【数学】2019-2020年深圳宝安区统考卷高一第一学期期末考试数学试卷

2020-2021深圳宝安区新城学校高一数学上期末模拟试卷(及答案)一、选择题1．已知2log e =a ，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>2．设6log 3a =，lg5b =，14log 7c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c a b >>3．已知函数1()log ()(011a f x a a x =>≠+且）的定义域和值域都是[0，1]，则a=（ ） A ．12B ．2C ．22D ．24．已知函数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩, 满足对任意的实数x 1≠x 2都有()()1212f x f x x x --＜0成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，2)B ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．(－∞，2]D ．13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭5．已知0.11.1x =， 1.10.9y =，234log 3z =，则x ，y ，z 的大小关系是( ) A ．x y z >> B ．y x z >>C ．y z x >>D ．x z y >>6．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：(1)(3)0f x f x ++-=，且(1)0f ≠，若函数6()(1)cos 43g x x f x =-+⋅-有且只有唯一的零点，则(2019)f =（ ）A ．1B ．-1C ．-3D ．37．已知函数()ln f x x =，2()3g x x =-+，则()?()f x g x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增。

深圳实验学校高中部2019-2020学年度第一学期期末考试高一数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知角83πθ=的终边经过点(,P x ，则x 的值为（ ） A. ±2 B. 2C. ﹣2D. ﹣4【答案】C 【解析】 【分析】利用任意角的三角函数的定义求得x 的值．【详解】∵已知角83πθ=的终边经过点(,P x ，∴82tan tan tan 333πππ==-==，则2x =-，故选C ．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题． 2.在ABC ∆中，60A =︒，AC ==BC C =（ ）A. 30°B. 45︒C. 60︒D. 90︒【答案】D 【解析】 【分析】 由正弦定理得sin sin AC BC B A=，先求出B ，进而可得到C【详解】因为sin sin AC BC B A =，即sin B = 所以1sin 2B =因为()0,180B ∈︒所以30B =︒或150B =︒（舍） 因为180A B C ++=︒ 所以90C =︒故选：D【点睛】本题考查的是正弦定理的应用，较简单. 3.下列函数中，不满足：(2)2()f x f x =的是（ ） A. ()f x x = B. ()f x x x =-C. ()1f x x =+D. ()f x x =-【答案】C 【解析】试题分析：A中()()2222f x x x f x ===，B中()()2222f x x x f x =-=，C中()()2212f x x f x =+≠，D 中()()222f x x f x =-=考点：函数求值4.函数2sin(2)3y x π=- ([0,])x π∈为增函数的区间是（ ）A. 5[0,]12π B. [0,]2πC. 511[,]1212ππ D. 11[,]12ππ 【答案】C 【解析】 【分析】根据复合函数单调性的关系，结合三角函数单调性的性质进行转化求解即可． 【详解】Q 2sin 22sin 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴求2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的递增区间，等价于求2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的递减区间，由3222,232k x k k z πππππ+≤-≤+∈得511222,66k x k k z ππππ+≤≤+∈得511,1212k x k k z ππππ+≤≤+∈当k ＝0时，5111212x ππ≤≤，即函数2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的递减区间为511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 则函数2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间为511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选C ．【点睛】本题主要考查三角函数单调性以及单调区间的求解，利用复合函数单调性之间的关系以及三角函数的单调性是解决本题的关键．根据y =sin t 和t x ωϕ=+的单调性来研究，由+22,22k x k k ωϕππ-π≤+≤+π∈Z 得单调增区间；由+22,22k x k k ωϕπ3ππ≤+≤+π∈Z 得单调减区间.5.函数sin cos y x x =+，x ∈R 的大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即可选出答案【详解】当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，图像如下：所以只看0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的图象即可排除A 、B 、C ，选D故选：D【点睛】由函数的解析式选图象，一般采用排除法，看函数的单调性、奇偶性、函数值或某一部分图象即可.6.秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”也把这种方法称为“三斜求积术”，设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则S =.若2sin 4sin c A C =，3B π=，则用“三斜求积术”求得的ABC ∆的面积为（ ）A.B. 2C. D. 4【答案】A 【解析】 【分析】由2sin 4sin c A C =可得4ac =，然后由余弦定理可得2224b a c =+-，代入即可求出ABC ∆的面积 【详解】因为2sin 4sin c A C = 所以24c a c =，即4ac =由余弦定理可得222222cos 4b a c ac B a c =+-=+- 所以2224a c b +-=所以S ===故选：A【点睛】本题考查的是正余弦定理的应用，较简单.7.ABC ∆的内角A ，C 的对边分别为a ，c ，若45C ∠=︒，c =且满足条件的三角形有两个，则a 的取值范围为（ ）A. ,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B.)2C. ()1,2D. (【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理用a 表示出sin A ，由C 的度数及正弦函数的图象可知满足题意的A 的范围，然后得出sin A 的范围，进而可求出a 的范围【详解】由正弦定理得：sin sin c a C A =即sin 45sin aA=︒ 所以1sin 2A a =由题意得，当45135A ︒<<︒时，满足条件的三角形有两个所以1122a <<2a << 故选:B【点睛】本题考查了正弦定理及特殊角的三角函数，要求学生掌握正弦函数的图象与性质，牢记特殊角的三角函数值以及灵活运用三角形的内角和定理这个隐含条件，属于基本知识的考查. 8.已知函数()f x 是奇函数，()g x 为偶函数，若()()xf xg x e +=，则()1f 等于（ ）A. 1e e+B. 1e e-C.122e e- D.122e e+ 【答案】C 【解析】 【分析】将()()xf xg x e +=中的x 换成x -可得()()xf xg x e--+-=，然后利用奇偶性可得()()xf xg x e--+=，从而可解出()f x【详解】因为()()xf xg x e +=①所以()()xf xg x e--+-=因为()f x 是奇函数，()g x 为偶函数所以()()f x f x -=-，()()g x g x -= 所以()()xf xg x e--+=②由①②可得()=2x xe ef x --所以1122(1)=2e e f e e-=--故选：C【点睛】本题考查的是函数的奇偶性，较简单 9.已知曲线1215:sin ,:cos()26C y x C y x π==-，则下列说法正确的是（ ） A. 把1C 上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移3π，得到曲线2C B. 把1C 上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移23π，得到曲线2CC. 把1C 向右平移3π，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的12，得到曲线2CD. 把1C 向右平移6π，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的12，得到曲线2C 【答案】B 【解析】对于A ，1115sin sinsin cos 22626y x y x y x x ππ⎛⎫⎛⎫=→=→=-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于B ,1115sin sinsin =cos 22326y x y x y x x ππ⎛⎫⎛⎫=→=→=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 对于C ，215sin sin sin 2cos 3326y x y x y x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=→=-→=-≠- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 对于D ，15sin sin sin 2cos 6626y x y x y x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=→=-→=-≠- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1511cos()cos sin ,2622323y x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选B.【方法点晴】本题主要考查诱导公式、函数三角函数函数图象的性质及变换，属于中档题.函数图象的确定除了可以直接描点画出外，还常常利用基本初等函数图象经过“平移变换”“翻折变换”“对称变换”“伸缩变换”得到，在变换过程中一定要注意变换顺序.本题是先对函数图象经过“放缩变换”再“平移,变换”后，根据诱导公式化简得到的.10.已知函数()()()cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+>≤≤是奇函数，且在,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的最大值为（ ） A.12B.23C.32D. 2【答案】C 【解析】 【分析】先由()f x 是奇函数求出ϕ，然后由单调性建立不等式求出ω的范围. 【详解】因为()()()cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+>≤≤是奇函数 所以(0)cos 0f ϕ==，所以2ϕπ= 所以()cos sin 2f x x x πωω⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭因为()f x 在,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 所以sin y x ω=在,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 所以242232k k ππωπππωπ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，解得82()362k k Z k ωω≤-+⎧⎪∈⎨≤+⎪⎩因为0>ω，所以0k =时得302ω<≤ 所以ω的最大值为32故选：C【点睛】本题考查三角函数的奇偶性和单调性的应用，对于函数sin(y A x ωϕ=+）有关问题的处理方法是把x ωϕ+当成整体. 11.若sin 25α=，sin()10βα-=，且[,]4παπ∈，3[,]2πβπ∈，则αβ+的值是（）A.94π B.74π C.54π或74πD.54π或94π 【答案】B 【解析】 【分析】依题意，可求得[4πα∈，]2π，2[2πα∈，]π，进一步可知[2πβα-∈，]π，于是可求得cos()βα-与cos2α的值，再利用两角和的余弦及余弦函数的单调性即可求得答案．【详解】[4πα∈Q ，]π，[βπ∈，3]2π， 2[2πα∴∈，2]π，又10sin 22α<=<， 52(6πα∴∈，)π，即5(12πα∈，)2π，(2πβα∴-∈，13)12π，cos2α∴=；又sin()βα-=， (2πβα∴-∈，)π，cos()βα∴-==cos()cos[2()]cos2cos()sin 2sin()(αβαβααβααβα∴+=+-=---=2=又5(12πα∈，)2π，[βπ∈，3]2π， 17()(12παβ∴+∈，2)π，74παβ∴+=. 故选B【点睛】本题考查同角三角函数间的关系式的应用，着重考查两角和的余弦与二倍角的正弦，考查转 化思想与综合运算能力，属于难题． 12.设0.1log 2a =，30log 2b =，则（ ）A. 322ab a b ab >+> B. 322ab a b ab <+<C. 32ab a b ab <+< D. 32ab a b ab >+>【答案】B 【解析】 【分析】0.121log 2=log 0.1a =，3021log 2log 30b ==，然后运用对数的运算性质分别判断出2a b ab +-和32a b ab +-的符号即可.【详解】由对数的性质得：0.121log 2=log 0.1a =，3021log 2log 30b == 所以22221log 122log 0.1log 0.1log 3030a b ab -+-=+⨯2222222log 0.1log 3log 0.1log 30log l 0.1log 32og 302+==⨯-⨯-因为222log 32,log 0.10,log 300<<> 所以20a b ab +->，即2a b ab +>22221log 3132log 0.12log 0.1log 3300a b ab -+-=+⨯22222222log 0.122log 32log 0.1log 302log l 0.1log 33og 303-+==⨯⨯-因为2223log 9log 802log 3-=->所以302a b ab +-<，即32a b ab +< 综上：322ab a b ab <+<故选：B【点睛】作差法是比较大小常用方法，作为本题来说，要熟练掌握对数的运算性质.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.如图，将三个相同的正方形并列，则AOB AOC ∠+∠=______.【答案】4π 【解析】 【分析】由图可得出tan AOB ∠和tan AOC ∠，然后算出()tan AOB AOC ∠+∠即可 【详解】由图可知1tan =3AOB ∠，1tan =2AOC ∠ 所以()11tan +tan 32tan =111tan tan 16AOB AOC AOB AOC AOB AOC +∠∠∠+∠==-∠∠- 因为()0AOB AOC π∠+∠∈， 所以=4AOB AOC π∠+∠故答案为：4π 【点睛】本题考查的是两角和的正切公式，较简单. 14.若三角形的一内角θ满足sin 410πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin cos sin cos θθθθ+=-______. 【答案】17【解析】 【分析】由sin 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭可得1sin cos 5θθ+=，然后利用()2sin cos 12sin cos θθθθ±=±即可求出sin cos θθ-【详解】因为sin sin 42210πθθθ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭所以1sin cos 5θθ+= 所以112sin cos 25θθ+=，即12sin cos 25θθ=- 所以()249sin cos 12sin cos 25θθθθ-=-= 因为sin cos 0θθ<，所以,2πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭ 所以7sin cos 5θθ-= 所以1sin cos 157sin cos 75θθθθ+==- 故答案：17【点睛】本题考查的是同角的基本关系，较简单，但要注意符号的判断.15.已知sin10cos102cos140m +=o o o ，则m =__________．【答案】【解析】【分析】先将已知等式中m 分离出来，然后利用诱导公式以及两角和的余弦公式进行化简，由此求得m 的值.【详解】由题可得2cos140sin102cos40sin10cos10cos10m ---===o o o oo o()2cos 3010sin10cos10-+-==o o oo 【点睛】本小题主要考查方程思想，考查诱导公式，考查两角和的余弦公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.16.设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，给出下列命题：①若222a b c +<，则2C π>； ②若2ab c >，则3C π>；③若333a b c +=，则2C π<；④若()2ab a b c >+，则2C π>； ⑤若()222222a b c a b +<，则3C π<.其中正确的是______.（写出所有正确命题的编号）【答案】①③⑤【解析】【分析】①直接可以用余弦定理得出cos 0C <，②用余弦定理和222a b ab +≥可求出cos C 的范围，③中将333a b c +=变形为331a b c c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得33221a b a b c c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+<+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即222a b c +>，可得出2C π<，④和⑤运用基本不等式可向②进行转化.【详解】①因为222a b c +< 所以余弦定理得222cos 02a b c C ab+-=< 所以2C π>，故正确②因为2ab c > 所以2222221cos 2222a b c ab c ab ab C ab ab ab +---=≥>= 所以03C π<<，故错误③因为333a b c += 所以331a b c c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以01,01a b c c<<<< 所以33221a b a b c c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+<+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即222a b c +>，故2C π<，故正确④因为()2ab a b c >+，所以2ab c a b <+ 所以222222242ab a b c a b a b ab ⎛⎫<= ⎪+++⎝⎭因为222a b ab +≥， 所以22222224424a b a b c ab a b ab ab <≤=++ 由②知03C π<<，故错误 ⑤因为()222222a b c a b +< 所以222222a b a c b <+，因为222a b ab +≥ 所以2222222222a b a b a b c ab ab <=+≤ 由②知03C π<<，故正确故答案为：①③⑤【点睛】本题考查的是用余弦定理和基本不等式来判断三角形中角的范围，较难.三、解答题：共70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17.已知正实数x ，y 满足等式2520x y +=.（1）求lg lg u x y =+的最大值；（2）若不等式21014m m x y+≥+恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）1；（2）91,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【解析】【分析】(1) 求lg lg u x y =+的最大值即求xy 的最大值， 2520x y +=≥(2)先求出101x y +的最小值为94，然后解不等式2944m m +≤即可【详解】(1)因为0x >，0y >，由基本不等式，得25x y +≥.又因为2520x y +=，所以20≤，10xy ≤，当且仅当252025x y x y +=⎧⎨=⎩，即52x y =⎧⎨=⎩时，等号成立， 此时xy 的最大值为10.所以lg lg lg 1g101u x y xy =+=≤=.所以当5x =，2y =时，lg lg u x y =+的最大值为1；(2)因为0x >，0y >， 所以101101251502252020x y y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1925204⎛≥+= ⎝， 当且仅当2520502x y y x x y +=⎧⎪⎨=⎪⎩，即20343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立， 所以101x y +的最小值为94. 不等式21014m m x y+≥+恒成立， 只要2944m m +≤，解得9122m -≤≤. 所以m 的取值范围是91,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】1.运用基本不等式需满足三个条件：一正二定三相等2.恒成立问题一般转化为最值问题处理.18.已知函数()()cos 0,0,,2f x A x A x R πωϕωϕ⎛⎫=+>><∈ ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式和对称中心；（2）设()()28sin g x f x x =+，求()7g x ≤的解集. 【答案】（1）()2cos 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，()5,012x k k Z ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭；（2）()|23x k x k k Z ππππ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】 （1）由图象观察出()f x 的最大值、周期和过点,26π⎛⎫⎪⎝⎭，即可分别求出、、A ωϕ，然后再把对称中心解出来（2）先将()g x 化成基本型，然后解出来即可 【详解】(1)由图可得2A =，22362T πππ=-=， 所以T π=，所以2ω=. 当6x π=时，()2f x =，可得2cos 226πϕ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭， 因为2πϕ<，所以3πϕ=-.所以函数()f x 的解析式为()2cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 令()232x k k Z πππ-=+∈，则()512x k k Z ππ=+∈， 所以函数()f x 的对称中心为()5,012x k k Z ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭；(2)()()228sin 2cos 28sin 3x g x f x x x π⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭=()12cos 2241cos 222x x x ⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭23cos 24x x =-+243x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. ()7g x ≤即为sin 232x π⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭， 所以()4222333k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈ 所以()23k x k k Z ππππ-+≤≤+∈所以()7g x ≤的解集为()|23x k x k k Z ππππ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查的是三角函数的综合知识，要求我们要掌握三角函数的公式、图象及其性质. 19.已知ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足sinsin 2A C a b A +=. （1）若2b ac =，试判断ABC ∆的形状，并说明理由；（2）若b ，求ABC ∆周长l 取值范围. 【答案】（1）等边三角形，见解析；（2）(【解析】【分析】（1）由sinsin 2A C a b A +=可推出3B π=，然后2b ac =结合余弦定理可得a c =，从而可推出ABC ∆是等边三角形 （2）法一：知道角B 和边b ，由余弦定理得226a c ac =+-，然后利用基本不等式可求出a c +的范围；法二：用正弦定理可得sin sin sin a c b A C B===)sin sin l a b c a c A C =++=+=+，然后利用三角函数的知识求出范围即可【详解】（1）由题设sin sin 2A C a b A +=，及正弦定理得 sin sinsin sin 2A C AB A +=， 因为sin 0A ≠，所以sin sin 2A CB +=，由A BC π++=， 可得sin sin cos 222A C B B π+-==， 故cos 2sin cos 222B B B =. 的因为cos 02B ≠，故1sin 22B =，所以3B π=， 因为2b ac =，又由余弦定理得222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-，所以22a c ac ac +-=，即()20a c -=，所以a c =，故3A C π==，所以ABC ∆是等边三角形；（2）解法一：ABC ∆的周长l a b c a c =++=+，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-， ()()()222226334a c a c ac a c ac a c +=+-=+-≥+-，故()224a c +≤，a c +≤所以l a b c a c =++=+≤，当且仅当a c ==.又在ABC ∆中a c b +>，所以2l a b c b =++>=，所以ABC ∆周长l 的取值范围为(.解法二：因为3B π=，b ，由正弦定理，得2sin sin sin a c b R A C B ====，所以ABC ∆的周长)sin sin l a b c a c A C =++=+=+2sin sin 3A A π⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎭1sin sin 2A A A ⎫=++⎪⎪⎭3sin 26A A A π⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，因为203A π<<，所以5666A πππ<+<，1sin 126A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，6A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭.所以ABC ∆周长l 的取值范围为(.【点睛】本题较为典型，考查了两种求周长（面积）范围的方法.20.已知函数()()1381242x x x f x λ-=-+-≤≤. （1）当32λ=时，求函数()f x 的值域； （2）若方程()0f x =有解，求实数λ的取值范围. 【答案】（1）29,144⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）1318⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】(1)令 12x t ⎛⎫= ⎪⎝⎭可得()23()28t f x g t t λ=-+=，当32λ=时利用二次函数的知识即可求出值域 (2) 将23280t t λ-+=变形为342t t λ=+，求λ的取值范围即求342y t t=+的值域. 【详解】（1）()2131183284222x x x x f x λλ-⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 设12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得()2328t g t t λ=-+，124t ≤≤， 当32λ=时，()22129338324g t t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，124t ≤≤， 所以()min 12924g g t ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()()max 214g t g ==， 所以函数()f x 的值域为29,144⎡⎤⎢⎥⎣⎦； （2）方程()0f x =有解等价于函数 ()2328t g t t λ=-+在124t ≤≤上有零点， 也即342t t λ=+在124t ≤≤上有解， 函数83433()22y t t t t=+=+在1,43t ⎡∈⎢⎣⎦上单调递减在,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增所以当3t =时取得最小值当14t =时1318y =，当2t =时5y = 所以最大值为1318y =所以值域为1318⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以实数λ的取值范围为1318⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】含参的方程根的个数问题，常用分离变量法，方程()a f x =有根等价于a 要在()f x 的值域当中. 21.如图，游客从某旅游景区的景点A 处上山至景点C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ，现有甲、乙两位游客从A 处出发，甲沿AC 匀速步行，速度为50/min m .在甲出发1min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再匀速步行到C ，假设缆车匀速直线运动的速度为100/min m ，山路AC 长为1260m ，经测量得12cos 13C =，3cos 5A =. （参考数据：26013.6819≈，5209.8153≈，第（3）问结果精确到0.1）（1）求索道AB 的长；（2）当乙在缆车上与甲的距离最短时，乙出发了多少min ？（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，问乙步行的速度应控制在什么范围内？【答案】（1）500；（2）1min 13；（3）[]49.1,68.4 【解析】【分析】（1）先求出sin B ，然后由正弦定理即可求出AB（2）设乙出发min t ，甲、乙的距离为d ，由余弦定理得()225001325d t t =-+，即可求出最小值时t 的值（3）乙从B 出发时，甲还需走910m 才能到达C ，设出乙的步行速度，即可建立不等式.【详解】（1）在ABC ∆中，由12cos 13C =，3cos 5A =， 可得5sin 13C =，4sin 5A =， 所以()63sin sin sin cos cos sin 65B AC A C A C =+=+=， 由正弦定理sin sin AB AC C B=得 12605sin 50063sin 1365AC AB C B ==⨯=； （2）设乙出发min t ，甲、乙的距离为d ，由余弦定理得，()()()()22235050100250501005d t t t t =++-+⋅⋅， 即()225001325d t t =-+，因为5000100t ≤≤， 即05t ≤≤，故当113t =时，d 最小， 所以当乙出发了1min 13时，乙在缆车上与甲的距离最短； （3）由正弦定理sin sin AB BC C A =得5004sin 10405sin 513AB BC A C ==⨯=， 乙从B 出发时，甲已经走了()50151350m ++=，还需走910m 才能到达C ， 设乙步行的速度为/min v m ，则1040910350v -≤， 故10409103350v -≤-≤，解得520260555319v ⨯≤≤⨯， 即49.168.4v ≤≤，为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在[]49.1,68.4范围内.【点睛】本题考查的是正余弦定理的应用，将实际问题转化为数学问题是关键. 22.如图，边长为2的等边三角形ABC 中，O 是BC 的中点，D ，E 分别是边AB ，AC 上的动点（不含端点），记BOD θ∠=.① ②（1）在图①中，120DOE ∠=︒，试将AD ，AE 分别用含θ的关系式表示出来，并证明AD AE +为定值； （2）在图②中，60DOE ∠=︒，问此时AD AE +是否为定值？若是，请给出证明；否则，求出AD AE +的取值范围.【答案】（1）()sin 2sin 120AD θθ=-︒-，()()sin 602sin 60AE θθ︒-=-︒+，()0,60θ∈︒，理由见解析；（2）AD AE +不是定值，范围是3,22⎛⎤ ⎥⎝⎦ 【解析】【分析】（1）由120DOE ∠=︒，BOD θ∠=得120BDO θ∠=︒-，60CEO θ∠=︒+，在BOD ∆和COE ∆中，分别应用正弦定理可用θ表示出BD 和CE ，然后就可得出AD +AE（2）先得出()()sin 120sin 4sin 120sin AD AE θθθθ︒-+=--︒-，然后转化为双勾函数求范围 【详解】（1）由120DOE ∠=︒，BOD θ∠=，则120BDO θ∠=︒-，60COE θ∠=︒-，60CEO θ∠=︒+，在BOD ∆和COE ∆中，分别应用正弦定理可得，()sin sin 120BD BO θθ=︒-，()()sin 60sin 60CE CO θθ=︒-︒+ 故()sin sin 120BD θθ=︒-，()()sin 60sin 60CE θθ︒-=︒+， 所以()sin 2sin 120AD θθ=-︒-， ()()sin 602sin 60AE θθ︒-=-︒+，()0,60θ∈︒.从而()()()sin 60sin 4sin 120sin 60AD AE θθθθ︒-+=--︒-︒+ ()()()sin 60sin 4sin 60sin 60θθθθ︒-=--︒+︒+ ()()sin sin 604sin 60θθθ+︒-=-︒+1sin sin 43θθθ+-=-=， 从而3AD AE +=为定值；（2）当60DOE ∠=︒，BOD θ∠=，则120BDO θ∠=︒-，120COE θ∠=︒-，CEO θ∠=，在BOD ∆和COE ∆中，分别应用正弦定理可得，()sin sin 120BD BO θθ=︒-，()sin 120sin CE CO θθ=︒-， 故()sin sin 120BD θθ=︒-，()sin 120sin CE θθ︒-=， 所以()sin 2sin 120AD θθ=-︒-， ()sin 1202sin AE θθ︒-=-，()30,90θ∈︒︒， ()()sin 120sin 4sin 120sin AD AE θθθθ︒-+=--︒-，()30,90θ∈︒︒. 令()()sin 120sin sin 120sin y θθθθ︒-=+︒-，()30,90θ∈︒︒， ()()sin 120sin sin 120sin y θθθθ︒-=+︒-， 设()sin 120sin u θθ︒-=，则1y u u =+， ()1sin sin 12022sin sin u θθθθθ+︒-==112tan 2θ=+，由()30,90θ∈︒︒，tan 3θ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，(1tan θ∈，111,22tan 22u θ⎛⎫=⋅+∈ ⎪⎝⎭， 又1y u u =+在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在()1,2上单调递增， 而当12u =或2时，52y =，当1u =时，2y =，所以52,2y ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭， 因此34,22AD AE y ⎛⎤+=-∈⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查了正弦定理、三角函数的变换和函数的值域问题，难度较大.。

广东省深圳市宝安区2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题（解析版）一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.已知集合0，1，，，则 A ={−2,−1,2}B ={x|(x−1)(x +2)<0}A ∩B =()A. B. C. 0， D. 1，{−1,0}{0,1}{−1,1}{0,2}【答案】A【解析】解：，0，1，；B ={x|−2<x <1}A ={−2,−1,2}．∴A ∩B ={−1,0}故选：A ．解一元二次不等式，求出集合B ，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法表示集合，解一元二次不等式，以及交集的运算．2.化简 的值为 cos 15∘cos 45∘−sin15∘sin 45∘()A. B. C. D. −123212−32【答案】C【解析】解： ．cos 15∘cos 45∘−sin15∘sin 45∘=cos(15∘+45∘)=cos60∘=12故选：C ．直接利用两角和的余弦化简求值．本题考查三角函数的化简求值，考查两角和的余弦，是基础题．3.函数的定义域是 f(x)=2−x +lgx ()A. B. C. D. {x|0<x ≤2}{x|0<x ≤1}{x|−1<x ≤2}{x|1<x ≤2}【答案】A【解析】解：要使函数有意义，则，{2−x ≥0x >0得，即，{x ≤2x >00<x ≤2即函数的定义域为(0,2]故选：A ．根据函数成立的条件即可求函数的定义域．本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．4.如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别是DC ，BC 的中点，那么 ⃗EF=()A. 12⃗AB+12⃗ADB. −12⃗AB−12⃗ADC. −12⃗AB+12⃗ADD. 12⃗AB−12⃗AD【答案】D【解析】解：因为点E 是CD 的中点，所以，⃗EC=12⃗AB点得F 是BC 的中点，所以，⃗CF=12⃗CB=−12⃗AD所以，⃗EF=⃗EC+⃗CF=12⃗AB−12⃗AD故选：D ．由题意点E ，F 分别是DC ，BC 的中点，求出，，然后求出向量即得．⃗EC⃗CF⃗EF本题考查向量加减混合运算及其几何意义，注意中点关系与向量的方向，考查基本知识的应用．5.若将函数的图象向左平移y =2sin2x π12个单位长度，则平移后的图象的对称轴为 ()A. B. x =kπ2−π6(k ∈Z)x =kπ2+π6(k ∈Z)C. D. x =kπ2−π12(k ∈Z)x =kπ2+π12(k ∈Z)【答案】B【解析】解：将函数的图象向左平移个单位长度，得到y =2sin2x π12y =2sin2(x +，π12)=2sin(2x +π6)由得：，2x +π6=kπ+π2(k ∈Z)x =kπ2+π6(k ∈Z)即平移后的图象的对称轴方程为，x =kπ2+π6(k ∈Z)故选：B ．利用函数y =Asin (ωx +φ)(A >0,ω>0)的图象的变换及正弦函数的对称性可得答案．本题考查函数y =Asin (ωx +φ)(A >0,ω>0)的图象的变换规律的应用及正弦函数的对称性质，属于中档题．6.已知函数的最小值为8，则 f(x)=a +log 2(x 2+a)(a >0)()A. B. C. D. a ∈(5,6)a ∈(7,8)a ∈(8,9)a ∈(9,10)【答案】A【解析】解：函数的最小值为8，f(x)=a +log 2(x 2+a)(a >0)可得，a +log 2a =8令，函数是增函数，f(a)=log 2a−8+a ，f(5)=log 25−3<0，f(6)=log 26−2>0所以函数的零点在．(5,6)故选：A ．利用复合函数的性质求出函数的最小值时的表达式，然后求解a 的范围．本题考查函数的最值的求法，零点判定定理的应用，考查计算能力．7.已知为三角形内角，且，若，则关于θ△ABC sin θ+cos θ=m m ∈(0,1)△ABC 的形状的判断，正确的是 ()A. 直角三角形 B. 锐角三角形C. 钝角三角形 D. 三种形状都有可能【答案】C【解析】解：，∵sin θ+cos θ=m ∴m 2=(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ∵0<m <1∴0<m 2<1，∴0<2sin θcos θ+1<1−12<sin θcos θ<0为三角形内角，，∵θ△ABC ∴sin θ>0cos θ<0为钝角，即三角形为钝角三角形θ△ABC 故选：C ．利用同角平方关系可得，，结合可得m 2=1+2sin θcos θm ∈(0,1)sin θcos θ<0，从而可得的取值范围，进而可判断三角形的形状．θ本题主要考查了利用同角平方关系的应用，其关键是变形之后从sin θcos θ的符号中判断的取值范围，属于三角函数基本技巧的运用．θ8.已知向量，，则 ⃗BA=(12,32)⃗BC=(32,12)∠ABC =()A. B. C. D. 30∘45∘60∘120∘【答案】A【解析】解：，；⃗BA⋅⃗BC=34+34=32|⃗BA|=|⃗BC|=1；∴cos ∠ABC =⃗BA⋅⃗BC|⃗BA ||⃗BC|=32又；0∘≤∠ABC ≤180∘．∴∠ABC =30∘故选：A ．根据向量的坐标便可求出，及⃗BA ,⃗BC⃗BA⋅⃗BC|⃗BA |,|⃗BC|的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出的值，根据cos ∠ABC ∠ABC 的范围便可得出的值．∠ABC 考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．9.函数在单调递减，且为奇函数若，则满足f(x)(−∞,+∞).f(1)=−1−1≤f(x−2)≤1的x 的取值范围是 ()A. B. C. D. [−2,2][−1,1][0,4][1,3]【答案】D【解析】解：函数为奇函数．∵f(x)若，则，f(1)=−1f(−1)=1又函数在单调递减，，∵f(x)(−∞,+∞)−1≤f(x−2)≤1，∴f(1)≤f(x−2)≤f(−1)，∴−1≤x−2≤1解得：，x ∈[1,3]故选：D ．由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式化为−1≤f(x−2)≤1−1≤x−2≤1，解得答案．本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的单调性，函数的奇偶性，难度中档．10.已知函数的部分图象如图所示，则函数f(x)=Asin (ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π)图象的一个对称中心可能为 g(x)=Acos (φx +ω)()A. B. C. D. (−52,0)(16,0)(−12,0)(−116,0)【答案】C【解析】解：根据函数的部分图象，f(x)=Asin (ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π)可得，，．A =232πω=2(6+2)∴ω=π8再根据函数的图象经过点，结合图象可得，，(6,0)π8⋅6+φ=0∴φ=−3π4∴f(x)=23sin(π8x−3π4).则函数g(x)=Acos (φx +ω)=23cos (−3π4x +π8)=23cos(3π4x−π8)图象的一个对称中心可能，(−12,0)故选：C ．由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出，由特殊点的坐标求出ωφ的值，可得的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得函数g(x)图象的一个对称中心．g(x)=Acos (φx +ω)本题主要考查由函数y =Asin (ωx +φ)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出的值，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．φ二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）11.函数的值域为f(x)=ax 2+(2a−1)x +14[0,+∞)，则实数a 的取值范围是______．【答案】[0,14]∪[1,+∞)【解析】解：由题意，函数的值域为，∵f(x)=ax 2+(2a−1)x +14[0,+∞)或∴{a >0a−(2a−1)24a≤0a =0当时，解得或{a >0a−(2a−1)24a≤00<a ≤14a ≥1实数a 的取值范围是∴[0,14]∪[1,+∞)故答案为：．[0,14]∪[1,+∞)根据函数的值域为f(x)=ax 2+(2a−1)x +14[0,+∞)，分类讨论，建立不等式，即可求得实数a 的取值范围．本题考查函数的值域，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．12.设函数的图象关于y 轴对称，且其定义域为，f(x)=1a x 2+bx +3x +b [a−1,2a](a ，则函数在上的值域为______．b ∈R)f(x)x ∈[a−1,2a]【答案】[−3,−53]【解析】解：由题意可知，a ≠0函数的图象关于y 轴对称，对称轴为，f(x)=1a x 2+bx +3x +b x =0可得：，即，即函数解析式函数化简成b +3−2×1a=0b =−3f(x)=1a x 2+bx +3x +b f(x)=1a．x 2−3由定义域关于y 轴对称，故有，得出[a−1,2a]a−1+2a =0a =13，即函数解析式化简成，f(x)=3x 2−3x ∈[−23,23]的值域为f(x)[−3,−53].故答案为：[−3,−53].由题意可知，图象关于y 轴对称可判断出，即函数解析式化简成a ≠0b =−3，由定义域关于y 轴对称，得出a 的值，求的值域．f(x)=1a x 2−3[a−1,2a]f(x)此题主要考查函数二次函数图象对称的性质以及二次函数的值域的求法，求解的关键是熟练掌握二次函数的性质，本题理解对称性很关键．13.已知函数，若关于x 的方程f(x)={22−x,x <2log 3(x +1),x ≥2f(x)=m有两个不同的实根，则实数m 的取值范围是______．【答案】(1,+∞)【解析】解：由题意作出函数的图象，f(x)={22−x,x <2log 3(x +1),x ≥2关于x 的方程有两个不同的实根等价于f(x)=m 函数与有两个不同的公共点，f(x)={22−x,x <2log 3(x +1),x ≥2y =m 由图象可知当时，满足题意，k ∈(1,+∞)故答案为：．(1,+∞)由题意在同一个坐标系中作出两个函数的图象，图象交点的个数即为方程根的个数，由图象可得答案．本题考查方程根的个数，数形结合是解决问题的关键，属基础题．14.已知函数，正实数m ，n 满足，且，若在区间f(x)=|log 2x|m <n f(m)=f(n)f(x)[上的最大值为2，则______．m 2,n]n +m =【答案】52【解析】解：，且，∵f(x)=|log 2x|f(m)=f(n)∴mn =1若在区间上的最大值为2∵f(x)[m 2,n]∴|log 2m 2|=2，∵m <n ∴m =12∴n =2∴n +m =52故答案为：52先结合函数的图象和性质，再由f(x)=|log 2x|f(m)=f(n)，得到m ，n 的倒数关系，再由“若在区间上的最大值为2”，求得f(x)[m 2,n]的值得到结果．m.n 本题主要考查对数函数的图象和性质，特别是取绝对值后考查的特别多，解决的方法多数用数形结合法．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知集合，，．A ={x|x 2−2x−8≤0}B ={x|x−6x +1<0}U =R 求；(1)A ∪B 求；(2)(∁U A)∩B 如果非空集合，且，求m 的取值范围．(3)C ={x|m−1<x <2m +1}A ∩C =⌀【答案】解：集合，分(1)A ={x|x 2−2x−8≤0}={x|−2≤x ≤4} (2)；分B ={x|x−6x +1<0}={x|−1<x <6}...(4)；分∴A ∪B ={x|−2≤x <6} (6)全集，或，分(2)U =R ∴∁U A ={x|x <−2x >4}…(8)；分∴(∁U A)∩B ={x|4<x <6}…(10)非空集合，(3)C ={x|m−1<x <2m +1}，∴2m +1>m−1解得；m >−2又，A ∩C =⌀或，∴m−1≥42m +1≤−2解得或；m >5m ≤−32的取值范围是分∴m −2<m ≤−32 (14)【解析】化简集合A 、B ，根据并集的定义写出；(1)A ∪B 根据补集与交集的定义写出；(2)(∁U A)∩B 根据非空集合C 与，得关于m 的不等式，求出解集即可．(3)A ∩C =⌀本题考查了集合的定义与运算问题，是中档题．16.平面直角坐标系xOy 中，角与角αβ均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称若，求的值．.sin α=13cos (α−β)【答案】解：角与角均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称若，αβ.sin α=13，，∴α+β=2kπ+πk ∈Z ，．∴sin α=13=sin βcos α=−cos β=±1−sin 2α=±223．∴cos (α−β)=cos αcos β+sin αsin β=−cos 2α+sin 2α=2sin 2α−1=−79【解析】由题意可得，sin α=13=sin βcos α=−cos β，再利用两角和差的三角公式求得的值．cos (α−β)=2sin 2α−1本题主要考查两角和差的三角公式的应用，属于基础题．17.如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处，第一种是从A 沿直线步行到C ，第二种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C.某旅客选择第二种方式下山，山路AC 长为1260m ，从索道步行下山到时C 处经测量，，，求索道AB 的长．BC =500m cosA =1213cosC =35【答案】解：在中，，，△ABC ∵cosA =1213cosC =35，，∴sinA =513sinC =45则，sinB =sin [π−(A +C)]=sin(A +C)=sinAcosC +cosAsinC =513×35+1213×45=6365由正弦定理得得，ABsinC =ACsinB AB =ACsinC sinB=12606365×45=1040m 则索道AB 的长为1040m ．【解析】利用两角和差的正弦公式求出，结合正弦定理求AB 即可sinB 本题主要考查三角函数的应用问题，根据两角和差的正弦公式以及正弦定理进行求解是解决本题的关键．18.已知函数，，且．f(x)=x|x−m|x ∈R f(3)=0求实数m 的值；(1)作出函数的图象并直接写出单调减区间．(2)f(x)f(x)若不等式在时都成立，求a 的取值范围．(3)f(x)≥ax 4≤x ≤6【答案】解：，(1)∵f(x)=x|x−m|由得f(3)=04×|3−m|=0即|3−m|=0解得：；m =3由得，(2)(1)f(x)=x|x−3|即f(x)={x 2−3x,x ≥33x−x 2,x <3则函数的图象如图所示；单调减区间为：；(32,3)由题意得在(3)x 2−3x ≥mx 4≤x ≤6时都成立，即在时都成立，x−3≥m 4≤x ≤6即在时都成立，m ≤x−34≤x ≤6在时，，4≤x ≤6(x−2)min =1．∴m ≤1【解析】由，代入可得m 值；(1)f(3)=0分类讨论，去绝对值符号后根据二次函数表达式，画出图象．(2)由题意得在时都成立，可得在(3)x 2−3x ≥mx 4≤x ≤6m ≤x−34≤x ≤6时都成立，解得即可本题考查的知识点是函数解析式的求法，零点分段法，分段函数，由图象分析函数的值域，其中利用零点分段法，求函数的解析式是解答的关键．19.已知函数的图象关于直线f(x)=3sin (ωx +φ)(ω>0,−π2≤φ<π2)x =π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为．πⅠ求和的值；()ωφⅡ若，求的值．()f(α2)=34(π6<α<2π3)cos (α+3π2)【答案】解：Ⅰ由题意可得函数的最小正周期为，，．()f(x)π∴2πω=π∴ω=2再根据图象关于直线对称，可得，．x =π32×π3+φ=kπ+π2k ∈z 结合可得．−π2≤φ<π2φ=−π6Ⅱ，()∵f(α2)=34(π6<α<2π3)，．∴3sin (α−π6)=34∴sin (α−π6)=14再根据，0<α−π6<π2，∴cos (α−π6)=1−sin 2(α−π6)=154∴cos (α+3π2)=sin α=sin [(α−π6)+π6]=sin (α−π6)cos π6+cos (α−π6)sinπ6．=14×32+154×12=3+158【解析】Ⅰ由题意可得函数的最小正周期为求得()f(x)πω=2.再根据图象关于直线对称，结合可得的值．x =π3−π2≤φ<π2φⅡ由条件求得再根据的范围求得的值，再根据()sin (α−π6)=14.α−π6cos (α−π6)cos (α+3π2，利用两角和的正弦公式计算求得结果．)=sin α=sin [(α−π6)+π6]本题主要考查由函数y =Asin (ωx +φ)的部分图象求函数的解析式，两角和差的三角公式、的应用，属于中档题．20.设函数且是奇函数．f(x)=ka x −a −x (a >0a ≠1)求常数k 的值；(1)若，试判断函数的单调性，并加以证明；(2)a >1f(x)若已知，且函数在区间上的最小值为(3)f(1)=83g(x)=a2x+a−2x−2mf(x)[1,+∞)，求实数m 的值．−2【答案】解：且是奇函数．(1)∵f(x)=ka x −a −x (a >0a ≠1)，即，解得．∴f(0)=0k−1=0k =1且，(2)∵f(x)=a x−a −x(a >0a ≠1)当时，在R 上递增．a >1f(x)理由如下：设，则m <n f(m)−f(n)=a m −a −m −(a n −a −n )，=(a m−a n)+(a −n−a−m)=(a m −a n)(1+1a m an)由于，则，即，m <n 0<a m <a n a m −a n <0，即，f(m)−f(n)<0f(m)<f(n)则当时，在R 上递增．a >1f(x)，，(3)∵f(1)=83∴a−1a =83即，3a 2−8a−3=0解得或舍去．a =3a =−13()，∴g(x)=32x +3−2x −2m(3x −3−x )=(3x −3−x )2−2m(3x −3−x )+2令，t =3x −3−x ，∵x ≥1，∴t ≥f(1)=83，∴(3x −3−x )2−2m(3x −3−x )+2=(t−m )2+2−m 2当时，，解得，不成立舍去．m ≥832−m 2=−2m =2当时，，m <83(83)2−2m ×83+2=−2解得，满足条件，m =2512．∴m =2512【解析】根据函数的奇偶性的性质，建立方程即可求常数k 的值；(1)当时，在R 上递增(2)a >1f(x).运用单调性的定义证明，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤；根据，求出a ，然后利用函数的最小值建立方程求解m ．(3)f(1)=83本题主要考查函数奇偶性的应用，以及指数函数的性质和运算，考查学生的运算能力，综合性较强．。

2020-2021学年广东省深圳市宝安区高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）1.已知集合A={x||x|≤2}，B={x|−3<x<1}，则A∩B=()A. {x|−3<x≤2}B. {x|−3≤x≤2}C. {x|−2≤x<1}D. {x|−2≤x≤1}2.已知f(x)在R上是奇函数，且f(x)在R上的最大值为m，则函数F(x)=f(x)+3在R上的最大值与最小值之和为()A. 2m+3B. 2m+6C. 6D. 6−2m3.对于集合{a1,a2,…,a n}和常数a0，定义：w=sin(a1−a0)2+sin(a2−a0)2+⋯+sin(a n−a0)2n为集合{a1,a2,…,a n}相对于a0的“正弦方差”，则集合{π2,5π6,7π6}相对a0的“正弦方差”为()A. 13B. 12C. a04D. a034.如图所示，函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)离y轴最近的零点与最大值均在抛物线y=−32x2+12x+1上，则f(x)=()A. f(x)=sin(16x+π3) B. f(x)=sin(12x+π3)C. f(x)=sin(π2x+π3) D. f(x)=sin(π2x+π6)5.已知两个非零向量a⃗、b⃗ 满足|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |，则a⃗与b⃗ 的关系是()A. 共线B. 不共线且不垂直C. 垂直D. 共线且方向相反6.满足不等式1x<1的x的取值范围是()A. x>1B. x<0或x>1C. x<0D. 0<x<17.已知函数f(x)=sin(2x +φ)(0<φ<π)，若将函数y =f(x)的图象向左平移π6个单位后所得图象对应的函数为偶函数，则实数φ=( )A. 5π6B. 2π3C. π3D. π68.已知，则所在的象限是( )A. 第一象限B. 第三象限C. 第一或第三象限D. 第二或第四象限9.下列关于向量的说法中正确的是( )A. 向量a ⃗ =λb⃗ (λ≠0)且b ⃗ ≠0⃗ ，则向量a ⃗ 与b ⃗ 的方向相同或相反 B. 若|a ⃗ |<|b ⃗ |，则a ⃗ <b ⃗C. 若|a ⃗ |=|b ⃗ |，则向量a ⃗ 与b ⃗ 的长度相等且方向相同或相反D. 若a ⃗ //b ⃗ ，且b ⃗ //c ⃗ ，则a⃗ //c ⃗ 10. 定义方程f(x)=f′(x)的实数根x 0叫做函数的“新驻点”，若函数g(x)=x ，ℎ(x)=ln(x +1)，t(x)=x 3−1的“新驻点”分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a >b >cB. c >a >bC. a >c >bD. b >a >c二、多选题（本大题共2小题，共10.0分）11. 已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x)+f(−x)=0，f(x +6)=−f(x)，且∀x 1，x 2∈[−3,0]，当x 1≠x 2时，都有x 1f(x 1)+x 2f(x 2)<x 1f(x 2)+x 2f(x 1)，则以下判断正确的是( )A. f(x)是奇函数B. 函数f(x)在[−9,−6]单调递增C. x =3是函数f(x)的对称轴D. 函数f(x)的最小正周期是612. 已知函数f(x)=(12)x2−|x|−2，下列关于函数f(x)的说法正确的是( )A. 函数f(x)是关于y 轴对称的偶函数B. 函数f(x)为非奇非偶函数C. 函数f(x)的最大值为4√24D. 函数f(x)的单调递增区间为(−∞,−12)∪(0,12)三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 不等式|2x −1−log 3(x −1)|<|2x −1|+|log 3(x −1)|的解集是______ ．14. 向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(k,1)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,5)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−k,10)，且A ，B ，C 三点共线，则k = ______ ．15.定义：如果函数y=f(x)在定义域内给定区间[a,b]上存在x0(a<x0<b)，满足f(x0)=f(b)−f(a)b−a，则称函数y=f(x)是[a,b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．如y=x2是[−1,1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f(x)=x3+mx是区间[−1,1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是______．16.已知命题p1：函数y=lntanx与y=12ln1−cos2x1+cos2x是同一函数；p2：已知x0是函数f(x)=11−x+2x的一个零点，若1<x1<x0<x2，则f(x1)<0<f(x2)，则在以下命题：①p1∨p2；②(￢p1)∧(￢p2)；③(￢p1)∧p2；④p1∨(￢p2)中，真命题是______ (写出所有正确命题的序号)．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数().(1)判断的奇偶性；(2)当时，求证：函数在区间上是单调递减函数，在区间上是单调递增函数；(3)若正实数满足，，求的最小值．18. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)=x2+4x(1)求函数f(x)，x∈R的解析式；(2)若函数g(x)=f(x)−2ax+2，x∈[1,4]，记函数g(x)的最大值为ℎ(a)，求函数ℎ(a)的解析式，并写出函数ℎ(a)的值域．19. 如图，设单位圆与x轴的正半轴相交于点Q(1,0)，当α≠2kπ+β(k∈Z)时，以x轴非负半轴为始边作角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于点P1(cosα,sinα)，Q1(cosβ,sinβ)．(1)叙述并利用如图证明两角差的余弦公式；(2)利用两角差的余弦公式与诱导公式.证明：sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ．(附：平面上任意两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)间的距离公式P1P2=√(x2−x1)2+(y2−y1)2).20. 已知函数f(x)=x+a2x(其中a为常数)．(1)判断函数y=f(2x)的奇偶性；(2)若不等式f(2x)<2x+12x+4在x∈[0,1]时有解，求实数a的取值范围；(3)设g(x)=1−x1+x ，是否存在正数a，使得对于区间[0,12]上的任意三个实数m，n，p，都存在以f[g(m],f[g(n)],f[g(p)]为边长的三角形？若存在，试求出这样的a的取值范围；若不存在，请说明理由．21. 设函数(1)求的最小正周期及其图像的对称轴方程；(2)将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，求在区间的值域．22. 如图，互相垂直的两条公路AP、AQ旁有一矩形花园ABCD，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园AMN，要求点M在射线AP上，点N在射线AQ上，且直线MN过点C，其中AB=20米，AD=30米．记三角形花园AMN的面积为S．(1)问：DN取何值时，S取得最小值，并求出最小值；(2)若S不超过1350平方米，求DN长的取值范围．参考答案及解析1.答案：C解析：解：∵A ={x|−2≤x ≤2}，B ={x|−3<x <1}， ∴A ∩B ={x|−2≤x <1}． 故选：C ．可求出集合A ，然后进行交集的运算即可．本题考查了集合的描述法的定义，绝对值不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：C解析：本题考查函数的奇偶性的性质的应用，是基础题． 利用函数的奇偶性的性质求解即可．解：f(x)在R 上是奇函数，且f(x)在R 上的最大值为m ，则最小值为：−m ，最大值与最小值之和为0， 函数F(x)=f(x)+3，是函数f(x)的图象向上平移3个单位，并不改变最大最小值所取的点对应的x 的值，所以F(x)=f(x)+3最大值最小值之和为6， 故选：C ．3.答案：B解析：解：根据新定义：w=sin(a 1−a 0)2+sin(a 2−a 0)2+⋯+sin(a n −a 0)2为集合{a 1,a 2,…,a n }相对于a 0的“正弦方差” ∴集合{π2,5π6,7π6}相对a 0的“正弦方差”为：w =sin 2(π2−a 0)+sin 2(5π6−a 0)+sin 2(7π6−a 0)3=3+cos2a 0−cos(5π3−2a 0)−cos(7π3−2a 0)6=12．故选B ．根据新定义，将a1=π2，a2=5π6，a3=7π6，n=3代入计算可得结论．本题考察了对新定义的理解和运用能力，同时考察了二倍角的化简计算能力．属于中档题题．4.答案：C解析：解：根据题意，函数f(x)离y轴最近的零点与最大值均在抛物线y=−32x2+12x+1上，令y=0，得−32x2+12x+1=0，解得x=−23或x=1；∴点(−23,0)在函数f(x)的图象上，∴−23ω+φ=0，即φ=23ω①；又令ωx+φ=π2，得ωx=π2−φ②；把①代入②得，x=π2ω−23③；令y=1，得−32x2+12x+1=1，解得x=0或x=13；即π2ω−23=13，解得ω=12π，∴φ=23ω=π3，∴f(x)=sin(π2x+π3).故选：C．根据题意，令y=0，求出点(−23,0)在函数f(x)的图象上，再令y=1，求出点(13,1)在函数f(x)的图象上，从而求出φ与ω的值，即可得出f(x)的解析式．本题考查了解函数y=sin(ωx+φ)以及二次函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．5.答案：C解析：解：∵两个非零向量a⃗、b⃗ 满足|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |，∴(a⃗+b⃗ )2=(a⃗−b⃗ )2，展开得到，a⃗⋅b⃗ =0，故选C．根据两个非零向量a⃗、b⃗ 满足|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |，可得(a⃗+b⃗ )2=(a⃗−b⃗ )2，展开即可．本题考查了向量的模和数量积运算，属于基础题．6.答案：B解析：解：1x <1，即1x−1<0，即1−xx<0，即x(x−1)>0，解得x<0或x>1，故选：B．解不等式1x<1，即可得出x的取值范围．本题考查了求一元二次不等式的解集问题，解题时应按照解一元二次不等式的步骤解答即可，是容易题．7.答案：D解析：本题主要考查三角函数的平移以及三角函数的性质，解决此问题时要注意数形结合思想的运用，属于中档题．函数y=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象向左平移π6个单位后可得y=sin[2(x+π6)+φ](0<φ<π)，再依据它是偶函数得2×π6+φ=π2+kπ,k∈Z，从而求出φ的值．解：∵函数y=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象向左平移π6个单位后可得y=sin[2(x+π6)+φ](0<φ<π)，∵得到的函数是偶函数，∴2×π6+φ=π2+kπ，k∈Z即φ=π6+kπ，k∈Z，∵0<φ<π，∴φ的值π6．故选D．8.答案：C解析：试题分析：因为所以为第二象限角，即，则的集合为，当为偶数时，是第一象限角，当为奇数时，是第三象限角，故选C．考点：本题考查的知识点是象限角的定义以及判断三角函数值得符号的方法．9.答案：A解析：解：对于A，向量a⃗=λb⃗ (λ≠0)且b⃗ ≠0，则λ>0时，向量a⃗与b⃗ 的方向相同，λ<0时，向量a⃗与b⃗ 的方向相反，∴A正确；对于B，当|a⃗|<|b⃗ |时，不能得出a⃗<b⃗ ，因为向量是矢量，不能比较大小，∴B错误；对于C，当|a⃗|=|b⃗ |时，向量a⃗与b⃗ 的长度相等，但不能得出方向相同或相反，如单位向量模长相等，但方向可以是任意的，∴C错误；对于D，当a⃗//b⃗ ，且b⃗ //c⃗时，不能得出a⃗//c⃗，如b⃗ =0⃗时，它的方向是任意的，∴D错误．故选：A．A，由平面向量的共线定理得出λ>0时，方向相同，λ<0时，方向相反；B，向量是矢量，不能比较大小；C，当|a⃗|=|b⃗ |时，不能得出向量a⃗与b⃗ 方向相同或相反；D，a⃗//b⃗ ，且b⃗ //c⃗时，不能得出a⃗//c⃗．本题考查了平面向量的基本概念应用问题，是基础题．10.答案：B解析：解：对于g(x)=x，构造F(x)=g(x)−g′(x)=x−1，依题意，函数F(x)的零点就是函数g(x)的“新驻点”，得a=1；，对于ℎ(x)=ln(x+1)，构造G(x)=ℎ(x)−ℎ′(x)=ln(x+1)−1x+1>0，∴G(x)的零点b∈(0,1)；G(x)单调递增，且G(0)=−1<0，G(1)=ln2−12对于t(x)=x3−1，构造H(x)=t(x)−t′(x)=x3−3x2−1，H′(x)=3x2−6x=3x(x−2)，当x∈(−∞,0)∪(2,+∞)上，H′(x)>0；当x∈(0,2)上，H′(x)<0．∴H(x)的增区间为(−∞,0)，(2,+∞)；减区间为(0,2)．∵H(0)=−1<0，∴H(x)只有1个零点，∵H(3)=−1<0，H(4)=15>0，∴H(x)的零点c∈(3,4)．综上可得，c>a>b，故选：B．通过构造函数F(x)=f(x)−f′(x)，f(x)的“新驻点”就是函数F(x)的零点，再依次确定a，b，c的范围得答案．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查零点存在定理的应用，属于中档题．11.答案：ABC解析：解：∵f(x)+f(−x)=0，即f(−x)=−f(x)，∴函数为奇函数，故A正确；=3，故∵f(x+6)=−f(x)，而f(−x)=−f(x)，∴f(x+6)=f(−x)，得函数的对称轴为x=6+02C正确；∵f(x+6)=−f(x)，∴f(x+12)=−f(x+6)=f(x)，即f(x+12)=f(x)，∴f(x)的最小正周期是12，故D错误；对任意的x1，x2∈[−3,0]，当x1≠x2时，都有x1f(x1)+x2f(x2)<x1f(x2)+x2f(x1)，由x1f(x1)+x2f(x2)<x1f(x2)+x2f(x1)化简得(x1−x2)⋅(f(x1)−f(x2))<0，∴x∈[−3,0]时，f(x)为减函数，∵函数为奇函数，∴x∈[0,3]时，f(x)为减函数，又∵函数f(x)关于x=3对称，∴x∈[3,6]时，f(x)为增函数．∵f(x)的最小正周期是12，∴x∈[−9,−6]的单调性与x∈[3,6]时的单调性相同，故x∈[−9,−6]时，f(x)单调递增，故B正确．故选：ABC．由函数奇偶性的定义判断A；直接求出函数的对称轴与正周期判断C与D；把已知不等式变形，结合函数的周期性与对称性可得函数f(x)在[−9,−6]上的单调性判断B．本题考查抽象函数的性质，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题．12.答案：ACD解析：直接利用函数的性质：函数的奇偶性，复合函数的单调性、函数的最值判断A、B、C、D的结论即可．本题考查的知识要点：函数的奇偶性，复合函数的单调性，函数最值的求法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属中档题．)x2−|x|−2，满足f(−x)=f(x)，所以函数为偶函数，故A正确，B错误．解：对于A：函数f(x)=(12对于C ：函数f(x)=(12)x2−|x|−2，令u =x 2−|x |−2，则y =(12)u，是单调递减的函数，在(0,+∞)上u =x 2−x −2，当x =12时,u min =−94， 所以f(x)的最大值为f(12)=4√24，故C 正确；对于D ：结合C 可得函数f(x)的在(0,12)单调递增，函数在(12,+∞)单调递减， 因为函数f(x)为偶函数，所以递增区间为(−∞,−12)和(0,12)，故D 正确． 故选：ACD ．13.答案：(2,+∞)解析：解：∵|2x −1−log 3(x −1)|<|2x −1|+|log 3(x −1)|等价于2 x −1与log 3 (x −1)同号 ∴{2x −1>0log 3(x −1)>0，解得x >2；或{2x −1<0log 3(x −1)<0，x ∈⌀， ∴不等式|2x −1−log 3(x −1)|<|2x −1|+|log 3(x −1)|的解集是(2,+∞)． 故答案为：(2,+∞)．由|2x −1−log 3(x −1)|<|2x −1|+|log 3(x −1)|⇒2x −1与log 3(x −1)同号，从而可求得其解集． 本题考查绝对值不等式，关键在于分析出2x −1与log 3(x −1)同号，也是难点所在，属于中档题．14.答案：36解析：解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4−k,4)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2k,9)； ∵A ，B ，C 三点共线；∴存在实数λ，使AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，带入坐标得： {4−k =−2λk 4=9λ，解得，k =36． 故答案是：36．根据共线向量基本定理，存在实数λ，使AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，带入坐标即可求出k ． 对共线向量基本定理掌握熟练了，解这道题是比较简单的．15.答案：−3<m ≤−34解析：解：函数f(x)=x 3+mx 是区间[−1,1]上的平均值函数，故有x 3+mx =f(1)−f(−1)1−(−1)在(−1,1)内有实数根． 由x 3+mx =f(1)−f(−1)1−(−1)⇒x 3+mx −m −1=0，解得x 2+m +1+x =0或x =1．又1∉(−1,1)∴x 2+m +1+x =0的解为：−1±√−3−4m2，必为均值点，即−1<−1+√−3−4m2<1⇒−3<m ≤−34．−1<−1−√−3−4m 2<1⇒−12<m ≤−34∴所求实数m 的取值范围是−3<m ≤−34． 故答案为：−3<m ≤−34．函数f(x)=x 3+mx 是区间[−1,1]上的平均值函数，故有x 3+mx =f(1)−f(−1)1−(−1)在(−1,1)内有实数根，求出方程的根，让其在(−1,1)内，即可求出实数m 的取值范围．本题主要是在新定义下考查方程根的问题．在做关于新定义的题目时，一定要先认真的研究定义理解定义，再按定义解答．16.答案：①③解析：先判断出命题p 1，p 2的真假，从而判断出复合命题的真假即可．本题考查了三角函数、对数函数的性质、考查函数的零点问题，考查复合命题的判断，是一道中档题． 解：关于命题p 1：函数y =lntanx 与y =12ln 1−cos2x1+cos2x 是同一函数； 对于函数y =12ln 1−cos2x1+cos2x =12lntan 2x =ln√tan 2x ，要求tanx ≠0， 而函数y =lntanx 则要求tanx >0， 故命题p 1是假命题，￢p 1是真命题；关于命题p 2：已知x 0是函数f(x)=11−x +2x 的一个零点， 令f(x)=0，得：2x =1x−1， 令g(x)=2x ，ℎ(x)=1x−1，画出函数g(x)和ℎ(x)的图象，如图示：由图象得：若1<x1<x0<x2，则f(x1)<0<f(x2)，故命题p2是真命题，￢p2是假命题；所以①p1∨p2,③(￢p1)∧p2是真命题，②(￢p1)∧(￢p2)，④p1∨(￢p2)是假命题．故答案为①③．17.答案：(1)①当时，函数是偶函数；②当时，是非奇非偶函数；(2)略；(3)。

2019年-2020 学年高一数学期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．110．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是2512．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．13．函数的递减区间是（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．2019年-2020 学年高一期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]【答案】A【解答】解：A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴A∪B＝（﹣∞，4）．故选：A．2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）【答案】C【解答】解：∵f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，∴在区间（1，1.5）内函数f（x）＝3x+3x﹣8存在一个零点该同学在第二次应计算的函数值＝1.25，故选：C．3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由，可知当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，排除A，C；当x→+∞时，由指数爆炸可知e x＞x3，则→0，排除B．故选：D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：由于连续函数满足f（）＝﹣2＜0，f（）＝＞0，且函数在区间（，）上单调递增，故函数函数的零点所在的区间为（，）．故选：C．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解答】解：由于ln|a|＞ln|b|⇔|a|＞|b|＞0，由a＞b推不出ln|a|＞ln|b|，比如a＝1，b＝﹣2，有a＞b，但ln|a|＜ln|b|；反之，由ln|a|＞ln|b|推不出a＞b，比如a＝﹣2，b＝1，有ln|a|＞ln|b|，但a＜b；∴“a＞b”是“ln（a﹣b）＞0”的既不充分也不必要条件．故选：D．6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]【答案】A【解答】解：令t（x）＝2x﹣x2＝﹣（x﹣1）2+1≤1∵单调递减∴即y≥故选：A．7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c【答案】B【解答】解：因为a＞b＞c＞1，令a＝16，b＝8，c＝2，则log c a＞1＞log a b所以A，C错，则故D错，B对．故选：B．8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）【答案】B【解答】解：函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，设g（x）＝ax2﹣2x+a，则g（x）能取边所有的正数，即（0，+∞）是g（x）值域的子集，当a＝0时，g（x）＝﹣2x的值域为R，满足条件．当a≠0时，要使（0，+∞）是g（x）值域的子集，则满足得，此时0＜a≤1，综上所述，0≤a≤1，故选：B．9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．1【答案】A【解答】解：由于x1和x2是函数y＝e x和函数y＝lnx与函数y＝的图象的公共点A和B的横坐标，而A（），B（）两点关于y＝x对称，可得，因此x1x2＝4，故选：A．10．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解答】设蒲草每天长的高度为数列{a n}，莞草每天长的高度为数列{b n}，由题意得：{a n}为等比数列，求首项为3，公比为，所以通项公式a n＝3•（）n﹣1，前n项和S n＝6[1﹣（）n]，{b n}为等比数列，首项为1，公比为2，所以通项公式b n＝2n﹣1，前n项和T n＝2n﹣1；由题意得设n天莞草是蒲草的二倍，即2n﹣1＝2•6[1﹣（）n]⇒（2n）2﹣13•2n+12＝0⇒2n＝12或1（舍）两边取以10为底的对数，n＝＝＝2+由相关数据可得，n＝4，故选：C．二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是25【答案】25【解答】解：因为x＞0，y＞0，+＝1，所以3x+4y＝（3x+4y）（+）＝13++≥13+2＝25（当且仅当x＝2y 时取等号），所以（3x+4y）min＝25．故答案为：25．12．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．【答案】（4，）；．【解答】解：对于函数（a＞0且a≠1），令2x﹣7＝1，求得x＝4，y＝，可得它的图象恒过定点P（4，）．点P在幂函数g（x）＝xα的图象上，则4α＝，即22α＝2﹣1，∴α＝﹣，g（x）＝＝，故g（9）＝＝，故答案为：（4，）；．13．函数的递减区间是（3，+∞）．【答案】（3，+∞）【解答】解：由2x2﹣5x﹣3＞0得x＞3或x＜﹣，设t＝2x2﹣5x﹣3，则当x＞3时，函数t为增函数，当x＜﹣时，函数t为减函数，∵y＝log0.1t为减函数，∴要求y＝log0.1（2x2﹣5x﹣3）的递减区间，即求函数t＝2x2﹣5x﹣3的递增区间，即（3，+∞），即函数f（x）的单调递减区间为为（3，+∞）．故答案为：（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．【答案】（，1）．【解答】解：∵函数f（x）＝有3个零点，∴a＞0 且y＝ax2+2x+1在（﹣2，0）上有2个零点，∴，解得＜a＜1，故答案为：（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．【解答】解：∵f（x）＝3x+2m﹣1是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数，∴存在x0∈[﹣1，1]满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），∴3+2m﹣1＝﹣3﹣2m+1，∴4m＝﹣3﹣3+2，构造函数y＝﹣3﹣3+2，x0∈[﹣1，1]，令t＝3，t∈[，3]，y＝﹣﹣t+2，y∈[﹣，0]，∴﹣＜0，∴﹣，故答案为：[﹣，0）．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围【解答】解：（1）∵函数的定义域为集合A，∴A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，∴∁R A＝{x|x≤﹣1或x≥2}，∵集合B＝{x|1＜x＜8}，∴集合（∁R A）∪B＝{x|x≤﹣1或x＞1}．（2）∵A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，C＝{x|a＜x＜2a+1}，A∪C＝A，∴C⊆A，当C＝∅时，a≥2a+1，解得a≤﹣1，当C≠∅时，，解得﹣1＜x．综上，a的取值范围是（﹣∞，]．17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．【解答】解：（1）5a＝3，5b＝4，得a＝log53，b＝log54，log2536＝，（2）原式＝﹣1+2＝﹣1﹣2+2＝2.5﹣1＝1.5．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．【解答】解：（1）不等式即为log a（1﹣x）＜log a（x+3），∵0＜a＜1，∴1﹣x＞x+3＞0，得解为﹣3＜x＜﹣1，（2），由﹣x2﹣2x+3＞0解得其定义域为（﹣3，1），∵h（x）＝﹣x2﹣2x+3z在（﹣3，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，∴h（x）max＝h（﹣1）＝4．∵0＜a＜1，且F（x）的最小值为﹣4，∴log a4＝﹣4．得a﹣4＝4，所以a＝＝．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．（1）由题意可知x年的维修，使用x年后的总保养、维修费用为8x+【解答】解：＝2x2+6x．所以盈利总额y关于x的函数为：y＝54x﹣（2x2+6x）﹣128＝﹣2x2+48x﹣128（x∈N×）．（2）由y＞0，得﹣2x2+48x﹣128＞0，即x2﹣24x+64＜0，解得，由x∈N*，得4≤x≤20．答：第4年该设备开始盈利．（3）方案①年平均盈利，当且仅当，即x＝8时取等号，．所以方案①总利润为16×8+42＝170（万元），方案②y＝﹣2（x﹣12）2+160，x＝12时y取得最大值160，所以方案②总利润为160+10＝170（万元），答：选择方案①处理较为合理．。

广东省深圳市宝安区2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.已知集合0，1，，，则 A. B. C. 0， D. 1，【答案】A【解析】【分析】解一元二次不等式，求出集合B，然后进行交集的运算即可．【详解】解：，0，1，；．故选：A．【点睛】考查列举法、描述法表示集合，解一元二次不等式，以及交集的运算．2.化简的值为 A. B. C. D.【答案】C【解析】根据两角和的余弦公式可得：，故答案为C.3.函数的定义域是 A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．【详解】解：要使函数有意义，则，得，即，即函数的定义域为故选：A．【点睛】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．函数的定义域主要由以下方面考虑来求解：一个是分数的分母不能为零，二个是偶次方根的被开方数为非负数，第三是对数的真数要大于零，第四个是零次方的底数不能为零.4.如图，正方形ABCD中，点E，F分别是DC，BC的中点，那么（）A.B.C.D.【答案】D【解析】因为点是的中点，所以，点是的中点，所以，所以，故选D.5.若将函数的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为 A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函数的图象的变换及正弦函数的对称性可得答案．【详解】解：将函数的图象向左平移个单位长度，得到，由得：，即平移后的图象的对称轴方程为，故选：B．【点睛】本题考查函数的图象的变换规律的应用及正弦函数的对称性质，属于中档题．6.已知函数（）的最小值为8，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为在上单调递减，在上单调递增，所以，令，则在上单调递增，又，，所以存在零点.故选A.7.已知为三角形内角，且，若，则关于的形状的判断，正确的是 A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 三种形状都有可能【答案】C【解析】【分析】利用同角平方关系可得，，结合可得，从而可得的取值范围，进而可判断三角形的形状．【详解】解：，，为三角形内角，，为钝角，即三角形为钝角三角形故选：C．【点睛】本题主要考查了利用同角平方关系的应用，其关键是变形之后从的符号中判断的取值范围，属于三角函数基本技巧的运用．8.(2016高考新课标III，理3)已知向量 ,则ABC=A. 30B. 45C. 60D. 120【答案】A 【解析】试题分析：由题意，得，所以，故选A ．【考点】向量的夹角公式．【思维拓展】（1）平面向量与的数量积为，其中是与的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：；（2）由向量的数量积的性质知，，，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．9.函数在单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（ ）．A.B.C.D.【答案】D 【解析】是奇函数，故；又是增函数，，即则有，解得，故选D.【点睛】解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为，再利用单调性继续转化为，从而求得正解.10.已知函数的部分图象如图所示，则函数图象的一个对称中心可能为 A. B. C. D.【答案】C 【解析】由图可知, ， ，当 时，，该对称中心为时，，当时，，所以对称中点为，故选C.【方法点睛】本题主要通过已知三角函数的图像求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用利用图像先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求使解题的关键.求解析时求参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点，用五点法求值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口，“第一点”(即图象上升时与轴的交点) 时；“第二点”(即图象的“峰点”) 时；“第三点”(即图象下降时与轴的交点) 时；“第四点”(即图象的“谷点”) 时；“第五点”时.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）11.函数的值域为，则实数a的取值范围是______．【答案】.【解析】∵函数的值域为，∴，解得或，则实数a的取值范围是，故答案为.12.设函数的图象关于y轴对称,且其定义域为,则函数在上的值域为________.【答案】【解析】∵函数的图象关于y轴对称，且其定义域为∴，即，且为偶函数∴，即∴∴函数在上单调递增∴，∴函数在上的值域为故答案为点睛：此题主要考查函数二次函数图象对称的性质以及二次函数的值域的求法，求解的关键是熟练掌握二次函数的性质，本题理解对称性很关键．13.已知函数，若关于x的方程有两个不同的实根，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】由题意在同一个坐标系中作出两个函数的图象，图象交点的个数即为方程根的个数，由图象可得答案．【详解】解：由题意作出函数的图象，关于x的方程有两个不同的实根等价于函数与有两个不同的公共点，由图象可知当时，满足题意，故答案为：．【点睛】本题考查方程根的个数，数形结合是解决问题的关键，属基础题．14.已知函数，正实数m，n满足，且，若在区间上的最大值为2，则______．【答案】【解析】【分析】由正实数满足，且，可知且,再由在区间上的最大值为2，可得出求出、，从而可得的值.【详解】，正实数满足，且，由对数函数的性质知，，可得，所以，又函数在区间上的最大值为2 ,由于，故可得，即，即，即，可得，则，故答案为.【点睛】本题主要考查对数的运算法则以及对数函数的图象、值域与最值，意在考查对基本性质掌握的熟练程度以及综合应用所学知识解答问题的能力，求解本题的关键是根据对数函数的性质判断出，以及，本题属于难题.三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知集合=R.(1)求;(2)求(A);(3)如果非空集合,且A,求的取值范围.【答案】(1)(2)(3).【解析】试题分析：（1）化简集合、，根据并集的定义写出；（2）根据补集与交集的定义写出；（3）根据非空集合与，得出关于的不等式，求出解集即可．试题解析：(1)∵===∴(2)∵A=∴A)(3)非空集合∴，即∵A∴或即或∴16.在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，则=___________.【答案】【解析】试题分析：因为和关于轴对称，所以，那么，（或），所以.【考点】同角三角函数，诱导公式，两角差的余弦公式【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若与的终边关于轴对称，则，若与的终边关于轴对称，则，若与的终边关于原点对称，则.17.如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处，第一种是从A沿直线步行到C，第二种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到某旅客选择第二种方式下山，山路AC长为1260m，从索道步行下山到时C处经测量，，，求索道AB的长．【答案】索道AB的长为1040m．【解析】【分析】利用两角和差的正弦公式求出，结合正弦定理求AB即可【详解】解：在中，，，，，则，由正弦定理得得，则索道AB的长为1040m．【点睛】本题主要考查三角函数的应用问题，根据两角和差的正弦公式以及正弦定理进行求解是解决本题的关键．18.已知函数，，且．求实数m的值；作出函数的图象并直接写出单调减区间．若不等式在时都成立，求m的取值范围．【答案】（1）（2）详见解析，单调减区间为：；（3）【解析】【分析】由，代入可得m值；分类讨论，去绝对值符号后根据二次函数表达式，画出图象．由题意得在时都成立，可得在时都成立，解得即可【详解】解：，由得即解得：；由得，即则函数的图象如图所示；单调减区间为：；由题意得在时都成立，即在时都成立，即在时都成立，在时，，．【点睛】本题考查的知识点是函数解析式的求法，零点分段法，分段函数，由图象分析函数的值域，其中利用零点分段法，求函数的解析式是解答的关键．19.已知函数的图象关于直线对称，且图象上相邻两个最高点的距离为．Ⅰ求和的值；Ⅱ若，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由两个相邻的最高点的距离可求得周期，则，函数为，由函数关于直线对称，可知，结合可求得的值；（2）对进行三角恒等变换，可求得的值，又为锐角，可求得，再利用三角恒等变换求得值.试题解析：（1）由题意可得函数的最小正周期为，再根据图象关于直线对称，可得结合，可得（2）再根据考点：三角函数的周期与初相，三角恒等变换.20.设函数且是奇函数．求常数k的值；若，试判断函数的单调性，并加以证明；若已知，且函数在区间上的最小值为，求实数m的值．【答案】（1）；（2）在上为单调增函数；（3）．【解析】试题分析：（1）根据奇函数的定义，恒成立，可得值，也可用奇函数的必要条件求出值，然后用奇函数定义检验；（2）判断单调性，一般由单调性定义，设，判断的正负（因式分解后判别），可得结论；（3）首先由，得，这样就有，这种函数的最值求法是用换元法，即设，把函数转化为二次函数的问题，注意在换元过程中“新元”的取值范围．试题解析：（1）函数的定义域为函数（且）是奇函数，（2）设、为上两任意实数，且，，，，即函数在上为单调增函数．（3），，解得或且，（）令（），则当时，，解得，舍去当时，，解得考点：函数的奇偶性、单调性，函数的最值．。

2019-2020学年广东省深圳宝安中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={y|y =1+√x},B ={x|x −2⩽0}，则A ∩B =( )A. [1,2]B. [0,2]C. (−∞,1]D. [2,+∞) 2. 与y =|x |为同一函数的是( )A. y =(√x)2B. y =√x 2C. y ={x (x >0)−x (x <0)D. y =x 3. 设全集U =R ，A ={x|x 2−x −6<0}，B ={x|y =lg(x +1)}，则图中阴影部分表示的集合为( )．A. {x|−3<x <−1}B. {x|−3<x <0}C. {x|−1<x <3}D. {x|x >−1} 4. 定义在集合{x|4−x 2≥0}上的奇函数f(x)在区间[0,2]上是增函数，则( ) A. f(0)<f(−1)<f(−2)B. f(−1)<f(−2)<f(0)C. f(−1)<f(0)<f(−2)D. f(−2)<f(−1)<f(0) 5. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数是( ) A. y =x +1B. y =x|x|C. y =1xD. y =−x 2 6. 集合A ={1,2，3，4}，B ={x|(x −1)(x −a)<0}，若集合A ∩B ={2,3，4}，则实数的范围是( ) A. 4<a <5 B. 4≤a <5 C. 4<a ≤5 D. a >47. 已知函数f(x)={log 2x +2,x >03x ,x ≤0，则f[f(18)]的值( ) A. 3B. 13C. −3D. −13 8. 已知a =2,b =log 132,c =log 1215，则( )A. a >b >cB. a >c >bC. c >a >bD. c >b >a 9. 已知函数y =a x−2+3(a >0且a ≠1)的图像恒过定点P ，点P 在幂函数y =f (x )的图像上，则log 3f (13)=( ) A. −2 B. −1 C. 1 D. 210. 函数y =log a (x −1)(0<a <1)的图象大致是( )A. B. C. D.11. 已知函数f(x)=ln(x 2+1e )−|ex |，则不等式f(x +1)<f(2x −1)的解集是( ) A. (0,2)B. (−∞,0)C. (−∞,0)∪(2,+∞)D. (2,+∞) 12. 已知3a =5b =15(a >0,b >0,a ≠b)，则a ，b 不可能满足的关系是( ) A. a +b >4B. ab >4C. (a −1)2+(b −1)2>2D. a 2+b 2<8 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 计算：_______．14. 已知函数f(x)=lg(−x 2+4x +5)，则该函数的单调递减区间为______ ；该函数在定义域内的最大值为______ ．15. 已知函数f(x)={x 2−4x +6,x ≤0−x +6,x >0，若f(x)<f(−1)，则实数x 的取值范围是____ 16. 已知函数f(x)=−x 2+ax +b 2−b +1(a ∈R,b ∈R)，对任意实数x 都有f(1−x)=f(1+x)成立，若当x ∈[−1,1]时，f(x)>0恒成立，则实数b 的取值范围是__________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知函数f(x)=√x ∈R)的定义域为集合A ，函数g(x)=1+2x 的值域为集合B ．(1)当a =3时，求A ∪B ；(2)若A ∩B =Ø，求实数a 的取值范围．18. 已知函数f(x)=3x+12x−1．(1)求f(13)，f(23)，f(14)，f(34)的值;(2)当实数a≠12时，猜想f(a)+f(1−a)的值，并证明．19.已知函数f(x)=a2x+2a x−1(a>1)在[−1,1]上的最大值为14．(1)求a的值；(2)解不等式f(x)≥2．20.画出函数f(x)={1x ,0<x<1x,x≥1的图象．21.已知函数f(x)=ax2−2ax+2+b(a>0)在区间[2,3]上的值域为[2,5](Ⅰ)求a，b的值；(Ⅱ)若关于x的函数g(x)=f(x)−(m+1)x在区间[2,4]上为单调函数，求实数m的取值范围．22.已知函数f(x)=1+ax2(a≠0)是奇函数，且函数f(x)的图像过点(1,3)．x+b(1)求实数a，b的值;(2)用定义证明函数f(x)在(√2,+∞)上单调递增;2(3)求函数f(x)在[1,+∞)上的值域．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题．解不等式求出集合A，B，结合交集的定义，可得答案．【解答】解：∵A={y|y=1+√x}={y|y≥1},B={x|x−2⩽0}={x|x≤2}，∴A∩B=[1,2]．故选A．2.答案：B解析：A中定义域为x≥0，不合题意；B中y=√x2=|x|，符合题意；C中定义域是x≠0，不合题意；D中对应关系与已知函数不同，故选B．3.答案：C解析：【分析】阴影部分表示的集合为A∩B，解出A，B，再求交集．本题考查了求Venn图表示的集合，关键是根据图形会判断出阴影部分表示的集合元素特征，再通过集合运算求出．【解答】解：阴影部分表示的集合为A∩B，而A={x|x2−x−6<0}={x|−2<x<3}，B={x|y=lg(x+ 1)}={x|x>−1}，故A∩B={x|−1<x<3}，故选C．4.答案：D解析：解：由4−x2≥0可解得x∈[−2,2]，f(x)是定义在集合[−2,2]上的奇函数，∵f(x)在区间[0,2]上是增函数，∴奇函数的图象关于原点对称，即有f(x)在区间[−2,0]上也是增函数，∴f(−2)<f(−1)<f(0)，故选：D ．由4−x 2≥0可解得x ∈[−2,2]，由f(x)在区间[0,2]上是增函数，知f(x)在区间[−2,0]上也是增函数，故f(−2)<f(−1)<f(0)．本题主要考察函数奇偶性的性质，属于基础题．5.答案：B解析：解：函数y =x +1为非奇非偶函数，不满足条件；函数y =1x 为奇函数，但定义域内不单调，不满足条件；函数y =−x 2为偶函数，不满足条件；只有函数y =x|x|既是奇函数，又是增函数，满足条件；故选B ．根据指数一次函数，幂函数，绝对值函数及函数对折变换法则，我们逐一分析四个答案中的四个函数的性质，然后和题目中的条件进行比照，即可得到答案．本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性的综合应用，其中熟练掌握基本初等函数的性质是解答本题的关键． 6.答案：D解析：【分析】本题考查集合间的关系，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．【解答】解：由集合A ={1,2，3，4}，B ={x|1<x <a}或B ={x|a <x <1}∵集合A ∩B ={2,3，4}，∴a >4．故选：D ．7.答案：B解析：解：f(18)=log 218+2=−3+2=−1，f(−1)=3−1=13，即f[f(18)]=f(−1)=13，故选：B根据分段函数的表达式，代入进行求解即可．本题主要考查函数值的计算，比较基础．8.答案：C解析：【分析】本题主要考查对数函数图像与性质的应用，属于基础题．【解答】解：由题意得：b =log 132<log 131=0，c =log 1215>log 1214=2=a ， 则c >a >b ．故选C ．9.答案：A解析：【分析】本题考查指数函数以及对数函数图像与性质，幂函数的解析式，属于中档题．利用指数函数的性质求得点P ，代入幂函数求得其解析式，然后求f(13)．【解答】解：函数y =a x−2+3(a >0且a ≠1)的图像恒过定点P ，由指数函数的性质可知x =2时y =4，故P(2,4)，设f(x)=x α，代入点P ，2α=4，则α=2，∴f(x)=x 2，f(13)=(13)2=19．则故选A ． 10.答案：A解析：【分析】本题考查对数函数的图象和性质以及函数图象的平移变换，属于基础题．把对数函数的图象向右一个单位即可得到结果．解：∵0<a <1，∴y =log a x 在(0,+∞)上单调递减，又∵函数y =log a (x −1)的图象是由y =log a x 的图象向右平移一个单位得到，故选A ．11.答案：C解析：解：函数f(x)=ln(x 2+1e )−|e x |，可知函数是偶函数，x >0时，f(x)=ln(x 2+1e )−e x 是增函数，则x <0时是减函数，故不等式f(x +1)<f(2x −1)，可得|x +1|<|2x −1|，解得x <0或x >2．故选：C ．利用函数的奇偶性以及函数的单调性转化不等式求解即可．本题考查函数与方程的综合应用，考查转化思想的应用，是基本知识的考查． 12.答案：D解析：解：∵3a =5b =15，∴(3a )b =15b ，(5b )a =15a ，∴3ab =15b ，5ba =15a ，∴3ab ⋅5ba =15b ⋅15a ，∴(15)ab =15a+b ，∴ab =a +b ，则有ab =a +b ≥2√ab ，∵a ≠b ，∴ab >2√ab ，∴ab >4，∴a +b =ab >4，∴(a −1)2+(b −1)2=a 2+b 2−2(a +b)+2>2ab −2(a +b)+2=2，∵a 2+b 2>2ab >8，故D 错误故选：D ．由已知条件可得a +b =ab ，再根据基本不等式即可判断．本题考查了指数幂的运算性质，基本不等式，考查了转化与化归能力，属于中档题．13.答案：−20解析：本题考查的是对数的运算，属于容易题．根据对数运算即可得到答案．【解答】 解：=lg 1100÷110=−20．故答案是−20．14.答案：[2,5)；lg9解析：解：令t =−x 2+4x +5>0，求得−1<x <5，故函数的定义域为(−1,5)，且f(x)=g(t)=lgt ， 故本题即求函数t 在定义域内的减区间，利用二次函数的性值可得t 在定义域内的减区间为[2,5)． 由于当x =2时，函数t 取得最大值为9，该函数在定义域内的最大值为lg9，故答案为：[2,5)；lg9．令t =−x 2+4x +5>0，求得函数的定义域，结合f(x)=g(t)=lgt ，本题即求函数t 在定义域内的减区间，利用二次函数的性值可得结论．求得t 的最大值，可得f(x)=g(t)的最大值． 本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，属于中档题．15.答案：(−1,+∞)解析：【分析】本题考查分段函数的单调性问题，属于基础题。

2019学年广东省深圳市高一上学期期末数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 集合，，则（）A．________________________ B．C ．___________________________________D ．2. 若，，，则有（）A ．_______________________B ．______________________C ． ______________D ．3. 函数的零点所在的区间为（）A ．___________________________________B ．___________________________________ C ． D ．4. 函数则（）A ．________________________B ．______________C ．______________ D ．5. 已知定义域为R的偶函数在（－∞，0]上是减函数，且，则不等式的解集为（）A．B．______________C．___________D ．二、填空题6. 计算____________________________ ．7. 已知符号函数，则函数的零点个数为______________ ．三、解答题8. 已知函数，其中为常数．（1）若，判断函数的奇偶性；（2）若函数在其定义域上是奇函数，求实数的值．9. 已知函数（）．（1）若，求的单调区间；（2）若函数的定义域为，求实数的取值范围．四、选择题10. 已知直线不经过第三象限，则应满足（） A．，B．，C．，D ．，11. 在正四面体中，若为棱的中点，那么异面直线与所成的角的余弦值等于（）A ．_________________________________B ．___________________________________ C ．___________________________________ D ．12. 已知是空间两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（）A ．，，B ．，，C ．，，___________________________________D ．，，13. 已知三个顶点的坐标分别为，，，则的面积为（）A．______________________________ B．____________________________ C．_________________________________ D．14. 已知圆锥的全面积是底面积的倍，那么这个圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为（）A ． 90度 ____________________B ． 120度______________________________________ C ． 150度 _________ D ． 180度15. 已知圆的标准方程为，直线的方程为，若直线和圆有公共点，则实数的取值范围是（）A．___________B．_________C．_________________D ．16. 设直三棱柱的体积为，点分别在侧棱上，且，则四棱锥的体积为（）A ．B ．C ．___________________________________ D ．五、填空题17. 已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形，如图所示，则该几何体的体积等于 ___________18. 半径为，且与圆外切于原点的圆的标准方程____________ ____ ．六、解答题19. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，．平面，点为的中点．（1）求证：平面；（ 2 ）求证：．20. 已知圆过点和，且与直线相切．（1）求圆的方程；（2）设为圆上的任意一点，定点，当点在圆上运动时，求线段中点的轨迹方程．21. 如图，在直三棱柱中，平面侧面，且．（1）求证：；（2）若，求锐二面角的大小．22. 已知圆的标准方程为，圆心为，直线的方程为，点在直线上，过点作圆的切线，，切点分别为，．（1）若，试求点的坐标；（2）若点的坐标为，过作直线与圆交于两点，当时，求直线的方程；（ 3 ）求证：经过，，三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。