广东省深圳市宝安区2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题及答案

2020-2021学年高一数学第一册单元提优卷（人教A 版（2019））期末测试卷（二）(满分：150分，测试时间：120分钟)一、单选题1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =A ．–4B ．–2C ．2D ．42.【2020·广东省高三月考（文）】命题“10,ln 1x x x∀>≥-”的否定是A ．10ln 1x x x ∃≤≥-,B ．10ln 1x x x ∃≤<-,C ．10ln 1x x x∃>≥-,D ．10ln 1x x x∃><-,．3.【2020·北京市八一中学高三月考】函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],0-∞C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦4.【2020·福建省福州第一中学高三其他（理）】已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则()()21f xg x x =-的定义域为A ．[)(]0,11,2B ．[)(]0,11,4C ．[)0,1D ．(]1,45.设函数要想得到函数sin21y x =+的图像，只需将函数cos2y x =的图象（）A ．向左平移4π个单位，再向上平移1个单位B ．向右平移4π个单位，再向上平移1个单位C ．向左平移2π个单位，再向下平移1个单位D ．向右平移2π个单位，再向上平移1个单位6.【2020·北京高三月考】已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f =A ．16B ．8C ．4D ．27.已知3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，则sin cos cos 2θθθ＝（）A ．3B ．﹣3C ．38D ．38-8.【2020·南昌市八一中学】已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =-的图象可能A ．B ．C ．D ．9.【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0=1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天10.【2020年高考北京】已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞11.【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若2x −2y <3−x −3−y ，则A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y |>0D ．ln|x −y |<012.【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是A ．1(,))2-∞-+∞ B ．1(,)(0,2-∞-C ．(,0)-∞D ．(,0))-∞+∞ 二.填空题13.【2020年高考北京】函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________．14.【2020年高考江苏】已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是____________．15.【2020·江苏省高三月考】已知函数()2,0228,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，若()()2f a f a =+，则1f a ⎛⎫⎪⎝⎭的值是____________.16.【2020·六盘山高级中学高三其他（理）】设函数2()2cos ()sin(284f x x x ππ=+++，(0,3π)∈x 则下列判断正确的是____________.①．函数的一条对称轴为6x π=②．函数在区间5,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增③．0(0,3π)x ∃∈，使0()1f x =-④．∃∈R a ，使得函数()y f x a =+在其定义域内为偶函数三．解答题17.（本题满分10分）已知0a >，0b >.（1）求证：()2232a b b a b +≥+；（2）若2a b ab +=，求ab 的最小值.18.（本题满分12分）已知集合，2|2162xA x ⎧⎫⎪⎪=<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{|3221}B x a x a =-<<+.（1）当0a =时，求A B ；（2）若A B φ⋂=，求a 的取值范围.19.（本题满分12分）已知函数()21sin sin cos 2f x x x x =+-，x ∈R ．（1）求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合；（2）若()26f α=，3,88ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，求sin 2α的值．20．（本题满分12分）已知函数()0.52log 2axf x x -=-为奇函数．(1)求常数a 的值；(2)若对任意10,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()3f x t >-成立，求t 的取值范围.21（本题满分12分）【江苏省盐城市第一中学2020届高三下学期6月调研考试数学试题某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()253,02()50,251x x W x x x x⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x 元．已知这种水果的市场售价大约为15元／千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为()f x （单位：元）．（Ⅰ）求()f x 的函数关系式；（Ⅱ）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?22．（本题满分12分）已知函数2()2sin cos 0)f x x x x ωωωω=+->的最小正周期为π.（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）将函数()f x 的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[0,](0)b b >上至少含有10个零点，求b 的最小值.2020-2021学年高一数学第一册单元提优卷期末测试卷（二）(满分：150分，测试时间：120分钟)一、单选题1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =A ．–4B ．–2C ．2D ．4【答案】B求解二次不等式240x -≤可得{}2|2A x x -=≤≤，求解一次不等式20x a +≤可得|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎩⎭.由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故12a-=，解得2a =-.故选B ．2.【2020·广东省高三月考（文）】命题“10,ln 1x x x∀>≥-”的否定是A ．10ln 1x x x ∃≤≥-,B ．10ln 1x x x ∃≤<-,C ．10ln 1x x x ∃>≥-,D ．10ln 1x x x∃><-,【答案】D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“0x ∀>，1ln 1x x ≥-”的否定为“0x ∃>，1ln 1x x<-”.故选D ．3.【2020·北京市八一中学高三月考】函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],0-∞C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】若0a =，则()3f x x =-，()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，符合.若0a ≠，因为()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，故0112a a a>⎧⎪-⎨≤-⎪⎩，解得103a <≤.综上，103a ≤≤.故选：D ．4.【2020·福建省福州第一中学高三其他（理）】已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则()()21f xg x x =-的定义域为A ．[)(]0,11,2 B ．[)(]0,11,4 C ．[)0,1D ．(]1,4【答案】C【解析】函数()f x 的定义域是[0，2]，要使函数()()21f xg x x =-有意义,需使()2f x 有意义且10x -≠.所以10022x x -≠⎧⎨≤≤⎩,解得01x ≤<.故答案为C ．5.设函数要想得到函数sin21y x =+的图像，只需将函数cos2y x =的图象（）A ．向左平移4π个单位，再向上平移1个单位B ．向右平移4π个单位，再向上平移1个单位C ．向左平移2π个单位，再向下平移1个单位D ．向右平移2π个单位，再向上平移1个单位【答案】B【解析】cos 2sin(2)sin 2()24y x x x ππ==+=+，因此把函数cos 2y x =的图象向右平移4π个单位，再向上平移1个单位可得sin 21y x =+的图象，故选B6.【2020·北京高三月考】已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f =A ．16B ．8C ．4D ．2【答案】B【解析】因为(1)2()f x f x +=,且(5)3(3)4f f =+,故()()324442f f =+,解得()48f =.故选：B7.已知3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，则sin cos cos 2θθθ＝（）A ．3B ．﹣3C ．38D ．38-【答案】D 【解析】∵3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，∴3sin cos 0θθ--=，即cos 3sin θθ=-，∴sin cos cos 2θθθ2222sin cos sin (3sin )3cos sin (3sin )sin 8θθθθθθθθ⋅-===----．故选：D ．8.【2020·南昌市八一中学】已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =-的图象可能A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由函数sin (0)y ax b a =+>的图象可得201,23b a πππ<<<<，213a ∴<<，故函数log ()a y xb =-是定义域内的减函数，且过定点(1,0)b +.结合所给的图像可知只有C 选项符合题意.故选：C ．9.【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rt I t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0=1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天【答案】B【解析】因为0 3.28R =，6T =，01R rT =+，所以 3.2810.386r -==，所以()0.38rt t I t e e ==，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天，则10.38()0.382t t t e e +=，所以10.382t e =，所以10.38ln 2t =，所以1ln 20.691.80.380.38t =≈≈天.故选：B ．10.【2020年高考北京】已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞【解析】因为()21xf x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞.故选：D ．11.【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若2x −2y <3−x −3−y ，则A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y |>0D ．ln|x −y |<0【答案】A【解析】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-，令()23ttf t -=-，2x y = 为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<，0y x ->Q ，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；x y -Q 与1的大小不确定，故CD 无法确定.12.【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是A ．1(,))2-∞-+∞ B ．1(,(0,2-∞-C ．(,0)-∞D ．(,0))-∞+∞ 【答案】D【解析】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根即可，令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩，当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点，不满足题意；当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意；当0k >时，如图3，当2y kx =-与2y x =相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得k =k >.综上，k 的取值范围为(,0))-∞+∞ .故选：D ．二.填空题13.【2020年高考北京】函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________．【答案】(0,)+∞【解析】由题意得010x x >⎧⎨+≠⎩，0x ∴>故答案为：(0,)+∞14.【2020年高考江苏】已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是____________．【答案】13【解析】22221sin ()(cos sin )(1sin 2)4222παααα+=+=+Q 121(1sin 2)sin 2233αα∴+=∴=故答案为：1315.【2020·江苏省高三月考】已知函数()2,0228,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，若()()2f a f a =+，则1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是____________.【答案】2【解析】由2x ≥时，()28f x x =-+是减函数可知，当2a ≥，则()()2f a f a ≠+，所以02a <<，由()(+2)f a f a =得22(2)8a a a +=-++，解得1a =，则21(1)112f f a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭.故答案为：2.16.【2020·六盘山高级中学高三其他（理）】设函数2()2cos ()sin(2)84f x x x ππ=+++，(0,3π)∈x 则下列判断正确的是_____.①．函数的一条对称轴为6x π=②．函数在区间5,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增③．0(0,3π)x ∃∈，使0()1f x =-④．∃∈R a ，使得函数()y f x a =+在其定义域内为偶函数【答案】④【解析】函数()1cos 2sin 21244f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当(0,3π)∈x 时，当6x π=时，23x π=不能使函数取得最值，所以不是函数的对称轴，①错；当5,24x π⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦时，52,2x ⎡⎤∈ππ⎢⎥⎣⎦，函数先增后减，②不正确；若()1f x =-，那么cos 2x =不成立，所以③错；当3 2a =π时，()12f x a x +=函数是偶函数，④正确，三．解答题17.（本题满分10分）已知0a >，0b >.（1）求证：()2232a b b a b +≥+；（2）若2a b ab +=，求ab 的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）1.【解析】证明：（1）∵()()222223220a b b a b a ab b a b +-+=-+=-≥，∴()2232a b b a b +≥+.（2）∵0a >，0b >，∴2ab a b =+≥2ab ≥1≥，∴1≥ab .当且仅当1a b ==时取等号，此时ab 取最小值1.18.（本题满分12分）已知集合，|2162x A x ⎧⎫⎪⎪=<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{|3221}B x a x a =-<<+.（1）当0a =时，求A B ；（2）若A B φ⋂=，求a 的取值范围.【答案】（1）1|12A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭；（2）3,[2,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.【解析】（1）1|42A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，0a =时，{|21}B x x =-<<，∴1|12A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭（2）∵A B φ⋂=，∴当B φ=时，3221a a -≥+，即3a ≥，符合题意；当B φ≠时，31213242a a a <⎧⎪⎨+≤--≥⎪⎩或，解得34a ≤-或23a ≤<，综上，a 的取值范围为3,[2,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.19.（本题满分12分）已知函数()21sin sin cos 2f x x x x =+-，x ∈R ．（1）求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合；（2）若()26f α=，3,88ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求sin 2α的值．【答案】（1）()f x 的最大值为22，此时x 的取值集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）4sin 26α=.【解析】（1）因为()()211cos 2111sin sin cos sin 2sin 2cos 222222x f x x x x x x x -=+-=+-=-22sin 2cos cos 2sin sin 224424x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当()2242x k k Z πππ-=+∈，即()38x k k Z ππ=+∈时，函数()y f x =取最大值2，所以函数()y f x =的最大值为22，此时x 的取值集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）因为()26f α=，则sin 2246πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1sin 243πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为3,88ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以2,422πππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，则cos 243πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以sin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 444444ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1432326+=+⋅=.20．（本题满分12分）已知函数()0.52log 2ax f x x -=-为奇函数．(1)求常数a 的值；(2)若对任意10,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()3f x t >-成立，求t 的取值范围.【答案】(1)1a =-；(2)(),1-∞【解析】(1)因为函数()0.52log 2ax f x x -=-为奇函数，所以()()220.50.50.52224log log log 0224ax ax a x f x f x x x x-+-+-=+==----，所以222414a x x-=-，即21a =，1a =或1-，当1a =时，函数()0.50.52log log 12x f x x -==--，无意义，舍去，当1a =-时，函数()0.52log 2x f x x +=-定义域（-∞，-2）∪（2，+∞），满足题意，综上所述，1a =-。

广东省深圳市宝安区宝安中学2023-2024学年高一上学期期中英语试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、阅读理解Discover Nature Schools ProgramsBecoming Bears(Kindergarten－2 grade)By becoming baby bears, children learn from their “parent” to survive the seasons. Kids will find safety in the spring and learn kinds of food bears eat during the summer, and then create a cave for winter hibernation(冬眠)．After learning the skills needed to survive, students will go out of the cave as an independent black bear able to care for themselves.(1.5－2 hours)Whose Clues(3－5 grade)Kids will discover how plants and animals use their special structures to survive. Through outdoor study of plants and animals, kids will recognize their special structures and learn how they enable species to eat, avoid their enemies and survive. Using what they have learned, kids will choose one species and tell how they survive in their living places.(3－4 hours)Winged Wonders(3－5 grade)Birds add color and sound to our world and play an important ecological role. Students will learn the basics of birds, understand the role birds play in food chains and go bird­watching using field guides and telescopes. Students will do hands­on activities. Students will use tools to build bird feeders, allowing them to attract birds at home.(3－4 hours)Exploring Y our Watershed(6－8 grade)We all depend on clean water. Examining how our actions shape the waterways around us. Go on a hike to see first­hand some of the challenging water quality problems in a city. Students will test the water quality to determine the health of an ecosystem.·Each program is taught for a class with at least 10 students.·All programs include plenty of time outdoors. So please prepare proper clothing, sunscreen and insect killers for children.·To take part in a program, please email .1．What can kids do at Becoming Bears?A．Watch bears' performances.B．Take care of bears.C．Learn how to survive a bear attack.D．Pretend to be baby bears to learn about bears.2．Which one will kids who are interested in plants choose?A．Whose Clues?B．Exploring Your WatershedC．Becoming Bears D．Winged Wonders3．What do all the four programs have in common according to the passage?A．have the same teaching hours B．have outdoor activitiesC．are offered during summer holidays D．are designed for primary school studentsDonald lived in three different foster (寄养的) homes and changed schools with each move, which left him upset and often poorly performing in the school. Then he met Mr. Felipe, the CIS site coordinator (协调员) at his latest school.Mr. Felipe immediately developed a plan to meet Donald’s needs. He bought school supplies and clothes for Donald and encouraged him to join the school’s karate (空手道) program. After months of working with Mr. Felipe, Donald’s attitude changed. He became more optimistic. He began making friends at school and building relationships with his teachers and classmates. Most importantly, his grades improved as well.“My mom has noticed that my attitude has changed a lot, and my grades are improving a lot too. I like to come to the CIS classroom because it is fun to be here. Mr. Felipe gives us snacks and provides school supplies for us. We work in the garden and we get the help we need to study and do our homework. I feel happy and inspired (激励) when I come to this program. I had been in foster care since I was 4 or 5 years old and didn’t live with my brother for part of the time. I’m back with my family now and happy to have them in my life,” said Donald. “But I still remember that time and the sadness I felt. At school, art and football helped me forget and let it all go. It was Mr. Felipe who helped me change a few things when I was upset. Because of him, I became more serious about school and work.”For Donald, Mr. Felipe is the person who changed his life. Today, Donald is back with his family and continues to work on building strong relationships with his teachers and classmates.4．What was Donald’s problem?A．He argued with his teacher.B．He fought with his classmates.C．He was driven out of school.D．He was not active in attending school.5．How did Mr. Felipe help Donald?A．He taught Donald karate every day.B．He helped Donald with his studies.C．He provided Donald with everything he wanted.D．He inspired Donald to take part in a school program.6．What can we infer about Donald from the third paragraph?A．He realized the value of education.B．He got in touch with his lost brother.C．He was thankful for Mr. Felipe’s help.D．He made great progress in playing football.7．What is the main idea of the passage?A．A coordinator changed Donald’s lifeB．Donald regained confidence from karate.C．A homeless boy got along with his teacher.D．Donald found his family with a teacher’s help.A new study, a project of the researchers from the University of Pittsburgh in Pennsylvania, finds the fitness tracker probably does not help with weight loss.The devices are designed to record your physical activity. They are usually worn around the wrist, where they measure a person’s heart rate. The research team looked at two groups of individuals. The first wore a fitness tracker and took part in health counseling (咨询) with experts to consider the best weight-loss plan. The researchers compared this group with people who only got health counseling.The study found that those only speaking with the health experts lost nearly 6 kilograms, but those using a fitness tracker lost only 3.5 kilograms. John Jakicic, the lead researcher, questioned the use of electronic devices for weight control in place of “effective behavioral counseling for physical activity and diet. ”The study involved 470 subjects aged between 18 and 35. Some of them wereoverweight, while others were considered obese (肥胖的). Over three fourths of the subjects were women. All the subjects were told to increase physical activity and start on a low-calorie diet. They had their weight measured once every six months. After six months, researchers divided the group into two parts: one continued with monthly counseling, while members of the other group were given a fitness tracker. Eighteen months later, both groups “showed significant improvements in fitness, physical activity, and diet,” with no major difference between groups. However, when it came to losing weight, the people who only spoke with experts lost nearly twice as much weight.Jakicic said, “the study’s findings are important because effective long-term treatments are needed to address America’s obesity. ” More information is needed, he added, to learn how to best use these devices to change “physical activity and diet behaviors” in adults who want to lose weight.8．All the subjects in the study were asked to ________.A．start on a high-calorie diet B．wear a fitness trackerC．increase physical activities D．record their heart rates9．Why does Jakicic think the findings are important?A．Wearing fitness trackers hardly helps people lose weight.B．Physical activity and diet have no effect on weight loss.C．Handling obesity requires effective long-term treatments.D．There are great differences in fitness between both groups.10．What can we infer about the study mentioned in the text?A．The study went on for about two years.B．More than 120 men took part in the study.C．Health counseling helps lose almost 6 kilograms.D．Wearing a fitness tracker is useful for keeping slim.11．The purpose of the text is to ________.A．describe how the researchers were conducting the studyB．indicate regular counseling for weight control is necessaryC．convince readers to wear fitness trackers for weight controlD．warn women are more likely to suffer from weight problemsToday we are going to talk about the expression: A rolling stone gathers no moss (苔藓).Most of you probably know that a stone is the same thing as a rock. But what about moss?Moss is a very soft, green plant. It has very small leaves and does not flower. It loves shade and water, so moss grows well on wet ground, trees and rocks. In fact, rocks and stones that line shady creeks(小溪) and rivers are often mossy. Moss grows slowly and is a rootless plant. It spreads well over non-moving surfaces. In fact, to prevent moss from growing on stones in your garden, you can just move the rocks around, turning them over now and then.Why? Just as the saying goes, “A rolling stone gathers no moss.” Writer Shelley Gollust explained that the saying can be understood in a couple of ways. It can mean that a person who never settles down in one place will not gather wealth or long-lasting relationships. The moss that slowly spreads across the rock represents the money and friends we make over time.But there is another way we use this expression. Think about a rolling stone. It leads a carefree life, on the move with no moss to worry about. People who are “rolling stones” live without the restrictions that come with responsibilities. They go anywhere anytime they want. And they don’t stay anywhere long enough to form attachments (爱恋). A free spirit is also a term we use to describe such a person. They are not tied down with lots of traditional responsibilities.A rolling stone could also be described as “nomadic (游牧的)”. Experts at the Merriam-Webster online dictionary define (下定义) a nomad as “a member of a group of people who move from place to place”. Often nomads move around to find food. However, these days we can use the word “nomadic” to describe anyone who moves around a lot. 12．What can we know about moss from Paragraph 2?A．It is a soft plant that grows on rolling stones.B．It is a special plant that can grow in deep rivers.C．It is a green plant that spreads over wet surfaces.D．It is a rootless plant that can flower in your garden.13．Who can be described as “a rolling stone”?A．A man who lives a free life.B．A man who has lots of friends.C．A man who loves moving rocks.D．A man who is responsible for his family.14．What does the underlined word “restrictions” in Paragraph 4 probably mean?A．Difficulties.B．Purposes.C．Achievements.D．Limits.15．In which section of a magazine may this text appear?A．Language.B．Science.C．Nature.D．History.二、七选五The teenage years can be a very confusing time filled with anxiety, especially in high school. However, here are some powerful tips that can help you succeed over the years.Know yourself and pick a direction. 16 However, it’s unwise to try everything. Just focus on your favorite. Consider all the benefits that it brings into your life, and then see how you can develop your passion (热情) into a possible career option.Get away from the friends that offer unpleasant advice and negativity. There is no place for that kind of behaviour at any stage of your life. 17 This does wonders for self-confidence and overall positivity.Read as much as you can. 18 If you stop spending hours watching TV and instead use that time to read books, you’ll notice in a few days how you begin to see things in a different way.19 I am 19 years old, so I understand how much time can be wasted on technology, especially the Internet and cell phones. Once you spend less time doing things that add no value to your life and instead spend that time enriching yourself, your life begins to shape and turn into exactly what you want it to be.Make mistakes. Look at a mistake you’ve made from every possible angle and learn from it. Your teenage years are meant to be spent getting to know yourself. 20 It’s okay to make mistakes.A．Try unique things.B．Work hard to improve your scores.C．Limit the time spent on social media.D．You may be faced with lots of choices in your life.E．You can’t always achieve this by trying to be perfect.F．Pick up a book on anything that improves your knowledge.G．And you should value yourself highly enough to get rid of these people.三、完形填空If you want to learn a new language, the very first thing to think about is why. Do youhave a 23 of the language.Most people learn best by using a variety of 24 , but traditional classes are an ideal (理想的) start for many people. They 25 an environment where you can practice under the 26 of someone who’s good at the language. We all lead busy lives and learning a language takes 27 . You will have more success if you study regularly, so try to develop a 28 . It doesn’t matter if you haven’t got long. Becoming fluent (流利的) in a language will take years, but learning to get by taking a lot less.Many people start learning a language and soon give up. “I’m too 29 ,” they say. Yes, children do learn languages more 30 than adults, but research has shown that you can learn a language at any 31 . And learning is good for the health of your brain, too. I’ve also heard people 32 about the mistakes they make when learning. Well, relax and laugh about your mistakes 33 you’re much less likely to make them again.Learning a new language is never easy. But with some work and devotion, you’ll make progress. And you’ll be34 by the positive reaction from some native speakers when you say just a few words in 35 own language. Good luck!21．A．mental B．political C．practical D．physical 22．A．literature B．transport C．nature D．medicine 23．A．view B．knowledge C．form D．feeling 24．A．paintings B．rules C．methods D．computers 25．A．protect B．change C．respect D．provide 26．A．control B．discussion C．guidance D．pressure 27．A．courage B．time C．energy D．responsibility 28．A．theory B．business C．routine D．project 29．A．old B．nervous C．weak D．tired 30．A．closely B．quickly C．privately D．quietly 31．A．age B．speed C．distance D．place 32．A．argue B．talk C．think D．worry33．A．if B．and C．but D．before 34．A．hurt B．confused C．thanked D．amazed 35．A．their B．his C．our D．your四、用单词的适当形式完成短文阅读下面短文，在空白处填入1个适当的单词或括号内单词的正确形式。

2020年高考真题山东卷数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1、【来源】 2020年高考真题山东卷第1题5分2020~2021学年10月北京丰台区北京市第十二中学高一上学期月考第3题5分2020~2021学年10月江苏苏州吴江区吴江高级中学高一上学期月考第2题5分2020~2021学年甘肃庆阳宁县高一上学期期末第1题5分设集合A={x|1⩽x⩽3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=（）．A. {x|2<x⩽3}B. {x|2⩽x⩽3}C. {x|1⩽x<4}D. {x|1<x<4}2、【来源】 2020年高考真题山东卷第2题5分2020~2021学年山东济南市中区山东省实验中学(主校区)高二上学期开学考试第1题5分2−i=（）．1+2iA. 1B. −1C. iD. −i3、【来源】 2020年高考真题山东卷第3题5分2021年陕西西安雁塔区西安市第八十五中学高三二模理科第9题5分6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）．A. 120种B. 90种C. 60种D. 30种4、【来源】 2020年高考真题山东卷第4题5分2020~2021学年河南郑州中原区郑州市第一中学高三上学期期中文科第5题5分2020~2021学年12月吉林长春朝阳区东北师范大学附属中学高一下学期月考第8题4分2020~2021学年河南郑州中原区郑州市第一中学高三上学期期中理科第5题5分2020年高考真题海南卷第4题5分日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为O），地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面，在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（）．A. 20°B. 40°C. 50°D. 90°5、【来源】 2020年高考真题山东卷第5题5分2020年高考真题海南卷第5题5分某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）．A. 62% B. 56% C. 46% D. 42%6、【来源】 2020年高考真题山东卷第6题5分2020~2021学年江西南昌东湖区南昌市第二中学高一上学期期末第12题5分2020~2021学年10月江苏苏州姑苏区苏州市第一中学高三上学期月考第4题5分基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)=e rt描述累计感染病例数I(t)随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0=1+rT．有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（）.（ln⁡2≈0.69）A. 1.2天B. 1.8天C. 2.5天D. 3.5天7、【来源】 2020年高考真题山东卷第7题5分2020~2021学年河南郑州中原区郑州市第一中学高三上学期期中理科第8题5分2020~2021学年上海徐汇区上海市南洋模范中学高三上学期期中第15题5分2020~2021学年陕西西安雁塔区西安高新第一中学高一下学期开学考试第7题5分2020~2021学年江西南昌东湖区南昌市第二中学高一上学期期末第8题5分已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则AP→⋅AB→的取值范围是（）．A. (−2,6)B. (−6,2)C. (−2,4)D. (−4,6)8、【来源】 2020年高考真题山东卷第8题5分2020~2021学年10月福建福州高三上学期月考A卷第8题5分2021年陕西西安碑林区西安交通大学附属中学高三零模理科第11题5分2020~2021学年广东深圳宝安区深圳市宝安区新安中学高一上学期期中（新安中学集团）第8题5分2020~2021学年10月北京东城区北京市第五十五中学高三上学期月考第9题4分若定义在R上的奇函数f(x)在(−∞,0)上单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x−1)⩾0的x的取值范围是（）．A. [−1,1]∪[3,+∞)B. [−3,−1]∪[0,1]C. [−1,0]∪[1,+∞)D. [−1,0]∪[1,3]二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9、【来源】 2020年高考真题山东卷第9题5分2020~2021学年江苏扬州仪征市仪征中学高二上学期期中第9题5分2020~2021学年福建福州鼓楼区福建省福州第二中学高二上学期期中第12题5分2020年高考真题海南卷第10题5分2020~2021学年江苏扬州江都区江苏省江都中学高二上学期期中第9题5分已知曲线C:mx2+ny2=1（）．A. 若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B. 若m=n>0，则C是圆，其半径为√nxC. 若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y=±√−mnD. 若m=0，n>0，则C是两条直线10、【来源】 2020年高考真题山东卷第10题5分如图是函数y=sin⁡(ωx+φ)的部分图象，则sin⁡(ωx+φ)=（）．)A. sin⁡(x+π3−2x)B. sin⁡(π3)C. cos⁡(2x+π6−2x)D. cos⁡(5π611、【来源】 2020年高考真题山东卷第11题5分2020~2021学年12月江苏南京鼓楼区南京市第二十九中学高一上学期月考第9题5分2020~2021学年山东青岛崂山区青岛第二中学高一上学期期末模拟（四）第11题2020~2021学年10月江苏苏州工业园区苏州工业园区星海实验中学高二上学期月考第11题5分 2020年高考真题海南卷第12题5分已知a >0，b >0，且a +b =1，则（ ）．A. a 2+b 2⩾12B. 2a−b >12C. log 2⁡a +log 2b ⩾−2D. √a +√b ⩽√212、【来源】 2020年高考真题山东卷第12题5分信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X 所有可能的取值为1，2，…，n ，且P (X =i )=p i >0(i =1,2,…,n )，∑p i n i=1=1，定义X 的信息熵H (X )=−∑p i n i=1log 2p i ．A. 若n =1，则H (X )=0B. 若n =2，则H (X )随着p 1的增大而增大C. 若p i =1n (i =1,2,⋯,n)，则H (X )随着n 的增大而增大D. 若n =2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1，2，…，m ，且P (Y =j )=p j +p 2m+1−j (j =1,2,…,m )，则H (X )⩽H (Y )三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年高考真题山东卷第13题5分2020~2021学年陕西西安雁塔区西安电子科技大学附属中学高二上学期期中理科第13题5分 2019~2020学年重庆沙坪坝区重庆市南开中学高二下学期期末第14题5分2020~2021学年12月北京西城区北京师范大学附属实验中学高二上学期月考第13题5分 2020年高考真题海南卷第14题5分斜率为√3的直线过抛物线C:y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|=．14、【来源】 2020年高考真题山东卷第14题5分2020年高考真题海南卷第15题5分2020年高考真题海南卷第14题5分将数列{2n−1}与{3n−2}的公共项从小到大排列得到数列{a n}，则{a n}的前n项和为．15、【来源】 2020年高考真题山东卷第15题5分2020年高考真题海南卷第16题5分2021年广东广州荔湾区广州市真光中学高三上学期高考模拟第15题5分某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示，O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan⁡∠ODC=3，BH//DG，EF=12cm，DE=2cm，A到直线DE和EF的距离均5为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积为cm2．16、【来源】 2020年高考真题山东卷第16题5分2020~2021学年江苏苏州姑苏区苏州第三中学高三上学期开学考试第16题5分2020~2021学年山东枣庄高二上学期期中第15题已知直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以D1为球心，√5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17、【来源】 2020年高考真题山东卷第17题10分2020年高考真题海南卷第17题10分2020年高考真题湖南卷第17题10分在①ac=√3，②csin⁡A=3，③c=√3b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC．它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin⁡A=√3sin⁡B，C=π，？6注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18、【来源】 2020年高考真题山东卷第18题12分2020~2021学年11月江苏苏州姑苏区苏州市第一中学高三上学期月考第20题12分已知公比大于1的等比数列{a n}满足a2+a4=20，a3=8．(1) 求{a n}的通项公式．(2) 记b m为{a n}在区间(0,m](m∈N∗)中的项的个数，求数列{b m}的前100项和S100．19、【来源】 2020年高考真题山东卷第19题12分2020年高考真题海南卷第19题12分为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度（单位：μg/m3），得下表：(1) 估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率．(2) 根据所给数据，完成下面的2×2列联表：(3) 根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关？附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．20、【来源】 2020年高考真题山东卷第20题12分2020~2021学年9月上海浦东新区华东师范大学第二附属中学高三上学期月考第17题2020年高考真题海南卷第20题12分如图，四棱锥P−ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．(1) 证明：l⊥平面PDC．(2) 已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．21、【来源】 2020年高考真题山东卷2020年高考真题山东卷第21题12分2020年高考真题海南卷第22题12分2020~2021学年陕西西安莲湖区西安市第一中学高二下学期期中理科第21题10分已知函数f(x)=ae x−1−ln⁡x+ln⁡a．(1) 当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积．(2) 若f(x)⩾1，求a的取值范围．22、【来源】 2020年高考真题山东卷第22题12分已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，且过点A(2,1)．(1) 求C的方程．(2) 点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．1 、【答案】 C;2 、【答案】 D;3 、【答案】 C;4 、【答案】 B;5 、【答案】 C;6 、【答案】 B;7 、【答案】 A;8 、【答案】 D;9 、【答案】 A;C;D;10 、【答案】 B;C;11 、【答案】 A;B;D;12 、【答案】 A;C;13 、【答案】163;14 、【答案】3n2−2n;15 、【答案】52π+4;16 、【答案】√22π;17 、【答案】选择①，c=1；选择②，c=2√3；选择③，不存在，证明见解析．;18 、【答案】 (1) a n=2n．;(2) S100=480．;19 、【答案】 (1) 1625．;(2);(3) 有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关．;20 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) √63．;21 、【答案】 (1) 2e−1;(2) [1,+∞);22 、【答案】 (1) x26+y23=1．;(2) 存在点Q(43,13)，使得|DQ|为定值23√2．证明见解析．;第11页，共11页。

数学模拟试卷03第I 卷 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2020·河北高二学业考试）已知集合{}012M =,,，{}1,2N =，则M N ⋃=（ ）．A ．{}1,2B ．{}0C ．{}0,1,2D ．{}0,1【答案】C 【解析】由并集定义可得：{}0,1,2M N =.故选：C.2．（2019·浙江高二学业考试）已知a ，b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】若a b >，则a b b >≥，即a b >，故22a b >. 取1,2a b ==-，此时22a b >，但a b <， 故22a b >推不出a b >， 故选：A.3．（2019·伊宁市第八中学高一期中）若偶函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数，则( ) A ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】函数()f x 为偶函数,则()()22f f =-.又函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数. 则()()3122f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭-，即()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭故选：D.4．（2020·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三开学考试（理））设2313a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，532b =，21log 3c =，则（ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】C 【解析】23110133⎛⎫⎛⎫<<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，503221>=，221log log 103<=， ∴c a b <<. 故选：C5．（2020·江苏南通市·高三期中）已知角α的终边经过点()3,4P ，则πcos 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．50-B ．50C ．50-D ．50【答案】A 【解析】角α的终边经过点()3,4P ，5OP ∴==，由三角函数的定义知：3cos 5α=，4sin 5α， 2237cos 22cos 121525αα⎛⎫∴=-=⨯-=- ⎪⎝⎭，4324sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=，()()π724cos 2cos2cos sin 2sin 4442525ππααα∴+=-=-=.故选：A.6．（2020·甘肃兰州市·西北师大附中高三期中）函数()f x 在[)0,+∞单调递增，且()3f x +关于3x =-对称，若()21f -=，则()21f x -≤的x 的取值范围（ ）A ．[]22-,B ．(][),22,-∞-+∞C ．()[),04,-∞+∞D ．[]0,4【答案】D 【解析】因为()3f x +关于3x =-对称，所以()f x 关于y 轴对称，所以()()221f f -==， 又()f x 在[)0,+∞单调递增，由()21f x -≤可得222x -≤-≤，解得：04x ≤≤， 故选：D7．（2020·浙江高一期末）对于函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭，有以下四种说法： ①函数的最小值是32-②图象的对称轴是直线()312k x k Z ππ=-∈ ③图象的对称中心为,0()312k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭ ④函数在区间7,123ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增． 其中正确的说法的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭， 当3=42x ππ+时，即=12x π，函数()f x 取得最小值为132122-⨯+=-，故①正确；当342x k πππ+=+时，即=,123k x k Z ππ+∈，函数()f x 的图象的对称轴是直线=,123k x k Z ππ+∈，故②错误； 当34x k ππ+=时，即,123k x k Z ππ=-+∈，函数()f x 的图象的对称中心为1,,1232k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，故③错误； 当3232242k x k πππππ+≤+≤+，即2523,123123k k x k Z ππππ+≤≤+∈，函数()f x 的递增区间为252,,123123k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦， 当1k =-时，()f x 的递增区间为7,124ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故④错误. 故选：A8．（2020·山西吕梁市·高三期中（文））函数1()11f x x=+-的图象与函数()2sin 1(24)g x x x π=+-的图象所有交点的横坐标之和等于（ ） A ．8 B ．6C ．4D ．2【答案】A 【解析】由函数图象的平移可知， 函数1()11f x x=+-与函数()2sin 1g x x π=+的图象都关于(1,1)M 对称. 作出函数的图象如图，由图象可知交点个数一共8个（四组，两两关于点(1,1)对称）， 所以所有交点的横坐标之和等于428⨯=.故选：A9．（2020·山西吕梁市·高三期中（文））已知函数2,0()()21,0x e a x f x a R x x ⎧+=∈⎨->⎩，若函数()f x 在R 上有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞- B ．[2,0)-C ．(1,0)-D ．[1,0)-【答案】B 【解析】当0x >时，()21f x x =-有一个零点12x =，只需当0x ≤时，20x e a +=有一个根，利用“分离参数法”求解即可.解：因为函数()2,021,0x e a x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩, 当0x >时，()21f x x =-有一个零点12x =， 所以只需当0x ≤时，202x xa e a e +==-即有一个根即可，因为2xy e =单调递增，当0x ≤时，(]0,1xe ∈，所以(]0,2a -∈，即[)2,0a ∈-，故选：B.10．（2020·河北高二学业考试）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()()2log 1f x x =+，则不等式()2f x ≤的解集是（ ）． A ．[]3,3- B ．[]4,4-C ．(][),33,-∞-+∞D ．(][),44,-∞-⋃+∞【答案】A 【解析】0x ≥时，()()2log 1f x x =+，()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，又()f x 是定义在R 上的奇函数，()f x ∴在R 上单调递增，易知()()223log 31log 42f =+==，()()332f f -=-=-， 由()2f x ≤， 解得：()22f x -≤≤， 由()f x 在R 上单调递增， 解得：33x -≤≤，()2f x ∴≤的解集是[]3,3-.故选：A.第II 卷 非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．（2020·上海青浦区·高三一模）圆锥底面半径为1cm ，母线长为2cm ，则其侧面展开图扇形的圆心角θ=___________.【答案】π； 【解析】因为圆锥底面半径为1cm ，所以圆锥的底面周长为2cm π， 则其侧面展开图扇形的圆心角22πθπ==， 故答案为：π.12．（2020·浙江宁波市·高三期中）设2log 3a =，则4a =______（用数值表示），lg 36lg 4=______.（用a 表示）【答案】9 1a + 【解析】2log 3a =，22394429log log a ∴===，4222236log 36log 6log (23)log 2log 314lg a lg ===⨯=+=+， 故答案为：9，1a +．13．（2020·深圳科学高中高一期中）某移动公司规定，使用甲种卡，须付“基本月租费”（每月需交的固定费用）30元，在国内通话时每分钟另收话费0.10元；使用乙种卡，不收“基本月租费”，但在国内通话时每分钟话费为0.2元．若某用户每月手机费预算为50元，则使用__________种卡才合算；若要使用甲种卡合算，则该用户每月手机费预算（元）的区间为__________． 【答案】乙 (60,)+∞ 【解析】由题意，设月通话时间为t 分钟，有甲费用为300.1t +，乙费用为0.2t ， ∴每月手机费预算为50元，则：由300.150t +=知，甲的通话时间为200分钟， 由0.250t =知，乙的通话时间为250分钟， ∴用户每月手机费预算为50元，用乙种卡合算；要使用甲种卡合算，即月通话时间相同的情况下甲费用更低，即300.10.2t t +<， 解得300t >时，费用在(60,)+∞. 故答案为：乙，(60,)+∞14．（2020·商丘市第一高级中学高一期中）设函数()112,1,1x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则()3f x ≤成立的x 的取值范围为______． 【答案】(],9-∞ 【解析】当1x <时，由13x e -≤得1ln3x ≤+，所以1x <； 当1≥x 时，由213x ≤得9x ≤，所以19x ≤≤． 综上，符合题意的x 的取值范围是(,9]-∞． 故答案为：(,9]-∞.15．（2020·辽宁本溪市·高二月考）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，稳坐于永乐桥之上的“天津之眼”作为世界上唯一一座建在桥上的摩天轮，其巧夺天工和奇思妙想确是当之无愧的“世界第一”.如图，永乐桥摩天轮的直径为110m ，到达最高点时，距离地面的高度为120m ，能看到方圆40km 以内的景致，是名副其实的“天津之眼”.实际上，单从高度角度来看，天津之眼超越了曾大名鼎鼎的伦敦之眼而跃居世界第一.永乐桥摩天轮设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min .游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转到min t 后距离地面的高度为m H ，则转到10min 后距离地面的高度为______m ，在转动一周的过程中，H 关于t 的函数解析式为______.【答案】1852 π55cos 6515H t =-+，030t ≤≤. 【解析】如图，设座舱距离地面最近的位置为点P ，以轴心O 为原点，与地面平行的直线为x 轴，建立直角坐标系.设0min t =时，游客甲位于点()0,55P -，以OP 为终边的角为π2-； 根据摩天轮转一周大约需要30min ， 可知座舱转动的角速度约为πmin 15rad ， 由题意可得πππ55sin 6555cos 6515215H t t ⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭，030t ≤≤.当10t =时，π18555cos 1065152H ⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭. 故答案为：1852；π55cos 6515H t =-+，030t ≤≤ 16．（2020·浙江建人专修学院高三三模）已知2,0()(),0x x f x f x x ⎧≥=⎨--<⎩，若4log 3a =，则()f a =___________；()1f a -=___________.3 233-因为4log 3a =，所以43a =，即2a =01a <<，所以()2a f a ==1(1)(1)2a f a f a --=--=-==3-17．（2020·上海虹口区·高三一模）已知(0,)απ∈，且有12sin2cos2αα-=，则cos α=___________.【解析】2212sin 2cos214sin cos 12sin sin 2sin cos αααααααα-=⇒-=-⇒=，因为(0,)απ∈，所以sin 0α≠，因此由2sin 2sin cos sin 2cos tan 2(0,)2πααααααα=⇒=⇒=⇒∈，而22sin cos 1(1)αα+=，把sin 2cos αα=代入(1)得：22214cos cos 1cos cos 5αααα+=⇒=⇒=(0,)2πα∈，因此cos α=.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（2020·黑龙江工农�鹤岗一中高二期末（文））函数()22xxaf x =-是奇函数． ()1求()f x 的解析式；()2当()0,x ∈+∞时，()24x f x m ->⋅+恒成立，求m 的取值范围．【答案】（1）()122xxf x =-；（2）5m <-.() 1函数()22x x af x =-是奇函数， ()()1222222x x x x x x a af x a f x --∴-=-=-+=-+=-，故1a =， 故()122xx f x =-； ()2当()0,x ∈+∞时，()24x f x m ->⋅+恒成立，即21(2)42x xm +<-⋅在()0,x ∈+∞恒成立，令()2(2)42x xh x =-⋅，(0)x >，显然()h x 在()0,+∞的最小值是()24h =-， 故14m +<-，解得：5m <-．19．（2020·宁夏长庆高级中学高三月考（理））已知函数()22sin cos 22222x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间[]0,π上的最小值及单调减区间.【答案】（1）最小正周期为2π；（2）()min f x =()f x 的单调递减区间为,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】(1)1cos ()2sin cos 222x x xf x +=+sin x x =+12sin cos 2sin 223x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以()f x 的最小正周期为2π. (2)因为[]0,x π∈，所以4,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当433x ππ+=，即x π=时，函数()f x 取得最小值由4233x πππ≤+≤，得6x ππ≤≤，所以函数()f x 的单调递减区间为,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 20．（2019·河北师范大学附属中学高一期中）已知二次函数()f x 的图象经过点()4,4-，方程()0f x =的解集为{}0,2.（1）求()f x 的解析式；（2）是否存在实数(),m n m n <，使得()f x 的定义域和值域分别为[],m n 和[]2,2m n ？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）21()2f x x x =-+；（2）存在；2m =-，0n =. 【解析】（1）由已知，设()()2f x ax x =-.因为()f x 的图象经过点()4,4-，所以()4442a -=-，解得12a =-， 即()f x 的解析式为21()2f x x x =-+； （2）假设满足条件实数m ，n 的存在， 由于221111()(1)2222f x x x x =-+=--+≤，因此122n ≤，即14n ≤. 又()f x 的图象是开口向下的抛物线，且对称轴方程1x =，可知()f x 在区间[],m n 上递增，故有()2()2f m m f n n=⎧⎨=⎩，并注意到14m n <≤，解得2m =-，0n =. 综上可知，假设成立，即当2m =-，0n =时，()f x 的定义域和值域分别为[],m n 和[]2,2m n .21．（2020·山西吕梁市·高三期中（文））已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，且满足63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期；（2）将函数()f x 的图象向右平移06πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后得到函数()g x 的图象，若对满足()()122f x g x -=的1x 、2x 有12min 7x x π-=，求ϕ的值. 【答案】（1）37π；（2）14π. 【解析】（1）由()sin ,(0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最小值，无最大值， 可知：236T πππω-≤=，故有012ω<≤. 又6x π=与3x π=在一个周期内，且63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 4x π∴=时，函数取到最小值.2,()432k k Z πππωπ∴+=-+∈ 故有1083k ω=-+， 又因为012ω<≤，所以143ω=. 所以函数()f x 的最小正周期为37π. （2）由()()122f x g x -=∣∣可知的()()12,f x g x 中一个对应最大值，一个对应最小值. 对于函数()f x 其最大值与最小值对应的x 的距离为半个周期314π. ∴有12min 314x x πϕ-+=. 即314714πππϕ=-=.22．（2020·安徽省蚌埠第三中学高一月考）设函数()()21x x a t f x a--=（0a >，且1a ≠）是定义域为R 的奇函数.（1）求t 的值；（2）若函数()f x 的图象过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，是否存在正数()1m m ≠，使函数()()22log x x m g x a a mf x -⎡⎤=+-⎣⎦在[]21,log 3上的最大值为0，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2t =；（2）不存在，理由见解析.【解析】（1）∵()f x 是定义域为R 的奇函数，∴()00f =，∴2t =；经检验知符合题意.（2）函数()f x 的图象过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2132a a -=， ∴2a =（12a =-舍去）， 假设存在正数m ，且1m ≠符合题意，由2a =得()()22log 2222x x x x m g x m --⎡⎤=+--⎣⎦， 设22x x t -=-，则()()22222222x x x x m t mt -----+=-+，∵[]21,log 3x ∈，2[2,3]x ∈，∴38,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，记()22h t t mt =-+， ∵函数()g x 在[]21,log 3上的最大值为0，∴（i ）若01m <<时，则函数()22h t t mt =-+在38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦有最小值为1， 由于对称轴122m t =<，∴()min 31731312426h t h m m ⎛⎫==-=⇒= ⎪⎝⎭，不合题意. （ii ）若1m 时，则函数()220h t t mt =-+>在38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，且最大值为1，最小值大于0， ①()max 1252512212736873241324m m m h t h m ⎧⎧<≤<≤⎪⎪⎪⎪⇒⇒=⎨⎨⎛⎫⎪⎪=== ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩， 而此时7338,24823m ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，又()min 73048h t h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭， 故()g x 在[]21,log 3无意义， 所以7324m =应舍去； ②()max 25252126313126m m h t h m ⎧⎧>>⎪⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎛⎫⎪⎪=== ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩m 无解， 综上所述：故不存在正数m ，使函数()g x 在[]21,log 3上的最大值为0．。

2020-2021学年广东省深圳市高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共36.0分） 1.已知集合A ={x|(x −1)2<3x +7,x ∈R}，B ={x|xx+1≤0}，则A ∩B =( )A. [−1,0]B. (−1,0)C. (−1,0]D. [−1,0)2.已知函数f(x)={lgx,x >0x +11,x ≤0，则f(f(−1)=( )A. −2B. 0C. 1D. −13.设角α的终边经过点P(−1,y)，且tanα=12，则y 等于( )A. 2B. −2C. 12D. −124.已知偶函数f(x)在区间［0，+∞)单调增加，则满足f(2x −1)<f()的x 取值范围是( )A. ()B. ［)C. ()D. ［)5. 若变量满足约束条件的最大值和最小值分别为M 和m ，则M −m =A. 8B. 7C. 6D. 56.8.下列命题为真命题的是A. 已知，则“”是“”的充分不必要条件B. 已知数列为等比数列，则“”是“”的既不充分也不必要条件C. 已知两个平面，，若两条异面直线满足且//， //，则// D.，使成立7.已知函数f(x)=2|cosx|sinx +sin2x ，给出下列四个命题：①函数f(x)的图象关于直线x =π4对称； ②函数f(x)在区间[−π4,π4]上单调递增； ③函数f(x)的最小正周期为π；④函数f(x)的值域为[−2,2].其中真命题的个数是( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个8.若一个函数y =f(x)的图象关于y 轴对称，则称这个函数为偶函数，设偶函数y =f(x)的定义域为[−5,5]，若当x ∈[0,5]时，函数y =f(x)的图象如下图，则f(x)<0解集是( )A. (−2,0)∪(2,5]B. (−5,−2)∪(2,5)C. [−2,0]∪(2，5]D. [−5,−2)∪(2,5]9.sin(−1080°)=( )A. −12B. 1C. 0D. −110. 函数f(x)=(12)x −15x 的零点位于区间( )A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)11. 《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理或定理都能通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC =a ，BC =b ，其中a >b >0，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a+b 2>√abB. a 2+b 2>2abC. 2aba+b <√abD. a+b 2<√a2+b 2212. 下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是( )A. y =x 3B. y =−|x|C. y =−x 2+1D. y =2|x|二、单空题（本大题共4小题，共12.0分） 13. 不等式组{sinx ≥02cosx −1>0的解集为______ ．14. 已知tanα=2，则cos2α(sinα−cosα)2=______． 15. 下列命题正确的是______ (写序号)①命题“∃x 0∈R ，x 02+1>3x 0”的否定是“∀x ∈R ，x 2+1≤3x ”： ②函数f(x)=cos 2ax −sin 2ax 的最小正周期为“π”是“a =1”的必要不充分条件； ③x 2+2x ≥ax 在x ∈[1,2]上恒成立⇔(x 2+2x)min ≥(ax)max 在x ∈[1,2]上恒成立； ④在△ABC 中，“A >B ”是“sinA >sinB ”的充要条件．16. 函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，f(x)=2x 2−x +1，则当x >0，f(x)= ______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 已知△ABC 的面积为1，且满足0<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤2，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ (Ⅰ)求θ的取值范围；(Ⅱ)求函数f(θ)=2sin 2(π4+θ)−cos(2θ+π6)的最大值及取得最大值时的θ值．18. (Ⅰ)设U =R ，A ={x|−2≤x <4}，B ={x|8−2x ≥3x −7}，求(∁U A)∩(∁U B)． (Ⅱ)已知集合A ={x|3x −4≤0}，B ={x|x −m <0}，且A ∩B =B ，求m 的取值范围．19. 已知函数f(x)=sin(ωx −π3)(ω>0)图象中相邻两个最高点的距离是π． (Ⅰ)求ω的值；(Ⅱ)求f(x)在区间[0,7π12]上的最大值和最小值．20. 已知函数f(x)=x 2+1x ．(1)判断f(x)的奇偶性并证明；(2)当x ∈(1,+∞)时，判断f(x)的单调性并证明；(3)在(2)的条件下，若实数m 满足f(3m)>f(5−2m)，求m 的取值范围．21. 在锐角△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c 且bcosC =√2acosB −ccosB ， (1)求角B 大小(2)设A =θ，求函数f(θ)=2sin 2(π4+θ)−√3cos2θ−2的值域．22. 已知函数f(x)=ax 2+bx −ln x(a,b ∈R)．(1)当a =8，b =−6时，求f(x)的零点的个数；(2)设a >0，且x =1是f(x)的极小值点，试比较ln a 与−2b 的大小．参考答案及解析1.答案：C解析：解：由A 中不等式变形得：x 2−5x −6<0，即(x −6)(x +1)<0， 解得：−1<x <6，即A =(−1,6)，由B 中不等式变形得：x(x +1)≤0，且x +1≠0， 解得：−1<x ≤0，即B =(−1,0]， 则A ∩B =(−1,0]． 故选：C ．求出A 中不等式的解集确定出A ，求出B 中不等式的解集确定出B ，求出两集合的交集即可． 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.答案：C解析：解：∵函数f(x)={lgx,x >0x +11,x ≤0，∴f(−1)=−1+11=10， f(f(−1)=f(10)=lg10=1． 故选：C ．推导出f(−1)=−1+11=10，从而f(f(−1)=f(10)，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.答案：D解析：解：∵角α的终边经过点P(−1,y)，且tanα=12， ∴y−1=12， ∴y =−12， 故选：D ．由题设条件，根据三角函数终边上一点的定义即可求得正切．本题考查任意角三角函数的定义，求解的关键是熟练掌握定义中知道了终边上一点的坐标，求正切值的规律．4.答案：A解析：由题意需满足|2x−1|<，解得，故选A．5.答案：C解析：解：化目标函数z=2x+y为y=−2x+z，由图可知，当直线y=−2x+z过A(−1,−1)时目标函数有最小值为m=−3，当直线y=−2x+z过B(2,−1)时目标函数有最大值为M=2×2−1=3.∴M−m=6．故选：C．6.答案：C解析：故答案为C．7.答案：C解析：解：对于①，函数f(x)=2|cosx|sinx+sin2x，由于f(−π4)=−2，f(3π4)=0，∴f(−π4)≠f(3π4)，故f(x)的图象不关于直线x=π4对称，故①错误．对于②，区间[−π4,π4]上，f(x)=2|cosx|sinx+sin2x=2sin2x单调递增，故②正确．对于③，函数f(π3)=√3，f(4π3)=0，∴f(π3)≠f(4π3)，故函数f(x)的最小正周期不是π，故③错误．对于④，当cosx≥0时，f(x)=2|cosx|sinx+sin2x=2sinxcosx+sin2x=2sin2x，故它的最大值为2，最小值为−2；当cosx<0时，f(x)=2|cosx|sinx+sin2x=−2sinxcosx+sin2x=0，综合可得，函数f(x)的最大值为2，最小值为−2，故④正确．故选：C．利用三角函数的周期性、单调性、值域以及它的图象的对称性，判断各个选项是否正确，从而得出结论．本题主要考查三角函数的周期性、单调性、值域以及它的图象的对称性，属于中档题．8.答案：D解析：解：∵函数y=f(x)的图象关于y轴对称，当x∈[0,5]时，若函数y=f(x)<0，则x∈(2,5]，故当x∈[−5,0]时，若函数y=f(x)<0，则x∈[−5,−2)，综上f(x)<0的解集是[−5,−2)∪(2,5]，故选：D由当x∈[0,5]时，函数y=f(x)的图象，先求出当x∈[0,5]时，f(x)<0的解集，再根据函数图象的对称性，求出当x∈[−5,0]时，f(x)<0的解集，综合讨论结果，可得答案．本题考查的知识点是奇偶函数图象的对称性，难度不大，属于基础题．9.答案：C解析：本题主要考查了诱导公式的应用，属于基础题．利用诱导公式即可求解．解：sin(−1080°)=−sin(3×360°+0°)=0．故选：C．10.答案：B解析：本题考查函数零点存在性定理的运用，属于基础题．由f(1)⋅f(2)<0结合零点存在性定理即可得解．解：函数f(x)在R上为减函数，其图象为一条不间断的曲线，又f(1)=12−15=310>0,f(2)=14−25=−320<0，∴f(1)⋅f(2)<0，由零点存在性定理可知，函数f(x)的零点位于区间(1,2)．故选：B．11.答案：D解析：解：由图形可知，OF=a+b2，OC=AC−OA=a−a+b2=a−b2，(a>b>0)，所以CF=√OF2+OC2=√(a+b2)2−(a−b2)2=√a2+b22，Rt△ACF中，由OF<CF可得，a+b2<√a2+b22．故选：D．计算出CF，OF，由OF<CF即可求解．本题主要考查利用几何关系得出不等式，考查推理能力，属于基础题．12.答案：D解析：解：对于A，函数y=x3在(0,+∞)上单调递增，是奇函数，不满足条件；对于B，函数y=−|x|是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减，不满足条件；对于C，函数y=−x2+1是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减，不满足条件；对于D，函数y=2|x|是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增，满足条件．故选：D．根据基本初等函数的单调性奇偶性，分析选项中四个函数在(0,+∞)上的单调性和奇偶性，即可得出答案．本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，熟练掌握常见的基本初等函数的性质是解题的关键．13.答案：{x|2kπ≤x ≤2kπ+π3,k ∈Z}解析：解：因为{sinx ≥02cosx −1>0，可得{sinx ≥0cosx >12，在单位圆中分别表示出满足以上不等式的角的集合， 如图所示， 由三角函数线，可得{2kπ≤x ≤2kπ+π, k ∈Z,2kπ−π3<x <2kπ+π3,k ∈Z,解集恰好为图中阴影重叠的部分，故原不等式的解集为{x|2kπ≤x <2kπ+π3,k ∈Z}.故答案为：{x|2kπ≤x <2kπ+π3,k ∈Z}.原不等式组可化为{sinx ≥0cosx >12，在单位圆中分别表示出满足以上不等式的角的集合，由三角函数线，可得{2kπ≤x ≤2kπ+π, k ∈Z,2kπ−π3<x <2kπ+π3,k ∈Z,解集为图中阴影重叠的部分，即可得解原不等式的解集．本题主要考查了不等式组的解法，考查了正弦函数，余弦函数的图像和性质，考查了数形结合思想，属于基础题．14.答案：−3解析：解：tanα=2，则cos2α(sinα−cosα)2=cos 2α−sin 2αsin 2α+cos 2α −2sinαcosα=1−tan 2αtan 2α+1 −2tanα=1−44+1−4=−3． 故答案为：−3．利用二倍角的余弦函数化简所求表达式，弦切互化，得到正切函数的形式，求解即可． 本题考查二倍角公式的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力．15.答案：①②④解析：解：对于①：先将量词变为∀x ∈R ，结论x 02+1>3x 0变成x 2+1≤3x ，可见①为真命题；对于②：f(x)=cos2ax，其最小正周期的计算方法是2π|ω|，故本题最小正周期为π时，a=±1，此时不一定有a=1成立，而反之，a=1必有a=≠±1成立，故前者是后者的必要而不充分条件，故②为真命题．对于③：x2+2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立⇔x2+2x−ax≥0在[1,2]上恒成立，所以③为假命题；对于④：由正弦定理知asinA =bsinB=2R，∵sinA>sinB，∴a>b，∴A>B．反之，∵A>B，∴a>b，∵a=2RsinA，b=2RsinB，∴sinA>sinB，故④是真命题．故答案为：①②④．对于①：根据特称命题的否定方法判断；对于②：先将f(x)=cos2ax−sin2ax化成：f(x)=cos2ax，再结合周期计算公式进行判断；对于③：x2+2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立，前后是同一个变量，因此应作差后，再将差函数的最值求出来即可；对于④：由正弦定理知asinA =bsinB，由sinA>sinB，知a>b，所以A>B，反之亦然，故可得结论．本题中的②是容易出错的，学生往往记成T=2πω，而忽视了绝对值，对于第四个，属于常考的易错题，需引起重视．16.答案：−2x2−x−1解析：解：∵f(x)是定义在R上的奇函数，x<0时，f(x)=2x2−x+1，∴x>0时，−x<0；∴f(−x)=2(−x)2−(−x)+1=2x2+x+1，又f(−x)=−f(x)，∴f(x)=−f(−x)=−(2x2+x+1)=−2x2−x−1；故答案为：−2x2−x−1由x<0时f(x)的解析式，结合函数的奇偶性求出x>0时f(x)的解析式．本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，难度不大，属于基础题．17.答案：解：(Ⅰ)设△ABC中角A、B、C的对边分别为a、b、c，∵△ABC 的面积为1，且满足0<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤2，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ， ∴12bcsinθ=1，即bc =2sinθ，0<bccosθ≤2， ∴0<2tanθ≤2，即tanθ≥1，∵θ∈(0,π)，∴θ∈[π4,π2)；(Ⅱ)f(θ)=[1−cos(π2+2θ)]−[√32cos2θ−12sin2θ] =1+sin2θ−√32cos2θ+12sin2θ=√3sin(2θ−π6)+1， ∵θ∈[π4,π2)，2θ−π6∈[π3,5π6) ∴当θ=π3时，f(θ)max =√3+1．解析：(Ⅰ)设△ABC 中角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ，利用三角形的面积公式表示出面积，令面积为1列出关系式12bcsinθ=1，表示出bc ，且得到bccosθ的范围，将表示出的bc 代入求出的范围中，利用同角三角函数间的基本关系化简，整理后求出tanθ的范围，由θ∈(0,π)，利用正切函数的图象与性质即可求出θ的范围；(Ⅱ)将函数解析式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理后，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由第一问求出的θ的范围，求出这个角的范围，利用正弦函数的定义域与值域即可求出函数的最大值及取得最大值时的θ值． 此题考查了三角函数的恒等变换及化简求值，以及平面向量的数量积运算，涉及的知识有：二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，正切函数的图象与性质，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键． 18.答案：解：(Ⅰ)B ={x|8−2x ≥3x −7}={x|x ≤3}，则∁U B ={x|x >3}．∵A ={x|−2≤x <4}，∴∁U A ={x|x <−2或x ≥4}．∴(∁U A)∩(∁U B)={x|x ≥4}；(Ⅱ)A ={x|x ≤43},B ={x|x <m}，∵A ∩B =B ，∴B ⊆A ，∴m ≤43．解析：(Ⅰ)求解一次不等式化简集合B，然后分别求出∁U A和∁U B，取交集得答案；(Ⅱ)分别求解一元一次不等式化简两集合，由A∩B=B得B⊆A，再结合两集合端点值间的关系得答案．本题考查交、并、补集的混合运算，考查了集合间的关系的判断与运用，是基础题．19.答案：解：(Ⅰ)∵函数f(x)=sin(ωx−π3)(ω>0)图象中相邻两个最高点的距离是π，∴T=2πω=2，即ω=2，(Ⅱ)∵0≤x7π12，∴−π3≤2x−π3≤5π6，当2x−π3=−π3，即x=0时，f(x)有最小值−√32，当2x−π3=π2，即x=5π12时，f(x)有最小值1．解析：(Ⅰ)根据图象中相邻两个最高点的距离是π，利用T=2πω=2；即可求出(Ⅱ)根据三角函数的单调性即可求出函数的最值．本题主要考查三角函数的图象和性质，属于基础题．20.答案：证明：(1)f(x)=x2+1x为奇函数，利用如下：f(−x)=(−x)2+1−x =−1+x2x=−f(x)，故f(x)为奇函数，(2)x∈(1,+∞)时，f(x)的单调性递增，利用如下：设1<x1<x2，f(x)=x+1x，则f(x1)−f(x2)=x1+1x1−x2−1x2=(x1−x2)+x2−x1x1x2，=(x1−x2)(1−1x1x2)<0，所以f(x1)<f(x2)，所以f(x)在(1,+∞)上单调递增，(3)解：由f(3m)>f(5−2m)可得3m>5−2m>1，解得，1<m<2．故m的范围(1,2)解析：(1)检验f(−x)与f(x)的关系即可判断，(2)先设1<x1<x2，然后利用作差法比较f(x1)与f(x2)的大小即可判断，(3)结合函数的单调性及奇偶性即可求解．本题主要考查了函数单调性及奇偶性的判断及利用单调性及奇偶性求解不等式，属于中档试题．21.答案：解：(1)∵bcosC=√2acosB−ccosB，∴由正弦定理得，sinBcosC=√2sinAcosB−sinCcosB，则sin(B+C)=√2sinAcosB，又sin(B+C)=sinA≠0，∴cosB=√22，由0<B<π得，B=π4；(2)由(1)得，C=π−A−B=3π4−θ，∵△ABC是锐角三角形，∴{0<3π4−θ<π20<θ<π2，解得π4<θ<π2，∵f(θ)=2sin2(π4+θ)−√3cos2θ−2=1−cos(π2+2θ)−√3cos2θ−2=sin2θ−√3cos2θ−1=2sin(2θ−π3)−1，由π4<θ<π2得，π6<2θ−π3<2π3，∴12<sin(2θ−π3)≤1，则0<2sin(2θ−π3)−1≤1，即函数f(x)的值域是(0,1]．解析：(1)由正弦定理化简已知的式子，由两角和的正弦公式、诱导公式化简后求出cosB的值，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出B；(2)由(1)和内角和定理求出C，根据△ABC是锐角三角形列出不等式求出θ的范围，由二倍角公式及变形、两角差的正弦公式化简后，由正弦函数的性质求出函数的值域．本题考查了正弦定理，两角和(差)的正弦公式、诱导公式，三角形的面积公式，以及正弦函数的性质的综合应用，属于中档题．22.答案：解：(Ⅰ)∵a=8，b=−6，∴f ′(x)=(2x −1)(8x +1)x (x >0) 当0<x <12时，f′(x)<0，当x >12时，f′(x)>0，故f(x)在(0,12)递减，在(12,+∞)递增，故f(x)的极小值是f(12)，又∵f(12)=−1+ln2<0，∴f(x)有两个零点；(Ⅱ)依题有f′(1)=0，∴2a +b =1即b =1−2a ，∴lna −(−2b)=lna +2−4a ，令g(a)=lna +2−4a ，(a >0)则g′(a)=1a −4=1−4a a ， 当0<a <14时，g′(a)>0，g(a)单调递增；当a >14时，g′(a)<0，g(a)单调递减．因此g(a)<g(14)=1−ln4<0，故lna <−2b ．解析：(Ⅰ)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，得到函数的极小值小于0，从而判断出函数的零点个数；(Ⅱ)求出b =1−2a ，作差lna −(−2b)=lna +2−4a ，根据函数的单调性求出g(a)的最大值，从而判断出lna 和−2b 的大小即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道偏难题．。

2020-2021深圳市高一数学上期末试卷(及答案)一、选择题1．已知定义在R 上的增函数f (x )，满足f (－x )＋f (x )＝0，x 1，x 2，x 3∈R ，且x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值 ( ) A ．一定大于0 B ．一定小于0 C ．等于0D ．正负都有可能2．已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<3．若函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞B ．（1,8）C ．（4,8）D ．[4,8)4．已知函数2()2log x f x x =+，2()2log x g x x -=+，2()2log 1x h x x =⋅-的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）．A ．b a c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a b c <<5．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是 A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦6．函数ln x y x=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数()y f x =是偶函数，(2)y f x =-在[0,2]是单调减函数，则（ ） A ．(1)(2)(0)f f f -<< B ．(1)(0)(2)f f f -<< C ．(0)(1)(2)f f f <-<D ．(2)(1)(0)f f f <-<8．已知函数()2x xe ef x --=，x ∈R ，若对任意0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，都有()()sin 10f f m θ+->成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．()0,2C ．(),1-∞D ．(]1-∞，9．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，min t 后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线nt y ae =，假设过5min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过min m 甲桶中的水只有4a升，则m 的值为（ ） A ．10B ．9C ．8D ．510．若函数()[)[]1,1,0{44,0,1xx x f x x ⎛⎫∈- ⎪=⎝⎭∈，则f (log 43)＝( )A ．13B ．14C ．3D ．411．函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数且f （2）=0，则使f （x ）<0的x 的取值范围（ ） A ．（－∞，2）B ．（2，+∞）C ．（－∞，-2）∪（2，+∞）D ．（－2，2） 12．对数函数且与二次函数在同一坐标系内的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．二、填空题13．定义在R 上的奇函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增，且f （4）=0，则不等式f （x ）≥0的解集是___． 14．若155325a b c ===，则111a b c+-=__________． 15．已知函数()1352=++f x ax bx （a ，b 为常数），若()35f -=，则()3f 的值为______16．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x 时，11()42xx f x =-+，则此函数的值域为__________. 17．已知函数12()log f x x a =+，2()2g x x x =-，对任意的11[,2]4x ∈，总存在2[1,2]x ∈-，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是______________．18．函数()()25sin f x x g x x =--=，,若1202n x x x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，……，，,使得()()12f x f x ++…()()()()()()1121n n n n f x g x g x g x g x f x --++=++++…,则正整数n 的最大值为___________.19．若函数()()()()22,0,0x x x f x g x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩为奇函数，则()()1f g -=________． 20．若集合{||1|2}A x x =-<，2|04x B x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，则A B =______. 三、解答题21．已知函数f (x )＝2x 的定义域是[0,3]，设g (x )＝f (2x )－f (x ＋2)， (1)求g (x )的解析式及定义域； (2)求函数g (x )的最大值和最小值．22．已知函数()()()log 1log 1a a f x x x =+--(0a >，1a ≠)，且()31f =. (1)求a 的值，并判定()f x 在定义域内的单调性，请说明理由； (2)对于[]2,6x ∈，()()()log 17amf x x x >--恒成立，求实数m 的取值范围.23．已知集合{}24A x x =-≤≤，函数()()2log 31xf x =-的定义域为集合B .(1)求A B ；(2)若集合{}21C x m x m =-≤≤+，且()C A B ⊆⋂，求实数m 的取值范围. 24．计算或化简：（1）112320412730.1log 321664π-⎛⎫⎛⎫++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）6log 3332log 27log 2log 36lg 2lg 5-⋅---.25．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）是养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数．当x 不超过4（尾/立方米）时，v 的值为2（千克/年）；当420x ≤≤时，v 是x 的一次函数；当x 达到20（尾/立方米）时，因缺氧等原因，v 的值为0（千克/年）．（1）当020x <≤时，求函数()v x 的表达式；（2）当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）()()f x x v x =⋅可以达到最大，并求出最大值． 26．记关于的不等式的解集为，不等式的解集为．（1）若，求集合； （2）若且，求的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】因为f (x ) 在R 上的单调增,所以由x 2＋x 1>0，得x 2>-x 1,所以21121()()()()()0f x f x f x f x f x >-=-⇒+>同理得2313()()0,()()0,f x f x f x f x +>+> 即f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>0,选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行2．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】因为422233332=4,3,5a b c ===，且幂函数23y x =在(0,)+∞ 上单调递增，所以b <a <c . 故选A.点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.3．D解析：D 【解析】 【分析】根据分段函数单调性列不等式，解得结果. 【详解】因为函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，所以140482422a a a aa ⎧⎪>⎪⎪->∴≤<⎨⎪⎪-+≤⎪⎩故选：D 【点睛】本题考查根据分段函数单调性求参数，考查基本分析判断能力，属中档题.4．D解析：D 【解析】 【分析】函数2()2log x x f x =+，2()2log x x g x -=+，2()2log 1x x h x =-的零点可以转化为求函数2log x y =与函数2x y =-，2x y -=-,2x y -=的交点，再通过数形结合得到a ，b ，c 的大小关系. 【详解】令2()2log 0x f x x =+=，则2log 2x x =-．令12()2log 0xg x x -=-=，则2log 2x x -=-．令2()2log 10x x h x =-=，则22log 1x x =,21log 22xx x -==． 所以函数2()2log x x f x =+，2()2log x x g x -=+，2()2log 1x x h x =-的零点可以转化为求函数2log y x =与函数2log x y =与函数2x y =-，2x y -=-,2x y -=的交点，如图所示，可知01a b <<<，1c >， ∴a b c <<．故选:D ．本题主要考查函数的零点问题，考查对数函数和指数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5．B解析：B 【解析】 【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决． 【详解】(0,1]x ∈时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令84(2)(3)9x x --=-，整理得：2945560x x -+=，1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==（舍），(,]x m ∴∈-∞时，8()9f x ≥-成立，即73m ≤，7,3m ⎛⎤∴∈-∞ ⎥⎝⎦，故选B ．【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．6．C解析：C 【解析】 分析：讨论函数ln x y x=性质，即可得到正确答案.详解：函数ln x y x=的定义域为{|0}x x ≠ ，ln ln x x f x f x xxx--==-=-（）（），当0x >时，2ln ln 1-ln ,,x x xy y xx x ===' 函数在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减， 故排除A,D ， 故选C ．点睛：本题考查了数形结合的思想应用及排除法的应用．7．C解析：C 【解析】 【分析】先根据()2y f x =-在[]0,2是单调减函数，转化出()y f x =的一个单调区间，再结合偶函数关于y 轴对称得[]02，上的单调性，结合函数图像即可求得答案 【详解】()2y f x =-在[]0,2是单调减函数，令2t x =-，则[]20t ，∈-，即()f t 在[]20-，上是减函数 ()y f x ∴=在[]20-，上是减函数函数()y f x =是偶函数，()y f x ∴=在[]02，上是增函数()()11f f -=,则()()()012f f f <-< 故选C 【点睛】本题是函数奇偶性和单调性的综合应用，先求出函数的单调区间，然后结合奇偶性进行判定大小，较为基础．8．D解析：D 【解析】试题分析：求函数f （x ）定义域，及f （﹣x ）便得到f （x ）为奇函数，并能够通过求f′（x ）判断f （x ）在R 上单调递增，从而得到sinθ＞m ﹣1，也就是对任意的0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦都有sinθ＞m ﹣1成立，根据0＜sinθ≤1，即可得出m 的取值范围． 详解：f （x ）的定义域为R ，f （﹣x ）=﹣f （x ）； f′（x ）=e x +e ﹣x ＞0；∴f （x ）在R 上单调递增；由f （sinθ）+f （1﹣m ）＞0得，f （sinθ）＞f （m ﹣1）； ∴sin θ＞m ﹣1； 即对任意θ∈0,2π⎛⎤⎥⎝⎦都有m ﹣1＜sinθ成立；∵0＜sinθ≤1； ∴m ﹣1≤0；∴实数m 的取值范围是（﹣∞，1]． 故选：D ．点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集.9．D解析：D 【解析】由题设可得方程组()552{4n m n ae aa ae +==，由55122n nae a e =⇒=，代入(5)1142m n mn ae a e +=⇒=，联立两个等式可得512{12mn n e e ==，由此解得5m =，应选答案D 。

2020-2021学年广东省深圳市宝安区高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）1.已知集合A={x||x|≤2}，B={x|−3<x<1}，则A∩B=()A. {x|−3<x≤2}B. {x|−3≤x≤2}C. {x|−2≤x<1}D. {x|−2≤x≤1}2.已知f(x)在R上是奇函数，且f(x)在R上的最大值为m，则函数F(x)=f(x)+3在R上的最大值与最小值之和为()A. 2m+3B. 2m+6C. 6D. 6−2m3.对于集合{a1,a2,…,a n}和常数a0，定义：w=sin(a1−a0)2+sin(a2−a0)2+⋯+sin(a n−a0)2n为集合{a1,a2,…,a n}相对于a0的“正弦方差”，则集合{π2,5π6,7π6}相对a0的“正弦方差”为()A. 13B. 12C. a04D. a034.如图所示，函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)离y轴最近的零点与最大值均在抛物线y=−32x2+12x+1上，则f(x)=()A. f(x)=sin(16x+π3) B. f(x)=sin(12x+π3)C. f(x)=sin(π2x+π3) D. f(x)=sin(π2x+π6)5.已知两个非零向量a⃗、b⃗ 满足|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |，则a⃗与b⃗ 的关系是()A. 共线B. 不共线且不垂直C. 垂直D. 共线且方向相反6.满足不等式1x<1的x的取值范围是()A. x>1B. x<0或x>1C. x<0D. 0<x<17.已知函数f(x)=sin(2x +φ)(0<φ<π)，若将函数y =f(x)的图象向左平移π6个单位后所得图象对应的函数为偶函数，则实数φ=( )A. 5π6B. 2π3C. π3D. π68.已知，则所在的象限是( )A. 第一象限B. 第三象限C. 第一或第三象限D. 第二或第四象限9.下列关于向量的说法中正确的是( )A. 向量a ⃗ =λb⃗ (λ≠0)且b ⃗ ≠0⃗ ，则向量a ⃗ 与b ⃗ 的方向相同或相反 B. 若|a ⃗ |<|b ⃗ |，则a ⃗ <b ⃗C. 若|a ⃗ |=|b ⃗ |，则向量a ⃗ 与b ⃗ 的长度相等且方向相同或相反D. 若a ⃗ //b ⃗ ，且b ⃗ //c ⃗ ，则a⃗ //c ⃗ 10. 定义方程f(x)=f′(x)的实数根x 0叫做函数的“新驻点”，若函数g(x)=x ，ℎ(x)=ln(x +1)，t(x)=x 3−1的“新驻点”分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a >b >cB. c >a >bC. a >c >bD. b >a >c二、多选题（本大题共2小题，共10.0分）11. 已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x)+f(−x)=0，f(x +6)=−f(x)，且∀x 1，x 2∈[−3,0]，当x 1≠x 2时，都有x 1f(x 1)+x 2f(x 2)<x 1f(x 2)+x 2f(x 1)，则以下判断正确的是( )A. f(x)是奇函数B. 函数f(x)在[−9,−6]单调递增C. x =3是函数f(x)的对称轴D. 函数f(x)的最小正周期是612. 已知函数f(x)=(12)x2−|x|−2，下列关于函数f(x)的说法正确的是( )A. 函数f(x)是关于y 轴对称的偶函数B. 函数f(x)为非奇非偶函数C. 函数f(x)的最大值为4√24D. 函数f(x)的单调递增区间为(−∞,−12)∪(0,12)三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 不等式|2x −1−log 3(x −1)|<|2x −1|+|log 3(x −1)|的解集是______ ．14. 向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(k,1)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,5)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−k,10)，且A ，B ，C 三点共线，则k = ______ ．15.定义：如果函数y=f(x)在定义域内给定区间[a,b]上存在x0(a<x0<b)，满足f(x0)=f(b)−f(a)b−a，则称函数y=f(x)是[a,b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．如y=x2是[−1,1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f(x)=x3+mx是区间[−1,1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是______．16.已知命题p1：函数y=lntanx与y=12ln1−cos2x1+cos2x是同一函数；p2：已知x0是函数f(x)=11−x+2x的一个零点，若1<x1<x0<x2，则f(x1)<0<f(x2)，则在以下命题：①p1∨p2；②(￢p1)∧(￢p2)；③(￢p1)∧p2；④p1∨(￢p2)中，真命题是______ (写出所有正确命题的序号)．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数().(1)判断的奇偶性；(2)当时，求证：函数在区间上是单调递减函数，在区间上是单调递增函数；(3)若正实数满足，，求的最小值．18. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)=x2+4x(1)求函数f(x)，x∈R的解析式；(2)若函数g(x)=f(x)−2ax+2，x∈[1,4]，记函数g(x)的最大值为ℎ(a)，求函数ℎ(a)的解析式，并写出函数ℎ(a)的值域．19. 如图，设单位圆与x轴的正半轴相交于点Q(1,0)，当α≠2kπ+β(k∈Z)时，以x轴非负半轴为始边作角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于点P1(cosα,sinα)，Q1(cosβ,sinβ)．(1)叙述并利用如图证明两角差的余弦公式；(2)利用两角差的余弦公式与诱导公式.证明：sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ．(附：平面上任意两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)间的距离公式P1P2=√(x2−x1)2+(y2−y1)2).20. 已知函数f(x)=x+a2x(其中a为常数)．(1)判断函数y=f(2x)的奇偶性；(2)若不等式f(2x)<2x+12x+4在x∈[0,1]时有解，求实数a的取值范围；(3)设g(x)=1−x1+x ，是否存在正数a，使得对于区间[0,12]上的任意三个实数m，n，p，都存在以f[g(m],f[g(n)],f[g(p)]为边长的三角形？若存在，试求出这样的a的取值范围；若不存在，请说明理由．21. 设函数(1)求的最小正周期及其图像的对称轴方程；(2)将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，求在区间的值域．22. 如图，互相垂直的两条公路AP、AQ旁有一矩形花园ABCD，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园AMN，要求点M在射线AP上，点N在射线AQ上，且直线MN过点C，其中AB=20米，AD=30米．记三角形花园AMN的面积为S．(1)问：DN取何值时，S取得最小值，并求出最小值；(2)若S不超过1350平方米，求DN长的取值范围．参考答案及解析1.答案：C解析：解：∵A ={x|−2≤x ≤2}，B ={x|−3<x <1}， ∴A ∩B ={x|−2≤x <1}． 故选：C ．可求出集合A ，然后进行交集的运算即可．本题考查了集合的描述法的定义，绝对值不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：C解析：本题考查函数的奇偶性的性质的应用，是基础题． 利用函数的奇偶性的性质求解即可．解：f(x)在R 上是奇函数，且f(x)在R 上的最大值为m ，则最小值为：−m ，最大值与最小值之和为0， 函数F(x)=f(x)+3，是函数f(x)的图象向上平移3个单位，并不改变最大最小值所取的点对应的x 的值，所以F(x)=f(x)+3最大值最小值之和为6， 故选：C ．3.答案：B解析：解：根据新定义：w=sin(a 1−a 0)2+sin(a 2−a 0)2+⋯+sin(a n −a 0)2为集合{a 1,a 2,…,a n }相对于a 0的“正弦方差” ∴集合{π2,5π6,7π6}相对a 0的“正弦方差”为：w =sin 2(π2−a 0)+sin 2(5π6−a 0)+sin 2(7π6−a 0)3=3+cos2a 0−cos(5π3−2a 0)−cos(7π3−2a 0)6=12．故选B ．根据新定义，将a1=π2，a2=5π6，a3=7π6，n=3代入计算可得结论．本题考察了对新定义的理解和运用能力，同时考察了二倍角的化简计算能力．属于中档题题．4.答案：C解析：解：根据题意，函数f(x)离y轴最近的零点与最大值均在抛物线y=−32x2+12x+1上，令y=0，得−32x2+12x+1=0，解得x=−23或x=1；∴点(−23,0)在函数f(x)的图象上，∴−23ω+φ=0，即φ=23ω①；又令ωx+φ=π2，得ωx=π2−φ②；把①代入②得，x=π2ω−23③；令y=1，得−32x2+12x+1=1，解得x=0或x=13；即π2ω−23=13，解得ω=12π，∴φ=23ω=π3，∴f(x)=sin(π2x+π3).故选：C．根据题意，令y=0，求出点(−23,0)在函数f(x)的图象上，再令y=1，求出点(13,1)在函数f(x)的图象上，从而求出φ与ω的值，即可得出f(x)的解析式．本题考查了解函数y=sin(ωx+φ)以及二次函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．5.答案：C解析：解：∵两个非零向量a⃗、b⃗ 满足|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |，∴(a⃗+b⃗ )2=(a⃗−b⃗ )2，展开得到，a⃗⋅b⃗ =0，故选C．根据两个非零向量a⃗、b⃗ 满足|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |，可得(a⃗+b⃗ )2=(a⃗−b⃗ )2，展开即可．本题考查了向量的模和数量积运算，属于基础题．6.答案：B解析：解：1x <1，即1x−1<0，即1−xx<0，即x(x−1)>0，解得x<0或x>1，故选：B．解不等式1x<1，即可得出x的取值范围．本题考查了求一元二次不等式的解集问题，解题时应按照解一元二次不等式的步骤解答即可，是容易题．7.答案：D解析：本题主要考查三角函数的平移以及三角函数的性质，解决此问题时要注意数形结合思想的运用，属于中档题．函数y=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象向左平移π6个单位后可得y=sin[2(x+π6)+φ](0<φ<π)，再依据它是偶函数得2×π6+φ=π2+kπ,k∈Z，从而求出φ的值．解：∵函数y=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象向左平移π6个单位后可得y=sin[2(x+π6)+φ](0<φ<π)，∵得到的函数是偶函数，∴2×π6+φ=π2+kπ，k∈Z即φ=π6+kπ，k∈Z，∵0<φ<π，∴φ的值π6．故选D．8.答案：C解析：试题分析：因为所以为第二象限角，即，则的集合为，当为偶数时，是第一象限角，当为奇数时，是第三象限角，故选C．考点：本题考查的知识点是象限角的定义以及判断三角函数值得符号的方法．9.答案：A解析：解：对于A，向量a⃗=λb⃗ (λ≠0)且b⃗ ≠0，则λ>0时，向量a⃗与b⃗ 的方向相同，λ<0时，向量a⃗与b⃗ 的方向相反，∴A正确；对于B，当|a⃗|<|b⃗ |时，不能得出a⃗<b⃗ ，因为向量是矢量，不能比较大小，∴B错误；对于C，当|a⃗|=|b⃗ |时，向量a⃗与b⃗ 的长度相等，但不能得出方向相同或相反，如单位向量模长相等，但方向可以是任意的，∴C错误；对于D，当a⃗//b⃗ ，且b⃗ //c⃗时，不能得出a⃗//c⃗，如b⃗ =0⃗时，它的方向是任意的，∴D错误．故选：A．A，由平面向量的共线定理得出λ>0时，方向相同，λ<0时，方向相反；B，向量是矢量，不能比较大小；C，当|a⃗|=|b⃗ |时，不能得出向量a⃗与b⃗ 方向相同或相反；D，a⃗//b⃗ ，且b⃗ //c⃗时，不能得出a⃗//c⃗．本题考查了平面向量的基本概念应用问题，是基础题．10.答案：B解析：解：对于g(x)=x，构造F(x)=g(x)−g′(x)=x−1，依题意，函数F(x)的零点就是函数g(x)的“新驻点”，得a=1；，对于ℎ(x)=ln(x+1)，构造G(x)=ℎ(x)−ℎ′(x)=ln(x+1)−1x+1>0，∴G(x)的零点b∈(0,1)；G(x)单调递增，且G(0)=−1<0，G(1)=ln2−12对于t(x)=x3−1，构造H(x)=t(x)−t′(x)=x3−3x2−1，H′(x)=3x2−6x=3x(x−2)，当x∈(−∞,0)∪(2,+∞)上，H′(x)>0；当x∈(0,2)上，H′(x)<0．∴H(x)的增区间为(−∞,0)，(2,+∞)；减区间为(0,2)．∵H(0)=−1<0，∴H(x)只有1个零点，∵H(3)=−1<0，H(4)=15>0，∴H(x)的零点c∈(3,4)．综上可得，c>a>b，故选：B．通过构造函数F(x)=f(x)−f′(x)，f(x)的“新驻点”就是函数F(x)的零点，再依次确定a，b，c的范围得答案．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查零点存在定理的应用，属于中档题．11.答案：ABC解析：解：∵f(x)+f(−x)=0，即f(−x)=−f(x)，∴函数为奇函数，故A正确；=3，故∵f(x+6)=−f(x)，而f(−x)=−f(x)，∴f(x+6)=f(−x)，得函数的对称轴为x=6+02C正确；∵f(x+6)=−f(x)，∴f(x+12)=−f(x+6)=f(x)，即f(x+12)=f(x)，∴f(x)的最小正周期是12，故D错误；对任意的x1，x2∈[−3,0]，当x1≠x2时，都有x1f(x1)+x2f(x2)<x1f(x2)+x2f(x1)，由x1f(x1)+x2f(x2)<x1f(x2)+x2f(x1)化简得(x1−x2)⋅(f(x1)−f(x2))<0，∴x∈[−3,0]时，f(x)为减函数，∵函数为奇函数，∴x∈[0,3]时，f(x)为减函数，又∵函数f(x)关于x=3对称，∴x∈[3,6]时，f(x)为增函数．∵f(x)的最小正周期是12，∴x∈[−9,−6]的单调性与x∈[3,6]时的单调性相同，故x∈[−9,−6]时，f(x)单调递增，故B正确．故选：ABC．由函数奇偶性的定义判断A；直接求出函数的对称轴与正周期判断C与D；把已知不等式变形，结合函数的周期性与对称性可得函数f(x)在[−9,−6]上的单调性判断B．本题考查抽象函数的性质，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题．12.答案：ACD解析：直接利用函数的性质：函数的奇偶性，复合函数的单调性、函数的最值判断A、B、C、D的结论即可．本题考查的知识要点：函数的奇偶性，复合函数的单调性，函数最值的求法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属中档题．)x2−|x|−2，满足f(−x)=f(x)，所以函数为偶函数，故A正确，B错误．解：对于A：函数f(x)=(12对于C ：函数f(x)=(12)x2−|x|−2，令u =x 2−|x |−2，则y =(12)u，是单调递减的函数，在(0,+∞)上u =x 2−x −2，当x =12时,u min =−94， 所以f(x)的最大值为f(12)=4√24，故C 正确；对于D ：结合C 可得函数f(x)的在(0,12)单调递增，函数在(12,+∞)单调递减， 因为函数f(x)为偶函数，所以递增区间为(−∞,−12)和(0,12)，故D 正确． 故选：ACD ．13.答案：(2,+∞)解析：解：∵|2x −1−log 3(x −1)|<|2x −1|+|log 3(x −1)|等价于2 x −1与log 3 (x −1)同号 ∴{2x −1>0log 3(x −1)>0，解得x >2；或{2x −1<0log 3(x −1)<0，x ∈⌀， ∴不等式|2x −1−log 3(x −1)|<|2x −1|+|log 3(x −1)|的解集是(2,+∞)． 故答案为：(2,+∞)．由|2x −1−log 3(x −1)|<|2x −1|+|log 3(x −1)|⇒2x −1与log 3(x −1)同号，从而可求得其解集． 本题考查绝对值不等式，关键在于分析出2x −1与log 3(x −1)同号，也是难点所在，属于中档题．14.答案：36解析：解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4−k,4)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2k,9)； ∵A ，B ，C 三点共线；∴存在实数λ，使AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，带入坐标得： {4−k =−2λk 4=9λ，解得，k =36． 故答案是：36．根据共线向量基本定理，存在实数λ，使AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，带入坐标即可求出k ． 对共线向量基本定理掌握熟练了，解这道题是比较简单的．15.答案：−3<m ≤−34解析：解：函数f(x)=x 3+mx 是区间[−1,1]上的平均值函数，故有x 3+mx =f(1)−f(−1)1−(−1)在(−1,1)内有实数根． 由x 3+mx =f(1)−f(−1)1−(−1)⇒x 3+mx −m −1=0，解得x 2+m +1+x =0或x =1．又1∉(−1,1)∴x 2+m +1+x =0的解为：−1±√−3−4m2，必为均值点，即−1<−1+√−3−4m2<1⇒−3<m ≤−34．−1<−1−√−3−4m 2<1⇒−12<m ≤−34∴所求实数m 的取值范围是−3<m ≤−34． 故答案为：−3<m ≤−34．函数f(x)=x 3+mx 是区间[−1,1]上的平均值函数，故有x 3+mx =f(1)−f(−1)1−(−1)在(−1,1)内有实数根，求出方程的根，让其在(−1,1)内，即可求出实数m 的取值范围．本题主要是在新定义下考查方程根的问题．在做关于新定义的题目时，一定要先认真的研究定义理解定义，再按定义解答．16.答案：①③解析：先判断出命题p 1，p 2的真假，从而判断出复合命题的真假即可．本题考查了三角函数、对数函数的性质、考查函数的零点问题，考查复合命题的判断，是一道中档题． 解：关于命题p 1：函数y =lntanx 与y =12ln 1−cos2x1+cos2x 是同一函数； 对于函数y =12ln 1−cos2x1+cos2x =12lntan 2x =ln√tan 2x ，要求tanx ≠0， 而函数y =lntanx 则要求tanx >0， 故命题p 1是假命题，￢p 1是真命题；关于命题p 2：已知x 0是函数f(x)=11−x +2x 的一个零点， 令f(x)=0，得：2x =1x−1， 令g(x)=2x ，ℎ(x)=1x−1，画出函数g(x)和ℎ(x)的图象，如图示：由图象得：若1<x1<x0<x2，则f(x1)<0<f(x2)，故命题p2是真命题，￢p2是假命题；所以①p1∨p2,③(￢p1)∧p2是真命题，②(￢p1)∧(￢p2)，④p1∨(￢p2)是假命题．故答案为①③．17.答案：(1)①当时，函数是偶函数；②当时，是非奇非偶函数；(2)略；(3)。

深圳市宝安区高三期末考试数学（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.复数3(2i)+的实部与虚部之和是（）A.7B.13C.21D.272.已知集合(){}(){}2,21,,31A x y y x x B x y y x ==--==+∣∣，则A B ⋂的元素个数是（）A.0B.1C.2D.无数3.某单位有职工500人，其中男性职工有320人，为了解所有职工的身体健康情况，按性别采用分层抽样的方法抽取100人进行调查，则抽取到的男性职工的人数比女性职工的人数多（）A.28B.36C.52D.644.“01x ≤≤”是“11x≥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知函数()54f x x x a =++在()1,1-内有零点，则a 的取值范围是（）A.()5,5- B.()(),55,-∞-⋃+∞ C.[]5,5- D.][(),55,∞∞--⋃+6.如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点,,A B C ，其中点,A B 在该抛物线上，点C 在y 轴上，若57,2FA FB ==，则AB BC=（）A.83B.72C.73D.37.若函数()()2cos cos f x x x ϕ=-+7，则常数ϕ的值可能是（）A.π6B.π3C.2π3 D.5π68.已知H 是球O 的直径AB 上一点，:1:2AH HB =，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，M 为α上的一点，且24MH =，过点M 作球O 的截面，则所得的截面面积最小的圆的半径为（）A.142B.114C.144D.112二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（）A.若2537a a a =，则{}n a 是等比数列B.若{}n a 是等比数列，则2537a a a =C.若31nn S =-，则{}n a 是等比数列D.若{}n a 是等比数列，且3nn S a =+，则1a =-10.直线():2310l m x y m +--+=与圆22:244C x y x y +-+=，则（）A.圆C 的半径为2B.直线l 过定点()1,1C.直线l 与圆C 一定有公共点D.圆C 的圆心到直线l 的距离的最大值是311.若直线y ax b =+与曲线2ln y x =+相切，则a b +的取值可能为（）A.1B.2C.3D.612.正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，D ，E ，F 分别为1AA ，1BB ，1CC 的中点，P 为棱1CC 上的动点，则（）A .平面1AB F ⊥平面11ABB AB.点1B 到平面BCD 的距离为C.1DB 与DP 所成角的余弦值的取值范围为13,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.以F 为球心，3为半径的球面与侧面11ABB A 的交线长为9三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知单位向量,a b满足2a b += a b -= __________.14.函数()(()3log R f x x a a =+-∈是奇函数，则()4f a =__________.15.为了检查学生的身体素质情况，从田径类3项，球类2项，武术类2项共7项项目中随机抽取3项进行测试，则恰好抽到两类项目的概率是__________.16.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为(),0F c -，直线:30l x y c -+=与C 交于A ，B 两点，若3AB AF =，则C 的离心率是__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且cos213cos B B =-.（1）求角B 的值；（2）若b ABC = 的面积为，求ABC 的周长.18.在等差数列{}n a 中，375818,24a a a a +=+=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若1(1)nn n n b a a +=-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S .19.已知某地中学生的男生和女生的人数比例是3:2，为了解该地中学生对羽毛球和乒乓球的喜欢情况，现随机抽取部分中学生进行调查，了解到该地中学生喜欢羽毛球和乒乓球的概率如下表：男生女生只喜欢羽毛球0.30.3只喜欢乒乓球0.250.2既喜欢羽毛球，又喜欢乒乓球0.30.15（1）从该地中学生中随机抽取1人，已知抽取的这名中学生喜欢羽毛球，求该中学生也喜欢乒乓球的概率；（2）从该地中学生中随机抽取100人，记抽取到的中学生既喜欢羽毛球，又喜欢乒乓球的人数为X ，求X 的分布列和期望.20.如图，在圆锥SO 中，AB 是圆O 的直径，且SAB △是边长为4的等边三角形，,C D 为圆弧AB 的两个三等分点，E 是SB 的中点.（1）证明：DE //平面SAC ；（2）求平面SAC 与平面SBD 所成锐二面角的余弦值.21.已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的离心率是3，点(P 在C 上.（1）求C 的标准方程；（2）已知直线l 与C 相切，且与C 的两条渐近线分别交于,A B 两点，O 为坐标原点，试问OA OB ⋅是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.22.已知函数()3f x x x =-.（1）求()f x 的极值；（2）已知()()ππ0,,sin cos tan 26mf nf ααα⎛⎫∈+= ⎪⎝⎭，证明：32m n +>.深圳市宝安区高三期末考试数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.复数3(2i)+的实部与虚部之和是（）A.7B.13C.21D.27【答案】B 【解析】【分析】根据复数的运算求解即可.【详解】因为()()()()322(2i)44i i2i 34i 2i 63i 8i 4i211i +=+++=++=+++=+，所以复数3(2i)+的实部与虚部之和是21113+=，故选：B.2.已知集合(){}(){}2,21,,31A x y y x x B x y y x ==--==+∣∣，则A B ⋂的元素个数是（）A.0B.1C.2D.无数【答案】C 【解析】【分析】依题意，A B ⋂转换为两个图象交点问题，两函数联立，转为一元二次方程解得个数问题，从而得到答案.【详解】联立221,31,y x x y x ⎧=--⎨=+⎩整理得2520x x --=.由()2(5)412330∆=--⨯⨯-=>，得原方程组有两组解，即A B ⋂中有2个元素，故选：C.3.某单位有职工500人，其中男性职工有320人，为了解所有职工的身体健康情况，按性别采用分层抽样的方法抽取100人进行调查，则抽取到的男性职工的人数比女性职工的人数多（）A.28B.36C.52D.64【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可得解.【详解】由题意可知抽取到的男性职工人数为10032064500⨯=，女性职工人数为1006436-=，则抽取到的男性职工的人数比女性职工的人数多643628-=.故选：A .4.“01x ≤≤”是“11x≥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】对11x≥可得01x <≤，然后根据充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】由11x ≥，则110x -≥，即10xx -≥，即()100x x x ⎧-≥⎨≠⎩，解得得01x <≤，则01x ≤≤不能推出11x ≥，11x≥能推出01x ≤≤，则“01x ≤≤”是“11x≥”的必要不充分条件.故选：B.5.已知函数()54f x x x a =++在()1,1-内有零点，则a 的取值范围是（）A.()5,5- B.()(),55,-∞-⋃+∞ C.[]5,5- D.][(),55,∞∞--⋃+【答案】A 【解析】【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理，即可列式求解.【详解】5y x =是增函数，4y x a =+也是增函数，所以()f x 是R 上的增函数.因为()f x 在()1,1-内有零点，所以()()11401140f a f a ⎧-=--+<⎪⎨=++>⎪⎩，解得55a -<<.故选：A6.如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点,,A B C ，其中点,A B 在该抛物线上，点C 在y 轴上，若57,2FA FB ==，则AB BC=（）A.83B.72C.73D.3【答案】D 【解析】【分析】根据抛物线定义可求出,A B x x ，根据三角形相似即可求出AB BC.【详解】设(),A A A x y ,(),B B B x y ，由57,2FA FB ==，根据抛物线定义可得517,12A B x x +=+=，故36,2A B x x ==，，过A ，B 分别作y 轴的垂线，过B 作x 轴的垂线，垂足为E ，明显ABE BCM ，所以362332A BB CAB x x BCx x --===-.故选：D7.若函数()()2cos cos f x x x ϕ=-+，则常数ϕ的值可能是（）A.π6B.π3C.2π3 D.5π6【答案】B 【解析】【分析】根据两角差的余弦以及辅助角公式对()()2cos cos f x x x ϕ=-+化简，表示出最大值，进而得到答案.【详解】因为()()2cos cos 2sin sin cos 2sin sin 2cos 1cos f x x x x x xϕϕϕϕ=++=++()sin x α=+，其中s t 2co 12i an s n ϕαϕ+=，=所以1cos 2ϕ=，对于A 选项，当π6ϕ=，πcos co s 62ϕ==，故A 错误；对于B 选项，当π3ϕ=，πcos co 1s 32ϕ==，故B 正确；对于C 选项，当2π3ϕ=，2πcos cos213ϕ==-，故C 错误；对于D 选项，当5π6ϕ=，5πcos cos 26ϕ==-，故D 错误，故选：B.8.已知H 是球O 的直径AB 上一点，:1:2AH HB =，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，M 为α上的一点，且4MH =，过点M 作球O 的截面，则所得的截面面积最小的圆的半径为（）A.142B.114C.144D.112【答案】C 【解析】【分析】设截得的截面圆的半径为r ，球的半径为R ，由平面几何知识得截面与球心的距离为13R ，利用勾股定理求得2R 的值，由题意可知球心O 到所求截面的距离d 最大时截面面积最小，利用面积公式，即可得答案.【详解】如图，设截得的截面圆的半径为r ，球O 的半径为R ，因为:1:2AH HB =，所以13OH R =.由勾股定理，得222R r OH =+，由题意得2ππ,1r r ==，所以22113R R ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得298R =，此时过点M 作球O 的截面，若要所得的截面面积最小，只需所求截面圆的半径最小.设球心O 到所求截面的距离为d ，所求截面的半径为r '，则r '=所以只需球心O 到所求截面的距离d 最大即可，而当且仅当OM 与所求截面垂直时，球心O 到所求截面的距离d 最大，即max12d OM ===，所以min 4r =='.故选：C二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（）A.若2537a a a =，则{}n a 是等比数列B.若{}n a 是等比数列，则2537a a a =C.若31nn S =-，则{}n a 是等比数列D.若{}n a 是等比数列，且3nn S a =+，则1a =-【答案】BCD 【解析】【分析】举特列可判断A ；由等比数列的性质可判断B ；由31nn S =-，得1131n n S --=-，两式相减可得123n n a -=⨯可判断C ；由等比中项的性质可判断D .【详解】当0n a =时，满足2537a a a =，但{}n a 不是等比数列，则A 错误由等比数列的性质可知2537a a a =，则B 正确.由31nn S =-，得1131n n S --=-，则()11232n n n n a S S n --=-=⨯≥，当n 1=时，112a S ==，则123n n a -=⨯，从而可知{}n a 是等比数列，则C 正确.由3nn S a =+，得1233,9,27a a S a S a =+=+=+.由等比数列的性质可知2213a a a =，22113326,3,18a S S a a a S S =-==+=-=，即()26183a =+，解得1a =-，再代入结合C 选项可知此时{}n a 为等比数列，则D 正确.故选：BCD .10.直线():2310l m x y m +--+=与圆22:244C x y x y +-+=，则（）A.圆C 的半径为2B.直线l 过定点()1,1C.直线l 与圆C 一定有公共点D.圆C 的圆心到直线l 的距离的最大值是3【答案】BCD 【解析】【分析】将圆的方程化为标准方程，即可得出圆心、半径，判断A 项；整理直线方程，解102310x x y -=⎧⎨-+=⎩，即可得出定点坐标；直线l 恒过圆上点()1,1，即可判断C ；设()1,1A ，当AC l ⊥时，距离最大，根据点到直线的距离，求出，即可判断D .【详解】对于A 项，将圆22:244C x y x y +-+=化为标准方程可得，()()22129x y -++=，所以圆C 的圆心坐标为()1,2-，半径为3.故A 项错误；对于B 项，直线():2310l m x y m +--+=可化为()()12310m x x y -+-+=，由102310x x y -=⎧⎨-+=⎩可得，11x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 过定点()1,1，故B 项正确；对于C 项，因为点()1,1在圆C 上，直线l 过定点()1,1，所以，直线l 与圆C 一定有公共点.故C 项正确；对于D 项，设()1,1A ，当AC l ⊥时，点C 到直线l 的距离最大，所以，圆C 的圆心到直线l3=，故D 项正确.故选：BCD .11.若直线y ax b =+与曲线2ln y x =+相切，则a b +的取值可能为（）A.1B.2C.3D.6【答案】BCD 【解析】【分析】设出切点，利用导数几何意义得出01a x =，由切点既在直线上又在曲线上得出012lnb x +=+，由此将a b +转化为函数0()g x 求值域可得.【详解】设切点为()00,2ln x x +，因为1(2ln )x x'+=，所以01a x =.又因为切点()00,2ln x x +在直线y ax b =+上，所以002ln 1x ax b b +=+=+，解得01ln b x =+，所以000)11l ,(0n a x x b x +=+>+，令()11ln g x x x =++，则()22111x g x x x x-=-+='，令()0g x '=，得1x =，当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()min ()12g x g ==，又当,()→+∞→+∞x g x .故a b +的取值范围为[)2,+∞.故选：BCD.12.正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，D ，E ，F 分别为1AA ，1BB ，1CC 的中点，P 为棱1CC 上的动点，则（）A.平面1AB F ⊥平面11ABB AB.点1B 到平面BCD 的距离为C.1DB 与DP 所成角的余弦值的取值范围为13,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.以F 为球心，3为半径的球面与侧面11ABB A 的交线长为9【答案】ACD 【解析】【分析】对A ，利用面面垂直的判定即可证明，对B 利用等体积法即可求出距离，对C 建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法即可求出其范围，对D ，作出交线，将立体平面化求解即可.【详解】对于A ，取1AB 的中点G ，连接FG ，DE ，易知G 也是DE 的中点，在1AB F △中，因为1FA FB =，G 为1AB 的中点，所以1FG AB ⊥，在DEF 中，因为FD FE =，G 为DE 的中点，所以FG DE ⊥，又因为1AB ，DE ⊂平面11ABB A ，1AB DE G = ，所以FG ⊥平面11ABB A ．又因为FG ⊂平面1AB F ，所以平面1AB F ⊥平面11ABB A ，A 正确．对于B ，设点1B 到平面BCD 的距离为h ，易知1222BCD S =⨯= ，112222BB D S =⨯⨯=△，取AB 中点为M ，连接CM ，因为CA CB =，则CM AB ⊥，因为1BB ⊥底面ABC ，且CM ⊂面ABC ，则1BB CM ⊥，又因为1,AB BB ⊂平面1ABB ，且1AB BB B Ç=，所以CM ⊥平面1ABB ，且CM =，因为11B BCD C BB D V V --=，所以112233h ⨯=⨯，解得h =，B 错误．对于C ，取BC 的中点Q ，连接AQ ，易知AQ BC ⊥．以A 为坐标原点，向量CB ，AQ ，1AA的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则()0,0,1D.()12B，设()P t -，02t ≤≤，()1DB =，()1DP t =--，设1DB 与DP 所成的角为θ，则cos θ==．令1u t =-（11u -≤≤），则cos θ=，当0u =即1t =时，5cos 5θ=；当01u <≤，即12t <≤时，cos θ=根据对勾函数1y u u =+在(]0,1上单调递减可知3cos 55θ<≤；当10u -≤<，即01t ≤<时，同理根据对勾函数1y u u =+在[)1,0-上单调递减可知15cos 55θ≤<．综上，1DB 与DP 所成角的余弦值的取值范围为13,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C 正确．对于D ，由A 选项中的结论知FG ⊥平面11ABB A，FG =．又因为球面的半径为3，所以以F 3为半径的球面与侧面11ABB A 的交线（圆的一部分）的3=．如图，3GM =，1GE =，所以cos 2MGE ∠=，解得π6MGE ∠=，由圆与正方形的对称性知π6MGN ∠=，所以球面与侧面11ABB A 的交线长为π4369⨯⨯=，D 正确．故选：ACD.【点睛】关键点睛：本题B 选项关键是利用等体积法求出点到平面距离，C 选项关键是建立空间直角坐标系，设()P t -，得到线线角表达式，再结合对勾函数单调性即可得到其范围.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知单位向量,a b满足2a b += a b -= __________.【解析】【分析】利用向量数量积的运算律及已知可得12a b ⋅=- ，再由运算律求a b - 即可.【详解】因为2a b += 22443a a b b +⋅+= ，所以12a b ⋅=- ，则222()23a b a a b b -=-⋅+= ，故a b -=r r .14.函数()(()3log R f x x a a =+-∈是奇函数，则()4f a =__________.【答案】1【解析】【分析】根据奇函数的性质，结合对数运算，即可求解a ，再代入函数解析式求值.【详解】因为()(3log f x x a =+-，所以()(3log f x x a -=-+-，因为()f x 是奇函数，所以()()0f x f x +-=，即((33log log 0x a x a +-+-+-=，所以32log 92a ==，解得1a =，则()(34log 411f a =-=.故答案为：115.为了检查学生的身体素质情况，从田径类3项，球类2项，武术类2项共7项项目中随机抽取3项进行测试，则恰好抽到两类项目的概率是__________.【答案】2235【解析】【分析】利用组合应用问题，结合排除法求出试验及所求概率的事件的基本事件数，再利用古典概率公式计算即得.【详解】从这7项项目中随机抽取3项的情况有37C 35=种，抽取的3项属同一类的情况有33C 1=种，抽取的3项包含三类的情况有111322C C C 12=种，则符合条件的情况有3511222--=种，所以所求概率为2235.故答案为：223516.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为(),0F c -，直线:30l x y c -+=与C 交于A ，B 两点，若3AB AF =，则C 的离心率是__________.【答案】9【解析】【分析】依题意，设()()1122,,,A x y B x y ，因为3AB AF =，则有212y y =-，直线方程与椭圆方程联立，借助韦达定理得到228110c a =，从而得到离心率.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，因为3AB AF =，所以1212y AF y BF==，所以212y y =-.联立222230,1,x y c x y ab -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()22224960a b y b cy b +--=，则21212269b c y y y a b +=-=+，412229b y y a b =-+，从而22422226299b c b a b a b ⎛⎫-⋅-=- ⎪++⎝⎭，整理得228110c a =，故9c e a ==，故答案为：109.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且cos213cos B B =-.（1）求角B 的值；（2）若b ABC =的面积为，求ABC 的周长.【答案】（1）π3B =（2）10+【解析】【分析】（1）根据已知条件利用二倍角余弦公式化简求得cos B ，求得结果；（2）由三角形面积公式求得ac ，再利用余弦定理可求得a c +，从而得三角形周长．【小问1详解】因为cos213cos B B =-，所以22cos 113cos B B -=-，所以22cos 3cos 20B B +-=，所以()()2cos 1cos 20B B -+=，则1cos 2B =或cos 2B =-（舍去）.因为0πB <<，所以π3B =.【小问2详解】因为ABC的面积为，所以1sin 24ac B ac ==24ac =.由余弦定理可得22222cos ()3b a c ac B a c ac =+-=+-，则22()324a c =+-⨯，即2()100a c +=，解得10a c +=.故ABC的周长为10a b c ++=+.18.在等差数列{}n a 中，375818,24a a a a +=+=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若1(1)nn n n b a a +=-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S .【答案】（1）21n a n =-（2）284n n +【解析】【分析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意可得11281821124a d a d +=⎧⎨+=⎩，解方程即可求出1a 1,d 2==，再由等差数列的通项公式求出{}n a ；（2）由（1）可得()2(1)41nn b n=--，再由分组求和法和等差数列的前n 项和公式求解即可.【小问1详解】设数列{}n a 的公差为d ，则371581281821124a a a d a a a d +=+=⎧⎨+=+=⎩，解得1a 1,d 2==，.故()1121n a a n d n =+-=-.【小问2详解】由（1）可得()()()2(1)2121(1)41nn n b n n n =--+=--，则222124(21)14(2)1164n n b b n n n -⎡⎤⎡⎤+=---+-=-⎣⎦⎣⎦，故()()()()212342*********n n n S b b b b b b n -=++++++=+++- ()212164842n nn n +-==+.19.已知某地中学生的男生和女生的人数比例是3:2，为了解该地中学生对羽毛球和乒乓球的喜欢情况，现随机抽取部分中学生进行调查，了解到该地中学生喜欢羽毛球和乒乓球的概率如下表：男生女生只喜欢羽毛球0.30.3只喜欢乒乓球0.250.2既喜欢羽毛球，又喜欢乒乓球0.30.15（1）从该地中学生中随机抽取1人，已知抽取的这名中学生喜欢羽毛球，求该中学生也喜欢乒乓球的概率；（2）从该地中学生中随机抽取100人，记抽取到的中学生既喜欢羽毛球，又喜欢乒乓球的人数为X ，求X 的分布列和期望.【答案】（1）49；（2）分布列见解析，24.【解析】【分析】（1）根据给定条件，结合条件概率公式求解即得.（2）利用（1）的信息，结合二项分布求出分布列的期望.【小问1详解】记事件A 表示从该地中学生中随机抽取1人，被抽取的这名中学生喜欢羽毛球，事件B 表示从该地中学生中随机抽取1人，被抽取的这名中学生喜欢乒乓球，则()()()0.30.30.60.30.150.40.54P A =+⨯++⨯=，()0.30.60.150.40.24P AB =⨯+⨯=，所以所求的概率()()()0.244|0.549P AB P B A P A ===.【小问2详解】由（1）知从该地中学生中随机抽取1人，被抽取的这名中学生既喜欢羽毛球，又喜欢乒乓球的概率0.24p =，因此()100,0.24X B ~，所以X 的分布列为()()100100C 0.240.760,1,2,3,,100kkkP X k k -==⨯⨯= ，期望为()1000.2424E X =⨯=.20.如图，在圆锥SO 中，AB 是圆O 的直径，且SAB △是边长为4的等边三角形，,C D 为圆弧AB 的两个三等分点，E 是SB 的中点.（1）证明：DE //平面SAC ；（2）求平面SAC 与平面SBD 所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）15【解析】【分析】（1）证明：取SA 的中点F ，连接,,CF EF CD ，由题意可证得DE //CF ，再由线面平行的判定定理证明即可；（2）以O 为坐标原点，,OB OS的方向分别为,y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.求出平面SAC 与平面SBD 的法向量，由二面角的向量公式求解即可.【小问1详解】证明：取SA 的中点F ，连接,,CF EF CD .因为,C D 为圆弧AB 的两个三等分点，所以CD //1,2AB CD AB =.因为,E F 分别为,SB SA 的中点，所以EF //1,2AB EF AB =，则CD //,EF EF CD =，从而四边形CDEF 为平行四边形，故DE //CF .因为DE ⊄平面,SAC CF ⊂平面SAC ，所以DE //平面SAC .【小问2详解】解：以O 为坐标原点，,OB OS的方向分别为,y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.因为4AB SA ==，所以()())0,2,0,0,2,0,3,1,0A B C--，)(3,1,0,0,0,3DS ，则)()3,1,0,0,2,3,3,1,0,AC AS BD BS ===-=(0,2,3-.设平面SAC 的法向量为()111,,m x y z =，则111130,230,m AC x y m AS y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 令11x =，得()1,3,1m = .设平面SBD 的法向量为()222,,n x y z =，则222230,230,n BD x y n BS y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令21x =，得()3,1n = .设平面SAC 与平面SBD 所成锐二面角为θ，则||1cos |cos ,|||||5m n m n m n θ⋅=〈〉==.故平面SAC 与平面SBD 所成锐二面角的余弦值为15.21.已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的离心率是3，点(3P 在C 上.（1）求C 的标准方程；（2）已知直线l 与C 相切，且与C 的两条渐近线分别交于,A B 两点，O 为坐标原点，试问OA OB ⋅是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）2218x y -=（2）是，7-【解析】【分析】（1）将点P 代入方程，结合离心率计算即可得；（2）设出切线方程，联立曲线可得切线中参数的关系，联立切线与渐近线，可得两交点坐标，即可得OA OB ⋅ ，结合所得切线中参数的关系即可得该定值.【小问1详解】由题可得2222231613a b c a c a b ⎧-=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得13a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，故C 的标准方程为2218x y -=；【小问2详解】由题意可知直线l 的斜率存在，设直线()()1122:,,,,l y kx m A x y B x y =+，联立2218y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得()2228116880k x kmx m -++-=，则()()222Δ(16)481880km k m =---=，即2281k m +=.由（1）可知C的渐近线方程为4y x =和4y x =-，不妨设直线l 与直线24y x =的交点为A ，与直线24y x =-的交点为B ，联立24y x y kx m ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即A ⎛⎫，联立24y x y kx m ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即B ⎛⎫ ⎝，则OA ⎛⎫=，OB ⎛⎫= ⎝ ，得22781m OA OB k ⎛⋅== -⎝ ，因为2281k m +=，所以2218m k =-，所以227781m k =--，即7OA OB ⋅=- ，故OA OB ⋅是定值，且该定值为7-.【点睛】关键点睛：本题的关键是利用直线与双曲线相切得到2281k m +=，再求出,A B 的坐标，最后计算OA OB ⋅ 即可.22.已知函数()3f x x x =-.（1）求()f x 的极值；（2）已知()()ππ0,,sin cos tan 26mf nf ααα⎛⎫∈+= ⎪⎝⎭，证明：32m n +>.【答案】（1239-（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先求得()f x 的单调性，进而求得()f x 的极值；（2）先利用题给条件构造出m n +的不等式，再利用（1）的结论即可证得32m n +>.【小问1详解】()3f x x x =-，()213f x x '=-，令()0f x '=，可得33x =±.令()0f x ¢>，可得33x -<<，令()0f x '<，可得3x >，或3x <-所以()f x 在,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在,3⎛-∞- ⎝⎭和3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭,+上单调递减.所以()f x 的极大值为(),39f f x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭的极小值为39f ⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭.【小问2详解】由()()πsin cos tan 6mf nf αα+=，可得22cos sin sin cos 3m n αααα+=，所以cos sin 3sin cos m n αααα+=.由对称性，不妨设π0,4α⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则()cos sin cos 3sin cos m n m n ααααα+=≤+，当且仅当sin cos 2αα==时，等号成立，所以()233sin cos 3sin sin m n αααα+≥=-.由（1）可知()f x 在0,2⎛ ⎝⎦上的最大值为39⎛= ⎝⎭f ，所以()3330sin sin 923sin sin αααα<-≤≥-，当且仅当sin 3α=时，等号成立，因为等号不能同时取到，所以32m n +>.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略：（1）构造差函数()()()h x f x g x =-，根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；（2）根据条件，寻找目标函数，一般思路为利用条件将所求问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.。

高中数学必修二期末考试综合检测试卷第二学期高一期末测试一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知复数z=(1-i)+m(1+i)是纯虚数,则实数m=( )A.-2B.-1C.0D.12.幸福感指数是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标,常用区间[0,10]内的一个数来表示,该数越接近10表示满意程度越高.现随机抽取6位小区居民,他们的幸福感指数分别为5,6,7,8,9,5,则这组数据的第80百分位数是( )A.7B.7.5C.8D.93.已知α为平面,a,b为两条不同的直线,则下列结论正确的是( )A.若a∥α,b∥α,则a∥bB.若a⊥α,a∥b,则b⊥αC.若a⊥α,a⊥b,则b∥αD.若a∥α,a⊥b,则b⊥α4.已知在平行四边形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点,如果=a,=b,那么=( )A.a-bB.-a+bC.a+bD.-a-b5.已知圆锥的表面积为3π,且它的侧面展开图是一个半圆,则该圆锥的体积为( )A.πB.πC.πD.2π6.庆祝中华人民共和国成立70周年的阅兵式彰显了中华民族从站起来、富起来迈向强起来的雄心壮志.阅兵式规模之大、类型之全均创历史之最,编组之新、要素之全彰显强军成就,装备方阵堪称“强军利刃”“强国之盾”,见证着人民军队迈向世界一流军队的坚定步伐.此次大阅兵不仅得到了全中国人的关注,还得到了无数外国人的关注.某单位有6位外国人,其中关注此次大阅兵的有5位,若从这6位外国人中任意选取2位进行一次采访,则被采访者都关注了此次大阅兵的概率为( )A. B. C. D.7.如图,有四座城市A、B、C、D,其中B在A的正东方向,且与A相距120 km,D在A的北偏东30°方向,且与A相距60 km,C在B的北偏东30°方向,且与B相距60 km.一架飞机从城市D出发,以360 km/h 的速度向城市C飞行,飞行了15 min后,接到命令改变航向,飞向城市B,此时飞机距离城市B的距离为( )A.120 kmB.60 kmC.60 kmD.60 km8.如图,在平面直角坐标系xOy中,原点O为正八边形P1P2P3P4P5P6P7P8的中心,P1P8⊥x轴,若坐标轴上的点M(异于原点)满足2++=0(其中1≤i≤8,1≤j≤8,且i,j∈N*),则满足以上条件的点M的个数为( )A.2B.4C.6D.8二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)9.已知复数z满足(1-i)z=2i,则下列关于复数z的结论正确的是( )A.|z|=B.复数z的共轭复数=-1-iC.复平面内表示复数z的点位于第二象限D.复数z是方程x2+2x+2=0的一个根10.某市教体局对全市高一年级学生的身高进行抽样调查,随机抽取了100名学生,他们的身高都处在A,B,C,D,E五个层次内,根据抽样结果得到如下统计图,则下列结论正确的是( )A.样本中女生人数多于男生人数B.样本中B层次人数最多C.样本中E层次的男生人数为6D.样本中D层次的男生人数多于女生人数11.已知事件A,B,且P(A)=0.5,P(B)=0.2,则下列结论正确的是( )A.如果B⊆A,那么P(A∪B)=0.2,P(AB)=0.5B.如果A与B互斥,那么P(A∪B)=0.7,P(AB)=0C.如果A与B相互独立,那么P(A∪B)=0.7,P(AB)=0D.如果A与B相互独立,那么P()=0.4,P(A)=0.412.如图,正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,则下列命题中正确的是( )A.若点M,N分别是线段A'A,A'D'的中点,则MN∥BC'B.点C到平面ABC'D'的距离为C.直线BC与平面ABC'D'所成的角等于D.三棱柱AA'D'-BB'C'的外接球的表面积为3π三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,且bcos C+ccos B=asin A,则A= .14.已知数据x1,x2,x3,…,x m的平均数为10,方差为2,则数据2x1-1,2x2-1,2x3-1,…,2x m-1的平均数为,方差为.15.已知|a|=3,|b|=2,(a+2b)·(a-3b)=-18,则a与b的夹角为.16.如图,在三棱锥V-ABC中,AB=2,VA=VB,AC=BC,VC=1,且AV⊥BV,AC⊥BC,则二面角V-AB-C的余弦值是.四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知向量a=(1,2),b=(4,-3).(1)若向量c∥a,且|c|=2,求c的坐标;(2)若向量b+ka与b-ka互相垂直,求实数k的值.18.(12分)已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,且a=,c=1,A=.(1)求b及△ABC的面积S;(2)若D为BC边上一点,且,求∠ADB的正弦值.从①AD=1,②∠CAD=这两个条件中任选一个,补充在上面的问题中,并解答.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.19.(12分)在四面体A-BCD中,E,F,M分别是AB,BC,CD的中点,且BD=AC=2,EM=1.(1)求证:EF∥平面ACD;(2)求异面直线AC与BD所成的角.20.(12分)溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视,为了普及安全教育,某市组织了一次学生安全知识竞赛,规定每队3人,每人回答一个问题,答对得1分,答错得0分.在竞赛中,甲、乙两个中学代表队狭路相逢,假设甲队每人回答问题正确的概率均为,乙队每人回答问题正确的概率分别为,,,且每人回答问题正确与否相互之间没有影响.(1)分别求甲队总得分为3分与1分的概率;(2)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率.21.(12分)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,点D为线段AC的中点,点E 为线段PC上一点.(1)求证:平面BDE⊥平面PAC;(2)当PA∥平面BDE时,求三棱锥P-BDE的体积.22.(12分)2020年开始,山东推行全新的高考制度.新高考不再分文理科,采用“3+3”模式,其中语文、数学、外语三科为必考科目,满分各150分,另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求,结合自己的兴趣爱好等因素,在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试(6选3),每科满分100分.2020年初受疫情影响,全国各地推迟开学,开展线上教学.为了了解高一学生的选科意向,某学校对学生所选科目进行检测,下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩,以20为组距分成7组:[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300],画出频率分布直方图如图所示.(1)求频率分布直方图中a的值;(2)(i)求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数;(ii)估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(3)为了进一步了解选科情况,在物理、化学、生物三科总分成绩在[220,240)和[260,280)的两组中用比例分配的分层随机抽样方法抽取7名学生,再从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查,求抽取的这2名学生来自不同组的概率.答案全解全析1.B 复数z=(1-i)+m(1+i)=(m+1)+(m-1)i,因为z是纯虚数,所以解得m=-1.2.C 将6个数据按照从小到大的顺序排列为5,5,6,7,8,9,因为6×80%=4.8,所以第5个数据即为这组数据的第80百分位数,故选C.3.B 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面,因此B选项正确,易知A、C、D错误.4.B =-=+-(+)=+--=-+=-a+b.5.A 设圆锥的底面半径为r,母线长为l,依题意有2πr=·2πl,所以l=2r,又圆锥的表面积为3π,所以πr2+πrl=3π,解得r=1,因此圆锥的高h==,于是体积V=πr2h=π×12×=π.6.C 这6位外国人分别记为a,A,B,C,D,E,其中a未关注此次大阅兵,A,B,CD,E关注了此次大阅兵, 则样本点有(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(a,E),(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D ,E),共15个,其中被采访者都关注了此次大阅兵的样本点有10个,故所求概率为=.故选C.7.D 取AB的中点E,连接DE,BD.设飞机飞行了15 min后到达F点,连接BF,如图所示,则BF即为所求.因为E为AB的中点,且AB=120 km,所以AE=EB=60 km,又∠DAE=60°,AD=60 km,所以三角形DAE为等边三角形,所以DE=60 km,∠ADE=60°,在等腰三角形EDB中,∠DEB=120°,所以∠EDB=∠EBD=30°,所以∠ADB=90°,所以BD2=AB2-AD2=1202-602=10 800,所以BD=60 km,因为∠CBE=90°+30°=120°,∠EBD=30°,所以∠CBD=90°,所以CD===240 km,所以cos∠BDC===,因为DF=360×=90 km,所以在三角形BDF中,BF2=BD2+DF2-2×BD×DF×cos∠BDF=(60)2+902-2×60×90×=10 800,所以BF=60 km,即此时飞机距离城市B的距离为60 km.8.D 取线段P i P j的中点Q k,因为2++=0,所以+=-2,即2=-2,所以=-,于是Q k,O,M共线,因为点M在坐标轴上,所以Q k也在坐标轴上,于是满足条件的(i,j)的情况有(1,8),(2,7),(3,6),(4,5),(2,3),(1,4),(5,8),(6,7),即满足条件的点M有8个.9.ABCD 由(1-i)z=2i得z==-1+i,于是|z|=,其共轭复数=-1-i,复数z在复平面内对应的点是(-1,1),位于第二象限.因为(-1+i)2+2(-1+i)+2=0,所以复数z是方程x2+2x+2=0的一个根,故选项A、B、C、D均正确.10.ABC 样本中女生人数为9+24+15+9+3=60,则男生人数为40,故A选项正确;样本中B层次人数为24+40×30%=36,并且B层次占女生和男生的比例均最大,故B层次人数最多,B选项正确;E层次中的男生人数为40×(1-10%-30%-25%-20%)=6,故C选项正确;D层次中,男生人数为40×20%=8,女生人数为9,故D选项错误.11.BD 由于B⊆A,所以A∪B=A,AB=B,于是P(A∪B)=P(A)=0.5,P(AB)=P(A∩B)=P(B)=0.2,故A选项错误;由于A与B互斥,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.5+0.2=0.7,AB为不可能事件,因此P(AB)=0,故B 选项正确;如果A与B相互独立,那么P(AB)=P(A)P(B)=0.1,故C选项错误;P()=P()P()=0.5×0.8=0.4,P(A)=P(A)P()=0.5×0.8=0.4,故D选项正确.12.ACD 因为M,N分别是线段A'A,A'D'的中点,所以MN∥AD',又因为AD'∥BC',所以MN∥BC',故A 选项正确;连接B'C,易证B'C⊥平面ABC'D',因此点C到平面ABC'D'的距离为B'C=,故B选项错误;直线BC与平面ABC'D'所成的角为∠CBC'=,故C选项正确;三棱柱AA'D'-BB'C'的外接球即正方体的外接球,其半径R=,因此其表面积为4π×=3π,故D选项正确.13.答案90°解析由正弦定理可得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,即sin(B+C)=sin 2A,所以sin A=sin2A,易知sin A≠0,所以sin A=1,故A=90°.14.答案19;8解析依题意可得2x1-1,2x2-1,…,2x m-1的平均数为2×10-1=19,方差为22×2=8.15.答案解析设a,b的夹角为θ,依题意有|a|2-a·b-6|b|2=-18,所以32-3×2×cos θ-6×22=-18,解得cos θ=,由于θ∈[0,π],故θ=.16.答案解析取AB的中点D,连接VD,CD,由于VA=VB,AC=BC,所以VD⊥AB,CD⊥AB,于是∠VDC就是二面角V-AB-C的平面角.因为AV⊥BV,AC⊥BC,AB=2,所以VD=,DC=,又VC=1,所以cos∠VDC==.17.解析(1)解法一:因为向量c∥a,所以设c=λa,(1分)则c2=(λa)2,即(2)2=λ2a2,(2分)所以20=5λ2,解得λ=±2.(4分)所以c=2a=(2,4)或c=-2a=(-2,-4).(5分)解法二:设向量c=(x,y).(1分)因为c∥a,且a=(1,2),所以2x=y,(2分)因为|c|=2,所以=2,(3分)由解得或(4分)所以c=(2,4)或c=(-2,-4).(5分)(2)因为向量b+ka与b-ka互相垂直,所以(b+ka)·(b-ka)=0,(6分)即b2-k2a2=0.(7分)因为a=(1,2),b=(4,-3),所以a2=5,b2=25,(8分)所以25-5k2=0,解得k=±.(10分)18.解析(1)由余弦定理得,()2=b2+12-2bcos ,(2分)整理得b2+b-6=0,解得b=2或b=-3(舍去).(5分)所以△ABC的面积S=bcsin A=×2×1×=.(6分)(2)选择条件①.在△ABC中,由正弦定理=,得=,(8分)所以sin B=.(9分)因为AD=AB=1,所以∠ADB=∠B.(10分)所以sin∠ADB=sin B,所以sin∠ADB=.(12分)选择条件②.在△ABC中,由余弦定理的推论,得cos B==.(8分)因为A=,所以∠BAD=-=,(9分)所以sin∠ADB=cos B,即sin∠ADB=.(12分)19.解析(1)证明:因为E,F分别为AB,BC的中点,所以EF∥AC.(2分)因为EF⊄平面ACD,AC⊂平面ACD,所以EF∥平面ACD.(4分)(2)易得EF∥AC,FM∥BD,(5分)所以∠EFM为异面直线AC与BD所成的角(或其补角).(7分)在△EFM中,EF=FM=EM=1,所以△EFM为等边三角形,(10分)所以∠EFM=60°,即异面直线AC与BD所成的角为60°.(12分)20.解析(1)记“甲队总得分为3分”为事件A,“甲队总得分为1分”为事件B.甲队得3分,即三人都答对,其概率P(A)=××=.(2分)甲队得1分,即三人中只有一人答对,其余两人都答错,其概率P(B)=××+××+××=.(5分)所以甲队总得分为3分的概率为,甲队总得分为1分的概率为.(6分)(2)记“甲队总得分为2分”为事件C,“乙队总得分为1分”为事件D.甲队得2分,即三人中有两人答对,剩余一人答错,则P(C)=××+××+××=.(8分)乙队得1分,即三人中只有一人答对,其余两人都答错,则P(D)=××+××+××=.(11分)由题意得,事件C与事件D相互独立.所以甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率为P(C)P(D)=×=.(12分)21.解析(1)证明:因为PA⊥底面ABC,且BD⊂底面ABC,所以PA⊥BD.(1分)因为AB=BC,且点D为线段AC的中点,所以BD⊥AC.(2分)又PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC.(3分)又BD⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面PAC.(4分)(2)因为PA∥平面BDE,PA⊂平面PAC,平面PAC∩平面BDE=ED,所以ED∥PA.(5分)因为点D为AC的中点,所以点E为PC的中点.(6分)解法一:由题意知P到平面BDE的距离与A到平面BDE的距离相等.(7分)所以V P-BDE=V A-BDE=V E-ABD=V E-ABC=V P-ABC=×××2×2×2=.所以三棱锥P-BDE的体积为.(12分)解法二:由题意知点P到平面BDE的距离与点A到平面BDE的距离相等.(7分)所以V P-BDE=V A-BDE.(8分)由题意得AC=2,AD=,BD=,DE=1,(9分)由(1)知,AD⊥BD,AD⊥DE,且BD∩DE=D,所以AD⊥平面BDE,(10分)所以V A-BDE=AD·S△BDE=×××1×=.所以三棱锥P-BDE的体积为.(12分)解法三:由题意得AC=2,AD=,BD=,DE=1,(8分)由(1)知,BD⊥平面PDE,且S△PDE=DE·AD=×1×=.(10分)所以V P-BDE=V B-PDE=BD·S△PDE=××=.所以三棱锥P-BDE的体积为.(12分)22.解析(1)由题图得,(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5+0.007 5+a+0.002 5)×20=1,(1分)解得a=0.005.(2分)(2)(i)因为(0.002+0.009 5+0.011)×20=0.45<0.5,(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5)×20=0.7>0.5,所以三科总分成绩的中位数在[220,240)内,(3分)设中位数为x,则(0.002+0.009 5+0.011)×20+0.012 5×(x-220)=0.5,解得x=224,即中位数为224.(5分)(ii)三科总分成绩的平均数为170×0.04+190×0.19+210×0.22+230×0.25+250×0.15+270×0.1+290×0.05=225.6.(7分)(3)三科总分成绩在[220,240),[260,280)两组内的学生分别有25人,10人,故抽样比为=.(8分)所以从三科总分成绩为[220,240)和[260,280)的两组中抽取的学生人数分别为25×=5,10×=2.(9分)记事件A=“抽取的这2名学生来自不同组”.三科总分成绩在[220,240)内的5人分别记为a1,a2,a3,a4,a5,在[260,280)内的2人分别记为b1,b2.现在这7人中抽取2人,则试验的样本空间Ω={(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,a5),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,a4),(a2,a5),(a2,b1),(a2,b2),(a3,a4) ,(a3,a5),(a3,b1),(a3,b2),(a4,a5),(a4,b1),(a4,b2),(a5,b1),(a5,b2),(b1,b2)},共21个样本点.(10分) 其中A={(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(a4,b1),(a4,b2),(a5,b1),(a5,b2)},共10个样本点.(11分)所以P(A)=,即抽取的这2名学生来自不同组的概率为.(12分)。

宝安区2020－2021学年第一学期期未调研测试卷高一语文2021．01 本试卷共8页，24小题，满分为150分。

考试用时150分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B铅笔把考生号中相应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将答题卡交回。

第Ⅰ卷阅读题（78分）一、古代诗文阅读（本大题12小题，49分）1．根据原文补写岀下列句子中的空缺部分。

（10分）（1）恰同学少年，风华正茂；__________，__________。

（毛泽东《沁园春·长沙》）（2）__________，__________，周公吐哺．天下归心。

（曹操《短歌行》）（3）__________，，不能十步；__________，功在不舍。

（荀子《劝学》）（4）《梦游天姥吟留别》中的李白梦游天姥而非瀛洲，是因为瀛洲__________，而天姥山与之相比，却__________。

（5）秦观在《鹄桥仙·纤云弄巧》里称赞牛郎织女在“七夕”的短暂相会胜过人间凡俗之爱的句子是：__________，__________。

阅读下面这首唐诗，完成2～3题。

（8分）悲善才（节选）李绅东头弟子曹善才，琵琶请进新翻曲。

翠蛾列坐层城①女，笙笛参差齐笑语。

天颜静听朱丝弹，众乐寂然无敢举。

衔花金凤当承拨，转腕拢弦促挥抹，花翻凤啸天上来，徘徊满殿飞春雪。

流莺子母飞上林，仙鹤雌雄唳明月。

【注】①层域：京师。

2．下列对这首诗的理解和赏析，不正确．．．的一项是（）（3分）A．首句点明事因，曹善才精于琵琶，所以新改编了乐曲进献给皇帝欣赏。