群同态基本定理讲解

（2）若H是G的正规子群且 ，则
证明：（1）易知HN是G的子群，又由于N是G的正规子群，自然有N也是HN的正规子群，因而有商群 。令
则f是一个群同态。易知f是满同态，又 ，由同态基本定理有 。
（2）令 ，若aN=bN，则 ，而 ，所以 ，即 ，因而g的定义是合理的，易见g是一个满同态且 ，所以有同态基本定理，
《 抽象代数基础 》教案
复习思考题、作业题：
课本P28 1、4、6、9、10
下次课预习要点
有限群
实施情况及教学效果分析
学院审核意见
学院负责人签字
年月日
教学内容：
对 若 则 ，于是
，因而 ，故 ，所以 是单射，从而 是双射，
又由于，对 有
所以 是群 到 的一个同构，因而 。
10、定理5设G是循环群，如果G的阶无限，则 ；如果G的阶为n，则 。
由同态基本定理，我们可以得到两个重要的同构
11、定理6设G是一个群，N是G的正规 和 是两个群，f是集合G到 的一个映射，如果对 都有
，则称f是群G到 的一个同态。
5、命题1 f是群G到 的一个同态，e和 分别是G和 的单位元，则
（1）
（2）对 有 。
6、命题2 f是群G到 的一个同态，则
（1）Ker（f）是群G的正规子群
（2）Im（f）是群 的子群。
7、定理2 f是群G到 的一个同态，则
（1）如果H是G的子群，则f（H）是 的子群
（2）如果 是 的子群，则 是G的子群；如果 是 的正规子群，则 也是G的正规子群。
8、定理3设f是群G到 的一个满同态，如果H是G的正规子群，则f（H）是 的正规子群。
9、定理4（群的同态基本定理）设f是群G到 的一个满同态，则

定义1：设 G 对于代数运算 是一个群。G
对于代数运算 来说是一个群。若存在
一个 G 到 G 的满射（一一映射）是同态
映射，则称G和 G 是群同态（同构）。
定理2 群G 与 G 同态， 是G 到 G 的同态满射，则
(1) (e) e
(2) (a1 ) (a)1
（3）G中元 a 的阶为n，a 的象a的阶为m，有m|n。
近世 代数
(Abstract Algebra)
主讲教师 ： 蔡 炳 苓
（河北师范大学数学与信息科学学院)
第7讲
第4节 群的同态
第4节
群的同态
设 G 是一个非空集合， 是其上一个代数
运算。除用定义证明外，问是否有其它方
法证明G 对于 来说构成群？
定义：假定 是集合 A 到 A 的一个满射，s A ，称
而在同构映射下，两个单位元相互对应，互相对应 的元的逆元也相互对应。
注：群同构是群之间一种等价关系。
1G
(1)G G;
1
(2)G1 G2 G2 G1;
1
2
21
(3)G1 G2 ,G2 G3 G1 G3 .
证明：设
G~G
,由G
是群，有结合律，则
G
也满足结合律。因此群定义中的第1,2条成立。
下证G中左单位元e的象 e 是G 的左单位元。
a G ，因为 是同态满射，存在 a G,使得
(a) a (e) (a) (ea) (a),
e (e) 是 G 的左单位元；
任意给定 G 中元 a ，证明存在左逆元。 (a1) (a) (a1a) (e) e ,
(a) (b) 10 (a) (b)
G {a, b, c}关于运算﹡做成群，其中

1 Ng1 Ng 2 g1 g 2 N 1 f ( g1 g 2 ) f ( g1 ) f ( g 2 ) 1 N N f ( g1 ) N f ( g 2 )
( Ng1 Ng 2 ) ( Ng1 g 2 ) N ( f ( g1 g 2 )) N ( f ( g1 ) f ( g 2 )) N f ( g1 ) N f ( g 2 ) ( Ng1 ) ( Ng 2 ) (3) 单射 ( Ng1 ) ( Ng 2 ) N f ( g1 ) N f ( g 2 )
则在 f 之下 (1) G的一个子群G1的像H1是H的子群 (2) G的一个不变子群G2的像H2是H的不变子群 (3) H的一个子群H3的逆像G3是G的子群
(4) H的一个不变子群H4的逆像G4是G的不变子群
证明：(1) h1, h2 H1, g1, g 2 G1 ，使h1=f(g1) h2=f(g2)
h H , h bl 则a l G且f (a l ) bl
满态
例4 如果G和H都是有限群，其阶互素， 则只存在一个G→H的同态映射 证明：设 f 是G→H的同态映射，令k=kerf 由同态基本定理知:
|G| G / k Im f , G / k | Im f | |k| Im f G
Im f 是H的子群， 由Lagrange 定理： Im f ( G , H ) 1 Im f 1 g G, f ( g ) eH
H
例5 设G与G 群同态， N 是G 的一个不变子群， N是N 的逆像， 则 : G / N G / N (群同态基本定理的推广 形式) 证明： 令 f 为 G G 的群同态满射， 由定理5知 : N是不变子群 定义 ： G / N G / N , ( Ng ) N f ( g ), 则是一一映射 (1) 映射 (2) 同态

证明过程细节
思路拓展
采用归纳法，将问题划分为小规模子问题，通过递归调用，逐步缩小问题规模，最终得出证明结果。
证明过程细节
在归纳过程中，需要建立递归终止条件和归纳转移条件，并利用群的定义和性质，逐步缩小问题规模，最终得出 $f(a)=f(b)$ 的矛盾结果。
群同态基本定理的证明方法二
应用场景一
应用场景二
群的同构定理的表述与证明
应用一
在有限群表示论中，群的同构定理可以用来判断两个群是否具有相同的表示。
应用二
在代数拓扑中，群的同构定理可以用来判断两个拓扑空间是否同胚。
群的同构定理的应用举例
密码学中的许多算法都涉及到了群结构，如对称加密算法中的有限域等。
同构定理可以用来判断两个有限群是否同构。如果两个有限群同构，则它们具有相同的性质和结构，因此可以用来构造相同的密码学算法。但是，如果两个有限群不同构，则它们具有不同的性质和结构，因此不能用来构造相同的密码学算法。因此，同构定理在密码学中具有重要的作用。
2023
群同态基本定理与同构定理
CATALOGUE
目录
群与群同态基本概念群同态基本定理的证明群的同构定理群同态基本定理与同构定理的应用群同态基本定理与同构定理的推广
01
群与群同态基本概念
群是一个非空集合，其中存在一个二元运算符，满足封闭性、结合律、单位元存在性和逆元存在性。
封闭性：对于任意$a,b\in G$，有$a\cdot b\in G$。
操作系统的权限管理
群同态基本定理可以用于将一些数据结构的设计问题转化为群同构问题，从而设计出更有效的算法。
数据结构与算法设计
在计算机科学中的应用
量子计算
在量子计算中，同构定理可以用于量子态的变换和量子测量等问题。