平行四边形的性质知识点-例题-习题

平行四边形性质经典例题及练习（4）一、平行四边形的性质： 1、平行四边形对边相等且平行 2、平行四边形对角相等，邻角互补 3、平行四边形对角线互相平分 二、典型例题 1、角度的计算例1 、 一个平行四边形的一个内角是它邻角的3倍，那么这个平行四边形的四个内角各是多少度？解 设平行四边形的一个内角的度数为x ，则它的邻角的度数为3x ，根据题意，得x+3x=180，解得x=45，∴ 3x=135∴这个平行四边形的四个内角的度数分别为45°，135°，45°，135°． 练习：（1）.在平行四边形ABCD 中,∠A : ∠B=3:2,则∠C=____ 度, ∠D=_______度. （2）平行四边形 ABCD 中，∠A+∠C=200°.则：∠A= _______，∠B= _____ . （3） 在平行四边形ABCD 中,∠B -∠A=20°,则∠D 的度数是 。

2、边长及周长计算 例2 已知：如图，ABCD 的周长为60cm ，对角线AC 、BD 相交于点O ，的周长比 的 周长多8cm ，求这个平行四边形各边的长． (答案：19cm ，11cm ，19cm ，11cm ．)说明：学习本题可以得出两个结论：（1）平行四边形两邻边之和等于平行四边形周长的一半．（2）平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差． 练习：（1）已知：平行四边形一边AB=12 cm,它的长是周长的1/6，则BC=______ cm,CD=______ cm.（2）已知平行四边形的周长是100cm, AB:BC=4 : 1,则AB 的长是______.（3）已知平行四边形的面积是144,相邻两边上的高分别为8和9,则它的周长是______________.（4）用20米长的一铁丝围成一个平行四边形,使长边与短边的比为3:2,则它的边长为________短边长为__________.3、面积计算例3、已知：如图，ABCD 的周长是，由钝角顶点D 向AB ，BC 引两条高DE ，DF ，且，.求这个平行四边形的面积.解答：设. ∵ 四边形ABCD 为平行四边形，∴.又∵四边形ABCD 的周长为36，∴ ① ∵， ∴∴ ② 解由①，②组成的方程组，得.∴.说明：本题考查平行四边形的性质及面积公式，解题关键是把几何问题转化为方程组的问题. 练习：1、平行四边形两邻边分别是4和6，其中一边上的高是3，则平行四边形的面积是____________．2、如图，中，对角线AC 长为10 cm ，∠CAB ＝30°，AB 长为6 cm ，则的面积是____________．3、平行四边形邻边长是4 cm 和8cm ，一边上的高是5 cm ，则另一边上的高是____________． 4、在中，∠A ＝30°，AB ＝7 cm ，AD ＝6 cm ，则＝______．5、如图，平行四边形ABCD 的周长为50，其中AB=15，∠ABC=60°，求平行四边形面积。

平行四边形一、知识点复习1、平行四边形的判定平行四边形的判定方法①两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

③两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

④对角线相互平分的四边形是平行四边形。

2、平行线等分线段和三角形中位线定理（1）平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等.（2）平行线等分线段定理的推论:经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边.（3）三角形的中位线:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

（4）三角形中位线定理：三角形两边中点的连线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

3、三角形的重心(1）重心的定义：三角形的三条中线交于一点，这点就是三角形的重心.（2)重心的性质：三角形的三条中线相交于一点，这点和各边中点的距离等于相应各边上中线的三分之一。

二、典型例题讲解模块1:平行四边形的判定题型1：平行四边形的判定例题1：如图所示，在平行四边形ABCD 中,CF AE ,分别是DAB ∠，BCD ∠的平分线,求证：四边形AFCE 是平行四边形.例题2：如图，在等边三角形ABC 中，D 是BC 的中点，以AD 为边向左侧作等边三角形ADE 。

（1）求CAE ∠的度数.（2）取AB 的中点F ,连接CF 、EF 。

试证明四边形CDEF 是平行四边形.例题3：如图，在平行四边形ABCD 中，BD 为对角线，F E ,是BD 上的点，且DF BE =. 求证：四边形AECF 是平行四边形。

变式练习:1。

如图，在ABC ∆中，中线BD ，CE 相交于点O ,F 、G 分别是OB 、OC 的中点,连接DE GD FG EF ,,,，求证：四边形DEFG 是平行四边形。

2。

如图，已知DE AB //,DE AB =，DC AF =，求证：四边形BCEF 是平行四边形.3.如图,四边形ABCD 中,BC AD //，作DC AE //交BC 于E 。

平行四边形的性质及判定〔典型例题〕1．平行四边形及其性质例1 如图，O是ABCD对角线的交点．△OBC的周长为59，BD=38，AC=24，那么AD=____假设△OBC与△OAB的周长之差为15，那么AB=ABCD的周长=____.分析：AC，可得BC，再由平行四边形对边相等知AD=BC，由平行四边形的对角线互相平分，可知△OBC与△OAB的周长之差就为BC与AB之差，可得AB，进而可得ABCD的周长．对角线互相平分)∴△OBC的周长=OB＋OC＋EC=19＋12＋BC=59∴BC=28ABCD中，∴BC=AD(平行四边形对边相等)∴AD=28△OBC的周长-△OAB的周长=(OB＋OC＋BC)-(OB＋OA+AB)=BC-AB=15∴AB=13∴ABCD的周长=AB＋BC＋CD＋AD=2(AB＋BC)=2(13＋28)=82说明：此题条件中的“△OBC占△OAB的周长之差为15”，用符号语言表示出来后，便容易发现其实质，即BC与AB之差是15．例2 判断题(1)两条对边平行的四边形叫做平行四边形．( )(2)平行四边形的两角相等．( )(3)平行四边形的两条对角线相等．( )(4)平行四边形的两条对角线互相平分．( )(5)两条平行线中，一条直线上任一点到另一条直线的垂线段叫做两条平行线的距离．( )(6)平行四边形的邻角互补．( )分析：根据平行四边形的定义和性质判断．解：(1)错“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形〞是两组对边，而不是两条对边．如图四边形ABCD，两条对边AD∥BC．显然四边形ABCD不是平行四边形．(2)错平行四边形的性定理1，“平行四边形的对角相等．〞对角是指四边形中设有公共边的两个角，也就是相对的两个角．(3)错平行四边形的性质定理3，“平行四边形的对角线互相平分．〞一般地不相等．(矩形的两条对角线相等)．(4)对根据平行四边形的性质定理3可判断是正确的．(5)错线段图形，而距离是指线段的长度，是正值正确的说法是：两条平行线中，一条直线上任一点到另一条直线的垂线段的长度叫做这两条平行线的距离．(6)对由定义知道，平行四边形的对边平行，根据平行线的性质可知．平行四边形的邻角互补．例3 ．如图1，在ABCD中，E、F是AC上的两点．且AE=CF．求证：ED∥BF．分析：欲址DE∥BF，只需∠DEC=∠AFB,转证=∠ABF≌△CDF,因ABCD，那么有AB CD，从而有∠BAC=∠CDA．再由AF=CF得AF=CE．满足了三角形全等的条件．证明：∵AE=CFAE+EF=CF+EF∴AF=CE在ABCD中AB∥CD(平行四边形的对边平行)∴∠BAC=∠DCA(两直线平行内错角相等)AB=CD(平行四边形的对边也相等)∴△ABF≌△CDE(SAS)∴∠AFB=∠DCE∴ED∥BF(内错角相等两直线平行)说明：解决平行四边形问题的根本思想是化为三角形问题不处理．例4 如图在△ABC中DE∥BC∥FG，假设BD=AF、求证；DE＋FG=BC．分析1：要证DE＋FG=DC由于它们是平行线，由平行四边形定义和性质．考虑将DE平移列BC上为此，过E(或D)作EH∥AB(或DM ∥AC)，得到DE=BH、只需证HC=FG，因AF=BD=EH，∠CEH=∠A.∠AGF＝∠C所以△AFG≌∠EHC．此方法称为截长法．分析2：过C点作CK∥AB交DE的延长线于K，只需证FG=EK，转证△AFG≌△CKE．证法1：过E作EH∥AB交于H∵DE∥BC∴四边形DBHE是平行四边形(平行四边形定义) ∴DB=EHDE=BH(平行四边形对边也相等)又BD=AF∴AF=EH∵BC∥FG∴∠AGF=∠C(两直线平行同位角相等)同理∠A=∠CEH∴△AFG≌△EHC(AAS)∴FG=HC∴BC=BH+HC=DE=FG即CE+FG=BD证法2：. 过C作CK∥AB交DE的延长线于K.∵DE∥BC∴四边形DBCK是平行四边形(平行四边形定义) ∴CK=BD DK=BC(平行四边形对边相等)又BD=AF∴AF=CK∵CK∥AB∴∠A=∠ECK(两直线平行内错角相等)∵BC∥FG∴∠AGF=∠AED(两直线平行同位角相等)又∠CEK=∠AED(对顶角相等)∴∠AGF=∠CEK∴△AFG≌△CKE(AAS)FG=EKDE+EK=BC∴DE+FG=BC例5 如图ABCD中，∠ABC=3∠A，点E在CD上,CE=1，EF⊥CD交CB延长线于F，假设AD=1，求BF的长．分析：根据平行四边形对角相等，邻角互补，可得∠C=∠F=45°进而由勾股定理求出CF，再根据平行四边形对边相等，得BF的长．解：在ABCD中，AD∥BC∴∠A＋∠ABC=180°(两直线平行同旁内角互补)∵∠ABC=3∠A∴∠A=45°，∠ABC=135°∴∠C=∠A=45°(平行四边形的对角相等)∴EF⊥CD∴∠F=45°(直角三角形两锐角互余)∴EF=CE=1∵AD=BC=1例6 如图1，ABCD中，对角线AC长为10cm，∠CAB=30°，AB长为6cm，求ABCD的面积．解：过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于点H．(图2)∵∠CAB=30°∴S ABCD＝AB·CH＝6×5=30(cm2)答：ABCD的面积为30cm2．说明：由于=底×高，题设中AB的长，须求出与底AB相应的高，由于此题条件的制约，不便于求出过点D的高，应选择过点C作高．例7 如图，E、F分别在ABCD的边CD、BC上，且EF∥BD 求证：S△ACE=S△ABF分析：运用平行四形的性质，利用三角形全等，将其转化为等底同高的三角形．证明：将EF向两边延长分别交AD、AB的延长线于G、H.ABCD DE∥AB∴∠DEG=∠BHF(两直线平行同位角相等)∠GDE=∠DAB(同上)AD∥BC∴∠DAB=∠FBH(同上)∴∠GDE=∠FBH∵DE∥BH，DB∥EH∴四边形BHED是平行四边形∵DE=BH(平行四边形对边相等)∴△GDE≌△FBH(ASA)∴S△GDE=S△FBH(全等三角形面积相等)∴GE=FH(全等三角形对应边相等)∴S△ACE=S△AFH(等底同高的三角形面积相等)∴S△ADE＝S△ABF说明：平行四边形的面积等于它的底和高的积．即S=a·ha．a 可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边与其对边的距离．即对应的高，为了区别，可以把高记成ha，说明它所对应的底是a．例8 如图，在ABCD中，BE平分∠B交CD于点E，DF平分∠D交AB于点F，求证BF=DE．证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴DE∥FB，∠ABC=∠ADC(平行四边形的对边也平行对角相等) ∴∠1=∠3(两直线平行内错角相等)∴∠1=∠2∴∠2=∠3∴DF∥BE(同位角相等两条直线平行)∴四边形BEDF为平行四边形(平行四边形定义)∴BF=DE．(平行四边形的对边相等)说明：此例也可通过△ADF≌△CBE来证明，但不如上面的方法简捷．例9 如图，CD的Rt△ABC斜边AB上的高，AE平分∠BAC交CD 于E，EF∥AB，交BC于点F，求证CE=BF．分析作EG∥BC，交AB于G，易得EG=BF．再由根本图，可得EG=EC，从而得出结论．证明：过E点作EG∥BC交AB于G点．∴∠EGA=∠B∵EF∥AB∴EG=BF∵CD为Rt△ABC斜边AB上的高∴∠BAC＋∠B=90°．∠BAC＋∠ACD＝90°∴∠B=∠ACD∴∠ACD=∠EGA∵AE平分∠BAC∴∠1=∠2又AE=AE∴△AGE≌△ACE(AAS)∴CE=EG∴CE=BF．说明：(1)在上述证法中，“平移〞起着把条件集中的作用．(2)此题也可以设法平移AE．(连F点作FG∥AE，交AB于G)例10 如图，ABCD的周长为32cm，AB∶BC=5∶3，AE⊥BC 于E，AF⊥DC于F，∠EAF=2∠C，求AE和AF的长．分析：从化简条件开场①由ABCD的周长及两邻边的比，不难得到平行四边形的边长．②∠EAF=2∠C告诉我们什么？这样，立即可以看出△ADF、△AEB都是有一个锐角为30°的直角三角形．再由勾股定理求出解：ABCD的周长为32cm即AB+BC+CD+DA=32∵AB=CD BC=DA(平行四边形的对边相等)又AB∶BC=5∶3∠EAF+∠AFC+∠C+∠CEA=360°(四边形内角和等于360°) ∵AE⊥BC ∠AEC=90°AF⊥DC ∠AFC=90°∴∠EAF+∠C=180°∠EAF=2∠C∴∠C=60°∵AB∥CD(平行四边形的对边平行)∴∠ABE=∠C=60°(两直线平行同位角相等)同理∠ADF=60°说明：化简条件，化简结论，总之，题目中哪一局部最复杂就从化简那一局部开场，这是一种常用的解题策略，我们把这种解题策略称为：从最复杂的地方开场．它虽简单，却很有效．2．平行四边形的判定例1 填空题(1)如图1，四边形ABCD与四边形BEFC都是平行四边形，那么四边形AEFD是__，理由是__(2) 如图2，D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE=EF，AE=EC，DE∥BC那么四边形ADCF是__，理由是__，四边形BCFD是__，理由是___分析：判定一个四边形是平行四边形的方法较多，要从条件出发，具体问题具体分析：(1)根据平行四边形的性质可得AD平行且等于BC，BC平行且等于EF，从而得AD平行且等于EF，由判定定理4可得．(2)由AE=EC，DE=EF，由判定定理3可得四边形ADCF是平行四边形，从而得AD∥CF即BD∥CF，再由条件，可得四边形BCFD 是平行四边形．解：(1)平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(2)平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，平行四边形，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．说明：平行四边形的定义(两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，既是平行四边形的一个性质，又是平行四边形的一个判定方法．例2 如图，四边形ABCD中，AB=CD．∠ADB=∠CBD=90°．求证：四边形ABCD是平行四边形．分析：判定一个四边形是平行四边形，有三类五个判定方法，这三类也是按边、角和对角线分类，具体的五个方法如下表：因此必须根据条件与图形构造特点，选择判定方法．证法一：∵AB=CD．∠ADB=∠CBD=90°，BD=DB．∴Rt△ABD≌Rt△CDB．∴∠ABD=∠CDB，∠A=∠C．∴∠ABD+∠CBD=∠CDB+∠ADB即∠ABC=∠CDA．∴四边形ABCD是平行四边形(两组对角分别相等的四边形是平行四边形)．证法二：∵∠ADB=∠CBD=90°，AB=CD、BD=DB．∴Rt△ABD≌Rt△CDB．∴∠ABD=∠CDB．∴AB∥CD．(内错角相等两直线平行)∴四边形ABCD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)．证法三：由证法一知，Rt△ABD≌Rt△CDB．∴DA=BC又∵AB=CD∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)说明：证明一个四边形是平行四边形，往往有多种证题思路，我们必须注意分析，通过比拟，选择最简捷的证题思路．此题三种证法中，证法二与证法三比拟简捷，此题还可用定义来证明．例3 如图，ABCD中，E、G、F、H分别是四条边上的点，且AE=CF，BG=DH，求证：EF与GH互相平分．分析：只须证明EGFH为平行四边形．证明：连结EG、GF、FH、HE．∵四边形ABCD是平行四边形∴∠A=∠C，AD=CB．∵BG=DH∴AH=CG又AE=CF∴△AEH≌△CFG(SAS)∴HE=GF同理可得EG=FH∴四边形EGFH是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)∴EF与GH互相平分(平行四边形的对角线互相平分)．说明：平行四边形的性质，判定的综合运用是解决有关线段和角问题根本方法．例4 如图，ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．求证：四边形AECF是平行四边形．分析：由平行四边形的性质，可得△ABE≌△CDF∴AE= CF进而可得四边形AECF是平行四边形．证明：ABCD中，AB CD(平行四边形的对边平行，对边相等)∴∠ABD=∠CDB(两直线平行内错角相等)AE⊥BD、CF⊥BD∴AE∥CF∠AEB=∠CFD=90°∴△ABE≌△CDF(AAS)∴AE=CF∴四边形AECF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)说明：平行四边形的定义，既是平行四边形的一个性质，又是平行四边形的一个判定方法．例5 如图，ABCD中，E、F分别在AD、BC上，且AE=CF，AF、BE相交于G，CE、DF相交于H求证：EF与GH互相平分分析：欲证EF与GH互相平分，只需四边形EGFH为平行四边形，利用条件可知四边形AFCE、四边形EBFD都为平行四边形，所以可得AF∥EC，BE∥DF，从而四边形GEHF为平行四边形．证明：ABCD中，AD BC(平行四边形对边平行且相等)∵AE=CF∴DE=BF∵四边形AFCE、四边形BFDE是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平形四边形)∴AF∥CE，BE∥DF(平行四边形对边平行)∴四边形EGFH是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)∴GH与EF互相平分(平行四边形的对角线互相平分)说明：平行四边形问题，并不都是以求证某一个四边形为平行四边形的形式出现的．往往更多的是求证线段的相等、角的相等、直线的平行、线段的互相平分等等．要灵活地根据题中条件，以及定义、定理等．先判定某一四边形为平行四边形，然后再应用平行四边形的性质加以证明．例6 如图，ABCD中，EF在BD上，且BE=DF，点G、H在AD、CB上，且有AG=CH，GH与BD交于点O，求证EG HF分析：证EF、GH互相平分GEHF为平行四边形．证明：连BG、DH、GF、EH∵ABCD为平行四边形．∴AD BC又AG=HC∴DG BH∴四边形BGDH为平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)∴HO＝GO，DO=BO(平行四边形的对角线互相平分)又BE=DF∴OE=OF∴四边形GEHF为平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)∴EG HF．(平行四边形的对边平行相等)说明：由于条件BE=DF涉及到对角线BD，所以考虑用对角线互相平分来证明例7 如图，ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，G、H分别为AD、BC的中点，求证：EF和GH互相平分．分析：连结EH，HF、FG、GE，只须证明EHFG为平行四边形．证法一：连结EH，HF、FG、GE∵AE⊥BD，G是AD中点．∠GED=∠GDE同理可得∵四边形ABCD是平行四边形∴AD BC，∠GDE=∠HBF∴GE=HF，∠GED=∠HFB∴GE∥HF∴四边形GEHF为平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)∴EF和GH互相平分．(平行四边形对角线互相平分)证法二：容易证明△ABE≌△CDF∴BE=DF∵四边形ABCD为平行四边形∴AD BC∵G、H分别为AD、BC的中点∴DG BH∴四边形BHDG为平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)∴BD和GH互相平分(平行四边形对角线互相平分)∴OG=OH，OB=OD又BE=DF∴OE=OF∴EF和GH互相平分．例8 如图，线段a、b与∠α，求作：ABCD，使∠ABC=∠α，AB=a，BC=b，分析：两边与夹角，可先确定△ABC，根据判定定理2(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)，再确定点D，从而平行四边形可作出．作法：(1)作∠EBF=∠α，(2)在BE、BF上分别截取BA=a，BC=b，(3)分别为A、C为圆心，b，a为半径作弧，两弧交于点D，∴四边形ABCD为所求．*证明：由作法可知AB=CD＝aBC=AD=b∴四边形ABCD为平行四边形(两组对边分别相等的四边形为平行四边形)且∠ABC=∠α，AB=a，BC=b∴ABCD为所求说明：常见的平行四边形作图有以下几种：(1)两邻边(AB、BC)和夹角(∠B)．(2)一边(BC)和两条对角线(AC，BD)．(3)一边(BC)和这条边与两条对角线的夹角(如∠DBC，∠ACB)．(4)一边(CD)和一个内角(∠ABC)以及过这个角的顶点的一条对角线(BD，且BD＞CD)求作平行四边形(如图)完成这些作图的关键点，都在于先作出一个三角形，然后再完成平行四边形的作图，表达了把平行四边形的问题化归为三角形问题的思想方法．。

一、知识点讲解： 1．平行四边形的性质：1（）两组对边分别平行；??DC）两组对边分别相等；（2??O是平行四边形?四边形ABCD）两组对角分别相等；（3??（）对角线互相平分；4?AB?.）邻角互补（5?2.平行四边形的判定：DCOAB . 矩形的性质：3.1;（）具有平行四边形的所有通性?CDCD??ABCD因为四边形是矩形;（）四个角都是直角2??O （3）对角线相等.?ABAB是轴对称图形，它有两条对称轴． (4) 矩形的判定：4 有一个角是直角的平行四边形；(1) (2)有三个角是直角的四边形；对角线相等的平行四边形；(3)是矩形. ?四边形ABCD(4)对角线相等且互相平分的四边形．两对角线相交成60°时得等边三角形。

5. 菱形的性质：D1有通性；（）具有平行四边形的所??是菱形ABCD?因为）四个边都相等；2（?OCA?（角.3）对角线垂直且平分对?6. 菱形的判定：BD?一组邻边等?（1）平行四边形??四边形ABCD是菱形.）四个边都相等2（?O?CA边形3）对角线垂直的平行四（?菱形中有一个角等于60°时，较短对角线等于边长；菱形中，若较短对角线等于边长，则有等边三角形；B菱形中，两对角线把菱形分成4个全等的直角三角形，每个直角三角形的斜边是菱形的边，两直角边分别是两对角线的一半。

菱形的面积等于两对角线长积的一半。

正方形的性质：7.CDCD1）具有平行四边形的所有通性；（???四边形ABCD是正方形O角都是直角；2）四个边都相等，四个（??（.3）对角线相等垂直且平分对角?BABA正方形的判定：8.一个直角?1（）平行四边形?一组邻边等??一个直角?（2）菱形??对角线相等）菱形?（3?. ABCD是正方形?四边形?一组邻边等矩形?（4）??对角线互相垂直?（5）矩形?．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三9. 1 遍的一半。

直角三角形斜边上的中线等于由矩形的性质得到直角三角形的一个性质：2．斜边的一半。

平行四边形的性质与判定经典例题练习一、平行四边形的性质1. 定义：平行四边形是一种具有两对对边平行的四边形。

定义：平行四边形是一种具有两对对边平行的四边形。

2. 性质1：平行四边形的对边相等。

性质1：平行四边形的对边相等。

3. 性质2：平行四边形的对角线相等。

性质2：平行四边形的对角线相等。

4. 性质3：平行四边形的内角和为180度（即任意两个相邻内角之和为180度）。

性质3：平行四边形的内角和为180度（即任意两个相邻内角之和为180度）。

5. 性质4：平行四边形的两组对边分别互相平行并且相互等长。

性质4：平行四边形的两组对边分别互相平行并且相互等长。

二、平行四边形的判定1. 判定方法1：若一个四边形的对边分别平行且相等，则它是一个平行四边形。

判定方法1：若一个四边形的对边分别平行且相等，则它是一个平行四边形。

2. 判定方法2：若一个四边形的对角线互相相等，则它是一个平行四边形。

判定方法2：若一个四边形的对角线互相相等，则它是一个平行四边形。

三、经典例题练1. 例题1：已知四边形ABCD，AB = BC，且AD与BC互相平行，证明四边形ABCD是平行四边形。

例题1：已知四边形ABCD，AB = BC，且AD与BC互相平行，证明四边形ABCD是平行四边形。

2. 例题2：已知四边形EFGH，EF = GH，且EG与FH互相垂直，证明四边形EFGH是平行四边形。

例题2：已知四边形EFGH，EF = GH，且EG与FH互相垂直，证明四边形EFGH是平行四边形。

3. 例题3：判定以下四边形是否为平行四边形：（a）四边形ABCD，AB = CD，且AD与BC互相垂直；（b）四边形PQRS，PQ = SR，且PS与QR互相平行。

例题3：判定以下四边形是否为平行四边形：（a）四边形ABCD，AB = CD，且AD与BC互相垂直；（b）四边形PQRS，PQ = SR，且PS与QR互相平行。

- （a）根据对边平行和相等的判定方法，若AB = CD且AD与BC互相垂直，则四边形ABCD是平行四边形。

平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结定义 ：两组对边分别平行的四边形是平行四边形平行四边形的 性质：（1平行四边形 对边相（即AB=CD,AD=BC ）； （2）： 平行四边形 对边平行 （即： AB//CD,AD//BC ）； （3）： 平行四边形 对角相等 （即： ∠A=∠C,∠ B=∠D ）； （4）： 平行四边形 对角线互相平分 （即： OA=OC ， OB=OD ）； 判定方法： 1. 两组对边分别平行 的四边形是平行四边形（定义判定法）2. 一组对边平行且相等 的四边形是平行四边形；3. 两组对边分别相等 的四边形是平行四边形；4. 对角线互相平分 的四边形是平行四边形；5.两组对角分别相等 的四边形是平行四边形；考点 1 特殊的平行四边形的性质与判定1．矩形的定义、性质与判定（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

（2）矩形的性质：矩形的对角线 ____ ；矩形的四个角都是 _____ 角。

矩形具有 ___ 的一切性质。

矩形是轴对称图形，对称轴有 _________ 条，矩形也是中心对称图形，对称中心为 _______ 的交点。

矩形被对角线分成了 _________ 个等腰三角形。

（3）矩形的判定有一个是直角的平行四边形是矩形；有三个角是 ________ 的四边形是矩形；对角线 _ 的平行四边形是矩形。

温馨提示 ：矩形的对角线是矩形比较常用的性质，当对角线的夹角中，有一个角为 60 度时，则构成一个等边三角 形；在判定矩形时，要注意利用定义或对角线来判定时，必须先证明此四边形为平行四边形，然后再请一个角为直角 或对角线相等。

很多同学容易忽视这个问题。

2．菱形的定义、性质与判定（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

（2）菱形的性质菱形的____ 都相等；菱形的对角线互相___ ，并且每一条对角线___ 一组对角；菱形也具有平行四边形的一切性质。

菱形即是轴对称图形，对称轴有条。

平行四边形知识点总结及分类练习题一、知识点总结平行四边形是几何学中一个重要的概念，其性质和判定方法对于理解几何学中的其他问题有着至关重要的作用。

以下是对平行四边形知识点的总结：1、定义：平行四边形是一个四边形，其中相对的两边平行且相等。

可以用符号“▭”表示。

2、性质：1)对边平行：平行四边形的对边平行且相等。

2)对角相等：平行四边形的对角相等，邻角互补。

3)平行四边形的面积等于其底乘高。

3.判定方法：1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

4)对角线互相平分的四边形是平行四边形。

5)邻角互补的四边形是平行四边形。

4.特殊平行四边形：矩形、菱形和正方形都是特殊的平行四边形，它们分别具有以下性质：1)矩形：对角线相等，四个角都是直角。

2)菱形：对角线垂直且平分，四边相等。

3)正方形：对角线垂直且相等，四个角都是直角。

二、分类练习题1、选择题：1)下列哪个条件可以判定一个四边形为平行四边形？A.一组对边相等，一组对角相等B.一组对边平行，另一组对边相等C.一组对角相等，另一组对边平行D.一组对角相等，一组邻角互补答案：(C)一组对角相等，另一组对边平行。

因为一组对角相等，另一组对边平行的四边形可以由一组对边平行，另一组对边相等的四边形经过平移得到，因此选项C正确。

其他选项都不满足平行四边形的定义或判定方法。

2)下列哪个条件可以判定一个四边形为矩形？A.三个内角都是直角B.对角线相等且互相平分C.对角线互相垂直且平分D.一组对边平行且相等，一组邻角互补答案：(B)对角线相等且互相平分的四边形是矩形。

因为矩形的定义是对角线相等的平行四边形，而对角线相等且互相平分的四边形是平行四边形，因此选项B正确。

其他选项分别是矩形的定义或判定方法的一部分，但不足以单独判定一个四边形为矩形。

特殊平行四边形知识点总结及题型一、平行四边形的性质：1、平行四边形的对边平行且相等；2、平行四边形的对角相等；3、平行四边形的对角线互相平分。

平行四边形例题
例题：在平行四边形ABCD中，AB = 5，BC = 3，求平行四边形ABCD的周长。

题目解析：
1. 首先明确平行四边形的性质，平行四边形的对边相等。

- 在平行四边形ABCD中，AB与CD是一组对边，BC与AD是另一组对边。

- 已知AB = 5，根据对边相等可知CD = 5；已知BC = 3，根据对边相等可知AD = 3。

2. 然后求平行四边形的周长。

- 平行四边形的周长等于四条边的长度之和，即C = AB+BC + CD+AD。

- 把AB = 5，BC = 3，CD = 5，AD = 3代入可得：C=5 + 3+5+3 = 16。

再看一道例题：
例题：平行四边形ABCD中，∠A比∠B大30°，求平行四边形ABCD各个内角的度数。

题目解析：
1. 利用平行四边形邻角互补的性质。

- 在平行四边形ABCD中，∠A与∠B是邻角，所以∠ A+∠ B = 180^∘。

2. 又因为∠A比∠B大30°，即∠ A=∠ B + 30^∘。

- 把∠ A=∠ B + 30^∘代入∠ A+∠ B = 180^∘中，得到(∠ B + 30^∘)+∠ B=180^∘。

- 化简可得2∠ B+30^∘=180^∘，移项得到2∠ B = 180^∘-30^∘=150^∘，解得∠ B = 75^∘。

- 因为∠ A=∠ B + 30^∘，所以∠ A=75^∘+30^∘=105^∘。

- 根据平行四边形的对角相等，可知∠ C=∠ A = 105^∘，∠ D=∠ B = 75^∘。

平行四边形的判定【知识要点】平行四边形的边的方面的判定：（1）（3）【典型例题】例1、如图，ABCD中，点M、N是对角线AC上的点，且AM=CN，DE=BF.求证：四边形MFNE为平行四边形例2、已知：如图，在ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，且OA=OC，AB∥DC，求证：四边形ABCD是平行四边形CD【知识要点】平行四边形角的方面和对角线的方面的判定（1）由角方面的判定（2）由对角线方面的判定【经典例题】例1、如图所示，在平行四边形ABCD中，点E、F是对角线AC上两点，且AE=CF．求证四边形BEDF是平行四边形。

例2、已知，如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO=BO，E、F分别是OC、OD中点．连接AF、BE，求证：AF//BE.练习1、如图，在 ABCD 中，AE=CG ，求证：GF=HE 。

2、如图，AB//CD ，∠ABC=∠ADC ，AE=CF ，BE=DF ，求证：EF 与AC 互相平分。

3、已知：如图，在平行四边形ABCD 中，BE ⊥AC 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，又M 、N 分别是DC 、AB 的中点。

求证：四边形EMFN 是平行四边形。

·A BCDEFHACNM4、已知：如图，分别以△ABC 的三边为边长在BC 边的同侧面作等边△ABD 、△BCE 、△ACF ，连结DE 、EF 。

求证：四边形ADEF 是平行四边形。

5、如图，△ABC 为等边三角形，D 、F 分别为CB 、BA 上的点，且CD=BF ，以AD为一边作等边△ADE 。

求证：（1）△ACD ≌△CBF ；（2）四边形CDEF 为平行四边形。

6、如图，以ABCD 的边AD 、BC 为一边向外作等边△ADE 和等边△BCF ，连结AC 、EF 求证：AC 和EF 互相平分EFCB。

第01讲平行四边形的性质1.平行四边形的概念：有两组对边分别的四边形叫做平行四边形。

用符号“▱”来表示。

平行四边形ABCD表示为“▱ABCD”。

知识点02 平行四边形的性质1.平行四边形的性质：①边的性质：平行四边形的两组对边分别（平行由定义证明，相等由连接对角线证明全等可得）。

②角的性质：平行四边形的邻角，对角。

（由平行与邻角转换可得）③对角线的性质：平行四边形的对角线（连接两条对角线证明全等可得）。

④平行四边形的面积计算：等于。

⑤平行四边形的对称性：是一个中心对称图形。

⑥过对角线交点的直线把平行四边形分成两个全等的图形。

直线与对边的交点到对角线的交点的距离相等。

【即学即练1】1．以下平行四边形的性质错误的是（）A．对边平行B．对角相等C．对边相等D．对角线互相垂直【即学即练2】2．如图，在▭ABCD中，∠A+∠C＝80°，则∠D＝（）A．80°B．40°C．70°D．140°【即学即练3】3．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD＝12，CD＝4，则△ABO的周长是（）A．9B．10C．11D．12知识点03 平行线间的距离1.平行线间的距离的定义：一组平行线中，其中一条平行线上任意一点到另一条平行线的是这一组平行间的距离。

2.平行线间的距离的性质：①两条平行线间的距离。

②平行线间的平行线段。

【即学即练1】4．如图，已知l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l2于点E，FG⊥l2于点G，则下列说法中错误的是（）A．AB＝CDB．CE＝FGC．A、B两点间距离就是线段AB的长度D．l1与l2两平行线间的距离就是线段CD的长度题型01 平行线的性质的理解判断【典例1】关于平行四边形的性质，下列描述错误的是（）A．平行四边形的对角线相等B．平行四边形的对角相等C．平行四边形的对角线互相平分D．平行四边形的对边平行且相等【变式1】平行四边形不一定具有的性质是（）A．对边平行且相等B．对角相等C．对角线相等D．对角线互相平分【变式2】如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列结论中一定成立的是（）A．AC⊥BD B．OA＝OC C．AC＝AB D．OA＝OB【变式3】平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，若∠AOB＝180°﹣2∠BAO，那么下列说法正确的是（）A．AB＝OB B．AB＝OA C．AC＝BD D．AC⊥BD题型02 平行四边形的性质与角度的计算【典例1】在▱ABCD中，若∠A＝∠B+50°，则∠B的度数为度．【变式1】在▱ABCD中，∠A+∠C＝220°，则∠D的度数是（）A．70°B．80°C．90°D．110°【变式2】如图，平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED＝155°，则∠A的度数为（）A．155°B．130°C．125°D．110°【变式3】如图，在▱ABCD中，∠A＝68°，DB＝DC，CE⊥BD于E，则∠BCE的度数为．【变式4】如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠AED＝80°，则∠ACE的度数是（）A．30°B．35°C．40°D．45°题型03 平行四边形的性质与线段长度的计算【典例1】如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝8，AC＝12，则BD 的长是（）A．16B．18C．20D．22【变式1】如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠ABC的平分线交AD于E，交CD的延长线于点F，则DF＝（）变式1 变式2A．4B．3C．2D．1【变式2】在▱ABCD中，尺规作图后留下的痕迹如图所示，若AB＝3cm，AD＝10cm，则EF的长为（）A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm【变式3】如图，在▱ABCD中，∠ABC、∠BCD的角平分线交于边AB上一点E，且BE＝AB＝，线段CE的长为（）A．2B．3C．﹣2D．3【变式4】如图，▱ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG．若AD＝5，AB＝CF＝3，则CG的长为．题型04 平行四边形的面积【典例1】观察如图中的三个平行四边形，你认为说法正确的是（）A．它们形状相同，面积相等B．它们形状相同，面积不相等C．它们形状不相同，面积相等D．它们形状不相同，面积不相等【变式1】一个平行四边形两条邻边的长度分别是6cm、8cm，且一条底边上的高是7cm，则这个平行四边形的面积是（）cm2．A．42cm2B．56cm2C．48cm2D．42cm2或者56cm2【变式2】图中，平行四边形的面积是30平方厘米，下列说法错误的是（）A．S甲＝S乙+S丙B．S甲：S乙：S丙＝5：2：3C．S甲＝15平方厘米D．S丙＝6平方厘米【变式3】如图，F是▱ABCD的边CD上的点，Q是BF中点，连接CQ并延长交AB于点E，连接AF与DE相交于点P，若，，则阴影部分的面积为（）cm2A．24B．17C．18D．10题型05 平行四边形的周长【典例1】如图，在平行四边形ABCD中，AC＝4m，若△ACD的周长为13cm，则平行四边形ABCD的周长为（）A．26cm B．24cm C．20cm D．18cm【变式1】如图，在▱ABCD中，AD＝10，对角线AC与BD相交于点O，AC+BD＝24，则△BOC的周长为．【变式2】如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，▱ABCD的周长为30，直线EF过点O，且与AD，BC分别交于点E．F，若OE＝5，则四边形ABFE的周长是（）A．30B．25C．20D．15【变式3】如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，BE＝4，EC＝3，则平行四边形ABCD 的周长为（）cm．A．11B．18C．20D．22【变式4】在平行四边形ABCD中，∠A的角平分线把边BC分成长度为4和5的两条线段，则平行四边形ABCD的周长为（）A．13或14B．26或28C．13D．无法确定题型06 利用平行四边形的性质求坐标【典例1】在平面直角坐标系xOy中，▱ABCD的对角线交于点O．若点A的坐标为（﹣2，3），则点C的坐标为．【变式1】（多选）29．如图，在直角坐标系中，以点O（0，0），A（﹣2，﹣1），B（0，2）为四边形的三个顶点构造平行四边形，则下列各点中可以作为第四个顶点的是（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣3）C．（3，3）D．（2，3）【变式2】在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），则顶点C的坐标是（）A．（7，3）B．（8，2）C．（3，7）D．（5，3）【变式3】如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的边AD在x轴上，顶点B在y轴上，点A，D的坐标分别是（2，0），（7，0），∠OBA＝30°，则顶点C的坐标为（）A．B．C．D．题型07 平行线间的距离【典例1】如图，直线l1∥l2，l1和AB的夹角∠DAB＝135°，且AB＝4mm，则两平行线l1和l2之间的距离是（）A．2B．4C．D．【变式1】如图，已知直线a∥直线b，点A，B分别在直线a和直线b上，若AB＝6，∠1＝60°，则直线a与直线b之间的距离是．【变式2】如图，a∥b，点A、B分别在直线a、b上，∠1＝45°，点C在直线b上，且∠BAC＝105°，若a、b之间的距离为3，则线段AC的长度为．【变式3】在同一平面内，已知a∥b，b∥c，若直线a、b之间的距离为7cm，直线b、c之间的距离为3cm，则直线a、c间的距离为（）A．4cm或10cm B．4cm C．10cm D．不确定1．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论错误的是（）A．AB CD B．OB＝OD C．AB＝AD D．∠ABC＝∠ADC2．在▱ABCD中，如果∠A+∠C＝160°，那么∠C等于（）A．20°B．40°C．60°D．80°3．如图，若直线m∥n，则下列哪条线段的长可以表示平行线m与n之间的距离（）A．AB B．AC C．AD D．DE4．如图，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线AE交CD于E，AB＝8，BC＝6，则EC等于（）A．1B．1.5C．2D．35．平面直角坐标系中，A、B、C三点坐标分别为（0，0），（0，﹣4），（﹣3，3），以这三点为平行四边形的三个顶点，则第四个顶点不可能在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．已知直线a，b，c在同一平面内，且a∥b∥c，a与b之间的距离为5cm，b与c之间的距离为3cm，则a与c之间的距离是（）A．2cm B．8cmC．2cm或8cm D．以上都不对7．如图，在▱ABCD中，AD：AB＝3：4，AE平分∠DAB交CD于点E，交BD于点F，则的值是（）A．3：4B．9：16C．4：3D．16：98．如图，▱ABCD中，AB＝22cm，BC＝8cm，∠A＝45°，动点E从A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B运动，动点F从点C出发，以1cm/s的速度沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则EF的长为10cm时点E的运动时间是（）A．6s B．6s或10s C．8s D．8s或12s9．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BF＝BE；④PF＝PC．其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图所示，以▱ABCD的边AB为边向内作等边△ABE，使AD＝AE，且点E在平行四边形内部，连接DE，CE，则∠CED的度数为（）A．150°B．145°C．135°D．120°11．如图，l1∥l2，点A在直线l1上，点B、C在直线l2上，AC⊥l2．如果AB＝5cm，BC＝4cm．那么平行线l1，l2之间的距离为cm．12．如图，▱ABCD的对角线交于坐标原点O．若点A的坐标为（﹣，1），点B的坐标为（﹣1，﹣1），则BC＝．13．在平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，AE为边BC上的高，，CE＝2，则平行四边形ABCD的周长为．14．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝12，P为AB边上一动点，以P A，PC为边作平行四边形P AQC，则对角线PQ的长度的最小值为．15．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC边的中点，延长CD至点G，使DG＝CD，以DG，DE为边向平行四边形ABCD外构造平行四边形DGME，连接BM交AD于点N，连接FN．若DG ＝DE＝2，∠ADC＝60°，则FN的长为．16．如图，四边形ABCD是平行四边形，AC＝AD，AE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F．证明AE＝DF．17．如图，直线a∥b，AB与a，b分别相交于点A，B，且AC⊥AB，AC交直线b于点C．（1）若∠1＝70°，求∠2的度数；（2）若AC＝5，AB＝12，BC＝13，求直线a与b的距离．18．如图，在▱ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，AE＝3，EB＝5，DE＝4．（1）求证：∠DEA＝90°；（2）求CE的长．19．如图，在▱ABCD中，BC＝3AB﹣6，点E，F分别在边AB，CD上，AE＝CF，直线EF分别交AD，CB 的延长线交于点H，G．（1）求证：DH＝BG．（2）作HM∥AB，交BC延长线于点M，AM交GH于点O．若BE＝1，GB＝3，AB⊥AM，∠AEH＝45°，求AE的长．20．如图①▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E和点F．（1）求证：OE＝OF（2）如图②，已知AD＝1，BD＝2，AC＝2，∠DOF＝∠α，①当∠α为多少度时，EF⊥AC？②在①的条件下，连接AF，求△ADF的周长．。