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《棱柱、棱锥、棱台的表面积》课件

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8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课件(人教版)

8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课件(人教版)
(1) 共得到多少个棱长为1cm的小立方体？ (2) 三面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ (3) 两面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ (4) 一面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ (5) 六面均没有颜色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？它 们占有多少立方厘米的空间？
解：(3) 两面是红色的小立方体有24个, 表面积之和是144cm2. (4) 一面是红色的小立方体有24个, 表面积之和是144cm2.
(5) 六面均没有颜色的小立方体有8个, 表面积之和是 32cm2，它们占有的空间是8cm3.
练习
－ － － － － － － － － － 教材116页
4. 求证：直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积.
3
课堂小结
棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱、棱锥、棱台都是多面体，表面积就是围成多面体各个面的面积的和.
棱柱、棱锥、棱台的体积
棱柱
棱锥
棱台
底面积为 S ，高为 h V棱柱 Sh
底面积为 S ，高为 h
V棱锥
1 3
Sh
上底面积为 S ，下底面积
为 S ，高为 h
V棱台
1 3
h(S
SS S)
如图已知棱长为a的正四面体P-ABC，求它的体积．
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱 台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和. 例1 如图已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体P-ABC，求它的表面积．
P
【解析】因为△PBC是正三角形，其边长为a，
所以
1 SPBC 2 a a sin 60
3 a2. 4
A

8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积课件(人教版)

8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积课件(人教版)

（
）
2.几何体的表面积就是其侧面面积与底面面积的和.
（
）
3.棱锥的体积等于底面面积与高之积.
（
）
4.等底、等高的棱柱的体积是棱锥的体积的3倍.
（
）
答案：√，√，×，√.
练习
题型一：棱柱、棱锥、棱台的表面积
例1.已知正四棱台(正四棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面间的部分)上
底面边长为4，侧棱和下底面边长都是8，求它的侧面面积.
解：由题意知， 长方体−’ ’ ’’ = 1 × 1 × 0.5 = 0.5(3 ) ，
1
1
棱锥− = × 1 × 1 × 0.5 = (3 ).
3
6
所以这个漏斗的容积 =
1
2
1
+
6
2
3
= ≈ 0.67(3 ).
新知探索
辨析1：判断正误.
1.几何体的侧面积是指各个侧面的面积之和.
解：(2)设三棱锥 − 1 的高为ℎ，则
三棱锥−
1
1
1 1
3
3 2
2
= ∙ ∆1 ∙ ℎ = × ×
× ( 2) ℎ =
ℎ.
3
3 2 2
6
1
∵三棱锥− = 三棱锥 − = 3 ，
6
1
1
= 3 ，解得ℎ =
3
.
3
∴三棱锥 − 1 的高为
’ =
= ℎ
上底缩小
1 ’
= ( + ’ + )ℎ
3
’ = 0
1
= ℎ
3
例析
例2.如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部

课件-棱柱、棱锥、棱台和球的表面积

课件-棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
S圆柱侧=2πrl.
O`
O
（2）将圆锥沿一条母线剪开，展开在一 个平面上，其展开图是一个扇形，扇形 的半径为圆锥的母线，扇形的弧是圆锥 底面圆的圆周，因此该扇形的圆心角
θ= 2 r ，r为圆锥底面半径，l为圆锥
l
的母线长，根据扇形面积公式可得：
S圆锥侧=
1 2
·2πr·l=πrl，其中l为圆锥母线长，
积为S全=(21.85+4π)R2.
（2）取R=2，π=3.14，得 S全=137.67cm2.
又 (137.67×100)÷10000×0.4≈0.6(kg)，
因此涂100个这样的盖子共需涂料0.6kg.
例4. 在球心同侧有相距9cm的两个平行截 面，它们的面积分别为49πcm2和400π cm2, 求球的表面积.
r为底面圆半径。
S
l
c=2r
Or
A
（3）圆台可以看成是用一个平行底面的
平面截圆锥所得，因此圆台的侧面展开图
是一个扇环，设圆台上、下底半径为r、R，
母线长为l，
则S圆台侧=π(r+R)l=
1 2
(c1+c2)l，其中r，R
分别为上、下底面圆半径，c1，c2分别为
上、下底面圆周长，l为圆台的母线。
S c1 c2
h h'
a
如上图，以正四棱锥为例简单推导计
算公式。由于正四棱锥的侧面展开图是一
些全等的等腰三角形，底面是正多边形，
若设它的底面边长为a，底面周ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ为4a，
斜高为h’，容易得到正四棱锥的侧面积计
算公式为S正四棱锥侧=
1 ·4a·h’= 1
2
2
ch’，

棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积 课件(共21张PPT)-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积 课件(共21张PPT)-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
棱锥的侧面展开图是由三角形组成的平面图形
棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
棱台的侧面展开图是由梯形组成的平面图形
例1 四面体P-ABC的各棱长均为a，求它的表面积 ．
正方体、长方体，以及正棱柱的体积公式可以统一为：
V = Sh（S为底面面积，h为高）
解：由题意知
所以个漏斗的容积
A
D
解：
3.正六棱台的上、下底面边长分别是2和6，侧棱长是5，求它的表面积.
教材：P116 练习2、3
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台 的表面积和体积
普通高中教科书 数学 必修 第二册
第八章 立体几何初步
问题：取一摞书放在桌面上，并改变它们的位置，高度、书中每页纸面积和顺序不变，观察改变前后的体积是否发生变化？
1．掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式．2．运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题．
一般棱柱的体积公式也是V = Sh，其中S为底面面积，h为高（即两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离。
h
s
柱 体
(其中S为底面面积，h为高)
棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离。
锥 体
由于棱台是由棱锥截成的，因此可以利用两个锥体的体积差．得到棱台的体积公式(过程略)．
面积:平面图形所占平面的大小
什么是面积？
S=ab
a
b
A
a
h
B
C
a
b
h

8.3.1棱柱棱锥棱台的表面积和体积课件高一下学期数学人教A版

8.3.1棱柱棱锥棱台的表面积和体积课件高一下学期数学人教A版

1．棱柱、棱锥、棱台的表面积
多面体的表面积就是围成多面体 各面 的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是
围成它们的各个面的面积的和．
2．棱柱、棱锥、棱台的体积
(V1)V棱棱柱柱＝=Sh ； (2)V 棱锥＝31Sh；
(3)V 棱台＝31h(S′＋ SS′＋S)，
其中 S′，S 分别是棱台的上、下底面面积，h 为棱台的高．
棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
基 本 图 形 面 积 公 式
基 本 图 形 面 积 公 式
在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体 可以求出表面积和体积？
棱柱：
棱锥：
棱台：
阅读课本 114-115 页，思考并完成以下问题 1．怎么求柱体、锥体、棱台的表面积？ 2．柱体、锥体、棱台体的体积公式是什么？
解题策略： (1)分析结构特征：弄清组合体的组成形式，找准有关简单几何体的关键量． (2)设计计算方法：根据组成形式，设计计算方法，特别要注意“拼接面”面积的处理，
利用“切割”“补形”的方法求体积． (3)计略： 1．常见的求几何体体积的方法 ①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只
需选用底面积和高都易求的形式即可．③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求 体积．
2．求几何体体积时需注意的问题 柱、锥、台的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求 出所需要的量，最后代入公式计算．
例 4 有一塔形几何体由 3 个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶 点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为 2，求该塔形几何体的表 面积.
2. 某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八 个一样的四面体得到的.如果被截正方体的棱长是 50cm，那么石凳 的体积是多少？

高中数学课件8-3-1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

高中数学课件8-3-1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

第八章　§8.3　简单几何体的表面积与体积8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积学习目标XUE XI MU BIAO1.了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式.2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积.内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PART ONE知识点一　棱柱、棱锥、棱台的表面积图形表面积多面体多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和，也就是的面积展开图思考　将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开，展开图是什么形状？怎样求棱柱、棱锥、棱台的表面积？答案　将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开，其侧面展开图分别是由若干个平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积.棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和.知识点二　棱柱、棱锥、棱台的体积几何体体积说明棱柱V棱柱＝Sh S为棱柱的，h为棱柱的___棱锥S为棱锥的，h为棱锥的___棱台S′，S分别为棱台的______，h为棱台的___底面积高底面积高上、下底面面积高思考辨析 判断正误SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU1.棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图的面积就是它们的表面积.( )2.棱锥的体积等于底面面积与高之积.( )3.棱台的体积可转化为两个锥体的体积之差.( )4.几何体的平面展开方法可能不同，但其表面积唯一确定.( )××√√2题型探究PART TWO一、棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积例1　已知正三棱台(由正三棱锥截得的三棱台)的上、下底面边长分别为3 cm和6 cm，高为 cm，求此正三棱台的表面积.解　如图所示，画出正三棱台ABC－AB1C1，其中O1，O为正三棱台上、下底面的中心，D，D1分别为BC，B1C1的中点，则O O1为正三棱台的高，D D1为侧面梯形BCC1B1的高，四边形ODD1O1为直角梯形，反思感悟(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积求法①多面体的表面积是各个面的面积之和.②棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自底面积的和.(2)求解正棱台的表面积时注意棱台的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱，并注意两个直角梯形的应用：①高、侧棱、上下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角梯形.②高、斜高、上下底面边心距所成的直角梯形.解　∵四棱锥S－ABCD的各棱长均为5，∴各侧面都是全等的正三角形.设E为AB的中点，连接SE(图略)，则SE⊥AB，二、棱柱、棱锥、棱台的体积例2　(1)已知高为3的三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形，如图所示，则三棱锥B 1－ABC 的体积为√解析　设三棱锥B 1－ABC 的高为h ，1B ABCV －三棱锥(2)正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面面积为780 cm2.求其体积.解　正四棱台的大致图形如图所示，其中AB1＝10 cm，AB＝20 cm，取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E为斜高.设O1，O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1为直角梯形.∴EE1＝13 cm.在直角梯形EOO1E1中，反思感悟求解正棱台的体积时，注意棱台的五个基本量(上、下底面边长、高、斜高、侧棱).常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中解决问题；二是把正棱台还原成正棱锥.利用正棱锥的有关知识来解决问题.棱长为1，则四棱锥A1－BB1D1D的体积为____.三、简单组合体的表面积与体积例3　现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P－A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍，若AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积是多少？因为A1B1＝AB＝6 m，所以仓库的容积V＝V锥＋V柱＝24＋288＝312 (m3)，故仓库的容积是312 m3.反思感悟求组合体的表面积和体积，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减.求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减.跟踪训练3　如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，截去三棱锥A1－ABD，求剩余的几何体A1B1C1D1－DBC的表面积和体积.1A BDS △11113A B C D S 正方形1111ABCD A B C D V －正方体1A ABDV －三棱锥核心素养之直观想象HE XIN SU YANG ZHI ZHI GUAN XIANG XIANG几何体体积的求法典例1　等积变换法如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1－D1EF的体积.解　由＝，11A D EF V －三棱锥11F A D E V －三棱锥11A D ES △又三棱锥F －A 1D 1E 的高为CD ＝a ，11F A D EV －三棱锥11A D EFV －三棱锥典例2　分割法如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积.∴S△EAB＝2S△BEF.∴V三棱锥F－EBC＝V三棱锥C－EFB∴多面体的体积V＝V四棱锥E－ABCD＋V三棱锥F－EBC＝16＋4＝20.素养提升(1)转换顶点和底面是求三棱锥体积的一种常用的方法.(2)对于给出的一个不规则的几何体不能直接套用公式，常常需要运用分割法.(3)通过识别几何体的结构特征，提升直观想象的数学核心素养.3随堂演练PART THREE1.若长方体的长、宽、高分别为3 cm,4 cm,5 cm，则长方体的体积为√A.27 cm3B.60 cm3C.64 cm3D.125 cm3解析　V＝3×4×5＝60(cm3).长方体2.如图所示，在正方体ABCD－AB1C1D1中，四棱锥S－ABCD的体积占正方体体积的√解析　令正方体棱长为a，则V＝a3，正方体3.已知正四棱锥，其底面边长为8，棱长为，则正四棱锥的侧面积为A.48B.64√C.80D.1204.棱台的上、下底面面积分别是2,4，高为3，则棱台的体积为________.5.如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为线段B 1C 上的一点，则三棱锥A －DED 1的体积为_____.解析　＝1A DED V －三棱锥1E DD A V －三棱锥课堂小结KE TANG XIAO JIE1.知识清单：(1)棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积.(2)棱柱、棱锥、棱台的体积.(3)组合体的表面积与体积.2.方法归纳：等积法、割补法.3.常见误区：平面图形与立体图形的切换不清楚.4课时对点练PART FOUR基础巩固1.正方体的表面积为96，则正方体的体积为√A.48B.64C.16D.962.已知一直棱柱底面为正方形，它的底面边长为2，体对角线长为4，则这个棱柱的表面积是√3.一个棱柱和一个棱锥的高相等，底面积之比为2∶3，则棱柱与棱锥的体积之比为√解析　设棱柱的高为h，底面积为S，4.如图，ABC－A′B′C′是体积为1的三棱柱，则四棱锥C－AA′B′B的体积是√5.(多选)用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分几何体且上下两部分的高之比为1∶2，则关于上下两几何体的说法正确的是A.侧面积之比为1∶4B.侧面积之比为1∶8C.体积之比为1∶27D.体积之比为1∶26√√解析　依题意，上部分为小棱锥，下部分为棱台，所以小棱锥与原棱锥的底面边长之比为1∶3，高之比为1∶3，所以小棱锥与原棱锥的侧面积之比为1∶9，体积之比为1∶27，即小棱锥与棱台的侧面积之比为1∶8，体积之比为1∶26.6.棱长都是3的三棱锥的表面积S为______，体积为_____.解析　因为三棱锥的四个面是全等的正三角形，7.正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC的中点，1则三棱锥A－B1DC1的体积为____.8.一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为8 cm和18 cm，1 012侧棱长为13 cm，则其表面积为_______ cm2.9.现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积、表面积.解　如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，体对角线A1C＝15，B1D＝9，∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，∴a2＝200，b2＝56.∵该直四棱柱的底面是菱形，∴AB＝8.∴直四棱柱的侧面积S侧＝4×8×5＝160.行于底面的平面所截，得到正六棱台OO′和较小的棱锥PO′.(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面面积之比；解　由题意知S∶S大棱锥侧＝1∶4，小棱锥侧则S大棱锥侧∶S小棱锥侧∶S棱台侧＝4∶1∶3.(2)若大棱锥PO的侧棱长为12 cm，小棱锥的底面边长为4 cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积.。

课件2：1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积

的底面面积.
解：如图，设圆锥底面半径为r，母线长为l，
课堂检测
π 2
l ＝S，
由题意得2

πl＝2πr.
解得 r＝
S
2π，
S S
所以底面积为 πr ＝π×2π＝2.
2
S
∴圆锥的底面面积为2.

形的运算，往往通过解三角形来完成.
跟踪训练
1.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(
A.180
B.200
C.220
D.240
)
【解析】
由三视图知识知该几何体是底面为等腰梯形
的直四棱柱.
等腰梯形的上底长为2，下底长为8，高为4，腰长为5，
1
直四棱柱的高为10，所以S底＝ ×(8＋2)×4×2＝40，
【解析】
S
S
a2
a
3 2


a＝
πa
，
圆柱＝2·π ＋2π· ·
2
2
2
a2
a
3 2

a＝
πa
，∴S
圆锥＝π ＋π· ·
2
2
4

【答案】Biblioteka 2∶1∶S 圆锥＝2∶1.
圆柱
课堂检测
4.如图所示，圆台的上、下底半径和高的比为1∶4∶4，
母线长为10，则圆台的侧面积为________.
S2＝4πr22＝2πa2.
(3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面
3
得截面，如图③，所以有 2r3＝ 3a，r3＝ 2 a，所以 S3＝4πr23
＝3πa2.
名师指导
1.在处理球和长方体的组合问题时，通常先作出过球心

人教版高中数学必修28.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积 课件


2 棱柱、棱锥、棱台的体积
我们以前已经学习了特殊的棱柱—正方体、长方体的体积公式，他们分别是
正方体 = （a是正方体的棱长）长方体 =abc(a,b,c分别是长方体的长、
宽、高）。
一般地，如果棱柱的底面积是S，高为h,那么这个棱柱的体积棱柱 =Sh
如果一个棱柱和棱锥的底面积相等，高也相等，那么，棱柱的体积是棱锥体积
高是5，求该直四棱柱的侧面积．
解：如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点 为O，对
角线A1C＝15，B1D＝9，
∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，∴a2＝200，b2＝56.∵该直四棱柱的底面
是菱形，
∴AB2＝2(AC)2＋2(BD)2＝4(a2＋b2)＝4(200＋56)＝64，
∴AB＝8.∴该直四棱柱的侧面积S＝4×8×5＝160.


三、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( B )
A．54
B．60
C．66
D．72
课堂总结
1、棱柱、棱锥、棱台的表面积
S棱柱表=S棱柱侧+2S底
S棱锥表=S棱锥侧+S底
S棱台表=S棱台侧+S上底+S下底
2、棱柱、棱锥、棱台的体积
V棱柱=Sh（S为底面面积，h为高）
V棱锥=
1
Sh(S为底面面积，h为高）
S棱锥表=S棱锥侧+S底
S棱台表=S棱台侧+S上底+S下底
例一：
如图，四面体P-ABC的各棱长均为a,求他的表面积。
P
解：因为△PBC是正三角形，其边长
为a,所以S△PBC=
P-ABC的表面积
A
B

, 因此四面体

人教A版必修第二册8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课件

体积。
分析：
1.EF∥AB，EF上任意一点到平面ABCD的距离
2
均为3，说明多面体ABCDEF是动态的几何体，
初步估计多面体体积应该不会变。
2.由图可知，多面体ABCDEF不是棱柱、不是
棱锥、也不是棱台。
4
4
4
3.根据已知条件EF上任意一点到平面ABCD的
4
距离均为3可考虑将多面体ABCDEF初步转化
成一个四棱锥和一个三棱锥的组合体。
例4 如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，
EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的
体积。
2
2
3
分割
4
4
4
4
4
4
4
多面体的体积V＝V四棱锥E－ABCD＋V三棱锥F－EBC
4
例4 如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，
a .
2
4
因此，四面体P-ABC的表面积
B
C
S P ABC
3 2
4
a 3a 2 .
4
课本P116练习1变式题
如图所示，已知正四棱台(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的
投影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，
求正四棱台的侧面积。
正四棱台四个侧面是全等的等腰梯形
要构造出侧面等腰梯形的高
所以底面积与高都相等的两棱柱体积相等
比如用一叠较厚的书，
由长方体推移成斜四棱柱，
体积不变。
问题3、如何计算棱锥的体积？
回顾初中学的一个结论：
如果一个圆柱和一个圆锥的底面

8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课件ppt

连接 AC,BD,交于 O,连接 PO,则 PO⊥底面
1
1
ABCD,OC=2AC=2×3 2 ×
2=3(cm),
又棱长 PC=5 cm,∴OP= 52 -32 =4(cm),
1
∴VP-ABCD=3×18×4=24(cm3).
取 BC 边的中点 E,连接 PE,则 PE 为等腰三角形 PBC 的高,在 Rt△PBE
所以 A1B1=A1O1= 42 -22 =2 3(m),
取 A1B1 的中点为 Q,连接 O1Q,PQ,易得 PQ⊥A1B1.
1
所以 A1Q=2O1A1= 3,PQ= 12 -1 2 =
13(m),
设帐篷上部的侧面积为 S1,下部的侧面积为 S2,
1
所以 S1=6× A1B1·PQ=6 39(m2),
(
27
A． 4
9
B．4
27 3
C． 4
9 3
D． 4
)
【答案】D
1
3 2
【解析】
由题意可得底面正三角形的边长为 3，
所以 V＝3× 4 ×3 ×3
9 3
＝ 4 .故选 D．
3.已知正四棱锥棱长为5,底面边长为6,则此正四棱锥的表面积是(
A.48
B.12 7
C.84
D.36+12 7
)
答案 C
2
6
解析 正四棱锥的底面积为 6×6=36,侧面等腰三角形的高为 52 - 2 =4,则
2
2
所以 A1H= 1
2 - 2
=
1
1
其面积 S1= BD·A1H= ×
2
2ห้องสมุดไป่ตู้
2
( 2) -
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6
1.3.1.1
棱柱的展开图
柱体、锥体、台体的表面积
？棱柱的侧面展开图是什么，如何计算它的表面积。
正棱柱的侧面展开图
五棱柱展开图.gsp
下午3时57分39秒 人民教育出版社 高中数学 必修二 7
1.3.1.1
棱锥的展开图
柱体、锥体、台体的表面积
？棱锥的侧面展开图是什么，如何计算它的表面积。
5
1.3.1.1
引入新课:
柱体、锥体、台体的表面积
我们可以把柱体、锥体、台体展成平面图形，利用 平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积吗？ 自主探究: 棱柱、棱锥、棱台是由多个平面图形围成的几何 体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？
下午3时57分39秒
人民教育出版社 高中数学 必修二
柱体、锥体、台体的表面积
巩固提高 1.已知圆台的上底面半径为r’ =2,下底面半径为r =4，母线长为l =5，求①它的侧面积，②两底面面 积之和。
2.已知圆台的上底面半径为r’ =1,且侧面积等于两 底面面积之和，母线长为l =5/2,求下底面半径r 。
下午3时57分39秒
人民教育出版社 高中数学 必修二
1.3.1.1
柱体、锥体、台体的表面积
B
D
C
因此，四面体S-ABC
下午3时57分39秒
的表面积是 3
4
a．
2
人民教育出版社 高中数学 必修二
11
1.3.1.1
巩固提高
柱体、锥体、台体的表面积
1、已知棱长为a，底面为正方形，各侧面均为等边三 角形的四棱锥S-ABCD，求它的表面积。
2、已知底面为正方形，各侧 面 均 为 等 边 三角形 的四棱锥S-ABCD的表面积为4(1 3 ) ，求它的棱长。
下午3时57分39秒 人民教育出版社 高中数学 必修二 4
1.3.1.1
柱体、锥体、台体的表面积
【一】柱体、锥体、台体的表面积 提出问题:已经学过了正方体的表面积，你知道正方体和 长方体的展开图与其表面积的关系吗？
几何体表面积
下午3时57分39秒
展开图
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平面图形面积
人民教育出版社
高中数学-必修2
1.3.1.1 柱体、锥体、台体的表面积
数科院09数本2班 黄本球
1.3.1.1
柱体、锥体、台体的表面积
悉尼歌剧院
图片欣 赏：敦奥运会主场馆 伦
世博会中国馆
北京奥运运会水立方
下午3时57分39秒
人民教育出版社 高中数学 必修二
2
1.3.1.1
复习回顾：
圆周长公式： 圆面积公式：

h'
正棱锥的侧面展开图
棱锥侧面展开（田野风）.gsp
下午3时57分39秒 人民教育出版社 高中数学 必修二
h'
8
1.3.1.1
棱台的展开图
柱体、锥体、台体的表面积
？棱台的侧面展开图是什么，如何计算它的表面积。
h' h'
正棱台的侧面展开图
棱台的侧面展开（田野风）.gsp
下午3时57分39秒 人民教育出版社 高中数学 必修二
思考：面积是相对于平面图形而言的，体积 是相对于空间几何体而言的。那么侧面积、全面 积、表面积、体积又有什么含义呢？ 侧面积: 指立体图形各个侧面面积之和。（去掉底面） 全面积: 全面积是立体几何里的概念，相对于截面 积来说，就是表面积的总和。 表面积:立体图形能触摸到的面积之和。（即每个面的 面积之和） 体 积：几何体所占空间的大小。
所用的数学思想：空间问题“平面”化
下午3时57分39秒 人民教育出版社 高中数学 必修二 19
1.3.1.1
课后作业：
柱体、锥体、台体的表面积
必做题：课本28页习题1.3第2、3题； 选做题：如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD 是边长为2的正方形,OA垂直于底面ABCD,M为 OA的中点,OA=2．求四棱锥的体积.
O M
A B C
D
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20
18
小结：柱体、锥体、台体的表面积 圆柱 S 2r (r l ) 圆柱、圆 锥、圆台
r r
1.3.1.1
柱体、锥体、台体的表面积
S 圆台 (r2 r 2 r l rl )
r 0
圆锥 S r (r l ) 圆柱、圆 锥、圆台 展开图 各面面积之和
柱体、锥体、台体的表面积
C 2 r
S r2 1 扇形面积公式： S rl 2
1 梯形面积公式： S (a b)h 2
1 扇环面积公式： S (l l ')(r r ') 2
人民教育出版社 高中数学 必修二 3
下午3时57分39秒
1.3.1.1
柱体、锥体、台体的表面积
2r
l
O 圆锥的侧面展开图是扇形
r
S圆锥表面积 r rl r (r l )
2
下午3时57分39秒 人民教育出版社 高中数学 必修二 14
1.3.1.1
圆台的表面积
柱体、锥体、台体的表面积
2r '
r'
2r
O ’
O 圆台的侧面展开图是扇环
r
S圆台表面积 (r r r l rl )
2 2
下午3时57分39秒 人民教育出版社 高中数学 必修二 15
1.3.1.1
三者之间关系
柱体、锥体、台体的表面积
?圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系.
r O
l
O
r'
r’ 上底扩大 ＝
O ’ l
O
r’
上底缩小
l
r
r
O
2 r 2 r l rl ) S台 (r
下午3时57分39秒
人民教育出版社 高中数学 必修二
12
1.3.1.1
圆柱的表面积
柱体、锥体、台体的表面积
l
圆柱的侧面展开图是矩形
S圆柱表面积 2r 2 2rl 2r (r l )
下午3时57分39秒
人民教育出版社 高中数学 必修二
13
1.3.1.1
圆锥的表面积
柱体、锥体、台体的表面积
9
1.3.1.1
柱体、锥体、台体的表面积
h'
h'
棱柱的侧面展开图是由平行四边形组成的平面图 形，棱锥的侧面展开图是由三角形组成的平面图形， 棱台的侧面展开图是由梯形组成的平面图形。 这样，求它们的表面积的问题就可转化为求平行 四边形、三角形、梯形的面积问题。
下午3时57分39秒 人民教育出版社 高中数学 必修二 10
2 15 2 15 20 1.5 S 15 15 2 2 2 2
15cm
15cm
999 (cm2 )
答：花盆的表面积约是999c㎡
人民教育出版社 高中数学 必修二 17
下午3时57分39秒
1.3.1.1
典型例题 例1 已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体 S-ABC，求它的表面积. S 解：在三角形BCS中，作SD垂直于BC, 交BC于点D。 3 SD a 因为BC=a， SB sin 60 A
2
S 所以： ABC 1 1 3 3 2 BC SD a a a 2 2 2 4
下午3时57分39秒 人民教育出版社 高中数学 必修二 16
1.3.1.1
柱体、锥体、台体的表面积
典型例题 例2 如图，一个圆台形花盆盆口直径20 cm，盆底 直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5 cm，盆壁长 15cm．那么花盆的表面积约是多少平方厘米（取 3.14，结果精确到1）？ 解：由圆台的表面积公式得 20cm 花盆的表面积：