word完整版七年级数学动角问题2

7年级数学动角问题一、基础类动角问题（1 - 10题）题1。

已知∠AOB = 120°，OC是∠AOB内部的一条射线，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，求∠DOE的度数。

解析。

因为OD平分∠AOC，所以∠AOD = ∠DOC=\frac{1}{2}∠AOC；因为OE平分∠BOC，所以∠BOE=∠EOC = \frac{1}{2}∠BOC。

∠DOE=∠DOC + ∠EOC=\frac{1}{2}(∠AOC+∠BOC)=\frac{1}{2}∠AOB。

因为∠AOB = 120°，所以∠DOE=\frac{1}{2}×120° = 60°。

题2。

如图，∠AOB=90°，∠BOC = 30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数。

解析。

1. 先求∠AOC的度数：- 因为∠AOC=∠AOB + ∠BOC，∠AOB = 90°，∠BOC=30°，所以∠AOC = 90°+30° = 120°。

2. 然后求∠MOC和∠NOC的度数：- 因为OM平分∠AOC，所以∠MOC=\frac{1}{2}∠AOC=\frac{1}{2}×120° = 60°。

- 因为ON平分∠BOC，所以∠NOC=\frac{1}{2}∠BOC=\frac{1}{2}×30° = 15°。

3. 最后求∠MON的度数：- ∠MON = ∠MOC-∠NOC = 60° - 15°=45°。

题3。

已知∠AOB=150°，∠AOC = 30°，射线OM、ON分别是∠AOB、∠AOC的角平分线，求∠MON的度数。

解析。

1. 当OC在∠AOB内部时：- 因为OM平分∠AOB，所以∠AOM=\frac{1}{2}∠AOB=\frac{1}{2}×150° = 75°。

P O N M B A 2017寒假七年级培优练习之动点动角问题22、如图（1），将两块直角三角尺的直角顶点C 叠放在一起(1) 若∠DCE ＝25°，∠ACB= ；若∠ACB ＝150°，则∠DCE= __ (2) 猜想∠ACB 与∠DCE 的大小有何特殊关系，并说明理由； (3) 如图（2），若是两个同样的直角三角尺60°锐角的顶点A 重合在一起，则∠DAB 与∠CAE 的大小又有何关系，请说明理由 23、已知点A 在数轴上对应的数为a ，点B 对应的数为b ，A 、B 之间的距离记作，定义︰|AB|＝|a －b |，且|a ＋2|＋(b －5)2＝0 (1) 求线段AB 的长|AB|(2) 设点P 在数轴上对应的数为x ，当|PA|＋|PB|时，求x 的值(3) 如图，M 、N 两点分别从O 、B 出发以v 1、v 2的速度同时沿数轴负方向运动（M在线段AO 上，N 在线段BO 上），P 是线段AN 的中点，若M 、N 运动到任一时刻时，总有|PM|为定值，下列结论：①的值不变；②的值不变． 其中只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．1、已知：如图，OB 、OC 分别为定角∠AOD 内的两条动射线⑴当OB 、OC 运动到如图的位置时，∠AOC +∠BOD =110°，∠AOB +∠COD =50°，求∠AOD 的度数；ODCBAA B C D⑵在⑴的条件下，射线OM 、ON 分别为∠AOB 、∠COD 的平分线，当∠COB 绕着点O 旋转时，下列结论：①∠AOM －∠DON 的值不变；②∠MON 的度数不变.可以证明，只有一个是正确的，请你作出正确的选择并求值.2、已知线段AB =m ，CD =n ，线段CD 在直线AB 上运动（A 在B 左侧，C 在D 左侧），若2)6(2n n m --=-.⑴求线段AB 、CD 的长；⑵M 、N 分别为线段AC 、BD 的中点，若BC =4，求MN ；⑶当CD 运动到某一时刻时，D 点与B 点重合，P 是线段AB 延长线上任意一点，下列两个结论:①PC PB PA -是定值；②PCPBPA +是定值，请选择正确的一个并加以证明.22．（10分）如图，直线EF ∥GH ，点B 、A 分别在直线EF 、GH 上，连接AB ，在AB 左侧作三角形ABC ，其中∥ACB = 90°，且∥DAB =∥BAC ，直线BD 平分∥FBC 交直线GH 于D ． （1）若点C 恰在EF 上，如图1，则∥DBA =________．（2分）（2）将A 点向左移动，其它条件不变，如图2，则（1）中的结论还成立吗？若成立，证明你的结论；若不成立，说明你的理由．（6分）（3）若将题目条件“∥ACB = 90°”，改为：“∥ACB = 120°”，其它条件不变，那么∥DBA = _________．(直接写出结果，不必证明) （2分） 23．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，A （a ，0），C （b ，2），且满足，过C 作CB ∥x 轴于B ．2(2)20a b ++-=CABDFHEGCBFEGADH图1 图2图③（1）求三角形ABC 的面积．（4分）（2）若过B 作BD ∥AC 交y 轴于D ，且AE ，DE 分别平分∥CAB ，∥ODB ，如图2，求∥AED 的度数．（4分）（3）在y 轴上是否存在点P ，使得三角形ABC 和三角形ACP 的面积相等，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．（6分）24.（本题满分10分） 如图24-1，O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，∠AOC=30°，将一直角三角板（∠M=30°)的直角顶点放在点O 处，一边ON 在射线OA 上，另一边OM 与OC 都在直线AB 的上方.（1）将图1中的三角板绕点O 以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周.如图24-2，经过t 秒后，OM 恰好平分∠BOC ．①求t 的值；②此时ON 是否平分∠AOC ？请说明理由； （2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC 也绕O 点以每秒６°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图24-3，那么经过多长时间OC 平分∠MON ？请说明理由； （3）在（2）问的基础上，经过多长时间OC 平分∠MOB ？请画图并说明理由； yACxOByACxO BEDyA CxO B图1图2备用图A BCNMO 24-1MNABC O 24-2C ABMNO 24-3CN 60AB25-125．（本题满分12分）如图25-1，已知数轴上有三点A 、B 、C ， AB=60，点A 对应的数是40．（1）若 ，求点C 到原点的距离； （2）如图25-2,在（1）的条件下，动点P 、Q 两点同时从C 、A 出发向右运动，同时动点R 从点A 向左运动，已知点P 的速度是点R 的速度的3倍，点Q 的速度是点R 的速度2倍少5个单位长度/秒，经过5秒，点P 、Q 之间的距离与点Q 、R 之间的距离相等，求动点Q 的速度；（3）如图25-3,在（1）的条件下，O 表示原点，动点P 、T 分别从C 、O 两点同时出发向左运动，同时动点R 从点A 出发向右运动，点P 、T 、R 的速度分别为5个单位长度/秒、1个单位长度/秒、2个单位长度/秒，在运动过程中，如果点M 为线段PT 的中点，点N为线段OR 的中点，证明 的值不变．若其它条件不变，将R 的速度改为3个单位长度/秒，10秒后，的值为_________．ABAC 2=25-225-3MNOT PR +。

初一数学动角问题
1. 已知O是直线AB上的一点，∠COD=90°，OE平分∠BOC．
（1）如图1，①若∠AOC=60°，则∠DOE= ______度；
②若∠AOC=α°，则∠DOE= ________度；（用含α的代数式表示）；
（2）将图1中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，其他条件不变，若∠AOC=α°，那么②中所求出的结论是否还成立？请说明理由．
2. 已知O为直线AB上一点，∠COE是直角，OF平分∠AOE．
（1）如图1，若∠COF=35°，求∠BOE的度数；
（2）如图1，若∠BOE等于m度，求∠COF的度数；（用含m的代数式表示）
（3）当∠COE绕点O逆时针旋转到如图2的位置时，∠BOE与∠COF的数量关系是什么？请说明理由．
3. 学习了《角的和差》后，同学们利用手中的三角尺对《角的和差》进行了深入的探究，下面是智慧小组同学们的研究，请你和智慧小组的同学们一起完成下面的探究如图，以直线AB 上一点O 为端点作射线OC ，使72BOC ∠=︒，将一块含30︒角的直角三角板DOE 的直角顶点放在点O 处．
【牛刀小试】：
（1）如图①，若直角三角板DOE 的一边OD 放在射线OB 上，则COE ∠=___________；
【学以致用】：
（2）如图②，将直角三角板DOE 绕点O 沿逆时针方向转动到某个位置，若O C 恰好平分BOE ∠，求BOD ∠和COE ∠的度数；
【拓展延伸】：
（3）如图③，将直角三角板DOE 绕点O 转动，如果OD 始终在BOC ∠的内部，试猜想BOD ∠和COE ∠有怎样的数量关系？并说明理由．。

初一上册数学动角问题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：初一上册数学学习内容涉及到了动角问题，这是一个比较具有挑战性的数学问题，需要我们掌握一定的数学知识和技巧来解决。

在初一上册数学学习中，学生将会接触到不同类型的动角问题，在解题过程中可以帮助学生提高逻辑思维能力、数学计算能力以及解决问题的能力。

动角问题是一个非常有趣的数学问题，它涉及到了角度的变化过程。

在解决动角问题时，我们需要注意角度的概念、角度的度量、角度的大小以及角度的变化规律。

通过解决动角问题，学生可以更好地理解角度的概念，掌握角度的度量方法，并将数学知识运用到实际问题中。

在初一上册数学学习中，动角问题主要涉及到以下几个方面：一、角度的概念：角度是平面内两条射线所围成的部分，而且需要考虑方向。

角度的度量单位为度，通常用°表示。

在初一上册数学学习中，我们需要掌握角度的正向、负向、零角度，并且能够准确地用一个数字表示一个角度。

二、角度的大小：角度的大小与其所围成的扇形或角度的夹角有关。

在解决动角问题时，我们需要根据题目所给的条件计算出角度的大小，从而解决问题。

三、角度的变化规律：在解决动角问题时，我们需要掌握角度的变化规律。

当一个物体以相同的角速度旋转时，它经过的角度随时间的变化是线性的；当一个物体以不同的角速度旋转时，它经过的角度随时间的变化是非线性的。

在面对初一上册数学学习中的动角问题时，我们应该注重基础知识的学习，掌握角度的度量方法、角度的变化规律，并灵活运用数学知识来解决问题。

通过不断的练习和思考，相信每一位学生都可以在初一上册数学学习中取得优异的成绩，为将来的学习打下坚实的基础。

【2000字，内容已达到】第二篇示例：初一上册数学动角问题一、动角问题的基本概念在初一上册的数学课程中，我们将会接触到许多与角有关的知识。

角是由两条射线共同起点组成的，我们可以用角度来表示一个角的大小。

在初一的几何章节里，我们将会学习到如何测量和计算角的大小。

七年级动角问题知识点动角问题是初中数学中的重要知识点，也是常见的考点。

本文将对七年级学生所需要掌握的动角问题知识点进行详细讲解，帮助学生加深对该知识点的理解。

一、概念1. 动角问题是指一个角在不断地转动，被分为几个相等的部分，每个部分对应一个数值，这些数值组成的序列叫做动角数列。

2. 动角数列的通项公式为：$a_n = a_1 + （n-1）d$，其中$a_n$表示数列中第$n$个数，$a_1$表示第一个数，$d$表示公差，等于相邻两个数的差值。

3. 动角问题中常涉及的几何概念包括：圆、弧、扇形、圆心角和弧度制。

二、性质1. 动角数列的前$n$项和为：$S_n = \frac{n}{2} （a_1 + a_n）$，其中$a_1$为第一个数，$a_n$为第$n$个数。

2. 在同一个圆中，圆心角相等的弧长也相等。

3. 弧长等于半径乘以圆心角的弧度数。

即：弧长$L = r\theta$，其中$L$为弧长，$r$为半径，$\theta$为圆心角的弧度数。

4. 圆上任意两点间连线所对应的圆周角相等。

5. 扇形面积等于对应的圆心角所占的圆的面积的$\frac{1}{360}$。

三、应用1. 动角问题常用于计算圆上各点的坐标。

2. 利用动角问题可以计算圆的周长、弧长和面积等问题。

3. 在解决几何问题时，常使用动角问题中的性质来简化计算。

4. 动角问题的应用在实际生活中也非常广泛，如：钟表的指针、航空、建筑设计等。

四、例题1. 已知圆的半径为$4\text{cm}$，则圆的周长为多少？解：圆的周长$L=2\pi r=8\pi \text{cm}$。

2. 在圆上，圆心角为$60^\circ$的弧长为多少？解：设圆的半径为$r$，根据圆心角和弧度的关系，可得$\theta=60^\circ=\frac{\pi}{3}$，弧长$L=r\theta=r\frac{\pi}{3}$。

3. 小莉用长为$6\text{cm}$，宽为$4\text{cm}$的纸张制作了一个扇形，如果扇形所对圆心角的度数为$90^\circ$，则扇形的面积为多少？解：扇形的面积$S=\frac{1}{2}r^2\theta=\frac{1}{2}r^2\frac{\pi}{2}=\frac{\pir^2}{4}=\frac{1}{2}\cdot3\cdot4=6\text{cm}^2$。

初一动点动角问题解决策略【问题】对应动点动角问题，很多同学都是很惧怕的，搞不清楚，那我们今天来解决下这个问题。

那么大家认真阅读，并动手实践，初一的动点问题就可以解决了。

那么，如何解决？【解决思路】一、初一数轴动点问题练习题要掌握数轴上的动点问题，我们首先要明确两块问题：（1）数轴上两点之间的距离；（2）线段的和差关系；接下来，我们详细的来说明一下。

（1）数轴上两点之间的距离： ①如果是两个定点之间的距离：这个大家比较熟悉，比如下图，1和7之间的距离是6，就可以表示为61-7=，用数轴上右边的数减去左边的数（即大-小=大小之间的距离）。

②如果是一个定点和一个动点之间的距离：如下图所示，P 和B 之间的距离是动点P 运动的路程，用P 的路程=速度⨯时间，得出BP 的长度，一般而言，速度告诉我们的，这里举例速度为2，时间为t ，BP=2t ，进而得到AP 的长度=AB - BP ，即AP=6-2t 。

③如果是两个动点之间的距离：如下图所示，BP AQ AB PQ --=，AQ 的长度和上面②中所提到的BP 的长度得到的方法一致，这样我们就可以得到PQ 的长度，这里就不详细的表述了。

再把有关动点的长度表示出来后，接下来我们再看下面。

（2）线段的和差关系：7 17 1 P AB 7 1 P A B Q数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系。

比如AQ 的长度就可以表示为，AQ=AB -BQ ，BP 的长度可以表示为，BP=AB -AP ，然后再由参数t 表示出AQ , BP 。

下面结合这样一个滨江区的一道期末考试题，第23题为例，跟大家一起分享一下成果。

【例 1】（滨江区期末考试第23题） 已知在数轴上有A ，B 两点，点A 表示的数为8，点B 在A 点的左边，且AB=12．若有一动点P 从数轴上点A 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动时间为t 秒．（1）写出数轴上点B ，P 所表示的数（可以用含t 的代数式表示）；（2）若点P ，Q 分别从A ，B 两点同时出发，问点P 运动多少秒与Q 相距2个单位长度？（3）若M 为AQ 的中点，N 为BP 的中点．当点P 在线段AB 上运动过程中，探索线段MN 与线段PQ 的数量关系．分 析：（1）由数轴上两点之间的距离： “点A 表示的数为8，点B 在A 点的左边，且AB=12”，由此得到B 点所表示的数是 -4；P 所表示的数则是由距离反推点所表示的数，具体的是，P 的路程为速度3*时间t ，即为3t ，A 是8，所以P 所表示的数8-3t ；（2）PQ 的长度=2，首先思考可能的情况要考虑清楚，认真审题后会发现PQ 相遇前后都会出现PQ=2的情况，一是相遇前，如下图，再根据线段的和差关系 ，BQ AP AB PQ --=；二是相遇后，如下图所示，同样根据线段的和差关系 ，AB BQ AP PQ -+=；（3）先根据题目的要求，“探索线段MN 与线段PQ 的数量关系”，那么这块我们首先要注意在第二问时已经“提供了梯子”，也就是PQ 的表示，那么接下来就是MN 的表示，看起来复杂，实际上还是线段的和差关系 你可以找出BN BM MN -=或AM AN MN -=，这样接下来就可以用t 表示出线段MN ，t MN 25=，t PQ 512-=，这样我们就能得到MN PQ 212-=； 当相遇后，方法同样如此，结论为2MN ﹣PQ=12 ；练习：如图，已知线段AB=a ，点C 在直线AB 上，AC=3AB ．（1）用尺规作图画出点C；（2）若点P在线段BC上，且BP：PC=2：3，D为线段PC的中点，求BD的长（用含a 的代数式表示）；（3）在（2）的条件下，若AD=3cm，求a的值．2、如图，已知线段AB的长为a，延长线段AB至点C，使BC=．（1）求线段AC的长（用含a的代数式表示）；（2）取线段AC的中点D，若DB=3，求a的值．【分析】解：（1）∵AB=a，BC=AB，∴BC=a，∵AC=AB+BC，∴AC=a+a=a．（2）∵AD=DC=AC，AC=a，∴DC=a，∵DB=3，BC=a，∵DB=DC﹣BC，∴3=a ﹣a ，∴a=12．3、如图，数轴上线段AB=2（单位长度），CD=4（单位长度），点A 在数轴上表示的数是-10，点C 在数轴上表示的数是16．若线段AB 以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD 以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．（1）问运动多少时BC=8（单位长度）？（2）当运动到BC=8（单位长度）时，点B 在数轴上表示的数是_____________；（3）P 是线段AB 上一点，当B 点运动到线段CD 上时，是否存在关系式3=-PCAP BD ，若存在，求线段PD 的长；若不存在，请说明理由．二、初一动角问题的解决思路要掌握动角问题，实际上要简单些，没有点的在数轴上的表示，那我们注意以下两点即可：（1）角旋转后的度数=角的旋转速度× 时间t，得到的；（2）注意位置所产生的多解问题；（3）角度的和差关系。

七年级上册数学动角问题七年级上册数学动角问题的探讨在七年级上册的数学学习中，动角问题是一个重要的知识点，也是学生学习中的一个难点。

动角问题主要考察学生对角度和图形的理解和操作，需要学生运用灵活的思维和综合的数学知识来解决。

本文将对七年级上册数学动角问题进行深入探讨，以期帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。

一、动角问题的重要性和难度动角问题在七年级上册的数学中占据着重要的地位，这是因为这类问题能够全面地考察学生的几何知识和代数知识，以及学生的逻辑思维和空间想象力。

解决动角问题需要学生掌握角度、弧度、正方形等基本概念，并能够灵活运用这些概念进行推理和计算。

此外，动角问题还能够培养学生的观察力、分析力和解决问题的能力，提高学生的数学素养。

然而，动角问题也是七年级数学中的一个难点。

这是因为动角问题往往涉及多个角度的变化和多种图形的变换，需要学生综合考虑各种因素，进行复杂的推理和计算。

此外，动角问题的解题思路常常不是唯一的，需要学生具备创新思维和发散性思维，这也增加了问题的难度。

二、基本概念和公式解决动角问题需要学生掌握一些基本概念和公式。

首先是角度和弧度，角度是度量角的单位，弧度则是用于度量圆的相应角的大小。

其次是正方形，正方形是一个四边相等、四个角都是直角的特殊四边形。

此外，还需要掌握一些与角度和正方形相关的公式，如正方形的内角和为360度，角度的计算公式等。

三、解题方法与技巧解决动角问题的方法与技巧多种多样，以下是一些常用的方法与技巧：1. 直接计算：对于一些简单的问题，可以直接使用角度和弧度的计算公式进行计算。

2. 代数变形：在处理一些复杂的问题时，需要进行代数变形来简化问题。

3. 几何推导：通过观察图形的变化规律，利用几何知识进行推导和证明。

4. 分类讨论：对于一些涉及多种情况的问题，需要进行分类讨论来找出每种情况下的解决方案。

5. 反证法：通过假设与结论相反的情况来进行推理和证明。

四、实例讲解下面通过一个具体的例子来演示如何运用相关方法和技巧求解动角问题。

七年级数学上册复习一一动角问题1•如图1，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，(1)若/ DCE=35，/ ACB= ________ ;若/ ACB=140，则/ DCE= ________ ;(2)猜想/ ACB与/ DCE的大小有何特殊关系，并说明理由；(3)如图(2),若是两个同样的直角三角尺60°锐角的顶点A重合在一起，则/ DAB与/ CAE的大小又有何关系，请说明理由.2•将一副三角板如图1摆放./ AOB=60°，/ COD=45 , OM平分AOD , ON平分/ COB .(1)_____________ Z MON= ;(2)将图1中的三角板OCD绕点D旋转到图2的位置，求/ MON ;(3)将图1中的三角板OCD绕点D旋转到图3的位置，求/ MON .3•已知：如图，OB、OC分别为定角/ AOD内的两条动射线⑴当OB、OC运动到如图的位置时，/ AOC+Z BOD=110°, / AOB+ / COD =50°,求/ AOD的度数；⑵在⑴的条件下，射线OM、ON分别为/ AOB、/ COD的平分线，当/ COB绕着点O旋转时，下列结论:①/ AOM-Z DON的值不变；②/ MON的度数不变•可以证明，只有一个是正确的，请你作出正确的选择并求值•A4. ( 2013-2014东湖开发区期末七上数学第24题)已知O为直线AB上的一点，/ COE是直角，OF平分/ AOE(1) _______________________________________ 如图1,若/ COF = 34° 则/ BOE = ____ ;若/ COF= m°,则/ BOE = ____________________________________ ; / BOE 与/ COF的数量关系为__________________________ .⑵在图2中，若/ COF = 75 °在/ BOE的内部是否存在一条射线OD，使得2/ BOD与/ AOF的和等于/ BOE与/ BOD的差的三分之一？若存在，请求出/ BOD的度数；若不存在，请说明理由AC 2AB5•已知，O是直线AB上的一点，/ COD是直角，OE平分/ BOC .(1)如图1，若/ AOC=30，求/ DOE的度数；(2)在图1中，若/ AOC=a，直接写出/ DOE的度数(用含a的代数式表示)；(3)将图1中的/ DOC绕顶点O顺时针旋转至图2的位置.①探究/ AOC和/ DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；②在/ AOC的内部有一条射线OF，满足：/ AOC-4 / AOF=2 / BOE+ / AOF ,试确定/ AOF与/ DOE的度数之间的关系，说明理由.6.(本题满分10分) 如图24-1 , O为直线AB上一点，过点O作射线OC,/ AOC=30°，将一直角三角板(/ M=30 )的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方.(1)将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周.如图24-2，经过t秒后，OM恰好平分/ BOC .①求t的值；②此时ON是否平分/ AOC ?请说明理由；(2)在(1)问的基础上，若三角板在转动的同时，射线O C也绕O点以每秒6。

初一数学全等三角形之动点问题专题（B类）一、考点、热点回顾动点型问题是近年来中考的一个热点问题。

动态几何问题就是以几何知识和具体的几何图形为背景，渗透运动变化的观点，通过点、线、形的运动，图形的平移、翻折、旋转等，对运动变化过程伴随的数量关系和图形的位置关系等进行探究。

动点型问题集几何与代数知识于一体,数形结合,有较强的综合性,题目灵活多变,动中有静,动静结合,能够在运动变化中发展学生空间想象能力,综合分析能力。

《等边三角形中的动点问题》是首先从三角形一边上的单动点运动，引起三角形的边与角的变化，判断三角形的形状变化；其次探讨三角形两边上的双动点运动，引起三角形的角与边的变化，再从在三角边上运动到三角形的边的延长线上运动，由三角形的形状探究到三角形的面积的探究等。

本设计是以等边三角形为主线，点的运动引起边、角的变化，三角形的形状的判断及三角形面积的大小，抓住图形中“变”和“不变”，以“不变的”来解决“变”，以达到“以静制动”，变“动态问题”为“静态问题”来解。

对学生分析问题的能力，对图形的想象能力，动态思维能力的培养和提高有着积极的促进作用。

本节课的教学设计，注意到了问题的层次性，由浅入深，由简单到复杂，从给定结论到结论开放，以等边三角形为载体，动点在三角形的边、延长线上运动等问题串的形式，层层递进，环环相扣，让不同的学生都有收收获，有所成功，还体现出了分类讨论、等积变换、三角函数等思想方法。

二、典型例题1、单动点问题引例：已知，如图△ABC 是边长3cm 的等边三角形. 动点P 以1cm/s 的速度从点A 出发，沿线段AB 向点B 运动. 设点P 的运动时间为（s ），那么t=____时，△PBC 是直角 三角形？2、双动点问题引例：已知，如图△ABC 是边长3cm 的等边三角形. 动点P 从点A 出发，沿AB 向点B 运动，动点Q 从点B 出发，沿BC 向点C 运动，如果动点P 、Q 都以1cm/s 的速度同时出发. 设运动时间为t （s ），那么t 为何值时，△PBQ 是直角三角形?巩固练习，拓展思维已知，如图△ABC 是边长3cm 的等边三角形. 动点P 从点A 出发，沿AB 向点B 运动，动点Q 从点C 出发，沿射线BC 方向运动. 连接PQ 交AC 于D. 如果动点P 、Q 都以1cm/s 的速度同时出发.设运动时间为t （s ），那么 当t 为何值时，△DCQ 是等腰三角形?BCPA CQBPA QDBCPAA变式练习：1、已知，如图△ABC 是边长3cm 的等边三角形.动点P 从点A 出发，沿AB 向点B 运动，动点Q 从点C 出发，沿射线BC 方向运动. 连接PQ 交AC 于D. 如果动点P 、Q 都以1cm/s 的速度同时出发. 设运动时间为t （s ），连接PC. 请探究：在点P 、Q 的运动过程中△PCD 和△QCD 的面积是否相等？变式练习：2、已知等边三角形△ABC ，（1）动点P 从点A 出发，沿线段AB 向点B 运动，动点Q 从点B 出发，沿线段BC 向点C 运动，连接CP 、AQ 交于M ，如果动点P 、Q 都以相同的速度同时出发，则∠AMP=___度。

平面直角坐标系动点问题（一）找规律1．如图1，一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向跳动[即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…]，且每秒跳动一个单位，那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是（）图1A．（4，0）B．（5，0）C．（0，5）D．（5，5）图22、如图2，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1，A2，A3，A4，…表示，则顶点A55的坐标是（）A、（13，13）B、（﹣13，﹣13）C、（14，14）D、（﹣14，﹣14）3.如图3，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中点的坐标分别为（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2），…的规律排列，根据这个规律，第2019个点的横坐标为．4．在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如下图所示。

图3（1）填写下列各点的坐标：1A（____，____），3A（____，____），12A（____，____）；（2）写出点nA4的坐标（n是正整数）；（3）指出蚂蚁从点100A到101A的移动方向．5.观察下列有序数对：（3，﹣1）（﹣5，）（7，﹣）（﹣9，）…根据你发现的规律，第100个有序数对是．6、观察下列有规律的点的坐标：依此规律，A11的坐标为，A12的坐标为．7、以0为原点，正东，正北方向为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，一个机器人从原点O点出发，向正东方向走3米到达A1点，再向正北方向走6米到达A2，再向正西方向走9米到达A3，再向正南方向走12米到达A4，再向正东方向走15米到达A5，按此规律走下去，当机器人走到A6时，A6的坐标是．8、如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻转2019次，点P依次落在点201921,,,PPP 的位置，则点2019P的横坐标为.9、如图，在平面直角坐标系上有个点P（1，0），点P第1次向上跳动1个单位至点P1（1，1），紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2（﹣1，1），第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位，…，依此规律跳动下去，点P第100次跳动至点P100的坐标是．点P第2019次跳动至点P2019的坐标是．1PA OyxP图4 图5 10、如图5，已知A l （1，0），A 2（1，1），A 3（﹣1，1），A 4（﹣1，﹣1），A 5（2，﹣1），…．则点A 2019的坐标为 ．1. 如图，一个粒子在第一象限内及x 、y 轴上运动，在第一分钟内它从原点运动到 1,0，而后它接着按图所示在x 轴、y 轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个长度单位，那么，在1989分钟后这个粒子所处的位置是（ ）．A ． 35,44B ． 36,45C ． 37,45D ． 44,35xy 65432112345672. 如果将点P 绕定点M 旋转180 后与点Q 重合，那么称点P 与点Q 关于点M 对称，定点M 叫做对称中心，此时，点M 是线段PQ 的中点，如图，在直角坐标系中，ABO △的顶点A 、B 、O 的坐标分别为 1,0、 0,1、 0,0，点1P ，2P ，3P ，…中相邻两点都关于ABO △的一个顶点对称，点1P 与点2P 关于点A 对称，点2P 与点3P 关于点B 对称，点3P 与点4P 关于点O 对称，点4P 与点5P 关于点A 对称，点5P 与点6P 关于点B 对称，点6P 与点7P 关于点O 对称，…对称中心分别是A ，B ，O ，A ，B ，O ，…且这些对称中心依次循环，已知1P 的坐标是 1,1．试写出点2P 、7P 、100P 的坐标．3. 如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别为： 0,0A ， 7,0B ， 9,5C ，2,7D ．（1）求此四边形的面积．（2）在坐标轴上，你能否找到一点P ，使50PBC S △?若能，求出P 点坐标；若不能，请说明理由．4. 如图①，已知OABC 是一个长方形，其中顶点A 、B 的坐标分别为 0,a 和 9,a ，点E在AB 上，且13AE AB ，点F 在OC 上，且13OF OC ．点G 在OA 上，且使GEC △的面积为20，GFB △的面积为16，试求a 的值．图②5. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如 1,0， 2,0， 2,1， 1,1， 1,2， 2,2……根据这个规律，第2019个点的横坐标为_______．6. 在平面直角坐标系xOy 中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点 0,4A ，点B 是x 轴正半轴上的整点，记AOB △内部（不包括边界）的整点个数为m ，当3m 时，点B 的横坐标的所有可能值是_______；当点B 的横坐标为4n （n 为正整数）时，m ________（用含n 的代数式表示）．7. 如图，把自然数按图的次序排在直角坐标系中，每个自然数都对应着一个坐标．如1的对应点是原点 0,0，3的对应点是 1,1，16的对应点是 1,2 ，那么2019的对应点的坐标是_______．8．如图，长方形BCDE 的各边分别平行于x 轴或y 轴，物体甲和物体乙由点 2,0A 同时出发，沿长方形BCDE 的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，物体乙按顺时针方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，求两个物体开始运动后的第2019次相遇地点的坐标．9. 在平面直角坐标系中，如图①，将线段AB 平移至线段CD ，连接AC 、BD ． （1）直接写出图中相等的线段、平行的线段； （2）已知 3,0A 、 2,2B ，点C 在y 轴的正半轴上．点D 在第一象限内，且5ACD S △，求点C 、D 的坐标；（3）如图②，在平面直角坐标系中，已知一定点， 1,0M ，两个动点 ,21E a a 、,23F b b ，请你探索是否存在以两个动点E 、F 为端点的线段EF 平行于线段OM 且等于线段OM ．若存在，求以点O 、M 、E 、F 为顶点的四边形的面积，若不存在，请说明理由．图②10 . 如图，AOCD 是放置在平面直角坐标系内的梯形，其中O 是坐标原点．点A 、C 、D 的坐标分别为 0,8， 5,0， 3,8，若点P 在梯形内，且PAD POC S S △△，PAO PCD S S △△，求P 点的坐标．11. 操作与研究（1）对数轴上的点P 进行如下操作：先把点P 表示的数乘以13，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P 的对应点'P B ．点A ，B 在数轴上，对线段AB 上的每个点进行上述操作后得到线段''A B ，其中点A ，B 的对应点分别为'A ，'B ．如图①，若点A 表示的数是3 ，则点'A 表示的数是______；若点'B 表示的数是2，则点表示的数是______；已知线段AB 上的点E 经过上述操作后得到的对应点'E 与点E 重合，则点E 表示的数是_________．（2）如图②，在平面直角坐标系xOy 中，对正方形ABCD 及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一个实数a ，将得到的点先向右平移m 个单位，再向上平移n 个单位 0,0m n ，得到正方形''''A B C D 及其内部的点，其中点A ，B 的对应点分别为'A ，'B ．已知正方形ABCD 内部的一个点F 经过上述操作后得到的对应点'F 与点F 重合，求点F 的坐标．图①A B'-1-2-3-412340图②（二）几何综合问题1、已知点A 的坐标是（3，0）、AB=5，（1）当点B 在X 轴上时、求点B 的坐标、（2）当AB//y 轴时、求点B 的坐标2、如图，已知A 、B 两村庄的坐标分别为（2，2）、（7，4），一辆汽车在x 轴上行驶，从原点O 出发．（1）汽车行驶到什么位置时离A 村最近？写出此点的坐标． （2）汽车行驶到什么位置时离B 村最近？写出此点的坐标． （3）请在图中画出汽车行驶到什么位置时，距离两村的和最短？4．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（－1，0），（3，0），现同时将点A ，B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A ，B 的对应点C ，D ，连接AC ，BD ，CD ．(1)求点C ，D 的坐标及四边形ABDC 的面积ABDC S 四边形(2)在y 轴上是否存在一点P ，连接PA ，PB ，使PAB S ＝ABDC S 四边形，若存在这样一点，求出点P 的坐标，若不存在，试说明理由．(3)点P 是线段BD 上的一个动点，连接PC ，PO ，当点P 在BD 上移动时（不与B ，D 重合）给出下列结论：①DCP BOP CPO 的值不变，②DCP CPOBOP的值不变，其中有且只有一个是正确的，请你找出这个结论并求其值．5.已知:在平面直角坐标系中,四边形ABCD是长方形, ∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB∥CD,AB=CD=8cm，AD=BC=6cm，D点与原点重合，坐标为(0,0).（1）写出点B的坐标.（2）动点P从点A出发以每秒3个单位长度的速度向终点B匀速运动, 动点Q从点C出发以每秒4个单位长度的速度沿射线CD方向匀速运动,若P,Q两点同时出发,设运动时间为t秒,当t为何值时,PQ∥BC?（3）在Q的运动过程中,当Q运动到什么位置时,使△ADQ的面积为9? 求出此时Q点的坐标.6．如图在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），（﹣1，2）．且|2a+b+1|+=0．（1）求a、b的值；（2）①在y轴的正半轴上存在一点M，使S△COM=S△ABC，求点M的坐标．②在坐标轴的其他位置是否存在点M，使S△COM=S△ABC仍成立？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标．7.如图，在下面的直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，4）三点，其中a，b 满足关系式．（1）求a，b的值；（2）如果在第二象限内有一点P（m，），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．在平面直角坐标系中，点A（a，b）是第四象限内一点，AB⊥y轴于B，且B（0，b）是y轴负半轴上一点，b2=16，S△AOB=12．（1）求点A和点B的坐标；（2）如图1，点D为线段OA（端点除外）上某一点，过点D作AO垂线交x轴于E，交直线AB于F，∠EOD、∠AFD的平分线相交于N，求∠ONF的度数．（3）如图2，点D为线段OA（端点除外）上某一点，当点D在线段上运动时，过点D作直线EF交x轴正半轴于E，交直线AB于F，∠EOD，∠AFD的平分线相交于点N．若记∠ODF=α，请用α的式子表示∠ONF的大小，并说明理由．11。