北师大版2018-2019年七年级数学下册 难点探究专题:全等三角形中的动态问题(含答案)
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数学全等三角形动点问题数学这东西,听起来就有点让人打哈欠,尤其是当你碰上了全等三角形动点问题的时候,简直让人想直接躲进床底下。
不过别担心,今天咱们就来聊聊这个话题,轻松点儿,搞笑点儿,保证让你哈哈大笑,顺便脑袋里也装点儿知识。
想象一下,你跟朋友一起去游乐园,前面是个大旋转木马,大家都在排队。
这个木马就像一个个三角形,转来转去,根本停不下来。
好啦,先说说全等三角形。
全等的意思就是两个三角形一模一样,无论你怎么转、怎么动,都还是那样。
就好比双胞胎,真是一看就知道是兄弟姐妹。
你要是把这俩三角形放在一起,哦哟,简直就像是复制粘贴,连角度和边长都跟着一模一样。
这就有意思了,咱们来设想一下:如果这两个三角形有一个动点,那就像是在给它们穿上舞鞋,在舞池里翩翩起舞。
不管怎么转,这舞姿总是那么优雅,简直让人目不暇接。
想象一下这俩三角形之间的关系,简直就是一对恩爱的小情侣。
一个在这里,另一个在那儿,距离虽然不变,但感觉就像在做双人舞。
它们的边长、角度都保持着一致,这就是全等三角形的神奇之处。
想想,如果我们生活中也能有这种“全等”关系,那可真是太好了。
每天都可以找一个人一起“相约”,不管走到哪儿都不会迷路,心里总是有一份安全感。
不过,这个动点问题就有点麻烦了。
你知道,当一个三角形的某个点动起来的时候,其他的就得跟着动。
这就像你在冰箱前,想喝可乐,结果冰箱门关上了,那可真是让人捶心肝。
你得想办法把这动点的位置确定下来,不然整个三角形就乱了套,跟着你在厨房里晃悠,根本停不下来。
数学里的动点就像生活中的那些变化一样,让人琢磨不透。
你以为这个点在这儿,结果它一下子跑到那边,搞得你摸不着头脑。
想想看,谁没有遇到过这种情况呢?就像在约会时,原本想去的餐厅没了位子,你就得随便找个地方,结果最后吃到了你最讨厌的那道菜,真是让人哭笑不得。
再说说这动点问题的性质。
这个动点在三角形里游来游去,就像小猫追蝴蝶一样。
你永远不知道它下一步会往哪儿去,角度变来变去,让人眼花缭乱。
难点探究专题:全等三角形中的动态问题◆类型一全等三角形中的动点问题1.如图,在△MAB中,MA=MB,过M点作直线MN交AB于N点.P是直线MN 上的一个动点,在点P移动的过程中,若NA=NB,则∠PAM与∠PBM是否相等?说明理由.2.如图①,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC(∠ABC=∠ACB=45°),点D为直线BC上一动点(点D不与B,C重合),以AD为边在AD右侧作正方形ADEF,连接CF.(1)观察猜想:如图①,当点D在线段BC上时,①BC与CF的位置关系为________;②线段BC,CD,CF之间的数量关系为______________ (将结论直接写在横线上);(2)数学思考:如图②,当点D在线段CB的延长线上时,结论①,②是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请你写出正确结论再给予证明.◆类型二 全等三角形中的动图问题3.已知等边三角形的三条边相等、三个角都等于60°.如图,△ABC 与△CDE 都是等边三角形,连接AD ,BE.(1)如果点B ,C ,D 在同一条直线上,如图①所示,试说明:AD =BE ;(2)如果△ABC 绕C 点转过一个角度,如图②所示,(1)中的结论还能否成立?请说明理由.◆类型三 全等三角形中的翻折问题4.如图,将Rt △ABC 沿斜边翻折得到△ADC ,E ,F 分别为DC ,BC 边上的点,且∠EAF =12∠DAB.试猜想DE ,BF ,EF 之间有何数量关系,并说明理由.参考答案与解析1.解:∠P AM =∠PBM .理由如下:∵NA =NB ,MA =MB ,MN 是公共边,∴△AMN ≌△BMN (SSS),∴∠MAN =∠MBN ,∠MNA =∠MNB .又∵NA =NB ,PN 是公共边,∴△P AN ≌△PBN (SAS),∴∠P AN =∠PBN .∴∠P AM =∠PBM .2.解:(1)①垂直 ②BC =CD +CF(2)CF ⊥BC 成立;BC =CD +CF 不成立,正确结论:CD =CF +BC .证明如下:∵正方形ADEF 中,AD =AF ,∠DAF =∠BAC =90°,∴∠BAD =∠CAF .在△DAB 与△F AC 中,⎩⎪⎨⎪⎧AD =AF ,∠BAD =∠CAF ,AB =AC ,∴△DAB ≌△F AC (SAS),∴∠ABD =∠ACF ,DB =CF .∵∠ACB =∠ABC =45°,∴∠ABD =180°-45°=135°,∴∠BCF =∠ACF -∠ACB =∠ABD -∠ACB =90°,∴CF ⊥BC .∵CD =DB +BC ,DB =CF ,∴CD =CF +BC .3.解:(1)∵△ABC ,△CDE 都是等边三角形,∴AC =BC ,CD =DE ,∠ACB =∠DCE =60°.∵点B ,C ,D 在同一条直线上,∴∠ACE =60°,∴∠BCE =∠ACD =120°.在△ACD与△BCE 中,∵⎩⎪⎨⎪⎧AC =BC ,∠ACD =∠BCE ,CD =CE ,∴△ACD ≌△BCE (SAS).∴AD =BE .(2)成立.理由如下:∵∠ACB =∠DCE =60°,∴∠ACB +∠ACE =∠DCE +∠ACE ,即∠BCE =∠ACD .又∵AC =BC ,CD =CE ,∴△ACD ≌△BCE ,∴AD =BE .4.解:DE +BF =EF .理由如下:延长CB 至G ,作∠5=∠1,如图所示.∵将Rt △ABC沿斜边翻折得到△ADC ,∠EAF =12∠DAB ,∴AB =AD ,∠ABC =∠ADE =90°,∠2+∠3=∠1+∠4,∴∠ABG =90°=ADE .∵∠5=∠1,∴∠2+∠3=∠4+∠5,∴∠GAF =∠EAF .在△AGB 和△AED 中,⎩⎪⎨⎪⎧∠GAB =∠EAD ,AB =AD ,∠ABG =∠ADE ,∴△AGB ≌△AED (ASA),∴AG =AE ,BG =DE .在△AGF 和△AEF 中,⎩⎪⎨⎪⎧AG =AE ,∠GAF =∠EAF ,AF =AF ,∴△AGF ≌△AEF (SAS),∴GF =EF ,∴BG +BF=EF ,∴DE +BF =EF .。
初中数学全等三角形中的动态问题(知识点+例题解析)初中数学中,动点问题是学习的重、难点,在三角形、矩形等一些几何图形上,设计一个或多个动点,探究全等三角形存在性问题,该类题目具有较强的综合性。
解决动点问题常见的答题思路是:1.注意分类讨论;2.仔细探究全等三角形对应边与对应角的变化;3.利用时间表示出相应线段或边的长度,列出方程求解.【典例解析】【例1-1】(2020·周口市月考)如图,CA⊥AB,垂足为点A,AB=8,AC=4,射线BM⊥AB,垂足为点B,一动点E从A点出发以2厘米/秒的速度沿射线AN运动,点D为射线BM上一动点,随着E点运动而运动,且始终保持ED=CB,当点E离开点A后,运动______秒时,△DEB与△BCA全等.【例1-2】(2020·江阴市月考)已知:如图,在长方形ABCD中,AB=4,AD=6.延长BC到点E,使CE=2,连接DE,动点P从点B出发,以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动,设点P的运动时间为t秒,当t的值为_____秒时,△ABP和△DCE全等.A.1B.1或3C.1或7D.3或7【变式1-1】(2020·无锡市月考)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=7cm,BC=3cm,CD为AB边上的高.点E从点B出发沿直线BC以2cm/s的速度移动,过点E作BC的垂线交直线CD于点F.(1)试说明:∠A=∠BCD;(2)当点E运动多长时间时,CF=AB.请说明理由.【变式1-2】(2020·河北灵寿期末)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A、B两点的坐标分别为A(0,m)、B(n,0),且|m﹣n﹣0,点P从A出发,以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动,设点P的运动时间为t秒.(1)求OA、OB的长;(2)连接PB,设△POB的面积为S,用t的式子表示S;(3)过点P作直线AB的垂线,垂足为D,直线PD与x轴交于点E,在点P运动的过程中,是否存在这样的点P,使△EOP≌△AOB?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.【例2】(2020·惠州市月考)如图,点C在线段BD上,AB⊥BD于B,ED⊥BD于D.∠ACE=90°,且AC =5cm,CE=6cm,点P以2cm/s的速度沿A→C→E向终点E运动,同时点Q以3cm/s的速度从E开始,在线段EC上往返运动(即沿E→C→E→C→…运动),当点P到达终点时,P,Q同时停止运动.过P,Q分别作BD的垂线,垂足为M,N.设运动时间为ts,当以P,C,M为顶点的三角形与△QCN全等时,t的值为_____.【变式2-1】(2020·江阴市月考)如图,在四边形ABCD中,AD=BC=4,AB=CD,BD=6,点E从D 点出发,以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动,点F从点C出发,以每秒3个单位的速度沿C→B→C 作匀速移动,点G从点B出发沿BD向点D匀速移动,三个点同时出发,当有一个点到达终点时,其余两点也随之停止运动.(1)试证明:AD∥BC.(2)在移动过程中,小芹发现当点G的运动速度取某个值时,有△DEG与△BFG全等的情况出现,请你探究当点G的运动速度取哪些值时,△DEG与△BFG全等.【变式2-2】(2020·重庆巴南月考)如图(1),AB=4cm,AC⊥AB,BD⊥AB,AC=BD=3cm.点P在cm s的速度由点A向点B运动,同时,点Q在线段BD上由点B向点D运动.它线段AB上以1/们运动的时间为t(s).(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,当t=1时,△ACP与△BPQ是否全等,请说明理由,并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系;(2)如图(2),将图(1)中的“AC⊥AB,BD⊥AB”为改“∠CAB=∠DBA=60°”,其他条件不变.设点Q的cm s,是否存在实数x,使得△ACP与△BPQ全等?若存在,求出相应的x、t的值;若运动速度为x/不存在,请说明理由.【变式2-3】(2020·江苏兴化月考)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8.点P从点A出发,沿折线AC—CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动,点Q从点B出发沿折线BC—CA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动,P、Q两点同时出发.分别过P、Q两点作PE⊥l于E,QF⊥l于F.设点P的运动时间为t(秒):(1)当P、Q两点相遇时,求t的值;(2)在整个运动过程中,求CP的长(用含t的代数式表示);(3)当△PEC与△QFC全等时,直接写出所有满足条件的CQ的长.【例3】(2020·惠州市月考)如图,在△ABC中,AB=AC=18cm,BC=10cm,∠B=∠C,AD=2BD.如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动.(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过2s后,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由;(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使△BPD与△CQP 全等?(3)若点Q以(2)中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿△ABC 三边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇?【变式3-1】(2019·山西太原月考)如图1,在长方形ABCD中,AB=CD=5cm,BC=12cm,点P从点B 出发,以2cm/s的速度沿BC向点C运动,设点P的运动时间为ts.(1)PC=___cm;(用含t的式子表示)(2)当t为何值时,△ABP≌△DCP?.(3)如图2,当点P从点B开始运动,此时点Q从点C出发,以vcm/s的速度沿CD向点D运动,是否存在这样的v值,使得某时刻△ABP与以P,Q,C为顶点的直角三角形全等?若存在,请求出v的值;若不存在,请说明理由.【变式3-2】(2020·四川成都)如图,已知四边形ABCD中,AB=12厘米,BC=8厘米,CD=14厘米,∠B=∠C,点E为线段AB的中点.如果点P在线段BC上以3厘米秒的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CD上由C点向D点运动.当点Q的运动速度为_____厘米/秒时,能够使△BPE与以C、P、Q 三点所构成的三角形全等.【习题精练】=,BC6=,线段PQ=AB,1.(2020·江苏东台月考)如图,有一个直角三角形ABC,∠C=90°,AC10点Q在过点A且垂直于AC的射线AX上来回运动,点P从C点出发,沿射线CA以2cm/s的速度运动,问>,才能使△ABC≌△QPA全等.P点运动___________秒时(t0)2.(2020·江苏泰州月考)如图,AB =12,CA ⊥AB 于A ,DB ⊥AB 于B ,且AC =4m ,P 点从B 向A 运动,每分钟走1m ,Q 点从B 向D 运动,每分钟走2m ,P 、Q 两点同时出发,运动_______分钟后△CAP 与△PQB 全等.3.(2020·常州市月考)如图, ADC 中.∠C =90°,AC =10cm ,BC =5cm .AD ⊥AC ,AB =PQ ,P 、Q 两点分别在AC 、AD 上运动,当AQ =_____时,△ABC 才能和△APQ 全等.4.(2020·江西新余期末)如图,ABC ∆中,90ACB ∠=︒,8cm AC =,15cm BC =,点M 从A 点出发沿A C B →→路径向终点运动,终点为B 点,点N 从B 点出发沿B C A →→路径向终点运动,终点为A 点,点M 和N 分别以每秒2cm 和3cm 的运动速度同时开始运动,两点都要到达相应的终点时才能停止运动,分别过M 和N 作ME l ⊥于E ,NF l ⊥于F .设运动时间为t 秒,要使以点M ,E ,C 为顶点的三角形与以点N ,F ,C 为顶点的三角形全等,则t 的值为______.5.(2020·武城县月考)如图,已知四边形ABCD中,AB=12厘米,BC=8厘米,CD=14厘米,∠B=∠C,点E为线段AB的中点.如果点P在线段BC上以3厘米秒的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CD上由C点向D点运动.当点Q的运动速度为多少时,能够使△BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等?6.(2020·盐城市盐都区月考)如图,有一个直角△ABC,∠C=90°,AC=6,BC=3,一条线段PQ=AB,P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动,问:当AP=________时,才能使以点P、A、Q 为顶点的三角形与△ABC全等.7.(2020·四川青羊期中)如图,在△ABC中,已知AB=AC,∠BAC=90°,AH是△ABC的高,AH=4cm,BC=8cm,直线CM⊥BC,动点D从点C开始沿射线CB方向以每秒3厘米的速度运动,动点E也同时从点C开始在直线CM上以每秒1厘米的速度向远离C点的方向运动,连接AD、AE,设运动时间为t(t>0)秒.(1)请直接写出CD、CE的长度(用含有t的代数式表示):CD=cm,CE=cm;(2)当t为多少时,△ABD的面积为12cm2?(3)请利用备用图探究,当t为多少时,△ABD≌△ACE?并简要说明理由.8.(2020·郑州市月考)如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点A 、B 两点的坐标分别A (m ,0),B(0,n ),且|m -n -3|=0,点P 从A 出发,以每秒1个单位的速度沿射线AO 匀速运动,设点P 运动时间为t 秒.(1)求OA 、OB 的长;(2)连接PB ,若△POB 的面积不大于3且不等于0,求t 的范围;(3)过P 作直线AB 的垂线,垂足为D ,直线PD 与y 轴交于点E ,在点P 运动的过程中,是否存在这样的点P ,使△EOP ≌△AOB ?若存在,请求出t 的值;若不存在,请说明理由.9.(2020·宜兴市月考)如图,在△ABC 中,∠BAD =∠DAC ,DF ⊥AB ,DM ⊥AC ,AF =10cm ,AC =14cm ,动点E 以2cm /s 的速度从A 点向F 点运动,动点G 以1cm /s 的速度从C 点向A 点运动,当一个点到达终点时,另一个点随之停止运动,设运动时间为t .(1)求证:AF =AM ;(2)当t 取何值时,△DFE 与△DMG 全等;(3)求证:在运动过程中,不管t 取何值,都有2AED DGC S S =△△.10.(2020·江苏工业园区期末)如图①,将长方形纸片沿对角线剪成两个全等的直角三角形ABC、EDF,其中AB=8cm,BC=6cm,AC=10cm.现将△ABC和△EDF按如图②的方式摆放(点A与点D、点B与点E 分别重合).动点P从点A出发,沿AC以2cm/s的速度向点C匀速移动;同时,动点Q从点E出发,沿射线ED以acm/s(0<a<3)的速度匀速移动,连接PQ、CQ、FQ,设移动时间为ts(0≤t≤5).=3S△BQC,则a=;(1)当t=2时,S△AQF(2)当以P、C、Q为顶点的三角形与△BQC全等时,求a的值;(3)如图③,在动点P、Q出发的同时,△ABC也以3cm/s的速度沿射线ED匀速移动,当以A、P、Q为顶点的三角形与△EFQ全等时,求a与t的值.11.(2019·江苏期末)如图①,在ABC ∆中,12AB =cm ,20BC =cm ,过点C 作射线//CD AB .点M 从点B 出发,以3cm /s 的速度沿BC 匀速移动;点N 从点C 出发,以a cm /s 的速度沿CD 匀速移动.点M 、N 同时出发,当点M 到达点C 时,点M 、N 同时停止移动.连接AM 、MN ,设移动时间为t (s ).(1)点M 、N 从移动开始到停止,所用时间为s ;(2)当ABM ∆与MCN ∆全等时,①若点M 、N 的移动速度相同,求t 的值;②若点M 、N 的移动速度不同,求a 的值;(3)如图②,当点M 、N 开始移动时,点P 同时从点A 出发,以2cm /s 的速度沿AB 向点B 匀速移动,到达点B 后立刻以原速度沿BA 返回.当点M 到达点C 时,点M 、N 、P 同时停止移动.在移动的过程中,是否存在PBM ∆与MCN ∆全等的情形?若存在,求出t 的值;若不存在,说明理由.图①图②12.如图,ABC 中,90ACB ∠=︒,8AC cm =,15BC cm =,点M 从A 点出发沿A →C →B 路径向终点运动,终点为B 点,点N 从B 点出发沿B →C →A 路径向终点运动,终点为A 点,点M 和N 分别以每秒2cm 和3cm 的运动速度同时开始运动,两点都要到达相应的终点时才能停止运动,分别过M 和N 作ME l ⊥于E ,NF l ⊥于F 设运动时间为t 秒,要使以点M ,E ,C 为顶点的三角形与以点N ,F ,C 为顶点的三角形全等,则t 的值为________.13.(2019·湖北襄州)在平面直角坐标系中,点A(0,5),B(12,0),在y轴负半轴上取点E,使OA=EO,作∠CEF=∠AEB,直线CO交BA的延长线于点D.(1)根据题意,可求得OE=;(2)求证:△ADO≌△ECO;(3)动点P从E出发沿E﹣O﹣B路线运动速度为每秒1个单位,到B点处停止运动;动点Q从B出发沿B﹣O﹣E运动速度为每秒3个单位,到E点处停止运动.二者同时开始运动,都要到达相应的终点才能停止.在某时刻,作PM⊥CD于点M,QN⊥CD于点N.问两动点运动多长时间△OPM与△OQN全等?14.(2019·福建省惠安期中)如图,在△ABC中,BC=8cm,AG∥BC,AG=8cm,点F从点B出发,沿线段BC以4cm/s的速度连续做往返运动,同时点E从点A出发沿线段AG以2cm/s的速度向终点G运动,当点E到达点G时,E、F两点同时停止运动,EF与AC交于点D,设点E的运动时间为t(秒)(1)分别写出当0≤t≤2和2<t≤4时线段BF的长度(用含t的代数式表示);(2)当BF=AE时,求t的值;(3)若△ADE≌△CDF,求所有满足条件的t值.15.(2020·无锡市月考)△ABC中,AB=AC=12厘米,∠B=∠C,BC=8厘米,点D为AB的中点.如果点P 在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动.若点Q 的运动速度为_____厘米/秒,△BPD与△CQP全等.16.(2020·广东龙岗期末)直角三角形ABC中,∠ACB=90°,直线l过点C.(1)当AC=BC时,如图①,分别过点A、B作AD⊥l于点D,BE⊥l于点E.求证:△ACD≌△CBE.(2)当AC=8,BC=6时,如图②,点B与点F关于直线l对称,连接BF,CF,动点M从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿AC边向终点C运动,同时动点N从点F出发,以每秒3个单位的速度沿F→C→B→C→F向终点F运动,点M、N到达相应的终点时停止运动,过点M作MD⊥l于点D,过点N 作NE⊥l于点E,设运动时间为t秒.①CM=,当N在F→C路径上时,CN=.(用含t的代数式表示)②直接写出当△MDC与△CEN全等时t的值.17.(2020·青岛市黄岛区月考)如图1,直线AM AN ⊥,AB 平分MAN ∠,过点B 作BC BA ⊥交AN 于点C ;动点E 、D 同时从A 点出发,其中动点E 以2/m s 的速度沿射线AN 方向运动,动点D 以1/m s 的速度运动;已知6AC cm =,设动点D ,E 的运动时间为t .图1备用图(1)试求∠ACB 的度数;(2)当点D 在射线AM 上运动时满足ADB S :2BEC S = :3,试求点D ,E 的运动时间t 的值;(3)当动点D 在直线AM 上运动,E 在射线AN 运动过程中,是否存在某个时间t ,使得ADB 与BEC 全等?若存在,请求出时间t 的值;若不存在,请说出理由.参考答案及解析初中数学中,动点问题是学习的重、难点,在三角形、矩形等一些几何图形上,设计一个或多个动点,探究全等三角形存在性问题,该类题目具有较强的综合性。
AB CDEF三角形与动点问题1、如图,在等腰△ACB 中,AC =BC =5,AB =8,D 为底边AB 上一动点(不与点A ,B 重合),DE ⊥AC ,DF ⊥BC ,垂足分别为E ,F ,则DE +DF = .2、在边长为2㎝的正方形ABCD 中,点Q 为BC 边的中点,点P 为对角线AC 上一动点,连接PB 、PQ ,则△PBQ 周长的最小值为____________㎝(结果不取近似值). 3、如图,将边长为1的等边△OAP 按图示方式,沿x 轴正方向连续翻转2011次,点P 依次落在点P1,P2,P3,P4,…,P2007的位置.试写出P1,P3,P50,P2011的坐标.的坐标.4、如图,在等腰Rt △ABC 中,∠ACB=90°,AC=CB ,F 是AB 边上的中点,点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动,且始终保持AD=CE .连接DE 、DF 、EF . (1)求证:△ADF ≌△CEF (2)试证明△DFE 是等腰直角三角形是等腰直角三角形5、(2009年包头)如图,已知ACB △与DFE △是两个全等的直角三角形,量得它们的斜边长为10cm ,较小锐角为30°,将这两个三角形摆成如图(1)所示的形状,使点B C F D 、、、在同一条直线上,且点C 与点F 重合,将图(1)中的ACB △绕点C 顺时针方向旋转到图(2)的位置,点E 在AB 边上,AC 交DE 于点G ,则线段FG 的长为的长为 cm (保留根号).AEC (F ) DB图(1)EA GBC (F )D 图(2)6、如图1,若△ABC 和△ADE 为等边三角形,M ,N 分别EB ,CD 的中点,易证:CD=BE ,△AMN 是等边三角形.是等边三角形.(1)当把△ADE 绕A 点旋转到图2的位置时,CD=BE 是否仍然成立?若成立请证明,若不成立请说明理由;若不成立请说明理由;(2)当△ADE 绕A 点旋转到图3的位置时,△AMN 是否还是等边三角形?若是,请给出证明,并求出当AB =2AD 时,△ADE 与△ABC 及△AMN 的面积之比;若不是,请说明理由.由.7、如图,已知ABC △中,10AB AC ==厘米,8BC =厘米,点D 为AB 的中点.的中点. (1)如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动,同时,点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动.点运动. ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等,经过1秒后,BPD △与CQP △是否全等,请说明理由;请说明理由;②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等,当点Q 的运动速度为多少时,能够使BPD △与CQP △全等?全等?(2)若点Q 以②中的运动速度从点C 出发,点P 以原来的运动速度从点B 同时出发,都逆时针沿ABC △三边运动,求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇?遇?AQC DB P图1 图2 图3 8、如图,在平面直角坐标系中,矩形AOBC 在第一象限内,E 是边OB 上的动点(不包括端点),作∠AEF = 90°,使EF 交矩形的外角平分线BF 于点F ,设C (m ,n ). (1)若m = n 时,如图,求证:EF = A E AE ; (2)若m ≠n 时,如图,试问边OB 上是否还存在点E ,使得EF = A E AE ?若存在,请求出点E 的坐标;若不存在,请说明理由.的坐标;若不存在,请说明理由.9.(2009年本溪)在ABC △中,AB AC =,点D 是直线BC 上一点(不与B C 、重合),以AD 为一边在AD 的右侧..作ADE △,使AD AE DAE BAC =Ð=Ð,,连接CE . (1)如图1,当点D 在线段BC 上,如果90BAC Ð=°,则BCE Ð= 度;度; (2)设BAC a Ð=,BCE b Ð=.①如图2,当点D 在线段BC 上移动,则a b ,之间有怎样的数量关系?请说明理由;之间有怎样的数量关系?请说明理由; ②当点D 在直线BC 上移动,则a b ,之间有怎样的数量关系?请直接写出你的结论.之间有怎样的数量关系?请直接写出你的结论.A E E A C C D D B B 图1 图2 A A 备用图备用图 B C B C 备用图备用图 xO E BAy CFxOE BAy CFx O EBAy CFOM N xyPCPQ BA MN CPQB A MNCPQB AMNABCDE FGH KMN12345678AB 于点H ,交BK 于点G .(1)求证:BG BH =; (2)求证:AE BG BE +=。
难点探究专题:全等三角形中的动态问题
◆类型一全等三角形中的动点问题
1.如图,在△MAB中,MA=MB,过M点作直线MN交AB于N点.P是直线MN 上的一个动点,在点P移动的过程中,若NA=NB,则∠PAM与∠PBM是否相等?说明理由.
2.如图①,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC(∠ABC=∠ACB=45°),点D为直线BC上一动点(点D不与B,C重合),以AD为边在AD右侧作正方形ADEF,连接CF.
(1)观察猜想:如图①,当点D在线段BC上时,
①BC与CF的位置关系为________;
②线段BC,CD,CF之间的数量关系为______________ (将结论直接写在横线上);
(2)数学思考:如图②,当点D在线段CB的延长线上时,结论①,②是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请你写出正确结论再给予证明.
◆类型二 全等三角形中的动图问题
3.已知等边三角形的三条边相等、三个角都等于60°.如图,△ABC 与△CDE 都是等边三角形,连接AD ,BE.
(1)如果点B ,C ,D 在同一条直线上,如图①所示,试说明:AD =BE ;
(2)如果△ABC 绕C 点转过一个角度,如图②所示,(1)中的结论还能否成立?请说明理由.
◆类型三 全等三角形中的翻折问题
4.如图,将Rt △ABC 沿斜边翻折得到△ADC ,E ,F 分别为DC ,BC 边上的点,且∠EAF =12
∠DAB.试猜想DE ,BF ,EF 之间有何数量关系,并说明理由.
参考答案与解析
1.解:∠P AM =∠PBM .理由如下:∵NA =NB ,MA =MB ,MN 是公共边,
∴△AMN ≌△BMN (SSS),∴∠MAN =∠MBN ,∠MNA =∠MNB .又∵NA =NB ,PN 是公共边,∴△P AN ≌△PBN (SAS),∴∠P AN =∠PBN .∴∠P AM =∠PBM .
2.解:(1)①垂直 ②BC =CD +CF
(2)CF ⊥BC 成立;BC =CD +CF 不成立,正确结论:CD =CF +BC .证明如下:∵正方形ADEF 中,AD =AF ,∠DAF =∠BAC =90°,∴∠BAD =∠CAF .在△DAB 与△F AC 中,⎩⎪⎨⎪⎧AD =AF ,∠BAD =∠CAF ,AB =AC ,
∴△DAB ≌△F AC (SAS),∴∠ABD =∠ACF ,DB =CF .∵∠ACB =∠ABC =45°,∴∠ABD =180°-45°=135°,∴∠BCF =∠ACF -∠ACB =∠ABD -∠ACB =90°,∴CF ⊥BC .∵CD =DB +BC ,DB =CF ,∴CD =CF +BC .
3.解:(1)∵△ABC ,△CDE 都是等边三角形,∴AC =BC ,CD =DE ,∠ACB =∠DCE =60°.∵点B ,C ,D 在同一条直线上,∴∠ACE =60°,∴∠BCE =∠ACD =120°.在△ACD
与△BCE 中,∵⎩⎪⎨⎪⎧AC =BC ,∠ACD =∠BCE ,CD =CE ,
∴△ACD ≌△BCE (SAS).∴AD =BE .
(2)成立.理由如下:∵∠ACB =∠DCE =60°,∴∠ACB +∠ACE =∠DCE +∠ACE ,即∠BCE =∠ACD .又∵AC =BC ,CD =CE ,∴△ACD ≌△BCE ,∴AD =BE .
4.解:DE +BF =EF .理由如下:延长CB 至G ,作∠5=∠1,如图所示.∵将Rt △ABC
沿斜边翻折得到△ADC ,∠EAF =12
∠DAB ,∴AB =AD ,∠ABC =∠ADE =90°,∠2+∠3=∠1+∠4,∴∠ABG =90°=ADE .∵∠5=∠1,∴∠2+∠3=∠4+∠5,∴∠GAF =∠EAF .
在△AGB 和△AED 中,⎩⎪⎨⎪⎧∠GAB =∠EAD ,AB =AD ,∠ABG =∠ADE ,
∴△AGB ≌△AED (ASA),∴AG =AE ,BG =DE .
在△AGF 和△AEF 中,⎩⎪⎨⎪⎧AG =AE ,∠GAF =∠EAF ,AF =AF ,
∴△AGF ≌△AEF (SAS),∴GF =EF ,∴BG +BF
=EF ,∴DE +BF =EF .。