北师大版高中数学必修第一册同步培优第一章预备知识第3节不等式 基本不等式 第2课时基本不等式的应用

第2课时基本不等式的综合应用学习目标核心素养1.会用基本不等式求函数的最大(小）值问题．（重点）2．能利用基本不等式解决实际应用问题．(难点)1．通过基本不等式求函数最值的应用，提升数学运算素养．2．借助基本不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养．已知x、y都是正数，(1)若x＋y＝s(和为定值），则当x＝y时，积xy取得最大值错误!；（2）若xy＝p（积为定值)，则当x＝y时，x＋y取得最小值2错误!。

上述命题可归纳为：和定积最大，积定和最小．思考：(1）两个非负数的积为定值，它们的和一定可以用基本不等式求最小值吗？（2)两个非负数的和为定值,它们的积一定可以用基本不等式求最大值吗？提示:(1)不一定，例如a2＋2与错误!,它们的积为定值,但等号取不到，因此不能用基本不等式求最小值．(2）不一定，例如1＋a2与1－a2，它们的和为定值，但等号取不到，因此不能用基本不等式求最大值．1．若a＞1，则a＋1a－1的最小值是（）A．2B．a C．错误!D．3D［∵a＞1,∴a－1＞0，∴a＋错误!＝a－1＋错误!＋1≥2 错误!＋1＝3.当且仅当a－1＝错误!，即a＝2时，等号成立．] 2．设x＞0，则y＝3－3x－错误!的最大值是()A．3 B．－3错误!C．3－2错误!D．－1C［∵x＞0，∴y＝3－错误!≤3－2错误!＝3－2错误!。

当且仅当3x＝错误!，且x＞0,即x＝33时，等号成立．］3．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比,如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．5[依题意得y1＝错误!,y2＝错误!x为仓库与车站的距离，∴y1＋y2＝错误!＋错误!≥2错误!＝8,当且仅当x＝5时取等号，所以仓库应建在离车站5千米处．]4．当x<32时，求函数y＝x＋错误!的最大值．[解]y＝错误!（2x－3)＋错误!＋错误!＝－错误!＋错误!，∵当x〈错误!时，3－2x>0，∴3－2x2＋错误!≥2错误!＝4，当且仅当错误!＝错误!，即x＝－错误!时取等号．于是y≤－4＋错误!＝－错误!，故函数有最大值－错误!。

第一章预备知识第3节不等式3.2基本不等式（一）本节之前，学生已经可以解决一些常见函数的最值和“作差法”证明不等式等问题，但对于一些复杂函数（如分式类型的函数）、具有实际背景的函数模型的最值问题以及一些不等式的证明等问题，还需要用到基本不等式（均值不等式），基本不等式是高中阶段不等式证明的重要工具，也是求解函数最值问题的重要方法之一。

(1)知识目标：熟练掌握基本不等式（均值不等式）的内容、不等式成立的条件和等号成立的条件；灵活运用基本不等式进行不等式的证明和函数求最值。

(2)核心素养目标：通过基本不等式的几何证明，让学生掌握“数形结合”这一重要数学数学方法，通过基本不等式的应用，提高学生数学运算能力和数学建模能力。

（1）基本不等式（均值不等式）的内容、字母的范围以及等号成立的条件；（2）利用基本不等式进行不等式的证明和函数求最值。

多媒体课件一、复习引入上一节课，教材26页练习题第2题，如图得到一个不等式：a 2+b22≥ab，当a=b时，取“=”。

思考讨论：如图，是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由四个直角三角形拼合而成，正方形的边长为直角三角形的斜边长.直角三角形两条直角边为a,b，由面积得到不等式a2+b2≥2ab，当a=b时，取“=”。

试证明不等式：x 2+y22≥xy，当x=y时，取“=”。

提示：作差法证明二、新知识在上述不等式中，取x=√a,y=√b，得a+b2≥√ab，当a=b时，取“=”。

基本不等式：两个实数a,b，a≥0,b≥0，则：a+b2≥√ab，当且仅当a=b时等号成立.注意：①a+b2称为实数a,b的算数平均数，√ab称为实数a,b的几何平均数，上述基本不等式又叫“均值不等式”，即“两个非负实数的算数平均数大于或等于几何平均数”；②务必注意均值不等式“a+b2≥√ab”中的字母为非负数，等号成立的条件为a=b；③均值不等式的各种形式：a+b2≥√ab、a+b≥2ab、a2+b22≥ab、a2+b2≥2ab，特别还有(a+b2)2≥ab 、(a+b)2≥4ab等等；④均值不等式的另一个几何解释：如图：半圆上一点D，DC垂直于直径AB于C由初中几何知识，OD≥DC即a+b2≥√ab.例4.已知a>0,b>0,c>0，求证：a+b+c≥√ab+√bc+√ac.证明：a>0,b>0,c>0由均值不等式a+b2≥√ab，b+c2≥√bc，a+c2≥√ac三式相加，得a+b+c≥√ab+√bc+√ac 思考讨论(综合练习)：(1) 已知a>0,b>0,c>0，求证：bca +acb+abc≥a+b+c；(2) 已知正实数x,y，且x+y=1，求1x +1y的最小值；(3) 已知x>−1，求函数 y=x+1x+1的最小值；(4) 若0<x<2，求u=x(2−x)的最大值.提示：(1) a>0,b>0,c>0由均值不等式,bc a +acb+abc=12(bca+acb)+12(bca+abc)+12(acb+abc)≥12·2√bca·acb+12·2√bca·abc+12·2√acb·abca b=a +b +c得bc a+ac b+ab c≥a +b +c(2) x >0,y >0，由x +y =1和均值不等式，1x +1y =(x +y)(1x +1y )=2+y x +x y ≥2+2√y x ·xy=4 x +y =1 当yx=xy，即x =y =12时，1x+1y的最小值为4.(3)由x >−1，即x +1>0，所以y =x +1x+1=(x +1)+1x+1−1≥2√(x +1)·1x+1−1=1当(x +1)=1x+1即x =0时，函数y =x +1x+1取得最小值1. (4)由0<x <2，则 2−x >0，所以u =x (2−x )≤(x+(2−x )2)2=1当x =2−x 即x =1时，u =x(2−x)的最大值为1. （该题也可以直接用二次函数的知识求解）注意：①在用均值不等式时，务必注意不等式的条件，即a+b 2≥√ab ，当a >0,b >0才成立；如综合练习（3）题：函数y =x +1x+1，如果去掉条件“x >−1”，解答就要分情况 当x >−1时，x +1>0，则y =x +1x+1=(x +1)+1x+1−1≥2√(x +1)·1x+1−1=1当x <−1时，−(x +1)>0，则y =x +1x+1=−[−(x +1)+1−(x+1)]−1≤−2√[−(x +1)]·1−(x+1)−1=−3 即函数y =x +1x+1，在x >−1时函数有最小值1，在x <−1时函数有最大值−3。

第一章 §3 3.2 第1课时A 组·素养自测一、选择题1．下列不等式中正确的是( D ) A ．a ＋4a≥4B ．a 2＋b 2≥4ab C ．ab ≥a ＋b2D ．x 2＋3x2≥2 3[解析] a ＜0,则a ＋4a≥4不成立,故A 错；a ＝1,b ＝1,a 2＋b 2＜4ab ,故B 错；a ＝4,b ＝16,则ab ＜a ＋b2,故C 错；由基本不等式可知D 项正确．2．不等式(x －2y )＋1x －2y≥2成立的条件为( B ) A ．x ≥2y ,当且仅当x －2y ＝1时取等号 B ．x ＞2y ,当且仅当x －2y ＝1时取等号 C ．x ≤2y ,当且仅当x －2y ＝1时取等号 D ．x ＜2y ,当且仅当x －2y ＝1时取等号[解析] 因为不等式成立的前提条件是各项均为正,所以x －2y ＞0,即x ＞2y ,且等号成立时(x －2y )2＝1,即x －2y ＝1,故选B ．3．已知正数a ,b 满足ab ＝10,则a ＋b 的最小值是( D ) A ．10 B ．25 C ．5D ．210[解析] a ＋b ≥2ab ＝210,等号在a ＝b ＝10时成立,故选D ． 4．已知0＜x ＜1,则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( B ) A ．13 B ．12C ．34D ．23[解析] 由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋(3－3x )22＝13×94＝34,当且仅当3x ＝3－3x ,即x ＝12时取等号．5．设0＜a ＜b ,且a ＋b ＝1,在下列四个数中最大的是( B )A ．12B ．bC ．2abD ．a 2＋b 2[解析] ∵ab ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22,∴ab ＜14,∴2ab ＜12．∵a 2＋b 22＞a ＋b2＞0,a ＋b ＝1,∴a 2＋b 22＞12,∴a 2＋b 2＞12． ∵b －(a 2＋b 2)＝(b －b 2)－a 2＝b (1－b )－a 2＝ab －a 2＝a (b －a )＞0,∴b ＞a 2＋b 2,∴b 最大． 6．已知a ＞0,b ＞0,A ＝a ＋b2,B ＝ab ,C ＝2aba ＋b,则A ,B ,C 的大小关系为( D ) A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A[解析] 由基本不等式可知,A ≥B ,2ab a ＋b ≤2ab2ab＝ab ,所以B ≥C ,当a ＝b 时等号成立．故选D ．二、填空题 7．若a ＜1,则a ＋1a －1与－1的大小关系是__a ＋1a －1≤－1__． [解析] 因为a ＜1,即a －1＜0, 所以－⎝⎛⎭⎪⎫a －1＋1a －1＝(1－a )＋11－a≥2(1－a )·11－a ＝2(当且仅当1－a ＝11－a,即a ＝0时取等号)．即a ＋1a －1≤－1．8．设x ＞0,则x 2＋x ＋3x ＋1的最小值为．[解析] 由x ＞0,可得x ＋1＞1．令t ＝x ＋1(t ＞1),则x ＝t －1,则x 2＋x ＋3x ＋1＝(t －1)2＋t －1＋3t ＝t ＋3t－1≥2t ·3t－1＝23－1,当且仅当t ＝3,即x ＝3－1时,等号成立．三、解答题9．当x 取什么值时,x 2＋1x2取得最小值？最小值是多少？[解析] x 2＋1x2≥2x 2·1x 2＝2,当且仅当x 2＝1x2,即x ＝±1时等号成立．∴x ＝1或－1时,x 2＋1x2取得最小值,最小值为2．10．已知x ,y 都是正数,且x ≠y ,求证：(1)x y ＋y x＞2； (2)2xyx ＋y＜xy ． [证明] (1)∵x ＞0,y ＞0,∴x y ＞0,y x＞0, ∴x y ＋y x ≥2x y ·y x ＝2,∴x y ＋yx ≥2． 由于当且仅当x y ＝y x,即x ＝y 时取“＝”,但x ≠y ,因此不能取“＝”． ∴x y ＋y x＞2．(2)∵x ＞0,y ＞0,x ≠y ,∴x ＋y ＞2xy ,∴2xy x ＋y ＜1,∴2xy ·xyx ＋y ＜xy ,∴2xyx ＋y＜xy ． B 组·素养提升一、选择题1．若正数x ,y 满足x ＋3y ＝5xy ,当3x ＋4y 取得最小值时,x ＋2y 的值为( B ) A ．245B ．2C ．285D ．5[解析] ∵x ＋3y ＝5xy ,x ＞0,y ＞0,∴15y ＋35x ＝1,∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝135＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋2·3x 5y ·12y5x＝5, 当且仅当3x 5y ＝12y5x,即x ＝2y ＝1时取等号,∴当3x ＋4y 取得最小值时,x ＝2y ＝1,∴x ＋2y 的值为2,故选B ． 2．若正数x ,y 满足x 2＋3xy －1＝0,则x ＋y 的最小值是( B ) A ．23 B ．223C ．33D ．233[解析] 由x 2＋3xy －1＝0可得y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x ．因为x ＞0,所以x ＋y ＝2x 3＋13x≥22x 3·13x＝229＝223(当且仅当2x 3＝13x ,即x ＝22时,等号成立)．故x ＋y 的最小值为223．3．(多选题)设a ,b ∈R ,且a ≠b ,a ＋b ＝2,则必有( ABC ) A ．ab ＜1 B ．1＜a 2＋b 22C ．ab ＜a 2＋b 22D ．a 2＋b 22＜ab[解析] ∵ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22,a ≠b ,∴ab ＜1,又∵a 2＋b 22＞a ＋b2,a ＋b ＝2,∴a 2＋b 22＞1,∴ab ＜1＜a 2＋b 22．4．(多选题)下列结论正确的是( AD ) A ．当x ＞0时,x ＋1x≥2B ．当x ＞2时,x ＋1x的最小值是2C ．当x ＜54时,y ＝4x －2＋14x －5的最小值为5D ．当x ＞0,y ＞0时,x y ＋y x≥2[解析] 在A 中,当x ＞0时,x ＞0,x ＋1x≥2,当且仅当x ＝1时取等号,结论成立；在B 中,当x ＞2时,x ＋1x≥2x ·1x＝2,当且仅当x ＝1时取等号,但x ＞2取不到1,因此x ＋1x 的最小值不是2,结论错误；在C 中,因为x ＜54,所以5－4x ＞0,则y ＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2×(5－4x )·15－4x ＋3＝1,当且仅当5－4x ＝15－4x,即x ＝1时取等号,结论错误；显然D 正确,故选AD ．二、填空题5．当x ＞0时,若2x ＋ax(a ＞0)在x ＝3时取得最小值,则a ＝__18__．[解析] ∵a ＞0,且2x ＋a x≥22x ·a x ＝22a ,当且仅当2x ＝a x ,即x ＝2a 2时,2x ＋a x取得最小值,∴2a2＝3,解得a ＝18．6．已知3a ＋2b ＝1,a ＞0,b ＞0,则2a ＋1b的最小值为．[解析] ∵3a ＋2b ＝1,∴2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b (3a ＋2b )＝8＋4b a ＋3ab≥8＋212＝8＋43,当且仅当a ＝3－36,b ＝3－14时取到最小值．三、解答题7．设a ,b ,c 均为正数,且a ＋b ＋c ＝1．证明： (1)ab ＋bc ＋ac ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1．[解析] 证明：(1)由a 2＋b 2≥2ab ,b 2＋c 2≥2bc ,c 2＋a 2≥2ca , 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ． 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1,即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1,所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1,即ab ＋bc ＋ca ≤13．(2)因为a 2b ＋b ≥2a ,b 2c ＋c ≥2b ,c 2a＋a ≥2c ,故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )(当且仅当a ＝b ＝c 时取等号), 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c ． 又a ＋b ＋c ＝1,所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1．8．已知实数a ,b 满足a ＞0,b ＞0,a ＋b ＝2,且a 2a ＋1＋b 2b ＋1≥m 恒成立,求实数m 的最大值．[解析] ∵a ＞0,b ＞0,a ＋b ＝2, 令a ＋1＝p ,b ＋1＝q ,则p ＞1,q ＞1, ∴a ＝p －1,b ＝q －1,p ＋q ＝4, ∴a 2a ＋1＋b 2b ＋1＝(p －1)2p＋(q －1)2q＝p ＋q －4＋1p ＋1q ＝4pq≥4⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋q 22＝1,∴m ≤1,所以实数m 的最大值为1．。

第一章预备知识1 集合 (1)1、集合的含义 (1)2、集合的表示 (4)3、集合的基本关系 (9)4、交集与并集 (12)5、全集与补集 (16)2 常用逻辑用语 (19)1、必要条件与充分条件 (19)2、全称量词与存在量词 (23)3不等式 (27)1、不等式的性质 (27)2、基本不等式 (32)4一元二次函数与一元二次不等式 (36)1、一元二次函数 (36)2、一元二次不等式及其解法 (43)3、一元二次不等式的应用 (47)1 集合1、集合的含义知识点1 元素与集合的相关概念1．集合：把指定的某些对象的全体称为集合，通常用大写英文字母A，B，C，…表示．2．元素：集合中的每个对象叫作这个集合的元素，通常用小写英文字母a，b，c，…表示．3．集合中元素的性质：一个集合中的任何两个元素都不相同，也就是说，集合中的元素没有重复，集合中元素的特性：确定性，互异性，无序性．知识点2 元素与集合的关系1．属于：如果元素a在集合A中，就说元素a属于集合A，记作a∈A.2．不属于：如果元素a不在集合A中，就说元素a不属于集合A，记作a∉A.元素与集合之间有第三种关系吗？[提示]没有，对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果．知识点3 常见的数集及符号表示数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集正实数集符号N N＋或N*Z Q R R＋N与N＋(N*)有何区别？[提示]N＋(N*)是所有正整数组成的集合，而N是由0和所有的正整数组成的集合，所以N比N＋(N*)多一个元素0.疑难解惑类型1 集合的概念【例1】下列给出的对象中，能构成集合的是( )①小于0的所有实数；②与0非常接近的实数；③中国著名的高等院校；④中国双一流的高等院校A．①③B．②④C．①④D．③④C[“非常接近”“著名”等词所描述的对象没有确定性，故选C.]判断所描述的对象构成集合的标准判断所描述的对象能否构成集合，关键看所描述的对象是否具有确定性，如果具有确定性，就可以组成集合；否则，就不能组成集合．在集合元素的三个特性中，元素的确定性是其本质属性．类型2 元素与集合的关系【例2】(1)下列所给关系正确的个数是( )①π∈R；②2∉Q；③0∈N*；④|－5|∉N*.A．1 B．2C．3 D．4(2)已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为( )A．2 B．2或4C．4 D．0(1)B(2)B[(1)π是实数，2是无理数，0不是正整数；|－5|＝5,5是正整数，则①②正确，故选B.(2)由题知，a＝2∈A,6－a＝4∈A，∴a＝2或者a＝4∈A,6－a＝2∈A，∴a ＝4，综上知，a＝2,4.故选B.]1．判断元素与集合关系的2种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．2．已知元素与集合的关系求参数的思路当a∈A时，则a一定等于集合A中的某个元素．反之，当a∉A时，结论恰恰相反．利用上述结论建立方程(组)或不等式(组)求解参数即可，注意根据集合中元素的互异性对求得的参数进行检验．类型3 集合中元素的特性及应用【例3】已知集合A含有两个元素a和a2，则实数a的取值范围是________．a≠0且a≠1[因为A中有两个元素a和a2，所以a≠a2，解得a≠0且a≠1.]本例若加上条件“1∈A”，其他条件不变，求实数a的值．[解]若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.当a＝1时，集合A有重复元素，不符合元素的互异性，∴a≠1；当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1符合元素的互异性．∴a＝－1.根据集合中元素的特性求解字母取值(范围)的3个步骤0或1 [∵3∈A ，∴⎩⎨⎧a ＋3＝32a ＋1≠3或⎩⎨⎧a ＋3≠3，2a ＋1＝3，解得：a ＝0或a ＝1.]2、集合的表示知识点1 列举法把集合中的元素一一列举出来写在花括号“{__}”内表示集合的方法，一般可将集合表示为{a ，b ，c ，…}．一一列举元素时，需要考虑元素的顺序吗？[提示] 用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序．例如：{a ，b }与{b ，a }表示同一个集合．知识点2 描述法通过描述元素满足的条件表示集合的方法叫作描述法．一般可将集合表示为{x 及x 的范围|x 满足的条件}，即在花括号内先写上集合中元素的一般符号及范围，再画一条竖线“|”，在竖线后写出集合中元素所具有的共同特征．集合A ＝{x |x －1＝0}与集合B ＝{1}表示同一个集合吗？ [提示] A ＝{x |x －1＝0}＝{1}与集合B 表示同一个集合． 知识点3 集合的分类1．有限集：含有有限个元素的集合． 2．无限集：含有无限个元素的集合． 3．空集：不含任何元素的集合，记作∅.{0}与∅相同吗？[提示] 不同．{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而∅表示空集，其不含有任何元素，故{0}与∅不相同．知识点4 区间及相关概念1．区间的概念及记法设a，b是两个实数，且a<b，我们规定：定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b闭区间[a，b]}{x|a<x<b}开区间(a，b){x|a≤x<b}半开半闭区间[a，b){x|a<x≤b}半开半闭区间(a，b]2．无穷大实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．3．特殊区间的表示定义区间数轴表示{x|x≥a}[a，＋∞){x|x>a}(a，＋∞){x|x≤b}(－∞，b]{x|x<b}(－∞，b)(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？(2)“∞”是数吗？以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端可以是中括号吗？[提示](1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．(2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号．疑难解惑类型1 用列举法表示集合【例1】用列举法表示下列集合：(1)不大于10的非负偶数组成的集合；(2)方程x3＝x的所有实数解组成的集合；(3)一次函数y＝2x＋1的图象与y轴的交点所组成的集合．[解](1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}．(2)方程x3＝x的解是x＝0或x＝1或x＝－1，所以方程的解组成的集合为{0,1，－1}．(3)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0,1)，故交点组成的集合是{(0,1)}．用列举法表示集合的3个步骤(1)求出集合的元素；(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；(3)用花括号括起来．注意：用列举法表示集合，要求元素不重复、不遗漏、不计次序，且元素与元素间用“，”隔开．类型2 用描述法表示集合【例2】用描述法表示下列集合：(1)被3除余1的正整数的集合；(2)坐标平面内第一象限的点的集合；(3)大于4的所有偶数．[解](1)根据被除数＝商×除数＋余数，可知此集合表示为{x|x＝3n＋1，n∈N*}．(2)第一象限内的点的横、纵坐标均大于零，故此集合可表示为{(x，y)|x>0，y>0}．(3)偶数可表示为2n，n∈Z，又因为大于4，故n≥3，从而用描述法表示此集合为{x|x＝2n，n∈Z且n≥3}．描述法表示集合的2个步骤注意：描述法的特点是形式简单、应用方便，通常用于表示元素具有明显共同特征的集合，当元素共同特征不易寻找或元素的限制条件较多时，就不宜采用描述法．类型3 用区间表示集合【例3】将下列集合用区间及数轴表示出来：(1){x|x<2}；(2){x|x≥3}；(3){x|－1≤x<5}．[解](1){x|x<2}用区间表示为(－∞，2)，用数轴表示如下：(2){x|x≥3}用区间表示为[3，＋∞)，用数轴表示如下：(3){x|－1≤x<5}用区间表示为[－1,5)，用数轴表示如下：区间的几何意义可用数轴表示，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点．类型4 集合表示法的应用【例4】若集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.[解]当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，x＝2.此时集合A＝{2}．当k≠0时，则关于x的一元二次方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实数根，只需Δ＝64－64k＝0，即k＝1.此时方程的解为x 1＝x 2＝4，集合A ＝{4}，满足题意．综上所述，实数k 的值为0或1.当k ＝0时，A ＝{2}；当k ＝1时，A ＝{4}．1．(变条件)若集合A 中有2个元素，求k 的取值范围． [解] 由题意得⎩⎨⎧k ≠0，Δ＝－82－4×k ×16>0，解得k <1，且k ≠0.2．(变条件)若集合A 中至多有一个元素，求k 的取值范围． [解] ①当集合A 中含有1个元素时，由例4知，k ＝0或k ＝1； ②当集合A 中没有元素时，方程kx 2－8x ＋16＝0无解，即⎩⎨⎧k ≠0，Δ＝－82－4×k ×16<0，解得k >1.综上，实数k 的取值集合为{k |k ＝0或k ≥1}．集合与方程综合问题的解题策略(1)对于一些已知某个集合(此集合中涉及方程)中的元素个数，求参数的问题，常把集合的问题转化为方程的解的问题．如对于方程ax 2＋bx ＋c ＝0，当a ＝0，b ≠0时，方程有一个解；当a ≠0时，若Δ＝0，则方程有两个相等的实数解；若Δ<0，则方程无解；若Δ>0，则方程有两个不等的实数解．(2)集合与方程的综合问题，一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论，确定方程实数根的情况，进而求得结果．需特别注意判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用．3、集合的基本关系1．Venn图用平面上封闭曲线的内部表示集合，称为Venn图．2．子集、集合相等、真子集子集集合相等真子集概念一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都属于集合B，称集合A是集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，那么称集合A与集合B相等，记作A＝B对于两个集合A与B，如果A⊆B，且A≠B，那么称集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”)图示结论(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A(2)空集是任何集合的子集，即∅⊆A(3)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C若A＝B且B＝C，则A＝C(1)若A B且B C，则A C(2)若A⊆B且A≠B，则A B(1)任意两个集合之间是否有包含关系？(2)符号“∈”与“⊆”有什么区别？[提示](1)不一定，如集合A＝{1,3}，B＝{2,3}，这两个集合就没有包含关系．(2)①“∈”是表示元素与集合之间的关系，比如1∈N，－1∉N.②“⊆”是表示集合与集合之间的关系，比如N⊆R，{1,2,3}⊆{3,2,1}．③“∈”的左边是元素，右边是集合，而“⊆”的两边均为集合．疑难解惑类型1 集合间的关系的判断【例1】 判断下列各组中集合间的关系．(1)A ＝{} |x x 是等腰三角形，B ＝{x |x 是等边三角形}； (2)A ＝{} |x x ()x －1＝0，B ＝{}0，1； (3)A ＝{} |x －1<x <4，B ＝{} |x x <5；(4)A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫ |x x ＝n ＋12，n ∈Z ，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝12n ＋1，n ∈Z .[解] (1)因为等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形，故B A .(2)A ＝B .(3)把集合A 与B 在数轴上表示出来，根据定义易得A B .(4)A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫ |x x ＝2n ＋12，n ∈Z ，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫ |x x ＝n ＋22，n ∈Z ，又{} |x x ＝2n ＋1，n ∈Z {} |x x ＝n ＋2，n ∈Z ，所以AB .判断集合间关系的常用方法(1)列举观察法当集合中元素较少时，可列举出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系．(2)集合元素特征法先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断得出集合之间的关系．一般地，设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，①若由p (x )可推出q (x )，则A ⊆B ；②若由q (x )可推出p (x )，则B ⊆A ；③若p (x )，q (x )可互相推出，则A ＝B ；④若由p (x )推不出q (x )，由q (x )也推不出p (x )，则集合A ，B 无包含关系．(3)数形结合法利用数轴或Venn 图可清晰、明了地判断集合间的关系，其中不等式的解集之间的关系，适合用数轴法．类型2 子集个数问题【例2】 已知{}1，2M ⊆{}1，2，3，4，5，试写出满足条件的所有集合M .[解] 集合M 含有元素1,2，且含有3,4,5中的至少一个元素，依据集合元素的个数分类列举如下：含有3个元素：{}1，2，3，{}1，2，4，{}1，2，5；含有4个元素：{}1，2，3，4，{}1，2，3，5，{}1，2，4，5； 含有5个元素：{}1，2，3，4，5. 故满足条件的集合M 共有上述7个集合．求集合子集、真子集个数的3个步骤类型3 集合间的关系的应用【例3】 已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，且B ⊆A ，求实数m 的取值范围．[解] 当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，得m ≤2，当B ≠∅时，有⎩⎨⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，解得2＜m ≤4.综上得m ≤4.1．对于本例中的集合A ，B ，是否存在实数m 使A ⊆B? [解] 若A ⊆B ，则⎩⎨⎧m ＋1<－22m －1>7，该不等式组无解，故实数m 不存在．2．若将本例中的“A ＝{x |－2≤x ≤7}”改为“A ＝{}x | x ≤－2，或x ≥7”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．[解] 当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，得m ≤2， 当B ≠∅时，有⎩⎨⎧m ＋1＜2m －1，2m －1≤－2，或⎩⎨⎧m ＋1＜2m －1，m ＋1≥7，解得m ≥6，综上得m ≤2或m ≥6.由集合的包含关系求参数的方法(1)当集合为不连续实数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论；(2)当集合为连续实数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点．注意：(1)不能忽视集合为∅的情形．(2)当集合中含有字母参数时，一般要分类讨论．4、交集与并集知识点1 交集 文字语言一般地，由既属于集合A 又属于集合B 的所有元素组成的集合，叫作集合A 与B 的交集，记作A ∩B 读作“A 交B ”符号语言 A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B } 图形语言运算性质A ∩B ＝B ∩A ，A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅∩A ＝∅，(A ∩B )⊆A ，(A ∩B )⊆B ，A ⊆B ⇔A ∩B ＝A(1)当集合A ，B 无公共元素时，A 与B 有交集吗？ (2)若A ∩B ＝A ，则A 与B 有什么关系？ [提示] (1)有，交集为空集．(2)若A ∩B ＝A ，则A ⊆B . 知识点2 并集 文字语言一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，叫作集合A 与B 的并集，记作A ∪B 读作“A 并B ”符号语言 A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B } 图形语言运算性质A ∪B ＝B ∪A ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝∅∪A ＝A ，A ⊆(A ∪B )，B ⊆(A ∪B )，A ⊆B ⇔A ∪B ＝B(1)集合A ∪B 的元素个数是否等于集合A 与集合B 的元素个数和？ (2)在什么条件下，集合A ∪B 的元素个数等于集合A 与B 的元素个数之和？ [提示] (1)不一定，A ∪B 的元素个数小于或等于集合A 与集合B 的元素个数和．(2)A ∩B ＝∅.疑难解惑类型1 交集运算【例1】 (1){} |x x 是等腰三角形∩{x |x 是等边三角形}＝________. (2){} |x －1≤x ≤2∩{} |x 0≤x ≤4＝( ) A.{} |x 0≤x ≤2 B ．{} |x 1≤x ≤2 C.{} |x 0≤x ≤4D ．{} |x 1≤x ≤4(3)已知集合A ＝{}x | x ＝3n ＋2，n ∈Z ，B ＝{6,8,10,12,14}，则集合A ∩B 元素的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2(1){x |x 是等边三角形} (2)A (3)D [(1)因为{} |x x 是等边三角形⊆{x |x 是等腰三角形}，所以{} |x x 是等腰三角形∩{} |x x 是等边三角形＝{x |x 是等边三角形}．(2)如图，所以{x |－1≤x ≤2}∩{x |0≤x ≤4}＝{}x | 0≤x ≤2. (3)因为8＝3×2＋2；14＝3×4＋2， 所以A ∩B ＝{}8，14.]1．在进行集合的交集运算时，要根据交集的定义进行运算，尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时要用Venn 图表示；集合元素是连续时用数轴表示，但要注意端点值的取舍．2．恰当地运用交集的交换律与结合律，可简化运算过程． 类型2 并集运算【例2】 (1)设集合A ＝{}x | x 2＋2x ＝0，B ＝{x |x 2－2x ＝0}，则A ∪B ＝( )A.{}0 B ．{}0，2 C.{}－2，0D ．{}－2，0，2(2)已知集合M ＝{} |x －3<x ≤5，N ＝{}x | x <－5，或x >5，则M ∪N ＝( )A.{}x | x <－5，或x >－3 B ．{} |x －5<x <5 C.{} |x －3<x <5D ．{}x | x <－3，或x >5(3)已知集合A ＝{}1，4，x ，B ＝{}1，x 2，且A ∪B ＝{1,4，x 2}，则满足条件的实数x 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(1)D (2)A (3)A [(1)因为A ＝{}0，－2，B ＝{0,2}，所以A ∪B ＝{－2,0,2}．(2)如图，在数轴上表示两集合，所以M ∪N ＝{}x | x <－5，或x >－3.(3)由A ∪B ＝{}1，4，x 2，得x ＝x 2，又x ≠1，所以x ＝0.]在进行集合的并集运算时(1)若集合是用列举法表示的，可以直接用并集的定义求解，但要注意集合元素的互异性．(2)若集合是连续的数集，可以借助数轴进行运算．类型3 由集合的并集、交集求参数【例3】 已知集合A ＝{x |－3<x ≤4}，集合B ＝{x |k ＋1≤x ≤2k －1}，且A ∪B ＝A ，试求k 的取值范围．[解] ①当B ＝∅时，即k ＋1>2k －1时，k <2，满足A ∪B ＝A . ②当B ≠∅时，要使A ∪B ＝A ，只需⎩⎨⎧－3<k ＋1，4≥2k －1，k ＋1≤2k －1，解得2≤k ≤52.综合①②可知k ≤52.1．(变条件)把本例条件“A ∪B ＝A ”改为“A ∩B ＝A ”，试求k 的取值范围． [解] 由A ∩B ＝A 可知A ⊆B . 所以⎩⎨⎧－3≥k ＋1，2k －1≥4，即⎩⎨⎧k ≤－4，k ≥52，所以k ∈∅.所以k 的取值范围为∅.2．(变条件)把本例条件“A ∪B ＝A ”改为“A ∪B ＝{x |－3<x ≤5}”，求k 的值．[解] 由题意可知⎩⎨⎧－3<k ＋1≤4，2k －1＝5，解得k ＝3.所以k 的值为3.利用集合交集、并集的性质解题的方法(1)在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B 等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝B ⇔A ⊆B 等，解答时应灵活处理．(2)当集合B ⊆A 时，如果集合A 是一个确定的集合，而集合B 不确定，运算时一定要考虑B ＝∅的情况，切不可漏掉．5、全集与补集1．全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集，常用符号U 表示．全集包含所要研究的这些集合．在集合运算问题中，全集一定是实数集吗？[提示] 全集是一个相对性的概念，只包含研究问题中涉及的所有的元素，所以全集因问题的不同而异．2．补集：(1)定义：设U 是全集，A 是U 的一个子集(即A ⊆U )，则由U 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫作U 中子集A 的补集，记作∁U A .(2)符号：∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }． (3)Venn 图(4)补集的性质①A∪(∁U A)＝U.②A∩(∁U A)＝∅.③∁U U＝∅，∁U∅＝U，∁U(∁U A)＝A.④(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)．⑤(∁U A)∪(∁U B)＝∁U(A∩B)．A，A，U三者之间有什么关系？∁U[提示]A⊆U，∁U A⊆U，A∪(∁U A)＝U，A∩(∁U A)＝∅.疑难解惑类型1 补集运算【例1】已知全集U，A＝{x|2<x≤3}，∁U A＝{x|x>3}，B＝{x|4≤x＜6}，求∁U B.[解]因为A＝{x|2<x≤3}，∁U A＝{x|x>3}，如数轴：所以U＝A∪(∁U A)＝{x|x>2}，所以∁U B＝{x|2<x<4或x≥6}．求集合补集的2种方法(1)当集合用列举法表示时，直接用定义或借助Venn图求解；(2)当集合是用描述法表示的连续实数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．类型2 交、并、补的综合运算【例2】设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，求∁R(A∪B)及(∁A)∩B.R[解]把全集R和集合A、B在数轴上表示如下：由图知，A∪B＝{x|2<x<10}，(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}，∴∁RA＝{x|x<3或x≥7}，∵∁R∴(∁R A )∩B ＝{x |2<x <3或7≤x <10}．解决集合交、并、补运算的技巧(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn 图来求解．(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．类型3 补集及补集思想的应用【例3】 设全集U ＝R ，A ＝{}x | x ＋m ≥0，B ＝{x |－2<x <4}，若()∁U A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．[解] 法一：∁U A ＝{}x | x ＋m <0＝{}x | x <－m ， ∵()∁U A ∩B ＝∅，∴－m ≤－2，∴m ≥2.法二：A ＝{}x | x ≥－m ，由()∁U A ∩B ＝∅，得A ⊇B ，∴－m ≤－2，∴m ≥2.1．若将本例中的“()∁U A ∩B ＝∅”改为“()∁U A ∩B ＝B ”，求实数m 的值． [解] 由已知得∁U A ＝{}x | x <－m ，∁U A ⊇B ，所以－m ≥4，解得m ≤－4. 2．若将本例中的“()∁U A ∩B ＝∅”改为“()∁U B ∪A ＝R ”，求实数m 的值． [解] 由已知得，A ＝{}x | x ≥－m ，A ⊇B ，所以－m ≤－2，解得m ≥2. 3．若将本例中的“()∁U A ∩B ＝∅”改为“()∁U A ∩B ≠∅”，求实数m 的值． [解] 由例3知，当()∁U A ∩B ＝∅时，m ≥2，所以当()∁U A ∩B ≠∅时，m <2.1．要注意下面五个关系式A ∩B ＝A 、A ∪B ＝B 、∁U A ⊇∁U B 、A ∩()∁U B ＝∅、()∁U A∪B＝U都与A⊆B等价．2．对于一些难于从正面入手的问题，在解题时，可以从问题的反面入手，往往能化难为易，从而将问题解决．这就是“正难则反”的解题策略．该策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，则可先求∁U A，再∁U A＝A求A.由∁U()2 常用逻辑用语1、必要条件与充分条件知识点1 必要条件与性质定理一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称q是p的必要条件．也就是说，一旦q不成立，p一定也不成立，即q对于p的成立是必要的．知识点2 充分条件与判定定理一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称p是q的充分条件．综上，对于真命题“若p，则q”，即p⇒q时，称q是p的必要条件，也称p是q的充分条件．(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？(2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？[提示](1)相同，都是p⇒q.(2)这五种表述形式是等价的．知识点3 充要条件(1)一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分且必要条件，简称p 是q的充要条件，记作p⇔q.(2)p 是q 的充要条件也常常说成“p 成立当且仅当q 成立”，或“p 与q 等价”．(3)当p 是q 的充要条件时，q 也是p 的充要条件．(1)若p 是q 的充要条件，则命题p 和q 是两个相互等价的命题，这种说法对吗？(2)“p 是q 的充要条件”与“p 的充要条件是q ”的区别在哪里？ [提示] (1)正确．若p 是q 的充要条件，则p ⇔q ，即p 等价于q . (2)①p 是q 的充要条件说明p 是条件，q 是结论． ②p 的充要条件是q 说明q 是条件，p 是结论．疑难解惑类型1 充分、必要、充要条件的判断【例1】 下列各题中，p 是q 的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件)(1)p ：x ＝1或x ＝2，q ：x －1＝x －1；(2)p ：四边形是正方形，q ：四边形的对角线互相垂直平分； (3)p ：xy >0，q ：x >0，y >0；(4)p ：四边形的对角线相等，q ：四边形是平行四边形．[解] (1)因为x ＝1或x ＝2⇒x －1＝x －1，x －1＝x －1⇒x ＝1或x ＝2，所以p 是q 的充要条件．(2)若一个四边形是正方形，则它的对角线互相垂直平分，即p ⇒q .反之，若四边形的对角线互相垂直平分，该四边形不一定是正方形，即q p .所以p 是q 的充分不必要条件．(3)因为xy >0时，x >0，y >0或x <0，y <0. 故p q ，但q ⇒p .所以p 是q 的必要不充分条件．(4)因为⎩⎨⎧四边形的对角线相等四边形是平行四边形，四边形是平行四边形四边形的对角线相等，所以p 是q 的既不充分也不必要条件．充分、必要、充要条件的判断方法(1)定义法若p ⇒q ，q p ，则p 是q 的充分不必要条件； 若p q ，q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件； 若p ⇒q ，q ⇒p ，则p 是q 的充要条件；若p q ，q p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件． (2)集合法对于集合A ＝{x |x 满足条件p }，B ＝{x |x 满足条件q }，具体情况如下： 若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件； 若A ⊇B ，则p 是q 的必要条件； 若A ＝B ，则p 是q 的充要条件； 若A B ，则p 是q 的充分不必要条件； 若A B ，则p 是q 的必要不充分条件． 类型2 必要条件、充分条件的应用【例2】 已知p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m ，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．[解] 由p 是q 的充分不必要条件，得集合{x |－2≤x ≤10}是集合{x |1－m ≤x ≤1＋m }的真子集，所以⎩⎨⎧1＋m >1－m 1－m <－21＋m ≥10，或⎩⎨⎧1＋m >1－m 1－m ≤－21＋m >10，解得m ≥9.所以实数m 的取值范围是m ≥9.1．把本例中的“p 是q 的充分不必要条件”改为“p 是q 的必要不充分条件”，其他条件不变，试求实数m 的取值范围．[解] 由p 是q 的必要不充分条件，得集合{x |1－m ≤x ≤1＋m }是集合{x |－2≤x ≤10}的真子集，当{} |x 1－m ≤x ≤1＋m ＝∅，即m <0时，符合题意； 当{} |x 1－m ≤x ≤1＋m ≠∅，即m ≥0时，可得⎩⎨⎧ m ≥01－m >－21＋m ≤10 ，或⎩⎨⎧m ≥01－m ≥－21＋m <10，解得0≤m ≤3.综上得，实数m 的取值范围是m ≤3.2．本例中，是否存在实数m ，使p 是q 的充要条件，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．[解] 若p 是q 的充要条件，则{} |x 1－m ≤x ≤1＋m ＝{} |x －2≤x ≤10， 即⎩⎨⎧1－m ＝－21＋m ＝10，由于该方程组无解，所以实数m 不存在．利用必要条件与充分条件求参数的取值范围 (1)化简p 与q ；(2)把p 与q 之间的关系转化为相应集合之间的关系； (3)利用集合之间的关系建立不等式； (4)解不等式求参数的取值范围．类型3 充要条件的探求与证明【例3】 求证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是c a<0.[证明] ①必要性：因为方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根，所以两根之积小于零，即c a<0.②充分性：由ca<0，得ac<0，所以Δ＝b2－4ac>0，所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，设这两个实根分别为x1，x2，由一元二次方程根与系数的关系得x1x2＝ca<0，所以两根异号．综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是c a<0.充要条件的证明思路(1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p的充要条件是q”，那么“充分性”是q⇒p，“必要性”是p⇒q；若证明“p是q的充要条件”，则与之相反．(2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明．注意：证明时一定要注意证明的方向性，分清充分性与必要性的证明方向．2、全称量词与存在量词知识点1 全称量词命题与全称量词1．全称量词命题在给定集合中，断言所有元素都具有同一种性质的命题．2．全称量词在命题中，诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词，用符号“∀”表示，读作“对任意的”．“相似三角形是全等三角形”是否是全称量词命题？[提示]该命题是全称量词命题，只不过省略了全称量词．知识点2 存在量词命题与存在量词1．存在量词命题在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题．2．存在量词在命题中，诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词，用符号“∃”表示，读作“存在”．“不等式x2－1<0有解”是全称量词命题还是存在量词命题？用符号表示该命题．[提示]是存在量词命题，可表示为“∃x∈R，x2－1<0”．知识点3 全称量词命题与存在量词命题的否定1．全称量词命题的否定(1)全称量词命题的否定是存在量词命题．(2)全称量词命题p：∀x∈M，x具有性质p(x)的否定为：∃x∈M，x不具有性质p(x)．2．存在量词命题的否定(1)存在量词命题的否定是全称量词命题．(2)存在量词命题p：∃x∈M，x具有性质p(x)的否定为：∀x∈M，x不具有性质p(x)．如何对省略量词的命题进行否定？[提示]对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称量词命题或存在量词命题．一般地，省略了量词的命题是全称量词命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是存在量词命题．反之，亦然．疑难解惑类型1 全称量词命题与存在量词命题的判断【例1】判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题：(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)矩形的对角线不相等；(3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；(4)有些实数a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|；(5)方程3x －2y ＝10有整数解．[解] (1)可以表述为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称量词命题．(2)可以表述为“所有矩形的对角线不相等”，故为全称量词命题． (3)“若一个四边形是菱形”，也就是“所有的菱形”，故为全称量词命题． (4)含存在量词“有些”，故为存在量词命题．(5)可改表述为“存在一对整数x ，y ，使3x －2y ＝10成立”．故为存在量词命题．1．判断一个命题是全称量词命题，还是存在量词命题，主要看命题中是否含有全称量词，或者存在量词，有些全称量词命题虽然不含全称量词，但是可以根据命题的意义去判断．2．存在量词命题真假的判断要判断存在量词命题“存在x ∈M ，p ()x ”是真命题，只需在集合M 中找到一个元素x 0，使得p ()x 0成立即可；如果在集合M 中，使得p ()x 成立的x 不存在，那么这个存在量词命题就是假命题．注意：全称量词命题可能省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略．类型2 全称量词命题、存在量词命题的真假判断 【例2】 判断下列命题的真假： (1)∃x ∈Z ，x 3<1；(2)存在一个四边形不是平行四边形；(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x ，y )都对应一点P ； (4)∀x ∈N ，x 2>0.[解] (1)因为－1∈Z ，且(－1)3＝－1<1，所以“∃x ∈Z ，x 3<1”是真命题． (2)真命题，如梯形．(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题． (4)因为0∈N,02＝0，所以命题“∀x ∈N ，x 2>0”是假命题．。

第一章预备知识第三节不等式3.1 不等式的性质教学设计本节主要学习了不等式的五个基本性质，重点是不等式的基本性质，难点是不等式性质的探索及运用，要将不等式的基本性质与等式的基本性质加以对比，弄清它们之间的相同点与不同点，这样有助于加深理解不等式的基本性质。

对于不等式的基本性质，采用通过学生自己动手实践、观察、归纳猜想结论、验证等环节来突破的。

并在理解的基础上加强练习，以期达到学生巩固所学知识的目的.一．教学目标：1.探索并掌握不等式的基本性质；2.理解不等式与等式性质的联系与区别．二. 核心素养1.数学抽象：如何利用不等式表示不等关系2. 逻辑推理：通过对比不等式的性质和等式的性质，培养学生的求异思维，提高大家的辨别能力．3. 数学运算：证明不等式关系，会比较代数式的大小关系4. 直观想象：利用数轴的比较任意两数的大小关系，引出实数的大小关系，间接引出实数不等式的5个性质6. 数学建模：通过大家对不等式性质的探索，培养大家的钻研精神，学会利用不等式关系表示实际问题教学重点：探索不等式的基本性质，并能灵活地掌握和应用．教学难点：能根据不等式的基本性质进行化简PPT1.知识引入在初中数学中，可以利用数轴比较任意两个实数啊a,b的大小.关于实数a,b，大小的比较，有以下基本事实:如果a-b是正数，那么如果a>b;如果a-b等于0,那么a = b;如果a-b 是负数，那么a<b・反过来也成立.结论总结：a>b a-b>0a=b a-b=0a<b a-b<02.不等式基本性质性质1如果a>b，且b>c，那么a>c.分析要证a>c，只需证a-c>0.证明因为a>b,且b>c，a-b>0 ,b -c >0从而a-c= （a-b)+(b-c）>0，即a>c.性质2 如果a>b，那么a+c>b+c.分析要证a+c>b+c，需证（a+c） - （b+c）>0.证明因为a>b，所以a-b>0，所以（a+c）-（b+c） =a-b>0,即 a+c>b+c.性质3如果a>b，c>0，那么 ac>bc; 如果 a>b,c<0,那么 ac<bc分析：要证ac>bc，只需证明ac-bc>0证明因为a>b，所以a-b>0.又因为 c>0,所以(a-b)c>0即 ac-bc>0, ac>bc请同学完成c<0的情况证明例1试比较(x+1)(x+5)与(x+3)2的大小.解：因为 (x+1)(x+5) - (x+3)2=(x2+6x+5) — (x2+6x+9)= —4<0 所以 (x+1) (x+5) <(x+3)2例2试证明:若0<a<b,m>0,则a m ab m b +> +证明：a+m()()() b+m()()a b a m a b m m b ab b b m b b m+-+--==++因为a<b,所以b-a>0.又b>0,m>0,故()0 ()m b ab b m->+因此：a m ab m b +> +性质4 如果a>b,c>d,那么a+c>b+d.证明：因为a>b,所以a+c>b+c.又因为：c>d，b+c>b+d由不等式的性质1,得a+c>b+d.性质5如果a>b>0, c>d>0,那么ac>bd.;如果a>b>0,c<d<0,那么ac<bd.证明 : 因为a>b,c>0,所以ac>bc.又因:c>d,b>0,所以b c>bd由不等式的性质1,得ac>bd.请同学们：完成c<d<0的情况证明特殊情况：当a>b>0时，a n>b n ,其中n N+∈,n≥2例3：（1）已知a>b,ab>0,求证11 a b <（2）已知a>b,c<d,求证：a-c>b-d证明：（1）因为ab>0,所以10 ab>；因为a>b,所以有不等式的性质3，得1111,aa bab ab b><即(2) 因为c<d,所以-c>-d.又因为a>b，所以有不等式性质4，得a+(-c)>b+(-d),即a-c>b-d3 题型归类1.比较两数的大小（1）比较大小：（x﹣3）2＞（x﹣2）（x﹣4）．（填写“＞”或“＜”）（2）．（x+1）（x+5）与（x+3）2的大小关系为（x+1）（x+5）＜（x+3）2．（3）．已知a，b为实数，则（a+3）（a﹣5）＜（a+2）（a﹣4）．（填“＞”“＜”或“＝”）2.判断不等关系是否成立（1）．已知a＞b，则下列不等式一定正确的是（ C ）A．ac2＞bc2B．a2＞b2C．a3＞b3D．＜（2）．对于任意实数a，b，c，d，下列命题中正确的是（ C ）A．若a＞b，则ac＞bc B．若a＞b，c＞d，则ac＞bdC．若ac2＞bc2，则a＞b D．若a＞b，则（3）．若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（ B ）A．a+c≥b﹣c B．（a﹣b）c2≥0C．ac＞bc D．3.证明不等关系(1)1. 已知a＞b＞0，c＜0求证：．2.比较（a+3）（a﹣5）与（a+2）（a﹣4）的大小．证明：（1）∵a＞b＞0，∴＞＞0，再由c＜0，可得．故要证的不等式成立；解：（2）∵（a+3）（a﹣5）﹣（a+2）（a﹣4）＝a2﹣2a﹣15﹣（a2﹣2a﹣8）＝﹣7＜0，∴（a+3）（a﹣5）＜（a+2）（a﹣4）．(2)．已知a，b∈R，比较a2+b2与ab+a+b﹣1的大小．解：（a2+b2）﹣（ab+a+b﹣1）＝（2a2+2b2﹣2ab﹣2a﹣2b+2）＝[（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2a+1）+（b2﹣2b+1）]＝[（a﹣b）2+（a﹣1）2+（b﹣1）2]≥0，当且仅当a＝b＝1时，两式相等∴a2+b2≥ab+a+b﹣1(3)．设a＞b＞0，比较与的大小．【解答】解：∵a＞b＞0，∴a﹣b＞0，a2＞b2，∴＞0，＞0．两数作商÷＝＝＝1+＞1，∴＞．本节内容需要学生掌握不等式的基本性质，会判断两数的不等关系，学会利用不等式关表示实际问题。