河北省定州市届高三数学下学期周练试题承智班49

河北省定州市2016-2017学年高二数学下学期周练试题（承智班，4.9）一、选择题1．已知点M （0，1，-2），平面π过原点，且垂直于向量(1,2,2)n =-，则点M 到平面π的的距离为（ ）A B ．2 C ．6 D 2．某校高三年级有1000名学生，随机编号为0001,0002，．．．，1000，现按系统抽样方法，从中抽出200人，若0122号被抽到了，则下列编号也被抽到的是（ ）A ．0927B ．0834C ．0726D ．01163．已知函数①sin ,y x x =⋅②cos y x x =⋅，④2x y x =⋅的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的一组是( )A.①④②③B.①④③②C.④①②③D.③④②①4 A.(1,1)- B.(1,0)-(0,1) C.(1,0)-,(0,1) D.(,1)-∞-,(1,)+∞ 5．下面给出了四个类比推理：（1）由“若,,a b c R ∈则()()ab c a bc =”类比推出“若a,b,c 为三个向量则(⋅⋅⋅⋅(a b)c =a b c)”； （2）“a,b 为实数，220a b +=若则a=b=0”类比推出“12,z z 为复数，若22121200z z z z +===则”（3）“在平面内，三角形的两边之和大于第三边”类比推出“在空间中，四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”（4）“在平面内，过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆”类比推出“在空间中，过不在同一个平面上的四个点有且只有一个球”．上述四个推理中，结论正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．以下四个命题中，真命题的个数是（ ） ①命题“若0232=+-x x ，则1=x ”的逆否命题为“若1≠x ，则0232≠+-x x ”；②若q p ∨为假命题，则p 、q 均为假命题；③命题p ：存在R x ∈,使得012<++x x ，则p ⌝：任意R x ∈,都有012≥++x x ；④在ABC ∆中,B A <是B A sin sin <的充分不必要条件.A ．1B ．2C ．3D ．47．下列命题中错误．．的是( ) A ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ=，那么l γ⊥ B ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD ．如果平面α⊥平面β，l αβ=，过α内任意一点作l 的垂线m ，则m β⊥8 ）A 9．已知命题:1p x ∀<，都有，命题:q x R ∃∈，使得22x x ≥成立，则下列命题是真命题的是（ ）A ．()p q ∨⌝B ．)()(q p ⌝∧⌝C ．p q ∨D ．p q ∧1011．已知函数2(0)()1(0)x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩，若()(1)0f a f +=，则实数a 的值等于（）A ．3-B ．1-C ．1D ．312．已知10名工人生产同一零件，生产的件数分别是16，18，15，11，16，18，18，17，15，13，设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>二、填空题13．已知函数1lg(),0,(),0.x x x f x e x --<⎧=⎨≥⎩，若2)()1(=+a f f ，则a 的所有可能值为 ． 14．如图，在ABC ∆中，若2BE EA =，2AD DC =， ()DE CA BC λ=-，则实数15．已知点P(2,2)在曲线y ＝ax 3＋bx 上，如果该曲线在点P 处切线的斜率为9，则函数f(x)＝ax 3＋bx ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3的值域为_______ 16．设直线系M ：xcos θ+（y ﹣2）sin θ=1（0≤θ≤2π），对于下列四个命题：A ．M 中所有直线均经过一个定点B ．存在定点P 不在M 中的任一条直线上C ．对于任意整数n （n ≥3），存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．三、解答题 17．向面积为9的ABC ∆内任投一点P ，求PBC ∆的面积小于3的概率？18．已知tan α（1）求α的其它三角函数的值；（2.19．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，BAC ∠的平分线AD 交⊙O 于点D ，AC DE ⊥，交AC 的延长线于点E ，OE 交AD 于点F ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2参考答案1．B 【解析】解：只需求在上的投影即可OM n →→ ||-6|=3|OM n →→=2．A【解析】试题分析：系统抽样就是等距抽样，编号满足01225,k k Z +∈，因为092701225161=+⨯，所以选A.考点：系统抽样3．A【解析】试题分析：①sin y x x =⋅是偶函数，其图象关于y 轴对称；②cos y x x =⋅是奇函数，其图象关于原点对称； 是奇函数，其图象关于原点对称，且当0x >时，其函数值0y ≥; ④2x y x =⋅为非奇非偶函数，且当0x >时， 0y >, 且当0x <时， 0y <.故选A考点： 奇偶性 函数图像4．C 的定义域为0x ≠的实数，令解得1x =±， 当10x -<<或01x <<时()0f x '<，所以函数()f x 的单调递减区间是(1,0)-,(0,1)5．B【解析】试题分析：容易验证结论是错误的．事实上,若三个向量都是单位向量,其夹角不同则（1）不成立;若取i z z ==21,1,显然满足题设,即（2）不成立．其中（3）（4）是正确的证明过程略．故应选B ． 考点：类比推理及命题真假的判定．【易错点晴】类比推理是指运用两个或两类对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其它方面也相似或相同的结论的推理方法．本题是一道合情推理中的类比推理题,问题中给出了几个类比的结论,要求判断其真伪的问题．解答时,综合运用所学知识逐一加以验证和推断,当然本题的解答要求对所学知识扎实掌握,只有这样才能做出正确的判断．6．C【解析】①是真的。

2024届河北省保定市定州中学承智班数学高一第二学期期末质量跟踪监视试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知A(3,1)，B(－1,2)，若∠ACB 的平分线方程为y ＝x ＋1，则AC 所在的直线方程为( ) A ．y ＝2x ＋4B ．y ＝12x －3 C ．x －2y －1＝0 D ．3x ＋y ＋1＝02．下列不等式中正确的是( ) A ．若a b >，c d >，则a c b d ->- B ．若ac bc >，则a b >C ．若a b >，则2211a b < D ．若0a b >>，则11a b<3．已知直线l 经过点(1,0)，且与直线 2 0x y +=垂直，则l 的方程为（ ） A ． 2 10x y +-= B ．210x y --= C ．220x y +-=D ．220x y --=4．已知函数()()sin f x A x =+ωϕπ0,0,2A ωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图，则π8f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为( )A ．624- B ．624+ C ．324+ D ．324- 5．不等式的解集是A ．B ．C ．D ．6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取4%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A ．400，40B ．200，10C ．400，80D ．200，207．某单位职工老年人有30人，中年人有50人，青年人有20人，为了了解职工的建康状况，用分层抽样的方法从中抽取10人进行体检，则应抽查的老年人的人数为（ ） A ．3B ．5C ．2D ．18．用数学归纳法证明32331n n n >++这一不等式时，应注意n 必须为（ ） A ．*n N ∈B ．*n N ∈，2n ≥C ．*n N ∈，3n ≥D ．*n N ∈，4n ≥ 9．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且510315S S ==，，则20S =（ ） A ．255B ．375C ．250D ．20010．在ABC ∆中，角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ，已知60,1A b ︒==，ABC ∆的面3ABC ∆外接圆的直径为（ ）A ．8381B ．27C 263D ．2393二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2016-2017学年第二学期高三承智班数学周练试题（5.15）一、选择题1．在展开式中，二项式系数的最大值为，含项的系数为，则（）A. B.C. D.2．已知 (其中为的共轭复数，为虚数单位)，则复数的虚部为（）A. B. C. D.3．已知集合,则（）A． B．C． D．4．“”是“函数为奇函数的”（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5．已知平面向量，，若，则实数（）A. 2B. ﹣2C. 4D. ﹣46．已知集合，，则（）A. B. C. D.7．直线和平面，下面推论错误的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则或D. 若，则8．已知数列的前项和为，且，，则（）A. B. C. D.9．已知函数，则函数的大致图像为( )A. B. C. D.10．已知对数式有意义，则的值为（）A． B．3C．4 D．3 或411．已知对于任意的，都有，且，则（）A. B. C. D.12．已知函数，且，则（）A. B. C. D.二、填空题13．已知，则函数的单调递减区间是______.14．已知，，则=___________．15．在的展开式中，含项的系数为__________．16．在边长为1的正三角形中，设，，则__________．17．已知函数.（1）当时，求在区间上的最值；（2）讨论函数的单调性；（3）当时，有恒成立，求的取值范围.18．已知等比数列的各项均为正数，，公比为等差数列中，，且的前项和为，，．（Ⅰ）求与的通项公式；（Ⅱ）设数列满足，求的前项和．19．的内角，，的对边分别为，，，已知. （Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若边上的高等于，求的值.20．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，直线与的两个交点间的距离为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）分别过作满足，设与的上半部分分别交于两点，求四边形面积的最大值.参考答案1．D试题分析：由题意，得，，所以，故选D.考点：二项式定理.2．B【解析】因为，所以，，的虚部为.选B.3．C【解析】试题分析：结合集合,,指的是到之间的实数,所以．考点：集合的运算．4．A【解析】试题分析：函数为奇函数，则当时，，即，因此“”是“函数为奇函数” 的充分不必要条件，故选A.考点：1.三角函数的奇偶性；2.充分必要条件5．B【解析】因为，，所以，解得，故选B.6．B【解析】因为，所以，应选答案B。

高三第一学期承智班班第1次考试数学试题一、选择题1．已知()2,02,{814,2,x f x x x x <≤=-+>若存在互不相同的四个实数0a b c d <<<<满足()()()()f a f b f c f d ===，则2ab c d ++的取值范围是 （ ）A. (13B. ()13C. 13⎡⎤⎣⎦D. ()132．已知()3f x x =，若方程()()220f x f k x +-=的根组成的集合中只有一个元素，则实数k 的值为 （ ）A. －1B. 0C. 1D. 23．设()()()23,0{61,0x x f x xcos x x π+>=-≤， ()()1g x kx x R =-∈，若函数()()y f x g x =-在()2,4x ∈-内有3个零点，则实数k 的取值范围是( )A. ()6,4-B. [)4,6C. (){}5,64⋃D. [){}5,64⋃4．已知()f x 是定义在(),-∞+∞上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，设()4log 7a f =，()0.612log 3,0.2b f c f -⎛⎫== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是 ( )A. c a b <<B. c b a <<C. b c a <<D. a b c << 5．对于函数()f x 和()g x ，设(){|0}x f x α∈=，(){|0}x g x β∈=，若存在,αβ，使得1αβ-≤，则称()f x 和()g x 互为“零点相邻函数”，若函数()12x f x ex -=+-与()23g x x ax a =--+互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围是（ ） A. []2,4 B. 72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 7,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. []2,36．若圆(()2213x y +-=与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线相切，则此双曲线的离心率为（ ）A.B. C. 2D. 7．已知平面上的单位向量1e 与2e 的起点均为坐标原点O ，它们的夹角为3π，平面区域D 由所有满足12OP e e λμ=+的点P 组成，其中1{0 0λμλμ+≤≤≤，那么平面区域D 的面积为（ ）A.12B.C.D. 8．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）A. 12种B. 10种C. 9种D. 8种9．定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时， ()xf x e x =+，且()()f x t f x +>在()1,x ∈-+∞上恒成立，则关于x 的方程()21f x t +=的根的个数叙述正确的是（ ）A. 有两个B. 有一个C. 没有D. 上述情况都有可能10．已知函数()()221x f x ax x e x =++-，若存在正数0x ，使得()00f x ≤，则实数a 的取值范围是（ ）A. [)2,e -+∞B. (],2e -∞- C. 12,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ D. 1,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦11．定义在R 上的偶函数f (x )的导函数为f ′(x )，若对任意的实数x ，都有2f (x )＋xf ′(x )<2恒成立，则使x 2f (x )－f (1)<x 2－1成立的实数x 的取值范围为A. {x |x ≠±1}B. (－∞，－1)∪(1，＋∞)C. (－1,1)D. (－1,0)∪(0,1) 12．如图， Rt ABC ∆中， P 是斜边BC 上一点，且满足： 12BP PC =,点,M N 在过点P 的直线上，若,AM AB AN AC λμ==,(,0)λμ>,则2λμ+的最小值为（ ）A. 2B. 83C. 3D. 103二、填空题13．已知函数()31233f x x ax bx =-+-，若对于任意的21,3a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，任意的[]1,2x ∈都有()0f x >恒成立，则b 的取值范围是________．14．在ABC ∆中，若1tan 3A =， 0150C =， 1BC =，则AB =__________ . 15．已知函数()()22e 2x kf x x x kx =--+（k 是常数，e 是自然对数的底数，e ＝2.71828…）在区间()02，内存在两个极值点，则实数k 的取值范围是________．16．设抛物线22y px = （0p >）的焦点为F ，准线为l .过焦点的直线分别交抛物线于,A B 两点，分别过,A B 作l 的垂线，垂足,C D .若2AF BF =，且三角形CDF，则p 的值为___________.三、解答题17．已知()21xf x e ax =-+．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若函数()f x 在()0,∞上有最小值，且最小值为()g a ，满足()232ln g a ≤-，求实数a 的取值范围．18．定义：在平面内，点P 到曲线Γ上的点的距离的最小值称为点P 到曲线Γ的距离，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M ：(2212x y +=及点()A ，动点P 到圆M 的距离与到A 点的距离相等，记P 点的轨迹为曲线W .（1）求曲线W 的方程；（2）过原点的直线l （l 不与坐标轴重合）与曲线W 交于不同的两点,C D ，点E 在曲线W 上，且CE CD ⊥，直线DE 与x 轴交于点F ，设直线,DE CF 的斜率分别为12,k k ，求12k k . 19．已知函数()211af x nx x =++. （1）求()f x 的单调区间；（2）若0x >且1x ≠时，111nx ax x >-+恒成立，求a 的范围.20．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右两个焦点分别为12,F F ，离心率e =，短轴长为2.（1）求椭圆的方程；（2）点A 为椭圆上的一动点（非长轴端点），2AF 的延长线与椭圆交于B 点， AO 的延长线与椭圆交于C 点，求ABC ∆面积的最大值.参考答案：DCABD ADAAD 11．B 12．B 13．4b >14．215．()()21e e e ⋃，，．16．317．(I) 函数()f x 在(),ln2a -∞单调递减，在()ln2,a +∞单调递增；（Ⅱ）1a ≥. （1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，分别令()'0f x >得增区间， ()'0f x <得减区间；（2）结合（1）可得a 的范围，得到函数的单调区间，求出函数()f x 在()0,∞上有最小值，从而确定a 的范围即可. 试题解析：（Ⅰ）∵f'（x ）＝e x －2a ．当a≤0时，f'（x ）＞0，f （x ）在R 上单调递增； 当a ＞0时，令f'（x ）＝0，得x ＝ln2a ． 列表得所以函数f （x ）在（－∞，ln2a ）单调递减，在（ln2a ，＋∞）单调递增． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当a ＞0时，f （x ）有最小值，且在x ＝ln2a 时取到最小值， ∴ln2a ＞0，∴12a >．∵f （x ）min ＝f （ln2a ）＝2a －2aln2a ＋1，∴g （a ）＝2a －2aln2a ＋1≤3－2ln2，即2a －2aln2a －2＋2l n2≤0． 令t ＝2a ，t ＞1，∴t －tlnt －2＋2ln2≤0．记φ（t ）＝t －tlnt －2＋2ln2，φ'（t ）＝－lnt ＜0．∴φ（t ）在（1，＋∞）上单调递减，又∵φ（2）＝0，∴φ（t ）≤0时t≥2，即a≥1． 所以a 的取值范围是a≥1．18．（Ⅰ）2213x y +=;（Ⅱ）13-. （Ⅰ）由分析知：点P在圆内且不为圆心，故PA PM AM +=>=, 所以P 点的轨迹为以A 、M 为焦点的椭圆，设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，则2{{2a a c c ==== 所以21b =，故曲线W 的方程为22 1.3x y += （Ⅱ）设()()()111122,0,,C x y xy E x y ≠,则()11,D x y --,则直线CD 的斜率为11CD y k x =，又C E C D ⊥，所以直线CE 的斜率是11CE x k y =-，记11x k y -=，设直线CE 的方程为y kx m =+，由题意知0,0k m ≠≠，由22{13y k x m x y =++=得： ()222136330k x mkx m +++-=.∴122613mkx x k +=-+，∴()121222213my y k x x m k+=++=+，由题意知， 12x x ≠， 所以1211121133y y y k x x k x +==-=+，所以直线DE 的方程为()11113y y y x x x +=+，令0y =，得12x x =，即()12,0F x . 可得121y k x =-.精 品 文 档所以1213k k =-，即121=.3k k - 19．(1)答案见解析；(2) 2a ≤. (1) ()()()222111x a x f x x x +-++'=令()()2211g x x a x =+-+ ()42a a ∆=- 当02a ≤≤时， ()0,x ∈+∞， ()0f x '≥ ()fx当0a <时， ()0,x ∈+∞， ()0f x '> ()fx当2a >时， ()0f x '=两根为11x a =-21x a =-+()10,x x ∈， ()0f x '>， ()f x ， ()2,x x ∈+∞， ()0f x '>， ()fx()12,x x x ∈， ()0f x '<， ()fx综上当2a ≤时， 区间为()0,+∞当2a >时，区间(()0,1,1a a --++∞，区间(11a a --+(2)即证21121·1111anx a a x x x x x ++->--++ 整理得121011a nx a x x ⎛⎫+-> ⎪-+⎝⎭即证1x >时， 2101a nx a x ⎛⎫+-> ⎪+⎝⎭01x <<时， 2101a nx a x ⎛⎫+-< ⎪+⎝⎭令()211ah x nx a x =+-+， ()()()22211'1x a x h x x x +-+=+ 当2a ≤时， ()0h x '≥， ()h x 在()0,+∞， ()10h =1x >时， ()()21101a h x nx a h x ⎛⎫=+->= ⎪+⎝⎭01x <<时， ()()21101a h x nx a h x ⎛⎫=+-=< ⎪+⎝⎭满足题意 当2a >时，()1x a ∈-， ()0h x '<01x <<时， ()()21101a h x nx a h x ⎛⎫=+->= ⎪+⎝⎭不合题意 综上2a ≤20．（1）椭圆的标准方程为2212x y += （2）ABC ∆（1） 由题意得22b =，解得1b =，∵222c e a b c a ===+，∴a = 1c =， 故椭圆的标准方程为2212x y += （2）①当直线AB 的斜率不存在时，不妨取1,,1,,1,222A B C ⎛⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故122ABC S ∆=⨯=； ②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为 ()1y k x =-，联立方程组()221{ 12y k x x y =-+=，化简得()2222214220k x k x k +-+-=，设()()221122121222422,,,,,2121k k A x y B x y x x x x k k -+=⋅=++AB ===点O 到直线0kx y k --=的距离d ==因为O 是线段AC 的中点，所以点C 到直线AB 的距离为2d =，∴2211122221ABCk S AB d k ∆⎛⎫+=⋅=⋅ ⎪+⎝⎭==≤综上， ABC ∆.。

2016-2017学年第二学期高三数学周练试题（5.15）一、选择题1．设满足约束条件，若目标函数（其中）的最大值为3，则的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．42．设全集R，集合=，，则( )A． B．C． D．3．下列函数中，值域为的是（）A. B. C. D.4．若是一组基底，向量，则称为向量在基底下的坐标，现已知向量在基底，下的坐标为，则在另一组基底，下的坐标为（）A． B． C． D．5．执行如图所示的程序框图，若输出的值为15，则输入的值可能为A．2 B．4 C．6 D．86．设、、是三个不同的平面，a、b是两条不同的直线，给出下列4个命题：（）①若a∥，b∥，则a∥b；②若a∥，b∥，a∥b，则∥；③若a⊥，b⊥，a⊥b，则⊥；④若a、b在平面内的射影互相垂直，则a⊥b. 其中正确命题是:( )A. ④B.③C. ①③D. ②④7．行列式中，第3行第2列的元素的代数余子式记作，的零点属于区间（）（A）（）；（B）（）；（C）（）；（D）（）；8．已知是偶函数，而是奇函数，且对任意，都有且，则的大小关系是（）A. B. C. D.9．已知等比数列的各项均为正数，且，则（）A．10 B．50 C．100 D．100010．已知变量与之间的回归直线方程为，若则的值等于（）A． B． C． D．11．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A． B．1 C．2 D．412．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. 1B.C.D.二、填空题13．下列有五个命题：（1）函数的最大值为；（2）终边在轴上的角的集合是；（3）在同一坐标系中，函数的图象和函数的图象有三个公共点；（4）把函数的图象向右平移个单位，得到的图象；（5）角为第一象限角的充要条件是.其中，真命题的编号是（写出所有真命题的编号）14．若直线与直线平行，则实数等于 . 15．已知都是锐角，，，则．16．在长方体中，，点分别是棱的中点，则三棱锥的体积为__________三、解答题17．已知函数与在区间上都是减函数，确定函数的单调区间．18．（本题满分12分）在数列中，，（），数列的前项和为。

2017-2018学年河北省保定市定州中学承智班高三（下）开学数学试卷一、单选题1．（3分）已知函数f（x）＝lnx﹣x，f（x）的图象在点P处的切线l1与y轴交于点A，过点P与y轴垂直的直线l2与y轴交于点B，则线段AB中点M的纵坐标的最大值是（）A．B．e﹣1C．2ln2﹣3D．2．（3分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长相等，且∠A1AB＝∠A1AC＝∠ABC＝60°，则异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．3．（3分）若函数y＝f（x）的图象上存在两个点A，B关于原点对称，则对称点（A，B）为y＝f（x）的“孪生点对”，点对（A，B）与（B，A）可看作同一个“孪生点对”，若函数f（x）＝恰好有两个“孪生点对”，则实数a的值为（）A．4B．2C．1D．04．（3分）已知a＞0且a≠1，若当x≥2时，不等式a x≥ax恒成立，则a的最小值是（）A．e B．e C．2D．ln25．（3分）已知△ABC中，sin A，sin B，sin C成等比数列，则的取值范围是（）A．B．C．D．6．（3分）将函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到g（x）的图象，若g（x1）g（x2）＝9，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则2x1﹣x2的最大值为（）A．B．C．D．7．（3分）已知命题p：椭圆25x2+9y2＝225与双曲线x2﹣3y2＝12有相同的焦点；命题q：函数f（x）＝的最小值为．下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∧q C．￢（p∨q）D．p∧（￢q）8．（3分）已知不等式（ax+3）e x﹣x＞0有且只有一个正整数解，则实数a的取值范围是（）A．（]B．（]C．（）D．（]9．（3分）已知直线l过抛物线C：y2＝4x的焦点，l与C交于A，B两点，过点A，B分别作C的切线，交于点P，则点P的轨迹方程为（）A．x＝﹣1B．x＝﹣2C．y2＝4（x+1）D．y2＝4（x+2）10．（3分）已知函数f（x）＝，g（x）＝e x+1+a，其中e为自然对数的底数，若y＝f（x）﹣g（x）有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣e）B．（﹣∞，﹣）C．（﹣∞，﹣e）∪（﹣1，0）D．（﹣∞，﹣）∪（﹣1，0）11．（3分）抛物线C：y2＝2px的准线交x轴于点M，过点M的直线交抛物线于N，Q两点，F为抛物线的焦点，若∠NFQ＝90°，则直线NQ的斜率k（k＞0）为（）A．2B．C．D．12．（3分）如图为正方体ABCD﹣A1B1C1D1，动点M从B1点出发，在正方体表面沿逆时针方向运动一周后，再回到B1的运动过程中，点M与平面A1DC1的距离保持不变，运动的路程x与l＝MA1+MC1+MD之间满足函数关系l＝f（x），则此函数图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题13．（3分）已知函数f（x）＝，g（x）＝x2+1﹣2a．若函数y＝f（g（x））有4个零点，则实数a的取值范围是．14．（3分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点是抛物线C上一点，以M为圆心的圆与线段MF相交于点A，且被直线截得的弦长为|MA|，若，则|AF|＝．15．（3分）已知F1，F2是双曲线的左，右焦点，点P在双曲线的右支上，如果|PF1|＝t|PF2|（t∈（1，3]），则双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是．16．（3分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足条件b2+c2﹣a2＝bc ＝1，4cos B•cos C﹣1＝0，则△ABC的周长为．三、解答题17．已知函数f（x）＝a（x﹣1）2+lnx，a∈R．（1）当a＝2时，求函数y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程；（2）当a＝﹣1时，令函数g（x）＝f（x）+lnx﹣2x+1+m，若函数g（x）在区间上有两个零点，求实数m的取值范围．18．已知函数f（x）＝xlnx﹣．（1）若函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，求实数m的取值范围；（2）若函数f（x）在（0，+∞）上存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2，证明：lnx1+lnx2＞2．2017-2018学年河北省保定市定州中学承智班高三（下）开学数学试卷参考答案与试题解析一、单选题1．【解答】解：设P（m，lnm﹣m），m＞0，函数f（x）＝lnx﹣x的导数为f′（x）＝﹣1，可得切线的斜率为﹣1，即有切线方程为y﹣lnm+m＝（﹣1）（x﹣m），令x＝0，可得y＝lnm﹣1，即A（0，lnm﹣1），又B（0，lnm﹣m），可得AB中点的纵坐标为（2lnm﹣1﹣m），由g（m）＝2lnm﹣m﹣1的导数为g′（m）＝﹣1，由0＜m＜2时，g（m）递增；m＞2时，g（m）递减，即有m＝2时，g（m）取得最大值2ln2﹣3，即有AB中点的纵坐标的最大值为ln2﹣．故选：D．2．【解答】解：如图，设AC1，A1C交于M，BC中点为N，则MN∥A1B，∴∠AMN（或其补角）即为所求，取棱长为2，可得AM＝，AN＝，MN＝1，cos∠AMN＝，故选：A．3．【解答】解：由题意，x≥0，f（x）＝﹣x3+6x2﹣9x+2﹣a，关于原点对称的函数为f（x）＝﹣x3﹣6x2﹣9x﹣2+a（x＜0），∵函数f（x）＝恰好有两个“孪生点对”，∴x＜0时，函数的极大值为2，f′（x）＝﹣3（x+3）（x+1），函数在（﹣∞，﹣3），（﹣1，0）单调递减，（﹣3，﹣1）单调递增，∴x＝﹣1时取得极大值，即1﹣6+9﹣2+a＝2，∴a＝0，故选：D．4．【解答】解：当x≥2时，不等式a x≥ax恒成立，可得a x﹣1≥x在x≥2恒成立，两边取自然对数可得（x﹣1）lna≥lnx，考虑f（x）＝lnx﹣（x﹣1）lna，x≥2，由题意可得x≥2时，f（x）≤0恒成立．f′（x）＝﹣lna，当lna＜0，即0＜a＜1时，f（x）在x≥2递增，可得f（x）≥f（2）＝ln2﹣lna＞0，不成立；当lna＞0即a＞1时，若≥2，即1＜a≤时，f（x）在区间（2，）递增，（，+∞）递减，可得f（x）在x＝处取得最大值，且为ln﹣（﹣1）lna≤0，化为a﹣elna≤0，由g（a）＝a﹣elna的导数为g′（a）＝1﹣＜0在1＜a≤恒成立，即g（a）在1＜a≤时递减，可得g（a）∈[﹣，1），a﹣elna≤0不成立；当＜2，即a＞时，f（x）在x≥2处递减，f（x）在x＝2处取得最大值，且为ln2﹣lna≤0，可得a≥2．可得a的最小值为2．故选：C．5．【解答】解：∵在△ABC中，sin A、sin B、sin C依次成等比数列，∴sin2B＝sin A sin C，利用正弦定理化简得：b2＝ac，由余弦定理得：cos B＝＝＝（+）﹣≥2﹣＝（当且仅当a＝c时取等号），∴cos B≥，∴B的范围为（0，]，设y＝＝，设sin B+cos B＝t，则2sin B cos B＝t2﹣1，由于t＝sin B+cos B＝sin（B+），B∈（0，]，知t∈（1，]，故y＝＝＝t﹣，t∈（1，]，∵y＝t﹣，在（1，]上是增函数，∴y∈（0，]，故选：B．6．【解答】解：将函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到g（x）的图象，可得，故g（x）max＝1，g（x）min＝﹣3，由g（x1）g（x2）＝9，得，由，得，即，由x1，x2∈[﹣2π，2π]，得，故当时，2x1﹣x2最大，即，故选：A．7．【解答】解：p中椭圆为：＝1，双曲线为＝1，焦点坐标分别为（0，±4）和（±4，0），故p为假命题；q中f（x）＝＝，设t＝≥2（当且仅当x＝0时，等号成立），则f（t）＝t+在区间[2，+∞）上单调递增，故f（x）min＝，故q为真命题．所以（綈p）∧q为真命题，故选：B．8．【解答】解：不等式（ax+3）e x﹣x＞0有且只有一个正整数解，即为不等式ax+3＞有且只有一个正整数解，由f（x）＝的导数为f′（x）＝，当x＞1时，f（x）递减；x＜1时，f（x）递增，可得x＝1处f（x）取得最大值，作出y＝f（x）的图象，以及直线y＝ax+3，可得a＝0不符题意；a＞0也不符合题意；当a＜0时，不等式的正整数解为1，可得a+3＞，且2a+3≤，解得﹣3＜a＜﹣，故选：A．9．【解答】解：不妨将抛物线翻转为x2＝4y，设翻转后的直线l的方程为y＝kx+1，翻转后的A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则联立得x2﹣4kx﹣4＝0①，易得抛物线C在点A处的切线方程为y﹣x21＝x1•（x﹣x1），同理可得抛物线C在点B处的切线方程为y﹣x22＝x2（x﹣x2）．联立得y＝x1x2，再由①可得x1x2＝﹣4，所以y＝﹣1．故原抛物线C相应的点P的轨迹方程为x＝﹣1，故选：A．10．【解答】解：分别作出函数f（x）＝，g（x）＝e x+1+a的图象，当x＞0时，y＝e2x与y＝g（x）的图象相切，设切点为（m，e2m），即有e2＝e m+1，且e2m＝e m+1+a，解得a＝0，m＝1，当x＜0时，y＝﹣x﹣x2与y＝g（x）的图象相切，设切点为（n，﹣n﹣n2），即有e n+1＝﹣1﹣2n，e n+1+a＝﹣n﹣n2，解得a＝﹣1，n＝﹣1，当y＝g（x）经过点原点，可得e+a＝0，即a＝﹣e，可得﹣1＜a＜0和x＜﹣e时，f（x）和g（x）的图象有两个交点，故选：C．11．【解答】解：如图，M（），NQ：y＝k（x+），联立，得．△＝p2（2﹣k2）2﹣p2k4．设N（x1，y1），Q（x2，y2），则，．又F（），∴＝＝＝＝．∵∠NFQ＝90°，∴，∴＝＝0，∵p≠0，k＞0，解得k＝，当k＝时，△＝p2（2﹣k2）2﹣p2k4＝2p2＞0，满足题意．∴直线NQ的斜率k（k＞0）为．故选：D．12．【解答】解：设点P为B1C的中点，由题意可知M由B1到B1，l＝MA1+MC1+MD中，MA1+MD是定值，MC1由小变大，PC1是定值，MC1＝，函数是增函数，排除A，C，类似双曲线形式，所以C正确；（类似讨论由C到A，由A到B1的过程，l＝MA1+MC1+MD之间满足函数关系l＝f（x）．故选：C．二、填空题13．【解答】解：g（x）为偶函数，g min（x）＝g（0）＝1﹣2a．当x＜0时，令f（x）＝0得x＝﹣1；当x≥0时，令f（x）＝0得x2﹣2ax﹣a+1＝0，△＝4a2﹣4（1﹣a）＝4（a2+a﹣1），（1）若△＜0，即a2+a﹣1＜0，即＜a＜时，方程f（x）＝0（x≥0）无解，由f（g（x））＝0可得g（x）＝﹣1，又g（x）为偶函数，故而f（g（x））＝0最多只有2解，不符合题意；（2）若△＝0即a＝或a＝时，方程f（x）＝0（x≥0）的解为x＝a＝，而g min（x）＝1﹣2a＝2﹣，此时g（x）＝﹣1无解，g（x）＝只有2解，不符合题意；（3）若△＞0即a＜或a＞时，方程f（x）＝0（x≥0）的解为x1＝a﹣，x2＝a+，①若a＜，则x1＜0，x2＜0，且g min（x）＝1﹣2a＞0，此时f（g（x））＝0无解，不符合题意；②若＜a＜1，则x2＞x1＞0，而﹣1＜1﹣2a＜2﹣＜0，∴g（x）＝x1和g（x）＝x2各有2解，故f（g（x））＝0有4解，符合题意；③若a＝1，则x1＝0，x2＝2，g min（x）＝1﹣2a＝﹣1，此时g（x）＝x1有2解，g（x）＝x2有2解，g（x）＝﹣1有1解，此时f（g（x））＝0有5解，不符合题意；④若a＞1，则x2＞0，x1＜0，而g min（x）＝1﹣2a＜﹣1，∴g（x）＝x2有2解，g（x）＝﹣1有2解，故f（g（x））＝0有4解，符合题意．综上，＜a＜1或a＞1．故答案为：（，1）∪（1，+∞）．14．【解答】解：由题意：圆被直线x＝截得的弦长为：|MA|，设圆的半径为r则，|MA|＝|ME|＝r，在Rt△MDE中，|DE|2+|DM|2＝|ME|2，得|MD|＝，|MF|＝，而|MF|＝|MD|+p，所以＝+p，得p＝r，x0＝p，又由于M（x0，2）（x0＞）在抛物线上，则8＝2p2，解得：p＝2，∴|AF|＝＝＝1．故答案为：1．15．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y＝±x，设|PF1|＝s，|PF2|＝m，则s＝mt（1＜t≤3），由双曲线的定义可得s﹣m＝2a，解得m＝，由m≥c﹣a，可得t≤，又1＜t≤3，可得≥3，即有c≤2a，则c2≤4a2，即b2≤3a2，可得所求渐近线斜率的范围是（0，]．故答案为：（0，]．16．【解答】解：△ABC中，b2+c2﹣a2＝bc＝1，∴cos A＝＝＝，∴A＝，∴B+C＝，即cos（B+C）＝cos B cos C﹣sin B sin C＝﹣；又4cos B cos C﹣1＝0，∴sin B sin C＝cos B cos C+＝+＝，∴bc＝4R2sin B sin C＝4R2×＝1，解得R＝，其中R为△ABC的外接圆的半径；∴a＝2R sin A＝2××sin＝1，∴b2+c2﹣2bc cos A＝1，解得b2+c2＝2，∴（b+c）2＝b2+c2+2bc＝2+2×1＝4，∴b+c＝2，∴△ABC的周长为a+b+c＝3．故答案为：3．三、解答题17．【解答】解：（1）当a＝2时，f（x）＝2（x﹣1）2+lnx＝2x2﹣4x+lnx+2．当x＝1时，f（1）＝0，所以点P（1，f（1））为P（1，0），又，因此k＝f'（1）＝1．因此所求切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1）⇒y＝x﹣1．（2）当a＝﹣1时，g（x）＝2lnx﹣x2+m，则．因为，所以当g'（x）＝0时，x＝1，且当时，g'（x）＞0；当1＜x＜e时，g'（x）＜0；故g（x）在x＝1处取得极大值也即最大值g（1）＝m﹣1．又，g（e）＝m+2﹣e2，＝4﹣e2+，则，所以g（x）在区间上的最小值为g（e），故g（x）在区间上有两个零点的条件是：，所以实数m的取值范围是．18．【解答】解：（1）∵f（x）＝xlnx﹣在（0，+∞）上是减函数，∴f′（x）＝lnx﹣mx≤0在定义域（0，+∞）上恒成立，∴m≥（）max，设h（x）＝，则，由h′（x）＞0，得x∈（0，e），由h′（x）＜0，得x＞e，∴函数h（x）在（0，e）上递增，在（e，+∞）上递减，∴h（x）max＝h（e）＝．∴m≥．故实数m的取值范围是[，+∞）．证明：（2）由（1）知f′（x）＝lnx﹣mx，∵函数f（x）在（0，+∞）上存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2，∴，则，∴＝，∴lnx1+lnx2＝•ln＝，设t＝∈（0，1），则lnx1+lnx2＝，要证lnx1+lnx2＞2，只需证，只需证lnt＜，只需证lnt﹣＜0，构造函数g（t）＝lnt﹣，则g′（t）＝＝＞0，∴g（t）＝lnt﹣在t∈（0，1）上递增，∴g（t）＜g（1）＝0，即g（t）＝lnt﹣＜0，∴lnx1+lnx2＞2．。

百强校河北定州中学2016-2017学年第二学期高三数学周练试题（4.9）一、选择题1．已知函数，设表示，二者中较大的一个.函数.若，且，，使得成立，则的最小值为（）A. -5B. -4C.D. -32．已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，圆与线段相交于点，且被直线截得的弦长为.若，则等于( )A. B. C. D.3．设若是的最小值，则的取值范围为( )A. B. C. D.4．数列前项和是，且满足，，，则的值为（）A. B. C. D.5．定义运算：，将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是（）A. B. C. D.7．已知满足，则的取值范围为（）A. B. C. D.8．如图，在中，，，点为的中点，将沿折起到的位置，使，连接，得到三棱锥.若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A. B. C. D.9．已知函数的图象上存在点.函数的图象上存在点，且关于原点对称，则的取值范围是（）A. B. C. D.10．设集合，记中的元素组成的非空子集为，对于，中的最小元素和为，则（）A. 32 B. 57 C. 75 D. 48011．设定义在区间上的函数是奇函数，且.若表示不超过的最大整数，是函数的零点，则（）A. B. 或 C. D.12．已知函数，曲线上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与轴垂直，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题13．在长方体中,底面是边长为的正方形, ,是的中点,过作平面与平面交于点,则与平面所成角的正切值为__________．14．对于函数：①，②，③，判断如下三个命题的真假：命题甲：是偶函数；命题乙：在上是减函数，在上是增函数；命题丙：在是增函数．则能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是__________．15．设分别为双曲线的左右焦点，为双曲线右支上任一点，当的最小值为时，则该双曲线的离心率的取值范围是__________．16．已知为平面区域：内的整点（，均为整数的点）的个数，其中，记，数列的前项的和为，若存在正整数，，使得成立，则的值等于__________．三、解答题17．已知圆与直线相切，设点为圆上一动点，轴于，且动点满足，设动点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）直线与直线垂直且与曲线交于两点，求面积的最大值．18．已知函数曲线在点处的切线方程为.（1）求；（2）若存在实数，对任意的，都有，求整数的最小值.19．已知椭圆过点，且的离心率为.（1）求的方程；（2）过的顶点作两条互相垂直的直线与椭圆分别相交于两点.若的角平分线方程为，求的面积及直线的方程.20．在四边形中，已知，，点在轴上，，且对角线．（1）求点的轨迹的方程；（2）若点是直线上任意一点，过点作点的轨迹的两切线，为切点，直线是否恒过一定点？若是，请求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．参考答案1．A【解析】 A 由题意得 .作函数的图像如图所示.当时.方程两根分别为和 .则的最小值为 .2．B【解析】由题意：M（x0，2√2）在抛物线上，则8=2px0，则px0=4，①由抛物线的性质可知,，，则，∵被直线截得的弦长为√3|MA|，则，由，在Rt△MDE中，丨DE丨2+丨DM丨2=丨ME丨2，即，代入整理得：②，由①②，解得：x0=2，p=2，∴，故选：B．【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，考查了抛物线的定义，考查勾股定理在抛物线的中的应用，考查数形结合思想,转化思想，属于中档题，将点A到焦点的距离转化为点A到其准线的距离是关键.3．D【解析】.若，则当时，函数的最小值为，，不符合题意.排除两个选项.若，则当时，函数，最小值为，当时，根据对勾函数的性质可知，当时，函数取得最小值为，故符合题意，排除，故选.点睛：本题主要考查分段函数的的最值，考查了二次函数的最值和利用对勾函数的图像和性质来求最值.首先注意到是属于函数第一段表达式的，故先将求出来.由于第一段表达式是二次函数的形式，且跟轴有唯一交点，此时，故需要才能符合题意.对于第二段，需要用对勾函数的图像和性质来求最小值.4．D【解析】由题意，得，，，即奇数项、偶数项分别形成等比数列，则；故选D. 5．B【解析】由题意，得，将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为，因为为偶函数，所以，即，则即的最小正值是；故选B.点睛：本题的易错点在于：由的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数应为，而容易得到“”的错误答案.6．D【解析】因为是定义在上的偶函数，在区间上单调递减，所以在上单调递增，又，所以，所以，所以，所以或，可解得的取值范围是，故选D.7．D【解析】由题意，令，所以，所以，因为，所以所以所以，故选D.请在此填写本题解析!8．D【解析】由题意可得该三棱锥的面是边长为的正三角形，且平面，设三棱锥的外接球球心为，的外接圆的圆心为，则平面，所以四边形为直角梯形.由,及，可得，即为外接球半径，故其表面积为.点睛：设几何体底面外接圆半径为,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为则其体对角线长为;长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心9．A【解析】由题知有解，令，，故函数在递减，在递增，所以，解得.点睛：本题主要考查图像的对称性，考查函数导数与单调区间、极值的求解.题目论述两个函数图像上存在点关于原点对称，即其中一个函数对称之后和另一个函数有交点，将分离常数后利用导数，即可求得的取值范围.在利用导数求单调区间的过程中，要注意定义域的范围.10．B【解析】，当中最小元素为的集合共有，当中最小元素为的集合共有，当中最小元素为的集合共有，当中最小元素为的集合共有，当中最小元素为的集合共有，故当中最小元素为和。

河北省定州中学2018届高三数学下学期期中试题（承智班）一、单选题1．设A ， B 为双曲线()22220x y a bλλ-=≠同一条渐近线上的两个不同的点，若向量()0,2n =， 3AB =且1AB nn⋅=-，则双曲线的离心率为（ ）A. 2或4 B. 3或24 C. 23D. 3 2．正方体1111ABCD A B C D -棱长为3，点E 在边BC 上，且满足2BE EC =，动点M 在正方体表面上运动，并且总保持1ME BD ⊥，则动点M 的轨迹的周长为（ ）A. B.3．设函数()f x 是定义在(),0-∞上的可导函数，其导函数为()'f x ，且有()()22'f x xf x x +>，则不等式()()220182018x f x ++ ()420f -->的解集为（ ）A. ()2020,0-B. (),2020-∞-C. ()2016,0-D. (),2016-∞-4．过圆：的圆心的直线与抛物线：相交于，两点，且，则点到圆上任意一点的距离的最大值为（ ）A. B. C. D.5．已知函数()()2x x f x e e x -=-，若实数m 满足()()313log log 21f m f m f ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，则实数m 的取值范围为（ ）A. (]0,3 B. 1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. (]0,9 D. ()10,3,3⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭6．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()2f x xx R =∈, ()()()10,2ln g x x h x e x x=<=,有下列命题：①()()()F x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增； ②()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为-4；③()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是](40 -，； ④()f x 和()g x之间存在唯一的“隔离直线”y e =. 其中真命题的个数有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7．已知函数()y f x =在()0+∞，上非负且可导，满足， ()()21xf x f x x x +≤-+-',若0a b <<,则下列结论正确的是( )A. ()()af b bf a ≤B. ()()af b bf a ≥C. ()()af a f b ≤D. ()()bf b f a ≤8．已知函数()()ln xe f x k x x x=+-，若1x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值范围是（ ）A. (],e -∞B. (),e -∞C. (),e -+∞D. [),e -+∞9．已知1F ， 2F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的两个焦点，过原点的直线l 交E 于,A B 两点， 220AF BF ⋅=，且2234||AF BF =，则E 的离心率为（ ） A.12 B. 34 C. 27 D. 5710．已知函数()f x 满足如下条件:①任意x R ∈,有()()0f x f x +-=成立;②当0x ≥时,()()2221232f x x m x m m =-+--;③任意x R ∈,有()()1f x f x ≥-成立.则实数m 的取值范围是A. 66⎡-⎢⎣⎦ B. 11,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. 33⎡-⎢⎣⎦D. 11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 11．将7个座位连成一排，安排4个人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有（ ） A. 240 B. 480 C. 720 D. 96012．已知1F ， 2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点和右焦点，过2F 的直线l 与双曲线的右支交于A ， B 两点， 12AF F ∆的内切圆半径为1r ， 12BF F ∆的内切圆半径为2r ，若122r r =，则直线l 的斜率为（ ）C. 2D.二、填空题 13．设函数的定义域为，若对于任意，当时，恒有，则称点为函数图象的对称中心.研究函数的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到 的值为__________．14．已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于，两点.若以线段为直径的圆与抛物线的准线切于点，则点到直线的距离为__________．15．已知抛物线，过点任作一条直线和抛物线交于、两点，设点，连接，并延长，分别和抛物线交于点和，则直线过定点__________．16．已知C 是平面ABD 上一点， AB AD ⊥， 1CB CD ==． ①若3AB AC =，则AB CD ⋅=____；②若AP AB AD =+，则AP 的最大值为____．三、解答题17．已知函数.（1）若函数有两个零点，求实数的取值范围；（2）若函数有两个极值点，试判断函数的零点个数.18．已知动点与，两点连线的斜率之积为，点的轨迹为曲线，过点的直线交曲线于，两点. （1）求曲线的方程；（2）若直线，的斜率分别为，，试判断是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由.19．在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，圆的方程为，动圆与圆内切且与圆外切. (1)求动圆圆心的轨迹的方程； (2)已知与为平面内的两个定点，过点的直线与轨迹交于,两点，求四边形面积的最大值.20．已知无穷数列{}()n n a a Z ∈的前n 项和为n S ，记1S ， 2S ，…， n S 中奇数的个数为n b ． (Ⅰ)若n a = n ，请写出数列{}n b 的前5项；(Ⅱ)求证："1a 为奇数， i a (i = 2,3,4,...）为偶数”是“数列{}n b 是单调递增数列”的充分不必要条件；(Ⅲ)若i i a b =，i=1, 2, 3,…，求数列{}n a 的通项公式.21．已知点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C ： 22221(0)x y a b a b +=>>上， ()1,0F 是椭圆的一个焦点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）椭圆C 上不与P 点重合的两点D ， E 关于原点O 对称，直线PD ， PE 分别交y 轴于M ， N 两点．求证：以MN 为直径的圆被直线32y =截得的弦长是定值． 22．已知函数()()()x f x x b e a =+-， (0)b >，在()()1,1f --处的切线方程为()110e x ey e -++-=.（1）求a ， b ；（2）若方程()f x m =有两个实数根1x ， 2x ，且12x x <，证明： ()211211m e x x e--≤+-.23．已知抛物线2:4E y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，交y 轴于点,C O 为坐标原点.（1）若4OA OB k k +=,求直线l 的方程；（2）线段AB 的垂直平分线与直线,l x 轴， y 轴分别交于点,,D M N ，求N D CFDMS S ∆∆ 的最小值. 24．椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为()11,0F -、()21,0F ，若椭圆过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）若,A B 为椭圆的左、右顶点， ()00,P x y （00y ≠）为椭圆上一动点，设直线,AP BP 分别交直线l ： 6x =于点,M N ，判断线段MN 为直径的圆是否经过定点，若是，求出该定点坐标；若不恒过定点，说明理由.参考答案BABAA CAADA11．B12．D13．14．15．16．34217．（ 1）（2）3（1）令，由题意知的图象与的图象有两个交点..当时，，∴在上单调递增；当时，，∴在上单调递减.∴.又∵时，，∴时，.又∵时，.综上可知，当且仅当时，与的图象有两个交点，即函数有两个零点. （2）因为函数有两个极值点，由，得有两个不同的根，（设）.由（1）知，，，且，且函数在，上单调递减，在上单调递增，则.令，则，所以函数在上单调递增，故，.又，；，，所以函数恰有三个零点.18．（1）（2）（1）设点，由题知，，整理，得曲线：，即为所求.（2）由题意，知直线的斜率不为0，故可设：，，，设直线的斜率为，由题知，，，由，消去，得，所以，所以.又因为点在椭圆上，所以，所以，为定值.19．(1) (2)6(1)设动圆的半径为，由题意知从而有，故轨迹为以为焦点，长轴长为4的椭圆，并去 除点，从而轨迹的方程为.（2）设的方程为，联立，消去得，设点，有则，点到直线的距离为，点到直线的距离为，从而四边形的面积令，有，函数在上单调递增，有，故，即四边形面积的最大值为.20．(1)见解析;(2)见解析;(3) 0n a =.（Ⅰ）解： 1=1b ， 2=2b ， 3=2b ， 4=2b ， 5=3b ． （Ⅱ）证明：（充分性） 因为1a 为奇数， ()2,3,4,i a i =为偶数，所以，对于任意*i N ∈， i S 都为奇数． 所以n b n =．所以数列{}n b 是单调递增数列． （不必要性）当数列{}n a 中只有2a 是奇数，其余项都是偶数时， 1S 为偶数， ()2,3,4,i S i =均为奇数，所以1n b n =-，数列{}n b 是单调递增数列． 所以“1a 为奇数， ()2,3,4,i a i =为偶数”不是“数列{}n b 是单调递增数列”的必要条件；综上所述，“1a 为奇数， ()2,3,4,i a i =为偶数”是“数列{}n b 是单调递增数列” 的充分不必要条件．（Ⅲ）解：（1）当k a 为奇数时， 如果k S 为偶数，若1k a +为奇数，则1k S +为奇数，所以111k k k b b a +=+=+为偶数，与11k k a b ++=矛盾； 若1k a +为偶数，则1k S +为偶数，所以1k k k b b a +==为奇数，与11k k a b ++=矛盾． 所以当k a 为奇数时， k S 不能为偶数． （2）当k a 为偶数时， 如果k S 为奇数，若1k a +为奇数，则1k S +为偶数，所以1k k k b b a +==为偶数，与11k k a b ++=矛盾； 若1k a +为偶数，则1k S +为奇数，所以111k k k b b a +=+=+为奇数，与11k k a b ++=矛盾． 所以当k a 为偶数时， k S 不能为奇数． 综上可得k a 与k S 同奇偶． 所以n n S a -为偶数．因为11n n n S S a ++=-为偶数，所以n a 为偶数． 因为111a b S ==为偶数，且101b ≤≤，所以110b a ==．因为22111a b b =≤+=，且20b ≥，所以220b a ==． 以此类推，可得0n a =．21．（Ⅰ）22143x y +=．（Ⅱ）见解析． （Ⅰ）依题意，椭圆的另一个焦点为()1,0F '-，且1c =．因为24a ==，所以2a =，b ==所以椭圆C 的方程为22143x y +=． （Ⅱ）证明：由题意可知D ， E 两点与点P 不重合． 因为D ， E 两点关于原点对称，所以设(),D m n ， (),E m n --， ()1m ≠±． 设以MN 为直径的圆与直线32y =交于33,,,(0)22G t H t t ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭两点， 所以GM GN ⊥．直线PD ： ()332121n y x m --=--． 当0x =时， 33212n y m -=-+-，所以3320,12n M m ⎛⎫- ⎪-+ ⎪- ⎪⎝⎭． 直线PE ： ()332121n y x m +-=-+． 当0x =时， 33212n y m +=-++，所以3320,12n N m ⎛⎫+ ⎪-+ ⎪+ ⎪⎝⎭． 所以32,1n GM t m ⎛⎫- ⎪=-- ⎪- ⎪⎝⎭， 32,1n GN t m ⎛⎫+ ⎪=-- ⎪+ ⎪⎝⎭，因为GM GN ⊥，所以0GM GN ⋅=，所以()22249041n GM GN t m -⋅=+=-． 因为22143m n +=，即223412m n +=， 224933n m -=-，所以2304t -=，所以2t =．所以32G ⎫⎪⎪⎝⎭， 32H ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 所以GH =．所以以MN 为直径的圆被直线32y =． 22．（1）1a =， 1b =；（2）见解析【解析】试题分析： ()1在()()1,1f --处的切线方程为()110e x ey e -++-=，求导算出切线方程即可求出结果()2构造()()()F x f x h x =-，求导，得()F x 在区间(),1-∞-上单调递减，在区间()1,-+∞上单调递增，设()h x m =的根为'1x ，证得'11x x ≤，讨论证得()t x m =的根为'2x ， '22x x ≥，从而得证结论解析：（1）由题意()10f -=，所以()()1110f b a e ⎛⎫-=-+-=⎪⎝⎭， 又()()1x f x x b e a '=++-，所以()111b f a e e-=-=-+'， 若1a e=，则20b e =-<，与0b >矛盾，故1a =， 1b =. （2）由（Ⅰ）可知()()()11x f x x e =+-， ()()00,10f f =-=， 设在(-1，0)处的切线方程为， 易得， ()()111h x x e ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，令()()()F x f x h x =- 即()()()()11111x F x x e x e ⎛⎫=+---+ ⎪⎝⎭， ()()12x F x x e e '=+-， 当2x ≤-时， ()()1120x F x x e e e=+-<-<'当2x >-时，设()()()12x G x F x x e e =+'=-， ()()30x G x x e =+>'，故函数()F x '在()2,-+∞上单调递增，又()10F '-=，所以当(),1x ∈-∞-时， ()0F x '<，当()1,x ∈-+∞时， ()0F x '>， 所以函数()F x 在区间(),1-∞-上单调递减，在区间()1,-+∞上单调递增， 故， ()()11f x h x ≥，设()h x m =的根为'1x ，则'111mex e =-+-，又函数()h x 单调递减，故()()()'111h x f x h x =≥，故'11x x ≤，设()y f x =在(0,0)处的切线方程为()y t x =，易得()t x x =，令()()()()()11x T x f x t x x e x =-=+--， ()()22x T x x e =+-'， 当2x ≤-时， ()()2220x T x x e =+-<-<'，当2x >-时，故函数()T x '在()2,-+∞上单调递增，又()00T '=，所以当(),0x ∈-∞时， ()0T x '<，当()0,x ∈+∞时， ()0T x '>， 所以函数()T x 在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增，， ()()22f x t x ≥ ，设()t x m =的根为'2x ，则'2x m =，又函数()t x 单调递增，故()()()'222t x f x t x =≥，故'22x x ≥，又'11x x ≤，()''2121121111m e me x x x x m e e -⎛⎫-≤-=--+=+ ⎪--⎝⎭.23．（ 1）10x y +-=；（2）2（1）设直线l 的方程为x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由24{ 1y xx my ==+得y 2－4my －4＝0，y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4．所以k OA ＋k OB ＝()121212444y y y y y y ++=＝－4m ＝4．所以m ＝－1，所以l 的方程为x ＋y －1＝0．（2）由（1）可知，m ≠0，C (0，－ 1m )，D (2m 2＋1，2m )．则直线MN 的方程为y －2m ＝－m (x －2m 2－1)，则M (2m 2＋3，0)，N (0，2m 3＋3m )，F (1，0)，S △NDC ＝12·|NC |·|x D |＝12·|2m 3＋3m ＋1m |·(2m 2＋1)＝()2221)212||m m m ++（，S △FDM ＝12·|FM |·|y D |＝12·(2m 2＋2)·2|m |＝2|m | (m 2＋1)， 则NDC FDM S S ∆∆＝()2222221144m m m m +=+＋1≥2，当且仅当m 2＝214m ，即m 2＝12时取等号．所以， NDCFDMS S ∆∆的最小值为2．24．(1) 22143x y +=；(2)答案见解析.(1)由已知1c =，∴221a b =+① ∵椭圆过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭， ∴229141a b +=②联立①②得24a =， 23b = ∴椭圆方程为22143x y +=（2）设()00,P x y ，已知()()2,0,2,0A B -∵00y ≠，∴02x ≠±∴,AP BP 都有斜率 ∴0000,22AP BP y y k k x x ==+-∴2204AP BP y k k x ⋅=-③ ∵22143x y += ∴2200314x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭④ 将④代入③得2020314344AP BP x k k x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅==--设AP 方程()2y k x =-∴BP 方程()324y x k =--∴()36,8,6,M k N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭由对称性可知，若存在定点，则该定点必在x 轴上，设该定点为(),0T t则TM TN ⊥∴()()()236,86,6240TM TN t k t t k ⎛⎫⋅=-⋅--=-+-= ⎪⎝⎭∴()2624t -=，∴6t =±∴存在定点()6+或()6-以线段MN 为直径的圆恒过该定点.。

河北定州2016-2017学年第二学期高四数学周练试题（2）一、单项选择题1．若直线100ax by (a,b (,))+-=∈+∞平分圆222220x y x y +---=，则12a b +的最小值是( ) A ．42 B ．322+ C ．2 D ．52．直线32-=x y 与双曲线1222=-y x 相交于B A ,两点，则AB =（ ）A ．57 4 B ．257 C ．357 D ．4573．已知x 是函数f(x)=2x + 11x -的一个零点.若1x ∈（1，0x ），2x ∈（0x ，+∞），则A ．f(1x )＜0，f(2x )＜0B ． f(1x )＜0，f(2x )＞0C ． f(1x )＞0，f(2x )＜0D ． f(1x )＞0，f(2x )＞04．函数sin(),2y x x R π=+∈ （ ）A ．在[,]22ππ-上是增函数 B ．在[0,]π上是减函数C ．在[,0]π-上是减函数D ．在[,]ππ-上是减函数5．下列给出的赋值语句中正确的是（ ）A. 3=A B ．d=d+5 C ．B=A=2 D ． x+y=06．不等式2230x x -->的解集为A ．3{|1}2x x x ><-或B ．3{|1}2x x -<<C ．3{|1}2x x -<<D ．3{|1}2x x x ><-或7．已知函数y ＝log 2（ax －1）在（1,2）上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0,1]B ．[1,2]C ．[1，＋∞）D ．[2，＋∞）8．若一几何体的主视图与左视图均为边长是1的正方形，则下列图形一定不是该几何体的俯视图的是（）9．若抛物线y2=2px，（p＞0）上一点P（2，y0）到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为（）A．y2=4x B．y2=6x C．y2=8x D．y2=10x10．已知直线m,n和平面α,β满足m⊥n,m⊥α,α⊥β,则( )(A)n⊥β (B)n∥β(C)n⊥α (D)n∥α或n⊂α11．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．33B．3 C．233D．3212．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的准线与曲线x2＋y2－4x－5＝0相切，则p的值为（）A．14B．12C．1 D．2二、填空题13．函数sin()xf xx的导函数为_________.14．若直线y=k（x﹣4）与曲线有公共的点，则实数k的取值范围．15．下表是我市某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：月份x1234用水量y 5.4 4 3 5.2由散点图可知，用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是a x y +-=7.0，则=a ___________．16．设中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的圆锥曲线C ，离心率为2，且过点（5,4），则其焦距为三、综合题17．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点M 的极坐标为22,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭，曲线 C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．（1）直线l 过M 且与曲线C 相切，求直线l 的极坐标方程；（2）点N 与点M 关于y 轴对称，求曲线C 上的点到点N 的距离的取值范围．18．（本题15分）如图，已知平面QBC 与直线PA 均垂直于Rt ABC ∆所在平面，且AC AB PA ==.（Ⅰ）求证：//PA 平面QBC ；（Ⅱ）若PQ QBC ⊥平面，求二面角A PB Q --的余弦值.19．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，椭圆的短轴端点与双曲线2212y x -=的焦点重合，过点(4,0)P 且不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点. （1）求椭圆C 的方程；（2）求OA OB ⋅u u u r u u u r 的取值范围.20．在平行四边形ABCD 中，E ，G 分别是BC ，DC 上的点且BE BC 3=,CG CD 3=.DE 与BG 交于点O.OE:；（1）求DE的面积. （2）若平行四边形ABCD的面积为21，求BOC参考答案BDBBB DCDCD11．A12．D13．2cos sin ()x x x f x x -'=14．[﹣]． 15．5.2516．2617．（1）直线l 的极坐标方程为sin 2ρθ=或4cos 3sin 140ρθρθ+-=；（2）13132⎤-+⎦．（1）由题意得点M 的直角坐标为()2,2，曲线C 的一般方程为()2214x y -+=． 设直线l 的方程为()22y k x -=-，即220kx y k --+=，∵直线l 过M 且与曲线 C 2221k k -=+，即2340k k +=，解得403k =或k=-， ∴直线l 的极坐标方程为sin 2ρθ=或4cos 3sin 140ρθρθ+-=，（2）∵点N 与点M 关于y 轴对称，∴点N 的直角坐标为()2,2-，则点N 到圆心C ()2221213--+=，曲线C 上的点到点N 132132+曲线 C 上的点到点N 的距离的取值范围为13132⎤+⎦18．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）3. （Ⅰ）证明：过点Q 作QD BC ⊥于点D ，∵ 平面QBC ⊥平面ABC ，∴ QD ⊥平面ABC ，又 PA ⊥平面ABC ，∴ QD ∥PA ， 又QD ⊆平面QBC 且，∴ PA ∥平面QBC ；（Ⅱ）解：∵ PQ ⊥平面QBC ，∴ 90PQB PQC ∠=∠=o 又∵,PB PC PQ PQ ==，∴ PQB PQC ∆≅∆ ∴BQ CQ =，∴ 点D 是BC 的中点，连结AD ，则AD BC ⊥，∴ AD ⊥平面QBC ， ∴//PQ AD ，AD QD ⊥，∴ 四边形PADQ 是矩形，设2PA a =，则2PQ AD a ==，22PB a =， ∴6BQ a =， 过Q 作QR PB ⊥于点R ， ∴26622a a QR a⋅==，22222PQ PR PB a ===， 取PB 中点M ，连结AM ，取PA 的中点N ，连结RN ， ∵1142PR PB PM ==，12PN PA = ∴MA ∥RN ， ∵PA AB = ∴AM PB ⊥， ∴RN PB ⊥，∴QRN ∠为二面角Q PB A --的平面角，连结QN ，则222223QN QP PN a a a =+=+=， 又∵2RN =， ∴222222313322cos 2622a a a QR RN QN QRN QR RN a a +-+-∠===⋅⋅⋅， 即二面角Q PB A --的余弦值为319．（1）13422=+y x ；（2）⎪⎭⎫⎢⎣⎡-413,4 解：（1）由题意知22222211,24c c a b e e a a a -==∴===， 2243a b =.又双曲线的焦点坐标为(0,3),3b ±=，224,3a b ∴==， ∴椭圆的方程为22143x y +=. （2）若直线l 的倾斜角为0o，则(2,0),(2,0),4A B OA OB -⋅=-u u u r u u u r ， 当直线l 的倾斜角不为0o 时，直线l 可设为4x my =+，22224(34)243603412x my m y my x y =+⎧⇒+++=⎨+=⎩，由 2220(24)4(34)3604m m m ∆>⇒-⨯+⨯>⇒>设1122(4,),(4,)A my y B my y ++，1212222436,3434m y y y y m m +=-=++， 21212121212(4)(4)416OA OB my my y y m y y my y y y ⋅=+++=+++u u u r u u u r 2116434m =-+，2134,(4,)4m OA OB >∴⋅∈-u u u r u u u r Q ，综上所述：范围为13[4,)4-. 20．（1）71=DE OE ;（2）23=∆BOC S （1）由E O D ,,三点共线设出)(=∈R λDE λOE ，根据定比分点公以及G ,O ,B 三点共线可得到EG m EB m EO )-1(+=，列出关于m ,λ的方程组解出λ即可；（2）观察可知BDC BOC ∆∆,的底是相同的可根据（1）中DE OE :的比值即是BDC BOC ∆∆,的高的比，进而求出BOC ∆的面积.（1）设,==，据题意可得)(=∈R λλ32-=，从而有λλλ32-=)32-(=.由G ,O ,B 三点共线，则存在实数m ,使得EG m EB m EO )-1(+=，即 )31-32)(1-(+31=])-1(+-[=m m m m m m 32-3+3-1=，由平面向量基本定理，1323233m m λλ-⎧=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩解得71=λ71=DE OE (7分）（2）由（1）可知71=ΔΔBDC BOC h h ,所以23221717171=⨯==⇒=∆∆∆∆BDC BOC BDC BOC S S S S （13分）.。

河北定州中学2015—2016学年度第二学期数学周练（三）评卷人得分一、选择题：共12题 每题5分 共60分 1．下列命题错误的是（ ）A ．“若x a ≠且x b ≠,则2()0x a b x ab -++≠”的否命题是“若x a =或x b =,则2()0x a b x ab -++=”B ．若q p ∧为假命题，则q p ,均为假命题C ．命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是“ (0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠- ”D ．“2>x ”是“2．“9>k ”是“方程A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 3的图像如图所示（其中()f x '是定义域为R 函数()f x 的导函数）,则以下说法错误的是（ ）A ．(1)(1)0f f ''=-=B ．当1x =-时, 函数()f x 取得极大值C ．方程'()0xf x =与()0f x =均有三个实数根D ．当1x =时,函数()f x 取得极小值4．32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是（ ） A.2- B.0 C.2 D.45，如果存在实数0x ，使得对任意的实数x ，都有00()()(2016)f x f x f x π≤≤+成立，则ω的最小值为（ ）A 6．已知点A 的坐标，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转至OB ，则点B 的纵坐标为（ ）A ．-1 C ．1 D 7．设,,ABC 为圆O 上三点，且3,5AB AC ==，则AO BC ⋅=（ ）A ．-8B ．-1C ．1D ．88．设函数()a →→=⋅f x b ,其中向量→a =(m,cos2x), →b =(1+sin2x,1),且()y f x =的图象经过点数m 的值为（ ）A.1B.2C.3D.49．设曲线1()n y x n N +*=∈在(1,1)处的切线与x 轴交点的横坐标为n x ，则20151201522015320152014log log log log x x x x ++++L 的值为（ ）A ．2015log 2014-B ．－1C ．2015log 20141-D ．1 10．观察数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…的特点，按此规律，则第100项为（ ） A ．10 B ．14 C ．13 D ．100 11．实数c b a ,,不全为0等价于为（ ）A ．c b a ,,均不为0B ．c b a ,,中至多有一个为0C ．c b a ,,中至少有一个为0D ．c b a ,,中至少有一个不为012．若,x y 满足不等式组201050y x y x y -≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则 ）A．1 C ．2 D ．3 评卷人得分二、填空题：共4题 每题5分 共20分13．若不等式220x ax b ++<的解集为14．命题“04),2,1(2≥++∈∃mx x x ”是假命题，则m 的取值范围为_______ 15．已知函数()y f x =的图象在点()()1,1M f 处的切线方程是2y x =+，则()()'11f f +=_____________.16．设△ABC 的内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，且，则tan()A B -的最大值为_________________． 评卷人得分三、解答题：共8题 共70分17．已知命题p ：存在实数m ，使方程210x mx ++=有两个不等的负根；命题q ：存在实数m ，使方程()244210x m x +-+=无实根.若“p q ∨”为真，“p q ∧”为假，求m 的取值范围.18．设函数f(x)＝aln x2－bx(a≠1)，曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为0. （1）求b ；（2）若存在x 0≥1，使得f(x 0)a 的取值范围． 19．如图，在ABC ∆中，030B ∠=，，D 是边AB 上一点．（1）求ABC ∆的面积的最大值；（2）若2,CD ACD =∆的面积为4，ACD ∠为锐角，求BC 的长．20．在△ABC 中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，已知向量(cos cos )B C =，m ，(4)a b c =-，n ，且∥m n ．（1）求cos C 的值；（2，△ABC 的面积，求a b ，的值． 21．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，11a =，公比为q ；等差数列{}n b 中，13b =，且{}n b 的前n 项和 为n S ，（1）求{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n c 满足，求{}n c的前n 项和n T . 22（1）当4a =-时，求不等式()6f x ≥的解集；（2的解集包含[]0,1，求实数a 的取值范围． 23．在如图所示的四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ,AD ∥BC ,90BAD ︒∠=,12PA AB BC AD ====,,E 为PD 的中点.（Ⅰ）求证：PAB CE 面//；（Ⅱ）求证：平面PAC ⊥平面PDC ； （Ⅲ）求直线EC 与平面PAC 所成角的余弦值.24，称圆2222x y a b +=+为椭圆C 的“伴随圆”，已知椭圆C 的短轴长为2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，与其“伴随圆”交于,C D 两点，当时，求△AOB 面积的最大值．参考答案 1．B 【解析】试题分析：若q p ∧为假命题，则有,p q 至少有一个为假命题，所以q p ,均为假命题是错误的，A 中否命题需将条件和结论分别否定；C 中特称命题的否定为全称命题；D 中由“2>x ”可得“不成立，因此是充分不必要条件 考点：命题真假的判定 2．A 【解析】表示双曲线则有()()94049k k k k --<∴<>或，所以“9>k ”是“方程考点：充分条件与必要条件 3．C 【解析】试题分析：A ．由图象可知1x =或-1时，()()''110f f=-=成立．B ．当x ＜-1，此时()'0f x >，当-1＜x ＜0，此时()'0f x <，故当x=-1时，函数f （x ）取得极大值，成立．C ．方程()'0xf x =等价为，故()'0xf x =有两个，故C 错误．D ．当0＜x ＜1，此时()'0f x <，当x ＞1，此时()'0f x >，故当x=1时，函数f （x ）取得极小值，成立考点：利用导数研究函数的单调性；函数的图象；导数的运算 4．C 【解析】 试题分析：()()'23632f x x x x x ∴=-=-，由()'0f x =得0x =()()()02,12,10f f f =-=-= ，所以最大值为2考点：函数导数与最值 5．C 【解析】试题分析： ，设()f x 的最小正周期为T ，则，所以ω的最小值为 C. 考点：三角函数的周期和最值． 6．A 【解析】试题分析：假设OA 与横轴非负半轴所夹角为A ，由点A 的坐标点B 是由OA 绕坐标原点O 逆时针旋转则由三角函数与坐标的关系可知点B 的纵坐标故本题的正确选项为A.考点：三角函数与坐标的关系. 7．D 【解析】试题分析：取BC 的中点D ，连接AD ，OD ，因为O 为三角形ABC 外接圆的圆心，0OD BC ⋅=.故选D.考点：平面向量的数量积． 8．A 【解析】代入得1m =考点：向量运算及三角函数求值 9．B 【解析】试题分析：由1()n y x n N +*=∈，可得()1ny n x '=+，所以曲线1()n y x n N +*=∈在(1,1)处的切线方程是()()111y n x -=+-，令0y =得B.考点：1、导数的几何意义；2、对数的运算. 10．B 【解析】是关于n 的增函数，又因为，所以第100项为14，故选B. 考点：数列的通项公式． 11．D 【解析】试题分析：实数,,a b c 不全为0的否定为: 实数,,a b c 全为0,即0a b c ===,所以实数,,a b c 不全为0等价为,,a b c 中至少有一个不为0.故选D. 考点：命题的否定形式. 12．C 【解析】试题分析：不等式组201050y x y x y -≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩对应的可行域是如下图所示，斜率，由图可知[],OC OA k k k ∈，的最大值是2，故选C.考点：线性规划． 13．2 【解析】试题分析：由题意可知方程220x ax b ++=的根为3,2-，所以()22330820a b a b ⎧⨯--+=⎪⎨++=⎪⎩2a ∴= 考点：三个二次关系14．5-<m 【解析】试题分析：原命题是假命题，所以()21,2,40x x mx ∀∈++<是真命题，令()24f x x mx =++()()101405204240f m m f m <⎧++<⎧⎪∴∴∴<-⎨⎨<++<⎪⎩⎩考点：不等式与函数的转化 15．4 【解析】试题分析：由导数的几何意义可知()'11f k ==()1123f =+=∴ ()()'114f f +=考点：函数导数的几何意义 16【解析】试题分析：在ABC ∆中，，即sin cos 4cos sin A B =A B ，则得tan 4tan 0A B =>，，tan 2A =时，等号成立，故当tan 2A =，，tan()AB -的最大值为考点：1、正弦定理，余弦定理；2、基本不等式.【思路点睛】本题是一个关于三角形的正弦定理、余弦定理以及基本不等式的综合性应用问题，属于难题.解决本题的基本思路是，首先根据题目条件通过正弦定理得到一个关于tan ,tan A B 的关系式，并将所求式全部化为一个角的正切，再利用基本不等式就可以求得所需的结果，在此过程中要特别注意等号成立的条件.一般的，利用基本不等式求最大值或者最小值时要“一正、二定、三相等”.17．3m …或13m <…. 【解析】试题分析：由已知得，若命题p 为真，则有21240m x x m ⎧∆=->⎨+=-<⎩，由此可求出命题p 为真时m 的范围2m >；若命题q 为真，则有()2424410m ∆=--⨯⨯<⎡⎤⎣⎦，亦可求出命题q 为真时m 的范围13m <<.又根据条件:“p q ∨”为真，“p q ∧”为假，可知命题p 、q 中必为一真一假，所以213m m m >⎧⎨⎩或剠或213m m ⎧⎨<<⎩…，从而可求出m 的范围.试题解析：若方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根，则240m m ⎧∆=->⎨>⎩，解得m ＞2，即m ＞2时，p 真.若方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，则Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)＜0，解得1＜m ＜3，即1＜m ＜3时，q 真.因“p∨q ”为真，所以命题p 、q 至少有一个为真， 又“p∧q ”为假，所以命题p 、q 至少有一个为假，因此，命题p 、q 应为一真一假，即命题p 为真，命题q 为假或命题p 为假，命题q 为真.∴213m m m >⎧⎨≤≥⎩或或213m m ≤⎧⎨<<⎩，解得m ≥3或1＜m ≤2. 考点：1.命题真假的应用；2.含参数的二次方程. 18．（1）1=b ；（2【解析】试题分析：（1）由导数几何意义可得函数)(x f 在1=x 处的导数为曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线斜率，据此解出b 值；（2）由已知，存在10≥x ，使得，等价于在),1[+∞上，及1>a 三类情况分别进行讨论，通过函数单调区间及函数值的分布，解出符合要求的a 的取值范围.试题解析：（1）f '(x)(1－a)x －b.由题设知f '(1)＝0，解得b ＝1， （2）f(x)的定义域为(0，＋∞)，由(1)知，f(x)＝aln x2－x ， f '(x)(1－a)x －1－1)． （i ）若1，故当x ∈(1，＋∞)时，f '(x)>0，f(x)在(1，＋∞)上单调递增． 所以，存在x 0≥1，使得f(x 0－1. （ii，故当x 时，f '(x)<0；当x 时，f '(x)>0.f(x)所以，存在x 0≥1，使得f(x 0（iii ）若a>1， 则f(1)1综上，a 的取值范围是(11)∪(1，＋∞)． 考点：1、导数几何意义；2、利用导数求最值.【思路点睛】本题主要考查导数的应用.在对题目的分析上，首先需要将问题化归为导数求函数最值的问题，在本题中10≥x ，故可检验当自变量1≥x 时，存在函数值可满足题意，结合参数a 的取值范围，利用导数确定函数的单调性，进而求出a 的取值范围.19．（12）4． 【解析】试题分析：本题主要是三角形的正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，对于问题（1），先根据余弦定理得到,AB BC 满足的关系式，在利用三角形面积公式2）可以先在三角形ACD 中利用面积公式求出角ACD ∠，之后在三角形ACD 利用余弦定理求出AD 的长，最后在三角形ABC ∆中利用正弦定理即可求得BC 的长．试题解析：（1）因为在ABC ∆中，是边AB 上一点， 所以由余弦定理得：所以ABC ∆的面积的最大值为（2）设ACD θ∠=，在ACD ∆中，因为2,CD ACD =∆的面积为4，ACD ∠为锐角，所以4AD =，所以BC 的长为4考点：1、三角形的正弦定理及余弦定理；2、三角形的面积.20．（12【解析】试题分析：（1）先根据向量平行关系得cos (4)cos c B a b C =-，再由正弦定理，化角得sin cos (4sin sin )cos C B A B C =-，最后根据两角和正弦公式及诱导公式得2）由三角形面积公式，即2ab =，再根据余弦定理得试题解析：解：（1）∵∥m n ，∴cos (4)cos c B a b C =-， 由正弦定理，得sin cos (4sin sin )cos C B A B C =-， 化简，得sin()4sin cos B C A C +=﹒ ∵A B C ++=p ，∴sin sin()A B C =+﹒ 又∵()0,A ∈p ，∵sin 0A >，∴（2）∵()0,C ∈p ， ，∴2ab =﹒①∴224a b +=，②由①②，得42440a a -+=，从而22a =，考点：正余弦定理，两角和正弦公式及诱导公式21．（1）13-=n n a ，3n b n =；（2【解析】试题分析：（1）由等比数列通项公式及等差数列前n 项和公式可得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+226183qd d q ，解得q 及d 的值，进而求出通项公式；（2）由（1，裂项求和求n T . 试题解析：解：（1）设数列{}n b 的公差为d，13n n a -∴=，3n b n =（2，考点：1、等差、等比数列的通项公式；2、裂项求和法求前n 项和.22．（1）(][),06,-∞+∞ ；（2）10a -≤≤．【解析】试题分析：问题（1）是一个解含绝对值的不等式问题，一般可通过对绝对值的“零点”进行分段讨论的方法求不等式的解集，最后再取其并集；对于问题（2在[]0,1上恒成立，通过构造极端不等式恒成立，最终求出实数a 的取值范围．试题解析：（1）当4a =-时，()6f x ≥，即即2426x x x ≤⎧⎨-+-≥⎩或24426x x x <<⎧⎨-+-≥⎩或4426x x x ≥⎧⎨-+-≥⎩， 解得0x ≤或6x ≥，所以解集为(][),06,-∞+∞ ． （2在[]0,1上恒成立，即在[]1,2上恒成立， 即11x a x --≤≤-在[]0,1上恒成立，即10a -≤≤．考点：1、含绝对值不等式的解法；2、极端不等式恒成立问题.【思路点晴】本题是一个含绝对值不等式的解法以及极端不等式恒成立问题的综合性问题，属于中档题.解决本题的基本思路是，对于问题（1），由于是一个解含绝对值的不等式问题，一般可通过对绝对值的“零点”进行分段讨论的方法求不等式的解集，最后再取其并集；对于问题（2），可将问题等价转化为在[]0,1上恒成立，再通过构造极端不等式恒成立，最终求出实数a 的取值范围．23【解析】试题分析：（Ⅰ）根据中位线定理求证出四边形MEBC 为平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可证明； （Ⅱ）先证明线面垂直，再到面面垂直；（Ⅲ）找到∠ECF 为直线EC 与平面PAC 所成的角，再解三角形即可试题解析：（Ⅰ）解：取PA 的中点M ，连接BM ，ME AD //且BC AD //且∴ME //BC 且 ME=BC∴四边形MEBC 为平行四边形，∴BME //CE ，CE ⊄面PAB ，BM ⊄面PAB ，∴CE //面PAB （Ⅱ）证明：∵PA ⊥平面,ABCD ， ∴PA ⊥DC ， 又22222AC CD AD +=+= ∴DC AC ⊥， ∵AC PA A = ∴DC ⊥平面PAC 又DC ⊂平面PDC 所以平面PAC ⊥平面PDC （Ⅲ）解：取PC 中点F ，则EF ∥DC ， 由（Ⅱ）知DC ⊥平面PAC 则EF ⊥平面PAC 所以ECF ∠为直线EC 与平面PAC 所成的角CF ＝，EF ＝即直线EC 与平面PAC 所成角的正切值为考点：直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定24【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意得，根据离心率公式以及b=1，知23a=，由此能求出椭圆C的方程；（Ⅱ）分类讨论，当CD⊥x轴时，当CD与x轴不垂直时，设直线CD的方程为y=kx+m，则韦达定理以及弦长公式和基本不等式求出弦长的最大值，由此能求出△AOB的面积取最大值试题解析：（Ⅰ）由题意得，e2==1﹣=，又∵b=1，∴a2=3，∴椭圆C（Ⅱ）“伴随圆”的方程为x2+y2=4，①当CD⊥x轴时，由|CD|=，得|AB|=．②当CD与x轴不垂直时，由|CD|=，得圆心O到CD的距离为．设直线CD的方程为y=kx+m，则由=，得m2=（k2+1），设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0∴x1+x2=，x1x2=．当k≠0时，|AB|2=（1+k2）（x1﹣x2）2，=（1+k2）[﹣]，=，=3+，=3+，≤3+=4，当且仅当9k2=，即k=±时等号成立，此时|AB|=2．当k=0时，|AB|=，综上所述：|AB|max=2，此时△AOB的面积取最大值max×=．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质。