高中数学 必修一 函数培优题

必修一函数经典难题汇编一、选择题：1．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（﹣∞，0）（x1≠x2），都有＜0．则下列结论正确的是（）A．f（0.32）＜f（20.3）＜f（log25） B．f（log25）＜f（20.3）＜f（0.32）C．f（log25）＜f（0.32）＜f（20.3） D．f（0.32）＜f（log25）＜f（20.3）2．（5分）函数f（x）=2sin（2x+），g（x）=mcos（2x﹣）﹣2m+3（m＞0），若对任意x1∈[0，]，存在x2∈[0，]，使得g（x1）=f（x2）成立，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．3．（5分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x+4sin3x+1，x∈（﹣1，1），若f（1﹣a）+f（1﹣a2）＞2成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，1）B．（0，1） C．D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）4．（5分）已知函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，）5．（5分）若x1满足2x+2x=5，x2满足2x+2log2（x﹣1）=5，x1+x2=（）A．B．3 C．D．46．（5分）设函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x2﹣x+1，则f（1）=（）A．1 B．2 C．3 D．47．（5分）已知函数f（x）=|log2x|，若0＜b＜a，且f（a）=f（b），则图象必定经过点（a，2b）的函数为（）A．y=B．y=2x C．y=2x D．y=x28．（4分）对于函数f（x），如果存在非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，则y=f（x）与y=log5x 的图象的交点个数为（）A．3 B．4 C．5 D．69．（5分）设函数f（x）是定义在R上的函数，满足f（x）=f（4﹣x），且对任意x1，x2∈（0，+∞），都有（x1﹣x2）[f（x1+2）﹣f（x2+2）]＞0，则满足f（2﹣x）=f（）的所有x的和为（）A．﹣3 B．﹣5 C．﹣8 D．810．（5分）设函数f（x）是定义在R上的函数，满足f（x）=f（4﹣x），且对任意x1，x2∈（0，+∞），都有（x1﹣x2）[f（x1+2）﹣f（x2+2）]＞0，则满足f（2﹣x）=f（）的所有x的和为（）A．﹣3 B．﹣5 C．﹣8 D．811．（5分）若函数f（x）=且满足对任意的实数x1≠x2都有＞0成立，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（1，8） C．（4，8） D．[4，8）12．（5分）已知在（﹣∞，+∞）上满足，则b的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．[1，+∞）C．（﹣1，1）D．[0，1）13．（5分）设集合A={x|2x≤8}，B={x|x≤m2+m+1}，若A∪B=A，则实数m的取值范围为．（）A．[﹣2，1）B．[﹣2，1]C．[﹣2，﹣1）D．[﹣1，1）14．（5分）定义函数序列：，f2（x）=f（f1（x）），f3（x）=f （f2（x）），…，f n（x）=f（f n﹣1（x）），则函数y=f2017（x）的图象与曲线的交点坐标为（）A．B．C．D．15．（3分）关于x的方程（a＞0，且a≠1）解的个数是（）A．2 B．1 C．0 D．不确定的16．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=|x﹣1|，若方程f（x）=有4个不相等的实根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，1）B．（，1）C．（，1）D．（﹣1，）17．（5分）已知f（x）=ln（1﹣）+1，则f（﹣7）+f（﹣5 ）+f（﹣3）+f（﹣1）+f（3 ）+f（5）+f（7 ）+f（9）=（）A．0 B．4 C．8 D．1618．（5分）定义域是一切实数的函数y=f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意实数x都成立，则称f（x）实数一个“λ一半随函数”，有下列关于“λ一半随函数”的结论：①若f（x）为“1一半随函数”，则f（0）=f（2）；②存在a∈（1，+∞）使得f（x）=a x为一个“λ一半随函数；③“一半随函数”至少有一个零点；④f（x）=x2是一个“λ一班随函数”；其中正确的结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个19．（5分）如图，定义在[﹣2，2]的偶函数f（x）的图象如图所示，则方程f（f（x））=0的实根个数为（）A．3 B．4 C．5 D．720．（5分）已知函数f（x）=e x+2（x＜0）与g（x）=ln（x+a）+2的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，e）B．（0，e） C．（e，+∞）D．（﹣∞，1）21．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：①f（x）+f（2﹣x）=0；②f（x ﹣2）=f（﹣x），③在[﹣1，1]上表达式为f（x）=，则函数f（x）与函数g（x）=的图象在区间[﹣3，3]上的交点个数为（）A．5 B．6 C．7 D．822．（5分）已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数．当x≥0时，f（x）=若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．23．（5分）函数f（x）=ln，则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，+∞）上单调递减B．奇函数，且在（0，+∞）上单凋递增C．偶函数，且在（0，+∞）上单调递减D．偶函数，且在（0，+∞）上单凋递增二、填空题：1．（5分）某投资公司准备在2016年年底将1000万元投资到某“低碳”项目上，据市场调研，该项目的年投资回报率为20%．该投资公司计划长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），若市场预期不变，大约在年的年底总资产（利润+本金）可以翻一番．（参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771）2．（5分）在函数①y=2x；②y=2﹣2x；③f（x）=x+x﹣1；④f（x）=x﹣x﹣3中，存在零点且为奇函数的序号是．3．（5分）已知函数f（x）=，若存在实数k使得函数f（x）的值域为[0，2]，则实数a的取值范围是．4．（4分）已知函数f（x）=|ax﹣1|﹣（a﹣1）x（1）当a=时，满足不等式f（x）＞1的x的取值范围为；（2）若函数f（x）的图象与x轴没有交点，则实数a的取值范围为．5．（4分）已知函数若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使f （x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是．6．（5分）下列命题中①若log a3＞log b3，则a＞b；②函数f（x）=x2﹣2x+3，x∈[0，+∞）的值域为[2，+∞）；③设g（x）是定义在区间[a，b]上的连续函数．若g（a）=g（b）＞0，则函数g（x）无零点；④函数既是奇函数又是减函数．其中正确的命题有．7．（5分）已知函数，若方程f（x）﹣a=0有三个不同的实数根，则a的取值范围为．8．（5分）方程=ax+a由两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为．9．（5分）已知函数，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是．10．（5分）定义在R上的单调函数f（x）满足：f（x+y）=f（x）+f（y），若F（x）=f（asinx）+f（sinx+cos2x﹣3）在（0，π）上有零点，则a的取值范围是．三、简答题：1．（12分）已知函数f（x）=lg（a＞0）为奇函数，函数g（x）=+b（b ∈R）．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）若b＞1，讨论方徎g（x）=ln|x|实数根的个数；（Ⅲ）当x∈[，]时，关于x的不等式f（1﹣x）≤lgg（x）有解，求b的取值范围．2．（12分）已知函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）．（1）若a＜0，b＞0，c=0，且f（x）在[0，2]上的最大值为，最小值为﹣2，试求a，b的值；（2）若c=1，0＜a＜1，且||≤2对任意x∈[1，2]恒成立，求b的取值范围．（用a来表示）3．（12分）已知a∈R，函数f（x）=log2（+a）．（1）若f（1）＜2，求实数a的取值范围；（2）设函数g（x）=f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，讨论函数g（x）的零点个数．4．（12分）已知函数f（x）=．（1）求f（f（））；（2）若x0满足f（f（x0））=x0，且f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶不动点，求函数f（x）的二阶不动点的个数．5．（12分）已知函数f（x）=ax2+4x﹣1．（1）当a=1时，对任意x1，x2∈R，且x1≠x2，试比较f（）与的大小；（2）对于给定的正实数a，有一个最小的负数g（a），使得x∈[g（a），0]时，﹣3≤f（x）≤3都成立，则当a为何值时，g（a）最小，并求出g（a）的最小值．6．（12分）已知函数f（x）=x+﹣1（x≠0），k∈R．（1）当k=3时，试判断f（x）在（﹣∞，0）上的单调性，并用定义证明；（2）若对任意x∈R，不等式f（2x）＞0恒成立，求实数k的取值范围；（3）当k∈R时，试讨论f（x）的零点个数．7．（12分）已知函数f（x）=x2+ax（a＞0）在[﹣1，2]上的最大值为8，函数g （x）是h（x）=e x的反函数．（1）求函数g（f（x））的单调区间；（2）求证：函数y=f（x）h（x）﹣（x＞0）恰有一个零点x0，且g（x0）＜x02h （x0）﹣1（参考数据：e=2.71828…，ln2≈0.693）．8．（10分）已知函数f（x）=3x，g（x）=|x+a|﹣3，其中a∈R．（Ⅰ）若函数h（x）=f[g（x）]的图象关于直线x=2对称，求a的值；（Ⅱ）给出函数y=g[f（x）]的零点个数，并说明理由．9．（10分）设函数f（x）的定义域为R，如果存在函数g（x），使得f（x）≥g （x）对于一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．已知函数f（x）=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）．（1）若a=1，b=2．写出函数f（x）的一个承托函数（结论不要求证明）；（2）判断是否存在常数a，b，c，使得y=x为函数f（x）的一个承托函数，且f （x）为函数的一个承托函数？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由．10．（10分）已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数T≠0，使得f（x）=Tf （x+T）对任意的x∈R成立，则称函数f（x）是Ω函数．（Ⅰ）判断函数f（x）=x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（只需写出结论）（Ⅱ）说明：请在（i）、（ii）问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择（i）计分（i）求证：若函数f（x）是Ω函数，且f（x）是偶函数，则f（x）是周期函数；（ii）求证：若函数f（x）是Ω函数，且f（x）是奇函数，则f（x）是周期函数；（Ⅲ）求证：当a＞1时，函数f（x）=a x一定是Ω函数．11．（10分）已知函数f（x），定义（Ⅰ）写出函数F（2x﹣1）的解析式；（Ⅱ）若F（|x﹣a|）+F（2x﹣1）=0，求实数a的值；（Ⅲ）当时，求h（x）=cosx•F（x+sinx）的零点个数和值域．12．（12分）已知函数f（x）=x2+2bx+c，且f（1）=f（3）=﹣1．设a＞0，将函数f（x）的图象先向右平移a个单位长度，再向下平移a2个单位长度，得到函数g（x）的图象．（Ⅰ）若函数g（x）有两个零点x1，x2，且x1＜4＜x2，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设连续函数在区间[m，n]上的值域为[λ，μ]，若有，则称该函数为“陡峭函数”．若函数g（x）在区间[a，2a]上为“陡峭函数”，求实数a的取值范围．13．（12分）已知函数是奇函数，f（x）=lg（10x+1）+bx是偶函数．（1）求a+b的值．（2）若对任意的t∈[0，+∞），不等式g（t2﹣2t）+g（2t2﹣k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．（3）设，若存在x∈（﹣∞，1]，使不等式g（x）＞h[lg（10a+9）]成立，求实数a的取值范围．14．（12分）已知指数函数y=g（x）满足g（3）=8，又定义域为实数集R的函数f（x）=是奇函数．（1）讨论函数y=f（x）的单调性；（2）若对任意的t∈R，不等式f（2t﹣3t2）+f（t2﹣k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．15．（12分）已知f（x）=3x+m•3﹣x为奇函数．（1）求函数g（x）=f（x）﹣的零点；（2）若对任意t∈R的都有f（t2+a2﹣a）+f（1+2at）≥0恒成立，求实数a的取值范围．16．（8分）阅读下面材料，尝试类比探究函数y=x2﹣的图象，写出图象特征，并根据你得到的结论，尝试猜测作出函数对应的图象．阅读材料：我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征．我们来看一个应用函数的特征研究对应图象形状的例子．对于函数y=，我们可以通过表达式来研究它的图象和性质，如：（1）在函数y=中，由x≠0，可以推测出，对应的图象不经过y轴，即图象与y轴不相交；由y≠0，可以推测出，对应的图象不经过x轴，即图象与x轴不相交．（2）在函数y=中，当x＞0时y＞0；当x＜0时y＜0，可以推测出，对应的图象只能在第一、三象限；（3）在函数y=中，若x∈（0，+∞）则y＞0，且当x逐渐增大时y逐渐减小，可以推测出，对应的图象越向右越靠近x轴；若x∈（﹣∞，0），则y＜0，且当x逐渐减小时y逐渐增大，可以推测出，对应的图象越向左越靠近x轴；（4）由函数y=可知f（﹣x）=﹣f（x），即y=是奇函数，可以推测出，对应的图象关于原点对称．结合以上性质，逐步才想出函数y=对应的图象，如图所示，在这样的研究中，我们既用到了从特殊到一般的思想，由用到了分类讨论的思想，既进行了静态（特殊点）的研究，又进行了动态（趋势性）的思考．让我们享受数学研究的过程，传播研究数学的成果．17．（10分）函数f（x）=log a（a x+1）+mx是偶函数．（1）求m；（2）当a＞1时，若函数f（x）的图象与直线l：y=﹣mx+n无公共点，求n的取值范围．18．（12分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设f（x）=．（1）求a，b的值；（2）不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k的取值范围；（3）方程f（|2x﹣1|）+k（﹣3）有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）=．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）在R上的单调性，并用定义证明；（3）是否存在实数t，使不等式f（x﹣t）+f（x2﹣t2）≥0对一切x∈[1，2]恒成立？若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由．20．（12分）已知函数．任取t∈R，若函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值为M（t），最小值为m（t），记g（t）=M（t）﹣m（t）．（1）求函数f（x）的最小正周期及对称轴方程；（2）当t∈[﹣2，0]时，求函数g（t）的解析式；（3）设函数h（x）=2|x﹣k|，H（x）=x|x﹣k|+2k﹣8，其中实数k为参数，且满足关于t的不等式有解，若对任意x1∈[4，+∞），存在x2∈（﹣∞，4]，使得h（x2）=H（x1）成立，求实数k的取值范围．参考答案与解析一、选择题：1．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（﹣∞，0）（x1≠x2），都有＜0．则下列结论正确的是（）A．f（0.32）＜f（20.3）＜f（log25） B．f（log25）＜f（20.3）＜f（0.32）C．f（log25）＜f（0.32）＜f（20.3） D．f（0.32）＜f（log25）＜f（20.3）【解答】解：∵对任意x1，x2∈（﹣∞，0），且x1≠x2，都有＜0，∴f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，又∵f（x）是R上的偶函数，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，∵0.32＜20.3＜log25∴f（0.32）＜f（20.3）＜f（log25）．故选：A．2．（5分）函数f（x）=2sin（2x+），g（x）=mcos（2x﹣）﹣2m+3（m＞0），若对任意x1∈[0，]，存在x2∈[0，]，使得g（x1）=f（x2）成立，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：当x∈[0，]时，2x+∈[，]，sin（2x+）∈[，1]，f（x）=2sin（2x+）∈[1，2]，同理可得2x﹣∈[﹣，]，cos（2x﹣）∈[，1]，g（x）=mcos（2x﹣）﹣2m+3∈[﹣+3，﹣m+3]，对任意x1∈[0，]，存在x2∈[0，]，使得g（x1）=f（x2）成立，∴，求得1≤m≤，故选：D．3．（5分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x+4sin3x+1，x∈（﹣1，1），若f（1﹣a）+f（1﹣a2）＞2成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，1）B．（0，1） C．D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）【解答】解：令g（x）=f（x）﹣1=e x﹣e﹣x+4sin3x，则g（﹣x）=﹣g（x），即g（x）为奇函数，若f（1﹣a）+f（1﹣a2）＞2成立，即g（1﹣a）+g（1﹣a2）＞0成立，即g（1﹣a）＞﹣g（1﹣a2）=g（a2﹣1），∵g′（x）=e x+e﹣x+12sin2xcosx≥0在x∈（﹣1，1）时恒成立，故g（x）在（﹣1，1）上为增函数，故﹣1＜a2﹣1＜1﹣a＜1，解得：a∈（0，1），故选：B．4．（5分）已知函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，）【解答】解：由题意，存在x＜0，使f（x）﹣g（﹣x）=0，即e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解，令m（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a），则m（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a）在其定义域上是增函数，且x→﹣∞时，m（x）＜0，若a≤0时，x→a时，m（x）＞0，故e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解，若a＞0时，则e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解可化为e0﹣﹣ln（a）＞0，即lna＜，故0＜a＜．综上所述，a∈（﹣∞，）．故选：C5．（5分）若x1满足2x+2x=5，x2满足2x+2log2（x﹣1）=5，x1+x2=（）A．B．3 C．D．4【解答】解：由题意①2x2+2log2（x2﹣1）=5 ②所以，x1=log2（5﹣2x1）即2x1=2log2（5﹣2x1）令2x1=7﹣2t，代入上式得7﹣2t=2log2（2t﹣2）=2+2log2（t﹣1）∴5﹣2t=2log2（t﹣1）与②式比较得t=x2于是2x1=7﹣2x2即x1+x2=故选C6．（5分）设函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x2﹣x+1，则f（1）=（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：根据条件，f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=﹣g（x）；∴由f（x）﹣g（x）=x2﹣x+1①得，f（﹣x）﹣g（﹣x）=x2+x+1=f（x）+g（x）；即f（x）+g（x）=x2+x+1②；①+②得，2f（x）=2（x2+1）；∴f（x）=x2+1；∴f（1）=2．7．（5分）已知函数f（x）=|log2x|，若0＜b＜a，且f（a）=f（b），则图象必定经过点（a，2b）的函数为（）A．y=B．y=2x C．y=2x D．y=x2【解答】解：函数f（x）=|log2x|的图象如下图所示：若0＜b＜a，且f（a）=f（b），则b＜1＜a，且log2b=﹣log2a，即ab=1，故图象必定经过点（a，2b）的函数为y=，故选：A．8．（4分）对于函数f（x），如果存在非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，则y=f（x）与y=log5x 的图象的交点个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期为2的周期性函数，又x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2．根据函数的周期性画出图形，如图，由图可得y=f（x）与y=log5x的图象有4个交点9．（5分）设函数f（x）是定义在R上的函数，满足f（x）=f（4﹣x），且对任意x1，x2∈（0，+∞），都有（x1﹣x2）[f（x1+2）﹣f（x2+2）]＞0，则满足f（2﹣x）=f（）的所有x的和为（）A．﹣3 B．﹣5 C．﹣8 D．8【解答】解：∵对任意x1，x2∈（0，+∞），都有（x1﹣x2）[f（x1+2）﹣f（x2+2）]＞0，∴f（x）在（2，+∞）上递增，又∵f（x）=f（4﹣x），∴f（2﹣x）=f（2+x），即函数关于x=2对称，∵f（2﹣x）=f（），∴2﹣x=，或2﹣x+=4，∴x2+5x+3=0或x2+3x﹣3=0，∴满足f（2﹣x）=f（）的所有x的和为﹣8，故选C．10．（5分）设函数f（x）是定义在R上的函数，满足f（x）=f（4﹣x），且对任意x1，x2∈（0，+∞），都有（x1﹣x2）[f（x1+2）﹣f（x2+2）]＞0，则满足f（2﹣x）=f（）的所有x的和为（）A．﹣3 B．﹣5 C．﹣8 D．8【解答】解：∵对任意x1，x2∈（0，+∞），都有（x1﹣x2）[f（x1+2）﹣f（x2+2）]＞0，∴f（x）在（2，+∞）上递增，又∵f（x）=f（4﹣x），∴f（2﹣x）=f（2+x），即函数关于x=2对称，∵f（2﹣x）=f（），∴2﹣x=，或2﹣x+=4，∴x2+5x+3=0或x2+3x﹣3=0，∴满足f（2﹣x）=f（）的所有x的和为﹣8，故选C．11．（5分）若函数f（x）=且满足对任意的实数x1≠x2都有＞0成立，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（1，8） C．（4，8） D．[4，8）【解答】解：∵对任意的实数x1≠x2都有＞0成立，∴函数f（x）=在R上单调递增，∴，解得：a∈[4，8），故选：D12．（5分）已知在（﹣∞，+∞）上满足，则b的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．[1，+∞）C．（﹣1，1）D．[0，1）【解答】解：由题意，在（﹣∞，+∞）上单调递增，∴，∴2≤a＜3，0≤b＜1，故选D．13．（5分）设集合A={x|2x≤8}，B={x|x≤m2+m+1}，若A∪B=A，则实数m的取值范围为．（）A．[﹣2，1）B．[﹣2，1]C．[﹣2，﹣1）D．[﹣1，1）【解答】解：集合A={x|2x≤8}={x|x≤3}，因为A∪B=A，所以B⊆A，所以m2+m+1≤3，解得﹣2≤m≤1，即m∈[﹣2，1]．故选：B．14．（5分）定义函数序列：，f2（x）=f（f1（x）），f3（x）=f （f2（x）），…，f n（x）=f（f n﹣1（x）），则函数y=f2017（x）的图象与曲线的交点坐标为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意f1（x）=f（x）=．f2（x）=f（f1（x））==，f3（x）=f（f2（x））==，…f n（x）=f（f n﹣1（x））=，∴f2017（x）=，由得：，或，由中x≠1得：函数y=f2017（x）的图象与曲线的交点坐标为，故选：A15．（3分）关于x的方程（a＞0，且a≠1）解的个数是（）A．2 B．1 C．0 D．不确定的【解答】解：由题意a x=﹣x2+2x+a，﹣x2+2x+a＞0．令f（x）=a x，g（x）=﹣x2+2x+a，（1）当a＞1时，f（x）=a x在（﹣∞，+∞）上单调递增，且f（0）=1，f（1）=a，g（x）=﹣x2+2x+a在[0，1]上单调递增，在[1，+∞）上单调递减，且g（0）=a，g（1）=1+a，在[0，1]上，f（x）＜g（x），∵g（x）在x＜0及x＞1时分别有一个零点，而f（x）恒大于零，∴f（x）与g（x）的图象在x＜0及x＞1时分别有一个交点，∴方程有两个解；（2）当a＜1时，f（x）=a x在（﹣∞，+∞）上单调递减，且f（0）=1，f（1）=a，g（x）=﹣x2+2x+a在[0，1]上单调递增，在[1，+∞）上单调递减，且g（0）=a，g（1）=1+a，f（0）＞g（0），f（1）＜g（1），∴在（0，1）上f（x）与g（x）有一个交点，又g（x）在x＞1时有一个零点，而f（x）恒大于零，∴f（x）与g（x）的图象在x＞1时还有一个交点，∴方程有两个解．综上所述，方程有两个解．故选：A．16．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=|x﹣1|，若方程f（x）=有4个不相等的实根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，1）B．（，1）C．（，1）D．（﹣1，）【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0，∵当x≥0时，f（x）=|x﹣1|，∴f（﹣x）=|﹣x﹣1|=|x+1|，∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（x）=f（﹣x）=|x+1|，则f（x）=，即，由f（x）=得，f2（x）=x+a，画出函数y=x+a与y=f2（x）的图象，如图所示：由图知，当直线y=x+a过点A时有三个交点，且A（1，1），此时a=1，当直线y=x+a相切与点P时有三个交点，由图知，y=f2（x）=（x+1）2=x2+2x+1，则y′=2x+2，令y′=2x+2=1得x=，则y=，此时切点P（，），代入y=x+a得a=，∵方程f（x）=有4个不相等的实根，∴函数y=x+a与y=f2（x）的图象有四个不同的交点，由图可得，实数a的取值范围是（，1），故选B．17．（5分）已知f（x）=ln（1﹣）+1，则f（﹣7）+f（﹣5 ）+f（﹣3）+f（﹣1）+f（3 ）+f（5）+f（7 ）+f（9）=（）A．0 B．4 C．8 D．16【解答】解：∵f（x）=ln（1﹣）+1，则f（﹣7）=ln9﹣ln7+1，f（﹣5 ）=ln7﹣ln5+1，f（﹣3）=ln5﹣ln3+1，f（﹣1）=ln3+1，f（3 ）=﹣ln3+1，f（5）=ln3﹣ln5+1，f（7 ）=ln5﹣ln7+1，f（9）=ln7﹣ln9+1，则f（﹣7）+f（﹣5 ）+f（﹣3）+f（﹣1）+f（3 ）+f（5）+f（7 ）+f（9）=8，故选：C．18．（5分）定义域是一切实数的函数y=f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意实数x都成立，则称f（x）实数一个“λ一半随函数”，有下列关于“λ一半随函数”的结论：①若f（x）为“1一半随函数”，则f（0）=f（2）；②存在a∈（1，+∞）使得f（x）=a x为一个“λ一半随函数；③“一半随函数”至少有一个零点；④f（x）=x2是一个“λ一班随函数”；其中正确的结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①、若f（x）为“1一半随函数”，则f（x+1）+f（x）=0，可得f（x+1）=﹣f（x），可得f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），因此x=0，可得f（0）=f（2）；故①正确；②、假设f（x）=a x是一个“λ一半随函数”，则a x+λ+λa x=0对任意实数x成立，则有aλ+λ=0，而此式有解，所以f（x）=a x是“λ一半随函数”，故②正确．③、令x=0，得f（）+f（0）=0．所以f（）=﹣f（0），若f（0）=0，显然f（x）=0有实数根；若f（0）≠0，f（）•f（0）=﹣（f （0））2＜0，又因为f（x）的函数图象是连续不断，所以f（x）在（0，）上必有实数根，因此任意的“﹣一半随函数”必有根，即任意“﹣一半随函数”至少有一个零点．故③正确．④、假设f（x）=x2是一个“λ一半随函数”，则（x+λ）2+λx2=0，即（1+λ）x2+2λx+λ2=0对任意实数x成立，所以λ+1=2λ=λ2=0，而此式无解，所以f（x）=x2不是一个“λ﹣同伴函数”．故④错误正确判断：①②③．故选：C．19．（5分）如图，定义在[﹣2，2]的偶函数f（x）的图象如图所示，则方程f（f（x））=0的实根个数为（）A．3 B．4 C．5 D．7【解答】解：定义在[﹣2，2]的偶函数f（x）的图象如图：函数是偶函数，函数的值域为：f（x）∈[﹣2，1]，函数的零点为：x1，0，x2，x1∈（﹣2，﹣1），x2∈（1，2），令t=f（x），则f（f（x））=0，即f（t）=0可得，t=x1，0，x2，f（x）=x1∈（﹣2，﹣1）时，存在f[f（x1）]=0，此时方程的根有2个．x2∈（1，2）时，不存在f[f（x2）]=0，方根程没有根．f[f（0）]=f（0）=f（x1）=f（x2）=0，有3个．所以方程f（f（x））=0的实根个数为：5个．故选：C．20．（5分）已知函数f（x）=e x+2（x＜0）与g（x）=ln（x+a）+2的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，e）B．（0，e） C．（e，+∞）D．（﹣∞，1）【解答】解：由题意知，方程f（﹣x）﹣g（x）=0在（0，+∞）上有解，即e﹣x﹣ln（x+a）=0在（0，+∞）上有解，即函数y=e﹣x与y=ln（x+a）在（0，+∞）上有交点，则lna＜1，即0＜a＜e，则a的取值范围是：（0，e）．故选：B．21．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：①f（x）+f（2﹣x）=0；②f（x ﹣2）=f（﹣x），③在[﹣1，1]上表达式为f（x）=，则函数f（x）与函数g（x）=的图象在区间[﹣3，3]上的交点个数为（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：由f（x）+f（2﹣x）=0，可得函数f（x）的图象关于点M（1，0）对称．由f（x﹣2）=f（﹣x），可得函数f（x）的图象关于直线x=﹣1对称．又在[﹣1，1]上表达式为f（x）=，可得图象：进而得到在区间[﹣3，3]上的图象．画出函数g（x）=在区间[﹣3，3]上的图象，其交点个数为6个．故选：B．22．（5分）已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数．当x≥0时，f（x）=若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（）A． B．C．D．【解答】解：依题意f（x）在（﹣∞，﹣2）和（0，2）上递增，在（﹣2，0）和（2，+∞）上递减，当x=±2时，函数取得极大值；当x=0时，取得极小值0．要使关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R 有且只有6个不同实数根，设t=f（x），则则有两种情况符合题意：（1），且，此时﹣a=t1+t2，则；（2）t1∈（0，1]，，此时同理可得，综上可得a的范围是．故选答案C．23．（5分）函数f（x）=ln，则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，+∞）上单调递减B．奇函数，且在（0，+∞）上单凋递增C．偶函数，且在（0，+∞）上单调递减D．偶函数，且在（0，+∞）上单凋递增【解答】解：由x（e x﹣e﹣x）＞0，得f（x）的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），而f（﹣x）=ln=ln=f（x），∴f（x）是偶函数，x＞0时，y=x（e x﹣e﹣x）递增，故f（x）在（0，+∞）递增，故选：D．二、填空题：1．（5分）某投资公司准备在2016年年底将1000万元投资到某“低碳”项目上，据市场调研，该项目的年投资回报率为20%．该投资公司计划长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），若市场预期不变，大约在2020年的年底总资产（利润+本金）可以翻一番．（参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771）【解答】解：假设n年后总资产可以翻一番，依题意得：a×（1+20%）n=2a，即1.2n=2，两边同时取对数得，n=≈3.8所以大约经过4年，即在2020年底总资产可以翻一番．2．（5分）在函数①y=2x；②y=2﹣2x；③f（x）=x+x﹣1；④f（x）=x﹣x﹣3中，存在零点且为奇函数的序号是④．【解答】解：函数①y=2x不存在零点且为非奇非偶函数，故不满足条件；函数②y=2﹣2x存在零点1，但为非奇非偶函数，故不满足条件；函数③f（x）=x+x﹣1不存在零点，为奇函数，故不满足条件；函数④f（x）=x﹣x﹣3存在零点1且为奇函数，故满足条件；故答案为：④．3．（5分）已知函数f（x）=，若存在实数k使得函数f（x）的值域为[0，2]，则实数a的取值范围是[1，2] ．【解答】解：当﹣1≤x≤k时，函数f（x）=log2（1﹣x）+1为减函数，且在区间左端点处有f（﹣1）=2，令f（x）=0，解得x=，令f（x）=x|x﹣1|=2，解得x=2，∵f（x）的值域为[0，2]，∴k≤，当k≤x≤a时，f（x）=x|x﹣1|=，∴f（x）在[k，]，[1，a]上单调递增，在[，1]上单调递减，从而当x=1时，函数有最小值，即为f（1）=0函数在右端点的函数值为f（2）=2，∵f（x）的值域为[0，2]，∴1≤a≤2故答案为：[1，2]4．（4分）已知函数f（x）=|ax﹣1|﹣（a﹣1）x（1）当a=时，满足不等式f（x）＞1的x的取值范围为（2，+∞）；（2）若函数f（x）的图象与x轴没有交点，则实数a的取值范围为[，1）．【解答】解：（1）a=时，f（x）=|x﹣1|+x=，∵f（x）＞1，∴，解得x＞2，故x的取值范围为（2，+∞），（2）函数f（x）的图象与x轴没有交点，①当a≥1时，f（x）=|ax﹣1|与g（x）=（a﹣1）x的图象：两函数的图象恒有交点，②当0＜a＜1时，f（x）=|ax﹣1|与g（x）=（a﹣1）x的图象：要使两个图象无交点，斜率满足：a﹣1≥﹣a，∴a≥，故≤≤a＜1③当a≤0时，f（x）=|ax﹣1|与g（x）=（a﹣1）x的图象：两函数的图象恒有交点，综上①②③知：≤a＜1故答案为：（2，+∞），[，1）5．（4分）已知函数若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使f （x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，）．【解答】解：当x≥0时，2x﹣1≥0，当x＜0时，若a=0，则f（x）=2恒成立，满足条件；若a＞0，则f（x）＜2﹣3a，若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使f（x1）=f（x2）成立，则2﹣3a＞0，即a∈（0，）；若a＞0，则f（x）＜2﹣3a，若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使f（x1）=f（x2）成立，则2﹣3a＞0，即a∈（0，）；若a＜0，则f（x）＞2﹣3a，满足条件，综上可得：a∈（﹣∞，）；故答案为：（﹣∞，）6．（5分）下列命题中①若log a3＞log b3，则a＞b；②函数f（x）=x2﹣2x+3，x∈[0，+∞）的值域为[2，+∞）；③设g（x）是定义在区间[a，b]上的连续函数．若g（a）=g（b）＞0，则函数g（x）无零点；④函数既是奇函数又是减函数．其中正确的命题有②④．【解答】解：若log a3＞log b3＞0，则a＜b，故①错误；函数f（x）=x2﹣2x+3的图象开口朝上，且以直线x=1为对称轴，当x=1时，函数取最小值2，无最大值，故函数f（x）=x2﹣2x+3，x∈[0，+∞）的值域为[2，+∞）；故②正确；g（x）是定义在区间[a，b]上的连续函数．若g（a）=g（b）＞0，则函数g（x）可能存在零点；故③错误；数满足h（﹣x）=﹣h（x），故h（x）为奇函数，又由=﹣e x＜0恒成立，故h（x）为减函数故④正确；故答案为：②④．7．（5分）已知函数，若方程f（x）﹣a=0有三个不同的实数根，则a的取值范围为0＜a＜1．【解答】解：∵函数，∴作出函数f（x）的图象如右图所示，∵方程f（x）﹣a=0有三个不同的实数根，则函数y=f（x）的图象与y=a的图象有三个不同的交点，根据图象可知，a的取值范围为0＜a＜1．故答案为：0＜a＜1．8．（5分）方程=ax+a由两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为[0，）．【解答】解：设f（x）=，如图所示，表示以（2，0）为圆心，1为半径的半圆，由圆心（2，0）到y=ax+a的距离=1，可得a=，∵方程=ax+a有两个不相等的实数根，∴实数a的取值范围为[0，）．故答案为[0，）．9．（5分）已知函数，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是（0，1）．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣m=0，得m=f（x）作出y=f（x）与y=m的图象，要使函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则y=f（x）与y=m的图象有3个不同的交点，所以0＜m＜1，故答案为：（0，1）．10．（5分）定义在R上的单调函数f（x）满足：f（x+y）=f（x）+f（y），若F（x）=f（asinx）+f（sinx+cos2x﹣3）在（0，π）上有零点，则a的取值范围是[2，+∞）．【解答】解：①令x=y=0，则f（0）=2f（0），则f（0）=0；再令y=﹣x，则f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x）=0，且f（x）定义域为R，关于原点对称．∴f（x）是奇函数．②F（x）=f（asinx）+f（sinx+cos2x﹣3）在（0，π）上有零点．∴f（asinx）+f（sinx+cos2x﹣3）=0在（0，π）上有解；∴f（asinx）=﹣f（sinx+cos2x﹣3）=f（﹣sinx﹣cos2x+3）在（0，π）上有解；又∵函数f（x）是R上的单调函数，∴asinx=﹣sinx﹣cos2x+3在（0，π）上有解．∵x∈（0，π），∴sinx≠0；∴a==sinx+﹣1；令t=sinx，t∈（0，1]；则a=t+﹣1；∵y=t+，＜0，因此函数y在（0，1]上单调递减，∴a≥2．故答案为：[2，+∞）．三、简答题：1．（12分）已知函数f（x）=lg（a＞0）为奇函数，函数g（x）=+b（b ∈R）．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）若b＞1，讨论方徎g（x）=ln|x|实数根的个数；（Ⅲ）当x∈[，]时，关于x的不等式f（1﹣x）≤lgg（x）有解，求b的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由为奇函数得：f（﹣x）+f（x）=0，即，（2分）所以，解得a=1，（4分）（Ⅱ）当b＞1时，设，则h（x）是偶函数且在（0，+∞）上递减又所以h（x）在（0，+∞）上有惟一的零点，方徎g（x）=ln|x|有2个实数根．…（8分）（Ⅲ）不等式f（1﹣x）≤lgg（x）等价于，即在有解，故只需，（10分）因为，所以，函数，所以，所以b≥﹣13，所以b的取值范围是[﹣13，+∞）．（12分）2．（12分）已知函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）．（1）若a＜0，b＞0，c=0，且f（x）在[0，2]上的最大值为，最小值为﹣2，试求a，b的值；（2）若c=1，0＜a＜1，且||≤2对任意x∈[1，2]恒成立，求b的取值范围．（用a来表示）【解答】（1）抛物线的对称轴为，①当时，即b＞﹣4a时，当时，，f（x）min=f（2）=4a+2b+c=﹣2，∴，∴a=﹣2，b=3．②当时，即b≥﹣4a时，f（x）在[0，2]上为增函数，f（x）min=f（0）=0与f（x）min=﹣2矛盾，无解，综合得：a=﹣2，b=3．（2）对任意x∈[1，2]恒成立，即对任意x∈[1，2]恒成立，即对任意x∈[1，2]恒成立，令，则，∵0＜a＜1，∴，（ⅰ）若，即时，g（x）在[1，2]单调递减，此时，即，得，此时，∴∴．（ⅱ）若，即时，g（x）在单调递减，在单调递增，此时，，只要，当时，，当时，，．综上得：①时，；②时，；③时，．3．（12分）已知a∈R，函数f（x）=log2（+a）．（1）若f（1）＜2，求实数a的取值范围；（2）设函数g（x）=f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，讨论函数g（x）的零点个数．【解答】解：（1）若f（1）＜2，则log2（1+a）＜2，即0＜1+a＜4，解得：a∈（﹣1，3）；（2）令函数g（x）=f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0，则f（x）=log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，即+a=（a﹣4）x+2a﹣5，即（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1=0，①当a=4时，方程可化为：﹣x﹣1=0，解得：x=﹣1，此时+a=（a﹣4）x+2a﹣5=3，满足条件，即a=4时函数g（x）有一个零点；②当（a﹣5）2+4（a﹣4）=0时，a=3，方程可化为：﹣x2﹣2x﹣1=0，解得：x=﹣1，此时+a=（a﹣4）x+2a﹣5=2，满足条件，即a=3时函数g（x）有一个零点；③当（a﹣5）2+4（a﹣4）＞0时，a≠3，方程有两个根，x=﹣1，或x=，当x=﹣1时，+a=（a﹣4）x+2a﹣5=a﹣1，当a＞1时，满足条件，当x=时，+a=（a﹣4）x+2a﹣5=2a﹣4，当a＞2时，满足条件，综上可得：1＜a≤2时，函数g（x）有一个零点；a＞2且a≠3且a≠4时函数g（x）有两个零点；4．（12分）已知函数f（x）=．（1）求f（f（））；（2）若x0满足f（f（x0））=x0，且f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶不动点，求函数f（x）的二阶不动点的个数．【解答】解：（1）∵f（x）=．∴f（））=ln=，∴f（f（））=f（）=2﹣2×=1；（2）函数f（x）=．x∈[0，），f（x）=2﹣2x∈（1，2]，x∈[，1），f（x）=2﹣2x∈（0，1]，x∈[1，e]，f（x）=lnx∈（0，1），∴f（f（x））=，若x0满足f（f（x0））=x0，且f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶不动点，所以：x0∈[0，），ln（2﹣2x0）=x0，由y=ln（2﹣x0），y=x0，图象可知：存在满足题意的不动点．x0∈[，1），﹣2+4x0=x0，解得x0=，满足f（）=．不是f（x）的二阶不动点．x0∈[1，e]，2﹣2lnx0=x0，即2﹣x0=2lnx0，由y=2﹣x0，y=2lnx0，图象可知：存在满足题意的不动点．函数f（x）的二阶不动点的个数为：2个．5．（12分）已知函数f（x）=ax2+4x﹣1．（1）当a=1时，对任意x1，x2∈R，且x1≠x2，试比较f（）与的大小；（2）对于给定的正实数a，有一个最小的负数g（a），使得x∈[g（a），0]时，﹣3≤f（x）≤3都成立，则当a为何值时，g（a）最小，并求出g（a）的最小值．【解答】解：（1）a=1时，f（x）=x2+4x﹣1，f（）=+2（x1+x2）﹣1=++x1x2+2（x1+x2）﹣1，==++2（x1+x2）﹣1；故f（）﹣=﹣﹣+x1x2=﹣≤0；（2）∵f（x）=ax2+4x﹣1=a（x+）2﹣1﹣，显然f（0）=﹣1，对称轴x=﹣＜0．①当﹣1﹣＜﹣3，即0＜a＜2时，g（a）∈（﹣，0），且f[g（a）]=﹣3．令ax2+4x﹣1=﹣3，解得x=，此时g（a）取较大的根，即g（a）==，∵0＜a＜2，∴g（a）＞﹣1．②当﹣1﹣≥﹣3，即a≥2时，g（a）＜﹣，且f[g（a）]=3．令ax2+4x﹣1=3，解得x=，此时g（a）取较小的根，即g（a）==，∵a≥2，∴g（a）=≥﹣3．当且仅当a=2时，取等号．∵﹣3＜﹣1∴当a=2时，g（a）取得最小值﹣3．6．（12分）已知函数f（x）=x+﹣1（x≠0），k∈R．（1）当k=3时，试判断f（x）在（﹣∞，0）上的单调性，并用定义证明；（2）若对任意x∈R，不等式f（2x）＞0恒成立，求实数k的取值范围；（3）当k∈R时，试讨论f（x）的零点个数．【解答】解：（1）当k=3，x∈（﹣∞，0）时，f（x）=x﹣，＞0，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增．证明：在（﹣∞，0）上任取x1，x2，令x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）=（）﹣（）=（x1﹣x2）（1+），∵x1，x2∈（﹣∞，0），x1＜x2，∴，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增．（2）设2x=t，则t＞0，f（t）=t+，①当k＞0时，f′（t）=1﹣，t=时，f′（t）=0，且f（t）取最小值，f（）==2﹣1，当k时，f（）=2﹣1＞0，当0＜k≤时，f（）=2﹣1≤0，∴k＞时，f（2x）＞0成立；0＜k≤时，f（2x）＞0不成立．②当k=0时，f（t）=t﹣1，∵t∈（0，+∞），不满足f（t）恒大于0，∴舍去．③当k＜0时，f恒大于0，∵，且f（x）在（0，+∞）内连续，∴不满足f（t）＞0恒成立．综上，k的取值范围是（，+∞）．（3）由f（x）=x+﹣1=0，（x≠0），k∈R．得x+﹣1=0，∴k=|x|•（1﹣x），x≠0，当x＞0时，k=x（1﹣x），当x＜0时，k=﹣x（1﹣x），∴结合图象得：当k＞或k≤0时，f（x）有1个零点；当k=时，f（x）有2个零点；当0＜k＜时，f（x）有3个零点．7．（12分）已知函数f（x）=x2+ax（a＞0）在[﹣1，2]上的最大值为8，函数g （x）是h（x）=e x的反函数．（1）求函数g（f（x））的单调区间；（2）求证：函数y=f（x）h（x）﹣（x＞0）恰有一个零点x0，且g（x0）＜x02h （x0）﹣1（参考数据：e=2.71828…，ln2≈0.693）．【解答】解：（1）函数g（x）是h（x）=e x的反函数，可得g（x）=lnx；函数f（x）=x2+ax（a＞0）在[﹣1，2]上的最大值为8，只能是f（﹣1）=8或f（2）=8，即有1﹣a=8或4+2a=8，解得a=2（﹣7舍去），函数g（f（x））=ln（x2+2x），由x2+2x＞0，可得x＞0或x＜﹣2．由复合函数的单调性，可得函数g（f（x））的单调增区间为（0，+∞）；单调减区间为（﹣∞，﹣2）；（2）证明：由（1）得：f（x）=x2+2x，即φ（x）=f（x）h（x）﹣，（x＞0），设0＜x1＜x2，则x1﹣x2＜0，x1x2＞0，∴＜0，∵f（x）在（0，+∞）递增且f（x）＞0，∴f（x2）＞f（x1）＞0，∵＞＞0，∴f（x1）＜f（x2），∴φ（x1）﹣φ（x2）=f（x1）﹣f（x2）+＜0，即φ（x1）＜φ（x2），∴φ（x）在（0，+∞）递增；∵φ（）=﹣2＞﹣2=0，φ（）=﹣e＜﹣e＜0，即φ（）φ（）＜0，∴函数y=f（x）h（x）﹣（x＞0）恰有1个零点x0，且x0∈（，），∴（+2x0）﹣=0，即=，∴h（x0）﹣g（x0）=﹣lnx0=﹣lnx0，∵y=﹣lnx在（0，）上是减函数，∴﹣lnx0＞﹣ln=+ln2＞+0.6=1，即g（x0）＜h（x0）﹣1，综上，函数y=f（x）h（x）﹣（x＞0）恰有一个零点x0，且g（x0）＜x02h（x0）﹣1．8．（10分）已知函数f（x）=3x，g（x）=|x+a|﹣3，其中a∈R．（Ⅰ）若函数h（x）=f[g（x）]的图象关于直线x=2对称，求a的值；（Ⅱ）给出函数y=g[f（x）]的零点个数，并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）函数h（x）=f[g（x）]=3|x+a|﹣3的图象关于直线x=2对称，则h（4﹣x）=h（x）⇒|x+a|=|4﹣x+a|恒成立⇒a=﹣2；（Ⅱ）函数y=g[f（x）]=|3x+a|﹣3的零点个数，就是函数G（x）=|3x+a|与y=3的交点，①当0≤a＜3时，G（x）=|3x+a|=3x+a与y=3的交点只有一个，即函数y=g[f（x）]的零点个数为1个（如图1）；②当a≥3时，G（x）=|3x+a|=3x+a与y=3没有交点，即函数y=g[f（x）]的零点个数为0个（如图1）；③﹣3≤a＜0时，G（x）=|3x+a|与y=3的交点只有1个（如图2）；④当a＜﹣3时，G（x）=|3x+a|与y=3的交点有2个（如图2）；9．（10分）设函数f（x）的定义域为R，如果存在函数g（x），使得f（x）≥g （x）对于一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．已知函数f（x）=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）．（1）若a=1，b=2．写出函数f（x）的一个承托函数（结论不要求证明）；（2）判断是否存在常数a，b，c，使得y=x为函数f（x）的一个承托函数，且f （x）为函数的一个承托函数？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）函数f（x）=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），可得a﹣b+c=0，又a=1，b=2，则f（x）=x2+2x+1，由新定义可得g（x）=x为函数f（x）的一个承托函数；（2）假设存在常数a，b，c，使得y=x为函数f（x）的一个承托函数，且f（x）为函数的一个承托函数．即有x≤ax2+bx+c≤x2+恒成立，令x=1可得1≤a+b+c≤1，即为a+b+c=1，即1﹣b=a+c，又ax2+（b﹣1）x+c≥0恒成立，可得a＞0，且（b﹣1）2﹣4ac≤0，即为（a+c）2﹣4ac≤0，即有a=c；又（a﹣）x2+bx+c﹣≤0恒成立，可得a＜，且b2﹣4（a﹣）（c﹣）≤0，即有（1﹣2a）2﹣4（a﹣）2≤0恒成立．故存在常数a，b，c，且0＜a=c＜，b=1﹣2a，可取a=c=，b=．满足题意．10．（10分）已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数T≠0，使得f（x）=Tf （x+T）对任意的x∈R成立，则称函数f（x）是Ω函数．（Ⅰ）判断函数f（x）=x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（只需写出结论）（Ⅱ）说明：请在（i）、（ii）问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择（i）计分（i）求证：若函数f（x）是Ω函数，且f（x）是偶函数，则f（x）是周期函数；（ii）求证：若函数f（x）是Ω函数，且f（x）是奇函数，则f（x）是周期函数；（Ⅲ）求证：当a＞1时，函数f（x）=a x一定是Ω函数．【解答】解：（I）①对于函数f（x）=x是Ω函数，假设存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），则T（x+T）=x，取x=0时，则T=0，与T≠0矛盾，因此假设不成立，即函数f（x）=x不是Ω函数．②对于g（x）=sinπx是Ω函数，令T=﹣1，则sin（πx﹣π）=﹣sin（π﹣πx）=﹣sinπx．即﹣sin（π（x﹣1））=sinπx．∴Tsin（πx+πT）=sinπx成立，即函数f（x）=sinπx对任意x∈R，有Tf（x+T）=f（x）成立．（II）（i）证明：∵函数f（x）是Ω函数，∴存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），Tf（﹣x+T）=f（﹣x）．又f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴Tf（﹣x+T）=Tf（x+T），T≠0，化为：f（x+T）=f（﹣x+T），令x﹣T=t，则x=T+t，∴f（2T+t）=f（﹣t）=f（t），可得：f（2T+t）=f（t），因此函数f（x）是周期为2T的周期函数．（ii）证明：∵函数f（x）是Ω函数，∴存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），Tf （﹣x+T）=f（﹣x）．又f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴﹣Tf（x+T）=Tf（﹣x+T），T≠0，化为：﹣f（x+T）=f（﹣x+T），令x﹣T=t，则x=T+t，∴﹣f（2T+t）=f（﹣t）=﹣f（t），可得：f（2T+t）=f（t），因此函数f（x）是周期为2T的周期函数．（III）证明：当a＞1时，假设函数f（x）=a x是Ω函数，则存在非零常数T，Tf （x+T）=f（x），∴Ta x+T=a x，化为：Ta T a x=a x，∵a x＞0，∴Ta T=1，即a T=，此方程有非0 的实数根，因此T≠0且存在，∴当a＞1时，函数f（x）=a x一定是Ω函数．11．（10分）已知函数f（x），定义（Ⅰ）写出函数F（2x﹣1）的解析式；（Ⅱ）若F（|x﹣a|）+F（2x﹣1）=0，求实数a的值；（Ⅲ）当时，求h（x）=cosx•F（x+sinx）的零点个数和值域．【解答】解：（Ⅰ）定义，当2x﹣1＞x，可得x＞1，则F（2x﹣1）=1；当2x﹣1=x，可得x=1，则F（2x﹣1）=0；。

第一章 §4 4.1A 组·素养自测一、选择题1．将一元二次函数y ＝5x 2的图象平移，得到一元二次函数y ＝5(x －3)2－1的图象，下列平移方式中，正确的是( D )A ．先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C ．先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D ．先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度2．函数y ＝－2x 2＋x 在下列哪个区间上，函数值y 随x 增大而增大( D ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．⎣⎡⎭⎫14，＋∞D ．⎝⎛⎭⎫－∞，14 3．一元二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数且a ≠0)中的x 与y 的部分对应值如表，该函数图象的对称轴是直线( C )x －1 0 1 3 y－1353A ．x ＝0B ．x ＝1C ．x ＝1.5D ．x ＝24．(2021·广东省深圳市质检)已知一元二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 满足a ＞b ＞c ，且a －b ＋c ＝0，那么它的大致图象可能是( A )[解析] 由a ＞b ＞c ，且a －b ＋c ＝0可以分析出a ＞0，c ＜0，即函数图象开口向上，当x ＝－1时y ＝a －b ＋c ＝0，当x ＝0时y ＝c ＜0．结合各选项可知选A ．5．(2021·山东省青岛市调研)一元二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与y ＝bx 2＋ax ＋c 在同一平面直角坐标系中的图象可能是( D )[解析] 由于一元二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与y ＝bx 2＋ax ＋c 的图象的对称轴方程分别是x ＝－b 2a ，x ＝－a 2b ，则－b 2a 与－a2b 同号，即它们的图象的对称轴位于y 轴的同一侧，由此排除A ，B ；由C ，D 中给出的图象，可判定两函数的图象的开口方向相反，故ab ＜0，于是－b 2a ＞0，－a2b＞0，即两函数图象的对称轴都位于y 轴右侧，排除C ，选D ． 6．(2021·河南省郑州市期中)已知函数y ＝x 2－4x ＋5在闭区间[0，m ]上有最大值5，最小值1，则m 的取值范围是( D )A ．[0,1]B ．[1,2]C ．[0,2]D ．[2,4][解析] ∵函数y ＝x 2－4x ＋5＝(x －2)2＋1，∴当x ∈(－∞，2]时，y 随x 的增大而减小，当x ∈[2，＋∞)时，y 随x 的增大而增大，而且x ＝0或x ＝4时y ＝5，x ＝2时y ＝1，由图象(如图所示)可知，若函数y ＝x 2－4x ＋5在闭区间[0，m ]上有最大值5，最小值1，则m 的取值范围是[2,4]．二、填空题7．一元二次函数y ＝3x 2的图象上有两点(2，y 1)，(5，y 2)，则y 1__＜__y 2(填＞，＜，＝)． 8．若顶点坐标为(2，－2)的一元二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与y ＝－3(x ＋1)2的图象开口大小相同，方向相反，则一元二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式为__y ＝3x 2－12x ＋10__．[解析] 由题意可知所求一元二次函数的解析式为y ＝3(x －2)2－2＝3x 2－12x ＋10． 9．函数y ＝3x 2－x ＋2的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数解析式是__y ＝3x 2＋5x ＋2__．[解析] 函数y ＝3x 2－x ＋2的图象向左平移1个单位长度，得到函数y ＝3(x ＋1)2－(x ＋1)＋2的图象，再向下平移2个单位长度，得到函数y ＝3(x ＋1)2－(x ＋1)＋2－2的图象，即所得图象对应的函数解析式是y ＝3x 2＋5x ＋2．三、解答题10．(1)在同一坐标系内，画出二次函数y ＝－12x 2，y ＝－12x 2－1，y ＝－12(x ＋1)2－1的图象；(2)指出y ＝－12(x ＋1)2－1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值、函数值的变化趋势．[解析] (1)作出这三个函数的图象，如图：(2)y ＝－12(x ＋1)2－1的图象开口方向向下，对称轴为直线x ＝－1，顶点坐标为(－1，－1)，当x ＝－1时，y max ＝－1．在区间(－∞，－1]上函数值y 随x 增大而增大，在区间[－1，＋∞)上函数值y 随x 增大而减小．B 组·素养提升一、选择题1．(2021·辽宁大连八中高一月考)校运动会上，某运动员掷铅球时，他所掷的铅球的高y (m)与水平的距离x (m)之间的函数关系式为y ＝－112x 2＋23x ＋53，则该运动员的成绩是( B )A ．6 mB ．10 mC ．8 mD ．12 m[解析] 当y ＝0时，－112x 2＋23x ＋53＝0，解得x ＝10或x ＝－2(舍去)，故选B ．2．(2021·山西大同一中高一月考)已知m ＞2，点(m －1，y 1)，(m ，y 2)，(m ＋1，y 3)都在二次函数y ＝x 2－2x 的图象上，则( A )A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 1＜y 3＜y 2D ．y 2＜y 1＜y 3[解析] 因为y ＝x 2－2x 在[1，＋∞)上是增函数，且m －1，m ，m ＋1均在[1，＋∞)内，所以y 1＜y 2＜y 3．3．(2021·贵州遵义三中高一月考)已知二次函数y ＝x 2＋x ＋a (a ＞0)，若当x ＝m 时，y ＜0，则当x ＝m ＋1时，y 的值为( A )A ．正数B ．负数C ．零D ．符号与a 有关[解析] 因为a ＞0，所以x ＝0时，y ＝a ＞0．因为函数图象的对称轴为直线x ＝－12，所以x ＝－1时y 的值与x ＝0时y 的值相等．又因为x ＝m ，y ＜0，所以－1＜m ＜0，所以m ＋1＞0，所以y ＞0．4．(多选)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，有以下结论，其中正确的是( ABC )A ．a ＋b ＋c ＜0B ．a －b ＋c ＞1C ．abc ＞0D ．4a －2b ＋c ＜0[解析] 由题图可知x ＝1时y ＜0，x ＝－1时y ＞1，所以AB 正确． 因为－b2a ＝－1，且a ＜0，所以b ＝2a ＜0．因为x ＝0时，c ＝1＞0，所以C 正确．因为x ＝－2，x ＝0时，y ＝1，所以当x ＝－2时，y ＝4a －2b ＋c ＞0，所以D 不正确． 二、填空题5．(2021·内江统考)函数y ＝(m －1)·x 2＋2(m ＋1)x －1的图象与x 轴只有一个交点，则实数m 的取值集合是__{－3,0,1}__．[解析] 当m ＝1时，y ＝4x －1，其图象和x 轴只有一个交点⎝⎛⎭⎫14，0．当m ≠1时，依题意得Δ＝4(m ＋1)2＋4(m －1)＝0，即m 2＋3m ＝0，解得m ＝－3或m ＝0．所以m 的取值集合为{－3,0,1}．6．(2021·广西桂林一中高一月考)抛物线y ＝－x 2－2x ＋3与x 轴的两个交点分别为A ，B ，顶点为C ，则△ABC 的面积为__8__．[解析] 由y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，得点A (－3,0)，B (1,0)，C (－1,4)，所以|AB |＝|1－(－3)|＝4，点C 到边AB 的距离为4，所以S △ABC ＝12×4×4＝8．三、解答题7．求函数y ＝3－2x －x 2，x ∈⎣⎡⎦⎤－52，32的最大值和最小值． [解析] 函数y ＝3－2x －x 2的图象的对称轴为直线x ＝－1．画出函数y ＝3－2x －x 2，x ∈⎣⎡⎦⎤－52，32的大致图象，如图所示，由图可知，当x ＝－1时，y max ＝4；当x ＝32时，y min ＝－94．所以函数y ＝3－2x －x 2，x ∈⎣⎡⎦⎤－52，32的最大值为4，最小值为－94． 8．已知函数y ＝(x －2)(x ＋a )．(1)若函数的图象关于直线x ＝1对称，求a 的值； (2)若函数在区间[0,1]上的最小值是2，求a 的值． [解析] (1)∵y ＝x 2＋(a －2)x －2a 的图象的对称轴 为直线x ＝2－a2，∴2－a 2＝1，解得a ＝0． (2)由(1)知y ＝x 2＋(a －2)x －2a 的图象的对称轴为直线x ＝1－a2，①当1－a2≤0，即a ≥2时，y min ＝－2a ＝2，解得a ＝－1，不符合题意，舍去；②当1－a2∈(0,1)，即0＜a ＜2时，y min ＝－a 2－4a －44＝2，无解；③当1－a2≥1，即a ≤0时，y min ＝－1－a ＝2，解得a ＝－3，符合题意．综上所述，a ＝－3．。

高中数学必修一函数培优题集合与映射部分 1．设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉，且1k A +∉，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定{}12345678S =，，，，，，，，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个．62．对于各数互不相等的正数数组()12,,,n i i i ⋅⋅⋅（n 是不小于2的正整数），如果在p q <时有p q i i <，则称 “p i 与q i ”是该数组的一个“顺序”，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”． 例如，数组()2,4,3,1中有顺序“2, 4”，“2, 3”，其“顺序数”等于2．若各数互不相等的正数数组()12345,,,,a a a a a 的“顺序数”是4，则()54321,,,,a a a a a 的“顺序数”是 ．63．对于任意两个正整数，定义运算（用⊕表示运算符号）：当m ，n 都是正偶数或都是正奇数时，m n m n ⊕=+，例如464610⊕=+=,373710⊕=+=； 当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m n m n ⊕=⨯，例如343412⊕=⨯=． 在上述定义中，集合(){}*|12M a b a b a b =⊕=∈N ，，，的元素有 个．154．设集合{} 0 1 2 3 4 5, , , , , S A A A A A A =，在S 上定义运算“⊕”为：i j k A A A ⊕=，其中k 为i j +被4除的余数，,0,1,2,3,4,5i j =．则满足关系式20()x x A A ⊕⊕=的 ()x x S ∈的个数有 个．35．实数集R 中定义一种运算“*”，具有性质： ① 对任意,,**a b R a b b a ∈=； ② 对任意,*0a R a a ∈=；③ 对任意,,,(*)**()(*)(*)2a b c R a b c c ab a c b c c ∈=++-； 则0*2= ．26．给定集合{1,2,3,...,}n A n =，*n ∈N ．若f 是n n A A →的映射，且满足： ⑴ 任取,,n i j A ∈若i j ≠，则()()f i f j ≠；⑵ 任取,n m A ∈若2m ≥，则有m {(1),(2),..,()}f f f m ∈． 则称映射f 为n n A A →的一个“优映射”．例如：用表1表示的映射f ：33A A →是一个“优映射”．⑴ 已知f ：44A A →是一个“优映射”，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）．或7．定义映射f A B →∶，其中(){}|A m n m n =∈R ，，，B =R ． 已知对所有的有序正整数对()m n ，满足下述条件：① ()11f m =，； ② 若m n <，()0f m n =，；③ ()()()1,,,1f m n n f m n f m n +=+-⎡⎤⎣⎦则()3,2f 的值是 ；68．已知(1,1)1f =，(,)*f m n ∈N （m 、*)n ∈N ，且对任意m 、*n ∈N 都有： ①(,1)(,)2f m n f m n +=+；②(1,1)2(,1)f m f m +=． 给出以下三个结论： （1）(1,5)9f =；（2）(5,1)16f =；（3）(5,6)26f =．其中正确的个数为（ A ） （A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）09．下图展示了一个由区间()01，到实数集R 的映射过程： ⑴ 区间()01，中的实数m 对应数轴上的点M ，如图1； ⑵ 将线段AB 围成一个圆，使两端点A 、B 恰好重合，如图2；⑶ 再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y 轴上，点A 的坐标为()01，，如图3． 图3中直线AM与x 轴交于点()0N n ，，则m 的象就是n ，记作()f m n =．⑴ 方程()0f x =的解是x = ；12⑵ 下列说法中正确命题的序号是 ．③④（填出所有正确命题的序号）①114f ⎛⎫= ⎪⎝⎭； ②()f x 是奇函数；③()f x 在定义域上单调递增； ④()f x 的图象关于点1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称．10．若集合A 具有以下性质：① A ∈0，A ∈1； ② 若A y x ∈,，则A y x ∈-，且0≠x 时，A x∈1． 则称集合A 是“好集”．分别判断集合{1,0,1}B =-，有理数集Q 是否是“好集”，并说明理由． 11．若集合{}12,,,(2)k A a a a k =≥L ，其中(1,2,,)i a i k ∈=Z L ，由A 中的元素构成两个相应的集合：{}(,),,S a b a A b A a b A =∈∈+∈，{}(,),,T a b a A b A a b A =∈∈-∈．其中(,)a b 是有序数对．若对于任意的a A ∈，总有a A -∉，则称集合A 具有性质P ．检验集合{}0123，，，与{}123-，，是否具有性质P 并对其中具有性质P 的集合，写出相应的集合S 和T ．12．已知数集{}12,,,n A a a a =⋅⋅⋅（121n a a a ≤<<⋅⋅⋅<，2n ≥）具有性质P ：对任意的i 、j (1)i j n ≤≤≤，i j a a 与j ia a 两数中至少有一个属于A ．分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由．BA (B )图 1图 2图 3初等函数及其性质部分1．求下列函数的定义域 （1）3y x =-； （2）ln(1)y x =- （3）y = 2．给出下列三个等式：①()()()f xy f x f y =+； ②()()()f x y f x f y +=⋅； ③()()()f x y f x f y +=+． 下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）（A ）()3xf x = （B ）()2f x x = （C ）()lg f x x = （D ）1()f x x=3．设232555322(),(),()555a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ A ）（A ）a c b >> （B ）a b c >> （C ）c a b >> （D ）b c a >>4．设2544log 4,(log 3),log 5a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ D ）（A ）a c b << （B ）b c a << （C ）a b c << （D ）b a c << 5．设3.02131)21(,3log ,2log ===c b a ，则,,a b c 的大小关系是（ B ）（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）b c a << （D ）b a c <<6．设,,a b c 均为正数，且122log a a =，121log 2b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ）（A ）a b c << （B ）c b a << （C ）c a b << （D ）b a c <<7．下列函数中，在区间(1,)+∞上为增函数的是（ B ） （A ）21xy =-+ （B ）1x y x =- （C ）2(1)y x =-- （D ）12log (1)y x =-8．给定函数：①12y x =； ②12log (1)y x =+； ③|1|y x =-； ④12x y +=其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是（ B ）（A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）①④ 9．为了得到函数3lg10x y +=的图象，只需把函数lg y x =的图象上所有点（ C ） （A ）向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 （B ）向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 （C ）向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度（D ）向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度10．若)2(log ax y a -=在]1,0[上是减函数，则a 的取值范围是（ C ）（A ）)1,0( （B ）)2,0( （C ）)2,1( （D ）),2(+∞11．已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩是(,)-∞+∞上的增函数，则a 的取值范围是（ C ）（A ）(0,1) （B ）1(0,)3（C ）17⎡⎢⎣,13⎤⎥⎦（D ）]1,17⎡⎢⎣12．设函数()y f x =在(,)-∞+∞内有定义，对于给定的正数K ，定义函数(),(),(),().K f x f x K f x K f x K ≤⎧=⎨>⎩取函数()2xf x -=，当K =12时，函数()K f x 的单调递增区间为（ C ） （A ）(,0)-∞ （B ）(0,)+∞ （C ）(,1)-∞- （D ）(1,)+∞ 13．设25abm ==，且112a b+=，则m = ．14．若2log 13a<，则a 的取值范围是 ． 15．已知(1)log (23)1k k +-<，则实数k 的取值范围是 ．16．偶函数()f x 在(,0)-∞上是减函数，若(1)(lg )f f x -<，则实数x 的取值范围是 ． 17．函数()()2log 31x f x =+的值域为 ． 18．定义：区间[]()1212,x x x x <的长度为21x x -.（1）若函数||2x y =的定义域为[],a b ，值域为[]1,2，则区间[],a b 的长度的最大值与最小值的差为 ．【1】（2）若函数12log y x =的定义域为],[b a ，值域为]2,0[，则区间],[b a 的长度的最大值与最小值的差为 ．【3】19．对于函数()f x 定义域中的任意1212,()x x x x ≠，有如下结论： ①1212()()()f x x f x f x +=⋅； ②1212()()()f x x f x f x ⋅=+； ③1212()()0f x f x x x ->-； ④1212()()()22x x f x f x f ++<．当()xf x e =时，上述结论中正确结论的序号是 （将你认为正确结论的序号都填上）；当()lg f x x =时，上述结论中正确结论的序号是 （将你认为正确结论的序号都填上）． 函数的零点与方程的根部分1．已知函数131()()2xf x x =-，那么在下列区间中含有函数()f x 零点的为（ B ）（A ）1(0,)3 （B ）11(,)32 （C ）1(,1)2（D ）(1,2)2．已知21,0()log ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，则函数1)]([+=x f f y 的零点个数是（ A ）（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）13．已知31()()log 5xf x x =-，若0x 是函数()f x 的零点，且100x x <<，则1()f x 的值为（ A ）（A ）恒为正值 （B ）等于0 （C ）恒为负值 （D ）不大于04．已知定义域为(0,)+∞的单调函数()f x ，若对任意(0,)x ∈+∞，都有12(()log )3f f x x +=，则方程()2f x =+的解的个数是（ B ）（A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）05．已知1(),4()2(1),4xx f x f x x ⎧≥⎪=⎨⎪+<⎩，则2(2log 3)f += ．【124】6．已知1,0()1(),03x x xf x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩，则不等式1()3f x ≥的解集为 ．7．已知32,2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 ．8．用max{}a b ，表示a ，b 两数中的最大数，设22()max{84,log }f x x x x =-+-， 若函数()()g x f x kx =-有2个零点，则k 的取值范围是 ．【(0,4)】定义函数及其满足某性质部分1．定义：如果对于函数()f x 定义域内的任意x ，都有()f x M ≥（M 为常数），那么称M 为()f x 的下界，下界M 中的最大值叫做()f x 的下确界．现给出下列函数，其中所有有下确界的函数是（ D ）①()2log f x x =； ②()3x f x =； ③()1(0)0(0)1(0)x f x x x ->⎧⎪==⎨⎪<⎩（A ）②（B ）④（C ）②③④（D ）③④2．已知函数()f x 的定义域为R ，若存在常数0m >，对任意x ∈R ，有()f x m x ≤，则称()f x 为F 函数． 给出下列函数：①()0f x =； ②2()f x x =；③()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足对一切实数12,x x 均有1212()()2f x f x x x --≤． 其中是F 函数的序号为（ C ）（A ）①②③ （B ）②③ （C ）①③ （D ）①②3．集合M 由满足以下条件的函数()f x 组成：对任意[]12,1,1x x ∈-时，都有1212()()4f x f x x x --≤． 对于两个函数212()25,()f x x x f x x =-+=，以下关系成立的是（ D ）（A ）12(),()f x M f x M ∈∈ （B ）12(),()f x M f x M ∉∉ （C ）12(),()f x M f x M ∉∈ （D ）12(),()f x M f x M ∈∉4．若函数()f x 满足条件：当12,[1,1]x x ∈-时，有1212()()3f x f x x x -≤-成立，则称()f x ∈Ω． 对于函数31(),()2g x x h x x ==+，有（ C ） （A ）()()g x h x ∈Ω∉Ω且（B ）()()g x h x ∉Ω∈Ω且（C ）()()g x h x ∈Ω∈Ω且 （D ）()()g x h x ∉Ω∉Ω且5．已知三个函数：①31y x =-；②12x y +=；③lg y x =．其中满足性质：对于任意1x 、2x ∈R ，若102x x x <<，102x x α+=，022x x β+=，则有12()()()()f f f x f x αβ-<-成立的函数是 ．①②（写出全部正确结论的序号）6．平面直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数()f x 的图象恰好通过()k k *∈N 个格点，则称函数()f x 为k 阶格点函数．下列函数： ①12()f x x =； ②2()π(1)3f x x =-+； ③21()3x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭；④0.6()log (1)f x x =+； ⑤1()1f x x =-，其中是一阶格点函数的有 ．②④（填上所有满足题意的函数的序号）7．设函数()f x 的定义域为D ，如果对于任意的1x D ∈，存在唯一一个2x D ∈，使得12()()f x f x c +=（c 为常数）成立，则称函数()f x 在D 上“与常数c 关联”．给出下列函数： ① 11y x =-；② 3y x =-；③ ||1()2x y =；④ ln()y x =-．其中满足在其定义域上与常数1关联的所有函数是 ．（填上所有满足题意的函数的序号）8．设函数()f x 的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意()x M M D ∈⊆，有x l D +∈，且()()f x l f x +≥，则称()f x 为M 上的l 高调函数． 如果定义域是[1,)-+∞的函数2()f x x =为[1,)-+∞上的m 高调函数，那么实数m 的取值范围是 ．2m ≥如果定义域为R 的函数()f x 是奇函数，当0x ≥时，22()f x x a a =--，且()f x 为R 上的4高调函数，那么实数a 的取值范围是 ．11a -≤≤9．用[]x 表示不超过x 的最大整数，如[1.8]1=．对于下面关于函数2()([])f x x x =-的四个命题：① 函数()y f x =的定义域为R ，值域为[0,1]； ② 函数()y f x =的图象关于y 轴对称； ③ 函数()y f x =是周期函数，最小正周期为1；④ 函数()y f x =上是增函数． 其中正确命题的序号是 ．（写出所有正确命题的序号）③10．定义：若1122m x m -<+≤（其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x m =． 在此基础上给出下列关于函数{}()f x x x =-的四个命题： ① 函数()y f x =的定义域为R ，值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦；② 函数()y f x =的图像关于直线2kx =()k Z ∈对称；③ 函数()y f x =是周期函数，最小正周期为1；④ 函数()y f x =在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数．其中正确的命题的序号是 ．①②③（写出所有正确命题的序号）函数的奇偶性、单调性等性质部分1．设函数()3xf x =，且函数()f x 与()g x 互为反函数． （Ⅰ）求()g x 的解析式；（Ⅱ）将函数3log (3)2y x =+-的图象经过怎样的平移后，可以得到函数()g x 的图象？2．已知函数()(0x f x a a =>且1)a ≠． （Ⅰ）若0()4f x =，求0(2)f x 的值；（Ⅱ）若22(231)(25)f x x f x x -+>+-，求x 的取值范围．3．已知函数2()2f x x x =-与()3xg x =． （Ⅰ）求函数[()]y f g x =，[1,2]x ∈的值域； （Ⅱ）求函数[()]y g f x =，[1,2]x ∈的值域．4．已知定义域为R 的函数abx f x x ++-=+122)(是奇函数.（Ⅰ）求,a b 的值；【1,2】（Ⅱ）若对任意的t ∈R ，不等式0)2()2(22<-+-k t f t t f 恒成立，求k 的取值范围.【13k <-】5．若函数22()log (29)f x x x =-+．（Ⅰ）求()f x 的定义域与值域； （Ⅱ）求()f x 的单调增区间．6．若函数21()log 1xf x x+=-． （Ⅰ）求函数()f x 的定义域；（Ⅱ）判断函数()f x 的奇偶性与单调性； （Ⅲ）求()0f x >的解集；（Ⅳ）函数()f x 在其定义域上是否存在反函数？若存在，求出反函数1()f x -；若不存在，说明理由．7．已知函数1()f x x x=+． （Ⅰ）求证：函数()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增；（Ⅱ）判断函数()f x 的奇偶性；（Ⅲ）在右侧直角角标系中，画出函数的图象；并由函数的图象归纳出函数的性质 （例如：奇偶性、单调性、值域等）；．（Ⅳ）由前述问题归纳出函数()ag x x x=+(0)a >的性质．抽象函数及其性质部分1．设函数()f x 的定义域为R ，对任意12,x x ∈R ，恒有1212()()()f x x f x f x +=+成立． （Ⅰ）求证：()f x 是奇函数；（Ⅱ）当0x >时，有()0f x <，证明()f x 是R 上的减函数．2．设函数()f x 的定义域为R ，当0x >时，有0()1f x <<，且对于任意实数m 、n 均有()()()f m n f m f n +=⋅成立．（Ⅰ）求(0)f 的值；（Ⅱ）求证：当0x <时，()1f x >．3．已知函数()f x 对任意的实数,x y 满足：()()()2f x y f x f y +=+-，且0,()2x f x >>时， （Ⅰ）求(0)f ；（Ⅱ）求证：()f x 是R 上的增函数；（Ⅲ）当(3)5f =，解不等式2(22)3f a a --<.4．已知函数()f x 的定义域为{0}D x x =?且满足对于任意的12,x x D Î， 有1212()()()f x x f x f x ?+.（Ⅰ）求(1)f ；（Ⅱ）判断并证明()f x 的奇偶性；（Ⅲ）如果(4)1,(31)(26)3f f x f x =++-?，且()f x 在(0,)+?上是增函数，求x 的取值范围.5．定义在R 上的函数()f x 满足：对任意实数,m n ，总有()()()f m n f m f n +=?， 且当0x >时，0()1f x <<． （Ⅰ）判断()f x 的单调性；（Ⅱ）设22{()|()()(1)}A x y f x f y f ，=?，{()|(1}B x y f ax y a R ，，=-+=?，若A B I =?，试确定a 的取值范围．,.6．定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足:①(2)1f =；②()()()f xy f x f y =+；③()()0f x f y x y->-． （Ⅰ）求(1)f ，(4)f 的值；（Ⅱ）判断函数()f x 的单调性；（Ⅲ）若()(3)2f x f x +-≤，求x 的取值范围.7．函数()f x 的定义域为R ，且()f x 的值不恒为0，又对于任意的实数m 、n ， 总有()()22n m f m f n mf nf ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立． （Ⅰ）求(0)f 的值；（Ⅱ）求证：()0t f t ⋅≥对任意的t ∈R 成立；（Ⅲ）求所有满足条件的函数()f x ．2m n x ==()()22(2)422x f x xf x f x xf ⎛⎫=∴= ⎪⎝⎭令22m n x ==∴()()()222x f x f x xf x f x ⎛⎫⋅=+⋅⎪⎝⎭()()2f x xf x =+ 当()0f x =时恒成立，当()0f x ≠时有，∴()()()24f x f x x xf x =+=∴()41x f x x =-8．定义在R 上的函数(),(0)0y f x f =≠，当0x >时，()1f x >，且对任意的,a b ∈R ， 有()()()f a b f a f b +=成立．（Ⅰ）求证：(0)1f =；（Ⅱ）求证：对任意的x ∈R ，恒有()0f x >；（Ⅲ）求证：()f x 是R 上的增函数；（Ⅳ）若2()(2)1f x f x x ⋅->，求x 的取值范围．。

必修1 函数的性质一、选择题：1.在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（ ） A ．y =2x ＋1B ．y =3x 2＋1C ．y =x2 D ．y =2x 2＋x ＋1 2.函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函 数，则f (1)等于（ ）A ．－7B ．1C ．17D ．25 3.函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是 （ ）A ．(3，8)B ．(－7，－2)C ．(－2，3)D ．(0，5)4.函数f (x )=21++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．(0，21) B ．( 21，＋∞) C ．(－2，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 5.函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内 （ ）A ．至少有一实根B ．至多有一实根C ．没有实根D ．必有唯一的实根 6.若q px x x f ++=2)(满足0)2()1(==f f ，则)1(f 的值是 （ ）A 5B 5-C 6D 6-7.若集合}|{},21|{a x x B x x A ≤=<<=，且Φ≠B A ，则实数a 的集合（ ）8.已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5－t )，那么下列式子一定成立的是 （ ）A ．f (－1)＜f (9)＜f (13)B ．f (13)＜f (9)＜f (－1)C ．f (9)＜f (－1)＜f (13)D ．f (13)＜f (－1)＜f (9)9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是 （ ）A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞ 10．若函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围 （ ）A ．a ≤3B ．a ≥－3C ．a ≤5D ．a ≥3 11. 函数c x x y ++=42，则 （ ）12．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(4)()f x f x +=-，且在区间[0,4]上是减函数则（ ）A ．(10)(13)(15)f f f <<B ．(13)(10)(15)f f f <<C ．(15)(10)(13)f f f <<D ．(15)(13)(10)f f f <<.二、填空题：13．函数y =(x －1)-2的减区间是___ _．14．函数f （x ）＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，－2]时是减函数，则f （1）＝ 。

高一必修一数学集合与函数培优练习一、选择题 （30分）1、已知集合{}{}213,4,P x x Q x x =∈≤≤=∈≥R R 则()P C Q =R ( )A ．[2,3]B ．[1,2)C ． ( -2,3 ]D ．(,2][1,)-∞-+∞2、函数()ln 26f x x x =+-的零点所在的区间为（ ）A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)3、已知幂函数()f x x α=的图象过点(3,3,则(4)f =( ) A. 14 B. 13 C. 12D.1 4、已知奇函数定义在区间(-1，1）单调递增，则满足)31()12(f x f -<-的x 取值范围是（ ） A.2(,)3-∞ B.2(0,)3 C.1(,)3-∞ D.1(0,)35、若函数2()lg(21)f x x ax =-+的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A. (,1][1,)-∞-+∞B. (1,1)-C.RD. (,1]-∞二、填空题 （30分）6、函数y = 。

7、计算：3log 214lg 23lg5lg 35+--= 。

8、函数2431()()2x x f x -+=的减区间是 。

三、解答题 （40分）9、已知全集25,{|280},{||1|2},{|0}2U R A x x x B x x P x x x ==+-<=-≤=≤≥或 ()f x（1）求A B ；（10分）（2）求()U C B P （10分）10、已知函数()f x 的定义域在(2,2)-，函数()(1)(32)g x f x f x =-+-；（20分）（1）求函数()g x 的定义域；（2）若()f x 是奇函数且在定义域内单调减函数，求不等式()0g x ≤的解集。

参考答案1、已知集合{}{}213,4,P x x Q x x =∈≤≤=∈≥R R 则()P C Q =R ( C)A ．[2,3]B ．[1,2)C ． ( -2,3 ]D ．(,2][1,)-∞-+∞2、函数()ln 26f x x x =+-的零点所在的区间为（ B ）A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)3、已知幂函数()f x x α=的图象过点(3,3,则(4)f =( C) A. 14 B. 13 C. 12D.1 4、已知奇函数定义在区间(-1，1）单调递增，则满足)31()12(f x f -<-的x 取值范围是（ D ） A.2(,)3-∞ B.2(0,)3 C.1(,)3-∞ D.1(0,)35、若函数2()lg(21)f x x ax =-+的值域为R ，则实数a 的取值范围是（A ）A. (,1][1,)-∞-+∞B. (1,1)-C.RD. (,1]-∞二、填空题（5分/题，共20分）6、函数y =(0,9]。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！第五章 三角函数 综合培优提升卷一、单选题1．已知函数()sin 3cos3f x x x =-，给出下列四个结论：①函数()f x 的值域是éë；②函数4f x p æö+ç÷èø为奇函数；③函数()f x 在区间,32p p éùêëû单调递减；④若对任意x ÎR ，都有()()()12f x f x f x ££成立，则12x x -的最小值为3p；其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知函数()cos sin 2f x x x =，给出下列命题：①x R "Î，都有()()f x f x -=-成立；②存在常数0,T x R ¹"Î恒有()()f x T f x +=成立；③()f x ④()y f x =在[,66p p-上是增函数.以上命题中正确的为（ ）A ．①②③④B ．②③C ．①②③D ．①②④3．被誉为“中国现代数学之父”“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用.0.618就是黄金分割比t =2sin18°，则=（）A ．4B 1C ．2D ．124．《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，计算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一.其大意是，弧田面积计算公式为：弧田面积12=（弦乘矢+矢乘矢），弧田是由圆弧（简称为弧田的弧）和以圆弧的端点为端点的线段（简称 （弧田的弦）围成的平面图形，公式中“弦”指的是弧田的弦长，“矢”等于弧田的弧所在圆的半径与圆心到弧田的弦的距离之差.现有一弧田，其弦长AB 等于O ，，则AOB Ð=（ ）A ．4p B ．3pC ．2pD ．23p 5．对于函数sin ,sin cos ()cos ,sin cos x x x f x x x x ³ì=í<î，给出下列四个命题：①该函数的值域为[]1,1-；②当且仅当()22x k k Z pp =+Î时，该函数取得最大值；③该函数是以p 为最小正周期的周期函数；④当且仅当()3222k x k k Z pp p p +<<+Î时，()0f x <.上述命题中正确命题的个数为A ．1B ．2C ．3D ．46．若将函数1()sin 223f x x p æö=+ç÷èø图象上的每一个点都向左平移3p个单位长度，得到()g x 的图象，则函数()g x 的单调递增区间为（ ）A ．,()44k k k p p p p éù-+ÎêúëûZ B ．3,()44k k k p p p p éù++ÎêúëûZ C ．2,()36k k k p p p p éù--ÎêúëûZ D ．5,()122k k k p p p p éù-+ÎêúëûZ 7．已知()sin(2)(0)6f x x pw f w =+->同时满足下列三个条件：①T p =；②()6y f x p=+是奇函数；③(0)()3f f p<.若()f x 在[0,)a 上没有最小值，则实数a 的取值范围是A ．511(,]612p p B ．5(0,]12p C ．11(0,]12pD ．511(,]1212p p 8．已知函数()sin f x x =.若存在12,,,m x x x L 满足1206m x x x p <<<L ……，且()()12f x f x -+ ()()()()()*231||||122,m m f x f x f x f x m m --++-=ÎN L …，则m 的最小值为A ．9B ．8C ．7D ．6二、多选题9．已知函数()sin()f x A x w j =+（其中0,0,0A w j p >><<）的图象关于点5,012M p æöç÷èø成中心对称，且与点M 相邻的一个最低点为2,33N p æö-ç÷èø，则下列判断正确的是（ ）A ．函数()sin()f x A x w j =+中,2T p w ==B ．直线2x p=是函数()f x 图象的一条对称轴C ．点,012p æö-ç÷èø是函数()f x 的一个对称中心D ．函数1y =与35()1212y f x x pp æö=-££ç÷èø的图象的所有交点的横坐标之和为7p10．如图，摩天轮的半径为40m ，其中心O 点距离地面的高度为50m ，摩天轮按逆时针方向匀速转动，且20min 转一圈，若摩天轮上点P 的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中（ ）A ．转动10min 后点P 距离地面10mB ．若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的12C ．第17min 和第43min 点P 距离地面的高度相同D ．摩天轮转动一圈，点P 距离地面的高度不低于70m 的时间为5min11．对于函数sin ,sin cos ()cos ,sin cos x x x f x x x x £ì=í>î，下列四个结论正确的是（ ）A ．()f x 是以p 为周期的函数B ．当且仅当()x k k p p =+ÎZ 时，()f x 取得最小值-1C ．()f x 图象的对称轴为直线()4x k k pp =+ÎZD ．当且仅当22()2k x k k pp p <<+ÎZ 时，0()f x <£12．已知()()22210f x cos x x w w w =->的最小正周期为p ，则下列说法正确的有（ ）A ．2w =B ．函数()f x 在[0,6p上为增函数C ．直线3x p=是函数()y f x =图象的一条对称轴D ．是函数()y f x =图象的一个对称中心三、填空题13．函数f (x )＝3sin (2)3x p-的图象为C ，则以下结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)①图象C 关于直线x ＝12p对称；②图象C 关于点2(,0)3p对称；③函数f (x )在区间5(,)1212p p-内是增函数；④由y ＝3sin2x 的图象向右平移3p个单位长度可以得到图象C ．14．已知函数2()ln(1)f x x =+，2()4(1)sin 26g x m x m p æö=-+-ç÷èø，若1[1,3]x "Î-，20,2x p éù"Îêúëû， 12()()f x g x ≥，则m 的取值范围是__________.15．现有下列命题：①存在x ÎR ，使得221sincos 222x x +=；②存在x y ÎR 、，使得sin()sin sin x y x y -=-；③对于任意的[]0,x p Îsin x =；④sin cos 2x y x y p=Þ+=.其中，假命题是___________.（选填序号）16．已知函数()()sin f x A x =+w j 0,0,||2A p w j æö>><ç÷èø2p ，且()f x 的图象关于直线3x p=-对称，则当,66x p p éùÎ-êúëû时，函数()f x 的最小值为______.四、解答题17．已知函数()2sin cos 244f x x x xp p æöæö=--ç÷ç÷èøèø（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间0,2p éùêúëû上的最大最小值及相应的x 值.18．已知函数()()()24sin sin cos sin cos sin 142x f x x x x x x pæö=+×++--ç÷èø.（1）求满足()1f x ³的实数x 的取值集合；（2）当a ³-时，若函数()()()12122g x f x a f x a f x a p éùæö=+×-×---ç÷êúèøëû在,42p p éù-êúëû的最大值为2，求实数a 的值.19．已知函数()22sin 24f x x x pæö=+ç÷èø .(1) 求()f x 的最小正周期和单调递增区间；(2) 若关于x 的方程()2f x m -=在x ,42p p éùÎêúëû上有解,求实数m 的取值范围.20．若2()122cos 2sin f x a a x x =--- 的最小值为()g a .（1）求()g a 的表达式；（2）求能使1()2g a =的值，并求当a 取此值时，()f x 的最大值.21．设函数()sin(sin()62f x x x p p w w =-+-，其中03w <<.已知()06f p=.（Ⅰ）求w ；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4p个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,]44p p-上的最小值.22．设函数()f x =Asin ()x w f +（A>0，w >0，p -<f ≤p ）在6x p=处取得最大值2，其图象与x 轴的相邻两个交点的距离为2p．（1）求()f x 的解析式；（2）求函数()g x = 4226cos sin 1226x x x f p --éùæö+-ç÷êúèøëû的值域．参考答案1．C【解析】由题意，())4f x x p =-，所以()f x Îéë，故①正确；4f x p æö+=ç÷èø)]44x p p +-=2x p +=x 为偶函数，故②错误；当,32x p p éùÎêúëû时，353[,444x pp p-Î，()f x 单调递减，故③正确；若对任意x ÎR ，都有()()()12f x f x f x ££成立，则1x 为最小值点，2x 为最大值点，则12x x -的最小值为23T p=，故④正确.故选：C.2．D【解析】①()cos()sin(2)cos sin 2()f x x x x x f x -=--=-=-，为奇函数，正确；②(2)()f x f x p +=，为周期函数，正确；③()223()2sin cos 2sin 1sin 2sin 2sin f x x x x x x x ==-=-，令sin ,[1,1]t x t =Î-，则3()22y t t t =-，令2260y t ¢=-=，得t =(1)0,y y -==④当,66x p p éùÎ-êúëû时，11sin ,22x ééùÎ-Íêêëûë，所以()f x 在,66p p éù-êúëû上为增函数，正确.故选：D .3．D【解析】解：把2sin18t °=代入sin 3614sin18cos182°°°===故选：D 4．D【解析】解：由题意，作出示意图得点C 为弦AB 的中点，则OC AB ^，设OC d =，设该圆的半径为r ，∴2224AB d r +=，∵AB =，∴223r d -=，由题意，“弦”指AB ，“矢”指r d -，∵，∴()()212AB r d r d éù×-+-=ëû=即)()21r d r d -+-=，解得1r d -=，或()1r d -=-（舍去），∴2231r d r d ì-=í-=î，解得21r d =ìí=î，∴3AOC pÐ=，∴23AOB pÐ=，故选：D ．5．A【解析】由题意可知(){}max sin ,cos f x x x =，对于命题③，max sin ,cos 333f p pp æöìü==íýç÷èøîþ4441max sin ,cos 3332f p pp æöìü==-íýç÷èøîþ，则433f f pp æöæö¹ç÷ç÷èøèø，所以，函数()y f x =不是以p 为周期的周期函数，命题③错误；由于()()(){}{}()2max sin 2,cos 2max sin ,cos f x x x x x f x p p p +=++==，所以，函数()y f x =是以2p 为周期的周期函数.作出函数()y f x =在区间[]0,2p 上的图象如下图（实线部分）所示：由图象可知，该函数的值域为éùêúëû，命题①错误；当()2x k k Z p =Î或()22x k k Z pp =+Î时，该函数取得最大值，命题②错误；当且仅当()3222k x k k Z pp p p +<<+Î时，()0f x <，命题④正确.故选：A.6．B【解析】将函数1()sin 223f x x p æö=+ç÷èø图像上的每一个点都向左平移3p 个单位，得到11()sin 2sin 22332g x x x p p éùæö=++=-ç÷êúèøëû的图像，故本题即求sin 2y x =的减区间，令3222()22k x k k ppp p +££+ÎZ ，解得3()44k x k k ppp p +££+ÎZ ，故函数()g x 的单调递增区间为3,()44k k k p p p p éù++ÎêúëûZ ，故选：B .7．A【解析】()f x Q 的周期T p =，22pp w\= ，1w \=，()sin 26f x x p f æö\=+-ç÷èø，6f x p æö+ç÷èøQ 是奇函数，()f x \关于,06pæöç÷èø对称，2,66k k Z ppf p \´+-=Î，解得：,6k k Z pf p =-+Î，()03f f p æö<ç÷èøQ ，3sin sin cos 622p p f f f f æöæö\-<+Þ<ç÷ç÷èøèø ，即sin f f <，Q ,6k k Z pf p =-+Î，2,6k k Z pf p \=-+Î，()sin 23f x x p æö\=-ç÷èø，当[)0,x a Î时，2,2333x a ppp éö-Î--÷êëø，由图象可知若满足条件，432332a p p p<-£，解得：511612a p p<£.故选：A 8．B【解析】由正弦函数的值域，可知()()()()()()122312,2,,2m m f x f x f x f x f x f x ----L ………，因为1206m x x x p <<<£L …，所以等号不可能同时成立，所以()()()()122312f x f x f x f x =-+-++L ()()()121m m f x f x m --<-，解得7m >，又因为*m ÎN ，所以min 8m =，故选B.9．ACD【解析】解：函数()sin()f x A x w j =+（其中0A >，0>w ，0)j p <<的图象关于点5(,0)12M p成中心对称，且与点M 相邻的一个最低点为2(,3)3N p-，则2543124T p p p =-=，T p \=，进一步解得22pw p==，3A =，故A 正确．由于函数()sin()f x A x w j =+（其中0A >，0>w ，0)j p <<的图象关于点5(,0)12M p成中心对称，52()12k k Z pj p \´+=Î，解得56k j p =p -，由于0j p <<，\当1k =时，6π=j ．()3sin(2)6f x x p\=+．对于B ：当2x p=时，3()3sin262f p p=-=-，故B 不正确；对于C ：由26x k pp +=，k Z Î，解得212k x p p=-，k Z Î，当0k =时，对称中心为：,012p æö-ç÷èø，故C 正确；对于D ：由于：351212x pp-……，则：0266x pp +……，\函数()f x 的图象与1y =有6个交点．根据函数的交点设横坐标从左到右分别为1x 、2x 、3x 、4x 、5x 、6x ，由2262x k ppp +=+，k Z Î，解得6x k pp =+，k Z Î，所以12263x x pp+=´=，432263x x p p p p æö+=´+=+ç÷èø，5622463ππx x ππæö+=´+=+ç÷èø，所以156********3x x x x x x pppp p p+++++=++++=所以函数的图象的所有交点的横坐标之和为7p ，故D 正确．\正确的判断是ACD ．故选：ACD ．10．AC【解析】解：Q 摩天轮20min 转一圈，\在(min)t 内转过的角度为22010t t p p=，建立平面直角坐标系，如图，设(02)j j p ……是以x 轴正半轴为始边，00(OP P 表示点P 的起始位置)为终边的角，以x 轴正半轴为始边，OP 为终边的角为()10t pj +，即点P 的纵坐标为40sin()10t pj +，又由题知，P 点起始位置在最高点处，\2j p=P \点距地面高度h 关于旋转时间t 的函数关系式为：5040sin()102h t pp=++即5040cos10h tp=+当10min t =时，10h =，故A 正确；若摩天轮转速减半，40T =，则其周期变为原来的2倍，故B 错误；第17min P 点距安地面的高度为173(17)40cos5040cos 501010h p p=+=+第20min P 点距离地面的高度为433(43)40cos5040cos 501010h p p=+=+第17min 和第43min 时P 点距离地面的高度相同，故C 正确；摩天轮转动一圈，P 点距离地面的高度不低于70m ，即40cos 507010t p+…，即1cos 102tp ，020t Q ……，得0210tp p ……，\0103tp p……或52310t p p p ……，解得1003t ……或50203t ……，共20min 3，故D 错误．故选：AC ．11．CD【解析】解：函数sin ,sin cos ()cos ,sin cos x x xf x x x x ì=í>î…的最小正周期为2p ，画出()f x 在一个周期内的图象，可得当52244k x k ppp p ++……，k Z Î时，()cos f x x =，当592244k x k p p p p +<+…，k Z Î时，()sin f x x =，可得()f x 的对称轴方程为4x k pp =+，k Z Î，当2x k p p =+或322x k pp =+，k Z Î时，()f x 取得最小值1-；当且仅当22()2k x k k Z pp p <<+Î时，()0f x >，()f x 的最大值为(4f p =0()f x <…，综上可得，正确的有CD ．故选：CD ．12．BD【解析】()cos 222sin 26f x x x x p w w w æö=+=+ç÷èø，22pp w=，1w \= ()2sin 26f x x p æö\=+ç÷èø ，故A 不正确；当0,6x p éùÎêúëû时，2,662x p p p éù+Îêúëû 是函数sin y x =的单调递增区间，故B 正确；当3x p =时，52366p p p ´+=，51sin 162p =¹±，所以不是函数的对称轴，故C 不正确；、当512x p =时，52126p p p ´+=，sin 0p =，所以5,012p æöç÷èø是函数()y f x =的一个对称中心，故D 正确.故选：BD 13．②③【解析】因为f (x )＝3sin (2)3x p-对于①：由()232x k k Z ppp -=+Î得：()5122k x k Z p p =+Î，所以f (x )＝3sin (2)3x p -的对称轴方程为：()5122k x k Z p p=+Î，令512212k x p p p =+=，解得：23k Z =-Ï，故①错误；对于②：因为3sin 2022333f p p p æöæö=´=çè-÷ç÷øèø，所以图象C 关于点2(,0)3p对称；故②正确；对于③：令()222232k x k k Z pppp p -+£-£+Î，解得：()51212k x k k Z ppp p -+££+Î，所以f (x )的递增区间为()5,,1212k k k Z p p p p éù-++Îêúëû，当k =0时，5(,1212p p-是f (x )的一个递增区间，故③正确；对于④：y ＝3sin2x 的图象向右平移3p个单位长度可以得到23sin23sin 23sin 2333y x x x p p p æöæöæö-=-¹-ç÷ç÷ç÷èøèøèø＝，故④错误.故答案为：②③14．(,1[1)-¥-È-+¥【解析】解：记()f x 在区间[1,3]-上的最小值为[]min ()f x ，()g x 在区间[0,]2p的最大值为[]()max g x ，由题意可知[][]()()min max f x g x ³.由211[1,10]x +Î，可得[]()0min f x =，由272[,666x p p p +Î，可得21sin(2)[,1]62x p +Î-，由[]()0maxg x £，得2214(1)0,24(1)0,m m m m ì-´--£ïíï--£î解之，得1x £-1x ³-所以，m的取值范围是(,1[1)-¥-È-+¥.故答案为：(,1[1)-¥-È-+¥.15．①④【解析】①对任意x ÎR ，22sincos 122x x+=，故错误；②取0x y ==，则sin()sin 00,sin sin 000x y x y -==-=-=，所以此时sin()sin sin x y x y -=-成立，故正确；③任意的[]0,x p Î，sin 0x ³sin sin x x ==，故正确；④取,2x y pp ==，sin cos 0x y ==，32x y p+=，故错误；故答案为：①④.16．【解析】由题意可得()max A f x =()y f x =的最小正周期为T ，则22T p=，得T p =，22Tpw \==，此时，()()2f x x j =+.因为函数()y f x =的图象关于直线3x p=-对称，则()232k k Z p p j p æö´-+=+Îç÷èø，()76k k Z p j p \=+Î，2p j <Q ，1k \=-，6π=j ，则()26f x x p æö=+ç÷èø.,66x p p éùÎ-êúëûQ ，2662x p p p \-£+£，因此，函数()y f x =在区间,66p p éù-êúëû6p æö-=ç÷èø故答案为：17．(1)p ；(2)当6x p=时，()max 2f x =；当2x p=时，()min 1f x =-．【解析】（1）()sin 2cos22sin 226f x x x x x x p p æöæö=-==+ç÷ç÷èøèø所以()f x 的最小正周期是p（2）因为02x p££，所以02x ££p ，所以72666x ppp £+£当6x p=时，()max 2f x =当2x p=时，()min 1f x =-18．（1）52,266x k k p p p p éùÎ++êúëû，()k Z Î（2）2a =-或6a =.【解析】（1）()()22221cos sin cos sin 122sin sin 12sin 12sin 2f x x x x x x x x x p éùæö=-+×+--=++--=ç÷êúèøëû，由()2sin 1f x x =³,得52,266x k k p p p p éùÎ++êúëû，()k Z Î.（2）()1sin2sin cos 12g x x a x a x a =+---，令sin cos x x t -=，则2sin21x t =-，∴22221111122242a a y t at a t at a t a æö=-+--=-+-=--+-ç÷èø，∵sin cos 4t x x x p æö=-=-ç÷èø，由42x p p -££得244x p p p -£-£，∴1t ££.①当12a ££，即2a -££时，2max 1242a y a =-=，由21242a a -=，得2280a a --=解得2a =-或4a =（舍）②当12a >，即2a >时，在1t =处max 12a y =-，由122a-=得6a =.因此2a =-或6a =.19．(1)T p =，单调递增区间为()5,1212k k k Z p p p p éù-+Îêúëû.(2)[]0,1m Î.【解析】(1)()2224f x sin x xpæö=+ç÷èø1cos 222x x p æö=-+ç÷èø1sin 22x x =+2sin 213x p æö=-+ç÷èø，最小正周期T p =，函数的单调递增区间满足：222232k x k pppp p -£-£+，解得()f x 的单调递增区间为()5,1212k k k Z p p p p éù-+Îêúëû.(2),42x p p éùÎêúëû，所以22363x p p p éù-Îêúëû，，1sin 2132x p æöéù-Îç÷êúèøëû，所以()f x 的值域为[]2,3.而()2f x m =+，所以[]22,3m +Î，即[]0,1m Î.点睛：求函数f (x )＝Asin (ωx ＋φ)在区间[a ，b ]上值域的一般步骤：第一步：三角函数式的化简，一般化成形如y ＝Asin (ωx ＋φ)＋k 的形式或y ＝Acos (ωx ＋φ)＋k 的形式．第二步：由x 的取值范围确定ωx ＋φ的取值范围，再确定sin (ωx ＋φ)(或cos (ωx ＋φ))的取值范围．第三步：求出所求函数的值域(或最值)．20．（1）()21221222142a ag a a a aa <-ìïï=----££íï->ïî；（2）()f x 的最大值为5【解析】（1）()()2122cos 21cos f x a a x x =---- 22cos 2cos 12x a x a =--- 222cos 2122a a x a æö=----ç÷èø若12a <-，即2a <-，则当cos 1x =-时，()f x 有最小值，()222121122a a g a a æö=-----=ç÷èø；若112a -££，即22a -££，则当cos 2a x =时，()f x 有最小值，()2212a g a a =---若12a >，即2a >，则当cos 1x =时，()f x 有最小值，()2221211422a a g a a a æö=----=-ç÷èø所以()21221222142a ag a a a aa <-ìïï=----££íï->ïî；（2）若()12g a =，由所求()g a 的解析式知212122a a ---=或1142a -=由222112122a a a a -££ìïÞ=-í---=ïî或3a =-（舍）；由2118142a a a >ìïÞ=í-=ïî（舍）此时()2112cos 22f x x æö=++ç÷èø，得()max 5f x =，所以()12g a =时，1a =-，此时()f x 的最大值为5.21．(Ⅰ) 2w =.(Ⅱ) 32-.【解析】（Ⅰ）因为()sin(sin()62f x x x p pw w =-+-，所以1()cos cos 2f x x x x w w w =--x x w =1sin )2x w w)3x pw =-由题设知(06f p=，所以63k wppp -=，k Z Î.故62k w =+，k Z Î，又03w <<，所以2w =.（Ⅱ）由（Ⅰ）得())3f x x p=-所以())4312g x x x pp p=+-=-.因为3[,]44x p pÎ-，所以2[,]1233x pp p-Î-，当123x pp-=-，即4x p=-时，()g x 取得最小值32-.22．（1）()f x =2 sin （2x +6p）；（2）7[1,)4U （74，52]【解析】解：（1）由题意可得：f （x ）max ＝A ＝2，22T T pp =Þ=，于是222T p pw p===，故f （x ）＝2sin （2x+φ），由f （x ）在6x p=处取得最大值2可得：222626k k pppj p j p ´+=+Þ=+（k ∈Z ），又﹣π＜φ＜π，故6pj =，因此f （x ）的解析式为()226f x sin x p æö=+ç÷èø．（2）由（1）可得：2222262662x x f sin sin x cosx p p p p éùæöæöæö+=++=+=ç÷ç÷ç÷êúèøèøèøëû，故()()()42261122cos x cos x g x cosx ---=-4226242cos x cos x cos x +-=- ()()()2223221221cos x cos x cos x +-=-2322cos x +=2312cos x =+，212cos x æö¹ç÷èø，令t ＝cos 2x ，可知0≤t≤1且12t ¹，即2110122cos x ，，éöæùÎÈ÷çêúëøèû，从而()7751442g x éöæùÎÈ÷çêúëøèû，，，因此，函数g （x ）的值域为7751442éöæùÈ÷çêúëøèû，，．。

第四章 §1A 组·素养自测一、选择题1．如果N ＝a 2(a ＞0，且a ≠1)，则有( D ) A ．log 2N ＝a B ．log 2a ＝N C ．log a 2＝ND ．log a N ＝2[解析] ∵N ＝a 2(a ＞0，且a ≠1)，∴2＝log a N .2．下列各组中，指数式与对数式互换不正确的是( C ) A ．32＝9与log 39＝2 B ．27－13＝13与log 2713＝－13C ．(－2)5＝－32与log (－2)(－32)＝5D ．100＝1与lg 1＝0[解析] 对数的底数和真数都不能为负数． 3.⎝⎛⎭⎫12－1＋log 0.54的值为( C )A ．6B ．72 C ．8 D ．37[解析] ⎝⎛⎭⎫12－1＋log 0.54＝⎝⎛⎭⎫12－1·⎝⎛⎭⎫12log 0.54＝⎝⎛⎭⎫12－1·⎝⎛⎭⎫12log 124＝2×4＝8.4．方程2log 3x ＝14的解是( A )A ．x ＝19B ．x ＝33C ．x ＝3D ．x ＝9[解析] ∵2log 3x ＝2－2，∴log 3x ＝－2，∴x ＝3－2＝19.5．已知f (e x )＝x ，则f (3)＝( B ) A ．log 3e B ．ln 3 C ．e 3D ．3e[解析] 令e x ＝3，∴x ＝ln 3，∴f (3)＝ln 3，故选B . 6．设函数f (x )＝错误!则满足f (x )＝错误!的x 值为( C ) A ．－3 B ．13 C ．3D ．－13[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，2－x ＝14得x ∈∅；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，log 81x ＝14得x ＝3. 二、填空题 7．log (2－1)(3－22)＝__2__．[解析] 原式＝log (2－1)(2－1)2＝2.8．log 4[log 3(log 2x )]＝0，则x ＝__8__．[解析] 由log 4[log 3(log 2x )]＝0得log 3(log 2x )＝1，得log 2x ＝3，得x ＝23＝8. 9．若log 31－2x9＝1，则x ＝__－13__．[解析] 因为log 31－2x 9＝1，所以1－2x9＝3，所以x ＝－13.三、解答题10．求下列各式中x 的取值范围： (1)log (x －1)(x ＋2)； (2)log (x ＋1)(x －1)2.[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x －1＞0，x －1≠1，x ＋2＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，x ≠2，x ＞－2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，x ≠2，故x 的取值范围是{x |x ＞1且x ≠2}． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，x ＋1≠1，x －1≠0，得⎩⎨⎧x ＞－1，x ≠0，x ≠1.故x 的取值范围是{x |x ＞－1且x ≠0，x ≠1}． 11．计算下列各式： (1)2ln e＋lg 1＋3log 32；(2)3log 34－lg 10＋2ln1.[解析] (1)原式＝21＋0＋2＝2＋2＝4.(2)原式＝3log 34－1＋20＝3log 34÷31＋1＝43＋1＝73.B 组·素养提升一、选择题1．若log a 3＝2log 230，则a 的值为( B ) A ．2 B ．3 C ．8D ．9[解析] ∵log a 3＝2log 230＝30＝1，∴a ＝3，故选B .2．(多选题)下列指数式与对数式互化正确的一组是( ACD ) A ．e 0＝1与ln 1＝0 B ．log 39＝2与912＝3 C ．8－13＝12与log 812＝－13D ．log 77＝1与71＝7[解析] log 39＝2化为指数式为32＝9，故选ACD . 3．(多选题)下列等式中正确的是( AB ) A ．lg (lg 10)＝0B ．lg (ln e )＝0C ．若lg x ＝10，则x ＝10D ．若ln x ＝e ，则x ＝e 2[解析] 对于A ，lg (lg 10)＝lg1＝0；对于B ，lg (ln e )＝lg1＝0；对于C ，若lg x ＝10，则x ＝1010；对于D ，若ln x ＝e ，则x ＝e e ，故选AB .4．已知lg a ＝2.31，lg b ＝1.31，则ba 等于( B )A .1100B ．110C ．10D ．100[解析] ∵lg a ＝2.31，lg b ＝1.31， ∴a ＝102.31，b ＝101.31，∴b a ＝101.31102.31＝10－1＝110.二、填空题5．若log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n ＝__12__．[解析] ∵log a 2＝m ，∴a m ＝2，∴a 2m ＝4，又∵log a 3＝n ，∴a n ＝3，∴a 2m ＋n ＝a 2m ·a n ＝4×3＝12. 6．log333＝__3__．[解析] 令log 333＝x ，∴(3)x ＝33＝(3)3， ∴x ＝3，∴log 333＝3.7．log 5[log 3(log 2x )]＝0，则x －12＝4． [解析] ∵log 5[log 3(log 2x )]＝0，∴log 3(log 2x )＝1， ∴log 2x ＝3，∴x ＝23＝8， ∴x －12＝8－12＝18＝122＝24.三、解答题8．求下列各式中x 的值： (1)x ＝log 224；(2)x ＝log 93；(3)log x 8＝－3；(4)log 12x ＝4.[解析] (1)由已知得⎝⎛⎭⎫22x ＝4， ∴2－x2＝22，－x2＝2，x ＝－4.(2)由已知得9x ＝3，即32x ＝312.∴2x ＝12，x ＝14.(3)由已知得x －3＝8，即⎝⎛⎭⎫1x 3＝23，1x ＝2，x ＝12. (4)由已知得x ＝⎝⎛⎭⎫124＝116. 9．设x ＝log 23，求23x －2－3x 2x －2－x 的值．[解析] 由x ＝log 23，得2－x ＝13，2x ＝3，∴23x －2－3x 2x －2－x ＝(2x )3－(2－x )32x －2－x＝(2x )2＋1＋(2－x )2＝32＋1＋⎝⎛⎭⎫132＝919.。

2020年人教版高中数学必修第一册《函数的单调性》同步培优一、选择题1.若y=f(x)是R上的减函数，对于x1<0，x2>0，则( )A.f(-x1)>f(-x2)B.f(-x1)<f(-x2)C.f(-x1)=f(-x2)D.无法确定2.函数y=-x2的单调递减区间为( )A.(-∞，0]B.(-∞，0)C.(0，＋∞)D.(-∞，＋∞)3.下图中是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图象，则下列关于函数f(x)的说法错误的是( )A.函数在区间[-5，-3]上单调递增B.函数在区间[1,4]上单调递增C.函数在区间[-3,1]∪[4,5]上单调递减D.函数在区间[-5,5]上没有单调性4.已知函数f(x)=4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的范围是( )A.f(1)≥25B.f(1)=25C.f(1)≤25D.f(1)＞255.若函数y=x2＋(2a－1)x＋1在区间(－∞，2]上是减函数，则实数a的取值范围是( )A.(-1.5,+∞)B.(-∞,-1.5)C.(3，＋∞)D.(－∞，－3]6.若函数f(x)是R上的增函数，对实数a，b，若a＋b>0，则有( )A.f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)B.f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)C.f(a)－f(b)>f(－a)－f(－b)D.f(a)－f(b)<f(－a)－f(－b)7.已知函数f(x)=8＋2x－x2，那么下列结论正确的是( )A.f(x)在(－∞，1]上是减函数B.f(x)在(－∞，1]上是增函数C.f(x)在[－1，＋∞)上是减函数D.f(x)在[－1，＋∞)上是增函数8.已知函数f(x)=2x2－ax＋5在区间[1，＋∞)上是单调递增函数，则实数a的取值范围是( )A.(－∞，4]B.(－∞，4)C.[4，＋∞)D.(4，＋∞)9.函数f(x)=x|x－2|的增区间是( )A.(－∞，1]B.[2，＋∞)C.(－∞，1]，[2，＋∞)D.(－∞，＋∞)10.函数f(x)在区间(-2,3)上是增函数,则y=f(x+4)的递增区间是( )A.(2,7)B.(-2,3)C.(-6,-1)D.(0,5)11.下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是( )①y=-x+1;②y=-;③y=x2-4x+5;④y=.A.①B.②C.③D.④12.若函数f(x)的定义域为R，且在(0，＋∞)上是减函数，则下列不等式成立的是( )A.f(0.75)＞f(a2－a＋1)B.f(0.75)≥f(a2－a＋1)C.f(0.75)＜f(a2－a＋1)D.f(0.75)≤f(a2－a＋1)二、填空题13.如图所示为函数y=f(x)，x∈[-4,7]的图象，则函数f(x)单调递增区间是________.14.设函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈R都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]＞0，则f(-3)与f(-π)的大小关系是________.15.函数f(x)=1x＋1在(a，＋∞)上单调递减，则a的取值范围是________.16.函数f(x)=2x2－3|x|的单调递减区间是________.三、解答题17.写出下列函数的单调区间.(1)y=|x＋1|; (2)y=－x2＋ax；(3)y=|2x－1|; (4)y=－1x＋2.18.作出函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1x －22＋3，x>1的图象，并指出函数的单调区间.19.证明：函数f(x)=x 2－1x在区间(0，＋∞)上是增函数，20.已知f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋3，－3≤x<0－3x ＋3，0≤x<1－x 2＋6x －5，1≤x ≤6.(1)画出这个函数的图象；(2)求函数的单调区间.21.求函数f(x)=|x 2－6x ＋8|的单调区间.22.函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x ，y ∈(0，＋∞)，都有f(x ＋y)=f(x)＋f(y)－1，且f(4)=5. (1)求f(2)的值；(2)解不等式f(m －2)≤3. 23.若函数f(x)=⎩⎨⎧≤-+->-+-0,)2(20,1)1b 2(x x b x x b x ,在R 上为增函数，求实数b 的取值范围.答案解析1.答案为：B ；解析：因为x 1<0，x 2>0，所以-x 1>-x 2，又y=f(x)是R 上的减函数，所以f(-x 1)<f(-x 2).2.答案为：C ；解析：画出函数y=-x 2的图象，由图象可知函数y=-x 2的单调减区间为(0，＋∞).3.答案为：C ；解析：若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接.如0＜5， 但f(0)＞f(5)，故选C.4.答案为：A;解析：由y=f(x)的对称轴是x=m 8，可知f(x)在⎣⎢⎡⎭⎪⎫m 8，＋∞上递增， 由题设只需m8≤－2，即m ≤－16，∴f(1)=9－m ≥25.应选A.5.答案为：B ；解析：∵函数y=x 2＋(2a －1)x ＋1的图象是开口方向朝上，以直线x=2a －1－2为对称轴的抛物线，又∵函数在区间(－∞，2]上是减函数，故2≤2a －1－2，解得a ≤－32，故选B.6.答案为：A解析：∵a ＋b>0，∴a>－b ，b>－a.∴f(a)>f(－b)，f(b)>f(－a). ∴f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b).7.答案为：B8.答案为：A ；解析：若使函数f(x)=2x 2－ax ＋5在区间[1，＋∞)上是单调递增函数，则实数a 满足a4≤1，所以a ≤4，选A.9.答案为：C ；解析：f(x)=x|x －2|=⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥22x －x 2，x<2， 作出f(x)简图如下：由图像可知f(x)的增区间是(－∞，1]，[2，＋∞).10.答案为：C.解析：函数y=f(x+4)是函数f(x)向左平移4个单位得到, 因为函数f(x)在区间(-2,3)上是增函数,所以y=f(x+4)的增区间为(-2,3)向左平移4个单位,即增区间为(-6,-1).11.答案为：B.解析：结合函数的图象可知②在区间(0,2)上为增函数,而①③④在区间(0,2)上均为减函数.12.答案为：B;解析：∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且a 2－a ＋1=(a-0.5)2＋0.75≥0.75＞0，∴f(a 2－a ＋1)≤f(0.75).一、填空题13.答案为：[-1.5,3]，[5,6]；解析：结合函数单调递增函数的概念及单调区间的概念可知，此函数的单调递增区间是[-1.5,3]，[5,6].14.答案为：f(-3)＞f(-π)；解析：由(x 1-x 2)[f(x 1)-f(x 2)]＞0，可知函数f(x)为增函数. 又-3＞-π，所以f(-3)＞f(-π).15.答案为：a ≥－1；解析：函数f(x)=1x ＋1的单调递减区间为(－1，＋∞)，(－∞，－1)，又f(x)在(a ，＋∞)上单调递减，所以a ≥－1.16.答案为：(-∞,-0.75]和[0,0.75].解析：函数f(x)=2x 2－3|x|=⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－3xx ≥02x 2＋3xx<0，图象如图所示，f(x)的单调递减区间为(-∞,-0.75]和[0,0.75].二、解答题 17.答案为：(1)单调增区间[－1，＋∞)，单调减区间(－∞，－1]；(2)单调增区间(－∞，a 2]，单调减区间[a2，＋∞)；(3)单调增区间[12，＋∞)，单调减区间(－∞，12]；(4)单调增区间(－∞，－2)和(－2，＋∞)，无减区间18.解：f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1x －22＋3，x>1的图象如图所示.由图象可知：函数的单调减区间为(－∞，1]和(1,2]； 单调递增区间为(2，＋∞).19.证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)=x 12－1x 1－x 22＋1x 2=(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋1x 1x 2).∵0<x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1＋x 2＋1x 1x 2>0.∴f(x 1)－f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2).∴函数f(x)=x 2－1x在区间(0，＋∞)上是增函数.20.解：(1)f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋3，－3≤x<0－3x ＋3，0≤x<1－x 2＋6x －5，1≤x ≤6，作出其图象如下：(2)由f(x)的图象可得，单调递减区间为[－3，－2)，[0,1)，[3,6]； 单调递增区间为[－2,0)，[1,3).21.解：先作出y=x 2－6x ＋8的图象，然后x 轴上方的不变，x 轴下方的部分关于x 轴对称翻折，得到如图f(x)=|x 2－6x ＋8|的图象，减区间为(－∞，2]，[3,4].22.解：(1)∵f(4)=f(2＋2)=2f(2)－1=5，∴f(2)=3.(2)由f(m －2)≤3，得f(m －2)≤f(2). ∵f(x)是(0，＋∞)上的减函数. ∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2≥2，m －2>0解得m ≥4. ∴不等式的解集为{m|m ≥4}.23.解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2b －1＞0，2－b ≥0，b －1≥f 0，解得1≤b ≤2.即实数b 的取值范围是[1,2].。

2020年人教版高中数学必修第一册《指数函数》同步培优一、选择题 1.函数f(x)=ax －3＋1(a>0，且a ≠1)的图象恒过定点P ，则定点P 的坐标为( )A.(3,3)B.(3,2)C.(3,6)D.(3,7)2.在同一平面直角坐标系中，函数f(x)=ax 与g(x)=a x的图像可能是( )3.下列函数为偶函数的是( )A.f(x)=x-1B.f(x)=x 2＋x C.f(x)=2x-2-xD.f(x)=2x＋2-x4.函数y=12x －1的值域是( )A.(－∞，1)B.(－∞，0)∪(0，＋∞)C.(－1，＋∞)D.(－∞，－1)∪(0，＋∞)5.已知函数f(x)=5|x|，g(x)=ax 2－x(a ∈R)，若f[g(1)]=1，则a=( )A.1B.2C.3D.－1 6.下列大小关系正确的是( )A.0.43<30.4<π0B.0.43<π0<30.4C.30.4<0.43<π0D.π0<30.4<0.437.已知f(x)=a －x(x>0且a ≠1)，且f(－2)>f(－3)，则a 的取值范围是( )A.(0，＋∞)B.(1，＋∞)C.(－∞，1)D.(0,1)8.若函数f(x)=2x ＋12x －a是奇函数，则使f(x)＞3成立的x 的取值范围为( )A.(－∞，－1)B.(－1,0)C.(0,1)D.(1，＋∞)9.若存在正数x 使2x(x －a)<1成立，则a 的取值范围是( )A.(－∞，＋∞)B.(－2，＋∞)C.(0，＋∞)D.(－1，＋∞)10.若f(x)=－x 2＋2ax 与g(x)=(a ＋1)1－x在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A.(0.5,1]B.(0,0.5]C.[0，1]D.(0，1]11.用min{a,b,c}表示a,b,c 三个数中的最小值，设f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x ≥0),则f(x)的最大值为（ ）A.4B.5C.6D.712.已知函数是定义域R 上的减函数，则实数a 取值范围是（ ）A. B. C. D.二、填空题13.已知集合A={x|1≤2x<16}，B={x|0≤x<3，x ∈N}，则A ∩B=________.14.已知函数f(x)满足f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧f （x ＋2），x<0，2x ，x ≥0，则f(－7.5)的值为________.15.函数y=a x(－2≤x ≤3)的最大值为2，则a=________. 16.函数f(x)=a 2x－3a x＋2(a>0，且a ≠1)的最小值为________. 三、解答题17.比较下列各组值的大小：(1)1.8－0.1与1.8－0.2；(2)1.90.3与0.73.1；(3)a 1.3与a 2.5(a>0，且a ≠1).18.已知函数f(x)=a x在x ∈[－2,2]上恒有f(x)<2，求a 的取值范围.19.设函数f(x)=12－12x ＋1.(1)求证：函数f(x)是奇函数.(2)求证：函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数. (3)求函数f(x)在[1,2]上的值域.20.已知函数f(x)=2x－12x ＋1.(1)求f[f(0)＋4]的值；(2)求证：f(x)在R 上是增函数；(3)解不等式：0＜f(x －2)＜1517.21.求不等式a4x＋5>a2x－1(a>0，且a≠1)中x的取值范围.22.已知f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，当x∈[－1，0]时，函数的解析式为f(x)=14x －a2x(a∈R).(1)试求a的值；(2)写出f(x)在[0，1]上的解析式；(3)求f(x)在[0，1]上的最大值.23.已知函数f(x)=a－22x＋1(a∈R).(1)判断并证明函数的单调性；(2)若函数f(x)为奇函数，求实数a的值；(3)在(2)的条件下，若对任意的t∈R，不等式f(t2＋2)＋f(t2－tk)＞0恒成立，求实数k 的取值范围.24.已知函数f(x)=1－5x·a5x ＋1，x ∈(b －3,2b)是奇函数.(1)求a ，b 的值；(2)证明：f(x)是区间(b －3,2b)上的减函数；(3)若f(m －1)＋f(2m ＋1)＞0，求实数m 的取值范围.25.已知函数f(x)=b ·a x(其中a ，b 为常数且a ＞0，a ≠1)的图象经过点A(1,8)，B(3,32).(1)求f(x)的解析式；(2)若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x＋1－2m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案26.答案为：B解析：由于指数函数y=a x(a>0，且a ≠1)的图象恒过定点(0,1)， 故令x －3=0，解得x=3，当x=3时，f(3)=2， 即无论a 为何值时，x=3，y=2都成立，因此，函数f(x)=a x －3＋1的图象恒过定点(3,2)，故选B.27.答案为：B28.答案为：D解析：根据偶函数定义f(-x)=f(x)代入验证即可.A 项，f(-x)=-x-1≠f(x)；B 项，f(-x)=x 2-x ≠f(x)；C 项，f(-x)=2-x -2x=-f(x)，属于奇函数；D 项，f(-x)=2-x ＋2x=f(x)，属于偶函数.29.答案为：D30.答案为：A解析：方法一：∵f[g(1)]=1，∴g(1)=0，∴a －1=0，∴a=1.选A.方法二：∵g(1)=a －1，f[g(1)]=f(a －1)=5|a －1|=1，∴|a －1|=0，∴a=1.选A.31.答案为：B解析：因为π0=1,0.43<0.40=1,30.4>30=1，所以0.43<π0<30.4，故选B.32.答案为：D33.答案为：C ；解析：∵函数f(x)为奇函数，∴由f(－x)=－f(x)，得a=1，∴f(x)=2x＋12x －1=1＋22x －1＞3，∴0＜2x－1＜1,0＜x ＜1.34.答案为：D ；解析：∵2x (x －a)<1，∴x －a<12x =(0.5)x∴a>x －(0.5)x，∵y=x 在(0，＋∞)是增函数，y=(0.5)x 在(0，＋∞)是减函数，∴y=x －(0.5)x在(0，＋∞)是增函数，要使a>x －(0.5)x 在(0，＋∞)有解，需使a>0－(0.5)0=－1.35.答案为：D ；解析：依题意－2a2×（－1）≤1且a ＋1>1，解得0<a ≤1.36.C. 37.A.38.答案为：{0，1，2}；解析：由1≤2x<16得0≤x<4，即A={x|0≤x<4}， 又B={x|0≤x<3，x ∈N}，所以A ∩B={0，1，2}. 39.答案为：2；解析：由题意，得f(－7.5)=f(－5.5)=f(－3.5)=f(－1.5)=f(0.5)=20.5= 2. 40.答案为：22或32； 解析：当0<a<1时，y=a x在[－2，3]上是减函数，所以y max =a －2=2，得a=22；当a>1时，y=a x在[－2，3]上是增函数，所以y max =a 3=2，解得a=32.综上知a=22或32.41.答案为：－14；解析：设a x =t(t>0)，则有f(t)=t 2－3t ＋2=(t －32)2－14，∴t=32时，f(t)取得最小值－ 14.42.解：(1)由于1.8>1，所以指数函数y=1.8x ，在R 上为增函数.所以1.8－0.1>1.8－0.2.(2)因为1.90.3>1,0.73.1<1，所以1.90.3>0.73.1.(3)当a>1时，函数y=a x 是增函数，此时a 1.3<a 2.5，当0<a<1时，函数y=a x 是减函数，此时a 1.3>a 2.5.故当0<a<1时，a 1.3>a 2.5，当a>1时，a 1.3<a 2.5.43.解：当a>1时，函数f(x)=a x在[－2,2]上单调递增，此时f(x)≤f(2)=a 2，由题意可知a 2<2，即a<2，所以1<a< 2. 当0<a<1时，函数f(x)=a x在[－2,2]上单调递减，此时f(x)≤f(－2)=a －2，由题意可知a －2<2，即a>22，所以22<a<1.综上所述，所求a 的取值范围是(22,1)∪(1，2).44.(1)证明：由题意，得x ∈R ，即函数的定义域关于原点对称，f(－x)=12－112x ＋1=12－2x 2x ＋1=1－2x22x＋1=－12＋12x ＋1=－f(x)， ∴函数f(x)为奇函数.(2)证明：设x 1，x 2是(－∞，＋∞)内任意两实数，且x 1＜x 2，则f(x 1)－f(x 2)=12－12 x1＋1－12＋12x2＋1=2x1－2x22x1＋12x2＋1. ∵x 1＜x 2，∴2x1－2x2＜0.∴f(x 1)－f(x 2)＜0. ∴函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数.(3)解：∵函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数， ∴函数f(x)在[1,2]上也是增函数.∴f(x)=f(1)=1，f(x)3∴函数f(x)在[1,2]上的值域为[16,310].45.解：(1)∵f(0)=20－120＋1=0，∴f[f(0)＋4]=f(0＋4)=f(4)=24－124＋1=1517.(2)设x 1，x 2∈R 且x 1＜x 2， 则2x 2＞2x 1＞0,2x 2－2x 1＞0，∴f(x 2)－f(x 1)=2x 2－12x 2＋1－2x 1－12x 1＋1=22x 2－2x 12x 2＋12x 1＋1＞0，即f(x 1)＜f(x 2)，所以f(x)在R 上是增函数.(3)由0＜f(x －2)＜1517得f(0)＜f(x －2)＜f(4)，又f(x)在R 上是增函数，∴0＜x －2＜4，即2＜x ＜6，所以不等式的解集是{x|2＜x ＜6}.46.解：对于a 4x ＋5>a 2x －1(a>0，且a ≠1)，当a>1时，有4x ＋5>2x －1，解得x>－3； 当0<a<1时，有4x ＋5<2x －1，解得x<－3. 故当a>1时，x 的取值范围为{x|x>－3}； 当0<a<1时，x 的取值范围为{x|x<－3}.47.解：(1)因为f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，所以f(0)=1－a=0，所以a=1.(2)设x ∈[0，1]，则－x ∈[－1，0]，所以f(x)=－f(－x)=－⎝ ⎛⎭⎪⎫14－x －12－x =2x －4x .即当x ∈[0，1]时，f(x)=2x －4x.(3)f(x)=2x －4x=－⎝⎛⎭⎪⎫2x －122＋14，其中2x∈[1，2]，所以当2x=1时，f(x)max =0.48.解：(1)函数f(x)为R 上的增函数.证明如下：显然函数f(x)的定义域为R ，对任意x 1，x 2∈R ，设x 1＜x 2，则f(x 1)－f(x 2)=⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22x1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22x2＋1=22x1－2x22x1＋12x2＋1. 因为y=2x 是R 上的增函数，且x 1＜x 2，所以2x1－2x2＜0. 所以f(x 1)－f(x 2)＜0，即f(x 1)＜f(x 2). 故函数f(x)为R 上的增函数.(2)因为函数f(x)的定义域为R ，且为奇函数，所以f(0)=0，即f(0)=a －220＋1=0，解得a=1.(3)因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t 2＋2)＋f(t 2－tk)＞0对任意的t ∈R 恒成立等价于不等式 f(t 2＋2)＞f(tk －t 2)对任意的t ∈R 恒成立. 又因为f(x)在R 上为增函数，所以等价于不等式t 2＋2＞tk －t 2对任意的t ∈R 恒成立，所以必须有Δ=k 2－16＜0，即－4＜k ＜4. 所以，实数k 的取值范围是(－4,4). 49.解：(1)∵函数f(x)=1－a ·5x5x ＋1，x ∈(b －3,2b)是奇函数，∴f(0)=1－a2=0，且b －3＋2b=0，即a=2，b=1.(2)证明：由(1)得f(x)=1－2·5x 5x ＋1=1－5x5x ＋1，x ∈(－2,2)，设任意x 1，x 2∈(－2,2)且x 1＜x 2，∴f(x 1)－f(x 2)=1－5x 15 x 1＋1－1－5x 25x 2＋1=25x 2－5x 15x 1＋15x 2＋1，∵x 1＜x 2，∴5 x 1<5x 2，∴5x 2－5 x 1>0，又∵5 x 1＋1>0,5x 2＋1>0，∴25x 2－5x 15x 1＋15x 2＋1>0，∴f(x 1)>f(x 2).∴f(x)是区间(－2,2)上的减函数. (3)∵f(m －1)＋f(2m ＋1)＞0， ∴f(m －1)＞－f(2m ＋1).∵f(x)是奇函数，∴f(m －1)＞f(－2m －1)， ∵f(x)是区间(－2,2)上的减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1<－2m －1－2<m －1<2－2<2m ＋1<2，即有⎩⎪⎨⎪⎧m<0－1<m<3－32<m<12，∴－1＜m ＜0，则实数m 的取值范围是(－1,0).50.解：(1)把点A(1,8)，B(3,32)代入函数f(x)=b ·a x，可得⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＝8b ·a 3＝32，求得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝4，∴f(x)=4·2x . (2)不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x＋1－2m ≥0，即m ≤12·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋12.令t=⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则m ≤12·t 2＋12t ＋12.记g(t)=12·t 2＋12t ＋12=12·⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋38，由x ∈(－∞，1]，可得t ≥12.故当t=12时，函数g(t)取得最小值为78.由题意可得，m ≤g(t)min ，∴m ≤78.。

课时作业(五十五) 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)[练基础]1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )2．为了得到函数y ＝cos(3x －1)的图象，只需把y ＝cos 3x 的图象上的所有点( ) A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位C ．向左平移13个单位D ．向右平移13个单位3．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象如图所示，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23，则f (0)＝( )A ．－23B ．－12C.23D.124．为了得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只需把y ＝3sin x 上所有的点( ) A ．先把横坐标伸长到原来的2倍，然后向左平移π6个单位B ．先把横坐标伸长到原来的2倍，然后向左平移π3个单位C ．先把图象向右平移π3个单位，然后横坐标缩短到原来的12倍D ．先把图象向左平移π3个单位，然后横坐标缩短到原来的12倍5．将函数f (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象上每一个点向左平移π3个单位，得到函数g (x )的图象，则函数g (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4，k ∈Z B.⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤k π－2π3，k π－π6，k ∈ZD.⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z 6．(多选)要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只要将函数y ＝sin x 的图象( ) A ．每一点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移π3个单位长度B ．每一点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移π6个单位长度C ．向左平移π3个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)D ．向左平移π6个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)7．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象的相邻两条对称轴的距离是π，则ω的值为________．8．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，－π＜φ＜0)的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________．9．用“五点法”画出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6图象．10．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若将函数f (x )的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变；再把所得函数图象向左平移π3个单位长度，得到函数g (x )的图象．求函数g (x )在[0,2π]上的单调递增区间．[提能力]11．要得到函数y ＝2cos x 的图象，只需将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4图象上的所有点的( )A ．横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向左平行移动π8个单位长度B ．横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向右平行移动π4个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动π4个单位长度D ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动π8个单位长度12．(多选)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的部分图象如图所示，则下列正确的是( )A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3 B ．f (2021π)＝1C ．函数y ＝|f (x )|为偶函数D ．∀x ∈R ，f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝013．函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象重合，则φ＝________.14.函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则φ＝________；将函数f (x )的图象沿x 轴向右平移b (0<b <π2)个单位后，得到一个偶函数的图象，则b ＝________.15．已知函数f (x )＝sin (2x ＋φ)(0＜φ＜π2)，函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －π12为奇函数． (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位，然后将所得图象上的各点的横坐标缩小到原来的12倍(纵坐标不变)得到函数g (x )的图象，证明：当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，2g 2(x )－g (x )－1≤0.[培优生]16．已知函数f (x )＝2sin ωx ，其中常数ω>0.(1)若y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，2π3上单调递增，求ω的取值范围； (2)令ω＝2，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，区间[a ，b ](a ，b ∈R 且a <b )满足：y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a ，b ]中，求b －a 的最小值．课时作业(五十五) 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)1．解析：当x ＝0时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32<0，排除B 、D ；当x ＝π6时，sin ⎝⎛⎭⎫2×π6－π3＝sin 0＝0，排除C.故选A. 答案：A2．解析：只需把y ＝cos 3x 的图象上的所有点向右平移13个单位，即可得到函数y ＝cos(3x －1)的图象， 故选D. 答案：D3．解析：由图象可知函数f (x )的周期为23π，故ω＝3.将⎝⎛⎭⎫11π12，0代入解析式得114π＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，所以φ＝－π4＋2(k －1)·π(k ∈Z )．令φ＝－π4，代入解析式得f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4，又f ⎝⎛⎭⎫π2＝－A cos π4＝－23，故A ＝223.所以f (0)＝223cos ⎝⎛⎭⎫－π4＝223cos π4＝23. 故选C. 答案：C4．解析：只需把y ＝3sin x 上所有的点先把图象向左平移π3个单位，然后横坐标缩短到原来的12倍，即可得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象， 故选D. 答案：D5．解析：由题意可知平移后的解析式：g (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 函数y ＝g (x )的单调递增区间：2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z解得：k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z故选D. 答案：D6．解析：(1)先伸缩后平移时：每一点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移π6个单位长度，所以A 选项错误，B 选项正确．(2)先平移后伸缩时：向左平移π3个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，所以C 选项正确，D 选项错误． 故选BC. 答案：BC7．解析：因为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象的相邻两条对称轴的距离是π，所以T 2＝π⇒T ＝2π＝2πω⇒ω＝1. 答案：18．解析：由图象得：A ＝2，T 2＝π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π2， 故T ＝π，故ω＝2ππ＝2，由f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝2， 故2π3＋φ＝π2，解得：φ＝－π6， 故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，f ⎝⎛⎭⎫π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π4－π6＝2sin π3＝2×32＝ 3. 答案：39．解析：令t ＝x 2＋π6，列表如下10．解析：(1)根据函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象，可得 A ＝2，12×2πω＝5π6－π3，∴ω＝2.再根据五点法作图，2×π3＋φ＝π2，∴φ＝－π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)将函数f (x )的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，可得y ＝2sin⎝⎛⎭⎫x －π6的图象； 再把所得函数图象向左平移π3个单位长度，得到函数g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象． 令2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2，求得2k π－2π3≤x ≤2k π＋π3，可得g (x )的增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－2π3，2k π＋π3，k ∈Z . 故函数g (x )在[0,2π]上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π3，⎣⎡⎦⎤4π3，2π. 11．解析：∵y ＝2cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2， ∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4――――――――――――→纵坐标不变横坐标伸长到原来的2倍y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2. 故选C.答案：C12．解析：由图象知：A ＝2，T ＝2⎣⎡⎦⎤5π12－⎝⎛⎭⎫－π12＝π， 故ω＝2πT ＝2ππ＝2，故f (x )＝2sin(2x ＋φ)，∵f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫－π12，2， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫－π6＋φ＝2，故sin ⎝⎛⎭⎫－π6＋φ＝1， ∴－π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，故φ＝2π3＋2k π，k ∈Z ，∵0＜φ＜π，故φ＝2π3，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3， 对于A ：f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，故A 正确； 对于B ：f (2021π)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2·2021π＋2π3＝2sin 2π3＝3，故B 错误； 对于C ：∵⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫－π3＝⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫－2π3＋2π3 ＝0，⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π3＝⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋2π3＝3， 故⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫－π3 ≠⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π3，故|f (x )|不是偶函数，故C 错误； 对于D ：∵f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋2x ＋2π3＝2sin(π＋2x )＝－2sin 2x ， f ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＋2π3＝2sin (π－2x )＝2sin 2x ， 故f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝－2sin 2x ＋2sin 2x ＝0，故D 正确，故选AD. 答案：AD13．解析：因为y ＝cos(2x ＋φ)＝cos (－2x －φ)＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－()－2x －φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＋φ，图象向右平移π2个单位后为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＋φ，与y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3重合，所以φ－π2＝π3，解得φ＝5π6.答案：5π614．解析：根据函数的图象可得14T ＝3π8－π8＝π4，所以T ＝π，所以2πω＝π，所以ω＝2，又因为f ⎝⎛⎭⎫π8＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎫2×π8＋φ＝1，所以φ＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ， 所以φ＝2k π＋π4，k ∈Z ，因为|φ|<π2，所以φ＝π4.所以f (x )＝sin(2x ＋π4)，将f (x )的图象沿x 轴向右移b 个长度单位得函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2()x －b ＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－2b 的图象，因为函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－2b 是偶函数，所以π4－2b ＝k π＋π2，k ∈Z ， 所以b ＝－k π2－π8，k ∈Z ，因为0<b <π2，所以k ＝－1，b ＝3π8.答案：π4 3π815．解析：(1)f ⎝⎛⎭⎫x －π12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋φ， 因为其为奇函数，所以－π6＋φ＝k π，k ∈Z ，解得φ＝k π＋π6，k ∈Z ，因为0＜φ＜π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ，可得函数f (x )的单调递增区间⎣⎡⎦⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z . (2)证明：函数y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位，得到函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋π6＝sin 2x 的图象，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数g (x )＝sin 4x 的图象，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，g (x )∈[0,1]， 所以2g 2(x )－g (x )－1＝[2g (x )＋1][g (x )－1]≤0，得证．16．解析：(1)因为ω>0，根据题意有⎩⎨⎧－π4ω≥－π2，2π3ω≤π2解得0<ω≤34.所以ω的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，34. (2)由题意知f (x )＝2sin 2x ，g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1， 由g (x )＝0得，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝－12，解得x ＝k π－π4或x ＝k π－712π，k ∈Z ，即g (x )的零点相离间隔依次为π3和2π3，故若y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，则b －a 的最小值为14×2π3＋15×π3＝43π3.。

高中函数问题培优训练 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN恒成立与存在性问题1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立⇒()max a f x >；()()min a f x a f x ≤⇒≤恒成立2、能成立问题的转化：()a f x >能成立⇒()min a f x >；()()max a f x a f x ≤⇒≤能成立3设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤。

5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()12=f x g x ，则()f x 在[]b a x ,1∈上的值域M 是()x g 在[]d c x ,2∈上的值域N 的子集。

即：M ⊆N 。

7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥8、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤9、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方；10、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方；题型一、常见方法1、已知函数12)(2+-=ax x x f ，xa x g =)(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；2、已知两函数2)(x x f =，m x g x-⎪⎭⎫ ⎝⎛=21)(，对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥，则实数m 的取值范围为题型二、主参换位法(已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数)1、对于满足2p ≤的所有实数p,求使不等式212x px p x ++>+恒成立的x 的取值范围。

2.2.2　二次函数的性质与图象课时过关·能力提升1函数y=x 2-2x+m 的单调递增区间为( )A.(-∞,+∞)B.[1,+∞)C.(-∞,1]D.[-2,+∞),且对称轴为x=1,所以单调递增区间为[1,+∞).2函数f (x )=x 2-mx+4(m>0)在(-∞,0]上的最小值是( )A.4B.-4C.与m 的取值有关D.不存在f (x )的图象开口向上,且对称轴x=>0,m2所以f (x )在(-∞,0]上为减函数,所以f (x )min =f (0)=4.3二次函数y=4x 2-mx+5的对称轴为x=-2,则当x=1时,y 的值为()A.-7B .1C .17D .25-=-2,解得m=-16,-m2×4故y=4x 2+16x+5.当x=1时,y=4×12+16×1+5=25.4已知二次函数f (x )=x 2-ax+7,若f (x-2)是偶函数,则a 的值为( )A.4B.-4C.2D.-2f (x-2)=(x-2)2-a (x-2)+7=x 2-(a+4)x+2a+11.因为f (x-2)是偶函数,所以其图象关于y 轴对称,即=0,所以a=-4.a +425已知一次函数y=ax+c 与二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0),它们在同一坐标系中的大致图象是( )6已知函数y=x 2-2x+3在区间[0,m ]上有最大值3,最小值2,则实数m 的取值范围是( )A.[1,+∞)B .[1,2)C .[1,2]D .(-∞,2]y=x 2-2x+3=(x-1)2+2,其图象如图所示,且f (0)=3,f (1)=2,f (2)=3.结合图象可知m 的取值范围是[1,2].7已知二次函数f (x )=ax 2+bx-1(a ≠0).若f (x 1)=f (x 2)(x 1≠x 2),则f (x 1+x 2)等于( )A.-B.-C.-1D.0b2a b af (x 1)=f (x 2)可得f (x )图象的对称轴为x=,x 1+x 22故=-,即x 1+x 2=-,x 1+x 22b 2a ba 所以f (x 1+x 2)=f =a ·+b ·-1=-1=-1.(-b a )(-b a )2(-b a )b 2a ‒b 2a8已知f (x )=ax 2-2x-6,且f (-1)=-6,则f (x )的单调递减区间是 .a×(-1)2-2×(-1)-6=-6,即a=-2,故f (x )=-2x 2-2x-6,其图象开口向下,对称轴为x=-,故单调递减区间是.12[-12,+∞)-12,+∞)9已知二次函数的图象开口向上,且满足f (2 017+x )=f (2 017-x ),x ∈R ,则f (2 013)与f (2 018)的大小关系为 .,二次函数图象的对称轴为x=2 017.∵|2 013-2 017|>|2 018-2 017|,∴f (2 013)>f (2 018).(2 013)>f (2 018)10若函数f (x )=(x+a )(bx+2a )(常数a ,b ∈R )是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式f (x )= .(x )=(x+a )(bx+2a )=bx 2+(2a+ab )x+2a 2是偶函数,则其图象关于y 轴对称,故2a+ab=0.又∵值域为(-∞,4],∴b<0,2a 2=4.∴b=-2.∴f (x )=-2x 2+4.2x 2+411已知函数y=(m-2)+6x+2是一个二次函数,求m 的值,并判断此抛物线的开口方向,写出它是由函数xm 2-m y=(m-2)通过怎样的平移得到的.x m 2-m,应注意二次函数的二次项系数不为零,且x 的最高次数是2.图象进行平移变换时,通常先将解析式配方为y=a (x-h )2+k (a ≠0)的形式,再由y=ax 2(a ≠0)通过左右(或上下)平移得到.解得m=-1.{m 2-m =2,m -2≠0,于是y=-3x 2+6x+2=-3(x-1)2+5,抛物线开口向下.它可由函数y=-3x 2向右平移1个单位长度,再向上平移5个单位长度得到.★12已知a ∈R ,函数f (x )=x|x-a|.(1)当a=2时,写出函数y=f (x )的单调递增区间;(2)当a>2时,求函数y=f (x )在区间[1,2]上的最小值.当a=2时,f (x )=x|x-2|={x (x -2),x ≥2,x (2-x ),x <2.当x ≥2时,f (x )=x (x-2)=(x-1)2-1,单调递增区间是[2,+∞);当x<2时,f (x )=x (2-x )=-(x-1)2+1,单调递增区间是(-∞,1].(2)因为a>2,x ∈[1,2],所以f (x )=x (a-x )=-x 2+ax=-.(x -a 2)2+a 24当1<,即2<a ≤3时,f (x )min =f (2)=2a-4;a 2≤32当≤2,即3<a ≤4时,32<a 2f (x )min =f (1)=a-1.当>2,即a>4时,f (x )min =f (1)=a-1.a 2故f (x )min ={2a -4,2<a ≤3,a -1,a >3.★13若函数f (x )=x 2-x+a 的定义域和值域均为[1,m ](m>1),求实数a ,m 的值.12f (x )=x 2-x+a=(x-1)2-+a ,121212所以f (x )图象的对称轴是x=1,且f (x )在[1,m ]上是单调递增的.所以f (x )在[1,m ]上的值域为[f (1),f (m )],即{f (1)=12-1+a =1,f (m )=12m 2-m +a =m ,解得{a =32,m =3(m =1舍去),故a=,m=3.32。