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惠州市2018-2019学年第一学期期末考试高一数学试题答案与评分标准一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。
（1）【解析】}{1,3A =，}{3,4,5B =，所以}{3AB =故选A.（2）【解析】∵()4,2a =， ()1,b x =，且a b ⊥，∴420x +=，解得2x =-。
选B 。
（3）【解析】因为3cos(23)=cos 22y x x ⎛⎫⎛⎫=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以向左移23个单位，选A 。
（4）【解析】()1 2.7230,(2)7.3940,(1)(2)0f f f f =-<=->⋅< 选B（5）【解析】由指数函数的性质可知：，，，且，，综上可得：，故选D ．（6）【解析】3112cos =⎪⎭⎫⎝⎛-θπ，3112cos 12-2sin 125sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+θπθππθπ，故选C. （7）【解析】设2()ln f x x x =+，定义域为{|0}x x ≠，22()()ln ln ()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称．且当0x >时，2()ln f x x x =+为单调递增函数．故选A （8）【解析】()()()1841,4)1(==-=-f f f f ，即21824=⇒=+αα,故选C.（9）【解析】由图象可知32=A ,πππ=--=)127(125T ，从而222===πππωT ，又当12π-=x 时，32)12-2sin(32=+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=ϕπy ，所以()Z k k ∈+=+⎪⎭⎫⎝⎛⋅ππϕπ2212-2，又πϕ<，解得：32πϕ=，选D (10)【解析】如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE ⊥AC ，AD ⊥BC ， D 、E 是垂足.()OA OB OB OC OB OC OA ⋅⇔⋅⋅=-=0，0OB CA OB CA ⇒⇔⋅⊥=，()2310,12a ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭()1310,13b ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭ln31c =>2312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭1313b ⎛⎫== ⎪⎝⎭b a >c b a >>同理,OA BC OC AB ⊥⊥⇔O 为ABC ∆的垂心，故选D (11)【解析】如图，由题意可得：4,32==∠OA AOB π在Rt △AOD 中，可得：∠AOD =3π，∠DAO =6π，OD =12AO =1422⨯=， 可得：矢=4-2=2，由322343sin=⨯=⋅=πAO AD ，可得：弦=2AD =34322=⨯， 所以：弧田面积=12（弦×矢+矢2）=12（2+22）2平方米． 实际面积C ． （12）【解析】当[]3,2∈x 时，()()223218122--=-+-=x x x x f ，图象为开口向下，顶点为()0,3的抛物线， 函数()1log )(+-=x x f y a 在()∞+，0上至少有三个零点，令()()1log +=x x g a ，因为()0≤x f ，所以()0≤x g ，可得10<<a ，要使函数()1log )(+-=x x f y a 在()∞+，0上至少有三个零点，如图要求()()22f g >， ()()23log 2212log ->⇒-=>+a a f ，可得3333132<<-⇒<a a，0>a ，所以330<<a ，故选A ． 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
深圳高级中学（集团）2018--2019学年第二学期期中考试高一数学全卷共计150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知{},1A a =，{}2,B a =，且{}1,2,4A B =U ，则A B =I （）A.{}1,2B.{}2,4C.{}4D. ∅ 2.下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（ ）A ．2y x =B ．2log y x =-C ．3x y =D ．3y x x =+3.α是第三象限角，且3sin α=，则tan α=（）A. 3B.3 C. 33-D. 334.已知向量,a b r r 的夹角为60o，2,1a b ==r r ，则2a b +=r r （）A. 3B.3C. 4D. 25.若ABC 中，角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，60,43,42A a b ∠===oB ∠的度数为（）A. 45o 或135oB. 45oC. 135oD. 90o6.在a ，b 中插入n 个数，使它们和a 、b 组成等差数列12,,,,,n a a a a bL ，则12n a a a +++=L （）A.()n a b +B. ()2n a b +C.()()12n a b ++D.()()22n a b ++7.若0a b >>，0c d <<，则一定有（）A. a bc d >B. a b c d <C. a b d c >D. a b d c <8.在等比数列{}n a 中，若15152a a -=-，前四项的和45S =-，则4a =（）A. 1B. 1-C. 12D.12-9.已知函数()()22log 3f x x ax a =-+在[)2,+∞上是增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．(],4-∞B ．(],2-∞C ．(]4,4-D ．(]4,2-10.圆锥的高h 和底面半径r 之比:2:1h r =，且圆锥的体积18V π=，则圆锥的表面积为（）A.B.(91π+C.D.(91π+11.函数()12cos 12x x f x x ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．12.设2,0a b b +=>，则12a a b+的最小值为（）A. 14B. 34C. 12D. 54第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
深圳市宝安区高三期末考试数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.复数3(2i)+的实部与虚部之和是（）A.7B.13C.21D.272.已知集合(){}(){}2,21,,31A x y y x x B x y y x ==--==+∣∣，则A B ⋂的元素个数是（）A.0B.1C.2D.无数3.某单位有职工500人，其中男性职工有320人，为了解所有职工的身体健康情况，按性别采用分层抽样的方法抽取100人进行调查，则抽取到的男性职工的人数比女性职工的人数多（）A.28B.36C.52D.644.“01x ≤≤”是“11x≥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知函数()54f x x x a =++在()1,1-内有零点，则a 的取值范围是（）A.()5,5- B.()(),55,-∞-⋃+∞ C.[]5,5- D.][(),55,∞∞--⋃+6.如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点,,A B C ，其中点,A B 在该抛物线上，点C 在y 轴上，若57,2FA FB ==，则AB BC =（）A.83B.72C.73D.37.若函数()()2cos cos f x x x ϕ=-+的最大值是7，则常数ϕ的值可能是（）A.π6B.π3C.2π3D.5π68.已知H 是球O 的直径AB 上一点，:1:2AH HB =，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，M 为α上的一点，且24MH =，过点M 作球O 的截面，则所得的截面面积最小的圆的半径为（）A.142B.114C.144D.112二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（）A.若2537a a a =，则{}n a 是等比数列B.若{}n a 是等比数列，则2537a a a =C.若31nn S =-，则{}n a 是等比数列D.若{}n a 是等比数列，且3nn S a =+，则1a =-10.直线():2310l m x y m +--+=与圆22:244C x y x y +-+=，则（）A.圆C 的半径为2B.直线l 过定点()1,1C.直线l 与圆C 一定有公共点D.圆C 的圆心到直线l 的距离的最大值是311.若直线y ax b =+与曲线2ln y x =+相切，则a b +的取值可能为（）A.1B.2C.3D.612.正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，D ，E ，F 分别为1AA ，1BB ，1CC 的中点，P 为棱1CC 上的动点，则（）A .平面1AB F ⊥平面11ABB AB.点1B 到平面BCD 的距离为C.1DB 与DP 所成角的余弦值的取值范围为13,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.以F 为球心，393为半径的球面与侧面11ABB A 的交线长为43π9三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知单位向量,a b满足2a b += a b -= __________.14.函数()(()3log R f x x a a =+-∈是奇函数，则()4f a =__________.15.为了检查学生的身体素质情况，从田径类3项，球类2项，武术类2项共7项项目中随机抽取3项进行测试，则恰好抽到两类项目的概率是__________.16.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为(),0F c -，直线:30l x y c -+=与C 交于A ，B 两点，若3AB AF =，则C 的离心率是__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且cos213cos B B =-.（1）求角B 的值；（2）若b ABC = 的面积为，求ABC 的周长.18.在等差数列{}n a 中，375818,24a a a a +=+=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若1(1)nn n n b a a +=-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S .19.已知某地中学生的男生和女生的人数比例是3:2，为了解该地中学生对羽毛球和乒乓球的喜欢情况，现随机抽取部分中学生进行调查，了解到该地中学生喜欢羽毛球和乒乓球的概率如下表：男生女生只喜欢羽毛球0.30.3只喜欢乒乓球0.250.2既喜欢羽毛球，又喜欢乒乓球0.30.15（1）从该地中学生中随机抽取1人，已知抽取的这名中学生喜欢羽毛球，求该中学生也喜欢乒乓球的概率；（2）从该地中学生中随机抽取100人，记抽取到的中学生既喜欢羽毛球，又喜欢乒乓球的人数为X ，求X 的分布列和期望.20.如图，在圆锥SO 中，AB 是圆O 的直径，且SAB △是边长为4的等边三角形，,C D 为圆弧AB 的两个三等分点，E 是SB 的中点.（1）证明：DE //平面SAC ；（2）求平面SAC 与平面SBD 所成锐二面角的余弦值.21.已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的离心率是3，点(P 在C 上.（1）求C 的标准方程；（2）已知直线l 与C 相切，且与C 的两条渐近线分别交于,A B 两点，O 为坐标原点，试问OA OB ⋅是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.22.已知函数()3f x x x =-.（1）求()f x 的极值；（2）已知()()ππ0,,sin cos tan 26mf nf ααα⎛⎫∈+= ⎪⎝⎭，证明：32m n +>.深圳市宝安区高三期末考试数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.复数3(2i)+的实部与虚部之和是（）A.7B.13C.21D.27【答案】B 【解析】【分析】根据复数的运算求解即可.【详解】因为()()()()322(2i)44i i2i 34i 2i 63i 8i 4i211i +=+++=++=+++=+，所以复数3(2i)+的实部与虚部之和是21113+=，故选：B.2.已知集合(){}(){}2,21,,31A x y y x x B x y y x ==--==+∣∣，则A B ⋂的元素个数是（）A.0B.1C.2D.无数【答案】C 【解析】【分析】依题意，A B ⋂转换为两个图象交点问题，两函数联立，转为一元二次方程解得个数问题，从而得到答案.【详解】联立221,31,y x x y x ⎧=--⎨=+⎩整理得2520x x --=.由()2(5)412330∆=--⨯⨯-=>，得原方程组有两组解，即A B ⋂中有2个元素，故选：C.3.某单位有职工500人，其中男性职工有320人，为了解所有职工的身体健康情况，按性别采用分层抽样的方法抽取100人进行调查，则抽取到的男性职工的人数比女性职工的人数多（）A.28B.36C.52D.64【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可得解.【详解】由题意可知抽取到的男性职工人数为10032064500⨯=，女性职工人数为1006436-=，则抽取到的男性职工的人数比女性职工的人数多643628-=.故选：A.4.“01x ≤≤”是“11x≥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】对11x≥可得01x <≤，然后根据充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】由11x ≥，则110x -≥，即10xx -≥，即()100x x x ⎧-≥⎨≠⎩，解得得01x <≤，则01x ≤≤不能推出11x ≥，11x≥能推出01x ≤≤，则“01x ≤≤”是“11x≥”的必要不充分条件.故选：B.5.已知函数()54f x x x a =++在()1,1-内有零点，则a 的取值范围是（）A.()5,5- B.()(),55,-∞-⋃+∞ C.[]5,5- D.][(),55,∞∞--⋃+【答案】A 【解析】【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理，即可列式求解.【详解】5y x =是增函数，4y x a =+也是增函数，所以()f x 是R 上的增函数.因为()f x 在()1,1-内有零点，所以()()11401140f a f a ⎧-=--+<⎪⎨=++>⎪⎩，解得55a -<<.故选：A6.如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点,,A B C ，其中点,A B 在该抛物线上，点C 在y 轴上，若57,2FA FB ==，则AB BC =（）A.83B.72C.73D.3【答案】D 【解析】【分析】根据抛物线定义可求出,A B x x ，根据三角形相似即可求出AB BC.【详解】设(),A A A x y ,(),B B B x y ，由57,2FA FB ==，根据抛物线定义可得517,12A B x x +=+=，故36,2A B x x ==，，过A ，B 分别作y 轴的垂线，过B 作x 轴的垂线，垂足为E ，明显ABE BCM ，所以362332A BB CAB x x BCx x --===-.故选：D7.若函数()()2cos cos f x x x ϕ=-+的最大值是7，则常数ϕ的值可能是（）A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】B 【解析】【分析】根据两角差的余弦以及辅助角公式对()()2cos cos f x x x ϕ=-+化简，表示出最大值，进而得到答案.【详解】因为()()2cos cos 2sin sin cos 2sin sin 2cos 1cos f x x x x x xϕϕϕϕ=++=++()22(2sin )(2cos 1)sin x ϕϕα=+++，其中s t 2co 12i an s n ϕαϕ+=，22(2sin )(2cos 1)7ϕϕ++=，所以1cos 2ϕ=，对于A 选项，当π6ϕ=，πcos co 3s 62ϕ==，故A 错误；对于B 选项，当π3ϕ=，πcos co 1s 32ϕ==，故B 正确；对于C 选项，当2π3ϕ=，2πcos cos213ϕ==-，故C 错误；对于D 选项，当5π6ϕ=，5πcos cos 236ϕ==-，故D 错误，故选：B.8.已知H 是球O 的直径AB 上一点，:1:2AH HB =，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，M 为α上的一点，且4MH =，过点M 作球O 的截面，则所得的截面面积最小的圆的半径为（）A.142B.114 C.144D.112【答案】C 【解析】【分析】设截得的截面圆的半径为r ，球的半径为R ，由平面几何知识得截面与球心的距离为13R ，利用勾股定理求得2R 的值，由题意可知球心O 到所求截面的距离d 最大时截面面积最小，利用面积公式，即可得答案.【详解】如图，设截得的截面圆的半径为r ，球O 的半径为R ，因为:1:2AH HB =，所以13OH R =.由勾股定理，得222R r OH =+，由题意得2ππ,1r r ==，所以22113R R ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得298R =，此时过点M 作球O 的截面，若要所得的截面面积最小，只需所求截面圆的半径最小.设球心O 到所求截面的距离为d ，所求截面的半径为r '，则r '=，所以只需球心O 到所求截面的距离d 最大即可，而当且仅当OM 与所求截面垂直时，球心O 到所求截面的距离d 最大，即max12d OM ==，所以min 144r =='.故选：C二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（）A.若2537a a a =，则{}n a 是等比数列B.若{}n a 是等比数列，则2537a a a =C.若31nn S =-，则{}n a 是等比数列D.若{}n a 是等比数列，且3nn S a =+，则1a =-【答案】BCD 【解析】【分析】举特列可判断A ；由等比数列的性质可判断B ；由31nn S =-，得1131n n S --=-，两式相减可得123n n a -=⨯可判断C ；由等比中项的性质可判断D.【详解】当0n a =时，满足2537a a a =，但{}n a 不是等比数列，则A 错误由等比数列的性质可知2537a a a =，则B 正确.由31nn S =-，得1131n n S --=-，则()11232n n n n a S S n --=-=⨯≥，当n 1=时，112a S ==，则123n n a -=⨯，从而可知{}n a 是等比数列，则C 正确.由3nn S a =+，得1233,9,27a a S a S a =+=+=+.由等比数列的性质可知2213a a a =，22113326,3,18a S S a a a S S =-==+=-=，即()26183a =+，解得1a =-，再代入结合C 选项可知此时{}n a 为等比数列，则D 正确.故选：BCD.10.直线():2310l m x y m +--+=与圆22:244C x y x y +-+=，则（）A.圆C 的半径为2B.直线l 过定点()1,1C.直线l 与圆C 一定有公共点D.圆C 的圆心到直线l 的距离的最大值是3【答案】BCD 【解析】【分析】将圆的方程化为标准方程，即可得出圆心、半径，判断A 项；整理直线方程，解102310x x y -=⎧⎨-+=⎩，即可得出定点坐标；直线l 恒过圆上点()1,1，即可判断C ；设()1,1A ，当AC l ⊥时，距离最大，根据点到直线的距离，求出，即可判断D.【详解】对于A 项，将圆22:244C x y x y +-+=化为标准方程可得，()()22129x y -++=，所以圆C 的圆心坐标为()1,2-，半径为3.故A 项错误；对于B 项，直线():2310l m x y m +--+=可化为()()12310m x x y -+-+=，由102310x x y -=⎧⎨-+=⎩可得，11x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 过定点()1,1，故B 项正确；对于C 项，因为点()1,1在圆C 上，直线l 过定点()1,1，所以，直线l 与圆C 一定有公共点.故C 项正确；对于D 项，设()1,1A ，当AC l ⊥时，点C 到直线l 的距离最大，所以，圆C 的圆心到直线l 的距离的最大值是3=，故D 项正确.故选：BCD.11.若直线y ax b =+与曲线2ln y x =+相切，则a b +的取值可能为（）A.1B.2C.3D.6【答案】BCD 【解析】【分析】设出切点，利用导数几何意义得出01a x =，由切点既在直线上又在曲线上得出012ln b x +=+，由此将a b +转化为函数0()g x 求值域可得.【详解】设切点为()00,2ln x x +，因为1(2ln )x x'+=，所以01a x =.又因为切点()00,2ln x x +在直线y ax b =+上，所以002ln 1x ax b b +=+=+，解得01ln b x =+，所以000)11l ,(0n a x x b x +=+>+，令()11ln g x x x =++，则()22111x g x x x x-=-+='，令()0g x '=，得1x =，当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()min ()12g x g ==，又当,()→+∞→+∞x g x .故a b +的取值范围为[)2,+∞.故选：BCD.12.正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，D ，E ，F 分别为1AA ，1BB ，1CC 的中点，P 为棱1CC 上的动点，则（）A.平面1AB F ⊥平面11ABB AB.点1B 到平面BCD的距离为C.1DB 与DP 所成角的余弦值的取值范围为13,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.以F 为球心，393为半径的球面与侧面11ABB A 的交线长为43π9【答案】ACD 【解析】【分析】对A ，利用面面垂直的判定即可证明，对B 利用等体积法即可求出距离，对C 建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法即可求出其范围，对D ，作出交线，将立体平面化求解即可.【详解】对于A ，取1AB 的中点G ，连接FG ，DE ，易知G 也是DE 的中点，在1AB F △中，因为1FA FB =，G 为1AB 的中点，所以1FG AB ⊥，在DEF 中，因为FD FE =，G 为DE 的中点，所以FG DE ⊥，又因为1AB ，DE ⊂平面11ABB A ，1AB DE G = ，所以FG ⊥平面11ABB A ．又因为FG ⊂平面1AB F ，所以平面1AB F ⊥平面11ABB A ，A 正确．对于B ，设点1B 到平面BCD 的距离为h ，易知1222BCD S =⨯= ，112222BB D S =⨯⨯=△，取AB 中点为M ，连接CM ，因为CA CB =，则CM AB ⊥，因为1BB ⊥底面ABC ，且CM ⊂面ABC ，则1BB CM ⊥，又因为1,AB BB ⊂平面1ABB ，且1AB BB B Ç=，所以CM ⊥平面1ABB，且CM =，因为11B BCD C BB D V V --=，所以112233h ⨯=⨯，解得h =，B 错误．对于C ，取BC 的中点Q ，连接AQ ，易知AQ BC ⊥．以A 为坐标原点，向量CB ，AQ ，1AA的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则()0,0,1D.()1B，设()P t -，02t ≤≤，()1DB =，()1DP t =--，设1DB 与DP 所成的角为θ，则cos θ==．令1u t =-（11u -≤≤），则cos θ=，当0u =即1t =时，5cos 5θ=；当01u <≤，即12t <≤时，cos θ=，根据对勾函数1y u u =+在(]0,1上单调递减可知53cos 55θ<≤；当10u -≤<，即01t ≤<时，同理根据对勾函数1y u u=+在[)1,0-上单调递减可知15cos 55θ≤<．综上，1DB 与DP 所成角的余弦值的取值范围为13,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C正确．对于D ，由A 选项中的结论知FG ⊥平面11ABB A，FG =又因为球面的半径为393，所以以F 为球心，393为半径的球面与侧面11ABB A 的交线（圆3=．如图，3GM =，1GE =，所以cos 2MGE ∠=，解得π6MGE ∠=，由圆与正方形的对称性知π6MGN ∠=，所以球面与侧面11ABB A的交线长为π4369⨯⨯=，D 正确．故选：ACD.【点睛】关键点睛：本题B 选项关键是利用等体积法求出点到平面距离，C 选项关键是建立空间直角坐标系，设()3,P t -，得到线线角表达式，再结合对勾函数单调性即可得到其范围.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知单位向量,a b满足23a b += ，则a b -= __________.3【解析】【分析】利用向量数量积的运算律及已知可得12a b ⋅=- ，再由运算律求a b - 即可.【详解】因为23a b += 22443a a b b +⋅+= ，所以12a b ⋅=- ，则222()23a b a a b b -=-⋅+= ，故3a b -=r r .314.函数()(()23log 9R f x x x a a =++-∈是奇函数，则()4f a =__________.【答案】1【解析】【分析】根据奇函数的性质，结合对数运算，即可求解a ，再代入函数解析式求值.【详解】因为()(23log 9f x x x a =+-，所以()(23log 9f x x x a -=-+-，因为()f x 是奇函数，所以()()0f x f x +-=，即((2233log 9log 90x x a x x a +-+-+-=，所以32log 92a ==，解得1a =，则()(34log 411f a =+-=.故答案为：115.为了检查学生的身体素质情况，从田径类3项，球类2项，武术类2项共7项项目中随机抽取3项进行测试，则恰好抽到两类项目的概率是__________.【答案】2235【解析】【分析】利用组合应用问题，结合排除法求出试验及所求概率的事件的基本事件数，再利用古典概率公式计算即得.【详解】从这7项项目中随机抽取3项的情况有37C 35=种，抽取的3项属同一类的情况有33C 1=种，抽取的3项包含三类的情况有111322C C C 12=种，则符合条件的情况有3511222--=种，所以所求概率为2235.故答案为：223516.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为(),0F c -，直线:30l x y c -+=与C交于A ，B 两点，若3AB AF =，则C 的离心率是__________.【答案】109【解析】【分析】依题意，设()()1122,,,A x y B x y ，因为3AB AF =，则有212y y =-，直线方程与椭圆方程联立，借助韦达定理得到228110c a =，从而得到离心率.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，因为3AB AF =，所以1212y AF y BF==，所以212y y =-.联立222230,1,x y c x y ab -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()22224960a b y b cy b +--=，则21212269b c y y y a b +=-=+，412229b y y a b =-+，从而22422226299b c b a b a b ⎛⎫-⋅-=- ⎪++⎝⎭，整理得228110c a =，故9c e a ==，故答案为：9.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且cos213cos B B =-.（1）求角B 的值；（2）若b ABC =的面积为，求ABC 的周长.【答案】（1）π3B =（2）10【解析】【分析】（1）根据已知条件利用二倍角余弦公式化简求得cos B ，求得结果；（2）由三角形面积公式求得ac ，再利用余弦定理可求得a c +，从而得三角形周长．【小问1详解】因为cos213cos B B =-，所以22cos 113cos B B -=-，所以22cos 3cos 20B B +-=，所以()()2cos 1cos 20B B -+=，则1cos 2B =或cos 2B =-（舍去）.因为0πB <<，所以π3B =.【小问2详解】因为ABC的面积为1sin 24ac B ac ==24ac =.由余弦定理可得22222cos ()3b a c ac B a c ac =+-=+-，则22()324a c =+-⨯，即2()100a c +=，解得10a c +=.故ABC的周长为10a b c ++=+.18.在等差数列{}n a 中，375818,24a a a a +=+=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若1(1)nn n n b a a +=-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S .【答案】（1）21n a n =-（2）284n n +【解析】【分析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意可得11281821124a d a d +=⎧⎨+=⎩，解方程即可求出1a 1,d 2==，再由等差数列的通项公式求出{}n a ；（2）由（1）可得()2(1)41nn b n=--，再由分组求和法和等差数列的前n 项和公式求解即可.【小问1详解】设数列{}n a 的公差为d ，则371581281821124a a a d a a a d +=+=⎧⎨+=+=⎩，解得1a 1,d 2==，.故()1121n a a n d n =+-=-.【小问2详解】由（1）可得()()()2(1)2121(1)41nn n b n n n =--+=--，则222124(21)14(2)1164n n b b n n n -⎡⎤⎡⎤+=---+-=-⎣⎦⎣⎦，故()()()()212342*********n n n S b b b b b b n -=++++++=+++-()212164842n n n n +-==+.19.已知某地中学生的男生和女生的人数比例是3:2，为了解该地中学生对羽毛球和乒乓球的喜欢情况，现随机抽取部分中学生进行调查，了解到该地中学生喜欢羽毛球和乒乓球的概率如下表：男生女生只喜欢羽毛球0.30.3只喜欢乒乓球0.250.2既喜欢羽毛球，又喜欢乒乓球0.30.15（1）从该地中学生中随机抽取1人，已知抽取的这名中学生喜欢羽毛球，求该中学生也喜欢乒乓球的概率；（2）从该地中学生中随机抽取100人，记抽取到的中学生既喜欢羽毛球，又喜欢乒乓球的人数为X ，求X 的分布列和期望.【答案】（1）49；（2）分布列见解析，24.【解析】【分析】（1）根据给定条件，结合条件概率公式求解即得.（2）利用（1）的信息，结合二项分布求出分布列的期望.【小问1详解】记事件A 表示从该地中学生中随机抽取1人，被抽取的这名中学生喜欢羽毛球，事件B 表示从该地中学生中随机抽取1人，被抽取的这名中学生喜欢乒乓球，则()()()0.30.30.60.30.150.40.54P A =+⨯++⨯=，()0.30.60.150.40.24P AB =⨯+⨯=，所以所求的概率()()()0.244|0.549P AB P B A P A ===.【小问2详解】由（1）知从该地中学生中随机抽取1人，被抽取的这名中学生既喜欢羽毛球，又喜欢乒乓球的概率0.24p =，因此()100,0.24X B ~，所以X 的分布列为()()100100C 0.240.760,1,2,3,,100kkkP X k k -==⨯⨯= ，期望为()1000.2424E X =⨯=.20.如图，在圆锥SO 中，AB 是圆O 的直径，且SAB △是边长为4的等边三角形，,C D 为圆弧AB 的两个三等分点，E 是SB 的中点.（1）证明：DE //平面SAC ；（2）求平面SAC 与平面SBD 所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）15【解析】【分析】（1）证明：取SA 的中点F ，连接,,CF EF CD ，由题意可证得DE //CF ，再由线面平行的判定定理证明即可；（2）以O 为坐标原点，,OB OS的方向分别为,y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.求出平面SAC 与平面SBD 的法向量，由二面角的向量公式求解即可.【小问1详解】证明：取SA 的中点F ，连接,,CF EF CD .因为,C D 为圆弧AB 的两个三等分点，所以CD //1,2AB CD AB =.因为,E F 分别为,SB SA 的中点，所以EF //1,2AB EF AB =，则CD //,EF EF CD =，从而四边形CDEF 为平行四边形，故DE //CF .因为DE ⊄平面,SAC CF ⊂平面SAC ，所以DE //平面SAC .【小问2详解】解：以O 为坐标原点，,OB OS 的方向分别为,y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.因为4AB SA ==，所以()())0,2,0,0,2,0,1,0A B C--，)(,0,0,DS ，则)(),,1,0,AC AS BD BS ===-=(0,2,-.设平面SAC 的法向量为()111,,m x y z =，则11110,20,m AC y m AS y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 令11x =，得()1,m = .设平面SBD 的法向量为()222,,n x y z = ，则22220,20,n BD y n BS y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令21x =，得()n = .设平面SAC 与平面SBD 所成锐二面角为θ，则||1cos |cos ,|||||5m n m n m n θ⋅=〈〉== .故平面SAC 与平面SBD 所成锐二面角的余弦值为15.21.已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b -=>>的离心率是3，点(P 在C 上.（1）求C 的标准方程；（2）已知直线l 与C 相切，且与C 的两条渐近线分别交于,A B 两点，O 为坐标原点，试问OA OB ⋅ 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）2218x y -=（2）是，7-【解析】【分析】（1）将点P 代入方程，结合离心率计算即可得；（2）设出切线方程，联立曲线可得切线中参数的关系，联立切线与渐近线，可得两交点坐标，即可得OA OB ⋅ ，结合所得切线中参数的关系即可得该定值.【小问1详解】由题可得2222231613a b c a c a b ⎧-=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得13a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，故C 的标准方程为2218x y -=；【小问2详解】由题意可知直线l 的斜率存在，设直线()()1122:,,,,l y kx m A x y B x y =+，联立2218y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得()2228116880k x kmx m -++-=，则()()222Δ(16)481880km k m =---=，即2281k m +=.由（1）可知C 的渐近线方程为24y x =和24y x =-，不妨设直线l 与直线24y x =的交点为A ，与直线24y x =-的交点为B ，联立24y x y kx m ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即A ⎛⎫，联立24y x y kx m ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即B ⎛⎫ ⎝，则OA ⎛⎫=，OB ⎛⎫= ⎝ ，得22781m OA OB k ⎛⋅=+= -⎝ ，因为2281k m +=，所以2218m k =-，所以227781m k =--，即7OA OB ⋅=- ，故OA OB ⋅ 是定值，且该定值为7-.【点睛】关键点睛：本题的关键是利用直线与双曲线相切得到2281k m +=，再求出,A B 的坐标，最后计算OA OB ⋅即可.22.已知函数()3f x x x =-.（1）求()f x 的极值；（2）已知()()ππ0,,sin cos tan 26mf nf ααα⎛⎫∈+= ⎪⎝⎭，证明：32m n +>.【答案】（1239-（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先求得()f x 的单调性，进而求得()f x 的极值；（2）先利用题给条件构造出m n +的不等式，再利用（1）的结论即可证得32m n +>.【小问1详解】()3f x x x =-，()213f x x '=-，令()0f x '=，可得33x =±.令()0f x ¢>，可得33x -<<，令()0f x '<，可得3x >，或3x <-所以()f x 在,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在,3⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭和3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭,+上单调递减.所以()f x 的极大值为()323,39f f x ⎛= ⎝⎭的极小值为32339f ⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭.【小问2详解】由()()πsin cos tan 6mf nf αα+=，可得223cos sin sin cos 3m n αααα+=，所以3cos sin 3sin cos m n αααα+=.由对称性，不妨设π0,4α⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则()cos sin cos 3sin cos m n m n ααααα+=≤+，当且仅当2sin cos 2αα==时，等号成立，所以()23333sin cos 3sin sin m n αααα+≥=-.由（1）可知()f x 在20,2⎛ ⎝⎦上的最大值为=⎝⎭f ，所以()3330sin sin ,923sin sin αααα<-≤≥-，当且仅当3sin 3α=时，等号成立，因为等号不能同时取到，所以32m n +>.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略：（1）构造差函数()()()h x f x g x =-，根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；（2）根据条件，寻找目标函数，一般思路为利用条件将所求问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.。
2021-2022学年广东省深圳市宝安区高一上学期期末数学试题一、单选题1．函数()f x =） A ．[)()122+∞，， B ．()1+∞， C ．[)12， D ．[)1+∞，【答案】A【分析】由给定函数有意义，列出不等式组求解即得.【详解】函数()f x =1020x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得1≥x 且2x ≠，所以原函数的定义域是[1,2)(2,)⋃+∞. 故选：A2．命题“x ∀∈R ，sin x x >”的否定是（ ） A ．x ∀∈R ，sin x x ≤ B ．x ∀∈R ，sin x x ≥ C ．x ∃∈R ，sin x x > D ．x ∃∈R ，sin x x ≤【答案】D【分析】利用全称量词命题的否定变换形式即可求解. 【详解】∀的否定是∃，sin x x >的否定是sin x x ≤， 故“x ∀∈R ，sin x x >”的否定是“x ∃∈R ，sin x x ≤”， 故选：D3．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）A ．()12x =-B ．)340xx ->C 13yD ．()31420x x ⎤=<【答案】B【分析】根据分数指数幂的运算性质对各选项逐一计算即可求解. 【详解】解：对A ：12x =-，故选项A 错误；对B ：)334410xx x -⎛⎫==> ⎪⎝⎭，故选项B 正确；对C 26y =，26y 不能化简为13y ，故选项C 错误；对D ：因为0x <，所以()()()334412211342x x x ⎧⎫⎪⎤---⎪⎡⎤⎡⎤===⎨⎬⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎩⎭，故选项D 错误.故选：B.4．已知集合{}2,1A =-，{}|2B x ax ==，若A B B =，则实数a 值的集合为（ ） A ．{}1- B ．{}2C ．{}1,2-D ．{}1,0,2-【答案】D【分析】A B B =,可以得到B A ⊆，求出集合A 的子集，这样就可以求出实数a 值集合.【详解】A B B B A ⋂=⇒⊆,{}2,1A =-的子集有{}{}{},2,1,2,1φ--， 当B φ=时，显然有0a =；当{}2B =-时，221a a -=⇒=-； 当{}1B =时，122a a ⋅=⇒=； 当{}2,1B =-，不存在a 符合题意， 实数a 值集合为{}1,0,2-， 故选:D.【点睛】本题考查了通过集合的运算结果，得出集合之间的关系，求参数问题.重点考查了一个集合的子集，本题容易忽略空集是任何集合的子集这一结论. 5．设a ，b ∈R ，0a b <<，则（ ） A ．22a b < B ．b aa b> C ．11a b a>- D ．2ab b >【答案】D【分析】利用不等式的基本性质及作差法，对结论逐一分析，选出正确结论即可. 【详解】因为0a b <<，则0a b ->->，所以()()22a b ->-，即22a b >，故A 错误； 因为0a b <<，所以0ab >，则10ab>， 所以11a b ab ab⋅<⋅，即11b a <，∴1a a b a >=，1b b b a=>，即b aa b <，故B 错误；∵由()()()11a a b ba b a a b a a b a---==---，因为0,0a b a -<<，所以()0a b a ->，又因为0b <，所以110a b a-<-，即11a b a <-，故C 错误； 由0a b <<可得，2ab b >，故D 正确. 故选：D.6．已知函数()1316f x x +=+，若()3log 103f a =，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．－1C ．2D ．－2【答案】B【分析】首先求出()f x 的解析式，再根据指数对数恒等式得到()10f a =，即可得到方程，解得即可；【详解】解：根据题意，()()13163113f x x x +=+=++，则有()313f x x =+，若()3log 10310f a ==，即31310a +=，解可得1a =-，故选：B ．7．若p ：23x -≤，则p 成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．16x -≤≤ B ．25x -≤≤ C ．15x -<≤ D ．06x ≤≤【答案】C【分析】根据不等式的解法求得不等式的解集，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由题意，不等式23x -≤，可得323x -≤-≤，解得15x -≤≤， 结合选项，不等式23x -≤的一个充分不必要条件是15x -<≤. 故选：C.8．已知函数()1,0,ln 1,0,x x f x x x ⎧+≤=⎨+>⎩若方程()()f x m m =∈R 恰有三个不同的实数解a ，b ，c （a b c <<），则()a b c +的取值范围是（ ）. A ．22,e ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭B ．()1,2e -C ．()2,2e -D ．[],2e -【答案】A【分析】画出()f x 的图象，数形结合可得求出. 【详解】画出()f x 的图象．所以方程()()f x m m =∈R 恰有三个不同的实数解a ，b ，c （a b c <<）， 可知m 的取值范围为(]0,1，由题意可知2a b +=-，0ln 11c <+≤， 所以11c e <≤，所以()22-≤+<-a b c e．故选：A. 二、多选题9．已知函数()1cos2f x x =-，下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为π B ．()f x 的图象关于点,14π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．()f x 是奇函数D ．()f x 的单调递增区间为,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ 【答案】ABD【分析】根据余弦型函数的图象与性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由函数()1cos2f x x =-，可得函数()f x 的最小正周期为22T ππ==，所以A 正确； 令4x π=时，可得cos 2cos02x π==，所以()f x 的图象关于点,14π⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以B 正确； 又由()()1cos(2)1cos f x x x f x -=--=-=，所以函数()f x 为偶函数，所以C 不正确； 令222,k x k k Z πππ≤≤+∈，解得,2πππ≤≤+∈k x k k Z ，所以函数()f x 单调递增区间为,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，所以D 正确.故选：ABD.10．若函数()2()3104mf x m m x =-+是幂函数，则()f x 一定（ ）A ．是偶函数B ．是奇函数C ．在(,0)x ∈-∞上单调递减D ．在(,0)x ∈-∞上单调递增【答案】BD【解析】根据函数()2()3104mf x m m x =-+是幂函数，由231041m m -+=求得m ，再逐项判断.【详解】因为函数()2()3104mf x m m x =-+是幂函数，所以231041m m -+=， 解得3m =或13m =， 所以3()f x x =或13()f x x =，由幂函数性质知()f x 是奇函数且单调递增， 故选：BD.11．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()f x 在()0,∞+上单调递减，()70f -=，则（ ） A ．()f x 在(),0-∞上单调递减 B ．()80f <C ．()f x 的图象与x 轴只有2个交点D ．不等式()0f x >的解集为()(),70,7-∞-【答案】ABD【分析】根据已知条件，可得()f x 在(),0-∞上单调递减，且()()()7700f f f =--==，从而对各选项逐一分析即可求解.【详解】解：对A ：因为()f x 是定义在R 上的奇函数，且()f x 在()0,∞+上单调递减，由奇函数的性质有()f x 在(),0-∞上单调递减，故选项A 正确；对B ：因为()f x 是定义在R 上的奇函数，且()f x 在()0,∞+上单调递减，()70f -=，所以()()770f f =--=，所以()()870f f <=，故选项B 正确；对C ：由题意，()()770f f =--=，又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，所以()f x 的图象与x 轴有3个交点，故选项C 错误；对D ：由选项A 、C 可得()0f x >的解集为()(),70,7-∞-，故选项D 正确.故选：ABD.12．若,0a b >且121a b+=，则（ ）A ．当ab 有最小值时，2a =B ．ab 的最小值为9C ．8a b +的最小值为25D ．221412a b +≥ 【答案】ACD【分析】将条件变为2a b ab +=，在利用基本不等式可以解决AB 选项，由“1”的妙用可以解决C 选项，为验证D ，只要验证221412a b +≥，只要看222141122a b a b ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭是否正确.【详解】依题意得，由121a b+=可得2a b ab +=，根据基本不等式2ab a b =+≥两边平方得，()28ab ab ≥，于是8ab ≥，当28a b ab =⎧⎨=⎩，即24a b ==时，ab 的最小值是8，故A 正确，B 错误；()1282881161725b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭，当12182a b b a ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得552a b =⎧⎪⎨=⎪⎩时取得等号，故C 正确，2222221411211441120222a b a b a ab b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=-+=-≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当121120a b a b⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得24a b =⎧⎨=⎩取等号，故D 正确. 故选：ACD 三、填空题13．若角θ的终边与角67π的终边相同，则在[)0,2π内与角3θ的终边相同的角是______．【答案】22034,,72121πππ【分析】根据角θ的终边与角67π的终边相同,得到627k πθπ=+,再得到3θ,然后由[0,2)3θπ∈列式,根据k Z ∈,可得整数k 的值,从而可得.【详解】∵627k πθπ=+（k Z ∈）， ∴22373k θππ=+（k Z ∈）．依题意，得220273k πππ≤+<（k Z ∈）， 解得31877k -≤<（k Z ∈）， ∴0,1,2k =，∴在[)0,2π内与角3θ的终边相同的角为22034,,72121πππ故答案为22034,,72121πππ 【点睛】本题考查了终边相同的角的表示,属于基础题.14．己知函数()()22xf x f x ⎧⎪=⎨-⎪⎩,3,3x x <≥，则()()5f f =_________．【答案】1【分析】根据分段函数的定义即可求解.【详解】解：因为函数()()22xf x f x ⎧⎪=⎨-⎪⎩,3,3x x <≥，所以()()()215131f f f ====， 所以()()()25111f f f ===，故答案为：1.15．将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位长度后得到()sin 2g x x =的图象，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭__________. 【答案】0【分析】根据题意，可知将函数()sin 2g x x =的图象向右平移6π个单位长度后得到()y f x =，由函数图象的平移得出()f x 的解析式，即可得出6f π⎛⎫⎪⎝⎭的结果.【详解】解：由题意可知，将函数()sin 2g x x =的图象向右平移6π个单位长度后得到()y f x =，则()sin 2sin 263x f x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=⎝⎭，所以sin 20663f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：0.16．已知函数()f x 图像关于0x =对称，当210x x >≥时，()()()21210f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，则满足()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 取值范围是_____________．【答案】12,33⎛⎫⎪⎝⎭【分析】由函数图像关于0x =对称，可得函数()f x 是偶函数，由当210x x >≥时，()()()21210f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，可得函数()f x 在[0,)+∞上为增函数，从而将()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭转化为1213x -<，进而可求出x 取值范围【详解】因为函数()f x 图像关于0x =对称， 所以函数()f x 是偶函数，所以()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭可转化为()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭因为当210x x >≥时，()()()21210f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立， 所以函数()f x 在[0,)+∞上为增函数， 所以1213x -<，解得1233x <<，所以x 取值范围为12,33⎛⎫⎪⎝⎭，故答案为：12,33⎛⎫⎪⎝⎭四、解答题17．为了印刷服务上一个新台阶，学校打印社花费5万元购进了一套先进印刷设备，该设备每年的管理费是0.45万元，使用x 年时，总的维修费用为()120x x +万元，问：(1)设年平均费用为y 万元，写出y 关于x 的表达式；（年平均费用=总费用年限）(2)这套设备最多使用多少年报废合适？（即使用多少年的年平均费用最少） 【答案】(1)()*50.5N 20x y x x =++∈ (2)最多使用10年报废【分析】（1）根据题意，即可求得年平均费用y 关于x 的表达式； （2）由50.520xy x =++，结合基本不等式，即可求解. (1)解：由题意，设备每年的管理费是0.45万元，使用x 年时，总的维修费用为()120x x +万元，所以y 关于x 的表达式为()()*150.455200.5N 20x xx xy x xx +++==++∈. (2)解：因为*N x ∈，所以50.50.5 1.520x y x =++≥=， 当且仅当520xx =时取等号，即10x =时，函数有最小值，即这套设备最多使用10年报废.18．已知关于x 的函数()()cos 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭.(1)若2ω=，求()f x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上的值域;(2)存在唯一的实数0,2t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得函数()f x 关于点(),0t 对称，求ω的取值范围.【答案】(1)1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(2)511(,]33【分析】（1）由2ω=，得到()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合三角函数的性质，即可求解；（2）因为0,2t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得,3323t ππωππω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，结合题意列出不等式，即可求解. (1)解：当2ω=，可得函数()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，可得22333x πππ-<-≤，则1cos 2123x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，所以()f x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.(2)解：因为0,2t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得,3323t ππωππω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭， 因为存在唯一的实数0,2t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得曲线()cos 03y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭关于点(),0t 对称，所以32232πωπππ<-≤，解得51133ω<≤，所以ω的取值范围即511(,]33. 19．已知函数()29mx nx f x x++=为奇函数，且()110f =．(1)求函数()f x 的解析式；(2)判断函数()f x 在(3,)+∞的单调性并证明； (3)解关于的x 不等式：()410f x -->-．【答案】(1)()29x f x x+=；(2)()f x 在(3,)+∞上单调递增，证明见解析； (3)()()5,00,5-.【分析】（1）由奇函数的定义有()()f x f x -=-，可求得n 的值，又由9(1)101m f +==，可得m 的值，从而即可得函数的解析式；（2）任取1x ，2(3,)x ∈+∞，且12x x <，由函数单调性的定义即可证明函数()f x 在(3,)+∞上单调递增；（3）由（2）知()f x 在(3,)+∞上单调递增，因为()f x 为奇函数，所以()f x 在(,3)-∞-上也单调递增，又()()4104(9)f x f x f -->-⇔-->-，从而利用单调性即可求解. (1)解：因为函数29()mx nx f x x++=为奇函数，定义域为()(),00,-∞⋃+∞，所以()()f x f x -=-，即2299mx nx mx nx x x-+++=--， 所以0n =，又9(1)101m f +==，所以1m =， 所以29()x f x x+=；(2)解：()f x 在(3,)+∞上单调递增，证明如下： 任取1x ，2(3,)x ∈+∞，且12x x <，则2222121221211212121212129999()(9)()()x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +++-----=-==， 又1x ，2(3,)x ∈+∞，且12x x <，所以120x x >，1290x x ->，120x x -<， 所以12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <， 所以()f x 在(3,)+∞上单调递增； (3)解：由（2）知()f x 在(3,)+∞上单调递增，因为()f x 为奇函数，所以()f x 在(,3)-∞-上也单调递增，令2910x x+=-，解得1x =-或9-因为443x --≤-<-，且(9)10f -=-， 所以()()4104(9)f x f x f -->-⇔-->-，所以49x -->-，解得55x -<<，又0x ≠，所以原不等式的解集为()()5,00,5-. 20．已知奇函数()221x f x a =-+（a 为常数）． (1)求a 的值；(2)若函数()()()21x g x f x k =+-有2个零点，求实数k 的取值范围； 【答案】(1)1(2)()0,1【分析】（1）由奇函数中()00f =求解即可；（2）函数()()()21x g x f x k =+-有2个零点，可转为为也即函数21x y =-与y k =的图象有两个交点，结合图象即可求解(1)由()221x f x a =-+是R 上的奇函数，可得()00f =， 所以021021a a -=-=+，解得1a =，经检验满足奇函数， 所以1a =；(2)函数()()()21x g x f x k =+-有2个零点，可得方程函数210x k --=有2个根，即21x k -=有2个零点，也即函数21x y =-与y k =的图象有两个交点，由图象可知()0,1k ∈所以实数k 得取值范围是()0,121．已知函数()y f x =为偶函数，当0x ≥时，()221f x x ax =++，（a 为常数).（1）当x<0时，求()f x 的解析式：(2)设函数()y f x =在[0，5]上的最大值为()g a ,求()g a 的表达式；(3)对于（2)中的()g a ，试求满足()18g m g m ⎛⎫= ⎪⎝⎭的所有实数成的取值集合. 【答案】(1) f(x)＝x 2－2ax ＋1；（2）()51,251026,2a g a a a ⎧≤-⎪⎪=⎨⎪+>-⎪⎩;(3){m|m = 或25516m -≤≤- }． 【分析】（1）设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝(－x)2＋2a(－x)＋1＝x 2－2ax ＋1,再根据函数的奇偶性化简即得函数的解析式.(2)对a 分两种情况讨论，利用二次函数的图像和性质即得()g a 的表达式.(3)由题得018m m m >⎧⎪⎨=⎪⎩ 或582152m m⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，解不等式组即得解. 【详解】（1）设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝(－x)2＋2a(－x)＋1＝x 2－2ax ＋1. 又因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，所以当x<0时，f(x)＝x 2－2ax ＋1.（2）当x ∈[0，5]，f(x)＝x 2＋2ax ＋1，对称轴x ＝－a ，①当－a≥52 ，即a≤－52时，g(a)＝f(0)＝1； ②当－a ＜52，即a ＞－52时，g(a)＝f(5)＝10a ＋26． 综合以上()51,251026,2a g a a a ⎧≤-⎪⎪=⎨⎪+>-⎪⎩. （3）由（2）知()51,251026,2a g a a a ⎧≤-⎪⎪=⎨⎪+>-⎪⎩， 当a≤－52时，g(a)为常函数，当a ＞－52时，g(a)为一次函数且为增函数． 因为g(8m)＝g(1m )，所以有018m m m >⎧⎪⎨=⎪⎩ 或582152m m ⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，解得m =或516205m m ⎧≤-⎪⎪⎨⎪-≤<⎪⎩， 即m 的取值集合为{m|m =或25516m -≤≤-}．【点睛】本题主要考查奇偶函数的解析式的求法,考查函数的最值的求法,考查函数的图像和性质,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.22．设函数()21f x x ax a =++-.(1)求关于x 的不等式()0f x <的解集；(2)若()f x 是偶函数，且[]12,3x ∃∈，[]21,2x ∀∈，()()122250mf x x m m x <-+≠，求m 的取值范围.【答案】(1)当2a <时，{}11x x a -<<-；当2a =时，x ∈∅；当2a >时，{}11x a x -<<- (2)121,,3⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【分析】（1）分类讨论，解含参一元二次不等式；（2）先根据()f x 是偶函数，得到0a =，再[]12,3x ∃∈，[]21,2x ∀∈，()()122250mf x x m m x <-+≠转化为()mf x 在[]2,3上的最小值小于()25g x x m x=-+在[]1,2上的最小值，进行求解. (1)()()()11f x x x a =++-，令()0f x =，解得1x =-或1a -当2a <时，11-<-a ，()0f x <的解集是{}11x x a -<<-；当2a =时，11-=-a ，()0f x <的解集是∅；当2a >时，11->-a ，()0f x <的解集是{}11x a x -<<-.(2)因为()f x 是偶函数，所以()()f x f x -=，解得：0a =.设函数()25g x x m x=-+，因为()g x 在[]1,2上单调递增，所以()()min 151g x g m ==-. 设函数()()()()210h x mf x m x m ==-≠.当0m >时，()h x 在[]2,3上单调递增，则()()min 23h x h m ==，故351m m <-，即12m >，结合0m >得：12m >； 当0m <时，()h x 在[]2,3上单调递减，则()()min 38h x h m ==， 故851m m <-，即13m <-，结合0m <得：13m <- 综上，m 的取值范围为121,,3⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
深圳市宝安区2013-2014学年第一学期期末调研测试卷高一 数学2014.1一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．集合}9,7,5,3,1{=U ，}9,1{=A ，则=A C U （ ） A ．{2，4，8，10}B ．{3，5，7}C ．{1，3}D ．{1，7，9}2．设函数111)(+-++=x x x f ，则)(x f （ ） A ．奇函数 B ．非奇非偶函数 C ．偶函数 D ．既是奇函数又是偶函数3．函数y =的定义域为（ ） A ．),1[+∞B ．)2,1[C ．]1,0(D ．)1,0(4．要得到)2cos()(-=x x f 的图像只需要把)1cos()(+=x x f 的图像（ ） A ．向右移动1个单位 B ．向左移动1个单位 C ．向右移动3个单位 D ．向左移动3个单位5．如图所示,在平面直角坐标系xOy 中,角α的终边与单位圆交于点A,点A 的纵坐标为54,cos α=（ ）. A ．53- B ．53 C ．52- D ．526．已知y x ,为正实数,则下列选项中正确的是（ ）A ．y x yx lg lg lg lg 222+=+ B ．y x y x lg lg )lg(222∙=+ C ．y x yx lg lg lg lg 222+=∙ D ．y x xy lg lg )lg(222∙= 7．若a b c <<,则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间( ) A ．(),a b 和(),b c 内B ．(),a -∞和(),a b 内C ．(),b c 和(),c +∞内D ．(),a -∞和(),c +∞内8．函数()2sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部 分图象如图所示,则,ωϕ的值分别是( ) A ．2,3π- B ．2,6π-C ．4,6π-D ．4,3π二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．已知集合A ＝{}2,1,2-，B ＝}1,a +，且B A ⊆，则实数a 的值是 。
2020-2021学年广东省深圳市宝安区高一（上）期末数学试卷1.（单选题，5分）设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C，使得A⊆C，B⊆（∁U C）”是“A∩B=∅”的（）A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件−(x−3)0的定义域是（）2.（单选题，5分）函数f(x)=√x−2A.[2，+∞）B.（2，+∞）C.（2，3）∪（3，+∞）D.[3，+∞）3.（单选题，5分）命题p：∀m∈R，一元二次方程x2+mx+1=0有实根，则（）A.￢p：∀m∈R，一元二次方程x2+mx+1=0没有实根B.￢p：∃m∈R，一元二次方程x2+mx+1=0没有实根C.￢p：∃m∈R，一元二次方程x2+mx+1=0有实根D.￢p：∀m∈R，一元二次方程x2+mx+1=0有实根4.（单选题，5分）设当x=θ时，函数y=3sinx-cosx取得最大值，则sinθ=（）A. −√1010B. √1010C. −3√1010D. 3√10105.（单选题，5分）中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C=Wlog2(1+S)．它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽N叫做信噪比．当信W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信从1000提升至4000，则C大约增加了（）附：lg2≈0.3010噪比SNA.10%B.20%C.50%D.100%6.（单选题，5分）将函数y=sin（2x- π6）图象向左平移π4个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A.x= π12B.x= π6C.x= π3D.x=- π127.（单选题，5分）已知tan（α+ π4）= 12，且- π2＜α＜0，则2sin2α+sin2αcos(α−π4)等于（）A. −2√55B. −3√510C. −3√1010D. 2√558.（单选题，5分）已知f（x）= log2(x−1)+√x2−2x+4，若f（x2-x+1）-2＜0，则x的取值范围为（）A.（-∞，0）∪（1，+∞）B. (1−√52，1+√52)C. (1−√52，0)∪ (1，1+√52)D.（-1，0）∪（1，2）9.（单选题，5分）已知a＞0，b＞0，若不等式m3a+b - 3a- 1b≤0恒成立，则m的最大值为（）A.13B.14C.15D.1610.（单选题，5分）函数y= axx2+1（a＞0）的图象大致为（）A.B.C.D.11.（多选题，5分）如表表示y是x的函数，则（）x 0＜x＜5 5≤x＜10 10≤x＜15 15≤x≤20 y 2 3 4 5B.函数的值域是[2，5]C.函数的值域是{2，3，4，5}D.函数是增函数12.（多选题，5分）已知f（x）= {−x+2，x＜1kx+k+2，x≥1，（常数k≠0），则（）A.当k＞0时，f（x）在R上单调递减B.当k＞−12时，f（x）没有最小值C.当k=-1时，f（x）的值域为（0，+∞）D.当k=-3时，∀x1≥1，∃x2＜1，有f（x1）+f（x2）=013.（填空题，5分）若m，n满足m2+5m-3=0，n2+5n-3=0，且m≠n，则1m +1n的值为___ ．14.（填空题，5分）函数y=log a（2x-1）+2（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点的坐标为___ ．15.（填空题，5分）若f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=(12)x-2x+m（m为常数），则当x＜0时，f（x）=___ ．16.（填空题，5分）幂函数f(x)=x m2−5m+4(m∈Z)为偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减，则m=___ ，f(12) =___ ．17.（问答题，10分）已知函数f（x）满足f(x+1)=√x+a，且f（1）=1．（1）求a和函数f（x）的解析式；（2）判断f（x）在其定义域的单调性．18.（问答题，12分）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（- 35，- 45）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）= 513，求cosβ的值．19.（问答题，12分）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（2）将y=f（x）图象上所有点向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象．若y=g（x）图象的一个对称中心为(5π12，0)，求θ的最小值．20.（问答题，12分）已知不等式log2（x+1）≤log2（7-2x）．（1）求不等式的解集A；（2）若当x∈A时，不等式（14）x-1-4（12）x+2≥m总成立，求m的取值范围．21.（问答题，12分）已知函数f（x）= xax+b（a，b为常数，且a≠0）满足f（2）=1，方程f（x）=x有唯一解．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若x＜-2，求函数g（x）=xf（x）的最大值．22.（问答题，12分）已知定理：“若a，b为常数，g（x）满足g（a+x）+g（a-x）=2b，则函数y=g（x）的图象关于点（a，b）中心对称”．设函数f(x)=x 2+a−a2x−a，定义域为A={x|x≠a，x∈R}．（1）试求y=f（x）的图象对称中心，并用上述定理证明；（2）对于给定的x1∈A，设计构造过程：x2=f（x1），x3=f（x2），…，x n+1=f（x n）．如果x i∈A（i=2，3，4…），构造过程将继续下去；如果x i∉A，构造过程将停止．若对任意x1∈A，构造过程可以无限进行下去，求a的取值范围．。
2018-2019学年第二学期期末考试高一年级数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的人数为20000人，其中持各种态度的人数如表所示：电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选出100人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中各应抽选出的人数为（）A．25，25，25，25 B．48，72，64，16 C．20，40，30，10 D．24，36，32，82．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1000人、高二1200人、高三n人中，抽取81人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为30，那么n=（）A．860 B．720 C．1020 D．10403. 在中，，，则等于（）A. 3B.C. 1D. 24．（1+tan20°）（1+tan25°）=（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣25．在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定6．如图，给出的是的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）A．i＜99 B．i≤99 C．i＞99 D．i≥997. 已知直线平面，直线平面，则下列命题正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则8．已知过点P（0，2）的直线l与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣2y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．4 C．﹣4 D．19．《数学九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隔，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S=．现有周长为2+的△ABC满足sinA：sinB：sinC=（﹣1）：：（ +1），试用以上给出的公式求得△ABC的面积为（）A． B． C． D．10．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.1511．在区间（0，3]上随机取一个数x，则事件“0≤log2x≤1”发生的概率为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=sin2x向左平移个单位后，得到函数y=g（x），下列关于y=g（x）的说法正确的是（）A．图象关于点（﹣，0）中心对称B．图象关于x=﹣轴对称C．在区间[﹣，﹣]单调递增D．在[﹣，]单调递减二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b的图象如图所示，则f（x）的解析式为．14．在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若bsinA﹣acosB=0，则A+C= ．15. 已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为__________．16．已知正实数x，y满足x+2y﹣xy=0，则x+2y的最小值为8y的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．第17题10分，其它均12分）17．某同学用“五点法”画函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f （x ）的解析式；（2）将y=f （x ）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g （x ）的图象．若y=g （x ）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值．18. 在中，内角所对的边分别为，且.（1）求；（2）若，且的面积为，求的值.19．设函数f （x ）=mx 2﹣mx ﹣1．若对一切实数x ，f （x ）＜0恒成立，求实数m 的取值范围．20．已知函数f （x ）=cosx （sinx+cosx ）﹣． （1）若0＜α＜，且sin α=，求f （α）的值；（2）求函数f （x ）的最小正周期及单调递增区间．21．根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．我市环保局随机抽取了一居民区2016年20天PM2.5的24小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据，数据统计如表（1）从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的天数中，随机抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；（2）将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图．①求图中a的值；②求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由．22．（12分）（2016秋•德化县校级期末）已知f（x）=sin2（2x﹣）﹣2t•sin（2x﹣）+t2﹣6t+1（x∈[，]）其最小值为g（t）．（1）求g（t）的表达式；（2）当﹣≤t≤1时，要使关于t的方程g（t）=kt有一个实根，求实数k的取值范围．参考答案：一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.D2．D3.D4．A5．C6．B7. B8．C9．A10．B11．C12.C二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．．14．120°． 15. 16． 8；（1，+∞）．三、解答题（本大题共6小题，共70分．第17题10分，其它均12分）17．（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣．数据补全如下表：且函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）．（2）由（Ⅰ）知f（x）=5sin（2x﹣），得g（x）=5sin（2x+2θ﹣）．因为y=sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z．令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z．由于函数y=g（x）的图象关于点（，0）成中心对称，令=，解得θ=，k∈Z．由θ＞0可知，当K=1时，θ取得最小值．18. (1) ；（2）. 19．（﹣4，0]．20．（1）∵0＜α＜，且sinα=，∴cosα=，∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣=×（+）﹣=；（2）∵函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣=sinxcosx+cos2x﹣=sin2x+﹣=（sin2x+cos2x）=sin（2x+），∴f（x）的最小正周期为T==π；令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；∴f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．．21．1） P==．（2）a=0.00422．（1）∵x∈[，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，∴f（x）=[sin（2x﹣﹣t]2﹣6t+1，当t＜﹣时，则当sinx=﹣时，f（x）min=；当﹣≤t≤1时，当sinx=t时，f（x）min=﹣6t+1；当t＞1时，当sinx=1时，f（x）min=t2﹣8t+2；∴g（t）=（2）k≤﹣8或k≥﹣5．。
2021-2022学年广东省深圳市宝安区高一（上）期末数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）函数f （x ）= √x−1x−2的定义域为（ ）A.（1，+∞）B.[1，+∞）C.[1，2）D.[1，2）∪（2，+∞）2.（单选题，5分）命题“∀x∈R ，x ＞sinx”的否定是（ ） A.∃x∈R ，x≤sinx B.∀x∈R ，x≥sinx C.∃x∈R ，x ＞sinx D.∀x∈R ，x≤sinx3.（单选题，5分）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ） A. −√x =(−x )12B. x−34=√(1x)34(x ＞0)C. √y 26=y 13D. [√(−x )23]34=x 12(x ＜0)4.（单选题，5分）已知集合A={-2，1}，B={x|ax=2}，若A∩B=B ，则实数a 值的集合为（ ） A.{-1} B.{2} C.{-1，0，2} D.{-1，2}5.（单选题，5分）设a ，b∈R ，a ＜b ＜0，则（ ） A.a 2＜b 2 B. ba ＞ab C. 1a−b ＞1aD.ab＞b26.（单选题，5分）已知函数f（x+1）=3x+16，若f（a）= 3log310，则实数a的值为（）A.1B.-1C.2D.-27.（单选题，5分）若p：|x-2|≤3，则p成立的一个充分不必要条件是（）A.-1≤x≤6B.-2≤x≤5C.-1＜x≤5D.0≤x≤68.（单选题，5分）已知函数f(x)={|x+1|，x≤0，lnx+1，x＞0，若方程f（x）=m（m∈R）恰有三个不同的实数解a，b，c（a＜b＜c），则（a+b）c的取值范围是（）A.[-2，- 2e）B.（e-1，2）C.（-2，2e）D.[-e，2]9.（多选题，5分）已知函数f（x）=1-cos2x，下列说法正确的是（）A.f（x）的最小正周期为πB.f（x）的图象关于点（π4，1）对称C.f（x）是奇函数D.f（x）的单调递增区间为[kπ，π2+kπ ]，k∈Z10.（多选题，5分）若函数f（x）=（3m2-10m+4）x m是幂函数，则f（x）一定（）A.是偶函数B.是奇函数C.在x∈（-∞，0）上单调递减D.在x∈（-∞，0）上单调递增11.（多选题，5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）在（0，+∞）上单调递减，f （-7）=0，则（）A.f（x）在（-∞，0）上单调递减B.f（x）的图象与x轴只有2个交点C.f（8）＜0D.不等式f（x）＞0的解集为（-∞，-7）∪（0，7）12.（多选题，5分）若a，b＞0且1a +2b=1，则（）A.当ab有最小值时，a=2B.ab的最小值为9C.a+8b的最小值为25D. 1a2+4b2≥1213.（填空题，5分）若角θ的终边与角6π7的终边相同，则在[π，2π）内与角θ3的终边相同的角是 ___ ．14.（填空题，5分）已知函数f(x)={x2，x＜3f(x−2)，x≥3，则f（f（5））=___ ．15.（填空题，5分）将函数y=f（x）的图象向左平移π6个单位长度后得到g（x）=sin2x的图象，则f(π6) =___ ．16.（填空题，5分）已知函数f（x）的图象关于直线x=0对称，当x2＞x1≥0时，[f（x2）-f（x1）]•（x2-x1）＞0恒成立，则满足f(2x−1)＜f(13)的x的取值范围是 ___ ．17.（问答题，10分）为了印刷服务上一个新台阶，学校打印社花费5万元购进了一套先进印刷设备，该设备每年的管理费是0.45万元，使用x年时，总的维修费用为(1+x)x20万元，问：（1）设年平均费用为y万元，写出y关于x的表达式；（年平均费用= 总费用年限）（2）这套设备最多使用多少年报废合适？（即使用多少年的年平均费用最少）18.（问答题，12分）已知关于x的函数f(x)=cos(ωx−π3)(ω＞0)．（1）若ω=2，求f（x）在（0，π2]上的值域；（2）存在唯一的实数t∈（0，π2），使得函数f（x）关于点（t，0）对称，求ω的取值范围．19.（问答题，12分）已知函数f(x)=mx2+nx+9x为奇函数，且f（1）=10．（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断函数f（x）在（3，+∞）的单调性并证明；（3）解关于x的不等式：f（-4-|x|）＞-10．（a为常数）．20.（问答题，12分）已知奇函数f(x)=a−22x+1（1）求a的值；（2）若函数g（x）=|（2x+1）f（x）|-k有2个零点，求实数k的取值范围．21.（问答题，12分）已知函数y=f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=x2+2ax+1，（a为常数）．（1）当x＜0时，求f（x）的解析式：（2）设函数y=f（x）在[0，5]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式；）的所有实数m的取值集合．（3）对于（2）中的g（a），试求满足g（8m）=g（1m22.（问答题，12分）设函数f（x）=x2+ax+a-1．（1）求关于x的不等式f（x）＜0的解集；+5m(m≠0)，求m （2）若f（x）是偶函数，且∃x1∈[2，3]，∀x2∈[1，2]，mf（x1）＜x2- 2x2的取值范围．2021-2022学年广东省深圳市宝安区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：150的定义域为（）1.（单选题，5分）函数f（x）= √x−1x−2A.（1，+∞）B.[1，+∞）C.[1，2）D.[1，2）∪（2，+∞）【正确答案】：D【解析】：根据二次根式的性质以及分母不是0，求出函数的定义域即可．【解答】：解：由题意得：，解得：x≥1且x≠2，{x−1≥0x−2≠0故函数的定义域是[1，2）∪（2，+∞），故选：D．【点评】：本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．2.（单选题，5分）命题“∀x∈R，x＞sinx”的否定是（）A.∃x∈R，x≤sinxB.∀x∈R，x≥sinxC.∃x∈R，x＞sinxD.∀x∈R，x≤sinx【正确答案】：A【解析】：根据题意，由全称命题和特称命题的关系，可得答案．【解答】：解：根据题意，命题“∀x∈R，x＞sinx”是全称命题，其否定为：∃x∈R，x≤sinx，故选：A．【点评】：本题考查命题的否定，注意全称命题和特称命题的关系，属于基础题． 3.（单选题，5分）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ） A. −√x =(−x )12 B. x−34=√(1x)34(x ＞0) C. √y 26=y 13D. [√(−x )23]34=x 12(x ＜0)【正确答案】：B【解析】：根据指数幂的运算法则化简判断即可．【解答】：解：对于A ：- √x =-x 12，故A 不成立； 对于B ： x −34= √(1x )34（x ＞0），故B 成立； 对于C ： √y 26=|y| 13 ，故C 不成立； 对于D ：[ √(−x)23] 34 =（-x ） 23 ） 34 =（-x ） 12 ，x ＜0，故D 不成立．故选：B ．【点评】：本题考查了指数幂的运算，属于基础题．4.（单选题，5分）已知集合A={-2，1}，B={x|ax=2}，若A∩B=B ，则实数a 值的集合为（ ） A.{-1} B.{2} C.{-1，0，2} D.{-1，2} 【正确答案】：C【解析】：A∩B=B ，可以得到B⊆A ，求出集合A 的子集，这样就可以求出实数a 值集合．【解答】：解：A∩B=B⇒B⊆A ，A={-2，1}的子集有ϕ，{-2}，{1}，{-2，1}， 当B=ϕ时，显然有a=0；当B={-2}时，-2a=2⇒a=-1；当B={1}时，a•1=2⇒a=2；当B={-2，1}，不存在a ，符合题意， ∴实数a 值集合为{-1，0，2}，【点评】：本题考查了通过集合的运算结果，得出集合之间的关系，求参数问题．重点考查了一个集合的子集，本题容易忽略空集是任何集合的子集这一结论，属基础题．5.（单选题，5分）设a，b∈R，a＜b＜0，则（）A.a2＜b2B. ba ＞abC. 1a−b ＞1aD.ab＞b2【正确答案】：D【解析】：根据不等式的性质即可判断．【解答】：解：当a=-2，b=-1时，选项A，B，C不正确，根据不等式的性质可得选项D正确．故选：D．【点评】：本题考查了不等式的性质，属于基础题．6.（单选题，5分）已知函数f（x+1）=3x+16，若f（a）= 3log310，则实数a的值为（）A.1B.-1C.2D.-2【正确答案】：B【解析】：根据题意，求出函数的解析式，进而计算可得答案．【解答】：解：根据题意，f（x+1）=3x+16=3（x+1）+13，则有f（x）=3x+13，若f（a）= 3log310 =10，即3a+13=10，解可得a=-1，故选：B．【点评】：本题考查函数解析式的求法，涉及函数值的计算，属于基础题．7.（单选题，5分）若p：|x-2|≤3，则p成立的一个充分不必要条件是（）A.-1≤x≤6C.-1＜x≤5D.0≤x≤6【正确答案】：C【解析】：根据绝对值不等式求出不等式成立的等价条件，再利用充分不必要条件与不等式的关系进行求解即可．【解答】：解：由|x-2|≤3，得-3≤x-2≤3，所以-1≤x≤5，即不等式的等价条件是[-1，5]，则p成立的充分不必要条件是[-1，5]的真子集，则-1＜x≤5满足条件．故选：C．【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，充分条件和必要条件与不等式之间的关系是解决本题的关键，是基础题．8.（单选题，5分）已知函数f(x)={|x+1|，x≤0，lnx+1，x＞0，若方程f（x）=m（m∈R）恰有三个不同的实数解a，b，c（a＜b＜c），则（a+b）c的取值范围是（）A.[-2，- 2e）B.（e-1，2）C.（-2，2e）D.[-e，2]【正确答案】：A【解析】：作出函数f（x）的图象，结合图象可知a+b=-2，1e＜c≤1，进而得出结论．【解答】：解：作出函数f（x）的草图如下所示：易知函数y=|x+1|关于直线x=-1对称，令lnx+1=0解得x= 1e ，结合图象可知，a+b=-2，1e＜c≤1，∴（a+b）c∈[-2，- 2e）．故选：A．【点评】：本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想及运算求解能力，属于基础题．9.（多选题，5分）已知函数f（x）=1-cos2x，下列说法正确的是（）A.f（x）的最小正周期为πB.f（x）的图象关于点（π4，1）对称C.f（x）是奇函数D.f（x）的单调递增区间为[kπ，π2+kπ ]，k∈Z【正确答案】：ABD【解析】：根据三角函数的性质逐一判断即可．【解答】：解：因为f（x）=1-cos2x，A．T= 2π2=π，故正确；B．在f（x）=1-cos2x上任取一点（x，y），则此点关于（π4，1）对称的点为（π2−x，2−y），又因为1-cos2（π2-x）=1-cos（π-2x）=1+cos2x=2-（1-cos2x）=2-y，（或：因为y=-cos2x的图象关于（π4，0）对称，f（x）=1-cos2x的图象是由y=-cos2x的图象向上平称1个单位得到的，所以f（x）=1-cos2x的图象关于（π4，1）对称；）所以点（π2−x，2−y）在y=f（x）上，故正确；C．因为f（-x）=1-cos（-2x）=1-cos2x=f（x），所以f（x）偶函数，故错误；D．由2kπ≤2x≤2kπ+π（k∈Z），解得：k π≤x≤kπ+π2（k∈Z），故正确．故选：ABD．【点评】：本题考查了三角函数的基本性质，属于基础题．10.（多选题，5分）若函数f（x）=（3m2-10m+4）x m是幂函数，则f（x）一定（）A.是偶函数B.是奇函数C.在x∈（-∞，0）上单调递减D.在x∈（-∞，0）上单调递增【正确答案】：BD【解析】：根据幂函数的定义，求出m的值，从而判断函数的单调性和奇偶性即可．【解答】：解：由题知3m2-10m+4=1，解得m=3或m=13，所以f（x）=x3或f(x)=x 1 3，由幂函数性质知f（x）是奇函数且单调递增，故选：BD．【点评】：本题考查了幂函数的定义，考查函数的性质，是一道基础题．11.（多选题，5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）在（0，+∞）上单调递减，f （-7）=0，则（）A.f（x）在（-∞，0）上单调递减B.f（x）的图象与x轴只有2个交点C.f（8）＜0D.不等式f（x）＞0的解集为（-∞，-7）∪（0，7）【正确答案】：ACD【解析】：根据函数奇偶性和单调性的关系，作出函数f（x）的图象，利用数形结合进行判断即可．【解答】：解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）在（0，+∞）上单调递减，f（-7）=0，∴f（x）在（-∞，0）上单调递减，且f（7）=0，则对应的图象如图：故A正确，C正确，D正确，f（x）的图象与x轴有3个交点，故B错误，故选：ACD．【点评】：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，根据函数奇偶性和单调性的性质，利用数形结合是解决本题的关键，是中档题．12.（多选题，5分）若a，b＞0且1a +2b=1，则（）A.当ab有最小值时，a=2B.ab的最小值为9C.a+8b的最小值为25D. 1a2+4b2≥12【正确答案】：ACD【解析】：由已知结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断．【解答】：解：因为a，b＞0且1a +2b=1，所以ab=b+2a ≥2√2ab，当且仅当b=2a时取等号，解得，ab≥8，即ab最小值为8，此时a=2，b=4，A正确，B错误；a+8b=（a+8b）（1a +2b）=17+ 8ba+2ab≥17+2√8ba•2ab=25，当且仅当8ba =2ab且1a+2b=1，即b= 52，a=5时取等号，此时a+8b取得最小值25，C正确；1 a2+4b2=（1a+2b）2- 4ab=1- 4ab≥1−12=12，D正确．故选：ACD．【点评】：本题主要考查了利用基本不等式求解最值及最值取得条件的检验，要注意应用条件的配凑，属于中档题．13.（填空题，5分）若角θ的终边与角6π7的终边相同，则在[π，2π）内与角θ3的终边相同的角是 ___ ．【正确答案】：[1] 3421π【解析】：由已知条件，可得θ3=2π7+2kπ3(k∈Z)，再结合π≤ 2π7+2kπ3＜2π，即可求解．【解答】：解：∵θ= 6π7+2kπ(k∈Z)，∴ θ3=2π7+2kπ3(k∈Z)，∵π≤ 2π7+2kπ3＜2π，∴ 1514≤k＜187，即k=2，∴在[π，2π）内与角θ3的终边相同的角是3421π．故答案为：3421π．【点评】：本题主要考查了终边相同的角的表示，属于基础题．14.（填空题，5分）已知函数 f (x )={x 2，x ＜3f (x −2)，x ≥3，则f （f （5））=___ ．【正确答案】：[1]1【解析】：利用函数解析式，先求解f （5），再求解f （f （5））即可．【解答】：解：因为函数 f (x )={x 2，x ＜3f (x −2)，x ≥3 ，所以f （5）=f （3）=f （1）=1， 则f （f （5））=f （1）=1． 故答案为：1．【点评】：本题考查了函数的求值问题，主要考查的是分段函数求值，解题的关键是根据自变量的值确定使用哪一段解析式求解，属于基础题．15.（填空题，5分）将函数y=f （x ）的图象向左平移 π6个单位长度后得到g （x ）=sin2x 的图象，则 f (π6) =___ ． 【正确答案】：[1]0【解析】：由题意利用函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换可求f （x ）的解析式即可计算求解．【解答】：解：因为将函数y=f （x ）的图象向左平移 π6个单位长度后得到g （x ）=sin2x 的图象，所以f （x ）=sin2（x- π6 ）， 则 f (π6) =sin2（ π6- π6 ）=sin0=0． 故答案为：0．【点评】：本题主要考查了函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换，考查了函数思想，属于基础题．16.（填空题，5分）已知函数f （x ）的图象关于直线x=0对称，当x 2＞x 1≥0时，[f （x 2）-f （x 1）]•（x 2-x 1）＞0恒成立，则满足 f (2x −1)＜f (13) 的x 的取值范围是 ___ ． 【正确答案】：[1]（ 13 ， 23 ）【解析】：根据条件判断函数f （x ）的单调性，利用函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可．【解答】：解：∵函数f （x ）的图象关于直线x=0对称， ∴当x 2＞x 1≥0时，[f （x 2）-f （x 1）]•（x 2-x 1）＞0恒成立， ∴当x≥0时，f （x ）为增函数， ∵f （x ）为偶函数，∴不等式f （2x-1）＜f （ 13 ）等价为不等式f （|2x-1|）＜f （ 13 ）， 即|2x-1|＜ 13 ，得- 13 ＜2x-1＜ 13 ，得 23 ＜2x ＜ 43 ，得 13 ＜x ＜ 23 ， 即不等式的解集为（ 13 ， 23 ）， 故答案为：（ 13 ， 23 ）．【点评】：本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化是解决本题的关键．是个中档题．17.（问答题，10分）为了印刷服务上一个新台阶，学校打印社花费5万元购进了一套先进印刷设备，该设备每年的管理费是0.45万元，使用x 年时，总的维修费用为 (1+x )x 20万元，问：（1）设年平均费用为y 万元，写出y 关于x 的表达式；（年平均费用=总费用年限） （2）这套设备最多使用多少年报废合适？（即使用多少年的年平均费用最少）【正确答案】：【解析】：（1）根据已知条件，将购买设备的费用，管理费，维修费求和，并除以年限，即可求解．（2）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．【解答】：解：（1）由题意可知，y= 5+0.45x+(1+x )x 20x= 5x +x20+0.5 （x∈N *）．（2）∵x∈N *，∴y= 5x +x20+0.5 ≥2√5x •x20+0.5=1.5 ，当且仅当 5x =x20 时，即x=10时，等号成立，函数有最小值， 故这套设备最多使用10年报废合适．【点评】：本题主要考查函数的实际应用，掌握基本不等式公式是解本题的关键，属于基础题．18.（问答题，12分）已知关于x的函数f(x)=cos(ωx−π3)(ω＞0)．（1）若ω=2，求f（x）在（0，π2]上的值域；（2）存在唯一的实数t∈（0，π2），使得函数f（x）关于点（t，0）对称，求ω的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由自变量x的范围可得2x- π3的范围，再由三角函数的单调性可得函数的值域；（2）由t的范围，可得ωt- π3的范围，再由函数关于x轴的点（t，0）对称，可得ω• π2- π3在区间[- π2，32π]的后半个周期，进而求出ω的范围．【解答】：解：（1）∵ω=2，∴f（x）=cos（2x- π3），∵x∈（0，π2 ]，∴- π3＜2x- π3≤ 23π，∴- 12≤cos（2x- π3）≤1，∴f（x）在（0，π2 ]上的值域为[- 12，1]．（2）∵t∈（0，π2），∴ωt- π3∈（- π3，ωπ2- π3），∵存在唯一的实数t∈（0，π2），使得曲线y=cos（ωx- π3）（ω＞0）关于点（t，0）对称，∴ π2＜ωπ2- π3≤ 3π2，解得53＜ω ≤113，所以ω的取值范围（53，113]．【点评】：本题考查三角函数的值域的求法及对称性的应用，属于中档题．19.（问答题，12分）已知函数f(x)=mx2+nx+9x为奇函数，且f（1）=10．（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断函数f（x）在（3，+∞）的单调性并证明；（3）解关于x的不等式：f（-4-|x|）＞-10．【正确答案】：【解析】：（1）利用奇函数的性质结合f（1）=10，求出m，n，然后检验即可；（2）利用函数单调性的定义判断并证明即可；（3）利用奇函数的性质得到f（x）在（-∞，-3）上单调递减，然后将不等式变形为f（-4-|x|）＞f（-9），利用单调性去掉“f”，求解不等式即可．【解答】：解：（1）因为函数f(x)=mx 2+nx+9x为奇函数，且f（1）=10，所以f（-1）=-m+n-9=-10，又f（1）=m+n+9=10，解得n=0，m=1，所以f(x)=x 2+9x，经检验，函数f（x）为奇函数，所以f(x)=x 2+9x；（2）f（x）在（3，+∞）上单调递增，证明如下：任取x1，x2∈（3，+∞），且x1＜x2，则f（x1）-f（x2）= x12+9x1−x22+9x2=(x1−x2)(x1x2−9)x1x2，又由x1，x2∈（3，+∞），且x1＜x2，则x1x2＞9，x1x2-9＞0，x1-x2＜0，故f（x1）-f（x2）＜0，则f（x1）＜f（x2）．所以f（x）在（3，+∞）上单调递增；（3）令f(x)=x 2+9x=-10，解得x=-1或x=-9，因为-4-|x|≤-4＜-3，且f（-9）=-10，则不等式f（-4-|x|）＞-10，可变形为f（-4-|x|）＞f（-9），因为f（x）在（3，+∞）上单调递增，且f（x）为奇函数，则f（x）在（-∞，-3）上单调递减，所以-4-|x|＞-9，解得-5＜x＜5，故不等式的解集为（-5，5）．【点评】：本题考查了函数性质的综合应用，函数与不等式的应用，主要考查了函数奇偶性以及单调性的运用，解题的关键是利用单调性去掉“f”，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．（a为常数）．20.（问答题，12分）已知奇函数f(x)=a−22x+1（1）求a的值；（2）若函数g（x）=|（2x+1）f（x）|-k有2个零点，求实数k的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由奇函数f（0）=0，求解即可，（2）函数g（x）=|（2x+1）f（x）|-k有2个零点，可转化为函数y=|2x-1|与y=k的图象有两个交点，结合图象即可求解．是R上的奇函数，可得f（0）=0，【解答】：解：（1）由f(x)=a−22x+1=a-1=0，解得a=1，经检验满足奇函数，所以a- 220+1所以a=1，（2）函数g（x）=|（2x+1）f（x）|-k有2个零点，可得方程函数|2x-1|-k=0有2个根，即|2x-1|=k有2个零点，也即函数y=|2x-1|与y=k的图象有2个交点，图象可知k∈（0，1），所以实数k的取值范围是（0，1）．【点评】：本题考查函数的零点与方程的根的关系，考查学生的运算能力，属于中档题．21.（问答题，12分）已知函数y=f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=x2+2ax+1，（a为常数）．（1）当x＜0时，求f（x）的解析式：（2）设函数y=f（x）在[0，5]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式；（3）对于（2）中的g（a），试求满足g（8m）=g（1m）的所有实数m的取值集合．【正确答案】：【解析】：（1）设x＜0，根据题意利用偶函数的定义求出f（x）的解析式；（2）讨论a的取值范围，求出x∈[0，5]时f（x）的最大值，用分段函数表示即可；（3）根据分段函数求出g（a）满足g（8m）=g（1m）时m的取值即可．另解讨论m的取值范围，根据题意列方程，从而求出m的取值集合．【解答】：解：（1）设x＜0，则-x＞0，所以f（-x）=（-x）2+2a（-x）+1=x2-2ax+1；又因为f（x）为偶函数，所以f（-x）=f（x），所以当x＜0时，f（x）=x2-2ax+1；…………（4分）（2）当x∈[0，5]时，f（x）=x2+2ax+1，对称轴x=-a，① 当-a≥ 52，即a≤- 52时，g（a）=f（0）=1；② 当-a＜52，即a＞- 52时，g（a）=f（5）=10a+26；综上所述，g（a）= {1，a≤−5210a+26，a＞−52；…………（10分）（3）由（2）知g（a）= {1，a≤−5210a+26，a＞−52，当a≤- 52时，g（a）为常函数；当a＞- 52时，g（a）为一次函数且为增函数；因为g （8m ）=g （ 1m ），所以有 {m ＞08m =1m 或 {8m ≤−521m≤−52， 解得m= √24 或 {m ≤−516−25≤m ＜0，即m 的取值集合为{m|m= √24或- 25≤m≤- 516}．……（16分） 另解（3） ① 当8m ＜- 52 ，有m ＜- 516 ，所以 1m ∈（- 165 ，0），则 {−52≤m ＜01=26+10⋅1m 或 {−165＜m ＜−521=1， 解得m=- 25 或- 25 ＜m ＜- 516 ，取并集得- 25 ≤m ＜- 516 ；② 当8m≥- 52 ，有m≥- 516 ，所以 1m ∈（-∞，- 165 ]∪[0，+∞），则 {1m≤−1651=26+10⋅8m或 {1m＞026+10⋅8m =26+10⋅1m ；解得m=- 516 或m= √24 （舍负）；综上所述，m 的取值集合为{m|m= √24 或- 25 ≤m≤- 516 }．【注：最后结果不写集合不扣分】．【点评】：本题考查了函数的定义与应用问题，也考查了分类讨论和转化思想的应用问题，是综合题．22.（问答题，12分）设函数f （x ）=x 2+ax+a-1． （1）求关于x 的不等式f （x ）＜0的解集；（2）若f （x ）是偶函数，且∃x 1∈[2，3]，∀x 2∈[1，2]，mf （x 1）＜x 2- 2x 2+5m (m ≠0) ，求m的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）求出函数的零点x=-1或1-a ，通过零点的大小讨论，求解不等式的解集即可． （2）f （x ）是偶函数，求出a=0，设函数 g (x )=x −2x +5m ，因为g （x ）在[1，2]上单调递增，求出g （x ）min ，设函数h （x ）=mf （x ）=m （x 2-1）（m≠0）．求解h （x ）min =3m ，得到3m＜5m-1，然后求解m的范围即可．【解答】：解：（1）f（x）=（x+1）（x+a-1），令f（x）=0，解得x=-1或1-a．……………………（1分）当a＜2时，-1＜1-a，f（x）＜0的解集是{x|-1＜x＜1-a}；………………………………（2分）当a=2时，-1=1-a，f（x）＜0的解集是∅；………………………………………………（3分）当a＞2时，-1＞1-a，f（x）＜0的解集是{x|1-a＜x＜-1}．………………………………（4分）（2）因为f（x）是偶函数，所以a=0．……………………………………………………（5分）设函数g(x)=x−2x+5m，因为g（x）在[1，2]上单调递增，所以g（x）min=g（1）=5m-1．……（7分）设函数h（x）=mf（x）=m（x2-1）（m≠0）．当m＞0时，h（x）在[2，3]上单调递增，则h（x）min=h（2）=3m，……………………（8分）故3m＜5m-1，即m＞12；…………………………………………………………………………（9分）当m＜0时，h（x）在[2，3]上单调递减，则h（x）min=h（3）=8m，…………………（10分）故8m＜5m-1，即m＜−13．………………………………………………………………（11分）综上，m的取值范围为(−∞，−13)∪(12，+∞)．…………………………………（12分）【点评】：本题考查函数与方程的应用，函数的零点与不等式的解法，函数的最值的求法，是中档题．。
2018-2019学年广东省广州市天河区高一上学期期末考试数学试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设全集U ={1,2，3，4}，集合S ={1,3}，T ={4}，则(∁U S )∪T 等于( )A. {2,4}B. {4}C. ⌀D. {1,3，4} 【答案】A【解析】解：∵全集U ={1,2，3，4}，集合S ={l ,3}，T ={4}， ∴(∁U S )∪T ={2,4}∪{4}={2,4}． 故选：A ．利用集合的交、并、补集的混合运算求解．本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题，解题时要认真审题．2. 已知向量a =(x ,1)，b =(1,−2)，若a //b ，则a +b =( )A. (12,−1)B. (12,1)C. (3,−1)D. (3,1)【答案】A【解析】解：∵a //b； ∴−2x −1=0； ∴x =−12； ∴a =(−12,1)；∴a +b =(12,−1)．故选：A ．根据a //b 即可得出x =−12，从而得出a =(−12,1)，这样即可求出a +b 的坐标． 考查平行向量的坐标关系，以及向量坐标的加法运算． 3.已知函数f (x )= 3x ,x ≤0log 2x ,x >0，则f (f (14))的值是( )A. −19B. −9C. 19D. 9【答案】C【解析】解：∵函数f (x )= 3x ,x ≤0log 2x ,x >0， ∴f (14)=log 214=−2， f (f (14))=f (−2)=3−2=19． 故选：C ．由已知得f (14)=log 214=−2，从而f (f (14))=f (−2)，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．4. 设a=(13) 25，b=24，c=log213，则()A. b<a<cB. a<b<cC. b<c<aD. c<a<b 【答案】D【解析】解：∵a=(13) 25∈(0,1)，b=243>1，c=log213<0，则c<a<b．故选：D．利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5. 函数f(x)=ln x+2x−6的零点一定位于下列哪个区间()A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (5,6)【答案】B【解析】解：∵函数f(x)=ln x+2x−6f(1)=−4<0，f(2)=ln2−4<0f(3)=ln3>ln1=0，∴f(2)f(3)<0，∴函数的零点在(2,3)上，故选：B．要求函数的零点所在的区间，根据所给的函数的解析式，把区间的端点代入函数的解析式进行验算，得到函数的值同0进行比较，在判断出区间两个端点的乘积是否小于0，得到结果．本题考查函数的零点的判定定理，本题解题的关键是做出区间的两个端点的函数值，本题是一个基础题．6. 已知角α的终边经过点P(−4,3)，则tan(α+π4)的值等于()A. −17B. 17C. 37D. 47【答案】B【解析】解：∵角α的终边经过点P(−4,3)，∴tanα=−34，则tan(α+π4)=tanα+tanπ41−tanαtanπ4=−34+11+3=17．故选：B．由角α的终边经过点P(−4,3)，利用任意角的三角函数定义求出tanα的值，然后利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简所求的式子后，将tanα的值代入即可求出值．此题考查了两角和与差的正切函数公式，特殊角的三角函数值，以及任意角的三角函数定义，根据题意得出tanα的值是解本题的关键．7. 已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,φ<π2)的图象(部分)如图所示，则f(x)的解析式是()A. f(x)=2sin(πx+π6) B. f(x)=2sin(2πx+π6)C. f(x)=2sin(πx+π3) D. f(x)=2sin(2πx+π3)【答案】A【解析】解：∵根据图象判断：周期T=4×(56−13)=2，A=2，∴ω=2π2=π，∵2sin(13π+φ)=2，∴13π+φ=2kπ+π2，k∈z，∴φ=2kπ+π6，k∈z，∵φ<π2，∴φ=π6．∴f(x)=2sin(πx+π)故选：A．根据图象可得周期T=2，A=2，利用周期公式可求ω，利用2sin(13π+φ)=2及φ的范围可求φ的值，即可确定函数解析式．本题考查了三角函数的图象和性质，考查了由y=A sin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，关键是据图确定参变量的值，属于中档题．8. 若两个非零向量a，b满足b=2 a=2，a+2b=3，则a，b的夹角是()A. π6B. π3C. π2D. π【答案】D【解析】解：根据题意，设a，b的夹角是θ，又由b=2 a=2，且a+2b=3，则(a+2b)2=a2+4a⋅b+4b2=9，即1+4(1×2cosθ)+16=9，解可得cosθ=−1，则θ=π； 故选：D ．根据题意，设a ，b 的夹角是θ，由数量积的计算公式可得(a +2b )2=a 2+4a ⋅b +4b 2=9，代入数据计算可得cos θ的值，结合的范围，分析可得答案．本题考查向量数量积的计算，关键是掌握由向量的数量积求向量夹角的方法．9. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=12×(弦×矢+矢 2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为2π3，弧长为4π米的弧，按上述经公式计算( 3≈1.73)，所得弧田面积约是( )A. 16平方米B. 18平方米C. 20平方米D. 25平方米【答案】C【解析】解：如图，由题意可得：∠AOB =2π3，弧长为4π米，∴OA =4π2π3=6在Rt △AOD 中，可得：∠AOD =π3，∠DAO =π6，OD =12AO =12×6=3， 可得：矢=6−3=3，由AD =AO ⋅sin π3=6× 32=3 3，可得：弦=2AD =2×3 3=6 3，所以：弧田面积=12(弦×矢+矢 2)=12(6 3×3+32)=9 3+4.5≈20平方米． 故选：C ．在Rt △AOD 中，由题意OA =4，∠DAO =π6，即可求得OD ，AD 的值，根据题意可求矢和弦的值，即可利用公式计算求值得解．本题考查扇形的面积公式，考查学生对题意的理解，考查学生的计算能力，属于中档题．10. 偶函数f (x )(x ∈R )满足：f (−5)=f (2)=0，且在区间[0,3]与[3,+∞)上分别递减和递增，则不等式x ⋅f (x )<0的解集为( ) A. (−∞,−5)∪(−2,2)∪(5,+∞) B. (−∞,−5)∪(−2,0)∪(2,5) C. (−5.−2)∪(2,5) D. (−5,−2)∪(0,2)∪(5,+∞) 【答案】B【解析】解：根据题意，x ⋅f (x )<0⇒ f (x )>0x <0或 f (x )<0x >0，等价于求函数y =f (x )的图象在第二、四象限时x 的取值范围．又由偶函数f (x )(x ∈R )满足f (−5)=f (2)=0， 则f (5)=f (−2)=f (−5)=f (2)=0，且f(x)在区间[0,3]与[3,+∞)上分别递减与递增，其草图为：即x∈(2,5)函数图象位于第四象限，x∈(−∞,−5)∪(−2,0)函数图象位于第二象限．综上：x⋅f(x)<0的解集为：(−∞,−5)∪(−2,0)∪(2,5)，故选：B．利用偶函数关于y轴对称的性质并结合题中给出函数的单调区间画出函数f(x)的图象，再由xf(x)<0得到x与f(x)异号得出结论本题考查函数的奇偶性与单调性的应用，关键是分析得到函数的图象草图．11. 已知锐角α满足cos(α−π4)=cos2α，则tan2α=()A. 3B. ±3C. 33D. ±33【答案】C【解析】解：∵锐角α满足cos(α−π4)=cos2α，∴22cosα+22sinα=cos2α−sin2α，∴cosα−sinα=22，平方可得1−sin2α=12，sin2α=12．∵cosα>sinα，∴0<α<π4，∴2α还是锐角，故cos2α=22α=32，则tan2α=sin2αcos2α=33，故选：C．由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得cosα−sinα=22，sin2α=12，判断0<α<π4，2α还是锐角，再求得cos2α的值，可得tan2α的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．12. 如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别为AB、AD上的点，且AM=45AB，AN=23AD，连接AC、MN交于P点，若AP=λAC，则λ的值为()A. 35B. 37C. 411D. 413【答案】C【解析】解：∵AM=45AB，AN=23AD，连∴AP=λAC=λ(AB+AD)=λ(54AM+32AN)=54λAM+32λAN，∵三点M，N，P共线．∴54λ+32λ=1，∴λ=411，故选：C ．根据向量的加减的几何意义和三点共线即可求出答案．本题考查了平面向量的线性运算，及三点共线的充要条件，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 函数f (x )= 1−x +lg(x +1)的定义域是______． 【答案】(−1,1]【解析】解：由题意， 可令 x +1>01−x≥0，解得−1<x ≤1，∴函数f (x )= 1−x +lg(x +1)的定义域是(−1,1] 故答案为：(−1,1]．由函数的解析式知，对数的真数大于0，偶次根号下非负，易得关于x 的不等式组，解出它的解集即可得到函数的定义域．本题考查求对数函数定义域，解题的关键是理解函数定义域的定义，找出自变量满足的不等式，解出定义域，本题中用到了对数的真数大于是，偶次根号下非负这些限制条件，属于是函数概念考查基本题．14. 已知cos(θ+π)=−13，则sin(2θ+π2)=______． 【答案】−79【解析】解：∵cos(θ+π)=−13， ∴cos θ=13，∴sin(2θ+π2)=cos2θ=2cos 2θ−1=29−1=−79， 故答案为：−79根据诱导公式和二倍角公式即可求出．本题考查了诱导公式和二倍角公式，属于基础题．15. 已知函数f (x )= ln x ,x >0e x ,x≤0，g (x )=f (x )+x +a ，若g (x )存在2个零点，则实数a 取值范围是______． 【答案】[−1,+∞)【解析】解：由g (x )=0得f (x )=−x −a ， 作出函数f (x )和y =−x −a 的图象如图： 当直线y =−x −a 的截距−a ≤1，即a ≥−1时，两个函数的图象都有2个交点， 即函数g (x )存在2个零点，故实数a 的取值范围是[−1,+∞)， 故答案为：[−1,+∞)．由g (x )=0得f (x )=−x −a ，分别作出两个函数的图象，根据图象交点个数与函数零点之间的关系进行转化求解即可． 本题主要考查分段函数的应用，利用函数与零点之间的关系转化为两个函数的图象的交点问题是解决本题的关键．16. 函数f (x )=2sin(2x −π3)的图象为C ，如下结论中正确的是______．①图象C 关于直线x =11π12对称；②图象C 关于点(2π3,0)对称；③函数f (x )在区间(−π12,5π12)内是增函数；④由y =2sin2x 图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C ． 【答案】①②③【解析】解：函数f (x )=2sin(2x −π3)， 由f (11π12)=2sin3π2=−2，为最小值，可得图象C 关于直线x =11π12对称，故①正确；由f (2π3)=2sin π=0，图象C 关于点(2π3,0)对称，故②正确；由x ∈(−π12,5π12)，可得2x −π3∈(−π2,π2)，即有f (x )在区间(−π12,5π12)内是增函数， 故③正确；由y =2sin2x 图象向右平移π3个单位长度可以得到y =2sin2(x −π3)的图象，故④错误． 故答案为：①②③．由正弦函数的对称轴特点可判断①；由正弦函数的对称中心特点可判断②； 由正弦函数的增区间可判断③；由三角函数的图象变换特点可判断④．本题考查三角函数的图象和性质，考查函数的对称性和单调性、图象变换，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知向量a =(1,0)，b =(1,1)．(1)若c =2 2，且c ⊥b ，求向量c的坐标； (2)若AB =2a −b ，BC =a +m b ，且A 、B 、C 三点共线，求实数m 的值． 【答案】解：(1)设c=(x ,y )； ∵c ⊥b ，且c=2 2； ∴c ⋅b =x +y =0①，x 2+y 2=8②；①②联立得， y =2x =−2，或y =−2x =2； ∴c =(−2,2),或(2,−2)；(2)AB =2a −b =(1,−1)，BC =a +m b =(1+m ,m )； ∵A 、B 、C 三点共线；∴AB //BC ；∴m+1+m=0；∴m=−12．【解析】(1)可设c=(x,y)，根据c⊥b及c=22即可得出x+y=0①，x2+y2=8②，①②联立即可求出x，y，即得出向量c的坐标；(2)可先求出AB=(1,−1),BC=(1+m,m)，根据A、B、C三点共线可得出AB//BC，从而得出m+1+m=0，解出m即可．考查向量平行时的坐标关系，向量垂直的充要条件，以及向量坐标的数量积运算．18. 已知函数f(x)=mx+n1+x 是定义在R上的奇函数，且f(2)=25．(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在区间(0,1)上的单调性，并用定义法证明．【答案】解：(1)根据题意，函数f(x)=mx+n1+x2是定义在R上的奇函数，则f(0)=n1=0，则n=0，又由f(2)=25，则f(2)=2m1+22=25，解可得m=1，则f(x)=x1+x2，(2)由(1)的结论，f(x)=x1+x在(0,1)上为增函数，证明：0<x1<x2<1，则f(x1)−f(x2)=x11+x12−x21+x22=(x1−x2)(1−x1x2)(1+x12)(1+x22)又由0<x1<x2<1，则(x1−x2)<0，(1−x1x2)>0，则有f(x1)−f(x2)<0，则函数f(x)在(0,1)上为增函数．【解析】(1)根据题意，由奇函数的性质可得f(0)=n1=0，则n=0，又由f(2)=2m1+2=25，解可得m的值，将m、n的值代入函数的解析式，计算可得答案；(2)根据题意，设0<x1<x2<1，由作差法分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的性质以及应用，涉及单调性的判断，属于基础题．19. 已知函数f(x)=2sin(x2+π6).(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；(2)先列表，并用描点法作出函数f(x)在[0,4π]上的简图．【答案】(本题满分为12分)解：(1)f(x)的最小正周期为T=2π12=4π；…(4分)令π2+2kπ≤x2+π6≤3π2+2kπ，k∈Z，解得：2π3+4kπ≤x≤8π3+4kπ，k∈Z，可得单调递减区间为：[2π3+4kπ,8π3+4kπ]，k∈Z．(2)列表如下：连线成图如下：【解析】(1)利用正弦函数的图象和性质即可求出f(x)的最小正周期与单调减区间；(2)列表如下，作出它在[0,4π]上的简图即可；本题主要考查了五点法作函数y=A sin(ωx+φ)的图象，考查了正弦函数的图象和性质的应用，属于基础题．20. 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券类稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票类风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知两类产品各投资1万元时的收益分别为0.125万元和0.5万元，如图：(Ⅰ)分别写出两类产品的收益y(万元)与投资额x(万元)的函数关系；(Ⅱ)该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，最大收益是多少万元？【答案】解：(Ⅰ)投资债券类稳健型产品的收益满足函数：y=kx(x>0)，由题知，当x=1时，y=0.125，则k=0.125，即y=0.125x，投资股票类风险型产品的收益满足函数：y=k′x(x>0)，由题知，当x=1时，y=0.5，则k=0.5，即y=0.5x，(Ⅱ)设投资债券类稳健型产品x万元(0≤x≤20)，则投资股票类风险型产品20−x万元，由题知总收益y=0.125x+0.520−x(0≤x≤20)，令t=20−x(0≤t≤20)，则x=20−t2，y=0.125(20−t2)+0.5t=−18t2+12t+52=−18(t−2)2+3，当t=2，即x=16时，y max=3(万元)答：投资债券类稳健型产品16万元，投资股票类风险型产品4万元，此时受益最大为3万元．【解析】(Ⅰ)由投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，结合函数图象，我们可以利用待定系数法来求两种产品的收益与投资的函数关系；(Ⅱ)由(Ⅰ)的结论，我们投资债券类稳健型产品x万元(0≤x≤20)，则投资股票类风险型产品20−x万元.这时可以构造出一个关于收益y的函数，然后利用求函数最大值的方法进行求解．函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑.将实际的最大(小)化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大(小)是最优化问题中，最常见的思路之一．21. 已知a=(2cos x,1)，b=(3sin x+cos x,−1)，函数f(x)=a⋅b．(1)求函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值；(2)若f(x0)=85，x0∈[π4,π2]，求cos2x0的值；(3)若函数y=f(ωx)在区间(π3,2π3)上是单调递增函数，求正数ω的取值范围．【答案】解：∵a=(2cos x,1)，b=(3sin x+cos x,−1)，∴f(x)=a⋅b=2cos x(3sin x+cos x)−1=23sin x cos x+2cos2x−1=3sin2x+cos2x=2sin(2x+π)(1)∵x∈[0,π2]，∴π6≤2x+π6≤7π6，∴−12≤sin(2x+π6)≤1，∴函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值2，最小值−1；(2)若f(x0)=85，则2sin(2x0+π6)=85，∴sin(2x0+π6)=45，∵x0∈[π4,π2 ]，∴cos(2x0+π6)=−35，∴cos2x0=cos[(2x0+π)−π]=3cos(2x0+π)+1sin(2x0+π)=3×(−3)+1×4=4−33(3)∵y=f(ωx)=2sin(2ωx+π6)，令−12π+2kπ≤ωx+π6≤12π+2kπ，k∈z，可得，−2π3ω+2kπω≤x≤π3ω+2kπω令k=0可得，−2π3ω≤x≤π3ω，∵y=f(ωx)=2sin(2ωx+π6)，在区间(π3,2π3)上是单调递增函数，∴π3ω≥2π3，解可得，0<ω≤12．【解析】由向量数量积的坐标表示，结合两角和的正弦公式可求f(x)=2sin(2x+π6)(1)由x∈[0,π2]，结合正弦函数的性质可求函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值及最小值；(2)若f(x0)=85，可求2sin(2x0+π6)，结合同角平方关系可求cos(2x0+π6)，然后由cos2x0=cos[(2x0+π6)−π6]，利用两角差的余弦公式即可求解(3)由y=f(ωx)=2sin(2ωx+π6)，结合正弦函数的单调性可求单调递增区间，然后与区间(π3,2π3)进行比较可求．本题主要考查了向量的数量积的运算性质及两角和的余弦公式，正弦函数的性质的灵活应用是求解本题的关键．22. 已知函数g(x)=ax2−2ax+1+b(a>0)在区间[−1,1]上有最大值4和最小值0.设f(x)=g(x)x．(1)求实数a，b的值；(2)若不等式f(x)−k⋅x≥0在x∈(0,+∞)上恒成立，求实数的取值范围；(3)若f( 2x−1 )+k⋅22x−1−3k=0有三个不同的实数解，求实数的取值范围．【答案】解：(1)函数g(x)=ax2−2ax+b+1=a(x−1)2+1+b−a，因为a>0，所以g(x)在区间[−1,1]上是减函数，故g(−1)=3a+b+1=4，g(1)=1+b−a=0，解得a=1，b=0；(2)由f(x)−k⋅x≥0即为x2−2x+1−kx2≥0，即为k≤(1x−1)2在x>0恒成立，由(1x−1)2≥0，当且仅当x=1时取得最小值0，所以的取值范围是(−∞,0]；(3)方程f( 2x−1 )+k⋅22−1−3k=0可化为：2x−12−(2+3k) 2x−1 +(1+2k)=0，2x−1 ≠0，令2x−1 =t，则方程化为t 2−(2+3k )t +(1+2k )=0(t ≠0)，∵方程f ( 2k −1 )+k ⋅⋅22−1 −3k =0有三个不同的实数解，∴由t = 2x −1 的图象知，t 2−(2+3k )t +(1+2k )=0(t ≠0)，有两个根t 1、t 2，且0<t 1<1<t 2或0<t 1<1，t 2=1．记 (t )=t 2−(2+3k )t +(1+2k )，则 (1)=−k <0 (0)=1+2k >0，或 (0)=1+2k >0(1)=−k =00<2+3k 2<1， ∴k >0．【解析】(1)由函数g (x )=a (x −1)2+1+b −a ，a >0，所以g (x )在区间[−1,1]上是减函数，故g (−1)=4，g (1)=0，由此解得a 、b 的值；(2)不等式可化为k ≤(1x −1)2在x >0恒成立，由平方数非负可得不等式右边的最小值，从而求得的取值范围；(3)方程f ( 2x −1 )+k ⋅22−1 −3k =0⇒ 2x −12−(2+3k ) 2x −1 +(1+2k )=0，( 2x −1 ≠0)，令2x −1 =t ，则t 2−(2+3k )t +(1+2k )=0(t ≠0)，构造函数 (t )=t 2−(2+3k )t +(1+2k )，通过数形结合与等价转化的思想即可求得的范围． 本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查函数恒成立问题问题，考查数形结合与等价转化、函数与方程思想的综合应用，属于难题．。
