2021届湖南省长沙市第一中学高一上学期数学期末测试卷(附答案)

湖南省长沙市第一中学【最新】高一上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{|0}A x x a =-，若2A ∈，则a 的取值范围为（ ） A ．(,2]-∞-B ．(,2]-∞C ．[2,)+∞D ．[2,)-+∞2．函数1()2x f x a +=-（0a >，且1a ≠）的图象恒过的点为（ ） A ．(1,1)--B ．(1,0)-C ．(0,1)-D ．(1,2)--3．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，13,2,1AB BC BB ===，则线段1BD 的长是（ ）A B ．C ．28D ．4．方程2log 2x x +=的解所在的区间为（ ） A ．(0.5,1)B ．(1,1.5)C ．(1.5,2)D ．(2,2.5)5．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，异面直线BD 1与AC 所成的角等于( ) A ．60°B ．45°C ．30°D ．90°6．已知圆O 1：x 2+y 2=1与圆O 2：（x ﹣3）2+（x+4）2=16，则圆O 1与圆O 2的位置关系为（ ）A ．外切B ．内切C ．相交D ．相离7．已知两条不同直线a 、b ，两个不同平面α、β，有如下命题： ①若//a α，b α⊂ ，则//a b ； ②若//a α，//b α，则//a b ； ③若//αβ，a α⊂，则//a β； ④若//αβ，a α⊂，b β⊂，则//a b 以上命题正确的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．08．已知直线10y +-=与直线30my ++=平行，则它们之间的距离是( )A ．1B ．54C ．3D ．49．已知幂函数()y f x =的图象过点⎛⎝⎭，则21log 2f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A．2BC．D ．1210．已知函数()22(1),0log ,0x x f x x x ⎧+⎪=⎨>⎪⎩，若方程f （x ）＝a 有四个不同的解x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则()3122341x x x x x ++的取值范围为（ ） A ．（﹣1，+∞）B ．（﹣1，1]C ．（﹣∞，1）D ．[﹣1，1）11．在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，ABC是边长为角形，PA PB ==，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A ．654πB ．16πC ．6516πD ．494π12．已知1()22ln20191xxxf x x-+=-++-，若()(1)4038f a f a ++>，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭C ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题13．已知直线l20y -+=，则直线l 的倾斜角为__________.14．在三棱锥A BCD -中，2AB AC AD ===，且AB ，AC ，AD 两两垂直，点E 为CD 的中点，则直线BE 与平面ACD 所成的角的正弦值是__________． 15．已知点()1,0A -，()2,0B ，直线l ：50kx y k --=上存在点P ，使得2229PA PB +=成立，则实数k 的取值范围是______.16．如图，在侧棱长为3的正三棱锥A-BCD 中，每个侧面都是等腰直角三角形，在该三棱锥的表面上有一个动点P ，且点P 到点B的距离始终等于则动点P 在三棱锥表面形成的曲线的长度为___．三、解答题17．已知集合{}2|450A x x x =--，集合{|22}B x a x a =+.（1）若1a =-，求A B ；（2）若AB B =，求实数a 的取值范围.18．已知平面内两点(8,6),(2,2)A B -. （1）求线段AB 的垂直平分线2l 方程.（2）直线1l 过点(2,3)P -，且A B 、两点到直线1l 的距离相等，求直线1l 的方程； 19．已知圆22:4O x y +=，点P 是直线:280l x y --=上的动点，过点P 作圆O 的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B .（1）当PA =P 的坐标；（2）当APB ∠取最大值时，求APO ∆的外接圆方程.20．如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是菱形,60ABC ∠=,2AB =,ACBD O =,PO ⊥底面ABCD ,2PO =,点E 在棱PD 上,且CE PD ⊥（1）证明：面PBD ⊥面ACE ; （2）求二面角P AC E --的余弦值.21．某工厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)．当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10000x－1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（1）写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 22．已知函数21()log 4(1)22x xf x k k k ⎡⎤=⋅--++⎢⎥⎣⎦. （1）若函数()f x 的最大值是1-，求k 的值；（2）已知01k <<，若存在两个不同的正数,a b ，当函数()f x 的定义域为[,]a b 时，()f x 的值域为[1,1]a b ++，求实数k 的取值范围.参考答案1．C 【分析】先求出集合，再讨论元素包含关系，讨论参数． 【详解】解：因为集合{|0}A x x a =-， 所以{}|A x x a =， 又因为2A ∈， 则2a ，即[2,)a ∈+∞ 故选：C ． 【点睛】本题考查元素与集合包含关系，属于基础题． 2．A 【分析】令指数为0，即可求得函数1()2x f x a +=-恒过点．【详解】解：令10x +=，可得1x =-，则(1)121f -=-=-∴不论a 取何正实数，函数1()2x f x a +=-恒过点(1,1)--故选：A ． 【点睛】本题考查指数函数的性质，考查函数恒过定点，属于基础题． 3．A 【分析】利用体对角线公式直接计算即可. 【详解】1BD === A.【点睛】本题考查长方体体对角线的计算，属于基础题.4．B 【分析】令2()log 2f x x x =+-，由函数单调递增及(1)0,(1.5)0f f <>即可得解. 【详解】令2()log 2f x x x =+-，易知此函数为增函数， 由(1)01210,f =+-=-<2222313(1.5)log 1.5 1.52log log log 0222f =+-=-=->. 所以2()log 2f x x x =+-在(1,1.5)上有唯一零点，即方程2log 2x x +=的解所在的区间为(1,1.5). 故选B. 【点睛】本题主要考查了函数的零点和方程根的转化，考查了零点存在性定理的应用，属于基础题. 5．D 【分析】通过证明AC ⊥平面11BB D D ，可证得直线1BD 与直线AC 垂直，即所成的角为90. 【详解】画出图像如下图所示，连接11,BD B D ，由于几何体为正方体，故1,AC BD AC DD ⊥⊥，所以AC ⊥平面11BB D D ，所以1AC BD ⊥,即所成的角为90.所以选D.【点睛】本小题主要考查空间两条直线的位置关系，考查正方体的几何性质，还考查了线面垂直的判定定理，属于基础题. 6．A 【分析】先求出两个圆的圆心和半径，再根据它们的圆心距等于半径之和，可得两圆相外切. 【详解】圆1O 的圆心为()0,0，半径等于1，圆2O 的圆心为()3,4-，半径等于4，5=，等于半径之和，∴两个圆相外切.故选A. 【点睛】判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法． 7．C 【分析】直接利用空间中线线、线面、面面间的位置关系逐一判定即可得答案． 【详解】①若a ∥α，b ⊂α，则a 与b 平行或异面，故①错误；②若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ，则a 与b 平行，相交或异面，故②错误； ③若//αβ，a ⊂α，则a 与β没有公共点，即a ∥β，故③正确； ④若α∥β，a ⊂α，b ⊂β，则a 与b 无公共点，∴平行或异面，故④错误． ∴正确的个数为1． 故选C ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查直线与平面之间的位置关系，涉及到线面、面面平行的判定与性质定理，是基础题． 8．B 【分析】12m m=⇒=10y +-=可化为220y +-=，再由两直线之间的距离公式，即可求解.【详解】10y +-=与直线30my ++=12m m=⇒=，即230y ++=10y +-=可化为220y +-=，所以两直线之间的距离为54d ==，故选B. 【点睛】本题主要考查了两条平行线的距离的求解，其中解答中根据两直线的平行关系，求得m 的值，再利用两平行线间的距离公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 9．B 【分析】设()af x x =，将点⎛ ⎝⎭的坐标代入函数()y f x =的解析式，求出a 的值，然后再计算出21log 2f f ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值. 【详解】设()af x x =，由题意可的()333af ==，即1233a -=，12a ∴=-，则()12f x x -=，所以，112211222f -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，11122222111log log 22222f f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选B.【点睛】本题考查指数幂的计算，同时也考查了对数运算，解题的关键就是求出幂函数的解析式，同时利用指数幂的运算性质进行计算，考查计算能力，属于中等题. 10．B 【分析】由方程f （x ）＝a ，得到x 1，x 2关于x ＝﹣1对称，且x 3x 4＝1；化简()31232343112x x x x x x x ++=-+，利用数形结合进行求解即可． 【详解】作函数f （x ）的图象如图所示，∵方程f （x ）＝a 有四个不同的解x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＜x 2＜x 3＜x 4，∴x 1，x 2关于x ＝﹣1对称，即x 1+x 2＝﹣2，0＜x 3＜1＜x 4，则|log 2x 3|＝|log 2x 4|， 即﹣log 2x 3＝log 2x 4，则log 2x 3+log 2x 4＝0，即log 2x 3x 4＝0，则x 3x 4＝1； 当|log 2x|＝1得x ＝2或12，则1＜x 4≤2；12≤x 3＜1； 故()3123323431112,12x x x x x x x x ++=-+<； 则函数y ＝﹣2x 3+31x ，在12≤x 3＜1上为减函数，则故当x 3＝12取得y 取最大值y ＝1，当x 3＝1时，函数值y=﹣1．即函数取值范围是（﹣1，1]． 故选B ．【点睛】本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用数形结合的思想方法是解题的关键，属于中档题． 11．A 【分析】由题意画出图形，由已知求出三棱锥外接球的半径，代入表面积公式得答案． 【详解】 如图，在等边三角形ABC 中，取AB 中点F ，设其中心为G ，由AB =113FG CE ==． 设PAB ∆的外心为E ，在PAB ∆中，由PA PB ==，AB =得1cos 7P ==，则sin P =．设PAB ∆的外接圆半径为r27r=，即74r =．再设三棱锥P ABC -的外接球球心为O，则外接球半径R OA ==．∴该三棱锥外接球的表面积为26544ππ⨯=．故选：A ． 【点睛】本题考查多面体外接球表面积与体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题． 12．C 【分析】 设1()22ln1xxxg x x-+=-+-，则()()2019f x g x =+，则可证()g x 为奇函数，且在定义域上单调递增，则()(1)4038f a f a ++>等价于()(1)g a g a >--，再根据函数的单调性及定义域得到不等式即可解得. 【详解】解：设1()22ln1xxxg x x -+=-+-，则()()2019f x g x =+. 由1()22ln ()1x xx g x g x x---=-+=-+，所以()g x 为奇函数， 又12()22ln22ln 1(11)11x xx x x g x x x x --+⎛⎫=-+=-+--<< ⎪--⎝⎭， 易知22,2,ln 11x xy y y x -⎛⎫==-=-⎪-⎝⎭为增函数，故()g x 为增函数， 所以()(1)4038f a f a ++>，即()2019(1)20194038g a g a ++++> ()(1)g a g a ∴>-+， 即()(1)g a g a >--，故1,11,111,a a a a >--⎧⎪-<<⎨⎪-<+<⎩解得102a -<<，故选：C 【点睛】本题考查函数的单调性、奇偶性的应用，属于中档题. 13．60° 【分析】设直线l 的倾斜角为θ，则tan θ= 【详解】解：设直线l 的倾斜角为θ，则tan θ=，[)0,θπ∈则60θ=︒．故答案为：60︒． 【点睛】本题考查了直线的斜率计算公式、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．3【解析】 【分析】由AB ，AC ，AD 两两垂直可知AB ⊥平面ACD ，故∠AEB 为直线BE 与平面ACD 所成的角，在三角形ABE 中计算即可. 【详解】∵AB ，AC ，AD 两两垂直， ∴AB ⊥平面ACD ，故∠AEB 为直线BE 与平面ACD 所成的角，在RT△ABE 中，AB=2，，∴sin∠AEB=AB BE 3=，∴直线BE 与平面ACD 所成的角的正弦值3，【点睛】求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值，当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系，利用向量求解.15．,1515⎡-⎢⎣⎦【分析】先求出直线l 经过的定点，设直线上的p 点坐标，由2229PA PB +=可求得点P 的轨迹方程，进而求得斜率k 的取值范围． 【详解】解：由题意得：直线:(5)l y k x =-， 因此直线l 经过定点(5,0)；设点P 坐标为0(x ，0)y ；2229PA PB +=，∴22220000(1)22(2)9y x y x +++++=化简得：2200020x y x +-=，因此点p 为2220x y x +-=与直线:(5)l y k x =-的交点．所以应当满足圆心(1,0)到直线的距离小于等于半径∴1解得：[k ∈故答案为[k ∈ 【点睛】本题考查了求轨迹方程，一次函数的性质，考查了直线与圆的位置关系，是中档题．16 【详解】设动点P 在三棱锥表面形成曲线是EFGH ，如图所示．则BE BH ==BAH 中，cosHBA ∠==∴6HBA π∠=，4612HBG πππ∠=-=,∴12HG π=，同理EF ；在直角三角形HAE 中，2HAE π∠=，AH AE ===∴2HE π==，在等边三角形BCD 中，3CBD π∠=，∴3GH π==，=，故答案为2. 【点睛】本小题主要考查球面距离及相关计算、正方体的几何特征等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象能力、化归与转化思想．属于基础题． 17．（1）{|1x x 或5}x ；（2）2a >或3a -【分析】（1）由此能求出集合2{|450}{|1A x x x x x =--=-或5}x ，从而能求出A B ．（2）由A B B =，得B A ⊆，由此能求出实数a 的取值范围．【详解】解：（1）1a =-时，集合2{|450}{|1A x x x x x =--=-或5}x ， 集合{|22}{|21}B x a x a x x =+=-， {|1A B x x =或5}x ．（2）因为A B B =，∴B A ⊆，若B =∅，则22a a >+，∴2a >；若B ≠∅，则2,21a a ⎧⎨+-⎩或2,25,a a ⎧⎨⎩∴3a-.综上，2a >或3a -.即(](),32,a ∈-∞-+∞【点睛】本题考查交集和并集的求法，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用，属于基础题． 18．(1)34230x y --=；（2）4310x y ++=或3110x y --= 【分析】（1）先求出线段AB 的中点坐标，再利用直线2l 与直线AB 垂直，斜率之积为－1，求出直线2l 的斜率，由点斜式即可写出线段AB 的垂直平分线2l 的方程；（2）按照点A B 、与直线1l 的位置，分类讨论，若两点在直线1l 同侧，则直线1//l AB ；若两点在直线1l 两侧，则直线1l 过线段AB 中点，即可求出． 【详解】（1）因为AB 的中点坐标为()5,2-，∵624823AB k --==-- ∴AB 的垂直平分线斜率为34，所以由点斜式32(5)4y x +=-，得AB 的中垂线方程为34230x y --= （2）当1//l AB 时，由点斜式43(2)3y x +=--得4310x y ++= 当1l 过AB 中点时，由两点式322352y x +-=-+-得3110x y --=所以，直线1l 的方程为4310x y ++=或3110x y --= 【点睛】本题主要考查直线方程的求法以及直线与直线的位置关系的应用，意在考查学生的运算能力．19．（1）()0,4P -或1612,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）224816555x y ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【分析】（1）由题知，可设(),P x y ，切线长PA ，半径r ，圆心与点P 的长度OP 组成直角三角形，故有OP =P 的坐标；（2）当圆心到直线距离最短时，可确定点P 位置，此时圆心位置为点O 与点P 的中点坐标，半径为12OP ，结合垂直关系和直线方程可求点P ，进而求得APO ∆的外接圆方程 【详解】（1）设(),P x y ，∵224x y +=，∴()0,0O ，2r =，∵PA =4OP ==，∴2216,280,x y x y ⎧+=⎨--=⎩解得0,4,x y =⎧⎨=-⎩或16,512,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴()0,4P -或1612,55P ⎛⎫-⎪⎝⎭； （2）由题意可知当OP l ⊥时，APB ∠取最大值，设此时(),P x y ，由2,280y x x y =-⎧⎨--=⎩得8,516,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴816,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭， APO ∆的外接圆圆心为'54,58O ⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径1'2r OP ==APO ∆的外接圆方程为224816555x y ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，两点间距离公式的应用，圆的几何性质，勾股定理的应用，图形与方程的转化思想，属于中档题 20．（1）见证明；（2【分析】方法一：（1）由题意，得出PO AC ⊥，再由菱形的性质，求得AC BD ⊥，由线面垂直的判定定理，证得AC ⊥面PBD ，进而利用面面垂直的判定定理，即可得到面ACE ⊥面PBD ； （2）连接OE,证得OE PD ⊥，得到POE ∠是二面角P AC E --的平面角，在POE ∆中，即可求解.法二：（1）以点O 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，求得平面PBD 的一个法向量为n ，根据AC n ∥，得AC ⊥面PBD ，在面面垂直的判定定理，证得面ACE ⊥面PBD ； （2）分别求得平面PAC 和平面ACE 的法向量为,u v ，利用向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）证明：∵PO ⊥面ABCD ∴PO AC ⊥∵在菱形ABCD 中，AC BD ⊥ 且BD PO O ⋂= ∴AC ⊥面PBD 故面ACE ⊥面PBD（2）连接OE ，则OE =面ACE ⋂面PBD 故CE 在面PBD 内的射影为OE ∵CE PD ⊥ ∴OE ⊥ PD又由（1）可得，,AC OE AC OP ⊥⊥ 故POE ∠是二面角P AC E --的平面角 菱形ABCD 中，2AB =,60ABC ∠=∴BD =OD =又2PO = 所以PD ==故7OE ==∴cos OE POE OP ∠==即二面角P AC E --法二：（1）菱形ABCD 中，AC BD ⊥ 又PO ⊥面ABCD 故可以以点O 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系 由2,60AB ABC =∠= 可知相关点坐标如下：())()()()0,0,2,,,0,1,0,0,1,0P BD A C -则平面PBD 的一个法向量为()0,1,0n =因为()0,1,0AC = 所以AC n 故AC ⊥面PBD 从而面ACE ⊥面PBD （2）设PE ED λ=，则32,0,1E λλ⎛⎫- ⎪⎪+⎝⎭ 因为CE PD ⊥ 所以34011CE PD λλλ⋅=-=++ 故43λ=可得：4367E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭平面PAC 的一个法向量为()1,0,0u = 设平面ACE 的一个法向量(),,v x y z =则20607v AC y v AE x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩故()3,0,2v =∴3cos ,7u v == 即二面角P AC E --的余弦值为7【点睛】本题考查了立体几何中的直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定，以及二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.21．（1）L (x )＝2140250,0803100001200,80x x x x x x ⎧-+-<<⎪⎪⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）100千件.【分析】（1）根据题意，分段求得函数的解析式，即可求得()L x ； （2）根据（1）中所求，结合基本不等式，求得()L x 的最大值即可. 【详解】（1）因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品销售额为0.05×1 000x 万元， 依题意得：当0<x <80时，L (x )＝(0.05×1 000x )－21103x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭－250＝－213x ＋40x －250.当x ≥80时，L (x )＝(0.05×1 000x )－10000511450x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭－250＝1 200－10000x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 所以L (x )＝2140250,0803100001200,80x x x x x x ⎧-+-<<⎪⎪⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当0<x <80时，L (x )＝－()21603x -＋950. 此时，当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950万元．当x ≥80时，L (x )＝1 200－10000x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤1 200－＝1 200－200＝1 000. 此时x ＝10000x，即x ＝100时，L (x )取得最大值1 000万元． 由于950<1 000，所以当年产量为100千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大， 最大利润为1 000万元． 【点睛】本题考查分段函数模型的实际应用，涉及利用基本不等式求函数最值，属综合基础题.22．（1）1-；（2）1,23⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ 【分析】（1）对k 分类讨论，当0k ≠时，令1()4(1)22x xg x k k k =⋅--++，根据二次函数的性质计算可得；（2）令2(1)xt t =>，则21()(1)2g t kt k t k =--++，即可判断函数的单调性，函数()f x 的定义域为[,]a b 时，()f x 的值域为[1,1]a b ++，可转化为函数21()log 4(1)22x x f x k k k ⎡⎤=⋅--++⎢⎥⎣⎦与1y x =+有两个正交点,a b ，即21log 4(1)212x x k k k x ⎡⎤⋅--++=+⎢⎥⎣⎦有两个正根，即21(1)02k t k t k ⋅-+++=有两个大于1的根，再根据一元二次方程的根的分布得到不等式组，即可解得. 【详解】解：（1）当0k =时，2211()log 2log 122xf x ⎛⎫=+>=- ⎪⎝⎭，不合题意； 0k ≠时，令1()4(1)22x x g x k k k =⋅--++， 设2(0)xt t =>，则21()(1)2g t kt k t k =--++.①若0,()k g t >开口向上没有最大值，故()f x 无最大值，不合题意；②当k 0<时，且此时对称轴102k t k-=>，函数()f x 的最大值是1-， 所以2max11111()(1)22222k k k g t g k k k k k k ---⎛⎫⎛⎫==--++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得1k =-或13k =（舍）， 所以1k =-.（2）当01k <<时，设2(1)xt t =>，则21()(1)2g t kt k t k =--++的对称轴102k t k-=<，本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

湖南省长沙市一中高一上学期期末考试（数学）（时量：1 总分：100分）本试卷分第Ⅰ卷（70分）和第Ⅱ卷（30分）两部分．考试内容为必修①与必修④全部内容．第I 卷一．选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将所选答案填在答题卷中对应位置． １．3cos 的值Ａ．大于0 Ｂ．小于0 Ｃ．等于0 Ｄ．无法确定２．已知全集,{1,0,1,2},{0,1}U Z A B ==-=，则U AC B为Ａ．{1-，2） Ｂ．{1，2}Ｃ．{1-，0） Ｄ．{1-，0，2）３．已知角α的终边过点)2,1(-P ，则αcos 的值为Ａ．－55Ｂ．－ 5 Ｃ．552 Ｄ．25４．已知向量b a b x a ⊥==),6,3(),1,(，则实数x 的值为Ａ．12 Ｂ．2 Ｃ．2- Ｄ．21-５．已知函数)cos()(,2sin)(x x g x x f -=+=ππ，则Ａ．()f x 与()g x 都是奇函数 Ｂ．()f x 与()g x 都是偶函数 Ｃ．()f x 是奇函数，()g x 是偶函数 Ｄ．()f x 是偶函数，()g x 是奇函数６．根据表格中的数据，可以断定方程20xe x --=的一个根所在的区间是Ａ．（－1，0） Ｂ．（0，1） Ｃ．（1，2） Ｄ．（2，3）７．设,i j 是平面直角坐标系内分别与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，且j i OA 24+=，j i OB 43+=，则△OAB 的面积等于Ａ．15Ｂ．10Ｃ．7.5Ｄ．5８．若22)4sin(2cos -=-παα，则ααsin cos +的值为Ａ．27-Ｂ．21-Ｃ．21Ｄ．27二．填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分．把答案填在答题卷中对应题号后的横线上．９．函数()tan()23x f x π=-的最小正周期是 ． 10．函数2log 2-=x y 的定义域是 ．11．若2cos sin 2cos sin =-+αααα，则=αtan ．12．我国2000年底的人口总数为M ，人口的年平均自然增长率p ，到2010年底我国人口总数是 ． 13．已知5,4,120a b a b θ===与夹角,则向量b 在向量a 上的投影为 ．14．将函数sin()3y x π=-图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的函数图象向左平移3π个单位，最后所得到的图象对应的解析式是 ．15．在等边△ABC 中，点P 在线段AB 上，且AP PB λ=，若CP AB PB AC ⋅=⋅，则实数λ的值是 ．三．解答题：本大题共3小题，共25分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分8分）已知函数()2sin()cos f x x x π=-． （１）求(15)f 的值；（２）求函数()f x 的单调递增区间．17．（本小题满分8分）平面内给定三个向量()()()3,2,1,2,4,1a b c ==-=．（１）求满足a mb nc =+的实数n m ,； （２）若()()//2a kc b a +-，求实数k 的值．18．（本小题满分9分）某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是P （亿元）和Q （亿元），它们与投资额t （亿元）的关系有经验公式P ＝16 3t ，Q ＝18 t ．今该公司将5亿元投资这两个项目，其中对甲项目投资x （亿元），投资这两个项目所获得的总利润为y （亿元）．求： （１）y 关于x 的函数表达式； （２）总利润的最大值．第II 卷四．解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19．（本小题满分10分）已知函数1()cos(2)sin cos ,26f x x x x x Rπ=++∈．（１）求()f x 的对称轴方程；（２）若(,0)2πα∈-，且()4f α=，求α的值．本小题满分10分）已知函数)822()(2+++=a ax x x x f 有三个零点321,,x x x ，且321x x x <<． （１）求实数a 的取值范围； （２）记13)(x x a g -=，求函数)(a g 的值域．21．（本小题满分10分）如图，△AOE 和△BOE 都是边长为1的等边三角形，延长OB 到C 使|BC|＝t(t>0)，连AC 交BE 于D点．（１）用t 表示向量OC 和OD 的坐标；（２）求向量OD和EC的夹角的大小．参考答案一．选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将所选答案填在答题卡中对应位置． １．3cos 的值Ａ．大于0 Ｂ．小于0 Ｃ．等于0 Ｄ．无法确定２．已知全集,{1,0,1,2},{0,1}U Z A B ==-=，则U AC B为Ａ．{1-，2） Ｂ．{1，2}Ｃ．{1-，0） Ｄ．{1-，0，2）３．已知角α的终边过点)2,1(-P ，则αcos 的值为Ｂ．－ 5 Ｃ．552 Ｄ．25４．已知向量b a b x a ⊥==),6,3(),1,(，则实数x 的值为Ａ．12 Ｂ．2 Ｃ．2- Ｄ．21-５．已知函数)cos()(,2sin)(x x g x x f -=+=ππ，则Ａ．()f x 与()g x 都是奇函数 Ｂ．()f x 与()g x 都是偶函数 Ｃ．()f x 是奇函数，()g x 是偶函数 Ｄ．()f x 是偶函数，()g x 是奇函数６．根据表格中的数据，可以断定方程20xe x --=的一个根所在的区间是Ａ．（－1，0） Ｂ．（0，1） Ｃ．（1，2） Ｄ．（2，3）７．设,i j 是平面直角坐标系内分别与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，且24+=，43+=，则△OAB 的面积等于Ａ．15Ｂ．10Ｃ．7.5Ｄ．5８．若22)4sin(2cos -=-παα，则ααsin cos +的值为Ａ．27-Ｂ．21-Ｄ．27二．填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．９．函数()tan()23x f x π=-的最小正周期是 π2 ． 10．函数2log 2-=x y 的定义域是),4[+∞．11．若2cos sin 2cos sin =-+αααα，则=αtan 1 ．12．我国2000年底的人口总数为M ，人口的年平均自然增长率p ，到2010年底我国人口总数是10)1(p M +⋅．13．已知5,4,120a b a b θ===与夹角,则向量b 在向量a 上的投影为2-．14．将函数sin()3y x π=-图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的函数图象向左平移3π 15．在等边△ABC 中，点P 在线段AB 上，且AP PB λ=，若CP AB PB AC ⋅=⋅，则实数λ的值是2． 三．解答题：本大题共3小题，共25分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分8分）已知函数()2sin()cos f x x x π=-． （１）求(15)f 的值；（２）求函数()f x 的单调递增区间．解：（１）因为x x x x f 2sin cos sin 2)(==,………………………………………………4分所以1(15)sin 302f ==． ……………………………………………………………5分（２）令ππππk x k 22222+≤≤+-，解得ππππk x k +≤≤+-424，所以函数()f x 的单调递增区间为)](4,4[Z k k k ∈++-ππππ．……………………8分17．（本小题满分8分）平面内给定三个向量()()()3,2,1,2,4,1a b c ==-=．（１）求满足a mb nc =+的实数n m ,； （２）若()()//2a kc b a +-，求实数k 的值．解：（１）由题意得()()()1,42,12,3n m +-=，所以⎩⎨⎧=+=+-2234n m n m ，得⎪⎩⎪⎨⎧==9895n m ． ……4分 （２）()()34,2,25,2a kc k k b a +=++-=-，()()()1316,025432-=∴=+--+⨯∴k k k ． ………………………………………8分18．（本小题满分9分）某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是P （亿元）和Q （亿元），它们与投资额t （亿元）的关系有经验公式P ＝16 3t ，Q ＝18 t ．今该公司将5亿元投资这两个项目，其中对甲项目投资x （亿元），投资这两个项目所获得的总利润为y （亿元）．求： （１）y 关于x 的函数表达式； （２）总利润的最大值． 解：（１）根据题意，得y ＝163x ＋18(5－x)， …………………………………３分 x ∈［0，5］． ……………………………………………………………４分（注：定义域写成（0，5）不扣分）（２）令t ＝3x ，t ∈［0，15］，则x ＝t23，y ＝－t224＋16t ＋58＝－124(t －2)2＋1924． ………………………………………7分 因为2∈［0，15］，所以当3x ＝2时，即x ＝43时，y 最大值＝1924． …………8分答：总利润的最大值是1924亿元．…………………………………………………………9分四．解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19．（本小题满分10分）已知函数1()cos(2)sin cos ,26f x x x x x Rπ=++∈．（１）求()f x 的对称轴方程；（２）若(,0)2πα∈-，且()4f α=，求α的值． 解：因为111()cos(2)sin 2sin(226223f x x x x ππ=++=+，……………………………4分 （１）令232212k x k x πππ+=π+⇒=π+，即为所求．………………………………6分（２）由（１）得1()sin(2sin(2)23432f ππα=α+=⇒α+=． 又(,0)2πα∈-，所以22333πππ-<α+<，由三角函数的图象（或单调性）知 23424πππα+=⇒α=-．故α的值为24π-． ………………………………10分本小题满分10分）已知函数)822()(2+++=a ax x x x f 有三个零点321,,x x x ，且321x x x <<． （１）求实数a 的取值范围； （２）记13)(x x a g -=，求函数)(a g 的值域．解：（１）),4()2,4()4,(+∞----∞∈ a ． ……………………………………………3分 （２）分三种情况讨论，结合根的分布求出函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<---<<---+->--+=.4,822,24,82,4,82)(222a a a a a a a a a a a a g …………………………………………8分所以函数)(a g 的值域为),2(+∞． ……………………………………………………10分 21．（本小题满分10分）如图，△AOE 和△BOE 都是边长为1的等边三角形，延长OB 到C 使|BC|＝t(t>0)，连AC 交BE 于D 点．（１）用t 表示向量OC 和OD 的坐标； （２）求向量OD 和EC 的夹角的大小．解：（１）因为＝(12(t+1)，－32(t+1))，…………1分∵BC ＝t ，∴DC ＝t ，＝11+tAC，又＝(12，32)，＝－＝(12t ，－32(t+2))，∴AD ＝(t 2(t+1)，－3(t+2)2(t+1))，∴+=＝(2t+12(t+1)，－32(t+1))． ……………………………………………5分 （２）∵-=＝(t －12，－3(t+1)2)，∴·＝2t+12(t+1)·t －12＋32(t+1)·3(t+1)2＝t2+t+12(t+1)， 又∵||·||＝(2t+1)2+12(t+1)·(t －1)2+3(t+1)22＝t2+t+1t+1，∴cos<，>＝OD EC||·||＝12，∴向量与的夹角为60°．……10分。

湖南省2021年高一上学期数学期末考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共13题；共25分)1. （2分）已知集合A={x|3x+x2＞0}，B={x|﹣4＜x＜﹣1}，则（）A . A∩B={x|﹣4＜x＜﹣3}B . A∪B=RC . B⊆AD . A⊆B2. （2分） (2018高一上·大连期末) 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点坐标为（）A .B .C .D .3. （2分）(2019·揭阳模拟) 已知是平面，是直线，则下列命题中不正确的是（）A . 若∥ ，则B . 若∥ ，则∥C . 若，则∥D . 若，则4. （2分）(2019·南昌模拟) 一个组合体的三视图如图所示（图中网格小正方形的边长为1），则该几何体的体积是（）A .B .C .D .5. （2分）若x0是方程式lgx+x=2的解，则x0属于区间（）A . （0，1）B . （1，1.25）C . （1.25，1.75）D . （1.75，2）6. （2分）“m=-1”是“直线mx+(2m-1)y+2=0与直线3x+my+3=0垂直”的（）条件A . 充分而不必要B . 必要而不充分C . 充要D . 既不充分也不必要7. （2分） (2018高一下·珠海期末) 下列函数是奇函数的为（）A .B .C .D .8. （2分） (2019高二上·辽宁月考) 已知圆关于对称，则的值为A .B . 1C .D . 09. （2分） (2019高二上·佛山月考) 已知水平放置的的直观图（斜二测画法）是边长为的正三角形，则原的面积为（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高二下·红桥期末) 下列函数中，在区间（1，+∞）上为增函数的是（）A . y=2x﹣1B . y=C . y=﹣（x﹣1）2D . y=log （x﹣1）11. （2分）如果函数对任意实数均有，那么（）A .B .C .D .12. （2分）圆C1：x2+y2+4x+4y+4=0与圆C2：x2+y2﹣4x﹣2y﹣4=0公切线条数为（）A . 1B . 2C . 3D . 413. （1分）(2020·新沂模拟) 已知四棱锥VABCD，底面ABCD是边长为3的正方形，VA⊥平面ABCD，且VA ＝4，则此四棱锥的侧面中，所有直角三角形的面积的和是________．二、填空题 (共3题；共3分)14. （1分） (2017高一下·泰州期末) 过圆x2+y2=2上一点（1，1）的切线方程为________．15. （1分） (2016高一上·运城期中) 函数f（x）=log （x2﹣4x﹣5）的单调递减区间为________．16. （1分） (2019高二下·上海期末) 已知A，B，C，D是某球面上不共面的四点，且，，，则此球的表面积等于________.三、解答题 (共6题；共70分)17. （10分） (2017高三上·四川月考) 已知定义在上的函数，且恒成立.（1）求实数的值；（2）若，求证： .18. （10分） (2019高二下·蕉岭月考) 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）设点，直线和曲线交于两点，求的值．19. （15分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，过A1 ， C1 ， B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD﹣A1C1D1 ，这个几何体的体积为（1）求证：直线A1B∥平面CDD1C1（2）求证：平面ACD1∥平面A1BC1（3）求棱A1A的长．20. （10分）(2018·安徽模拟) 四棱锥中，，且平面，，，是棱的中点.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.21. （10分） (2019高一上·会宁期中) 已知函数f(x)＝lg(3＋x)＋lg(3－x)．（1）求函数f(x)的定义域；（2）判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由．22. （15分） (2018高二上·双鸭山月考) 在平面直角坐标系中，已知圆过坐标原点且圆心在曲线上．（1）若圆分别与轴、轴交于点（不同于原点），求证：的面积为定值；（2）设直线与圆交于不同的两点，且，求圆的方程；（3）点在直线上，过点引圆（题（2））的两条切线，切点为，求证：直线恒过定点.参考答案一、单选题 (共13题；共25分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：二、填空题 (共3题；共3分)答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共70分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、答案：19-3、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、答案：22-3、考点：解析：。

湖南省长沙市2021届高一数学上学期期末学业水平测试试题一、选择题1．为了得到函数2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数2sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（） A ．向左平移724πB ．向右平移724πC ．向左平移712π D ．向右平移712π 2．英国数学家布鲁克泰勒（Taylor Brook ，1685~1731）建立了如下正、余弦公式（ ）()()357211sin 13!5!7!21!n n x x x x x x n --=-+-++-+-L L()()2462cos 112!4!6!2!n n x x x xx n -=-+-++-+L L其中*x R n N ∈∈，，!1234n n =⨯⨯⨯⨯⨯L ，例如：1!12!23!6===，，。

试用上述公式估计cos0.2的近似值为（精确到0.01） A.0.99B.0.98C.0.97D.0.963．已知()sin()(0)3f x x πωϕω=++>同时满足下列三个条件：①最小正周期T π=；②()3y f x π=-是奇函数；③(0)()6f f π>.若()f x 在[0,)t 上没有最大值，则实数t 的取值范围是（ ）A.(0,]12πB.(0,]3πC.7(0,]12π D.511(,]612ππ4．函数()f x 满足：()y f x 1=+①为偶函数：②在[)1,∞+上为增函数.若2x 1>-，且12x x 2+<-，则()1f x -与()2f x -的大小关系是( ) A ．()()12f x f x ->- B ．()()12f x f x -< C ．()()12f x f x -≤-D ．不能确定5．已知函数()sin (0)f x x ωω=>在25[,]36ππ-上单调递增，且存在唯一0[0,]x π∈，使得0()1f x =，则实数ω的取值范围为（ ） A ．13[,]25B ．13[,)25C ．113(,]205D ．113[,]2056．已知函数32,(),x x Mf x x x N⎧∈=⎨∈⎩，其中,M N 为非空集合，且满足MN R =，则下列结论中一定正确的是（ ）A ．函数()f x 一定存在最大值B ．函数()f x 一定存在最小值C ．函数()f x 一定不存在最大值D ．函数()f x 一定不存在最小值7．在△ABC 中，点M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上，且满足AP ＝2PM ，则()PA PB PC +等于( ) A ．－43B ．－49C ．4 3D ．4 98．已知两条直线，两个平面，给出下面四个命题： ①，；②，，；③，；④，，其中正确命题的序号是（ ）A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③ 9．已知正四棱柱中，，则CD 与平面所成角的正弦值等于（ ）A ．B ．C ．D ．10．某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为（ ） A ．30B ．25C ．20D ．1511．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．712．函数22xy x =-的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．数列{}n a 中，若11a =，()112n n n a a n N *++=∈，则()122lim n n a a a →∞+++=______；14．已知a 0>，b 0>，且111a b +=，则b3a 2b a++的最小值等于______． 15．不共线向量，满足，且，则与的夹角为________.16．在四面体ABCD 中，BD AC ==2AB BC AD ===，AD BC ⊥，则四面体ABCD 的外接球的体积为_____________________________。

一、单选题1．下列结论正确的是（ ） A ．若，则 B ．若，则 ac bc >a b >22a b >a b >C ．若，，则 Da b >0c <ac bc <<a b >【答案】C【分析】利用特殊值排除错误选项，利用差比较法证明正确选项.【详解】A 选项，，如，而，所以A 选项错误. ac bc >()()()()2111-⨯->-⨯-21-<-B 选项，，如，而，所以B 选项错误.22a b >()2210->10-<C 选项，，则，所以，所以C 选项正确. ,0,0a b a b c >-><()0ac bc a b c -=-<ac bc <D ，而，所以D 选项错误. <<12<故选：C2．等于（ ） sin 2022 A ． B ． C ． D ．sin 42 sin 42- sin 48 sin 48- 【答案】B【分析】利用诱导公式化简可得结果.【详解】.()()sin 2022sin 5360222sin 18042sin 42=⨯+=+=-故选：B.3．已知函数在上是增函数，则的取值范围是（ ）()22()log 3f x x ax a =-+[2,)+∞a A ． B ． C ． D ．(,4]-∞(,2]-∞(4,4]-(4,2]-【答案】C【分析】若函数f （x ）=log 2（x 2﹣ax+3a ）在[2，+∞）上是增函数，则x 2﹣ax+3a ＞0且f （2）＞0，根据二次函数的单调性，我们可得到关于a 的不等式，解不等式即可得到a 的取值范围． 【详解】若函数f （x ）=log 2（x 2﹣ax+3a ）在[2，+∞）上是增函数， 则当x ∈[2，+∞）时，x 2﹣ax+3a ＞0且函数f （x ）=x 2﹣ax+3a 为增函数 即，f （2）=4+a ＞0 22a≤解得﹣4＜a≤4故选C ．【点睛】本题考查的知识点是复合函数的单调性，二次函数的性质，对数函数的单调区间，其中根据复合函数的单调性，构造关于a 的不等式，是解答本题的关键．4．设函数f （x ）=log2x +2x -3，则函数f （x ）的零点所在的区间为（ ） A ． B ． C ． D ．()0,1()1,2()2,3()3,4【答案】B【详解】因为函数，所以f （1）==﹣1＜0，f （2）==2()2log 23x f x x =+-12log 123+-22log 223+-＞0，所以根据根的存在性定理可知在区间（1，2）内函数存在零点． 故选：B ．点睛：一是严格把握零点存在性定理的条件；二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件；三是函数f (x )在[a ，b ]上单调且f (a )f (b )＜0，则f (x )在[a ，b ]上只有一个零点.5．已知集合，．若是的充分不必要条{}2230A x x x =--<()(){}10B x x m x m =---≥x A ∈x B ∈件，则实数的取值范围（ ） m A ． B ． ()(),23,-∞-⋃+∞(),2-∞-C ． D ．[)3,+∞(][),23,-∞-+∞ 【答案】D【分析】求出集合、，分析可知 ，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式，解A B A B m 之即可.【详解】因为，{}{}223013A x x x x x =--<=-<<或，()(){}{10B x x m x m x x m =---≥=≤}1x m ≥+因为是的充分不必要条件，则 ，则或， x A ∈x B ∈A B 3m ≥11m +≤-解得或. 2m ≤-3m ≥故选：D.6．设是定义域为R 的奇函数，且.若，则（ ） ()f x ()()1f x f x +=-1133f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭53f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．53-13-1353【答案】C【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值.53f ⎛⎫⎪⎝⎭【详解】由题意可得：，522213333f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭而，21111133333f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故.5133f ⎛⎫= ⎪⎝⎭故选：C.【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.7．设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的()f x R [)0x ∈+∞，()f x ()1f -()f π()3f -大小关系是（ ） A ． B ． ()()()13f f f π>->-()()()31f f f π>->-C ． D ．()()()31f f f π<-<-()()()13f f f π<-<-【答案】B【解析】根据偶函数可得，，再根据单调性即可判断. ()()11f f -=()()33f f -=【详解】是偶函数，，，()f x ()()11f f ∴-=()()33f f -=当时，是增函数，且，[)0x ∈+∞，()f x 31π>>， ()()()31f f f π∴>>. ()()()31f f f π∴>->-故选：B.8．若，则 tan 0α>A ． B ． C ． D ．sin 0α>cos 0α>sin 20α>cos 20α>【答案】C 【分析】由及即可得解. tan sin cos ααα=sin 22sin cos ααα=【详解】由，可得. tan 0sin cos ααα=>sin 220sin cos ααα=>故选C.【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系及二倍角公式，属于基础题.二、多选题9．已知集合，且，则实数的取值不可以为（ ）{}20,,32A m m m =-+2A ∈m A ． B ． C ． D ．2302-【答案】ACD【分析】根据可得出或，解出的值，然后对集合中的元素是否满足2A ∈2m =2322m m -+=m A 互异性进行检验，综合可得结果.【详解】因为集合，且，则或，解得.{}20,,32A m m m =-+2A ∈2m =2322m m -+={}0,2,3m ∈当时，集合中的元素不满足互异性；0m =A 当时，，集合中的元素不满足互异性； 2m =2320m m -+=A 当时，，合乎题意. 3m ={}0,3,2A =综上所述，. 3m =故选：ACD.10．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭2y x =-2y x -=3y x =-【答案】BD【分析】利用函数奇偶性的定义以及指数函数、幂函数、一次函数函数的单调性逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.【详解】对于A ： 既不是奇函数也不是偶函数，故选项A 不正确；12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭对于B ：，故是奇函数，且在上单调递减，故选项()()()22f x x x f x -==--=-2y x =-2y x =-R B 正确；对于C ：的定义域为，关于原点对称，，所以2y x -={}|0x x ≠()()()22211f x x f x xx --====-是偶函数，故选项C 不正确；2y x -=对于D ：定义域为，关于原点对称，，所以是奇函3y x =-R ()()()33f x x x f x -=--==-3y x =-数，因为在上单调增，所以在上单调递减，故选项D 正确； 3y x =R 3y x =-R 故选：BD.11．心脏跳动时，血压在增加或减小血压的最大值和最小值分别称为收缩压和舒张压，健康成年人的收缩压和舒张压一般为和，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，120140mmHg :6090mmHg :读数为标准值．记某人的血压满足函数式，其中为血压12080mmHg ()sin p t a b t ω=+()p t ，t 为时间，其函数图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）．()mmHg ()minA ．B ．收缩压为 80πω=120mmHgC ．舒张压为D ．每分钟心跳80次70mmHg 【答案】BCD【分析】由正弦型函数的图像，即可求出周期与最值，进而求出频率，即可判断正误. 【详解】由题图知，，所以，可得，故选项A 不正确； 11128016080T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭2π180ω=160πω=所以，由题图知在一个周期内最大值为120，最小值为70， ()sin160πp t a b t =+()p t 所以收缩压为，舒张压为，故选项BC 正确； 120mmHg 70mmHg 每分钟心跳数为频率，故选项D 正确. 180f T==故选：BCD.12．已知函数，则下列说法正确的是（ ）()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A ．的最小正周期是π ()f x B ．在区间上单调递增()f x 0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象2sin 2y x =3π()f xD ．若方程在区间上有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 ()f x m =,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(2,-【答案】AD【分析】利用三角函数的知识逐一判断即可.【详解】因为函数，所以的最小正周期是，故A 正确； ()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x 22ππ=当时，，所以在区间上不单调递增，故B 错误；0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2,33x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭()f x 0,3π⎛⎫⎪⎝⎭将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，故C 错误； 2sin 2y x =3π22sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭当时， ,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦22,333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦所以若方程在区间上有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是()f x m =,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(2,-，故D 正确 故选：AD三、填空题 13．若，则__________． 1sin 3α=cos 2=α【答案】79【详解】2217cos 212sin 12().39αα=-=-⨯=14．第24届冬季奥林匹克运动会简称“北京—张家口冬奥会”，将于2022.2.4～2022.2.20在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行.某公司为迎接冬奥会的到来，设计了一款扇形的纪念品，扇形圆心角为2，弧长为12cm ，则扇形的面积为______. 2cm 【答案】36【分析】首先根据弧长公式求出扇形的半径，再根据扇形的面积公式计算可得；【详解】解：依题意、 cm ，所以，即 cm ，所以2α=12l =l r α=6r =116123622S lr ==⨯⨯=；2cm 故答案为：3615．函数的最小值是__________． 2cos sin 2y x x =-+【答案】1【分析】化简可得，根据的范围结合二次函数的性质，即可求出函数的2113sin 24y x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭sin x 最小值.【详解】，22cos sin 21sin sin 2y x x x x =-+=--+2113sin 24x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭因为，，根据二次函数的性质可知， 1sin 1x -≤≤当时，函数有最小值为.sin 1x =2min1131124y ⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭故答案为：1.16．已知实数a ，b 满足，若关于x 的不等式的解集中有且仅有01b a <<+()222120a x bx b -+-<3个整数，则实数a 的取值范围是_________； 【答案】()1,3【分析】先对不等式左边进行因式分解，再结合对进行分类讨论，分，和1a >-a ()1,1a ∈-1a =三种情况，求出符合要求的实数a 的取值范围.1a >【详解】可变形为，()222120a x bx b -+-<()()110a x b a x b +-⋅-+<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦因为，所以， 01b a <<+011ba <<+其中，1a >-当时，开口朝下，不合题意；()1,1a ∈-()22212y a x bx b =-+-当时，，解得：，所以不满足整数解有且仅有3个，舍去； 1a =220bx b -<2bx <当时，开口朝上，1a >()22212y a x bx b =-+-因为，所以不等式解集为，01b a <-11b a bx x a⎧⎫⎨<+-⎩<⎬⎭此时要想不等式解集中有且仅有3个整数，则这3个整数解为0，-1，-2， 则必有，所以，结合， 321ba-≤<--()()2131a b a -<≤-01b a <<+所以，所以， ()211a a -<+13a <<综上： ()1,3a ∈故答案为：.()1,3四、解答题 17．计算(1)()266661log 3log 2·log 18log 4-+(2)，，1214-⎛⎫⎪⎝⎭0a >0b >【答案】(1)1；(2). 85【分析】（1）根据对数运算的性质，化简求解即可得出答案； （2）根据指数幂的运算性质，化简求解即可得出答案. 【详解】（1）()()226666666636log 2log 2log 1log 3log 2log 182log 42log 2⎛⎫+⋅ ⎪-+⋅⎝⎭=.()()26666log 2log 22log 212log 2+⋅-==（2）. 1214-⎛⎫ ⎪⎝⎭()()12312233224210ab a b ----=⋅⎛⎫⨯⋅ ⎪⎝⎭33332222828105a b⎛⎫---- ⎪⎝⎭=⨯÷⋅⋅=18．已知函数f （x ）=log2（x +1）–2． （1）若f （x ）>0，求x 的取值范围； （2）若x ∈（–1，3]，求f （x ）的值域．【答案】（1）x >3．（2）f （x ）的值域为（–∞，0]．【分析】(1)根据对数函数单调性解不等式得结果，(2) 根据对数函数单调性确定函数值域. 【详解】（1）函数f （x ）=log 2（x +1）–2， ∵f （x ）>0，即log 2（x +1）–2>0， ∴log 2（x +1）>2， ∴log 2（x +1）>log 24， ∴x +1>4， ∴x >3．（2）∵x ∈（–1，3]， ∴x +1∈（0，4]，∴log 2（x +1）∈（–∞，2]， ∴log 2（x +1）–2∈（–∞，0]． ∴f （x ）的值域为（–∞，0]．【点睛】本题考查对数函数单调性以及值域，考查基本求解能力. 19．已知是锐角，且．α()()()()()()sin cos 2tan tan sin f παπααπαπαπα----=+--（1）化简；()f α（2）若，求的值，31cos 25απ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭()f α【答案】（1）；（2） cos α-【分析】（1）直接利用诱导公式和同角三角函数间的关系进行化简即可；（2）利用诱导公式化简，得，从而得31cos 25απ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭1sin 5α=cos α=【详解】（1）．()()sin cos tan cos sin tan f a αααααα-==-（2），31cos sin 25παα⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭∴，∴1sin 5α=cos α=()cos f a α=-=【点睛】此题考查诱导公式和同角三角函数间的关系的应用，属于基础题 20．已知函数是上的奇函数，当时，. ()f x R 0x ≥2()2f x x x =+(1)当时，求解析式；0x <()f x (2)若，求实数的取值范围. (1)(21)0f a f a -++<a 【答案】(1) 2()2f x x x =-+(2) (),2-∞-【分析】（1）根据奇函数性质求解即可；()()f x f x =--（2）先判断函数在上的增减性，再由奇函数性质得到， ()f x R ()(1)21f a f a -<--根据单调性解抽象不等式即可.【详解】（1）因为函数是上的奇函数，当时，， ()f x R 0x ≥2()2f x x x =+所以当时，， 所以， 0x <0x ->22()2()()2f x x x x x -=-+-=-因为，所以， ()()f x f x =--2()2f x x x =-+故当时， .0x <2()2f x x x =-+（2）由（1）知，， ()()()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩当时，，易知此时函数单调递增，由奇函数性质得，0x ≥2()2f x x x =+当时，也单调递增，所以函数是上的增函数， 0x <()f x ()f x R 因为，所以， (1)(21)0f a f a -++<()(1)(21)21f a f a f a -<-+=--即，又因为函数是上的增函数， ()(1)21f a f a -<--()f x R 所以，解得. 121a a -<--2a <-故实数的取值范围为：. a (),2-∞-21．已知函数. ()44f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)求函数在区间上的最值；()f x 3,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)若，，求的值.4cos 5θ=3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】(1) (2) 3150【分析】（1）先逆用正弦的和差公式化简得，再利用正弦型函数的单调性()7n 12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭求得的最值；()f x （2）先利用三角函数的平方关系求得，再利用倍角公式求得，进而利用正3sin 5θ=-sin 2,cos 2θθ弦的和差公式求得.23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【详解】（1）因为 ()1sin 42444f x x x x x ππππ⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦， 74312x x πππ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又，所以，故， 3,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦711,12312x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦7sin 12x π⎡⎤⎛⎫-∈⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦所以， 712x π⎡⎛⎫-∈⎢ ⎪⎝⎭⎣所以函数在区间；()f x 3,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）因为，，所以，4cos 5θ=3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3sin 5θ==-所以，， 24sin 22sin cos 25θθθ==-221697cos 2cos sin 252525θθθ=-=-=所以 722231234f ππππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭)sin 2cos cos 2sin cos 2sin 424ππθθθθ⎫=-=-⎪⎭. 1724312522550⎛⎫=+= ⎪⎝⎭22．已知函数为上的奇函数，且，． ()22x x f x a b -=⋅+⋅R ()13f =()13cos 2π2sin π22g x x t x =++(1)若不等式有解，求实数m 的取值范围； ()24x f x m >⋅+(2)若对于，，使得成立，求实数t 的取值范围．[]10,1x ∀∈[]21,2x ∃∈()()12f x g x ≤【答案】(1)(),2m ∈-∞(2)(],1t ∈-∞-【分析】（1）由条件先求出的值，由不等式有解，分离参数可得,a b ()24x f x m >⋅+，再求出的最大值即可. 2122122x x m ⎡⎤⎛⎫<-+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦2122122x x ⎡⎤⎛⎫-+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦（2）由题意，得,然后分别求出的最大值即可.()()max max f x g x ≤()(),f x g x 【详解】（1）∵为上的奇函数，∴，又， ()f x R ()00f a b =+=()11232f a b =+=∴，，∴．2a =2b =-()1122x x f x +-=-∵， ()()()()111122220x x x x f x f x -+++--+=-+-=∴为上的奇函数，，满足题意，即． ()1122x x f x +-=-R 2a =2b =-()1122x x f x +-=-∵，即，()24x f x m >⋅+112224x x x m +-->⋅+∴． 2122122x x m ⎡⎤⎛⎫<-+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦又∵， 22121212122222x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+-=-+-<⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴．(),2m ∈-∞（2）由题意，得．()()max max f x g x ≤易知是增函数，是减函数，则在上单调递增，∴． 12x y +=12x y -=()f x []0,1()max 3f x =，． ()213cos 2π2sin πsin π2sin π222g x x t x x t x =++=-++[]1,2x ∈设，设．[]sin π1,0q x =∈-()()222222h q q tq q t t =-++=--++①当时，，得，又， 1t <-()()max 1213h q h t =-=-+≥1t ≤-1t <-∴．1t <-②当时，，得或，∴．10t -≤≤()()2max 23h q h t t ==+≥1t ≥1t ≤-1t =-③当时，，无解．0t >()()max 023h q h ==≥综上可得，． (],1t ∈-∞-。

一、单选题1．已知集合，，则（ ）}{1,2,3,4,5A ={}|13B x x =-<<A B = A ． B ．}{1,2{}3|1x x <<C ． D ．}{1,2,3{}|12x x <<【答案】A【分析】根据交集的定义，即可求得本题答案.【详解】因为，，}{1,2,3,4,5A ={}|13B x x =-<<所以.}{1,2A B ⋂=故选：A2．函数 的最小正周期是（ ）πsin +26xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ． B ．π2πC ． D ．2π4π【答案】D【分析】代入正弦型函数的最小正周期公式，即可求得. 【详解】函数的最小正周期是.πsin +26xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭12π=4π2T =÷故选：D3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．1y x =+3y x =-1y x =||y x x =【答案】D【分析】根据函数解析式直接判断函数的奇偶性和单调性可得解.【详解】函数不是奇函数，故A 不正确；1y x =+函数是奇函数，但不是增函数，故B 不正确；3y x =-函数是奇函数，但不是增函数，故C 不正确；1y x =的图象如图： ||y x x =22,0,0x x x x ⎧≥=⎨-<⎩所以函数是奇函数且是增函数. ||y x x =22,0,0x x x x ⎧≥=⎨-<⎩故选：D4．已知不等式解集为，下列结论正确的是（ ） 20ax bx c ++>1|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭A ．B ． 0a >0c <C ．D ．0a b c ++>0b <【答案】C 【分析】根据不等式解集为，得方程的解为或20ax bx c ++>1|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭20ax bx c ++=12x =-，且，利用韦达定理即可将用表示，即可判断各选项的正误.2a<0,b c a 【详解】解：因为不等式解集为， 20ax bx c ++>1|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭所以方程的解为或，且， 20ax bx c ++=12x =-2a<0所以，所以， 3,12b c a a-==-3,2b a c a =-=-所以，故ABD 错误；0,0b c >>，故C 正确. 33022a b c a a a a ++=--=->故选：C.5．函数，且)与函数在同一直角坐标系中的图象大致是()log 10(a y x a =+>1a ≠221y x ax =-+（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】根据和分类讨论然后结合二次函数的性质可得.1a >01a <<【详解】当时，在区间上单调递增，1a >()log 1a y x =+()1,-+∞此时的对称轴为，且对应方程的判别式，故A 、B 均不221y x ax =-+()1x a a =>()241a ∆=->0满足；当时，在区间上单调递减，01a <<()log 1a y x =+()1,-+∞此时的对称轴为，且对应方程的判别式，故C 满221y x ax =-+()01x a a =<<()2410a ∆=-<足．D 不满足.故选：C.6．“”是“函数在上为增函数”的（ ）3a >()(1)x f x a =-R A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由指数函数的性质可得在上为增函数的等价条件，再由充分、必要条件的定义即()f x R 可得解.【详解】若在上为增函数，则，即，()f x R 11a ->2a >因为是的充分不必要条件，3a >2a >所以“”是“函数在上为增函数”的充分不必要条件.3a >()(1)x f x a =-R 故选：A ．7．在中，已知，判断的形状（ ）ABC A cos cos b A a B =ABC A A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形 【答案】D【分析】根据正弦定理得，再利用正弦的差角公式化简整理得，进而推断，答()sin 0A B -=A B =【详解】解：根据正弦定理由，得，即cos cos b A a B =sin cos sin cos =B A A B ，sin cos sin cos 0A B B A -=所以，所以，()sin 0A B -=A B =所以为等腰三角形.ABC A 故选：D.8．已知函数，下列四个结论正确的是（ ）2()sin 22cos 1f x x x =+-A ．函数在区间上是减函数 ()f x 3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．点是函数图象的一个对称中心 3,08π⎛⎫ ⎪⎝⎭()f xC ．函数的图象可以由函数的图象向左平移个单位长度得到()f x 2y x =4πD ．若，则的值域为 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x 【答案】B 【分析】化简的解析式，根据三角函数单调性、对称性、三角函数图象变换、值域等知识确()f x 定正确选项.【详解】. ()sin 2cos 224x f x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 33,2,28844242x x x πππππππ-≤≤-≤≤-≤+≤所以在区间上递增，A 错误. ()f x 3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，所以点是函数图象的一个对称中心，B 正确. 33sin sin 0844f ππππ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3,08π⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x的图象向左平移个单位长度得到： 2y x =4π，C 选项错误. ()22242x x x f x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=≠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，，D 选项[]50,,20,,2,2444x x x πππππ⎡⎤⎡⎤∈∈+∈⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦sin 2244x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡+∈+∈-⎢⎥ ⎪ ⎪⎣⎝⎭⎝⎭⎣⎦错误.故选：B二、多选题列说法中不正确的是（ ）A ．集合为闭集合{}4,2,0,2,4M =--B ．正整数集是闭集合C ．集合为闭集合{|3,}M n n k k Z ==∈D ．若集合为闭集合，则为闭集合12,A A 12A A ⋃【答案】ABD【分析】根据集合M 为闭集合的定义，对选项进行逐一判断，可得出答案．【详解】选项A ：当集合时，，而，所以集合M 不为闭集{}4,2,0,2,4M =--2,4M ∈246M +=∉合，A 选项错误；选项B ：设是任意的两个正整数，则，当时，是负数，,a b a b M +Îa b <a b -不属于正整数集，所以正整数集不为闭集合，B 选项错误；选项C ：当时，设，{}3,M n n k k Z ==∈12123,3,,a k b k k k Z ==∈则，所以集合M 是闭集合，C 选项正确；()()12123,3a b k k M a b k k M +=+∈-=-∈选项D ：设，由C 可知，集合为闭集合，{}{}1232A n n k k Z A n n k k Z ==∈==∈，，，12,A A ，而，故不为闭集合，D 选项错误．()122,3A A ∈⋃()()1223A A +∉⋃12A A ⋃故选：ABD ．10．下列不等式中正确的是（ ）A ．B ． 0.30.31.2 1.3<0.30.20.20.2>C ．D ．0.30.3log 1.2log 1.3> 1.20.2log 0.3log 0.3>【答案】AC【分析】利用指数函数，对数函数，幂函数的性质进行判断【详解】对于A ，因为在上递增，且，所以，所以A 正确， 0.3y x =(0,)+∞ 1.2 1.3<0.30.31.2 1.3<对于B ，因为在上递减，且，所以，所以B 错误，0.2x y =R 0.30.2>0.30.20.20.2<对于C ，因为在上递减，且，所以，所以C 正确， 0.3log y x =(0,)+∞ 1.2 1.3<0.30.3log 1.2log 1.3>对于D ，因为，，所以，所以D 错误， 1.2 1.2log 0.3log 10<=0.20.2log 0.3log 10>= 1.20.2log 0.3log 0.3<故选：AC 11．函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭A ．点是的对称中心 5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x B ．直线是的对称轴 76x π=()f x C ．在区间上单调减 ()f x 2,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．的图象向右平移个单位得的图象 ()f x 712πcos 2y x =【答案】CD【分析】由图知且求，再由过求，将A 、B 中的点代入验证是否为对1A =3344T π=ω()f x (,0)6πϕ称中心、对称轴，根据正弦函数的性质判断给定区间是否为减区间，应用诱导公式化简7()12f x π-，进而判断平移后解析式是否为.cos 2y x =【详解】由图知：且，则， 1A =311341264T πππ=-=T π=∴，可得，2T ππω==2ω=又过， ()()sin 2f x x ϕ=+(,0)6π∴，得，又， sin()03πϕ+=3k πϕπ=-()k ∈Z 2πϕ<∴当时，. 0k =3πϕ=-综上，. ()sin(23f x x π=-A ：代入得：，故错误； 512x π=55(sin()si 1216n 32f ππππ=-==B ：代入得：，故错误； 76x π=77()sin 63()sin 203f ππππ===-C ：由，故在上单调递减，则上递3222232k x k πππππ+≤-≤+5111212k x k ππππ+≤≤+()f x 511[,1212ππ减，而，故正确； 2511,[,]121322ππππ⎡⎤⊂⎢⎥⎣⎦D ：，故正确； 77(sin )si 33[2(](2)sin n 12(2)c 12os 2322f x x x x x πππππ-=---==--=【点睛】关键点点睛：利用函数部分图象确定的参数，写出解析式，进而根据各选项的描述，()f x 判断对称中心、对称轴、单调区间及平移后的解析式.12．设函数，给出如下命题，其中正确的是（ ）()f x x x bx c =++A ．时，是奇函数0c =()y f x =B ．，时，方程只有一个实数根0b =0c >()0f x =C ．的图象关于点对称()y f x =()0,c D ．方程最多有两个实数根()0f x =【答案】ABC【解析】利用函数的解析式，结合奇偶性和对称性，以及利用特值法，依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ，当时，，0c =()f x x x bx =+此时，故为奇函数，A 正确；()()f x f x -=-()f x 对选项B ，当，时，，0b =0c >()f x x x c =+若，无解，若，有一解B 正确；0x ≥()0f x =0x <()0f x =x =对选项C ，因为为奇函数，图象关于对称，()g x x x bx =+()0,0所以图象关于对称，故C 正确，()f x x x bx c =++()0,c 对选项D ，当，时，，1b =-0c =()f x x x x =-方程，即，解得，，，()0f x =0x x x -=11x =-20x =31x =故D 错误.故选：ABC三、填空题13．已知集合，，若，则实数m 的取值范围{|25}A x x =-≤≤{|121}B x m x m =+≤≤-A B A ⋃=______________【答案】 (]3m ∈-∞，的关系列不等式求解．【详解】解：，，{|25}A x x =-≤≤ {|121}B x m x m =+≤≤-由，A B A ⋃=，B A ∴⊆当时，满足，①B =∅B A ⊆此时，121m m +>-；2m <∴当时，②B ≠∅，B A ⊆ 则，12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩解得．23m ≤≤综上，． (]3m ∈-∞，故答案为：． (]3m ∈-∞，14．已知为钝角，且，则______. α3cos 25πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭cos α=【答案】 45-【分析】根据诱导公式和同角三角函数关系求解即可.【详解】解：，， 3cos sin 25παα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭ 3sin 5α∴=为钝角，αQ . 4cos 5α∴==-故答案为： 45-15．设则的值是________． ()()()3,10,5,10,x x f x f f x x +>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩()5f 【答案】24【解析】由分段函数的解析式知：即可求值.(5)(((15)))((18))(21)f f f f f f f ===【详解】∵当时，，又，10x >()13f x >510<∴，(5)((55))(((105)))(((15)))((18))(21)24f f f f f f f f f f f f =+=+====【点睛】本题考查了利用分段函数解析式求函数值，属于基础题.16．若实数，满足，则的最小值为___________. a b 0ab >2214a b ab++【答案】4【分析】利用两次基本不等式，即可得出答案.【详解】因为0ab>所以22111444a b ab ab ab ab ++≥=+≥=当且仅当即或时取“”. 2214,4a b ab ab ==112a b =⎧⎪⎨=⎪⎩112a b =-⎧⎪⎨=-⎪⎩=故答案为：4.四、解答题17．已知，是方程的两根，求下列各式的值.tan αtan β23570x x +-=(1)()tan αβ+(2)()()sin cos αβαβ+-【答案】(1) 12-(2)54【分析】（1）利用韦达定理得到，，再根据两角和的正切公式计算可得；tan tan αβ+tan tan αβ⋅（2）利用同角三角函数的基本关系及和差角公式得到，()5sin cos cos 3αβαβ+=-，从而代入计算可得. ()4cos cos cos 3αβαβ-=-【详解】（1）解：因为，是方程的两根，tan αtan β23570x x +-=所以，， 5tan tan 3αβ+=-7tan tan 3αβ⋅=-所以. ()5tan tan 13tan 71tan tan 213αβαβαβ-++===--+（2）解：因为， ()sin sin sin sin cos cos sin 5tan tan cos cos cos cos cos cos 3αβαβαβαβαβαβαβαβ+++=+===-所以， ()3cos cos sin 5αβαβ=-+即， ()5sin cos cos 3αβαβ+=-又，所以， sin sin 7tan tan cos cos 3αβαβαβ⋅=⋅=-7sin sin cos cos 3αβαβ=-所以， ()4cos cos cos sin sin cos cos 3αβαβαβαβ-=+=-所以. ()()5cos cos sin 534cos 4cos cos 3αβαβαβαβ-+==--18．已知函数（且）的图象经过点和． ()log a f x b x =+0x >1a ≠()8,2()1,1-（1）求的解析式；()f x （2），求实数x 的值；()()23f x f x =⎡⎤⎣⎦【答案】（1）；（2）2或16.()()2log 10f x x x =->【解析】（1）由已知得，，从而求解析式即可； log 82a b +=log 11a b +=-（2），即或3，即可求实数x 的值；()()23f x f x =⎡⎤⎣⎦()0f x =【详解】（1）由已知得，，，（且） log 82a b +=log 11a b +=-0a >1a ≠解得，；2a =1b =-故；()()2log 10f x x x =->（2），即或3，()()23f x f x =⎡⎤⎣⎦()0f x =∴或3，2log 10x -=∴或16.2x =19．已知关于x 的函数y ＝(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1恒有零点．(1)求m 的范围；(2)若函数有两个不同零点，且其倒数之和为－4，求m 的值． 【答案】(1)； 59m ≤-(2).3-【分析】（1）分类讨论函数的类型，当时，根据函数零点的定义求出零点；当时，根6m =-6≠-m据判别式列式可求出结果；（2）转化为(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1有两个不同的实根，利用判别式和韦达定理列式可求出0=结果.【详解】（1）当时，函数化为，6m =-145y x =--令，得，此时函数有零点，符合题意； 0y =514x =-514-当时，由函数y ＝(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1有零点，可得6≠-m 24(1)4(6)(1)0m m m ∆=--++≥，即且， 59m ≤-6≠-m 综上所述：的取值范围是：. m 59m ≤-（2）因为函数有两个不同零点，所以(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1有两个不同的实根，0=所以，解得且， ()()()26Δ414610m m m m ≠-⎧⎪⎨=--++>⎪⎩59m <-6≠-m 设(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1的两个不同的实根分别为和，0=1x 2x 则，， 122(1)6m x x m -+=-+1216m x x m +⋅=+因为，所以， 12114x x +=-12124x x x x +=-⋅所以，解得，符合题意. 2(1)41m m --=-+3m =-综上所述：.3m =-20．设函数．()sin ()f x x x x =∈R (1)若，求函数的值域；[0,]x π∈()y f x =(2)若函数在区间上单调递增，求实数m 的取值范围．2[()]y fx =(,)(0)m m m ->【答案】(1)[2](2) 0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】（1）先化简的解析式，由，可得，从而得到答案. ()f x 4,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦sin()13x π≤+≤（2）化简可得，由余弦函数的图像性质可得答案. 2[()]y f x =222cos(2)3y x π=-+【详解】（1），即． 1()sin 2(sin cos 2f x x x x x ==⋅+()2sin(3f x x π=+因为，所以， [0,]x π∈4,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎣⎦即，即，sin()13x π≤+≤()2f x ≤≤所求函数的值域为．()y f x=[2]（2），即 2221cos(2)3[()]2sin(432x f x x y ππ-+⎡⎤==+⋅⎢=⎥⎣⎦222cos(2)3y x π=-+令，，得，， 22223k x k ππππ<+<+k ∈Z 36k x k ππππ-+<<+k ∈Z 即函数在区间，上单调递增2[()]y f x =(,)36k k ππππ-++k ∈Z 要使函数在区间上单调递增，2[()]y f x =(,)(0)m m m ->只需，即， (,)(,36m m ππ-⊆-06m π<≤所求实数m 的取值范围是． 0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦21．某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为21200800002y x x =-+100元.(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？ 【答案】(1)每月处理量为400吨时，平均每吨处理成本最低(2)该企业不盈利，国家至少需要补贴35000元才能使该单位不亏损.【分析】（1）设该工厂每吨平均处理成本为，，利用基本不等式求最z 21200800002x x y z x x-+==值可得答案；（2）设该工厂每月的利润为,，利用配方求最值可得答案. ()P x 21()100200800002P x x x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭【详解】（1）设该工厂每吨平均处理成本为，z ， []()21200800002300,600x x y z x x x-+==∈∴， 800002002002002x z x =+-≥=当且仅当，即时取等号， 800002x x =400x =当时，每吨平均处理成本最低.400x =（2）设该工厂每月的利润为，()P x 则， 21()10020080000,3006002P x x x x x ⎛⎫=--+≤≤ ⎪⎝⎭∴， 2211()30080000(300)3500022P x x x x =-+-=---当时，，300x =max ()350000P x =-<所以该工厂不获利，且需要国家每月至少补贴35000元才能使工厂不亏损.22．已知是定义在上的奇函数，且若对任意的m ，，，都有()f x [2,2]-(2)3f =[2,2]n ∈-0m n +≠. ()()0f m f n m n+>+（1）若，求实数a 的取值范围；(21)()0f a f a -+-<（2）若不等式对任意和都恒成立，求实数t 的取值范围.()(52)1f x a t ≤-+[2,2]x ∈-[1,2]a ∈-【答案】（1）；（2）. 1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭[2,)+∞【分析】（1）利用单调性的定义，令，计算，证1222x x -≤<≤()()()()12120f x f x f x f x -<⇒<得在上递增，由此结合奇函数的性质化简不等式，求得的取值范()f x []22-,(21)()0f a f a -+-<a 围.（2）将不等式恒成立转化为对任意的都恒成立，通过构造一次函数的方2520ta t -+≤[1,2]a ∈-法，求得的取值范围.t 【详解】（1）设任意，，满足，1x 2x 1222x x -≤<≤由题意可得，()()()()()()()()12121212120f x f x f x f x f x f x x x x x +--=+-=-<+-即，()()12f x f x <在定义域上是增函数. ()f x ∴[2,2]-则可化为，(21)()f a f a -<2212a a -≤-<≤解得，a 的取值范围为. 112a -≤<∴1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭（2）由（1）知不等式对任意和都恒成立，()(52)1f x a t ≤-+[2,2]x ∈-[1,2]a ∈-对任意的都恒成立， max ()(52)1f x a t ≤-+[1,2]a ∈-恒成立，()23(52)1f a t ∴=≤-+即对任意的都恒成立， 2520ta t -+≤[1,2]a ∈-令，，()252g a ta t =-+[1,2]a ∈-则只需， (1)720(2)20g t g t -=-+≤⎧⎨=-+≤⎩解得，的取值范围.2t ≥t ∴[2,)+∞【点睛】利用函数单调性的定义进行证明，主要是判断的符号. ()()12f x f x -。

2020-2021学年湖南省长沙市长沙县高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合P={2,4,6,8}，则集合P的真子集的个数是()A. 4B. 14C. 15D. 162.命题p：∃x0∈R,x02+2x0+2≤0，则￢p为()A. ∃x0∈R,x02+2x0+2>0B. ∃x0∉R,x02+2x0+2>0C. ∀x∈R，x2+2x+2>0D. ∀x∈R，x2+2x+2≤03.如果a<0，b>0，那么下列不等式中正确的是()A. 1a <1bB. √−a<√bC. a2<b2D. |a|>|b|4.下列每组函数是同一函数的是()A. f(x)=x0与f(x)=1B. f(x)=√x2−1与f(x)=|x|−1C. f(x)=x2−4x+2与f(x)=x−2D. f(x)=√(x−1)(x−2)与f(x)=√x−1√x−25.下列函数在[1,4]上最大值为3的是()A. y=1x+2 B. y=3x−2 C. y=x2 D. y=3x6.将函数y=cosx−1的图象向左平移π2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为f(x)=()A. sinxB. −sinxC. cosxD. −cosx7.已知a=30.3，b=(13)−0.2，c=ln2，则a，b，c的大小关系为()A. b<a<cB. c<a<bC. c<b<aD. b<c<a8.已知e是自然对数的底数，函数f(x)=e x+x−2的零点为a，函数g(x)=lnx+x−2的零点为b，则下列不等式中成立的是()A. a<1<bB. a<b<1C. 1<a<bD. b<1<a二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 已知M ={x ∈R|x ≥3}，a =π，有下列四个式子：(1)a ∈M ；(2)a ⊆M ；(3){a}⊆M ；(4){a}∩M =π，其中正确的序号是( )A. (1)B. (2)C. (3)D. (4)10. 已知实系数一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)，下列结论正确的是( )A. △=b 2−4ac ≥0是这个方程有实根的充要条件B. △=b 2−4ac =0是这个方程有实根的充分条件C. △=b 2−4ac >0是这个方程有实根的必要条件D. △=b 2−4ac <0是这个方程没有实根的充要条件11. 下列选项中，与sin 56π的值相等的是( )A. cos(−π3) B. cos18°cos42°−sin18°sin42° C. 2sin15°sin75°D. tan30°+tan15°1−tan30∘tan15∘12. 设函数f(x)=log 12x ，下列四个命题正确的是( ) A. 函数f(x)为偶函数B. 若f(a)=|f(b)|，其中a >0，b >0，a ≠b ，则ab =1C. 函数f(−x 2+2x)在(1,2)上单调递增D. 若0<a <1，则|f(1+a)|>|f(1−a)|三、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 不等式x 2−2x +3<0的解集是______．14. 已知(a 2+a +2)x >(a 2+a +2)1−x ，则x 的取值范围是______．15. 已知函数f(x)是R 上的奇函数，且f(x +2)=−f(x)，当x ∈(0,2)时，f(x)=x 2，则f(7)=______．16. 国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P =Asin(ωπt +π4)+60(美元)[t(天)，A >0，ω>0]，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t =150(天)时达到最低油价，则ω的最小值=______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 化简求值：(1)lg2+lg5−lg1；(2)(√8)23+√2⋅√23⋅√26−π0；(3)(0.064)−13+16−0.75+log28．18.已知集合A={x|y=√(2+x)(4−x)}，B={x|−1<x<m+1}．(1)求集合A；(2)若m=4，求A∪(∁R B)，(∁R A)∩B；(3)若A∪B=A，求实数m的取值范围．19.甲、乙两地相距1000千米，某货车从甲地匀速行驶到乙地，速度为v千米/小时(不得超过120千米/小时).已知该货车每小时的运输成本m(以元为单位)由可变部分y1v2；固定部和固定部分y2组成：可变部分与速度v(单位：km/ℎ)的关系是y1=1100分y2为81元．(1)根据题意可得，货车每小时的运输成本m=______，全程行驶的时间为t=______；(2)求该货车全程的运输总成本与速度v的函数解析式；(3)为了使全程的运输总成本最小，该货车应以多大的速度行驶？20.函数f(x)=√3sin2x+cos2x的部分图象如图所示．(1)将函数f(x)化为f(x)=Asin(ωx+φ)的形式；(2)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；(3)求f(x)的单调递减区间．21.某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t,P)，点(t,P)落在如图所示的两条线段上．该股票在30天内(包括30天)的日交易量M(万股)与时间t(天)的部分数据如表所示：第t天6132027M(万股)34272013(1)根据提供的图象，写出该股票每股交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式P=______；(2)根据表中数据，写出日交易量M(万股)与时间t(天)的一次函数关系式：M=______；(3)用y(万元)表示该股票日交易额，写出y关于t的函数关系式，并求在这30天内第几天日交易额最大，最大值为多少？22. 已知函数f(x)=x−mnx 2+1是定义在[−1,1]上的奇函数，且f(1)=12．(1)求m ，n 的值；(2)判断f(x)在[−1,1]上的单调性，并用定义证明；(3)设g(x)=kx +5−2k ，若对任意的x 1∈[−1,1]，总存在x 2∈[0,1]，使得f(x 1)≤g(x 2)成立，求实数k 的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵P={2,4,6,8}，集合P中共有4个元素，则P真子集个数为24−1=15．故选：C．数出集合P中元素的个数，利用真子集个数公式求解即可．此题考查了集合中真子集个数的问题，熟练掌握真子集个数求解公式是关键，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：命题p：∃x0∈R,x02+2x0+2≤0，是特称命题，其否定应为全称命题，其否定为：∀x∈R，x2+2x+2>0．故选C．题目给出的命题是特称命题，特称命题的否定是全称命题，注意全称命题的格式．本题考查了命题的否定，特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，解答此题的关键是命题格式的书写，全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定￢p：∃x∈M，￢p(x)；特称命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定￢p：∀x∈M，￢p(x).此题是基础题．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查不等关系与不等式，利用特殊值法进行求解更加简便，属于基础题．根据已知条件分别对A、B、C、D，四个选项利用特殊值代入进行求解．【解答】解：A、如果a<0，b>0，那么1a <0,1b>0，∴1a<1b，故A正确；B、取a=−2，b=1，可得√−a>√b，故B错误；C、取a=−2，b=1，可得a2>b2，故C错误；D、取a=−12，b=1，可得|a|<|b|，故D错误；故选：A．4.【答案】B【解析】解：对于A：f(x)=x0的定义域为{x|x≠0}，而f(x)=1的定义域为R，定义域不同，∴不是同一函数；对于B：f(x)=√x2−1=|x|−1，的定义域为R，而f(x)=|x|−1的定义域为R，它们定义域相同，对应关系也相同，∴是同一函数；对于C：f(x)=x2−4x+2的定义域为{x|x≠−2}，而与f(x)=x−2的定义域为R，定义域不同，∴不是同一函数；对于D：f(x)=√(x−1)(x−2)的定义域为{x|x≥2或x≤1}，而f(x)=√x−1√x−2的定义域为{x|x≥2}，定义域不同，∴不是同一函数；故选：B．根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数即可．本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，是基础题目．5.【答案】A【解析】解：y=1x+2在[1,4]上单调递减，当x=1时，函数取得最大值3，符合题意；y=3x−2在[1,4]上单调递增，当x=4时，函数取得最大值10，不符合题意；y=x2在[1,4]上单调递增，当x=4时，函数取得最大值16，不符合题意；y=3x在[1,4]上单调递增，当x=4时，函数取得最大值81，不符合题意．故选：A．分别判断各函数的单调性，进而可求函数的最大值．本题主要考查了利用函数的单调性求解函数的值域，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：将函数y=cosx−1的图象向左平移π2个单位长度，得到y=cos(x+π2)−1=−sinx−1，再向上平移1个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为f(x)=−sinx．故选：B ．直接利用函数的图象的平移变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，函数的图象的平移变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：由题意可得b =(13)−0.2>(13)0=1， ln1=0<ln2<lne =1， 而a =30.3>30=1， 又有(13)−0.2=30.2<30.3， 所以有c <b <a ， 故选：C ．利用指数函数，对数函数的单调性结合中间值0，1，比较即可得出． 本题考查对数函数，指数函数的单调性，是基础题．8.【答案】A【解析】解：由f(x)=e x +x −2=0得e x =2−x ， 由g(x)=lnx +x −2=0得lnx =2−x ，作出函数y =e x ，y =lnx ，y =2−x 的图象如图：∵函数f(x)=e x +x −2的零点为a ，函数g(x)=lnx +x −2的零点为b ， ∴y =e x 与y =2−x 的交点的横坐标为a ，y =lnx 与y =2−x 交点的横坐标为b ， 由图象知a <1<b ， 故选：A ．根据函数与方程之间的关系转化为函数y=e x与y=2−x，y=lnx与y=2−x交点的横坐标的大小问题，利用数形结合进行比较即可．本题主要考查函数与方程的应用，利用函数转化为两个图象的交点问题，结合数形结合是解决本题的关键．9.【答案】AC【解析】解：由于M={x∈R|x≥3}，知构成集合M的元素为大于等于3的所有实数，因为a=π>3，所以元素a∈M，且{a}⊆M，同时{a}∩M={π}，所以(1)和(3)正确，故选：AC．因为集合A中的元素是大于等于3的所有实数，而a=π，所以元素a在集合M中，根据集合与元素及集合与集合之间的关系逐一判断各选项．本题考查了元素与集合、集合与集合之间的关系，解答的关键掌握概念，属基础题．10.【答案】ABD【解析】解：A.△=b2−4ac≥0⇔这个方程有实根，因此正确．B.△=b2−4ac=0⇒这个方程有实根，反之不成立，因此△=b2−4ac=0是这个方程有实根的充分条件，正确；C.△=b2−4ac>0是这个方程有实根的充分不必要条件，因此不正确；D.△=b2−4ac<0是这个方程没有实根的充要条件，正确．故选：ABD．根据一元二次方程有实数根的充要条件即可判断出正误．本题考查了一元二次方程有实数根的充要条件、简易逻辑的判断方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.【答案】ABC【解析】解：因为sin5π6=12，cos(−π3)=cosπ3=12，A符合题意；cos18°cos42°−sin18°sin42°=cos(18°+42°)=cos60°=12，B符合题意；2sin15°sin75=2sin15°cos15°=sin30°=12，C符合题意；tan30°+tan15°1−tan30∘tan15∘=tan(30°+15°)=tan45°=1，D不符合题意．故选：ABC．结合诱导公式及和差角，二倍角公式分别进行化简，即可求解．本题主要考查了和差角公式，二倍角公式及特殊角的三角函数值的应用，属于基础题．12.【答案】BC【解析】解：f(x)=log12x，x>0，根据对数函数的性质，A错误；若f(a)=|f(b)|其中a>0，b>0，∵a≠b，∴f(a)=|f(b)|=−f(b)，∴log12a+log12b=log12(ab)=0，∴ab=1.因此B正确；函数f(−x2+2x)=log12(−x2+2x)=log12[−(x−1)2+1]，由−x2+2x>0，解得0<x<2，∴函数的定义域为(0,2)，对称轴是x=1，函数在(1,2)单调递增，故C正确；若0<a<1，∴1+a>1−a，∴f(1+a)<0<f(1−a)，故|f(1+a)|−|f(1−a)|=−f(1+a)−f(1−a)=−log12(1−a2)<0，即|f(1+a)|<|f(1−a)|，因此D错误；故选：BC．A根据对数函数的性质显然不是偶函数；B若f(a)=|f(b)|其中a>0，b>0，∵a≠b，可得f(a)=|f(b)|=−f(b)，利用对数的运算性质可得：log12(ab)=0，可得ab=1；C函数f(−x2+2x)=log12[−(x−1)2+1]，由−x2+2x>0，解出可得函数的定义域为(0,2)结合复合函数的单调性，即可判断出正误；D由0<a<1，可得1+a>1−a，f(1+a)<0<f(1−a)，作差|f(1+a)|−|f(1−a)|=−f(1+a)−f(1−a)，化简即可得出正误．本题考查了对数函数的奇偶性、单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.【答案】⌀【解析】解：不等式x2−2x+3<0对应的方程为x2−2x+3=0，且Δ=4−12=−8<0，所以方程无实数解，对应不等式的解集是⌀．故答案为：⌀．根据不等式对应的方程无实数解，由此求出不等式的解集．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．14.【答案】x>12【解析】解：∵a2+a+2=(a+12)2+74>1，且(a2+a+2)x>(a2+a+2)1−x，∴x>1−x，∴x>12．故答案为：x>12确定a2+a+2的范围，利用指数函数的性质，推出x>1−x，即可求出x的取值范围．本题考查幂函数的性质，考查分析问题解决问题的能力，是基础题．15.【答案】−1【解析】解：由f(x+2)=−f(x)，得f(x+4)=f(x)，所以函数的周期为4．所以f(7)=f(3)=f(−1)，因为函数为奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)=x2，所以f(−1)=−f(1)=−1，所以f(7)=f(−1)=−1．故答案为：−1．由f(x+2)=−f(x)，得到函数的周期，然后利用周期性和奇偶性的应用，求f(7)即可．本题主要考查函数周期性的判断以及函数奇偶性的应用，要求熟练掌握函数性质的综合应用．16.【答案】1120【解析】解：因为国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P=Asin(ωπt+π4)+60(美元)[t(天)，A>0，ω>0]，最高油价80美元，所以80=Asin(ωπt+π4)+60，因为sin(ωπt+π4)≤1，所以A=20，当t=150(天)时达到最低油价，即sin(150ωπ+π4)=−1，此时150ωπ+π4=2kπ−π2，k∈Z，因为ω>0，所以令k=1，150ωπ+π4=2π−π2，解得ω=1120．故答案为：1120．通过三角函数的最大值，利用最高油价80美元，求出A，通过当t=150(天)时达到最低油价，求出ω．本题是应用题，考查函数的好像是的求法，注意几何量之间的关系，正确理解题意是解题的关键．17.【答案】解：(1)原式=lg(2×5)−0=lg10=1；(2)原式=(232)23+212⋅213⋅216−1=2+2(12+13+16)−1=2+2−1=3；(3)原式=(0.43)−13+(24)−34+3=0.4−1+2−3+3=52+18+3=458．【解析】根据对数与指数的运算性质对应各个问题化简即可求解．本题考查了对数与指数的运算性质，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)集合A={x|y=√(2+x)(4−x)}={x|(2+x)(4−x)≥0}={x|(2+ x)(x−4)≤0}={x|−2≤x≤4}；(2)m=4时，B={x|−1<x<5}.∁R B={x|x≤−1或x≥5}，∁R A={x|x<−2或x> 4}∴A ∪(∁R B)={x|x ≤4或x ≥5}， (∁R A)∩B ={x|4<x <5}； (3)∵A ∪B =A ，∴A ⊆B ，当B =⌀时，m +1≤−1，解得m ≤−2； 当B ≠⌀时，{−1<m +1m +1≤4，解得−2<m ≤3，∴实数m 的取值范围是(−∞,3]．【解析】(1)解不等式能求出集合A ．(2)m =4时，求出集合B ={x|−1<x <5}.∁R B ={x|x ≤−1或x ≥5}，∁R A ={x|x <−2或x >4}，由此能求出A ∪(∁R B)，(∁R A)∩B ；(3)由A ∪B =A ，得A ⊆B ，当B =⌀时，m +1≤−1，当B ≠⌀时，{−1<m +1m +1≤4，由此能求出实数m 的取值范围．本题考查集合的运算，考查交集、并集、补集的定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.【答案】1m v 2+81 1000v【解析】解：(1)∵货车每小时的运输成本m(以元为单位)由可变部分y 1和固定部分y 2组成：可变部分与速度v(单位：km/ℎ)的关系是y 1=1100v 2；固定部分y 2为81元， ∴货车每小时的运输成本m =1100v 2+81，∵甲、乙两地相距1000千米，某货车从甲地匀速行驶到乙地，速度为v 千米/小时， ∴全程行驶的时间t =1000v．(2)货车全程的运输总成本y =mt =(y 1+y 2)×1000v=(1100v 2+81)×1000v=10v +81000v(0<v ≤120)．(3)y =10v +81000v≥2√10v ×81000v=1800元，当且仅当10v =81000v，解得v =90∈(0,120]时，故为了使全程的运输总成本最小，该货车应以90m/s 的速度行驶．(1)根据已知条件，结合运算成本由y 1和固定部分y 2组成，以及时间=路程速度，即可求解． (2)货车全程的运输总成本y =mt =(y 1+y 2)×1000v=(1100v 2+81)×1000v，即可求解．(3)根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．本题主要考查函数的实际应用，掌握基本不等式公式是解本题的关键，属于基础题．20.【答案】解：(1)f(x)=2(√32sin2x +12cos2x)=2sin(2x +π6)，即f(x)=2sin(2x +π6)． (2)∵f(x)=2sin(2x +π6)， ∴f(x)的最小正周期T =2π2=π，则函数f(x)的最大值为2，即y 0=2， 由2x +π6=2kπ+π2，k ∈Z ，即2x =2kπ+π3，得x =kπ+π6，k ∈Z ，当k =0时，右侧第一个对称轴为x =π6，当k =1时，得第二条对称轴为x 0=7π6．(3)由π2+2kπ≤2x +π6≤3π2+2kπ，得π6+kπ≤x ≤2π3+kπ，k ∈Z ， 此时函数f(x)单调递减，即函数的递减区间是[π6+kπ,2π3+kπ]，k ∈Z ．【解析】(1)利用辅助角公式进行化简即可．(2)利用三角函数的周期公式以及最值以及对称性进行求解即可． (3)利用三角函数的单调性进行求解．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行转化是解决本题的关键，是中档题．21.【答案】{15t +2,0≤t <20,−110t +8,20≤t ≤30−t +40【解析】解：(1)当0≤t <20时，设函数解析式为：P =at +b ，把点(0,2)和(10,4)代入得：{b =210a +b =4，解得：{a =′15b =2，∴P =15t +2，当t =20时，P =6，当20≤t ≤30时，设函数解析式为：P =mt +n ，把点(20,6)和(30,5)代入得：{20m +n =630m +n =5，解得：{m =−110n =8，∴P =−110t +8， ∴P ={15t +2,0≤t <20,−110t +8,20≤t ≤30；(2)设M =ct +d ，(c ≠0)，把点(6,34)和点(13,27)代入得：{6c +d =3413c +d =27，解得：{c =−1d =40，∴M =−t +40；(3)∵该股票每股交易价格P ={15t +2,0≤t <20,−110t +8,20≤t ≤30，日交易量M =−t +40，∴该股票日交易额y =PM ={−15t 2+6t +80,0≤t <20,110t 2−12t +320,20≤t ≤30,，当0≤t <20时，y =−15t 2+6t +80，当t =15时，y max =125， 当20≤t ≤30时，y =110t 2−12t +320，当t =20时，y max =120， 综上所求，在这30天内第15天日交易额最大，最大值为125． (1)利用待定系数法，分段求函数解析式即可； (2)利用待定系数法即可求出结果； (3)分段求出y 的最大值，再比较即可． 本题主要考查了函数的实际运用，是中档题．22.【答案】解：(1)因为函数f(x)=x−mnx 2+1是定义在[−1,1]上的奇函数，且f(1)=12，则{f(0)=−m1=0f(1)=1−m n+1=12，解得m =0，n =1， 所以函数f(x)=xx 2+1， 经检验，函数为奇函数， 所以m =0，n =1； (2)f(x)在[−1,1]上单调递增． 证明如下：设−1≤x 1<x 2≤1，则f(x 1)−f(x 2)=x 1x 12+1−x2x 22+1=(x 1x 2−1)(x 2−x 1)(x 12+1)(x 22+1)，其中x 1x 2−1<0，x 2−x 1>0，所以f(x 1)−f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)，故函数f(x)在[−1,1]上单调递增；(3)因为对任意的x1∈[−1,1]，总存在x2∈[0,1]，使得f(x1)≤g(x2)成立，所以f(x)max≤g(x)max，因为f(x)在[−1,1]上单调递增，所以f(x)max=f(1)=12，当k=0时，g(x)=5；所以12≤5恒成立，符合题意；当k>0时，g(x)=kx+5−2k在[0,1]上单调递增，则g(x)max=g(1)=5−k，所以12≤5−k，解得0<k≤92；当k<0时，函数g(x)=kx+5−2k在[0,1]上单调递减，则g(x)max=g(0)=5−2k，所以12≤5−2k，解得k<0．综上所述，实数k的取值范围为(−∞,92]．【解析】(1)利用奇函数的性质f(0)=0，结合f(1)=12，求解方程组，得到m，n的值，检验即可；(2)利用函数单调性的定义判断并证明即可；(3)将问题转化为f(x)max≤g(x)max，利用f(x)的单调性求出f(x)max，分k=0，k>0和k<0三种情况，利用g(x)的单调性求出g(x)max，即可得到答案．本题考查了函数恒成立问题，函数性质的综合应用，函数奇偶性的应用，函数单调性的判断与证明，利用函数单调性求解函数最值的应用，要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题．。