河南省2020年上学期平顶山市舞钢市一高高三数学理科周练试题(最新精编)可打印

2020年高考模拟高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题1．设集合A＝{a﹣1，a+1}，B＝{1，2}，C＝{2，3}，若A∩B＝∅，且A∩C≠∅，则a＝（）A．1或3B．2或4C．0D．42．设复数z＝（a+i）（1﹣i）（a∈R），则复数z在复平面内对应的点不可能在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中x2的系数为（）A．280B．﹣280C．35D．﹣354．记[x]表示不超过x的最大整数，已知2a＝3b＝6c，则＝（）A．2B．3C．4D．55．函数的图象大致为（）A．B．C．D．6．元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论，其中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于“松竹并生”问题的一个程序框图，则计算机输出的结果是（）A．6B．5C．4D．37．在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的点，且，若，则λ＝（）A．B．﹣C．﹣D．﹣8．设点A、B分别在双曲线C：）的两条渐近线l1、l2上，且点A在第一象限，点B在第四象限，AB⊥l1，O为坐标原点，若|OA|、|AB|、|OB|成等差数列，则双曲线C的离心率为（）A．2B．C．D．9．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为和，图象在y轴上的截距为．关于函数f（x）有下列四个结论：①f（x）的最小正周期为π；②f（x）的最大值为2；①为f（x）的一个零点；④为偶函数．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．410．某单位有800名员工，工作之余，工会积极组织员工参与“日行万步”健身活动．经调查统计，得到全体员工近段时间日均健步走步数（单位：千步）的频率分布直方图如图所示．据直方图可以认为，该单位员工日均健步走步数近似服从正态分布，计算得其方差为6.25．由此估计，在这段时间内，该单位员工中日均健步走步数在2千步至4.5千步的人数约为（）附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6826，P （μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）＝0.9974．A．103B．105C．107D．10911．小王想在某市一住宅小区买套新房，据了解，该小区有若干栋互相平行的平顶楼房，每栋楼房有15层，每层楼高为3米，顶楼有1米高的隔热层，两楼之间相距60米．小王不想买最前面和最后面的楼房，但希望所买楼层全年每天正午都能晒到太阳，为此，小王查找了有关地理资料，获得如下一些信息：①该市的纬度（地面一点所在球半径与赤道平面所成的角）为北纬36°34'；②正午的太阳直射北回归线（太阳光线与赤道平面所成的角为23°26'）时，物体的影子最短，直射南回归线（太阳光线与赤道平面所成的角为23°26'）时，物体的影子最长，那么小王买房的最低楼层应为（）A．3B．4C．5D．612．如图，在平面四边形ABCD中，AD⊥CD，△ABC是边长为3的正三角形．将该四边形沿对角线AC折成一个大小为120°的二面角D﹣AC﹣B，则四面体ABCD的外接球的表面积为（）A．12πB．13πC．14πD．15π二、填空题13．已知数列{a n}满足a n+1﹣a n＝2（n∈N*），S n为数列{a n}的前n项和，若a10＝12，则S10＝．14．某中学高三年级共有36名教师，将每位教师按1～36编号，其年龄数据如表：编号123456789101112131415161718年龄404840413340454243363138394345393836编号192021222324252627282930313233343536年龄274341373442374442343945384253374939用系统抽样法从这36名教师中抽取一个容量为9的样本，已知在第一组用抽签法抽到的年龄数据为48，则抽取的9名教师年龄的中位数是．15．若过点A（a，0）的任意一条直线都不与曲线C：y＝xe x相切，则a的取值范围是．16．在△ABC中，已知顶点A（0，1），顶点B、C在x轴上移动，且|BC|＝2，设点M为△ABC的外接圆圆心，则点M到直线l：2x﹣2y﹣5＝0的距离的最小值为．三、解答题：共7个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且有cos2A+cos A cos（C﹣B）＝sin B sin C．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若△ABC的内切圆面积为π，当•的值最小时，求△ABC的面积．18．如图，在矩形ABCD中，点E为边AD上的点，点F为边CD的中点，AB＝AE＝，现将△ABE沿BE边折至△PBE位置，且平面PBE⊥平面BCDE．（Ⅰ）求证：平面PBE⊥平面PEF；（Ⅱ）求二面角E﹣PF﹣C的大小．19．如图，已知椭圆与圆E：在第一象限相交于点P，椭圆C的左、右焦点F1，F2都在圆E上，且线段PF1为圆E的直径．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点的动直线1与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，证明：为定值，并求出这个定值．20．已知函数f（x）＝lnx+（a≥0）．（1）讨论函数f（x）的极值点的个数；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＜0．21．湖南省会城市长沙又称星城，是楚文明和湖湘文化的发源地，是国家首批历史文化名城．城内既有岳麓山、橘子洲等人文景观，又有岳麓书院、马王堆汉墓等名胜古迹，每年都有大量游客来长沙参观旅游．为合理配置旅游资源，管理部门对首次来岳麓山景区游览的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人计划只游览岳麓山，另外的人计划既游览岳麓山又参观马王堆．每位游客若只游览岳麓山，则记1分；若既游览岳麓山又参观马王堆，则记2分．假设每位首次来岳麓山景区游览的游客计划是否参观马王堆相互独立，视频率为概率．（1）从游客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望；（2）从游客中随机抽取n人（n∈N*），记这n人的合计得分恰为n+1分的概率为P n，求P1+P2+…+P n；（3）从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为n分的概率为a n，随着抽取人数的无限增加，a n是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，说明理由．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，已知点P的极坐标为，曲线C的极坐标方程为ρ＝．以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．（1）求点P的直角坐标和曲线C的直角坐标方程；（2）过点P作斜率为的直线l，交曲线C于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x|﹣2．（1）求不等式f（x﹣1）+f（x+2）≤1的解集；（2）若|a|＜2，|b|＜2，证明：f（ab）+2＞2f（a+b）．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝{a﹣1，a+1}，B＝{1，2}，C＝{2，3}，若A∩B＝∅，且A∩C≠∅，则a＝（）A．1或3B．2或4C．0D．4【分析】推导出3∈A，若a﹣1＝3，则a＝4，此时A＝{3，5}，符合要求；若a+1＝3，则a＝2，此时A＝{1，3}，A∩B＝{1}，不合题意，由此能求出a．解：∵集合A＝{a﹣1，a+1}，B＝{1，2}，C＝{2，3}，A∩B＝∅，且A∩C≠∅，∴3∈A，若a﹣1＝3，则a＝4，此时A＝{3，5}，符合要求；若a+1＝3，则a＝2，此时A＝{1，3}，A∩B＝{1}，不合题意，∴a＝4．故选：D．2．设复数z＝（a+i）（1﹣i）（a∈R），则复数z在复平面内对应的点不可能在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】设复数z在复平面内对应点的坐标为（x，y），则，消去参数a，得点P的轨迹方程得答案．解：∵复数z＝（a+i）（1﹣i）（a∈R），设复数z在复平面内对应点的坐标为（x，y），则，消去参数a，得点P的轨迹方程为x+y＝2，∴点P不可能在第三象限．故选：C．3．已知的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中x2的系数为（）A．280B．﹣280C．35D．﹣35【分析】由已知求得n，写出二项展开式的通项，由x的指数为2得r，则答案可求．解：由题意，2n＝128，得n＝7．∴（2x2﹣）n＝（2x2﹣）7，其二项展开式的通项T r+1＝•（2x2）7﹣r•（﹣x﹣1）r＝（﹣1）r•27﹣r••x14﹣3r；由14﹣3r＝2得r＝4，∴展开式中含x2项的系数是（﹣1）423•＝280．故选：A．4．记[x]表示不超过x的最大整数，已知2a＝3b＝6c，则＝（）A．2B．3C．4D．5【分析】由已知可得：alg2＝clg6，blg3＝clh6，再利用对数的运算性质得到4＜＜5，从而求出的值．解：由已知可得：alg2＝clg6，blg3＝clh6，则：＝2+，又，∴＝4，故选：C．5．函数的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据导数和单调性的关系，判断函数的单调性，再判断函数的变化趋势，即可得到答案解：＝2x﹣+1的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）．∴f′（x）＝2x ln2+＞0恒成立成立，∴f（x）在（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）单调递增，当x＞x0时，f′（x）＞0，函数单调递增，故排除C，D，当x→﹣∞时，2x→0，→1，∴f（x）→1，故排除B，故选：A．6．元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论，其中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于“松竹并生”问题的一个程序框图，则计算机输出的结果是（）A．6B．5C．4D．3【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算a，b的值并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得第一次执行循环体，可得a＝64+＝96，b＝2×27＝54，此时a＞b；第二次执行循环体，可得a＝96+＝144，b＝2×54＝108，此时a＞b；第三次执行循环体，可得a＝144+＝216，b＝2×108＝216，此时a＝b，终止循环，输出n的值为3．故选：D．7．在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的点，且，若，则λ＝（）A．B．﹣C．﹣D．﹣【分析】可设，然后根据向量减法、加法的几何意义，以及向量的数乘运算即可得出，从而根据平面向量基本定理即可得出，解出λ即可．解：如图，设，且，则：＝＝＝＝＝，∵，∴，解得．故选：A．8．设点A、B分别在双曲线C：）的两条渐近线l1、l2上，且点A在第一象限，点B在第四象限，AB⊥l1，O为坐标原点，若|OA|、|AB|、|OB|成等差数列，则双曲线C的离心率为（）A．2B．C．D．【分析】由题意可得OA，AB用OB及l1的倾斜角的三角函数值表示，再由等差数列的性质可得，进而可得a，b的关系，求出双曲线的离心率．解：因为|OA|、|AB|、|OB|成等差数列，所以|OA|+|OB|＝2|AB|，如图所示：设l1的倾斜角为α，因为OA⊥AB，则|OA|＝|OB|cos2α，|AB|＝|OB|sin2α，于是cos2α+1＝2sin2α，即2cos2α＝4sinα•cosα得tanα＝，即＝，所以离心率e＝＝＝，故选：B．9．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为和，图象在y轴上的截距为．关于函数f（x）有下列四个结论：①f（x）的最小正周期为π；②f（x）的最大值为2；①为f（x）的一个零点；④为偶函数．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】首先利用函数的图象求出函数的关系式，进一步求出函数的周期，最值和对奇偶性进行判定．解：根据函数的图象：，所以ω＝2．由于φ＝，解得φ＝．由f（0）＝，整理得，解得A＝2．当x＝﹣时，f（﹣）＝2sin（）＝0，故为f（x）的一个零点．由于f（x）＝2sin（2x+），所以f（x+）＝2sin（2x+）＝2sin（2x+）不是偶函数．故结论①②③正确．故选：C．10．某单位有800名员工，工作之余，工会积极组织员工参与“日行万步”健身活动．经调查统计，得到全体员工近段时间日均健步走步数（单位：千步）的频率分布直方图如图所示．据直方图可以认为，该单位员工日均健步走步数近似服从正态分布，计算得其方差为6.25．由此估计，在这段时间内，该单位员工中日均健步走步数在2千步至4.5千步的人数约为（）附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6826，P （μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）＝0.9974．A．103B．105C．107D．109【分析】由频率分布直方图估计其均值μ，可得P（2≤X≤4.5），乘以800得答案．解：由频率分布直方图估计其均值μ＝1×0.04+3×0.08+5×0.16+7×0.44+9×0.16+11×0.1+13×0.02＝6.96≈7．设日均健步数为X，则X～N（7，6.25），∵a＝2.5，则μ﹣σ＝4.5，μ﹣2σ＝2，∴P（2≤X≤4.5）＝（0.9544﹣0.6826）＝0.1359，∵800×0.1359≈109．∴日均健步走步数在2千步至4.5千步的人数约为109人．故选：D．11．小王想在某市一住宅小区买套新房，据了解，该小区有若干栋互相平行的平顶楼房，每栋楼房有15层，每层楼高为3米，顶楼有1米高的隔热层，两楼之间相距60米．小王不想买最前面和最后面的楼房，但希望所买楼层全年每天正午都能晒到太阳，为此，小王查找了有关地理资料，获得如下一些信息：①该市的纬度（地面一点所在球半径与赤道平面所成的角）为北纬36°34'；②正午的太阳直射北回归线（太阳光线与赤道平面所成的角为23°26'）时，物体的影子最短，直射南回归线（太阳光线与赤道平面所成的角为23°26'）时，物体的影子最长，那么小王买房的最低楼层应为（）A．3B．4C．5D．6【分析】直接利用解三角形知识的应用求出结果．解：依题意：α＝36°34′+23°26′＝60°，则太阳光与地面的夹角为θ＝90°﹣60°＝30°．如图所示：（1）（2）根据题意，得到每栋楼从地面到楼顶的高度为46米．在图（2）中，设AB＝46，BD＝60，∠AEB＝30°，所以在Rt△ABE中，BE＝，在Rt△CDE中，DE＝BE﹣BD＝46，所以CD＝DE tan30°＝46﹣20≈11.36所以中间的楼房距离地面约11.36米的部分，有些天正午不能晒到太阳．所以，小王买房的最底层应为5层，故选：C．12．如图，在平面四边形ABCD中，AD⊥CD，△ABC是边长为3的正三角形．将该四边形沿对角线AC折成一个大小为120°的二面角D﹣AC﹣B，则四面体ABCD的外接球的表面积为（）A．12πB．13πC．14πD．15π【分析】设四面体ABCD的外接球的球心为O点．取AC的中点E，连接BE，上点M 为正△ABC的中心，则OM⊥平面ABC．由AD⊥DC，则点E为△ACD的外心．可得OE⊥平面ACD．根据二面角D﹣AC﹣B的大小为120°，可得∠OEB＝30°．利用直角三角形的比较关系即可得出．解：设四面体ABCD的外接球的球心为O点．取AC的中点E，连接BE，上点M为正△ABC的中心，则OM⊥平面ABC．∵AD⊥DC，则点E为△ACD的外心．∴OE⊥平面ACD．∵二面角D﹣AC﹣B的大小为120°，∴∠OEB＝30°．∵△ABC是边长为3的正三角形，则BE＝．∴ME＝．在△OME中，OE＝＝1．在Rt△AEO中，OA＝＝．∴四面体ABCD的外接球的表面积S＝4π×＝13π．故选：B．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．已知数列{a n}满足a n+1﹣a n＝2（n∈N*），S n为数列{a n}的前n项和，若a10＝12，则S10＝30．【分析】数列{a n}满足a n+1﹣a n＝2（n∈N*），可得数列{a n}为等差数列，公差为d＝2，利用通项公式求和公式即可得出．解：数列{a n}满足a n+1﹣a n＝2（n∈N*），可得数列{a n}为等差数列，公差为d＝2，∵a10＝12，∴a1+18＝12，解得a1＝﹣6，则S10＝﹣60+45×2＝30．故答案为：30．14．某中学高三年级共有36名教师，将每位教师按1～36编号，其年龄数据如表：编号123456789101112131415161718年龄404840413340454243363138394345393836编号192021222324252627282930313233343536年龄274341373442374442343945384253374939用系统抽样法从这36名教师中抽取一个容量为9的样本，已知在第一组用抽签法抽到的年龄数据为48，则抽取的9名教师年龄的中位数是40．【分析】先求出所有抽到的教师的编号，再求出所有的年龄，根据中位数的定义即可求出．解：讲36人分成9组，每组4人，因为在第一组抽取的教师年龄为48，其编号为2，在所有样本数据的编号为2，6，10，14，18，22，26，30，34，对应的年龄分别为48，40，36，43，36，37，44，45，37，讲这9个数从小到达排序可得36，36，37，37，40，43，44，45，48，故中位数为40，故答案为：40．15．若过点A（a，0）的任意一条直线都不与曲线C：y＝xe x相切，则a的取值范围是（﹣4，0）．【分析】设切点B（），利用导数写出过切点的切线方程，把A的坐标代入，化为关于x0的一元二次方程，由判别式小于0求解a的取值范围．解：设点B（）为曲线C上任意一点，∵y′＝e x+xe x＝（x+1）e x，则曲线C在点B处的切线方程为，根据题意，切线l不经过点A，则关于x0的方程，即无实根．∴△＝a2+4a＜0，解得﹣4＜a＜0．∴a的取值范围是（﹣4，0）．故答案为：（﹣4，0）．16．在△ABC中，已知顶点A（0，1），顶点B、C在x轴上移动，且|BC|＝2，设点M为△ABC的外接圆圆心，则点M到直线l：2x﹣2y﹣5＝0的距离的最小值为．【分析】设点M（x，y），取BC的中点D，连结MD，则MD⊥BC，且|BD|＝1，||MD|＝|y|，根据外接圆性质可求出点M的运动轨迹，结合点到直线的距离公式转化为二次函数求最值问题即可．解：如图，设点M（x，y），取BC的中点D，连结MD，则MD⊥BC，且|BD|＝1，|MD|＝|y|，因为|MA|＝|MB|，则x2+（y﹣1）2＝y2+1，即x2＝2y，则点M到直线l的距离d＝＝＝，所以当x＝1时，d取最小值，故答案为：．三、解答题：共7个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且有cos2A+cos A cos（C﹣B）＝sin B sin C．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若△ABC的内切圆面积为π，当•的值最小时，求△ABC的面积．【分析】（Ⅰ）直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出A的值．（Ⅱ）利用余弦定理，向量的数量积，基本不等式和三角形的面积公式求出结果．解：（Ⅰ）因为在△ABC中有cos2A+cos A cos（C﹣B）＝sin B sin C，则cos A[cos A+cos（C﹣B）]＝sin B sin C，所以cos A[﹣cos（C+B）+cos（C﹣B）]＝sin B sin C，即2cos A sin B sin C＝sin B sin C，即cos A＝，又A∈（0，π），故A＝；（Ⅱ）由△ABC的内切圆面积为π，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣bc，由题意可知△ABC的内切圆半径为1，如图，设圆I为三角形ABC的内切圆，D，E为切点，可得AI＝2，AD＝AE＝，则b+c﹣a＝2，于是（b+c﹣2）2＝b2+c2﹣bc，化简得4+bc＝4（b+c）≥8，所以bc≥12或bc≤，又b＞，c＞，所以bc≥12，即•＝bc∈[6，+∞），当且仅当b＝c时，•的最小值为6，此时三角形ABC的面积：bc sin A＝×12×sin＝3．18．如图，在矩形ABCD中，点E为边AD上的点，点F为边CD的中点，AB＝AE＝，现将△ABE沿BE边折至△PBE位置，且平面PBE⊥平面BCDE．（Ⅰ）求证：平面PBE⊥平面PEF；（Ⅱ）求二面角E﹣PF﹣C的大小．【分析】（I）由题设条件推导出EF⊥BE，从而得到EF⊥平面PBE，由此能证明平面PBE⊥平面PEF．（II）设AD＝3，以D为原点，以DC方向为x轴，以ED方向为y轴，以与平面EBCD 向上的法向量同方向为z轴，建立坐标系，利用向量法能求出二面角E﹣PF﹣C的大小．【解答】（I）证明：在Rt&△DEF中，∵ED＝DF，∴∠DEF＝45°，在Rt△ABE中，∵AE＝AB，∴∠AEB＝45°，∴∠BEF＝90°，∴EF⊥BE，∵平面PBE⊥平面BCDE，且平面PBE∩平面BCDE＝BE，∴EF⊥平面PBE，∵EF⊂平面PEF，∴平面PBE⊥平面PEF．（II）解：由题意，不妨设AD＝3，以D为原点，以DC方向为x轴，以ED方向为y轴，以与平面EBCD向上的法向量同方向为z轴，建立坐标系．∵在矩形ABCD中，点E为边AD上的点，点F为边CD的中点，AB＝AE＝，∴，∴．设平面PEF和平面PCF的法向量分别为＝（x1，y1，z1），＝（x2，y2，z2）．由及，得到，∴＝．又由•及•，得到，∴＝，，综上所述，二面角E﹣PF﹣C大小为150°．19．如图，已知椭圆与圆E：在第一象限相交于点P，椭圆C的左、右焦点F1，F2都在圆E上，且线段PF1为圆E的直径．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点的动直线1与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，证明：为定值，并求出这个定值．【分析】（1）由圆的方程可得与x轴的交点坐标即椭圆的焦点坐标，和圆的半径，由题意可得PF1的值，再由存在求出PF2，再由椭圆的定义可得椭圆的方程；（2）分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，设直线的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出数量积的值为定值．解：（1）在圆E中，令y＝0可得x＝，所以由题意可得c＝，由圆的方程可得圆的半径为，所以由题意可得PF1|＝，连接PF2，因为F2在圆上，所以PF2⊥F1F2，又有|F1F2|＝2c＝2，则|PF1|＝＝＝，由题意的定义可得：2a＝|PF1|+|PF2|，可得a＝2，b2＝a2﹣c2＝1，所以椭圆的方程为：+y2＝1；（2）当直线的斜率存在时设l的斜率为k，则l的方程为：y＝kx+，代入椭圆的方程可得：x2+4（kx+）2＝4，即（1+4k2）x2+8kx﹣＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣，所以＝x1x2+y1y2＝x1x2+（kx1+）（kx2+）＝（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+＝﹣﹣+＝﹣+＝﹣1；当直线l的斜率不存在时，直线与y轴重合，此时点A（﹣1，0），B（1，0），＝﹣1，综上所述：＝﹣1为定值．20．已知函数f（x）＝lnx+（a≥0）．（1）讨论函数f（x）的极值点的个数；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＜0．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性，极值的关系对a进行分类讨论即可求解；（2）结合（1）的讨论及极值存在条件，把所要求解的结论转化为利用函数的性质求解．【解答】（1）解：＝，x∈（0，+∞）．①当a＝0时，．当时，f'（x）＞0，所以f（x）在上单调递增；当时，f'（x）＜0，所以f（x）在上单调递减．即函数f（x）只有一个极大值点，无极小值点．②当0＜a＜1时，△＝4﹣4a＞0，令f'（x）＝0，得．当时，f'（x）＞0，所以f（x）在，上单调递增；当时，f'（x）＜0，所以f（x）在上单调递减．即函数f（x）有一个极大值点，有一个极小值点．③当a≥1时，△＝4﹣4a≤0，此时f'（x）≥0恒成立，即f（x）在（0，+∞）上单调递增，无极值点．综上所述，当a＝0时，f（x）有且仅有一个极大值点，即只有1个极值点；当0＜a＜1时，f（x）有一个极大值点和一个极小值点，即有2个极值点；当a≥1时，f（x）没有极值点．（2）证明：由（1）可知，当且仅当0＜a＜1时，f（x）有两个极值点x1，x2，且x1，x2为方程ax2﹣2x+1＝0的两根，即，，所以＝＝．令，a∈（0，1），则恒成立，所以g（a）在（0，1）上单调递增，所以g（a）＜g（1）＝﹣ln1﹣2+2＝0，即f（x1）+f（x2）＜0．21．湖南省会城市长沙又称星城，是楚文明和湖湘文化的发源地，是国家首批历史文化名城．城内既有岳麓山、橘子洲等人文景观，又有岳麓书院、马王堆汉墓等名胜古迹，每年都有大量游客来长沙参观旅游．为合理配置旅游资源，管理部门对首次来岳麓山景区游览的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人计划只游览岳麓山，另外的人计划既游览岳麓山又参观马王堆．每位游客若只游览岳麓山，则记1分；若既游览岳麓山又参观马王堆，则记2分．假设每位首次来岳麓山景区游览的游客计划是否参观马王堆相互独立，视频率为概率．（1）从游客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望；（2）从游客中随机抽取n人（n∈N*），记这n人的合计得分恰为n+1分的概率为P n，求P1+P2+…+P n；（3）从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为n分的概率为a n，随着抽取人数的无限增加，a n是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，说明理由．【分析】（1）据题意，每位游客计划不参观马王堆的概率为，参加马王堆的概率为，X的可能取值为3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．（2）这n人的合计得分为n+1分，则其中只有1人计划参观马王堆，从而P n＝＝，设S n＝P1+P2+…+P n＝+，利用错位相减法能求出P1+P2+…+P n．（3）在随机抽取的若干人的合计得分为n﹣1分的基础上再抽取1人，则这些人的合计得分可能为n分或n+1分，记“合计得n分“为事件A，“合计得n+1分”为事件B，A与B是对立事件，推导出＝﹣（﹣）n﹣1，由此能求出随着抽取人数的无限增加，a n趋近于常数．解：（1）据题意，每位游客计划不参观马王堆的概率为，参加马王堆的概率为，则X的可能取值为3，4，5，6，P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝＝，P（X＝5）＝＝，P（X＝6）＝（）3＝，∴X的分布列为：X3456P∴EX＝＝5．（2）∵这n人的合计得分为n+1分，则其中只有1人计划参观马王堆，∴P n＝＝，设S n＝P1+P2+…+P n＝+，则＝+…++，∴两式相减，得：＝﹣＝2×﹣＝1﹣，∴P1+P2+…+P n＝S n＝（1﹣）．（3）在随机抽取的若干人的合计得分为n﹣1分的基础上再抽取1人，则这些人的合计得分可能为n分或n+1分，记“合计得n分“为事件A，“合计得n+1分”为事件B，A与B是对立事件，∵P（A）＝a n，P（B）＝，∴a n+，（n≥2），即，（n≥2），∵，则数列{}是首项为﹣，公比为﹣的等比数列，∴＝﹣（﹣）n﹣1，∴a n＝﹣（﹣）n﹣1＝，∵0＜|﹣|＜1，则当n→∞时，（﹣）n→0，∴a n→，∴随着抽取人数的无限增加，a n趋近于常数．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，已知点P的极坐标为，曲线C的极坐标方程为ρ＝．以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．（1）求点P的直角坐标和曲线C的直角坐标方程；（2）过点P作斜率为的直线l，交曲线C于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数的关系的应用求出结果．解：（1）已知点P的极坐标为，转换为直角坐标为（0，2）．曲线C的极坐标方程为ρ＝．转换为直角坐标方程为，（2）过点P作斜率为的直线l，则直线的参数方程为（t为参数）．把直线的参数方程代入，得到4×，即，所以t1t2＝﹣32，则：|PA|•|PB|＝|t1t2|＝32．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x|﹣2．（1）求不等式f（x﹣1）+f（x+2）≤1的解集；（2）若|a|＜2，|b|＜2，证明：f（ab）+2＞2f（a+b）．【分析】（1）根据f（x﹣1）+f（x+2）≤1，可得|x﹣1|+|x+2|≤5，然后利用零点分段法解不等式即可；（2）要证f（ab）+2＞2f（a+b），即证|ab|+4＞2|a+b|，利用不等式的基本性质和基本不等式，可得到|ab|+4＞2|a+b|，从而证明不等式成立．解：（1）由f（x﹣1）+f（x+2）≤1，得|x﹣1|+|x+2|≤5．又|x﹣1|+|x+2|＝，∴或﹣2≤x＜1或，∴﹣3≤x≤2，∴不等式的解集为[﹣3，2]．（2）要证f（ab）+2＞2f（a+b），只需证|ab|＞2（|a+b|﹣2），即证|ab|+4＞2|a+b|．∵|a|＜2，|b|＜2，∴（|a|﹣2）（|b|﹣2）＞0，∴|ab|﹣2（|a|+|b|）+4＞0，即|ab|+4＞2（|a|+|b|）．∵|a|+|b|⩾|a+b|，∴|ab|+4＞2|a+b|，∴f（ab）+2＞2f（a+b）成立．。

河南省平顶山市鲁山县第一高级中学2020届高三数学6月月考试题理第I卷选择题（共60分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1.设复数满足，则A. 3B.C. 9D. 102.若的展开式中的系数为，则A. B. C. D.4.各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则的取值范围是A. B. C.D.5.如图所示，直线为双曲线：的一条渐近线，，是双曲线的左、右焦点，关于直线的对称点为，且是以为圆心，以半焦距为半径的圆上的一点，则双曲线的离心率为A. B. C. 2D. 36.设，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为A.B.C.D.7.函数的大致图像为8.杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。

在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形。

帕斯卡（1623----1662）是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年。

右图的表在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了，这又是我国数学史上的一个伟大成就。

如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，则此数列前16项和为A. B. C.D.9.已知函数，将图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位得到的图像，若为偶函数，则的一个值为A. B. C. D.10.三棱锥P ABC -中，底面ΔABC 满足BA BC =， π2ABC ∠=， P 在面ABC 的射影为AC 的中点，且该三棱锥的体积为92，当其外接球的表面积最小时， P 到面ABC 的距离为A. 2B. 3C. 33311. 以下四个命题中：①某地市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩服从正态分布，已知，若按成绩分层抽样的方式抽取100分试卷进行分析，则应从120分以上（包括120分）的试卷中抽取15分； ②已知命题，，则，；③在上随机取一个数，能使函数在上有零点的概率为；④在某次飞行航程中遭遇恶劣气候，用分层抽样的20名男乘客中有5名晕机，12名女乘客中有8名晕机，在检验这些乘客晕机是否与性别有关时，采用独立性检验，有97%以上的把握认为与性别有关．0．15 0．1 0．05 0．025 2．0722．7063．8415．024其中真命题的序号为A. ①②③B. ②③④C. ①②④D. ①③④ 12.已知椭圆的左右焦点分别为，过左焦点作斜率为2的直线与椭圆交于两点，的中点是，为坐标原点，若直线的斜率为，则的值是A. 2B.C. D.第II 卷 非选择题（共90分）二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若x ，y 满足约束条件，则z=2x+y 的最大值为______．14.某校高三年级学生一次数学诊断考试成绩(单位:分) X 服从正态分布 ()2110,10N ，从中抽取一个同学的数学成绩ξ，记该同学的成绩90110ξ<≤为事件A ，记该同学的成绩80100ξ<≤为事件B ,则在A 事件发生的条件下B 事件发生的概率(|)P B A =______.（结果用分数表示） 附： X 满足： ()0.68P X μσμσ-<≤+=；(22)0.95P X μσμσ-<≤+=； (33)0.99P X μσμσ-<≤+=.15.设函数的最小正周期为，且满足，则函数的单调增区间为 ．16.祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同幂，则积不容异”.这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等.一般大型热电厂的冷却塔大都采用双曲线型.设某双曲线型冷却塔是曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>与直线0x =， 0y =和y b =所围成的平面图形绕y 轴旋转一周所得，如图所示.试应用祖暅原理类比求球体体积公式的方法，求出此冷却塔的体积为_______.三、解答题(本大题共6小题,共70分。

平顶山市2020届新高三调研考试数学（理科）本试卷共5页，23个小题，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设z＝11ii－＋＋2i，则z＋｜z｜＝A．－1－i B．1＋i C．1－i D．－1＋i2．双曲线22221x ya b－＝（a＞0，b＞03A．y2x B．y3C．y＝±22x D．y＝±32x3．（x2＋2x）8的展开式中x4的系数是A．16 B．70 C．560 D．1120 4．曲线y＝4x－x3在点（－1，－3）处的切线方程是A．y＝7x＋4 B．y＝x－2 C．y＝x－4 D．y＝7x＋25．若x，y满足约束条件503050x yx yx⎧⎪⎨⎪⎩＋2－≥，－2＋≥，－≤，则z＝x＋y的最大值为A．9 B．5 C．11 D．36．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D（X）＝2．4，P（X＝4）＜P（X＝6），则p＝A．0．7 B．0．6 C．0．4 D．0．37．已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为A．13B．23C31－D31－8．若函数f（x）＝x2＋ax（a∈R），则下列结论正确的是A．a∀∈R，f（x）在（0，＋∞）上是增函数B．a∀∈R，f（x）在（0，＋∞）上是减函数C．a∃∈R，f（x）是偶函数D．a∃∈R，f（x）是奇函数9．等差数列{n a }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{n a }的前n 项n S ＝A ．n （n ＋1）B ．n （n －1）C ．(1)2n n ＋ D ．(1)2n n － 10．已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是 A ．3 B ．4 C ．92D ．11211．一个盒子装有4件产品，其中有3件一等品，1件二等品．从中不放回的取两次，每次取出一件．设事件A 为“第一次取到的是一等品”，事件B 为“第二次取到的是一等品”．则P （B ｜A ）＝ A ．34 B ．13 C ．23 D ．1212．设函数f （x ）在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数y＝（1－x ）()f x '的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是A ．函数f （x ）有极大值f （2）和极小值f （1）B ．函数f （x ）有极大值f （－2）和极小值f （1）C ．函数f （x ）有极大值f （2）和极小值f （－2）D ．函数f （x ）有极大值f （－2）和极小值f （2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线相切，则p ＝__________． 14．从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成 ________个没有重复数字的四位数．（用数字作答） 15．东汉·王充《论衡·宣汉篇》：“且孔子所谓一世，三十年也．”，清代·段玉裁《说文解字注》：“三十年为一世．按父子相继曰世．”．“一世”又叫“一代”，到了唐朝，为了避李世民的讳，“一世”方改为“一代”，当代中国学者测算“一代”平均为25年．另据美国麦肯锡公司的研究报告显示，全球家族企业的平均寿命其实只有24年，其中只有约30％的家族企业可以传到第二代，能够传到第三代的家族企业数量为总量的13％，只有5％的家族企业在第三代后还能够继续为股东创造价值．根据上述材料，可以推断 美国学者认为“一代”应为_____________年． 16．设n ≥2，n ∈N ＋，（2x ＋12）n －（3x ＋13）n ＝a 0＋a l x ＋a 2x 2＋…＋nn a x ，将｜k a ｜（0≤k ≤n ）的最小值记为n T ．则当n 是偶数时，n T ＝_______________； 当n 是奇数时，n T ＝____________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）已知数列{n a }和{n b }满足，1n a ＋＝2n a ，b 1＋12b 2＋13b 3＋…＋1nn b ＝1n b ＋－1（n ∈N ﹡），且a 1＝2，b 1＝1．（Ⅰ）求n a 与n b ；（Ⅱ）记数列{n a ·n b }的前n 项和为n T ，求n T ．18．（本小题满分12分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，点E 是 边AD 上一点，且AE ＝2ED ，点H 是BE 的中点， 将△ABE 沿着BE 折起，使点A 运动到点S 处，且 满足SC ＝SD ．（Ⅰ）证明：SH ⊥平面BCDE ；（Ⅱ）求二面角C —SB —E 的余弦值． 19．（本小题满分12分）某手机代工厂对生产线进行升级改造评估，随机抽取了生产线改造前、后100个生产班次的产量进行对比，改造前、后手机产量（单位：百部）的频率分布直方图如下：（Ⅰ）设改造前、后手机产量相互独立，记A 表示事件：“改造前手机产量低于5000部， 改造后手机产量不低于5000部”，视频率为概率，求事件A 的概率：（Ⅱ）填写下面2×2列联表，并根据列联表判断是否有99％的把握认为手机产量与生产线升级改造有关：（Ⅲ）根据手机产量的频率分布直方图，求改造后手机产量的中位数的估计值（精确到0．01）．参考公式：随机变量K 2的观测值计算公式： K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ．临界值表：手机产量＜5000部 手机产量≥5000部改造前改造后20．（本小题满分12分）设互相垂直的直线AB ，CD 分别过椭圆E ：22143x y ＋＝的左、右焦点F 1，F 2，且与椭圆E 的交点分别为A 、B 和C 、D ．（Ⅰ）当AB 的倾斜角为45°时，求以AB 为直径的圆的标准方程；（Ⅱ）问是否存在常数λ，使得｜AB ｜＋｜CD ｜＝λ｜AB ｜·｜CD ｜恒成立?若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由． 21．（本小题满分12分）设函数f （x ）＝2x e x －k （2x＋lnx ）（k ∈R 为常数）．（Ⅰ）当k ≤0时，求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若函数f （x ）在（0，2）内存在两个极值点，求k 的取值范围．（二）选考题，共l0分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）【选修4—4：极坐标与参数方程】以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）将直线l ：22222x y t ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝－，．（t 为参数）化为极坐标方程；（Ⅱ）设P 是（Ⅰ）中的直线l 上的动点，定点A 2，4π），B 是曲线ρ＝－2sin θ上的动点，求｜PA ｜＋｜PB ｜的最小值．23．（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】已知函数f （x ）＝｜2x －1｜＋｜2x ＋a ｜，g （x ）＝x ＋3． （Ⅰ）当a ＝－2时，求不等式f （x ）＜g （x ）的解集； （Ⅱ）设a ＞－1，且当x ∈[－2a ，12）时，f （x ）≤g （x ），求a 的取值范围．理科数学答案一．选择题：（1）C （2）A （3）D （4）B （5）A （6）B （7）D （8）C （9）A （10）B （11）C （12）D .二．填空题：（13）2（14）1260（15）20（16）0，1123nn -（★第一空给2分，第二空给3分） 三．解答题：（17）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由112,2n n a a a +==，得2n n a =，*n ∈N ． ………3分由题意知：当1n =时，121b b =-，故22b =．当2n ≥时，12311111231n n b b b b b n -++++=--， 因此，11n n n b b b n +=-，整理得11n n b b n n +=+， 所以，121121n n b b b bn n +====+，所以，n b n =，*n ∈N ． ………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知2nn n a b n =⋅，因此23222322n n T n =+⋅+⋅++⋅，23412222322n n T n +=+⋅+⋅++⋅， ………9分所以，231222222n n n n T T n +-=++++-⋅，故1(1)22n n T n +=-+，*n ∈N ． ………12分（18）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）如图，∵AB=AE=2，∠BAD =90°，∴△BSE 是等腰直角三角形． ………2分∵H 是中点，∴SH 丄BE ． ① ………3分设F 是CD 的中点，∴CD 丄HF ，∵SC =SD ，∴CD 丄SF ，∴CD 丄平面SHF ， ………5分 ∴SH 丄CD ． ②由①②可得SH 丄平面BCDE ． ………6分（Ⅱ）以H 为原点，以,HF HS 的方向为y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，则B （1，－1，0），C （1，2，0），E （－1，1，0），S （0，02）．………8分 设平面SBC 的法向量为1(,,)x y z =n ，则1(0,3,0)BC ⊥=n ，1(1,1,2)SB ⊥=--n ，所以，020y x y z =⎧⎪⎨--=⎪⎩，因此可取1(2,0,1)=n ． ………9分设平面SBE 的法向量为2(,,)x y z =n ，则2(2,2,0)BE ⊥=-n ，2(1,1,2)SB ⊥=--n ，所以，020x y x y z -+=⎧⎪⎨--=⎪⎩，因此可取2(1,1,0)=n ． ………10分从而1212123cos ,||||⋅==⋅n n n n n n ． ………11分 所以二面角C －SB －E 3． ………12分 （19）（本小题满分12分）解：（1）记B 表示事件“改造前手机产量低于5000部” ，C 表示事件“改造后手机产量不低于5000部” ，由题意知()()()()P A P BC P B P C ==． ………1分改造前手机产量低于5000部的频率为0.0400.0340.0240.0140.0125=0.62++++⨯（）， 故()P B 的估计值为0.62． ………3分 改造后手机产量不低于5000部的频率为0.0680.0460.0100.0085=0.66+++⨯（）， 故()P C 的估计值为0.66， ………4分 因此，事件A 的概率估计值为0.620.660.4092⨯=． ………5分 （2）根据手机产量的频率分布直方图得列联表：手机产量＜5000部手机产量≥5000部改造前 62 38 改造后3466………7分()222006266343815.70510010096104K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ ………8分由于15.705>6.635，故有99%的把握认为手机产量与生产线升级改造有关． ………9分 （3）因为改造后手机产量的频率分布直方图中，手机产量低于5000部的直方图面积为()0.0040.0200.04450.340.5++⨯=<， 手机产量低于5500部的直方图面积为()0.0040.0200.044+0.06850.680.5++⨯=>， 故改造后手机产量的中位数的估计值为0.5-0.3450+52.350.068≈（百部）．………12分 （20）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意可设AB 的方程为1y x =+，代入E 可得27880x x +-=．………2分 所以，AB 的中点坐标为43(,)77-． ………3分又288242()4()777AB =--⨯-=， ………4分所以，以AB 为直径的圆的方程为2243144()()7749x y ++-=． ………5分 （Ⅱ）假设存在常数λ，使得·AB CD AB CD λ+=恒成立．设直线AB 的方程为(1)y k x =+，则直线CD 的方程为1(1)y x k=-+．………6分 将AB 的方程代入E 得：2222(34)84120k x k x k +++-=． ………7分由韦达定理得：2122834k x x k +=-+，212241234k x x k -=+，所以2221212212(1)1()434k AB k x x x x k +=++-⋅=+． ………9分同理可得2212(1)43k CD k +=+． ………10分所以2222113443712(1)12(1)12k k AB CD k k λ++=+=+=++． ………11分 因此，存在712λ=，使得·AB CD AB CD λ+=恒成立． ………12分 （21）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）函数()y f x =的定义域为(0,)+∞，242221()()x x x e xe f x k x x x -'=--+322(2)x x xe e k x x x --=-3(2)()x x e kx x--=． ………2分 由0k ≤可得0xe kx ->，所以，当(0,2)x ∈时，()0f x '<，函数()y f x =单调递减；当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数()y f x =单调递增．所以，()f x 的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2,)+∞. ………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，0k ≤时，函数()f x 在(0,2)内单调递减，故()f x 在(0,2)内不存在极值点； ………6分 当0k >时，设函数(),[0,)xg x e kx x =-∈+∞， 因为ln ()xxk g x e k e e '=-=-，当01k <≤时，当(0,2)x ∈时，()0,()xg x e k y g x '=->=单调递增，故()f x 在(0,2)内不存在两个极值点； ………7分 当1k >时，得(0,ln )x k ∈时，()0g x '<，函数()y g x =单调递减，(ln ,)x k ∈+∞时，()0g x '>，函数()y g x =单调递增，所以，函数()y g x =的最小值为(ln )(1ln )g k k k =-， ………8分 函数()f x 在（0，2）内存在两个极值点．当且仅当(0)0(ln )0(2)00ln 2g g k g k >⎧⎪<⎪⎨>⎪⎪<<⎩ ， ………10分解得22e e k <<，综上所述，函数()f x 在（0，2）内存在两个极值点时，k 的取值范围为2(,)2e e .………12分（22）（本小题满分10分）选修4－4：极坐标与参数方程解：（Ⅰ）消去参数t 得x y +=， 即(cos sin )ρθθ+=∴直线l 的极坐标方程为cos()14ρθπ-=．（答案也可以化为sin()14ρθπ+=） ………5分（Ⅱ）∵(,)42A π的直角坐标为(1,1)A ，曲线2sin ρθ=-是圆C ：22(1)1x y ++=（C 为圆心）． ∴||||||||1||151PA PB PA PC AC +≥+-≥-=．∴||||PA PB +51（这时P 是直线l 与直线AC 的交点）．……12分（23）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲解：（Ⅰ）当2-=a 时，原不等式化为|21|2|1|3x x x ---<+．当12x <时，原不等式可化为50x >，解得0x >，∴102x <<； 当112x ≤≤时，原不等式可化为2x >-，∴112x ≤≤； 当1x >时，原不等式可化为36x <，解得2x <，∴12x <<；综上，原不等式的解为{|02}x x <<． …………5分（Ⅱ）∵1->a ，∴122a -<，∴1[,)22a x ∈-时，原不等式可化为2123x a x x ++-≤+，∴2x a ≥-对1[,)22a x ∈-恒成立，因此，22a a -≥-，∴413a -<≤．………10分。

2020年河南省南阳一中、信阳、漯河、平顶山一中四校高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合{1A a =-，1}a +，{1B =，2}，{2C =，3}，若A B =∅I ，且A C ≠∅I ，则(a = ) A ．1或3B ．2或4C ．0D ．42．（5分）设复数()(1)()z a i i a R =+-∈，则复数z 在复平面内对应的点不可能在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）已知2*1(2)()n x n N x-∈的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中2x 的系数为( ) A ．280B ．280-C ．35D ．35- 4．（5分）记[]x 表示不超过x 的最大整数，已知236a b c ==，则[](a bc+= ) A ．2B ．3C ．4D ．55．（5分）函数()21x xf x x =++的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．6．（5分）元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论，其中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于“松竹并生”问题的一个程序框图，则计算机输出的结果是( )A ．6B ．5C ．4D ．37．（5分）在ABC ∆中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的点，且2BD DC =u u u r u u u r ，若34BE AB AD λ=+u u u r u u u r u u u r，则(λ= ) A ．54-B ．43-C ．45-D ．34-8．（5分）设点A 、B 分别在双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线1l 、2l 上，且点A 在第一象限，点B 在第四象限，1AB l ⊥，O 为坐标原点，若||OA 、||AB 、||OB 成等差数列，则双曲线C 的离心率为( ) A ．2B ．5 C ．3 D ．6 9．（5分）已知函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，0)ϕπ<<的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为12π和712π，图象在y 轴上的截距为3．关于函数()f x 有下列四个结论：①()f x 的最小正周期为π；②()f x 的最大值为2；①6x π=-为()f x 的一个零点；④()6f x π+为偶函数． 其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．410．（5分）某单位有800名员工，工作之余，工会积极组织员工参与“日行万步”健身活动．经调查统计，得到全体员工近段时间日均健步走步数（单位：千步）的频率分布直方图如图所示．据直方图可以认为，该单位员工日均健步走步数近似服从正态分布，计算得其方差为6.25．由此估计，在这段时间内，该单位员工中日均健步走步数在2千步至4.5千步的人数约为( )附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=．A ．103B ．105C ．107D ．10911．（5分）小王想在某市一住宅小区买套新房，据了解，该小区有若干栋互相平行的平顶楼房，每栋楼房有15层，每层楼高为3米，顶楼有1米高的隔热层，两楼之间相距60米．小王不想买最前面和最后面的楼房，但希望所买楼层全年每天正午都能晒到太阳，为此，小王查找了有关地理资料，获得如下一些信息：①该市的纬度（地面一点所在球半径与赤道平面所成的角）为北纬3634'︒；②正午的太阳直射北回归线（太阳光线与赤道平面所成的角为2326)'︒时，物体的影子最短，直射南回归线（太阳光线与赤道平面所成的角为2326)'︒时，物体的影子最长，那么小王买房的最低楼层应为( ) A ．3B ．4C ．5D ．612．（5分）如图，在平面四边形ABCD 中，AD CD ⊥，ABC ∆是边长为3的正三角形．将该四边形沿对角线AC 折成一个大小为120︒的二面角D AC B --，则四面体ABCD 的外接球的表面积为( )A ．12πB ．13πC ．14πD ．15π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知数列{}n a 满足*12()n n a a n N +-=∈，n S 为数列{}n a 的前n 项和，若1012a =，则10S = ．14．（5分）某中学高三年级共有36名教师，将每位教师按1~36编号，其年龄数据如表： 编12345678910 11 12 13 14 15 16 17 18号年龄404840413340454243363138394345393836编号192021222324252627282930313233343536年龄274341373442374442343945384253374939用系统抽样法从这36名教师中抽取一个容量为9的样本，已知在第一组用抽签法抽到的年龄数据为48，则抽取的9名教师年龄的中位数是．15．（5分）若过点(,0)A a的任意一条直线都不与曲线:xC y xe=相切，则a的取值范围是．16．（5分）在ABC∆中，已知顶点(0,1)A，顶点B、C在x轴上移动，且||2BC=，设点M为ABC∆的外接圆圆心，则点M到直线:2250l x y--=的距离的最小值为．三、解答题：本大题共7个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）在ABC∆中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且有2cos cos cos()sin sinA A CB B C+-=．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若ABC∆的内切圆面积为π，当AB ACu u u r u u u rg的值最小时，求ABC∆的面积．18．（12分）如图，在矩形ABCD中，点E为边AD上的点，点F为边CD的中点，23AB AE AD==，现将ABE∆沿BE边折至PBE∆位置，且平面PBE⊥平面BCDE．（Ⅰ）求证：平面PBE⊥平面PEF；（Ⅱ）求二面角E PF C--的大小．19．（12分）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>与圆22:302yE x y +--=在第一象限相交于点P ，椭圆C 的左、右焦点1F ，2F 都在圆E 上，且线段1PF 为圆E 的直径． （1）求椭圆C 的方程；（2）设过点3(0,)5M 的动直线1与椭圆C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，证明：OA OBu u u r u u u r g 为定值，并求出这个定值．20．（12分）已知函数213()2(0)22f x lnx ax x a =+-+…．（1）讨论函数()f x 的极值点的个数；（2）若()f x 有两个极值点1x ，2x ，证明：12()()0f x f x +<．21．（12分）湖南省会城市长沙又称星城，是楚文明和湖湘文化的发源地，是国家首批历史文化名城．城内既有岳麓山、橘子洲等人文景观，又有岳麓书院、马王堆汉墓等名胜古迹，每年都有大量游客来长沙参观旅游．为合理配置旅游资源，管理部门对首次来岳麓山景区游览的游客进行了问卷调查，据统计，其中13的人计划只游览岳麓山，另外23的人计划既游览岳麓山又参观马王堆．每位游客若只游览岳麓山，则记1分；若既游览岳麓山又参观马王堆，则记2分．假设每位首次来岳麓山景区游览的游客计划是否参观马王堆相互独立，视频率为概率．（1）从游客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X ，求X 的分布列和数学期望； （2）从游客中随机抽取n 人*()n N ∈，记这n 人的合计得分恰为1n +分的概率为n P ，求12n P P P ++⋯+；（3）从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为n 分的概率为n a ，随着抽取人数的无限增加，n a 是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，说明理由． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，已知点P 的极坐标为(2,)2π，曲线C 的极坐标方程为ρ=．以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系． （1）求点P 的直角坐标和曲线C 的直角坐标方程；（2）过点P l ，交曲线C 于A ，B 两点，求||||PA PB g 的值． [选修4-5：不等式选讲] 23．已知函数()||2f x x =-．（1）求不等式(1)(2)1f x f x -++…的解集；（2）若||2a <，||2b <，证明：()22()f ab f a b +>+．2020年河南省南阳一中、信阳、漯河、平顶山一中四校高考数学模拟试卷（理科）（3月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合{1A a =-，1}a +，{1B =，2}，{2C =，3}，若A B =∅I ，且A C ≠∅I ，则(a = ) A ．1或3B ．2或4C ．0D ．4【解答】解：Q 集合{1A a =-，1}a +，{1B =，2}，{2C =，3}， A B =∅I ，且A C ≠∅I ，3A ∴∈，若13a -=，则4a =，此时{3A =，5}，符合要求；若13a +=，则2a =，此时{1A =，3}，{1}A B =I ，不合题意，4a ∴=．故选：D ．2．（5分）设复数()(1)()z a i i a R =+-∈，则复数z 在复平面内对应的点不可能在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：Q 复数()(1)()z a i i a R =+-∈，设复数z 在复平面内对应点的坐标为(,)x y ， 则11x a y a =+⎧⎨=-⎩，消去参数a ，得点P 的轨迹方程为2x y +=，∴点P 不可能在第三象限．故选：C ．3．（5分）已知2*1(2)()n x n N x-∈的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中2x 的系数为( ) A ．280B ．280-C ．35D ．35-【解答】解：由题意，2128n =，得7n =． 22711(2)(2)n x x x x∴-=-，其二项展开式的通项2717143177(2)()(1)2rr r r r r r r T x x x ----+=-=-gg g g g 痧； 由1432r -=得4r =，∴展开式中含2x 项的系数是4(1)2-347280=g ð．故选：A ．4．（5分）记[]x 表示不超过x 的最大整数，已知236a b c ==，则[](a bc+= ) A ．2B ．3C ．4D ．5【解答】解：由已知可得：26alg clg =，36blg clh =，则：6623233232222423232323a b lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg c lg lg lg lg lg lg lg lg +++=+=+=++>+=g ， 又32432222152323a b lg lg lg lg c lg lg lg lg +=++<++=++=， ∴[]4a bc+=， 故选：C ．5．（5分）函数()21x xf x x =++的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．【解答】解：1()22111x x x f x x x =+=-+++的定义域为(-∞，1)(1--⋃，)+∞． 21()220(1)x f x ln x ∴'=+>+恒成立成立，()f x ∴在(,1)-∞-，(1,)-+∞单调递增，当0x x >时，()0f x '>，函数单调递增，故排除C ，D ， 当x →-∞时，20x →，11xx →+，()1f x ∴→，故排除B ，故选：A ．6．（5分）元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论，其中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于“松竹并生”问题的一个程序框图，则计算机输出的结果是( )A ．6B ．5C ．4D ．3【解答】解：模拟程序的运行，可得 第一次执行循环体，可得6464962a =+=，22754b =⨯=，此时a b >； 第二次执行循环体，可得96961442a =+=，254108b =⨯=，此时a b >； 第三次执行循环体，可得1441442162a =+=，2108216b =⨯=，此时a b =， 终止循环，输出n 的值为3． 故选：D ．7．（5分）在ABC ∆中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的点，且2BD DC =u u u r u u u r ，若34BE AB AD λ=+u u u r u u u r u u u r，则(λ= ) A ．54-B ．43-C ．45-D ．34-【解答】解：如图，设AE xAC =u u u r u u u r ，且2BD DC =u u u r u u u r，则：BE AE AB =-u u u r u u u r u u u rxAC AB =-u u u r u u u r()x AD DC AB =+-u u u r u u u r u u u r1()2x AD BD AB =+-u u u r u u u r u u u r()2x xAD AD AB AB =+--u u u r u u u r u u u r u u u r3(1)22xx AB AD =-++u u u r u u u r ，Q34 BE AB ADλ=+u uu r u u u r u u u r，∴(1)23324xxλ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得54λ=-．故选：A．8．（5分）设点A、B分别在双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的两条渐近线1l、2l上，且点A在第一象限，点B在第四象限，1AB l⊥，O为坐标原点，若||OA、||AB、||OB成等差数列，则双曲线C的离心率为()A．2B．5C．3D．6【解答】解：因为||OA、||AB、||OB成等差数列，所以||||2||OA OB AB+=，如图所示：设1l的倾斜角为α，因为OA AB⊥，则||||cos2OA OBα=，||||sin2AB OBα=，于是cos212sin2αα+=，即22cos4sin cosααα=g得1tan2α=，即12ba=，所以离心率222251c bea a==+=故选：B．9．（5分）已知函数()sin()(0f x A x Aωϕ=+>，0ω>，0)ϕπ<<的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为12π和712π，图象在y3()f x 有下列四个结论：①()f x 的最小正周期为π；②()f x 的最大值为2；①6x π=-为()f x 的一个零点；④()6f x π+为偶函数． 其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：根据函数的图象：72()1212T πππ=-=，所以2ω=． 由于2122ππϕ⨯+=，解得3πϕ=．由(0)3f =sin 33A π2A =．当6x π=-时，()2sin()0633f πππ-=-+=， 故6x π=-为()f x 的一个零点．由于()2sin(2)3f x x π=+，所以2()2sin(2)2sin(2)6333f x x x ππππ+=++=+不是偶函数．故结论①②③正确． 故选：C ．10．（5分）某单位有800名员工，工作之余，工会积极组织员工参与“日行万步”健身活动．经调查统计，得到全体员工近段时间日均健步走步数（单位：千步）的频率分布直方图如图所示．据直方图可以认为，该单位员工日均健步走步数近似服从正态分布，计算得其方差为6.25．由此估计，在这段时间内，该单位员工中日均健步走步数在2千步至4.5千步的人数约为( )附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=．A ．103B ．105C ．107D ．109 【解答】解：由频率分布直方图估计其均值10.0430.0850.1670.4490.16110.1130.02 6.967μ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈．设日均健步数为X ，则~(7,6.25)X N ，2.5a =Q ，则 4.5μσ-=，22μσ-=，1(2 4.5)(0.95440.6826)0.13592P X ∴=-=剟，8000.1359109⨯≈Q ．∴日均健步走步数在2千步至4.5千步的人数约为109人．故选：D ．11．（5分）小王想在某市一住宅小区买套新房，据了解，该小区有若干栋互相平行的平顶楼房，每栋楼房有15层，每层楼高为3米，顶楼有1米高的隔热层，两楼之间相距60米．小王不想买最前面和最后面的楼房，但希望所买楼层全年每天正午都能晒到太阳，为此，小王查找了有关地理资料，获得如下一些信息：①该市的纬度（地面一点所在球半径与赤道平面所成的角）为北纬3634'︒；②正午的太阳直射北回归线（太阳光线与赤道平面所成的角为2326)'︒时，物体的影子最短，直射南回归线（太阳光线与赤道平面所成的角为2326)'︒时，物体的影子最长，那么小王买房的最低楼层应为( ) A ．3B ．4C ．5D ．6【解答】解：依题意：3634232660α=︒'+︒'=︒，则太阳光与地面的夹角为906030θ=︒-︒=︒． 如图所示：（1）（2）根据题意，得到每栋楼从地面到楼顶的高度为46米． 在图（2）中，设46AB =，60BD =，30AEB ∠=︒， 所以在Rt ABE ∆中，463tan30ABBE ==︒，在Rt CDE ∆中，46360DE BE BD =-=-， 所以tan304620311.36CD DE =︒=-≈所以中间的楼房距离地面约11.36米的部分，有些天正午不能晒到太阳． 所以，小王买房的最底层应为5层， 故选：C ．12．（5分）如图，在平面四边形ABCD 中，AD CD ⊥，ABC ∆是边长为3的正三角形．将该四边形沿对角线AC 折成一个大小为120︒的二面角D AC B --，则四面体ABCD 的外接球的表面积为( )A ．12πB ．13πC ．14πD ．15π【解答】解：设四面体ABCD 的外接球的球心为O 点．取AC 的中点E ，连接BE ，上点M 为正ABC ∆的中心，则OM ⊥平面ABC ．AD DC ⊥Q ，则点E 为ACD ∆的外心．OE ∴⊥平面ACD ．Q 二面角D AC B --的大小为120︒，30OEB ∴∠=︒．ABC ∆Q 是边长为3的正三角形，则33BE =3ME ∴=． 在OME ∆中，1cos30MEOE ==︒．在Rt AEO ∆中，22313()12OA =+=．∴四面体ABCD 的外接球的表面积2134()13S ππ=⨯=． 故选：B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知数列{}n a 满足*12()n n a a n N +-=∈，n S 为数列{}n a 的前n 项和，若1012a =，则10S = 30 ．【解答】解：数列{}n a 满足*12()n n a a n N +-=∈，可得数列{}n a 为等差数列，公差为2d =， 1012a =Q ，11812a ∴+=，解得16a =-，则106045230S =-+⨯=． 故答案为：30．14．（5分）某中学高三年级共有36名教师，将每位教师按1~36编号，其年龄数据如表： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18年龄 40 48 40 41 33 40 45 42 43 36 31 38 39 43 45 39 38 36编号 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36年龄27 43 41 37 34 42 37 44 42 34 39 45 38 42 53 37 49 39用系统抽样法从这36名教师中抽取一个容量为9的样本，已知在第一组用抽签法抽到的年龄数据为48，则抽取的9名教师年龄的中位数是 40 ．【解答】解：讲36人分成9组，每组4人，因为在第一组抽取的教师年龄为48，其编号为2，在所有样本数据的编号为2，6，10，14，18，22，26，30，34，对应的年龄分别为48，40，36，43，36，37，44，45，37，讲这9个数从小到达排序可得36，36，37，37，40，43，44，45，48，故中位数为40， 故答案为：40．15．（5分）若过点(,0)A a 的任意一条直线都不与曲线:x C y xe =相切，则a 的取值范围是(4,0)- ．【解答】解：设点000(,)x B x x e 为曲线C 上任意一点，(1)x x x y e xe x e '=+=+Q ，则曲线C 在点B 处的切线方程为00000(1)()x x y x e x e x x -=+-，根据题意，切线l 不经过点A ，则关于0x 的方程000000(1)()x x x e x e a x -=+-， 即2000x ax a --=无实根．∴△240a a =+<，解得40a -<<．a ∴的取值范围是(4,0)-．故答案为：(4,0)-．16．（5分）在ABC ∆中，已知顶点(0,1)A ，顶点B 、C 在x 轴上移动，且||2BC =，设点M为ABC ∆的外接圆圆心，则点M 到直线:2250l x y --=【解答】解：如图，设点(,)M x y ，取BC 的中点D ，连结MD ，则MD BC ⊥，且||1BD =，||||MD y =，因为||||MA MB =，则222(1)1x y y +-=+，即22x y =， 则点M 到直线l 的距离22d ===所以当1x =时，d三、解答题：本大题共7个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且有2cos cos cos()sin sin A A C B B C +-=．（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若ABC ∆的内切圆面积为π，当AB AC u u u r u u u rg 的值最小时，求ABC ∆的面积．【解答】解：（Ⅰ）因为在ABC ∆中有2cos cos cos()sin sin A A C B B C +-=， 则cos [cos cos()]sin sin A A C B B C +-=， 所以cos [cos()cos()]sin sin A C B C B B C -++-=， 即2cos sin sin sin sin A B C B C =， 即1cos 2A =， 又(0,)A π∈， 故3A π=；（Ⅱ）由ABC ∆的内切圆面积为π，由余弦定理得222a b c bc =+-，由题意可知ABC ∆的内切圆半径为1，如图，设圆I 为三角形ABC 的内切圆，D ，E 为切点， 可得2AI =，3AD AE ==， 则23b c a +-=，于是222(23)b c b c bc +-=+-， 化简得4334()8bc b c bc +=+…， 所以12bc …或43bc „， 又3b >，3c >， 所以12bc …，即1[62AB AC bc =∈u u u r u u u r g ，)+∞，当且仅当b c =时，AB AC u u u r u u u rg 的最小值为6，此时三角形ABC 的面积：11sin 12sin 33223bc A π=⨯⨯=．18．（12分）如图，在矩形ABCD 中，点E 为边AD 上的点，点F 为边CD 的中点，23AB AE AD ==，现将ABE ∆沿BE 边折至PBE ∆位置，且平面PBE ⊥平面BCDE ． （Ⅰ） 求证：平面PBE ⊥平面PEF ； （Ⅱ） 求二面角E PF C --的大小．【解答】()I 证明：在Rt &DEF ∆中，ED DF =Q ，45DEF ∴∠=︒，在Rt ABE ∆中，AE AB =Q ，45AEB ∴∠=︒， 90BEF ∴∠=︒，EF BE ∴⊥，（3分） Q 平面PBE ⊥平面BCDE ，且平面PBE ⋂平面BCDE BE =，EF ∴⊥平面PBE ，EF ⊂Q 平面PEF ，∴平面PBE ⊥平面PEF ．（6分）()II 解：由题意，不妨设3AD =，以D 为原点，以DC 方向为x 轴，以ED 方向为y 轴，以与平面EBCD 向上的法向量同方向为z 轴，建立坐标系．（7分）Q 在矩形ABCD 中，点E 为边AD 上的点，点F 为边CD 的中点，23AB AE AD ==，∴(0,1,0),(1,2,2),(1,0,0),(2,0,0)E P F C --，∴(1,1,2),(1,2,2),(0,2,2)EP CP FP =-=--=-u u u r u u u r u u u r．设平面PEF 和平面PCF 的法向量分别为11(n x =u u r ，1y ，1)z ，22(n x =u u r，2y ，2)z ． 由10n EP =u u u r r g 及10n FP =u u u r r g ， 得到1111120220x y z y z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，∴1(1,1,2)n =--u u r ．又由20n CP =u u r u u u r g 及20n FP =u u r u u u rg ，得到22222220220x y z y z ⎧--+=⎪⎨-+=⎪⎩，∴2(0,1,2)n =u u r ，（9分）123|cos ,|11212n n <>==+++g ，（11分）综上所述，二面角E PF C --大小为150︒．（12分）19．（12分）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>与圆22:302yE x y +--=在第一象限相交于点P ，椭圆C 的左、右焦点1F ，2F 都在圆E 上，且线段1PF 为圆E 的直径． （1）求椭圆C 的方程；（2）设过点3)5M 的动直线1与椭圆C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，证明：OA OB u u u r u u u r g为定值，并求出这个定值．【解答】解：（1）在圆E 中，令0y =可得3x =，所以由题意可得3c ， 由圆的方程可得圆的半径为74，所以由题意可得17|2PF =，连接2PF ，因为2F 在圆上，所以212PF F F ⊥， 又有12||23F F c ==，则221212491||||||1242PF PF F F -=-=， 由题意的定义可得：122||||a PF PF =+，可得2a =，2221b a c =-=，所以椭圆的方程为：2214x y +=；（2）当直线的斜率存在时设l 的斜率为k ，则l 的方程为：35y kx =+得： 2234()45x kx +=，即2238(14)8055k x kx ++-=， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则12238514kx x k +=+g ，12285(14)x x k =-+， 所以21212121212123333()()(1)()5555OA OB x x y y x x kx kx k x x k x x =+=++=+++u u u r u u u r g22228(1)2435(14)5(14)5k k k k +=--+++228(14)315(14)5k k +=-+=-+； 当直线l 的斜率不存在时，直线与y 轴重合，此时点(1,0)A -，(1,0)B ，1OA OB =-u u u r u u u rg， 综上所述：1OA OB =-u u u r u u u rg为定值．20．（12分）已知函数213()2(0)22f x lnx ax x a =+-+…．（1）讨论函数()f x 的极值点的个数；（2）若()f x 有两个极值点1x ，2x ，证明：12()()0f x f x +<．【解答】（1）解：2121()2ax x f x ax x x -+'=+-=，(0,)x ∈+∞．①当0a =时，21()x f x x -+'=．当1(0,)2x ∈时，()0f x '>，所以()f x 在1(0,)2上单调递增；当1(,)2x ∈+∞时，()0f x '<，所以()f x 在1(,)2+∞上单调递减．即函数()f x 只有一个极大值点12，无极小值点． ②当01a <<时，△440a =->， 令()0f x '=，得11ax ±-= 当1111()a ax --+-∈+∞U 时，()0f x '>， 所以()f x 在11)a --，11()a+-+∞上单调递增； 当1111(a ax --+-∈时，()0f x '<，所以()f x 在1111(a a--+-上单调递减．即函数()f x 11a --11a+- ③当1a …时，△440a =-„，此时()0f x '…恒成立， 即()f x 在(0,)+∞上单调递增，无极值点．综上所述，当0a =时，()f x 有且仅有一个极大值点，即只有1个极值点； 当01a <<时，()f x 有一个极大值点和一个极小值点，即有2个极值点；当1a …时，()f x 没有极值点．（2）证明：由（1）可知，当且仅当01a <<时，()f x 有两个极值点1x ，2x ，且1x ，2x 为方程2210ax x -+=的两根， 即122x x a +=，121x x a=， 所以2212121212214242()()()2()3()3222a a f x f x lnx x x x x x ln lna a a a a a+=++-++=+--+=--+．令2()2g a lna a=--+，(0,1)a ∈， 则22122()0ag a a a a-'=-+=>恒成立，所以g （a ）在(0,1)上单调递增， 所以g （a ）g <（1）1220ln =--+=， 即12()()0f x f x +<．21．（12分）湖南省会城市长沙又称星城，是楚文明和湖湘文化的发源地，是国家首批历史文化名城．城内既有岳麓山、橘子洲等人文景观，又有岳麓书院、马王堆汉墓等名胜古迹，每年都有大量游客来长沙参观旅游．为合理配置旅游资源，管理部门对首次来岳麓山景区游览的游客进行了问卷调查，据统计，其中13的人计划只游览岳麓山，另外23的人计划既游览岳麓山又参观马王堆．每位游客若只游览岳麓山，则记1分；若既游览岳麓山又参观马王堆，则记2分．假设每位首次来岳麓山景区游览的游客计划是否参观马王堆相互独立，视频率为概率．（1）从游客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X ，求X 的分布列和数学期望； （2）从游客中随机抽取n 人*()n N ∈，记这n 人的合计得分恰为1n +分的概率为n P ，求12n P P P ++⋯+；（3）从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为n 分的概率为n a ，随着抽取人数的无限增加，n a 是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，说明理由． 【解答】解：（1）据题意，每位游客计划不参观马王堆的概率为13，参加马王堆的概率为23，则X 的可能取值为3，4，5，6， 311(3)()327P X ===， 123212(4)()339P X C ===g g ，223214(5)()339P X C ===g g ，328(6)()327P X ===， X ∴的分布列为：124834565279927EX ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=． （2）Q 这n 人的合计得分为1n +分，则其中只有1人计划参观马王堆， 11212()333n n n n n P C -∴==g g ，设122324623333n n n nS P P P =++⋯+=+++⋯+， 则234112462(1)2333333n nn n nS +-=+++⋯++， ∴两式相减，得：2311111(1)222222223332113333333313n n n n n n n n n S +++-+=+++⋯+-=⨯-=--， 121323(1)23n n n n P P P S ++∴++⋯+==-． （3）在随机抽取的若干人的合计得分为1n -分的基础上再抽取1人， 则这些人的合计得分可能为n 分或1n +分，记“合计得n 分“为事件A ，“合计得1n +分”为事件B ，A 与B 是对立事件， P Q （A ）n a =，P （B ）123n a -=，1213n n a a -∴+=，(2)n …， 即1323()535n n a a --=--，(2)n …，Q 113a =，则数列3{}5n a -是首项为415-，公比为23-的等比数列，∴1342()5153n n a --=--，1342322()()5153553n nn a -∴=--=+-g ，20||13<-<Q ，则当n →∞时，2()03n -→，35n a ∴→，∴随着抽取人数的无限增加，n a 趋近于常数35．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，已知点P 的极坐标为(2,)2π，曲线C的极坐标方程为ρ=．以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系． （1）求点P 的直角坐标和曲线C 的直角坐标方程；（2）过点Pl ，交曲线C 于A ，B 两点，求||||PA PB g 的值．【解答】解：（1）已知点P 的极坐标为(2,)2π，转换为直角坐标为(0,2)．曲线C的极坐标方程为ρ=．转换为直角坐标方程为2214y x -=，（2）过点Pl，则直线的参数方程为12(2x t t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）． 把直线的参数方程代入2214y x -=，得到2214()(2)42t ⨯-=，即21804t --=， 所以1232t t =-，则：12||||||32PA PB t t ==g ． [选修4-5：不等式选讲] 23．已知函数()||2f x x =-．（1）求不等式(1)(2)1f x f x -++„的解集；（2）若||2a <，||2b <，证明：()22()f ab f a b +>+．【解答】解：（1）由(1)(2)1f x f x -++„，得|1||2|5x x -++„． 又21,1|1||2|3,2121,2x x x x x x x +⎧⎪-++=-<⎨⎪--<-⎩…„，∴2151x x +⎧⎨⎩„…或21x -<„或2152x x --⎧⎨<-⎩„，32x ∴-剟，∴不等式的解集为[3-，2]．（2）要证()22()f ab f a b +>+，只需证||2(||2)ab a b >+-，即证||42||ab a b +>+．||2a <Q ，||2b <，(||2)(||2)0a b ∴-->，||2(||||)40ab a b ∴-++>，即||42(||||)ab a b +>+．||||||a b a b ++Q …，||42||ab a b ∴+>+， ()22()f ab f a b ∴+>+成立．。

2020年河南省南阳一中、信阳、漯河、平顶山一中四校高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A＝{a﹣1，a+1}，B＝{1，2}，C＝{2，3}，若A∩B＝∅，且A∩C≠∅，则a＝（）A．1或3B．2或4C．0D．42．（5分）设复数z＝（a+i）（1﹣i）（a∈R），则复数z在复平面内对应的点不可能在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中x2的系数为（）A．280B．﹣280C．35D．﹣354．（5分）记[x]表示不超过x的最大整数，已知2a＝3b＝6c，则＝（）A．2B．3C．4D．55．（5分）函数的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论，其中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于“松竹并生”问题的一个程序框图，则计算机输出的结果是（）A．6B．5C．4D．37．（5分）在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的点，且，若，则λ＝（）A．B．﹣C．﹣D．﹣8．（5分）设点A、B分别在双曲线C：）的两条渐近线l1、l2上，且点A在第一象限，点B在第四象限，AB⊥l1，O为坐标原点，若|OA|、|AB|、|OB|成等差数列，则双曲线C的离心率为（）A．2B．C．D．9．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为和，图象在y轴上的截距为．关于函数f（x）有下列四个结论：①f（x）的最小正周期为π；②f（x）的最大值为2；①为f（x）的一个零点；④为偶函数．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．410．（5分）某单位有800名员工，工作之余，工会积极组织员工参与“日行万步”健身活动．经调查统计，得到全体员工近段时间日均健步走步数（单位：千步）的频率分布直方图如图所示．据直方图可以认为，该单位员工日均健步走步数近似服从正态分布，计算得其方差为6.25．由此估计，在这段时间内，该单位员工中日均健步走步数在2千步至4.5千步的人数约为（）附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）＝0.9974．A．103B．105C．107D．10911．（5分）小王想在某市一住宅小区买套新房，据了解，该小区有若干栋互相平行的平顶楼房，每栋楼房有15层，每层楼高为3米，顶楼有1米高的隔热层，两楼之间相距60米．小王不想买最前面和最后面的楼房，但希望所买楼层全年每天正午都能晒到太阳，为此，小王查找了有关地理资料，获得如下一些信息：①该市的纬度（地面一点所在球半径与赤道平面所成的角）为北纬36°34'；②正午的太阳直射北回归线（太阳光线与赤道平面所成的角为23°26'）时，物体的影子最短，直射南回归线（太阳光线与赤道平面所成的角为23°26'）时，物体的影子最长，那么小王买房的最低楼层应为（）A．3B．4C．5D．612．（5分）如图，在平面四边形ABCD中，AD⊥CD，△ABC是边长为3的正三角形．将该四边形沿对角线AC折成一个大小为120°的二面角D﹣AC﹣B，则四面体ABCD的外接球的表面积为（）A．12πB．13πC．14πD．15π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知数列{a n}满足a n+1﹣a n＝2（n∈N*），S n为数列{a n}的前n项和，若a10＝12，则S10＝．14．（5分）某中学高三年级共有36名教师，将每位教师按1～36编号，其年龄数据如表：编号123456789101112131415161718年龄404840413340454243363138394345393836编号192021222324252627282930313233343536年龄274341373442374442343945384253374939用系统抽样法从这36名教师中抽取一个容量为9的样本，已知在第一组用抽签法抽到的年龄数据为48，则抽取的9名教师年龄的中位数是．15．（5分）若过点A（a，0）的任意一条直线都不与曲线C：y＝xe x相切，则a的取值范围是．16．（5分）在△ABC中，已知顶点A（0，1），顶点B、C在x轴上移动，且|BC|＝2，设点M为△ABC的外接圆圆心，则点M到直线l：2x﹣2y﹣5＝0的距离的最小值为．三、解答题：本大题共7个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且有cos2A+cos A cos（C﹣B）＝sin B sin C．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若△ABC的内切圆面积为π，当•的值最小时，求△ABC的面积．18．（12分）如图，在矩形ABCD中，点E为边AD上的点，点F为边CD的中点，AB＝AE＝，现将△ABE沿BE边折至△PBE位置，且平面PBE⊥平面BCDE．（Ⅰ）求证：平面PBE⊥平面PEF；（Ⅱ）求二面角E﹣PF﹣C的大小．19．（12分）如图，已知椭圆与圆E：在第一象限相交于点P，椭圆C的左、右焦点F1，F2都在圆E上，且线段PF1为圆E的直径．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点的动直线1与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，证明：为定值，并求出这个定值．20．（12分）已知函数f（x）＝lnx+（a≥0）．（1）讨论函数f（x）的极值点的个数；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＜0．21．（12分）湖南省会城市长沙又称星城，是楚文明和湖湘文化的发源地，是国家首批历史文化名城．城内既有岳麓山、橘子洲等人文景观，又有岳麓书院、马王堆汉墓等名胜古迹，每年都有大量游客来长沙参观旅游．为合理配置旅游资源，管理部门对首次来岳麓山景区游览的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人计划只游览岳麓山，另外的人计划既游览岳麓山又参观马王堆．每位游客若只游览岳麓山，则记1分；若既游览岳麓山又参观马王堆，则记2分．假设每位首次来岳麓山景区游览的游客计划是否参观马王堆相互独立，视频率为概率．（1）从游客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望；（2）从游客中随机抽取n人（n∈N*），记这n人的合计得分恰为n+1分的概率为P n，求P1+P2+…+P n；（3）从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为n分的概率为a n，随着抽取人数的无限增加，a n是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，说明理由．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，已知点P的极坐标为，曲线C的极坐标方程为ρ＝．以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．（1）求点P的直角坐标和曲线C的直角坐标方程；（2）过点P作斜率为的直线l，交曲线C于A，B两点，求|P A|•|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x|﹣2．（1）求不等式f（x﹣1）+f（x+2）≤1的解集；（2）若|a|＜2，|b|＜2，证明：f（ab）+2＞2f（a+b）．2020年河南省南阳一中、信阳、漯河、平顶山一中四校高考数学模拟试卷（理科）（3月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A＝{a﹣1，a+1}，B＝{1，2}，C＝{2，3}，若A∩B＝∅，且A∩C≠∅，则a＝（）A．1或3B．2或4C．0D．4【解答】解：∵集合A＝{a﹣1，a+1}，B＝{1，2}，C＝{2，3}，A∩B＝∅，且A∩C≠∅，∴3∈A，若a﹣1＝3，则a＝4，此时A＝{3，5}，符合要求；若a+1＝3，则a＝2，此时A＝{1，3}，A∩B＝{1}，不合题意，∴a＝4．故选：D．2．（5分）设复数z＝（a+i）（1﹣i）（a∈R），则复数z在复平面内对应的点不可能在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵复数z＝（a+i）（1﹣i）（a∈R），设复数z在复平面内对应点的坐标为（x，y），则，消去参数a，得点P的轨迹方程为x+y＝2，∴点P不可能在第三象限．故选：C．3．（5分）已知的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中x2的系数为（）A．280B．﹣280C．35D．﹣35【解答】解：由题意，2n＝128，得n＝7．∴（2x2﹣）n＝（2x2﹣）7，其二项展开式的通项T r+1＝•（2x2）7﹣r•（﹣x﹣1）r＝（﹣1）r•27﹣r••x14﹣3r；由14﹣3r＝2得r＝4，∴展开式中含x2项的系数是（﹣1）423•＝280．故选：A．4．（5分）记[x]表示不超过x的最大整数，已知2a＝3b＝6c，则＝（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：由已知可得：alg2＝clg6，blg3＝clh6，则：＝2+，又，∴＝4，故选：C．5．（5分）函数的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：＝2x﹣+1的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）．∴f′（x）＝2x ln2+＞0恒成立成立，∴f（x）在（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）单调递增，当x＞x0时，f′（x）＞0，函数单调递增，故排除C，D，当x→﹣∞时，2x→0，→1，∴f（x）→1，故排除B，故选：A．6．（5分）元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论，其中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于“松竹并生”问题的一个程序框图，则计算机输出的结果是（）A．6B．5C．4D．3【解答】解：模拟程序的运行，可得第一次执行循环体，可得a＝64+＝96，b＝2×27＝54，此时a＞b；第二次执行循环体，可得a＝96+＝144，b＝2×54＝108，此时a＞b；第三次执行循环体，可得a＝144+＝216，b＝2×108＝216，此时a＝b，终止循环，输出n的值为3．故选：D．7．（5分）在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的点，且，若，则λ＝（）A．B．﹣C．﹣D．﹣【解答】解：如图，设，且，则：＝＝＝＝＝，∵，∴，解得．故选：A．8．（5分）设点A、B分别在双曲线C：）的两条渐近线l1、l2上，且点A在第一象限，点B在第四象限，AB⊥l1，O为坐标原点，若|OA|、|AB|、|OB|成等差数列，则双曲线C的离心率为（）A．2B．C．D．【解答】解：因为|OA|、|AB|、|OB|成等差数列，所以|OA|+|OB|＝2|AB|，如图所示：设l1的倾斜角为α，因为OA⊥AB，则|OA|＝|OB|cos2α，|AB|＝|OB|sin2α，于是cos2α+1＝2sin2α，即2cos2α＝4sinα•cosα得tanα＝，即＝，所以离心率e＝＝＝，故选：B．9．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为和，图象在y轴上的截距为．关于函数f（x）有下列四个结论：①f（x）的最小正周期为π；②f（x）的最大值为2；①为f（x）的一个零点；④为偶函数．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：根据函数的图象：，所以ω＝2．由于φ＝，解得φ＝．由f（0）＝，整理得，解得A＝2．当x＝﹣时，f（﹣）＝2sin（）＝0，故为f（x）的一个零点．由于f（x）＝2sin（2x+），所以f（x+）＝2sin（2x+）＝2sin（2x+）不是偶函数．故结论①②③正确．故选：C．10．（5分）某单位有800名员工，工作之余，工会积极组织员工参与“日行万步”健身活动．经调查统计，得到全体员工近段时间日均健步走步数（单位：千步）的频率分布直方图如图所示．据直方图可以认为，该单位员工日均健步走步数近似服从正态分布，计算得其方差为6.25．由此估计，在这段时间内，该单位员工中日均健步走步数在2千步至4.5千步的人数约为（）附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）＝0.9974．A．103B．105C．107D．109【解答】解：由频率分布直方图估计其均值μ＝1×0.04+3×0.08+5×0.16+7×0.44+9×0.16+11×0.1+13×0.02＝6.96≈7．设日均健步数为X，则X～N（7，6.25），∵a＝2.5，则μ﹣σ＝4.5，μ﹣2σ＝2，∴P（2≤X≤4.5）＝（0.9544﹣0.6826）＝0.1359，∵800×0.1359≈109．∴日均健步走步数在2千步至4.5千步的人数约为109人．故选：D．11．（5分）小王想在某市一住宅小区买套新房，据了解，该小区有若干栋互相平行的平顶楼房，每栋楼房有15层，每层楼高为3米，顶楼有1米高的隔热层，两楼之间相距60米．小王不想买最前面和最后面的楼房，但希望所买楼层全年每天正午都能晒到太阳，为此，小王查找了有关地理资料，获得如下一些信息：①该市的纬度（地面一点所在球半径与赤道平面所成的角）为北纬36°34'；②正午的太阳直射北回归线（太阳光线与赤道平面所成的角为23°26'）时，物体的影子最短，直射南回归线（太阳光线与赤道平面所成的角为23°26'）时，物体的影子最长，那么小王买房的最低楼层应为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：依题意：α＝36°34′+23°26′＝60°，则太阳光与地面的夹角为θ＝90°﹣60°＝30°．如图所示：（1）（2）根据题意，得到每栋楼从地面到楼顶的高度为46米．在图（2）中，设AB＝46，BD＝60，∠AEB＝30°，所以在Rt△ABE中，BE＝，在Rt△CDE中，DE＝BE﹣BD＝46，所以CD＝DE tan30°＝46﹣20≈11.36所以中间的楼房距离地面约11.36米的部分，有些天正午不能晒到太阳．所以，小王买房的最底层应为5层，故选：C．12．（5分）如图，在平面四边形ABCD中，AD⊥CD，△ABC是边长为3的正三角形．将该四边形沿对角线AC折成一个大小为120°的二面角D﹣AC﹣B，则四面体ABCD的外接球的表面积为（）A．12πB．13πC．14πD．15π【解答】解：设四面体ABCD的外接球的球心为O点．取AC的中点E，连接BE，上点M为正△ABC的中心，则OM⊥平面ABC．∵AD⊥DC，则点E为△ACD的外心．∴OE⊥平面ACD．∵二面角D﹣AC﹣B的大小为120°，∴∠OEB＝30°．∵△ABC是边长为3的正三角形，则BE＝．∴ME＝．在△OME中，OE＝＝1．在Rt△AEO中，OA＝＝．∴四面体ABCD的外接球的表面积S＝4π×＝13π．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知数列{a n}满足a n+1﹣a n＝2（n∈N*），S n为数列{a n}的前n项和，若a10＝12，则S10＝30．【解答】解：数列{a n}满足a n+1﹣a n＝2（n∈N*），可得数列{a n}为等差数列，公差为d＝2，∵a10＝12，∴a1+18＝12，解得a1＝﹣6，则S10＝﹣60+45×2＝30．故答案为：30．14．（5分）某中学高三年级共有36名教师，将每位教师按1～36编号，其年龄数据如表：编号123456789101112131415161718年龄404840413340454243363138394345393836编号192021222324252627282930313233343536年龄274341373442374442343945384253374939用系统抽样法从这36名教师中抽取一个容量为9的样本，已知在第一组用抽签法抽到的年龄数据为48，则抽取的9名教师年龄的中位数是40．【解答】解：讲36人分成9组，每组4人，因为在第一组抽取的教师年龄为48，其编号为2，在所有样本数据的编号为2，6，10，14，18，22，26，30，34，对应的年龄分别为48，40，36，43，36，37，44，45，37，讲这9个数从小到达排序可得36，36，37，37，40，43，44，45，48，故中位数为40，故答案为：40．15．（5分）若过点A（a，0）的任意一条直线都不与曲线C：y＝xe x相切，则a的取值范围是（﹣4，0）．【解答】解：设点B（）为曲线C上任意一点，∵y′＝e x+xe x＝（x+1）e x，则曲线C在点B处的切线方程为，根据题意，切线l不经过点A，则关于x0的方程，即无实根．∴△＝a2+4a＜0，解得﹣4＜a＜0．∴a的取值范围是（﹣4，0）．故答案为：（﹣4，0）．16．（5分）在△ABC中，已知顶点A（0，1），顶点B、C在x轴上移动，且|BC|＝2，设点M为△ABC的外接圆圆心，则点M到直线l：2x﹣2y﹣5＝0的距离的最小值为．【解答】解：如图，设点M（x，y），取BC的中点D，连结MD，则MD⊥BC，且|BD|＝1，|MD|＝|y|，因为|MA|＝|MB|，则x2+（y﹣1）2＝y2+1，即x2＝2y，则点M到直线l的距离d＝＝＝，所以当x＝1时，d取最小值，故答案为：．三、解答题：本大题共7个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且有cos2A+cos A cos（C﹣B）＝sin B sin C．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若△ABC的内切圆面积为π，当•的值最小时，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）因为在△ABC中有cos2A+cos A cos（C﹣B）＝sin B sin C，则cos A[cos A+cos（C﹣B）]＝sin B sin C，所以cos A[﹣cos（C+B）+cos（C﹣B）]＝sin B sin C，即2cos A sin B sin C＝sin B sin C，即cos A＝，又A∈（0，π），故A＝；（Ⅱ）由△ABC的内切圆面积为π，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣bc，由题意可知△ABC的内切圆半径为1，如图，设圆I为三角形ABC的内切圆，D，E为切点，可得AI＝2，AD＝AE＝，则b+c﹣a＝2，于是（b+c﹣2）2＝b2+c2﹣bc，化简得4+bc＝4（b+c）≥8，所以bc≥12或bc≤，又b＞，c＞，所以bc≥12，即•＝bc∈[6，+∞），当且仅当b＝c时，•的最小值为6，此时三角形ABC的面积：bc sin A＝×12×sin＝3．18．（12分）如图，在矩形ABCD中，点E为边AD上的点，点F为边CD的中点，AB＝AE＝，现将△ABE沿BE边折至△PBE位置，且平面PBE⊥平面BCDE．（Ⅰ）求证：平面PBE⊥平面PEF；（Ⅱ）求二面角E﹣PF﹣C的大小．【解答】（I）证明：在Rt&△DEF中，∵ED＝DF，∴∠DEF＝45°，在Rt△ABE中，∵AE＝AB，∴∠AEB＝45°，∴∠BEF＝90°，∴EF⊥BE，（3分）∵平面PBE⊥平面BCDE，且平面PBE∩平面BCDE＝BE，∴EF⊥平面PBE，∵EF⊂平面PEF，∴平面PBE⊥平面PEF．（6分）（II）解：由题意，不妨设AD＝3，以D为原点，以DC方向为x轴，以ED方向为y轴，以与平面EBCD向上的法向量同方向为z轴，建立坐标系．（7分）∵在矩形ABCD中，点E为边AD上的点，点F为边CD的中点，AB＝AE＝，∴，∴．设平面PEF和平面PCF的法向量分别为＝（x1，y1，z1），＝（x2，y2，z2）．由及，得到，∴＝．又由•及•，得到，∴＝，（9分），（11分）综上所述，二面角E﹣PF﹣C大小为150°．（12分）19．（12分）如图，已知椭圆与圆E：在第一象限相交于点P，椭圆C的左、右焦点F1，F2都在圆E上，且线段PF1为圆E的直径．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点的动直线1与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，证明：为定值，并求出这个定值．【解答】解：（1）在圆E中，令y＝0可得x＝，所以由题意可得c＝，由圆的方程可得圆的半径为，所以由题意可得PF1|＝，连接PF2，因为F2在圆上，所以PF2⊥F1F2，又有|F1F2|＝2c＝2，则|PF1|＝＝＝，由题意的定义可得：2a＝|PF1|+|PF2|，可得a＝2，b2＝a2﹣c2＝1，所以椭圆的方程为：+y2＝1；（2）当直线的斜率存在时设l的斜率为k，则l的方程为：y＝kx+，代入椭圆的方程可得：x2+4（kx+）2＝4，即（1+4k2）x2+8kx﹣＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣，所以＝x1x2+y1y2＝x1x2+（kx1+）（kx2+）＝（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+＝﹣﹣+＝﹣+＝﹣1；当直线l的斜率不存在时，直线与y轴重合，此时点A（﹣1，0），B（1，0），＝﹣1，综上所述：＝﹣1为定值．20．（12分）已知函数f（x）＝lnx+（a≥0）．（1）讨论函数f（x）的极值点的个数；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＜0．【解答】（1）解：＝，x∈（0，+∞）．①当a＝0时，．当时，f'（x）＞0，所以f（x）在上单调递增；当时，f'（x）＜0，所以f（x）在上单调递减．即函数f（x）只有一个极大值点，无极小值点．②当0＜a＜1时，△＝4﹣4a＞0，令f'（x）＝0，得．当时，f'（x）＞0，所以f（x）在，上单调递增；当时，f'（x）＜0，所以f（x）在上单调递减．即函数f（x）有一个极大值点，有一个极小值点．③当a≥1时，△＝4﹣4a≤0，此时f'（x）≥0恒成立，即f（x）在（0，+∞）上单调递增，无极值点．综上所述，当a＝0时，f（x）有且仅有一个极大值点，即只有1个极值点；当0＜a＜1时，f（x）有一个极大值点和一个极小值点，即有2个极值点；当a≥1时，f（x）没有极值点．（2）证明：由（1）可知，当且仅当0＜a＜1时，f（x）有两个极值点x1，x2，且x1，x2为方程ax2﹣2x+1＝0的两根，即，，所以＝＝．令，a∈（0，1），则恒成立，所以g（a）在（0，1）上单调递增，所以g（a）＜g（1）＝﹣ln1﹣2+2＝0，即f（x1）+f（x2）＜0．21．（12分）湖南省会城市长沙又称星城，是楚文明和湖湘文化的发源地，是国家首批历史文化名城．城内既有岳麓山、橘子洲等人文景观，又有岳麓书院、马王堆汉墓等名胜古迹，每年都有大量游客来长沙参观旅游．为合理配置旅游资源，管理部门对首次来岳麓山景区游览的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人计划只游览岳麓山，另外的人计划既游览岳麓山又参观马王堆．每位游客若只游览岳麓山，则记1分；若既游览岳麓山又参观马王堆，则记2分．假设每位首次来岳麓山景区游览的游客计划是否参观马王堆相互独立，视频率为概率．（1）从游客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望；（2）从游客中随机抽取n人（n∈N*），记这n人的合计得分恰为n+1分的概率为P n，求P1+P2+…+P n；（3）从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为n分的概率为a n，随着抽取人数的无限增加，a n是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，说明理由．【解答】解：（1）据题意，每位游客计划不参观马王堆的概率为，参加马王堆的概率为，则X的可能取值为3，4，5，6，P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝＝，P（X＝5）＝＝，P（X＝6）＝（）3＝，∴X的分布列为：X3456P∴EX＝＝5．（2）∵这n人的合计得分为n+1分，则其中只有1人计划参观马王堆，∴P n＝＝，设S n＝P1+P2+…+P n＝+，则＝+…++，∴两式相减，得：＝﹣＝2×﹣＝1﹣，∴P1+P2+…+P n＝S n＝（1﹣）．（3）在随机抽取的若干人的合计得分为n﹣1分的基础上再抽取1人，则这些人的合计得分可能为n分或n+1分，记“合计得n分“为事件A，“合计得n+1分”为事件B，A与B是对立事件，∵P（A）＝a n，P（B）＝，∴a n+，（n≥2），即，（n≥2），∵，则数列{}是首项为﹣，公比为﹣的等比数列，∴＝﹣（﹣）n﹣1，∴a n＝﹣（﹣）n﹣1＝，∵0＜|﹣|＜1，则当n→∞时，（﹣）n→0，∴a n→，∴随着抽取人数的无限增加，a n趋近于常数．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，已知点P的极坐标为，曲线C的极坐标方程为ρ＝．以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．（1）求点P的直角坐标和曲线C的直角坐标方程；（2）过点P作斜率为的直线l，交曲线C于A，B两点，求|P A|•|PB|的值．【解答】解：（1）已知点P的极坐标为，转换为直角坐标为（0，2）．曲线C的极坐标方程为ρ＝．转换为直角坐标方程为，（2）过点P作斜率为的直线l，则直线的参数方程为（t为参数）．把直线的参数方程代入，得到4×，即，所以t1t2＝﹣32，则：|P A|•|PB|＝|t1t2|＝32．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x|﹣2．（1）求不等式f（x﹣1）+f（x+2）≤1的解集；（2）若|a|＜2，|b|＜2，证明：f（ab）+2＞2f（a+b）．【解答】解：（1）由f（x﹣1）+f（x+2）≤1，得|x﹣1|+|x+2|≤5．又|x﹣1|+|x+2|＝，∴或﹣2≤x＜1或，∴﹣3≤x≤2，∴不等式的解集为[﹣3，2]．（2）要证f（ab）+2＞2f（a+b），只需证|ab|＞2（|a+b|﹣2），即证|ab|+4＞2|a+b|．∵|a|＜2，|b|＜2，∴（|a|﹣2）（|b|﹣2）＞0，∴|ab|﹣2（|a|+|b|）+4＞0，即|ab|+4＞2（|a|+|b|）．∵|a|+|b|⩾|a+b|，∴|ab|+4＞2|a+b|，∴f（ab）+2＞2f（a+b）成立．。

河南省平顶山市鲁山第一高级中学2019-2020学年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合，，若，则实数的取值范围为（）A．(4,+∞) B．[4,+∞) C．(－∞,4) D．(－∞,4]参考答案：B2. 已知命题P：?x∈R，e x﹣x﹣1＞0，则￢P是（）A．?x∈R，e x﹣x﹣1＜0 B．?x0∈R，e﹣x0﹣1≤0C．?x0∈R，e﹣x0﹣1＜0 D．?x∈R，e x﹣x﹣1≤0参考答案：B【考点】命题的否定．【专题】计算题；规律型；简易逻辑．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题P：?x∈R，e x﹣x﹣1＞0，则￢P是?x0∈R，e﹣x0﹣1≤0．故选：B．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．3. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限参考答案：B略4. 已知函数：①，②，③.则以下四个命题对已知的三个函数都能成立的是命题是奇函数；命题在上是增函数；命题；命题的图像关于直线对称A．命题 B．命题 C．命题 D．命题参考答案：C当时，函数不是奇函数，所以命题不能使三个函数都成立，排除A,D.①成立；②成立；③成立，所以命题能使三个函数都成立，所以选C.5. 设函数的零点为的零点为，若可以是A. B.C. D.参考答案：D6. 在四边形ABCD中， =0，且，则四边形ABCD是（）A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形参考答案：C【考点】相等向量与相反向量．【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用．【分析】由=0，得AB⊥BC，由，得AB DC，由此能判断四边形ABCD的形状．【解答】解：在四边形ABCD中，∵=0，∴AB⊥BC，∵，∴AB DC，∴四边形ABCD是矩形．故选：C．【点评】本题考查四边形形状的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直和向量相等的性质的合理运用．7. 计算（A）（B）（C）（D）参考答案：D8. 已知实数，则“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件参考答案：B【分析】首先解出的等价条件，然后根据充分条件与必要条件的定义进行判定。

河南省平顶山市舞钢第一高级中学2021年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已如定义在R上的函数f(x)的周期为6．且，则（）A. 11B.C. 7D.参考答案：A【分析】利用函数是周期函数这一性质求得和.【详解】根据的周期是6，故，，所以,故选A.【点睛】此题考查周期函数的性质，属于基础题.2.设双曲线的半焦距为c，离心率为.若直线与双曲线的一个交点的横坐标恰为c，则k等于（）A． B． C． D．参考答案：答案：C3. 已知空间向量，.若⊥，则（）A. －10B. －2C.2D.10 参考答案：C⊥，所以，解得4. 设非空集合同时满足下列两个条件：①；②若，则，.则下列结论正确的是（A）若为偶数，则集合的个数为个；（B）若为偶数，则集合的个数为个；（C）若为奇数，则集合的个数为个；（D）若为奇数，则集合的个数为个.参考答案：B5. 已知点点是线段的等分点，则等于A．B．C．D．参考答案：C由定比分点公式：同理可得，，。

6. 已知是定义在上的函数，且满足,．若曲线在处的切线方程为，则曲线在处的切线方程为A ．B ．C ．D ．参考答案：D 【知识点】函数的图象与性质 B4 B8 由题意可知函数为偶函数，且函数关系对称，所以函数的周期为4，又根据处的切线方程为，可知处的切线方程为，所以向右平移4个单位可得在处的切线方程.【思路点拨】根据函数的性质可判定函数的对称轴与周期，再经过图象的平移可得到切线方程. 7. 设p ：f （x ）=1nx+ 2x 2+ mx +1在（o ，+）内单调递增，q ：m≥-5，则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件参考答案：A，由，得。

因为，所以，所以，即，所以p 是q 的充分不必要条件，选A. 8. 已知为第二象限的角，，则是的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件参考答案：A试题分析：成立，因为第二象限角正弦大于零，余弦小于零；不成立，如，但是第一象限角，故是的充分不必要条件.考点：1.充要条件；2.三角函数.9. 已知集合，则（ ）A ．(0,3]B ．[3,π)C ．[－1,π)D ．[－1,0)参考答案：A10. 双曲线的一个焦点到它的渐近线的距离为（ ） A.1 B. C.D.2参考答案： C 略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 对正整数n ，设曲线y=（2﹣x ）x n 在x=3处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列的前n项和等于．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先求出x=3时曲线表示函数的导函数，进而可知切线方程，令x=0进而求得数列的通项公式，再由等比数列的求和公式，求得答案．【解答】解：∵y=（2﹣x ）x n的导数为y′=﹣x n+n （2﹣x ）x n ﹣1， y'|x=3=﹣3n﹣n?3n ﹣1=﹣3n ﹣1（n+3），∴切线方程为：y+3n =﹣3n ﹣1（n+3）（x ﹣3），令x=0，切线与y 轴交点的纵坐标为a n =（n+2）?3n ，所以=3n，则数列{}的前n 项和S n ==．故答案为：．12. 设函数______.参考答案：令得，即。

2020年高考模拟试卷高考数学一模试卷（理科）一、选择题1．复数等于（）A．1+i B．﹣1+i C．1﹣i D．﹣1﹣i2．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin（x+φ）+k．据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（）A．5B．6C．8D．103．△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若＝，＝，||＝1，||＝2，则＝（）A．+B．+C．+D．+4．干支纪年历法（农历），是屹立于世界民族之林的科学历法之一，与国际公历历法并存．黄帝时期，就有了使用六十花甲子的干支纪年历法．干支是天干和地支的总称，把干支顺序相配正好六十为一周期，周而复始，循环记录．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支．受此周期律的启发，可以求得函数f（x）＝sin+cos3x的最小正周期为（）A．15πB．12πC．6πD．3π5．如图所示是计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率q的程序框图，则图中空白框内应填入（）A．q＝B．q＝C．q＝D．q＝6．设函数f（x）＝，若f（a）＞f（﹣a），则实数a的取值范围是（）A．（，0）∪（，+∞）B．（﹣∞，）∪（，+∞）C．（，0）∪（0，）D．（﹣∞，）∪（0，）7．若直线+＝1（a＞0，b＞0）过点（2，1），则2a+b的最小值为（）A．10B．9C．8D．68．已知O为坐标原点，F是椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．9．对于复数a，b，c，d，若集合S＝{a，b，c，d}具有性质“对任意x，y∈S，必有xy∈S”，则当时，b+c+d等于（）A．1B．﹣1C．0D．i10．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，AB＝AD＝1，CD＝2．沿BD将ABCD折成60°的二面角A﹣BD﹣C，则折后直线AC与平面BCD所成角的正弦值为（）A．B．C．D．11．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（）A．152B．126C．90D．5412．已知函数f（x）＝x﹣ln（x+1）对x∈[0，+∞）有f（x）≤kx2成立，则k的最小值为（）A．1B．C．e D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在区域{（x，y）|x∈[0，1]，y∈[0，1]}内任取一点P（x，y），能满足y≤的概率为．14．在△ABC中，2a sin A＝（2b+c）sin B+（2c+b）sin C，其中a，b，c分别为内角A，B，C的对边，则角A的大小为．15．平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线C2：x2＝2py（p＞0）交于点O，A，B，且△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为；如果C1与C2在第一象限内有且只有一个公共点，且a＝，那么C2的方程为．16．设圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为1，那么该圆锥体积的最小值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22.23题为选考题，考生根据要求作答．（-）必考题：60分．17．已知数列{a n}满足a n+1＝3a n﹣2a n﹣1（n≥2，n∈N*），且a1＝1，a2＝3．（1）求证：数列{a n+1﹣a n}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）记b n＝（n+1）a n，求数列{b n}的前n项和S n．18．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是BB1的中点．（1）求证：截面AEC1⊥侧面AC1；（2）若AA1＝A1B1＝1，求B1到平面AEC1的距离．19．一款手游，页面上有一系列的伪装，其中隐藏了4个宝藏．如果你在规定的时间内找到了这4个宝藏，将会弹出下一个页面，这个页面仍隐藏了2个宝藏，若能在规定的时间内找到这2个宝藏，那么闯关成功，否则闯关失败，结束游戏；如果你在规定的时间内找到了3个宝藏，仍会弹出下一个页面，但这个页面隐藏了4个宝藏，若能在规定的时间内找到这4个宝藏，那么闯关成功，否则闯关失败，结束游戏；其它情况下，不会弹出下一个页面，闯关失败，并结束游戏．假定你找到任何一个宝藏的概率为，且能否找到其它宝藏相互独立．（1）求闯关成功的概率；（2）假定你付1个Q币游戏才能开始，能进入下一个页面就能获得2个Q币的奖励，闯关成功还能获得另外4个Q币的奖励，闯关失败没有额外的奖励．求一局游戏结束，收益的Q币个数X的数学期望（收益＝收入﹣支出）．20．已知动圆过定点A（4，0），且在y轴上截得的弦MN的长为8．（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；（2）已知点B（﹣1，0），长为的线段PQ的两端点在轨迹C上滑动．当x轴是∠PBQ的角平分线时，求直线PQ的方程．21．设函数f（x）＝αx+1+lnx（a∈R为常数）．（1）讨论函数f（x）可能取得的最大值或最小值；（2）已知x＞0时，f（x）≤xe x恒成立，求a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22.23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ＝．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）设l与C相交于A，B两点，定点M（，0），求﹣的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|ax|（x2﹣4）﹣|x﹣2|（x+1）．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）若∃x∈（2，+∞），使得不等式f（x）＜0成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题；本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数等于（）A．1+i B．﹣1+i C．1﹣i D．﹣1﹣i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：＝＝．故选：D．2．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin（x+φ）+k．据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（）A．5B．6C．8D．10【分析】由题意和最小值易得k的值，进而可得最大值．解：由题意可得当sin（x+φ）取最小值﹣1时，函数取最小值y min＝﹣3+k＝2，解得k＝5，∴y＝3sin（x+φ）+5，∴当当sin（x+φ）取最大值1时，函数取最大值y max＝3+5＝8，故选：C．3．△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若＝，＝，||＝1，||＝2，则＝（）A．+B．+C．+D．+【分析】由△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，根据三角形内角平分线定理，我们易得到，我们将后，将各向量用，表示，即可得到答案．解：∵CD为角平分线，∴，∵，∴，∴故选：B．4．干支纪年历法（农历），是屹立于世界民族之林的科学历法之一，与国际公历历法并存．黄帝时期，就有了使用六十花甲子的干支纪年历法．干支是天干和地支的总称，把干支顺序相配正好六十为一周期，周而复始，循环记录．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支．受此周期律的启发，可以求得函数f（x）＝sin+cos3x的最小正周期为（）A．15πB．12πC．6πD．3π【分析】直接利用函数的性质的应用求出结果．解：函数f（x）＝sin+cos3x的最小正周期相当于函数y＝sin的最小正周期与函数y＝cos3x的最小正周期的最小公倍数．故答案为6π．故选：C．5．如图所示是计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率q的程序框图，则图中空白框内应填入（）A．q＝B．q＝C．q＝D．q＝【分析】通过题意与框图的作用，即可判断空白框内应填入的表达式．解：由题意以及框图可知，计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率q 的程序框图，所以输出的结果是及格率，所以图中空白框内应填入q＝．故选：D．6．设函数f（x）＝，若f（a）＞f（﹣a），则实数a的取值范围是（）A．（，0）∪（，+∞）B．（﹣∞，）∪（，+∞）C．（，0）∪（0，）D．（﹣∞，）∪（0，）【分析】对a分情况讨论，分别得到对数不等式，再利用对数函数的性质即可得到关于a的不等式，解出a的范围即可．解：①当a＞0时，﹣a＜0，由f（a）＞f（﹣a）得：，∴，∴，∴，又a＞0，∴解得：a＞，②当a＜0时，﹣a＞0，由f（a）＞f（﹣a）得：，∴，∴，又a＜0，解得：，故选：A．7．若直线+＝1（a＞0，b＞0）过点（2，1），则2a+b的最小值为（）A．10B．9C．8D．6【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出解：由题意可得，，则2a+b＝（2a+b）（）＝5+≥5+4＝9，当且仅当且，即a＝b＝3时取等号，此时取得最小值9．故选：B．8．已知O为坐标原点，F是椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为y＝k（x+a），分别令x ＝﹣c，x＝0，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值．解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），设直线AE的方程为y＝k（x+a），令x＝﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x＝0，可得E（0，ka），设OE的中点为H，可得H（0，），由B，H，M三点共线，可得k BH＝k BM，即为＝，化简可得＝，即为a＝3c，可得e＝＝．另解：由△AMF∽△AEO，可得＝，由△BOH∽△BFM，可得＝＝，即有＝即a＝3c，可得e＝＝．故选：A．9．对于复数a，b，c，d，若集合S＝{a，b，c，d}具有性质“对任意x，y∈S，必有xy∈S”，则当时，b+c+d等于（）A．1B．﹣1C．0D．i【分析】直接求解比较麻烦，它是选择题可以取特殊值验证．解：由题意，可取a＝1，b＝﹣1，c2＝﹣1，c＝i，d＝﹣i，或c＝﹣i，d＝i，所以b+c+d ＝﹣1+i+﹣i＝﹣1，故选：B．10．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，AB＝AD＝1，CD＝2．沿BD将ABCD折成60°的二面角A﹣BD﹣C，则折后直线AC与平面BCD所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【分析】作出图形，分析可知AF⊥平面BCD，进而得到∠ACF为直线AC与平面BCD 的所成角，由此转化到三角形中求解．解：取BD，CD的中点分别为O，E，连接OE，取OE的中点F，连接CF，AF，由AB＝AD，且O为BD中点可知OA⊥BD，又在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，AB＝AD＝1，CD＝2，∴，∴BD2+BC2＝CD2，则BC⊥BD，∴OE⊥BD，又OA⊥BD，∴∠AOE即为二面角A﹣BD﹣C的平面角，则∠AOE＝60°，又，∴△AOE为正三角形，∴AF⊥OE，又BD⊥OA，BD⊥OE，OA∩OE＝O，∴BD⊥平面AOE，∴BD⊥AF，又OE∩BD＝O，∴AF⊥平面BCD，∴∠ACF为直线AC与平面BCD的所成角，又，，∴，∴．故选：B．11．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（）A．152B．126C．90D．54【分析】根据题意，按甲乙的分工情况不同分两种情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一，②甲乙不同时参加一项工作；分别由排列、组合公式计算其情况数目，进而由分类计数的加法公式，计算可得答案．解：根据题意，分情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一：C31×A33＝18种；②甲乙不同时参加一项工作，进而又分为2种小情况；1°丙、丁、戊三人中有两人承担同一份工作，有A32×C32×A22＝3×2×3×2＝36种；2°甲或乙与丙、丁、戊三人中的一人承担同一份工作：A32×C31×C21×A22＝72种；由分类计数原理，可得共有18+36+72＝126种，故选：B．12．已知函数f（x）＝x﹣ln（x+1）对x∈[0，+∞）有f（x）≤kx2成立，则k的最小值为（）A．1B．C．e D．【分析】当k≤0时，取x＝1，有f（1）＝1﹣ln2＞0，故k≤0不符合题意，所以k＞0，构造函数g（x）＝f（x）﹣kx2，利用导数求出函数g（x）的最小值小于0即可．解：①当k≤0时，取x＝1，有f（1）＝1﹣ln2＞0，故k≤0不符合题意，②当k＞0时，令g（x）＝f（x）﹣kx2，即g（x）＝x﹣ln（x+1）﹣kx2，∴g'（x）＝1﹣＝﹣，令g'（x）＝0，可得x1＝0，x2＝＞﹣1，（i）当k时，，g'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，g（x）在[0，+∞）上单调递减，∴g（x）≤g（0）＝0，∴对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，（ii）当0＜k＜时，x2＝＞0，在（0，）上，g'（x）＞0，g（x）单调递增；在（，+∞）上，g'（x）＜0，g（x）单调递减，因此存在使得g（x0）≥g（0）＝0，可得，即f（x0），与题矛盾，∴综上所述，k时，对x∈[0，+∞）有f（x）≤kx2成立，则k的最小值为，故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在区域{（x，y）|x∈[0，1]，y∈[0，1]}内任取一点P（x，y），能满足y≤的概率为．【分析】利用“测度”求概率，本例的测度即为区域的面积，故只要求出题中两个区域：由不等式组表示的区域和满足y≤的点构成的区域的面积后再求它们的比值，解：其构成的区域如图所示的边长为1的正方形，面积为S1＝1，满足y≤所表示的平面区域是以（1，0）为圆心，以1为半径的半圆，其面积为S2＝，∴在区域内随机取一个点P，则能满足y≤的概率P＝，故答案为：14．在△ABC中，2a sin A＝（2b+c）sin B+（2c+b）sin C，其中a，b，c分别为内角A，B，C的对边，则角A的大小为．【分析】由正弦定理，角化边得a2＝b2+c2+cb，再利用余弦定理即可求出结果．解：∵2a sin A＝（2b+c）sin B+（2c+b）sin C，∴由正弦定理，角化边得：2a2＝（2b+c）b+（2c+b）c，整理得：a2＝b2+c2+cb，∴cos A＝，又∵A∈（0，π），∴A＝，故答案为：．15．平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线C2：x2＝2py（p＞0）交于点O，A，B，且△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为；如果C1与C2在第一象限内有且只有一个公共点，且a＝，那么C2的方程为x2＝4y．【分析】由双曲线的方程可得渐近线的方程与抛物线联立求出A，B的坐标，再由三角形OAB的垂心为抛物线的焦点可得AF⊥OB，可得a，b之间的关系，再由a，b，c之间的关系进而求出离心率；两个曲线在第一象限仅有一个交点可得相切，由a的值及a，b的关系求出b的值，用判别式等于0求出p的值，进而写出抛物线的方程．解：由题意可得抛物线的焦点F（0，），双曲线的渐近线的方程为：y＝x，，可得x＝，y＝，设交点A（，），B（，），因为△OAB的垂心为C2的焦点，所以AF⊥OB，即＝0，即（，）•（，）＝0，整理可得：4b2＝5a2，即b2＝，所以离心率e＝＝＝＝；联立双曲线与抛物线的方程可得：，a＝，所以b2＝＝整理可得：4y2﹣10py+25＝0，由题意可得△＝100p2﹣4×4×25＝0，p＞0，解得p＝2，所以抛物线的方程为：x2＝4y，故答案分别为：，x2＝4y．16．设圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为1，那么该圆锥体积的最小值为．【分析】根据三角形相似得出圆锥的底面半径和高的关系，根据体积公式和基本不等式得出答案．解：设圆锥的高为h，底面半径为r，则当圆锥体积最小时，如图，由△AOE～△ACF可得：，即r＝，∴圆锥的体积V＝πr2h＝＝[（h﹣2）++4]≥．当且仅当h﹣2＝2即h＝4时取等号．∴该圆锥体积的最小值为．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22.23题为选考题，考生根据要求作答．（-）必考题：60分．17．已知数列{a n}满足a n+1＝3a n﹣2a n﹣1（n≥2，n∈N*），且a1＝1，a2＝3．（1）求证：数列{a n+1﹣a n}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）记b n＝（n+1）a n，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】本题第（1）题对递推数列进行变形之后可得a n+1﹣a n＝2（a n﹣a n﹣1），即可发现数列{a n+1﹣a n}是等比数列．且可计算出a n+1﹣a n＝2n，然后运用累加法可得数列{a n}的通项公式；第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列{b n}的通项公式，然后运用错位相减法和分组求和法可计算出数列{b n}的前n项和S n．【解答】（1）证明：依题意，当n≥2时，由a n+1＝3a n﹣2a n﹣1，可得a n+1﹣a n＝2a n﹣2a n﹣1＝2（a n﹣a n﹣1）．∵a2﹣a1＝3﹣1＝2，∴数列{a n+1﹣a n}是以2为首项，2为公比的等比数列．∴a n+1﹣a n＝2•2n﹣1＝2n，n∈N*．则a2﹣a1＝2，a3﹣a2＝22，…a n﹣a n﹣1＝2n﹣1．各项相加，可得a n﹣a1＝2+22+…+2n﹣1，∴a n＝1+2+22+…+2n﹣1＝＝2n﹣1．∴a n＝2n﹣1，n∈N*．（2）由（1）知，b n＝（n+1）a n＝（n+1）（2n﹣1）＝（n+1）•2n﹣（n+1）．构造数列{c n}：令c n＝（n+1）•2n，设数列{c n}的前n项和为T n，则T n＝c1+c2+…+c n＝2•21+3•22+…+（n+1）•2n，2T n＝2•22+3•23+…+n•2n+（n+1）•2n+1，两式相减，可得﹣T n＝4+22+23+…+2n﹣（n+1）•2n+1＝4+﹣（n+1）•2n+1＝﹣n•2n+1．∴T n＝n•2n+1．∵b n＝（n+1）•2n﹣（n+1）＝c n﹣（n+1），∴S n＝b1+b2+…+b n＝（c1﹣2）+（c2﹣3）+…+[c n﹣（n+1）]＝（c1+c2+…+c n）﹣[2+3+…+（n+1）]＝T n﹣＝n•2n+1﹣．18．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是BB1的中点．（1）求证：截面AEC1⊥侧面AC1；（2）若AA1＝A1B1＝1，求B1到平面AEC1的距离．【分析】（1）设O，O1分别为AC，A1C1的中点，AC1与A1C相交于F．由已知证明EF⊥侧面AC1．可得截面AEC1⊥侧面AC1；（2）由已知求解△AEC1的面积与△B1EC1的面积，再由A到平面B1BCC1的距离为，然后利用等积法求B1到平面AEC1的距离．【解答】（1）证明：设O，O1分别为AC，A1C1的中点，AC1与A1C相交于F．∵ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，∴侧面A1C⊥底面ABC．∵O是正三角形ABC边AC的中点，∴OB⊥AC．∴OB⊥侧面AC1．∵OO1∥BB1，OO1＝BB1，E，F是中点，∴EBOF是平行四边形．∴EF∥OB，∴EF⊥侧面AC1．又EF⊂平面AEC1，∴截面AEC1⊥侧面AC1；（2）解：∵AA1＝A1B1＝1，∴，，∴△AEC1的面积为．又∵A到平面B1BCC1的距离为，△B1EC1的面积为．设B1到平面AEC1的距离为d，∵，∴，∴．即，B1到平面AEC1的距离为．19．一款手游，页面上有一系列的伪装，其中隐藏了4个宝藏．如果你在规定的时间内找到了这4个宝藏，将会弹出下一个页面，这个页面仍隐藏了2个宝藏，若能在规定的时间内找到这2个宝藏，那么闯关成功，否则闯关失败，结束游戏；如果你在规定的时间内找到了3个宝藏，仍会弹出下一个页面，但这个页面隐藏了4个宝藏，若能在规定的时间内找到这4个宝藏，那么闯关成功，否则闯关失败，结束游戏；其它情况下，不会弹出下一个页面，闯关失败，并结束游戏．假定你找到任何一个宝藏的概率为，且能否找到其它宝藏相互独立．（1）求闯关成功的概率；（2）假定你付1个Q币游戏才能开始，能进入下一个页面就能获得2个Q币的奖励，闯关成功还能获得另外4个Q币的奖励，闯关失败没有额外的奖励．求一局游戏结束，收益的Q币个数X的数学期望（收益＝收入﹣支出）．【分析】（1）记闯关成功为事件A，事件A共分二类，找到4个宝藏并且闯关成功为事件B，找到3个宝藏并且闯关成功为事件C，那么A＝B+C．利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出结果．（2）记一局游戏结束能收益X个Q币，那么X∈{﹣1，1，5}．分别求出相应的概率，由此能求出X的概率分布和数学期望．解：（1）记闯关成功为事件A，事件A共分二类，找到4个宝藏并且闯关成功为事件B，找到3个宝藏并且闯关成功为事件C，那么A＝B+C．∵，，∴．（2）记一局游戏结束能收益X个Q币，那么X∈{﹣1，1，5}．∵由（1）知，又．∴X的概率分布为：X﹣115P因此，EX＝．20．已知动圆过定点A（4，0），且在y轴上截得的弦MN的长为8．（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；（2）已知点B（﹣1，0），长为的线段PQ的两端点在轨迹C上滑动．当x轴是∠PBQ的角平分线时，求直线PQ的方程．【分析】（1）设出圆心的坐标，利用圆的性质得：，CA2＝CM2＝ME2+EC2，求解即可．（2）设P（x1，y1），Q（x1，y1），（ⅰ）当PQ与x轴不垂直时，y1+y2≠0，y1•y2＜0，由x轴平分∠PBQ，得，设直线PQ：x＝my+n，代入C的方程得：y2﹣8my﹣8n＝0．求出n，然后求解，得到直线PQ的方程．（ⅱ）当PQ与x 轴垂直时，推出直线PQ的方程．解：（1）A（4，0），设圆心C（x，y），线段MN的中点为E，则由圆的性质得：，CA2＝CM2＝ME2+EC2，∴（x﹣4）2+y2＝4+x2，即y2＝8x．（2）设P（x1，y1），Q（x1，y1），由题意可知，．（ⅰ）当PQ与x轴不垂直时，y1+y2≠0，y1•y2＜0，由x轴平分∠PBQ，得，∴，∴（y1+y2）（8+y1•y2）＝0，∴8+y1•y2＝0．设直线PQ：x＝my+n，代入C的方程得：y2﹣8my﹣8n＝0．∴8﹣8n＝0，即n＝1．由于，，∴，因此，直线PQ的方程为．（ⅱ）当PQ与x轴垂直时，，可得直线PQ的方程为x＝3．综上，直线PQ的方程为或x＝3．21．设函数f（x）＝αx+1+lnx（a∈R为常数）．（1）讨论函数f（x）可能取得的最大值或最小值；（2）已知x＞0时，f（x）≤xe x恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），．再对a分情况讨论，分别求出函数f（x）的最值情况即可；（2）由已知可得，对x＞0时恒成立，令，则只需a ≤F（x）min即可，利用导数得到函数F（x）在x＝x0时取得最小值，其中x0∈（0，1），且，所以a≤1．解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），．（ⅰ）当a≥0，由f'（x）＞0可得f（x）是增函数，这时函数f（x）没有最大值也没有最小值，（ⅱ）当a＜0，函数f（x）在区间上是增函数，在区间上是减函数，所以，时，f（x）取得最大值，且f（x）无最小值；（2）由已知可得，对x＞0时恒成立，令，则，令G（x）＝x2e x+lnx，则，所以G（x）是增函数，又∵当x→0时，G（x）→﹣∞，G（1）＝e＞0，因此，方程x2e x+lnx＝0有唯一解x0∈（0，1），所以当x∈（0，x0）时，G（x）＜0，函数F（x）单调递减；当x∈（x0，+∞）时，G（x）＞0，函数F（x）单调递增，所以，函数F（x）在x＝x0时取得最小值，由于，所以，构造函数φ（x）＝xe x，易证φ（x）在（0，+∞）上单调递增，∴，即lnx0＝﹣x0，所以，，因此，a≤1，所以a的取值范围为：（﹣∞，1]．（二）选考题：共10分．请考生在第22.23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ＝．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）设l与C相交于A，B两点，定点M（，0），求﹣的值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．解：（1）∵，∴，∴x＜﹣1或x≥1．∵，∴C的直角坐标方程为．∵，∴，∴，∴直线l的直角坐标方程为．（2）由（1）可设l的参数方程为（t为参数），代入C的方程得：，其两根t1，t2满足，．∴．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|ax|（x2﹣4）﹣|x﹣2|（x+1）．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）若∃x∈（2，+∞），使得不等式f（x）＜0成立，求a的取值范围．【分析】（1）将a＝1代入，分类讨论解不等式即可；（2）变形可得，构造函数即可得解．解：（1）当a＝1时，原不等式可化为|x|（x2﹣4）﹣|x﹣2|（x+1）＜0．（*）（ⅰ）当x＜0时，（*）化为，（x﹣2）（x2+x﹣1）＞0，所以，；（ⅱ）当0≤x≤2时，（*）化为（x﹣2）（x2+3x+1）＜0，所以，0≤x＜2；（ⅲ）当x＞2时，（*）化为（x﹣2）（x2+x﹣1）＜0，所以，无解；综上，a＝1时，不等式f（x）＜0的解集为．（2）当x∈（2，+∞），原不等式f（x）＜0化为：|a|x（x﹣2）（x+2）﹣（x﹣2）（x+1）＜0，∴．由于函数在x∈（2，+∞）上是减函数，∴．∴∃x∈（2，+∞），使得不等式f（x）＜0成立，必须使．因此，．。

河南省平顶山市舞钢第一高级中学2019-2020学年高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 我国古代名著《庄子? 天下篇》中有一句名言“一尺之棰,日取其半,万世不竭”,其意思为:一尺的木棍,每天截取一半,永远都截不完,现将该木棍依此规律截取,如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度(单位:尺),则①②③处可分别填入的是A. B. C. D.参考答案：A2. 下列命题，真命题是（）A．a﹣b=0的充要条件是=1 B．?x∈R，e x＞x eC．?x0∈R，|x0|≤0D．若p∧q为假，则p∨q为假参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A．由=1?a﹣b=0，反之不成立（b=0时），即可判断出正误；B．取x=e时，e x=x e，即可判断出正误；C．取x0=0，则|x0|≤0成立，即可判断出正误；D．若p∧q为假，则p与q至少有一个为假命题，因此p∨q不一定为假，即可判断出正误．【解答】解：A．由=1?a﹣b=0，反之不成立（b=0时），因此a﹣b=0是=1的必要不充分条件；B．取x=e时，e x=x e，因此不正确；C．取x0=0，则|x0|≤0成立，正确；D．若p∧q为假，则p与q至少有一个为假命题，因此p∨q不一定为假，不正确．故选：C．3. 为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩（如图），要测算两点的距离，测量人员在岸边定出基线，测得，，就可以计算出两点的距离为A．B．C． D.参考答案：A略4. 函数的图象大致是( )A. B.C. D.参考答案：B【分析】根据函数表达式,把分母设为新函数,首先计算函数定义域,然后求导,根据导函数的正负判断函数单调性,对应函数图像得到答案.【详解】设，，则的定义域为.，当，，单增，当，，单减，则.则在上单增，上单减，.选B.【点睛】本题考查了函数图像的判断,用到了换元的思想,简化了运算,同学们还可以用特殊值法等方法进行判断.5. 设x∈R，则“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件参考答案：A【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x＜3，由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，即“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，故选A．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．6. 若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则x﹣y的取值范围是（）A．[﹣2，0] B．[﹣1，0] C．[﹣1，﹣2] D．[0，2]参考答案：A【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，A（1，1），B（0，2），令z=x﹣y，化为y=x﹣z，当直线y=x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为0；直线y=x﹣z过B时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣2．∴x﹣y的取值范围是[﹣2，0]．故选：A．7. 设α为△ABC的内角，且tanα=﹣，则cos2α的值为（）A．B．﹣C．﹣D．参考答案：A【考点】二倍角的余弦．【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式，求得cos2α的值．【解答】解：∵α为△ABC的内角，且tanα=﹣，则cos2α====，故选：A．8. 已知α∈（0，π），且sinα+cosα=，则tanα=( )A．B．C．D．参考答案：D【考点】同角三角函数间的基本关系；三角函数的化简求值．【专题】三角函数的求值．【分析】将已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简，求出sinαcosα的值，再利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系求出sinα﹣cosα的值，联立求出sinα与cosα的值，即可求出tanα的值．【解答】解：将sinα+cosα=①两边平方得：（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=，即2sinαcosα=﹣＜0，∵0＜α＜π，∴＜α＜π，∴sinα﹣cosα＞0，∴（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=，即sinα﹣cosα=②，联立①②解得：sinα=，cosα=﹣，则tanα=﹣．故选：D．【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及三角函数的化简求值，熟练掌握基本关系是解本题的关键．9.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有 ( )A 24种 B．18种 C．12种 D．6种参考答案：答案:B10. 某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A． 4 B． C. D．参考答案：D几何体为一个四棱锥,其中高为2,底面为边长为2的正方形,因此体积为 ,选D.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知（1+ax）3,=1+10x+bx3+…+a3x3,则b= .参考答案：解析：因为∴.解得12. 已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,,若B=2A，_____参考答案：213. 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为220元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示：根据以上数据，这个经营部要使利润最大，销售单价应定为元。

河南省平顶山市高考数学模拟试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合A={x|x2+2x﹣3＜0}，集合B={x|x﹣a＜0}，若A⊆B，则a的取值范围是（）A . a≤1B . a≥1C . a＜1D . a＞12. （2分） (2017高二下·深圳月考) 复数（其中为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分） (2015高三下·湖北期中) 执行下面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）A . 5B . 6C . 7D . 84. （2分）设，则“”是“函数为偶函数”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分） (2016高一下·抚州期中) 若Sn是等差数列{an}的前n项和，a2+a10=4，则S11的值为（）A . 12B . 18C . 22D . 446. （2分） (2019高一上·昌吉月考) 函数f（x）=x2+2x（x∈[-2，1]）的值域是（）A .B .C .D .7. （2分） (2019高一下·佛山月考) 已知向量，若对任意的，恒成立，则必有（）．A .B .C .D .8. （2分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A .B .C .D .9. （2分）已知实数满足，则目标函数的最小值为（）A .B . 5C . 6D . 710. （2分）双曲线的一个焦点坐标为，则双曲线的渐近线方程为（）A .B .C .D .11. （2分） (2019高三上·葫芦岛月考) 已知函数的值域为，函数，则的图象的对称中心为（）A .B .C .D .12. （2分）若方程的根在区间上，则k的值为（）A . -1B . 1C . -1或2D . -1或1二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二上·赣榆期中) 抛物线的准线方程是________．14. （1分）长宽高分别为5cm、4cm、3cm的长方体的顶点均在同一球面上，则该球的表面积是________ cm2 ．15. （1分） (2017高一下·启东期末) 一个三角形的两个内角分别为30°和45°，如果45°角所对的边长为8，那么30°角所对的边长是________．16. （1分）设函数f（x）= ，函数y=f[f（x）]﹣的零点个数为________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分）(2017·滨州模拟) 已知函数f（x）=sin（2x+ ）+cos（2x+ ）+sin2x（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f（）= ，a=2，b= ，求c的值．18. （10分） (2017高二上·枣强期末) 如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，E是棱CC1上的动点，F是AB的中点，AC=BC=2，AA1=4．（1）当E是棱CC1的中点时，求证：CF∥平面AEB1；（2）在棱CC1上是否存在点E，使得二面角A﹣EB1﹣B的大小是45°？若存在，求出CE的长，若不存在，请说明理由．19. （15分）(2017·宁化模拟) 我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程．某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布被制作成如图表：（1）若采取分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取16人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？（2）估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；（3）据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入，政府计划为这部分老人每月发放生活补贴，标准如下：①80岁及以上长者每人每月发放生活补贴200元；②80岁以下老人每人每月发放生活补贴120元；③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100 元．试估计政府执行此计划的年度预算．20. （10分） (2016高三上·嘉兴期末) 已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆的一个顶点为B（0，1），B 到焦点的距离为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）设P，Q是椭圆上异于点B的任意两点，且BP⊥BQ，线段PQ的中垂线l与x轴的交点为（x0，0），求x0的取值范围．21. （10分）(2018·银川模拟) 已知函数（1）求函数的单调区间；（2）设函数，若对于，使成立，求实数的取值范围．22. （5分）在直角坐标系中xOy，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中圆C的方程为ρ=4cosθ，设圆C与直线l交于A、B两点；若点P的坐标为（1，0）．求：|PA|+|PB|．23. （10分）(2017·九江模拟) 已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣1|﹣a）（1）当a=3时，求函数f（x）的定义域；（2）若不等式f（x）≥2的解集为R，求实数a的最大值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、22、答案：略23-1、23-2、。

2020年河南省高考数学模拟试卷（理科） （4月份）第1页（共23页）一项是符合题目要求的.价有所下降，相比二手房而言， 新房市场依然强劲，价格持续升高.已知销售人员主要靠售 房提成领取工资.现统计郑州市某新房销售人员一年的工资情况的结果如图所示， 若近几年 来该销售人员每年的工资总体情况基本稳定，则下列说法正确的是 （ ）A .月工资增长率最高的为 8月份B .该销售人员一年有 6个月的工资超过4000元C .由此图可以估计，该销售人员 2020年6, 7, 8月的平均工资将会超过 5000元D .该销售人员这一年中的最低月工资为 1900元6. （5分）九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串,、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有1. （5分）已知集合 {x|x ・・0} , B {x|y lg(x 2 x)}，则 A |2.3. A . [0 , ) （5分）已知复数 (5 分)2019 年, B . (1，) C . {0}U [1， （,0】U （1，） — (i 为复数单位) (i 1) B . 2 ，则 |z| ( ) 河南省郑州市总体来说，二手房房 54. （ 5分）已知（x 1） 2 a 0 a 1 x a 2x 3 a 3X 4 5 a 4X a 5X ，贝U a 2 a 4的值为 C . 15 D . 165. （ 5分）已知双曲线 2 2 C:a 話 1(a 0,b 0）的一个焦点为F ,过F 作x 轴的垂线分别 交双曲线的两渐近线于 A , B 两点，若 AOB的面积为2b 2，则双曲线C 的离心率为（ ）按一定规则移动圆环的次数，决定解开圆环的个数.在某种玩法中，用 则解下5个环所需的最少移动次数为 （ ）7. （5分）已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的数据，可得出这个几何体的表面积是（ ） uuiur uuuu于点O ，点M 是线段BC 上一点，则 OM gDM 的最小值为（10 . （ 5分）已知ABCD 为正方形，其内切圆I 与各边分别切于事件B :豆子落在四边形 EFGH 夕卜，则P （B|A ）（ ）n （n, 9,n N *）个圆环所需的多少移动次数,数列｛a n ｝满足a i 1，且a n2a n i 1,n 为偶数2a n i 2,n 为奇数 a n 表示解下B . 10C . 16D . 22B . 8 4.6C . 426D . 4.6（5分）已知函y sin( 0）在区间（ 齐）上单调递增，则 的取值范围是（ 1A . (0,—] 2 1 [-,1] 2 1 2 (-，一] 3 3 2[-,2] 3（5分）已知平行四边形 ABCD 中, AB AD 2, DAB 60 对角线AC 与,G , H ，连接 EF ,FG , GH , HE .现向正方形 ABCD 内随机抛掷一枚豆子, 记事件 A :豆子落在圆I 内,C. 1 -11. （5分）已知定义在R上的奇函数f （x），对任意实数x，恒有f（x 3） f （x），且当3 2x (0,㊁］时，f(x) x 6x 8，贝U f (0) f (1) f ( 2) f (2020)(C.12. （5分）如图，在四棱锥P ABCD中, PA PB PC PD 2 ,底面ABCD是边长为2E作棱锥的截面, 分别与侧棱PB , PD交于M , 的正方形.点E是PC的中点，过点A ,( )A .辽3B .二3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20 分.13. （5分）已知函数f (x) (x 2) lnx，则函数f (x)在x 1处的切线方程为14. （5分）已知数列{a n}为公差不为零的等差数列，其前n项和为£，且印,a2 , a4成等比数列，S515,则a415. （5分）现有灰色与白色的卡片各八张.分别写有数字1至U &甲、乙.丙、丁四个人每人面前摆放四张，并按从小到大的顺序自左向右排列（当灰色卡片和白色卡片数字相同时,白色卡片摆在灰色卡片的右侧）卡片是（填写字母）..如图，甲面面的四张卡片已经翻开，则写有数字4的灰色X216. （5分）设F , F2是椭圆C：—4y2 1的两个焦点，过F! , F2分别作直线h , I2 .且h //I2 ,。

2020年平顶山市高一数学上期中第一次模拟试卷(带答案)一、选择题1．已知集合{}220A x x x =-->，则A =R ðA ．{}12x x -<<B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|12x x x x <-⋃D ．}{}{|1|2x x x x ≤-⋃≥2．已知集合{}{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件A CB ⊆⊆的集合C 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．不等式()2log 231a x x -+≤-在x ∈R 上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞B ．(]1,2C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦4．三个数0.32，20.3，0.32log 的大小关系为（ ）.A ．20.30.3log 20.32<< B ．0.320.3log 220.3<<C ．20.30.30.3log 22<<D ．20.30.30.32log 2<<5．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ ）A ．(10)(1)-⋃+∞，， B ．(1)(01)-∞-⋃，， C ．(1)(1)-∞-⋃+∞，， D ．(10)(01)-⋃，， 6．设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-≤≤⋂=Z ，则A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，， 7．已知(31)4,1()log ,1aa x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是（ ） A ．(0,1)B ．1(0,)3C ．11[,)73D ．1[,1)78．已知函数y=f （x ）定义域是[-2，3]，则y=f （2x-1）的定义域是（ ） A ．50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,4-C ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]5,5-9．已知函数2221,2,()2,2,x x x x f x x -⎧-++<=⎨≥⎩且存在三个不同的实数123,,x x x ，使得123()()()f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围为（ ）A ．(4,5)B ．[4,5)C ．(4,5]D ．[4,5]10．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数且满足，3()(2)32f x f x f ⎛⎫-=-=-⎪⎝⎭，，数列{}n a 满足11a =-，且2n n S a n =+，(其中n S 为{}n a 的前n 项和).则()()56f a f a +=（） A ．3B ．2-C ．3-D ．211．设a ＝2535⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝3525⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，c ＝2525⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a>c>bB ．a>b>cC ．c>a>bD ．b>c>a12．函数2y 34x x =--+的定义域为（ ）A ．(41)--，B ．(41)-，C ．(11)-，D ．(11]-， 二、填空题13．下列各式：（1）122[(2)]2---=-　；（2）已知2log 13a〈 ，则23a 〉 . （3）函数2xy =的图象与函数2x y -=-的图象关于原点对称；（4）函数()f x =21mx mx ++的定义域是R ，则m 的取值范围是04m <≤；（5）函数2ln()y x x =-+的递增区间为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 正确的．．．有________．（把你认为正确的序号全部写上） 14．已知函数()(),y f x y g x ==分别是定义在[]3,3-上的偶函数和奇函数，且它们在[]0,3上的图象如图所示，则不等式()()0f x g x ≥在[]3,3-上的解集是________.15．若函数()f x 满足()3298f x x +=+，则()f x 的解析式是_________.16．已知函数()2()lg 2f x x ax =-+在区间(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是______.17．已知函数()f x 是定义在 R 上的奇函数，且当0x >时，()21xf x =-，则()()1f f -的值为______．18．已知集合{}{}1,1,2,4,1,0,2,A B =-=-则A B =I __________．19．2017年国庆期间，一个小朋友买了一个体积为a 的彩色大气球，放在自己房间内，由于气球密封不好，经过t 天后气球体积变为kt V a e -=⋅.若经过25天后，气球体积变为原来的23,则至少经过__________天后，气球体积小于原来的13. (lg30.477,lg 20.301≈≈，结果保留整数）20．甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程()(1,2,3,4)i f x i =关于时间(0)x x ≥的函数关系式分别为1()21x f x =-，22()f x x =，3()f x x =，42()log (1)f x x =+，有以下结论：①当1x >时，甲走在最前面； ②当1x >时，乙走在最前面；③当01x <<时,丁走在最前面，当1x >时，丁走在最后面； ④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面； ⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．其中，正确结论的序号为 （把正确结论的序号都填上,多填或少填均不得分）．三、解答题21．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x <0时，()111f x x =+-. (1)求f (2)的值；(2)用定义法判断y ＝f (x )在区间(－∞，0）上的单调性． (3)求0()x f x >时，的解析式22．已知2256x ≤且21log2x ≥，求函数2()log 2x f x =⋅的最大值和最小值． 23．计算下列各式的值：（Ⅰ)22log lg25lg4log (log 16)+-（Ⅱ）2102329273()( 6.9)()()482-----+24．围建一个面积为360m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x （单位：元）．（Ⅰ）将y 表示为x 的函数；（Ⅱ）试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． 25．已知二次函数()f x 满足(0)2f =，且(1)()23f x f x x +-=+. （1）求()f x 的解析式；（2）设函数()()2h x f x tx =-，当[1,)x ∈+∞时，求()h x 的最小值；（3）设函数12()log g x x m =+，若对任意1[1,4]x ∈，总存在2[1,4]x ∈，使得()()12f x g x >成立，求m 的取值范围.26．为了研究某种微生物的生长规律，研究小组在实验室对该种微生物进行培育实验．前三天观测的该微生物的群落单位数量分别为12，16，24．根据实验数据，用y 表示第()*x x ∈N 天的群落单位数量，某研究员提出了两种函数模型；①2y ax bx c =++；②x y p q r =⋅+，其中a ，b ，c ，p ，q ，r 都是常数．（1）根据实验数据，分别求出这两种函数模型的解析式；（2）若第4天和第5天观测的群落单位数量分别为40和72，请从这两个函数模型中选出更合适的一个，并计算从第几天开始该微生物群落的单位数量超过1000．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出220x x -->的解集，从而求得集合A ，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果. 详解：解不等式220x x -->得12x x -或， 所以{}|12A x x x =<->或，所以可以求得{}|12R C A x x =-≤≤，故选B.点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.2．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】求解一元二次方程，得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .因为A C B ⊆⊆，所以根据子集的定义， 集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4， 原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个，故选D. 【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合C 的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.3．C解析：C 【解析】 【分析】由()2223122-+=-+≥x x x 以及题中的条件，根据对数函数的单调性性，对a 讨论求解即可. 【详解】由()2log 231a x x -+≤-可得()21log 23log -+≤a ax x a， 当1a >时，由()2223122-+=-+≥x x x 可知2123-+≤x x a无实数解，故舍去； 当01a <<时，()2212312-+=-+≥x x x a在x ∈R 上恒成立，所以12a ≤，解得112a ≤<. 故选：C 【点睛】本题主要考查对数函数的单调性，涉及到复合函数问题，属于中档题.4．A解析：A 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出． 【详解】∵0＜0.32＜1，20.3＞1，log 0.32＜0， ∴20.3＞0.32＞log 0.32． 故选A ． 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．5．D解析：D 【解析】由f (x )为奇函数可知，()()f x f x x--＝()2f x x<0.而f (1)＝0，则f (－1)＝－f (1)＝0. 当x >0时，f (x )<0＝f (1)； 当x <0时，f (x )>0＝f (－1)． 又∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴奇函数f (x )在(－∞，0)上为增函数． 所以0<x <1，或－1<x <0. 选D点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内6．B解析：B 【解析】试题分析：依题意{}{}2,1,0,1,1,0,1,2,3,M N =--=-∴{}1,0,1M N ⋂=-. 考点：集合的运算7．C解析：C 【解析】 【分析】要使函数()f x 在(,)-∞+∞上为减函数，则要求①当1x <，()(31)4f x a x a =-+在区间(,1)-∞为减函数，②当1x ≥时，()log a f x x =在区间[1,)+∞为减函数，③当1x =时，(31)14log 1a a a -⨯+≥，综上①②③解方程即可.【详解】令()(31)4g x a x =-+，()log a h x x =.要使函数()f x 在(,)-∞+∞上为减函数，则有()(31)4g x a x =-+在区间(,1)-∞上为减函数，()log a h x x =在区间[1,)+∞上为减函数且(1)(1)g h ≥,∴31001(1)(31)14log 1(1)a a a g a a h -<⎧⎪<<⎨⎪=-⨯+≥=⎩,解得1173a ≤<. 故选：C. 【点睛】考查分段函数求参数的问题.其中一次函数y ax b =+，当0a <时，函数y ax b =+在R 上为减函数，对数函数log ,(0)a y x x =>，当01a <<时，对数函数log ay x =在区间(0,)+∞上为减函数.8．C解析：C 【解析】∵函数y =f (x )定义域是[−2,3]， ∴由−2⩽2x −1⩽3， 解得−12⩽x ⩽2， 即函数的定义域为1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，本题选择C 选项.9．A解析：A 【解析】不妨设123x x x <<，当2x <时，()()212f x x =--+，此时二次函数的对称轴为1x =，最大值为2，作出函数()f x 的图象如图，由222x -=得3x =，由()()()123f x f x f x ==，，且1212x x +=，即122x x +=，12332,x x x x ∴++=+由图可知3323,425x x <<∴<+<， 即123x x x ++的取值范围是()4,5，故选A.10．A解析：A 【解析】 由奇函数满足()32f x f x ⎛⎫-=⎪⎝⎭可知该函数是周期为3T =的奇函数， 由递推关系可得：112,21n n n n S a n S a n +-=+=+-, 两式做差有：1221n n n a a a -=--，即()()1121n n a a --=-， 即数列{}1n a -构成首项为112a -=-，公比为2q =的等比数列， 故：()1122,21n n n n a a --=-⨯∴=-+，综上有：()()()()()552131223f a f f f f =-+=-==--=，()()()()66216300f a f f f =-+=-==，则：()()563f a f a +=. 本题选择A 选项.11．A解析：A 【解析】试题分析：∵函数2()5xy =是减函数，∴c b >；又函数25y x =在(0,)+∞上是增函数，故a c >.从而选A考点：函数的单调性.12．C解析：C 【解析】要使函数有意义，需使210{340x x x +>--+>，即1{41x x >--<<，所以1 1.x -<<故选C二、填空题13．（3）【解析】（1）所以错误；（2）当时恒成立；当时综上或所以错误；（3）函数上任取一点则点落在函数上所以两个函数关于原点对称正确；（4）定义域为当时成立；当时得综上所以错误；（5）定义域为由复合函解析：（3） 【解析】（1）(1122212---⎛⎫⎡⎤== ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，所以错误；（2）2log 1log 3aa a <=，当1a >时，恒成立；当01a <<时，023a <<，综上，023a <<或1a >，所以错误； （3）函数2xy =上任取一点(),x y ，则点(),x y --落在函数2x y -=-上，所以两个函数关于原点对称，正确；（4）定义域为R ，当0m =时，成立；当0m >时，240m m ∆=-≤，得04m <≤，综上，04m ≤≤，所以错误；（5）定义域为()0,1，由复合函数的单调性性质可知，所求增区间为10,2⎛⎫⎪⎝⎭，所以错误；所以正确的有（3）。

河南省平顶山市 2020 版高一上学期数学第一次月考试卷（I）卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 27 分)1. （2 分 ） (2019 高三 上· 东湖期 中 ) 设集合 （）A.B.C.D. 2. （2 分） 9 的算术平方根是（ ） A.9 B . -9 C.3 D. 3. （2 分） (2017 高一上·大庆月考) 下列各组函数为同一函数的是（ ） A.B. C.D. 4. （2 分） (2017 高一上·怀柔期末) 已知集合 M={x|（x﹣1）=0}，那么（ ）第 1 页 共 13 页，则A . 0∈M B . 1∉M C . ﹣1∈M D . 0∉M 5. （2 分） (2015 高三下·武邑期中) 函数 f（x）=5|x|向右平移 1 个单位，得到 y=g（x）的图像，则 g（x） 关于（ ） A . 直线 x=﹣1 对称 B . 直线 x=1 对称 C . 原点对称 D . y 轴对称6. （5 分） (2018 高一上·湖北期中) 已知函数 f（x）= ）=（ ），则 f（-1）•f（ ） +f（f（ ）A.B.C.D.7. （2 分） (2016 高一上·友谊期中) 已知集合 A={2，3}，B={x|mx﹣6=0}，若 B⊆ A，则实数 m=（ ）A.3B.2C . 2或3D . 0或2或3第 2 页 共 13 页8. （2 分） (2015 高一下·凯里开学考) 函数 f（x）=2x+3，则 f（﹣1）=（ ） A.2 B.1 C. D. 9. （2 分） 函数 y=﹣x2 的单调递增区间为（ ） A . （﹣∞，0] B . [0，+∞） C . （0，+∞） D . （﹣∞，+∞）10. （2 分） 若， 则 的定义域为（ ）A.B.C. D.11. （2 分） (2017 高一上·中山月考) 设函数是 R 上的奇函数，已知，则在上是（ ）A . 增函数且B . 减函数且第 3 页 共 13 页C . 增函数且D . 减函数且12. （2 分） (2015 高二上·安阳期末) 将高一(6)班 52 名学生分成 A，B 两组参加学校组织的义务植树活动， A 组种植 150 棵大叶榕树苗，B 组种植 200 棵红枫树苗．假定 A，B 两组同时开始种植．每名学生种植一棵大叶榕树 苗用时 小时，种植一棵枫树苗用时 小时.完成这次植树任务需要最短时间为（ ）A.B.C.D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2018 高一上·遵义月考) 化简________.14. （1 分） 若函数 f（x）=2x﹣ 在定义域（0，1]上是减函数，求实数 a 的取值范围________．15. （1 分） (2019 高二下·常州期中) 已知函数 数 的取值集合为________．的定义域为 ，值域为，则实16. （1 分） (2016 高一上·商丘期中) 函数 f（x）=三、 解答题 (共 6 题；共 70 分)17. （10 分） (2019 高一上·汤原月考) 已知函数 的解集为集合 B .（1） 求集合 A 和集合 B；的定义域是________． 的定义域为集合 A,不等式第 4 页 共 13 页（2） 求.18.（10 分）(2018 高一上·黑龙江期末) 设函数的定义域为 ，并且满足，且，当时，.（1） 求的值；（2） 判断函数的奇偶性；（3） 如果，求 的取值范围.19. （10 分） 已知 f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且 f（1）=3，若 a，b∈[﹣1，1]，a+b≠0 时，有 ＞0 成立．（1）判断 f（x）在[﹣1，1]上的单调性，并证明；（2）解不等式：f（x+ ）＜f（ ） ； （3）若当 a∈[﹣1，1]时，f（x）≤m2﹣2am+3 对所有的 x∈[﹣1，1]恒成立，求实数 m 的取值范围．20. （10 分） (2017 高一上·大庆月考) 已知函数 大值为，设上的最（1） 求的表达式；（2） 是否存在实数 不存在，说明理由.，使得的定义域为，值域为？若存在，求出的值；若21. （15 分） (2019 高三上·上海期中) 定义函数在整数 ，使得，则.如：对于实数 （，），如果存（1） 若等差数列 （2） 证明：函数满足：，是奇函数且；第 5 页 共 13 页，求数列的通项公式；（3） 已知等比数列 具有单调性，其首项，且，求公比 的取值范围.22. （15 分） 已知函数 f（x）=a﹣ 是奇函数（a∈R）． （Ⅰ）求实数 a 的值； （Ⅱ）试判断函数 f（x）在（﹣∞，+∞）上的单调性，并证明你的结论； （Ⅲ）若对任意的 t∈R，不等式 f（t2﹣（m﹣2）t）+f（t2﹣m﹣1）＜0 恒成立，求实数 m 的取值范围．第 6 页 共 13 页一、 单选题 (共 12 题；共 27 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 7 页 共 13 页16-1、三、 解答题 (共 6 题；共 70 分)17-1、 17-2、 18-1、 18-2、第 8 页 共 13 页18-3、19-1、第 9 页 共 13 页20-1、 20-2、21-1、第 10 页 共 13 页21-2、21-3、22-1、。