，因为T(t)=t3−3t+60，所以T(−4)=8，故选A．11.答案：C解析：本题考查点到平面的距离的求法，属于中档题．设点B到平面AB1C的距离为h，利用等体积法即可得到答案．解：，利用等体积法，设点B到平面AB1C的距离为h，则有，解得ℎ=√3．3故选C．12.答案：D解析：本题考查了分段函数的应用及方程与函数的关系应用，同时考查了数形结合的思想应用．由题意作函数f(x)的图象，由f2(x)−af(x)=0得f(x)=0或f(x)=a；从而解得．解：由题意作函数f(x)的图象如下，，∵f2(x)−af(x)=0，∴f(x)=0或f(x)=a；∵f(x)=0有且只有一个解，∴f(x)=a有且只有两个解，故a∈[1,+∞)；故选：D．13.答案：x−3解析：本题考查了幂函数的解析式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．设幂函数的解析式为y=xα，把点(2,18)代入函数的解析式求得α的值，即可得到函数的解析式．解：∵幂函数f(x)=xα的图象过点(2,18)，∴2a=18，解得α=−3，所以f(x)=x−3．故答案为x−3．14.答案：√104解析：本题考查两平行线间的距离，利用两条平行线之间的距离公式即可得出结果．解：3x+y−4=0可化为6x+2y−8=0，由平行线间的距离公式可得d=√62+22=√104．故答案为√104．15.答案：45°解析：解：∵正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AD//BC ，∴异面直线AD 与CB 1所成角就是BC 与CB 1所成角，故∠BCB 1为异面直线AD 与CB 1所成角，等腰直角三角形BCB 1中，∠BCB 1=45°，故异面直线AD 与CB 1所成的角为45°，故答案为：45°．正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，由AD//BC ，可得异面直线AD 与CB 1所成角就是BC 与CB 1所成角，故∠BCB 1为异面直线AD 与CB 1所成角，解三角形可得答案．本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中找出∠BCB 1为异面直线AD 与CB 1所成角，是解答的关键．16.答案：3解析：本题考查分段函数，已知自变量求函数值，属于基础题．解：由题知f (−4)=(12)−4−7=9，∴f(f (−4))=f (9)=√9=3．故答案为3．17.答案：解：不妨设直线x −2y +3=0和x +y −4=0分别经过点B 和点C 的高线，∴由垂直关系可得AB 的斜率为1，AC 的斜率为−2，∵AB 和AC 都经过点A(2,3)，∴AB 的方程为y −3=x −2即x −y +1=0；∴AC 的方程为y −3=−2(x −2)即2x +y −7=0；联立{x −y +1=0x −2y +3=0，解得{x =1y =2，即B(1,2)， 联立{2x +y −7=0x +y −4=0，解得{x =3y =1，即C(3,1)， 故B (1,2)，C(3,1)．解析：本题考查直线的一般式方程和垂直关系，涉及方程组的解集，属基础题．不妨设直线x −2y +3=0和x +y −4=0分别经过点B 和点C 的高线，由垂直关系可得AB 和AC 的方程，联立直线方程可得B 和C 的坐标．18.答案：解：由题意可知{x +2y +1=02x +y −1=0，解得{x =1y =−1，∴两条直线的交点为：(1,−1)．所求圆的半径为：√(4−1)2+(3+1)2 =5，∴所求圆的标准方程为：(x −4)2+(y −3)2=25．解析：求出直线的交点坐标，然后求出圆的半径，即可求出圆的方程．本题考查圆的标准方程的求法，求出圆的圆心与半径是解题的关键．19.答案：解：(I)∵f(x)是定义在(−1,1)上的奇函数，∴f(0)=0，解得b =0，…1分则f(x)=ax1+x 2，∴f(2)=2a 1+4=25， ∴a =1…4分∴函数的解析式为：f(x)=x1+x 2(−1<x <1)…6分(Ⅱ)∵f(t −1)+f(t)<0，∴f(t −1)<−f(t)，∵f(−t)=−f(t)，∴f(t −1)<f(−t)，…8分又∵f(x)在(−1,1)上是增函数，∴−1<t −1<−t <1，∴0<t <12…12分解析：(I)依题意f(0)=0，可求得b ，再由f(2)=25可求得a ，从而可得函数f(x)的解析式； (Ⅱ)由(I)可求得函数f(x)的解析式，利用奇函数f(x)在(−1,1)上的单调递增即可求得f(t −1)+f(t)<0的t 的范围．本题考查函数解析式的求解，考查函数的奇偶性与单调性的应用，考查分析与运算能力，属于中档题． 20.答案：证明：∵PA 垂直于平面ABC ，∴PA ⊥BC ．又∵ AC ⊥BC ，故BC 垂直于平面PAC 内的两条相交直线PA 和AC ，∴BC ⊥平面PAC ．解析：由线面垂直的性质可得PA ⊥BC ，再由AC ⊥BC 可得BC ⊥平面PAC ．本题考查证明线线垂直、线面垂直的方法，线与平面垂直的判定、性质的应用．证明PA ⊥BC 是解题的关键．21.答案：解：(1)当x >0时，x 2+(x −1)(x +1)=1，解得x =±1，所以x =1，零点为1；(2)f(x)={(a +1)x −a −1,x <a 2x 2−(a +1)x +a −1,x ⩾a， 在R 上递增，则要满足{a +1>0a+14⩽a ⇒a ⩾13，故a 的取值范围为[13,+∞)．解析：本题考查函数的单调性，零点的求法，是基础题．(1)把a =−1代入，直接求方程即可；(2)分段函数的单调递增，得到不等式组，解即可得a 的取值范围．22.答案：解：(1)依题意得，总成本y 2=60000+100x (元)，(0≤x ≤400);(2)依题意得，y = 700x −x 2−(60000+100x) =−x 2+600x −60000，(0≤x ≤400);(3)由(2)得y=−(x−300)2+30000当x=300时，y有最大值30000，即当x为300时，公司所获得利润最大，最大利润为30000元．解析：本题考查利用函数思想求解实际问题，求解函数的解析式是解题的关键，考查发现问题解决问题的能力，属于一般题．(1)利用已知条件总成本y2=60000+100x(元)，(0≤x≤400)；(2)由题意得y=700x−x2−(60000+100x)=−x2+600x−60000，(0≤x≤400)；(3)利用二次函数求最值即可．。