第十八章：平行四边形性质的应用

平行四边形知识要求：1、掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质和判定；2、结合图形性质进行相关的角度和线段的计算。

3、结合几何图形证明。

知识重点：四边形性质的运用和判定是本章的重点。

知识难点：四边形性质的运用和判定是本章的难点。

考点：结合图形性质进行相关的角度和线段的计算及判定是考试的重点对象。

知识点：一、平行四边形1、定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号：“”2、性质：对边相等、对角相等、对角线互相平分边：对边相等、平行角：对角相等、邻角互补对角线：平分周长：邻边之和*2面积：底*高平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心例题1．已知平行四边形ABCD中，∠B=5∠A，则∠D= ．例题2如图，在□ABCD中，已知AD＝8cm， AB＝6cm， DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm例题3如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列结论不正确的是（）A．DC∥AB B．OA=OC C．AD=BC D．DB平分∠ADCEBAFCD3、判定：边： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 角： 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 对角线：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形例题4. 在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，给出下列四组条件：① AB ∥CD ，A D ∥BC ；②AB ＝CD ，AD ＝BC ；③AO ＝CO ，BO ＝DO ；④AB ∥CD ，AD ＝BC ．其中，一定能判定四边形ABCD 是平行四边形的条件共有 ( ) A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组例题5如图，在等边三角形ABC 中，BC=6cm,射线AG ∥BC ，点E 从点A 出发沿射线AG 以1cm/s 的速度运动，点F 从点B 出发沿射线BC 以2cm/s 的速度运动.如果点E 、F 同时出发，设运动时间为t(s)当t= s 时，以A 、C 、E 、F 为顶点四边形是平行四边形.例题6.如图，在四边形ABCD 中，E 是BC 边的中点，连结DE 并延长，交AB 的延长线于F 点，AB BF =．添加一个条件，使四边形ABCD 是平行四边形．你认为下面四个条件中可选择的是（ ）A ．AD BC =B ．CD BF =C ．A C ∠=∠D ．F CDE ∠=∠ 例题7如图，EF ，是四边形ABCD 的对角线AC 上两点， AF CE DF BE DF BE ==，，∥． 求证：（1）AFD CEB △≌△． （2）四边形ABCD 是平行四边形．4、三角形的中位线：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半． （与中线区别）例题8如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，∠A ＝50°，∠ADE ＝60°，则∠C 的度数为 ( )A B DE F CA．50°B．60°C．70°D．80°例题9一个周长为12cm的三角形，三条中位线围成的三角形周长是cm．二、菱形1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2、性质：对边相等、对角相等、对角线互相垂直平分且平分对角边：四边相等、对边平行角：对角相等、邻角互补对角线：垂直平分、平分对角周长：边长*4面积：对角线乘积的一半(底*高)菱形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心，也是轴对称图形。

第十八章平行四边形一、地位与作用同三角形一样，四边形也是最基本的平面图形，是本学段“空间与图形”的主要研究对象．本章将在平行线、三角形的基础上进一步研究一些特殊四边形的知识，探索平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判定方法，并对有关结论进行推理证明，进一步发展学生的逻辑思维能力和推理论证能力，对学生要求较高. 就本学期的教学内容来讲，本章是教学重点和难点之一. 就中考来讲，四边形的知识会以填空题、中档解答题、动手操作题、综合解答题等形式进行考察，2014年只有16题、20题涉及本章知识，分值为约3+4分，2015年只有20题、22题、23题涉及本章知识，分值为约4+4+1分，2016年只有14题、16题涉及本章知识，分值为3+3分，从近几年武汉的中考题看来，本章考试所占分值还是很重要的. 所以，学好这一章，既是对三角形知识的巩固，又是为后续的几何学习做好充分的知识和能力储备，更是为中考打下坚实的基础。

二、知识结构图从属关系:演变关系：三、课标要求及学习目标1、【课标要求】1、“理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系”，这种“关系”是特殊与一般的关系，即图形越来越特殊，它的性质就越来越多，判定它需要的条件也越来越多，这对于研究平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定有着重要的作用。

这部分知识像链条一样环环紧扣，这条“知识链”不仅蕴涵着“一般和特殊”的思想，而且也是引导学生感悟“分类”思想的好素材。

2、四边形与三角形有着紧密的联系，研究四边形性质常常借助三角形的有关知识。

但是四边形与三角形有一个本质的差异：四边形不具有稳定性，三角形是具有稳定性。

如果不重视这种差异，就会给理解和掌握相关的知识带来困难。

比如，学生常常不能正确掌握正多边形的定义，其原因就是在于边数大于或等于4的多边形不具有稳定性，由各边相等不能推出各个角相等，所以必须定义“各边相等、各角相等的多边形叫做正多边形”；而三角形具有稳定性，由三边相等可以推出三个角相等，所以只需定义“各边相等的三角形叫做正三角形”。

第十八章平行四边形18．1平行四边形18．平行四边形的性质第1课时平行四边形的性质(1)理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质．重点平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质以及性质的应用．难点运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．一、复习导入1．师：我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链，想一想它们是什么几何图形的形象．生：平行四边形．师：平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗？生：自动伸缩门、挂衣服的简易衣钩等．师：你能总结出平行四边形的定义吗(小组讨论，教师总结)(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．(2)表示：平行四边形用符号“▱”来表示．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．①∵AB∥DC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形(判定)；②∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC(性质)．2．探究．师：平行四边形是一种特殊的四边形，它除了具有四边形的性质和两组对边分别平行的性质外，还有什么特殊的性质呢？我们一起来探究一下．(1)由定义知道，平行四边形的对边平行．根据平行线的性质可知，在平行四边形中，相邻的角互为补角．(2)猜想平行四边形的对边相等、对角相等．下面证明这个结论的正确性．如图，已知：▱ABCD.求证：AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD.分析：作四边形ABCD的对角线AC，它将平行四边形分成△ABC和△CDA，证明这两个三角形全等即可得到结论．证明：连接AC，∵AB∥CD，AD∥BC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4.又AC＝CA，∴△ABC≌△CDA(ASA)．∴AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D.由上面的证明可知：∠1＝∠3，∠2＝∠4，∴∠1＋∠4＝∠2＋∠3，∴∠BAD＝∠BCD.由此得到：平行四边形的性质1平行四边形的对边相等．平行四边形的性质2平行四边形的对角相等．二、新课教授【例】教材第42页例1师：距离是几何中的重要度量之一，前面我们已经学习了点与点之间的距离、点到直线的距离．在此基础上，我们结合平行四边形的概念和性质，介绍平行线之间的距离．如图1，a∥b，c∥d，c，d与a，b分别相交于A，B，C，D四点．由平行四边形的概念和性质可知，四边形ABDC是平行四边形，AB＝CD.也就是说，两条平行线之间的任何两条平行线段都相等．从上面的结论可以知道，如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等．两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离．如图2，a∥b，A是a上的任意一点，AB⊥b，B是垂足，线段AB的长就是a，b之间的距离．三、巩固练习1．▱ABCD中，∠A比∠B大20°，则∠C的度数为()A．60°B．80°C．100°D．120°【答案】C2．在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是()A．对角相等B．对角互补C．邻角互补D．内角和是360°【答案】B3．在▱ABCD中，如果EF∥AD，GH∥CD，EF与GH相交于点O，那么图中的平行四边形一共有()A．4个B．6个C．8个D．9个【答案】D四、课堂小结1．两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．2．平行四边形的性质：对边平行；对边相等；对角相等我在设计本节课时先让学生看图形，体会到平行四边形在日常生活中的广泛应用，给出平行四边形的定义，从定义出发得到第一个性质，再由学生动手操作和教师演示旋转得到其他性质．因为本章课标明确要求学生能够规范地写出说理过程，所以我在得出平行四边形性质的同时加上几何语言的描述，在练习中也注意规范学生的说理过程．第2课时平行四边形的性质(2)理解并掌握平行四边形对角线互相平分的性质．重点平行四边形对角线互相平分的性质以及性质的应用．难点综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．一、复习导入1．复习提问：(1)什么样的四边形是平行四边形？四边形与平行四边形的关系是：(2)平行四边形的性质：①具有一般四边形的性质(内角和是360°)；②角：平行四边形的对角相等，邻角互补．边：平行四边形的对边相等．2．探究：请学生在纸上画两个全等的平行四边形ABCD和平行四边形EFGH，并连接对角线AC，BD和EG，HF，设它们分别交于点O.把这两个平行四边形摞在一起，在点O处钉一个图钉，将四边形ABCD绕点O旋转180°，观察它是否还是和四边形EFGH重合．你能从中看出前面所提到的平行四边形的边、角关系吗你还能发现平行四边形的什么性质吗结论：(1)平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；(2)平行四边形的对角线互相平分．二、新课教授【例1】已知：如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O与AB，CD分别相交于点E，F.求证：OE＝OF，AE＝CF，BE＝DF.证明：在▱ABCD中，AB∥CD，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.又OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分)，∴△AOE≌△COF(AAS)．∴OE＝OF，AE＝CF(全等三角形的对应边相等)．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD(平行四边形的对边相等)．∴AB－AE＝CD－CF，即BE＝FD.引申：若例1中的条件都不变，将EF转动到图①的位置，那么例1的结论是否成立？若将EF向两边延长与平行四边形的两条对边的延长线分别相交(图②和图③)，例1的结论是否成立？说明你的理由．解略．【例2】教材第44页例2三、巩固练习1．▱ABCD中，∠A的余角与∠B的和是120°，则∠A＝________，∠B＝________．分析：平行四边形的邻角互补．【答案】75°105°2．平行四边形的周长等于56 cm，两邻边的长的比为3∶1，那么这个平行四边形较长的边长为________．分析：平行四边形的对边相等．【答案】21 cm3．▱ABCD的周长为60 cm，对角线交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长大8 cm，则AB，BC的长分别是________．分析：平行四边形的对边相等，对角线互相平分．【答案】19 cm，11 cm4．▱ABCD的周长为50 cm，AB＝15 cm，∠A＝30°，则此平行四边形的面积为________．分析：平行四边形的对边相等，面积等于边与该边上的高的乘积．【答案】75 cm2四、课堂小结定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．性质：(1)边的性质：对边平行且相等；(2)角的性质：对角相等，邻角互补；(3)对角线的性质：对角线互相平分．课堂中，我通过让学生说一说、找一找等多种活动，在同桌合作、小组合作等活动交流中，让学生充分感知四边形的特征，培养了学生的合作意识、交流的能力和动手操作的能力．在作业方面，让学生以小组为单位，在校园中寻找我们身边的四边形，让学生感受数学在生活中的应用，感受数学真正就在我们身边．平行四边形的判定第1课时平行四边形的判定(1)使学生掌握用平行四边形的定义判定一个四边形是否是平行四边形的方法．重点平行四边形的判定方法及应用．难点平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用．一、复习导入1．什么叫平行四边形平行四边形有什么性质(学生口答，教师板书)2．将以上的性质定理分别用命题的形式叙述出来．(即用“如果……那么……”的形式)根据平行四边形的定义，我们研究了平行四边形的其他性质，那么如何判定一个四边形是否是平行四边形呢除了定义，还有什么方法平行四边形性质定理的逆命题是否成立可以证明，这些逆命题都成立，于是得到平行四边形的判定定理：平行四边形的判定方法1两组对边分别相等的四边形是平行四边形．平行四边形的判定方法2两组对角分别相等的四边形是平行四边形．平行四边形的判定方法3对角线互相平分的四边形是平行四边形．下面我们以“对角线互相平分的四边形是平行四边形”为例，通过三角形全等进行证明．如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，求证：四边形ABCD 是平行四边形．证明：∵OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠COB，∴△AOD≌△COB，∴∠OAD＝∠OCB，∴AD ∥BC，同理AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形．二、新课教授【例1】教材第46页例3【例2】已知：如图，E，F分别为平行四边形ABCD的两边AD，BC的中点，连接BE，DF.求证：∠1＝∠2.证明：在△ABE和△CDF中，∠A＝∠C，AB＝CD，AE＝CF，∴△ABE≌△CDF，∴BE＝DF.又∵DE＝BF，∴四边形BFDE是平行四边形，∴∠1＝∠2.三、巩固练习1．下列条件中，能判断四边形是平行四边形的是()A．对角线互相垂直B．对角线相等C．对角线互相垂直且相等D．对角线互相平分【答案】D2．已知：如图，▱ABCD中，点E，F分别在CD，AB上，DF∥BE，EF交BD于点O.求证：EO ＝OF.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴DE∥BF.又DF∥BE，∴四边形DEBF为平行四边形，∴EO＝OF.四、课堂小结1．平行四边形的三个判定定理．2．会用四边形的三个判定定理解决简单的问题．在教学过程中教师应积极转变传统的“传道、授业、解惑”的角色，在教学中应把握教材的精神，在设计、安排和组织教学过程的每一个环节都应当有意识地体现探索的内容和方法，避免教学内容的过分抽象和形式化，使学生通过直观感受去理解和把握，体验数学学习的乐趣，积累数学活动经验，体会数学推理的意义，让学生在做中学，逐步形成创新意识．第2课时平行四边形的判定(2)理解并掌握平行四边形的判定定理．重点理解并掌握平行四边形的判定定理，做到熟练应用．难点理解并掌握平行四边形的判定定理，体会几何推理的思维方法．一、复习导入1．平行四边形的定义是什么？2．平行四边形具有哪些性质？3．平行四边形是如何判定的？教师板书，并画出一个平行四边形，如图．(帮助理解)学生活动：踊跃发言，相互讨论，回顾平行四边形的性质与判定定理．二、讲授新课师：通过前面的学习，我们知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它的任意一组对边平行且相等．那么反过来，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？下面我们就来证明这个结论是否正确．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD.求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：连接AC.∵AB∥CD，∴∠1＝∠2.又AB＝CD，AC＝CA，∴△ABC≌△CDA，∴BC＝DA，∴四边形ABCD的两组对边分别相等，它是平行四边形．于是我们又得到平行四边形的一个判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．三、例题讲解【例1】教材第47页例4【例2】已知：如图，在▱ABCD中，AE，CF分别是∠DAB，∠BCD的平分线．求证：四边形AFCE是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB＝∠BCD.∵AE，CF分别平分∠DAB，∠BCD，∴∠DAE＝∠BCF.又∵∠D＝∠B，AD＝BC，∴△DAE≌△BCF，∴DE＝BF，AE＝FC，∴EC＝AF，∴四边形AFCE是平行四边形．【例3】已知：如图，▱ABCD中，E，F分别是AC上两点，且BE⊥AC于E，DF⊥AC于F.求证：四边形BEDF是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠BAE＝∠DCF.∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，∴BE∥DF，且∠BEA＝∠DFC＝90°.∴△ABE≌△CDF(AAS)．∴BE＝DF.∴四边形BEDF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)．四、巩固练习1．判断题：(1)相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形．()(2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形．()(3)一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．()(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．()(5)对角线相等的四边形是平行四边形．()(6)对角线互相平分的四边形是平行四边形．()【答案】(1)√(2)√(3)×(4)√(5)×(6)√2．在四边形ABCD中，(1)AB∥CD；(2)AD∥BC；(3)AD＝BC；(4)AO＝OC；(5)DO＝BO；(6)AB ＝CD.选择两个条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的共有________对．【答案】略五、课堂小结平行四边形性质判定⎩⎪⎨⎪⎧⎩⎨⎧两组对边分别平行两组对边分别相等一组对边平行且相等角——两组对角分别相等对角线——两条对角线互相平分经过这两节课的学习，学生基本掌握了几何证明题的解题方法，能应用平行四边形的性质和判定方法解决问题．在以后的学习过程中最主要的任务是让学生落实到笔头上，要让学生学会反思做完的每一道题．第3课时平行四边形的判定(3)1．理解并掌握三角形中位线的概念，掌握它的性质．2．能较熟练地应用三角形中位线的性质进行有关的证明和计算．重点掌握并运用三角形中位线的性质解决问题．难点三角形中位线性质的证明．(辅助线的添加方法)一、复习导入创设情境：请同学们思考：将任意一个三角形分成四个全等的三角形，你是如何切割的(答案如图)图中有几个平行四边形你是如何判断的二、讲授新课师：在前面学习平行四边形时，常把它分成几个三角形，利用三角形全等的性质研究平行四边形的有关问题．下面我们利用平行四边形来研究三角形的有关问题．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，像DE这样，连接三角形两边中点的线段，我们称之为三角形的中位线，我们猜想，DE∥BC，DE＝12BC.下面我们对它进行证明．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点．求证：DE∥BC，且DE＝12BC.分析：本题既要证明两条线段所在的直线平行，又要证明其中一条线段的长等于另一条线段长的一半，将DE延长一倍后，可以将证明DE＝12BC转化为证明延长后的线段与BC相等．又由于E是AC的中点，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形构造一个平行四边形，利用平行四边形的性质进行证明．证明：如图，延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF.∵AE＝EC，DE＝EF，∴四边形ADCF是平行四边形，∴CF綊DA.∴CF綊BD∴四边形DBCF是平行四边形，∴DF綊BC.又DE＝12DF，∴DE∥BC，且DE＝12BC.通过上述证明，我们可以得到三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．三、例题讲解【例】已知：如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．证明：连接AC，在△DAC中，∵AH＝HD，CG＝GD，∴HG∥AC，HG＝12AC(三角形中位线的性质)．同理EF∥AC，EF＝12AC.∴HG∥EF，且HG＝EF.∴四边形EFGH是平行四边形．此题可得结论：顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形．四、巩固练习1．如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M，N.如果测得MN＝20 m，那么A，B两点的距离是________m，理由是________________________．【答案】40MN是△ABC的中位线2．如图，△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点．(1)若EF＝5 cm，则AB＝________cm；若BC＝9 cm，则DE＝________cm；(2)中线AF与中位线DE有什么特殊的关系？证明你的猜想．【答案】(1)10(2)AF与DE互相平分，证明略五、课堂小结三角形中位线定理：三角形两边中点的连线是三角形的中位线；三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．三角形的中位线是三角形中一条重要的线段，三角形中位线定理在许多计算及证明中都要用到．在课堂导入中，我以创设问题情景的形式，激起学生探索的欲望，激发学习的兴趣．在问题情境中引出三角形的中位线，导入本节学习的课题；同时，为证明三角形的中位线定理埋下伏笔，也是有助于用运动的思想来思考数学问题．此时教学体现的是人人都能获得必需的数学．三角形的中位线的性质定理的简单应用，学生都能掌握，这个定理在实际生活中的应用是非常广泛的．特殊的平行四边形18．矩形第1课时矩形(1)掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系．重点 矩形的性质． 难点矩形的性质的灵活应用．一、复习导入1．思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，观察不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗为什么(动画演示拉动的过程，如图)2．再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形(小学学过的长方形)引出本节课题及矩形的定义．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)．矩形是我们最常见的图形之一，例如门窗框、书桌面、教科书的封面、地砖等都有矩形的形象． 探究：在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上(作出对角线)，拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状．(1)随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？(2)当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角它的两条对角线的长度有什么关系操作、思考、交流、归纳后得到矩形的性质： 矩形的性质1 矩形的四个角都是直角． 矩形的性质2 矩形的对角线相等．如图，在矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，由性质2有AO ＝BO ＝CO ＝DO ＝12AC ＝12BD.因此可以得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．二、新课教授【例1】教材第53页例1【例2】已知：如图，矩形ABCD中，AB长8 cm，对角线比AD边长4 cm.求AD的长及点A到BD的距离AE的长．分析：因为矩形的四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而此题利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法．解：设AD＝x cm，则对角线长(x＋4) cm，在Rt△ABD中，由勾股定理，得x2＋82＝(x＋4)2，解得x＝6，即AD＝6 cm.由AE·DB＝AD·AB，解得AE＝cm.三、巩固练习1．矩形的两条对角线的夹角为60°，对角线的长为15 cm，较短边的长为()A．12 cm B．10 cmC．cm D．5 cm【答案】C2．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC，求∠A，∠B的度数．【答案】∠A＝60°，∠B＝30°四、课堂小结1．掌握矩形的定义及性质．2．会用矩形的性质求相关的角的度数．本节课主要在学生已有的认知水平上，在实际问题情景中，由学生自主探索发现矩形的性质定理，使学生经历实践、推理、交流等数学活动过程，亲身体验数学思想方法，培养学生的学习能力及运用所学知识解决问题的能力，促进学生发展．第2课时矩形(2)通过探索与交流，逐渐得出矩形的判定定理，使学生亲身经历知识的探究过程，掌握矩形的三种判定方法，并会运用它们解决相关问题．重点矩形的判定．难点矩形的判定定理及性质的综合应用．一、复习提问，引入新课师：什么叫做平行四边形什么叫做矩形生：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．师：矩形有哪些性质？生：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等．师：矩形是有一个角是直角的平行四边形，判定一个四边形是不是矩形，首先要看这个四边形是不是平行四边形，再看它两边的夹角是不是直角，这种用“定义”来判定是最重要和最基本的判定方法．除此之外，还有其他几种判定矩形的方法，下面我们就来研究这些方法．二、提出疑问，引导探索师：小华想要做一个矩形相框送给妈妈做生日礼物，于是找来了两根长度相同的长木条和两根长度相同的短木条制作．你有什么方法可以检测他做的相框是否为矩形？生：可以用量角器量一下它的一个内角，若是90°，则这个相框为矩形．师：对，这是根据矩形的定义得到的，定义法突出是在平行四边形的基础上添加了一个条件(有一个角是直角)，观察矩形和平行四边形，除了角的特性外，边和对角线还有特性吗？生：“边”没有特性，“对角线”是相等的．师：我们是否可以利用这一特性来判定四边形是不是矩形呢？请把这个判定用命题的形式写出来．生：对角线相等的平行四边形是矩形．师：这个命题是否正确(分析命题的题设和结论，写出已知和结论，分析证明过程)证明过程由学生板书完成．师(归纳板书)：定理：对角线相等的平行四边形是矩形．师：对角线相等的四边形是矩形吗？生：不一定是矩形．师：画出反例，如下图所示的四边形，对角线相等，但它不是矩形(先画两条相等但不互相平分的相交线段，再顺次连接各端点得四边形)．师生讨论，归纳矩形的判定方法：定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．定理：对角线相等的平行四边形是矩形．有三个角是直角的四边形是矩形．(除教材中所举的门框或矩形零件外，还可以结合生产生活实际说明判定矩形的实用价值．)三、例题讲解【例1】教材第54页例2【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是AC的中点，AE∥BC，过点D作直线EF∥AB，分别交AE，BC于E，F.求证：四边形AECF是矩形．证明：∵点D是AC的中点，∴AD＝CD.∵AE∥BC，∴∠EAD＝∠DCF.∴△ADE≌△CDF，∴AE＝FC.∵AE∥BF，AB∥EF.∴四边形ABFE和四边形AFCE是平行四边形，∴AB＝EF，又∵AB＝AC，∴EF＝AC，∴平行四边形AFCE是矩形．四、课堂练习已知：O是矩形ABCD的对角线的交点，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD上的点，AE＝BF＝CG＝DH.求证：四边形EFGH为矩形．【答案】证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AC＝BD.∵AC，BD互相平分于O，∴AO＝BO＝CO＝DO.∵AE＝BF＝CG＝DH，∴EO ＝FO ＝GO ＝HO.∴四边形EFGH 是平行四边形且HF ＝EG ， ∴四边形EFGH 为矩形． 五、课堂小结⎭⎬⎫一个角是直角的平行四边形对角线相等的平行四边形有三个角是直角的四边形是矩形本节课在引入时，我先提出一个实际生活问题，激发学生的求知欲望，再引导学生逆向思考问题，从而让学生提出“对角线相等的平行四边形是矩形”这一结论，最后通过逻辑推理证明命题的正确性，为以后学习其他特殊的四边形的判定打下了基础． 菱 形第1课时 菱 形(1)1．探索并掌握菱形的概念和它所具有的特殊性质，会进行简单的推理和运算． 2．能推导出菱形的面积等于它的两条对角线长的积的一半的性质．重点菱形的概念及性质． 难点菱形性质的灵活应用．一、创设情境，导入新课 活动：(四人一个小组)将一张硬纸片对折后再对折，然后剪成一个三角形，打开观察并讨论． 师：这是一个什么样的图形为什么(学生独立操作，教师演示)生：是平行四边形，因为它的对角线是互相平分的．师：再观察一下，这个平行四边形的邻边之间有什么关系为什么生：是相等的，因为它们是重合的．师(板书)：菱形的定义：我们把有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．(强调菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是有一组邻边相等)二、探索研究，归纳性质活动：菱形具有什么性质呢你能发现吗1．折叠：上下对折，左右对折，你有什么发现？2．旋转．结合学生探索、讨论、交流的情况，必要时教师对知识做适当梳理，板书菱形的性质．菱形的性质1：菱形的四条边都相等．菱形的性质2：菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角．菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线都是它的对称轴．师：这些性质我们是通过折叠、旋转观察得到的．如何用逻辑推理的方法证明它呢？已知：如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于O.求证：AC⊥BD，AC平分∠BAD和∠BCD.证明：∵AB＝AD，BO＝OD，∴AC⊥BD，AC平分∠BAD(等腰三角形三线合一)．同理：AC平分∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC.三、继续探索，深化提高师：菱形的对角线将菱形分成几个三角形它们都是什么三角形有什么关系生：是四个全等的直角三角形．师：如果已知菱形的对角线的长度，能求出一个三角形的面积吗？生：可以求出．师：进而就可以求出菱形的面积．试说明菱形的面积等于它的两条对角线线长的积的一半．已知：在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于O 点． 求证：在菱形ABCD 中，S 四边形ABCD ＝12AC ×BD.证明：在菱形ABCD 中，AC ，BD 是对角线， ∴AC ⊥BD ，OB ＝OD ＝12BD ，S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝12AC ×OB ＋12AC ×OD ＝12AC ×(OB ＋OD) ＝12AC ×BD. 即菱形的面积等于它的两条对角线长的积的一半． 师：菱形是特殊的平行四边形，所以它的面积公式有两个． 菱形的面积＝底×高；菱形的面积＝12ab(a ，b 是两条对角线的长度)．四、例题讲解【例1】菱形ABCD 的两条对角线AC ，BD 的长度分别为4 cm ，3 cm ，求菱形ABCD 的面积和周长．分析：用勾股定理可求得边长，进而求得周长．解：如图，由题可知AO ＝2，BO ＝32，∴AB ＝AO 2＋BO 2＝52，∴菱形ABCD 的周长为4×52＝10(cm)，面积为12×4×3＝6(cm 2)．【例2】教材第56页例3 五、课堂练习。

n m平行四边形的性质—— 平行线间的距离及等面积问题设计人：遵义市第五十三中学 龙文艳一、教材分析：平行线间的距离处处相等是人教版八年级下册第十八章第一节《平行四边形》中平行四边形的性质的一个推论，在等面积问题以及一些相似问题的运用中，这个知识点运用比较广泛，尤其是将一些不便于求解面积的图形问题转化为便于求解的图形问题时，常常会用到这一知识点。

在本教学设计中，我对这堂课进行了教材整合，我将平行线间涉及三角形面积的问题归纳在一起在这一堂课中展示，这样，便于解题方法的总结。

本节课就平行四边形的性质而推导得出平行线间的距离处处相等，然后将涉及这一知识点的相关三角形的面积问题加以整合，在教学过程中，我把对学生的数学转化思想的培养作为重点.二、教学目标：1、让学生在探究归纳中，理解并掌握平行线间距离处处相等的性质；2、通过实例，教会学生运用“平行线间的距离处处相等”来解决一般三角形的面积问题；3、在图形的变换中，体会数学中的转换思想，培养学生的逻辑思维能力.三、教学重难点：重点：将一些不便于求解面积的三角形问题转化为便于求解的三角形问题的方法； 难点：在图形的转化过程中，体会并运用数学几何图形的转化思想.四、教学过程： （一）情境创设：如图，山坡上有两棵树，它们在直线AB 上，你能测量出两棵树距离有多远吗？（二）出示学习目标4、理解并掌握平行线间距离处处相等的性质；5、会运用平行线间距离处处相等解决一般三角形的面积问题；6、在图形的变换中体会数学中的转换思想. （三）自主学习： 1、知识准备：（1）三角形的面积公式是 。

（2）点到直线的距离是指过这个点所作直线的垂线段的 。

（3）两平行线间的距离是指 ，如图，m ∥n ，则直线m 与直线n 之间的距离是 。

（4）平行四边形中，对边 .同时，每一组对边都是另一组对边之间的平行线段，因此上述结论可以这样说：平行线之间的平行线段相等.2、解决情境创设中的问题。

第十八章平行四边形18.1 平行四边形平行四边形的性质第1课时教课目的【知与技术】1.理解平行四形定，能依照定研究平行四形的性.2.掌握平行四形的角相等，相等性，能用它解决的.3.掌握两条平行的距离的含.【程与方法】培育学生的推理和研究平行四形的性及运用性解决的的程，演能力，展学生的抽象思和形象思.【感情度】在研究平行四形的性及运用性解决的程中，培育学生独立思虑的，感觉得成功的趣，激学情 .教课重难点【教课要点】.平行四形的角相等，相等的性的研究和用【教课点】两条平行的距离的含.课前准备无教课过程一、情境入，初步世界中，四形也在装点着我的生活，宏的建筑物、地面的地板、具一格的窗、天空舞的筝⋯⋯都有四形的身影，此中平行四形与我的生活关系更亲密，你能出一些平时生活中的平行四形的例子？【教课明】学生互相沟通，通平时生活中的平行四形例感觉平行四形的含，初步体平行四形的特点 .二、思虑研究，取新知平行四形的观点两分平行的四形是平行四形，往常用“如“平行四形ABCD”可作“ABCD” .思虑如所示的ABCD中，除了“两分平行”外，它的、角之有什么关系？你能明原由？【教课说明】教师提出问题后，学生独立思虑并互相沟通. 教师关注学生的沟通活动，针对学生思虑结果的实质状况，展开师生互动，如教师发问、学生自主沟通或学生向教师提出怀疑等，让学生能感觉到要想获取察看和猜想中结论“平行四边形的对角相等”、“平行四边形的对边相等”时，需经过增添协助线获取全等三角形来达到目的，从而理解并掌握平行四边形的这些性质. 在指引学生连结对角线AC（或 BD）后，让学生自己达成证明，达到获取知识的目的，教师也可指引学生在论证“两组对角分别相等”时，还可利用平行四边形的平行线性质获取结论.平行四边形的性质平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等.研究如图， a，b 是两条平行线，从直线 a 上任一点 A 向直线 b 作垂线，垂足为 B，再过 a 上另一点 C 作 CD⊥ b 于 D，你能发现 AB与 CD的关系吗？【教课说明】学生互相沟通，教师关注学生对问题的商讨过程，让学生获取平行线间的距离的感性认识，最后教师予以解说、概括和总结，得出结论，两条平行线间的距离：过一条平行线上任一点作另一条平行线的垂线，这点和垂足之间的线段的长度叫做两条平行线间的距离 .三、典例精析，掌握新知例 1 如图，小明用一根长为 36m的绳索围成了一个平行四边形场所，此中 AB 边长为8m，其余三边的长各是多少？解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD， AD=BC.∵AB=8m，∴ CD=8m又. AB+BC+CD+DA=36m，∴AD=BC=10m即.其余三边长分别为 10m,8m,10m.例 2如图，在ABCD中， BE均分∠ ABC交 AD于 E， DF均分∠ ADC交 BC于 F. 求证：BE∥ DF.【剖析】要证明BE∥ DF，依照图形特点，需获取同位角∠BEA=∠ FDA或∠ EBF=∠DFC.这时联想到平行四边形的性质有∠ ABC=∠ADC ， AD ∥ BC ，再借助角均分线定义可获取结论 .证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AD ∥ BC ，∠ ABC=∠ ADC. ∵ BE 均分∠ ABC ，∴∠ 2= 1∠ ABC.2又 DF 均分∠ ADC ，∴∠ 3= 1∠ ADC ，∴∠ 2=∠ 3.2∵ AD ∥BC ，∴∠ 1=∠ 2. ∴∠ 1=∠ 3，∴ BE ∥ DF.【教课说明】上述两例均可让学生自己独立达成，最后教师再展现解答过程四、运用新知，深入理解.1. 一个平行四边形的一个内角是 58°，这个平行四边形的每个内角的度数是多少？为何？2. 如图，在ABCD 中， AE ⊥ BC 于 E ， AF ⊥CD 于 F ，且∠ EAF=60°， BE=2cm ， DF=3cm ，试求ABCD 的周长 .【教课说明】第 1 题可由学生独立达成， 而第 2 题教师应赐予适合点拨， 先求∠ C=120°，从而∠ B=∠D=60° . 易有∠ BAE=∠ DAF=30°，从而 AB=2BE=4cm ，AD=2DF=6cm ，从而可得结论 .【答案】 1. 解：因为平行四边形的两组对边分别平行，故它的邻角互补，因此它的每个内角分别为 122°， 58°， 122°， 58° .2. 解：∵ AE ⊥ BC ， AF ⊥ CD ，∠ EAF ＝ 60°， ∴∠ C ＝ 360° -90 ° -90 °-60 °＝ 120° .∴∠ B ＝∠ D ＝ 180° -120 °＝ 60°. ∴∠ BAE=∠ DAF=90° -60 ° =30° . 在 Rt △ ABE 中，∠ BAE ＝ 30°， BE ＝ 2cm ，∴ AB=2BE ＝4cm. 同理： AD=2DF ＝6cm.故 ABCD 的周长为 2（AB+AD ）＝ 2×（ 4+6）＝ 20cm. 五、师生互动，讲堂小结1. 在研究平行四边形性质的过程中，你有哪些认识？2. 在运用平行四边形的性质解题时，应注意哪些问题？课后作业1. 部署作业：从教材“习题 18.1 ”中选用 .2. 达成练习册中本课时练习 .教课反省教课反省本课时中，课本的设计企图是利用图形平移和旋转的特点来得出平行四边形的性质. 因此教课时应先列出平时生活中所用到的一些物体，领会平行四边形在平时生活中的宽泛应 用，从而给出平行四边形的定义， 从定义出发获取第一个性质，再由学生着手操作和教师演示旋转获取其余性质 . 因为本章课注明确要修业生可以严格说理过程，因此教师在得出平行四边形性质的同时要加上几何语言的描绘，在练习中也要注意规范学生的说理过程.。

第十八章 平行四边形 知识点总结第十八章 平行四边形知识点总结1．四边形的内角和与外角和定理：（ 1）四边形的内角和等于 360°；（ 2）四边形的外角和等于 360° .AD2．多边形的内角和与外角和定理：（ 1） n 边形的内角和等于 (n-2)180 °；（ 2）任意多边形的外角和等于360° .BCA 4D312 BC3．平行四边形的性质：（1）两组对边分别平行；DC（2）两组对边分别相等；因为 ABCD 是平行四边形 （3）两组对角分别相等；（4）对角线互相均分； （5）邻角互补 .4. 平行四边形的判断：（1）两组对边分别平行OABD C（ ）两组对边分别相等2O（ ）两组对角分别相等 ABCD 是平行四边形 .3（ ）一组对边平行且相等AB4（ ）对角线互相均分55. 矩形的性质：DC（1）拥有平行四边形的所 有通性 ;O因为 ABCD 是矩形 （2）四个角都是直角 ; （3）对角线相等 .A BDCA B6. 矩形的判断：（1）平行四边形一个直角DC（2）三个角都是直角四边形 ABCD 是矩形 .O（3）对角线相等的平行四 边形A BDCA B7．菱形的性质：D因为 ABCD是菱形（1）拥有平行四边形的所有通性；OC （2）四个边都相等；A（3）对角线垂直且均分对角 .B8．菱形的判断：D （1）平行四边形一组邻边等（2）四个边都相等四边形四边形ABCD是菱形 .AO C （3）对角线垂直的平行四边形9．正方形的性质：B因为 ABCD是正方形（1）拥有平行四边形的所有通性；（2）四个边都相等，四个角都是直角；（3）对角线相等垂直且平分对角 .D C D COA B（ 1）AB（ 2）（ 3）10．正方形的判断：（1）平行四边形一组邻边等一个直角（2）菱形一个直角四边形ABCD是正方形.（3）矩形一组邻边等D(3)C∵ABCD是矩形又∵ AD=AB∴四边形ABCD是正方形AB11．三角形中位线定理：三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半.AD E B C几种特别四边形的有关性质（1）矩形：①边：对边平行且相等；②角：四个角都是直角；③对角线：对角线互相均分且相等；④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线， 2 条）．（2）菱形：①边：对边平行，且四条边都相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相垂直均分且每条对角线均分每组对角；④对称性：轴对称图形（对角线所在直线， 2 条）．（3）正方形：①边：四条边都相等；②角：四角相等；③对角线：对角线互相垂直均分且相等，对角线与边的夹角为45 ；几种特别四边形的判断方法（1）矩形的判断：满足以下条件之一的四边形是矩形①有一个角是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形；③四个角都相等（2）菱形的判断：满足以下条件之一的四边形是矩形①有一组邻边相等的平行四边形；②对角线互相垂直的平行四边形；③四条边都相等．（3）正方形的判断：满足以下条件之一的四边形是正方形．① 有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形② 有一组邻边相等的矩形；③ 对角线互相垂直的矩形．④ 有一个角是直角的菱形⑤ 对角线相等的菱形；几种特别四边形的面积问题① 设矩形ABCD的两邻边长分别为a,b ，则S 矩形 =ab ．② 设菱形ABCD的一边长为a ，高为h ，则S 菱形 =ah ；若菱形的两对角线的长分别为a,b ，则S 菱形 =1 ab ．2③ 设正方形ABCD的一边长为a ，则S 正方形= a 2 ；若正方形的对角线的长为a ，则S 正方形= 1 a 2 ．2④ 设梯形ABCD的上底为a ，下底为b ，高为 h ，则S梯形 = 1(a b)h ．2。