七年级数学上册第四章几何图形初步专题训练十角的计算中的数学思想及动点问题课件新人教版

课堂练习
你能通过三角板画出30°，45°，60°，90°等特殊角吗？
45°
60°
尝试画出30°，90°的特殊角？ 想一想除了这些，还能通过三角板画出哪些特殊角？
课堂练习
如何使通过量角器画一个36°的角？
36°
课堂练习 尝试通过量角器画75°，146°的角？
第四章 几何图形初步
课程结束
人教版七年级（初中）数学上册 授课老师：xx
课堂练习
1)34.6°= 34 ° 36 ′ 2)112.27°= 112 °16 ′ 12 ″
解：（1）34.6°=34°+0.6° =34°+0.6×60′ =34°+36′=34°36′
（2）112.27°=112°+0.27×60′ =112°+16.2′ =112°+16′+0.2×60″ =112°16′12″
角的两边
角的顶点
A
O ∠O和∠AOB
角的常见表示方法：
α B
∠α
1 ∠1
角的表示方法
新知探究
角用“ ∠”表示，读作“ 角”.角的表示方法有下面四种： (1)角可以用三个大写字母表示,但表示顶点的字母一定要写在中间. (2)用一个字母表示角, 必须是以这个字母为顶点的角，而且只有一个. (3)用一个数字表示角,在靠近顶点处画上弧线,写上数字. (4)用一个希腊字母表示,在靠近顶点处画上弧线,写上希腊字母.
把下列结果化为度？ 1）72°42′
解:(1)72°42′=72°+42′ =72°+(42÷60）° =72°+0.7° =72.7°
课堂练习
2）37°14′24″
(2)37°14′24″=37°+14′+24″ =37°+14′+(24÷60)′ =37°+14′+0.4′ =37°+14.4′ =37°+(14.4÷60）° =37°+0.24° =37.24°

解：设 AB＝x cm，则 BC＝2x cm，CD＝3x cm. 由题意得 AB＋BC＋CD＝AD，即 x＋2x＋3x＝24，解得 x＝4. 所以 AB＝4 cm，BC＝8 cm，CD＝12 cm. 因为 M 是 AB 的中点，所以 MB＝12AB＝2 cm，所以 MC＝MB＋BC＝10 cm
第四页，共九页。
1∶2∶3，M是AB的中点(zhōnɡ diǎn)，求MC的长度．
Image
12/10/2021
第九页，共九页。
150°－α
所以 2 ＝150°－3α，解得 α＝30°，即∠AOD＝30°
第六页，共九页。
5．(1)(阿凡题 1071764)如图①，点B是线段AC上的点．AB＝a，M，N分别为AC，BC 的中点(zhōnɡ diǎn)，求MN的长；
(2) 如 图 ② ， ∠ AOB ＝ α.∠BOC 在 ∠ AOB 的 外 部 ， OM 平 分 ∠ AOC ， ON 平 分 ∠ BOC ， 求 ∠MON.
第4章 图形(túxíng)的初步认识
专题(zhuāntí)(十二) 线段、角的计算常用的数学思想
第一页，共九页。
类型1 分类讨论的思想
1．(1)已知∠AOB＝60°，OC是∠AOB的一条(yī tiáo)三等分线，
则∠AOC等于
20°或；40°
(2)已知∠AOB＝3∠BOC，若∠BOC＝30°.
第八页，共九页。
内容(nèiróng)总结
No 第4章 图形的初步认识。专题(十二) 线段、角的计算常用的数学思想。则∠AOC等
于
．。2．已知线段AB＝6 cm，点C在直线AB上，且BC＝2 cm，M为线段AC的中点(zhōnɡ
diǎn)，求线段AM的长．。3．如图，AD＝24 cm，在AD上依次取M，B，C三个点，使AB∶BC∶CD＝

不同.故有1 个说法正确.
答案：A
感悟新知
知1－练
1-1. 下列说法：
①平角就是直线；② 两条射线组成的图形叫角；
③ 角的大小与边的长短无关；
④角的两边是两条线段.
其中正确的有( B )
A. 0 个
B. 1 个
C. 2 个
D. 3 个
感悟新知
知1－练
1-2. 用5 倍的放大镜看10°的角，视察到角的度数为( A )
秒是一样的.
2. 使用三角尺可以画出30°，45°，60°，90°等特殊角，
使用量角器可以画出任意给定度数的角.
感悟新知
知3－练
例 3 计算：
(1)将57.32°用度、分、秒表示；
(2)将10°6′36″用度表示.
解题秘方：利用高级单位和低级单位相互转化的方
法进行计算.
感悟新知
知3－练
解：(1)57.32°
∠ACB ∠ 2 可以表示成________.
感悟新知
知识点 3 角的单位及换算
知3－讲
1. 角的度量单位
度、分、秒是常用的角的度量单位. 把一个周角360
等分，每一份就是1 度的角，记作1°；把1 度的角60 等分，
每一份叫做1 分的角，记作1′；把1 分的பைடு நூலகம்60 等分，每一
份叫做1 秒的角，记作1″ .
个平角. 其中，正确说法的个数为(
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
)
感悟新知
解题秘方：紧扣定义中的关键词进行辨析.
知1－练
解：①是错误的，因为若两条射线无公共端点，则构成的
图形不是角；②是错误的，因为角的大小与所画边的
长短无关；③是正确的；④是错误的，因为直线和平

D
新知探究
比较角的大
试比较∠AOB、∠A’O’B’的大 ？
A’
A
O
B
O’
B’
方法一：度量法
（分别用量角器测量∠AOB、∠A’O’B’的大 ，再进行比较。）
新知探究
比较角的大
试比较∠AOB、∠A’O’B’的大 ？
A
O
B
O’
方法二：叠合法
A
’
尝试画出∠AOB =
∠A’O’B’，∠AOB >
B
’
∠A’O’B’的情况？
第四章 几何图形初步
4.3.2 角 的 比 较 与 运 算
人教版七年级（初中）数学上册
授课老师：
前 言
学习目标
1、比较两个角的大 ，理解角的和差关系。
2、通过动手操作，学会借助三角板拼出不同度数的角。
3、认识角的平分线及角的等分线。
重点难点
重点：学会比较两个角的大 。
难点：认识角的平分线及角的等分线。
∴∠DAB=1 °故选D
C．130°
D．1 °
）
课堂练习
3．如图所示，可以是图中某个角的角平分线的射线是（ ）
A．OA B．OB C．OC D．OD
【详解】
解：依据题意可知∠=∠=3 0 °
则根据角平分线的定义可知OC为∠的平分线
故答案为：C.
第四章 几何图形初步
课 程 结 束
O
C
B
∠AOB= ∠AOC+∠COB
∠AOB= 2∠AOC=2∠COB
1 2 ∠AOB = ∠AOC = ∠COB
新知探究
角平分线
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫这个角的平分线。

情境引入
在小学我们学习过角，请说说你对角的认识。你能在图4-16中找到角吗？
图4-16
获取新知
探究点1：角、平角、周角的概念
角由两条具有公共端点的射线组成(如图4-17)。 角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的(如图4-18)。
A
边
顶点
O
边
B
图4-17
图4-18
角的大小与边 的长短无关。
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游乐园 超市
课堂小结
这节课，你有什么收获？
课堂小结
角的定义
有公共端点的两条射线组成的图形 一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形
平角、周角的 定义
一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫作平角。 终边继续旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫作周角。
角
用三个大写字母或一个大写字母表示
B C
A
图4-21
D
解：（1）∠BAC,∠BAD和∠CAD
(2)∵以点A为顶点的角有3个 ∴∠BAC，∠BAD和∠CAD不能用∠A来表示
例题讲解
例2 下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠0三种方 法表示同一个角的是( D )
[解析]A、图中的∠AOB 不能用∠0 表示，故本选项错误; B、图中的∠1和∠AOB不是表示同一个角，故本选项错误; C、图中的∠1 和∠AOB 不是表示同一个角，故本选项错误; D、图中∠1、∠AOB、∠O 表示同一个角，故本选项正确;
角的表示方法 用一个数字加弧线表示
用一个小写希腊字母加弧线表示
角的度量 方位角
度、分、秒 1°=60′，1′=60″
课堂小结
这节课，你有什么困惑？

新知2 角的表示方法 【例2】如图4-3-2所示，下列表示角的方法错误的是 ( D) A. ∠1与∠AOB表示同一个角 B. ∠β表示的是∠BOC C. 图中共有三个角：∠AOB， ∠AOC，∠BOC D. ∠AOC也可用∠O来表示
新知3 角的分类 【例3】如图4-3-3，写出所有小于平角的角.
【A组】 1. 下列语句正确的是( B ) A. 由两条射线组成的图形叫做角 B. 如图4-3-5，∠A就是∠BAC C. 在∠BAC的边AB延长线上取一 点D D. 对一个角的表示没有要求，可任意书写
2. 下列说法正确的个数有( A ) ①直线是平角;②射线是周角;③平角是一条直线;④周 角是一条直线. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
4. 计算： (1)2.5°=___1_5_0__′； (2)24°30′36″=__2_4_.5_1__°； (3)30.6°=__3_0___°__3_6___′； (4)30°6′=__3_0_.1__°； (5)49°38′+66°22′=__11_6_°__； (6)180°－79°19′=__1_0_0_°_4_1_′__.
3. 角的分类： 平角的一半是__直_角___；小于直角的角叫做__锐__角__； 大于直角而小于平角的角叫做__钝__角___. 所以小于平角 的角分为__锐__角_、__直__角__、__钝_角___. 它们之间的关系是： 1周角=__2___平角=__4___直角=__3_6_0_°__，1平角= __2____直角=__1_8_0_°_，1直角=__9_0_°___.
4. 请将图4-3-1中的角用不同方法表示出来，并填写 下表：
∠ABC ∠ACB ∠ACF
∠α
∠A
5. 计算： 65.24°=__6_5___°___1_4__′ __2_4下列说法正确的是( B ) ①两条射线所组成的图形叫角；②角的大小与边的长 短无关；③角的两边可以一样长，也可以一长一短； ④角的两边是两条射线. A. ①② B. ②④ C. ②③ D. ③④

类型二：方程思想
11．如图，已知点O是直线AD上的点，∠AOB，∠BOC，∠COD三个角 从小到大依次相差25°，则这三个角的度数分别为___3_5_°__，__6_0_°__，__8_5_°.
12．如图，已知∠AOC∶∠BOC＝1∶4，OD平分∠AOB，且 ∠COD＝36°，求∠AOB的度数．
14．如图，已知∠AOE是平角，∠DOE＝20°，OB平分∠AOC，且 ∠COD∶∠BOC＝2∶3，求∠BOC的度数．
解：设∠COD＝2x°，则∠BOC＝3x°，因为OB平分∠AOC，所以 ∠AOB＝3x°，所以2x＋3x＋3x＋20＝180，解得x＝20，所以∠BOC＝ 3×20°＝60°
15．如图，已知∠AOE＝130°，∠AOB∶∠BOC＝2∶1，且3∠COE＝ 2∠AOB，求∠AOB的度数．
解：设∠BOC＝x°，则∠AOB＝2x°.因为 3∠COE＝2∠AOB，所 以∠COE＝23∠AOB＝43x°.因为∠AOE＝∠AOB＋∠BOC＋∠COE，所以 130＝2x＋x＋43x，解得 x＝30，所以∠AOB＝2x°＝60°
类型三：分类思想
16．在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC，OD，使∠COD＝ 90°，当∠AOC＝30°时，∠BOD的度数是_6_0_°__或__1_2_0_°__.
19．已知∠BOC在∠AOB的外部，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC， OD平分∠AOC，∠AOE＝30°，∠BOD＝20°，试求∠COF的度数．
解：①当∠AOB 大于∠BOC 时，如图①，∠BOE＝∠AOE＝30°，∠ BOD＝20°，所以∠DOE＝10°，∠AOD＝40°，因为∠COD＝∠AOD ＝40°，∠BOD＝20°，所以∠BOC＝20°，从而∠COF＝12×20°＝10 °

角度是
（D ）
A．90° B．100° C．105° D．115°
练
1、甲、乙、丙、丁，四名学生在判断钟表的分针和时 针互相垂直的时刻时，每人说了两个时刻，说法都对的 是（ D ） A．甲：“3时整和3时30分” B．乙说“6时15分和6时45分” C．丙说“9时整和12时15分” D．丁说：“3时整和9时整”
学
角的表示方法
1 α
O
A C
B
2. 用一个数字表示， 如∠1；
3. 用小写希腊字母表示， 如∠α.
用数字或希腊字母 表示角时，一定要在图形
中用角弧标出.
练
练一练
1.判断下列哪些图形是角
(√ )
(×)
(√ )
(√ )
练
2.下列说法正确的是
A. 平角是一条直线 B. 一条射线是一个周角 C. 两条射线组成的图形叫做角 D. 两边成一直线的角是平角
洋葱微视频 角的概念
学
知识要点
角的有关概念
静态定义：
有公共端点的两条射线组成的图形，叫做角.
两条射线 —角的边 公共端点 —角的顶点
议
动态定义：角也可以看做由一条射线绕着它的端 点旋转所形成的图形.
想一想：如图，射线 OA 绕点 O 旋转，当终止位置 OB 和 起始位置 OA 成一条直线时，形成什么角？继续旋转， OB 和 OA 重合时，又形成什么角？
A
问图中一共有多少个角？
如果是画2条、3条呢？
答案：3个，6个，10个.
O
B
(2) ∠AOB内部画99条射线，问图中一共
有多少个角？如果是 (n－1)条呢？ A
答案：5050个，(1+2+3+…+n)个.

1
AOB = BOC = 2 AOC AOC=2 AOB=2 BOC（ 角平分线的定
人教版七年级数学上册第四章几何图形初步认识
填空：
D (1) 如图 AOB = BOC = COD，
OB 是 AOC 的平分线，
C B
BOC =
1 2
AOC，
1
A
BOC = 2 BOD,
1
O
BOC = 2
AOC =
1 2
当 1 = 2 时，射线OB把 AOC分成两个相等 的角，这时OB叫做 AOC 的平分线，也可以说OB平 分 AOC.
人教版七年级数学上册第四章几何图形初步认识
定义：在角的内部，自顶点引一条射线把这个角分成两
个相等的角，那么，这条射线叫做角的平分线.
如图：
或 义）.
OB 平分 AOC （ 已知 ），
（角的和差关系），
∠BOD=2∠AOB，
∴∠AOB= 1 ∠AOD=38°，
3
∵OC平分∠AOD，
∴∠AOC=
1 2
∠AOD=57°
D
（角平分线的定义），
∴∠BOC=∠AOC－∠AOB =57°－38° =19°（角的和差关系）.
人教版七年级数学上册第四章几何图形初步认识
5.如图所示，∠AOB=∠ COD=90°， ∠AOD=146°， ∠BOC= 34° .
D
C (F) D A C (F)
人教版七年级数学上册第四章几何图形初步认识
A (D)
B (E)
C (F)
(3)∠ABC = ∠DEF
人教版七年级数学上册第四章几何图形初步认识
估计图中∠1与∠2的大小关系,并用适当的方法检验.
2 1

B. 35.5°＝35°50′
C. 35.5°＜35.5′
D. 35.5°＞35°5′
11. 钟表在8：25时，时针与分针所夹角的度数为
()
B
A. 101.5°
B. 102.5°
C. 120°
D. 125°
12. 计算：(1) 50°－15°30′＝ 34°30；′
(2) 38°7′4″＋59°28′59″－61°5′9″＝
M
1
P N
D．图中共有三个角∠MON，∠POM，∠PON.
5.把2.36°用度、分、秒表示，正确的是（ A ）
A．2°21′36″
B．2°18′36″
C．2°30′60″
D．2°3′6″
6.若∠A=20°18′，∠B=20°15′，∠C=20.25°，则有（ C ）
A．∠A＞∠B＞∠C
B．∠B＞∠A=∠C
16. 计算： (1) 180°－46°42′； 133°18′
(2) 132°20′56″＋35°42′18″； 168°3′14″
(3) 50°24′×3； 151°12′
(4) 33°18′32″×5； 166°32′40″
(5) 97°40′÷6； 16°16′40″
(6) 13°16′×5－19°12′÷6. 63°8′
2. 已知∠A＝45°18′，∠B＝45°15′30″，∠C＝45.15°，则 ( ) AA. ∠A＞∠ຫໍສະໝຸດ ＞∠CB. ∠B＞∠A＞∠C
C. ∠A＞∠C＞∠B
D. ∠C＞∠A＞∠B
3. 用一副三角尺不能画出的角的度数是
()
C
A. 75°
B. 105°
C. 110°
D. 135°

知识拓展
角的分类 角按度数可分为五类:其中,大于0°而小于90°的角叫做锐角,如图(1);等于90°的角叫做直角,如图(2);大于90°而小于180°的角叫做 钝角,如图(3);等于180°的角叫做平角,如图(4);等于360°的角叫做周角,如图(5).
精选教育课件
2
例1 下列说法正确的有 ( ) ①两条射线组成的图形是角;②角的大小与边的长短有关;③角的两边 可以画得一样长,也可以一长一短;④角的两边是两条射线;⑤因为平角 的两边成一条直线,所以一条直线可以看成一个平角;⑥周角是一条射 线. A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
精选教育课件
6
知识点二 角的度量与换算
角的 度量 单位
把一个周角360等分,每一份就是1度的角,记作1°; 把1度的角60等分,每一份叫做1分的角,记作1'; 把1'的角60等分,每一份叫做1秒的角,记作1″
角的 换算
1°=60',1'=60″; 1周角=360°,1周角=2平角=4直角; 1平角=180°,1平角=2直角
解析 (1)因为钟表的表面有12个大格,每个大格对应的夹角均为360°÷
12=30°,7时整,时针和分针之间相差5个大格,
所以7时整,时针与分针的夹角是5×30°=150°.
(2)时针12个小时转一圈,360°÷12=30°,
所以它转动的速度是每小时30°.
条边
经过的平面部分是角的内部,未经过的部分是角的外部
重要提示
(1)我们平时画角时,只画角的一部分来研究角,而角的定义中边是两条射线,也就是说这两条边可以无限延伸. (2)角的大小只与构成角的两条射线张开的幅度大小有关. (3)角的符号是“∠”,而不能写成“<”. (4)没有特殊说明时,所说的角都是指小于180°的角. (5)因为平角的两条边在同一条直线上,周角的两条边互相重合,所以容易误认为平角是一条直线,周角是一条射线

（2）90°－37°24′38″ ＝89°59′60″－37°24′38″＝52°35′22″
（3）25°53′28″×5 ＝25°×5＋53′×5＋28″×5 ＝125°＋265′＋140″＝129°27′20″
做一做
解:（4）15°20′÷6 ＝12°200′÷6 ＝12°÷6＋200′÷6 ＝2°＋198′÷6＋2′÷6 ＝2°＋33′＋120″÷6 ＝2°33′20″.
第四章 几何图形初步
4.4 角
部编版七年级数学上册
学习目标
1. 理解角的概念，掌握角的表示方法。（重点） 2. 会正确使用量角器，认识角的常用度量单位。 3. 会进行度、分、秒的简单换算。（难点）
导入新课
你能不能从图中找到角？
角的概念及表示方法
合作探究
A
E
O
B
D
C
(1)你能指出所画角的边和顶点吗？ (2)角的两边是前面学过的什么图形，它们的位置关系如何？ (3)你能描述一下怎样的几何图形叫做角吗？
说一说
A
O
B
记作：∠AOB或∠BOA．
A
O
B
记作：∠O．
α
记作：∠α．
1
记作：∠1．
角的表示方法总结
方法
用三个大写字母 表示
用一个大写字母 表示
图标 A
O
B
O
用一个数字或希
腊字母来表示 1
记法
适用范围 任何角 顶点处只有一个角
有弧线和数字 弧线和小写希腊字母
试一试
用适当方式分别表示下图中的每个角.
解:（1）48.26°＝48°＋0.26×60′＝48°15′＋0.6×60″＝ 48°15′36″

1 (3)设∠AOM＝4x° ，则∠NOC＝ ∠AOM＝x° .∵∠AOM＋∠MON＋∠NOC 4 ＋∠BOC＝180° ，∴4x＋90＋x＋65＝180，解得 x＝5，∴∠NOC＝5° ，∴ ∠NOB＝∠NOC＋∠BOC＝70° .
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4
强化角度 2
整体思想在几何计算中的应用
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7
6．已知线段 AB＝14，在 AB 上有 C、D、M、N 四点，且满足 AC∶CD∶ 1 1 DB＝1∶2∶4，AM＝ AC，DN＝ DB，求线段 MN 的长． 2 6
解：根据已知 AB＝14，在 AB 上有 C、D、M、N 四点在线段上，且 AC∶ CD∶DB＝1∶2∶4，所以 AC＝ 1 ×14＝2，CD＝2AC＝4，DB＝4AC 1＋2＋4
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6
(2)当∠AOB 小于∠BOC 时，如图②所示，∠BOE＝∠AOE＝30° ，∠BOD ＝20° ，∠AOD＝80° ，∵∠COD＝∠AOD＝80° ，∠BOD＝20° ，∴∠BOC 1 1 ＝100° ，从而∠COF＝ ∠BOC＝ ×100° ＝50° . 2 2 故∠COF 的度数为 10° 或 50° .
1 1 1 1 1 1 解：(1)因为 MC＝ AC，NC＝ BC，所以 MN＝ AC＋ BC＝ ×12＋ ×8 2 2 2 2 2 2 ＝10； 1 (2)猜想 MN＝ a.线段上任一点分线段所得两条线段的中点之间的距离等于 2 原线段长度的一半．
最新中小学PPT课件资料 10
8．如图①，已知∠AOB＝150° ，∠COE 与∠EOD 互余，OE 平分∠AOD. (1)在图①中，若∠COE＝32° ，则∠DOE＝ 58° ；∠BOD＝ 34° ；

②因为∠AOC＝∠COE－∠AOE＝140°－ ∠AOE，∠BOE＝90°－∠AOE，所以 ∠AOC－∠BOE＝(140°－∠AOE)－(90°－∠AOE)＝50°，所以∠AOC－∠BOE的度数 为50°
第十四页，共十五页。
内容(nèiróng)总结
No 第四章 几何图形(jǐhé tú xíng)初步。专题训练(十) 角的计算中的数学思想及动点问题。
第四章 几何图形(jǐhé tú xíng)初步
专题训练(十) 角的计算中的数学思想(sīxiǎng)及动点问题
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类型一 直接(zhíjiē)计算 1．如图，∠AOC＝∠BOD，∠AOD＝120°， ∠BOC＝70°，求∠AOB的度数．
解：因为∠AOB＝AOC－∠BOC，∠DOC＝∠BOD－∠BOC，又因为 ∠AOC＝∠BOD，所以∠AOB＝∠COD，因为∠AOB＋∠BOC＋∠COD＝ ∠AOD，所以∠AOB＝12 (∠AOD－∠BOC)＝12 (120°－70°)＝25°
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3．如图，∠AOB∶∠BOC∶∠COD＝4∶5∶3， OM平分(píngfēn)∠AOD，∠BOM＝20°，求∠AOD和∠MOC的度数.
解：设∠AOB＝4x，∠BOC＝5x，∠COD＝3x，所以∠AOD＝12x，因 为 OM 平分∠AOD，所以∠AOM＝12 ∠AOD＝6x，由题意得，6x－4x＝20 °，解得 x＝10°，所以∠AOD＝12x＝120°，∠BOC＝5x＝50°，所以 ∠MOC＝∠BOC－∠BOM＝30°
8．如图①，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，将一直角三角板 AOB(∠OAB＝30°)的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线 DE上方．将直角三角板绕着点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t 秒．