概率统计PPT课件《二维随机变量及其分布》第3.2节 复习

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3.说明
几何上, z f (x, y) 表示空间的一个曲面.
f (x, y) d x d y 1,
表示介于 f(x, y)和 xOy 平面之间的空间区域的 全部体积等于1.
P{( X ,Y ) G} f (x, y) d x d y G
P{( X ,Y ) G}的值等于以G为底 ,以曲面z f (x, y) 为顶面的柱体体积.
实际中，有些随机试验的结果要用两个或
两个以上的随机变量来描述。例如: 砖的质量
指标：抗压强度，抗折强度；儿童发育指标：
身高，体重，胸围等；衡量企业经济效益的指
标：劳动生产率，资金产值率等。 飞机的重
心在空中的位置是由三个随机变量(三个坐标）
来确定的等等.
2
第3.1节 二维随机变量及其分布
一、二维随机变量及其分布函数 二、二维离散型随机变量 三、二维连续型随机变量 四、两个常用的分布 五、小结
则称( X ,Y )服从参数为μ1 , μ2 , σ1 , σ2 , ρ的二维
正态分布 .记为
(X
,Y
)
~
N ( μ1,
μ2
,
σ12
,
σ
2 2
,
ρ)
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结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败 也是伟大的，所以不要放弃，坚持 就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
记为G
(G1 e3) (1 e8) ；
G
P(XY) P(( X ,Y )G ) f ( x, y)dxdy
12
dx

二维随机变量的分布函数
F ( x , y ) P { X x , Y y } 就是随机点 (X,Y)落入区域
{t,s ( )|t x ,s y }
的概率(如图1).
由概率的加法法则，随机点(X,Y)落入矩形域
{ x 1 x x 2 ,y 1 y y 2 }
的概率
P { x 1 x x 2 ,y 1 y y 2 } F ( x 2 ,y 2 ) F ( x 2 ,y 1 )
F (x ,y)1 2 2arc 2 x t 2a anrc 3 y .ta
(2)由 (1)式得
P { 2 X , 0 Y 3 } F ( , 3 ) F ( , 0 ) F ( 2 , 3 ) F ( 2 , 0 ) 1/1.6
完 21
三、二维离散型随机变量及其概率分布
Pi1
i
Pi 2
Pij
i
27
联合概率分布表
对离散型随机变量而言，联合概率分布不仅比联合
分布函数更加直观，而且能够更加方便地确定(X,Y)
取值于任何区域 D上的概率. 设二维离散型随机变
量的概率分布为
P { X x i , Y y j } p i ( i j , j 1 , 2 , )
二维离散型随机变量及其概率分布
分布:
p i ( i 1 , 2 , )p , j( j 1 , 2 ).
p i P {X x i} p i,ji 1 ,2 , j
p j P { Y y j}p i,jj 1 ,2 ,25 i
二维离散型随机变量及其概率分布
分布: p i ( i 1 , 2 , )p , j( j 1 , 2 ).
F X ( x ) P { X x } P { X x , Y } F(x, )

ij
eg1 袋中有4球, 编号分别为1，2，2，3,从中
任取2次,每次取1个，X ,Y分别表示第一次， 第二次取出的球编号求，（X ,Y）的分布律.
(1)无放回；P{X i,Y j} P{X i}P{Y j | X i}
i, j 1,2,3
X \Y 1 2 3
1
0
1 2
43
1 1
43
求（X ,Y）的分布律. (2)有放回.
P{ X
i,Y
j}
C 3i C 3j
i
2 7
i
3 7
j
2 7
3
i
j
,
i, j 0,1,2,3
二、二维d.r.v.常用的分布
(1)超几何分布 若 (X , Y )的分布律为
P{X
i, Y
j}
C C C i
j ni j
M1 M2 N M1 M2
一、二维d.r.v.的分布律
Def 1 可取至多可数多组数值的二维 r.v.，
称为二维离散型随机变量。
Def 2 若二维d.r.v. ( X ,Y )所取的值为( xi , y j ) ,
则等式P{X xi ,Y y j} pij 或条形表
( X , Y ) ( x1, y1) ( x1, y j ) ( xi , y1) ( xi , y j )
则函数F ( x, y) P{X x, Y y}
称为二维r.v. (X ,Y )的分布函数.
Pr o
(1) 0 F( x, y) 1;
(2) y y0 ,当x1 x2时，F ( x1 , y0 ) F ( x2 , y0 ),
x x0 ,当y1 y2时，F ( x0 , y1 ) F ( x0 , y2 ), 即F ( x, y)为x与y的单调非减函数；

作业：解答题 2 4 5 6
3.2.3
二维连续型随机变量的边缘概率密度
设二维连续型随机变量(X，Y)的分布函数为 F(x，y)，概率密度为f(x，y). 因为 FX ( x ) F ( x,) ( f ( x, y)dy)dx
由分布函数定义知， X 是一个连续型随机变量， 且其概率密度为 f X ( x ) f ( x, y )dy

设 随 机 变 量X 和 Y 具 有 联 合 概 率 密 度 【补充例】 6, x 2 y x , f ( x, y) 0, 其 他. 求关于 X的 边 缘 概 率 密 度 fX ( x) 和 边 缘 分 布 函 数 FX ( x ).
解:
f X ( x)


f ( x , y)
1 2 1 2
1 ( x 1 ) 2 ( x 1 )( y 2 ) ( y 2 ) 2 exp{ [ 2 ]} 2 2 2 2 2(1 ) 1 1 2 2 1
且
( y 2 ) 2
2 2
2
3.2.2
二维离散型随机变量的边缘分布律
于是(X，Y)的分布律和边缘分布律如下：
Y X 0 1 P{Y = yj}
0
9/25 6/25 3/5
1
6/25 4/25 2/5
P{X = xi}
3/5 2/5 1
3.2.2
二维离散型随机变量的边缘分布律
(2) (X，Y)所有可能取值仍然为：(0，0)、(0，1)、 (1，0)、(1，1)则
☺课堂练习
一 整 数N 等 可 能 地 在 1, 2, 3, ,10 十 个 值 中 取 一个值 . 设 D D( N ) 是 能 整 除N 的 正 整 数 的 个 数 , F F(N )是 能 整 除 N的素数的个数 .试 写 出D 和 F 的联合分布律 , 并求边缘分布律 . 解 样本点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10