全称量词与存在量词-2020-2021学年高一数学尖子生同步培优(人教A版2019必修第一册)

1.4 全称量词与存在量词一、选择题1．下列命题中全称命题的个数为( )①平行四边形的对角线互相平分 ②梯形有两边平行③存在一个菱形，它的四条边不相等A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] C[解析] ①②是全称命题，③是特称命题．2．下列特称命题中真命题的个数是( )①∃x ∈R ，x ≤0 ②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数③∃x ∈{x |x 是整数}，x 2是整数A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] D[解析] ①②③都是真命题．3．(2010·湖南文，2)下列命题中的假命题．．．是( )A ．∃x ∈R ，lg x ＝0B ．∃x ∈R ，tan x ＝1C ．∀x ∈R ，x 2＞0D ．∀x ∈R,2x ＞0[答案] C[解析] 本题主要考查全称命题和存在性命题真假的判断．对于选项C ，∀x ∈R ，x 2≥0，故C 是假命题．4．下列语句是特称命题的是( )A ．整数n 是2和5的倍数B ．存在整数n ，使n 能被11整除C ．若3x －7＝0，则x ＝73D ．∀x ∈M ，p (x )[答案] B5．命题“存在x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m ≤0”的否定是( )A ．存在x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m >0B ．不存在x ∈Z ，使 x 2＋2x ＋m >0C ．对于任意的x ∈Z 都有x 2＋2x ＋m ≤0D ．对于任意x ∈Z 都有x 2＋2x ＋m >0[答案] D[解析] “不存在x∈Z使x2＋2x＋m≤0”等价于对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m>0.6．命题p：∀x>1，log2x>0，则綈p是( )A．∀x>1，log2x≤0B．∀x≤1，log2x>0C．∃x>1，log2x≤0D．∃x≤1，log2x>0[答案] C[解析] 全称命题的否定是特称命题．7．下列命题中，是真命题且是全称命题的是( )A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0B．菱形的两条对角线相等C．∃x，x2＝xD．对数函数在定义域上是单调函数[答案] D[解析] A中含有全称量词“任意的”，因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0；故是假命题．B、D在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的对角线不一定相等，所以B是假命题，C是特称命题，故选D.8．设a、b、c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立．．．．的是( ) A．a＋b>2abB．(a－b)＋1a－b≥2C．a2＋b2＋c2>ab＋bc＋caD．|a－b|≤|a－c|＋|c－b|[答案] B[解析] 本题考查有关均值不等式成立的条件问题，对于B项当a－b<0时有－(a－b)＋1－(a－b)≥2，所以(a－b)＋1a－b≤－2.9．已知命题“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，那么下列说法：①M的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有P的元素；④M中元素不都是P的元素．其中正确的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4[答案] B[解析] 结合韦恩图可知②④正确．10．(2009·辽宁文，11)下列4个命题其中的真命题是( )A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4[答案] D[解析] 考查指数函数、对数函数图像和性质．选D.二、填空题11．(2010·安徽文，11)命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是____________．[答案] 对∀x∈R，都有x2＋2x＋5≠0.[解析] 该题考查命题的否定．注意存在性命题的否定是全称命题．12．命题“存在实数x，y，使得x＋y>1”，用符号表示为________；此命题的否定是________(用符号表示)，是________(填“真”或“假”)命题．[答案] ∃x，y∈R，x＋y>1；∀x，y∈R，x＋y≤1；假[解析] 注意练习符号∃、∀、綈、∧、∨等，原命题为真，所以它的否定为假．13．下列命题中真命题为________，假命题为________．①末位是0的整数，可以被2整除②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等③正四面体中两侧面的夹角相等④有的实数是无限不循环小数⑤有些三角形不是等腰三角形⑥所有的菱形都是正方形[答案] ①②③④⑤⑥14．命题∀x∈R，x2－x＋3>0的否定是________，命题∃x∈R，x2＋1<0的否定是________．[答案] ∃x∈R，x2－x＋3≤0 ∀x∈R，x2＋1≥0三、解答题15．写出下列命题的否定．(1)所有自然数的平方是正数；(2)任何实数x 都是方程5x －12＝0的根；(3)对任意实数x ，存在实数y ，使x ＋y >0；(4)有些质数是奇数．[解析] (1)的否定：有些自然数的平方不是正数．(2)的否定：存在实数x 不是方程5x －12＝0的根．(3)的否定：存在实数x ，对所有实数y ，有x ＋y ≤0.(4)的否定：所有的质数都不是奇数．16．判断命题的真假，并写出命题的否定．(1)存在一个三角形，它的内角和大于180°.(2)所有圆都有内接四边形．[答案] (1)假命题所有的三角形，它的内角和都不大于180°.(2)真命题存在一个圆，没有内接四边形．17．写出下列命题的否定：(1)若2x >4，则x >2；(2)若m ≥0，则x 2＋x －m ＝0有实数根；(3)可以被5整除的整数，末位是0；(4)被8整除的数能被4整除；(5)若一个四边形是正方形，则它的四条边相等．[解析] (1)的否定：存在实数x 0，虽然满足2x 0>4，但x 0≤2.(2)的否定：存在m ≥0使x 2＋x －m ＝0无实根．(3)的否定：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0.(4)的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除．(5)存在一个四边形，虽然它是正方形，但它的四条边中至少有两条不相等． 18．若方程log 2(ax 2－2x ＋2)＝2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2内有解，求实数a 的取值范围． [解析] 方程log 2(ax 2－2x ＋2)＝2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2内有解． 即方程ax 2－2x ＋2＝4在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2内有解．即ax 2－2x －2＝0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2内有解． 方程ax 2－2x －2＝0可化为 a ＝2x ＋2x 2＝2x 2＋2x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋122－12令t ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋122－12，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，12. ∴要使原方程在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2内有解，a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，12.。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作1.4全称量词与存在量词同步检测一、选择题1. 命题“2,220x x x ∃∈++≤R ”的否定是（ ）A ．2,220x x x ∀∈++>RB ．2,220x x x ∀∈++≤RC ．2,220x x x ∃∈++>RD ．2,220x x x ∃∈++≥R答案：A解析：解答：由特称命题和全称命题的关系可知“2,220x x x ∃∈++≤R ”的否定为2,220x x x ∀∈++>R分析：本题主要考查了特称命题与全称命题，解决问题的关键是根据存在量词，全称量词定义进行分析判断即可.2. 已知命题:,cos 1p x x ∀∈≤R ，则A ．:,cos 1p x x ⌝∃∈≥RB ．:,cos 1p x x ⌝∀∈≥RC ．:,cos 1p x x ⌝∃∈>RD ．:,cos 1p x x ⌝∀∈>R答案：C解析：解答：命题:,cos 1p x x ∀∈≤R 是全称命题，它的否定须全称改特称，且结论否定，所以:,cos 1p x x ⌝∃∈>R ，故选C ．分析：本题主要考查了特称命题与全称命题，解决问题的关键是根据存在量词，全称量词定义进行分析判断即可.3. 已知命题p ：x R ∀∈，sin 1x ≤，则（ ）A ．￢p ：x R ∃∈，sin 1x ≥B ．￢p ：x R ∀∈，sin 1x ≥C ．￢p ：x R ∃∈，sin 1x >D ．￢p ：x R ∀∈，sin 1x >答案：C解析：解答：因为全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，所以,只需将原命题中的条件全称改特称，并对结论进行否定，故答案为C ．分析：本题主要考查了特称命题，解决问题的关键是特称命题与全称命题的关系进行判断即可.4. 下列命题中为假命题的是（ ）A 、,log 1(0,1)a x R x a a ∃∈=->≠B 、,tan 2014x R x ∃∈=C 、,0(0,1)x x R a a a ∀∈>>≠D 、22,0()x R x ax a a R ∀∈++>∈答案：D解析：解答：因为当1x a=时，log 1a x =-，所以，“,log 1(0,1)a x R x a a ∃∈=->≠”为真命题；因为函数tan y x =的值域为实数集R ，所以命题“,tan 2014x R x ∃∈=”为真命题； 因为函数x y a =的值域为()0,+∞，所以命题“,0(0,1)x x R a a a ∀∈>>≠”为真命题； 因为当0x a == 时，220x ax a ++=，所以命民题“22,0()x R x ax a a R ∀∈++>∈”为假命题.故选D.分析：本题主要考查了特称命题，全称命题，解决问题的关键是根据命题进行判断即可.5. 命题“)0(∞+∈∀，x ，12>x ”的否定是（ ） A.)0(0∞+∉∃，x ，02x ≤1 B.)0(0∞+∈∃，x ，02x ≤1 C.)0(∞+∉∀，x ，2x ≤1 D.)0(∞+∈∀，x ，2x ＜ 1 答案：B解析：解答：全称命题的否定为特称命题，“任意的x ”否定为“存在x 0”，同时注意否定要彻底，“2x ＞1”的否定为“2x ≤1”，由此可知选B分析：本题主要考查了特称命题，解决问题的关键是根据全称命题的否定是特称命题进行具体分析判断即可.6. 已知命题:p 2,240x R x x ∀∈-+≤，则¬p 为 （ ）A ．2,240x R x x ∀∈-+≥B ．2000,240x R x x ∃∈-+>C ．2,240x R x x ∀∉-+≤D ．2000,240x R x x ∃∉-+>答案：B解析：解答：因为命题:p 2,240x R x x ∀∈-+≤是全称命题，所以它的否定将全称命题改为特称命题，然后对结论否定.分析：本题主要考查了特称命题，解决问题的关键是根据全称命题的否定是特称命题进行具体分析判断即可.7. 已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ）A.R x p ∈∀⌝0:，1sin 0≥xB.:p x ⌝∀∈R ，sin 1x >C.:p x ⌝∃∉R ，sin 1x >D.R x p ∈∃⌝0:，1sin 0>x答案：D解析：解答：全程命题的否定为特称命题.故D 正确.分析：本题主要考查了特称命题，解决问题的关键是根据全称命题的否定为特称命题进行具体分析判断即可.8. 命题“R ∈∀x ，x x ≠2”的否定是（ ）A ．R ∉∀x ，x x ≠2B ．R ∈∀x ，x x =2C ．R ∉∃x ，x x ≠2D ．R ∈∃x ，x x =2答案：D解析：解答： 命题“R ∈∀x ，x x ≠2”是全称命题，∴命题“R ∈∀x ，x x ≠2”的否定是R ∈∃x ，x x =2 ．分析：本题主要考查了特称命题，解决问题的关键是根据命题关系进行具体分析即可. 9. 已知命题p: 存在x> 1， 使x 2-1> 0， 那么¬p 是（ ）A ．任意x> 1， 使x 2-1> 0B ．存在x> 1， 使x 2-1≤0C ．任意x> 1，使 x 2-1≤0D ．存在x≤1，使 x 2-1≤0答案：C解析：解答：：存在命题：“,x A p ∃∈”的否定为“,x A p ∀∈⌝”．所以该命题的否定为：任意x> 1，使 x 2-1≤0，选C ．分析：本题主要考查了特称命题，解决问题的关键是命题关系进行具体分析即可. 10. 命题“对任意x R ∈都有21x ≥”的否定是（ ）A ．对任意x R ∈，都有21x <B ．不存在x R ∈，使得21x <C ．存在0x R ∈，使得201x ≥D ．存在0x R ∈，使得201x <答案：D解析：解答：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x R ∈都有21x ≥”的否定是：存在R x ∈0，使得120<x ．故应选D ．分析：本题主要考查了特称命题，解决问题的关键是命题关系进行具体分析即可 11. 全称命题“所有被5整除的整数都是奇数”的否定是（ ）A ．所有被5整除的整数都不是奇数B ．所有奇数都不能被5整除C ．存在一个被5整除的整数不是奇数D ．存在一个奇数，不能被5整除答案：C解析：解答：全程命题的否定是特称命题，故C 正确.分析：本题主要考查了特称命题，全称命，解决问题的关键是根据特称命题与全称命题的关系进行具体分析即可.12. ．已知命题p ：200,10x R mx ∃∈+≤，命题q ：2,10.x R x mx ∀∈++>若q p ∨为假命题，则实数m 的取值范围为( )A ．22≤≤-mB ．2-≤m 或2≥mC ．2-≤mD ．2≥m答案：D解析：解答：当命题p 为真时0m <;当命题q 为真时240m ∆=-<,解得22m -<<.qp ∨为假命题则,p q 均为假命题,所以022m m m ≥⎧⎨≤-≥⎩或解得2m ≥.故D 正确. 分析：本题主要考查了特称命题，全称命题，解决问题的关键是根据特称命题与全称命题的真假关系判定即可.13. 已知命题p ：“0],2,1[2≥-∈∀a x x ”，命题q ：“022,2=-++∈∃a ax x R x ”． 若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围为（ ）A ．2-≤a 或1=aB ．2-≤a 或21≤≤aC ．1≥aD ．12≤≤-a答案：A解析：解答：若p 为真，则20x a -≥即2a x ≤对[1,2]x ∈恒成立，因为2x 的最小值为1，则a ≤1，若q 为真，即2220x ax a ++-=有实根，则∆=2(2)41(2)0a a -⨯⨯-≥，解得2-≤a 或a ≥1，所以命题“p 且q ”是真命题，则实数a 满足2-≤a 或1=a ，故选A. 分析：本题主要考查了特称命题，全称命题，解决问题的关键是根据特称命题，全称命题定义进行真假判定即可.14. 给出下列三个命题：①x ∀∈R ，02>x ；②0x ∃∈R ，使得200x x ≤成立；③对于集合,M N ，若x M N ∈⋂，则x M ∈且x N ∈.其中真命题的个数是（ ）A.0B.1C.2D.3答案：C解析：解答：因为0x =时，20x =，所以①是假命题；由200x x <得，001,x <<所以②是真命题；由交集的定义，若x M N ∈⋂，则x M ∈且x N ∈，③是真命题，故选C .分析：本题主要考查了特称命题、全称命题，解决问题的关键是根据所给特称命题，全称命题进行具体分析即可.15. 下列命题正确的个数是（ ）①已知复数1z i i =-（），z 在复平面内对应的点位于第四象限； ②若,x y 是实数，则“22x y ≠”的充要条件是“x y ≠或x y ≠-”；③命题P ：“2000,--1>0x R x x ∃∈”的否定⌝P ：“01,2≤--∈∀x x R x ”；A ．3B ．2C ．1D ．0答案：C解析：解答：①已知复数1z i i =-（），z 在复平面内对应的点位于第四象限是错误的，因为1z i =+，为第一象限；②若,x y 是实数，则“22x y ≠”的充要条件是“x y x y ≠≠-或” 是错误的，因为“22x y ≠”的充要条件是“x y ≠且x y ≠-”；③命题P ：“2000,--1>0x R x x ∃∈”的否定⌝P ：“01,2≤--∈∀x x R x ”是正确的，特称命题的否定是全称命题．分析：本题主要考查了特称命题、全称命题，解决问题的关键是根据所给命题判定真假即可.二、填空题16. “0x ∀>，1x +>”的否定是 ．答案：0,x 使1x +解析：解答：根据含有量词的否定命题的规则，可写出：0,x 使1x +≤. 分析：本题主要考查了特称命题，解决问题的关键是根据特称命题与全称命题关系判定即可. 17. 已知命题p ：∀x ∈R ，ax 2+2x+3＞0，如果命题￢p 是真命题，那么实数a 的取值范围是．答案：a≤1 3解析：解答：根据命题￢p是真命题，等价于命题p是假命题，而当命题p是真命题时，就是不等式ax2+2x+3＞0对一切x∈R恒成立，解得a的取值范围，从而得出当命题p是假命题，即命题￢p是真命题时，实数a的取值范围．解析：因为命题￢p是真命题，所以命题p是假命题，而当命题p是真命题时，就是不等式ax2+2x+3＞0对一切x∈R恒成立，这时就有4120aa>⎧⎨∆=-<⎩，解得a＞13，因此当命题p是假命题，即命题￢p是真命题时，实数a的取值范围是a≤13．故答案：a≤1 3分析：本题主要考查了特称命题、全称命题，解决问题的关键是根据特称命题与全称命题关系求解对应参数即可.18. 已知命题p：∃n∈N，2n＞1000，则￢p为．答案：∀n∈N，2n≤1000解析：解答：由于特称命题的否定是全称命题，因而￢p：∀n∈N，2n≤1000．故答案为：∀n∈N，2n≤1000．分析：本题主要考查了全称命题，解决问题的关键是根据命题p是特称命题，所以特称命题的否定是全称命题．19. 下列命题是全称命题并且是真命题的是．①每个二次函数的图象都开口向上；②对任意非正数c，若a≤b+c，则a≤b；③存在一条直线与两个相交平面都垂直；④存在一个实数x0使不等式x02﹣3x0+6＜0成立．答案：②解析：解答：①含有全称量词“每个”，所以为全称命题．当二次函数的二次项系数小于时，二次函数的图象开口向下，所以①为假命题．②含有全称量词“任意”，所以为全称命题．∵c≤0，∴b+c≤b．∵a≤b+c，∴a≤b．所以②为真命题．③含有特称量词“存在一条”，所以不是为全称命题．所以③不满足条件．④含有特称量词“存在一个”，所以不是为全称命题．所以④不满足条件．故答案为：②．分析：本题主要考查了特称命题、全称命题，解决问题的关键是先确定各命题中是否含有全称量词，然后再判断真假．20. 已知命题p ：“∀x ∈[1,2]都有x 2≥a”．命题q ：“∃x 0∈R ，使得x 02＋2ax 0＋2－a ＝0成立”，若命题“p ∧q”是真命题，则实数a 的取值范围为____________答案：(－∞，－2]∪{1}解析：解答：若p 是真命题，即a≤(x 2)min ，x ∈[1,2]，所以a≤1；若q 是真命题，即x 02＋2ax 0＋2－a ＝0有解，则Δ＝4a 2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2.命题“p ∧q”是真命题，则p 是真命题，q 也是真命题，故有a≤－2或a ＝1.分析：本题主要考查了特称命题、全称命题，解决问题的关键是特称命题与全称命题的真假进行分析计算即可.三、解答题21. 设命题 2000:,20p x R x ax a ∃∈+-=；命题22:,42 1.q x R ax x a x ∀∈++≥-+.如果命题“p q ∨为真命题，“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围．答案：解：当命题p 为真时，Δ＝4a 2＋4a≥0得a≥0或a≤－1，当命题q 为真时，（a ＋2）x 2＋4x ＋a －1≥0恒成立，∴a ＋2＞0且16－4（a ＋2）（a －1）≤0，即a≥2.由题意得，命题p 和命题q 一真一假．当命题p 为真，命题q 为假时，得a≤－1∪0≤a ＜2当命题p 为假，命题q 为真时，得a ∈∅；∴实数a 的取值范围为（－∞，－1]∪[0,2）解析：分析：本题主要考查了特称命题、全称命题，解决问题的关键是由题意，命题p 与命题q 一真一假，化简命题p 与命题q 为真时实数a 的取值范围，从而求得．22. 已知命题p ：任意[1,2]x ∈，有20x a -≥，命题q ：存在0R x ∈，使得200(1)10x a x +-+<．若“p 或q 为真”，“p 且q 为假”，求实数a 的取值范围．答案：解：p 真，任意[1,2]x ∈，有20x a -≥，即2a x ≤在[1,2]x ∈恒成立，[]21,4x ∈ 则a ≤1 ；q 真，则△=（a-1）2-4＞0,即a ＞3或a ＜-1∵“p 或q ”为真,“p 且q ”为假,∴p, q 中必有一个为真,另一个为假 当p 真q 假时，有a 11a 3≤⎧⎨-≤≤⎩得-1≤a ≤1 ； 当p 假q 真时，有a 1a 3a 1⎧⎨-⎩＞＞或＜得a ＞3 ∴实数a 的取值范围为-1≤a ≤1或a ＞3解析： 分析：本题主要考查了特称命题、全称命题，解决问题的关键是：若“p 或q 为真”，“p 且q 为假”，则 p, q 中必有一个为真,另一个为假．先分别求出p, q 为真时，a 的取值范围：p 真，2min 1a x ≤=（），q 真，则△=（a-1）2-4＞0,即a ＞3或a ＜-1当p 真q 假时，有a 11a 3≤⎧⎨-≤≤⎩得-1≤a ≤1 ，当p 假q 真时，有a 1a 3a 1⎧⎨-⎩＞＞或＜得a ＞3∴实数a 的取值范围为-1≤a ≤1或a ＞323. 判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并写出它们的否定：（1）p ：对任意的x ∈R ，x 2+x+1=0都成立；答案：解：由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称命题；又由于“任意的”的否定为“存在一个”，因此，￢p ：存在一个x ∈R ，使x 2+x+1≠0成立，即“∃x ∈R ，使x 2+x+1≠0成立”； （2）p ：∃x ∈R ，x 2+2x+5＞0．答案：解：由于“∃x ∈R”表示存在一个实数x ，即命题中含有存在量词“存在一个”， 因而是存在性命题；又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，因此，￢p ：对任意一个x 都有x 2+2x+5≤0，即“∀x ∈R ，x 2+2x+5≤0”．解析： 分析：本题主要考查了特称命题、全称命题，解决问题的关键是利用全称命题和特称命题的定义分别判断，然后写出它们的否定．24. 命题p:“0],2,1[2≥-∈∀a x x ”，命题q:“022,0200=-++∈∃a ax x R x ”，若“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围。

第一章集合与函数概念1.5 全称量词与存在量词一、全称量词与存在量词全称量词存在量词量词所有的、任意一个存在一个、至少有一个符号∀∃命题含有的命题是全称量词命题含有的命题是存在量词命题命题形式“对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为【特别提醒】（1）在全称量词命题与存在量词命题中的“x，M与p(x)”表达的含义：元素x可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以表示几何图形，相应的集合M是这些元素的某一特定的范围.p(x)表示集合M的所有元素满足的性质.如“任意一个自然数都不小于0”，可以表示为“x∈N，x≥0”.（2）在存在量词命题中，量词不可以省略；在有些全称量词命题中，量词可以省略.二、全称量词命题、存在量词命题的否定三、全称量词命题、存在量词命题及其否定的关系1.全称量词命题的否定是命题.2.存在量词命题的否定是命题.【思考】“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题？请改写成相应命题的形式．【特别提醒】（1）一般命题的否定通常是保留条件否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；（2）含有一个量词的命题的否定，是在否定结论p(x)的同时，改变量词的属性，即全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词．一、全称量词 “∀x ∈M，p (x )” 存在量词 “∃x ∈M ，p (x )” 三、存在量词 全称量词提示：是存在量词命题，可改写为“存在x ∈R ，使ax2＋2x ＋1＝0”．帮—重点1．理解全称量词与存在量词的意义 2．命题的否定帮—难点1．命题的否定2．根据命题判断参数范围帮—易错1．没有量词的命题的判断及否定 2．全称量词命题与存在量词命题的混淆1．全称量词命题与存在量词命题的判断对于全称量词命题与存在量词命题的判断，关键看量词，对于没有量词的命题需要补全量词在进行判别.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题：(1)自然数的平方大于或等于零； (2)有的一次函数图象经过原点； (3)所有的二次函数的图象的开口都向上. 【解析】(1)全称量词命题.表示为∀n ∈N ，n 2≥0. (2)存在量词命题. 表示为∃一次函数，它的图象过原点. (3)全称量词命题.表示为∀二次函数，它的图象的开口都向上.【名师指点】全称量词命题或存在量词命题的判断例 1注意：全称量词命题可以省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略．【跟踪训练】下列命题中全称量词命题的个数为( ) ①平行四边形的对角线互相平分； ②梯形有两边平行；③存在一个菱形，它的四条边不相等． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C【解析】①②是全称量词命题，③是存在量词命题． 2．全称量词命题与存在量词命题的真假的判断全称量词命题与存在量词命题的真假判定的技巧 (1)全称量词命题的真假判定要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M 中的每个元素x 验证p (x )成立；但要判定全称量词命题是假命题，只需举出集合M 中的一个x ，使得p (x )不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)． (2)存在量词命题的真假判定要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M 中，找到一个x ，使p (x )成立即可；否则，这一存在量词命题就是假命题．判断下列命题的真假．(1)任意两个面积相等的三角形一定相似； (2)∃x ，y 为正实数，使x 2＋y 2＝0；(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x ，y )都对应一点P ； (4)∀x ∈N ，x 2>0.【解析】 (1)因为面积相等的三角形不一定相似．故它是假命题．(2)因为当x 2＋y 2＝0时，x ＝y ＝0，所以不存在x ，y 为正实数，使x 2＋y 2＝0，故它是假命题． (3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题． (4)因为0∈N,02＝0，所以命题“∀x ∈N ，x 2>0”是假命题．【跟踪训练】判断下列命题的真假．例 2(1)∃x ∈Z ，x 3<1；(2)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x ，y )都对应一点P ； (3)∀x ∈N ，x 2>0.【解析】(1)因为－1∈Z ，且(－1)3＝－1<1，所以“∃x ∈Z ，x 3<1”是真命题． (2)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题． (3)因为0∈N,02＝0，所以命题“∀x ∈N ，x 2>0”是假命题． 3．由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数的范围根据含量词命题的真假求参数的取值范围问题，一般先把命题的真假问题转化为集合间的关系，再转化为关于参数的不等式(组)求参数范围.已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且B ≠∅，若命题p ：“∀x ∈B ，x ∈A ”是真命题，求m 的取值范围。

2020-2021学年高中数学第一章常用逻辑用语1.4.1 全称量词1.4.2 存在量词1.4.3 含有一个量词的命题的否定课时跟踪训练新人教A版选修2-1年级：姓名：第一章常用逻辑用语[A组学业达标]1．下列命题中为全称命题的是( )A．过直线外一点有一条直线和已知直线平行B．矩形都有外接圆C．存在一个实数与它的相反数的和为0D．0没有倒数解析：命题“矩形都有外接圆”可改写为“每一个矩形都有外接圆”，是全称命题．故选B.答案：B2．下列命题中为特称命题的是( )A．所有的整数都是有理数B．三角形的内角和都是180°C．有些三角形是等腰三角形D．正方形都是菱形解析：A，B，D为全称命题，而C含有存在量词“有些”，故为特称命题．答案：C3．命题“∃x0∈R,2x0<12或x20>x0”的否定是( )A．∃x0∈R,2x0≥12或x20≤x0B．∀x∈R,2x≥12或x2≤xC．∀x∈R,2x≥12且x2≤xD．∃x0∈R,2x0≥12且x20≤x0解析：原命题为特称命题，其否定为全称命题，应选C.答案：C4．下列四个命题中的真命题为( )A．若sin A＝sin B，则A＝BB．∀x∈R，都有x2＋1>0C．若lg x2＝0，则x＝1D．∃x0∈Z，使1<4x0<3解析：A中，若sin A＝sin B，不一定有A＝B，故A为假命题，B显然是真命题；C中，若lg x2＝0，则x2＝1，解得x＝±1，故C为假命题；D中，解1<4x<3得14<x<34，故不存在这样的x∈Z，故D为假命题．答案：B5．命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是( ) A．a≥4B．a≤4C．a≥5 D．a≤5解析：当该命题是真命题时，只需a≥(x2)max，x∈[1,2]．因为y＝x2在[1,2]上的最大值是4，所以a≥4.因为a≥4⇒/ a≥5，a≥5⇒a≥4，故选C.答案：C6．下列命题中，是全称命题的是________；是特称命题的是________．(填序号)①正方形的四条边相等；②有两个角相等的三角形是等腰三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．解析：①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称命题；②是全称命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根不等于0”，是全称命题；④是特称命题．答案：①②③④7．命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋5<0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定是綈p ：____________，它是________命题(填“真”或“假”)．解析：∵x 2＋2x ＋5＝(x ＋1)2＋4≥0恒成立，∴命题p 是假命题． 答案：特称命题 假 ∀x ∈R ，x 2＋2x ＋5≥0 真8．若命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋(1－a )x 0＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意可知，Δ＝(1－a )2－4＝(a －3)(a ＋1)>0，解得a <－1或a >3. 答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞) 9．判断下列命题的真假，并说明理由． (1)∀x ∈R ，都有x 2－x ＋1>23；(2)∃x 0∈R 使sin x 0＋cos x 0＝2； (3)∀x ，y ∈N ，都有(x －y )∈N ； (4)∃x 0，y 0∈Z ，使2x 0＋y 0＝3.解析：(1)x 2－x ＋1>23⇔x 2－x ＋13>0，由于Δ＝1－4×13＝－13<0，∴不等式x 2－x ＋1>23的解集是R ，∴该命题是真命题．(2)∵sin x 0＋cos x 0＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋π4，∴－2≤sin x 0＋cos x 0≤2<2， ∴该命题是假命题．(3)当x ＝2，y ＝4时，x －y ＝－2∉N ，所以该命题是假命题． (4)当x 0＝0，y 0＝3时，2x 0＋y 0＝3，所以该命题是真命题．10．已知命题p ：∀a ∈(0，b ](b ∈R 且b >0)，函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x a ＋π3的周期不大于4π. (1)写出綈p ；(2)当綈p 是假命题时，求实数b 的最大值．解析：(1)綈p ：∃a 0∈(0，b ](b ∈R 且b >0)，函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x a 0＋π3的周期大于4π.(2)因为綈p 是假命题，所以p 是真命题，所以∀a ∈(0，b ]，2π1a≤4π恒成立，解得a ≤2，所以b ≤2，所以实数b 的最大值是2.[B 组 能力提升]11．已知命题p ：∀x ∈R,2x <3x ；命题q ：∃x 0∈R ，x 30＝1－x 20.则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．(綈p )∧q C ．p ∧(綈q )D ．(綈p )∧(綈q )解析：由20＝30知，p 为假命题；令h (x )＝x 3＋x 2－1，则h (0)＝－1<0，h (1)＝1>0，∴方程x 3＋x 2－1＝0在(0,1)内有解，∴q 为真命题，∴p ∧q ，p ∧(綈q )，(綈p )∧(綈q )均为假命题，(綈p )∧q 为真命题，故选B.答案：B12．命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若綈p 是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,4]B ．[0,4]C ．(－∞，0]∪[4，＋∞)D ．(－∞，0)∪(4，＋∞)解析：当a ＝0时，不等式恒成立； 当a ≠0时，要使不等式恒成立，则有⎩⎨⎧a >0，Δ≤0，即⎩⎨⎧a >0，a 2－4a ≤0，解得0<a ≤4.综上，0≤a ≤4，则命题p ：0≤a ≤4， 所以綈p ：a <0或a >4.。

1.4 全称量词与存在量词1.4.1 全称量词1.4.2 存在量词基础过关练题组一对全称命题、特称命题的理解1.下列命题中全称命题的个数是( )①任意一个自然数都是正整数;②所有的素数都是奇数;③有的等差数列也是等比数列;④三角形的内角和是180°.A.0B.1C.2D.32.下列命题不是“∃x∈R,x2>3”的另一种表述的是( )A.有一个x∈R,使得x2>3成立B.对有些x∈R,使得x2>3成立C.任选一个x∈R,使得x2>3成立D.至少有一个x∈R,使得x2>3成立3.“a∥α,则a平行于平面α内的任一直线”是( )A.全称命题B.特称命题C.不是命题D.真命题4.命题“有些负数满足不等式(1+x)(1-9x)>0”用“∃”或“∀”可表述为.5.用全称量词或存在量词表示下列语句:①不等式x 2+x+1>0恒成立;②当x 为有理数时,13x 2+12x+1也是有理数;③方程3x-2y=10有整数解.题组二 全称命题、特称命题的真假判定6.下列命题中,既是真命题又是全称命题的是() A.对任意实数a,b,都有a 2+b 2-2a-2b+2<0B.梯形的对角线不相等C.∃x 0∈R ,√x 02=x 0D.对数函数在定义域上是单调函数7.已知a>0,函数f(x)=ax2+bx+c.若x0满足关于x的方程2ax+b=0,则下列命题中为假命题的是( )A.存在x∈R, f(x)≤f(x0)B.存在x∈R, f(x)≥f(x0)C.任意x∈R, f(x)≤f(x0)D.任意x∈R, f(x)≥f(x0)8.下列命题为真命题的是( )A.∀x∈R,cos x<2B.∃x∈Z,log2(3x-1)<0C.∀x>0,3x>3D.∃x∈Q,方程√2x-2=0有解9.命题p:∃x0∈R,x02+2x0+5<0是(填“全称命题”或“特称命题”),它是命题(填“真”或“假”).10.下列命题:①存在x<0,使|x|>x;②对于一切x<0,都有|x|>x;③已知a n=2n,b n=3n,对于任意n∈N*,都有a n≠b n;④已知A={a|a=2n},B={b|b=3n},对于任意n∈N*,都有A∩B=⌀.其中,所有真命题的序号为.题组三根据命题的真假求参数的取值范围=m,则实数m的取值范围是.11.若∃x∈R,x+1x12.已知函数f(x)=x2+mx+1,若命题“∃x>0, f(x)<0”为真,则m的取值范围是.13.(2019湖北武汉部分市级示范性高中高三联考)已知命题p:∀x∈R,ax2+ax+1≥0,命题q:|2a-1|≤3.(1)若命题p是真命题,求实数a的取值范围;(2)若p∨q是真命题,p∧q是假命题,求实数a的取值范围.能力提升练一、选择题1.(2019福建莆田高二期中,★★☆)下列命题中的假命题是( )A.∀x∈R,2x-1>0B.∀x∈N*,(x-1)2>0C.∃x0∈R,ln x0<1D.∃x0∈R,tan x0=22.(★★☆)下列命题中的假命题是( )A.∃x0∈R,3x02-8x0+9=0B.∃x0∈(0,1),lg x0>ln x0C.∀x∈(0,+∞),(12)x>(13)xD.∀x∈R,x2-3x+4>03.(2018宁夏育才中学高二期末,★★☆)若命题“∀x∈R,kx2-kx-1<0”是真命题,则k的取值范围是( )A.-4≤k≤0B.-4≤k<0C.-4<k≤0D.-4<k<04.(★★★)若命题“存在x∈R,使x2+(a-1)x+1<0”是假命题,则实数a的取值范围是( )A.a>3或a<-1B.a≥3或a≤-1C.-1<a<3D.-1≤a≤3二、填空题5.(2019广东潮州高三第二次模拟,★★☆)已知a∈R,命题p:∀x∈[1,2],x2-a≥0,命题q:∃x∈R,x2+2ax+2-a=0,若命题p∧q为真命题,则实数a的取值范围是.6.(★★☆)已知函数f(x)=x2+m,g(x)=(12)x,若对任意x1∈[-1,3],存在x2∈[0,2],使f(x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是.7.(2020广东东莞高二期末,★★☆)已知命题“∀x∈[1,3],不等式x2-ax+4≥0”为真命题,则a的取值范围为.三、解答题8.(2019内蒙古赤峰高二期末,★★☆)设命题p:对任意x∈[0,1],不等式2x-2≥m2-3m恒成立,命题q:存在x∈[-1,1],使得不等式x2-x+m-1≤0成立.(1)若p为真命题,求实数m的取值范围;(2)若p∧q为假命题,p∨q为真命题,求实数m的取值范围.9.(★★★)已知a>1且a≠1,命题p:函数f(x)=log(2a-1)x在其定义域2上是减函数;命题q:函数g(x)=√x+|x-a|-2的定义域为R,如果p∨q 为真,试求a的取值范围.10.(★★★)设集合A={(x,y)|(x-4)2+y2=1},B={(x,y)|(x-t)2+(y-at+2)2=1},若命题“∃t0∈R,A∩B≠⌀”是真命题,求实数a的取值范围.答案全解全析基础过关练1.D 命题①②含有全称量词,而命题④可以叙述为“所有的三角形的内角和都是180°”,故有三个全称命题,命题③是特称命题.2.C 选项C 是全称命题,故错误.3.A 该命题是全称命题,且是假命题.4.答案 ∃x 0<0,使得(1+x 0)(1-9x 0)>05.解析 ①对任意实数x,不等式x 2+x+1>0恒成立.②对任意有理数x,13x 2+12x+1是有理数. ③存在一对整数x 0,y 0,使3x 0-2y 0=10成立.6.D A 是全称命题,且a 2+b 2-2a-2b+2=(a-1)2+(b-1)2≥0,故A 是假命题;B 中隐含量词“所有的”,是全称命题,但梯形中只有等腰梯形的对角线相等,故B 是假命题;C 是特称命题;D 是全称命题且是真命题.7.C f(x)=ax 2+bx+c=a (x +b 2a )2+4ac -b 24a (a>0), 由题意知2ax 0+b=0,∴x 0=-b 2a ,当x=x 0时,函数f(x)取得最小值,∴∀x∈R , f(x)≥f(x 0),从而A,B,D 为真命题,C 为假命题.8.A A 中,由于函数y=cos x 的最大值是1,所以A 是真命题;B中,log 2(3x-1)<0⇔0<3x-1<1⇔13<x<23,所以B 是假命题;C 中,当x=1时,31=3,所以C 是假命题;D 中,√2x-2=0⇔x=√2∉Q,所以D 是假命题.故选A.9.答案 特称命题;假解析 命题p:∃x 0∈R ,x 02+2x 0+5<0是特称命题.因为x 02+2x 0+5=(x 0+1)2+4>0恒成立,所以命题p为假命题.10.答案 ①②③解析 命题①②显然为真命题;③由于a n -b n =2n-3n=-n<0,所以∀n∈N *,都有a n <b n ,即a n ≠b n ,故为真命题;④已知A={a|a=2n},B={b|b=3n},如n=1,2,3时,A∩B={6},故为假命题.11.答案 (-∞,-2]∪[2,+∞)解析 依题意得,关于x 的方程x+1x =m 有实数解,设f(x)=x+1x , 由基本不等式,得当x>0时, f(x)≥2,当x<0时, f(x)≤-2,故f(x)的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞),故实数m 的取值范围是(-∞,-2]∪[2,+∞).12.答案 (-∞,-2)解析 易知函数f(x)=x 2+mx+1的图象过点(0,1),若命题“∃x>0, f(x)<0”为真,则函数f(x)=x 2+mx+1的图象的对称轴必在y 轴的右侧,且与x 轴有两个交点,所以Δ=m 2-4>0,且-m 2>0,即m<-2,所以m 的取值范围是(-∞,-2).13.解析 (1)命题p 是真命题时,ax 2+ax+1≥0在R 上恒成立,∴①当a=0时,有1≥0恒成立;②当a≠0时,有{a >0,Δ=a 2-4a ≤0,解得0<a≤4,∴a 的取值范围为[0,4].(2)∵p∨q 是真命题,p∧q 是假命题,∴p、q 一真一假,当q 为真时,-1≤a≤2,故①p 真q 假时,有{0≤a ≤4,a <-1或a >2,∴2<a≤4;②p 假q 真时,有{a <0或a >4,-1≤a ≤2,∴-1≤a<0.∴a 的取值范围为[-1,0)∪(2,4].能力提升练一、选择题1.B A.2x-1>0在x∈R 上恒成立,是真命题;B.当x=1时,(x-1)2=0,是假命题;C.当x 0=1时,ln x 0=0<1,是真命题;D.y=tan x 在[0,π2]上的值域为[0,+∞),所以∃x 0∈R ,tan x 0=2是真命题.2.A 选项A 中,Δ=64-4×3×9=-44,则方程3x 2-8x+9=0无实数根,故选A.3.C 当k=0时,有-1<0恒成立;当k≠0时,令y=kx 2-kx-1,∵y<0恒成立,∴抛物线y=kx 2-kx-1开口向下,且与x 轴没有公共点,∴k<0,且Δ=k 2+4k<0,解得-4<k<0.综上所述,k 的取值范围为-4<k≤0.4.D 因为命题是假命题,所以方程x 2+(a-1)x+1=0没有实数根或有两个相等实数根,所以Δ=(a -1)2-4≤0,解得-1≤a≤3.二、填空题5.答案 a≤-2或a=1解析 若命题p:“∀x∈[1,2],x 2-a≥0”为真命题,则1-a≥0,解得a≤1.若命题q:“∃x∈R ,x 2+2ax+2-a=0”为真命题,则Δ=4a 2-4(2-a)≥0,解得a≤-2或a≥1.因为p∧q 是真命题,所以a≤-2或a=1.6.答案 [14,+∞)解析 因为对任意x 1∈[-1,3],f(x 1)∈[m,9+m],所以f(x)的最小值为m.存在x 2∈[0,2],使f(x 1)≥g(x 2)成立,只要满足g(x)在[0,2]上的最小值小于或等于m 即可,而g(x)是单调递减函数,故g(x)的最小值为g(2)=(12)2=14,得m≥14.7.答案 (-∞,4]解析 令f(x)=x 2-ax+4,则其图象的对称轴为直线x=a 2, 要使∀x∈[1,3],不等式x 2-ax+4≥0恒成立,即∀x∈[1,3], f(x)min ≥0.当a 2≤1,即a≤2时, f(x)min =f(1)=12-a+4≥0,解得a≤2; 当1<a 2<3,即2<a<6时, f(x)min =f (a 2)=(a 2)2-a×a 2+4≥0,解得2<a≤4;当a 2≥3,即a≥6时, f(x)min =f(3)=32-3a+4≥0,无解. 综上可得a∈(-∞,4].三、解答题8.解析 对于p,∵2x -2≥m 2-3m 对任意x∈[0,1]恒成立,y=2x-2在[0,1]上的最小值为-2,∴m 2-3m≤-2,解得1≤m≤2.对于q,存在x∈[-1,1],使x 2-x+m-1≤0成立,所以y=x 2-x+m-1在[-1,1]上的最小值小于等于0,即-54+m≤0,∴m≤54. (1)若p 为真命题,则1≤m≤2.(2)若p∧q 为假命题,p ∨q 为真命题,则p,q 一真一假.若p 为真命题,q 为假命题,则{1≤m ≤2,m >54, ∴54<m≤2; 若p 为假命题,q 为真命题,则{m <1或m >2,m ≤54,∴m<1. 综上,m<1或54<m≤2. 9.解析 若p 为真,则0<2a-1<1,得12<a<1.若q 为真,则x+|x-a|-2≥0对任意x∈R 恒成立.记h(x)=x+|x-a|-2,则h(x)={2x -a -2,x ≥a ,a -2,x <a ,所以h(x)的最小值为a-2,即q 为真时,a-2≥0,即a≥2.由p∨q 为真,得12<a<1或a≥2,故a 的取值范围为(12,1)∪[2,+∞). 10.解析 易知A={(x,y)|(x-4)2+y 2=1}表示平面直角坐标系中以M(4,0)为圆心,1为半径的圆,B={(x,y)|(x-t)2+(y-at+2)2=1}表示以N(t,at-2)为圆心,1为半径的圆,且其圆心N 在直线ax-y-2=0上,如图.若命题“∃t0∈R,A∩B≠⌀”是真命题,即两圆有公共点,则圆心M(4,0)到直线ax-y-2=0的距离不大于2,即√a2+1≤2,解得0≤a≤43.所以实数a的取值范围是0≤a≤43.。

《2020-2021学年高一数学同步讲练测（新教材人教A版必修第一册）》专题05全称量词与存在量词（讲）本节知识点与题型快速预览知识点课前预习与精讲精析1．全称量词与全称命题(1)短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示,含有全称量词的命题,叫做全称命题．(2)全称命题的表述形式：对M 中任意一个x ,有p (x )成立,可简记为：∀x ∈M ,p (x )．(3)常用的全称量词还有“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”,表示整体或全部的含义．3．存在量词与特称命题(1)短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“∃”表示,含有存在量词的命题,叫做特称命题．(2)特称命题的表述形式：存在M 中的一个x 0,使p (x 0)成立,可简记为,∃x 0∈M ,p (x 0)．(3)存在量词：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”,表示个别或一部分的含义．4．命题的否定(1)全称命题p ：∀x ∈M ,p (x ),它的否定¬p ：∃x 0∈M ,¬p (x 0),全称命题的否定是特称命题．(2)特称命题p ：∃x 0∈M ,p (x 0),它的否定¬p ：∀x ∈M ,¬p (x ),特称命题的否定是全称命题．5．常见的命题的否定形式有：原语句是都是>至少有一个至多有一个对任意x ∈A使p (x )真否定形式不是不都是≤一个也没有至少有两个存在x ∈A使p (x )假1．命题“对任意,都有”的否定是（ ）x ∈R 221x x +<A ．对任意,都有B ．对任意,都有x ∈R 221x x +>x ∈R 221x x +≥C ．存在,使得D ．存在,使得x ∈R 221x x +>x ∈R 221x x +≥【参考答案】D【解析】解：命题“对任意,都有”的否定是存在,使得.x ∈R 221x x +<x ∈R 221x x +≥故选：D.2．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是 （ ）A ．,B ．,x R ∀∈0x >x R ∃∈0x >C ．,D ．,x R ∀∈0x ≤x R ∃∈0x ≤【参考答案】C【解析】命题“有些实数的绝对值是正数”的否定应该是“所有实数的绝对值都不是正数”,所以正确选项为C.3．下列命题含有全称量词的是（ )A ．某些函数图象不过原点B ．实数的平方为正数C ．方程有实数解D ．素数中只有一个偶数2250x x ++=【参考答案】B【解析】“某些函数图象不过原点”即“存在函数,其图象不过原点”；“方程有实数解”即“存在实数,2250x x ++=x 使”；“素数中只有一个偶数”即“存在一个素数,它是偶数”,这三个命题都是存在量词命题,“实2250x x ++=数的平方为正数”即“所有的实数,它的平方为正数”,是全称量词命题,其省略了全称量词“所有的”,所以正确选项为B.4．下列四个命题中,既是特称命题又是真命题的是（）A ．斜三角形的内角是锐角或钝角B ．至少有一个实数,使x 30x >C ．任一无理数的平方必是无理数D ．存在一个负数,使x 12x >【参考答案】B【解析】选项A,C 中的命题是全称命题,选项D 中的命题是特称命题,但是假命题．只有B 既是特称命题又是真命题,选B.5．若命题“使”是假命题,则实数的取值范围为( )x R ∃∈，21()10x a x <＋－＋a A ．B ．13a ≤≤13a ≤≤－C ．D ．33a ≤≤－11a ≤≤－【参考答案】B【解析】由题得,原命题的否命题是“,使”,x R ∀∈21()10x a x ≥＋－＋即,解得．选B.2(1)40a ∆=--≤13a ≤≤－典型题型与解题方法重要考点一：全称命题与特称命题的判定【典型例题】判断下列命题是全称命题还是特称命题,并判断真假．(1)对所有的实数a,b,关于x 的方程ax ＋b ＝0恰有唯一解．(2)存在实数x,使得 .213234x x =-+【参考答案】（1）假命题； （2）假命题.【解析】(1)该命题是全称命题．当a ＝0,b≠0时方程无解,故该命题为假命题．(2)该命题是特称命题．∵x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2≥2,∴.21132324x x ≤<-+故该命题是假命题．【题型强化】把下列定理表示的命题写成含有量词的命题:(1)勾股定理;(2)三角形内角和定理.【参考答案】(1)任意一个直角三角形,它的斜边的平方都等于两直角边的平方和;(2)所有三角形的内角和都是180°.【解析】(1)任意一个直角三角形,它的斜边的平方都等于两直角边的平方和；(2)所有三角形的内角和都是180°.【收官验收】用符号“”与“”表示下列含有量词的命题,并判断真假：∀∃(1)任意实数的平方大于或等于0；(2)对任意实数a ,二次函数的图象关于y 轴对称；2y x a =+(3)存在整数x ,y ,使得；243x y +=(4)存在一个无理数,它的立方是有理数.【参考答案】(1).真命题；2,0x R x ∀∈…(2),二次函数的图象关于y 轴对称,真命题；a ∀∈R 2y x a =+(3)假命题；,,243x Z y Z x y ∃∈∈+=(4),真命题.3,R x Q x Q ∃∈∈ð【解析】(1),是真命题；2,0x R x ∀∈≥(2),二次函数的图象关于y 轴对称,真命题,；a ∀∈R 2y x a =+(3)假命题,因为必为偶数；,,243x Z y Z x y ∃∈∈+=242(2)x y x y +=+(4).真命题,例如.3,R x Q x Q ∃∈∈ð32x x Q ==∈【名师点睛】1.判断一个语句是全称命题还是特称命题的步骤：(1)首先判定语句是否为命题,若不是命题,就当然不是全称命题或特称命题．(2)若是命题,再分析命题中所含的量词,含有全称量词的命题是全称命题,含有存在量词的命题是特称命题．2．当命题中不含量词时,要注意理解命题含义的实质．3．一个全称(或特称)命题往往有多种不同的表述方法,有时可能会省略全称(存在)量词,应结合具体问题多加体会．重要考点二：全称命题与特称命题的真假判断【典型例题】写出下列命题的否定,并判断所得命题的真假：（1）任意实数都存在倒数；（2）存在一个平行四边形,它的对角线不相等；（3）是三角形的内角和是.{|x x x ∀∈},x 180︒【参考答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.【解析】（1）存在一个实数不存在倒数,例如:实数,故此命题为真命题；（2）所有平行四边形的对角线相等,例如：边长为1,一个内角为的菱形,其对角线分别为,故此命60 题为假命题；（3）是三角形的内角和不是,由三角形的内角和定理知,任意三角形内角和均为,故{|x x x ∃∈},x 180︒180︒此命题为假命题.【题型强化】判断下列存在量词命题的真假：（1）存在一个四边形,它的两条对角线互相垂直；（2）至少有一个整数n,使得为奇数；（3）是无理数},是无理数.2n n +{|x y y ∃∈2x 【参考答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）真命题【解析】（1）真命题,因为正方形的两条对角线互相垂直；（2）假命题,因为若为整数,则必为偶数；n (1)n n +（3）真命题,因为是无理数,是无理数.π2π【收官验收】判断下列全称量词命题的真假：（1）每个四边形的内角和都是360°；（2）任何实数都有算术平方根；（3）是无理数},是无理数.{|x y y ∀∈3x 【参考答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题【解析】（1）真命题.连接一条对角线,将一个四边形分成两个三角形,而一个三角形的内角和180°,所以四边形的内角和都是360°是真命题；（2）假命题.因为负数没有算术平方根,所以任何实数都有算术平方根是假命题；（3）假命题,因为是无理数,是有理数,x =3x 2=所以是无理数},是无理数是假命题.{|x y y ∀∈3x 【名师点睛】1.全称命题的真假判断要判定一个全称命题是真命题,必须对限定集合M 中的每个元素x 验证p (x )成立；但要判定全称命题是假命题,只要能举出集合M 中的一个x ＝x 0,使得p (x 0)不成立即可．2．特称命题的真假判断要判定一个特称命题是真命题,只要在限定集合M 中,找到一个x ＝x 0,使p (x 0)成立即可；否则,这一特称命题就是假命题．重要考点三：利用全称命题和特称命题的真假求参数范围【典型例题】若命题“”是真命题,则实数a 的取值范围是（ ）.2,10x R x ax ∃∈-+≤A ．B ．2{|}2a a -≤≤2{2}|a a a ≤-≥或C ．D ．2{|2}a a -<<2{}2|a a a <->或【参考答案】B【解析】命题“”是真命题,则需满足,解得或.2,10x R x ax ∃∈-+≤240a ∆=-≥2a ≥2a ≤-故选：B .【题型强化】若“R ,”是真命题,则实数的取值范围是____．x ∃∈220x x a +-<a 【参考答案】{|1}a a >-【解析】若“∃x ∈R,x 2+2x ﹣a ＜0”是真命题,则△＞0,即4+4a ＞0,解得a ＞﹣1．故参考答案为{}1a a -【收官验收】已知命题,,,.若p 与q 均为假命题,求实:p x R ∀∈2210ax x ++≠:q x R ∃∈210ax ax ++…数a 的取值范围.【参考答案】[0,1]【解析】,,:p x R ∀∈ 2210ax x ++≠,,:q x R ∃∈210ax ax ++…,,:p x R ∴⌝∃∈2210ax x ++=,.:q x R ⌝∀∈210ax ax ++>因为p 与q 均为假命题,所以与都是真命题.p ⌝q ⌝由为真命题得或,故.p ⌝0a =0,440,a a ≠⎧⎨-≥⎩1a ≤由为真命题得或,故q ⌝0a =20,40,a a a >⎧⎨-<⎩04a ≤<.解得.1,04,a a ⎧∴⎨<⎩……01a ≤≤故实数a 的取值范围是.[0,1]重要考点四：全称命题、特称命题的否定【典型例题】命题“,”的否定是（ ）0x ∀>20x >A ．B ．20,0x x ∀>≤20,0x x ∃>≤C ．D ．20,0x x ∀≤≤20,0x x ∃≤≤【参考答案】B【解析】命题“,”的否定是: ,0x ∀>20x >20,0x x ∃>≤故选B【题型强化】命题：,的否定是______．x R ∃∈210x x -+=【参考答案】2,10x R x x ∀∈-+≠【解析】根据特称命题的否定为全称命题,可知命题“,”的否定是“”.x R ∃∈210x x -+=【收官验收】写出下列命题的否定：（1）分数是有理数；（2）三角形的内角和是180°.【参考答案】（1）存在一个分数不是有理数；（2）有些三角形的内角和不是180°.【解析】（1）原命题省略了全称量词“所有",所以该命题的否定：存在一个分数不是有理数.（2）原命题省略了全称量词“任何一个”,所以该命题的否定：有些三角形的内角和不是180°.【名师点睛】1.一般地,写含有一个量词的命题的否定,首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题,并找到量词及相应结论,然后把命题中的全称量词改成存在量词,存在量词改成全称量词,同时否定结论．2．对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,改写成含量词的完整形式,再依据规则来写出命题的否定．重要考点五：利用全称命题与特称命题求参数的取值范围【典型例题】已知命题p ：“至少存在一个实数,使不等式成立”的否定为假命[1,2]x ∈2220x ax a ++->题,试求实数a 的取值范围．【参考答案】(3,)-+∞【解析】由题意知,命题p 为真命题,即在上有解,2220x ax a ++->[1,2]令,所以,又因为最大值在或时取到,222y x a a x ++=-max 0y >1x =2x =∴只需或时,即可,1x =2x =0y >∴或,解得或,1220a a ++->4420a a ++->3a >-2a >-即．3a >-故实数a 的取值范围为．(3,)-+∞【题型强化】若命题“,一次函数的图象在轴上方”为真命题,求实数的取值范围．12x ∀≤≤y x m =+x m 【参考答案】{}1m m >-【解析】当时,．12x ≤≤12m x m m +≤+≤+因为一次函数的图象在轴上方,所以,即,y x m =+x 10m +>1m >-所以实数的取值范围是．m {}1m m >-故得解.【收官验收】已知命题存在实数,使成立.:p x ∈R 210x ax -+≤（1）若命题P 为真命题,求实数a 的取值范围；11（2）命题任意实数,使恒成立.如果p ,q 都是假命题,求实数a 的取值范围.:q []1,2x ∈2210x ax -+≤【参考答案】（1）；（2）.(][),22,-∞-+∞ 52,4⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】解：（1）存在实数,使成立或,:p x ∈R 210x ax -+≤2402a a ≥⇔=-⇔≤∆-2a ≥实数a 的取值范围为；∴(][),22,-∞-+∞ （2）任意实数,使恒成立,,,,:q []1,2x ∈12a x x ≥+[]1,2x ∈ 1522x x ∴≤+≤55224a a ≥∴⇒≥由题p ,q 都是假命题,那它们的补集取交集,实数a 的取值范围.()552,2,2,44⎛⎫⎛⎫--∞=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴52,4⎛⎫- ⎪⎝⎭【名师点睛】(1)利用全称命题、特称命题求参数的取值范围或值是一类综合性较强、难度较大的问题．主要考查两种命题的定义及其否定.(2)全称命题为真,意味着对限定集合中的每一个元素都具有某种性质,使所给语句为真．因此,当给出限定集合中的任一个特殊的元素时,自然应导出“这个特殊元素具有这个性质”(这类似于“代入”思想)．知识改变命运。