高三数学周周练
2018．9 一、填空题（本大题共14 小题，每小题 5 分，共计70 分．不需要写出解答过程，请将答案
填写在答．题．卡．相．应．的．位．置．上．．）
1．设集合 A ＝{﹣1，0，1} ，B＝{0 ，1，2，3} ，则 A B＝．
2．若复数z 1
2
mi
i
（i 为虚数单位）的模等于1，则正数m 的值为．
3．命题“x (0 ，)
2
，sinx＜1”的否定是命题（填“真”或“假”）．
4．已知sin 1
4
，(
2
，) ，则t an ．
5．函数 f (x) sin(2 x ) sin(2 x ) 的最小正周期为．
3 3
6．函数 f (x) log2 x 在点A （2，1）处切线的斜率为．
7．将函数y sin(2 x ) 的图像向右平移（0
6 2
）个单位后，得到函数 f (x) 的图像，若函数 f (x) 是偶函数，则的值等于．
8．设函数
f (x)
x x
2 4 0
，
x ，x
3 0
，若f (a) f (1)，则实数a 的取值范围是．
9．已知函数 2
f x x ，g( x) l
g x，若有f (a) g (b) ，则b 的取值范围是．
( )
10．已知函数 3 2 2
f (x) x ax bx a 7a 在x 1处取得极小值10，则b
a
的值为．
11．已知函数 f (x) sin x(x [0 ，]) 和函数
1
g( x) tanx的图像交于A，B，C 三点，2
则△ABC 的面积为．
12．已知
f ( x) 2x 1 x 0
，
ln 0
x，x
，则方程f[ f (x)] 3的根的个数是．
13．在△ABC 中，若tanA ＝2tanB，
2 2 1
a b c，则c＝．
3
14．设函数x 2a
f (x) e e ，若f (x) 在区间(﹣1，3﹣a)内的图像上存在两点，在这两点
处的切线相互垂直，则实数 a 的取值范围是．
二、解答题（本大题共 6 小题，共计90 分．请在答．题．纸．指．定．区．域．内作答，解答应写出文字
15．（本题满分14 分）
已知函数 2
f (x) 3 sin x cosx cos x ．
（1）求f (x) 的最小正周期；
（2）若 f (x) 1，求
2
cos( 2x) 的值．
3
16．（本题满分14 分）
已知a，b，c 分别为△ABC 三个内角 A ，B，C 的对边，且满足：3a 3c cosB bsin C ．（1）求∠C 的值；
（2）若c＝2 3 ，求2a＋b 的最大值．
17．（本题满分14 分）
x x
x x
（1）当1时，试判断函数 f (x) 3 3 的奇偶性，并证明你的结论；
（2）若不等式 f (x) 6在x [0 ，2]上恒成立，求实数的取值范围．
18．（本题满分16 分）
如图，在 C 城周边已有两条公路l1，l2 在点O 处交汇，现规划在公路l1，l2 上分别选择A，B 两处为交汇点（异于点O）直接修建一条公路通过 C 城，已知OC＝( 2 ＋ 6 )km，
∠AOB ＝75°，∠AOC ＝45°，设OA ＝x km，OB＝y km．
（1）求y 关于x 的函数关系式并指出它的定义域；
（2）试确定点 A 、B 的位置，使△ABO 的面积最小．
19．（本题满分16 分）
已知函数 2
f (x) x 2x aln x(a R) ．
（1）当a＝2 时，求函数 f (x) 在（1，f (1)）处的切线方程；
（2）求函数f (x) 的单调区间；
（3）若函数 f (x) 有两个极值点x ，x2（x1 ＜x2 ），不等式 f (x1) mx2 恒成立，求实
1
数m 的取值范围．
20．（本题满分16 分）
给出定义在(0，)上的两个函数 2
f (x) x aln x ，g(x) x a x ．
（1）若f (x) 在x1处取最值，求 a 的值；
（2）若函数 2
h(x) f (x) g(x ) 在区间(0，1]上单调递减，求实数 a 的取值范围；
（3）试确定函数m( x) f (x) g( x) 6的零点个数，并说明理由．
附加题
21．（本题满分 10 分）
A=
已知矩阵
2
1 4 3 3 1
，
B=
1 ，求满足 AX ＝B 的二阶矩阵 X ．
22．（本题满分 10 分）
在如图所示的四棱锥 S —ABCD 中，SA ⊥底面 ABCD ，∠DAB ＝∠ABC ＝90° ，SA ＝ AB ＝BC ＝a ，AD ＝3a （a ＞0），E 为线段 BS 上的一个动点．
（1）证明： DE 和 SC 不可能垂直；
（2）当点 E 为线段 BS 的三等分点（靠近 B ）时，求二面角 S —CD —E 的余弦值．
