02.调和四边形的性质及应用

四边形的角度和与性质四边形是几何学中的一个基本概念，它包括许多性质和特点。

本文将详细讨论四边形的角度和性质，并分析它们之间的关系。

1. 四边形的定义与基本角度四边形是一个有四条边的几何图形。

它的内部包含四个角，分别称为内角。

在四边形ABCD中，顶角A、B、C和D分别对应的内角为∠A、∠B、∠C和∠D。

根据平行线性质，我们知道对于一个四边形，相对的内角之和为180度，即∠A + ∠C = ∠B + ∠D = 180°。

除了内角之和等于180度，四边形还有其他重要的角度性质。

2. 平行四边形的角度性质平行四边形是一种特殊的四边形，它的两组边互相平行。

平行四边形的角度性质如下：- 对边角：对于平行四边形ABCD，∠A = ∠C，∠B = ∠D；- 邻补角：对于平行四边形ABCD，∠A和∠B是补角，∠A +∠B = 180°；- 对顶角：对于平行四边形ABCD，∠A与∠C是对顶角，∠B与∠D是对顶角。

3. 矩形、正方形和菱形的角度性质矩形、正方形和菱形都是特殊的四边形，它们有一些特定的角度性质。

- 矩形：矩形是一种具有四个直角的四边形。

所以，每个角都是90度，即∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°。

- 正方形：正方形是一种特殊的矩形，它的四条边长度相等且每个角为90度。

- 菱形：菱形是一种具有两组互相平行的边和四个边相等的四边形。

每个内角不一定相等，但是它的邻补角是平行四边形的角度性质之一。

4. 平行四边形与三角形的角度性质关系平行四边形与三角形之间有着一些有趣的角度性质关系。

- 在平行四边形ABCD中，以对角线AC为斜边的三角形ABC和ADC是共享一个相等的底角C，而且∠B = ∠D。

这是因为在一个平行四边形中，对角线所夹的角是对顶角。

- 通过平行线与横切线的交点所形成的三角形也与平行四边形有一些特殊的角度性质关系。

5. 总结四边形是几何学中一个重要的概念，它具有许多角度性质和特点。

论调和四边形的性质及应用———兼谈全国高中数学联赛2道加试题的解法●沈文选( 湖南师范大学数学奥林匹克研究所湖南长沙410081)我们称对边乘积相等的圆内接四边形为调和四边形，调和四边形有如下有趣的性质．充分性若M，N是四边形A B C D的等角共轭点，即性质1 圆内接四边形为调和四边形的充要∠CDM = ∠ADN = ∠ADB;( 1) 条件是对角平分线的交点在另一对顶点的对角线∠D A M=∠D A C=∠B A N．( 2)上．证明如图1，设A B C D是圆内接四边形．由式( 1) ，并注意到∠DCM = ∠DCA = ∠DBA，充分性设∠B 平分线与∠D 平分线的交点得△DCM∽△DBA，T 在对角线AC 上，则由角平分线的性质知即D C=DB．AT= TC B A，A TBC TC =DADCCM因此DCBA=DB，从而BA=DA，1 AC BA BC DC2即A B•C D=B C•D A．必要性由A B•C D=B C•D A，得B A=D A．故A B•C D=1A C•BD．(3)2由式( 2 ) 得∠DAN = ∠CAB，再注意到∠ADN =∠A DB=∠A C B，则△A B C～△A N D，得BC CD设∠B的平分线交A C于点T1，∠D的平分线交A C 于点T2，则BC=DN，AC DA1AT1 =T1 CBA AT2，BC T2C=DADC于是D C•D A=2A C•BD．(4)由式( 3) ，式( 4) 得从而AT1 =AT2 ，T1C T2CA T1A T2即=，A B•C D=B C•D A．必要性若A B•C D=B C•D A，由托勒密定理A B•C D+B C•D A=A C•BD，得AT1+ T1C AT2+ T2C因此AT1= AT2，即点T1与T2重合，故∠B 角平分A B•C D=B C•D A=1A C•BD，2线与∠D 角平分线的交点在对角线AC 上．即DA1 AC2=BD．BC图1 图2性质2 圆内接四边形为调和四边形的充要条件是2 条对角线的中点是四边形的等角共轭点．证明如图2，设M，N分别是圆内接四边形A B C D的对角线A C，BD的中点．又由∠D A M=∠D A C=∠DB C，得△DAM ≌△DBC，( 5)从而∠ADM = ∠BDC = ∠NDC，同理可得∠DCM = ∠BCN，∠CBN = ∠ABM，∠B A N=∠D A M，故M，N为四边形A B C D的等角共轭点．性质 3 圆内接四边形为调和四边形的充要条件是以每边为弦且与相邻的一边相切于弦的端点的圆交过切点的一条对角线于中点．，，证明如图3，设M，N分别是圆内接四边形A B C D的对角线A C，BD的中点．充要性记过点D 与AB 切于点A 的圆为C1，过点A 与BC 切于点B 的圆为C2，依次得C3，C4;记过点B与DA 切于点A 的圆为d1，过点C 与AB 切于点B 的圆为d2，依次得d3，d4．当C1过点M 时，由弦切图角定理知∠ADM = ∠MAB = ∠CAB = ∠CDB = ∠CDN，即∠A D M=∠C D N．当C2过点N 时，由弦切角定理知∠BAN = ∠NBC = ∠DBC = ∠DAC = ∠DAM，即∠BAN = ∠DAM，同理可得∠A B M=∠C B N，∠B C N=∠D CM，从而点M，N为四边形A B C D的等角共轭点．又M，N分别为A C，BD的中点，由性质2知A B C D为调和四边形．必要性由性质 2 证明中的式( 5) 得△DAM∽△DBC，从而∠A D M=∠BD C=∠C A B=∠M A B．由弦切角定理的逆定理，知点M 在圆C1上．同理可得，M在圆d1，C3，d3上;N在圆C2，d2，C4，d4上．推论1 在调和四边形ABCD 中，性质3 中的圆C，d，C，d共点于A C的中点M，圆C，d，C，证明当四边形为菱形时，对顶点处的2 条切线与另一对顶点的对角线所在直线互相平行．下面讨论四边形不为菱形的情形．如图4，点Q是圆内接四边形ABCD 的分别过顶点A，C的切线的交点．充分性当点Q 在直线DB 上时，则由QA = QC，△QAD ∽ △QBA，△QCD ∽图4△QB C，得AD=QD=QD=CD，BA QA QC BC故A B•C D=B C•D A．必要性当A B•C D=B C•D A时，由正弦定理得sin∠A DB•sin∠DB C=sin∠BD C•sin∠DB A．连结A C交BD于点G，延长A D交Q C于点E，延长C D交Q A于点F，则∠C A F=∠E C A．从而A G•C F•D E=GC FD EAsin∠A D G•sin∠C A F•sin∠D C E=sin∠GDC sin∠FAD sin∠ECAsin∠ADG sin∠DCEsin∠G D C•sin∠F A D=sin∠ADB sin∠DBCsin∠BD C•sin∠DB A=1．1 1 3 32 2 4d4共点于BD的中点N．推论2 在调和四边形ABCD 中，性质3 中的圆C1，C2，C3，C4共点，圆d1，d2，d3，d4共点．事实上，若设圆C1与C2交于点P，则∠MPB = ∠MDA + ∠PAB + ∠PBA =∠CDB + ∠PAB + ∠PBA =∠CAB + ∠PBC + ∠PBA =∠CAB + ∠ABC = 180° －∠MCB，从而M，P，B，C四点共圆，即圆C3过点P．同理，C4也过点P，故C1，C2，C3，C4共点于P．同理可得，d1，d2，d3，d4共点于Q．注还可证得P，Q也是四边形A B C D的等角共轭点．性质4 圆内接四边形为调和四边形的充要条件是对顶点处的 2 条切线与另一对顶点的对角线所在直线三线共点或互相平行．对△A C D应用塞瓦定理的逆定理，知A F，G D，C E 共点于Q．故过A，C的2条切线与直线DB共点于Q．注此性质提供了作调和四边形的一种方法: 先作出一个圆内接三角形，在一顶点处作圆的切线，再将此顶点所对边延长．若这2 条线相交，则由交点作圆的另一条切线，所得切点与原三角形 3 个顶点组成调和四边形的4 个顶点; 若这2 条线平行，则作与前面切线平行的圆的另一切线，所得切点与原三角形3 个顶点组成调和四边形的4 个顶点．性质5 圆内接四边形ABCD 为调和四边形的充要条件是过点C作C T∥DB交圆于T，点T与D M的中点M，A三点共线．证明如图5，由C T∥DB知，DB T C为等腰梯形，连结B T，D T，则D C=B T，D T=B C．3))))))))))注意到∠ABT 与∠TDA 互补，则A B •C D = B C •D A ，即 A B •B T = D T •D A ， 从而 1 A B •B T •sin ∠A B T = 1D T •D A •sin ∠T D A ， ∠I 1 D A = ∠I 2 B A ，∠I 1 P I 2 = ∠B P D = ∠B A D ．又由内心的性质，得C D = I 1 D ，B C = I 2 B ，于是 A B •C D = B C •D A ，即 CD = AD ，22BC AB 即S △ABT = S △ADT ， 从而直线 A T 过 DB 的中点 M ，故T ，M ，A 三点共线． 注 此性质也提供了作调和四边形的一种方法: 先作出一个圆内接三角形，在一顶点处作与所对边的平行线交圆于一点，此点与这条边的中点的连线交圆于另一点，这另一点和三角形 3 个顶点组 成调和四边形的 4 个顶点．从而 I 1 D = AD， I 2 B AB 得 I 1 D = I 2 B ，AD AB于是 △I 1 DA ∽△I 2 B A ， 得 ∠I 1 A D = ∠I 2 A B ， 即∠I 1 AI 2 = ∠I 1 PI 2 ，于是A ，P ，I 2 ，I 1 四点共圆． 推论 1 设△C E F 的内心为 I ，则I 1 I ⊥I 2 I ． 证明 如图 7，注意内心所张的角与对应顶角的关系，知∠EI C = 90° + 1 ∠EPC = 90° + 1∠EFC = ∠EIC ，1 2 2 图 5图 6性质 6 圆内接四边形 ABCD 为调和四边形的充要条件是某一顶点( 不妨设为 C ) 位于劣弧DB 上，而在优弧DB 上取 2 个点 E ，F ，使得D ，B 分别为弧E C ，CF 的中点，过点 C 作 C T ∥DB 交圆于点 T 时，点T 与△C E F 的内心 I ，A 三点共线． 证明 如图 6，由题设知 D ，I ，F 三点共线，B ， I ，E 三点共线． 由 I 为△C E F 的内心，注意 C T ∥即 E ，I 1 ，I ，C 四点共圆，则∠I EI = ∠I CI = 1∠ECF － ∠ECI = 1 1 2112 ( ∠ECF － ∠ECP ) = 1∠ECP = ∠FCI ． 2 2 同理可得 ∠EII 1 = ∠IFI 2 ， 从而△E I 1 I ∽△II 2 F ．于是DB ，有 I D = D C = B T ，I B = B C = D T ． 从而 I B T D 为平 行四边形，即T I 过 DB 的中点 M ． 故由性质 5 知 ∠EII 1 + ∠FII 2 = ∠EII 1 + ∠I 1 EI =180° － ∠EI 1 I = ∠ECI = A B •C D = B C •D A ，即T ，M ，A 三点共线，T I 过 BD 的中点 M ． 性质 7 圆内接四边形 ABCD 为调和四边形的充要条件是某一顶点( 不妨设为 C ) 位于劣弧DB 上，而在优弧DB 上取点 E ，F ，使得 D ，B 分别为弧EC ， FC 的中点． 又在劣弧EF 上任取 图 7点 P ，设 I 1 ，I 2 分别为△C EP ，△C F P 的内心时，A ， P ，I 2 ，I 1 四点共圆．证明 如图 7，由题设知 P ，I 1 ，D 及 P ，I 2 ，B 分 别三点共线． 连结 I A ，I A ，则1∠ECF ， 2 所 以 ∠I 1 II 2 = ∠EIF － ( ∠EII 1 + ∠FII 2 ) =90° + 1 ∠ECF － 1∠ECF = 90°，2 2 故I 1 I ⊥I 2 I ．推论 2 设 N 为 I 1 I 2 的中点，则 B N ⊥D N ． 证明 如图 7，由D ，I ，F 共线及内心的性质得 D I = D C ，D I 1 = D C ，从而DI = DI 1 ． 由推论 1 知 I 1 I ⊥I 2 I ，有 I N = I 1 N ． 注意到 D N 为公共线，则△D N I 1 ≌△D N I ，从而1 m112∠N D I = 2 ∠I 1 D I = 2P F ．))))))))槡同理可得m1∠N B I = 2 EP ．m 1 1点． 为方便起见，设点 Q 在劣弧AC上． 设直线 Q T 交圆于另一点 S ，则S 又 ∠IDB + ∠IBD = 2 FC + 2 CE ， 所以∠NDB + ∠NBD =为优弧AC 的中点． 由△PAC 是等腰三角形，则 AB = sin ∠APB ，m∠NDI + ∠IDB + ∠IBD + ∠NBI =BC sin ∠CPB1( PF + FC + CE + EP ) = 90°， 2同理在等腰△ASC 中，有A T = sin ∠A S Q ． 图 8即 ∠BND = 90°， 故B N ⊥D N ．下面给出上述性质应用的一些例子．例1 点 P 为△ABC 的外接圆上劣弧BC 内的动点，I 1 ，I2 分别为△P A B ，△P A C 的内心． 求证:( 1) △PI 1 I 2 的外接圆过定点; TC sin ∠CSQ在△PAC 中，视 Q 为塞瓦点，由角元形式的塞瓦定理得sin ∠A P B •sin ∠Q A C •sin ∠Q C P=1．sin ∠CPB sin ∠QAP sin ∠QCA 注意到∠P A Q = ∠A S Q = ∠Q C A ，∠P C Q = ∠C S Q = ∠Q A C ，则( 2) 以 I 1 I 2 为直径的圆过定点;( 3) I 1 I 2 的中点在定圆上．sin ∠APB sin ∠CPB = sin ∠P A Q •sin ∠Q C A sin ∠Q A C •sin ∠P C Q sin 2∠ASQ= sin 2 ∠CSQ ( 2003 年国家集训队培训题) 即事实上，可参见图 7，利用性质 7 及推论 1，推 AB AT 2BC = TC 2 ，论 2 即可证得结论成立． 对于第( 1 ) 小题，视例 1中的△A B C 为图 7 中的△C E F ，则△P I 1 I 2 的外接 亦即AT = AB ，TC BC圆过定点为图 7 中的点 A ; 对于第( 2) 小题，由推论 1 有 I I ⊥I T ，知以 I I 为直径的圆过定点 I ; 对于 故 T 不依赖于圆 Γ 的选取．例4 设△A B C 的内切圆分别切 B C ，C A ，A B 1 2 1 2 第( 3) 小题，由推论 2 知，I 1 I 2以 DB 为直径的定圆上．的中点在以图 7 中的 于点 D ，E ，F ，点 M 是圆上任一点，且 M B ，MC 分别 交圆于点Y ，Z ． 证明: E Y ，F Z ，M D 三线共点． 例2 已知 M ，N 分别是锐角△A B C 的外接圆 O 的劣弧C A ，A B 的中点，D 是 M N 的中点，G 是劣弧B C 上的一点． 设△A B G ，△A C G 的内心分别为 I 1 ， I 2 ． 若△GI 1 I 2 的外接圆与圆 O 的另外一个交点为P ，△A B C 的内心为 I ，证明: D ，I ，P 三点共线． ( 2008 年国家集训队测试题)事实上，可参见图 7，图 6，利用性质 7，性质 6 即可证得结论．例 3 已知直线上的 3 个定点依次为 A ，B ，C ， Γ 为过 A ，C 且圆心不在 A C 上的圆，分别过点 A ，C 且与圆 Γ 相切的直线交于点 P ，P B 与圆 Γ 交于点 Q ，证明: ∠A Q C 的平分线与 A C 的交点不依赖于圆 Γ 的选取．( 第 45 届 IMO 预选题)证明 如图 8，点 Q 可在劣弧A C 上，也可在优图 9 图 10 证明 如图 9，连结有关点得圆内接六边形 F YD Z E M ． 根据塞瓦定理的推论( 即对塞瓦定理的角元形式应用正弦定理推得) ，有 E Y ，F Z ，M D 三线共点，从而 FY DZ EMYD •Z E •M F = 1．由性质 4，在四边形 F YD M 中，得FY = FM ．YD DM 弧AC 上． 由性质 1 知，不管 Q 在劣弧AC 上，还是在 优弧A C 上，∠A Q C 的平分线与A C 的交点 T 是同一 在四边形 D Z E M 中，有D Z = D M，从而ZE ME)))))))))，)F Y •D Z•E M = F M •D M •E M = 1，由性质 4，在四边形 A C BD 中，有 A C = A D，于是 YD ZE MF DM ME MFCB DB 故结论获证．例 5 设△A B C 的内切圆分别切 B C ，C A ，A B 于点 D ，E ，F ，A D 与圆交于点 M ，A B ，MC 分别交圆于点 Y ，Z ． 证明: F Y ∥M D ∥E Z 的充要条件是点 M 为 AD 的中点．证明 如图 10，连结 F M ，YD ． 由性质 4，在四边形 F YD M 中，有F Y = F M． 又∠F YD = ∠F M A ，当 YD MD A M = M D 时，有F Y = F M，则△F YD ∽△F M A ． 从而A D = A Q． 再注意到式( 6 ) ，得△QDB ∽△Q A D ，故 DB QD∠QBD = ∠A DQ = ∠P A C ．例7 如图12，M ，N 分别为锐角△A B C ( ∠A ＜ ∠B ) 的外接圆 Γ 上弧B C ，A C 的中点，过点 C 作P C ∥M N 交圆 Γ 于点 P ，I 为△A B C 的内心，连结 P I 并延长交圆 Γ 于点 T ．( 1) 求证: M P •M T = N P •N T ;( 2) 在弧AB ( 不含点 C ) 上任取一点 Q ( Q ≠A ， YD AM ∠F A M = ∠F DY = ∠B F Y ，故 F Y ∥A D ． 同理，E Z ∥ A D ，充分性得证．反之，由 F Y ∥A D ，得∠F A M = ∠B F Y = ∠F DY ．又由∠F M A = ∠F YD ，得△FMA ∽△FYD ，即FM = FY ．AM DY注意到性质 4，有FY = FM ，DY MD故A M = M D ． 必要性得证． T ，B ) ，记△A QC ，△Q C B 的内心分别为 I 1 ，I 2 ，求证: Q ，I 1 ，I 2 ，T 四点共圆．( 2009 年全国高中联赛加试题)( 1) 证法 1因 P ，I ，T 共线，由性质 6，即知TMCN 为调和四边形，即M T •N C = N T •MC ．又由 PC ∥NM 知 NMCP 为等腰梯形，得 N C = M P ，MC = N P ，故M P •M T = N P •N T ．证法2 分别过点 C ，T 作圆的切线相交于点 Q ． 下证点 Q 在直线 N M 上，如图 12． 事实上，可知 A ，I ，M 共线，B ，I ，N 共线，由内例6 ∠A P B 内有一内切圆与边切于点 A ，B ， P C D 是任一割线交圆于点 C ，D ，点 Q 在 C D 上，且 心性质知MC = M I ，N C = N I ，∠Q A D = ∠P B C ． 证明: ∠P A C = ∠QBD ．( 2003 年全国高中数学联赛加试题)图 11 图 12证明 如图 11，由弦切角定理得∠P A C = ∠A DQ ，∠P B C = ∠QDB ，从而由∠Q A D = ∠P B C ，得∠QDB = ∠Q A D ．( 6)连结 A B ，则∠CBA = ∠CDA = ∠QDA ， ∠CAB = ∠PBC = ∠QAD ，即知△A C B ∽△A QD ，从而A C = A Q ．从而 M N ⊥C I ． 又P C ∥N M ，得 P C ⊥C I ，即∠P C I = 90°，于是 ∠CIP = 90° － ∠CPI = 90° － ∠CPT =90° － ∠CTQ = 1∠CQT ，2从而点 Q 为△C T I 的外心，即 Q I = Q C ，从而 Q 在 C I 的中垂线 M N 上，故点Q ，M ，N 共线． 注意到性质 4，即知 T MC N 为调和四边形，下同证法1． ( 2) 由性质 7 即可证得．参 考 文 献［1］ 尚强． 初等数学复习及研究( 平面几何) 习题解答［M ］． 哈尔滨: 哈尔滨工业大学出版社， 2009．［2］ 沈文选． 走向国际数学奥林匹克的平面几何试题诠释［M ］． 哈尔滨: 哈尔滨工业大学出版社，2007． CBQD))。

四边形的性质知识点总结四边形是数学中重要的几何图形，具有丰富的性质和特点。

在本文中，将对四边形的性质进行总结和说明，以帮助读者更好地理解和掌握这一概念。

1. 四边形的定义四边形是由四条线段连接而成的闭合图形。

它的特点是具有四条边和四个顶点。

常见的四边形有矩形、正方形、平行四边形、菱形等。

2. 四边形的特征性质2.1 对角线四边形的对角线是连接四边形的两个非相邻顶点的线段。

对角线可以分为两条：一条是连接相邻顶点的线段，另一条是连接非相邻顶点的线段。

对角线有以下性质：- 平行四边形的对角线相等，即两条对角线长度相等。

- 矩形、菱形和正方形的对角线相等。

- 对角线相交于一点的四边形被称为交错四边形，交错四边形的对角线互相平分。

2.2 边与角四边形的边和角也具有一些特征性质：- 矩形和正方形的对边相等，即相对的两边长度相等。

- 平行四边形的对边平行且相等。

- 矩形和平行四边形的内角是180度，即对边的内角和为180度。

- 菱形的内角是120度，即对边的内角和为120度。

2.3 各类四边形的特性不同类型的四边形还有各自独特的特性：- 正方形是一种特殊的矩形，它的四边相等且内角均为90度。

- 矩形的对边相等，内角为90度。

- 平行四边形的对边平行且相等。

- 菱形的对边相等，内角为60度。

- 梯形是具有一对相对平行边的四边形。

梯形中，对边不平行的两个角互补且和为180度。

- 边长相等的四边形被称为等边四边形，如正方形和菱形。

- 具有四个相等内角的四边形被称为等角四边形。

3. 四边形的周长和面积计算在计算四边形的周长和面积时，可以根据不同类型的四边形采用相应的公式。

- 矩形的周长为2倍长加2倍宽，面积为长乘以宽。

- 正方形的周长为4倍边长，面积为边长的平方。

- 平行四边形的周长为2倍长加2倍宽，面积为底边乘以高。

- 菱形的周长为4倍边长，面积为对角线之积的一半。

总结以上，通过对四边形的定义、特征性质以及周长和面积计算公式的总结，我们可以更好地理解四边形的性质和特点。

四边形的性质与分类四边形是几何学中常见的一种多边形，具有特定的性质和分类。

本文将探讨四边形的性质及其分类方式，以帮助读者更好地理解和应用相关知识。

一、四边形的基本性质四边形是由四条线段组成的封闭图形，其具备以下基本性质：1. 四边形的边数和顶点数均为四个，没有多余的边和顶点。

2. 四边形的内角和为360度，即四个内角的度数之和等于360度。

3. 四边形的对边平行，即相对的两条边互相平行，形成对角线的两条线段也平行。

二、四边形的分类四边形可以按照不同的属性进行分类，常见的分类方式主要有以下几种：1. 平行四边形：具有两对平行边的四边形。

平行四边形的特点是对边相等且平行。

2. 矩形：具有四个直角的四边形。

矩形的特点是四个内角均为直角，对边相等且平行。

3. 正方形：具有四个边长相等且四个直角的矩形。

正方形是一种特殊的矩形，所有边长相等，对边平行且四个内角均为直角。

4. 长方形：具有对边相等且相邻两个内角为直角的四边形。

长方形的特点是对边相等且平行，但不要求所有内角均为直角。

5. 菱形：具有四个边长相等的四边形。

菱形的特点是两对邻边互相平行，对角线互相垂直。

6. 梯形：具有一对平行边的四边形。

梯形的特点是只有一对对边平行，其余两条边不平行。

三、四边形的性质推导通过利用四边形的基本性质，我们可以推导出一些重要的性质：1. 平行四边形的性质：由于平行四边形的对边相等且平行，我们可以推导出以下性质：- 平行四边形的对角线相互平分。

- 平行四边形的内角之和为360度。

- 平行四边形的相邻内角互补，即和为180度。

2. 矩形的性质：由于矩形具有四个直角，我们可以推导出以下性质：- 矩形的对角线相等且互相垂直。

- 矩形的内角均为直角。

- 矩形也是平行四边形，因此具有平行四边形的性质。

3. 正方形的性质：由于正方形是一种特殊的矩形，我们可以推导出以下性质：- 正方形的对角线相等且互相垂直。

- 正方形的内角均为直角。

- 正方形的边长和周长的计算公式为 a * 4，其中 a 为边长。

竞赛第16章 调和四边形我们称对边乘积相等的圆内接四边形为调和四边形．本章我们介绍调和四边形的一些有趣性质及应用的例子．①②性质 1 圆内接四边形为调和四边形的充要条件是对顶点处的两条切线与另一对顶点的对角线所在直线三线平行或三线共点．证明 当圆内接四边形为筝形时，如图16-1(1)，AB AD =，CD CB =时，对角线AC 必过圆心，此时，过A 、C 的两条切线，对角线DB 均与AC 垂直，因而它们相互平行．图16-1DCBAF EDCBAGQ（2）（1）当圆内接四边形不为筝形时，如图16-1(2)，设点Q 是对顶点A ，C 处两条切线的交点． 充分性，当点Q 在直线DB 上时，则由QA QC =，△QAD ∽△QBA ，△QCD ∽△QBC ，有 A D Q D Q D C DB A Q A QC B C ===， 故 A B CD B C D A ⋅=⋅．必要性．当AB CD BC DA ⋅=⋅时，由正弦定理， 有sin sin sin sin ADB DBC BDC DBA ⋅=⋅∠∠∠∠．联AC 交BD 于点G ，延长AD 交QC 于点E ，延长CD 交QA 于点F ，则CAF ECA =∠∠． 此时，A G C F D EG C F D E A ⋅⋅DAG ACF CDE DGC AFD CEA S S SS S S =⋅⋅△△△△△△ sin sin sin sin sin sin AD ADG AC CAF CD DCECD GDC AD FAD AC ECA⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅∠∠∠∠∠∠sin sin sin sin ADG DCEGDC FAD =⋅∠∠∠∠ sin sin 1sin sin ADB DBC GDC DBA ⋅==⋅∠∠∠∠． 对△ACD 应用塞瓦定理的逆定理，知AF ，GD ，CE 三线共点． 故过A 、C 处的两切线，直线DB 共点于Q ．注：此性质提供了作调和四边形的方法：先作一个圆内接三角形如△ABD ，或△ADC ，再得到交点Q ，最后作切线或割线确定点C 或点B ．性质 2 圆内接四边形为调和四边形的充要条件是过一顶点且与四边形的对角线平行的直线交圆于一点，这交点、对角线的中点、该顶点的对顶点三点共线．① 沈文选．论调和四边形的性质及应用[J]．中学教研（数学），2010(10)：35—39． ②沈文选．再谈调和四边形的性质及应用[J]．中学教研（数学），2010(12)：31—34．证明 如图16-2，设A B C D 为圆内接四边形，过C 作CT DB ∥交圆于T ，M 为DB 的中点．由CT DB∥知四边形DBTC 为等腰梯形，此时，DC BT =，DT BC =．注意到ABT ∠与TDA ∠互补，图16-2TMDCBA则AB CD BC DA AB BT DT DA ⋅=⋅⇔⋅=⋅11sin sin 22AB BT ABT DT DA TDA ⇔⋅⋅=⋅⋅∠∠ ABT ADT S S ⇔=⇔△△直线AT 过DB 的中点M T ⇔、M 、A 三点共线．注：此性质也提供了作调和四边形的方法：先作一个圆内接三角形，如△BCD ，过C 作CT DB ∥交圆于点T ，过点T 、BD 的中点M 的直线交圆于点A ，则四边形ABCD 即为调和四边形．性质3 圆内接四边形为调和四边形的充要条件是相对的角的平分线的交点在另一对顶点的对角线上． 证明 如图16-3，设ABCD 为圆内接四边形．图16-3T DCBA充分性．设B ∠的平分线与D ∠的平分线的交点T 在对角线AC 上，则由角平分线的性质知，AT BA TC BC =，AT DATC DC =， 以而BA DABC DC=， 故 A B C D B C D A ⋅=⋅． 必要性．由AB CD BC DA ⋅=⋅，有BA DABC DC=． 设B ∠的平分线交AC 于1T ，D ∠的平分线交AC 于2T ， 则11AT BA T C BC =，22AT DAT C DC =． 于是 1212AT AT T C T C=， 即有121122AT AT AT T C AT T C=++，从而 12AT AT =，即1T 与2T 重合．这说明B ∠的平分线与D ∠的平分线的交点在对角线AC 上．性质4 圆内接四边形为调和四边形的充要条件是两条对角线的中点是四边形的等角共轭点． 证明 如图16-4，设M ，N 分别为圆内接四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的中点．图16-4M DCBAN充分性．若M ，N 是四边形ABCD 的等角共轭点． 即有CDM ADN ADB ==∠∠∠， ① DAM DAC BAN ==∠∠∠． ②由①，并注意到DCM DCA DBA ==∠∠∠，则知△DCM ∽△DBA ，即D C D BC M B A=，亦即12DC DBBA AC =，从而12AB CD AC BD ⋅=⋅． ③ 由②，有DAN CAB =∠∠，再注意到ADN ADB ACB ==∠∠∠，则知AND ABC △∽△，即有DN BCDA AC=，从而12BC DA DN AC BD AC ⋅=⋅=⋅． ④由③，④，即有AB CD BC DA ⋅=⋅．必要性．若AB CD BC DA ⋅=⋅．注意到托勒密定理，有AB CD BC DA AC BD ⋅=⋅=⋅，则AB CD ⋅= 12BC DA AC BD ⋅=⋅，即有12DA BD BC AC =． 又DAM DAC DBC ==∠∠∠，于是△DAM ∽△DBC ，即有ADM BDC NDC ==∠∠∠． 同理，DCM BCN =∠∠，CBN ABM =∠∠，BAN DAM =∠∠． 故点M ，N 为四边形ABCD 的等角共轭点．性质 5 圆内接四边形为调和四边形的充要条件是以每边为弦且与相邻的一边相切于弦的端点的圆交过切点的一条对角线于中点．证明 如图16-5，设M ，N 分别是圆内接四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的中点．图16-5C 1充分性．记过点D 与AB 切于点A 的圆为1C ，记过点A 与BC 切于点B 的圆为2C ，依次得3C ，4C ；记B 与DA 切于点A 的圆为1d ，过C 与AB 切于点B 的圆记为2d ，依次得3d ，4d ． 当1C 过点M 时，由弦切角定理，知ADM MAB CAB CDB CDN ====∠∠∠∠∠，即 A D M C D N =∠∠．当2C 过点N 时，由弦切角定理，知BAN NBC DBC DAC DAM ====∠∠∠∠∠，即BAN DAM =∠∠．同理，ABM CBN =∠∠，BCN DCM =∠∠． 从而，点M ，N 为四边形ABCD 的等角共轭点．又M ，N 分别为AC ，BD 的中点，由性质4知ABCD 为调和四边形．必要性．当ABCD 为调和四边形时，由性质4证明中，有△DAM ∽△DBC ．有ADM BDC =∠∠ CAB MAB ==∠∠，由弦切角定理的逆定理知，点M 在圆1C 上．同理，点M 在圆1d ，3C ，3d 上；点N 在圆2C ，2d ，4C ，4d 上．推论1 在调和四边形ABCD 中，性质5中的圆1C ，1d ，3C ，3d 共点于AC 的中点M ，圆2C ，2d ，4C ，4d 共点于BD 的中点N ．推论2 在调和四边形ABCD 中，性质5中的圆1C ，2C ，3C ，4C 共点于点P ，圆1d ，2d ，3d ，4d 共点于点Q ．因而，P ，Q 也是四边形ABCD 的等角共轭点．事实上，设圆1C 与2C 交于点P ，因M ，N 为等角共轭点，则M PB M D A PAB PBA +++=∠∠∠∠ 180CDB PAB PBA CAB PBC PBA CAB ABC MCB ++=++=+=︒-∠∠∠∠∠∠∠∠∠，即知M ，P ，B ，C 四点共圆，即圆3C 过点P ．同理，圆4C 也过点P ．放圆1C ，2C ，3C ，4C 共点于P ． 同理，圆1d ，2d ，3d ，4d 共点于Q ．性质6 圆内接四边形ABCD 为调和四边形的充要条件是某一顶点(不妨设为点C )位于劣弧DB 上，又在优弧DB 上取两点E ，F ，使得D ，B 分别为弧EC ，CF 的中点，过C 作CT DB ∥交圆于点T 时，点T 、△CEF 的内心、点C 的对顶点A 三点共线．证明 如图16-6，由题设知D ，I ，F 三点共线，B ，I ，E 三点共线．因I 为△CEF 的内心，由内心的性质并注意CT DB ∥，有ID DC BT ==，IB BC DT ==，从而IBTD 为平行四边形．即TI 过DB 的中点M ．故由性质2，有图16-6E CBAAB CD BC DA ⋅=⋅⇔T ，M ，A 三点共线 TI ⇔过DB 的中点M T ⇔、I 、A 三点共线．性质7 圆内接四边形ABCD 为调和四边形的充要条件是某一顶点（不妨设为点C ）位于劣弧DB 上，又在优弧DB 上取两点E ，F ，使得D ，B 分别为弧EC ，FC 的中点，在劣弧EF 上任取点P ，记1I ，2I 分别为△CEP ，△CFP 的内心，此时A ，P ，2I ，1I 四点共圆．证明 如图16-7，由题设知，P ，1I ，D 及P ，2I ，B 分别三点共线，联结1I A ，2I A ，则 12I DA I BA =∠∠，12I PI BPD BAD ==∠∠∠．图16-7FE DCBAN PI 1I 2I注意到内心的性质，有1CD I D =，2BC I B =． 于是，CB ADAB CD BC DA BC AB⋅=⋅⇔=1122I D I D I BAD I B AB AD AB⇔=⇔=1212I DA I BA I AD I AE ⇔⇔=△∽△∠∠1212I AI I PI A ⇔=⇔△△，P ，2I ，1I 四点共圆．推论3 题设同性质7，设I 为△CEF 的内心，则12I I I I ⊥． 事实上，如图16-7，注意内心所张的角与对应顶点角的关系，知111909022EI C EPC EFC EIC =︒+=︒+=∠∠∠∠，即知E ，1I ，I ，C 四点共圆．从而 11112I EI I CI ECF ECI ==-∠∠∠∠1()2ECF ECP =-∠∠ 12FCP FCI ==∠∠ 同理，12EII IFI =∠∠，从而12EI I II F △∽△． 于是， 12112E I I F I I E I I I E I+=+∠∠∠∠ 1180EI I ECI =︒-=∠∠12ECF =∠． 所以， 1212()I II EIF EII FII =-+∠∠∠∠ 11909022ECF ECF =︒+-=︒∠∠．故12I I I I ⊥．推论4 题设同性质7，又设N 为12I I 的中点，则BN DN ⊥．事实上，如图16-7，注意到D ，I ，F 共线及内心的性质，有DI DC =，1DI DC =，从而1DI DI =． 由推论1知12I I I I ⊥，即有1IN I N =．注意到DN 公用，则DNI DNI △≌△，从而11122mNDI I DI PF ====∠∠．同理，12mNBI EP ===∠． 又1122mIBD IBD FBC CE +===+∠∠， 则 N D BN B D +∠∠ NDI IDB IDB NBI =+++∠∠∠∠ 1()902m PF FBC CE EP ===+++=︒，即90BND =︒∠．故BN DN ⊥．性质8 圆内接四边形为调和四边形的充分必要条件是该四边形四顶点与不在其圆上一点的连线交圆于四点为一正方形四顶点．证明 如图16-8，四边形ABCD 内接于O ，点P 不在O 圆周上，直线PA ，PB ，PC ，PD 分别交O 于A '、B '、C '、D '．图16-8DC ''由割线或相交弦定理，有PA PA PB PB ''⋅=⋅，即知△APB ∽△B PA '，亦即有AB PAA B PB='''． 令点P 对O 的幂为k ，则PA k AB A B A B PB PA PB ''''=⋅=⋅'''⋅（或A B PA PBk ''⋅⋅=）． 同理， kC D CD P C P D''=⋅''⋅． 从而 2AB CD PA PB PC PD A B C D k ''''⋅⋅⋅⋅=''''⋅．同理， 2B C D AP A PB PC P DB C D A k''''⋅⋅⋅⋅=''''⋅．于是AB CD BC DAA B C D B C D A ⋅⋅=''''''''⋅⋅．充分性．当A '、B '、C '、D '为正方形四顶点时，显然有AB CD BC DA ⋅=⋅．必要性．当AB CD BC DA ⋅=⋅时，由PA PA PB PB PC PC PD PD k ''''⋅=⋅=⋅=⋅=，可视点A 、B 、C 、D 的反演点为A '、B '、C '、D '．由反演变换的性质，可知A '、B '、C '、D '在AB CD BC DA ⋅=⋅的条件下为一正方形四顶点．注：由性质8也给出了作调和四边形的又一种方法．在《近代欧氏几何》中有如下定义：如果一个四边形的顶点是一个正方形顶点的反形，那它称为调和四边形．性质9 圆内接四边形为调和四边形的充分必要条件是其一顶点对其余三顶点为顶点的三角形的西姆松线段被截成相等的两段．证明 如图16-9，设ABCD 为圆内接四边形，不失一般性，设点D 在ABC △的三边BC ，CA ，AB 上的射影分别为L ，K ，T ，则LKT 为西姆松线段．此时L ，D ，K ，C 及D ，A ，T ，K 分别四点共圆，且CD ，AD 分别为其直径．D B图16-9设ABCD 的半径为R ，则由正弦定理，有 sin sin(180)LK CD LCK CD ACB =⋅=⋅︒-∠∠sin 2CD ABCD ACB R⋅=⋅=∠， sin 2AD BCKT AD BAC R⋅=⋅=∠． 于是，LK KT CD AB AD BC =⇔⋅=⋅⇔四边形ABCD 为调和四边形． 性质10 圆内接四边形为调和四边形的充分必要条件是一条对角线两端点处的切线交点（或无穷远点），两对角线的交点调和分割另一条对角线．证明 当圆内接四边形为筝形时，易证得结论，这留给读者自证．下证非筝形时情形．设圆内接四边形ABCD 的两条对角线相交于点Q ，在A ，C 处的两条切线相交于点P ，则由△QCD ∽△QBA ，△QAD ∽△QBC ，有 QD CD QA BA =，QA ADAB BC=． 从而D Q Q D Q A C D A DQ B Q A Q B B A B C =⋅=⋅ ① 充分性．如图16-10，当P ，Q 调和分割DB 时，DCBAPQ 图16-10即有P D D QP B Q B=．② 此时P ，D ，Q ，B 共线，且由△PDC ∽△PCB ， 有P D P C C DP C P B B C==． 从而PD PD PCPB PC PB=⋅CD CDBC BC=⋅．③ 由①，②，③，得AD CDAB BC=，即AD BC AB CD ⋅=⋅，亦即四边形ABCD 为调和四边形．必要性．如图16-10，当A B C D 为调和四边形时，由性质4，知P ，D ，Q ，B 共线，且有③式成立．由AD BC AB CD ⋅=⋅，有AD CDAB BC=．再注意到①式与③式则 有 P D D QP B Q B =， 即P D P BD Q B Q=， 亦即知点P ，Q 调和分割DB ．注：必要性也可这样证：由△PAB ∽△PDA ，有 A B P A P B D A P D P A==， 从而 22AB PA PB PBAD PD PA PD=⋅=． 又注意到性质11有22AB BQAD DQ=． 于是，有 PB BQPD DQ=， 故P 、Q 调和分割DB ．性质11 圆内接四边形为调和四边形的充分必要条件是两邻边之比等于此两邻边所夹对角线分另一条对角线为两段对应之比开平方．证明 如图16-11，设圆内接四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于点Q ．图16-11TM DCBAPQ当圆内接四边形为筝形时，易证得结论，这也留给读者自证．下证非筝形时情形．充分性，不失一般性，设有AB AD = 成立时，则 22ABC ADC S AB QB AB BCAD QD S AD DC⋅===⋅△△， 即有AB BCAD DC=， 故AB DC AD BC ⋅=⋅，所以ABCD 为调和四边形． 必要性．当ABCD 为调和四边形时，则由性质4，知点A 、C 处的切线与直线DB 共点于P ，如图16-11．于是，注意到面积关系与正弦定理，有 sin sin BCP BAP S CQ CB CP BCPQA S AB AP BAP⋅⋅==⋅⋅△△∠∠ 22sin(180)sin sin(180)sin CB BAC CB BAC CB AB ACB AB ACB AB ⋅︒-⋅===⋅︒-⋅∠∠∠∠．此时，亦有 2222CD CB CQAD AB QA==． 故C D C BQ A D A B A= 由 2222sin sin AB CB CB BACAD CD CD DBC ⋅==⋅∠∠ sin sin CB CP BCTCD CP DCP ⋅⋅=⋅⋅∠∠sin sin CB CP BCPCD CP DCP⋅⋅=⋅⋅∠∠BCP DCP S PBS PD==△△． （*）注意到性质10，当ABCD 为调和四边形时，P ，Q 调和分割DB ，即有 PB QBPD QD=． 将其代入(*)式，故A B C BB A DCD D==． 注(1)必要性也可这样证，由AB DC BC AD ⋅=⋅，有 22C B C BD C A B A D A D=⋅ CB DC CQ DQ CQ AD AB DC AQ AQ=⋅=⋅=． (2)由性质2，知在调和四边形中，对角线的中点是其等角共轭点，在图16-4中，设M 为AC 的中点，则ABM QBC =∠∠，即知BQ 为BM 的等角共轭线，亦即BQ 为BM 的共轭中线（即中线以该角角平分线为对称轴翻折后的直线）．三角形的三条共轭中线的交点称为共轭重心，显然BQ 过ABC △的共轭重心，因此，对于过三角形共轭重心的线段BQ ，有22AB AQBC QC=． 性质12 在调和四边形ABCD 中，点P 在对角线BD 上，记O 、1O 、2O 分别为四边形ABCD ，△BCP ，△ABP 的外接圆圆心，则直线BO 平分线段12O O ．证法1 如图16-12，联合1BO ，2BO ，1OO ，2OO ．设M 为AC 的中点，则由调和四边形的性质4，知ABP CBM =∠∠，即有ABM CBP =∠∠．FE 图16-12设直线BO 交12O O 于点Q ，此时12O O BP ⊥，2OO AB ⊥，1OO BC ⊥，注意到一个角的两边与另一个角的两边对应垂直时，则这两个角相等或相补，即知2OO Q ABP =∠∠，1OO Q CBP =∠∠． 于是，由正弦定理有1221sin sin sin sin OO OO Q ABPOO OO Q CBP==∠∠∠∠ sin sin CBM ABM =∠∠，sin sin BC BACBA BCA =∠∠ sin sin BAMBCM=∠∠．从而121122BO O BO O S O Q BC OO QO S BA OO ⋅==⋅△△ sin sin sin sin BAM CBMBCM ABM⋅=⋅∠∠∠∠sin sin 1sin sin BAM CBM BM CMABM BCM AM BM=⋅=⋅=∠∠∠∠．故12O Q QO =．证法2 如图16-12，设M 为AC 的中点，则由性质4，知CBM ABP =∠∠，亦即CBD ABM =∠∠．又BDC BAM =∠∠，即有△DBC ∽△ABM ．从而BC BMCD MA=． ① 作△BCP ，△ABP 的外接圆，过点B 作O 的切线分别交1O ，2O 于点E ，F ．联结所在CE ，则由EBC PDC △∽△，有BE BCDP CD=． ②由①、②有BM BEMA DP =， 亦即 BM DPBE MA ⋅=． 同理， B M D PBF CM⋅=．而 MA CM =．于是，知BE BF =．作1O E EB '⊥于E '，作2O F BF '⊥于F '，由垂径定理，知E '，F '分别为EB ，BF 的中点．在直角梯形12O E F O ''中，BO 即为其中位线所在直线，故它一定平分12O O ． 下面给出上述性质应用的一些例子．例1 （2003年国家集训队训练题）点P 为ABC △的外接圆上劣弧BC 内的动点，1I ，2I 分别为△PAB 、△PAC 的内心．求证：(1)△12PI I 的外接圆过定点；(2)以12I I 为直径的圆过定点；(3)12I I 的中点在定圆上．事实上，参见图16-7对于(1)，视图16-7中的△CEF 为ABC △，由性质7知，△12PI I 的外接圆过定点即图16-7中的点A ；对于(2)，由性质7后的推论3，知12I I I I ⊥以12I I 为直径的圆过定点I ；对于(3)，由性质7后的推论4，知12I I 的中点在图16-7中的以DB 为直径的定圆上．例2 （2008年国家集训队测试题）已知M ，N 分别是锐角ABC △的外接圆O 的劣弧CA ，AB 的中点，D 是MN 的中点，G 是劣弧BC 上的一点．设△ABG ，△ACG 的内心分别为1I ，2I ．若△12GI I 的外接圆与圆O 的另外一个交点为P ，ABC △的内心为I ．证明：D ，I ，P 三点共线． 事实上，参见图17-7与利用性质7与性质6，即证得结论．例3 （IMO45预选题）已知直线上的三个定点依次为A ，B ，C ，Γ为过A ，C 且圆心不在AC 上的圆，分别过A ，C 两点且圆Γ相切的直线交于点P ，PB 与圆Γ交于点Q ．证明：AQC ∠的平分线与AC 的交点不依赖于圆Γ的选取．证法1 如图16-13，点Q 可在劣弧AC 上，也可在优弧AC 上．Γ图16-13由性质3知，不管Q 在何处，AQC ∠为调和四边形AQCQ '的相对的角，其角平分线与AC 的交点是同一点．为方便，设点Q 在劣弧AC 上．设直线QT 交圆于另一点S ，则S 为优弧AC 的中点． 由于△PAC ，△ASC 均为等腰三角形，则由面积比有sin sin AB APBBC CPB=∠∠，sin sin AT ASQ TC CSQ =∠∠． 在△PAC 中，视Q 为塞瓦点，由角元形式的塞瓦定理，有s i n s i n s i n 1s i n s i n s i n A P B Q A C Q C PC P B Q A P Q C A ⋅⋅=∠∠∠∠∠∠． 注意到 P A QA S Q Q C ==∠∠∠，PCQ CSQ QAC ==∠∠∠．则22s i n s i n s i n s i n s i n s i n s i n s i n A P BP A Q Q C A A S QC P B Q A C P C Q C S Q⋅==⋅∠∠∠∠∠∠∠∠，即 22A B A TB C T C =． 亦即A T T C = 故T 不依赖于圆T 的选取．证法2 如图16-13，点Q 可在劣弧AC 上，也可在优弧AC 上．不失一般性，设点Q 在劣弧AC 上，直线PB 与圆Γ的另一交点为Q '，由调和四边形的性质1，知AQ C O '为调和四边形．设AQC ∠的平分线交AC 于T ，则由角平分线的性质，知AT AQTC QC=． 又由性质11，在调和四边形AQ CQ '中，有AQQC从而AT TC =T 不依赖于圆Γ的选取． 例4 （2003年IMO44试题）设ABCD 是一个圆内接四边形，点P ，Q 和R 分别是D 到直线BC ，CA 和AB 的射影．证明：PQ QR =的充要条件是ABC ∠和ADC ∠的角平分线的交点在线段AC 上．证明 如图16-14，由性质9，知PQ QR =的充要条件是ABCD 为调和四边形．TR DC BAP Q图16-14又由调和四边形的性质3，知ABC ∠和ADC ∠的角平分线的交点在线段AC 上的充要条件是ABCD 为调和四边形．故PQ QR =的充要条件是ABC ∠和ADC ∠的角平分的交点在线段AC 上．例5 设ABC △的内切圆分别切BC 、CA 、AB 于点D ，E ，F ，点M 是圆上任意一点，且MB ，MC 分别交圆于点Y ，Z ．证明：EY ，FZ ，MD 三线共点．证明 如图16-15，联结有关点得圆内接六边形FYDZEM ，由塞瓦定理的推论（即对角元形式的塞瓦定理应用正弦定理推得）有EY ，FZ ，MD 三线共点1FY DZ EMYD ZE MF⇔⋅⋅=．LMFE DCBA Y 图16-15由性质1，在四边形FYDM ，四边形DZEM 中， 分别有 F Y F M Y D D M =，DZ DMZE ME=． 从而1F Y D Z E M F M D M E MY D Z E M F D M M E M F⋅⋅=⋅⋅=． 故结论获证．例6 （2007年湖南省数学夏令营试题）设ABC △的内切圆分别切BC 、CA 、AB 于D ，E ，F ，AD 与圆交于M ，MB ，MC 分别交圆于Y ，Z ，证明：FY M D EZ ∥∥的充要条件是点M 为AD 的中点． 证明 如图16-16，联结FM ，YD ，由性质1，知在四边形FYDM 中，有FY FMYD MD=． L E Y MF DCBA图16-16又FYD FM A =∠∠，当AM MD =时，有FY FMYD AM=，则△FYD ∽△FMA ，即有FAM FDY ==∠∠ BFY ∠，故FY AD ∥．同理，EZ AD ∥．充分性获证．反之，由FY AD ∥，有FAM BFY FD Y ==∠∠∠，又FM A FYD =∠∠，则△FMA ∽△FYD ，即有FM FYAM DY=． 注意到性质1，有FY FMDY MD=． 从而AM M D =．必要性获证．例7 （2003年全国高中联赛加试题）APB ∠内有一内切圆与边切于A ，B 两点，PCD 是任一割线交圆于C 、D 两点，点Q 在CD 上，且QAD PBC =∠∠．证明：PAC QBD =∠∠．证明 如图16-17，由弦切角定理，有PAC ADQ =∠∠，PBC QDB =∠∠，又QAD PBC =∠∠，则QDB QAD =∠∠．(*)PQ DCBA图16-17联结AB ，则CBA CDA QDA ==∠∠∠，CAB PBC QAD ==∠∠∠，即知△ACB ∽△AQD ，从而AC AQCB QD=． 由性质1，知四边形ACBD 中，有AC ADCB DB=．于是AD AQ DB QD =． 再注意到(*)式，则△QDB ∽△QAD ．故QBD ADQ PAC ==∠∠∠．例8 （2009年全国高中联赛加试题）如图16-18，M ，N 分别为锐角ABC △（A B <∠∠）的外接圆Γ上弧BC 、AC 的中点．过点C 作PC MN ∥交圆Γ于P 点，I 为ABC △的内心，连接PI 并延长交圆Γ于T ．（Ⅰ）求证：MP MT NP NT ⋅=⋅；(Ⅱ)在弧AB （不含点C ）上任取一点Q (Q A ≠，T ，B )．记△AQC 、△QCB 的内心分别为1I 、2I ．求证：Q ，1I ，2I ，T 四点共圆．I 2QΓTQINMPCBA图16-18证明 （Ⅰ）证法1 因P ，I ，T 三点共线，由性质6，知TMCN 为调和四边形，即有 MT NC NT MC ⋅=⋅．又由PC NM ∥知NMCP 为等腰梯形，有NC MP =，NP MC =，故有MP MT NP NT ⋅=⋅．证法2 分别过C ，T 作圆Γ的切线相交于Q ，下证点Q 在直线NM 上，如图16-18．事实上，可知A ，I ，M ；B ，I ，N 分别三点共线，又由内心性质，知MC MI =，NC NI =，从而MN CI ⊥．又PC NM ∥，则PC CN ⊥，即90PCI =︒∠．于是，190902CIP CPI CTQ CQT =︒-=︒-=∠∠∠∠，从而知点Q 为△CTI 的外心，即有QI QC =，亦即Q 在CI 的中垂线MN 上，故Q ，M ，N 三点共线．注意到性质1，即知TMCN 为调和四边形，下同证法1． (Ⅱ)由性质7即证得结论成立．例9 （2010年国家集训队选拔赛题）在锐角ABC △中，AB AC >，M 是边BC 的中点，P 是ABC △内一点，使得MAB PAC =∠∠．设ABC △，△ABP ，△ACP 的外心分别为O ，1O ，2O ．证明：直线AO 平分线段12O O ．证明如图16-19，由M是BC的中点，MAB PAC=∠∠(AB AC>时)，知AP为AM的共轭中线．设直线AP交BC于点Q，交O于点D，则由性质11后中的注，知22AB BQ AC QC=．图16-19于是，有22ABDACDSAB BQ AB BD AC QC S AC CD⋅===⋅△△，即有A B B D A C C D=，亦即A B C D A C B D⋅=⋅．上式表明，圆内接四边形ABDC为调和四边形．由性质12，即知直线AO平分线段12O O．注：由性质12，知例9中的条件“P是ABC△内一点”，可改为“P是ABC△的外接圆内一点”，即图16-19中的线段AD上的点（异于端点）均可．例10 （2008年蒙古国家队选拔考试题）已知梯形ABCD内接于圆Γ，两底BC，AD满足BC AD<，过点C的切线与AD交于点P，过P的切线切圆Γ于异于C的另一点E，BP与圆Γ交于点K，过C 作AB的平行线，分别与AK，AE交于点M，N．证明：M为CN的中点．证明如图16-20，联结CK，BE，EK，则由性质1知BEKC为调和四边形．联结CF，取CE的中点L，则由性质4知EKL BKC=∠∠．PΓ图16-20又BKC BAC ACN==∠∠∠，则EKL ACN=∠∠．由ACE AKE=∠∠，有M C L N C E A C E A C N A K E E K L A K L M K L==-=-==∠∠∠∠∠∠∠∠，即知M，C，K，L四点共圆．因此，KML KCL KCE KAE===∠∠∠∠，于是ML AE∥．故M为CN的中点．注：题设中的梯形ABCD可改为圆内接四边形，上述证明未用到BC AD∥这个条件．例11 （2005年国家集训队测试题）设锐角ABC△的外接圆为W，过点B、C作W的两条切线，相交于点P．联结AP交BC于点D，点E，F分别在边AC，AB上，使得DE BA∥，DF CA∥．(1)求证：F ，B ，C ，E 四点共圆；(2)若记过F ，B ，C ，E 的圆的圆心为1A ，类似地定义1B ，1C ，则直线1AA ，1BB ，1CC 共点．证明 (1)如图16-21，欲证F ，B ，C ，E 四点共圆，只需证有ωPQ FEDCBA 图16-21AF AB AE AC ⋅=⋅． ①由于CD AF DE AB BC ==⋅，BDAE FD AC BC==⋅． 于是，欲证①式，只需证22AB BDAC CD=． ② 设AP 交圆W 于点Q ，联结BQ ，QC ，则由调和四边形性质1，知ABQC 为调和四边形． 由性质11，知在调和四边形ABQC 中，有②式，故F ，B ，C ，E 四点共圆．(2)由题设并注意到性质11后中的注，1A ，1B ，1C 均与共轭中线有关，设G 为ABC △的共轭重心，如图16-22（直线AG 交BC 于D ，直线BG 交AC 于J ，直线CG 交AB 于K ，则T 11E 1F 1N 1M1GJ K DCBA 图16-2222AB BD AC CD =，22BA AJ BC JC=，22CA AKCB BK =）． 过G 分别作11M N BC ∥，11S E AB ∥，11FT AC ∥，交点如图16-22所示．下面，我们证明1F ，1M ，1S ，1T ，1N ，1E 六点共圆．由△11AM N 与ABC △位似， 有 211211AM M GAN N G=．从而，由(1)知1F ，1M ，1N ，1E 四点共圆．同理，1F ，1M ，1S ，1T 及1S ，1T ，1N ，1E 分别四点共圆． 于是， 1111111180S M N BM S N M A =︒--∠∠∠ 111180FT S ABC =︒--∠∠ 180ACB ABC =︒--∠∠111BAC S E N ==∠∠，即知1M ，1S ，1T ，1N ，1E 五点共圆．由对称性，知点1F 也在此圆上．即证得六点共圆． 设此六点圆的圆心为O ，由于1A 与O 的位似中心是A ，故直线1AA 过点O ．同理，直线1BB ，1CC 也过点O ．证毕．练习十六1．在调和四边形ABCD 中，ADC ∠的平分线交AC 于T ，1O 为△BDT 的中心．设四边形ABCD 的外接圆圆心为O ，则1O D DO ⊥，1O B BO ⊥．2．在调和四边形ABCD 中，M ，N 分别为对角线AC ，BD 的中点，则DMC BMC =∠∠，AND =∠ CND ∠，且NA NC MB MD +=+．3．(2001年第50届保加利亚奥林匹克题)非等腰ABC △的内切圆圆心为O ，其与AB ，BC 和CA 分别相切于点1C ，1A 和1B ．1AA ，1BB 交圆于2A ，2B ．△111A B C 的111C A B ∠和111C B A ∠的平分线分别交11B C 和11AC 于点3A ，3B ，证明：(1)23A A是121B A C ∠的平分线；(2)如果P 和Q 是△123A A A 和△123B B B 的两外接圆交点，则点O 在直线PQ 上．4．（2005年福建省竞赛题）在直角三角形ABC 中，90B =︒∠，它的内切圆分别与边BC ，CA ，AB 相切于点D ，E ，F ．联结AD ，与内切圆相交于另一点P ．联结PC ，PE ，PF ，PD ．已知PC PF ⊥．求证：(1)PF PDDF DC=；(2)PE BC ∥． 5．（2008年蒙古国家队选拔考试题）已知梯形ABCD 内接于圆Γ，两底BC ，AD 满足BC AD <，过点C 的切线与AD 交于点P ，过P 的切线切圆Γ于异于C 的另一点E ，BP 与圆Γ交于点K ，过C 作AB 的平行线，分别与AK ，AE 交于点M ，N ．证明：M 为CN 的中点． 6．（2006年罗马尼亚国家队集训测试题）在凸四边形ABCD 中，记O 为AC 与BD 的交点，如果BO 为ABC △的陪位中线，DO 为△ADC 的陪位中线．证明：AO 为△ABD 的陪位中线． 7．（2010年中国国家队集训测试题）设ABCD 是一个圆内接四边形，ADC ∠是锐角，且AB DABC CD=．过A ，D 两点的圆Γ与直线AB 相切，E 是圆Γ在四边形ABCD 内的弧上一点，求证：AE EC ⊥的充分必要条件是1AE EDAB AD-=．8．（2000年波兰数学奥林匹克题）在等腰ABC △中，M 为底边AB 的中点，在ABC △内有一点，使得PAB PBC =∠∠．求证：πAPM BPC +=∠∠． 9．（2006年罗马尼亚国家队选拔考试题）在等腰ABC △中，AB AC =，M 为BC 边的中点，请在三角形内找出满足πBPM CPA +=∠∠的点的轨迹． 10．（2006年罗马尼亚国家队集训测试题）在凸四边形ABCD 中，记O 为AC 与BD 的交点．如果BO 为ABC △的陪位中线，DO 为△ADC 的陪位中线．证明：AO 为△ABD 的陪位中线． 11．（2006年江西省竞赛题）ABC △中，AB AC =，M 是BC 的中点，D ，E ，F 分别是边BC ，CA ，AB 上的点，且AE AF =，△AEF 的外接圆交线段AD 于点P ．若点P 满足2PD PE PF =⋅．证明：BPM CPD =∠∠．12．三角形内切圆切三边的三个切点，一切点和所对顶点连线与内切圆的交点，这四个点为顶点的四边形是调和四边形．这样的四边形有3个．为方便叙述，我们记三个切点为内切圆上的第1类特殊点，此即第12题解答图中的点D ，E ，F ；切点和所对顶点连线与内切圆的交点记为内切圆上的第Ⅱ类特殊点，如该图中的点P ，Q ，R ；第Ⅱ类特殊点和相应顶点连线与内切圆的交点（异于切点）记为内切圆上的第Ⅲ类特殊点，如第14题解答图中的点G ，H ，M ，N ，S ，T ．这样，定理1表明3个第Ⅰ类特殊点和1个第Ⅱ类特殊点为顶点的四边形是调和四边形．13．三角形内切圆上3个第Ⅱ类特殊点和1个第Ⅰ类特殊点为顶点的四边形是调和四边形．这样的四边形有3个．14．三角形内切圆上2个第Ⅰ类特殊点，1个与前述第Ⅰ类特殊点有关联的第Ⅱ类特殊点，1个与前述第Ⅱ类特点有关联的第Ⅲ类特殊点，这4个点为顶点的四边形是调和四边形．这样的四边形有6个． 15．三角形内切圆上1个第Ⅰ类特殊点，1个与这个第Ⅰ类特殊点关联的第Ⅱ类特殊点，2个与这个第Ⅱ类特殊点关联的第Ⅲ类特殊点，这4个点为顶点的四边形是调和四边形．这样的四边形有3个．。

四边形的性质与分类四边形是几何学中最基本的图形之一，具有丰富的性质和分类。

本文将探讨四边形的性质以及常见的分类方式，带您深入了解这一重要的几何形状。

一、四边形的基本性质四边形是由四条线段组成的多边形，它有一些独特的性质，下面进行一一介绍。

1. 边和角四边形有四条边和四个内角。

它的任意两个相邻边之间的角称为相邻角，而两条不相邻但相交的边之间的角称为对角。

2. 对角线四边形的对角线是连接非相邻顶点的线段。

一个四边形有两条对角线，它们分别是互补对角线。

对角线之间的夹角以及和四边形边之间的关系是研究四边形性质的重要方面。

3. 对边关系四边形的对边在一些特殊情况下有特殊的关系。

例如，平行四边形的对边是相等的，而矩形的对边不仅相等且垂直。

二、四边形的分类四边形可以按照多个属性进行分类。

下面是几种常见的分类方式。

1. 顶点角度根据四边形的内角度数，可以将四边形分为以下几类：- 矩形：四个内角均为直角（90度）。

- 正方形：四个内角均为直角且边长相等。

- 平行四边形：对边平行，相邻角互补。

- 长方形：四个内角均为直角，但对边长度不必相等。

- 梯形：至少有一对对边平行。

- 一般四边形：没有其他特殊属性的四边形。

2. 边属性根据四边形的边长关系，可以将四边形分为以下几类：- 等边四边形：四个边长相等。

- 等腰四边形：有两边相等。

- 直角梯形：梯形中有一个直角。

- 等腰梯形：梯形中有两边相等。

3. 边角关系根据四边形的边和角的关系，可以将四边形分为以下几类：- 直角四边形：有一个内角为直角。

- 锐角四边形：四个内角均小于90度。

- 钝角四边形：至少有一个内角大于90度。

总结：四边形是几何学中非常重要的图形，它具有丰富的性质和分类方式。

通过了解四边形的基本性质以及常见的分类方式，我们可以更好地理解和应用四边形的知识。

无论是解决实际问题还是进行几何推理，对四边形的性质和分类的掌握都是至关重要的。

请记住，了解四边形的性质与分类不仅有助于几何学的学习，也对日常生活中的空间思维和问题解决能力有着积极的影响。

高中数学备课教案四边形的性质与变换高中数学备课教案四边形的性质与变换一、引言数学中的四边形是一种常见的图形，它具有多种性质与变换。

本教案将重点介绍四边形的基本性质，并探讨它在平移、旋转、翻转和放缩等变换中的特点。

二、四边形的性质1. 直角四边形：四边形的对角线相互垂直- 定理：如果一个四边形的对角线相互垂直，那么这个四边形是直角四边形。

- 证明思路：利用向量等方法证明对角线的斜率互为负倒数。

2. 平行四边形：对边线段互相平行- 定理：如果一个四边形的对边线段互相平行，那么这个四边形是平行四边形。

- 证明思路：利用向量等方法证明对边线段的斜率相等。

3. 等腰梯形：两条底边平行，且斜边相等- 定理：如果一个四边形的两条底边平行，且两条斜边相等，那么这个四边形是等腰梯形。

- 证明思路：利用向量等方法证明底边平行，再利用距离公式证明斜边相等。

4. 正方形：四条边相等，且内角为直角- 定理：如果一个四边形的四条边相等，且内角为直角，那么这个四边形是正方形。

- 证明思路：利用向量等方法证明四条边相等，再利用内角和为360度证明内角为直角。

三、四边形的变换1. 平移变换- 定义：平移变换是保持图形形状和大小不变，仅改变位置的变换。

- 性质：平移变换后，四边形的所有内角、边长和面积均保持不变。

2. 旋转变换- 定义：旋转变换是以一个固定点为中心将图形按一定角度旋转的变换。

- 性质：旋转变换后，四边形的内角、边长和面积均保持不变。

3. 翻转变换- 定义：翻转变换是以一条直线为轴将图形对称的变换。

- 性质：翻转变换后，四边形的对称性质得以保持，原点和对应的点互为镜像点。

4. 放缩变换- 定义：放缩变换是通过改变图形的大小而使其形状相似的变换。

- 性质：放缩变换后，四边形的内角仍保持不变，边长和面积按一定比例进行缩放。

四、教学示例1. 案例一：判断四边形性质- 题目：已知四边形ABCD，AB=BC=CD=DA，且∠ADB=90°，证明四边形ABCD是正方形。