整数指数幂及其运算 主备人季春鸿 教学目标 1.理解负整数指数幂的概念，了解整式和分式在形式上的统一 2.掌握整数指数幂运算的性质，会用性质进行简单的整数指数幂的相关计算 3.体验由正整数指数幂到负整数指数幂的扩充过程，体验数学研究的一般方法：由特殊到一般及转化思想 教学重点与难点 1.负整数指数幂的概念 2.理解整数指数幂的运算性质；会运用性质进行相关的计算 教学过程 一．复习引入： 1.计算：27÷23=_____，a9÷a4=_____； （由学生用数学式子表示上述同底数幂的除法法则，并指出其中字母的规定，强调指数是正整数，底数不等于零） 2.思考：22÷25=______；a2÷a4=_____； 在学生独立思考的基础上，让学生猜测计算的结果，并请学生讲解计算的过程及依据，体验分数与除法的关系；然后进一步提出“如何用
幂的形式表示计算结果”的问题 222 12=-、331a a -= 二．学习新课：整数指数幂及其运算 1．负整数指数幂的概念：p p a 1a =-（a ≠0，p 是自然数） 2．整数指数幂：当a ≠0时，n a 就是整数指数幂，n 可以是正整数、负整数和零 将下列各式写成只含正整数指数幂的形式： 2210 110=-、551x x -= 变式训练1：221(10)(10)--= -、551(1)(1)x x --=- 变式训练2：13 2()23-=、2227()()72-= 通过变式训练2，学生同桌讨论当指数为负数，底数为分数时的情形，并总结出()()p p a b b a -= 判断正误： 02122 2271 (2)4 1(50)501 7729()34x x -----=-=-=- ==①②③④⑤
零指数幂与负整数指数幂练习题 一．解答题（共30小题） 1．计算：． 2．计算： 3．（1）计算：|﹣3|﹣+（π﹣3.14）0 （2）先化简，再求值：（3+m）（3﹣m）+m（m﹣4）﹣7，其中m= 4．计算：． 5．计算： 6．计算：22﹣（﹣1）0+． 7．计算：． 8．计算：．
9．（1）计算|﹣2|+（﹣1）0﹣（）﹣1﹣（﹣1）2011 （2）化简． 10．计算： 11．（1）计算：． （2）化简：求值.3（x2﹣2xy）﹣[3x2﹣2y+2（xy+y）]，其中x=﹣，y=﹣3．12．（1）计算：23+﹣﹣； （2）解方程组：． 13．计算：．14．（2009?重庆）计算：|﹣2|+（）﹣1×（π﹣）0﹣+（﹣1）2． 15．计算：﹣12+|﹣2|+（）﹣1﹣5×（2009﹣π）0
16．计算：（﹣2）2+2×（﹣3）+（）﹣1 17．（1）计算：（）﹣1﹣++（﹣1）2009 （2）解方程组： 18．计算：|﹣|+（3.14﹣π）0+（﹣）2×（）﹣2 19．计算﹣22+|4﹣7|+（﹣π）0 20．（1）计算：（）2﹣（﹣3）+20（2）因式分解：a3﹣ab2．21．计算：﹣（﹣1）+|﹣2|+（π+3）0﹣． 22．计算：+（﹣）0+（﹣1）3﹣|﹣1|． 23．计算：． 24．计算：22+（4﹣7）÷+（）0
25．计算： 26．计算：|﹣2|+﹣（）﹣1+（3﹣π）0 27．计算：﹣1+（﹣2）3+|﹣3|﹣ 28．计算：（﹣1）2006+|﹣|﹣（2﹣）0﹣3．29．计算：．30．计算：
零指数幂与负整数指数幂练习题及答案 参考答案与试题解析 一．解答题（共30小题） 1．计算：． 解 答： 解：原式=3﹣1+4=6．故答案为6． 2．计算： 解 答： 解：， =2+1+4﹣2， =5． 故答案为：5． 3．（1）计算：|﹣3|﹣+（π﹣3.14）0 （2）先化简，再求值：（3+m）（3﹣m）+m（m﹣4）﹣7，其中m= 解答：解：（1）原式=3﹣4+1 =0； （2）原式=9﹣m2+m2﹣4m﹣7 =2﹣4m， 当m=时，原式=2﹣4×=1． 4．计算：． 解 答： 解：原式=（﹣2）+1+2=1，故答案为1．5．计算：． 解答：解：原式=2+3+1﹣1 =5． 6．计算：22﹣（﹣1）0+． 解 答： 解：原式=4﹣1+2=5． 7．计算：． 解答：解： =1+3﹣1﹣（﹣2）=5． 故答案为5． 8．计算：．解 答： 解：原式= =． 9．（1）计算|﹣2|+（﹣1）0﹣（）﹣1﹣（﹣1）2011
课题 整数指数幂的运算法则 【学习目标】 1．理解整数指数幂的运算法则，并熟练实行运算． 2．熟练掌握整数指数幂的性质． 3．在学习过程中进一步培养学生的逻辑思维水平与计算水平． 【学习重点】 整数指数幂的运算法则． 【学习难点】 整数指数幂的各种运算． 行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么． 行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案． 教会学生落实重点． 注意：1.指数为负数的数不一定是负数． 2．最后结果不能含有负指数，若有负指数，应化成分数或分式的形式．情景导入 生成问题 知识回顾：教材P 19说一说： 1．正整数指数幂的运算法则有哪些？ a m ·a n ＝a m ＋n ；(a m )n ＝a nm ；(ab)n ＝a n b n ； a m a n ＝a m －n (a ≠0)；????a b n ＝a n b n (b ≠0)． 2．零指数幂与负整数指数幂： a 0＝1(a ≠0)；a －n ＝a 0－n ＝a 0 （a n ） ＝（1）a n ；a －1＝1a (a ≠0)． 自学互研 生成水平 知识模块 整数指数幂的运算法则及运算 (一)自主学习 阅读教材P 20例7、例8. (二)合作探究 学习例7、例8的计算，你发现了什么？ 在前面我们已经把幂的指数从正整数推广到了整数，能够说明：当a ≠0，b ≠0时，正整数指数幂的运算法则对于整数指数幂也成立． 归纳：a m a n ＝a m ·1a n ＝a m ·a －n ＝a m ＋(－n)＝a m －n ； ????a b n ＝(a·b －1)n ＝a n ·(b －1)n ＝a n ·b －n ＝a n b n . 我们能够把正整数指数幂的5个运算法则推广并归纳为整数指数幂的以下3个运算法则：
整数指数幂的运算法则 教学目标：1、通过探索掌握整数指数幂的运算法则。 2、会熟练进行整数指数幂的运算。 3、让学生感受从特殊到一般的数学研究的一个重要方法。 重 点：整数指数幂的运算法则的推导和应用。 难 点：整数指数幂的运算法则的理解。 过 程： (一)课前检测 正整数指数幂运算法则： =?n m a a =n m a ）（ =?n b a ）（ =n m a a =n b a ）（ (二)新课预习 1、自主探究： 1）、阅读教材P41~42 2）、尝试完成下列练习，检查自学效果： 1、下列运算正确的是： A:632a a a =? B: 532a a --=）（ C:22-a 412a --= D: 222a 3a a --=- 2、设a ≠0，b ≠0，计算下列各式： =?-25a a =-3-2a ）（ =-4-12b a b a ）（ =-33b 2a ）（ 3、计算下列各式： 23222x 3y x y -- 22 222 x 2()xy y x y --+- = = = = 3)、完成课后练习。 （三）、成果呈现 1）、抽查各小组预习答案，并请学生代表小组展示。 2）、其它小组质疑、辩论、点评。 3）、全班归纳总结本节知识。 （四）：练习巩固：
A 1、计算 =?-38x x =--332y x ）（ =-3-24ab a ）（ =?-382-2）（ =÷-2 35ab 2b -a ）（ =-+--2224x 4x 4x ）（ B 2、若27 13x =，则x= 3、一个分式含有x 的负整数指数幂，且当x=2时，分式没有意义，请你写出一个这样的分式 。 C 4、已知01132=++x x ，求1-+x x 与2 2-+x x 的值。 6、小结： 整数指数幂的运算法则： =?n m a a =n m a ）（ =?n b a ）（ =n m a a =n b a ）（ 错题更正：
一、解答题（共30小题） 1、（2010?漳州）计算：（﹣2）0+（﹣1）2010﹣（） ﹣ 考点：负整数指数幂；有理数的乘方；零指数幂。 专题：计算题。 分析：本题涉及零指数幂、乘方、负整数指数幂三个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 解答：解：原式=1+1﹣2 =0． 故答案为0． 点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、乘方等考点的运算． 2、（2010?西宁）计算：（）﹣ ﹣（﹣） 考点：负整数指数幂；有理数的乘方；零指数幂。 专题：计算题。 分析：此题涉及到负整数指数幂、零指数幂、乘方三个知识点，在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得结果． 解答：解：原式=2﹣1+（）（3分） =2﹣1+1（5分） =2．（7分） 点评：本题考查实数的综合运算能力，解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、乘方等考点的运算． 3、（2010?邵阳）计算：（）﹣ ﹣ 考点：负整数指数幂。 专题：计算题。 分析：根据负整数指数幂、倒数、立方根的知识点进行解答，一个数的负指数次幂等于这个数的正指数次幂的倒数；互为倒数的两个数的积为1；8的立方根是2． 解答：解：原式=3﹣1+2=4．故答案为4． 点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、立方根、倒数的知识点． 4、（2009?重庆）计算：|﹣2|+（）﹣1×（π﹣）0﹣+（﹣1）2． 考点：负整数指数幂；绝对值；有理数的乘方；算术平方根；零指数幂。 专题：计算题。 分析：根据绝对值、负整数指数幂、零指数幂、算术平方根、有理数的乘方等知识点进行解答．
零指数幂与负整数指数幂练习题及答案 一．解答题（共30小题） 1．计算：． 2．计算： 3．（1）计算：|﹣3|﹣+（π﹣）0 （2）先化简，再求值：（3+m）（3﹣m）+m（m﹣4）﹣7，其中m= 4．计算：． 5．计算：6．计算：22﹣（﹣1）0+．7．计算：． 8．计算：．
9．（1）计算|﹣2|+（﹣1）0﹣（）﹣1﹣（﹣1）2011 （2）化简． 10．计算： 11．（1）计算：． （2）化简：求值.3（x2﹣2xy）﹣[3x2﹣2y+2（xy+y）]，其中x=﹣，y=﹣3．12．（1）计算：23+﹣﹣； （2）解方程组：． 13．计算：．14．（2009重庆）计算：|﹣2|+（）﹣1×（π﹣）0﹣+（﹣1）2．
15．计算：﹣12+|﹣2|+（）﹣1﹣5×（2009﹣π）0 16．计算：（﹣2）2+2×（﹣3）+（）﹣1 17．（1）计算：（）﹣1﹣++（﹣1）2009 （2）解方程组： 18．计算：|﹣|+（﹣π）0+（﹣）2×（）﹣2 19．计算﹣22+|4﹣7|+（﹣π）0 20．（1）计算：（）2﹣（﹣3）+20（2）因式分解：a3﹣ab2． 21．计算：﹣（﹣1）+|﹣2|+（π+3）0﹣． 22．计算：+（﹣）0+（﹣1）3﹣|﹣1|．
23．计算：．24．计算：22+（4﹣7）÷+（）0 25．计算： 26．计算：|﹣2|+﹣（）﹣1+（3﹣π）0 27．计算：﹣1+（﹣2）3+|﹣3|﹣ 28．计算：（﹣1）2006+|﹣|﹣（2﹣）0﹣3．29．计算：．30．计算：
零指数幂与负整数指数幂练习题及答案 参考答案与试题解析 一．解答题（共30小题） 1．计算：． 解答：解：原式=3﹣1+4=6．故答案为6． 2．计算： 解答： 解：， =2+1+4﹣2， =5． 故答案为：5． 3．（1）计算：|﹣3|﹣+（π﹣）0 （2）先化简，再求值：（3+m）（3﹣m）+m（m﹣4）﹣7，其中m= 解答：解：（1）原式=3﹣4+1 =0； （2）原式=9﹣m2+m2﹣4m﹣7 =2﹣4m， 当m=时，原式=2﹣4×=1． 4．计算：． 解答：解：原式=（﹣2）+1+2=1，故答案为1． 5．计算：． 解答：解：原式=2+3+1﹣1 =5． 6．计算：22﹣（﹣1）0+． 解答：解：原式=4﹣1+2=5． 7．计算：． 解答： 解： =1+3﹣1﹣（﹣2） =5． 故答案为5． 8．计算：． 解答： 解：原式= =．
整数指数幂 教学目标： 1、 使学生掌握不等于零的零次幂的意义。 2、 使学生掌握n n a a 1= -（a ≠0，n 是正整数）并会运用它进行计算。 3、 通过探索，让学生体会到从特殊到一般的方法是研究数学的一个重要方法。 重点难点： 不等于零的数的零次幂的意义以及理解和应用负整数指数幂的性质是本节课的重点也是难点。 教学过程： 一、讲解零指数幂的有关知识 1、 问题1 同底数幂的除法公式a m ÷a n =a m-n 时，有一个附加条件：m ＞n ，即被除数的指数大于除 数的指数.当被除数的指数不大于除数的指数，即m =n 或m ＜n 时，情况怎样呢 2、探 索 先考察被除数的指数等于除数的指数的情况.例如考察下列算式： 52÷52，103÷103，a 5÷a 5(a ≠0). 一方面，如果仿照同底数幂的除法公式来计算，得 52÷52＝52-2＝50， 103÷103＝103-3＝100， a 5÷a 5＝a 5-5＝a 0(a ≠0). 另一方面，由于这几个式子的被除式等于除式，由除法的意义可知，所得的商都等于1. 3、概 括 我们规定： 50=1，100=1，a 0=1（a ≠0）. 这就是说：任何不等于零的数的零次幂都等于1. 二、讲解负指数幂的有关知识 1、探 索 我们再来考察被除数的指数小于除数的指数的情况，例如考察下列算式： 52÷55， 103÷107， 一方面，如果仿照同底数幂的除法公式来计算，得 52÷55＝52-5＝5-3， 103÷107＝103-7＝10-4. 另一方面，我们可利用约分，直接算出这两个式子的结果为 52÷55＝5255＝322555?＝351， 103÷107＝731010＝433101010?＝4101. 2、概 括 由此启发，我们规定： 5-3＝351， 10-4＝4 101. 一般地，我们规定： n n a a 1=-(a ≠0，n 是正整数)
【典型例题】 例1. 若式子0 (21)x -有意义，求x 的取值范围。 分析：由零指数幂的意义可知.只要底数不等于零即可。 解：由2x －1≠0，得1 2x ≠ 即，当 1 2x ≠ 时，0 (21)x -有意义 例2. 计算：（1） 32 031110( )(5)(3)0.31230π--+?---?+-； （2） 42310 [()()](0)a a a a -?-÷≠。 分析：按照有关法则进行运算即可，注意运算顺序。 解：（1）32 031110( )(5)(3)0.31230π--+?---?+- =213 100030127()12 10-+?+?+ =10 10009002712 3++?+ =2002 （2）4 23 10 4 6 10 10 10 [()()][()]1a a a a a a a a -?-÷=?-÷=-÷=- 例3. 计算下列各式，并把结果化为只含有正整数指数幂的形式. （1）1 322 (3)m n ---- （2） 2 2 1 23 [2()()][()()]x y x y x y x y -----+?-?+?- 分析：正整数指数幂的相关运算对负整数指数幂和零指数幂同样适用.对于第（2）题，在运算过程中要把(x+y)、(x-y)看成一个整体进行运算。 解：（1） 4 1 322 12 32 22 2 6 4 6 9(3)(3)()()(3)n m n m n m n m ----------=-=-=； 或者：3224 1 322 23322326 2222 11(3)9(3)()()3()()3(3)m n n m n m m n m m n n -----=-==== （2） 22123 [2()()][()()]x y x y x y x y -----+?-?+?- =22221323 (2)[()]()[()][()]x y x y x y x y --------?+?-?+?- =42362 1()()()()(2)x y x y x y x y --?+?-?+?-- =4326 1 ()()4x y x y -+-+?+- =4()4()x y x y -+. 例4. 用科学记数法表示下列各数.
1、有理数指数幂的分类 （1）正整数指数幂()n n a a a a a n N *=????∈64748L 个； （2）零指数幂)0(10 ≠=a a ； （3）负整数指数幂()10,n n a a n N a -*=≠∈ （4）0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂没有意义。 2、有理数指数幂的性质 （1）()0,,m n m n a a a a m n Q ==>∈ （2）()()0,,n m mn a a a m n Q =>∈ （3）()()0,0,m m m ab a b a b m Q =>>∈ 知能点2：无理数指数幂 若a ＞0，P 是一个无理数，则p a 表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用。 知能点3：根式 1、根式的定义：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中()* ∈>N n n ,1，n a 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫被开方数。 2 （1）n N ∈，且 1n >； （2）当n 是奇数，则a a n n =；当n 是偶数，则 ?? ?<-≥==0 0a a a a a a n n ； （3）负数没有偶次方根； （4）零的任何次方根都是零。 3、我们规定： （1）) 0,,,1m n a a m n N n *=>∈>； （2）)10,,,1m n m n a a m n N n a -*= = >∈> 一、填空
1、用根式的形式表示下列各式)0(>a （1）51 a = （2）34a = （3）35 a - = （4）32 a - = 2、用分数指数幂的形式表示下列各式： （1）3 4y x = （2）)0(2 >= m m m （3 = ； （4）a a a = ； （5） =?a a 2 （6）=?3 2 3a a （7）=a a （8） =3 5 6q p 3、求下列各式的值 （1）2 38= ；（2）12 100- = ； （3）3 1()4 -= ； （4）3416()81- = ；（5）3227= ； （6）23 )49 36(= ； （7）23)4 25(-= ；（8）2325= ；（9 ）1 2 2[(]-= ； （10）=3 264 4.化简 （1）=??12 74 33 1a a a （2）=÷?6 54 32 3a a a （3）=÷-?a a a 9)(34 32 3 （4） 3 2 2 a a a ?= （5）3 163)278(--b a = （6）??? ? ??---32 31312212x x x = （7）()0,053542 15 65 8 ≠≠÷???? ? ? ? - -b a b a b a = （8）)3()6)(2(6 56 13 12 12 13 2b a b a b a -÷-= 5.计算 （1）43 512525÷- (2) （3）2 1031 9 )4 1 ()2(4)2 1(----+-?- （4）() 5 .02 1 2001.04122432-?? ? ???+? ?? ??- - 6.已知112 2 3a a -+=，求下列各式的值（1）1 a a -+= ；（2）2 2 a a -+=
2.1.1指数与指数幂的运算练习题 1、有理数指数幂的分类 （1）正整数指数幂； （2）零指数幂； （3）负整数指数幂 （4）0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂没有意义。 2、有理数指数幂的性质 （1） （2） （3） 知能点2：无理数指数幂 若＞0，是一个无理数，则表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用。 知能点3：根式 1、根式的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，叫做根式，叫做根指数，叫被开方数。 2、对于根式记号，要注意以下几点： （1），且； （2）当是奇数，则；当是偶数，则； （3）负数没有偶次方根； （4）零的任何次方根都是零。 3、我们规定： （1）； （2） 一、填空 1、用根式的形式表示下列各式 （1）= （2）= （3）= （4）= 2、用分数指数幂的形式表示下列各式： （1）= （2） （3）= ；（4）= ； （5）（6）（7） （8） 3、求下列各式的值 （1）= ；（2）= ；（3）= ； （4）= ；（5）= ；（6）= ； （7）= ；（8）= ；（9）= ； （10） 4.化简 （1）（2）
（3）（4）= （5）= （6）= （7）= （8）= 5.计算 （1）(2) （3）（4） 6.已知，求下列各式的值（1）= ；（2）= 7.若，则和用根式形式表示分别为和，和用分数指数幂形式表示分别为和。 8.使式子有意义的x的取值范围是_. 9.若，,则的值= . 10.已知，则的值为. 二.选择题. ，下列各式一定有意义的是（） A. B. C. D. ，下列各式一定有意义的是（） A. B. C. D. 下列各式计算正确的是（） A. B. C. D. 4、若，且为整数，则下列各式中正确的是（） A、B、C、D、 5、下列运算结果中，正确的是（） A．B．C．D． 6.下列各式中成立的是（） A．B．C．D． 7.下列各式成立的是（） A. B. C. D.
第13课时 整数指数幂及其运算 教学目标 理解整数指数幂的概念，掌握其运算法则. 知识精要 1．零指数 )0(10≠=a a 2．负整数指数 ).,0(1为正整数p a a a p p ≠=- 注意正整数幂的运算性质: n n n mn n m n m n m n m n m b a ab a a a a a a a a a ==≠=÷=?-+)(, )(), 0(, 可以推广到整数指数幂，也就是上述等式中的m 、 n 可以是0或负整数． 3. 用科学记数法表示绝对值大于0而小于1的数的方法: 绝对值大于0而小于1的数可以表示为：10n a -?（其中110,a n ≤<为正整数） 热身练习 1. 当x ________时，2(42)x -+有意义？ 2. 将代数式22 2332b a ----化成不含负指数的形式_______. 3. 将235()x y --+写成只含有正整数幂的形式是_______. 4. 计算： （1）03211(0.5)()()22 ---÷-+ （2）2574x x x x x ÷÷?? （3）2222()()a b a b -----÷+ （4） 32 3()xy -
（5）02140)21()31()101()21()2(?++------ （6） 52332()()y y y ---÷? 5. 用小数表示下列各数 （1）610- （2）31.20810-? （3）59.0410--? 6. 用科学记数法表示下列各数 （1）34200 （2）0.0000543 （3）－0.000789 7. 计算：22(2)2----=_______. 8.自从扫描隧道显微镜发明后，世界上便诞生了一门新学科，这就是“纳米技术”.已知52个纳米的长度为0.000000052米，用科学记数法表示此数为_________米. 精解名题 1. 用负整数指数幂表示下列各式
? 零指数幂与负整数指数幂练习题 1、计算：-1-（-1）0的结果正确是（） A．0 B．1 C．2 D．-2 2、芝麻作为食品和药物，均广泛使用．经测算，一粒芝麻约有0．00000201千克，用科学记数法表示为（） A．×10-6千克 B．×10-5千克 C．×10-7千克 D．×10-7千克 3、已知空气的单位体积质量为1．24×10-3克/厘米3，1．24×10-3用小数表示为（） A．B．C．D． 4、如图，H7N9病毒直径为30纳米（1纳米=10-9米），用科学记数法表示这个病毒直径的大小，正确的是（） ： A．30×10-9米B．×10-8米C．×10-10米D．×10-9米 5、计算的结果是( ) A．4 B．-4 C． D． 6、若(x-2)0=1，则( ) A．x≠0 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠2 7、若，则x=( ) A．10 B．1 C．0 D．以上结论都不对 > 8、下列运算正确的是( )
A．=0 B．(9-33)0=0 C．(-1)0=1 D．(-2)0=-2 9、化简(x≠-y)为（） A．1 B．0 C．x+y D．以上结论都不对 10、英国曼彻斯特大学的两位科学家因为成功地从石墨中分离出石墨烯，荣获了诺贝尔物理学奖．石墨烯目前是世上最薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅000 000 34米，将这个数用科学记数法表示为（） A．×10-9B．×10-9%C．×10-10D．×10-11 11、花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为毫克，已知1克=1000毫克,那么毫克可用科学记数法表示为（） A．×10﹣5克B．×10﹣6克 C．37×10﹣7克D．×10﹣8克 12、计算：． ' 13、某种原子直径为×10-2纳米，把这个数化为小数是_______纳米． 14、钓鱼岛列岛是我国固有领土，共由8个岛屿组成，其中最大的岛是钓鱼岛，面积约为平方公里，最小的岛是飞濑屿，面积约为平方公里．请用科学记数法表示飞濑屿的面积约为_______平方公里． 15、若（a-2）a+1=1，则a=______． 16、若，则x=______． 17、如果无意义，则=______． 18、计算：4-2x5?（23x-2）2=________． 19、用小数表示：×10-5=______． 20、 ，
整数指数幂 【教学目标】 1．了解负整数指数幂的意义； 2．了解整数指数幂的性质并能运用它进行计算； 3．会利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些小于1的正数。 【教学重难点】 让学生意识到有关幂的运算最终结果要化成正整数指数幂，学会负整数指数幂的意义的合理性和整数指数幂的性质应用。 【教学过程】 一、复习引入新课。 1．问题1：你们还记得正整数指数幂的意义吗？正整数指数幂有哪些运算性质呢？ 追问：将正整数指数幂的运算性质中指数的取值范围由“正整数”扩大到“整数”，这些性质还适用吗？ 师生活动：教师设疑，学生回忆，引出本节课的课题。 2．探索负整数指数幂的意义。 问题2：m a中指数m可以是负整数吗？如果可以，那么负整数指数幂m a表示什么？ （1）根据分式的约分，当a≠0时，如何计算35 a a ÷？ （2）如果把正整数指数幂的运算性质m n m n ÷=（a≠0，m，n是正整数，m＞n）中 a a a- 的条件m＞n去掉，即假设这个性质对于像35 ÷的情形也能使用，如何计算？ a a 师生活动：教师提出问题，学生独立思考后，交流自己的做法，激发学生探究新知的欲望。 3．探索整数指数幂的性质。 问题3：引入负整数指数和0指数后，m n m n ÷=（m，n是正整数）这条性质能否推 a a a- 广到m，n是任意整数的情形？ 师生活动：教师提出问题，引发学生思考。教师可以适当引导学生从特殊情形入手进行研究，然后再用其他整数指数验证这个规律是否仍然成立。 问题4：类似地，你可以用负整数指数幂或0指数幂对于其他正整数指数幂的运算性质进
0.00001＝ ＝ 归纳：10n -＝ ＝ 师生活动：师生共同探索，发现规律。 追问1：如何用科学记数法表示0.0035和0.0000982呢？ 师生活动：教师提出问题，学生讲述方法，教师板书。 0.0035＝3.5×0.001＝-33.510?， 0.0000982＝9.82×0.00001＝-59.8210?。 追问2：观察这两个等式，你能发现10的指数与什么有关呢？ 师生活动：学生独立思考后交流看法，师生共同寻找规律：对于一个小于1的正数，从小数点前的第一个0算起至小数点后第一个非0数字前有几个0，用科学计数法表示这个数时，10的指数就是负几。 例10：用科学记数法表示下列各数： （1）0.3；（2）0.00078；（3）0.00002009． 师生活动：教师提出问题，学生口述，教师板书。 例11：纳米（nm ）是非常小的长度单位，1nm ＝-910m 。把13nm 的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上。13mm 的空间可以放多少个13nm 的物体（物体之间的间隙忽略不计）？ 师生活动：教师提出问题，由学生独立思考，并讲解解题思路。首先需要将1和13nm 的单位统一。由于1mm ＝-310m ，1nm ＝-910m ，所以13mm ＝()3-3103m ，13nm ＝()3-9310m ，再做除法即可求解。 二、练习。 1．用科学记数法表示下列各数： 000001，0.0012，0.000000345，0.0000000108。 师生活动：两名学生板书，其他学生在练习本上完成，教师巡视，及时给予指导，解题过程可由学生进行评价。 三、小结。 教师与学生一起回顾本节课所学习的主要内容，并请学生回答以下问题： （1）本节课学习了哪些主要内容？ 3m m
零指数幂与负整数指数幂练习题 1、计算：-1-（-1）0的结果正确是（） A．0 B．1 C．2 D．-2 2、芝麻作为食品和药物，均广泛使用．经测算，一粒芝麻约有0．00000201千克，用科学记数法表示为（） A．2.01×10-6千克 B．0.201×10-5千克 C．20.1×10-7千克 D．2.01×10-7千克 3、已知空气的单位体积质量为1．24×10-3克/厘米3，1．24×10-3用小数表示为（） A．0.000124 B．0.0124 C．-0.00124 D．0.00124 4、如图，H7N9病毒直径为30纳米（1纳米=10-9米），用科学记数法表示这个病毒直径的大小，正确的是（） A．30×10-9米 B．3.0×10-8米 C．3.0×10-10米 D．0.3×10-9米 5、计算的结果是( ) A．4 B．-4 C． D． 6、若(x-2)0=1，则( ) A．x≠0 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠2 7、若，则x=( ) A．10 B．1 C．0 D．以上结论都不对 8、下列运算正确的是( ) A．0.050=0 B．(9-33)0=0 C．(-1)0=1 D．(-2)0=-2 9、化简(x≠-y)为（） A．1 B．0 C．x+y D．以上结论都不对
10、英国曼彻斯特大学的两位科学家因为成功地从石墨中分离出石墨烯，荣获了诺贝尔物理学奖．石墨烯目前是世上最薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅0.000 000 000 34米，将这个数用科学记数法表示为（） A．0.34×10-9B．3.4×10-9C．3.4×10-10D．3.4×10-11 11、花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为0.000037毫克，已知1克=1000毫克,那么0.000037毫克可用科学记数法表示为（） A．3.7×10﹣5克B．3.7×10﹣6克 C．37×10﹣7克D．3.7×10﹣8克 12、计算：． 13、某种原子直径为1.2×10-2纳米，把这个数化为小数是_______纳米． 14、钓鱼岛列岛是我国固有领土，共由8个岛屿组成，其中最大的岛是钓鱼岛，面积约为4.3平方公 里，最小的岛是飞濑屿，面积约为0.0008平方公里．请用科学记数法表示飞濑屿的面积约为_______平方公里． 15、若（a-2）a+1=1，则a=______． 16、若，则x=______． 17、如果无意义，则=______． 18、计算：4-2x5?（23x-2）2=________． 19、用小数表示：-2.18×10-5=______． 20、 21、计算：． 22、计算：． 23、化简：． 24、计算：． 25、计算：（1）100；（2）m0(m0)；（3）a5÷a0?a3(a0).
| 正整数指数幂运算 1. 下列计算正确的是（ ）A 、x 3+ x 3=x 6 B 、x 3÷x 4= x 1 C 、(m 5)5=m 10 D 、x 2y 3=(xy)5 2、81×27可以记为（ ）A 、93 B 、36 C 、37 D 、312 3、a 5可以等于（ ）A 、（-a ）2·(-a)3 B 、(-a)·(-a)4 C 、(-a 2)·a 3 D 、(-a 3)·(-a 2) 4. 计算- b 2·（-b 3）2的结果是（ ）A 、-b 8 B 、-b 11 C 、b 8 D 、b 11 5. 在等式a 2·a 3·( )=a 10中，括号内的代数式应当是（ A 、a 4 B 、a 5 C 、a 6 D 、a 7 6. 若n 是正整数，当a=-1时，-(-a 2n )2n+1等于（ ）A 、1 B 、-1 C 、0 D 、1或-1 7.计算3112)(n n x x x +-??的结果为( )A.33+n x B.36+n x C.n x 12 D.66+n x # 8. [(a 4)3]2= a 6=( )3,-(2ab 2)3= 。 9. 已知a m =2,a n =3,则a m+n = 已知4x =2x+3，则x= 10. 计算：（1）() =-4 2 x （2）() =3 2y x （3）()() =-?3 4 2 a a 11. 下列各式中，正确的是（ ） A ．844m m m = B.25552m m m = C.933m m m = D.66y y 122y = 12.下列各式中错误的是( ) A.() [ ] ()6 2 3y x y x -=- B.(22a -)4=816a C.363 227131n m n m -=?? ? ??- () =-3 3 ab b a 36 13.下列各式(1) 523743x x x =?; (2) 933632x x x =? (3) (5x )72x = (4) (3xy)3=933y x , 其中计算正确的有 ( )个 个 个 个 ( 14. 已知n 是大于1的自然数,则()c -1 -n () 1 +-?n c 等于 ( )A. () 1 2--n c B.nc 2- C.c -n 2 D.n c 2 15.计算() 73 4 x x ?的结果是( )A. 12x B. 14x C. x 19 D.84x 16. 下列运算中与44a a ?结果相同的是 ( )A.82a a ? B.() 2 a 4 C.() 4 4a D.()() 2 4 2 a a ?4 17. 用简便方法计算(1)()5.1)32(2000?1999()1999 1-? (2) ) 1(16997111 11 -?? ? ????? ??11
8.4 零次数幂和负整次数幂的教学设计 一、教学背景 （一）教材分析 在学习同底数幂的除法运算性质基础上，探究零指数幂和负指数幂的规定的意义。目的是对数学的后继学习奠定基础。 （二）学情分析 学生已经熟练地掌握的了同底数幂除法的性质，为学习本节内容奠定了基础。 从心理认知规律上看，学生在学习了几种指数幂的运算性质后，学习本节内容，已具备学习本节内容的能力。 二、教学目标 1.体会零指数幂和负指数幂的探索过程。 2. 掌握零指数幂的意义和计算结果。 3. 学会负指数幂的正确计算。 三、重点、难点 重点：学会利用零指数幂和负指数幂的意义进行简单的计算。 难点：负指数幂的计算。 四、教学方法分析及学习方法指导 教法指导： 先回顾正整数指数幂的运算性质，再慢慢引入零指数幂和负整数指数幂，从而一步一步指导学生根据已学的同底数幂的除法和除法的意义得出零指数幂和负整数指数幂的计算。 学法指导： 教学中利用间接求解法计算更加简单的得到结果。让学生学会用间接法求值。 五、教学过程 （一）回顾导入 考察下列算式： 32÷32；113÷113；x5÷x5;
设计意图：回顾同底数幂的除法性质，为本节课的学习奠定基础。 （二）探究新知 一方面，如果仿照同底数幂的除法公式来计算，得 32÷32=32-2=30；113÷113=113-3=110； x 5 ÷x 5 =x 5-5 =x 0 (x≠0); 另一方面，由于这几个式子的被除式等于除式，由除法的意义可知，所得的商都等于1。 由此启发，我们规定： 30=1;110=1；x 0 =1(x≠0); 这就是说：任何不等于零的数的零次幂都等于1。 我们再来考察被除数的指数小于除数的指数的情况，例如考察下列算式： 32÷34；113÷117； 一方面，如果仿照同底数幂的除法公式来计算，得 32÷34=32-4=3-2；113÷117=113-7=11-4 ； 另一方面，我们可利用约分，直接算出这两个式子的结果为 由此启发，可以得到： 一般地，我们规定： 这就是说，任何不等于零的数的n （n 为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数。 = = ,(a )
1、复习巩固 正整数指数幂有以下运算性质: (1)同底数幂的乘法，底数 ，指数 。a m ·a n = .(m,n 为 ) (2)幂的乘方，底数 ，指数 。 （a m ）n = .(m,n 为 ) (3)积的乘方，等于把积中的每一个因式 ，再把所得的 。 （ab ）n = . (n 为 ) (4) 同底数幂的除法，底数 ，指数 。a m ÷a n = . (a 0,m,n 为 并且m n) （5）分式乘方，要把分式分子分母 。（ a b ) n = (n 为 ) 其中第（5）个性质就是分式的乘方法则。此外，我们还学习了0的指数幂，即当a ≠0时， a 0= . 在学习有理数时我们知道:1纳米=10-9米，即1纳米= 米。 2、新知讲解 思考一般的，a m 中指数m 可以是负整数吗？如果可以，那么负整数指数幂a m 表示什么？ 自己探究(1)由分式的约分可知，当a ≠0时，a 3 ÷a 5=5 3 a a =2 3 3a a a ?= .① 另一方面如果把正整数指数幂的运算性质（4）中的条件m ＞n 去掉，即假设这个性质对于a 3 ÷a 5的情形也能使用，则有a 3÷a 5 = = 。② 由①②两式，我们规定a -2 = (a ≠0) 一般的，当n 是正整数时，a -n = n a 1(a ≠0),这就是说a -n (a ≠0)是a n 的 。 像上面这样引入负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体实数。由此前面提到的运算性质也推广到整数指数幂。 自主探究(2) 由此可得0.0000…01(此数中共有 n 个0)= 。 我们知道一些较大的数可用科学记数法表示，有了负整数指数幂后，小于1的正数也可以用科学记数法表示。例如0.00001= ，0.0000257= 即小于1的正数可以用科学记数法表示为a ×10-n 的形式。其中a 是整数数位只有 的正数， n 是 。对于一个小于1的正小数，如果小数点后至第一个非0数字前面有8个0，用科学记数法表示这个数时，10的指数是 ，如果有m 个0呢？10的指数是 。 例：计算 （1） （a -1b 2）3 (2) a -2b 2·(a 2b -2)-3 例:下列等式是否正确？为什么？ （1）a m ÷a n = a m ·a -n (2)( b a )n =a n b -n 例：把1纳米的物放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上。1立方毫米的空间可以放多少个1立方纳米的物体（物体之间的空隙忽略不计）？ ______,10____,10_____10______,10_____,104 3210=====----
整式除法 知识点1：同底数幂的除法 法则：a m ÷a n =a m-n (a ≠0，m,n 都是正整数，且m>n) 规定：a 0=1(a ≠0) 学习运算法则时注意： A ：因为零不能作除数，所以底数不能为0； B ：底数可以是单项式，也可以是多项式； C ：多个同底数幂相除，应按顺序求解 配套练习 1.计算：a 7÷a=__________; (ab)12÷(ab)4=______; (a+b)10÷(a+b)5=_________ X 7÷x 2=___________; (a-b)12÷(a-b)4=_______________ 2.计算：（a-b ）11÷(b-a)10+(-a-b)5÷(a+b)4 （a-b ）15÷(a-b)5÷(b-a)8 (-a 11)3÷(-a)17÷(-a 3)2÷a 8 (-a 16)2÷(-a 15) ÷(-a 3)2÷a 8 3.变式练习： 已知2m =7,2n =5,求4m-n 的值。 4.计算()()354105319.02121230 2-÷??? ???-+??? ???----÷; (x-y)12÷(y-x)11+(-x-y)3÷(x+y)2 知识点2：单项式，多项式除以单项式 用单项式或多项式除双被除数的单项式，再把所得的结果相加 5. a 3x 4÷4 3a 2x________; 45a 5b 3÷(-9a 2b)________; (-2x 4y 2)3÷(-2x 3y 3)2_________; 6. x m+n ×(-2x m y n ) ÷(3x m y n ) 27x 5y 3z ÷(-9x 2y) (-2a 2y 2)3÷(-3ay 2)3 7. (9a 3b 2-12a 2b+3ab) ÷(-3ab) (-0.25a 3b 2- 21a 4b 3+31a 3b) ÷(-0.5a 3b) [(a+b)5-(a+b)3] ÷(a+b)3 [(a+b)(a-b)-(a-b)2] ÷(a-b) 8 先化简再求值[(2b-a)(3a+2b)-(a+2b)2] ÷(- 21a),其中a=2, b=9713
《整数指数幂的运算法则》教案 教学目标 1、通过探索把正整数指数幂的运算法则推广到整数指数幂的运算法则； 2、会用整数指数幂的运算法则熟练进行计算. 教学重点 用整数指数幂的运算法则进行计算. 教学难点 指数指数幂的运算法则的理解. 教学过程 一、创设情境，导入新课. 1、正整数指数幂有哪些运算法则？ (1)m n m n a a a +?=(m 、n 都是正整数)；(2)()m n mn a a =(m 、n 都是正整数) (3)()n n n a b a b ?=， (4)m m n n a a a -=(m 、n 都是正整数，a ≠0) (5)()n n n a a b b =(m 、n 都是正整数，b ≠0) 这些公式中的m 、n 都要求是正整数，能否是所有的整数呢？这5个公式中有没有内在联系呢？这节课我们来探究这些问题. 板书课题：整数指数幂的运算法则 二、合作交流，探究新知. 1、公式的内在联系 (1)用不同的方法计算：342(1)2 ， ()3223?? ??? 解：3341421(1)2323--===；3343(4)1421(1)222323 -+--=?=== ()333228233 27??== ???，()3 31332182323832727--??=?=?=?= ??? 通过上面计算你发现了什么？ 幂的除法运算可以利用幂的乘法进行计算，分式的乘方运算可以利用积的乘方进行运算.
()m m n m n m n n a a a a a a -+--=?==，()11n n n n a a a b a b a b b b --??=?=?=?= ??? 因此上面5个幂 的运算法则只需要3个就够了： (1)m n m n a a a +?=(m 、n 都是正整数)；(2)()m n mn a a =(m 、n 都是正整数) (3)()n n n a b a b ?=， 2、正整数指数幂是否可以推广到整数指数幂. 计算：()()()333212 2,23--?， 解：(1)3333 330333(3)033122222212222122---+-?=?====?===， (2)()3322611333 -??== ???，()32(2)36613323--?-=== ()()()33331 1113232382721623-?====??? ()3333311111232323827216 ---?=?=?=?= 通过上面计算，你发现了什么？ 幂的运算公式中的指数m 、n 也可以是负数.也就是说，幂的运算公式中的指数m 、n 可以是整数，二不局限于正整数.我们把这些公式叫整数指数幂的运算法则. 三、反思小结，拓展提高. (1)知道了整数指数幂的运算法则只需要三个就可以了. (2)正整数指数幂的运算法则可以推广到整数指数幂.