3第一讲__数列的极限典型例题

证明数列极限的题目及答案题目：证明数列＄a_n ＝＼frac{n}｛n ＋ 1}＄的极限为 1证明：首先，我们需要明确数列极限的定义。

对于数列＄＼｛a_n\｝＄，如果对于任意给定的正数＄＼epsilon$，总存在正整数＄N$，使得当＄n ＞ N$ 时，都有＄｜a_n L| ＜＼epsilon$ 成立，那么就称数列＄＼｛a_n\｝＄的极限为＄L$。

接下来，我们来证明数列＄a_n ＝＼frac{n}｛n ＋ 1}＄的极限为 1。

对于任意给定的正数＄＼epsilon$，要使＄｜a_n 1| ＜＼epsilon$，即＼＼begin{align}＼left|＼frac{n}｛n ＋ 1} 1\right|＆＜＼epsilon\＼＼left|＼frac{n}｛n ＋ 1} ＼frac{n ＋ 1}｛n ＋ 1}＼right|＆＜＼epsilon\＼＼left|＼frac{－1}｛n ＋ 1}＼right|＆＜＼epsilon\＼＼frac{1}｛n ＋ 1}＆＜＼epsilon\＼n ＋ 1 ＆＞＼frac{1}｛＼epsilon}＼＼n ＆＞＼frac{1}｛＼epsilon} 1＼end{align}＼所以，取＄N ＝＼left\frac{1}｛＼epsilon} 1\right$（这里＄＼cdot$ 表示取整），当＄n ＞ N$ 时，就有＄｜a_n 1| ＜＼epsilon$。

因此，根据数列极限的定义，数列＄a_n ＝＼frac{n}｛n ＋ 1}＄的极限为 1。

题目：证明数列＄b_n ＝＼frac{1}｛n}＄收敛于 0证明：给定任意正数＄＼epsilon$，要使＄｜b_n 0| ＜＼epsilon$，即＼＼begin{align}＼left|＼frac{1}｛n} 0\right|＆＜＼epsilon\＼＼frac{1}｛n}＆＜＼epsilon\＼n ＆＞＼frac{1}｛＼epsilon}＼end{align}＼所以，取＄N ＝＼left\frac{1}｛＼epsilon}＼right$，当＄n ＞N$ 时，就有＄｜b_n 0| ＜＼epsilon$。

数列的极限例题及详解
极限是数学分析中的一个重要概念，它描述了某种函数在某点附近的行为趋势，同时提供了有效的技术来解决数列的极限问题。

我们本文将讨论数列的极限问题，包括定义和几个例子。

一.定义
极限是一个抽象的概念，它指的是一个数列中的每一项都趋近一定的值，这个值称为数列的极限。

另外，数列的极限也称为极限点或极限值。

当然，数学家们对极限的定义更加严格，但这些都不重要，我们只需要理解数列的极限概念即可。

二.例题
1.设a_n=(-1)^n/n，求a_n的极限。

解：
首先，由于(-1)^n为一个交替变化的算子，它的值在n变大时无论n的奇偶性如何，(-1)^n的值都保持不变，因此极限就是
(-1)^n/n的值。

考虑n变大时，(-1)^n/n的值接近于0，所以a_n
的极限就是0.
2.设a_n=(1+1/n)^n，求a_n的极限。

解：
这个例题比较特殊，因为算子(1+1/n)^n这里n和指数相关，考虑当n变大时，(1+1/n)^n的值就接近于e，所以a_n的极限就是e.
3.设a_n=1/n，求a_n的极限。

解：
由于1/n的值是从1开始逐渐减小，当n变大时，1/n的值就逐渐接近于0，所以a_n的极限就是0.
三.总结
本文讨论了数列的极限问题，先介绍了数列极限的定义，然后举例说明了3种数列的极限问题，这其中包含了数列算子计算中比较常见的概念，如交替系数，和指数极限等。

希望本文对读者有所帮助。

课时3 数列的极限一、复习目标理解数列极限的概念，会判断一些简单数列的极限，了解数列极限的定义，掌握极限的四则运算法则，会求某些数列的极限.二、例题讲解：例1．求下列极限：（1）322312lim 22=++∞→n n n n ； （2）21)43(lim 22-=+-+∞→n n n n n ； （3）23)23741(lim 2222=-++++∞→n n n n n n ； （4）]2,0[,cos sin cos 3sin 2lim πααααα∈++∞→n n n n n 解：（4）当4πα=时，原式=25；当40πα<≤时，则有,1tan 0<≤α所以 原式3tan 13tan 2lim =++=∞→ααn n n ，当42παπ>≥时，则有,1cot 0<≤α所以 原式2cot 1cot 32lim =++=∞→ααn n n 例2．已知无穷等比数列}{n a 的各项和为3，前3项的和为926，求这个数列中所有奇数项的和. 解：设等比数列}{n a 的公比为q ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=-,9261)1(,31311qq a q a 解得⎪⎩⎪⎨⎧==2311a q ， 等比数列的各奇数项仍成等比数列，其公比为91，故所有奇数项的和为491291=-. 例3．已知数列}{n a 满足条件：)0(,121>==r r a a ，且}{1+n n a a 是公比为q )0(>q的等比数列，设).,2,1(212 =+=-n a a b n n n 求n b 和nn S 1lim ∞→其中n n b b b S ++=21. 解：∵,2121q a a a a a a n n n n n n ==++++∴,01.0121222121≠+=≠=++=-+++r b q a a a a b b nn n n n n 所以}{n b 是首项为r +1公比为q 的等比数列，从而1)1(-+=n n q r b .当1=q 时，01lim ),1(=+=∞→nn n S r n S ； 当10<<q 时，r q S q q r S nn n n +-=--+=∞→111lim ,1)1)(1(； 当1>q 时，01lim ,1)1)(1(=--+=∞→nn n n S q q r S . 所以⎪⎩⎪⎨⎧<<+-≥=∞→.10,11,1,01lim q rq q S n n 三、同步练习：《高考三人行—学生用书》P337课时4 函数的极限一、复习目标1．熟悉函数极限的概念能正确表述并会推断简单函数的极限.2．熟悉函数极限的运算、能对函数式变型后推算函数的极限.二、例题讲解例1．判断下列函数的极限是否存在：（1）)(lim ),0(11),0(1)(2x f x xx x x f x ∞→⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+≤=； （2）)(lim ),0(1),0(2)(0x g x x x g x →⎩⎨⎧<->=；（3）)(lim ),1(1),1(1)(1x p x x x x x p x →⎩⎨⎧<+->-=； （4）)(lim ),1()(x f a a x f x x∞→>=.解：（1）显然，当-∞→x 时，0)(→x f ；当+∞→x 时，1)(→x f .即≠+∞→)(lim x f x )(lim x f x -∞→，故)(lim x f x ∞→不存在. （2）显然，1)(lim ,2)(lim 00-==-+→→x g x g x x ，故)(lim 0x f x →不存在. （3）∵0)(lim ,0)(lim 11==-+→→x p x p x x ，∴0)(lim 1=→x p x . （4）当+∞→x 时，+∞→x a ，当-∞→x 时，0→x a ，所以)(lim x f x ∞→不存在. 例2．求下列各式的极限：（1）53512lim 222-=+--→x x x x ； 点评：当)(x f 在0x 处连续时，则可用直接代入法，即)(lim 0x f x x →=)(0x f . （2）6131lim 93lim 323=+=--→→x x x x x ； （3）21111lim 211lim 22=+-=---→→x x x x x ； （4）1)1311(lim 31-=---→x x x ； （5）21)(lim 2=-++∞→x x x x ； （6）)]1()1(1[lim 1lim 21121++++++++=--+++--→→x x x x x n x x x n n x n x 2)1(+=n n . 例3．已知n x mx x x =+++-→22lim 22，求m 、n 的值. 解：∵,22lim 22n x mx x x =+++-→∴2-=x 为方程022=++mx x 的根，3=m ， 又1)1(lim 223lim 222-=+=+++-→-→x x x x x x ，∴3,1=-=m n .。

数列极限典型例题字数限制为2500字的文章极为冗长，因此我会尝试为您写一篇约500字的短文，探讨数列中的极限典型例题。

数列是数学中非常重要的概念，它在各个数学分支中都有广泛的应用。

而数列的极限是数列中最为重要的概念之一。

本文将介绍数列极限的基本定义以及探讨一些典型的数列极限例题。

首先，什么是数列的极限呢？简单来说，数列的极限表示数列中的值在趋于无限接近某个确定的值，这个确定的值就被称为数列的极限。

我们用符号“lim”来表示数列的极限。

现在我们来看一个例题：求数列an = 2n的极限。

要求这个数列的极限，我们可以分别计算当n趋于正无穷和负无穷时这个数列的值，然后比较它们的值是否一致。

当n趋于正无穷时，数列的值变得越来越大，接近无穷大。

当n趋于负无穷时，数列的值变得越来越小，接近负无穷大。

根据这个分析，我们可以得出结论：数列an = 2n的极限不存在。

接下来我们看另一个例题：求数列bn = (-1)n的极限。

同样，我们可以计算当n趋于正无穷和负无穷时这个数列的值。

当n趋于正无穷时，数列的值交替变为1和-1，没有趋于特定的值。

同样地，当n趋于负无穷时，数列的值也交替变为1和-1，没有趋于特定的值。

所以数列bn = (-1)n的极限也不存在。

最后我们来看一个有界数列的极限例题：求数列cn = (-1)n/n的极限。

对于这个数列，我们同样可以计算当n趋于正无穷和负无穷时的值。

当n趋于正无穷时，数列的值交替变为-1/n和1/n，但是无论n取多大，这个数列的绝对值都小于1/n。

同样地，当n趋于负无穷时，数列的值也交替变为-1/n和1/n，但是无论n取多小，这个数列的绝对值都小于1/n。

综上所述，我们可以得出结论：数列cn = (-1)n/n的极限为0。

以上就是数列极限的基本定义以及一些典型例题的探讨。

通过这些例题的分析，我们可以更好地理解数列极限的概念，并学会如何计算数列的极限。

数列极限作为数学中的基础知识，在各个数学分支中有重要的应用，希望本文对您有所帮助。

数列极限例题数列极限是数学中一个非常重要的概念，它在微积分、数学分析等领域有着广泛的应用。

理解数列极限的概念对于深入学习数学是至关重要的。

在本文中，我们将通过例题来详细介绍数列极限的概念和计算方法。

首先，让我们来看一个简单的数列极限例题：求极限lim(n→∞)（1/n）。

这个数列是一个常见的数列，数列的通项公式为1/n。

我们要求这个数列当n趋向于无穷大时的极限。

根据数列极限的定义，当n趋向于无穷大时，1/n趋近于0。

因此，极限lim(n→∞)（1/n）= 0。

接着，我们来看一个稍复杂一点的数列极限例题：求极限lim(n→∞)（n²+3n）/n²。

这个数列的通项公式为(n²+3n)/n²。

我们要求这个数列当n趋向于无穷大时的极限。

可以将数列中的n²扩展开来，得到(n²/n² + 3n/n²)。

简化得到1 + 3/n。

当n趋向于无穷大时，3/n趋近于0，因此极限lim(n→∞)（n²+3n）/n² = 1。

最后，我们来看一个更具挑战性的数列极限例题：求极限lim(n→∞)（n²+3n²+5n²+...+(2n-1)n²）/n²。

这个数列的通项公式可以写成(n² + 3n² + 5n² + ... + (2n-1)n²)/n²。

将分子中的各项合并得到n²(1 + 3 + 5 + ... + 2n-1)/n²。

数列1 + 3 + 5+ ... + 2n-1可以看作是n²的等差数列的和，公式为n²(n²-1)/2。

因此，极限lim(n→∞)（n²+3n²+5n²+...+(2n-1)n²）/n² = (n²)²(n²-1)/2n²² = (n²-1)/2。

第一讲 极限一般地，在n 无限增大的变化过程中，如果无穷数列{a n }中的项a n 无限趋近于某个常数A ，那么称A 为数列{a n }的极限。

记作lim n n a A →∞=。

读作“n 趋向无穷大时，数列{a n }的极限等于A ”。

例 判断下列数列是否有极限，如果有极限，给出它的极限；如果没有极限，说明理由。

（1）14，1，94，4，254，…，24n ，…；（2）-1，1，-1，1，…，(1)n -，…； （3）-3，-3，-3，…，-3，…。

例 判断下列说法是否正确，并说明理由。

（1）数列3，3，3，…，3的极限是3。

（2）数列11012n nn a n =⎧=⎨⎩≥的极限是0；（3）数列(1)n n a =-的极限为1lim 1n n n a n →∞⎧=⎨-⎩为偶数为奇数。

（4）数列1n a n n=+满足1lim ||lim 0n n n a n n →∞→∞-==，所以lim n n a n →∞=。

（5）在n 无限增大的变化过程中，如果无穷数列{a n }中的项a n 越来越接近于某个常数c ，那么称c 是数列的极限。

一些基本结论极限的准确定义定义 若对任何ε＞0，总存在正整数N ，当n ＞N 时，|x n -a |< ε，即(,)n x U a ε∈，则称数列{x n }收敛，a 称为数列{x n }当n →∞时的极限，记为lim n n x →∞=a 或 x n →a （n →∞）．数列极限的运算性质如果lim n →∞a n =A ，lim n →∞b n =B ，那么（1）lim n →∞(a n ±b n )=lim n →∞a n ±lim n →∞b n =A ±B ；（2）lim n →∞(a n ×b n )=lim n →∞a n ×lim n →∞b n =A ×B ；（3）lim n n na b →∞=lim lim n nn n a b →∞→∞=A B （B ≠0，b n ≠0）。

������������������
������→∞
������ ������
������������
=1.
证明
由0
<
������������������������
<
������
得
������������
<
������������−1,
和
lim
������→∞
������������
=
lim
������→∞
数列极限中的典型例题
2014.4.30
一.
不定式求极限(������������
,
∞ ∞
)
方法：罗比塔法则(L’Hospital)(连续情形)
斯铎兹定理(Stolz)(离散情形)
斯铎兹定理1(������������型）
设数列{������������
}趋于零，数列{������������}单调减趋于零，则当���l���i→m∞
例1 设������������ ∈ (������, ������), ������������+������= ������������(������ − ������������),������ = ������, ������, ⋯ , 证明
������������������
������→∞
取������������
=
1 ������������
,
������
=
1,2,
⋯
,
则
lim
������→∞
������������
=
������
=0
lim

归纳法证明数列极限的例题大家好，今天我们聊点看似复杂，但其实很简单的东西——数列的极限证明。

别慌，别慌，虽然听上去像是某种高级数学题目，其实只要弄清楚几个小窍门，搞定它一点不难。

其实这玩意儿就像是在找一个数列的“归宿”一样，数列在一堆数字中晃来晃去，最终总会收敛到某个固定的数值。

就像是你走了好久的路，最后终于找到了一个舒服的地方坐下来，休息了。

明白了吗？那么我们今天就聊聊怎么用“归纳法”来证明这些数列的极限问题。

你可能会问：啥是归纳法？这听上去有点复杂。

哈哈，别担心，归纳法其实就是“从小到大”的推理法，打个比方，像是我们看电影，前面的情节铺得好，最后的结局自然水到渠成。

你先验证一个简单的情况，然后一步一步推到更复杂的情形。

就像你玩跳远一样，先从小跳开始，跳得越来越远，最后跳得远得不行。

这个思路很简单，就是“从已知推到未知”。

你只要找到一个最简单的、能推得出来的情况，然后慢慢扩大范围，直到推到你想要的结果。

那么接下来我们看看怎么用归纳法证明数列的极限。

假设我们有一个数列 ( a_1,a_2, a_3, dots )，我们知道，这个数列最终会收敛到某个数 ( L )，也就是数列的极限。

那怎么证明这个极限呢？好啦，我们就用归纳法。

你得做第一步，找到一个基础情况。

就好像你做饭，第一步得先准备好材料，才能开始做菜。

比如，我们设 ( a_1 ) 是一个已经知道的值，接着假设 ( a_n ) 是符合某个规律的，那我们就可以猜测 ( a_{n+1 ) 也会接近这个极限。

然后，我们用数学推理一步一步证明，最后你就能得出结论：这个数列的极限就是 ( L )。

但问题来了，归纳法在数学上有点讲究。

你得确保你的假设是对的。

如果你说“从( a_1 ) 推到( a_n )”，你得确认 ( a_n ) 真的能代表数列的趋势。

举个例子，就像你说要把一个大西瓜分给大家，结果一刀下去，发现里面全是水，根本没肉。

这可就麻烦了。

所以，在归纳法中，你得小心，不要乱猜。

求数列极限的典型例题1. 数列极限的基本概念好吧，咱们先聊聊“数列极限”是什么东西。

听到这个词，有些小伙伴可能会觉得有点晦涩，但其实它就像是在你追求目标时，永远朝着一个方向走。

比如说，你在吃泡面，面条一根接一根地煮，最后不就是想要那碗美味的泡面吗？数列极限就像是那些面条，随着时间的推移，越来越接近那个最终的目标。

简单说，就是数列中的数字越来越接近某个固定的数值。

1.1 数列的构成首先，咱们得明白，数列其实就是一串数字的集合。

就像你收集邮票，或者存钱，都是一点一点积累起来的。

这些数字可以是任意的，但一旦它们有了某种规律，那就更有意思了！你可以想象一下，一个数列就像是一条蜿蜒的小路，有高有低，有起有伏，但总是朝着某个地方前进。

1.2 极限的意义接下来，咱们聊聊极限。

极限就是指，当你无限接近某个值时的状态。

就好比你追一个人，越追越近，最后你们总会碰到一起。

极限让我们可以理解数列在无穷远处的行为，仿佛是在做一个长途旅行，虽然现在离目的地还远，但心中早已打定主意，不达目的誓不罢休。

2. 常见的数列极限例题现在，咱们来点实际的，举几个例子，让大家更加明白数列极限是怎么回事。

比如，咱们来看一个很经典的数列：( a_n = frac{1{n )。

当 ( n ) 变得越来越大时，这个数列的值会趋向于0。

听起来简单吧？但实际上，它在告诉我们一种深刻的哲理：无论你多么强大，总会有一种力量能让你慢下来。

2.1 例子解析咱们再来看看另一个数列：( b_n = frac{n{n+1 )。

当 ( n ) 越来越大时，这个数列的极限也会趋近于1。

这个过程就像是你在考试前努力复习，结果最后都快要考满分了。

其实，每个数列的极限都藏着一个故事，你只需细心观察。

2.2 直观理解更直观地说，如果你想知道一个数列的极限，可以试试图形化的方式。

比如，画一条图线，随着 ( n ) 的增加，你会发现它越来越接近某个水平线。

这种图形就像是生活中的风景，虽然一路上风景各异，但终究你会看到那条直线，心中默念：“终于到了！”3. 求极限的技巧与方法当然，求极限的方法也有很多，咱们简单聊几个。

证明数列极限的题目及答案关键信息项：1、数列的表达式：＿___________________2、所给定的极限值：＿___________________3、证明所使用的方法：＿___________________4、证明过程中的关键步骤和推理：＿___________________5、最终得出结论的依据：＿___________________11 题目设数列｛an} 满足 an ＝（n ＋ 1) ／ n ，证明当 n 趋向于无穷大时，数列｛an} 的极限为 1 。

111 证明对于任意给定的正数ε ，要找到一个正整数 N ，使得当 n ＞ N 时，｜an 1| ＜ε 成立。

＼＼begin{align}｜an 1| ＆＝＼left|＼frac{n ＋ 1}｛n} 1\right|＼＼＆＝＼left|＼frac{n ＋ 1 n}｛n}＼right|＼＼＆＝＼frac{1}｛n}＼end{align}＼为了使＼（＼frac{1}｛n} ＜ε\），即＼（n ＞＼frac{1}｛ε}＼）。

所以取＼（N ＝＼left\frac{1}｛ε}＼right ＋ 1\）（其中＼（＼cdot\）表示取整函数），当＼（n ＞ N\）时，有＼（n ＞＼frac{1}｛ε}＼），即＼（＼frac{1}｛n} ＜ε\），所以＼（｜an 1| ＜ε\）。

综上，根据数列极限的定义，当 n 趋向于无穷大时，数列｛an} 的极限为 1 。

12 题目设数列｛bn} 满足＼（bn ＝＼frac{1}｛n}＼），证明当 n 趋向于无穷大时，数列｛bn} 的极限为 0 。

121 证明对于任意给定的正数ε ，要找到一个正整数 N ，使得当 n ＞ N 时，＼（｜bn 0| ＜ε\）成立。

＼｜bn 0| ＝＼left|＼frac{1}｛n} 0\right| ＝＼frac{1}｛n}＼为了使＼（＼frac{1}｛n} ＜ε\），即＼（n ＞＼frac{1}｛ε}＼）。

n。
几何级数求和
总结词
几何级数的求和公式是 S = a_1 / (1 - q)，其中 a_1 是首项，q 是公比。
详细描述
对于一个几何级数，例如数列 {1, 2, 4, 8, ...}，其首项 a_1 = 1，公比 q = 2。根据几何 级数的求和公式，该数列的和 S = a_1 / (1 - q) = 1 / (1 - 2) = -1。
这些定理在数学分析中起着重要的作用，它们共同保证了实数域的完备性 ，即实数域上的任何性质都可以通过有限步骤的推理得到证明。
实数完备性定理是数学分析的基础，它们为数学分析中的许多概念和定理 提供了坚实的基础。
THANKS
感谢观看
01 无穷级数是无穷多个数的和，可以表示为无穷多 个项的累加。
02 无穷级数可以分为收敛和发散两类，收敛级数的 和是有限的，而发散级数的和是无穷的。
03 无穷级数具有一些重要的性质，如交换律、结合 律和分配律等。
实数完备性定理
实数完备性定理是一组关于实数的定理集合，包括区间套定理、有限覆盖 定理、聚点定理、闭区间连续函数的性质等。
统计物理
在统计物理中，通过对大量微观粒子状态的统计平均，可以 得到一些宏观物理量的性质，这一过程也涉及到数列极限的 应用。
在经济学中的应用
金融数学
在金融数学中，数列极限被广泛应用于风险评估、资产定价等领域，例如在计 算股票价格的期望收益和方差时，需要用到数列极限的知识。
微观经济学
在研究微观经济学中的问题时，例如在研究消费者行为、生产者行为等问题时 ，需要对离散的经济变量进行连续化处理，这时也需要用到数列极限的知识。
无穷递增等差数列的极限
总结词
无穷递增等差数列的极限值是存在的，且等 于首项加上末项的一半。

⑹
135 lim n
(2n 1) 1.
n 2 4 6 (2n)
2.证明：
⑴
lim
n
k n k 1
k 3n2 k

1 6
；
k n
⑶ lim
1
1；
n k 1 k nk 1
k n
⑵ lim
由于正数
可以任意地小，故有 lim n
zn a
1，即 lim n n
x1x2
xn

a

lim
n
xn
【应用】作为上述结论的应用，若 xn 0 (n 1, 2,
) 且有极限 lim xn1 ，则也有极限 n xn
lim n xn 且
n
这是因为
lim
n
n
xn
lim xn1 n xn
什么结论？
⑺
若
lim
n
xn
c ，则必有 lim n
xn

c
吗？反之如何？
答案：⑴没有；⑵不一定，例如正数数列 1 n
的极限是 0
；⑶
lim
n
xn

lim
n
yn ；⑷有界数列
不一定有极限，例如 xn (1)n 就没有极限；无界数列一定没有极限，因为有极限的数列是有界
数列；⑸不一定，例如 xn (1)n , yn (1)n1 ，则 (xn yn ) 与 xn yn 都有极限；⑹一定没有
种证明方法为“构造性证明”.
例 4 海因定理(函数极限与数列极限的关系)
(1)有极限 lim xa
f ( x)

A 的充分必要条件是：对于以 a

于是
0<
+1
=1

− < 1, = 1,2, ⋯
所以数列 单调减且有下界，因此 lim = 存在。在递推公式 + = ( − )
→∞
两边令 → ∞取极限得， = (1 − ),所以
lim = =0
→∞
取 =
1
,

= 1,2, ⋯ , 则
1,2, ⋯ , ln( − )均有意义，由于对 > 0, 不等式ln ≤ − 1恒成立，因此有
+1 − = ln − ≤ − − 1, = 2,3, ⋯ .
由此得，
S+1 ≤ − 1, = 2,3, ⋯
.
从而得，
ln( − S+1 ) ≥ ln − + 1 = 0, = 2,3, ⋯


→∞
=0
证明令 = + + ⋯ + ， = 1,2, ⋯ ，及 lim = .则
→∞
1 = 1， = − −1, = 1,2, ⋯ ，
于是
11 + 22 + ⋯ + 11 + 2(2−1) + ⋯ + ( −−1)

也存在或为+∞，且
→∞
+∞时, lim

− +1
lim
= lim
→∞
→∞ − +1
∞
+1 −
存在或为+∞时，
→∞ +1 −
斯铎兹定理2(∞型） 设数列{ }单调增加且 lim = +∞.如果 lim

数列的极限一、知识要点1数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即|a n －a |无限地接近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限记作lim n n a a →∞=．（注：a 不一定是｛a n ｝中的项） 2几个重要极限：（1）01lim=∞→n n （2）C C n =∞→lim （C 是常数） （3）()()()⎪⎩⎪⎨⎧-=>=<=∞→1,11,110lim a a a a a n n 或不存在，（4）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=>=++++++++----∞→)()()(0lim 011101110t s t s b a t s b n b n b n b a n a n a n a s s s s t t t t n 不存在3. 数列极限的运算法则:如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞→∞→那么B A b a n n n +=+∞→)(lim B A b a n n n -=-∞→)(limB A b a n n n .).(lim =∞→ )0(lim≠=∞→B B Ab a nn n 4．无穷等比数列的各项和⑴公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n 项的和，当n 无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做lim n n S S →∞=⑵1lim ,(0||1)1n n a S S q q→∞==<<- 二、方法与技巧⑴只有无穷数列才可能有极限，有限数列无极限.⑵运用数列极限的运算法则求数列极限应注意法则适应的前提条件.（参与运算的数列都有极限，运算法则适应有限个数列情形） ⑶求数列极限最后往往转化为()N m nm ∈1或()1<q q n型的极限.⑷求极限的常用方法： ①分子、分母同时除以m n 或n a .②求和（或积）的极限一般先求和（或积）再求极限. ③利用已知数列极限（如() 01lim,10lim =<=∞→∞→nq q n n n 等）. ④含参数问题应对参数进行分类讨论求极限.⑤∞－∞,∞∞,0－0,00等形式，必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限题型讲解例1 求下列式子的极限： ①nnn )1(lim-∞→； ②∞→n lim 112322+++n n n ； ③∞→n lim 1122++n n ； ④∞→n lim 757222+++n n n ; （2） ∞→n lim （n n +2－n ）;（3）∞→n lim （22n +24n + (22)n） 例2 ()B A b a B b A a n n n n n n n +=+==∞→∞→∞→lim lim ,lim 是的（ ）A 充分必要条件B 充分不必要条件C 必要不充分条件D 既不充分又不必要条件例3 数列{a n }和{b n }都是公差不为0的等差数列，且nn n b a ∞→lim =3,求n nn nb a a a 221lim +++∞→ 的例4 求nn nn n a a a a --∞→+-lim （a >0);例5 已知1)11(lim 2=--++∞→b an n n n ,求实数a,b 的值;例6 已知等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q ,且有∞→n lim （q a +11－q n ）=21,求a 1的取值范围例7 已知数列｛a n ｝是由正数构成的数列，a 1＝3，且满足lg a n ＝lg a n －1＋lg c ，其中n 是大于1的整数，c 是正数．（1）求数列｛a n ｝的通项公式及前n 和S n ；（2）求∞→n lim 1122+-+-n n n n a a 的值．数列极限课后检测1下列极限正确的个数是（ ）①∞→n lim αn 1=0（α＞0） ②∞→n lim q n =0 ③∞→n lim n n n n 3232+-=－1 ④∞→n lim C =C （C 为常数） A 2 B 3 C 4 D 都不正确 3下列四个命题中正确的是（ ）A 若∞→n lim a n 2＝A 2，则∞→n lim a n ＝AB 若a n ＞0，∞→n lim a n ＝A ，则A ＞0C 若∞→n lim a n ＝A ，则∞→n lim a n 2＝A 2D 若∞→n lim （a n －b ）＝0，则∞→n lim a n ＝∞→n lim b n5若数列{a n }的通项公式是a n =2)23()1(23n n n n n ------++,n =1,2,…,则∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）等于（ ） A 2411 B 2417 C 2419 D 24256数列{a n }中,n a 的极限存在，a 1=51,a n +a n +1=156+n ,n ∈N *,则∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）等于（ ）A 52B 72C 41D 254 7．∞→n lim n n ++++ 212=__________ ∞→n lim 32222-+n nn =____________∞→n lim ［n （1－31）（1－41）（1－51）…（1－21+n ）］= 8已知a 、b 、c 是实常数，且∞→n lim c bn can ++=2, ∞→n lim b cn c bn --22=3,则∞→n lim acn c an ++22的值是（ ）9 {a n }中a 1=3，且对任意大于1的正整数n ,点（n a ,1-n a ）在直线x －y －3=0上，则∞→n lim2)1(+n a n =_____________10等比数列{a n }公比q =－21,且∞→n lim （a 1+a 3+a 5+…+a 2n －1）=38,则a 1=_____________11已知数列｛a n ｝满足（n －1）a n +1=（n +1）（a n －1）且a 2=6,设b n =a n +n （n ∈N *）（1）求{b n }的通项公式；（2）求∞→n lim （212-b +213-b +214-b +…+21-n b ）的值 12已知{a n }、{b n }都是无穷等差数列,其中a 1=3,b 1=2,b 2是a 2与a 3的等差中项,且∞→n limn n b a =21, 求极限∞→n lim （111b a +221b a +…+nn b a 1）的值例题解析答案例1n的分子有界，分可以无限增大，因此极限为0；②112322+++n n n 的分子次数等于分母次数，极限为两首项(最高项)系数之比； ③∞→n lim1122++n n 的分子次数小于于分母次数，极限为0解：①0nn =； ②2222213321lim lim 3111n n n n n n n n→∞→∞++++==++； ③∞→n lim 2222121lim lim 0111n n n n n n n→∞→∞++==++点评：分子次数高于分母次数，极限不存在；分析:（4）因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以n 2后再求极限；（5）因n n +2与n 都没有极限，可先分子有理化再求极限；（6）因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限解:（1）∞→n lim 757222+++n n n =∞→n lim 2275712nn n +++52（2）∞→n lim （n n +2－n ）= ∞→n limnn n n ++2=∞→n lim1111++n21（3）原式=∞→n lim22642n n ++++ =∞→n lim 2)1(nn n +=∞→n lim （1+n 1）=1 点评：对于（1）要避免下面两种错误：①原式=)75(lim )72(lim 22+++∞→∞→n n n n n =∞∞=1,②∵∞→n lim （2n2+n +7）, ∞→n lim （5n 2+7）不存在，∴原式无极限对于（2）要避免出现下面两种错误：①∞→n lim （n n +2－n ）= ∞→n limn n +2－∞→n lim n =∞－∞=0;②原式=∞→n limn n +2－∞→n lim n =∞－∞不存在对于（3）要避免出现原式=∞→n lim 22n +∞→n lim 24n +…+∞→n lim22n n =0+0+…+0=0这样的错误 例2 B例3 数列{a n }和{b n }都是公差不为0的等差数列，且nn n b a ∞→lim =3,求n nn nb a a a 221lim +++∞→ 的值为解：由nnn b a ∞→lim=3⇒d 1=3d 2 ，∴n n n nb a a a 221lim +++∞→ =2121114])12([2)1(lim d d d n b n d n n na n =-+-+∞→43 点评：化归思想 例4 求nn nn n a a a a --∞→+-lim （a >0);解：nnnn n a a a a --∞→+-lim =⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧<<-=+-=>=+-∞→∞→).10(111lim ),1(0),1(11111lim 2222a a a a a a a n nn n n n 点评：注意分类讨论例5 已知1)11(lim 2=--++∞→b an n n n ,求实数a,b 的值; 解：11)()1(lim 2++-+--∞→n b n b a n a n =1，∴ ⎩⎨⎧=+-=-1)(01b a a ⇒a=1,b=─1例6 已知等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q ,且有∞→n lim （q a +11－q n ）=21,求a 1的取值范围 解: ∞→n lim （q a +11－q n ）=21, ∴∞→n lim q n 一定存在∴0＜|q |＜1或q =1当q =1时，21a －1=21,∴a 1=3当0＜|q |＜1时，由∞→n lim （q a +11－q n ）=21得q a +11=21,∴2a 1－1=q ∴0＜|2a 1－1|＜1∴0＜a 1＜1且a 121 综上,得0＜a 1＜1且a 1≠21或a 1=3 例7 已知数列｛a n ｝是由正数构成的数列，a 1＝3，且满足lg a n ＝lg a n －1＋lg c ，其中n 是大于1的整数，c 是正数．（1）求数列｛a n ｝的通项公式及前n 和S n ；（2）求∞→n lim1122+-+-n n n n a a 的值．解:（1）由已知得a n ＝ｃ·a n －1,∴｛a n ｝是以a 1＝3，公比为c 的等比数列，则a n ＝3·ｃn －1∴S n ＝⎪⎩⎪⎨⎧≠>--=).10(1)1(3)1(3c c cc c n n 且（2） ∞→n lim1122+-+-n nn n a a ＝∞→n lim n n n n cc 323211+--- ①当c =2时，原式＝－41; ②当ｃ＞2时，原式＝∞→n lim ccc n n 3)2(23)2(11+⋅---＝－c 1;③当0＜ｃ＜2时，原式=∞→n lim 11)2(32)2(31--⋅+-n n c c c 21点评：求数列极限时要注意分类讨论思想的应用 试卷解析 1 答案:B3解析:排除法，取a n ＝（－１）n ，排除A ；取a n ＝n1，排除Ｂ；取a n ＝b n ＝n ，排除D ．答案:C 5 解析:a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-++--+--------),(22323),(2)23(23为偶数为奇数n n nn nn n n n n 即a n =⎪⎩⎪⎨⎧--).3),(2(为偶数为奇数n n n n∴a 1+a 2+…+a n =（2－1+2－3+2－5+…）+（3－2+3－4+3－6+…）∴∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）=411213132122221-=-+-----+91191-=.2419答案:C6 解析:2（a 1+a 2+…+a n ）=a 1+［（a 1+a 2）+（a 2+a 3）+（a 3+a 4）+…+（a n －1+a n ）］+a n =51+[256+356+…+n 56]+a n ∴原式=21［51+511256-+∞→n lim a n ］=21（51+103+∞→n lim a n ）∵a n +a n +1=156+n ,∴∞→n lim a n +∞→n lim a n +1=0∴∞→n lim a n =0 答案:C7 解析:原式=∞→n lim2)1(2++n n n =∞→n lim 221212nnn ++=0∞→n lim 32222-+n n n =∞→n lim 23221nn -+21 解析: ∞→n lim ［n （1－31）（1－41）（1－51）…（1－21+n ）］=∞→n lim ［n ×32×43×54×…×21++n n ］=∞→n lim 22+n n=2 答案:C 8解析: 答案:D 由∞→n lim cbn can ++=2,得a =2b由∞→n lim b cn c bn --22=3,得b =3c ,∴c =31b ∴ca =6∴∞→n lim a cn c an ++22=∞→n lim 22na c n ca ++=c a =69析:由题意得n a －1-n a =3 （n ≥2）∴{n a }是公差为3的等差数列，1a∴n a =3+（n －1）·3=3n ∴a n =3n 2∴∞→n lim 2)1(+n a n=∞→n lim 12322++n n n =∞→n lim 21213nn ++=3 10析:∵q =－21,∴∞→n lim （a 1+a 3+a 5+…+a 2n －1）=4111-a =38∴a 1=2 11 解:（1）n =1时，由（n －1）a n +1=（n +1）（a n －1）,得a 1=1n =2时，a 2=6代入得a 3=15同理a 4=28,再代入b n =a n +n ,有b 1=2,b 2=8,b 3=18,b 4=32,由此猜想b n =2n 2要证b n =2n 2,只需证a n =2n 2－n①当n =1时，a 1=2×12－1=1成立②假设当n =k 时，a k =2k 2－k 成立那么当n =k +1时，由（k －1）a k +1=（k +1）（a k －1）,得a k +1=11-+k k （a k －1）=11-+k k （2k 2－k －1）=11-+k k （2k +1）（k －1）=（k +1）（2k +1）=2（k +1）2－（k +1） ∴当n =k +1时，a n =2n 2－n 正确，从而b n =2n 2（2）∞→n lim （212-b +213-b +…+21-n b ）=∞→n lim （61+161+…+2212-n ）=21∞→n lim ［311⨯+421⨯+…+)1)(1(1+-n n ］ =41∞→n lim ［1－31+21－41+…+11-n －11+n ］=41∞→n lim ［1+21－n 1－11+n ］=8312 解:{a n }、{b n }的公差分别为d 1、d 2∵2b 2=a 2+a 3,即2（2+d 2）=（3+d 1）+（3+2d 1）,∴2d 2－3d 1=2又∞→n limn n b a =∞→n lim 21)1(2)1(3d n d n -+-+=21d d =21,即d 2=2d 1, ∴d 1=2,d 2=4∴a n =a 1+（n －1）d 1=2n +1,b n =b 1+（n －1）d 2=4n －2∴n n b a 1=)24()12(1-⋅+n n =41（121-n －121+n ）∴原式=∞→n lim 41（1－121+n ）=41。

第一讲 数列的极限一、内容提要 1.数列极限的定义N n N a x n n >∀N ∈∃>∀⇔=∞→,,0lim ε，有ε<-a x n .注1 ε的双重性.一方面,正数ε具有绝对的任意性,这样才能有 {}n x 无限趋近于)(N n a x a n ><-⇔ε另一方面,正数ε又具有相对的固定性,从而使不等式ε<-a x n .还表明数列{}n x 无限趋近于a 的渐近过程的不同程度,进而能估算{}n x 趋近于a 的近似程度.注2 若n n x ∞→lim 存在，则对于每一个正数ε，总存在一正整数N 与之对应，但这种N 不是唯一的，若N 满足定义中的要求，则取 ,2,1++N N ，作为定义中的新的一个N 也必须满足极限定义中的要求，故若存在一个N 则必存在无穷多个正整数可作为定义中的N ． 注3 a x n →)(∞→n 的几何意义是：对a 的预先给定的任意-ε邻域),(εa U ，在{}n x 中至多除去有限项，其余的无穷多项将全部进入),(εa U ． 注4 N n N a x n n >∃N ∈∀>∃⇔≠∞→00,,0lim ε，有00ε≥-a x n .2. 子列的定义在数列{}n x 中，保持原来次序自左往右任意选取无穷多个项所得的数列称为{}n x 的子列，记为{}k n x ，其中k n 表示k n x 在原数列中的项数，k 表示它在子列中的项数． 注1 对每一个k ，有k n k ≥．注2 对任意两个正整数k h ,，如果k h ≥，则k h n n ≥．反之，若k h n n ≤，则k h ≤． 注3 K k K a x k n n >∀N ∈∃>∀⇔=∞→,,0lim ε，有ε<-a x k n .注4 ⇔=∞→a x n n lim {}n x 的任一子列{}k n x 收敛于a . 3.数列有界对数列{}n x ，若0>∃M ，使得对N n >∀，有M x n ≤，则称数列{}n x 为有界数列． 4.无穷大量对数列{}n x ，如果0>∀G ，N n N >∀N ∈∃,，有G x n >，则称{}n x 为无穷大量，记作∞=∞→n n x lim ．注1 ∞只是一个记号，不是确切的数．当{}n x 为无穷大量时，数列{}n x 是发散的，即nn x ∞→lim 不存在．注2 若∞=∞→n n x lim ，则{}n x 无界，反之不真．注3 设{}n x 与{}n y 为同号无穷大量，则{}n n y x +为无穷大量． 注4 设{}n x 为无穷大量，{}n y 有界，则{}n n y x ±为无穷大量．注5 设{}n x 为无穷大量，对数列{}n y ，若0>∃δ，,N ∈∃N 使得对N n >∀，有δ≥n y ，则{}n n y x 为无穷大量．特别的，若0≠→a y n ，则{}n n y x 为无穷大量． 5.无穷小量若0lim =∞→n n x ，则称{}n x 为无穷小量．注1 若0lim =∞→n n x ，{}n y 有界，则0lim =∞→n n n y x ．注2 若∞=∞→n n x lim ，则01lim=∞→nn x ；若0l i m =∞→n n x ，且,N ∈∃N 使得对N n >∀，0≠n x ，则∞=∞→nn x 1lim．6.收敛数列的性质（1）若{}n x 收敛，则{}n x 必有界，反之不真． （2）若{}n x 收敛，则极限必唯一．（3）若a x n n =∞→lim ，b y n n =∞→lim ，且b a >，则N ∈∃N ，使得当N n >时，有n n y x >．注 这条性质称为“保号性”，在理论分析论证中应用极普遍．（4）若a x n n =∞→lim ，b y n n =∞→lim ，且N ∈∃N ，使得当N n >时，有n n y x >，则b a ≥．注 这条性质在一些参考书中称为“保不等号（式）性”．（5）若数列{}n x 、{}n y 皆收敛，则它们和、差、积、商所构成的数列{}n n y x +，{}n n y x -，{}n n y x ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n y x （0lim ≠∞→nn y ）也收敛，且有()=±∞→n n n y x lim ±∞→n n x lim n n y ∞→lim ，=⋅∞→n n n y x lim ⋅∞→n n x lim n n y ∞→lim ，=∞→nnn y x lim n n nn y x ∞→∞→lim lim （0lim ≠∞→n n y ）．7. 迫敛性（夹逼定理）若N ∈∃N ，使得当N n >时，有n n n z x y ≤≤，且n n y ∞→lim a z n n ==∞→lim ，则a x n n =∞→lim ．8. 单调有界定理单调递增有上界数列{}n x 必收敛，单调递减有下界数列{}n x 必收敛． 9. Cauchy 收敛准则数列{}n x 收敛的充要条件是：N m n N >∀N ∈∃>∀,,,0ε，有ε<-m n x x ．注 Cauchy 收敛准则是判断数列敛散性的重要理论依据．尽管没有提供计算极限的方法，但它的长处也在于此――在论证极限问题时不需要事先知道极限值． 10.Bolzano Weierstrass 定理 有界数列必有收敛子列．11. 7182818284.211lim ==⎪⎭⎫⎝⎛+∞→e n nn12.几个重要不等式(1) ,222ab b a ≥+ .1 s i n ≤x . s i n x x ≤ (2) 算术－几何－调和平均不等式：对,,,,21+∈∀R n a a a 记,1)(121∑==+++=ni i n i a n n a a a a M (算术平均值) ,)(1121nni i n n i a a a a a G ⎪⎪⎭⎫⎝⎛==∏= (几何平均值) .1111111)(1121∑∑====+++=ni in i ini a n a n a a a na H (调和平均值)有均值不等式: ),( )( )(i i i a M a G a H ≤≤等号当且仅当n a a a === 21时成立. （3） Bernoulli 不等式: (在中学已用数学归纳法证明过) 对,0x ∀> 由二项展开式 23(1)(1)(2)(1)1,2!3!nn n n n n n x nx x x x ---+=+++++)1(,1)1(>+>+⇒n nx x n（４）Cauchy －Schwarz 不等式: k k b a ,∀(n k ,,2,1 =),有≤⎪⎭⎫⎝⎛∑=21n k k k b a ≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=21n k k k b a ∑=n k k a 12∑=nk kb12（５）N n ∈∀，nn n 1)11ln(11<+<+ 13. O. Stolz 公式二、典型例题 1．用“N -ε”“N G -”证明数列的极限．（必须掌握） 例１ 用定义证明下列各式：（１）163153lim22=+-++∞→n n n n n ； （２）设0>n x ，a x n n =∞→lim ，则a x n n =∞→lim；（97，北大，10分） （３）0ln lim=∞→αn nn )0(>α证明：（１）0>∀ε，欲使不等式ε<=<-<+--=-+-++nn n n n n n n n n n n n 6636635616315322222成立，只须ε6>n ，于是，0>∀ε，取1]6[+=εN ，当N n >时，有ε<<-+-++n n n n n 616315322 即 163153lim22=+-++∞→n n n n n ． （２）由a x n n =∞→lim ，0>n x ，知N n N >∀N ∈∃>∀,,0ε，有εa a x n <-，则<+-=-ax a x a x n n n ε<-aa x n于是，N n N >∀N ∈∃>∀,,0ε，有<-a x n ε<-aa x n ，即 a x n n =∞→lim ．（３）已知n n ln >，因为<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡<=<αααααααn n n n n n 1ln 2ln 2ln 022≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡αααn n 122≤⋅αααnn ][2222244αααααn n n =⋅，所以，0>∀ε，欲使不等式=-0ln αn n ≤αnnln εαα<24n 成立，只须ααε24⎪⎭⎫ ⎝⎛>n ．于是，0>∀ε，取=N 142+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛ααε，当N n >时，有=-0ln αn n ≤αn nln εαα<24n ，即 0ln lim =∞→αn nn ．评注１ 本例中，我们均将a x n -做了适当的变形，使得ε<≤-)(n g a x n ，从而从解不等式ε<)(n g 中求出定义中的N ．将a x n -放大时要注意两点：①)(n g 应满足当∞→n 时，0)(→n g ．这是因为要使ε<)(n g ，)(n g 必须能够任意小；②不等式ε<)(n g 容易求解．评注２ 用定义证明a x n →)(∞→n ，对0>∀ε，只要找到一个自然数)(εN ，使得当)(εN n >时，有ε<-a x n 即可．关键证明N ∈)(εN 的存在性．评注３ 在第二小题中，用到了数列极限定义的等价命题，即： （１）N n N >∀N ∈∃>∀,,0ε，有εM a x n <-（M 为任一正常数）. （２）N n N >∀N ∈∃>∀,,0ε，有k n a x ε<-)(N k ∈.例２ 用定义证明下列各式： （１）1lim=∞→n n n ；（92，南开，10分） （２）0lim =∞→n kn an ),1(N k a ∈>证明：（１）（方法一）由于1>n n （1>n ），可令λ+=1n n （0>λ），则()>++-++=+==n n nnn n n n n λλλλ 22)1(1)1(22)1(λ-n n （2>n ） 当2>n 时，21nn >-，有 >n >-22)1(λn n 2222)1(44-=nn n n λ即 nn n210<-<．0>∀ε，欲使不等式=-1n n ε<<-nn n 21成立，只须24ε>n ．于是，0>∀ε，取⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2,14max 2εN ，当N n >时，有 1-nn ε<<n 2，即 1lim =∞→nn n ．（方法二）因为n n n n n n n n n n n n n212211)111(112+<-+=++++≤⋅⋅⋅⋅⋅=≤- 个， 所以1-nn n2<，0>∀ε，欲使不等式=-1n n ε<<-nn n 21成立，只须24ε>n ．于是，0>∀ε，取142+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=εN ，当N n >时，有1-nn ε<<n2，即 1lim=∞→nn n ．（２）当1=k 时，由于1>a ，可记λ+=1a （0>λ），则>++-++=+=n n n n n n a λλλλ 22)1(1)1(22)1(λ-n n （2>n ） 当2>n 时，21nn >-，于是有 <<n an 02242)1(λλn n n n <-．0>∀ε，欲使不等式0-n a n <<n a n ελ<24n 成立，只须24ελ>n ．对0>∀ε，取⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2,14max 2ελN ，当N n >时，有0-n a n <<n an ελ<24n ． 当1>k 时，11>k a （1>a ），而=n ka n kn k a n ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡)(1．则由以上证明知N n N >∀N ∈∃>∀,,0ε，有ε<<nka n )(01，即kn k a n ε<<0，故 0lim =∞→n kn an ．评注１ 在本例中，0>∀ε，要从不等式ε<-a x n 中解得N 非常困难．根据n x 的特征，利用二项式定理展开较容易．要注意，在这两个小题中，一个λ是变量，一个λ是定值． 评注２ 从第一小题的方法二可看出算术－几何平均不等式的妙处． 评注３ 第二小题的证明用了从特殊到一般的证法．例 用定义证明：0!lim =∞→n a nn （0>a ）（山东大学）证明：当10≤<a 时，结论显然成立．当1>a 时，欲使[][][][]ε<⋅<⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=-n a a a n a a a a a a a n a a n !1210! 成立， 只须>n [][]ε!1a a a +．于是0>∀ε，取=N [][]1!1+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+εa a a ，当N n >时，有[][]ε<⋅<-n aa a n a a n !0!即 0!lim =∞→n a nn ． 例 设1<α，用“N -ε”语言，证明：0])1[(lim =-+∞→ααn n n ．证明：当0≤α时，结论恒成立． 当10<<α时，0>∀ε，欲使<-+=--+]1)11[(0)1(ααααn n n n εαα<=-+-11)111(nn n只须>n αε-111．于是0>∀ε，取=N 1111+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-αε，当N n >时，有 <--+0)1(ααn n εα<-11n即 0])1[(lim =-+∞→ααn n n ．2.迫敛性（夹逼定理）n 项和问题可用夹逼定理、定积分、级数来做，通项有递增或递减趋势时考虑夹逼定理．n n n z x y ≤≤，b y n →，c z n →}{n x ⇒有界，但不能说明n x 有极限．使用夹逼定理时，要求n n z y ,趋于同一个数．例 求证：0!lim =∞→n a nn （a 为常数）．分析：na m a m a a a a n a n ⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅= 1321!，因a 为固定常数，必存在正整数m ，使1+<≤m a m ，因此，自1+m a 开始，11<+m a ，12<+m a ，1,<n a，且∞→n 时，0→na． 证明：对于固定的a ，必存在正整数m ，使1+<m a ，当1+≥m n 时，有≤⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅=≤n a m a m a a a a n an1321!0n am am⋅!， 由于∞→n lim0!=⋅na m am，由夹逼定理得0!lim=∞→n ann ，即 0!lim =∞→n a nn ． 评注 当极限不易直接求出时，可将求极限的变量作适当的放大或缩小，使放大、缩小所得的新变量易于求极限，且二者极限值相同，直接由夹逼定理得出结果．例 若}{n a 是正数数列，且02lim21=+++∞→nna a a nn ，则0lim1=⋅⋅⋅∞→n n n a a n ． 证明：由()()()n n na a a ⋅⋅⋅ 2121nna a a n+++≤212，知n n na a a n ⋅⋅⋅⋅ 21!nna a a n+++≤212即 n n a a a ⋅⋅⋅ 21n n n n na a a !1221⋅+++≤．于是，n n a a a n ⋅⋅⋅<210nnn nna a a !1221⋅+++≤，而由已知02lim21=+++∞→nna a a nn 及∞→n lim0!1=nn故 ∞→n lim0!1221=⋅+++nnn nna a a由夹逼定理得 0lim1=⋅⋅⋅∞→n n n a a n ．评注1 极限四则运算性质普遍被应用，值得注意的是这些性质成立的条件，即参加运算各变量的极限存在，且在商的运算中，分母极限不为0． 评注2 对一些基本结果能够熟练和灵活应用．例如： （1）0lim =∞→nn q （1<q ） （2）01lim=∞→an n （0>a ）（3）1lim=∞→nn a （0>a ） （4）1lim =∞→n n n（5）0!lim =∞→n a n n （0>a ） （6）∞→n lim 0!1=n n 例 证明：若a x n n =∞→lim （a 有限或∞±），则a nx x x nn =+++∞→ 21lim（a 有限或∞±）．证明：（１）设a 为有限，因为a x n n =∞→lim ，则11,,0N n N >∀N ∈∃>∀ε，有2ε<-a x n .于是=-+++a n x x x n21()()()na x a x a x n -++-+- 21 +-++-+-≤nax a x a x N 121 nax a x n N -++-+ 1121εε+<-+<n A n N n n A ． 其中a x a x a x A N -++-+-=121 为非负数．因为0lim=∞→nAn ，故对上述的22,,0N n N >∀N ∈∃>ε，有2ε<n A ．取},m ax {21N N N =当N n >时，有εεε=+<-+++2221a n x x x n即 a nx x x nn =+++∞→ 21lim．（２）设+∞=a ，因为+∞=∞→n n x lim ，则11,,0N n N G >∀N ∈∃>∀，有G x n 2>，且0121>+++N x x x ．于是=+++nx x x n21 ++++n x x x N 121 n x x n N +++ 11G nN G n N n G nx x nN 11122)(21-=->++>+取12N N =，当N n >时，G G nN <12，于是 G G G nx x x n=->+++221 ．即 +∞=+++∞→nx x x nn 21lim（３）-∞=a 时证法与（２）类似．评注１ 这一结论也称Cauchy 第一定理，是一个有用的结果，应用它可计算一些极限，例如：（１）01211lim=+++∞→nn n （已知01lim =∞→n n ）；（２）1321lim 3=++++∞→nnn n （已知1lim =∞→n n n ）．评注２ 此结论是充分的，而非必要的，但若条件加强为“}{n x 为单调数列”，则由a nx x x nn =+++∞→ 21lim可推出a x n n =∞→lim ．评注３ 证明一个变量能够任意小，将它放大后，分成有限项，然后证明它的每一项都能任意小，这种“拆分方法”是证明某些极限问题的一个常用方法，例如：若10<<λ，a a n n =∞→lim （a 为有限数），证明：λλλλ-=++++--∞→1)(lim 0221aa a a a n n n n n ． 分析：令0221a a a a x nn n n n λλλ++++=-- ，则01101221)()()()1(a a a a a a a a x n n n n n n n n +-----++-+-+=-λλλλλ ．只须证 0)()()(101221→-++-+----a a a a a a nn n n n λλλ （∞→n ）由于a a n n =∞→lim ，故N n N >∀N ∈∃,，有ε<--1n n a a ．于是)()()(101221a a a a a a n n n n n -++-+----λλλ101111221a a a a a a a a a a n N n N n N N n N n N n n n n -++-+-++-+-≤---+-+----λλλλλ 再利用0lim =∞→n n λ（10<<λ）即得．例 求下列各式的极限： （１）)2211(lim 222nn n nn n n n n +++++++++∞→（２）n n n1211lim +++∞→ （３）nn nn 2642)12(531lim ⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅∞→解：（１）≤+++++++++≤+++++n n n n n n n n n n n n 2222221121 1212+++++n n n∵∞→n lim n n n n +++++221 ∞→=n lim 212)1(2=+++n n n n n ， ∞→n lim 1212+++++n n n ∞→=n lim 2112)1(2=+++n n n n ， 由夹逼定理， ∴21)2211(lim 222=+++++++++∞→nn n n n n n n n （２）n n n n n=+++≤+++≤11112111 ∵1lim=∞→nn n ，由夹逼定理，∴11211lim =+++∞→n n n． （３）∵121243212642)12(531212212452321<-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅=⋅--⋅⋅⋅≤nn n n n n n n ， ∴12642)12(53121<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅≤⋅n n nn n n．∵∞→n lim121=⋅nnn，由夹逼定理，∴12642)12(531lim=⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅∞→nn nn ．评注nn 212-的极限是１，用此法体现了“１”的好处，可以放前，也可放后．若极限不是１，则不能用此法，例如：)12(53)1(32+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=n n x n ，求n n x ∞→lim ．解：∵0>n x ，{}n x 单调递减，{}n x 单调递减有下界，故其极限存在． 令a x n n =∞→lim ，∵3221++⋅=+n n x x n n ∴=+∞→1lim n n x n n x ∞→lim ∞→n lim322++n n ， a a 21=， ∴0=a ，即 0lim =∞→n n x ．)2112111(lim nn +++++++∞→ （中科院） 评注 拆项：分母是两项的积，111)1(1+-=+n n n n插项：分子、分母相差一个常数时总可以插项．1111111+-=+-+=+n n n n n ３单调有界必有极限 常用方法：①n n x x -+1；②nn x x 1+；③归纳法；④导数法． )(1n n x f x =+ 0)(>'x f )(x f 单调递增12x x > )()(12x f x f > 23x x > 12x x < )()(12x f x f < 23x x <0)(<'x f )(x f 单调递减 12x x > )()(12x f x f < 23x x <12x x < )()(12x f x f > 23x x >不解决决问题．命题：)(1n n x f x =+，若)(x f 单调递增，且12x x >（12x x <），则{}n x 单调递增（单调递减）．例 求下列数列极限：（1）设0>A ，01>x ，)(211nn n x A x x +=+；（98，华中科大，10分） （2）设01>x ，nnn x x x ++=+3331；（04，武大）（3）设a x =0，b x =1，221--+=n n n x x x （ ,3,2=n ）．（2000,浙大） 解：（1）首先注意A x Ax x A x x nn n n n =⋅⋅≥+=+221)(211，所以{}n x 为有下界数列． 另一方面，因为0)(21)(211≤-=-+=-+n nn n n n n x x Ax x A x x x ．（或()121)1(21221=+≤+=+A Ax A x x nn n ）故{}n x 为单调递减数列．因而n n x ∞→lim 存在，且记为a ． 由极限的四则运算，在)(211nn n x Ax x +=+两端同时取极限∞→n ，得)(21aAa a +=．并注意到0>≥A x n ，解得A a =．（2）注意到33)1(333301<++=++=<+nn n n n x x x x x ，于是{}n x 为有界数列．另一方面，由)24)(3()3(2333333333333311211121121-------+++-=++-⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-=+-=-++=-n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x )2)(3(31121---++-=n n n x x x 知=---+11n n n n x x x x 02133)2)(3(311211121>+=+-++-------n n n n n n x x x x x x ． 即n n x x -+1与1--n n x x 保持同号，因此{}n x 为单调数列，所以n n x ∞→lim 存在（记为a ）．由极限的四则运算，在n n n x x x ++=+3331两端同时取极限∞→n ，得aaa ++=333．并注意到30<<n x ，解得3=a ．（3）由于nn n n n n n n n n a b x x x x x x x x x x x )2()2()2(2201112111--=--=--==--=-+=----+ , 又=+-=∑-=+0101)(x x x x n m m m n a a b a a b x nn m mn +-----=+--=∑-=)21(1)21(1)()2(1)(10,所以 n n x ∞→lim 323)(2)21(1)21(1lim)(a b a a b a a b nn +=+-=+-----=∞→． 评注１ 求递归数列的极限，主要利用单调有界必有极限的原理，用归纳法或已知的一些基本结果说明数列的单调、有界性．在说明递归数列单调性时，可用函数的单调性．下面给出一个重要的结论：设)(1n n x f x =+（ ,2,1=n ）I x n ∈，若)(x f 在区间I 上单调递增，且12x x >（或12x x <），则数列{}n x 单调递增（或单调递减）．评注2 第三小题的方法较为典型，根据所给的11,,-+n n n x x x 之间的关系，得到n n x x -+1与1--n n x x 的等式，再利用错位相减的思想，将数列通项n x 写成级数的表达式．例 设11,b a 为任意正数，且11b a ≤，设11112----+=n n n n n b a b a a ，11--=n n n b a b （ ,3,2=n ），则{}n a ，{}n b 收敛，且极限相同． 证明：由≤+=----11112n n n n n b a b a a 111122----n n n n b a b a n n n b b a ==--11，知≤=--11n n n b a b 111---=n n n b b b ．则10b b n ≤<，即{}n b 为单调有界数列．又10b b a n n ≤≤<，且=-+=-------1111112n n n n n n n a b a b a a a =+---------111121112n n n n n n n b a b a a b a 0)(11111≥+------n n n n n b a a b a ， 所以{}n a 亦为单调有界数列．由单调有界必有极限定理，n n a ∞→lim 与n n b ∞→lim 存在，且分别记为a 与b ．在11112----+=n n n n n b a b a a 与11--=n n n b a b 两端同时取极限∞→n ，得ba ab a +=2与ab b =．考虑到11,b a 为任意正数且110b b a a n n ≤≤≤<． 即得0≠=b a ．例 （1）设21=x ，nn x x 121+=+，求n n x ∞→lim ；（2）设01=x ，22=x ，且02311=---+n n n x x x （ ,3,2=n ），求n n x ∞→lim ．解：（1）假设n n x ∞→lim 存在且等于a ，由极限的四则运算，在nn x x 121+=+两端同时取极限∞→n ，得aa 12+=，即21±=a ． 又2>n x ，故21+=a ．下面只须验证数列{}a x n -趋于零（∞→n ）．由于<-<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-<+a x a x a x a x a x n n n n n 41121201a x n-⎪⎭⎫ ⎝⎛<141， 而∞→n lim 0411=-⎪⎭⎫⎝⎛a x n，由夹逼定理得=∞→n n x lim 21+=a ． （2）由02311=---+n n n x x x ，知=++n n x x 231=+-123n n x x =+--2123n n x x 62312=+=x x ， 则 2321+-=+n n x x ． 假设n n x ∞→lim 存在且等于a ，由极限的四则运算，得56=a ． 下面只须验证数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-56n x 趋于零（∞→n ）．由于 =-+-=--56232561n n x x =⎪⎭⎫⎝⎛---56321n x 56325632111⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-=--n n x ． 显然∞→n lim 056321=⋅⎪⎭⎫⎝⎛-n ，由夹逼定理得56lim =∞→n n x ．评注１ 两例题中均采用了“先求出结果后验证”的方法，当我们不能直接用单调有界必有极限定理时，可以先假设a x n n =∞→lim ，由递归方程求出a ，然后设法证明数列{}a x n -趋于零．评注２ 对数列{}n x ，若满足a x k a x n n -≤--1（ ,3,2=n ），其中10<<k ，则必有a x n n =∞→lim ．这一结论在验证极限存在或求解递归数列的极限时非常有用．评注３ 本例的第二小题还可用Cauchy 收敛原理验证它们极限的存在性．设1a >0，1+n a ＝n a ＋n a 1，证明n 1（04，上海交大）证 （1）要证n ＝1 ，只要证2lim 12nn a n →∞=，即只要证221lim 1(22)2n nn a a n n+→∞-=+-，即证221lim()2n n n a a +→∞-= （2）因1+n a ＝n a ＋n a 1，故110n n n a a a +-=>，1211n n na a a +=+ 2211112211()()112n n n n n n n n n n na a a a a a a a a a a +++++-=-+==++=+ 因此只要证21lim0n na →∞=，即只要证lim n n a →∞=∞（3）由110n n na a a +-=>知，{}n a 单调增加，假如{}n a 有上界，则{}n a 必有极限a ，由1+n a ＝n a ＋n a 1知，a ＝a ＋1a ，因此10a=，矛盾. 这表明{}n a 单调增加、没有上界，因此lim n n a →∞=∞. （证完）４ 利用序列的Cauchy 收敛准则例 （1）设21xx =（10≤≤x ），2221--=n n x x x ，求n n x ∞→lim ；（2）设111==y x ，n n n y x x 21+=+，n n n y x y +=+1，求nnn y x ∞→lim ； 解：（1）由21x x =（10≤≤x ），得211≤x ．假设21≤k x ，则412≤k x ．有=-=+2221k k x x x 21212≤-k x x由归纳法可得 21≤n x ． 于是 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=---++22222121n p n n pn x x x x x x111111212--+--+--+-≤-+=n p n n p n n p n x x x x x x 021211111→≤-≤≤-+-n p n x x （∞→n ）． 由Cauchy 收敛准则知：n n x ∞→lim 存在并记为a ，由极限的四则运算，在2221--=nn x x x 两端同时取极限∞→n ，得022=-+x a a ．注意到21≤n x ，故x a x n n ++-==∞→11lim ．（2）设nnn y x a =，显然1>n a . 由于nn n n n n n n a y x y x y x a ++=++==+++1112111,则 111111+++-+=-n n n n a a a a ()()<++-=--1111n n n n a a a a <<-- 141n n a a 12141a a n --. 于是=-+n p n a a n n p n p n p n p n a a a a a a -++-+-+-+-+-++1211 n n p n p n p n p n a a a a a a -++-+-≤+-+-+-++121112124141a a n p n -⎪⎭⎫⎝⎛++<--- 12141141141a a p n ---⋅=- 03141121→-⋅<-a a n (∞→n ). 由Cauchy 收敛准则知：n n x ∞→lim 存在并记为a . 由极限的四则运算，在nn a a ++=+1111两端同时取极限∞→n ，得22=a ． 注意到1>n a ，故=∞→n nn y x lim2lim =∞→n n a ． 评注1 Cauchy 收敛准则之所以重要就在于它不需要借助数列以外的任何数,只须根据数列各项之间的相互关系就能判断该数列的敛散性. 本例两小题都运用了Cauchy 收敛准则,但细节上稍有不同.其实第一小题可用第二小题的方法,只是在第一小题中数列{}n x 有界,因此有11111≤+≤-++x x x x p p .保证了定义中的N 仅与ε有关.评注2 “对N p ∈∀有()0lim =-+∞→n p n n x x ”这种说法与Cauchy 收敛准则并不一致．这里要求对每个固定的p ，可找到既与ε又与p 的关的Ｎ，当N n >，有ε<-+n p n x x ．而Cauchy 收敛准则要求所找到的Ｎ只能与任意的ε有关．５ 利用Stolz 定理计算数列极限例 求下列极限（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+++∞→421lim 3333n n n n（2）假设1222...lim ,lim 2n n n n a a na aa a n →∞→∞+++==证明：（00，大连理工，10）（04，上海交大）证明：Stolz 公式121211222212...(2...(1))(2...)limlim(1)(1)lim 212n n n n n n n n a a na a a na n a a a na n n n n a a n +→∞→∞+→∞++++++++++++=+-+==+（3）nn n ln 1211lim +++∞→ （4）n n n n 1232lim++++∞→ （5）n n an 2lim ∞→（1>a ）６ 关于否定命题的证明 （书上一些典型例题需背）a x n n ≠∞→lim{}n x 发散例 证明：nx n 131211++++= 发散．例 设0≠n a （ ,2,1=n ），且0lim =∞→n n a ，若存在极限l a a nn n =+∞→1lim，则1≤l ．（北大，20）７ 杂例 (1) )1(1321211lim +++⋅+⋅∞→n n n(2) （04，武大）2212lim(...),(1)11()1lim()11(1)1n n n n n n a a a an a a a a a a →∞→∞+++>-=-=--- (3) )1()1)(1(lim 22n n x x x +++∞→ (1<x);(4)设31=a ,n n n a a a +=+21（ ,2,1=n ），求：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++=∞→n n a a a l 111111lim 21 ．。

用数列极限的定义证明极限的例题1. 引言：极限，这是什么鬼？嘿，朋友们！今天我们来聊聊一个数学里的“小妖怪”——极限。

听到“极限”，大家可能会觉得心里一紧，像是看到一只可怕的蜘蛛，但其实它并没有那么可怕。

我们只需要用点小技巧，就能把它变成温顺的小猫咪。

极限的定义其实就像是一把钥匙，可以打开理解数列行为的神秘大门。

那么，准备好了吗？让我们一起探个究竟！2. 极限的定义：简单明了，没啥难的2.1 数列和极限首先，极限是个啥？简单说，就是数列在无限接近某个值的时候的“最终状态”。

比如说，想象一下你在海边，海浪一波接一波，你在等着最后一波冲到脚边。

那个脚边的水位，就是极限了。

更具体一点，假设我们有一个数列 ( a_n )，它的极限是 ( L )，那就意味着当 ( n ) 越来越大，( a_n ) 就会越来越接近 ( L )。

这就好比是你一路向前跑，目标就是那棵大树，跑得越快，你离树就越近。

2.2 形式化的定义现在我们把这个概念再说得正式一点。

根据极限的定义，如果对每一个小于( epsilon ) 的正数（就是一个小数，比如0.01，0.001啥的），都能找到一个正整数( N )，使得当 ( n > N ) 时，( |a_n L| < epsilon )。

哎呀，听上去有点复杂，但只要你理解了“接近”的感觉，就没问题了。

这就像是在说，只要我足够努力，就一定能让我的距离越来越小，直到几乎碰到目标。

3. 例子时间：举个栗子3.1 经典数列好了，咱们来个具体的例子吧，帮大家消化一下。

考虑数列 ( a_n = frac{1{n )。

那么，这个数列的极限是啥呢？从名字上看，它好像越来越小，越来越小。

其实没错，随着 ( n ) 的增加，( a_n ) 确实是往0靠近的。

那么，按照咱们刚才说的定义，咱们得找个 ( epsilon > 0 )，比如说 ( epsilon =0.01 )。

接下来，我们要找一个 ( N )，使得当 ( n > N ) 时，( |a_n 0| < 0.01 )。

数列极限习题及答案数列极限习题及答案数列是数学中的重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用。

数列的极限是数学分析中的基本概念之一，它描述了数列随着项数的增加趋向于某个确定的值。

在这篇文章中，我们将讨论一些关于数列极限的习题，并给出相应的答案。

1. 习题一：考虑数列{an}，其中an = 1/n。

求该数列的极限。

解答：要求该数列的极限，我们需要计算当n趋向于无穷大时，数列的值趋向于的值。

对于这个数列，当n趋向于无穷大时，an的值趋向于0。

因此，该数列的极限为0。

2. 习题二：考虑数列{bn}，其中bn = (-1)^n/n。

求该数列的极限。

解答：对于这个数列，当n为奇数时，bn = -1/n；当n为偶数时，bn = 1/n。

当n趋向于无穷大时，奇数项和偶数项的绝对值都趋向于无穷大。

但是，由于数列中的负号交替出现，所以数列的极限不存在。

3. 习题三：考虑数列{cn}，其中cn = (n+1)/n。

求该数列的极限。

解答：对于这个数列，当n趋向于无穷大时，cn的值趋向于1。

因此，该数列的极限为1。

4. 习题四：考虑数列{dn}，其中dn = 2^n/n!。

求该数列的极限。

解答：要求该数列的极限，可以尝试计算数列的前几项并观察规律。

当n取1时，d1 = 2/1 = 2；当n取2时，d2 = 4/2 = 2；当n取3时，d3 = 8/6 = 4/3；当n取4时，d4 = 16/24 = 2/3。

观察可以发现，当n趋向于无穷大时，数列的值趋向于0。

因此，该数列的极限为0。

5. 习题五：考虑数列{en}，其中en = (1+1/n)^n。

求该数列的极限。

解答：对于这个数列，当n趋向于无穷大时，(1+1/n)^n的值趋向于自然对数e 的值。

因此，该数列的极限为e。

通过以上习题的讨论，我们可以看到数列的极限与数列的定义和表达式有着密切的关系。

在计算数列的极限时，我们需要观察数列的规律，并利用数学知识进行推导和计算。

数列极限的概念在数学分析中有着广泛的应用，例如在微积分、实分析等领域中都会涉及到。