八年级上册数学-分式求值的几种常用方法

八年级上册数学分式计算题
一、分式化简求值
1. 化简并求值：公式，其中公式。

解析：
- 首先对分子分母进行因式分解：
- 对于分子公式；
- 对于分母公式。

- 然后将原式进行化简：
- 原式公式
- 约分后得到：公式。

- 当公式时，代入化简后的式子：
- 把公式代入公式，得到公式。

2. 化简求值：公式，其中公式。

解析：
- 先对分子分母因式分解：
- 分子公式；
- 分母公式。

- 然后化简式子：
- 原式公式。

- 当公式时：
- 代入化简后的式子得：公式。

二、分式的加减运算
1. 计算：公式。

解析：
- 先通分，找到两个分式分母的最简公分母为公式。

- 对两个分式进行通分变形：
- 公式；
- 公式。

- 然后进行减法运算：
- 原式公式。

2. 计算：公式。

解析：
- 先对分母进行因式分解，公式。

- 通分，最简公分母为公式。

- 公式；
- 公式。

- 进行加法运算：
- 原式公式。

三、分式的乘除运算
1. 计算：公式。

解析：
- 先对分子分母因式分解：
- 分子公式； - 分母公式。

- 然后将除法转化为乘法：
- 原式公式。

- 约分得到：
- 原式公式。

2. 计算：公式。

解析：
- 对分子分母因式分解：
- 分子公式； - 分母公式。

- 然后进行乘法运算：
- 原式公式。

内容 基本要求略高要求较高要求分式的概念 了解分式的概念，能确定分式有意义的条件能确定使分式的值为零的条件分式的性质 理解分式的基本性质，并能进行简单的变型能用分式的性质进行通分和约分分式的运算 理解分式的加、减、乘、除运算法则会进行简单的分式加、减、乘、除运算，会运用适当的方法解决与分式有关的问题一、比例的性质： ⑴ 比例的基本性质：a cad bc b d=⇔=，比例的两外项之积等于两内项之积. ⑵ 更比性（交换比例的内项或外项）： ( ) ( ) ( )a bc d a c d cb d b a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩交换内项 交换外项 同时交换内外项⑶ 反比性（把比例的前项、后项交换）：a c b db d a c=⇒=⑷ 合比性：a c a b c d b d b d ±±=⇒=，推广：a c a kb c kdb d b d±±=⇒=（k 为任意实数） ⑸ 等比性：如果....a c m b d n ===，那么......a c m ab d n b+++=+++（...0b d n +++≠）二、基本运算分式的乘法：a c a cb d b d⋅⋅=⋅分式的除法：a c a d a db d bc b c⋅÷=⨯=⋅乘方：()n nn nn a a aa a aa ab b bb b bb b ⋅=⋅=⋅个个n 个＝(n 为正整数) 整数指数幂运算性质：⑴m n m n a a a +⋅=(m 、n 为整数) ⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数) ⑶()n n n ab a b =(n 为整数)知识点睛中考要求分式的化简求值（1）⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 为整数) 负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1n n a a-=(0a ≠)，即n a -(0a ≠)是n a 的倒数 分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，a b a bc c c+±=异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．结果以最简形式存在.一、化简后直接代入求值【例1】 先化简再求值：2111x x x---，其中2x = 【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，湖南郴州【解析】原式()()111x x x x x =---()111x x x x-==-当2x =时，原式112x ==【答案】12【例2】 已知：2221()111a a a a a a a ---÷⋅-++，其中3a =【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】222221(1)()4111(1)a a a a a a a a a ---+÷⋅=-=--++-【答案】4-【巩固】先化简，再求值：22144(1)1a a a a a-+-÷--，其中1a =- 【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，安徽省中考例题精讲【解析】()2221144211122a a a a a a a a a a a a --+-⎛⎫-÷=⋅= ⎪----⎝⎭- 当1a =-时，原式112123a a -===---【答案】13【例3】 先化简，再求值：211(1)(2)11x x x -÷+-+-，其中x =【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，湖北省十堰市中考试题【解析】原式()()()111121x x x x x +-=⋅+-+-+ ()()12x x x =-+-22x =-当x 时，原式224=-=．【答案】4【例4】 先化简，后求值：22121(1)24x x x x -++÷--，其中5x =-． 【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，广东省肇庆市中考试题【解析】22121(1)24x x x x -++÷--=221(1)2(2)(2)x x x x x -+-÷-+- =21(2)(2)2(1)x x x x x -+-⋅-- =21x x +- 当5-=x 时，原式21x x =+-521512+-=-=-. 【答案】12【巩固】先化简，再计算：231124a a a +⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭，其中3a =． 【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，湖南省岳阳市中考试题【解析】原式2223221a a a a a a +--⎛⎫=+⨯⎪--+⎝⎭()()22121a a a a a +-+=⨯-+ 2a =+【答案】2a +【例5】 当12x =-时，求代数式22226124111x x x x x x x x ⎛⎫++-+-+÷ ⎪--+⎝⎭的值 【考点】化简后直接代入求值【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】原式2224(1)1(1)(1)2413x x x x x x x x x x -++=⨯==+--+- 【答案】13【例6】 先化简分式22222936931a a a a a a a a a ---÷-+-+-，然后在0，1，2，3中选一个你认为合适的a 值，代入求值．【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，广东省深圳市中考试题【解析】原式()()()()223332313a a a a a a a a a a a a +-+-=⋅-=+=--+ 当0123a =，，，时，原式0246=，，， 【答案】0，2，4，6【巩固】先化简：22222a b ab b a a ab a⎛⎫-+÷+ ⎪-⎝⎭，当1b =-时，再从22a -<<的范围内选取一个合适的整数a 代入求值．【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，贵州省贵阳市中考试题【解析】原式()()()()22221a b a b a ab b a b a a a b a a a ba b +-+++=÷=⋅=-++在22a -<<中，a 可取的整数为101-，，，而当1b =-时，①若1a =-，分式222a b a ab--无意义；②若0a =，分式22ab b a +无意义；③若1a =，分式1a b+无意义． 所以a 在规定的范围内取整数，原式均无意义（或所求值不存在）【答案】a 在规定的范围内取整数，原式均无意义（或所求值不存在）【巩固】已知212242xA B C x x x ===--+，，将它们组合成()A B C -÷或A B C -÷的形式，请你从中任选一种进行计算，先化简，再求值其中3=x ． 【考点】化简后直接代入求值 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2010年，河南省中考试题【解析】选一：()()()21221242222x x x A B C x x x x x x x +⎛⎫-÷=-÷=⨯= ⎪--++--⎝⎭ 当3x =时，原式1132==- 选二：()21212124222x A B C x x x x x x x -÷=-÷=-=--+--，当3x =时，原式13=【答案】选一：当3x =时，原式1132==- 选二：当3x =时，原式13=【例7】 先化简，再求值:224125(2)2[2()](34)(2)a a a a a a a a +++÷--÷-+，其中4a =【考点】化简后直接代入求值【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】原式2224(3)5(2)(2)[2](34)(2)a a a a a a a a +++=÷--÷-+4(3)(2)(2)5(34)(2)2a a a a a a +-+-=÷-++ 4(3)2(34)(2)(3)(3)a a a a a a ++=⋅-+-+4(34)(3)a a =-- 当4a =时，原式441(34)(3)(344)(43)2a a ===--⨯--本题含分式乘方、加、减、乘、除混合运算；与分式四则混合运算类似，分式的四则混合运算 的顺序是:先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算． 【答案】12【例8】 已知22a b ==a bb a-的值． 【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，湖北荆门市中考试题【解析】∵22a b =+=∴4a b +=，a b -=，1ab =而a b b a -22()()a b a b a b ab ab -+-==∴a b b a -=()()a b a b ab+-==【答案】【例9】 先化简，再求值：()()x yy x y x x y -++，其中11x y ==，． 【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，湖南湘潭市中考试题【解析】原式()()22x y xy x y xy x y =-++ ()22x y xy x y -=+()()()x y x y xy x y -+=+x y xy-=当 11x y ==，时，11221x yxy--=== 【答案】2【例10】 化简，再求值：11-a b b a ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭ab a b ÷+.其中1a =, b =. 【考点】化简后直接代入求值 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2010年，黄石市中考试题【解析】原式()()()()()2b a a b a b a b b a ab a b b++-+=⋅=-+-∵1a b ==，∴原式1b ==，∴=【巩固】先化简，再求值：22112b a b a b a ab b⎛⎫-÷ ⎪-+-+⎝⎭，其中11a b ==-【考点】化简后直接代入求值 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2010年，宣武一模试题【解析】原式()()()()()()22a b a b a b a b a b a b b a b+----=⋅=-++当11a b ==-==【答案】【例11】 先化简，再求值：22211x yx y x y x y ⎛⎫+÷ ⎪-+-⎝⎭，其中11x y ==， 【考点】化简后直接代入求值 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2010年，广西桂林中考试题 【解析】原式2222222x y x y x yx y x y x y ⎛⎫+-=+÷ ⎪---⎝⎭ 22222x y x y x y x y x y++--=⨯- 222x x y xy==当11x y ==，原式22131xy====-【答案】1【例12】 求代数式()()22222222222a b c a b c ab ac a a ab ab a b a b -----+⋅÷-++-的值，其中1a =，12b =-，23c =- 【考点】化简后直接代入求值 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】()()22222222222a b ca b c ab ac a a ab ab a b a b -----+⋅÷-++-()()()()2a b c a a b c a b c a b a b a a b a b c a b c a b -+-+--+-=⋅⋅-+--++a b ca b --=+． ∴当1a =，12b =-，23c =-时，原式12123112++=-1313263=⨯=． 【答案】133二、条件等式化简求值1. 直接换元求值【例13】 已知：2244a b ab +=（0ab ≠），求22225369a b a b ba b a ab b a b--÷-++++的值． 【考点】直接换元求值（分式） 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2010年，石景山二模【解析】由2244a b ab +=得2b a =原式2a ba b-=+当2b a =时，原式42a aa a-=+1=-【答案】1-【例14】 已知：34x y =，求2222222x y xy y x xy y x xy -+÷-+-的值【考点】直接换元求值（分式）【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】2222222()()()32()()4x y xy y x y x y y x y x x xy y x xy x y x x y y -++-+÷=÷==-+--- 【答案】34【巩固】已知x y z ，，满足235x y z z x ==-+，则52x yy z-+的值为（ ） A.1 B.13C.13-D.12【考点】直接换元求值（分式） 【难度】4星 【题型】选择【关键词】2007年，全国初中数学联赛试题【解析】B ；由235x y z z x ==-+得332y x z x ==，，∴55312333x y x x y z x x --==++ 【答案】13【例15】 已知12=x y ，求2222222-⋅+-++-x x y y x xy y x y x y 的值． 【考点】直接换元求值（分式）【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，海淀一模【解析】y x y y x y x y xy x x-++-⋅+-2222222 22()()2()x x y x y yx y x y x y -+=⋅++--22()x y x y x y =+--2()()x y x y +=-．当21=y x 时，x y 2=. 原式2(2)6(2)x x x x +==--.【答案】6-【例16】 已知221547280x xy y -+=，求xy的值. 【考点】直接换元求值（分式） 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】221547280x xy y -+=，∴(37)(54)0x y x y ++=，∴370x y +=或540x y +=，由题意可知:0y ≠，73x y =-或45x y =-. 【答案】45-【巩固】已知22690x xy y -+=，求代数式 2235(2)4x yx y x y+⋅+-的值. 【考点】直接换元求值（分式） 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2010年，海淀二模【解析】22690x xy y -+=，2(3)0x y -=．∴ 3x y =． ∴原式35(2)(2)(2)x yx y x y x y +=⋅++-352x yx y +=-3(3)52(3)y yy y+=-145=． 【答案】145【例17】 已知x =，求351x x x ++的值．【考点】条件等式化简求值 【难度】4星 【题型】解答【关键词】降次，整体置换【解析】21x -=21x x =+，0x ≠．则()233245555111x x x x x x x x x x x++++=====【例18】 已知123a b c a c ==++，求ca b+的值． 【考点】直接换元求值（分式） 【难度】4星 【题型】解答【关键词】第8届，华罗庚金杯复赛【解析】23b c a a c a +=⎧⎨+=⎩22b c a c a +=⎧⇒⎨=⎩02b c a =⎧⇒⎨=⎩，所以220c aa b a ==++．【答案】2【例19】 已知22(3)0x y a b -+-=，求32223322232332a x ab y b xya x ab y b xy++++的值．【考点】直接换元求值（分式）【难度】3星【题型】解答【关键词】第9届，华罗庚金杯总决赛1试【解析】由已知可得：2y x =，3a b =，故原式7297=. 【答案】7297【巩固】已知2232a b ab -=，0a >，0b >，求证：252a b a b +=- 【考点】直接换元求值（分式）【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】由已知可得22230a ab b --=，则(3)()0a b a b -+=，所以3a b =或a b =-∵0a >,0b >，∴3a b =，则23255322a hb b b a b b b b ++===-- 【答案】52【巩固】已知分式1x y xy+-的值是m ，如果用x ，y 的相反数代入这个分式，那么所得的值为n ，则m 、n 是什么关系？【考点】直接换元求值（分式）【难度】3星【题型】解答【关键词】 【解析】由题可知：()()()1.1x y m xy x y n x y +⎧=⎪-⎪⎨-+-⎪=⎪---⎩，①② 由②得：11x y x y n m xy xy--+==-=---． ∴m n =-，∴0m n +=．所以m n ，的关系为互为相反数．【答案】m n ，的关系为互为相反数【例20】 已知：233mx y +=，且()22201nx y x y -=≠≠-，．试用x y ，表示m n． 【考点】直接换元求值（分式）【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】∵0x ≠，∴由233mx y +=，得：()()231133y y y m x x +--==．由222nx y -=，得：222122y y n x x ++==． ∵1y ≠-，∴0n ≠， ∴()()()231121y y y m n x x +-+=÷()()()231121y y x x y +-=⋅+()312x y -=． 【答案】()312x y -【例21】 已知：230a b c -+=，3260a b c --=，且0abc ≠，求3332223273a b c ab bc a c-++-的值. 【考点】直接换元求值（分式）【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】由题意可知：2303260a b c a b c -+=⎧⎨--=⎩，解得43a c b c =⎧⎨=⎩，333322233215173453a b c c ab bc a c c -+-==-+- 【答案】13-【巩固】已知方程组:230230x y z x y z -+=⎧⎨-+=⎩(0xyz ≠)，求：::x y z 【考点】直接换元求值（分式）【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】把z 看作已知数，解关于x 、y 的方程组，解得5y z =，7x z =，所以::7:5:1x y z =.【答案】::7:5:1x y z =【例22】 设自然数x 、y 、m 、n 满足条件58x y m y m n ===，求的x y m n +++最小值． 【考点】直接换元求值（分式）【难度】5星【题型】解答【关键词】黄冈市初中数学竞赛 【解析】58x y =，58y m =，85m y =，864525n m y ==，从而y 是825200⨯=的倍数，当200y = 586412520032051211578525x y m n y y y y +++=+++=+++= 【答案】1157【例23】 设有理数a b c ，，都不为0，且0a b c ++=， 则222222222111b c a c a b a b c +++-+-+-的值为___________。

第二节分式的化简求值与恒等变形分式的求值：给出一定的条件，在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值。

注：①分式的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须先化简，化简的目的是为了求值，先化简后求值是解有条件的分式求值的基本策略。

①解有条件的分式化简与求值问题时，既要瞄准目标，又要抓住条件，既要根据目标变换条件，又要依据条件来调整目标。

1.分式的化简求值先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值。

注：在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简，化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式。

2.分式化简求值时需注意的问题（1）化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值，化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式=…”。

（2）代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法。

解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法。

当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0.（注意负数和分数加括号的问题）3.分式化简求值需要用到下面的一些技巧①适当引入参数；①取倒数或利用倒数关系；①拆项变形或拆分变形；①整体代入；①利用比例的性质。

1、已知4z 3y 2x==，则222x x z 2-yz x y z y +++=________。

2、化简：1221421x 222+-+÷-+-+x x x x x x ，然后在不等式x ≤2的非负整数解中选择一个适当的数代入求值。

3、如果k fe d c b ===a（b+d+f ≠0），且a+c+e=3（b+d+f ），那么k=________。

4、先化简，再求值：1211x 222++-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x x x x ，其中x 的值从不等式组⎩⎨⎧≤41-x 21x - 的整数解中选取。

5、先化简，再求值：24444x 2-122++--+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x x x ，其中x ²+2x-15=06、已知()2y -x 21-2x +=0，求代数式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x 2y xy 2x y -x 2y xy -2x 2y 1-2x 1的值。

第15章分式的计算与化简求值 人教版八年级上册数学讲义一、内容复习1、最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．2、通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．通分的关键是确定最简公分母．①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数．②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积．通分：，．二、知识点一 分式的乘、除法法则【知识梳理】1. 分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，用式子表示为b a ·d c =bdac . 2. 分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用式子表示为b a ÷d c =b a ·c d =bcad . 【提醒】1. 分式与分式相乘，若分子、分母是单项式，可先将分子、分母分别相乘，然后约去公因式，化为最简分式；若分子、分母是多项式，先把分子、分母分解因式，看能否约分，然后再相乘.2.当整式与分式相乘时，要把整式(看做是分母为1的式子)与分式的分子相乘作为积的分子，分式的分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，看能否约分，然后再相乘.3.分式的除法运算可以转化为分式的乘法运算，若除式(或被除式)是整式时，可以看做是分母是1的式子，然后按照分式除法法则计算.4.分式的乘除运算结果要通过约分化为最简分式(分式的分子、分母没有公因式)或整式的形式.5.分式的乘除混合运算，如果没有其他附加条件(如括号等)，则应按照由左到右的顺序进行计算.【例题精讲】例1、计算2x 3÷的结果是（ ）A ．2x 2B ．2x 4C ．2xD ．4【分析】原式利用除法法则变形，计算即可得到结果．【解答】解：原式=2x 3•x=2x 4，故选：B ．【强化练习】1、（1）x m 86·m x 32 （2）3ab 2÷ab 62、化简的结果是（ ）A ．B ．C ．D ．知识点二 分式的乘方法则【知识梳理】分式的乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。

小专题分式的化简与求值
类型1 分式的运算
1.计算：
(1)
(2)
（甘孜中考）
(7)
（重庆中考）
类型2 分式的化简求值
2.，其中
3.（原黑龙江中考）先化简，再求值：，其中
4.其中
5.（眉山中考）先化简，再求值：，其中满足
6.（广安中考）先化简，并从-1,0,1,2四个数中，
选一个合适的的数代入求值.
7.，其中
8.的非负整数解中选择一
个适当的数代入求值.
9.的范围内选取一个你喜欢的
的值代入求值
10.先化简，，其中
的整数解中选取.
参考答案
1.解：（1）原式=1（2）原式=（3）原式=（4）原式=
（5）原式=（6）原式=（7）原式=8）原式=
（9）原式=
2.解：原式=当时，原式=
3.解：原式=.当时，原式=
4.解：，
原式.当时，原式=
5.解：原式=.则原式=
6.解：原式=且，则原式=-1
7.解：原式=.当时，原式=7
8.解：原式=不等式的非负整数解是0,1,2,且，-2，
.当时，原式=2；当时，原式=
9.解：原式=.当时，原式=4（答案不唯一.注：）
10.解：原式=解得不等式组的整数解为
要使分式有意义，只能取2，原式=-2。

分式的化简 求值 与证明考点•方法•破译1. 分式的化简、求值先化简，后代入求值是代数式化简求值问题的基本策略，有条件的化简求值题，条件可直接使用，变形使用，或综合使用，要与目标紧紧结合起来；无条件的化简求值题，要注意挖掘隐含条件，或通过分式巧妙变形，使得分子为0或分子与分母构成倍分关系特殊情况，课直接求出结果.2. 分式的证明证明恒等式，没有统一的方法，具体问题还要具体分析，一般分式的恒等式证明分为两类：一类是有附加条件的，另一类是没有附加条件的，对于前者，更要善于利用条件，使证明简化.经典•考题•赏析【例1】先化简代数式(11x x -+＋221x x -)÷211x -,然后选取一个使原式有意义的x 的值代入求值.【解法指导】本题化简并不难，关键是x 所取的值的选择，因为原式的分母为：x ＋1，x 2－1，要是原式有意义，则x ＋1≠0且x 2－1≠0故x ≠1，因而x 可取的值很多，但不能取x ≠1解：(11x x -+＋221x x -)÷211x - ＝[2(1)(1)(1)x x x -+-＋2(1)(1)x x x +-]·(x ＋1)(x －1)＝(x －1)2＋2x ＝x 2＋1 当x ＝0时，原式＝1． 【变式题组】01．先化简，再求值222366510252106a a a a a a a a--+÷•++++，其中a ＝.02．已知x ＝2,y ＝22211x y x y x y x y xy ⎛⎫⎛⎫+--•- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭的值03．先化简：222a b a ab --÷(a ＋22ab b a+)，当b ＝－1时，请你为a 任选一个适当的数代入求值.04.先将代数式(x －1x x +)÷(1＋211x -)化简，再从－3＜x ＜3的范围内选取一个合适的整数x 代入求值.【例2】已知1x＋1y ＝5，求2322x xy y x xy y -+++的值.【解法指导】解法1：由已知条件115x y+=，知xy ≠0.将所求分式分子、分母同除以xy ，用整体代入法求解.解法2：由已知条件1x＋1y ＝5，求得x ＋y ＝5xy ，代入求值. 解：方法1：∵1x＋1y ＝5，，∴x ≠0,y ≠0，xy ≠0将待求分式的分子、分母同除以xy . 原式＝(232)(2)x xy y xy x xy y xy -+÷++÷＝112()311()2x y x y+-++＝2552⨯+＝1．方法2：由1x＋1y ＝5知x ≠0,y ≠0，两边同乘以xy ，得x ＋y ＝5xy 故2322x xy y x xy y -+++＝2()()2x y x y xy +++＝25352xy xy xy xy ⨯-⨯+＝77xy xy＝1．【变式题组】 01．（天津）已知1a －1b ＝4，则2227a ab ba b ab---+的值等于（ ） A ．6 B ．－6 C ． 215 D ． 27-02．若x ＋y ＝12，xy ＝9,求的22232x xy yx y xy+++值.03．若4x －3y －6z ＝0,x ＋2y －7z ＝0,求22222223657x y z x y z ++++的值.【例3】（广东竞赛）已知231xx x -+＝1，求24291x x x -+的值. 【解法指导】利用倒数有时会收到意外的效果.解：∵2131x x x =-+∴231x x x -+＝1∴x －3＋1x ＝1∴x ＋1x ＝4. 又∵42291x x x -+＝x 2－9＋21x ＝(x －1x )2－11＝16－11＝5. ∴24291x x x -+＝15. 【变式题目】01．若x ＋1x＝4，求2421x x x ++的值.02．若a 2＋4a ＋1＝0，且4232133a ma a ma a++++＝5求m .【例4】已知ab a b +＝13，bc b c +＝14，ac a c +＝15，求abcab ac bc++的值. 【解法指导】将已知条件取倒数可得a b ab +＝3，b c bc +＝4，a cac+＝5，进而可求111a b c++的值，将所求代数式也取倒数即可求值. 解：由已知可知ac 、bc 、ab 均不为零，将已知条件分别取倒数，得345a babb c bca cac+⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩，即113114115a b c b a c ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ 三式相加可得1a ＋1b ＋1c ＝6，将所求代数式取倒数得ab ac bc abc ++＝1a ＋1b ＋1c ＝6，∴abc ab ac bc ++＝16.【变式题组】 01．实数a 、b 、c 满足：ab a b +＝13，bc b c +＝14，ac a c +＝15，则ab ＋bc ＋ac ＝ . 02．已知xy x y +＝2，xzx z+＝3，yz y z +＝4，求7x ＋5y －2z 的值.【例5】若a b c +＝c b a +＝a c b +，求()()()a b c b a c abc+++的值. 【解法指导】观察题目易于发现，条件式和所求代数式中都有a ＋b ,c ＋b ,a ＋c 这些比较复杂的式子，若设a b c +＝c b a +＝a cb+＝k ，用含k 的式子表示a ＋b ,c ＋b ,a ＋c 可使计算简化. 解：设a b c +＝c b a +＝a c b+＝k ，则a ＋b ＝ck ,c ＋b ＝ak ,a ＋c ＝bk ，三式相加，得2(a＋b ＋c )＝(a ＋c ＋b )k .当a ＋b ＋c ≠0时，k ＝2；当a ＋b ＋c ＝0时，a ＋b ＝－c ，1a bc+=-，∴k ＝－1．∴当k ＝2时，()()()a b c b a c abc +++＝k 3＝8；当k ＝－1时，()()()a b c b a c abc+++＝k3＝－1．【变式题组】01．已知x 、y 、z 满足2x＝3y z -＝5z x +，则52x y y z -+的值为（ ） A ．1 B ． 13 C ． 13- D ． 1202．已知a 、b 、c 为非零实数，且a ＋b ＋c ≠0，若a b c c +-＝a b c b -+＝a b ca-++，求()()()a b b c c a abc+++的值.【例6】已知abc ＝1，求证：1a ab a ++＋1b bc b ++＋1cac c ++＝1【解法指导】反复整体利用，选取其中一个的分母不变，将另外两个的分母化为与它的分母相同再相加.证明：∵1a ab a ++＝a ab a abc ++＝11b bc ++1c ac c ++＝c ac c abc ++＝11a ab ++＝abc a abc ab ++＝1cbbc b++∵1a ab a ++＋1b bc b ++＋1c ac c ++＝11bc b ++＋1b bc b ++＋1bc bc b ++＝1 【变式题组】01．已知1a b +＝1b c +＝1c a+,a ≠b ≠c 则a 2＋b 2＋c 2＝（ ） A ．5 B ． 72 C ．1 D ． 1202．已知不等于零的三个数a b c 、、满足1111a b c a b c++=++.求证：a 、b 、c 中至少有两个数互为相反数.03．若：a 、b 、c 都不为0，且a ＋b ＋c ＝0，求222222222111b c a c a b a b c+++-+-+-的值.演练巩固 反馈提高01．已知x －1x＝3，那么多项式x 3－x 2－7x ＋5的值是（ ） A ．11 B ．9 C ．7 D ． 5 02．若M ＝a ＋b ,N ＝a －b ,则式子M N M N +-－M NM N-+的值是（ ）A ． 22a b ab -B ． 222a b ab -C ． 22a b ab+ D ． 003．已知5x 2－3x －5＝0，则5x 2－2x －21525x x --＝ . 04.设a ＞b ＞0,a 2＋b 2－6ab ＝0，则a b b a+-＝ .05.已知a ＝1＋2n ,b ＝1＋12n ，则用含a 的式子表示b 是 .06. a ＋b ＝2,ab ＝－5,则b aa b+＝ .07.若a ＝534-⎛⎫- ⎪⎝⎭,b ＝－534⎛⎫ ⎪⎝⎭,c ＝534-⎛⎫⎪⎝⎭，试把a 、b 、c 用“＜”连接起来为 .08.已知1n m -⎛⎫⎪⎝⎭＝53，求的222m m n m n m n m n +-+--值为 . 09.若2x ＝132,13y⎛⎫⎪⎝⎭＝81，则x y 的值为 .10.化简24322242c b c b a b a ca -⎛⎫⎛⎫⎛⎫•-÷- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为 .11．先化简，再求值：221122x y x y x x y x +⎛⎫--+ ⎪+⎝⎭，其中x,y ＝3．12．求代数式的值：222222144x x x x x x -++÷--，其中x ＝2.13．先化简，再求值：22121124x x x x ++⎛⎫-÷⎪+-⎝⎭，其中x ＝－3．14.已知：2352331x A Bx x x x -=+---+，求常数A 、B 的值. 15.若a ＋1a ＝3,求2a 3－5a 2－3＋231a +的值.培优升级 奥赛检测01．若a b ＝20,b c ＝10，则a b b c++的值为（ ） A ． 1121 B ． 2111C ． 11021D ． 2101102．已知x ＋y ＝x －1＋y －1≠0，则xy 的值为（ ）A ． －1B ． 0C ． 1D ． 203．已知x ＋1x ＝7(0＜x ＜1)的值为（ ） A ． －7 B ．－5 C ． 7 D ． 5 04.已知正实数a 、b 满足ab ＝a ＋b ，则b aab a b+-=（ ） A ． －2 B ．12 C ． 12- D ． 2 05.已知1a －a ＝1，则1a＋a 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．1 06.已知abc ≠0，并且a ＋b ＋c ＝0，则a (1b ＋1c )＋b (1a ＋1c )＋c (1b ＋1a)的值为（ ） A ． 0 B ． 1 C ． －1 D ．－3 07.设x 、y 、z 均为正实数，且满足z x y x y y z z x<<+++，则x 、y 、z 三个数的大小关系是（ ）A ． z ＜x ＜yB ． y ＜z ＜xC ． x ＜y ＜zD ． z ＜y ＜x08.如果a 是方程x 2－3x ＋1＝0的根，那么分式543226213a a a a a-+--的值是 .09.甲乙两个机器人同时按匀速进行100米速度测试，自动记录表表明：当甲距离终点差1米，乙距离终点2米；当甲到达终点时，乙距离终点1．01米，经过计算，这条跑道长度不标准，则这条跑道比100米多 . 10.若a ＋1b ＝1,b ＋1a ＝1，求c ＋1a的值.11．已知a 、b 、c 、x 、y 均为实数，且满足ab +a b ＝341-x y ,+bc b c ＝31x ,+cac a＝341+x y ,++abc ab bc ca ＝112(y )（其中）求x 的值.12．当x 分别取值12009,12008,12007, (1)2，1,2，……2007,2008,2009时，分别计算代数式221-1+x x的值，将所得的结果相加，其和是多少？13．在一列数x 1,x 2,x 3…中，已知x 1＝1，且当k ≥2时，x k ＝x k －1＋1－4([14k -－24k -])（取整符号[a ]表示不超过实a 数的最大整数，例如[2．6]＝2,[0.2]＝0）求x 2010的值.14. 已知对于任意正整数n ，都有a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 3，求211a -＋311a -＋…＋10011a -的值.。

人教版八年级数学上册第十五章分式知识点总结和题型归纳分式知识点总结和题型归纳第一部分分式的运算一）分式的定义及有关题型考查分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子A/B为分式。

例1：下列代数式中是分式的有：(x- y)/(2x+ y)，π/(2x- y)，(x+ y)/(a+ b)。

考查分式有意义的条件：分式有意义：分母不为0 (B≠0)分式无意义：分母为0 (B=0)例1：当x有何值时，下列分式有意义：1) (x-4)/(13x2-6x)2) 2/x3) 2/(x-4)4) (x+4|x|-3x+2)/(x-1)5) x/(x2-2x-3)考查分式的值为的条件：分式值为：分子为A且分母不为0 (A/B) 例1：当x取何值时，下列分式的值为0.1) (x-1)/(x+3)2) |x|-23) (x2-2x-3)/(x-5)(x+6)例2：当x为何值时，下列分式的值为零：1) 5-|x-1|/(x+4)2) (25-x2)/(x-6)(x+5)考查分式的值为正、负的条件：分式值为正或大于0：分子分母同号 (A/B>0) 分式值为负或小于0：分子分母异号 (A/B<0) 例1：(1) 当x为何值时，分式4/(8-x)为正；2) 当x为何值时，分式5-x/(5+x)为负；3) 当x为何值时，分式(x-2)/(x+3)为非负数.例2：解不等式|x|-2≤(x+1)/(x+5)考查分式的值为1，-1的条件：分式值为1：分子分母值相等 (A/B=1)分式值为-1：分子分母值互为相反数 (A+B=0)例1：若分式|x-2|/(x+2)的值为1，-1，则x的取值分别为3和-1.思维拓展练题：1、若a>b>0,a2＋b2－6ab=0，则(a+b)/(a-b)=9/5.2、一组按规律排列的分式：-b/2.5/b。

-8/b。

11/b。

则第n 个分式为(3n-1)/b。

15.2.1 分式的乘除 第1课时 分式的乘除课时目标1.通过类比分数的乘除法法则得出分式的乘除法法则,从中体会“数式通性”和类比转化的思想方法,发展学生的抽象能力.2.使学生经历分式的乘除运算规律的发现过程,培养学生自主探索、自主学习、自主归纳知识的意识,进一步提高学生的运算能力.3.通过运用分式的乘除法法则进行运算,解决一些与分式乘除法有关的实际问题,使学生养成理论联系实际的习惯,发展实践能力,培养应用意识. 学习重点运用分式的乘除法法则进行运算. 学习难点分子、分母为多项式的分式的乘除运算. 课时活动设计回顾引入大家之前学习过分数的乘除法法则,现在是否还有印象?师生活动:教师在黑板列出2道分数乘除法的题目,并请两位学生上台板书. 计算:(1)23×56; (2)23÷56.解:(1)23×56 = 2×53×6 = 59. (2)23÷56 = 23×65= 2×63×5 = 45.设计意图:通过回顾分数的乘除法法则引入新课,为学习分式的乘除法法则作铺垫.探究新知问题1:一个长方体容器的容积为V ,底面的长为a ,宽为b ,高为h ,当容器内的水占容积的mn 时,水高多少?解:水高=h ×mn =Vab ×m n =Vmabn.问题2:大拖拉机m 天耕地a 公顷,小拖拉机n 天耕地b 公顷,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍?解:倍数=大拖拉机的工作效率小拖拉机的工作效率=a m ÷b n =a m ×n b =an bm.问题3:观察下列运算.23×45=2×43×5;57×29=5×27×9;23÷45=23×54=2×53×4;57÷92=5×27×9.猜一猜:a b ×dc =?b a ÷dc =? 解:a b ×d c =a×db×c , b a ÷d c =b a ·c d =b×ca×d.类比分数的乘除法法则,你能说出分式的乘除法法则吗?师生活动:通过教学活动1中的具体例子,引导学生回忆前面学过的分数的乘除法法则,利用类比的方法得出分式的乘除法法则.乘法法则:分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母. 除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘. 用式子表示为:a b ·c d =a·c b·d ,a b ÷c d =a b ·d c =a·db·c.设计意图:以此活动激活学生原有的知识体系,充分体现学生的学习是在原有知识的基础上自我生成的一个过程,有利于让学生更好地掌握类比的学习方法.典例精讲 例1 计算:(1)4x3y ·y2x 3; (2)ab 32c 2÷-5a 2b 24cd .解:(1)原式= 4xy6x 3y = 23x 2.(2)原式=ab 32c 2·4cd-5a 2b 2=-4ab 3cd10a 2b 2c 2=-2bd5ac .例2 计算:(1)a 2-4a+4a 2-2a+1·a -1a 2-4; (2)149−m 2÷1m 2-7m .解:(1)原式=(a -2)2(a -1)2·a -1(a -2)(a+2)=(a -2)2(a -1)(a -1)2(a -2)(a+2) =a -2(a -1)(a+2). (2)原式=1(7+m)(7-m)×m(m -7)1=-m7+m .例3 如图,“丰收1号”小麦的试验田是边长为a m 的正方形去掉一个边长为1 m 的正方形蓄水池后余下的部分,“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a -1)m 的正方形,两块试验田的小麦都收获了500 kg .(1)哪种小麦的单位面积产量高?(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍?解:(1)“丰收1号”小麦的试验田面积是(a 2-1)m 2,单位面积产量是500a 2-1 kg/m 2; “丰收2号”小麦的试验田面积是(a -1)2 m 2,单位面积产量是500(a -1)2 kg/m 2. ∵a >1,∴(a -1)2>0,a 2-1>0.∵(a -1)2-(a 2-1)=2-2a <0,∴(a -1)2<a 2-1. ∴500a 2-1<500(a -1)2.所以“丰收2号”小麦的单位面积产量高. (2)500(a -1)2÷500a 2-1=500(a -1)2·a 2-1500=(a+1)(a -1)(a -1)2=a+1a -1.所以“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的a+1a -1倍.设计意图:通过例题,使学生掌握分式的乘除法法则,引导学生用分式的乘除法解决生活中的实际问题,提高“用数学”的意识,让学生感受到学以致用,体会到能够完整解决问题的喜悦,同时训练学生的书面表达能力,培养学生解决问题的能力.巩固训练 1.计算:(1)3a 5b ·2b6a 2; (2)2x5mn ÷y4x .解:(1)原式=3a·2b5b·6a 2=15a .(2)原式= 2x5mn ×4xy = 2x·4x5mn·y = 8x 25mny . 2.计算:(1)a -b2ab ·3a 2b3a 2-3b 2; (2)9y 2-x 2x 2+2x+1÷2x -6yx+1. 解:(1)原式= (a -b)·3a 2b2ab·3(a+b)(a -b) = a2a+2b . (2)原式= 9y 2-x 2x 2+2x+1·x+12x -6y=(3y -x)(3y+x)·(x+1)(x+1)2·2(x -3y)=-3y+x2x+2.设计意图:通过巩固训练,及时巩固本节课所学知识,帮助学生熟练掌握分式的乘除法法则.课堂小结1.本节课探究了分式的哪些问题?2.分式的乘法法则:a b ·c d =a·cb·d .3.分式的除法法则:a b ÷c d =a b ·d c =a·d b·c.设计意图:通过课堂小结,回顾本节课所学知识,及时查漏补缺.课堂8分钟.1.教材第138页练习第2,3题,第146页习题15.2第1,2题.2.七彩作业.第1课时 分式的乘除一、分式的乘除法法则:分式的乘除{乘法法则:a b ·cd =a·cb·d ;除法法则:a b ÷c d =a b ·d c =a·d b·c .二、例题讲解.注意:1.运用法则时注意符号的变化; 2.因式分解在分式乘除法中的应用; 3.结果要化成最简分式或整式. 三、课堂评价.教学反思第2课时 分式的乘方及乘除混合运算课时目标1.让学生经历分式的乘方法则的生成过程,培养学生自主探索、自主学习、交流合作的意识,提高学生的总结归纳能力.2.运用分式的乘除法法则、分式的乘方法则解决数学问题,让学生感受到数学知识的应用过程,培养学生的应用意识,提高学生的运算能力.3.类比分数的乘除法、乘方混合运算,进行分式的乘除法、乘方混合运算,让学生体会数与式的发展过程,感悟数与式在运算法则及运算顺序上的高度统一,培养学生的类比意识,发展学生的抽象能力. 学习重点会进行分式的乘方运算,分式的乘除法、乘方混合运算. 学习难点分式的乘除法、乘方混合运算以及运算中符号的确定. 课时活动设计回顾引入引导学生用自己的语言描述分式的乘除法法则. 教师在黑板上列出分式的乘除法法则: 分式的乘法法则:a b ·cd = a·cb·d ;分式的除法法则:a b ÷cd=a·d b·c.设计意图:通过回顾分式的乘除法法则,来确认学生是否掌握了分式的乘法、除法运算,为本节课的学习打好基础.探究新知问题1:计算:2x5x -3÷325x 2-9·x5x+3.解:原式=2x 5x -3·25x 2-93·x5x+3=2x 23.问题2:计算下列各题:(1)(a b )2; (2)(a b )3; (3)(a b )4; (4)(a b )n.(n 为正整数) 解:(1)原式=a b ·a b =a·a b·b =a 2b 2.(2)原式=a b ·a b ·a b =a·a·a b·b·b =a 3b 3.(3)原式=a b ·a b ·a b ·a b =a·a·a·a b·b·b·b =a 4b 4.师生活动:教师引导学生观察前三个小问中等式两边有怎样的联系,再根据乘方的意义和分式乘法的法则推导出分式乘方的运算法则:(a b )n =ab ×ab ×…×a b ⏟ n 个=a×a×…×a⏞ n 个b×b×…×b ⏟ n 个=a n b n,即(a b )n =a nb n .(n 为正整数) 教师引导学生用文字描述分式乘方的运算法则:分式乘方要把分子、分母分别乘方.设计意图:先引导学生观察若干特例,再归纳出分式乘方的运算法则.在这个过程中学生可以通过比较、联想、探索,从直观中归纳出理性的规律,促使学生学习从特殊到一般的认识事物的思维方法.典例精讲 例 计算: (1)(-2a 2b 3c)2; (2)(a 2b-cd 3)3÷2a d 3·(c2a)2.解:(1)原式=(-2a 2b)2(3c)2=4a 4b 29c 2.(2)原式= a 6b 3-c 3d 9 ÷2a d 3·c 24a 2 = a 6b 3-c 3d 9·d 32a ·c 24a 2= -a 3b 38cd 6.设计意图:引导学生回忆前面学过的分数的乘除法、乘方混合运算,利用类比的方法进行分式的乘除法、乘方混合运算,体会数与式的发展过程,感悟数与式在运算法则及运算顺序上的高度统一,培养学生的类比意识,提高学生的运算能力.巩固训练 1.计算:(1)2x 2-3y 2·-5y6x ÷10y-21x 2; (2)a 2-1a 2-4a+4÷a+12−a ·2+a1−a ;(3)(-x 2y )2·(-y 2x)3÷(-y x )4.解:(1)原式=2x 2-3y 2·-5y 6x ·-21x 210y =-7x 36y 2.(2)原式=(a+1)(a -1)(a -2)2·-(a -2)a+1·a+2-(a -1)=a+2a -2.(3)原式=x 4y 2·(-y 6x 3)·x 4y4=-x 5. 2.先化简,再求值:a -1a+2·a 2-4a 2-2a+1÷1a 2-1,其中a 满足a 2-a =0. 解:原式=a -1a+2·(a+2)(a -2)(a -1)2·(a +1)(a -1)=(a -2)(a +1)=a 2-a -2=-2.设计意图:通过巩固训练,让学生自主探索、充分交流,在运算的过程中使学生掌握基础知识、基本的运算方法,体会运算法则和运算顺序,内化自身的运算认知,在循序渐进的运算中,提高自己的运算能力,同时通过具体的解题步骤,让学生感受到数学的严谨性,规范解题步骤和书写格式.课堂小结1.本节课探究了分式的哪些问题?2.分式乘方的运算法则:分式乘方要把分子、分母分别乘方.3.分式的乘除混合运算.设计意图:通过课堂小结,回顾本节课所学知识,为接下来的学习打好基础.课堂8分钟.1.教材第139页练习第1,2题,第146页习题15.2第3题.2.七彩作业.第2课时 分式的乘方及乘除混合运算一、分式的乘除法运算.分式的乘除法运算归根结底是乘法运算. 二、分式的乘方:(a b )n =a nb n ,即分式乘方要把分子、分母分别乘方. 三、例题讲解. 四、课堂评价.教学反思15.2.2分式的加减第1课时分式的加减课时目标1.让学生经历分式的加减法法则的生成过程,培养学生自主探索、自主学习、自主归纳知识的意识,提高学生知识的类比迁移能力.2.运用分式的加减法法则解决数学问题,让学生感受到数学知识的应用过程,培养学生的应用意识,提高学生的运算能力.3.类比分数的加减法运算,进行分式的加减法运算,让学生体会数与式的发展过程,感悟数与式在运算法则及运算顺序上的高度统一,培养学生的类比意识,发展学生的抽象能力.学习重点运用分式的加减运算法则进行运算.学习难点异分母分式的加减运算.课时活动设计情境引入甲工程队完成一项工程需n天,乙工程队要比甲队多用3天才能完成这项工程,两队共同工作一天完成这项工程的几分之几?教师引导分析,学生思考、交流.解:甲工程队一天完成这项工程的1n ,乙工程队一天完成这项工程的1n+3,两队共同工作一天完成这项工程的(1n +1n+3).设计意图:通过具体问题情境导入新课,让学生感受到分式的加减运算是由实际需要产生的,激发学生的学习兴趣,提高学生的学习效率.探究新知问题1:2009年、2010年、2011年某地的森林面积(单位:km 2)分别是S 1,S 2,S 3,2011年与2010年相比,森林面积增长率提高了多少?学生小组讨论,选取两名学生分别列出2010年、2011年的森林面积增长率: 解:2010年的森林面积增长率是S 2-S 1S 1,2011年的森林面积增长率是S 3-S 2S 2.根据2010年、2011年的森林面积增长率,得出结论: 解:2011年与2010年相比,森林面积增长率提高了S 3-S 2S 2-S 2-S 1S 1.教学中讨论这两个问题时,重点放在列出算式,为引出分式的加减法法则做准备.问题2:请同学们先填空,再观察下列分数加减运算的过程:15+25= (35),15-25 = (-15); 12+13=(36)+(26)=(56),12-13=(36)-(26)=(16). 追问:你能根据上面的式子,类比分数加减法法则,得出分式的加减法法则吗? 师生活动:学生先观察分数加减运算的过程,然后选一名学生用符号总结前两个分数加减运算的规律:a c ±bc = a±b c;再选一名学生用符号总结后两个分数加减运算的规律:a b ±cd = ad bd ±bcbd=ad±bc bd .教师引导学生用文字表述分式的加减法法则: 同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减;异分母分式相加减,先通分,变为同分母的分式,再加减.设计意图:从学生已有的数学经验出发,建立新旧知识之间的联系.类比同分母与异分母分数的加减,学生很容易归纳出同分母分式与异分母分式加减的方法,培养学生交流合作能力和创新实践能力.典例精讲 例 计算: (1)m+n n+m -n n; (2)a 2a -b -b 2a -b ; (3)5x+3y x 2-y 2-2xx 2-y 2.解:(1)原式=(m+n)+(m -n)n=2mn . (2)原式=a 2-b 2a -b =(a+b)(a -b)a -b =a +b. (3)原式=3x+3yx 2-y2=3(x+y)(x+y)(x -y)=3x -y.设计意图:设置一组同分母分式的加减法运算,目的是让学生掌握同分母分式加减法法则:同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减,同时内化运算法则,提升运算能力.巩固训练 1.计算: (1)a 2b 2ab-ab -b 2ab -a2; (2)a 2+b 2a -b-a -b ; (3)12p+3q +12p -3q.解:(1)原式=ab -b(a -b)a(b -a)=ab +b a =a 2b+ba.(2)原式=a 2+b 2-(a -b)(a+b)a -b=2b 2a -b .(3)原式=2p -3q+2p+3q(2p+3q)(2p -3q)=4p4p 2-9q 2.2.观察下列分式的加减的运算过程是否正确,如果不正确,请把正确的运算过程写下来.(1)a 2+b 2ab -a 2-b 2ab =a 2+b -a 2-b2ab =0;(2)x 2x -1-x -1=x 2x -1-x -11=x 2-(x -1)2x -1=2x -1x -1.解:(1)不正确,a 2+b 2ab -a 2-b 2ab =a 2+b -a 2+b2ab=2b 2ab =1a .(2)不正确,x 2x -1-x -1=x 2x -1-x+11=x 2-(x -1)(x+1)x -1=x 2-x 2+1x -1==1x -1.设计意图:通过设置巩固训练,巩固本节课所学知识,及时查漏补缺.课堂小结1.本节课探究了分式的哪些问题?2.分式的加减法法则:同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减;异分母分式相加减,先通分,变为同分母的分式,再加减.设计意图:通过课堂小结,回顾本节课所学知识,为接下来的学习打好基础.课堂8分钟.1.教材第141页练习第1,2题,第146页习题15.2第4,5题.2.七彩作业.第1课时分式的加减一、分式的加减法法则:同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减,用式子表示为ac ±bc=a±bc;异分母分式相加减,先通分,变为同分母的分式,再加减,用式子表示为ab ±cd=adbd±bcbd=ad±bcbd.二、例题讲解:(1)分式加减运算的结果要化成最简分式或整式;(2)同分母分式相加减时要注意:“把分子相加减”就是把各个分式的分子“整体”相加减,在这里要注意分数线的括号作用;(3)异分母分式加减法的一般步骤:①通分;②加减;③合并;④约分;(4)整式可以看成是分母为1的分式.三、课堂评价.教学反思第2课时分式的混合运算课时目标1.通过类比分数的混合运算顺序,归纳得出分式的混合运算顺序,体会数与式的发展过程,感悟数与式在运算法则和运算顺序上的高度统一,培养学生的类比意识,发展学生的抽象能力.2.通过运用分式的混合运算解决数学问题,让学生感受到数学知识的应用过程,培养学生的应用意识,提高学生的实践能力.3.通过使学生经历分式混合运算的过程,培养学生积极思考、自主探索、合作交流和辨析提高的学习意识,提高学生的运算能力.学习重点熟练地进行分式的混合运算.学习难点熟练地进行分式的混合运算及化简求值问题.课时活动设计情境引入有一财主死后,他的两个儿子高兴地打开父亲留下的藏宝地图,看到上面有一段文字记录:计算x 2-2x+1x2-1÷x-1x2+x-x的值,就是我留给你们的全部宝物.老大拿出纸笔一算,一气之下将藏宝图一把扔了,老二连忙捡起,经过仔细思考算出后,生气地一把火烧掉了它.财主忘记了写x的值,两个儿子是怎么计算出宝物的情况的呢?财主到底留下了多少宝物呢?通过本节课的学习,你就会明白其中的道理了.设计意图:设置故事情境引入新课,让枯燥的计算问题变得更具吸引力,调动起学生学习的积极性,激发他们的求知欲.探究新知 问题1:计算:(x 2-4x+4x 2-4-x x+2)÷x -1x+2.解:原式=[(x -2)2(x -2)(x+2)-xx+2]·x+2x -1=(-2x+2)·x+2x -1=-2x -1.教师引导学生类比分数的混合运算顺序,总结分式的混合运算顺序: 先乘方,再乘除,最后算加减,有括号的先算括号里面的. 教师针对这类题目给学生提供以下建议:(1)一般按分式的运算顺序进行计算,但恰当地使用运算律会使运算更简便; (2)计算乘除时,要随时对分子、分母进行因式分解; (3)注意括号的“添”或“去”; (4)结果要化为最简分式或整式.设计意图:从学生已有的数学经验出发,建立新旧知识之间的联系.学生通过类比、思考,激活原有知识,让学生感悟自己的学习是在原有知识的基础上自我生成的过程.典例精讲 例 计算:(1)(2a b )2·1a -b -a b ÷b4; (2)(m +2+52−m )·2m -43−m ;(3)(x+2x 2-2x -x -1x 2-4x+4)÷x -4x .解:(1)原式=4a 2b 2·1a -b -a b ·4b =4a 2b 2(a -b)-4ab 2=4a 2b 2(a -b)-4a(a -b)b 2(a -b)=4a 2-4a 2+4ab b 2(a -b)=4ab b 2(a -b)=4aab -b 2.(2)原式=(m +2+52−m )·2m -43−m =9−m 22−m ·2(m -2)3−m=(3-m)(3+m)2−m·-2(2-m)3−m=-2(m +3)=-2m -6.(3)原式=[x+2x(x -2)-x -1(x -2)2]·xx -4=(x+2)(x -2)-(x -1)x x(x -2)2·xx -4 =x 2-4-x 2+x(x -2)2(x -4)=1(x -2)2.设计意图:设置这一组分式的混合运算的例题,目的是让学生进一步掌握分式混合运算时的运算顺序,培养学生良好的运算习惯,让学生在运算的过程中体会运算顺序和各项法则,内化自身的运算认知,在循序渐进的运算中,提高自己的运算能力.巩固训练 1.计算:(1)x 2x -1-x -1; (2)(1−2x+1)2÷x -1x+1;(3)2ab(a -b)(a -c)+2bc(a -b)(c -a); (4)(1x -y +1x+y )÷xyx 2-y 2.解:(1)原式=x 2x -1-(x+1)(x -1)x -1=x 2-x 2+1x -1=1x -1.(2)原式=(x+1x+1-2x+1)·x+1x -1=x -1x+1·x+1x -1=1.(3)原式=2ab -2bc(a -b)(a -c)=2b(a -c)(a -b)(a -c)=2ba -b . (4)原式=[x+y(x -y)(x+y)+x -y(x+y)(x -y)]·(x+y)(x -y)xy=2x(x+y)(x -y)]·(x+y)(x -y)xy=2y .2.先化简再求值:1x+1-1x 2-1·x 2-2x+1x+1,其中x =√2-1. 解:原式=1x+1-1(x+1)(x -1)·(x -1)2x+1 =1x+1-x -1(x+1)2=x+1−(x -1)(x+1)2=2(x+1)2.当x =√2-1时,原式=(√2-1+1)2=(√2)2=22=1. 设计意图:通过巩固训练,及时巩固本节课所学知识,帮助学生更好地掌握分式的乘除法法则,熟练地进行分式的混合运算.课堂小结1.本节课探究了分式的哪些问题?2.分式的混合运算顺序:先乘方,再乘除,最后算加减,有括号的先算括号里面的.3.进行分式的混合运算时注意的问题:(1)一般按分式的运算顺序进行计算,但恰当地使用运算律会使运算更简便;(2)计算乘除时,要随时对分子、分母进行因式分解;(3)注意括号的“添”或“去”;(4)结果要化为最简分式或整式.设计意图:通过课堂小结,回顾本节课所学知识,及时查漏补缺.课堂8分钟.1.教材第142页练习第2题,第146页习题15.2第6题.2.七彩作业.第2课时分式的混合运算一、分式的混合运算顺序:先乘方,再乘除,最后算加减,有括号的先算括号里面的.二、例题讲解:(1)一般按分式的运算顺序进行计算,但恰当地使用运算律会使运算简便;(2)计算乘除时,要随时对分子、分母进行因式分解;(3)注意括号的“添”或“去”;(4)结果要化为最简分式或整式.三、课堂评价.教学反思15.2.3整数指数幂第1课时整数指数幂的运算性质课时目标1.让学生经历负整数指数幂运算性质的得出过程,提高学生归纳、类比和抽象的能力,培养学生的创新意识.2.通过经历整数指数幂的获得过程,让学生感受到数学知识间合理的内在逻辑,培养学生的合情推理,提高学生的推理能力.3.让学生在运用整数指数幂的运算性质进行计算的过程中逐步内化自身的认知,提高学生的运算能力.学习重点掌握整数指数幂的运算性质.学习难点负整数指数的性质的理解和应用.课时活动设计复习回顾我们知道,当n是正整数时,a n=a·a·a·…·a⏟n个.回忆正整数指数幂的运算性质:(1)a m·a n=a m+n(m,n是正整数);(2)a m÷a n=a m-n(a≠0,m,n是正整数,并且m>n);(3)(a m)n=a mn(m,n是正整数);(4)(ab)n=a n b n(n是正整数);(5)(ab )n=anb n(n是正整数);(6)a 0= 1 (a ≠0).a m 中的指数m 可以是负整数吗?如果可以,那么负整数指数幂a m 表示什么? 设计意图:引导学生回忆正整数指数幂的运算性质,温故而知新,唤醒学生已有的知识体系,通过复习正整数指数幂和0指数幂的性质,引入负整数指数幂,为新知识的合理介入指明了方向,有利于学生知识的完整构建,为本节课的学习作铺垫.探究新知用正整数指数幂的运算性质(2)(将m >n 这一条件去掉)和分式的约分两种方式计算52÷55,并观察两种方式的计算结果,你能有什么发现?学生自己独立完成计算,分小组交流讨论,教师给出完整的计算过程并总结. 52÷55=52-5=5-3,52÷55=5255=153.观察这两个式子可以发现5-3=153.学生通过上面的内容可以得到a m ÷a n =a m -n 这条性质也适用于像52÷55这样的情形.一般地,当n 是正整数时,a -n =1a n (a ≠0).这就是说,a -n (a ≠0)是a n 的倒数. 引入负整数指数和0指数后,a m ·a n =a m +n (m ,n 是正整数)这条性质能否推广到m ,n 是任意整数的情形?教师通过以下计算过程引导学生发现规律,并进行总结. a 3·a -5=a3a 5=1a 2=a -2=a 3+(-5),即a 3·a -5=a 3+(-5);a -3·a -5=1a 3·1a 5=1a 8=a -8=a (-3)+(-5),即a -3·a -5=a (-3)+(-5); a 0·a -5=1·1a 5=1a 5=a -5=a 0+(-5),即a 0·a -5=a (0)+(-5). 归纳:1.a m ·a n =a m +n 这条性质对于m ,n 是任意整数的情形仍然适用; 2.随着指数的取值范围由正整数推广到全体整数,前面提到的运算性质也推广到整数指数幂.设计意图:按照从特殊到一般、从具体到抽象的认识过程,让学生类比发现,自己总结结论,实现学生主动参与、探究新知识的目的,从而培养学生归纳、类比和抽象的能力.典例精讲例计算:(1)a-2÷a5;(2)(b 3a2)-2;(3)(a-1b2)3;(4)a-2b2·(a2b-2)-3.解:(1)a-2÷a5=a-2-5=a-7=1a7.(2)(b 3a2)-2=b-6a-4=a4b-6=a4b6.(3)(a-1b2)3=a-3b6=b 6a3 .(4)a-2b2·(a2b-2)-3=a-2b2·a-6b6=a-8b8=b 8a8.提醒:(1)解题时应直接运用这些性质,而不要急于转化为分式形式;(2)整数指数幂的运算性质也可以逆向进行;(3)通常计算的最后结果要写成分式的形式.设计意图:这是一组直接运用整数指数幂的运算性质进行计算的题目,通过例题使学生掌握指数由正整数拓展到整数后的新情形,熟练使用运算方法,掌握运算技能,提高运算能力.归纳总结根据整数指数幂的运算性质,当m,n为整数时,a m÷a n=a m-n,a m·a-n=a m+(-n)=a m-n,因此a m÷a n=a m·a-n,即同底数幂的除法a m÷a n可以转化为同底数幂的乘法a m·a-n,特别地,ab =a÷b=a·b-1,所以(ab)n=(a·b-1)n,即商的乘方(ab)n可以转化为积的乘方(a·b-1)n,这样,整数指数幂的运算性质可以归纳为:(1)a m÷a n=a m+n(m,n是整数);(2)(a m)n=a mn(m,n是整数);(3)(ab)n=a n b n(n是整数).设计意图:类比负数的引入可以使减法转化为加法,得到负指数幂的引入可以使幂的除法转化为幂的乘法、商可以转化为积这个结论,从而使分式的运算与整式的运算统一起来,将整数指数幂的运算性质进行总结.课堂8分钟.1.教材第145页练习第1,2题,第147页习题15.2第7题.2.七彩作业.第1课时整数指数幂的运算性质一、正整数指数幂的运算性质.二、负整数指数幂的运算性质.三、例题讲解.四、整数指数幂的运算性质.教学反思第2课时科学记数法课时目标1.让学生经历小于1的正数的科学记数的获得过程,感受数学知识之间的内在联系,提高学生的归纳、类比和抽象能力.2.通过对小于1的正数的科学记数的过程,让学生感受到数学知识的本质所在,培养学生观察、分析和总结的能力.学习重点会用科学记数法表示小于1的正数.学习难点知道用科学记数法表示小于1的正数时,a×10-n形式中n的取值与小数中左起第一个非0数字前0的个数的关系.课时活动设计回顾引入1.用科学记数法表示745 000,2 930 000.2.大于10的数用a ×10n 表示时,a ,n 应满足什么条件?3.负整数指数幂的公式是什么?学生自主交流,讨论.思考:我们已经学会了用科学记数法表示一些较大的数,你能用科学记数法表示较小的数吗?设计意图:引导学生完成上述问题,温故而知新,唤醒学生已有的知识体系,为本节课的学习作铺垫.同时,提出新的问题,为新知识的学习明确了方向.探究新知1.填空:10-1=110= 0.1 ;10-2=1102= 0.01 ;10-3=1103= 0.001 ;…;10-n = 110n = .反过来:0.1=110=1×10-1;0.01=1102= 1×10-2 ;0.001=1103= 1×10-3 ;…;=110n = 1×10-n .2.解决问题:(1)0.000 025=2.5× 1105 = 2.5×10-5 ;(2)0.000 000 025 7=2.57× 1108 = 2.57×10-8 .运用由特殊到一般和类比的数学思想归纳出=10-n ,让学生看到可以利用10的负整数次幂,用科学记数法表示一些小于1的正数,即将它们表示成a ×10-n 的形式,其中n 是正整数,1≤a <10.设计意图:让学生通过这种亲自参与、探索研究数学知识获得的过程,感受数学知识之间的密切联系,深化自己的认知,从而构建科学记数法的完整知识体系.典例精讲例纳米(nm)是非常小的长度单位,1 nm=10-9 m.把1 nm3的物体放到乒乓球上,就如同把乒乓球放到地球上.1 mm3的空间可以放多少个1 nm3的物体(物体之间的间隙忽略不计)?解:1 mm=10-3 m,1 nm=10-9 m.(10-3)3÷(10-9)3=10-9÷10-27=10-9-(-27)=1018.所以1 mm3的空间可以放1018个1 nm3的物体.1018是一个非常大的数,它是1亿(即108)的100亿(即1010)倍.设计意图:运用数学知识解决实际问题是学习数学的重要目标,让学生在学习知识的过程中解决实际问题,体会数学的“学以致用”.巩固训练计算(结果用科学记数法表示):(1)(3×10-5)×(5×10-3);(2)(3×10-15)÷(5×10-4);(3)(1.5×10-16)×(-1.2×10-3); (4)(-1.8×10-10)÷(9×108).解:(1)1.5×10-7;(2)6×10-12;(3)-1.8×10-19;(4)-2×10-19.设计意图:设置这类计算题,不仅是为了巩固本节课的所学知识,还为了通过做题让学生意识到用科学记数法表示数能使运算更简便.课堂小结1.如何用科学记数法表示大于10的数?2.如何用科学记数法表示小于1的正数?设计意图:让学生自己总结本节课的内容,帮助学生巩固新的知识,培养学生的总结概括能力.课堂8分钟.1.教材第145页练习第1,2题,第147页习题15.2第8,9题.2.七彩作业.第2课时科学记数法一、大于10的数的科学记数:N=a×10n(其中n是正整数,1≤a<10).二、小于1的正数的科学记数:N=a×10-n(其中n是正整数,1≤a<10).三、例题讲解.教学反思。

新人教版八年级数学上册《分式》知识点归纳规则进行运算。

通分的方法是将各个分式的分母化为相同的多项式，然后将分子进行相应的乘法运算，最后再按同分母分式的加减法规则进行运算。

最后的计算结果必须化为最简分式或整式。

分式是数学中的重要概念之一，它表示了两个整式的比值，其中分母中含有字母的被称为分式，而分母中没有字母的则被称为整式。

分式的约分是指将分子和分母的公因式约去，化为最简分式或整式。

化异分母分式为同分母分式的过程称为分式的通分。

分式方程是指分母中含有未知数的方程，将其变形为整式方程时需要注意增根的情况。

分式的乘除法规则和同分母分式加减法规则都需要注意化为最简分式或整式的要求。

2x+1与2x+1的分母相同，则最简公分母为__________。

2.分式3x+2x-1的倒数为__________。

3.分式2x+1x-3的平方为__________。

4.分式2x+3x-1与分式x-42x-1的和为__________。

5.若分式a+bc与分式a-bc互为倒数，则a²-b²的值为__________。

6.若分式2x-1x-2的值等于分式3x+2x+1的值，则x的值为__________。

7.分式2x+1x-3与分式x-12x+5的差为__________。

8.若分式ab+c的值等于分式ba+c的值，则a:b:c的比值为__________。

9.若分式a+b2的值等于分式a-b3的值，则a:b的比值为__________。

10.分式2x-1x+2的平方根为__________。

二、选择题（每小题3分，共15分）1.下列关于分式的说法中，正确的是（）A。

分式的分子和分母都是整式B。

分式的分母不能为0C。

分式的分子和分母都是单项式D。

分式的分子和分母都是多项式2.若分式a2b的值等于分式c3d的值，则（）A。

ad=3bcB。

ac=2bdC。

ab=3cdD。

ad=2bc3.若分式ab+c的值等于分式ba+c的值，则a:b:c的比值为（）A。

分 式一、概念：定义1：整式A 除以整式B ，可以表示成的形式。

BA如果除式B 中含有分母，那么称为分式。

（对于任BA何一个分式，分母不为0。

如果除式B 中含有分母，那么这个就是分式，对于任何一个分式，分母不为0。

分式：分母中含有字母。

整式：分母中没有字母。

而代数式则包含分式和整式。

）定义2：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。

定义3：分子和分母没有公因式的分式称为最简分式。

（化简分式时，通常要使结果成为最简分式或者整式。

）定义4：化异分母分式为同分母分式的过程称为分式的通分。

定义5：分母中含有未知数的方程叫做分式方程定义6：在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘一个含有未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种解通常称为增根。

二、基本性质：分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。

三、运算法则：1、分式的乘法的法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母;（用符号语言表示：﹒=）b a dc bdac2、分式的除法的法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.（用符号语言表示：÷=﹒=）b a d c b a c d bcad 分式乘除法的运算步骤：当分式的分子与分母都是单项式时： (1)乘法运算步骤是：①用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；②把分式积中的分子与分母分别写成分子与分母的分因式与另一个因式的乘积形式，如果分子(或分母)的符号是负号，应把负号提到分式的前面；③约分。

(2)除法的运算步骤是：把除式中的分子与分母颠倒位置后，与被除式相乘，其它与乘法运算步骤相同。

当分式的分子、分母中有多项式，①先分解因式；②如果分子与分母有公因式，先约分再计算.③如果分式的分子(或分母)的符号是负号时，应把负号提到分式的前面. 最后的计算结果必须是最简分式或整式.3、同分母分式加减法则是：同分母的分式相加减。

分式求值的几种常用方法分式求值是指解决一个分式的数值的过程。

分式由分子和分母组成，分数线表示两者的除法关系。

求解分式的数值可以使用几种常用的方法。

下面将介绍一些常用的方法。

1.分母与分子同乘（常用于消除分母中的变量）这种方法适用于分母中有变量的情况，为了简化计算，可以通过同乘一个合适的因式使分子或分母中的变量消除。

例如，对于分式(a+b)/(a-b)，可以将分子和分母都同乘(a+b)，得到(a+b)*(a+b)/(a-b)。

这样，原先的分式变为了一个更简单的形式，可以更容易地求解。

2.分子与分母同除（常用于消除分子中的变量）这种方法适用于分子中有变量的情况，同样为了简化计算，可以通过同除一个合适的因式使分子或分母中的变量消除。

例如，对于分式(a+b)/(a-b)，可以将分子和分母都同除(a+b)，得到(a+b)/(a+b)*(a+b)/(a-b)。

同样地，原先的分式变为了一个更简单的形式。

3.分解分子或分母（常用于将复杂的分式化简为简单的分式）当分子或分母中出现更复杂的表达式时，可以将其进行分解，将分式化简为简单的分式。

例如，对于分式(a+b)/(a-b)，可以将分子展开为(a+b)=a+b，将分母展开为(a-b)=a-b，然后将其带入分式，得到(a+b)/(a-b)=(a+b)/(a-b)。

这样，原先的分式变为了一个更简单的形式。

4.改变分割点（常用于化简复杂的分式）有时，将分式中的表达式写成更简单的形式，可以更好地进行计算。

例如，对于分式(a+b)/(a-b)，可以将(a+b)分别分成a和b的和，将(a-b)分别分成a和b的差，即得到a/(a-b)+b/(a-b)。

这样，原先的分式变为了两个简单分式相加的形式，可以更容易地求解。

5.用分母的乘法倒数取代除法（常用于取消除法运算）当分式中存在除法运算时，可以用乘以分母的倒数来替代除法。

例如，对于分式1/(a+b)，可以将其写为1*(a+b)^（-1），然后使用指数的乘法法则将指数变为负数，得到(a+b)^-1、这样，原先的分式变为了一个更简单的形式。