【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学 3.2.3空间的角的计算课时作业 苏教版选修2-1

第三章 三角恒等变换章末检测（B ）(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 105°等于( )A ．0 B.12 C.32D ．12．若函数f (x )＝sin 2x －12(x ∈R )，则f (x )是( )A ．最小正周期为π2的奇函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π的偶函数3．已知α∈(π2，π)，sin α＝35，则tan(α＋π4)等于( )A.17 B ．7 C ．－17D ．－7 4．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是( )A ．[－π，－5π6]B ．[－5π6，－π6]C ．[－π3，0]D ．[－π6，0]5．化简：＋θ＋cos 120°sin θcos θ的结果为( )A ．1 B.32C. 3 D ．tan θ 6．若f (sin x )＝3－cos 2x ，则f (cos x )等于( ) A ．3－cos 2x B ．3－sin 2x C ．3＋cos 2x D ．3＋sin 2x7．若函数f (x )＝sin(x ＋π3)＋a sin(x －π6)的一条对称轴方程为x ＝π2，则a 等于( )A ．1 B. 3 C ．2 D ．38．函数y ＝12sin 2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是( )A ．[－12，32]B ．[－22＋12，22＋12]C ．[－32，12]D ．[－22－12，22－12]9．若3sin θ＝cos θ，则cos 2θ＋sin 2θ的值等于( )A ．－75 B.75 C ．－35 D.3510．已知3cos(2α＋β)＋5cos β＝0，则tan(α＋β)tan α的值为( ) A ．±4 B．4 C ．－4 D ．111．若cos θ2＝35，sin θ2＝－45，则角θ的终边所在的直线方程为( )A ．7x ＋24y ＝0B ．7x －24y ＝0C ．24x ＋7y ＝0D ．24x －7y ＝012．使奇函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)在[－π4，0]上为减函数的θ的值为( )A ．－πB ．－π C.5π D.2π二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．函数f (x )＝sin 2(2x －π4)的最小正周期是______．14．已知sin αcos β＝1，则sin(α－β)＝________.15．若0<α<π2<β<π，且cos β＝－13，sin(α＋β)＝13，则cos α＝________.16．函数y ＝sin(x ＋10°)＋cos(x ＋40°)，(x ∈R )的最大值是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知sin(α＋π2)＝－55，α∈(0，π)．(1)求α－π2－3π2＋απ－α＋π＋α的值；(2)求cos(2α－3π4)的值．18．(12分)已知函数f (x )＝2cos x sin x ＋23cos 2x － 3. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )的最大值和最小值及相应的x 的值； (3)求函数f (x )的单调增区间．19．(12分)已知向量a ＝(cos 3x 2，sin 3x 2)，b ＝(cos x 2，－sin x 2)，且x ∈[－π3，π4]．(1)求a ²b 及|a ＋b |；(2)若f (x )＝a ²b －|a ＋b |，求f (x )的最大值和最小值．20．(12分)已知△ABC 的内角B 满足2cos 2B －8cos B ＋5＝0，若BC →＝a ，CA →＝b 且a ，b 满足：a ²b ＝－9，|a |＝3，|b |＝5，θ为a ，b 的夹角． (1)求角B ；(2)求sin(B ＋θ)．21．(12分)已知向量m ＝(－1，cos ωx ＋3sin ωx )，n ＝(f (x )，cos ωx )，其中ω>0，且m ⊥n ，又函数f (x )的图象任意两相邻对称轴的间距为3π2.(1)求ω的值；(2)设α是第一象限角，且f (32α＋π2)＝2326，求α＋π4π＋2α的值．22．(12分)已知函数f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin(π2＋φ)(0<φ<π)，其图象过点(π6，12)．(1)求φ的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在[0，π4]上的最大值和最小值．第三章 三角恒等变换(B)答案1．D [原式＝sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 75°＝sin 90°＝1.]2．D [f (x )＝sin 2x －12＝12(2sin 2x －1)＝－12cos 2x ，∴T ＝2π2＝π，f (x )为偶函数．]3．A [∵α∈(π2，π)，sin α＝35，∴cos α＝－45，tan α＝sin αcos α＝－34.∴tan(α＋π4)＝1＋tan α1－tan α＝1－341＋34＝17.]4．D [f (x )＝sin x －3cos x ＝2sin(x －π3)．令2k π－π2≤x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6(k ∈Z )，令k ＝0得－π6≤x ≤5π6.由此可得[－π6，0]符合题意．]5．B [原式＝sin 60°cos θ＋cos 60°sin θ－12sin θcos θ＝sin 60°cos θcos θ＝sin 60°＝32.]6．C [f (sin x )＝3－(1－2sin 2x )＝2＋2sin 2x ，∴f (x )＝2x 2＋2，∴f (cos x )＝2cos 2x ＋2＝1＋cos 2x ＋2＝3＋cos 2x .]7．B [f (x )＝sin(x ＋π3)－a sin(π6－x )＝sin(x ＋π3)－a cos(π3＋x )＝1＋a 2sin(x ＋π3－φ)∴f (π2)＝sin 5π6＋a sin π3＝32a ＋12＝1＋a 2.解得a ＝ 3.]8．B [y ＝12sin 2x ＋sin 2x ＝12sin 2x ＋1－cos 2x 2＝12sin 2x －12cos 2x ＋12＝22sin(2x －π4)＋12， ∵x ∈R ，∴－1≤sin(2x －π4)≤1，∴y ∈[－22＋12，22＋12]． 9．B [∵3sin θ＝cos θ，∴tan θ＝13.cos 2θ＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＋2sin θcos θ＝cos 2θ＋2sin θcos θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1＋2tan θ－tan 2θ1＋tan 2θ＝1＋2³13－191＋19＝75.] 10．C [3cos(2α＋β)＋5cos β＝3cos(α＋β)cos α－3sin(α＋β)sin α＋5cos(α＋β)cos α＋5sin(α＋β)sin α＝0，∴2sin(α＋β)sin α＝－8cos(α＋β)cos α， ∴tan(α＋β)tan α＝－4.]11．D [cos θ2＝35，sin θ2＝－45，tan θ2＝－43，∴tan θ＝2tan θ21－tan 2θ2＝－831－169＝247.∴角θ的终边在直线24x －7y ＝0上．]12．D [∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝sin θ＋3cos θ＝0.∴tan θ＝－ 3.∴θ＝k π－π3，(k ∈Z )．∴f (x )＝2sin(2x ＋θ＋π3)＝±2sin 2x .∵f (x )在[－π4，0]上为减函数，∴f (x )＝－2sin 2x ，∴θ＝2π3.]13.π2解析 ∵f (x )＝12[1－cos(4x －π2)]＝12－12sin 4x ∴T ＝2π4＝π2.14．1解析 ∵sin αcos β＝1，∴sin α＝cos β＝1，或sin α＝cos β＝－1， ∴cos α＝sin β＝0.∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝sin αcos β＝1. 15.429解析 cos β＝－13，sin β＝223，sin(α＋β)＝13，cos(α＋β)＝－223，故cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝(－223)³(－13)＋223³13＝429. 16．1解析 令x ＋10°＝α，则x ＋40°＝α＋30°， ∴y ＝sin α＋cos(α＋30°)＝sin α＋cos αcos 30°－sin αsin 30° ＝12sin α＋32cos α ＝sin(α＋60°)． ∴y max ＝1.17．解 (1)sin(α＋π2)＝－55，α∈(0，π)⇒cos α＝－55，α∈(0，π)⇒sin α＝255.α－π2－3π2＋απ－α＋π＋α＝－cos α－sin αsin α－cos α＝－13.(2)∵cos α＝－55，sin α＝255⇒sin 2α＝－45，cos 2α＝－35. cos(2α－3π4)＝－22cos 2α＋22sin 2α＝－210.18．解 (1)原式＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2(12sin 2x ＋32cos 2x )＝2(sin 2x cos π3＋cos2x sin π3)＝2sin(2x ＋π3)．∴函数f (x )的最小正周期为π.(2)当2x ＋π3＝2k π＋π2，即x ＝k π＋π12(k ∈Z )时，f (x )有最大值为2.当2x ＋π3＝2k π－π2，即x ＝k π－5π12(k ∈Z )时，f (x )有最小值为－2.(3)要使f (x )递增，必须使2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )．∴函数f (x )的递增区间为[k π－5π12，k π＋π12](k ∈Z )．19．解 (1)a ²b ＝cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x2＝cos 2x ，|a ＋b |＝cos 3x 2＋cos x 22＋sin 3x 2－sinx22＝2＋2cos 2x ＝2|cos x |，∵x ∈[－π3，π4]，∴cos x >0，∴|a ＋b |＝2cos x . (2)f (x )＝cos 2x －2cos x ＝2cos 2x －2cos x －1＝2(cos x －12)2－32.∵x ∈[－π3，π4]．∴12≤cos x ≤1，∴当cos x ＝12时，f (x )取得最小值－32；当cos x ＝1时，f (x )取得最大值－1.20．解 (1)2(2cos 2B －1)－8cos B ＋5＝0，即4cos 2B －8cos B ＋3＝0，得cos B ＝12.又B 为△ABC 的内角，∴B ＝60°.(2)∵cos θ＝a ²b |a |²|b |＝－35，∴sin θ＝45.∴sin(B ＋θ)＝sin B cos θ＋cos B sin θ＝4－3310. 21．解 (1)由题意，得m ²n ＝0，所以f (x )＝cos ωx ²(cos ωx ＋3sin ωx )＝1＋cos 2ωx 2＋3sin 2ωx 2＝sin(2ωx ＋π6)＋12. 根据题意知，函数f (x )的最小正周期为3π.又ω>0，所以ω＝13.(2)由(1)知f (x )＝sin(2x 3＋π6)＋12，所以f (32α＋π2)＝sin(α＋π2)＋12＝cos α＋12＝2326.解得cos α＝513.因为α是第一象限角，故sin α＝1213.所以α＋π4π＋2α＝α＋π4cos 2α＝22sin α＋22cos αcos 2α－sin 2α＝2α－sin α＝－13214.22．解 (1)因为f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin(π2＋φ)(0<φ<π)，所以f (x )＝12sin 2x sin φ＋1＋cos 2x 2cos φ－12cos φ＝12sin 2x sin φ＋12cos 2x cos φ ＝12(sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ) ＝12cos(2x －φ)． 又函数图象过点(π6，12)，所以12＝12cos(2³π6－φ)，即cos(π3－φ)＝1，又0<φ<π，所以φ＝π3.(2)由(1)知f (x )＝12cos(2x －π3)，将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，可知g (x )＝f (2x )＝12cos(4x －π3)，因为x ∈[0，π4]，所以4x ∈[0，π]，因此4x －π3∈[－π3，2π3]，故－12≤cos(4x －π3)≤1.所以y ＝g (x )在[0，π4]上的最大值和最小值分别为12和－14.。

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式一、基础过关1． 函数y ＝2cos 2(x －π4)－1是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π2的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数2.3－sin 70°2－cos 210°的值是( )A.12B.22C ．2 D.32 3． 若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)的值为( ) A ．－13B ．－79C.13D.79 4． 若1－tan θ2＋tan θ＝1，则cos 2θ1＋sin 2θ的值为( ) A ．3B ．－3C ．－2D ．－125． 已知等腰三角形底角的正弦值为53，则顶角的正弦值是( )A.459B.259 C ．－459D ．－2596． 2sin 222.5°－1＝________.7． 函数f (x )＝cos x －sin 2x －cos 2x ＋74的最大值是______．8． 已知角α在第一象限且cos α＝35，求1＋2cos (2α－π4)sin (α＋π2)的值．二、能力提升9． 如果|cos θ|＝15，5π2<θ<3π，则sin θ2的值是( )A ．－105 B.105 C ．－155D.15510．已知tan θ2＝3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝______.11．已知sin 22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，α∈(0，π2)，求α.12．求值：(1)sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°；(2)sin 50°(1＋3tan 10°)－cos 20°cos 80°1－cos 20°.三、探究与拓展 13．化简：(1)cosπ11cos 2π11cos 3π11cos 4π11cos 5π11； (2)cos x 2cos x 4cos x 8…cos x 2n .答案1．A 2.C 3.B 4.A 5.A 6.－22 7．2 8.原式＝145 9.C 10.3 11.α＝π612．(1)原式＝116 (2)原式＝ 213．解 (1)原式＝125sinπ11·25sinπ11·cos π11cos 2π11·cos ⎝⎛⎭⎫π－8π11cos 4π11·cos ⎝⎛⎭⎫－π＋16π11 ＝125sinπ11·24sin2π11cos 2π11cos 4π11·⎝⎛⎭⎫－cos 8π11⎝⎛⎭⎫－cos 16π11 ＝125sinπ11·23sin4π11cos 4π11cos 8π11·cos 16π11＝125sinπ11sin32π11＝125sinπ11sin ⎝⎛⎭⎫3π－π11 ＝sin π1125sinπ11＝132.(2)原式＝12n sin x 2n·2n sin x 2n ·cos x 2·cos x 4…cos x2n＝12nsin x 2n·2n －1⎝⎛⎭⎫2sin x 2n ·cos x 2n ·cos x 2cos x 4…cos x 2n －1 ＝12n sin x 2n·2n －1sinx2n －1·cos x 2·cos x 4…cos x 2n －1＝sin x2n sin x2n .。

3.2.4 二面角及其度量一、基础过关1．一个二面角的两个面分别平行于另一个二面角的两个面，那么这两个二面角( )A ．相等B ．互补C ．相等或互补D ．不确定 2．若分别与一个二面角的两个面平行的向量m ＝(－1，2,0)，n ＝(1,0，－2)，且m 、n 都与二面角的棱垂直，则二面角的正弦值为( ) A.15 B.245 C.14 D.1543．二面角α—l —β中，平面α的一个法向量n 1＝⎝⎛⎭⎫32，－12，－2，平面β的一个法向量n 2＝⎝⎛⎭⎫0，12，2，则二面角α—l —β的大小为 ( ) A ．120°B ．150°C ．30°或150°D ．60°或120° 4.在正方体AC 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的 二面角的余弦值为( )A ．－12B.23C.33D.22 5．平面α的一个法向量n 1＝(1,0,1)，平面β的一个法向量n 2＝(－3,1,3)，则α与β所成的角是________．6．已知A ∈α，P ∉α，P A →＝⎝⎛⎭⎫－32，12，2，平面α的一个法向量n ＝⎝⎛⎭⎫0，－12，－2，则直线P A 与平面α所成的角为________．二、能力提升7．在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，将菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD ＝1，则二面角B —AC —D 的余弦值为( )A.13B.12C.233D.32 8．A 、B 是二面角α—l —β的棱l 上两点，P 是平面β上一点，PB ⊥l 于B ，P A 与l 成45°角，P A 与平面α成30°角，则二面角α—l —β的大小是( ) A ．30° B ．60° C ．45° D ．75°9.如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处．从A，B到直线l(库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为a和b，CD的长为c，AB的长为d.水库底与水坝所成二面角的余弦值为________．10.如图，已知四棱锥P—ABCD中，P A⊥底面ABCD，且ABCD为正方形，P A＝AB＝a，点M是PC的中点．(1)求BP与DM所成的角的大小；(2)求二面角M—DA—C的大小．11.如图，四棱锥F—ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC＝2，BD ＝ 2.CF与平面ABCD垂直，CF＝2.求二面角B—AF—D的大小．三、探究与拓展12. 如图，在四棱锥A—BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC＝2，CD＝2，AB＝AC.(1)证明AD⊥CE；(2)设CE与平面ABE所成的角为45°，求二面角C—AD—E的余弦值．答案1．C 2．B 3．C 4．B5．90°7．A 8．C 9.a 2＋b 2＋c 2－d 22ab10．解 (1)建系如图，由已知得A (0,0,0)，B (a,0,0)，C (a ，a,0)，D (0，a,0)，P (0,0，a )，M ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，a 2.设直线BP 与DM 所成的角为θ.∵BP →＝(－a,0，a )，DM →＝⎝⎛⎭⎫a 2，－a 2，a 2， ∴BP →·DM →＝0.∴BP 与DM 所成的角的大小为90°.(2)∵AP →＝(0,0，a )，AB →＝(a,0,0)，AD →＝(0，a,0)，BP →＝(－a,0，a )，∴BP →·AD →＝0，AP →·AB →＝0，AP →·AD →＝0.又由(1)知BP →·DM →＝0，∴BP →是平面MDA 的法向量，AP →是平面ABCD 的法向量，则cos 〈BP →，AP →〉＝BP →·AP →|BP →||AP →|＝22. ∴所求的二面角M —DA —C 的大小为45°.11．解 过点A 作AE ⊥平面ABCD .以A 为坐标原点，BD →、AC →、AE →方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．于是B ⎝⎛⎭⎫－22，1，0， D ⎝⎛⎭⎫22，1，0，F (0,2,2)．设平面ABF 的法向量n 1＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB →＝0，n 1·AF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－22x ＋y ＝0，2y ＋2z ＝0.令z ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝－1.所以n 1＝(－2，－1,1)．同理，可求得平面ADF 的法向量n 2＝(2，－1,1)．由n 1·n 2＝0知，平面ABF 与平面ADF 垂直，所以二面角B —AF —D 的大小等于π2.12. (1)证明 作AO ⊥BC ，垂足为O ，则AO ⊥底面BCDE ，且O 为BC 的中点．以O 为坐标原点，射线OC 为x 轴正方向，建立如图所示的直角坐标系Oxyz .设A (0,0，t )．由已知条件有C (1,0,0)，D (1，2，0)，E (－1，2，0)，CE →＝(－2，2，0)，AD →＝(1，2，－t )，所以CE →·AD →＝0，得AD ⊥CE .(2)解 作CF ⊥AB ，垂足为F ，连接FE ，如图所示．设F (x,0，z )，则CF →＝(x －1,0，z )，BE →＝(0，2，0)，CF →·BE →＝0.故CF ⊥BE .又AB ∩BE ＝B ，所以CF ⊥平面ABE ，故∠CEF 是CE 与平面ABE 所成的角，∠CEF ＝45°，由CE ＝6，得CF ＝ 3.又CB ＝2，所以∠FBC ＝60°，所以△ABC 为等边三角形，因此A (0,0，3)． 作CG ⊥AD ，垂足为G ，连接GE .在Rt △ACD 中，求得|AG |＝23|AD |. 故G ⎝⎛⎭⎫23，223，33，GC →＝⎝⎛⎭⎫13，－223，－33， GE →＝⎝⎛⎭⎫－53，23，－33. 又AD →＝(1，2，－3)，GC →·AD →＝0，GE →·AD →＝0， 所以GC →与GE →的夹角等于二面角C —AD —E 的平面角．由cos 〈GC →，GE →〉＝GC →·GE →|GC →||GE →|＝－1010.。

3.2.4 二面角及其度量课时目标 理解二面角和二面角的平面角的概念，会用向量的方法求二面角．1．从一条直线出发的______________所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做________________，每个半平面叫做________________．棱为l ，两个面分别为α、β的二面角，记为____________． 2．在二面角α—l —β的______上任取一点O ，在______________内分别作射线OA ⊥l ，OB ⊥l ，则________叫做二面角α—l —β的平面角．3．平面角是________的二面角叫做直二面角，相交成______________的两个平面，叫做相互垂直的平面．4．二面角的平面角，它的两边在__________平面内，且都________于棱，两个条件缺一不可． 5.用向量夹角来研究二面角性质及其度量的方法(如图所示) (1)分别在二面角α—l —β的面α、β内，并沿α，β________的方向，作向量n 1⊥l ，n 2⊥l ，则__________等于该二面角的平面角．(2)设m 1⊥α，m 2⊥β，则〈m 1，m 2〉与该二面角____________________．一、选择题1．自二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，这两条垂线所成的角与二面角的大小关系是( )A ．相等B ．互为补角C ．互为余角D ．相等或互为补角 2．如图所示，已知二面角α—l —β的大小为60°，m ，n 为异面直线，且m ⊥α，n ⊥β，则直线m ，n 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120°3．如果二面角α—l —β的平面角是锐角，点P 到α，β和棱l 的距离分别为22，4和42，则二面角的大小为( ) A ．45°或30° B ．15°或75° C ．30°或60° D ．15°或60°4．从点P 引三条射线P A 、PB 、PC ，每两条夹角均为60°，则二面角B —P A —C 的余弦值是( ) A.12 B.13 C.33 D.325．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( ) A.12 B.23 C.33 D.22 6.如图所示，在边长为a 的等边△ABC 中，AD ⊥BC ，沿AD 将△ABD 折起，若折起后B 、C 两点间距离为12a ，则二面角B —AD —C 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．若两个平面α，β的法向量分别是n ＝(1,0,1)，ν＝(－1，1,0)．则这两个平面所成的锐二面角的度数是____________． 8．在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面为正三角形，若AA 1＝AB ＝1，E 为棱BB 1的中点，则平面AEC 与平面ABC 所成锐二面角的大小为________． 9.如图，已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面的夹角等于________． 三、解答题10．自二面角α—l —β的棱上一点A 在平面β内引一条射线AC ，它与棱l 成45°角，和平面α成30°角，求二面角α—l —β的大小． 11.ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，又SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，求面SCD与面SAB 所成二面角的正切值．能力提升12．在正方体AC1中，求二面角A—BD1—C的大小．13.如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC，AA1＝AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE ＝3EB1.(1)证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；(2)设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角A1－AC1－B1的正弦值．1．二面角有三个要素：两个半平面和一条棱；二面角大小范围是[0，π]．2．求二面角的大小的一般步骤是：(1)找出或作出平面角；(2)证明它符合定义；(3)通过解三角形计算．3．与二面角有关的问题中找或作平面角的常用方法：(1)根据定义找出二面角的平面角；(2)根据三垂线定理或其逆定理作出二面角的平面角；(3)作二面角棱的垂面，则垂面和二面角的两个面的交线所成的角是该二面角的平面角． 4．利用射影面积公式cos α＝S 射影S 原求二面角的大小．5．利用平面的法向量来求二面角．3．2.4 二面角及其度量知识梳理1．两个半平面 二面角的棱 二面角的面 α—l —β 2．棱 两半平面 ∠AOB 3．直角 直二面角 4．同一个 垂直5．(1)延伸 〈n 1，n 2〉 (2)大小相等或互补 作业设计 1．D 2．B3．B [如图①，②所示，分别是P 在二面角α—l —β的内部、外部时的情况．因为P A ⊥α，所以P A ⊥l ，因为PC ⊥l ，所以l ⊥面P AC ，同理，l ⊥面PBC ，而面P AC 与面PBC 有公共点，所以面P AC 和面PBC 应重合，即A ，B ，C ，P 在同一平面内，∠ACB 是二面角的平面角．在Rt △APC 中，sin ∠ACP ＝P A PC ＝2242＝12，所以∠ACP ＝30°.在Rt △BPC 中，sin ∠BCP ＝PB PC ＝442＝22，所以∠BCP ＝45°，故∠ACB ＝30°＋45°＝75°(图①)，或∠ACB ＝45°－30°＝15°(图②)．]① ②4．B [在射线P A 上取一点O ，分别在平面P AB 、P AC 内作OE ⊥P A ，OF ⊥P A 交PB 、PC 于E 、F ，则∠EOF 为所求二面角的平面角．在△EOF 中，令EF ＝1，则由题意可求得，OE ＝OF ＝32，∴cos ∠EOF ＝34＋34－12×32×32＝13.故选B.]5．B[建立如图所示的直角坐标系，设正方体的棱长为1，则DA 1→＝(1,0,1)，DE →＝(1,1，12)设平面A 1DE 的法向量n 1＝(x ，y ，z )，则∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋z ＝0x ＋y ＋z2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－z ，y ＝z 2. 令z ＝1，∴n 1＝(－1，12，1)平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0,0,1)，∴cos 〈n 1，n 2〉＝11＋14＋1·1＝23.]6．C [∵AD ⊥CB ，∴BD ⊥AD ，CD ⊥AD ， ∠BDC 为二面角B －AD －C 的平面角，又∵BD ＝CD ＝BC ＝a2，∴△BDC 为等边三角形，∴∠BDC ＝60°.] 7．60°解析 cos 〈n ，ν〉＝n ·v |n ||v |＝－12·2＝－12.∴〈n ，ν〉＝120°.8．30° 9.π3解析 作VO ⊥底面ABCD ，OM ⊥BC ，连结VM ，则VM ⊥BC ，所以∠VMO 为侧面和底面的夹角．由题意知O 为底面中心，设底面边长为a ，则2a 2＝(26)2，解得a ＝23，所以OM ＝ 3.又V V —ABCD ＝13·(23)2·h ＝12，得h ＝3.所以tan ∠VMO ＝33＝3，所以∠VMO ＝π3.本题还可利用向量法求二面角． 10．解 如图所示，过C 作CD ⊥平面α，在α内作DB ⊥AB ，垂足为B ，连结BC .由三垂线定理知BC ⊥AB ， 则∠CBD 为二面角α—l —β的平面角． 设CD ＝a ，又∠CAD 为AC 与面α所成的角， 即∠CAD ＝30°，∴AC ＝2a . 又∠CAB ＝45°，∴BC ＝2a . 在Rt △CDB 中，sin ∠CBD ＝CD BC ＝22， ∴∠CBD ＝45°，即二面角α—l —β为45°. 11．解 建立如图的空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，D ⎝⎛⎭⎫12，0，0，C (1,1,0)，S (0,0,1)，则AD →＝⎝⎛⎭⎫12，0，0是平面SAB 的法向量． 设面SCD 的法向量n ＝(1，λ，μ)，易得λ＝－12，μ＝12.∴n ＝⎝⎛⎭⎫1，－12，12. 若以θ表示欲求二面角的值，则cos θ＝〈AD →，n 〉＝.∵AD →·n ＝⎝⎛⎭⎫12，0，0·⎝⎛⎭⎫1，－12，12＝12， |AD →|＝12，|n |＝ 1＋⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫122＝ 32， ∴cos θ＝1212·32＝ 23，sin θ＝ 13，∴tan θ＝12＝22.12．解 以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，C 1(0,1,1)． DA 1→＝(1,0,1)是平面ABD 1的一个法向量， DC 1→＝(0,1,1)是平面BCD 1的一个法向量． 所以cos 〈DA 1→，DC 1→〉＝＝12. 所以〈DA 1→，DC 1→〉＝60°.由图形可知二面角A —BD 1—C 为120°.13．(1)证明 以B 为坐标原点，射线BA 、BB 1为x 轴正半轴、y 轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系B －xyz .设AB ＝2，则A (2,0,0)，B 1(0,2,0)，D (0,1,0)，E (12，32，0)．又设C (1,0，c )，则DE →＝(12，12，0)，B 1A →＝(2，－2,0)，DC →＝(1，－1，c )．于是DE →·B 1A →＝0，DE →·DC →＝0，故DE ⊥B 1A ，DE ⊥DC ，又DE ∩AB 1＝E ，CD ∩DE ＝D . 所以DE 为异面直线AB 1与CD 的公垂线．(2)解 因为〈B 1A →，DC →〉等于异面直线AB 1与CD 的夹角， 故B 1A →·DC →＝|B 1A →||DC →|cos 45°， 即22×c 2＋2×22＝4. 解得c ＝2，故AC →＝(－1,0，2)． 又AA 1→＝BB 1→＝(0,2,0)，所以AC 1→＝AC →＋AA 1→＝(－1,2，2)． 设平面AA 1C 1的法向量m ＝(x ，y ，z )，则m ·A C 1→＝0，m ·AA 1→＝0， 即－x ＋2y ＋2z ＝0,2y ＝0.令x ＝2，则z ＝1，y ＝0.故m ＝(2，0,1)． 设平面AB 1C 1的法向量为n ＝(p ，q ，r )，则n ·A C 1→＝0，n ·B 1A →＝0， 即－p ＋2q ＋2r ＝0,2p －2q ＝0，令p ＝2，则q ＝2，r ＝－1.故n ＝(2，2，－1)．所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝115.由于〈m ，n 〉等于二面角A 1－AC 1－B 1的平面角， 所以二面角A 1－AC 1－B 1的正弦值为1－115＝21015.。