环的同态基本定理

环同态及同态基本定理定义2.设21:R R →ϕ是一个环同态,那么2R 中零元的完全原象}0)(|{)0(11=∈=-a R a ϕϕ叫作ϕ的模,通常记ϕϕKer =-)0(1.定理1.设R R −→−ϕ是一个环同态满射,令ϕKer I =那么(ⅰ) I R (ⅱ)R I R ≅证明:(ⅰ)对加法而言,ϕ显然是一个加群满同态,由第二章知 I R . (即I 是R 的不变子群).下面只需证明吸收律也成立即可..,R r I k ∈∀∈∀那么.00)()()()(I rk r k r rk ∈⇒===ϕϕϕϕ同理I kr ∈.∴ I R(ⅱ)由第二章知,存在R IR ≅Φ:.作为群同构,其中.][I R a ∈∀ ),(])([a a ϕ=Φ下面只需证明:I R b a ∈∀][],[,])([])([])][([b a b a ΦΦ=Φ但][][)()()(][])][([b a b a ab ab b a ΦΦ===Φ=Φϕϕϕ.∴ R I R →Φ:是环同构.即R IR ≅Φ. 定理 2.设R 是一个环而 I R ,那么必有环同态I R R →:ϕ.使得ϕ是满同态且模I Ker =ϕ.称这样的ϕ为环的自然同态.证明:令IR R →:ϕ,其中][)(a a =ϕ, 显然ϕ是个满射.而且R b a ∈∀,.)()(][][][)(b a b a b a b a ϕϕϕ+=+=+=+)()(]][[][)(b a b a ab ab ϕϕϕ=== ∴I R R ～.至于I Ker =ϕ是显然的.注意:上述定理1和定理2通称为环和同态基本定理.同时表明:环R 的任何商环I R 都是R 的同态象.而环R 的任何同态象实质上只能是R 的一个商环.与群同态类似,我们可以和到一些与第二章中平行的结果.定理3.设R R →:ϕ是环同态映射,那么(ⅰ)若S 是R 的子环)(S ϕ⇒是R 的子环(ⅱ)若I 是R 的理想且ϕ为满射)(I ϕ⇒是R 的理想(ⅲ)若S 是R 的子环)(1S -⇒ϕ是R 的子环(ⅳ)若S 是R 的理想)(1S -⇒ϕ是R 的理想证明: (ⅰ)S b a S b a ∈∃⇒∈∀,)(,ϕ使).(),(b b a a ϕϕ==所以S b a ∈-,于是R S S b a b a b a ≤⇒∈-=-=-)()()()()(ϕϕϕϕϕ.(子群)另外 ）　 （　S ab S ab b a b a ∈∈== )()()()(ϕϕϕϕ ∴)(S ϕ是R 的子环.(ⅱ) I R ,∴I 是R 的子环)()(I i ϕ⇒是R 的子环.须证明吸收律成立. ϕ是满射 ⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫∈∈⇒=∈∃⇒∈∀=∈⇒∈∀I ai I ia IR a a R a R a i i I i I i ,)(,)()( ϕϕϕ使使 R I I ai i a i a I ia a i a i )()()()()()()()()(ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ⇒⎪⎭⎪⎬⎫∈==∈== (ⅲ))(,1s b a -∈∀ϕ ∴S b a ∈)(),(ϕϕ, 而知S b a b a ∈-)()(),()(ϕϕϕϕ ∴⇒⎪⎭⎪⎬⎫∈⇒∈=∈-⇒∈-=---)()()()()()()()(11s ab S b a ab s b a S b a b a ϕϕϕϕϕϕϕϕ )(1s -ϕ是R 的一个子环.(ⅳ)R r R r S a s a ∈∴∈∀∈⇒∈∀-)(.,)().(1ϕϕϕ R S ,∴S a r S r a ∈∈)()(,)()(ϕϕϕϕ. 于是)()()()()()()()()(111s s ra S a r ra s ar S r a ar ---⇒⎪⎭⎪⎬⎫∈⇒∈=∈⇒∈=ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ 满足吸收律.又由(ⅲ))(1s -⇒ϕ是R 的子环.于是R s )(1-ϕ.注意2.从定理3的证明中可知:除了(ⅱ)需要ϕ是满环同态外,其余情况都不需要ϕ是满射这个条件.极大理想的概念(1) 定义1. 设I 是R 环的一个理想且R I ≠,如果除了R 和I 以外,再也没有能包含I 的其他理想,那么称I 是R 的一个极大理想.∙ 将上定义更“数学化”些,就是:设 I R ，R I ≠,则I 是极大理想⇔不存在 I R 使R J I ⊄⊄∙ 欲判断理想 I R 是极大理想的一般有二步:① 验证 R I ≠ (即R r ∈∃ 但 I r ∉ ) 一般当R l R ∈,证I R ∉1② 设J R 且 J I ⊄,R J =⇒(2) 例子.例1. 设素数Z p ∈,那么由p 生成的理想()p I =必是极大理想.① 因为(){}()p Z n np p ∉⇒∈∀=1 （p 不整除1） ∴ Z p ≠② 设J Z ,且I ⊄J ,那么说明存在J g ∈但()p g ∉换句话说 p 不整除g ,由p 的性质 ()Z t s g p ∈∃⇒=⇒,.1, 使1=+tg sp . J I p ⊄∈,且 Z R J J tg sp J g ==⇒∈+=⇒∈1 例2. 设Q R =有理数环,那么取Q ∈2,则主理想()2=I 必不是极大理想.事实上 ()==2I {}Q g g ∈∀2, 则 Q x Q x ∈⇒∈∀2 I Q I x x =⇒∈⋅=22 ∴ I 不是极大理想. 例3. 设{}R ≠0为任一个环,则R 为单环⇔零理想{}0是极大理想.( ∴ 除环的极大理想只有 {}0 )例4. 设Z R 2=—偶数环,而R Z I 4=,可验证I 是R 的极大理想.事实上,① R ∈2 但I ∉2R I ≠⇒② 设R J I ⊄.须 证Z R J 2==.显然只需证明J ∈2即可.J j IJ ∈∃⇒但 I j ∉. 令m j 2= 而12+=k m .∴ ()24122+=+=k k j ,而J j ∈,且J k j J I K ∈-=⇒⊂∈424∴ R J J =⇒∈2极大理想的主要定理.引理1. 设 I R ,那么剩余类环I R为单环I ⇔是R 的极大理想. (这里R I ≠)证明: (⇐) 已知I 是R 的极大理想,须证I R R =只有平凡理想.设(){}J ≠0是R 的一个理想,而→R :πIR R =为自然同态映射, J R . 那么由§8知 ()J J 1-=π也是的理想,即J R .又注意到,I a ∈∀,则 ()[][]0a a =π ()πker =∴I[]J I J a J ⊆⇒∈⇒∈0 ,但 (){}J b J ∈∃⇒≠0 且 [][]J b b ∈⇒≠0 ,使 ()[][]I b b b ∉∴≠=,0π ,这说明 I ⊄J但I 是极大理想R J =⇒,于是利用π是满同态映射()()R R J J ===⇒ππ 即 R J =. ∴ I R R =是个单环.()⇒ 已知 IR R =是单环,(即R 只有平凡理想) 今设J R ,且,J I ⊄ 须证R J = :自然同态: →:πI R R =,且由§8定理3()J J =⇒π R .由J I ⊄J b ∈∃⇒且I b ∉, ∴ ()[][]0≠=b b π ( πker =I ) 而仅且 ()[]⇒∈=J b b π 这说明J 中有非零元[](){}0≠⇒J b ,但R 是单环R J =⇒. ∴ .R r ∈∀ ()[]J j J R r r ∈∃⇒=∈=π 使 ()[]()r r j ππ==∴ ()[]J I j r j r ∈=∈-⇒=-ππker 0∴ (),J j j r r ∈+-= 由 r 的任意性J R =⇒∴ I 是极大理想.引理2. 设{}0≠R ,且R 是可变换幺环,那么R 为域R ⇔为单环.证明: ()⇒ 若R 为域R ⇒必为单环()⇐ 显然需要证明R 是除环即可,也就是说:只要证明∙R 中每个元都可逆. ∈∀a ∙R ∴0≠a , 由a 生成的一个主理想{}()0≠a ,但R 是单 环()()a R R a R =∈∴=⇒1, 又 R 为可换幺环(){}ra R a ra a R =⇒∈∀=⇒1∴ a r a ⇒=-1可逆, 由a 的任意性R ⇒是除环即R 是域. 定理1. 设{}R ≠0为可变换的幺环,而R I ,那么I R 为域I ⇔是R 的一个极大理想.证明: ()⇒ I R 为域⇒I R 为单环I 1引理⇒为R 的极大理想.()⇐ I 为R 的极大理想1引理⇒I R 为单环 (1)又 I 为极大理想{} 0≠⇒≠⇒I R R I (2) R 可变换且I R R R ⇒∈1可变换且单位元为[]R 1 (3)由(1),(2),(3) 2引理⇒I R 为域.。

环的同态映射在代数学中，环是一种重要的代数结构，它由一个非空集合和两个运算（加法和乘法）组成。

同态映射是保持运算结构的映射，它在环论中起着重要的作用。

本文将介绍环的同态映射及其性质，以及同态映射在环论中的应用。

一、环的定义与性质环是一个满足特定条件的代数结构。

一个环由一个非空集合R和两个二元运算“+”和“·”组成，满足以下条件：1. R关于“+”构成一个交换群；2. R关于“·”满足结合律；3. R关于“·”满足分配律。

在环中，加法运算“+”是交换的，且存在一个零元素0，使得对于任意元素a，有a+0=0+a=a。

乘法运算“·”不一定是交换的，但满足结合律。

同时，环中的乘法也满足分配律，即对于任意元素a、b、c，有a·(b+c)=a·b+a·c。

二、同态映射的定义与性质同态映射是保持运算结构的映射，它将一个环映射到另一个环，并保持环的加法和乘法运算。

具体地说，设有两个环R和S，它们的加法运算分别为“+R”和“+S”，乘法运算分别为“·R”和“·S”。

若存在一个映射f：R→S，满足以下条件：1. 对于任意元素a、b∈R，有f(a+b)=f(a)+f(b)；2. 对于任意元素a、b∈R，有f(a·Rb)=f(a)·Sf(b)；则称f为从环R到环S的同态映射。

同态映射保持了环的加法和乘法运算，即通过同态映射，环R中的运算结果在环S中保持不变。

同态映射还具有以下性质：1. 同态映射保持零元素：对于任意元素a∈R，有f(0R)=0S；2. 同态映射保持乘法单位元：对于任意元素a∈R，有f(1R)=1S；3. 同态映射保持逆元素：对于任意元素a∈R，有f(-a)=-f(a)；4. 同态映射保持子环：若R中存在一个子环H，那么S中存在一个子环f(H)。

三、同态映射的应用同态映射在环论中有广泛的应用。

以下是同态映射的几个典型应用：1. 同态核与同态定理：同态核是同态映射的一个重要概念，它是使得同态映射为零的元素的集合。

环的同态映射定义
摘要：
一、环的同态映射定义介绍
二、环同态映射的性质
三、环同态映射的应用
正文：
环的同态映射定义：
环同态映射是环论中的一种重要概念，它指的是一个从环R 到环S 的映射，满足以下条件：
1.封闭性：对于任意的元素a, b 属于R，有f(a+b)=f(a)+f(b) 以及
f(a*b)=f(a)*f(b)。

2.结合律：对于任意的元素a, b, c 属于R，有
f(a*(b+c))=f(a)*f(b+c)=f(a*b)+f(a*c)。

环同态映射的性质：
1.满射性：如果环R 到环S 存在一个同态映射，那么这个映射一定是满射的。

2.单射性：如果环R 到环S 存在一个同态映射，那么这个映射一定是单射的。

3.逆映射存在性：如果环R 到环S 存在一个同态映射，那么这个映射一定存在逆映射。

环同态映射的应用：
环同态映射在环的构造、环的等价分类、环的子结构等方面有广泛的应用。

例如，在环的构造中，可以通过同态映射将一个已知的环R 映射到一个新的环S，从而得到一个新的环结构。

在环的等价分类中，可以通过同态映射将不同的环等价地映射到同一个环上，从而得到这些环的等价分类。

在环的子结构中，可以通过同态映射将一个环R 的子环映射到一个新的环S 上，从而得到这个子环的新结构。

第20 讲§5子环、环的同态（Subgroup and homomorphism of ring ）本讲的教学目的和要求：本讲的内容出发点都是跟循群认的思略，环——子环的定义——子环的实例——环同态（尤其是环同态满射）——同态映射（满射）所能传递的代数性质和不能传递的代数性质。

本讲中，要求能弄略和领会环同态与群同态的区别所在。

1、子环的定义，尤其是子整环，子除环和子域的定义。

特别一提的是：一个环可能不是什么特殊环，但却是特殊子环。

2、扩环与子环之间在单位元变换性，零因子和环的特殊性方面都具有“转变”的特点，这是与群截然不同的地方。

4、环同态映射（既使是环同态满射）也有一些性质不能传递过去。

5、环同构的应用——挖补定理。

本讲的难点和重点：本讲涉及的内容较多，变化性较大，有一些困难之处。

1、环与子环之间的性质“变异”问题。

2、环同态的保性质问题。

3、挖补定理中“S现为R的子环”的不同理。

一、子环的定义。

例子和简单性质.定义1. 设R 是一个环,而S 是R 的一个非变子集,如果关于R 中的加法和乘法, S 本身做成一个环,则称S 为R 的一个子环,同时称R 为的S 扩环.显然,子环上述的定义显得有些“虚”,或者说不易操作.仔细分析 一下,S 要成为R 的子环,则要满足环的三条: ∙ {}+,S 为{}+,R 的子加群.∙ {}⋅,S 为{}⋅,R 为子半群 (R 可将结合律传递给S ). ∙{}⋅+,,S 中满足左，右分配律 (可R 由传递给S )于是得到子环的等价定义:定义2′. 设{}⋅+⊆≠∅,,R S .如果S 满足. (1) {}+,S 是{}+,R 的子加群. (2) {}⋅,S 对乘法封闭. 那么,称S 是R 的子环.若用数学语言来表达上定义则为 定义2. 设{}⋅+⊆≠∅,,R S .如果S 满足. (1)S b a ∈∀, ,S b a ∈- (或 S b a ∈+ 且 S a ∈-)(2)S b a ∈∀,, S ab ∈则称S 是R 的子环.设R S ≤≠∅,可以定义R 的子整环,子除环和子域: 1、S 是R 的子整环⇔ (ⅰ)S ab S b a S b a ∈∈-∈∀,,,. (ⅱ){}⋅+,,S 是可变换的 且S S ∈1（ⅲ）{}⋅+,,S 中没有零因子. 2、S 是R 的子除环⇔(ⅰ)S ab S b a S b a ∈∈-∈∀-1,,,. (ⅱ){}0≠S ,且S S ∈1(或说是个乘群⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅∙,S )3、S 是R 的子域⇔S 既是R 的子整环也是R 的子除环. 例1. 对于环R 而言,零环{}0和R 必是R 的子环——R 的平凡子环. 例2. 偶数环2Z 是整数环的子环(但不是子整环). 例3. 整系数多项式环()x Z 是多项式环()x F 的子环注意1: 环R 本身不是整环,但也许有子整环. 环R 本身不是除环(域)但可能有子除环(子域). 例 4. 设()C M 2为复数域上的二阶级本环,显然()C M 2不是整环,不是除环,更不是域( 不可变换,有零因子)但我们发现: Z n n n S ∈∀⎪⎪⎭⎫⎝⎛=001是()C M 2的子整环.CS ∈∀⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ααα002是()C M 2的子域.C S ∈∀⎪⎪⎭⎫⎛-=βααββα,3是()C M 2的子除环. 例5.6Z 为模6的剩余类环,而[][][]{}4,2,0=S 不仅是6Z 的子环还是的一个子域.(其中,[]S 14=,且 [][]221=-) 注意2: 从例5中看到:6Z 中的单位元[]116=Z ,而S 中的单位元[]41=S .这表明子环中的单位元未必是扩环 (母环)的单位元. 与群的子群的相比,子环具有许多“怪”性质.汇总起来,我们有结论1: 设S 是R 的子环,那么: ① R 是幺环, S 未必是幺环.② R 不是幺环, S 可能是幺环. ③ R 是变换环, S 未必是变换环. ④ R 不能变换, S 可能变换.⑤ R 与S 都是幺环,但它们的单位元未必一致. ⑥ R 是整环(除环、域), S 未必是整环,(除环、域). ⑦ R 不是整环(除环、域),但S 可能是整环(除环、域) 注意3: 从上结论可知,在环与子环之间,单位元,变换性,环的类型都可能发生转变,而且以例5中知,零因子也会发生转变:[]2在6Z 中是零因子,但[]2在S 中是可逆元.结论2 .设R 为任意环,令()xa ax R x R a R C =∈∀∈=,则()R C 必是一个子环,叫做环R 的中心. 证明:()()∅≠⇒∈R C R C 0. ()R C b a ∈∀,,∴ R x ∈∀. ()()b a x xb xa bx ax x b a -=-=-=-()R C b a ∈-⇒. 且 ()R C ab xab axb abx ∈⇒==∴ ()R C 是R 的子环.(显然, ()R C 是R 的变换子环)可知: ()R C R R ⇒=本身可变换. 结论3. 设1R 和2R 都是环,那么21R R 是1R 和2R 的子环.(证明略).将结论3进行推广知: 设 ,3,2,1=i S i 是R 的子环集,那么i i S ⋂∞=1必是R 的子环.二、环的同态定义3. 设ϕ是环{}⋅+,,R 到环{}⋅+,,R 的映射.如果ϕ满足: ()()(),b a b a ϕϕϕ =+ ()b a ⋅ϕ()⋅=a ϕ()b ϕ 则称ϕ是一个环同态映射.其中.,R b a ∈∀如果ϕ是满射(单射、双射),则称ϕ为环同态满射(环同态单射,环同构).特别ϕ是环同态满射时,则称R 与R 同态,记为 R ～R . 注意4: 由上定义可知,一个环同态映射就是分别对环的加法和乘法都满足“保运算”的性质.利用这一点,可以自然地得到:定理1. 设{⋅+,A }和{}⋅+,,A 都是代数体系,如果ϕ是A 到A 的满射且有 .,A b a ∈∀.()()()()()()b a b a b a b a ϕϕϕϕϕϕ⋅===,, 当 {⋅+,,A }是环时,则{}⋅+,,A 也必是环.下面我们摩仿群论的讨论方式:考察环同态能传递一些什么代数性质.定理2. 设R ϕ~R 是环同态满射,那么:① 若R O 是R 中的零元()R O ϕ⇒必是R 的零元. 即 ().R R O O =ϕ② 若 R 1是R 的单位元()R 1ϕ⇒必是R 的单位元 即 . ()R R 11=ϕ,③ 一个负元的象必是象的负元,即 ()().a a ϕϕ-=- ④ 若R 可变换R ⇒也可变换.证明: ① ,R a ∈∀ ϕ 是满射⇒R a ∈∃使 ().a a =ϕ 于是 ()()()()()()R R R R R O O a O a O a O ϕϕϕϕϕϕ⇒=== 确实是R 中零元.② R a R a ∈∃⇒∈∀ 使 ().a a =ϕ 而 ()()()a a a a R R ===ϕϕϕ11, 同理, ()()R R R a a 111=⋅-=ϕϕ.③ ()()()()R R O O a a a a ==-=-+ϕϕϕϕ, 同理 , ()()R O a a =+-ϕϕ, ()()a a ϕϕ-=-∴. ④ R b a ∈∀,,则 R b a ∈∃, 使 ()()b b a a ϕϕ==, 故 ()()()()()()a b a b ba ab b a b a =====ϕϕϕϕϕ ∴ ⇒=a b b a R 是变换环.显然环同态满射能传递许多代数性质,但也有一些是无法传递过去的.例6. 设 6:Z Z →ϕ是环同态满射,其中:()[]n n =ϕ.显然Z 是整环. ∴ Z 中没有零因子,但在6Z 中,[]2和[]3、[]4都是零因子. 即 : 2显然不是Z 中的零因子,但()[]22=ϕ却是6Z 中的零因子.这告诉我们:非零因子的象可能会是零因子.例7. 设()Z b a b a R ∈∀=,, .在R 中定义运算: ()()().,,,21212211b b a a b a b a ++=+ ()()().,,,21212211b b a a b a b a = 可以验证: R 是一个环.现作一个对应:Z R →:ϕ,其中,()a b a =,ϕ可以验证,ϕ是一个环同态满射.由于()0,0是R 中的零元,当0≠a 且 0≠b 时.有()()()R b a ⇒=0,0,00,中有零因子.而显然Z 中没有零因子.这表明:零因子的象可能不是零因子.由上知,环同态满射尚不能保证传递分部的代数性质.如果ϕ是环同构时,其结果则不同了.定理3. 若R 和R 都是环,且R R ϕ≅,那么ϕ不仅能传递所有的代数性质,而且R 是整环(除环,域)当且仅当R 是整环(除环,域).利用环同构的性质,可以得到下面一个有趣的事实. 引理. 设{}⋅+,,R 是一个环,而A R →:ϕ是一个双射,其中A 仅是一个集合.那么,可以给集合A 定义加法和乘法,使得ϕ成为R到A的同构(即不同构)证明: 任取A a a ∈21,.定义:()xy a a ϕ=⋅21(),21y x a a +=ϕ 其中 ()()21,a y a x ==ϕϕ所以 ()()()y x a a y x ϕϕϕ ==+21 ()()()y x a a xy ϕϕϕ⋅=⋅=21又已知ϕ是双射.由21,a a 的任意性.A R ϕ≅⇒.因R 为环,由定理1A ⇒也是环 ∴ ϕ成了环同构.有了上引理,则可讨论环论中的“挖补定理”定理4.(??定理) 设S 是环R 的一个子环,设.S R B -=. 又设S 也是环且S S ≅,而∅=S B 中.那么必存在另一个环R ,满足① ,R R ≅ ② S 是R 的子环.证明:为了方便,令{} S S S c b a S ,,=.而{}.,, S S S c b a S = 因 S S ϕ≅,则设()S S x x =ϕ .又令 {} c b a c b a R c b a B S S S ,,,,,,,=⇒= 今令 c b a c b a R S S S ,,,,=,显然 R R ≠作 R R f→:其中 S S x x → x x →(也就是说,对于B 中的元,f 是恒等映射,对于S 中元,f 是ϕ)显然, f 是满射.另一方面,R y x ∈∀,,可分为三种情形逐一考虑(其中,y x ≠).(ⅰ) 若⇒∈B y x ,那么()()y f y x x f =≠=(ⅱ) 若()()()()y y f x x f S y x ϕϕ==⇒∈,, ϕ是同构映射. ∴ 当y x ≠时必有()()y x ϕϕ≠ ∴ ()()y x ϕϕ≠ (ⅲ) 若B x ∈，而S y ∈时()x x f =⇒,但()()y y f ϕ=.因为 ()()y x S y B x S B ϕϕ≠⇒∈∈∅=,,而 ∴ ()()y f x f ≠.总之,当y x ≠时,()()y f x f ≠⇒, ∴f 是单射. 综合上述R R f →⇒:为双射.由引理,因为R 为环,则必可为R定义加法和乘法,使R 为环且R R f≅.∴ ①成立.下面得证②也成立,(即S 是R 的子环)现设R 中的加法和乘法分别记为“ ”和“⋅”,又S 设与S 中的加法和乘法分别记为“+”和“·”.以下将证明若局限在S 内,“ ”与“+”,⋅与·是一致的S y x S S ∈∀, 于是 S Z y x S S S ∈=+， .S S ϕ≅∴则有S S y x ,和S Z 使()S S x x =ϕ，()S y ϕS y =， ()S S z z =ϕ于是， ()()()()()S S S S S S S S y x f y f x f y x y x +=== ϕϕ()()S S S z z z f ===ϕ ∴ S S S z y x =+。

环的同态基本定理(1) R 是环，S 是它的理想，则R 到商环SR 有满同态()S a a +=ηη:，S a ∈∀， 称为R 到SR 的自然同态； (2) R ，R '是环，ϕ是环R 到环R '的满同态，令ϕKer K =，则商环K R 与环R '同构．证明 (1) ()()()()()b a S b S a S b a b a ηηη+=+++=++=+， ()()()()()b a S b S a S ab ab ηηη=++=+=，()S +=11η．故η保持加法和乘法，且把单位元映成单位元，它是同态．又()(){}{}S R R a S a R a a R =∈+=∈=ηη，即η是满同态．(2) 首先，作为像集合()()a K a ϕϕ=+．这是因为K 中任一元k 在ϕ下的像为零，则()()()()()a a k a K a ϕϕϕϕϕ=+=+=+0． 由此有K R 到R '的映射R SR '−→−ϕ ()()a K a K a ϕϕ=++ ．又()()K b K a +++ψψ＝()()()()K b a b a b a ++=+=+ψϕϕϕ＝()()()K b K a +++ψ，()()K b K a ++ψψ＝()()()()K ab ab b a +==ψϕϕϕ＝()()()K b K a ++ψ，()()R R R K '==+111ϕψ，故ψ是K R 到R '的环同态．又R 到R '的环的满同态ϕ，只看R 与R '的加法群结构是加法群的满同态．而ϕKer K =是加法群同态的核．由群的同态基本定理，ψ是K R 到R '的加法群同构，即ψ是双射．故ψ是环同构．例11 F 是域，[]x F 是F 上多项式环，N 是[]x F 的非零理想，则有非零多项式()x m ，使()[]()()x m x F x m N ==．证明 取N 中次数最低的多项式为()x m ，任取()N x f ∈，作除法算式()()()()x r x m x q x f +=，这里()0=x r 或()()()()x m x r ∂<∂．若()0≠x r ，则()()()()x m x r ∂<∂．由于N 是理想，()()N x m x q ∈，又()N x f ∈，故()()()()N x m x q x f x r ∈-=．这与()x m 是N 中最低次数多项式矛盾，因此()0=x r ，()()()x q x m x f =．这就证明了()[]x F x m N =．例12 ()F M n 只有零元的理想和自身两个理想．证明 设N 是()F M n 的非零理想．记ij e 为第i 行第j 列的元为1，其余位置上元为零的F 上n n ⨯方阵．回忆有性质⎪⎩⎪⎨⎧≠==.,0,,i s i s e e e lj ij ls 当当F 上任意n n ⨯方阵()ij a A =，可写成 ∑==n j i ij ij e a A 1,．现设N A ∈≠0，则有0≠ik a ，某l ，k ．于是∑=∈==n j i lk lk kk ij ll ij kk ll N e a ee e a Ae e 1,．对任i ，j ，作()ij kj lk lk illk e e e a e a =-1，则N e ij ∈．于是任意()N e e b e b n j i ij ii ij n j i ij ij ∈=∑∑==1,1,．这就证明了()F M N n =．模同态基本定理设η是-R 模M 到-R 模M '的一个模同态，则由η诱导出模同构()M N M ηη→：，()ηker =N ，使()()x N x ηη=+，M x ∈． 证明 设η为M 到M '的一个模同态，则其核()ηker 是M 的一个子模，同态象()M η是M '的一个子模．()ηker =N ，规定()x N x ηη +：()()x N x ηη=+，M x ∈ 于是η即为N M 到()M η的一个同构映射．这是因为：1)若N y N x +=+，则 N n ∈∃，使n y x +=，()()()()()y n y n y x ηηηηη=+=+=，故()()N y N x +=+ηη， 即在η之下，N M 的每一个元在()M η中有唯一的象，从而η是映射；2)()M x η∈'∀，M x ∈∃，()x x '=η，由η的定义知()()x x N x '==+ηη，故η是满射；3)若()()N y N x +=+ηη，则()()y x ηη=，于是()()()N y N x N y x N y x y x y x +=+⇒+∈⇒∈-⇒=-⇒=-00ηηη， 故η为单射；４）η为N M 到()M η的模同态．事实上R a N M N y N x ∈∈++∀，，有 ()()()()()N y x N y N x ++=+++ηη()()()()()N y N x y x y x +++=+=+=ηηηηη ()()()()ax N ax N x a ηηη=+=+()()N x a x a +==ηη 因此，η为N M 到()M η的模同构，即()M≅MηN其中()ηN为η的核．ker=参考文献[16] 胡庆平，李丹，胡志刚．系统间的一类联系——同态与同构[J]．昭通师范高等专科学校学报，2002，24(5)：5－11．。

一、 环的定义与基本性质（一） 环的定义：1、 定义1：交换群称为加群（Aβελ群），其运算叫做加法，记为“+”。

2、 定义2：代数系统),;A (⋅+称为环，若1）（A ，+）是加群；2）代数系统);A (⋅适合结合律；3）乘法);A (⋅对加法+的分配律成立。

3、 例子（1）),;Z (⋅+、),;Q (⋅+、),;R (⋅+、),;C (⋅+都是环，均称为数环。

（2）Z[ι] ={α+βι | α、β∈Z ，ι2=－1 }，则),];i [Z (⋅+也是数环，称之为高斯整环。

（3）设Φ是任一数环，则Φ[ξ]关于多项式加法与乘法作成一个多项式环。

（4）Z ν={所有模ν剩余类}，则),;Z (n ⋅+是模ν剩余类环，这里[α]＋[β] = [α+β]，]b []a [⋅ = [αβ].（5）设（A ，＋）是加群，规定乘法如下：,A b ,a ∈∀αβ=0，则),;A (⋅+作成一个环，称之为零环。

（二）环的基本性质：（1）0x a a x =⇒=+。

（2）a x x a -=⇒=+0。

（3）c b c a b a =⇒+=+。

（4）nb na )b a (n +=+。

（ν为整数）（5）na ma a )n m (+=+。

（μ、ν为整数）（6）)na (m a )mn (=。

（μ、ν为整数）（7）,A a ∈∀ 000=⋅=⋅a a 。

（8）ab )b (a b )a (-=-=-。

（9）ab )b )(a (=--。

（10）ac bc c )a b (,ac ab )c b (a -=--=-。

（11）j m i n j i n j j m i i b a b a ∑∑∑∑=====⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111 。

（12）)ab (n )nb (a b )na (==。

(ν为整数)。

（13）若环中元a 、b 满足ba ab =，则()k n k n k k n n b a C b a -=∑=+0（14）mn n m n m n m a )a (,a a a ==⋅+。

环第一同构定理的证明环第一同构定理是代数学中的一条重要定理，它给出了两个环之间同构的充分必要条件。

在这篇文章中，我们将详细证明环第一同构定理，并解释其中的关键步骤和概念。

让我们来定义环的概念。

一个环是一个非空集合R，配备了两个二元运算“加法”和“乘法”，并满足以下条件：1. R关于加法构成一个阿贝尔群，其中加法单位元记为0；2. R关于乘法构成一个半群，其中乘法单位元记为1；3. 乘法对加法有左右分配律成立。

接下来，我们定义环同态的概念。

设R和S是两个环，一个从R到S的映射f是一个环同态，如果它满足以下条件：1. 对于任意的a和b属于R，有f(a+b) = f(a) + f(b)；2. 对于任意的a和b属于R，有f(ab) = f(a)f(b)；3. 对于R的单位元1，有f(1) = 1。

有了环同态的概念，我们现在可以证明环第一同构定理了。

定理的正向部分是：如果存在一个从环R到环S的双射f，使得f是一个环同态，那么R和S是同构的，即存在一个从R到S的同构映射。

证明如下：我们需要证明f的逆映射存在。

设g是f的逆映射，即对于任意的x属于S，有g(f(x)) = x。

我们需要证明g是一个环同态。

根据环同态的定义，我们只需要证明g满足环同态的三个条件即可。

对于条件1，我们有：g(f(a+b)) = a+b = g(f(a)) + g(f(b))对于条件2，我们有：g(f(ab)) = ab = g(f(a))g(f(b))对于条件3，我们有：g(f(1)) = 1由此可见，g是一个环同态。

因此，我们得到了一个从环S到环R 的同构映射g。

接下来，我们需要证明f和g是一对一对应的。

假设存在两个不同的元素a和b属于R，使得f(a) = f(b)。

我们有：g(f(a)) = g(f(b))a = b这表明f是一对一的。

同理，可以证明g也是一对一的。

我们需要证明f和g是满射的。

对于任意的x属于S，我们有：g(f(x)) = x这表明g是满射的。

环的同态映射名词解释1. 引言在数学中，环是一种抽象的代数结构，它由两个二元运算和一些满足特定性质的公理组成。

同态映射是一种保持运算结构的映射，它将一个代数结构映射到另一个代数结构上。

本文将对环的同态映射进行详细解释。

2. 环的定义环是一个集合R，配合两个二元运算加法(+)和乘法(·)，满足以下公理：1.R关于加法构成一个交换群，即对于任意a、b、c∈R，满足：–加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c)–加法交换律：a + b = b + a–存在零元素0∈R，使得对于任意a∈R，有a + 0 = 0 + a = a–对于任意a∈R，存在相反元素-b∈R，使得a + (-b) = (-b) + a = 02.R关于乘法构成一个半群，即对于任意a、b、c∈R，满足：–乘法结合律：(a · b) · c = a · (b · c)3.乘法对加法满足分配律，即对于任意a、b、c∈R，满足：–左分配律：a · (b + c) = (a · b) + (a · c)–右分配律：(a + b) · c = (a · c) + (b · c)3. 同态映射的定义同态映射是指保持运算结构的映射。

对于两个环R和S，如果存在一个映射f: R → S，满足以下条件：1.对于任意a、b∈R，有f(a + b) = f(a) + f(b)，即加法的结果在映射后保持不变；2.对于任意a、b∈R，有f(a · b) = f(a) · f(b)，即乘法的结果在映射后保持不变；3.对于环R的零元素0，有f(0) = 0；4.对于环R的单位元素1，有f(1) = 1。

则称f为从环R到环S的同态映射。

4. 同态映射的性质同态映射具有一些重要的性质，包括：1.同态映射保持加法和乘法的运算性质。