抽象代数基础第一章1.6 群的同构与同态

群的同构定理在抽象代数中，群是一种具有代数结构的数学对象，它在数学领域中有着广泛的应用和重要地位。

对于群的研究，同构是一个重要的概念。

同构是指两个群之间存在一个一一对应的双射，其保持了两个群之间的运算结构。

在本文中，我们将探讨群的同构定理及其相关性质。

一、同构的定义和性质设G和H是两个群，若存在一个从G到H的双射f，且对于任意的元素a、b∈G，有f(ab)=f(a)f(b)，则称这个双射f为从G到H的同构映射，记作G≅H。

若存在一个同构映射从G到H，则称G和H是同构的。

同构的基本性质如下：1. 同构是等价关系。

即同一个群与自身同构，若G≅H，则一定有H≅G；若G≅H，H≅K，则一定有G≅K。

2. 同构保持群的运算结构。

若G≅H，且a、b∈G，则f(a·b)=f(a)·f(b)。

3. 同构保持单位元。

若G≅H，且eG和eH分别为G和H的单位元，则f(eG)=eH。

4. 同构保持逆元。

若G≅H，且a∈G，则f(a⁻¹)=f(a)⁻¹。

二、下面我们介绍两个经典的群的同构定理。

1. 序号群同构定理设G是一个群，H是G的一个子群。

对于G中的任意元素a∈G，定义一个同态映射f：G→H，使得f(a)=aH。

则f是从G到H的一个同态映射，并且Ker(f)={a∈G | a∈H}是G的一个同态核。

根据同态核定理，G/Ker(f)≅H。

2. 基本同构定理设f：G→H是一个群之间的同态映射，其同态核为Ker(f)。

根据同态核定理，G/Ker(f)≅Im(f)，即G除以同态核的商群与f(G)同构。

三、同构的应用群的同构是抽象代数中一个重要的研究对象，它在很多数学领域中有广泛的应用。

以下是一些同构的常见应用：1. 规范形式：通过寻找两个同构的群，可以将一个复杂的群转化为一个更简单的形式，从而更容易研究和理解。

2. 基于同构的证明：在证明中，可以通过寻找两个同构的群，将一个问题转化为另一个已知结论的证明，从而简化证明的难度。

抽象代数高等数学教材抽象代数，作为数学的一个重要分支，研究的是代数结构的抽象概念及其性质。

它是现代数学的基石之一，也是高等数学中的一门重要课程。

本教材旨在全面而系统地介绍抽象代数的基本概念、理论和方法，帮助读者建立起对抽象代数的深入理解和应用能力。

第一章：群论1.1 群的定义与性质1.2 群的子群与商群1.3 幺半群与半群1.4 群同态与同构1.5 群的作用与置换群第二章：环论2.1 环的定义与性质2.2 整环与域2.3 环的同态与同构2.4 素理想与极大理想2.5 多项式环与唯一因子分解整环第三章：域论3.1 域的定义与性质3.2 代数扩域与超越扩域3.3 有限域与伽罗华理论3.4 不可约多项式与域的扩张第四章：线性代数4.1 线性空间的定义与性质4.2 线性变换与矩阵4.3 特征值与特征向量4.4 正交矩阵与对角化4.5 线性空间的直和与内积空间第五章：模论5.1 模的定义与性质5.2 子模与商模5.3 生成元与基本定理5.4 非交换环上的模5.5 自由模与有限生成模第六章：域扩张与代数闭包6.1 域扩张的概念与性质6.2 代数元与超越元6.3 代数闭包与代数簇6.4 代数闭域与代数不变量6.5 有理函数与分式域的构造第七章：范畴论与同调代数7.1 范畴的基本概念与性质7.2 范畴的构造与自然变换7.3 函子与函子范畴7.4 外代数与同调代数基础7.5 奇异同调与同调算子第八章：群表示论8.1 群表示的基本概念与性质8.2 单群与群同态8.3 群表示与欣格尔引理8.4 卷积公式与算术引理8.5 特殊群的表示与表示的构造结语：本教材通过系统而严谨的讲解，涵盖了抽象代数的核心内容，旨在培养读者对抽象代数的兴趣和学习动力，提升读者对数学的抽象思维能力和证明能力。

在学习的过程中，读者还可结合习题和实例进行巩固和应用，从而更好地掌握抽象代数的理论与方法。

希望本教材能成为读者学习抽象代数的重要参考资料，为他们在数学领域的探索和研究奠定坚实基础。

群论是数学的一门重要分支，研究的是群这一抽象代数结构的性质和性质间的关系。

在群论中，群同态和群同构是两个基本概念。

首先，我们来讨论群同态。

群同态是指一种映射，它保持群的结构。

具体来说，设有两个群G和H，群同态是一个映射f: G -> H，它满足以下两个性质：1.f(x * y) = f(x) * f(y)，对于所有的x, y ∈ G；2.f(e) = e’，其中e是G的单位元，e’是H的单位元。

第一个性质保证了同态映射将群的乘法运算保持不变，第二个性质确保了同态映射将单位元映射到单位元。

群同态的一个重要应用是在简化问题的复杂性方面。

通过将一个较大的群映射到一个较小的群，我们可以研究原问题的较小版本，并利用较小群的性质来推导有关于原问题的结论。

接下来，我们谈论群同构。

群同构是指两个群之间存在双射的同态映射。

具体来说，如果存在一个双射f: G -> H，并且f满足同态的两个性质，那么我们称G和H是同构的，记作G ≅ H。

同构意味着两个群具有相同的抽象结构，虽然它们的元素和操作可能看起来不同。

例如，考虑整数加法群（Z，+）和整数乘法群（Z，*）。

尽管整数加法群和整数乘法群的运算看起来不同，但它们具有相同的结构，因此我们可以说这两个群是同构的。

同构的两个群之间有一些重要的性质如下：1.同构是一种等价关系。

即对于任意的群G，它与自身同构，即G ≅ G。

2.若G ≅ H，那么H ≅ G。

同构满足交换性。

3.若G ≅ H且H ≅ K，那么G ≅ K。

同构满足传递性。

群同构在研究群的性质和计算中发挥着重要的作用。

通过将一个群与一个已知的同构群进行比较，我们可以轻松地推导出这个群的一些性质。

同时，群同构也为群的计算提供了便利。

如果两个群是同构的，我们可以在计算一个群的过程中，使用另一个同构群的性质来简化计算。

总结来说，群同态和群同构是群论中非常重要的概念。

群同态是保持群结构的映射，而群同构则是保持群结构并具有一一对应关系的映射。

抽象代数知识点总结一、群的基本概念与性质1、集合及其基本概念集合是研究对象的所有对象的总体，且每个对象都是它的一个成员。

集合的基本概念有空集、全集等。

2、二元运算及其基本性质设M是一个非空的集合，如果对于M中的每一对元素（a，b），都有一个元素：c与之对应，那么就称c在二元运算下，是a和b的像，记作：c=a*b or c=ab 或c=a×b。

3、群的基本概念设G是一个非空集合，*是G上的一个二元运算，如果满足下列4条性质：1）封闭性：对于G中的任意两个元素a、b，有a*b＝c，则c也是G中的一个元素。

2）结合律：对于G中的任意三个元素a、b、c，有(a*b)*c＝a*(b*c)。

3）存在单位元：存在G中的一个元素e，对于G中的任意一个元素a，都有e*a＝a*e＝a。

4）存在逆元：对于G中的任意一个元素a，存在G中的一个元素b，使得a*b＝b*a＝e。

则称（G,*）为一个群，*e*为群的单位元，b为a的逆元。

4、群的基本性质群具有唯一性、反号的相等性、等式的一般性质以及二次方向等性质。

5、群的记号与群的表示法群记号一般由两部分组成，它们的含义可以简单分别叫做群名和运算名，前者表示群的所有元素的种类，后者表示群的元素相互之间的运算。

这是群的基本概念与性质的介绍，群是代数结构中的一种基本结构，具有很强的普适性，因此在很多数学分支中都有广泛的应用。

二、群的子群与陪集1、子群的定义设（G，*）是一个群，对于G的一个非空子集H来说，如果在G的运算*下，H构成一个群，则称H是G的一个子群。

2、子群的判定定理判定定理是指定群的一个非空子集是否为子群的方法，使得许多确定子群是否存在的问题可以迅速得到解决。

3、陪集的基本概念给定群G，a是G的一个元素，在G中a的左陪集和右陪集分别定义。

4、陪集的划分与陪集的等价关系陪集的划分是一个重要概念，若H是G的一个子群，a是G的一个元素，G可被H分成无穷个不相交的子集（陪集）：aH={(ah|h∈H)}及Ha={(ha|h∈H)}三、同态与同态定理1、同态的定义设（G，*）和（G’，*’）是两个群，如果G、G’之间的映射f满足一定条件，即对于任意的a.b∈G，有f(a*b)=f(a)*’f(b)，则称映射f为从（G，*）到（G’，*’）的同态映射。

《抽象代数基础》教案第一章：引言1.1 课程简介介绍抽象代数的基础知识和重要地位解释抽象代数与其他数学分支的关系1.2 抽象代数的基本概念定义集合、元素和运算举例说明一些基本的抽象代数结构1.3 抽象代数的历史发展回顾代数的发展历程介绍抽象代数的起源和发展趋势第二章：群论基础2.1 群的定义与性质引入群的定义和表示方法探讨群的性质，如封闭性、结合律等2.2 子群与陪集定义子群和陪集的概念研究子群与原群的关系以及陪集的性质2.3 群的同态与同构引入群同态和同构的概念探讨同态和同构的性质和条件第三章：环与域3.1 环的定义与性质引入环的定义和表示方法探讨环的性质，如加法封闭性、乘法结合律等3.2 素环与最大素环定义素环和最大素环的概念探讨素环和最大素环的性质和判定条件3.3 域的概念与性质引入域的概念和表示方法探讨域的性质，如乘法封闭性和零因子性等第四章：域扩张与伽罗瓦理论4.1 域扩张的定义与性质引入域扩张的概念和表示方法探讨域扩张的性质和条件4.2 伽罗瓦理论的基本概念引入伽罗瓦理论的基本概念，如伽罗瓦群、伽罗瓦扩展等探讨伽罗瓦理论的应用和意义4.3 域扩张的判定定理介绍判定域扩张的一些重要定理，如伽罗瓦定理等举例说明这些定理的应用和证明过程第五章：线性代数基础5.1 线性空间与线性映射引入线性空间和线性映射的概念探讨线性空间和线性映射的性质和运算5.2 矩阵与行列式引入矩阵和行列式的概念探讨矩阵和行列式的性质和运算规则5.3 特征值与特征向量引入特征值和特征向量的概念探讨特征值和特征向量的性质和应用第六章：向量空间与线性变换6.1 向量空间的概念与性质定义向量空间和子空间探讨向量空间的性质，如基的概念和维数6.2 线性变换与线性映射引入线性变换和线性映射的概念探讨线性变换的性质和运算规则6.3 特征值与特征向量进一步探讨特征值和特征向量的性质应用特征值和特征向量解决线性变换的问题第七章：特征值问题的应用7.1 特征值问题的解法介绍特征值问题的解法，如幂法和特征值算法探讨解法的有效性和适用条件7.2 特征值在实际问题中的应用举例说明特征值在物理学、工程学和经济学等领域中的应用分析特征值问题在实际问题中的解法和效果7.3 特征值问题的进一步研究介绍特征值问题的进一步研究方向，如谱理论和解的存在性等探讨特征值问题在科学研究中的重要性和挑战性第八章：向量空间的同构与对偶性8.1 向量空间的同构定义向量空间的同构和等价探讨同构的性质和判定条件8.2 向量空间的对偶性引入向量空间的对偶性和对偶空间探讨对偶性的性质和应用8.3 对偶性与共轭性探讨对偶性与共轭性的关系和联系应用对偶性和共轭性解决向量空间的问题第九章：张量分析基础9.1 张量的定义与运算引入张量的概念和表示方法探讨张量的运算规则和性质9.2 张量空间与张量映射定义张量空间和张量映射探讨张量空间和张量映射的性质和运算9.3 张量分析的应用举例说明张量分析在物理学、工程学和计算机科学等领域中的应用分析张量分析在实际问题中的解法和效果回顾本课程的主要概念、定理和方法10.2 抽象代数的进一步研究介绍抽象代数进一步研究的主要方向和热点问题探讨抽象代数在科学研究和应用中的前景和挑战10.3 课程学习评价与反思分析学生在本课程学习中的表现和收获提出学生应如何继续学习和提高自己在抽象代数方面的能力重点和难点解析重点环节1：群的定义与性质群的定义和表示方法是理解抽象代数结构的基础，需要重点掌握。

抽象代数中的同态映射和环同构同态映射和环同构是抽象代数中的两个重要概念。

它们在表示数学中有广泛应用，对于深入了解代数学是非常重要的。

一、同态映射的定义同态映射是一种特殊的映射，它保持代数结构的一定性质。

设$G$和$H$是两个群，$\varphi : G \rightarrow H$ 是从$G$到$H$的映射。

当满足如下条件时，$\varphi$是一个同态映射：1. $\varphi(g_1g_2) = \varphi(g_1)\varphi(g_2)$，对于所有的$g_1,g_2 \in G$2. $\varphi(e_G) = e_H$其中$e_G$和$e_H$分别是群$G$和$H$的单位元素。

同态映射很重要的一点是它保持群的乘法结构，也就是说，群$G$中的任何乘法关系映射到群$H$中的乘法关系。

这让我们能够在不同的群之间建立联系，为代数学的应用提供了很多便利。

二、环同构的定义环同构是指两个环之间的映射，它保持环的加法和乘法形式相同。

设$R$和$S$是两个环，$\varphi : R \rightarrow S$是从$R$到$S$的映射。

当满足如下条件时，$\varphi$是一个同构：1. $\varphi(r_1+r_2) = \varphi(r_1)+\varphi(r_2)$，对于所有的$r_1,r_2 \in R$2. $\varphi(r_1r_2) = \varphi(r_1)\varphi(r_2)$，对于所有的$r_1,r_2 \in R$3. $\varphi(1_R) = 1_S$其中$1_R$和$1_S$分别是环$R$和$S$的乘法单位元素。

同态映射和环同构都保持代数结构的一定性质，但它们的应用场景却不同。

同态映射广泛应用于群论、环论等代数学领域；而环同构则更常用于数论、代数几何等领域。

三、同态映射和环同构的例子1. 同态映射的例子我们考虑有理数群$\mathbb{Q}$和实数群$\mathbb{R}$以及乘法运算。

代数结构同态与同构代数结构同态与同构是抽象代数学中的两个重要概念。

它们描述了两个代数结构之间的关系，并在代数学的研究中发挥着重要作用。

本文将介绍代数结构同态与同构的概念、定义以及性质，并讨论它们的应用和意义。

一、代数结构同态的概念与性质1. 同态的定义在抽象代数学中，如果存在两个代数结构A和B，其中A的运算是由集合和运算规则所确定的，B也是类似的，那么我们称映射f：A → B为从A到B的同态，如果对于A中的任意元素x和y，都有f(x * y) = f(x) * f(y)，其中*表示A中的运算，*表示B中的运算，即f保持运算的性质。

2. 同态的性质同态具有以下性质：（1）同态保持单位元：即f(单位元A) = 单位元B；（2）同态保持逆元：即对于A中的任意元素x，有f(x的逆元A) = f(x)的逆元B；（3）同态保持运算：即对于A中的任意元素x和y，都有f(x * y) = f(x) * f(y)。

二、代数结构同构的概念与性质1. 同构的定义在抽象代数学中，如果从A到B的同态f：A → B是双射（即一一对应）且保持运算的性质，则称A与B是同构的，记作A ≅ B。

同构表示两个代数结构在结构上完全相同，可以通过一一对应的方式进行映射。

2. 同构的性质同构具有以下性质：（1）同构保持单位元；（2）同构保持逆元；（3）同构保持运算。

三、同态与同构的应用1. 结构的研究与刻画同态与同构可用于研究和刻画代数结构的结构和性质。

通过同态与同构的关系，我们可以将复杂的代数结构简化为更易于理解和研究的形式。

例如，通过同构关系，我们可以将一个群与一个矩阵代数的子群作为同构来描述，从而简化问题的分析和求解。

2. 等价关系的建立同态与同构也可用于建立代数结构之间的等价关系。

如果两个代数结构之间存在同构关系，则可以将它们看作是等价的。

这种等价关系在代数学中非常有用，可以帮助我们分类、比较甚至证明不同的代数结构。

3. 结构的构造与研究同态与同构的概念在代数结构的构造与研究中起着重要的作用。

抽象代数中的同构分类理论抽象代数是数学的一个重要分支，主要研究代数结构及其间关系。

在抽象代数领域中，同构分类理论是一种重要的研究方法和工具。

本文将介绍抽象代数中的同构分类理论，并探讨其应用和意义。

一、同构和同构分类的基本概念在抽象代数中，同构是指两个代数结构之间存在一个双射，保持了代数结构之间的运算和关系。

具体而言，设A和B是两个代数结构，若存在一个双射f：A→B，且对于任意的a,b∈A，有f(a+b)=f(a)+f(b)和f(ab)=f(a)f(b)，则称A与B同构，记作A≅B。

同构分类理论的基本目标是将具有相同结构的代数对象进行分类，即将同构的代数结构分为若干个同构类。

同构分类理论通过研究代数结构的某些特征或性质，将代数结构分类成一些同构类，并给出它们的共同性质或标准代表。

二、同构分类的方法和技巧在同构分类理论中，常用的方法和技巧包括同态和同态基本定理、模论、正规化定理等。

1. 同态和同态基本定理同态是一种保持代数结构之间运算的映射。

设A和B是两个代数结构，若存在一个映射f：A→B，且对于任意的a,b∈A，有f(a+b)=f(a)+f(b)和f(ab)=f(a)f(b)，则称f为A到B的一个同态。

同态基本定理指出，对于任意的同态f：A→B，其像Im(f)与B同构，而其核Ker(f)决定了A的同态类。

2. 模论模是代数结构中的一种特殊代数系，它具有加法运算和纯量乘法运算，同时满足一定的代数性质。

利用模论可以对代数结构进行分类和研究。

其中，重要的概念包括子模、商模、直和等。

3. 正规化定理正规化定理是同构分类理论中的一个重要结果，它描述了有限域上的代数结构的同构分类。

正规化定理利用了多项式理论和群论的相关知识，通过研究多项式的根和系数之间的关系，将代数结构分类成一些标准形式，并给出了分类的方法和步骤。

三、同构分类理论的应用和意义同构分类理论在抽象代数中具有广泛的应用和重要的意义。

1. 帮助理解和研究代数结构同构分类理论可以将具有相同结构的代数对象分类成同构类，并给出它们的共同性质或标准代表。

群论是数学中的一个重要分支，研究的是集合上的一种代数结构，即群。

群的概念最早由德国数学家高斯引入，并在他之后被众多数学家继续研究和发展。

在群论中，同态和同构是两个重要的概念，它们描述了群与群之间的关系。

首先，我们来看同态的概念。

在群论中，如果存在一个映射 f：G→H，其中 G 和 H 是两个群，且满足以下两个条件：1.对于 G 中的任意元素 a 和 b，有 f(a*b) = f(a)*f(b)（即 f 是一个保持群运算的映射）；2.f(G) 是 H 的子群（即 f 将 G 的元素映射到 H 中的元素，而且保持了H 中的群运算）。

那么我们称映射 f 是从群 G 到群 H 的同态映射，简称同态。

同态的概念可以理解为将一个群的结构映射到另一个群中，并且保持了群运算的结构性质。

同态映射的存在性与群的性质有很大关系，在实际应用中有着广泛的应用。

与同态相对应的是同构的概念。

如果存在一个一一映射 f：G→H，它满足以下两个条件：1. f 保持群运算，即对于 G 中的任意元素 a 和 b，有 f(a*b) =f(a)*f(b)；2. f 的逆映射也是一个群的同态。

那么我们称映射 f 是从群 G 到群 H 的同构映射，简称同构。

同构的概念是群之间结构相等的一种描述，即两个群之间存在一一对应，并保持了群运算的性质。

同构关系常常用于分类和比较不同的群。

如果两个群之间存在同构映射，我们就可以将它们看作是彼此相同的结构。

同态和同构的概念在群论中有着广泛的应用。

首先，同态映射可以用于研究群的子群和商群的结构。

通过同态映射，我们可以将一个群映射为另一个群的子群，并且保持了群运算的性质。

这为研究群的结构提供了新的方法。

同时，同态映射还可以用于研究群之间的相似性和联系。

如果两个群之间存在同态映射，那么它们在结构上有相似的性质，可以通过研究其中一个群来推断另一个群的性质。

同构映射则更加强调了群之间的相等性。

当两个群之间存在同构映射时，它们在群运算结构上完全相同，在一些性质的研究中可以互相替代。

群同态定义,单、满同态,同构群同态定义，单、满同态，同构群与关于其不变子群的商群之间有某种联系，这种联系从代数角度来说，就是它们之间有某种相互联系的代数性质，或者可以建立某种对应关系.本节将介绍群与群之间的对应关系，这种对应关系保持某种代数性质.定义1 设是两个群，如果存在映射保持代数运算，即称是到的一个同态;如果同态还是满射，称是满同态; 如果同态还是单射，称是单同态;既是满同态又是单同态的同态称为同构，这时也称群与同构，记为，需要强调这个同构映射时，可记作;当时，同态映射称为自同态，同构映射称为自同构.需要说明的是:根据同态定义，在保持运算的等式中，左边式子的“?”是按照中的运算，而右边式子中的“?”是按照中的运算. 例1 设是两个群，是的单位元，令则0是到的一个同态，称其为零同态，这个同态在任意两个群之间都存在. 例2 设是虚数单位，令则是到的同态.例3 设是虚数单位，令.则按数的乘法构成一个群，并且是到的同态，(请读者验证) 是满同态. 例4设令注意是一般线性群，是到的同态,(请读者验证) 是单同态.今后,常用表示.例5 设是群，是的一个不变子群，由上节是关于的商群.令则是到的同态，并且是满同态.这个同态称为到其商群的自然同态，这是一个非常重要的同态，今后经常用到.例6 设是所有次单位根构成的群，其中是次本原单位根，令则是到模剩余类加群的同构映射，因此.我们知道，若是集合到的映射，是到的映射，则映射合成是到的映射. 这个事实对于群也同样成立.命题1 设是群到的同态，是群到的同态，则作为映射合成的是到的同态.证明:是到的映射, 又，故是到的同态.实际上我们还有如下性质:命题2(1)设是群到的单同态，是群到的单同态，则作为映射合成的是到的单同态;(2)设是群到的满同态，是群到的满同态，则作为映射合成的是到的满同态;(3)设是群到的同构，是群到的同构，则作为映射合成的是到的同构.命题3 设是群到群的同态，则(1) 的单位元在下的像是单位元;(2) 中元素的逆元在下的像;(3) 的子群在下的像是的子群，并且如果是限制在上的映射，则是到上的满同态.证明:(1) 故.(2)所以。

群与群同构的基本概念与性质群与群同构是抽象代数中的一个重要概念。

本文将重点介绍群与群同构的基本概念和性质，以及它们在数学和其他领域中的应用。

1. 群的定义与性质群是一种由一组元素和一个二元运算组成的代数结构。

它需要满足四个性质：封闭性、结合律、存在单位元和存在逆元。

记群为(G, *)，其中G为元素的集合，*为群的二元运算。

2. 群同构的定义设(G, *)和(H, ⊗)是两个群，若存在一个双射函数f: G -> H，且满足对于任意的a, b∈G，有f(a * b) = f(a) ⊗ f(b)，则称G与H同构，记作G ≃ H。

其中f被称为群同构映射。

3. 同构的性质3.1 保结合律：若G与H同构，且*a, *b∈G，则f(a * b) = f(a) ⊗f(b)。

3.2 保单位元：若G与H同构，且e_G为G的单位元，e_H为H的单位元，则f(e_G) = e_H。

3.3 保逆元：若G与H同构，且a∈G，则f(a^(-1)) = f(a)^(-1)。

4. 群同构的例子4.1 整数加法群与整数乘法群的同构在群的运算中，整数加法群和整数乘法群是两个经典的例子。

通过定义f(n) = 2^n，可以证明整数加法群(Z, +)与整数乘法群(Z*, ×)是同构的。

证明过程略。

4.2 平面刚体的旋转群与复数单位圆上的乘法群的同构平面刚体的旋转群与复数单位圆上的乘法群也是一个重要的例子。

通过定义f(θ) = e^(iθ)，其中θ为旋转角度，可以证明它们是同构的。

证明过程略。

5. 群同构的应用群同构在数学和其他领域中有着广泛的应用。

5.1 在密码学中，群同构可用于构造具有高安全性的加密算法。

5.2 在量子力学中，群同构用于研究粒子的对称性和守恒定律。

5.3 在拓扑学中，群同构用于研究拓扑空间的同伦性质。

总结：群与群同构是抽象代数中的重要概念。

群同构的定义和性质揭示了群之间的一种特殊关系，具有保结合律、保单位元和保逆元的性质。

抽象代数2.6：群同态这一节，我们将进入群同态的学习，首先我们先来说明一下为什么引入群同态的？从一个浅显的角度而言，我们已经见过了很多群了，如果每一个群都需要我们去独自研究，那实在是太费力气.所以我们试图找到不同群之间的联系，因此群同态就出现了，我们可以看到，群同态是一种保持结构的映射.定义1：[群同态]设都是群，，且对任意的都有：则称是群到的同态，若满射，则称为映上同态或者满同态，若映射为双射，则称为同构.到自身上的同构称为自同构.当映射为同构时，我们用表示.我们必须在这里给一个注解，那就是虽然我们省略掉了二元运算，但是实际上如果我们分别用来表示的二元运算应该有如下表达式：当然某些特殊情况下，两个群上的运算确实是相同的.下边我们给出几个具体的例子.1.设为任意两个群，则为映射：,是的幺元，是同态，称这个同态为平凡同态.2.设为映射，则这个映射为自同构，称为恒等映射.记为：3.设是实数加法群，是非零实数乘法群，作：,，则这个映射是单映射但不是满映射.4.设是任意一个群，，作的映射：.这个映射称为元素决定的的内自同构.(请对这个同态加以关注，稍后我们会用到它.)下边给出群同态的一些性质：性质1：1.设是群同态，则是的幺元.2.群同态将逆元变成逆元.3.设是群同态，若是的子群，那么是的子群.4.设是群同态，则是的子群.5.设是群同态，若是的子群，那么是的子群.6.设是群同态，是的幺元，则是的正规子群,称为同态的核.7.设是群的正规子群，到其商集的自然映射为群同态，称为自然同态证明：1.故得：.2.3.运算封闭，对于任意的所以运算封闭，有因为存在所以逆元存在.4.显然,如果.那么存在,那么,所以：,故逆元存在，运算封闭类似可证.5.对于任意的存在,,所以,所以运算封闭；同理,所以,所以逆元存在.故是的群.6.首先我们先验证他是一个群，因为对任意的,所以所以运算封闭，其次逆元存在，因为如果：,所以所以是子群，其次是正规子群，对任意的,所以,所以是正规子群.7.我们上一节已经证明了是一个群，我们定义：显然这是一个满射，其次验证这是一个同态：所以这是一个群同态.我们给一个记号-自然同态.下边给一个稍微复杂的群同态的例子：例子1：给定整数加法群和实数乘法群：1.验证：是群同态且是群同构.2.验证是的子群3.说明的子群都是形如的形式.证明：1.首先该映射确实是个双射，故我们只需要验证是群同态即可：故这是一个群同态，同是又是双射所以是群同构.2.根据定理我们可知确实是的子群，不过这个题要你验证，所以你需要一步一步验证.这里就略去了.3.这个方法我们已经很熟悉了，首先我们知道如果,这里我们取：,如果存在,根据带余除法可知：这与的最小性违背，所以同态基本定理下边我们要引入本节最重要的定理：同态基本定理.我们的引入并不是毫无根据的.因为我们总希望映射是一个双射，这样该映射就会有很好的性质，但是事实上一个映射不总是双射，一个群同态也不一定是同构，甚至不是满态或者单态.但我们并不担心，因为映射基本定理告诉我们，一个映射不单我们就考虑等价类定义的映射，一个映射不满我们就考虑映射所对的像，我们这里先假定这个群同态就是满态这样的好条件，得到同态基本定理，然后削弱条件就可以得到同构基本定理.下边给出同态基本定理：定理2：[同态基本定理]设：是满态，则诱导出的的同构其中对一切成立.此时：首先验证这是一个双射，对任意的故满射有了，再验证是单射，如果：所以这是一个双射.再验证这是群同态：故这是一个群同态.事实上，我们没有验证这个定义的合理性，现在补上}：假设,我们现在看看是否相等？因为：,所以：,所以运算与代表元选取无关，因此我们完成了同态基本定理所有的证明！小周干不动了！。

群同态定义,单、满同态,同构群同态定义，单、满同态，同构群与关于其不变子群的商群之间有某种联系，这种联系从代数角度来说，就是它们之间有某种相互联系的代数性质，或者可以建立某种对应关系.本节将介绍群与群之间的对应关系，这种对应关系保持某种代数性质.定义1 设是两个群，如果存在映射保持代数运算，即称是到的一个同态;如果同态还是满射，称是满同态; 如果同态还是单射，称是单同态;既是满同态又是单同态的同态称为同构，这时也称群与同构，记为，需要强调这个同构映射时，可记作;当时，同态映射称为自同态，同构映射称为自同构.需要说明的是:根据同态定义，在保持运算的等式中，左边式子的“?”是按照中的运算，而右边式子中的“?”是按照中的运算. 例1 设是两个群，是的单位元，令则0是到的一个同态，称其为零同态，这个同态在任意两个群之间都存在. 例2 设是虚数单位，令则是到的同态.例3 设是虚数单位，令.则按数的乘法构成一个群，并且是到的同态，(请读者验证) 是满同态. 例4设令注意是一般线性群，是到的同态,(请读者验证) 是单同态.今后,常用表示.例5 设是群，是的一个不变子群，由上节是关于的商群.令则是到的同态，并且是满同态.这个同态称为到其商群的自然同态，这是一个非常重要的同态，今后经常用到.例6 设是所有次单位根构成的群，其中是次本原单位根，令则是到模剩余类加群的同构映射，因此.我们知道，若是集合到的映射，是到的映射，则映射合成是到的映射. 这个事实对于群也同样成立.命题1 设是群到的同态，是群到的同态，则作为映射合成的是到的同态.证明:是到的映射, 又，故是到的同态.实际上我们还有如下性质:命题2(1)设是群到的单同态，是群到的单同态，则作为映射合成的是到的单同态;(2)设是群到的满同态，是群到的满同态，则作为映射合成的是到的满同态;(3)设是群到的同构，是群到的同构，则作为映射合成的是到的同构.命题3 设是群到群的同态，则(1) 的单位元在下的像是单位元;(2) 中元素的逆元在下的像;(3) 的子群在下的像是的子群，并且如果是限制在上的映射，则是到上的满同态.证明:(1) 故.(2)所以。

第一章抽象群基础§1.1 群【定义1.1】G是一个非空集合，G =｛…，g，…｝，“·”为定义在任意两个元素之间的二元代数运算(乘法运算)，若G和其运算满足以下四个条件：（1）封闭性：∀f,g ∈G, f·g=h, 则h∈G;（2）结合律：∀f, g, h∈G，（f·g）·h＝f·(g·h);（3）有单位元：∃e ∈G, ∀f ∈G, f·e＝e·f＝f;（4）有逆元素：∀f ∈G，∃f -1∈G, 使f·f -1= f -1·f = e;则称G为一个群，e为群G的单位元，f--1为f的逆元。

·系1. e是唯一的。

若e、e´皆为G的单位元，则e·e´= e´，e·e´= e，故e´= e。

·系2. 逆元是唯一的。

若存在f的两个逆元f´=f"，则f'=⋅⋅=⋅=⋅=, 即''f⋅=⋅f'=f''ef''f''f)(f'ef'(ff'f'')·系3 e –1 = ee –1 = e -1·e = e, 即：e –1 = e。

·系4 若群G的运算还满足交换律，∀f，g∈G,有f·g=g·f, 则称G为交换群，或阿贝尔群。

群是我们定义的一种抽象结构，具有一般性，它象一个空筐子，可以装入各种具有相同抽象结构的实际对象。

通过研究抽象结构的一般性质，就可以掌握各种实际对象的性质。

例1.1 整数集{z}和其上的加法+单位元为0, 逆元z-1= -z,构成整数加法群。

例1.2 实数集R，运算为加法：单位元e = 0, 逆元：∀a∈R，a –1 = -a，构成加群。