同构基本定理的两种证法

第九节 同态基本定理与同构定理重点、难点：同态基本定理，满同态与子群的关系.一 同态基本定理前几节是研究一些定量的东西，下面我们来研究一些定性的东西.本节中的同态基本定理是群论中的研究基础.定理2.9.1 一个群G 与它的每一个商群N G /同态.证 令G a aN a N G G ∈∀→,;/: π显然π是G 到N G /的满射.G b a ∈∀,，)()())(()()(b a bN aN N ab ab πππ=== 故π是一个满同态.注1 定理2.9.1中的π称为自然同态；注2 自然同态π一定是满同态.利用子群来研究群本身，任意给定一个不变子群N ，有两个可以供我们参考的群： N 和N G /，由于0/→→→N G G N ，故更容易推测G 的性质.自然会问：定理2.9.1的逆命题是否成立？即0→'→G G ，G '是否与G 的某个商群是同构的呢？我们说是对的.首先有一个概念.定义2.9.1 设G G '→Φ:为一个群同态.e '为G '的单位元,集合})(|{e a G a Ker '=Φ∈=Φ称为同态映射Φ的核.注1 未必要求Φ为满射，但本书中同态均为满同态；注2 一个同态是单同态⇔G e Ker ⊆=}{φ.推论2.9.2 设π是N G G /→的自然同态，则N Ker =π.证 由于N G /的单位元是N ，则N N a G a N aN G a N a G a Ker =∈∈==∈==∈=}|{}|{})(|{ππ.定理2.9.3 （同态基本定理）设ϕ是群G 到群G '的一个同态满射，则(1)G Ker ϕ；(2)G Ker G '≅ϕ/.证 (1)由于φϕϕ≠⇒∈Ker Ker e .,,,G x Ker b a ∈∀∈∀ϕ则e b a '==)()(ϕϕ为G '的单位元.则e e e e e b a b a ab e e bb b b '='⋅'='⋅'===--'===----11)()()()(11)()()()()()(11ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ即G Ker Ker ab ≤⇒∈-ϕϕ1.又由于e x x x e x x a x xax '=='==----1111)()()()()()()()(ϕϕϕϕϕϕϕϕ，即G Ker Ker xax ϕϕ⇒∈-1.(2)令G a a aKer G Ker G ∈∀'→),(;/:ϕϕϕψ .下证ψ为一个同构映射：(ⅰ)ψ为映射：).()()()()(111b a e a b e a b Ker a b bKer aKer ϕϕϕϕϕϕϕϕ=⇒'=⇒'=⇒∈⇒=--- (ⅱ) ψ为满射：,,G a G a ∈∃'∈'∀使得a a aKer a a '==⇒'=)()()(ϕϕψϕ(ⅲ) ψ为单射：ϕϕϕKer G bKer aKer /,∈∀，则ϕϕϕϕϕϕϕψϕψbKer aKer Ker a b e a b b a bKer aKer =⇒∈⇒'=⇒⇒=--11)()()()()((ⅳ) ψ为一个同态：ϕϕϕKer G bKer aKer /,∈∀，则)()()()()()()(ϕψϕψϕϕϕϕψϕϕψbKer aKer b a ab abKer bKer aKer ====⋅.综上所述，G Ker G '≅ψϕ/. 注 一般地，设G G '→:ϕ为一个群同态，则⎩⎨⎧≅'≤ϕϕϕIm /Im Ker G G我们知道，群在一个群的满同态映射之下，一个群的若干性质会发生改变的，下面讨论哪些性质不发生变化.定义2.9.2 设A A →Φ:为集合之间的一个满射.(1) 设A S ⊆，记A S a a S ⊆∈Φ=Φ}|)({)(称为子集S 在Φ之下的像；(2)设A S '⊆'，记})(|{)(1S a A a S '∈Φ∈='Φ-称为子集S '在Φ之下的逆像（或后像）.注 一个不能多且一个不能少！定理2.9.4 设G G '→:ϕ是一个群之间的同态满射，(ⅰ),G H ≤∀ 则G H ≤)(ϕ；(ⅱ),G N ∀ 则G N )(ϕ；(ⅲ),G H ≤∀ 则G H ≤-)(1ϕ；(ⅳ),G N ∀ 则G N )(1-ϕ.证 (ⅰ)φϕφ≠⇒≠)(H H .b b a a t s H b a H b a ==∈∃⇒∈∀)(,)(..,,)(,ϕϕϕ， )()()()()()()(11111H b a b a b a b a Hb a ϕϕϕϕϕ∈⇒==-∈----，故G H ≤)(ϕ. (ⅱ).),(G x N a ∈∀∈∀ϕ 则⎩⎨⎧==∈∈∃a a x x t s G x N a )()(..,,ϕϕ .从而 )()()()()(111N xax x a x x a x ϕϕϕϕϕ∈==---，故G N )(ϕ.(ⅲ)由φϕ≠⇒≤-)(1H G H .（)(1H e H e -∈⇒∈ϕ）)()()()()(),()(,11111H b a H b a H b a H b a H b a -----∈⇒∈⇒∈⇒∈⇒∈∀ϕϕϕϕϕϕϕ即G H ≤-)(1ϕ.(ⅳ),),(1G x N a ∈∀∈∀-ϕ则 )()()()()()(,)(1111N xax N xax N x a x G x N a N ----∈⇒∈⇒∈⇒∈∈ϕϕϕϕϕϕϕ 故G N )(1-ϕ.注第(ⅰ)条不需要用道ϕ为满射.由(ⅳ)可知G e Ker )(1'=-ϕϕ.二 同构定理第一同构定理 设G G f '→:为群同态，则f G f Kerf G fIm )(/=≅ 第二同构定理（方块定理）H K H G HK G K G H ⋂≤⇒≤,,且有K H K H HK ⋂≅//.第三同构定理（分式定理） 设G K G H K ,≤≤，则①GH G H ⇔（K G G K H H /,/==） ② H G K H K G ≅.第四同构定理（对应定理） 设G G f '→:为群的满同态，则}{}|{11的子群G H Kerf G H −→←⊆≤- ；Kerf K K f K ≅)(且正规子群对应与正规子群.有兴趣的读者可以参考相关文献书籍.作业：Page 79 第2题，第3题。

同构法知识树前言在恒成立命题中，很有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型 （即不等式两边对应的同一函数 ），无疑大大加快解决问题的速度 ．找到这个函数模型的方法，我们就称为同构法．如能等价变形为 ，然后利用 的单调性 ，若递增，再转化为 ，这种方法就可以称为同构不等式（等号成立时，称为同构方程），简称同构法 ．当然，用同构法解题，除了要有同构法的思想意识外，对观察能力、对代数式的变形能力的要求也是比较高的． 正所谓，同构解题，观察第一！同构出马，谁与争锋！ 同构思想放光芒，转化之后天地宽！一、左右相同知识总结地位同等要同构 ，主要针对双变量 ；方程组上下同构，合二为一泰山移 .（1）为增函数 .（2）为增函数 .含有地位同等的两个变量、，或、等不等式，进行“尘归尘，土归土”式的整理，是一种常见变形，如果整理 （即同构) 后不等式两边具有结构的一致性，往往暗示单调性（需要预先设定两个变量的大小）.经典例题（1）（2）（3）1.（1）方法一：（2）【解析】设函数，．当（为自然对数的底数）时，求的最小值．讨论函数零点的个数．若对任意，恒成立，求的取值范围．【答案】（1）（2）（3）．见解析．．由题设，当时，，则，当在上单调递减，当在上单调递增，时，取得最小值的极小值为．由题设，令，得．设，则，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减． 是的唯一极值点，且是极大值点，因此也是的最大值点，的最大值为．又，当时，函数无零点；当时，函数有且只有一个零点；当时，函数有两个零点；当时，函数有且只有一个零点方法二：（3）综上所述，当时，函数无零点；当或时，函数有且只有一个零点；当时，函数有两个零点．由题设知，，令，得．设，则，当时，，∴在上单调递增；当时，，∴在上单调递减．∴是的唯一极值点，且是极大值点，因此：也是的最大值点．∴的最大值为．又，结合的图象（如图），可知，①当时，函数无零点；②当时，函数有且只有一个零点；③当时，函数有两个零点；④当时，函数有且只有一个零点；综上所述，当时，函数无零点．当或时，函数有且只有一个零点；当时，函数有两个零点．对任意的恒成立， 等价于恒成立．设 等价于在上单调递减． 由在上恒成立，得恒成立，（对仅在时成立），【标注】的取值范围是．【知识点】通过构造函数证明不等式；区间上恒单调；参变分离法求零点个数；直接求函数的最值（不含参）题目分析（）略（）略（）对任意的恒成立，等价于恒成立 ．构造一个新函数等价于在上单调递减．由在上恒成立，得恒成立，（对仅在时成立），的取值范围是．同类变式A. B. C. D.2.【解析】若对于任意的，都有，则的最大值为（ ）．【答案】C由题意可得：，，∴，据此可得函数在定义域上单调递增，其导函数：在上恒成立，据此可得：，【标注】即实数的最大值为．故选．【知识点】已知单调性求参数的取值范围A. B. C. D.3.【解析】【标注】已知函数，对于，且，恒成立，则实数的取值范围为（ ）．【答案】D设，则有，即，令，由于当时，，所以可知，在上单调递减，对求导得，，则有，即，令，则，求导得，在上恒成立，所以，则，即实数的取值范围为，故选．【知识点】区间上恒单调（1）（2）4.已知函数，．讨论的单调区间．当时，证明．【答案】（1）当时，在上单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增，（1）（2）【解析】【标注】（2）当时，在上单调递增，在上单调递减．证明见解析．的定义域为，∴，当时，，此时在上单调递减，当时，由可得，由f′(x)<0，可得，∴在上单调递减，在上单调递增，当时，由可得，由，可得，∴在上单调递增，在上单调递减．设，则，由()可得在上单调递增，∵，∴当时，，∴当时，，∴在上单调递减，∴当时，，∴，∴，∴．【知识点】通过构造函数证明不等式；求函数单调区间（含参指对型导函数）（1）（2）5.（1）【解析】已知函数，．求函数在的最小值．若任意，总有成立，求实数的值．【答案】（1）（2）当时，；当时，．．∵，定义域为，（2）∴，且为单调递增函数，∴令，则，∴当时，，单调递减，当时，，单调递增，①：当时，满足条件的不存在；②：当时，即时，；③当，即时，．故答案为：当时，；当时，．∵，等价于，∴构造函数，∵，总使成立，∴在上单调递增，∴原问题转化为，对恒成立，∵，∴原问题转化为：对恒成立，∴若，∵，∴不满足题意，若，∵，∴当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，∴在处取得极小值也是最小值，即是在上的最小值点，∵，【标注】∴当且仅当是，，∴．故答案为：．【知识点】二阶导问题；通过构造函数证明不等式；求函数最值（含参一次型导函数）；区间上恒单调二、指对同构1. 指对同构指对跨阶想同构，同左同右取对数 .同构基本模式：（1）积型：三种同构方式同右：−− −−−−−−−→同左：−−−−−−−−−→取对：−−−−− →.如：，后面的转化同(1).说明：在对“积型”进行同构时，取对数是最快捷的，同构出的函数，其单调性一看便知．（2）商型：三种同构方式同左：−−−−−−−−−−−−−−→同右：−−−−−−−−−−−−−→取对：−−−−−− →（3）和差型：两种同构方式同左：−−−−−→同右：−−−−− →.如：.经典例题（1）（2）6.已知函数．当时，求证：．当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围．（3）（1）（2）（3）【解析】若，证明．【答案】（1）（2）（3）证明见解析．．证明见解析．时，，，当时，；当时，，故在上单调递减，在上单调递增，，∴．，令，则，①当时，在上，，递增，，即，∴在为增函数，∴，∴时满足条件；②当时，令，解得，当上，，单调递减，∴时，有，即，∴在区间为减函数，∴，不合题意，综上得实数的取值范围为．由（）得，当时，，，即，欲证不等式，只需证，设，则，∵时，恒成立，且，∴恒成立，【标注】所以原不等式得证．【知识点】利用导数解决不等式恒成立问题；通过构造函数证明不等式；二阶导问题题目分析（）略（）略（）法一：根据我们前面讲过的放缩法，由（）可得，当时，，，即，欲证不等式，只需证，设，则，∵时，恒成立，且，∴恒成立，所以原不等式得证．法二：接下来我们试一下同构法，欲证不等式，∵时，，∴只需证，观察右边，可以构造成，即证，构造函数，只需证明．又∵在时恒成立，∴只需证在上单调递增，，令，，故在上单调递增，(二次求导）因此，从而，故在上单调递增．同类变式（1）（2）（3）7.（1）（2）（3）【解析】设函数．如果，求函数的单调递减区间．若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．证明：当时，．【答案】（1）（2）（3）．．证明见解析．函数且定义域为，当时，，，∴，恒成立，∴的单调递减区间为．函数且定义域为，，若函数在区间上单调递增，在区间恒成立，∵，∴在上恒成立，∴在上为减函数，∴．要证当时，，即证当时，，即证当时，，∵，设，则，设，则，∴在上单调递减，，∴，在上单调递减，∴当时，成立，即原不等式成立．【标注】【知识点】二阶导问题；利用导数求函数的单调性、单调区间；已知单调性求参数的取值范围A. B. C. D.8.方法一：【解析】已知函数 ，．若存在，，使得成立，则的最大值为（ ）．【答案】C首先，我们要得到函数和的图象如下图所示：xyOxyO将两个函数放入一个坐标系得：x–1123y–2–11O分析知，若出现满足题目条件的情况，则需，．又，由知于上单调递增，则得，那么 ．方法二：【标注】现令，则，则得在上递增，在上递减，则．故选．因为，所以，由，得，解得．由，得．因为函数的定义域为，所以对恒成立，所以函数在区间内单调递增．又因为对恒成立，所以函数在区间内单调递增，所以，则，所以，则．构造函数，其中，则．当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以，．故选．【知识点】利用导数求函数的最值；利用导数确定函数的图象2. 配凑同构无中生有去同构 ，凑好形式是关键 ，凑常数或凑参数 ，如有必要凑变量 .（1）同乘 (无中生有 )→，（2）⟺⟺同加 (无中生有 )→⟺.（3）⟺⟺，说明：由于两边互为反函数，所以还可以这样转化⇒⇒.对于某些不等式，两边互为反函数是比较隐蔽的，若能发现，则难者亦易矣.如： ，左右两边互为反函数，所以只需，即，可得 .经典例题A. B. C. D.9.方法一：方法二：【解析】设实数，若对任意的，不等式 恒成立，则的最小值为（ ）．【答案】A若，不等式显然成立；若，，注意到函数单调递增，于是．令，则，易知，即，故选．实数，若对任意的，不等式恒成立，即．设，，，令，可得，由指数函数和反比例函数在第一象限的图象，可得和有且只有一个交点，设为，当时，，单调递增；当时，，单调递减，即在处取得极小值，且为最小值，即．令，可得，．则当时，不等式恒成立．则 的最小值为．另解：由于与互为反函数，【标注】故图象关于对称，考虑极限情况，恰为这两个函数的公切线，此时斜率，再用导数求得切线斜率的表达式为，即可得的最小值为．故选．【知识点】导数与最值；利用导数解决不等式恒成立问题；导数与单调性若，不等式显然成立，可取任意正实数，，，（同构）注意到函数，单调递增，于是，（放缩）令，，则，易知，即，故选．10.【解析】已知，且指数函数与对数函数有两个交点，则的取值范围是 ．【答案】或由题设可知：，由指数函数与对数函数互为反函数，则其图象关于直线对称，则函数与的图象有两个不同的交点，故只需讨论与有两个交点即可．令，则函数有两个零点，且在上由，恒成立，则在上单调递增，且设，即，即当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，则易知当时满足题干与有两个交点，即，由式可知，【标注】则，即，则，则，解得，又由，故实数的取值范围为或．【知识点】函数零点的概念；已知零点情况求参数的取值范围三、放缩+同构同构放缩需有方 ，切放同构一起上 ．这个是对同构思想方法的一个灵活运用 ．【放缩也是一种能力】利用切线放缩，往往需要局部同构．【利用切线放缩如同用均值不等式，只要取等号的条件成立即掌握常见放缩：（注意取等号的条件 ，以及常见变形 ）（1）⇒，．【变形：，；，.】（2）⇒，，⇒，【变形：，.】说明： ，， ，，等，这些变形新宠是近年来因为交流的频繁而流传开来的． 对解决指对混合不等式问题 ，如恒成立求参数取值范围，或证明不等式，都带来极大的便利． 当然，在具体使用中，往往要结合切线放缩，或换元法。

同构充要条件同构是指两个或多个物体在某种变换下具有相同的结构或形态。

同构的概念在不同领域有不同的应用，如数学、化学、物理等。

本文将以数学中的同构为例，探讨同构的充要条件。

在数学中，同构是指两个结构完全相同的对象。

具体来说，如果存在一个双射函数（也称为同构映射）将一个集合的元素映射到另一个集合的元素，并且该函数保持了原有的运算关系和结构特征，则可认为这两个集合是同构的。

同构的充分条件是存在一个双射函数。

换言之，如果两个集合之间存在一个双射函数，那么这两个集合就是同构的。

双射函数具有一一对应的特性，即每个元素都有唯一的对应元素，且每个元素都有唯一的逆映射。

同构的必要条件是两个集合具有相同的结构和形态。

换言之，如果两个集合之间存在同构关系，那么这两个集合的元素之间的关系和结构特征应该完全相同。

例如，在代数结构中，如果两个集合之间存在同构关系，那么这两个集合的运算方式和运算规则应该完全相同。

具体来说，对于代数结构而言，同构的充要条件可以通过以下几个方面来判断：1. 元素个数：两个同构的集合具有相同的元素个数。

这意味着它们的基数相等。

2. 运算方式：两个同构的集合在相同的运算下具有相同的结果。

例如，在同构的群结构中，两个群集合在相同的乘法运算下，元素之间的运算结果应该完全相同。

3. 结构特征：两个同构的集合具有相同的结构特征。

例如，在同构的环结构中，两个环集合的加法和乘法运算规则应该相同，并且满足相同的性质和公理。

同构的充要条件是存在一个双射函数，使得两个集合之间的元素一一对应，并且保持了原有的运算关系和结构特征。

同构的必要条件是两个集合具有相同的元素个数、相同的运算方式和相同的结构特征。

同构的概念在数学中具有重要的意义，它可以帮助我们研究和分析不同的数学结构之间的关系。

通过研究同构关系，我们可以发现不同数学结构之间的共性和特点，进而推导出更一般的结论和定理。

同构的研究不仅有助于我们深入理解数学的本质，也为其他学科的研究提供了理论基础和方法论。

同态基本定理的应用摘要：通过具体例子说明当所给的群(或环)是商群(或商环)时,利用同态基本定理可以简化同构问题的证明过程.关键词：同态基本定理;同构;商群;商环证明同构问题,一般是通过建立映射并证明该映射是同构映射来完成的,然而对商群(或商环)之间的同构关系却不容易用此种方法来证明.同态基本定理(简记为FHT)是代数学的一个重要定理:设G是一个群,H是G的不变子群,令5:a y aH,Pa I G,则5是G到GPH的满同态;反之,若5是G到Gc的同态满射,则GPker5µGc.类似可得到环同态基本定理.本文给出的证明实例表明,利用FHT证明商群(商环)的同构问题,可以使证明过程简化.这种方法只须建立一个同态满射,求出同态核,就可获得问题的证明.本文约定:H A G表示H是G的子群(或子环) ;H ¨G 表示H 是G 的不变子群( 或理想) ; G1 µG2表示G1与G2同构.以下是同态基本定理的应用举例.例1求证:如果H、K A G,且K¨G,那么(HK)PKµHP(H HK) .证明由H、K A G]H H K A G,又由K¨G]H HK¨H]H P(H HK)有意义.( • ) 定义5: hk y h#H HK , 其中h、k 分别为H 、K 中的任意元.若hk=hckc]kkc- 1=h- 1hc]h- 1hcI H HK]h#H HK=hc#H HK I H P(H HK) .即5( hk ) 与5( hckc) 表示相同的陪集, 因此5 是HK 到HP( H HK ) 的映射.( ‚ ) 对HP( H HK ) 中的任意元h#H H K ( 其中h I H ) , 由于e I K , 故至少存在HK 中的元he=h,使得5(he) =h#H HK,所以5是HK到HP(H H K)的满射.( ƒ ) 因为K ¨G, 所以对任意hcI H 有Khc= hcK , 于是对任意的k I K , 存在kd I K , 使得khc= hckd, 从而5( hk#hckc) = 5( hhc#kdkc) = hhc#H HK . 但由于hhc#H HK =h#( H HK ) * hc#( H HK ) ] 5( hk#hckc) = 5( hk) * 5( hckc) , 所以5 是一个群同态.( … ) 由于e#H HK = H HK 是H P( H HK ) 的单位元, 因此ker 5 = { hk I HK | 5 ( hk) = H HK } . 又由于5( hk ) = h#H HK , 因此应有h#H HK = H HK . 从而h I H HK ] ker 5= { hk I HK | 5( hk ) = H HK } = ( H HK ) #K = K , 于是, 根据FHT 得到( HK )PK µH PH H K .例2求证:如果H、K¨G、K AH,那么GPHµ(GPK)P(H PK) .证明( • )定义5:g y gK#(H PK) .对所有的g I G,显然它是G到(GPK)P(H PK)的映射,且容易看出5是满射.(‚ )对任意的x、y I G,5(xy) = (xy)K#(H PK) =[ ( xK ) #( yK ) ] ( H PK ) =[ ( xK ) #( HPK ) ] * [ ( yK ) #( H PK ) ] = 5 ( x ) *5 ( y ) , 所以5 保持群运算.(ƒ )ker 5= { g I G | 5 ( g ) = e#( H PK ) , e 是GPK 中的单位元} , 即ker 5 = { gI G | 5 ( g) =H PK } = H , 因此根据FHT, GPker 5 = GPH µ( GPK )P( H PK ) .例3设S是环R的子环,I是R的理想,求证:SP(S H I)µ(S+I)PI.证明( • )易知S+I是R的子环,I是S+I的理想,S H I是S的理想,因此(S+I)P I 及SP( S H) 均为商环.( ‚ ) 现要给出S 到( S + I ) PI 的一个映射, 注意到( S + I )PI 中的元素均可为表成s+ I , 其中 s I S, 故可定义G: s y s+ I .显然,G是S到(S+I)PI的一个满射,同时对于S中任意两个元s及t,有s + t y ( s + t ) + I = ( s + I ) + ( t +I ) ,s # t y ( s # t ) I = sI # tI ,即G是一个环同态.( ƒ )因为ker G= {s I S|s+I=I}]ker G= {s I S|s I I}]ker G=S H I.故由FHT可得到SP(S H I)µ(S+I)PI.例4设R是环,S和I均是R的理想,求证: (RPS)PSµRP(S+I) .证明因为S和I均是R的理想,所以S+I也是R的理想,且S A S+I.于是S+IPS也应是RPS的理想,所以(RPS)P(S+I)PS与RP(S+I)均有意义.( • )令G:r+S y r+ (S+I) .Pr I R,易知G是RPS到RP(S+I)的映射,且是满射.( ‚ ) Pr1、r2I R , G( ( r1 + S ) + ( r 2 + S ) ) = G( ( r 1 + r2 ) + S) = ( r1 + r 2 ) + ( S + I ) =( r 1 + ( S + I ) ) + ( r 2 + ( S + I ) ) = G( r1 + S ) + G( r 2 + S) ,G( ( r1 + S ) #( r2 + S ) ) = G( ( r1 #r2 ) + S) = r 1 r2 + ( S + I ) =( r1 + ( S+ I ) ) ( r 2 + ( S + I ) = G( r1 + S ) #G( r2 + S ) ,由此可见G是环同态.( ƒ )因ker G={ r+S , r I R | G( r + S ) = r + ( S + I ) = S+ I } ={ r+ S , r I R | r I S + I } = { r + S | r I S +I } = ( S + I )PS, 所以由FHT 得( RPS) P( S+I ) PS µRP( S+ I ) .例5设R是一个交换环,I、K为R的两个理想,并且R=I©K,求证:( • )对P a、b I R,存在c I R,使得c S a( modI) ,c S b( modK) ;( ‚ )若任意一对a、b所确定的满足上述条件的c是唯一的]R µRPI ª RPK .证明( • )由R=I©K]对Pa、b I R,存在i a、i b I I、k a、k b I K,使得a=i a+k a,b=i b+ k b . 定义c= i b + k a , 可得到c- i a = k a = ( a- i a ) ] c- a= i b - i a I I ] c S (modI ) .同理(c-k a) =i b= (b-k b)]c-b=k a-k b I K]c S b( modK) .( ‚ ) 首先, 需要知道在何种条件下c 是唯一的. 给出a、b I R , 若存在c、cc都满足上述规定的与a、b的同余关系,即有c S a( modI ) S cc ] c- ccI I ,c S b( modK ) S cc ] c- ccI K ] c- ccI I H K ,从而I H U= { 0}Z c=cc(即若存在唯一的元c既同余于a( modI)又同余于b( modK)则当且仅当 I 与K 的交集生成的理想是平凡理想) .用 G( r ) = ( r + I , r + K ) 定义G: R y RPI ª RPK , 我们可以验证:G( r + s ) = ( ( r+ s) + I ,( r + s) + K ) = ( r+ I , r + K ) = ( s + I , s+ K ) = G( r ) + ( s ) ,G( r#s ) = ( ( r #s ) + I , ( r#s) + k) = G( r ) #G( s) ,由此可知G是R到RPIªRPK的同态映射.又由于ker G= { r I R | r + I = I , 且r + K = K } = { r I R | r I I 且r I K }= { r I R | r I I HK } = I HK ,由c 的唯一性知I HK = { 0} , 即ker G= { 0} . 根据FHT,RPker G=RP{ 0} =RµRPIªRPK.参考文献:[ 1] 张禾瑞. 近世代数基础[ M] . 北京: 高等教育出版社, 1978. 75- 79; 113- 116.[ 2] 贺昌亭, 张同群. 近世代数基础[ M] . 长春: 东北师范大学出版社, 1978. 256- 273; 347- 355.。

数学同构的几种方式
1、地位同等要同构，主要针对双变量：方程组上下同构，合二为一泰山移
f(x1)-f(x2)/x1-x2>k(x1<x2) 。

f(x1)-f(x2)< kx1-kx2 。

f(x1)-kx1< f(x2)-kxz 。

y=f(x)-kx为增函数。

f(x1)-f(x2)/x1-x2<(k/x1x2(x1<x2)。

f(x1)-f(x2)>k(x1-x2)/x1x2=k/x2-k/x1。

f(x1)+k/x1>f(x2)+k/x2→y=f(x)+k/x为减函数。

含有地位同等的两个变量x1，x2，或p，q等不等式进行“尘归尘，土归土”式的整理，是一种常见变形，如果整理(即同构)后不等式两边具有结构的一致性，往往暗示单调性(需要预先设定两个变量的大小)。

2、指对跨阶想同构，同左同右取对数。

同构基本模式
积型：aea≤blnb三种网构方式。

同右：elnea≤bInb→f(x)=xInx。

同左:：aea≤(lnb)elnb→f(x)=xex。

取对：a+Ina≤Inb+In(lnb)→f(x)=x+Inx。

3、同构放缩需有方，切放同构一起上，这个是对同构思想方法的一个灵活运用。

【放缩也是一种能力】，利用切线放缩，往往需要局部同构。

【利用切线放缩如同用均值不等式，只要取等号的条件成立即可】。

掌握常见放缩：(注意取等号的条件，以及常见变形)。

同构第二定理同构第二定理是代数学中的一个重要定理，它与同态定理、同构定理一起被称为群论的三大基本定理。

同构第二定理是描述群的核与像之间的关系的定理，它可以帮助我们更好地理解群的结构和性质。

在群论中，同态是一种保持群结构的映射，即一个函数 f：G→H，其中 G 和 H 都是群，如果对于所有的 g1, g2∈G，都有f(g1g2)=f(g1)f(g2)，那么称f 是一个同态。

同态定理告诉我们，同态映射可以将群 G 的子群映射到 H 的子群上，这为我们研究群的结构和性质提供了有力的工具。

同构是一种保持群结构和元素间关系的映射，即一个函数 f：G→H，其中 G 和 H 都是群，如果 f 是双射且对于所有的 g1,g2∈G，都有 f(g1g2)=f(g1)f(g2)，那么称 f 是一个同构。

同构定理告诉我们，同构映射可以将G 的子群映射到H 的子群上，并且保持它们之间的结构和性质不变。

同构第二定理是描述群的核与像之间关系的重要定理。

在同态f：G→H 中，f 的核 ker(f) 是 G 的一个子群，它包含了 G 中所有被 f 映射到 H 的单位元上的元素。

同时，f 的像 im(f) 是 H的一个子群，它包含了所有被 f 映射到 H 上的元素。

同构第二定理告诉我们，ker(f) 是 G 的一个正规子群，并且 G/ker(f)同构于 im(f)。

具体地说，同构第二定理可以表示为：如果 f：G→H 是一个群的同态，那么 ker(f) 是 G 的正规子群，而且 G/ker(f) 同构于im(f)。

这个定理的证明需要用到同态基本定理和同构基本定理，它们是群论中非常重要的两个基本定理。

同构第二定理在实际应用中有着广泛的应用。

例如，在密码学中，同构第二定理可以用来证明 Diffie-Hellman 密钥交换协议的安全性；在物理学中，同构第二定理可以用来描述粒子对称性；在计算机科学中，同构第二定理可以用来研究算法的复杂度等问题。