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第一章预备知识全称量词和存在量词教学设计教材分析本节通过问题的辨析和探究，对一些命题中的量词进行分类，从而抽象概括了全称量词命题和存在量词命题；同时，通过问题的辨析和探究的方法，也培养学生良好的学习习惯反思意识；最后，总结了关于全称量词命题与存在量词的否定变化的方法。
教学目标与核心素养一．教学目标：二. 核心素养1.数学抽象：抽象概述全称量词命题与存在量词命题的概念2.逻辑推理：通过观察命题、科学猜想以及通过参与过程的归纳和问题的演绎，培养学生的观察能力和概括能力；3.数学运算：含有一个量词的命题进行否定4.直观想象：通过引导学生观察、发现、合作与交流，让学生经历知识的形成过程，增加直接经验基础，5.数学建模：学生通过思想交流，知识探讨中，让学生能更好的对知识体系的掌握，以及在做题中对知识点的合理运用，这样不但增强学生学习的成功感，也激发学生学习数学的兴趣. 教学重难点教学重点：理解全称量词与存在量词的意义，全称量词与存在量词命题间的转化教学难点：正确地判断全称命题和特称命题的真假及正确地对含有一个量词的命题进行否定教学过程一、知识引入：观察下列命题：（1）所有正方形都是矩形；（2）每一个有理数都能写成分数的形式；（3）对于任意的正实数k,y=kx+b的值随x值的增大而增大;（4）空集是任何集合的子集（5）一切三角形的内角和都等于180°知识探讨及总结：发现以上命题中：“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”都是在指定范围内表示整体或全部的含义全称量词命题概述：在给定集合中，断言所有元素都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题.；“所有” “每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词例4：判断下列命题是不是全称量词命题，如果是，指出其中的全称量词：(1)所有的正方形都是平行四边形；(2)能被5整除的整数末位数字为0.解(1) “所有的正方形都是平行四边形”是全称量词命题，“所有”是全称量词；(2) “能被5整除的整数末位数字为0”可以表述为“所有能被5整除的整数，末位数字都为0”，它是全称量词命题，其中省略了全称量词“所有”.二、知识引入有一些数学命题，是对个体或整体的一部分的判断.例如:(1)有些三角形是直角三角形；(2)在素数中，有一个是偶数；知识探讨及总结：以上命题中,“有些”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义.存在量词命题概述：在给定集合中，断言某些元素具有一种的性质的命题叫做存在量词命题。
第一章 §2 2.1A 组·素养自测一、选择题1．a ＜b ，b ＜0的一个必要条件是( A ) A ．a ＋b ＜0 B ．a －b ＞0 C ．a b＜0D ．ab＜－1[解析] a ＜b ，b ＜0⇒a ＜b ＜0⇒a ＋b ＜0， 则a ＋b ＜0是a ＜b ，b ＜0的必要条件．2．已知命题“若p ，则q ”，假设“若q ，则p ”为真，则p 是q 的( B ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不是充分条件也不是必要条件[解析] 由题意知q ⇒p ，则p 是q 的必要条件． 3．设x ∈R ，则“x ＞1或x ＜－1”是“|x |＞1”的( C ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 由题意可知，故选C ．4．已知x ∈R ，则{x |x ＜－1}是⎩⎨⎧x |x ＞12或x ＜－1的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] {x |x ＜－1}⇒⎩⎨⎧x |x ＞12或x ＜－1，反之不成立，所以“{x |x ＜－1}”是“⎩⎨⎧x |x ＞12或x ＜－1”的充分不必要条件．故选A ．5．命题“对所有的x ∈{x |1≤x ≤2}，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( C )A ．a ≥4B ．a ≤4C ．a ≥5D ．a ≤5[解析] 命题“对所有的x ∈{x |1≤x ≤2}，x 2－a ≤0”为真命题，可化为对所有的x ∈{x |1≤x ≤2}，a ≥x 2恒成立，即只需a ≥(x 2)max ＝4，即“对所有的x ∈{x |1≤x ≤2}，x 2－a ≤0”为真命题的充要条件为a ≥4，而要找的一个充分不必要条件即为集合{a |a ≥4}的真子集，由选择项可知C 符合题意．6．若a ，b 为实数，则ab (a －b )＜0成立的一个充要条件是( D ) A ．0＜1a ＜1bB ．0＜1b ＜1aC ．1a ＜1bD ．1b ＜1a[解析]ab (a －b )＜0⇔a 2b －ab 2＜0⇔a 2b ＜ab 2⇔a 2b a 2b 2＜ab 2a 2b 2⇔1b ＜1a．故选D ． 二、填空题7．用“充分”或“必要”填空： (1)“x ≠3”是“|x |≠3”的__必要__条件．(2)“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的__充分__条件． 8．下列说法正确的是__②④__． ①x 2≠1是x ≠1的必要条件； ②x ＞5是x ＞4的充分不必要条件； ③xy ＝0是x ＝0且y ＝0的充要条件； ④x 2＜4是x ＜2的充分不必要条件． [解析] 由x 2≠1⇒x ≠1，x ≠1x 2≠1，即x 2≠1是x ≠1的充分不必要条件，故①不正确．②正确．③中，由xy ＝0x ＝0且y ＝0，则③不正确．④正确．9．已知p ：x ＜8，q ：x ＜a ，且q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围为__a ＜8__． [解析] 因为p ：x ＜8，q ：x ＜a ，且q 是p 的充分而不必要条件，所以a ＜8． 三、解答题10．已知x ，y 都是非零实数，且x ＞y ，求证：1x ＜1y 的充要条件是xy ＞0．[解析] 方法一：充分性：由xy ＞0及x ＞y ，得x xy ＞y xy ，即1x ＜1y ．必要性：由1x ＜1y ，得1x －1y ＜0，即y －x xy ＜0．因为x ＞y ，所以y －x ＜0，所以xy ＞0． 所以1x ＜1y 的充要条件是xy ＞0．方法二：1x ＜1y ⇔1x －1y ＜0⇔y －x xy＜0．由条件x ＞y ⇔y －x ＜0，故由y －xxy ＜0⇔xy ＞0．所以1x ＜1y⇔xy ＞0，即1x ＜1y的充要条件是xy ＞0． B 组·素养提升一、选择题1．若非空集合A ，B ，C 满足A ∪B ＝C ，且B 不是A 的子集，则( B ) A ．“x ∈C ”是“x ∈A ”的充分条件但不是必要条件 B ．“x ∈C ”是“x ∈A ”的必要条件但不是充分条件C ．“x ∈C ”是“x ∈A ”的充分条件也是“x ∈A ”的必要条件D ．“x ∈C ”既不是“x ∈A ”的充分条件也不是“x ∈A ”的必要条件 2．方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是( C ) A ．0＜a ≤1 B ．a ＜1C ．a ≤1D ．0＜a ≤1或a ＜0[解析] 解法一(直接法)：当a ＝0时，x ＝－12，符合题意；a ≠0时，若方程两根一正一负(没有零根)，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，1a ＜0，解得a ＜0；若方程两根均负，则⎩⎨⎧Δ≥0，－2a＜0，1a ＞0，解得0＜a ≤1．综上所述，充要条件是a ≤1．解法二(排除法)：当a ＝0时，原方程有一个负实根，可以排除A ，D ；当a ＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B ．故选C ．3．(多选题)有以下说法，其中正确的为( ACD ) A ．“m 是有理数”是“m 是实数”的充分条件 B ．“x ∈(A ∩B )”是“x ∈A ”必要条件 C ．“x 2－2x －3＝0”是“x ＝3”的必要条件 D ．“x ＞3”是“x 2＞4”的充分条件 [解析] x ∈Ax ∈(A ∩B )，故B 错，A 、C 、D 都正确，故选A 、C 、D ．4．(多选题)设全集为U ，在下列条件中，是B ⊆A 的充要条件的有( BCD ) A ．A ∪B ＝BB ．(∁U A )∩B ＝∅C．∁U A⊆∁U B D．A∪∁U B＝U [解析]由Venn图可知，BCD都是充要条件．故选BCD．二、填空题5．给出下列四个条件：①a ＞0，b ＞0；②a ＜0，b ＜0；③a ＝3，b ＝－2；④a ＞0，b ＜0且|a |＞|b |，其中__①③④__是a ＋b ＞0的充分条件．(填序号)6．设集合A ＝{x ∈R |x －2＞0}，B ＝{x ∈R |x ＜0}，C ＝{x ∈R |x ＜0或x ＞2}，则“x ∈(A ∪B )”是“x ∈C ”的__充要__条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)[解析] A ∪B ＝{x ∈R |x ＜0或x ＞2}，C ＝{x ∈R |x ＜0或x ＞2}，∵A ∪B ＝C ，∴“x ∈(A ∪B )”是“x ∈C ”的充要条件．7．若p ：x 2＋x －6＝0是q ：ax ＋1＝0的必要不充分条件，且a ≠0，则实数a 的取值为__－12或13__．[解析] p ：x 2＋x －6＝0，即x ＝2或x ＝－3．q ：ax ＋1＝0，即x ＝－1a ．由题意知pq ，q ⇒p ，所以有－1a ＝2或－1a ＝－3，解得a ＝－12或a ＝13．综上可知，a ＝－12或13．三、解答题8．是否存在实数p ，使“4x ＋p ＜0”是“x ＞2，或x ＜－1”的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围；若不存在，请说明理由．[解析] 存在．由4x ＋p ＜0得x ＜－p4，如图在数轴上画出不等式x ＞2或x ＜－1，由数轴可得，当－p 4≤－1时，即p ≥4时，由x ＜－p4≤－1⇒x ＜－1⇒x ＞2或x ＜－1．故当p ≥4时，“4x ＋p ＜0”是“x ＞2或x ＜－1”的充分条件．。
北师大版高中数学必修第一册《全称量词与存在量词》说课稿一、引入引导学生思考首先，让我们来思考一个问题：在日常生活中，我们经常使用一些词语来描述事物或者对事物进行判断，比如“所有的人都会呼吸”或者“存在着一个数是无理数”。
那么，在数学中，我们是如何描述这些情况的呢？今天，我们就来学习《全称量词与存在量词》这一章节，通过学习，我们将了解到如何在数学中准确地描述全称和存在的情况，并应用到解决数学问题中。
二、全称量词引导理解全称量词在数学中，为了描述“所有的”情况，我们使用了全称量词。
全称量词通常用符号∀表示，意味着“对于任意一个”。
例如，如果我们说“所有的正整数都可以用两个质数的和表示”，那么我们可以使用全称量词来表示为∀正整数n，∃质数a和b，使得n = a + b。
这个命题是成立的，因为对于任意一个正整数，我们总可以找到两个质数使其和为该正整数。
那么，我们应该如何判断一个全称量词命题是否成立呢？指导求解方法首先，我们需要遵循以下步骤来求解全称量词问题：1.确定全称量词的范围，即全称量词后面的变量表示了什么。
2.根据全称量词的命题要求，使用合适的方法来解决问题。
3.验证全称量词的命题是否成立。
三、存在量词引导理解存在量词除了描述“所有的”情况外，数学中还存在一种描述“存在的”情况的方式，我们称之为存在量词。
存在量词通常用符号∃表示，意味着“存在一个”。
例如，如果我们说“存在一个奇数可以表示为两个偶数的和”，那么我们可以使用存在量词来表示为∃奇数n，∃偶数a和b，使得n = a + b。
这个命题是成立的，因为我们可以找到奇数9，用两个偶数2和7相加得到9。
指导求解方法同样，我们需要遵循以下步骤来求解存在量词问题：1.确定存在量词的范围，即存在量词后面的变量表示了什么。
2.根据存在量词的命题要求，使用合适的方法来解决问题。
3.找到满足存在量词的命题的具体解，并进行验证。
四、全称量词与存在量词的关系引导理解全称量词与存在量词的关系全称量词与存在量词在数学中是相互关联的。
第一章 §2 2.2 第1课时
A 组·素养自测
一、选择题
1．下列说法正确的是( D )
A ．梯形是不是平面图形呢？是命题
B ．语句“标准大气压下，100 ℃时水沸腾”不是命题
C ．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题
D ．语句“当a ＞4时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”是假命题
[解析] 对于A ，是疑问句，不是命题，不正确；B 所给语句是命题，不正确；满足C 的不一定是菱形，不正确；D 说法正确．故选D ．
2．下列语句是真命题的个数是( A )
①一个正整数不是素数就是合数；
②若x ＋y 和xy 都是有理数，则x ，y 都是有理数；
③60x ＋9＞4；
④若x ∈N ，则x 2＋4x ＋7＞0．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
[解析] ①该语句是命题．由于整数1不是素数，也不是合数，所以它是假命题；②该语句是命题．3＋(－3)和3×(－3)都是有理数，但3，－3都是无理数，所以它是命题且是假命题；③这种含有未知数的语句中，不等式是否恒成立无法确定，即不能判断其真假，所以它不是命题；④因为当x ∈N 时，x 2＋4x ＋7＞0恒成立，所以该语句是命题，且是真命题．故选A ．
3．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( B )
A ．直角三角形的内角有一个是90°
B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0
C ．两个无理数的和必是无理数
D ．存在一个负数，使1x
＞2 [解析] A 是全称量词命题；B 既是存在量词命题又是真命题；C 中因为3＋(－3)＝
0，所以C 是假命题；D 中对于任意一个负数x ，都有1x
＜0，所以D 是假命题．故选B ． 4．将a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2改写成全称量词命题是( D )
A ．∃a ，b ∈R ，a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2
B ．∃a ＜0，b ＞0，a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2
C ．∀a ＞0，b ＞0，a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2
D ．∀a ，b ∈R ，a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2
[解析] 全称量词命题含有量词“∀”，故排除A ，B ，又等式a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2对于全体实数都成立．故选D ．
二、填空题
5．给出下列四个命题：①∀x ∈R ，x 2＋3＞0；②∀x ∈N ，x 4≥1；③∃x ∈Z ，x 3＜1；④∃x ∈Q ，x 2＝3．
其中是真命题的是__①③__(把所有真命题的序号都填上)．
[解析] ①由于∀x ∈R ，都有x 2≥0，因而有x 2＋3≥3＞0，即x 2＋3＞0，所以命题“∀x ∈R ，x 2＋3＞0”是真命题；②由于0∈N ，当x ＝0时，x 4≥1不成立，是假命题；③由于－1∈Z ，当x ＝－1时，x 3＜1成立，是真命题；④由于使x 2＝3成立的数只有±3，而它们都不是有理数，因此，没有任何一个有理数的平方等于3，是假命题．
6．下列命题：
①至少有一个偶数是质数；
②对于一切x ＜0，都有|x |＞x ；
③不存在实数x ，使x 2＋x ＋1＜0；
④已知A ＝{a |a ＝2n }，B ＝{b |b ＝3n }，对于任意n ∈N *，都有A ∩B ＝∅．
其中，所有正确命题的序号为__①②③__．
[解析] 命题①②显然为真命题；③由于对于∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34
＞0恒成立，故③为真命题；已知A ＝{a |a ＝2n }，B ＝{b |b ＝3n }，如n ＝1,2,3时，6∈(A ∩B )，故为假命题．
三、解答题
7．用符号“∀”或“∃”表示下列命题，并判断真假：
(1)实数的平方大于或等于0；
(2)存在一对实数(x ，y )，使2x －y ＋1＜0成立．
[解析] (1)∀x ∈R ，x 2≥0，是真命题．
(2)∃x ∈R ，y ∈R ，使2x －y ＋1＜0，是真命题．
B 组·素养提升
一、选择题
1．已知不等式x ＋3≥0的解集是A ，则使命题“∀a ∈M ，a ∉A ”为真命题的集合M 是( D )
A ．{a |a ≥－3}
B ．{a |a ＞－3}
C ．{a |a ≤－3}
D ．{a |a ＜－3}
[解析] 因为x ＋3≥0，所以A ＝{x |x ≥－3}．又因为对∀a ∈M ，都有a ∉A ，所以a ＜－
3．故选D ．
2．(多选题)给出下列命题，其中真命题有( AB )
A ．存在x ＜0，使|x |＞x
B ．对于一切x ∈Z ，都有|x |∈N
C ．存在x ＜0，使|x |≤x
D ．已知a ＝2n ，b ＝3n ，则存在n ∈N *，使得a ＝b
[解析] 易知选项A 、B 为真命题；C 中命题当x ＜0时，|x |＞x ，所以C 为假命题；D 中，“存在n ∈N *，使得a ＝b ”的否定是“对于任意的n ∈N *，都有a ≠b ”，由于a －b ＝2n －3n ＝－n ，所以对于任意的n ∈N *，都有a ＜b ，即a ≠b ，故D 为假命题．
二、填空题
3．若存在实数x ∈{x |x ≤1}，使不等式4x ＋3≥m 能够成立，则实数m 的取值范围是__m ≤7__．
[解析] 要使不等式4x ＋3≥m 能够成立，只需要实数4×1＋3≥m ，即m ≤7．
4．已知命题p ：∀x ∈{x |x ≤12
}，－2x ＋a ≥0，命题q ：x 2＋x ＋2a －1＝0有实数根，若p 为真命题，q 为假命题，则实数a 的取值范围是__a ≥1__．
[解析] 若p 是真命题，则－2×12
＋a ≥0，即a ≥1． 若q 为假命题，则a ＞58
，故a ≥1． 三、解答题
5．已知命题p ：∃x ≥－12
，2x ＋2－a ＝0为真命题，求实数a 的取值范围． [解析] 因为p 为真命题，即方程2x ＋2－a ＝0，在x ＞－12
范围内有实根，所以a ＝2x
＋2≥2×⎝⎛⎭
⎫－12＋2＝1， ∴a ≥1，即实数a 的取值范围为a ≥1．。
