高等数学(上册)：03-第3讲数列极限

第二节 数列的极限
一、数列及其简单性质 二、数列的极限 三、数列极限的性质 四、子列
无限！ 再没有其它的问题 如此深刻地打动过人类的心灵.
—— 希尔伯特
极限概念是从常量到变量、从有限到无限, 即从初等数学过渡到高等数学的关键.
极限的思想源远流长.
一、概念的引入
1、割圆术：
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
一、概念的引入
正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A2
R
正6 2n1形的面积 An
A1 , A2 , A3 ,, An ,
S
以极限的记法即
lim
n
An
S
2 截杖问题 庄子(约公元前355~275年)
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
第一天截下的杖长为 X1
1; 2
第二天截下的杖长总和为 X 2
(1)
1 2n
:
1 2
,
1 4
,
1 8
,
,
1 2n
,
… xn … x3
x2
••••• •••••
01
2n
11
1
x1 x
2
48
1 2n
,
有界 (可取 M 1 ). 2
(3) { (1)n1}: 1, 1, 1, 1,, (1)n1,
x2n
–1
0
x 2 n 1
x
1
{(1)n1} 不单调, 但有界 (可取 M 1 ).
o ·1 2·3·4
n
注 不可将这串点·连成曲线.
例1
介绍几个数列
(1) {2n}: 2, 4, 8,, 2n ,
通项 : xn 2n.
x1 x2 … xn …
••••• ••••••••••
x
0 2 4 … 2n …
(2)
1 2n
:
1 2
,
1 4
,
1 8
,
,
1 2n
,
通项 :
xn
1 2n
.
… xn … x3
想想：
有界的数列在数轴上和在直角坐标系 中的图形会是什么样子？
| xn | < M*, n N xn U( 0, M* ), n N
从数轴上看, 有界数数列 { xn } 的全部点 都落在某区间 (－M*, M* ) 中.
xn
( ••••• ••••• )
－M* 0
M*
x
例2 观察例1 中的几个数列：
一个数列有界(有上界, 有下界), 则必有 无穷多个界(上界, 下界).
数列{xn } 的所有上界中的最小者, 称为数列的上确界, 记为 sup xn.
(3)
1
(1)n n
:
0, 1, 0, 1 , 0, 1,, 1 (1)n ,
23
n
x2n1
x2n
x4
•••••
•••••
0
1
1
x1 x3
n
2
M
x2 x
1
1
(1) n
n
不单调,
但有界 (可取
M
1 ).
(4)
n
n
1
:
1 , 2 , 3, , n , 2 3 4 n1
…
1
3. 数列的性质 单调性 有界性
(1) 数列的单调性
若 {xn} 满足 x1 x2 xn , 则称 {xn} 严格单调增加, 记为{xn} .
单调增加 若 {xn} 满足 x1 x2 xn , 则称 {xn}单调增加, 也记为{xn} .
不减少的
数列单调减少的情形怎么定义？ 有谁来说一说.
x2
••••• •••••
01 1
1
2n
8
4
x1 x
1 2
(3) { (1)n1}: 1, 1, 1, 1,, (1)n1, 通项 : xn (1)n1.
x2n
–1
0
所有的偶数项
x 2 n 1
x
1
所有的奇数项
(4)
1
(1)n n
:
0, 1, 0, 1 , 0, 1,, 1 (1)n ,
数列
统称为单调数列
(2) 数列的有界性
回想一下前面讲过的 函数的有界性的情形
我学过吗 ？
若 M 0, 使得当 x I 时, 有 | f (x) | M 成立, 则称函数 f (x) 在区间 I 上有界.
y y f (x) M
yM
I (
O
) x
M y M
数列的有界性的定义
若 M 0, 使得 | xn | M , n N 成立, 则称数列{xn} 有界. 否则称{xn} 是无界的.
x1, x2 , , xn , 称为一个数列, 记为{ xn }.
数列中的每一个数称为数列的一项
xn = f (n) 称为数列的通项或一般项
2. 数列的表示法
公式法 图示法 表格法
运用数轴表示 运用直角坐标系表示
在平面上画出自变量坐标轴和因变量坐标轴, 则数列的几何意义是平面上一串分离的点.
xn
有些数列虽然无界, 但它或者是下方有 界的, 或者是上方有界的.
若 xn M , MR , 则称 { xn} 有上界.
若 xn m , mR， 则称 { xn} 有下界.
{ xn}: 有界 既有上界 又有下界.
m xn M , 取 M * max{ | M |, | m |}, 则 M * xn M *, 即 | xn | M *.
x1 x2 x3 … xn …
•••3 4
…
n n 1
…
1
n
n
1
,
有界(可取 M
1 ).
(5) {2n}: 2, 4, 8,, 2n ,
x1 x2 … xn …
••••• ••••••••••
x
0 2 4 … 2n …
{2n} , 无界 (但下方有界：xn 2 ).
若 {xn} 满足 x1 x2 xn , 则称 {xn} 严格单调增加, 记为{xn} .
单调减少 若 {xn} 满足 x1 x2 xn , 则称 {xn}单调增加, 也记为{xn} .
不增加的
严格单调增加(单调增加) 严格单调减少(单调减少) 单调增加(不减少的) 单调减少(不增加的)
23
n
通项：
xn
1
(1)n n
.
x2n1
x2n
x4
•••••
•••••
0
1
1
x1 x3
n
2
M 所有奇数项
x2 x
1
(5)
n
n
1
:
1 , 2 , 3, , n , 2 3 4 n1
通项 :
xn
n. n 1
x1 x2 x3 … xn …
••••• •••••
x
0
1 2
2 3
3 4
…
n n 1
1 2
1 22
;
第n天截下的杖长总和为
Xn
1 2
1 22
Xn
1
1 2n
概念的引入
1 2n
;
1 (n ).
一、数列及其简单性质
1. 定义
数列也称为序列
设 f (n) 是以正整数集 Z＋ 为定义域的函数.
将 f 的值域 f (Z ) { xn | xn f (n), n N } 中的元素 xn, 按自变量 n 增大的次序排列出来所 得到的一串数：