2021届广东省深圳市宝安区西乡中学高一第一学期数学期末考前冲刺试题

2020-2021深圳市高级中学高中必修一数学上期末模拟试题带答案一、选择题1．设集合{}1|21x A x -=≥，{}3|log ,B y y x x A ==∈，则B A =ð（ ）A ．()0,1B ．[)0,1C ．(]0,1D ．[]0,12．已知函数1()log ()(011a f x a a x =>≠+且）的定义域和值域都是[0，1]，则a=（ ） A ．12B ．2C ．2 D ．23．在实数的原有运算法则中，补充定义新运算“⊕”如下：当a b ≥时，a b a ⊕=；当a b <时，2a b b ⊕=，已知函数()()()[]()1222,2f x x x x x =⊕-⊕∈-，则满足()()13f m f m +≤的实数的取值范围是（ ）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦4．德国数学家狄利克在1837年时提出：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，则y 是x 的函数，”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，有一个确定的y 和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象，表格述是其它形式已知函数f （x ）由右表给出，则1102f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35．若函数()2log ,?0,? 0x x x f x e x >⎧=⎨≤⎩，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．1eB ．eC ．21e D ．2e6．把函数()()2log 1f x x =+的图象向右平移一个单位，所得图象与函数()g x 的图象关于直线y x =对称；已知偶函数()h x 满足()()11h x h x -=--，当[]0,1x ∈时，()()1h x g x =-；若函数()()y k f x h x =⋅-有五个零点，则正数k 的取值范围是（ ） A ．()3log 2,1B ．[)3log 2,1C ．61log 2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．61log 2,2⎛⎤ ⎥⎝⎦7．设函数()()212log ,0,log ,0.x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,则实数的a 取值范围是( )A ．()()1,00,1-⋃B ．()(),11,-∞-⋃+∞C ．()()1,01,-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-⋃8．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为0ktP P e -=⋅（k 为常数，0P 为原污染物总量）.若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤n 小时，则正整数n 的最小值为（ ）（参考数据：取5log 20.43=） A ．8B ．9C ．10D ．149．用二分法求方程的近似解，求得3()29f x x x =+-的部分函数值数据如下表所示：则当精确度为0.1时，方程3290x x +-=的近似解可取为 A ．1.6B ．1.7C ．1.8D ．1.910．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y 11．已知定义在R 上的函数()f x 在(),2-∞-上是减函数，若()()2g x f x =-是奇函数，且()20g =，则不等式()0xf x ≤的解集是（ ）A ．][(),22,-∞-⋃+∞B ．][)4,20,⎡--⋃+∞⎣C ．][(),42,-∞-⋃-+∞D ．][(),40,-∞-⋃+∞12．对任意实数x ，规定()f x 取4x -，1x +，()152x -三个值中的最小值，则()f x （ ）A ．无最大值，无最小值B ．有最大值2，最小值1C ．有最大值1，无最小值D ．有最大值2，无最小值二、填空题13．若函数(),021,01x x f x x mx m ≥⎧+=⎨<+-⎩在(),∞∞-+上单调递增，则m 的取值范围是__________．14．设定义在[]22-,上的偶函数()f x 在区间[]0,2上单调递减，若()()1f m f m -<，则实数m 的取值范围是________．15．对于复数a bc d ，，，，若集合{}S a b c d =，，，具有性质“对任意x y S ∈，，必有xy S ∈”，则当221{1a b c b===，，时，b c d ++等于___________16．若点(4,2)在幂函数()f x 的图像上，则函数()f x 的反函数1()f x -=________. 17．已知函数1()41xf x a =+-是奇函数，则的值为________. 18．函数()()()310310x x x f x x -⎧+<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若函数y m =的图像与函数()y f x =的图像有公共点，则m 的取值范围是______. 19．设是两个非空集合，定义运算．已知，，则________.20．()()sin cos f x x π=在区间[]0,2π上的零点的个数是______.三、解答题21．已知函数()log (12)a f x x =+，()log (2)a g x x =-，其中0a >且1a ≠，设()()()h x f x g x =-.(1)求函数()h x 的定义域; (2)若312f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，求使()0h x <成立的x 的集合. 22．已知函数22()21x xa f x ⋅+=-是奇函数. (1)求a 的值;(2)求解不等式()4f x ≥;(3)当(1,3]x ∈时，()2(1)0f txf x +->恒成立，求实数t 的取值范围.23．已知函数()()4412log 2log 2f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）当[]2,4x ∈时，求该函数的值域；（2）求()f x 在区间[]2,t （2t >)上的最小值()g t . 24．已知函数2()1()f x x mx m =-+∈R ．（1）若函数()f x 在[]1,1x ∈-上是单调函数，求实数m 的取值范围； （2）若函数()f x 在[]1,2x ∈上有最大值为3，求实数m 的值．25．已知函数2,,()lg 1,,x x m f x x x m ⎧⎪=⎨+>⎪⎩„其中01m <„.（Ⅰ）当0m =时，求函数()2y f x =-的零点个数；（Ⅱ）当函数2()3()y f x f x =-的零点恰有3个时，求实数m 的取值范围. 26．已知函数()log (1)2a f x x =-+（0a >，且1a ≠），过点(3,3). （1）求实数a 的值；（2）解关于x 的不等式()()123122xx f f +-<-.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】先化简集合A,B,再求B A ð得解. 【详解】由题得{}10|22{|1}x A x x x -=≥=≥，{}|0B y y =≥.所以{|01}B A x x =≤<ð. 故选B 【点睛】本题主要考查集合的化简和补集运算，考查指数函数的单调性和对数函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2．A解析：A 【解析】 【分析】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数，但在[0，1]上为减函数，得0<a<1，把x=1代入即可求出a 的值．【详解】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数，但在[0，1]上为减函数，∴0<a<1，当x=1时，1(1)log ()=-log 2=111a a f =+, 解得1=2a ， 故选A ．本题考查了函数的值与及定义域的求法，属于基础题，关键是先判断出函数的单调性． 点评：做此题时要仔细观察、分析，分析出(0)=0f ，这样避免了讨论．不然的话，需要讨论函数的单调性.3．C解析：C 【解析】当21x -≤≤时，()1224f x x x =⋅-⨯=-； 当12x <≤时，()23224f x x x x =⋅-⨯=-；所以()34,214,12x x f x x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩， 易知，()4f x x =-在[]2,1-单调递增，()34f x x =-在(]1,2单调递增， 且21x -≤≤时，()max 3f x =-，12x <≤时，()min 3f x =-，则()f x 在[]22-,上单调递增， 所以()()13f m f m +≤得：21223213m m m m-≤+≤⎧⎪-≤≤⎨⎪+≤⎩，解得1223m ≤≤，故选C ．点睛：新定义的题关键是读懂题意，根据条件，得到()34,214,12x x f x x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩，通过单调性分析，得到()f x 在[]22-,上单调递增，解不等式()()13f m f m +≤，要符合定义域和单调性的双重要求，则21223213m m m m -≤+≤⎧⎪-≤≤⎨⎪+≤⎩，解得答案．4．D解析：D 【解析】 【分析】采用逐层求解的方式即可得到结果. 【详解】∵(] 121∈-∞，，∴112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 则110102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴()1(())21010f f f =，又∵[)102∈+∞，，∴()103f =，故选D ． 【点睛】本题主要考查函数的基础知识，强调一一对应性，属于基础题．5．A解析：A 【解析】 【分析】直接利用分段函数解析式，认清自变量的范围，多重函数值的意义，从内往外求，根据自变量的范围，选择合适的式子求解即可. 【详解】因为函数2log ,0(),0x x x f x e x >⎧=⎨≤⎩，因为102>，所以211()log 122f ==-，又因为10-<，所以11(1)f ee--==， 即11(())2f f e=，故选A. 【点睛】该题考查的是有关利用分段函数解析式求函数值的问题，在解题的过程中，注意自变量的取值范围，选择合适的式子，求解即可，注意内层函数的函数值充当外层函数的自变量.6．C解析：C 【解析】分析：由题意分别确定函数f (x )的图象性质和函数h (x )图象的性质，然后数形结合得到关于k 的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果.详解：曲线()()2log 1f x x =+右移一个单位，得()21log y f x x =-=， 所以g (x )=2x ，h (x -1)=h (-x -1)=h (x +1)，则函数h (x )的周期为2. 当x ∈[0,1]时，()21xh x =-，y =kf (x )-h (x )有五个零点，等价于函数y =kf (x )与函数y =h (x )的图象有五个公共点. 绘制函数图像如图所示，由图像知kf （3）<1且kf （5）>1，即：22log 41log 61k k <⎧⎨>⎩，求解不等式组可得：61log22k <<. 即k 的取值范围是612,2log ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查函数图象的平移变换，函数的周期性，函数的奇偶性，数形结合解题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】因为函数()()212log ,0,log ,0.x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,所以220log log a a a >⎧⎨>-⎩或()()122log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩，解得1a >或10a -<<，即实数的a 取值范围是()()1,01,-⋃+∞，故选C. 8．C解析：C 【解析】 【分析】根据已知条件得出415ke-=，可得出ln 54k =，然后解不等式1200kte -≤，解出t 的取值范围，即可得出正整数n 的最小值. 【详解】由题意，前4个小时消除了80%的污染物，因为0ktP P e -=⋅，所以()400180%kP Pe --=，所以40.2k e -=，即4ln0.2ln5k -==-，所以ln 54k =， 则由000.5%ktP P e -=，得ln 5ln 0.0054t =-， 所以()23554ln 2004log 2004log 52ln 5t ===⨯5812log 213.16=+=， 故正整数n 的最小值为14410-=.故选：C. 【点睛】本题考查指数函数模型的应用，涉及指数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.9．C解析：C 【解析】 【分析】利用零点存在定理和精确度可判断出方程的近似解. 【详解】根据表中数据可知()1.750.140f =-<，()1.81250.57930f =>，由精确度为0.1可知1.75 1.8≈，1.8125 1.8≈，故方程的一个近似解为1.8，选C. 【点睛】不可解方程的近似解应该通过零点存在定理来寻找，零点的寻找依据二分法（即每次取区间的中点，把零点位置精确到原来区间的一半内），最后依据精确度四舍五入，如果最终零点所在区间的端点的近似值相同，则近似值即为所求的近似解.10．D解析：D 【解析】试题分析:因函数lg 10xy =的定义域和值域分别为,故应选D ．考点：对数函数幂函数的定义域和值域等知识的综合运用．11．C解析：C 【解析】 【分析】由()()2g x f x =-是奇函数，可得()f x 的图像关于()2,0-中心对称，再由已知可得函数()f x 的三个零点为-4，-2，0，画出()f x 的大致形状，数形结合得出答案. 【详解】由()()2g x f x =-是把函数()f x 向右平移2个单位得到的，且()()200g g ==，()()()4220f g g -=-=-=，()()200f g -==，画出()f x 的大致形状结合函数的图像可知，当4x ≤-或2x ≥-时，()0xf x ≤，故选C. 【点睛】本题主要考查了函数性质的应用，作出函数简图，考查了学生数形结合的能力，属于中档题.12．D解析：D 【解析】 【分析】由题意画出函数图像，利用图像性质求解 【详解】画出()f x 的图像，如图（实线部分），由()1152y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩得()1,2A ． 故()f x 有最大值2，无最小值 故选：D【点睛】本题主要考查分段函数的图像及性质，考查对最值的理解，属中档题．二、填空题13．【解析】【分析】由题意根据函数在区间上为增函数及分段函数的特征可求得的取值范围【详解】∵函数在上单调递增∴函数在区间上为增函数∴解得∴实数的取值范围是故答案为【点睛】解答此类问题时要注意两点：一是根 解析：(0,3]【解析】 【分析】由题意根据函数1y mx m =+-在区间(),0-∞上为增函数及分段函数的特征，可求得m 的取值范围． 【详解】∵函数(),021,01x x f x x mx m ≥⎧+=⎨<+-⎩在(),-∞+∞上单调递增，∴函数1y mx m =+-在区间(),0-∞上为增函数， ∴01212m m >⎧⎨-≤+=⎩，解得03m <≤， ∴实数m 的取值范围是(0,3]． 故答案为(0,3]． 【点睛】解答此类问题时要注意两点：一是根据函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增得到在定义域的每一个区间上函数都要递增；二是要注意在分界点处的函数值的大小，这一点容易忽视，属于中档题．14．【解析】【分析】由题意知函数在上是减函数在上是增函数其规律是自变量的绝对值越小其函数值越大由此可直接将转化成一般不等式再结合其定义域可以解出的取值范围【详解】解：函数是偶函数定义在上的偶函数在区间上解析：11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】由题意知函数在[]0,2上是减函数，在[]2,0-上是增函数，其规律是自变量的绝对值越小，其函数值越大，由此可直接将(1)()f m f m -<转化成一般不等式，再结合其定义域可以解出m 的取值范围 【详解】解：Q 函数是偶函数， (1)(|1|)f m f m ∴-=-，()(||)f m f m =， Q 定义在[]22-,上的偶函数()f x 在区间[]0,2上单调递减，(1)()f m f m -<，0|||1|2m m ∴<-剟，得112m -<…． 故答案为：11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题考点是奇偶性与单调性的综合，考查利用抽象函数的单调性解抽象不等式，解决此类题的关键是将函数的性质进行正确的转化，将抽象不等式转化为一般不等式求解．本题在求解中有一点易疏漏，即忘记根据定义域为[]22-,来限制参数的范围．做题一定要严谨，转化要注意验证是否等价．15．-1【解析】由题意可得：结合集合元素的互异性则：由可得：或当时故当时故综上可得：解析：-1 【解析】由题意可得：21,1b a == ，结合集合元素的互异性，则：1b =- ， 由21c b ==- 可得：c i = 或c i =- ， 当c i = 时，bc i S =-∈ ，故d i =- ， 当c i =- 时，bc i S =∈ ，故d i = ， 综上可得：1b c d ++=- .16．【解析】【分析】根据函数经过点求出幂函数的解析式利用反函数的求法即可求解【详解】因为点在幂函数的图象上所以解得所以幂函数的解析式为则所以原函数的反函数为故答案为：【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式 解析：2(0)x x ≥【解析】 【分析】根据函数经过点(4,2)求出幂函数的解析式，利用反函数的求法，即可求解． 【详解】因为点(4,2)在幂函数()()f x x R αα=∈的图象上，所以24α=，解得12α=， 所以幂函数的解析式为12y x =， 则2x y =，所以原函数的反函数为12()(0)f x x x -=≥．故答案为：12()(0)f x x x -=≥【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式的求法，以及反函数的求法，其中熟记反函数的求法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．17．【解析】函数是奇函数可得即即解得故答案为解析：12【解析】 函数()141x f x a =+-是奇函数，可得()()f x f x -=-，即114141x x a a -+=----，即41214141x x x a =-=--，解得12a =，故答案为12 18．【解析】【分析】作出函数的图象如下图所示得出函数的值域由图象可得m 的取值范围【详解】作出函数的图象如下图所示函数的值域为由图象可得要使函数的图像与函数的图像有公共点则m 的取值范围是故答案为：【点睛】 解析：[)()0,11,2⋃【解析】 【分析】作出函数()f x 的图象如下图所示，得出函数()f x 的值域，由图象可得m 的取值范围. 【详解】作出函数()f x 的图象如下图所示，函数()f x 的值域为[)()0,11,2⋃，由图象可得要使函数y m =的图像与函数()y f x =的图像有公共点，则m 的取值范围是[)()0,11,2⋃， 故答案为：[)()0,11,2⋃.【点睛】本题考查两函数图象交点问题，关键在于作出分段函数的图象，运用数形结合的思想求得范围，在作图象时，注意是开区间还是闭区间，属于基础题.19．01∪2+∞【解析】【分析】分别确定集合AB 然后求解A×B 即可【详解】求解函数y=2x-x2的定义域可得：A=x|0≤x≤2求解函数y=2xx>0的值域可得B=x|x>1则A ∪B=x|x≥0A ∩B= 解析：【解析】 【分析】分别确定集合A ,B ，然后求解即可.【详解】 求解函数的定义域可得：,求解函数的值域可得，则，结合新定义的运算可知：，表示为区间形式即.【点睛】本题主要考查集合的表示及其应用，新定义知识的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20．5【解析】【分析】由求出的范围根据正弦函数为零确定的值再由三角函数值确定角即可【详解】时当时的解有的解有的解有故共有5个零点故答案为：5【点睛】本题主要考查了正弦函数余弦函数的三角函数值属于中档题解析：5 【解析】 【分析】由[]0,2x π∈，求出cos x π的范围，根据正弦函数为零，确定cos x 的值，再由三角函数值确定角即可. 【详解】cos x πππ-≤≤Q ,()()sin cos 0f x x π∴==时, cos 0x =,1,1-，当[]0,2x π∈时，cos 0x =的解有3,22ππ，cos 1x =-的解有π， cos 1x =的解有0,2π,故共有30,,,,222ππππ5个零点， 故答案为：5 【点睛】本题主要考查了正弦函数、余弦函数的三角函数值，属于中档题.三、解答题21．(1)1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭;(2)1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】(1)由真数大于0列出不等式组求解即可； (2)由312f ⎛⎫=-⎪⎝⎭得出14a =，再利用对数函数的单调性解不等式即可得出答案. 【详解】(1)要使函数有意义，则12020x x +>⎧⎨->⎩，即122x -<<，故()h x 的定义域为1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭. (2)∵312f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴log (13)log 41a a +==-， ∴14a =， ∴1144()log (12)log (2)h x x x =+--，∵()0h x <，∴0212x x <-<+，得123x <<， ∴使()0h x <成立的的集合为1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了求对数型函数的定义域以及由对数函数的单调性解不等式，属于中档题. 22．(1)2a =;(2)}{20log 3x x <≤;(3)1,4t ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭【解析】 【分析】(1)由奇函数的性质得出a 的值；(2)结合()f x 的解析式可将()4f x ≥化为32021xx -≥-，解不等式即可得出答案；(3)利用函数()f x 在(1,3]x ∈上的单调性以及奇偶性将()2(1)0f tx f x +->化为21tx x <-，分离参数t 结合二次函数的性质得出实数t 的取值范围.【详解】(1)根据题意，函数222222()()211212x x x x x xa a a f x f x --⋅++⋅⋅+-===-=---∴2a =.(2)222()421x xf x ⋅+=≥-，即21221x x +≥-，即2132202121x x x x +--=≥-- 即()()32210210x xx ⎧--≥⎪⎨-≠⎪⎩，解得：132x <≤，得20log 3x <≤.(3)22222244()2212121x x x x xf x ⋅+⋅-+===+--- 故()f x 在(1,3]x ∈上为减函数2()(1)0f tx f x +->，即2()(1)(1)f tx f x f x >--=-即21tx x <-，221111124t x x x ⎛⎫<-=-- ⎪⎝⎭又(1,3]x ∈，11,13x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故14t <-综上1,4t ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了由函数的奇偶性求解析式以及利用单调性解不等式，属于中档题.23．（1）1,08⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）()2442log 3log 1,21,8t t t g t t ⎧-+<<⎪=⎨-≥⎪⎩【解析】 【分析】(1)令4log m x =,则可利用换元法将题转化为二次函数值域问题求解; (2)根据二次函数的性质,分类讨论即可. 【详解】(1)令4log m x =,则[]2,4x ∈时,1,12m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则()()22131()222312248f x h m m m m m m ⎛⎫⎛⎫==--=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 故当34m =时,()f x 有最小值为18-,当12m =或1时,()f x 有最大值为0, ∴该函数的值域为1,08⎡⎤-⎢⎥⎣⎦;(2)由(1)可知()2231()231248f x h m m m m ⎛⎫==-+=-- ⎪⎝⎭, []2,x t ∈Q ,41,log 2m t ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦,当413log 24t <<,即2t <<,函数()h m 在41,log 2t ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减, ()()()4min log g t h m h t ==2442log 3log 1t t =-+,当43log 4t ≥,即t ≥时, 函数()h m 在13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,在43,log 4t ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增,()()min 3148g t h m h ⎛⎫===- ⎪⎝⎭,综上所述:()2442log 3log 1,21,8t t t g t t ⎧-+<<⎪=⎨-≥⎪⎩. 【点睛】本题考查对数函数综合应用,需结合二次函数相关性质答题,属于中档题. 24．（1）(,2][2,)m ∈-∞-⋃+∞（2）1m = 【解析】 【分析】（1）根据二次函数单调性，使对称轴不在区间()1,1-上即可；（2）由题意，分类讨论，当()13f =时和当()23f =时分别求m 值，再回代检验是否为最大值. 【详解】解：（1）对于函数()f x ，开口向上，对称轴2m x =， 当()f x 在[]1,1x ∈-上单调递增时，12m≤-，解得2m ≤-， 当()f x 在[]1,1x ∈-上单调递减时，12m≥，解得2m ≥， 综上，(,2][2,)m ∈-∞-⋃+∞．（2）由题意，函数()f x 在1x =或2x =处取得最大值， 当()13f =时，解得1m =-，此时3为最小值，不合题意，舍去； 当()23f =时，解得1m =，此时3为最大值，符合题意． 综上所述，1m =． 【点睛】本题考查（1）二次函数单调性问题，对称轴取值范围（2）二次函数最值问题；考查分类讨论思想，属于中等题型. 25．（Ⅰ）零点3个. （Ⅱ）10,100⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】（I ）当0m =时，由()20f x -=，结合分段函数解析式，求得函数的零点，由此判断出()2y f x =-的零点的个数.（II ）令2()3()0f x f x -=，解得()0f x =（根据分段函数解析式可知()0f x >，故舍去.）或()3f x =.结合分段函数解析式，求得()3f x =的根，结合分段函数()f x 的分段点，求得m 的取值范围. 【详解】（Ⅰ）当0m =时，2,0,()lg 1,0.x x f x x x ⎧⎪=⎨+>⎪⎩„ 令()20y f x =-=，得()2f x =， 则|lg |12x +=或||22x =. 解|lg |12x +=，得10x =或110， 解||22x =，得1x =-或1x =（舍）.所以当0m =时，函数()2y f x =-的零点为1-，110，10，共3个. （Ⅱ）令2()3()0f x f x -=，得()0f x =或()3f x =.由题易知()0f x >恒成立.所以()3f x =必须有3个实根，即|lg |13x +=和||23x =共有3个根. ①解||23x =，得2log 3x =-或2log 31x =>（舍），故有1个根. ②解|lg |13x +=，得100x =或1100x =， 要使得两根都满足题意，则有1100m <. 又01m <„，所以10100m <„. 所以实数m 的取值范围为10,100⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本小题主要考查分段函数零点个数的判断，考查根据函数零点个数求参数的取值范围，属于中档题.26．（1）2（2）{}2log 5x|2<x < 【解析】 【分析】（1）将点(3,3)代入函数计算得到答案.（2）根据函数的单调性和定义域得到1123122x x +<-<-，解得答案. 【详解】（1）()()3log 3123,log 21,2a a f a =-+=∴=∴=∴ ()()2log 12f x x =-+. （2）()()2log 12f x x =-+Q 的定义域为{}|1x x >，并在其定义域内单调递增， ∴()()1123122,123122xx xx f f ++-<-∴<-<-，不等式的解集为{}22<log 5x x <.【点睛】本题考查了函数解析式，利用函数单调性解不等式，意在考查学生对于函数知识的综合应用.。

广东省深圳市2020-2021学年第一学期数学期末考前热身押题密卷一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）． 1．设全集I R =，集合{}2|log ,2A y y x x ==>，{|1}B x y x ==−，则（ ） A ．A B ⊆B ．A B A ⋃=C ．A B =∅D ．()I A B ⋂≠∅2．设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y ++的最小值为（ ）A ．2B ．92C ．143D ．54．若,,a b c 满足223,log 5,32a cb ===，则A ．b a c >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c b a >>5．设函数()f x 是定义在实数集上的奇函数，在区间[1,0)−上是增函数，且(2)()f x f x +=−，则有（ ）A ．13()()(1)32f f f <<B ．31(1)()()23f f f <<C ．13(1)()()32f f f << D ．31()(1)()23f f f << 6．函数x xx x e e y e e−−+=−的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα−=，则sin α=（ ）A ．3B ．23C ．13D ．98．已知函数12 ,?0()21,0x e x f x x x x −⎧>⎪=⎨−−+≤⎪⎩，若方程()()220f x bf x ++=有8个相异实根，则实数b的取值范围A ．()4,2−−B ．(4,−−C ．()3,2−−D ．(3,−−二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）． 9．下列结论正确的是（ ）A ．x R ∀∈，12x x+≥ B ．若0a b <<，则3311a b ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．若()20x x −<，则()2log 0,1x ∈D ．若0a >，0b >，1a b +≤，则104ab <≤10．给出下列结论，其中不正确的结论是（ ）A ．函数2112x y −+⎛⎫= ⎪⎝⎭的最大值为12B ．已知函数()log 2a y ax =−（0a >且1a ≠）在()0,1上是减函数，则实数a 的取值范围是()1,2C ．在同一平面直角坐标系中，函数2x y =与2log y x =的图象关于直线y x =对称D ．已知定义在R 上的奇函数()f x 在(),0-?内有1010个零点，则函数()f x 的零点个数为202111．已知函数()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()g x 的图象关于直线3x π=对称B ．()g x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．()g x 在区间5,126ππ⎛⎫−− ⎪⎝⎭上单调递增 D ．()g x 在区间70,6π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个零点 12．已知()f x 是定义域为R 的函数，满足()()4f x f x =−，()()22f x f x +=−，当02x ≤≤时，()2f x x x =−，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 是偶函数B ．函数()f x 的最小正周期为4C ．当04x ≤≤时，函数()f x 的最小值为12−D ．方程()3log f x x =有10个根三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）．13．若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是___________. 14．计算125log 25ln (0.64)+−=__________．15．已知:64p x −≤，:11q a x a −<<+，a R ∈，且p 是q 成立的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是__________．16．已知函数()2lg ,02,0x x f x x x x ⎧>=⎨−−≤⎩，若函数[]22()3()1y f x mf x =++有6个不同的零点，则实数m 的范围是_______.四、解答题（共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．计算下列各式的值：（1）35log 229814log 3log 5log 4−−+ （2）210.75013110.02781369−−−⎛⎫−−++− ⎪⎝⎭（）.18．已知m ∈R ,命题p :对[]0,1x ∀∈,不等式2223x m m −≥−恒成立；命题[]:1,1q x ∃∈−，使得m ax ≤成立.（1）若p 为真命题，求m 的取值范围；（2）当1a =时，若p q ∧假，p q ∨为真，求m 的取值范围.19．已知函数()2sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的图像与直线2y =两相邻交点之间的距离为π，且图像关于3x π=对称.（1） 求()y f x =的解析式；（2） 先将函数()f x 的图象向左平移6π个单位，再将图像上所有横坐标伸长到原来的2倍，得到函数()g x 的图象.求()g x 的单调递增区间以及()g x ≥x 取值范围.20．某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为21200800002y x x =−+，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？21．已知函数()()log 1xa f x a =−（0a >，1a ≠）（1）当12a =时，求函数()f x 的定义域； （2）当1a >时，求关于x 的不等式()()1f x f <的解集；（3）当2a =时，若不等式()()2log 12xf x m −+>对任意实数[]1,3x ∈恒成立，求实数m 的取值范围.22．定义在(1,1)−上的函数()y f x =满足：对任意的x ，(1,1)y ∈−都有()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭．（1）求(0)f 的值；（2）若当(1,0)x ∈−时，有()0f x >，求证：()f x 在(1,1)−上是单调递减函数；（3）在（2）的条件下解不等式：11021f x f x ⎛⎫⎛⎫++> ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭．参考答案与解析1．A∵{}|1A y y =>，{|1}B x x =≥，由此可知A B ⊆，A B B ⋃=，A B A =，I A B ⋂=∅， 2．A求解二次不等式2a a >可得：1a >或0a <， 据此可知：1a >是2a a >的充分不必要条件. 3．B1x y +=，所以，(1)2x y ++=，则141441412()[(1)]()52591111x y x x y x y x y y x y ++=+++=+++=++++，所以，14912x y++， 当且仅当4111x y y x x y +⎧=⎪+⎨⎪+=⎩，即当2313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，因此，141x y ++的最小值为92， 4．A因为2log 5b =，则25b =，故222b a >>，故1b a >>. 又323c =<，故1c <. 综上，b a c >>，故选A . 5．A 解：()f x 为奇函数，()()f x f x ∴−=−，又(2)()f x f x +=−11f f ,f (1)f (1)33⎛⎫⎛⎫∴=−−=−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3112222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−+=−− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又1111023−−<−<−≤，且函数在区间[1,0)−上是增函数，11f (1)f f 023⎛⎫⎛⎫∴−<−<−< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11f (1)f f 23⎛⎫⎛⎫∴−−>−−>−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31(1)23f f f ⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，6．Ax xx x e e y e e −−+=−2211xe =+−为奇函数且x 0=时，函数无意义，可排除,C D ，又在(,0),(0,)−∞+∞是减函数， 7．A3cos28cos 5αα−=，得26cos 8cos 80αα−−=，即23cos 4cos 40αα−−=，解得2cos 3α=−或cos 2α=（舍去），又(0,),sin 3απα∈∴==. 8．D设()t f x =，则原方程化为220t bt ++=，∵方程()()220f x bf x ++=有8个相异实根，∴关于t 的方程220t bt ++=在(1,2)上有两个不等实根． 令2()2g t t bt =++，(1,2)t ∈．则280122(1)30(2)260b b g b g b ⎧∆=−>⎪⎪<−<⎪⎨⎪=+>⎪=+>⎪⎩，解得3b −<<−． 9．BD 当0x <时，1x x+为负数，所以A 不正确；若0a b <<，则110b a<<，考虑函数3()f x x =在R 上单调递增，所以11()()f f a b>，即3311()()a b >，所以B 正确；若()20x x −<，则02x <<，2log (,1)x ∈−∞，所以C 不正确；若0a >，0b >，1a b +≤21,0()224a b a b ab ++≤<≤= 所以D 正确. 10．AB1、函数2112x y −+⎛⎫= ⎪⎝⎭中，若令21(,1]t x =−+∈−∞，即有11()[,)22t y =∈+∞，故A 错误； 2、函数()log 2a y ax =−（0a >且1a ≠）在()0,1上是减函数，知：21a x<<，即有(1,2]a ∈，故B 错误； 3、函数2x y =与2log y x =互为反函数，图象关于直线y x =对称，故C 正确；4、定义在R 上的奇函数()f x 在(),0-?内有1010个零点，由函数的对称性可知()f x 在()0,+?内有1010个零点，即函数()f x 的零点个数为2021，故D 正确； 11．CD2()sin 0333g πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以A 选项错误； ()sin 0336g πππ⎛⎫=+≠ ⎪⎝⎭，所以B 选项错误； 5,,2,012632x x ππππ⎛⎫⎛⎫∈−−+∈− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，是正弦函数的增区间的子区间，所以()g x 在区间5,126ππ⎛⎫−− ⎪⎝⎭上单调递增，所以C 选项正确；令()sin 203g x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，2,3x k k Z ππ+=∈，,26k x k Z ππ=−∈， 所以在区间70,6π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个零点，所以D 选项正确. 12．ABD【详解】()f x 是定义域为R 的函数，由()()22f x f x +=−，则()()4f x f x =−，即()()4f x f x =−， 又()()4f x f x =−，所以()()44f x f x −=−，即()()44f x f x −−=−⎡⎤⎣⎦， 所以()()f x f x −=， 所以函数()f x 是偶函数，故A 正确；由()()4f x f x =−，根据周期的定义可知函数的最小正周期为4，故B 正确；当02x ≤≤时，()2f x x x =−，函数的最小值为11112424f ⎛⎫=−=− ⎪⎝⎭，由()()22f x f x +=−，所以2x =为对称轴，所以当04x ≤≤时，函数()f x 的最小值为14−，故C 不正确； 作出0x >时()y f x =与3log y x =的图像，由图像可知0x >时，函数有5个交点， 又()y f x =与3log y x =为偶函数，由对称性可知方程()3log f x x =有10个根， 故D 正确.故选：ABD 13．51335,0,0,155x y xy x y y x+=>>∴+=，()13133121334345555555x y x y x y y x y x ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当31255x yy x =，即21x y ==时取等号． 14．1710. 解：125log 25(0.64)+11225264log ln ()0510e =+−182120=+− 1710=15．[]3,9解不等式64x −≤，即464x −≤−≤，得210x ≤≤，:210p x ∴≤≤. 由于p 是q 成立的必要不充分条件，则()[]1,12,10a a −+，所以12110a a −≥⎧⎨+≤⎩，解得39a ≤≤，因此，实数a 的取值范围是[]3,9，故答案为[]3,9. 16．1m <−解：令t ＝f （x ），则原函数等价为y ＝2t 2+3mt +1． 做出函数f （x ）的图象如图，图象可知当t ＜0时，函数t ＝f （x ）有一个零点． 当t ＝0时，函数t ＝f （x ）有三个零点． 当0＜t ＜1时，函数t ＝f （x ）有四个零点． 当t ＝1时，函数t ＝f （x ）有三个零点． 当t ＞1时，函数t ＝f （x ）有两个零点．要使关于x 的函数y ＝2f 2（x ）+3mf （x ）+1有6个不同的零点， 则函数y ＝2t 2+3mt +1有两个根t 1，t 2， 且0＜t 1＜1，t 2＞1或t 1＝0，t 2＝1，令g （t ）＝2t 2+3mt +1，则由根的分布可得， 将t ＝1，代入得：m ＝﹣1，此时g （t ）＝2t 2﹣3t +1的另一个根为t ＝12，不满足t 1＝0，t 2＝1， 若0＜t 1＜1，t 2＞1，则()()2=980133000m g m g ⎧∆−>⎪=+<⎨⎪>⎩，17．（1）34−；（2）5−．（1）原式=42413log 338144⎛⎫⨯−+=− ⎪⎝⎭. （2）原式=1013627133−++− =-5 . 18．（1）[]1,2；（2）()(],11,2−∞.（1）∵对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m −≥−恒成立，()2min 223x m m ∴−≥−，即232m m −≤−，即2320m m −+≤，解得12m ≤≤， 因此，若p 为真命题时，实数m 的取值范围是[]1,2；（2）1a =，且存在[]1,1x ∈−，使得m ax ≤成立，m x ∴≤，命题q 为真时，1m £. ∵p 且q 为假，p 或q 为真，∴p 、q 中一个是真命题，一个是假命题． 当p 真q 假时，则121m m ≤≤⎧⎨>⎩，解得12m <≤；当p 假q 真时，121m m m ⎧⎨≤⎩或，即1m <.综上所述，m 的取值范围为()(],11,2−∞.19．（1）由已知可得T π=,2ππω=，∴2ω=又()f x 的图象关于3x π=对称，∴232k ππϕπ⋅+=+，∴6k πϕπ=−，k Z ∈∵22ππϕ−<<，∴6πϕ=−.所以，()2sin 26f x x π⎛⎫=− ⎪⎝⎭ （2）由（1）可得()2sin 26f x x π⎛⎫=− ⎪⎝⎭，∴()2sin 6g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由22262k x k πππππ−≤+≤+得，22233k x k ππππ−≤≤+， ()g x 的单调递增区间为22,233k k ππππ⎡⎤−+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.∵2sin 6x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭sin 6x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，∴222363k x k πππππ+≤+≤+， ∴22,62x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. 20．（1）由题意可知，月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为()21200800004006002y x x x =−+≤≤， 所以，每吨二氧化碳的平均处理成本为1800002002y x x x =+−，由基本不等式可得200200y x ≥=（元）， 当且仅当1800002x x=时，即当400x =时，等号成立， 因此，该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低；（2）令()()222111100200800003008000030035000222f x x x x x x x ⎛⎫=−−+=−+−=−−− ⎪⎝⎭， 400600x ≤≤，函数()f x 在区间[]400,600上单调递减，当400x =时，函数()f x 取得最大值，即()()max 40040000f x f ==−.所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴40000元才能使该单位不亏损.21．（1）当12a =时，()121log 12x f x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，故：1102x −>，解得：0x <，故函数()f x 的定义域为(),0−∞； （2）由题意知，()()log 1x a f x a =−（1a >），定义域为()0,x ∈+∞，用定义法易知()f x 为()0,x ∈+∞上的增函数，由()()1f x f <，知：01x x >⎧⎨<⎩，∴()0,1x ∈. （3）设()()()2221log 12log 21x x x g x f x ⎛⎫−=−+= ⎪+⎝⎭，[]1,3x ∈，设21212121x x x t −==−++，[]1,3x ∈， 故[]213,9x +∈，2171,2139x t ⎡⎤=−∈⎢⎥+⎣⎦，故：()min 211log 33g x g ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又∵()()2log 12x f x m −+>对任意实数[]1,3x ∈恒成立，故：()min 21log 3m g x ⎛⎫<= ⎪⎝⎭. 22．（1）令0x y ==，则()()()0000010f f f f +⎛⎫+== ⎪+⎝⎭， ∴()00f =．（2）令y x =−，则()()()2001x x f x f x f f x −⎛⎫+−=== ⎪−⎝⎭， ∴()()f x f x =−−，∴()f x 是奇函数． 设()12,1,1x x ∈−，且12x x <，则()()()()121212121x x f x f x f x f x f x x ⎛⎫−−=+−= ⎪−⋅⎝⎭． ∵()121,1x x <∈−， ∴210x x −>， ∴210x x −>，1211x x −<<， ∴12120 1?x x x x −<−⋅， ∴ 121201x x f x x ⎛⎫−> ⎪−⋅⎝⎭， ∴ ()()12f x f x >．∴ ()f x 在()1,1−上是单调递减函数．（3）不等式11021f x f x ⎛⎫⎛⎫++> ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭可化为111211f x f f x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+>−= ⎪ ⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∵ ()f x 在()1,1−上是减函数， ∴111211111121x x x x ⎧−<+<⎪⎪⎪−<<⎨−⎪⎪+<⎪−⎩，解得312x −<<−， ∴原不等式的解集为312x x ⎧⎫−<<−⎨⎬⎩⎭．。

2020-2021深圳西乡中学高一数学下期末第一次模拟试题(带答案)一、选择题1．ABC V 中，已知sin cos cos ab cA B C==，则ABC V 为（ ） A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．有一个内角为30°的直角三角形D ．有一个内角为30°的等腰三角形2．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 收入x （万元）8.28.610.0 11.3 11.9支出y （万元）6.27.58.0 8.59.8根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==-，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ） A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元3．(2015新课标全国I 理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛4．已知{}n a 的前n 项和241n S n n =-+，则1210a a a +++=L （ ）A ．68B ．67C ．61D ．605．已知01a b <<<，则下列不等式不成立．．．的是A ．11()()22ab>B ．ln ln a b >C ．11a b> D ．11ln ln a b >6．已知两个正数a ，b 满足321a b +=，则32a b+的最小值是( )A ．23B ．24C ．25D ．267．函数223()2xx xf x e +=的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．8．若函数()sin cos f x x x ωω=-(0)>ω在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值不可能为（ ） A ．14B ．15C ．12D ．349．已知0,0a b >>，并且111,,2a b 成等差数列，则4a b +的最小值为（ ） A ．2B ．4C ．5D ．910．设函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+-+0,||2πωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭的最小正周期为π，且f x f x -=（）（），则（ ）A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 B ．()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增11．函数2ln ||y x x =+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．12．记max{,,}x y z 表示,,x y z 中的最大者，设函数{}2()max 42,,3f x x x x x =-+---，若()1f m <，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(1,1)(3,4)-UB ．(1,3)C ．(1,4)-D ．(,1)(4,)-∞-+∞U二、填空题13．若直线1x y -=与直线(3)80m x my ++-=平行，则m =______________． 14．若(2,1)x ∃∈--，使不等式()24210x xm m -++>成立，则实数m 的取值范围为________.15．若x ，y 满足约束条件10,{30,30,x y x y x -+≥+-≥-≤则z=x−2y 的最小值为__________.16．已知四棱锥P ­ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，点E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点，则①棱AB 与PD 所在直线垂直； ②平面PBC 与平面ABCD 垂直； ③△PCD 的面积大于△PAB 的面积； ④直线AE 与直线BF 是异面直线．以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号) 17．在△ABC 中，85a b ==，，面积为12，则cos 2C =______． 18．设α为锐角，若4cos()65πα+=，则sin(2)12πα+的值为______. 19．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1CC 上的一个动点，平面1BED 交棱1AA 于点F ．下列命题正确的为_______________.①存在点E ，使得11A C //平面1BED F ；②对于任意的点E ，平面11AC D ⊥平面1BED F ； ③存在点E ，使得1B D ⊥平面1BED F ；④对于任意的点E ，四棱锥11B BED F -的体积均不变．20．已知()()2,3,4,3A B -，点P 在直线AB 上，且32AP PB =u u u v u u u v，则点P 的坐标为________ 三、解答题21．某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）,n 表示购机的同时购买的易损零件数. （Ⅰ）若n =19,求y 与x 的函数解析式；（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5,求n 的最小值； （Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？22．在ABC V 中，a ，b ，c 分别为内角,,A B C 所对的边，已知cos a A R =，其中R 为ABC V 外接圆的半径，222433a cb S +-=，其中S 为ABC V 的面积． （1）求sin C ；（2）若23a b -=ABC V 的周长． 23．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωφωφ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 的单调增区间并求出()f x 取得最小值时所对应的x 取值集合． 24．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin 4sin a A b B =，2225()ac a b c =--.（I ）求cos A 的值； （II ）求sin(2)B A -的值. 25．设函数2()cos 2sin 3f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． （1）求函数()f x 的最小正周期． （2）求函数()f x 的单调递减区间；（3）设,,A B C 为ABC V 的三个内角，若1cos 3B =，124C f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且C 为锐角，求sin A ．26．某学校微信公众号收到非常多的精彩留言,学校从众多留言者中抽取了100人参加“学校满意度调查”,其留言者年龄集中在[]25,85之间,根据统计结果,做出频率分布直方图如下:(1)求这100位留言者年龄的平均数和中位数;(2)学校从参加调查的年龄在[)35,45和[)65,75的留言者中,按照分层抽样的方法,抽出了6人参加“精彩留言”经验交流会,赠与年龄在[)35,45的留言者每人一部价值1000元的手机,年龄在[)65,75的留言者每人一套价值700元的书,现要从这6人中选出3人作为代表发言,求这3位发言者所得纪念品价值超过2300元的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】 【详解】因为sin cos cos a b c A B C==，所以sin sin sin sin cos cos 4A B C B C A B C π==∴== , 即ABC V 为等腰直角三角形.故选：B .2．B解析：B 【解析】 试题分析：由题，，所以．试题解析：由已知，又因为ˆˆˆybx a =+，ˆˆˆ0.76,b a y bx ==- 所以，即该家庭支出为万元．考点：线性回归与变量间的关系．3．B解析：B 【解析】试题分析：设圆锥底面半径为r ，则12384r ⨯⨯=，所以163r =，所以米堆的体积为211163()5433⨯⨯⨯⨯=3209，故堆放的米约为3209÷1.62≈22，故选B. 考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式4．B解析：B【分析】 首先运用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出通项n a ，判断n a 的正负情况，再运用1022S S -即可得到答案． 【详解】当1n =时，112S a ==-；当2n ≥时，()()()22141141125n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+----+=-⎣⎦， 故2,125,2n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩；所以，当2n ≤时，0n a <，当2n >时，0n a >. 因此，()()()12101234101022612367a a a a a a a a S S +++=-+++++=-=-⨯-=L L .故选：B ． 【点睛】本题考查了由数列的前n 项和公式求数列的通项公式，属于中档题，解题时特别注意两点，第一，要分类讨论，分1n =和2n ≥两种情形，第二要掌握()12n n n a S S n -=-≥这一数列中的重要关系，否则无法解决此类问题，最后还要注意对结果的处理，分段形式还是一个结果的形式.5．B解析：B 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，以及不等式的性质，对选项逐一分析，由此得出不等式不成立的选项. 【详解】依题意01a b <<<，由于12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为定义域上的减函数，故11()()22a b >，故A 选项不等式成立.由于ln y x =为定义域上的增函数，故ln ln 0a b <<，则11ln ln a b>，所以B 选项不等式不成立，D 选项不等式成立.由于01a b <<<，故11a b>，所以C 选项不等式成立.综上所述，本小题选B. 【点睛】本小题主要考查指数函数和对数函数的单调性，考查不等式的性质，属于基础题.6．C【解析】 【分析】根据题意，分析可得()323232a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，对其变形可得326613a b a b b a ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，由基本不等式分析可得答案． 【详解】根据题意，正数a ，b 满足321a b +=，则()32326632131325a b a b a b a b ba ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当15a b ==时等号成立. 即32a b+的最小值是25． 本题选择C 选项. 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．7．B解析：B 【解析】由()f x 的解析式知仅有两个零点32x =-与0x =，而A 中有三个零点，所以排除A ，又()2232xx x f x e-++'=，由()0f x '=知函数有两个极值点，排除C ，D ，故选B ． 8．D解析：D 【解析】∵()sin cos (0)4f x x x x πωωωω⎛⎫=-=-> ⎪⎝⎭∴令22,242k x k k Z ππππωπ-+≤-≤+∈，即232,44k k x k Z ππππωωωω-+≤≤+∈ ∵()sin cos (0)f x x x ωωω=->在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增 ∴42ππω-≤-且342ππω≥∴102ω<≤ 故选D.9．D解析：D 【解析】 ∵111,,2a b成等差数列，()11114144559a b a b a b a b a b b a ⎛⎫∴+=∴+=++=+++= ⎪⎝⎭，…， 当且仅当a =2b 即33,2a b ==时“=“成立， 本题选择D 选项.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．10．A解析：A 【解析】 【分析】将f(x)化简，求得ωφ，，再进行判断即可. 【详解】()πf x ωx φ,4⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∵最小正周期为2ππ,π,ω∴=得ω2=，又f x f x （）（）-=为偶函数，所以ππφk π42-=+, k Z ∈∵πφ2<,∴k=-1,()πππφ,f x 2x 444⎛⎫=-∴=--= ⎪⎝⎭,当2k π2x 2k ππ≤≤+,即πk πx k π2≤≤+,f(x)单调递增，结合选项k=0合题意， 故选A. 【点睛】本题考查三角函数性质，两角差的正弦逆用，熟记三角函数性质，熟练计算f(x)解析式是关键，是中档题.11．A解析：A 【解析】 【分析】先确定函数定义域，再确定函数奇偶性，最后根据值域确定大致图像。

2020-2021深圳宝安区新城学校高一数学上期末模拟试卷(及答案)一、选择题1．已知2log e =a ，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>2．设6log 3a =，lg5b =，14log 7c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c a b >>3．已知函数1()log ()(011a f x a a x =>≠+且）的定义域和值域都是[0，1]，则a=（ ） A ．12B ．2C ．22D ．24．已知函数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩, 满足对任意的实数x 1≠x 2都有()()1212f x f x x x --＜0成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，2)B ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．(－∞，2]D ．13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭5．已知0.11.1x =， 1.10.9y =，234log 3z =，则x ，y ，z 的大小关系是( ) A ．x y z >> B ．y x z >>C ．y z x >>D ．x z y >>6．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：(1)(3)0f x f x ++-=，且(1)0f ≠，若函数6()(1)cos 43g x x f x =-+⋅-有且只有唯一的零点，则(2019)f =（ ）A ．1B ．-1C ．-3D ．37．已知函数()ln f x x =，2()3g x x =-+，则()?()f x g x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增。

一、选择题1．(0分)[ID ：12115]已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,∞+上是增函数，若对任意[)x 1,∞∈+，都有()()f x a f 2x 1+≤-恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[]2,0- B ．(],8∞-- C ．[)2,∞+ D ．(],0∞- 2．(0分)[ID ：12110]已知函数1()ln(1)f x x x =+-；则()y f x =的图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．3．(0分)[ID ：12087]已知函数()y f x =在定义域()1,1-上是减函数，且()()211f a f a -<-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,2D ．()0,∞+ 4．(0分)[ID ：12121]若函数f(x)＝a |2x －4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]5．(0分)[ID ：12108]酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量低于20mg 的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到20～79mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg /mL ．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车？（ ）（参考数据：lg 0.2≈﹣0.7，1g 0.3≈﹣0.5，1g 0.7≈﹣0.15，1g 0.8≈﹣0.1）A ．1B ．3C ．5D ．76．(0分)[ID ：12073]下列函数中，值域是()0,+∞的是（ ）A ．2y x =B ．211y x =+C ．2x y =-D ．()lg 1(0)y x x =+>7．(0分)[ID ：12060]已知函数2()log f x x =，正实数,m n 满足m n <且()()f m f n =，若()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，则,m n 的值分别为A ．12，2 B．2C ．14，2D ．14，4 8．(0分)[ID ：12056]某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为0kt P P e -=⋅（k 为常数，0P 为原污染物总量）.若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤n 小时，则正整数n 的最小值为（ ）（参考数据：取5log 20.43=） A ．8 B ．9 C ．10 D ．149．(0分)[ID ：12054]已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：(1)(3)0f x f x ++-=，且(1)0f ≠，若函数6()(1)cos 43g x x f x =-+⋅-有且只有唯一的零点，则(2019)f =（ ）A ．1B ．-1C ．-3D ．310．(0分)[ID ：12065]已知函数f (x )＝12log ,1,24,1,x x x x >⎧⎪⎨⎪+≤⎩则1(())2f f )等于( ) A ．4B ．－2C ．2D ．111．(0分)[ID ：12048]已知3log 2a =，0.12b =，sin 789c =，则a ，b ，c 的大小关系是A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a << 12．(0分)[ID ：12041]若函数()[)[]1,1,0{44,0,1x x x f x x ⎛⎫∈- ⎪=⎝⎭∈，则f (log 43)＝( )A ．13B ．14C ．3D ．413．(0分)[ID ：12035]已知()f x =22x x -+,若()3f a =,则()2f a 等于A ．5B ．7C ．9D ．1114．(0分)[ID ：12040]下列函数中，在区间(1,1)-上为减函数的是A ．11y x =-B ．cos y x =C ．ln(1)y x =+D ．2x y -=15．(0分)[ID ：12039]已知函数()()f x g x x =+，对任意的x ∈R 总有()()f x f x -=-，且(1)1g -=，则(1)g =（ ）A ．1-B ．3-C ．3D ．1 二、填空题 16．(0分)[ID ：12215]已知函数()22f x mx x m =-+的值域为[0,)+∞，则实数m 的值为__________17．(0分)[ID ：12214]如果函数()22279919m m y m m x --=-+是幂函数，且图像不经过原点，则实数m =___________.18．(0分)[ID ：12182]已知函数()21311log 12x x k x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，()()2ln 21x g x a x x =+++()a R ∈，若对任意的均有1x ，{}2,2x x x R x ∈∈>-，均有()()12f x g x ≤，则实数k 的取值范围是__________．19．(0分)[ID ：12171]对于复数a bc d ，，，，若集合{}S a b c d =，，，具有性质“对任意x y S ∈，，必有xy S ∈”，则当221{1a b c b===，，时，b c d ++等于___________20．(0分)[ID ：12158]对数式lg 25﹣lg 22+2lg 6﹣2lg 3＝_____．21．(0分)[ID ：12152]已知函数()211x x x f -=-的图象与直线2y kx =+恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________.22．(0分)[ID ：12139]已知函数1,0()ln 1,0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，若方程()()f x m m R =∈恰有三个不同的实数解()a b c a b c <<、、，则()a b c +的取值范围为______；23．(0分)[ID ：12133]已知二次函数()f x ，对任意的x ∈R ，恒有()()244f x f x x +-=-+成立，且()00f =.设函数()()()g x f x m m =+∈R .若函数()g x 的零点都是函数()()()h x f f x m =+的零点，则()h x 的最大零点为________.24．(0分)[ID ：12130]已知函数()5,222,2x x x f x a a x -+≤⎧=++>⎨⎩，其中0a >且1a ≠，若()f x 的值域为[)3,+∞，则实数a 的取值范围是______．25．(0分)[ID ：12150]()()sin cos f x x π=在区间[]0,2π上的零点的个数是______.三、解答题26．(0分)[ID ：12315]已知函数1()21x f x a =-+，()x R ∈. （1）用定义证明：不论a 为何实数()f x 在(,)-∞+∞上为增函数； （2）若()f x 为奇函数，求a 的值；（3）在（2）的条件下，求()f x 在区间[1，5]上的最小值.27．(0分)[ID ：12280]为保障城市蔬菜供应，某蔬菜种植基地每年投入20万元搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入2万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜.根据以往的经验，发现种西红柿的年收入()f x 、种黄瓜的年收入()g x 与大棚投入x 分别满足()8f x =+1()124g x x =+.设甲大棚的投入为a ，每年两个大棚的总收入为()F a .（投入与收入的单位均为万元）（Ⅰ）求(8)F 的值.（Ⅱ）试问：如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使年总收人()F a 最大？并求最大年总收入.28．(0分)[ID ：12254]已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，为二次函数且顶点为(1,1)，(2)0f =.（1）求函数()f x 在R 上的解析式；（2）若函数()f x 在区间[1,2]a --上单调递增，求实数a 的取值范围.29．(0分)[ID ：12251]某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S 中%x （0100x <<）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为()30030180029030100x f x x x x <≤⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩，，（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S 的人均通勤时间()g x 的表达式；讨论()g x 的单调性，并说明其实际意义．30．(0分)[ID ：12260]如图，OAB ∆是等腰直角三角形，ABO 90∠=，且直角边长为22，记OAB ∆位于直线()0x t t =>左侧的图形面积为()f t ，试求函数()f t 的解析式.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．A2．B3．B4．B5．C6．D7．A8．C9．C10．B11．B12．C13．B14．D15．B二、填空题16．1【解析】【分析】根据二次函数的值域为结合二次函数的性质列出不等式组即可求解【详解】由题意函数的值域为所以满足解得即实数的值为1故答案为：1【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用其中解答中17．3【解析】【分析】根据幂函数的概念列式解得或然后代入解析式看指数的符号负号就符合正号就不符合【详解】因为函数是幂函数所以即所以所以或当时其图象不过原点符合题意;当时其图象经过原点不合题意综上所述:故18．【解析】【分析】若对任意的均有均有只需满足分别求出即可得出结论【详解】当当设当当当时等号成立同理当时若对任意的均有均有只需当时若若所以成立须实数的取值范围是故答案为;【点睛】本题考查不等式恒成立问题19．-1【解析】由题意可得：结合集合元素的互异性则：由可得：或当时故当时故综上可得：20．1【解析】【分析】直接利用对数计算公式计算得到答案【详解】故答案为：【点睛】本题考查了对数式的计算意在考查学生的计算能力21．【解析】【分析】根据函数解析式分类讨论即可确定解析式画出函数图像由直线所过定点结合图像即可求得的取值范围【详解】函数定义域为当时当时当时画出函数图像如下图所示:直线过定点由图像可知当时与和两部分图像22．【解析】【分析】画出的图像根据图像求出以及的取值范围由此求得的取值范围【详解】函数的图像如下图所示由图可知令令所以所以故答案为：【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质考查数形结合的数学思想方法属23．4【解析】【分析】采用待定系数法可根据已知等式构造方程求得代入求得从而得到解析式进而得到；设为的零点得到由此构造关于的方程求得；分别在和两种情况下求得所有零点从而得到结果【详解】设解得：又设为的零点24．【解析】【分析】运用一次函数和指数函数的图象和性质可得值域讨论两种情况即可得到所求a的范围【详解】函数函数当时时时递减可得的值域为可得解得；当时时时递增可得则的值域为成立恒成立综上可得故答案为：【点25．5【解析】【分析】由求出的范围根据正弦函数为零确定的值再由三角函数值确定角即可【详解】时当时的解有的解有的解有故共有5个零点故答案为：5【点睛】本题主要考查了正弦函数余弦函数的三角函数值属于中档题三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．A解析：A【解析】【分析】根据偶函数的性质，可知函数在(],0-∞上是减函数，根据不等式在[)1,x ∈+∞上恒成立，可得：21x a x +≤-在[)1,+∞上恒成立，可得a 的范围.【详解】 ()f x 为偶函数且在[)0,+∞上是增函数()f x ∴在(],0-∞上是减函数对任意[)1,x ∈+∞都有()()21f x a f x +≤-恒成立等价于21x a x +≤-2121x x a x ∴-+≤+≤- 311x a x ⇒-+≤≤-()()max min 311x a x ∴-+≤≤-当1x =时，取得两个最值3111a ∴-+≤≤- 20a ⇒-≤≤本题正确选项：A【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性解抽象函数不等式的问题，关键在于能够通过单调性确定自变量之间的关系，得到关于自变量的不等式.2．B解析：B【解析】试题分析：设()ln(1)g x x x =+-，则()1x g x x'=-+，∴()g x 在()1,0-上为增函数,在()0,∞+上为减函数，∴()()00g x g <=，1()0()f x g x =<，得0x >或10x -<<均有()0f x <排除选项A ，C ，又1()ln(1)f x x x =+-中,10ln(1)0x x x +>⎧⎨+-≠⎩，得1x >-且0x ≠，故排除D.综上，符合的只有选项B.故选B.考点：1、函数图象；2、对数函数的性质.3．B解析：B【解析】【分析】利用函数的单调性和定义域得出不等关系组，即得解.【详解】已知函数()y f x =在定义域()1,1-上是减函数，且()()211f a f a -<-，2112121113111a a a a a ->-⎧⎪∴-<-<∴<<⎨⎪-<-<⎩故选：B【点睛】本题考查了利用函数的单调性解不等式，考查了学生转化划归，数学运算能力，属于基础题.4．B解析：B【解析】由f(1)=得a 2=,∴a=或a=-(舍),即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,故选B.5．C解析：C【解析】【分析】根据题意先探究出酒精含量的递减规律，再根据能驾车的要求，列出模型0.70.2x ≤ 求解.【详解】因为1小时后血液中酒精含量为（1-30%）mg /mL ,x 小时后血液中酒精含量为（1-30%）x mg /mL 的，由题意知100mL 血液中酒精含量低于20mg 的驾驶员可以驾驶汽车，所以()3002%1.x -<，0.70.2x <，两边取对数得，lg 0.7lg 0.2x < ，lg 0.214lg 0.73x >= ， 所以至少经过5个小时才能驾驶汽车.故选：C【点睛】本题主要考查了指数不等式与对数不等式的解法，还考查了转化化归的思想及运算求解的能力，属于基础题.6．D解析：D【解析】【分析】利用不等式性质及函数单调性对选项依次求值域即可．【详解】对于A ：2y x =的值域为[)0,+∞； 对于B ：20x ≥，211x ∴+≥，21011x ∴<≤+， 211y x ∴=+的值域为(]0,1； 对于C ：2x y =-的值域为(),0-∞；对于D ：0x >，11x ∴+>，()lg 10x ∴+>，()lg 1y x ∴=+的值域为()0,+∞；故选：D ．【点睛】此题主要考查函数值域的求法，考查不等式性质及函数单调性，是一道基础题．7．A解析：A【解析】试题分析：画出函数图像，因为正实数,m n 满足m n <且()()f m f n =，且()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，所以()()f m f n ==2，由2()log 2f x x ==解得12,2x =，即,m n 的值分别为12，2．故选A ． 考点：本题主要考查对数函数的图象和性质．点评：基础题，数形结合，画出函数图像，分析建立m,n 的方程．8．C解析：C【解析】【分析】 根据已知条件得出415ke -=，可得出ln 54k =，然后解不等式1200kt e -≤，解出t 的取值范围，即可得出正整数n 的最小值.【详解】 由题意，前4个小时消除了80%的污染物，因为0kt P P e -=⋅，所以()400180%k P Pe --=，所以40.2k e -=，即4ln0.2ln5k -==-，所以ln 54k =， 则由000.5%kt P P e -=，得ln 5ln 0.0054t =-， 所以()23554ln 2004log 2004log 52ln 5t ===⨯5812log 213.16=+=， 故正整数n 的最小值为14410-=. 故选：C.【点睛】本题考查指数函数模型的应用，涉及指数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题. 9．C解析：C【解析】【分析】由(1)(3)0f x f x ++-=结合()f x 为奇函数可得()f x 为周期为4的周期函数，则(2019)(1)f f =-，要使函数6()(1)cos 43g x x f x =-+⋅-有且只有唯一的零点，即6(1)cos 43x f x ⋅-=只有唯一解，结合图像可得(1)3f =，即可得到答案．【详解】()f x为定义在R上的奇函数，∴()()f x f x-=-，又(1)(3)0(13)(33)0f x f x f x f x++-=⇔+++--=，(4)()0(4)()()f x f x f x f x f x++-=⇔+=--=∴，∴()f x在R上为周期函数，周期为4，∴(2019)(50541)(1)(1)f f f f=⨯-=-=-函数6()(1)cos43g x x f x=-+⋅-有且只有唯一的零点，即6(1)cos43x f x⋅-=只有唯一解，令6()m x x=，则5()6m x x'=，所以(,0)x∈-∞为函数6()m x x=减区间，(0,)x∈+∞为函数6()m x x=增区间，令()(1)cos43x f xϕ=⋅-，则()xϕ为余弦函数，由此可得函数()m x与函数()xϕ的大致图像如下：由图分析要使函数()m x与函数()xϕ只有唯一交点，则(0)(0)mϕ=，解得(1)3f=∴(2019)(1)3f f=-=-，故答案选C．【点睛】本题主要考查奇函数、周期函数的性质以及函数的零点问题，解题的关键是周期函数的判定以及函数唯一零点的条件，属于中档题．10．B解析：B【解析】121242242f⎛⎫=+=+=⎪⎝⎭，则()1214log422f f f⎛⎫⎛⎫===-⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故选B.11．B解析：B【解析】【分析】【详解】由对数函数的性质可知343333log2log342a=<=<，由指数函数的性质0.121b =>，由三角函数的性质00000sin 789sin(236069)sin 69sin 60c ==⨯+=>，所以c ∈， 所以a c b <<，故选B.12．C解析：C【解析】【分析】根据自变量范围代入对应解析式，化简得结果.【详解】f (log 43)＝log434=3,选C.【点睛】本题考查分段函数求值，考查基本求解能力，属基础题.13．B解析：B【解析】因为()f x =22x x -+,所以()f a =223a a -+=,则()2f a =2222a a -+=2(22)2a a -+-=7.选B.14．D解析：D【解析】 试题分析：11y x=-在区间()1,1-上为增函数；cos y x =在区间()1,1-上先增后减；()ln 1y x =+在区间()1,1-上为增函数；2x y -=在区间()1,1-上为减函数，选D. 考点：函数增减性15．B解析：B【解析】由题意，f （﹣x ）+f （x ）=0可知f （x ）是奇函数，∵()()f x g x x =+，g （﹣1）=1，即f （﹣1）=1+1=2那么f （1）=﹣2．故得f （1）=g （1）+1=﹣2，∴g （1）=﹣3，故选：B二、填空题16．1【解析】【分析】根据二次函数的值域为结合二次函数的性质列出不等式组即可求解【详解】由题意函数的值域为所以满足解得即实数的值为1故答案为：1【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用其中解答中解析：1【解析】【分析】根据二次函数的值域为[0,)+∞，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意，函数()22f x mx x m =-+的值域为[0,)+∞， 所以满足24400m m ⎧∆=-=⎨>⎩，解得1m =. 即实数m 的值为1.故答案为：1.【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.17．3【解析】【分析】根据幂函数的概念列式解得或然后代入解析式看指数的符号负号就符合正号就不符合【详解】因为函数是幂函数所以即所以所以或当时其图象不过原点符合题意;当时其图象经过原点不合题意综上所述:故 解析：3【解析】【分析】根据幂函数的概念列式解得3m =,或6m =,然后代入解析式,看指数的符号,负号就符合,正号就不符合.【详解】因为函数()22279919m m y m m x --=-+是幂函数,所以29191m m -+=,即29180m m -+=,所以(3)(6)0m m --=,所以3m =或6m =-,当3m =时,12()f x x -=,其图象不过原点,符合题意; 当5m =时,21()f x x =,其图象经过原点,不合题意.综上所述:3m =.故答案为:3【点睛】本题考查了幂函数的概念和性质,属于基础题.18．【解析】【分析】若对任意的均有均有只需满足分别求出即可得出结论【详解】当当设当当当时等号成立同理当时若对任意的均有均有只需当时若若所以成立须实数的取值范围是故答案为;【点睛】本题考查不等式恒成立问题 解析：3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 【解析】【分析】若对任意的均有1x ，{}2,2x x x R x ∈∈>-，均有()()12f x g x ≤，只需满足 max min ()()f x g x ≤，分别求出max min (),()f x g x ，即可得出结论.【详解】当()221121()24x f x x x k x k -<≤=-++=--++， 16()4k f x k ∴-<≤+， 当()1311,log 122x x f x >=-<-+， ()()2ln 21x g x a x x =+++， 设21x y x =+，当0,0x y ==， 当21110,,01122x x y y x x x>==≤∴<≤++，当1x =时，等号成立 同理当20x -<<时，102y -≤<， 211[,]122x y x ∴=∈-+， 若对任意的均有1x ，{}2,2x x x R x ∈∈>-，均有()()12f x g x ≤，只需max min ()()f x g x ≤，当2x >-时，ln(2)x R +∈，若0,2,()a x g x >→-→-∞，若0,,()a x g x <→+∞→-∞所以0a =，min 21(),()12x g x g x x ==-+， max min ()()f x g x ≤成立须，113,424k k +≤-≤-，实数k 的取值范围是3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 故答案为;3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，转化为求函数的最值，注意基本不等式的应用，考查分析问题解决问题能力，属于中档题.19．-1【解析】由题意可得：结合集合元素的互异性则：由可得：或当时故当时故综上可得：解析：-1【解析】由题意可得：21,1b a == ，结合集合元素的互异性，则：1b =- ，由21c b ==- 可得：c i = 或c i =- ，当c i = 时，bc i S =-∈ ，故d i =- ，当c i =- 时，bc i S =∈ ，故d i = ，综上可得：1b c d ++=- . 20．1【解析】【分析】直接利用对数计算公式计算得到答案【详解】故答案为：【点睛】本题考查了对数式的计算意在考查学生的计算能力解析：1【解析】【分析】直接利用对数计算公式计算得到答案.【详解】()()22522lg62lg3lg5lg2lg5lg2lg36lg9lg5lg2lg41lg -+=+-+-=-+=lg ﹣ 故答案为：1【点睛】本题考查了对数式的计算，意在考查学生的计算能力.21．【解析】【分析】根据函数解析式分类讨论即可确定解析式画出函数图像由直线所过定点结合图像即可求得的取值范围【详解】函数定义域为当时当时当时画出函数图像如下图所示:直线过定点由图像可知当时与和两部分图像 解析：(4,1)(1,0)--⋃-【解析】【分析】根据函数解析式,分类讨论即可确定解析式.画出函数图像,由直线所过定点,结合图像即可求得k 的取值范围.【详解】函数()211x x x f -=-定义域为{}1x x ≠ 当1x ≤-时,()2111x x xf x -==--- 当11x -<<时,()2111x x xf x -==+- 当1x <时,()2111x x xf x -==--- 画出函数图像如下图所示:直线2y kx =+过定点()0,2由图像可知,当10k -<<时,与1x ≤-和11x -<<两部分图像各有一个交点;当41-<<-k 时,与11x -<<和1x <两部分图像各有一个交点.综上可知,当()()4,11,0k ∈--⋃-时与函数有两个交点故答案为:()()4,11,0--⋃-【点睛】本题考查了分段函数解析式及图像画法,直线过定点及交点个数的求法,属于中档题.22．【解析】【分析】画出的图像根据图像求出以及的取值范围由此求得的取值范围【详解】函数的图像如下图所示由图可知令令所以所以故答案为：【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质考查数形结合的数学思想方法属解析：)22,2e e ⎡--⎣【解析】【分析】画出()f x 的图像，根据图像求出+a b 以及c 的取值范围，由此求得()a b c +的取值范围.【详解】函数()f x 的图像如下图所示，由图可知1,22a b a b +=-+=-.令2ln 11,x x e -==，令ln 10,x x e -==，所以2e c e <≤，所以)2()22,2a b c c e e ⎡+=-∈--⎣. 故答案为：)22,2e e ⎡--⎣【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 23．4【解析】【分析】采用待定系数法可根据已知等式构造方程求得代入求得从而得到解析式进而得到；设为的零点得到由此构造关于的方程求得；分别在和两种情况下求得所有零点从而得到结果【详解】设解得：又设为的零点 解析：4【解析】【分析】采用待定系数法可根据已知等式构造方程求得,a b ，代入()00f =求得c ，从而得到()f x 解析式，进而得到()(),g x h x ；设0x 为()g x 的零点，得到()()0000g x h x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，由此构造关于m 的方程，求得m ；分别在0m =和3m =-两种情况下求得()h x 所有零点，从而得到结果.【详解】设()2f x ax bx c =++ ()()()()2222244244f x f x a x b x c ax bx c ax a b x ∴+-=++++---=++=-+ 44424a a b =-⎧∴⎨+=⎩，解得：14a b =-⎧⎨=⎩又()00f = 0c ∴= ()24f x x x ∴=-+ ()24g x x x m ∴=-++，()()()222444h x x x x x m =--++-++设0x 为()g x 的零点，则()()0000g x h x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即()()2002220000404440x x m x x x x m ⎧-++=⎪⎨--++-++=⎪⎩ 即240m m m --+=，解得：0m =或3m =-①当0m =时()()()()()()()22222244444442h x x x x x x x x x x x x =--++-+=-+-+=--- ()h x ∴的所有零点为0,2,4②当3m =-时()()()()()2222244434341h x x x x x x x x x =--++-+-=--+--+- ()h x ∴的所有零点为1,3,2综上所述：()h x 的最大零点为4故答案为：4【点睛】本题考查函数零点的求解问题，涉及到待定系数法求解二次函数解析式、函数零点定义的应用等知识；解题关键是能够准确求解二次函数解析式；对于函数类型已知的函数解析式的求解，采用待定系数法，利用已知等量关系构造方程求得未知量.24．【解析】【分析】运用一次函数和指数函数的图象和性质可得值域讨论两种情况即可得到所求a 的范围【详解】函数函数当时时时递减可得的值域为可得解得；当时时时递增可得则的值域为成立恒成立综上可得故答案为：【点 解析：()1,11,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】运用一次函数和指数函数的图象和性质，可得值域，讨论1a >，01a <<两种情况，即可得到所求a 的范围．【详解】函数函数()5,222,2x x x f x a a x -+≤⎧=++>⎨⎩， 当01a <<时，2x ≤时，()53f x x =-≥，2x >时，()22x f x a a =++递减，可得()22222a f x a a +<<++， ()f x 的值域为[)3,+∞，可得223a +≥， 解得112a ≤<；当1a >时，2x ≤时，()53f x x =-≥，2x >时，()22x f x a a =++递增，可得()2225f x a a >++>， 则()f x 的值域为[)3,+∞成立，1a >恒成立． 综上可得()1,11,2a ⎡⎫∈⋃+∞⎪⎢⎣⎭． 故答案为：()1,11,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭．【点睛】本题考查函数方程的转化思想和函数的值域的问题解法，注意运用数形结合和分类讨论的思想方法，考查推理和运算能力，属于中档题． 25．5【解析】【分析】由求出的范围根据正弦函数为零确定的值再由三角函数值确定角即可【详解】时当时的解有的解有的解有故共有5个零点故答案为：5【点睛】本题主要考查了正弦函数余弦函数的三角函数值属于中档题 解析：5【解析】【分析】由[]0,2x π∈，求出cos x π的范围，根据正弦函数为零，确定cos x 的值，再由三角函数值确定角即可.【详解】cos x πππ-≤≤,()()sin cos 0f x x π∴==时, cos 0x =,1,1-，当[]0,2x π∈时，cos 0x =的解有3,22ππ，cos 1x =-的解有π，cos 1x =的解有0,2π, 故共有30,,,,222ππππ5个零点， 故答案为：5【点睛】本题主要考查了正弦函数、余弦函数的三角函数值，属于中档题.三、解答题26．(1)见解析；(2)12a =；(3) 16.【解析】【分析】【详解】(1)()f x 的定义域为R, 任取12x x <, 则121211()()2121x x f x f x a a -=--+++=121222(12)(12)x x x x -++. 12x x <,∴1212220,(12)(12)0x x x x -++.∴12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <.所以不论a 为何实数()f x 总为增函数.(2)()f x 在x ∈R 上为奇函数,∴(0)0f =,即01021a -=+. 解得12a =. (3)由(2)知，11()221x f x =-+, 由(1) 知，()f x 为增函数,∴()f x 在区间[1,5)上的最小值为(1)f .∵111(1)236f =-=， ∴()f x 在区间[1,5)上的最小值为16. 27．（Ⅰ）39万元（Ⅱ）甲大棚投入18万元，乙大棚投入2万元时，最大年总收入为44.5万元.【解析】【分析】（I ）根据题意求得()F a 的表达式，由此求得()8F 的值.（II ）求得()F a 的定义域，利用换元法，结合二次函数的性质，求得()F a 的最大值，以及甲、乙两个大棚的投入.【详解】（Ⅰ）由题意知11()8(20)122544F a a a =+-+=-+，所以1(8)825394F =-⨯+=（万元）. （Ⅱ）依题意得2,218202a a a ⎧⇒⎨-⎩.故1()4225(218)4F a a a a =-++. 令t a =，则[2,32]t ∈，2211()4225(82)5744G t t t t =-++=--+， 显然在[2,32]上()G t 单调递增，所以当32t =，即18a =时，()F a 取得最大值，max ()44.5F a =.所以当甲大棚投入18万元，乙大棚投入2万元时，年总收入最大，且最大年总收入为44.5万元.【点睛】本小题主要考查函数在实际生活中的应用，考查含有根式的函数的最值的求法，属于中档题.28．（1）()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+>=⎨+≤⎩（2）(]1,3 【解析】【分析】（1）当0x >时，设出二次函数顶点式，结合(2)0f =求得二次函数解析式.根据奇函数的性质，求得当0x <时，()f x 的解析式，从而求得()f x 在R 上的解析式.（2）由（1）画出()f x 的图像，结合()f x 在区间[1,2]a --上单调递增列不等式，解不等式求得a 的取值范围.【详解】（1）∵()f x 是定义在R 上的奇函数，∴()()f x f x -=-且()00f =当0x >时由已知可设2()(1)1(0)f x a x a =-+≠，又(2)0f =解得1a =-所以0x >，2()2f x x x =-+当0x <时，0x ->，∴()()()2222f x f x x x x x ⎡⎤=--=----=+⎣⎦又()0f 满足()22f x x x =+∴()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+>=⎨+≤⎩ （2）由（1）可得图象如下图所示：由图可知()f x 的增区间为[1,1]-∵在()f x 区间[1,2]a --上单调递增，∴121a -<-≤解得：(]1,3a ∈∴a 的取值范围为：(]1,3【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查二次函数解析式的求法，考查函数的单调性，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.29．(1) ()45100x ，∈时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;(2)见解析. 【解析】【分析】（1）由题意知求出f （x ）＞40时x 的取值范围即可；（2）分段求出g （x ）的解析式，判断g （x ）的单调性，再说明其实际意义．【详解】（1）由题意知，当30100x <<时，()180029040f x x x=+->， 即2659000x x -+>，解得20x <或45x >，∴()45100x ∈，时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间； （2）当030x <≤时，()()30%401%4010x g x x x =⋅+-=-； 当30100x <<时， ()()218013290%401%585010x g x x x x x x ⎛⎫=+-⋅+-=-+ ⎪⎝⎭； ∴()2401013585010x g x x x ⎧-⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩； 当032.5x <<时，()g x 单调递减；当32.5100x <<时，()g x 单调递增；说明该地上班族S 中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．【点睛】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力． 30．()221,022144,2424,4t t f t t t t t ⎧<≤⎪⎪⎪=-+-<≤⎨⎪>⎪⎪⎩【解析】【分析】分02t <≤、24t <≤和4t >三种情况讨论，当02t <≤时，直线x t =左边为直角边长为t 的等腰直角三角形；当24t <≤时，由AOB ∆的面积减去直角边长为4t -的等腰直角三角形面积得出()f t ；当4t >时，直线x t =左边为AOB ∆.综合可得出函数()y f t =的解析式.【详解】等腰直角三角形OAB ∆中，ABO 90∠=，且直角边长为22，所以斜边4OA =， 当02t <≤时，设直线x t =与OA 、OB 分别交于点C 、D ，则OC CD t ==，()212f t t ∴=；当24t <≤时，设直线x t =与OA 、AB 分别交于点E 、F ，则4EF EA t ==-，()()221112222444222f t t t t ∴=⨯⨯--=-+-.当4t >时，()4f t =.综上所述，()221,022144,2424,4t t f t t t t t ⎧<≤⎪⎪⎪=-+-<≤⎨⎪>⎪⎪⎩. 【点睛】本题考查分段函数解析式的求解，解题时要注意对自变量的取值进行分类讨论，注意处理好各段的端点，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.。

一、选择题1．(0分)[ID ：12118]已知a =21.3，b =40.7，c =log 38，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<2．(0分)[ID ：12095]已知奇函数()y f x =的图像关于点(,0)2π对称，当[0,)2x π∈时，()1cos f x x =-，则当5(,3]2x ππ∈时，()f x 的解析式为（ ） A ．()1sin f x x =-- B ．()1sin f x x =- C ．()1cos f x x =-- D ．()1cos f x x =- 3．(0分)[ID ：12085]已知0.11.1x =， 1.10.9y =，234log 3z =，则x ，y ，z 的大小关系是( ) A ．x y z >>B ．y x z >>C ．y z x >>D ．x z y >>4．(0分)[ID ：12124]已知二次函数()f x 的二次项系数为a ，且不等式()2f x x >-的解集为()1,3，若方程()60f x a +=，有两个相等的根，则实数a =（ ） A ．－15B ．1C ．1或－15D ．1-或－155．(0分)[ID ：12105]已知131log 4a =，154b=，136c =，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>6．(0分)[ID ：12083]已知定义域R 的奇函数()f x 的图像关于直线1x =对称，且当01x ≤≤时，3()f x x =，则212f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．278-B ．18-C ．18D ．2787．(0分)[ID ：12077][]x 表示不超过实数x 的最大整数，0x 是方程ln 3100x x +-=的根，则0[]x =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．(0分)[ID ：12073]下列函数中，值域是()0,+∞的是（ ） A ．2y x = B ．211y x =+ C ．2x y =-D ．()lg 1(0)y x x =+>9．(0分)[ID ：12057]设函数()()212log ,0,log ,0.x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,则实数的a 取值范围是( )A ．()()1,00,1-⋃B ．()(),11,-∞-⋃+∞C ．()()1,01,-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-⋃10．(0分)[ID ：12053]函数ln x y x=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．11．(0分)[ID ：12034]已知函数()2x xe ef x --=，x ∈R ，若对任意0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，都有()()sin 10f f m θ+->成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．()0,2C ．(),1-∞D ．(]1-∞， 12．(0分)[ID ：12062]已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增。

2020-2021学年广东省深圳市高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共36.0分） 1.已知集合A ={x|(x −1)2<3x +7,x ∈R}，B ={x|xx+1≤0}，则A ∩B =( )A. [−1,0]B. (−1,0)C. (−1,0]D. [−1,0)2.已知函数f(x)={lgx,x >0x +11,x ≤0，则f(f(−1)=( )A. −2B. 0C. 1D. −13.设角α的终边经过点P(−1,y)，且tanα=12，则y 等于( )A. 2B. −2C. 12D. −124.已知偶函数f(x)在区间［0，+∞)单调增加，则满足f(2x −1)<f()的x 取值范围是( )A. ()B. ［)C. ()D. ［)5. 若变量满足约束条件的最大值和最小值分别为M 和m ，则M −m =A. 8B. 7C. 6D. 56.8.下列命题为真命题的是A. 已知，则“”是“”的充分不必要条件B. 已知数列为等比数列，则“”是“”的既不充分也不必要条件C. 已知两个平面，，若两条异面直线满足且//， //，则// D.，使成立7.已知函数f(x)=2|cosx|sinx +sin2x ，给出下列四个命题：①函数f(x)的图象关于直线x =π4对称； ②函数f(x)在区间[−π4,π4]上单调递增； ③函数f(x)的最小正周期为π；④函数f(x)的值域为[−2,2].其中真命题的个数是( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个8.若一个函数y =f(x)的图象关于y 轴对称，则称这个函数为偶函数，设偶函数y =f(x)的定义域为[−5,5]，若当x ∈[0,5]时，函数y =f(x)的图象如下图，则f(x)<0解集是( )A. (−2,0)∪(2,5]B. (−5,−2)∪(2,5)C. [−2,0]∪(2，5]D. [−5,−2)∪(2,5]9.sin(−1080°)=( )A. −12B. 1C. 0D. −110. 函数f(x)=(12)x −15x 的零点位于区间( )A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)11. 《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理或定理都能通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC =a ，BC =b ，其中a >b >0，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a+b 2>√abB. a 2+b 2>2abC. 2aba+b <√abD. a+b 2<√a2+b 2212. 下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是( )A. y =x 3B. y =−|x|C. y =−x 2+1D. y =2|x|二、单空题（本大题共4小题，共12.0分） 13. 不等式组{sinx ≥02cosx −1>0的解集为______ ．14. 已知tanα=2，则cos2α(sinα−cosα)2=______． 15. 下列命题正确的是______ (写序号)①命题“∃x 0∈R ，x 02+1>3x 0”的否定是“∀x ∈R ，x 2+1≤3x ”： ②函数f(x)=cos 2ax −sin 2ax 的最小正周期为“π”是“a =1”的必要不充分条件； ③x 2+2x ≥ax 在x ∈[1,2]上恒成立⇔(x 2+2x)min ≥(ax)max 在x ∈[1,2]上恒成立； ④在△ABC 中，“A >B ”是“sinA >sinB ”的充要条件．16. 函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，f(x)=2x 2−x +1，则当x >0，f(x)= ______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 已知△ABC 的面积为1，且满足0<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤2，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ (Ⅰ)求θ的取值范围；(Ⅱ)求函数f(θ)=2sin 2(π4+θ)−cos(2θ+π6)的最大值及取得最大值时的θ值．18. (Ⅰ)设U =R ，A ={x|−2≤x <4}，B ={x|8−2x ≥3x −7}，求(∁U A)∩(∁U B)． (Ⅱ)已知集合A ={x|3x −4≤0}，B ={x|x −m <0}，且A ∩B =B ，求m 的取值范围．19. 已知函数f(x)=sin(ωx −π3)(ω>0)图象中相邻两个最高点的距离是π． (Ⅰ)求ω的值；(Ⅱ)求f(x)在区间[0,7π12]上的最大值和最小值．20. 已知函数f(x)=x 2+1x ．(1)判断f(x)的奇偶性并证明；(2)当x ∈(1,+∞)时，判断f(x)的单调性并证明；(3)在(2)的条件下，若实数m 满足f(3m)>f(5−2m)，求m 的取值范围．21. 在锐角△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c 且bcosC =√2acosB −ccosB ， (1)求角B 大小(2)设A =θ，求函数f(θ)=2sin 2(π4+θ)−√3cos2θ−2的值域．22. 已知函数f(x)=ax 2+bx −ln x(a,b ∈R)．(1)当a =8，b =−6时，求f(x)的零点的个数；(2)设a >0，且x =1是f(x)的极小值点，试比较ln a 与−2b 的大小．参考答案及解析1.答案：C解析：解：由A 中不等式变形得：x 2−5x −6<0，即(x −6)(x +1)<0， 解得：−1<x <6，即A =(−1,6)，由B 中不等式变形得：x(x +1)≤0，且x +1≠0， 解得：−1<x ≤0，即B =(−1,0]， 则A ∩B =(−1,0]． 故选：C ．求出A 中不等式的解集确定出A ，求出B 中不等式的解集确定出B ，求出两集合的交集即可． 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.答案：C解析：解：∵函数f(x)={lgx,x >0x +11,x ≤0，∴f(−1)=−1+11=10， f(f(−1)=f(10)=lg10=1． 故选：C ．推导出f(−1)=−1+11=10，从而f(f(−1)=f(10)，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.答案：D解析：解：∵角α的终边经过点P(−1,y)，且tanα=12， ∴y−1=12， ∴y =−12， 故选：D ．由题设条件，根据三角函数终边上一点的定义即可求得正切．本题考查任意角三角函数的定义，求解的关键是熟练掌握定义中知道了终边上一点的坐标，求正切值的规律．4.答案：A解析：由题意需满足|2x−1|<，解得，故选A．5.答案：C解析：解：化目标函数z=2x+y为y=−2x+z，由图可知，当直线y=−2x+z过A(−1,−1)时目标函数有最小值为m=−3，当直线y=−2x+z过B(2,−1)时目标函数有最大值为M=2×2−1=3.∴M−m=6．故选：C．6.答案：C解析：故答案为C．7.答案：C解析：解：对于①，函数f(x)=2|cosx|sinx+sin2x，由于f(−π4)=−2，f(3π4)=0，∴f(−π4)≠f(3π4)，故f(x)的图象不关于直线x=π4对称，故①错误．对于②，区间[−π4,π4]上，f(x)=2|cosx|sinx+sin2x=2sin2x单调递增，故②正确．对于③，函数f(π3)=√3，f(4π3)=0，∴f(π3)≠f(4π3)，故函数f(x)的最小正周期不是π，故③错误．对于④，当cosx≥0时，f(x)=2|cosx|sinx+sin2x=2sinxcosx+sin2x=2sin2x，故它的最大值为2，最小值为−2；当cosx<0时，f(x)=2|cosx|sinx+sin2x=−2sinxcosx+sin2x=0，综合可得，函数f(x)的最大值为2，最小值为−2，故④正确．故选：C．利用三角函数的周期性、单调性、值域以及它的图象的对称性，判断各个选项是否正确，从而得出结论．本题主要考查三角函数的周期性、单调性、值域以及它的图象的对称性，属于中档题．8.答案：D解析：解：∵函数y=f(x)的图象关于y轴对称，当x∈[0,5]时，若函数y=f(x)<0，则x∈(2,5]，故当x∈[−5,0]时，若函数y=f(x)<0，则x∈[−5,−2)，综上f(x)<0的解集是[−5,−2)∪(2,5]，故选：D由当x∈[0,5]时，函数y=f(x)的图象，先求出当x∈[0,5]时，f(x)<0的解集，再根据函数图象的对称性，求出当x∈[−5,0]时，f(x)<0的解集，综合讨论结果，可得答案．本题考查的知识点是奇偶函数图象的对称性，难度不大，属于基础题．9.答案：C解析：本题主要考查了诱导公式的应用，属于基础题．利用诱导公式即可求解．解：sin(−1080°)=−sin(3×360°+0°)=0．故选：C．10.答案：B解析：本题考查函数零点存在性定理的运用，属于基础题．由f(1)⋅f(2)<0结合零点存在性定理即可得解．解：函数f(x)在R上为减函数，其图象为一条不间断的曲线，又f(1)=12−15=310>0,f(2)=14−25=−320<0，∴f(1)⋅f(2)<0，由零点存在性定理可知，函数f(x)的零点位于区间(1,2)．故选：B．11.答案：D解析：解：由图形可知，OF=a+b2，OC=AC−OA=a−a+b2=a−b2，(a>b>0)，所以CF=√OF2+OC2=√(a+b2)2−(a−b2)2=√a2+b22，Rt△ACF中，由OF<CF可得，a+b2<√a2+b22．故选：D．计算出CF，OF，由OF<CF即可求解．本题主要考查利用几何关系得出不等式，考查推理能力，属于基础题．12.答案：D解析：解：对于A，函数y=x3在(0,+∞)上单调递增，是奇函数，不满足条件；对于B，函数y=−|x|是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减，不满足条件；对于C，函数y=−x2+1是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减，不满足条件；对于D，函数y=2|x|是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增，满足条件．故选：D．根据基本初等函数的单调性奇偶性，分析选项中四个函数在(0,+∞)上的单调性和奇偶性，即可得出答案．本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，熟练掌握常见的基本初等函数的性质是解题的关键．13.答案：{x|2kπ≤x ≤2kπ+π3,k ∈Z}解析：解：因为{sinx ≥02cosx −1>0，可得{sinx ≥0cosx >12，在单位圆中分别表示出满足以上不等式的角的集合， 如图所示， 由三角函数线，可得{2kπ≤x ≤2kπ+π, k ∈Z,2kπ−π3<x <2kπ+π3,k ∈Z,解集恰好为图中阴影重叠的部分，故原不等式的解集为{x|2kπ≤x <2kπ+π3,k ∈Z}.故答案为：{x|2kπ≤x <2kπ+π3,k ∈Z}.原不等式组可化为{sinx ≥0cosx >12，在单位圆中分别表示出满足以上不等式的角的集合，由三角函数线，可得{2kπ≤x ≤2kπ+π, k ∈Z,2kπ−π3<x <2kπ+π3,k ∈Z,解集为图中阴影重叠的部分，即可得解原不等式的解集．本题主要考查了不等式组的解法，考查了正弦函数，余弦函数的图像和性质，考查了数形结合思想，属于基础题．14.答案：−3解析：解：tanα=2，则cos2α(sinα−cosα)2=cos 2α−sin 2αsin 2α+cos 2α −2sinαcosα=1−tan 2αtan 2α+1 −2tanα=1−44+1−4=−3． 故答案为：−3．利用二倍角的余弦函数化简所求表达式，弦切互化，得到正切函数的形式，求解即可． 本题考查二倍角公式的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力．15.答案：①②④解析：解：对于①：先将量词变为∀x ∈R ，结论x 02+1>3x 0变成x 2+1≤3x ，可见①为真命题；对于②：f(x)=cos2ax，其最小正周期的计算方法是2π|ω|，故本题最小正周期为π时，a=±1，此时不一定有a=1成立，而反之，a=1必有a=≠±1成立，故前者是后者的必要而不充分条件，故②为真命题．对于③：x2+2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立⇔x2+2x−ax≥0在[1,2]上恒成立，所以③为假命题；对于④：由正弦定理知asinA =bsinB=2R，∵sinA>sinB，∴a>b，∴A>B．反之，∵A>B，∴a>b，∵a=2RsinA，b=2RsinB，∴sinA>sinB，故④是真命题．故答案为：①②④．对于①：根据特称命题的否定方法判断；对于②：先将f(x)=cos2ax−sin2ax化成：f(x)=cos2ax，再结合周期计算公式进行判断；对于③：x2+2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立，前后是同一个变量，因此应作差后，再将差函数的最值求出来即可；对于④：由正弦定理知asinA =bsinB，由sinA>sinB，知a>b，所以A>B，反之亦然，故可得结论．本题中的②是容易出错的，学生往往记成T=2πω，而忽视了绝对值，对于第四个，属于常考的易错题，需引起重视．16.答案：−2x2−x−1解析：解：∵f(x)是定义在R上的奇函数，x<0时，f(x)=2x2−x+1，∴x>0时，−x<0；∴f(−x)=2(−x)2−(−x)+1=2x2+x+1，又f(−x)=−f(x)，∴f(x)=−f(−x)=−(2x2+x+1)=−2x2−x−1；故答案为：−2x2−x−1由x<0时f(x)的解析式，结合函数的奇偶性求出x>0时f(x)的解析式．本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，难度不大，属于基础题．17.答案：解：(Ⅰ)设△ABC中角A、B、C的对边分别为a、b、c，∵△ABC 的面积为1，且满足0<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤2，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ， ∴12bcsinθ=1，即bc =2sinθ，0<bccosθ≤2， ∴0<2tanθ≤2，即tanθ≥1，∵θ∈(0,π)，∴θ∈[π4,π2)；(Ⅱ)f(θ)=[1−cos(π2+2θ)]−[√32cos2θ−12sin2θ] =1+sin2θ−√32cos2θ+12sin2θ=√3sin(2θ−π6)+1， ∵θ∈[π4,π2)，2θ−π6∈[π3,5π6) ∴当θ=π3时，f(θ)max =√3+1．解析：(Ⅰ)设△ABC 中角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ，利用三角形的面积公式表示出面积，令面积为1列出关系式12bcsinθ=1，表示出bc ，且得到bccosθ的范围，将表示出的bc 代入求出的范围中，利用同角三角函数间的基本关系化简，整理后求出tanθ的范围，由θ∈(0,π)，利用正切函数的图象与性质即可求出θ的范围；(Ⅱ)将函数解析式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理后，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由第一问求出的θ的范围，求出这个角的范围，利用正弦函数的定义域与值域即可求出函数的最大值及取得最大值时的θ值． 此题考查了三角函数的恒等变换及化简求值，以及平面向量的数量积运算，涉及的知识有：二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，正切函数的图象与性质，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键． 18.答案：解：(Ⅰ)B ={x|8−2x ≥3x −7}={x|x ≤3}，则∁U B ={x|x >3}．∵A ={x|−2≤x <4}，∴∁U A ={x|x <−2或x ≥4}．∴(∁U A)∩(∁U B)={x|x ≥4}；(Ⅱ)A ={x|x ≤43},B ={x|x <m}，∵A ∩B =B ，∴B ⊆A ，∴m ≤43．解析：(Ⅰ)求解一次不等式化简集合B，然后分别求出∁U A和∁U B，取交集得答案；(Ⅱ)分别求解一元一次不等式化简两集合，由A∩B=B得B⊆A，再结合两集合端点值间的关系得答案．本题考查交、并、补集的混合运算，考查了集合间的关系的判断与运用，是基础题．19.答案：解：(Ⅰ)∵函数f(x)=sin(ωx−π3)(ω>0)图象中相邻两个最高点的距离是π，∴T=2πω=2，即ω=2，(Ⅱ)∵0≤x7π12，∴−π3≤2x−π3≤5π6，当2x−π3=−π3，即x=0时，f(x)有最小值−√32，当2x−π3=π2，即x=5π12时，f(x)有最小值1．解析：(Ⅰ)根据图象中相邻两个最高点的距离是π，利用T=2πω=2；即可求出(Ⅱ)根据三角函数的单调性即可求出函数的最值．本题主要考查三角函数的图象和性质，属于基础题．20.答案：证明：(1)f(x)=x2+1x为奇函数，利用如下：f(−x)=(−x)2+1−x =−1+x2x=−f(x)，故f(x)为奇函数，(2)x∈(1,+∞)时，f(x)的单调性递增，利用如下：设1<x1<x2，f(x)=x+1x，则f(x1)−f(x2)=x1+1x1−x2−1x2=(x1−x2)+x2−x1x1x2，=(x1−x2)(1−1x1x2)<0，所以f(x1)<f(x2)，所以f(x)在(1,+∞)上单调递增，(3)解：由f(3m)>f(5−2m)可得3m>5−2m>1，解得，1<m<2．故m的范围(1,2)解析：(1)检验f(−x)与f(x)的关系即可判断，(2)先设1<x1<x2，然后利用作差法比较f(x1)与f(x2)的大小即可判断，(3)结合函数的单调性及奇偶性即可求解．本题主要考查了函数单调性及奇偶性的判断及利用单调性及奇偶性求解不等式，属于中档试题．21.答案：解：(1)∵bcosC=√2acosB−ccosB，∴由正弦定理得，sinBcosC=√2sinAcosB−sinCcosB，则sin(B+C)=√2sinAcosB，又sin(B+C)=sinA≠0，∴cosB=√22，由0<B<π得，B=π4；(2)由(1)得，C=π−A−B=3π4−θ，∵△ABC是锐角三角形，∴{0<3π4−θ<π20<θ<π2，解得π4<θ<π2，∵f(θ)=2sin2(π4+θ)−√3cos2θ−2=1−cos(π2+2θ)−√3cos2θ−2=sin2θ−√3cos2θ−1=2sin(2θ−π3)−1，由π4<θ<π2得，π6<2θ−π3<2π3，∴12<sin(2θ−π3)≤1，则0<2sin(2θ−π3)−1≤1，即函数f(x)的值域是(0,1]．解析：(1)由正弦定理化简已知的式子，由两角和的正弦公式、诱导公式化简后求出cosB的值，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出B；(2)由(1)和内角和定理求出C，根据△ABC是锐角三角形列出不等式求出θ的范围，由二倍角公式及变形、两角差的正弦公式化简后，由正弦函数的性质求出函数的值域．本题考查了正弦定理，两角和(差)的正弦公式、诱导公式，三角形的面积公式，以及正弦函数的性质的综合应用，属于中档题．22.答案：解：(Ⅰ)∵a=8，b=−6，∴f ′(x)=(2x −1)(8x +1)x (x >0) 当0<x <12时，f′(x)<0，当x >12时，f′(x)>0，故f(x)在(0,12)递减，在(12,+∞)递增，故f(x)的极小值是f(12)，又∵f(12)=−1+ln2<0，∴f(x)有两个零点；(Ⅱ)依题有f′(1)=0，∴2a +b =1即b =1−2a ，∴lna −(−2b)=lna +2−4a ，令g(a)=lna +2−4a ，(a >0)则g′(a)=1a −4=1−4a a ， 当0<a <14时，g′(a)>0，g(a)单调递增；当a >14时，g′(a)<0，g(a)单调递减．因此g(a)<g(14)=1−ln4<0，故lna <−2b ．解析：(Ⅰ)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，得到函数的极小值小于0，从而判断出函数的零点个数；(Ⅱ)求出b =1−2a ，作差lna −(−2b)=lna +2−4a ，根据函数的单调性求出g(a)的最大值，从而判断出lna 和−2b 的大小即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道偏难题．。

2021-2022学年广东省深圳高级中学高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合U ＝R ，A ＝{x |x 2﹣2x ＜0}，B ＝{x |y ＝lg （x ﹣1）}，则A ∩B ＝（ ） A ．（0，2）B ．（0，1）C ．（1，2）D ．[﹣1，2）2．（5分）若命题“∀x ∈R ，x 2+ax +1≥0”是假命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B ．（﹣∞，﹣2]C ．[2，+∞）D ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）3．（5分）设条件p ：a ＞0，条件q ：a 2+a ＞0；那么p 就是q 的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）已知函数y ＝a x +4+2（a ＞0，且a ＞1）的图象恒过点P ，若角α的终边经过点P ，则sin α＝（ ） A ．35B ．−35C ．45D ．−455．（5分）设a ＝tan92°，b =(1π)2，c ＝log π92，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c ＞a ＞bB ．c ＞b ＞aC ．a ＞b ＞cD ．b ＞a ＞c6．（5分）若实数x ，y 满足2x +y ＝1，则x •y 的最大值为（ ） A ．1B ．14C ．18D ．1167．（5分）函数f （x ）=ln|x−3|(x−3)3的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．8．（5分）生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量P 会按确定的比率衰减（称为衰减率），P 与死亡年数t 之间的函数关系式为P =(12)ta （其中a 为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的75%，则可推断该文物属于（ ） 参考数据：log 20.75≈﹣0.4 参考时间轴：A ．宋B ．唐C ．汉D ．战国二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. （多选）9．（5分）下列四个命题，其中为假命题的是（ ）A ．若函数f （x ）在（0，+∞）上是增函数，在（﹣∞，0）上也是增函数，则f （x ）是增函数B ．y ＝x +1和y =√(1+x)2表示同一函数C ．函数y =log 13(−x 2−2x +3)的单调递增区间是[1，3）D ．若函数f （x ）＝x 2+4ax +2a 的值域是[0，+∞），则实数a ＝0或12（多选）10．（5分）函数s ＝f （t ）的图像如图所示（图像与t 正半轴无限接近，但永不相交），则下列说法正确的是（ ）A ．函数s ＝f （t ）的定义域为[﹣3，﹣1]∪[0，+∞）B ．函数s ＝f （t ）的值域为（0，5]C ．当s ∈[2，4]时，有三个不同的t 值与之对应D ．当t 1，t 2∈（0，1）（t 1≠t 2）时，f(t 1)−f(t 2)t 1−t 2＞0（多选）11．（5分）设函数f （x ）＝4sin （2x +1）﹣x ，则在下列区间中函数f （x ）存在零点的是（ ） A ．[﹣4，﹣2]B ．[﹣2，0]C ．[0，2]D ．[2，4]（多选）12．（5分）已知函数f(x)=sin(3x −π4)，则下列说法正确的是（ ） A ．函数f(x −π12)为偶函数 B ．f(π)=−√22C ．若|f （x 1）﹣f （x 2）|＝2，则|x 1﹣x 2|的最小值为π3D ．函数f （x ）的图象向右平移π4个单位长度得到函数y ＝﹣cos3x 的图象三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．（5分）tan300°的值是 ．14．（5分）若函数f(x)={log 12x ，(x ＞0)2x，(x ≤0)，则f [f （2）]＝ ．15．（5分）已知sin(α+π12)=35，则sin(2α−π3)= ． 16．（5分）设当x ＝θ时，函数f （x ）＝3cos x ﹣sin x ，x ∈R 取得最大值，则cos θ＝ ． 四、解答题：共70分，其中第17题10分，其余题目每题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）计算：（1）(214)12−(−9.6)0−(338)23+0.1−1；（2）lg 2•lg 50+lg 5•lg 20﹣lg 100•lg 5•lg 2．18．（12分）已知α为第三象限角，且f （α）=sin(3π2−α)cos(π2−α)tan(−α+π)sin(π2+α)tan(2π−α)．（1）化简f （α）；（2）若α=−323π，求f （α）的值． （3）若f （α）=2√65，求cos （π+α）的值．19．（12分）已知函数f(x)=(√3cosx −sinx)sinx ，x ∈R ． （Ⅰ）求函数f （x ）的最小正周期与单调增区间；（Ⅱ）求函数f （x ）在[0，π4]上的最大值与最小值．20．（12分）第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行．本届进博会共有58个国家和3个国际组织参加国家展（国家展今年首次线上举办），来自127个国家和地区的近3000家参展商亮相企业展．更多新产品、新技术、新服务“全球首发，中国首展”专（业）精（品）尖（端）特（色）产品精华荟萃，某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调．生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，每生产x 千台空调，需另投入资金R 万元，且R ={10x 2+ax ，0＜x ＜40901x 2−9450x+10000x，x ≥40，经测算，当生产10千台空调需另投入的资金R ＝4000万元．现每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完．（1）求2022年企业年利润W （万元）关于年产量x （千台）的函数关系式； （2）2022年产量为多少（千台）时，企业所获年利润最大？最大年利润多少？ （注：利润＝销售额﹣成本．）21．（12分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）+B （A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示．（1）求f （x ）的解析式及对称中心坐标：（2）先把f （x ）的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数g （x ）的图象，若当x ∈[−π4，π6]时，关于x 的方程g （x ）+2a ﹣1＝0有实数根，求实数a 的取值范围．22．（12分）已知函数f （x ）＝lg1−x x+1．（1）求不等式f （f （x ））+f （lg 2）＞0的解集；（2）函数g （x ）＝2﹣a x （a ＞0，a ≠1），若存在x 1，x 2∈[0，1），使得f （x 1）＝g （x 2）成立，求实数a的取值范围；（3）若函数h（x）={f(x)，−1＜x＜1k|x|+1，x≤−1或x≥1，讨论函数y＝h（h（x））﹣2的零点个数（直接写出答案，不要求写出解题过程）．2021-2022学年广东省深圳高级中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合U ＝R ，A ＝{x |x 2﹣2x ＜0}，B ＝{x |y ＝lg （x ﹣1）}，则A ∩B ＝（ ） A ．（0，2）B ．（0，1）C ．（1，2）D ．[﹣1，2）【解答】解：集合U ＝R ，A ＝{x |x 2﹣2x ＜0}＝{x |0＜x ＜2}， B ＝{x |y ＝lg （x ﹣1）}＝{x |x ＞1}， ∴A ∩B ＝{x |1＜x ＜2}． 故选：C ．2．（5分）若命题“∀x ∈R ，x 2+ax +1≥0”是假命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B ．（﹣∞，﹣2]C ．[2，+∞）D ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【解答】解：∵∀x ∈R ，x 2+ax +1≥0是假命题， ∴Δ＝a 2﹣4＞0 ∴a ＞2或a ＜﹣2，∴实数a 的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）， 故选：A ．3．（5分）设条件p ：a ＞0，条件q ：a 2+a ＞0；那么p 就是q 的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：由a 2+a ＞0；解得：a ＞0或a ＜﹣1， 故p 是q 的充分不必要条件， 故选：C ．4．（5分）已知函数y ＝a x +4+2（a ＞0，且a ＞1）的图象恒过点P ，若角α的终边经过点P ，则sin α＝（ ） A ．35B ．−35C ．45D ．−45【解答】解：由x +4＝0得x ＝﹣4，此时y ＝a 0+2＝1+2＝3，即定点P （﹣4，3）， 则|OP |＝5，则sin α=35，故选：A ．5．（5分）设a ＝tan92°，b =(1π)2，c ＝log π92，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c ＞a ＞bB ．c ＞b ＞aC ．a ＞b ＞cD ．b ＞a ＞c【解答】解：因为92°是第二象限角， 所以a ＝tan92°＜0，因为指数函数y ＝（1π）x 在R 上为减函数，且0＜2＜3，所以0＜（1π）3＜（1π）2＜（1π）0＝1，所以0＜b ＜l ，因为y ＝log πx 为（0，+∞）上的增函数，π＜92， 所以c ＝log π92＞1， 所以c ＞b ＞a ． 故选：B ．6．（5分）若实数x ，y 满足2x +y ＝1，则x •y 的最大值为（ ） A ．1B ．14C ．18D ．116【解答】解：∵实数x ，y 满足2x +y ＝1， ∴y ＝1﹣2x ，∴xy ＝x （1﹣2x ）＝﹣2x 2+x ＝﹣2（x −14）2+18≤18， 当x =14，y =12时取等号， 故选：C ．7．（5分）函数f （x ）=ln|x−3|(x−3)3的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：∵g（x）=ln|x|x3为定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，∴其图象关于原点成中心对称，又f（x）=ln|x−3|(x−3)3=g（x﹣3），∴f（x）的图象关于（3，0）成中心对称，可排除A与B；又当x→3+时，f（x）→﹣∞，当x→+∞时，f（x）→0，故可排除D，故选：C．8．（5分）生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量P会按确定的比率衰减（称为衰减率），P与死亡年数t之间的函数关系式为P=(12)ta（其中a为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的75%，则可推断该文物属于（）参考数据：log20.75≈﹣0.4参考时间轴：A．宋B．唐C．汉D．战国【解答】解：∵每经过5730年衰减为原来的一半，∴P与死亡年数t之间的函数关系式为P=(12)t5730(t＞0)，由题意可得，(12)t5730=0.75，即t5730=−log20.75≈0.4，解得t≈2292，由2021﹣2292＝﹣271，可判断该文物属于战国．故选：D．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）下列四个命题，其中为假命题的是（）A．若函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，在（﹣∞，0）上也是增函数，则f（x）是增函数B．y＝x+1和y=√(1+x)2表示同一函数C．函数y=log13(−x2−2x+3)的单调递增区间是[1，3）D ．若函数f （x ）＝x 2+4ax +2a 的值域是[0，+∞），则实数a ＝0或12【解答】解：函数y =−1x在（0，+∞）上是增函数，在（﹣∞，0）上也是增函数，但f （x ）在定义域内不是增函数，故A 为假命题；函数y =√(1+x)2=|x +1|，与函数y ＝x +1的解析式不同，不是同一函数，故B 为假命题； 函数y =log 13t 为减函数，而t ＝﹣x 2﹣2x +3在（﹣1，1）上是减函数，∴函数y =log 13(−x 2−2x +3)的单调递增区间是（﹣1，1），故C 为假命题；函数f （x ）＝x 2+4ax +2a ＝（x +2a ）2﹣4a 2+2a 的值域是[0，+∞），可得﹣4a 2+2a ＝0，解得a ＝0或12，故D 为真命题．故选：ABC ．（多选）10．（5分）函数s ＝f （t ）的图像如图所示（图像与t 正半轴无限接近，但永不相交），则下列说法正确的是（ ）A ．函数s ＝f （t ）的定义域为[﹣3，﹣1]∪[0，+∞）B ．函数s ＝f （t ）的值域为（0，5]C ．当s ∈[2，4]时，有三个不同的t 值与之对应D ．当t 1，t 2∈（0，1）（t 1≠t 2）时，f(t 1)−f(t 2)t 1−t 2＞0【解答】解：由s ＝f （t ）的图象可得定义域为[﹣3，﹣1]∪[0，+∞），故A 正确； 由s ＝f （t ）的图象可得图象在x 轴上方，且最大值为5，则值域为（0，5]，故B 正确； 当s ＝2和s ＝4时，分别有三个或两个不同的t 值与之对应，故C 错误； 当t ∈（0，1）时，s ＝f （t ）为递增函数，故D 正确． 故选：ABD ．（多选）11．（5分）设函数f （x ）＝4sin （2x +1）﹣x ，则在下列区间中函数f （x ）存在零点的是（ ） A ．[﹣4，﹣2]B ．[﹣2，0]C ．[0，2]D ．[2，4]【解答】解：在同一坐标系中画出g （x ）＝4sin （2x +1）与h （x ）＝x 的图象 如下图示：由图可知g （x ）＝4sin （2x +1）与h （x ）＝x 的图象在区间[﹣2，0]，[0，2]，[2，4]上有交点，函数f （x ）在[﹣2，0]，[0，2]，[2，4]存在零点， 故选：BCD ．（多选）12．（5分）已知函数f(x)=sin(3x −π4)，则下列说法正确的是（ ） A ．函数f(x −π12)为偶函数 B ．f(π)=−√22C ．若|f （x 1）﹣f （x 2）|＝2，则|x 1﹣x 2|的最小值为π3D ．函数f （x ）的图象向右平移π4个单位长度得到函数y ＝﹣cos3x 的图象【解答】解：对于函数f(x)=sin(3x −π4)，由于满足f （x −π12）＝sin （3x −π2）＝﹣cos3x ，故函数f(x −π12)为偶函数，故A 正确； 由于f （π）＝sin （3π−π4）＝sin （π−π4）＝sinπ4=√22，故B 错误； 若|f （x 1）﹣f （x 2）|＝2，则|x 1﹣x 2|的最小值半个周期π3，故C 正确；把函数f （x ）的图象向右平移π4个单位长度得到函数y ＝sin （3x ﹣π）＝﹣sin3x 的图象，故D 错误， 故选：AC ．三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．（5分）tan300°的值是 −√3 ．【解答】解：tan300°＝tan （360°﹣60°）＝﹣tan60°=−√3． 故答案为：−√314．（5分）若函数f(x)={log 12x ，(x ＞0)2x ，(x ≤0)，则f [f （2）]＝ 12．【解答】解：根据题意，函数f(x)={log 12x ，(x ＞0)2x，(x ≤0)，则f （2）=log 122＝﹣1，则f [f （2）]＝f （﹣1）=12；故答案为：12．15．（5分）已知sin(α+π12)=35，则sin(2α−π3)= −725 ． 【解答】解：∵sin(α+π12)=35，∴sin(2α−π3)=sin[2（α+π12）−π2]＝﹣cos2（α+π12） =2sin 2(α+π12)−1=2×(35)2−1=−725． 故答案为：−725．16．（5分）设当x ＝θ时，函数f （x ）＝3cos x ﹣sin x ，x ∈R 取得最大值，则cos θ＝ 3√1010．【解答】解：设当x ＝θ时，函数f （x ）＝3cos x ﹣sin x =√10cos(x +θ)， 当x ＝﹣θ，即cos （﹣θ）＝cos θ=3√10=3√1010时函数取得最大值． 故答案为：3√1010．四、解答题：共70分，其中第17题10分，其余题目每题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）计算：（1）(214)12−(−9.6)0−(338)23+0.1−1；（2）lg2•lg50+lg5•lg20﹣lg100•lg5•lg2．【解答】解：（1）原式=(94)12−1−(278)23+(110)−1=32−1−94+10=334；（2）原式＝lg2lg50+lg5lg20﹣2lg5lg2＝（lg2lg50﹣lg5lg2）+（lg5lg20﹣lg5lg2）＝lg2（lg50﹣lg5）+lg5（lg20﹣lg2）＝lg2+lg5＝1．18．（12分）已知α为第三象限角，且f（α）=sin(3π2−α)cos(π2−α)tan(−α+π) sin(π2+α)tan(2π−α)．（1）化简f（α）；（2）若α=−323π，求f（α）的值．（3）若f（α）=2√65，求cos（π+α）的值．【解答】解：（1）f（α）=sin(3π2−α)cos(π2−α)tan(−α+π)sin(π2+α)tan(2π−α)=(−cosα)⋅(sinα)⋅(−tanα)(cosα)⋅(−tanα)=−sinα；（2）f（α）＝f（−323π）＝﹣sin（−323π）＝sin323π＝sin2π3=√32；（3）∵f（α）＝﹣sinα=2√6 5，∴sinα=−2√6 5，又α为第三象限角，∴cosα=−√1−sin2α=−1−(−2√65)2=−15，∴cos（π+α）＝﹣cosα=1 5．19．（12分）已知函数f(x)=(√3cosx−sinx)sinx，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期与单调增区间；（Ⅱ）求函数f（x）在[0，π4]上的最大值与最小值．【解答】解：函数f(x)=(√3cosx−sinx)sinx =√3sin x cos x﹣sin2x=√32sin2x−1−cos2x2＝sin （2x +π6）−12，x ∈R ； （Ⅰ）f （x ）的最小正周期为T =2π2=π， 令−π2++2kπ≤2x +π6≤π2+2kπ，k ∈Z ， 解得−π3+kπ≤x ≤π6+kπ， 所以函数f （x ）的单调增区间为[kπ−π3，kπ+π6]，k ∈Z ；﹣﹣﹣（6分） （Ⅱ）因为0≤x ≤π4， 所以π6≤2x +π6≤2π3，所以12≤sin(2x +π6)≤1，所以0≤f(x)≤12．当且仅当x ＝0时 f （x ）取最小值f （x ）min ＝f （0）＝0，当且仅当2x +π6=π2，即x =π6时f （x ）取得最大值f(x)max =f(π6)=12．﹣﹣﹣（12分） 20．（12分）第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行．本届进博会共有58个国家和3个国际组织参加国家展（国家展今年首次线上举办），来自127个国家和地区的近3000家参展商亮相企业展．更多新产品、新技术、新服务“全球首发，中国首展”专（业）精（品）尖（端）特（色）产品精华荟萃，某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调．生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，每生产x 千台空调，需另投入资金R 万元，且R ={10x 2+ax ，0＜x ＜40901x 2−9450x+10000x，x ≥40，经测算，当生产10千台空调需另投入的资金R ＝4000万元．现每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完．（1）求2022年企业年利润W （万元）关于年产量x （千台）的函数关系式； （2）2022年产量为多少（千台）时，企业所获年利润最大？最大年利润多少？ （注：利润＝销售额﹣成本．）【解答】解：（1）由题意知，当x ＝10时，R （x ）＝10×102+10a ＝4000，所以a ＝300，当0＜x ＜40时，W ＝900x ﹣（10x 2+300x ）﹣260＝﹣10x 2+600x ﹣260，当x ≥40时，W =900x −901x 2−9450x+10000x −260=−x 2+9190x−10000x，所以W ={−10x 2+600x −260，0＜x ＜40−x 2+9190x−10000x，x ≥40．（2）当0＜x ＜40时，W ＝﹣10（x ﹣30）2+8740， 所以当x ＝30时，W 有最大值，最大值为8740， 当x ≥40时，W =−(x +10000x)+9190≤−2√10000+9190=8990， 当且仅当x =10000x，即x ＝100时，W 有最大值，最大值为8990， 因为8740＜8990，所以当2022年产量为100千台时，企业的利润最大，最大利润为8990万元．21．（12分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）+B （A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示．（1）求f （x ）的解析式及对称中心坐标：（2）先把f （x ）的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数g （x ）的图象，若当x ∈[−π4，π6]时，关于x 的方程g （x ）+2a ﹣1＝0有实数根，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）由题意可得：{A +B =1−A +B =−3，可得{A =2B =−1，所以f （x ）＝2sin （ωx +φ）﹣1， 因为T2=7π12−π12=π2，所以T =π=2πω，可得ω＝2，所以，f （x ）＝2sin （2x +φ）﹣1．由2×π12+φ=π2+2kπ(k ∈Z)，可得φ=π3+2kπ(k ∈Z)，因为|φ|＜π2，所以k =0，φ=π3，所以f(x)=2sin(2x +π3)−1．令2x +π3=kπ(k ∈Z)，可得x =kπ2−π6(k ∈Z)，所以，对称中心为(kπ2−π6，−1)(k ∈Z)． （2）由于先把f （x ）的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数g （x ）的图象，故g(x)=2sin[2(x +π6)+π3]−1+1=2sin(2x +2π3)． 当x ∈[−π4，π6]时，2x +2π3∈[π6，π]，sin(2x +2π3)∈[0，1]，g(x)∈[0，2]， 若关于x 的方程g （x ）+2a ﹣1＝0有实数根，则1﹣2a ＝g （x ）有实根， 所以，0≤1﹣2a ≤2，可得：−12≤a ≤12． 所以，实数a 的取值范围为[−12，12]． 22．（12分）已知函数f （x ）＝lg1−x x+1．（1）求不等式f （f （x ））+f （lg 2）＞0的解集；（2）函数g （x ）＝2﹣a x （a ＞0，a ≠1），若存在x 1，x 2∈[0，1），使得f （x 1）＝g （x 2）成立，求实数a 的取值范围； （3）若函数h （x ）={f(x)，−1＜x ＜1k|x|+1，x ≤−1或x ≥1，讨论函数y ＝h （h （x ））﹣2的零点个数（直接写出答案，不要求写出解题过程）． 【解答】解：（1）函数f （x ）＝lg 1−x x+1，由1−x 1+x＞0，可得﹣1＜x ＜1， f （﹣x ）＝lg1+x 1−x=−f （x ），即f （x ）为奇函数，且0＜x ＜1时，f （x ）＝lg （﹣1+2x+1）递减， 可得f （x ）在（﹣1，1）递减， 且f （x ）的值域为R ，不等式f （f （x ））+f （lg 2）＞0，即为f （f （x ））＞﹣f （lg 2）＝f （﹣lg 2）， 则﹣1＜f （x ）＜﹣lg 2，即﹣1＜lg1−x 1+x＜lg 12，即为0.1＜1−x 1+x ＜12， 解得13＜x ＜911， 则原不等式的解集为（13，911）；（2）函数g （x ）＝2﹣a x （a ＞0，a ≠1）， 若存在x 1，x 2∈[0，1）， 使得f （x 1）＝g （x 2）成立， 当0≤x ＜1，f （x ）＝lg1−x x+1的值域为（﹣∞，0]，当a ＞1时，g （x ）在[0，1）递减，可得g （x ）的值域为（2﹣a ，1]， 由题意可得f （x ）和g （x ）的值域存在交集， 即有2﹣a ＜0，即a ＞2；若0＜a ＜1，则g （x ）在[0，1）递增，可得g （x ）的值域为[1，2﹣a ）， 由题意可得f （x ）和g （x ）的值域不存在交集， 综上可得a 的范围是（2，+∞）； （3）由y ＝h [h （x ）]﹣2 得h [h （x ）]＝2， 令t ＝h （x ）， 则h （t ）＝2， 作出图象， 当k ≤0时， 只有一个﹣1＜t ＜0， 对应1个零点， 当0＜k ≤1时， 1＜k +1≤2， 此时t 1＜﹣1， ﹣1＜t 2＜0，t 3=1k ≥1，由k +1−1k =k 2+k−1k =1k （k +1+√52）（k −√5−12），得在√5−12＜k ≤1，k +1＞1k ，三个t 分别对应一个零点，共3个， 在0＜k ≤√5−12时，k +1≤1k ，三个t 分别对应1个，1个，3个零点，共5个， 综上所述：当k ＞1或k ＝0时，y ＝h [h （x ）]﹣2只有1个零点， 当k ＜0或√5−12＜k ≤1时，y ＝h [h （x ）]﹣2有3个零点， 当0＜k ≤√5−12时，y ＝h [h （x ）]﹣2有5个零点．。