第9节 群的同态基本定理

叙述并证明群同态基本定理
政务民生：群同态基本定理
群同态基本定理是一个重要的数学定理，特别是在抽象代数学研究中提出的。

它指出，群中的每一个元素都是同态的，这意味着它是唯一可以把群上的每一个元素映射到自己，它可以使得所有操作都保持不变的函数。

群同态基本定理由数学家史奕柏在20世纪50年代早期提出，它表明群中所有
元素都是同态的，即群中的每一个元素都有一个唯一的同态。

同态是反应群在抽象代数学中的一个重要概念，它可以用来分析和推导群的结构和性质。

由群同态基本定理，我们可以得出下列定理：如果G为一个群，那么对于G的
每一个元素a，就有一个唯一的同态f，定义为f(g)=ag，映射r(h)=f（g）hg=ag hg，映射r是G上的同态。

通过群同态基本定理，我们可以进一步分析群的内部结构，由此可以推导出各
种与群有关的数学性质、定理，为数学进行进一步的研究提供各种有代表性的概念。

群同态基本定理也给数学界带来了极大的灵感，使得后世数学家更多能够将群的功能应用到其他相关学科，从而为科学进步和发展作出贡献。

第九节 同态基本定理与同构定理重点、难点：同态基本定理，满同态与子群的关系.一 同态基本定理前几节是研究一些定量的东西，下面我们来研究一些定性的东西.本节中的同态基本定理是群论中的研究基础.定理2.9.1 一个群G 与它的每一个商群N G /同态.证 令G a aN a N G G ∈∀→,;/: π显然π是G 到N G /的满射.G b a ∈∀,，)()())(()()(b a bN aN N ab ab πππ=== 故π是一个满同态.注1 定理2.9.1中的π称为自然同态；注2 自然同态π一定是满同态.利用子群来研究群本身，任意给定一个不变子群N ，有两个可以供我们参考的群： N 和N G /，由于0/→→→N G G N ，故更容易推测G 的性质.自然会问：定理2.9.1的逆命题是否成立？即0→'→G G ，G '是否与G 的某个商群是同构的呢？我们说是对的.首先有一个概念.定义2.9.1 设G G '→Φ:为一个群同态.e '为G '的单位元,集合})(|{e a G a Ker '=Φ∈=Φ称为同态映射Φ的核.注1 未必要求Φ为满射，但本书中同态均为满同态；注2 一个同态是单同态⇔G e Ker ⊆=}{φ.推论2.9.2 设π是N G G /→的自然同态，则N Ker =π.证 由于N G /的单位元是N ，则N N a G a N aN G a N a G a Ker =∈∈==∈==∈=}|{}|{})(|{ππ.定理2.9.3 （同态基本定理）设ϕ是群G 到群G '的一个同态满射，则(1)G Ker ϕ；(2)G Ker G '≅ϕ/.证 (1)由于φϕϕ≠⇒∈Ker Ker e .,,,G x Ker b a ∈∀∈∀ϕ则e b a '==)()(ϕϕ为G '的单位元.则e e e e e b a b a ab e e bb b b '='⋅'='⋅'===--'===----11)()()()(11)()()()()()(11ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ即G Ker Ker ab ≤⇒∈-ϕϕ1.又由于e x x x e x x a x xax '=='==----1111)()()()()()()()(ϕϕϕϕϕϕϕϕ，即G Ker Ker xax ϕϕ⇒∈-1.(2)令G a a aKer G Ker G ∈∀'→),(;/:ϕϕϕψ .下证ψ为一个同构映射：(ⅰ)ψ为映射：).()()()()(111b a e a b e a b Ker a b bKer aKer ϕϕϕϕϕϕϕϕ=⇒'=⇒'=⇒∈⇒=--- (ⅱ) ψ为满射：,,G a G a ∈∃'∈'∀使得a a aKer a a '==⇒'=)()()(ϕϕψϕ(ⅲ) ψ为单射：ϕϕϕKer G bKer aKer /,∈∀，则ϕϕϕϕϕϕϕψϕψbKer aKer Ker a b e a b b a bKer aKer =⇒∈⇒'=⇒⇒=--11)()()()()((ⅳ) ψ为一个同态：ϕϕϕKer G bKer aKer /,∈∀，则)()()()()()()(ϕψϕψϕϕϕϕψϕϕψbKer aKer b a ab abKer bKer aKer ====⋅.综上所述，G Ker G '≅ψϕ/. 注 一般地，设G G '→:ϕ为一个群同态，则⎩⎨⎧≅'≤ϕϕϕIm /Im Ker G G我们知道，群在一个群的满同态映射之下，一个群的若干性质会发生改变的，下面讨论哪些性质不发生变化.定义2.9.2 设A A →Φ:为集合之间的一个满射.(1) 设A S ⊆，记A S a a S ⊆∈Φ=Φ}|)({)(称为子集S 在Φ之下的像；(2)设A S '⊆'，记})(|{)(1S a A a S '∈Φ∈='Φ-称为子集S '在Φ之下的逆像（或后像）.注 一个不能多且一个不能少！定理2.9.4 设G G '→:ϕ是一个群之间的同态满射，(ⅰ),G H ≤∀ 则G H ≤)(ϕ；(ⅱ),G N ∀ 则G N )(ϕ；(ⅲ),G H ≤∀ 则G H ≤-)(1ϕ；(ⅳ),G N ∀ 则G N )(1-ϕ.证 (ⅰ)φϕφ≠⇒≠)(H H .b b a a t s H b a H b a ==∈∃⇒∈∀)(,)(..,,)(,ϕϕϕ， )()()()()()()(11111H b a b a b a b a Hb a ϕϕϕϕϕ∈⇒==-∈----，故G H ≤)(ϕ. (ⅱ).),(G x N a ∈∀∈∀ϕ 则⎩⎨⎧==∈∈∃a a x x t s G x N a )()(..,,ϕϕ .从而 )()()()()(111N xax x a x x a x ϕϕϕϕϕ∈==---，故G N )(ϕ.(ⅲ)由φϕ≠⇒≤-)(1H G H .（)(1H e H e -∈⇒∈ϕ）)()()()()(),()(,11111H b a H b a H b a H b a H b a -----∈⇒∈⇒∈⇒∈⇒∈∀ϕϕϕϕϕϕϕ即G H ≤-)(1ϕ.(ⅳ),),(1G x N a ∈∀∈∀-ϕ则 )()()()()()(,)(1111N xax N xax N x a x G x N a N ----∈⇒∈⇒∈⇒∈∈ϕϕϕϕϕϕϕ 故G N )(1-ϕ.注第(ⅰ)条不需要用道ϕ为满射.由(ⅳ)可知G e Ker )(1'=-ϕϕ.二 同构定理第一同构定理 设G G f '→:为群同态，则f G f Kerf G fIm )(/=≅ 第二同构定理（方块定理）H K H G HK G K G H ⋂≤⇒≤,,且有K H K H HK ⋂≅//.第三同构定理（分式定理） 设G K G H K ,≤≤，则①GH G H ⇔（K G G K H H /,/==） ② H G K H K G ≅.第四同构定理（对应定理） 设G G f '→:为群的满同态，则}{}|{11的子群G H Kerf G H −→←⊆≤- ；Kerf K K f K ≅)(且正规子群对应与正规子群.有兴趣的读者可以参考相关文献书籍.作业：Page 79 第2题，第3题。

§3.3 群的同态基本定理1.定义；设,G G 是两个群，如果映射:G Gϕ→满足,,a b G ∀∈ 都有()()(),ab a b ϕϕϕ=则ϕ称是G 到G 的一个同态。

若ϕ分别是单射、满射、双射，则称ϕ是单同态，满同态和同构。

用GG≅表示G 到G 的同构。

定理1 设,NG 则GG N。

证明 在G 与G N 之间建立映射如下：:GG Nτ→，()a aN τ=，a G ∀∈。

则显然τ是G 到G N 的一个满射。

又,a b G ∀∈，都有 ()()()()()()ab ab N aN bN a b τττ==⋅=， 即τ是G 到G N 的一个同态映射。

所以G G N 。

注：以后将上面的同态映射τ称为G 到G N 的自然同态。

核与像：设ϕ是群G 到群G 的一个同态映射，称 ker {|,()},Na a G a e ϕϕ==∈=为ϕ的核，其中e 为G 的单位元；称Im {()|}a a G ϕϕ=∀∈ 为ϕ的像。

定理2 (同态基本定理) 设ϕ是群G 到群G 的一个同态满射，则ker ,.GN G G Nϕ=≅ 且证明 首先，{}e G ,由上一节定理2有{}1ker -=N e G ϕϕ= 。

其次，在G N 与G 之间建立映射如下： :GGN σ→，()()aN aa σϕ==，a G ∀∈。

（1）设aNbN=，则1a b N -∈，于是1()a b e ϕ-=，即11()()a b a b e ϕϕ--==，从而ab=，即G N 中的每个赔集在σ下的像唯一，因此σ确为G N 到G 的一个映射。

（2）a G ∀∈，因为ϕ是满射，所以存在a G ∈，使得()a a ϕ=， 从而存在G aN N ∈，使得()aN a σ=，即σ是满射。

（3）设()()aN bN σσ=，即11()()()()()a b a b e a b eϕϕϕϕϕ--=⇒=⇒=，所以1ker a b N ϕ-∈=，从而aNbN=，即σ是单射。

第九节 同态基本定理与同构定理重点、难点：同态基本定理，满同态与子群的关系.一 同态基本定理前几节是研究一些定量的东西，下面我们来研究一些定性的东西.本节中的同态基本定理是群论中的研究基础.定理2.9.1 一个群G 与它的每一个商群N G /同态.证 令G a aN a N G G ∈∀→,;/: π显然π是G 到N G /的满射.G b a ∈∀,，)()())(()()(b a bN aN N ab ab πππ=== 故π是一个满同态.注1 定理2.9.1中的π称为自然同态；注2 自然同态π一定是满同态.利用子群来研究群本身，任意给定一个不变子群N ，有两个可以供我们参考的群： N 和N G /，由于0/→→→N G G N ，故更容易推测G 的性质.自然会问：定理2.9.1的逆命题是否成立？即0→'→G G ，G '是否与G 的某个商群是同构的呢？我们说是对的.首先有一个概念.定义2.9.1 设G G '→Φ:为一个群同态.e '为G '的单位元,集合})(|{e a G a Ker '=Φ∈=Φ称为同态映射Φ的核.注1 未必要求Φ为满射，但本书中同态均为满同态；注2 一个同态是单同态⇔G e Ker ⊆=}{φ.推论2.9.2 设π是N G G /→的自然同态，则N Ker =π.证 由于N G /的单位元是N ，则N N a G a N aN G a N a G a Ker =∈∈==∈==∈=}|{}|{})(|{ππ.定理2.9.3 （同态基本定理）设ϕ是群G 到群G '的一个同态满射，则(1)G Ker ϕ；(2)G Ker G '≅ϕ/.证 (1)由于φϕϕ≠⇒∈Ker Ker e .,,,G x Ker b a ∈∀∈∀ϕ则e b a '==)()(ϕϕ为G '的单位元.则e e e e e b a b a ab e e bb b b '='⋅'='⋅'===--'===----11)()()()(11)()()()()()(11ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ即G Ker Ker ab ≤⇒∈-ϕϕ1.又由于e x x x e x x a x xax '=='==----1111)()()()()()()()(ϕϕϕϕϕϕϕϕ，即G Ker Ker xax ϕϕ⇒∈-1.(2)令G a a aKer G Ker G ∈∀'→),(;/:ϕϕϕψ .下证ψ为一个同构映射：(ⅰ)ψ为映射：).()()()()(111b a e a b e a b Ker a b bKer aKer ϕϕϕϕϕϕϕϕ=⇒'=⇒'=⇒∈⇒=--- (ⅱ) ψ为满射：,,G a G a ∈∃'∈'∀使得a a aKer a a '==⇒'=)()()(ϕϕψϕ(ⅲ) ψ为单射：ϕϕϕKer G bKer aKer /,∈∀，则ϕϕϕϕϕϕϕψϕψbKer aKer Ker a b e a b b a bKer aKer =⇒∈⇒'=⇒⇒=--11)()()()()((ⅳ) ψ为一个同态：ϕϕϕKer G bKer aKer /,∈∀，则)()()()()()()(ϕψϕψϕϕϕϕψϕϕψbKer aKer b a ab abKer bKer aKer ====⋅.综上所述，G Ker G '≅ψϕ/. 注 一般地，设G G '→:ϕ为一个群同态，则⎩⎨⎧≅'≤ϕϕϕIm /Im Ker G G我们知道，群在一个群的满同态映射之下，一个群的若干性质会发生改变的，下面讨论哪些性质不发生变化.定义2.9.2 设A A →Φ:为集合之间的一个满射.(1) 设A S ⊆，记A S a a S ⊆∈Φ=Φ}|)({)(称为子集S 在Φ之下的像；(2)设A S '⊆'，记})(|{)(1S a A a S '∈Φ∈='Φ-称为子集S '在Φ之下的逆像（或后像）.注 一个不能多且一个不能少！定理2.9.4 设G G '→:ϕ是一个群之间的同态满射，(ⅰ),G H ≤∀ 则G H ≤)(ϕ；(ⅱ),G N ∀ 则G N )(ϕ；(ⅲ),G H ≤∀ 则G H ≤-)(1ϕ；(ⅳ),G N ∀ 则G N )(1-ϕ.证 (ⅰ)φϕφ≠⇒≠)(H H .b b a a t s H b a H b a ==∈∃⇒∈∀)(,)(..,,)(,ϕϕϕ， )()()()()()()(11111H b a b a b a b a Hb a ϕϕϕϕϕ∈⇒==-∈----，故G H ≤)(ϕ. (ⅱ).),(G x N a ∈∀∈∀ϕ 则⎩⎨⎧==∈∈∃a a x x t s G x N a )()(..,,ϕϕ .从而 )()()()()(111N xax x a x x a x ϕϕϕϕϕ∈==---，故G N )(ϕ.(ⅲ)由φϕ≠⇒≤-)(1H G H .（)(1H e H e -∈⇒∈ϕ）)()()()()(),()(,11111H b a H b a H b a H b a H b a -----∈⇒∈⇒∈⇒∈⇒∈∀ϕϕϕϕϕϕϕ即G H ≤-)(1ϕ.(ⅳ),),(1G x N a ∈∀∈∀-ϕ则 )()()()()()(,)(1111N xax N xax N x a x G x N a N ----∈⇒∈⇒∈⇒∈∈ϕϕϕϕϕϕϕ 故G N )(1-ϕ.注第(ⅰ)条不需要用道ϕ为满射.由(ⅳ)可知G e Ker )(1'=-ϕϕ.二 同构定理第一同构定理 设G G f '→:为群同态，则f G f Kerf G fIm )(/=≅ 第二同构定理（方块定理）H K H G HK G K G H ⋂≤⇒≤,,且有K H K H HK ⋂≅//.第三同构定理（分式定理） 设G K G H K ,≤≤，则①GH G H ⇔（K G G K H H /,/==） ② H G K H K G ≅.第四同构定理（对应定理） 设G G f '→:为群的满同态，则}{}|{11的子群G H Kerf G H −→←⊆≤- ；Kerf K K f K ≅)(且正规子群对应与正规子群.有兴趣的读者可以参考相关文献书籍.作业：Page 79 第2题，第3题。

群同态三大基本定理群同态三大基本定理是群论中的重要结果，包括同态基本定理、同构基本定理和同态映射定理。

这些定理对于研究群及其结构和性质具有重要意义。

本文将分别介绍和阐述这三大基本定理。

一、同态基本定理同态基本定理是群同态理论的基石，它表明了群同态的基本性质。

该定理断言，对于任意群G和H，如果存在一个由G到H的群同态φ，则G的核Ker(φ)是G的一个正规子群，且G/ Ker(φ)与φ(G)同构。

其中，核是指同态映射φ的零空间，即使得φ(g) = e_H的所有元素g构成的子集。

同态基本定理的证明思路是，首先证明Ker(φ)是G的一个正规子群，然后构造一个映射ψ: G/Ker(φ) → φ(G)，通过ψ(gKer(φ)) = φ(g)将G/Ker(φ)的元素映射到φ(G)的元素，证明ψ是一个双射，并且保持群运算。

因此，G/Ker(φ)与φ(G)同构。

二、同构基本定理同构基本定理是群论中的一个重要结果，它给出了同构的判定条件。

该定理指出，如果存在一个双射φ: G → H，且满足φ(xy) = φ(x)φ(y)，那么G与H是同构的。

换句话说，如果两个群之间存在一个双射，且保持群运算，那么这两个群是同构的。

同构基本定理的证明思路是，首先证明φ是一个同态映射，即φ(xy)= φ(x)φ(y)成立。

然后证明φ的逆映射存在，即存在一个映射ψ: H → G，使得ψ(φ(x)) = x和φ(ψ(y)) = y对于所有的x∈G和y∈H 成立。

最后，证明ψ也是一个同态映射，即ψ(xy) = ψ(x)ψ(y)成立。

因此，φ和ψ构成了G和H之间的同构关系。

三、同态映射定理同态映射定理是群同态理论中的一个重要结果，它给出了同态映射的性质。

该定理指出，如果φ: G → H是一个群同态，那么φ(G)是H的一个子群，且φ(G)的阶是G的核Ker(φ)的阶的整数倍。

同态映射定理的证明思路是，首先证明φ(G)是H的一个子群。

然后证明φ(G)的阶是G的核Ker(φ)的阶的整数倍。

群同态基本定理证明群同态基本定理是群论中非常重要的一个定理，它描述了两个群之间的同态映射的性质。

在介绍这个定理之前，我们需要先了解一些基本概念。

首先，什么是群？简单来说，群是由一些元素及其运算所构成的代数结构。

一个群必须满足四个条件：封闭性、结合律、存在单位元和存在逆元。

群的元素可以是数字、矩阵、置换等等。

接下来，我们来看一下什么是同态映射。

给定两个群G和H，如果存在映射f:G→H，使得f(xy)=f(x)f(y)对于任意的x,y∈G成立，那么我们称f是从G到H的同态映射。

有了这些基本概念的了解，我们现在来介绍群同态基本定理。

群同态基本定理的内容是：对于一个群G和它的一个子群H，存在一个同态映射f:G→G/H，其中G/H是由右陪集构成的集合，使得f的核（即f的逆像）为H，而且f是满射。

我们可以通过以下步骤来证明这个定理。

首先，我们定义映射f:G→G/H，其中f(x)=xH，即将G中的每个元素x映射到它所在的右陪集xH上。

其次，我们需要证明f是一个同态映射。

对于任意的x,y∈G，我们有：f(xy) = (xy)H = x(yH) = x(f(y))，因此f是一个同态映射。

然后，我们需要证明f的核为H。

核是指所有映射到单位元的元素的集合。

对于任意的x∈G，有：f(x) = xH = H ⟹x∈H。

最后，我们需要证明f是满射。

也就是说，对于G/H中的任意元素yH，都存在G中的元素x，使得f(x)=yH。

根据定义，我们可以取x=y，这样f(x)=f(y)=yH。

综上所述，我们成功地证明了群同态基本定理。

这个定理的意义在于，通过同态映射，我们可以将一个群G映射到一个以右陪集为元素的集合G/H上，并且这个映射保持了群运算的性质。

在代数学和计算机科学等领域中，群同态基本定理被广泛应用于研究和解决各种问题，如编码理论、密码学、图论等。

它为我们理解和分析群结构提供了有力的工具。

同时，它也为我们研究同态映射和陪集理论提供了一个基本的框架。

群的同态定理同态基本定理设f:G→H为群同态,那么同态核Ker f◃G,且G/Ker f≃Im f.反过来如果K◃G,那么映射π:G→G/K,g↦gK是⼀个满同态且其同态核K erπ=K.我们把π称为⾃然同态.这个定理的证明是容易的,告诉我们的是正规⼦群和同态核可以认为是⼀样的,也就是说⼀个正规⼦群可以看做某个群同态的同态核,反之同态核⼀定是正规⼦群.与⾼等代数中线性变换在⼦空间上的限制类似,我们考虑群同态在⼦群上的限制：设f:G→G′是⼀个群同态,⽽H是G的⼦群,我们考虑f在H上的限制f|H,我们有如下的结论:第⼀同构定理设K◃G,H≤G,那么H/H∩K≃HK/K此处蕴含着H∩K◃H以及K◃HK.证明对于⾃然同态π:G→G/K,我们考虑π在H上的限制π|H,⾸要问题是要知道π(H)的结构,按照⾃然同态的定义显然有π(H):={hK:h∈H}=HK/K此处如果直接写成H/K是有问题的,因为K未必是H的⼦群,所以商群未必有意义.所以这⾥⽤HK来进⾏修正.并且显然K erπ|H=H∩K,从⽽根据同态基本定理可知H/H∩K≃HK/K从证明过程可以看出第⼀同构定理就是⾃然同态在⼦群上的限制得到的同态基本定理。

另⼀个问题如果K◃G我们希望清楚商群G/K的⼦群是什么形式的,设A是G/K的⼦群,那么A由⼀些左陪集构成,我们把A中左陪集的全体代表元构成的集合记作H,即H:={a:aK∈A},不难验证H构成G的⼦群且K⊂H.由于K◃G,那么K◃H,从⽽商群H/K有意义了,不难发现A=H/K.以上分析说明商群G/K的⼦群必形如H/K,其中H是G的包含K的⼦群.进⼀步的,如果H/K是G/K的正规⼦群，要求H也是G的正规⼦群,反过来是否成⽴呢?我们有如下的第⼆同构定理:设G是群,K◃G,⾃然同态π:G→G/K建⽴了群G的包含K的⼦群和商群G/K的⼦群之间的⼀⼀对应,并且把包含K的正规⼦群对应成G/K的正规⼦群.详⾔之：若K⊂H≤G等价于π(H)/K≤G/K;K⊂H◃G等价于π(H)/K◃G/K.进⼀步的有G/H≃(G/K)/(H/K)证明命∑1:={H≤G:K≤H≤G}即为G的包含K的⼦群的全体,∑2:={H/K:K◃H≤G}即为商群G/K的⼦群的全体,考虑映射f:∑1→∑2,H↦H/K我们来说明这是⼀个双射：⾸先如果H1/K=H2/K,那么∀h∈H1有hK∈H2/K⇒h∈H2⇒H1⊂H2,同理H2⊂H1,从⽽H1=H2,这说明f是单射;再来说明f是满射,对G/K的任意⼦群H/K,经过前⾯的分析我们知道必然有H≤G,这便说明了f是满的.综上可知这是⼀个⼀⼀映射.再者如果H∈∑1且H◃G,那么对任意的aK∈H/K以及gK∈G/K有gK⋅aK⋅(gK)−1=gag−1K∈H/K从⽽H/K◃G/K;反之如果H/K◃G/K,那么对任意的aK∈H/K,gK∈G/K(也就是a∈H,g∈G)有gK⋅aK⋅(gK)−1=gag−1K∈H/K⇒gag−1∈H,从⽽H◃G.最后再来说明最后⼀个同构的式⼦,仅需考虑同态ϕ:G/K→G/H,gK↦gH,⾸先需要说明的是这个定义是⽆⽭盾的,即若aK=bK,那么b−1a∈K⊂H⇒aH=bH.再者显然这是⼀个同态,根据同态基本定理有(G/K)/K erϕ≃G/H,⽽若gK∈K erϕ,那么gH=H⇒g∈H⇒K erϕ⊂H/K;另⼀⽅⾯若h∈H,那么ϕ(hK)=hH=H⇒hK∈Kerϕ⇒H/K⊂K erϕ,综上H/K=K erϕ.从⽽G/H≃(G/K)/(H/K)Processing math: 100%。