3第一讲__数列地极限典型例题

第一讲 数列极限一、上、下确界 1、定义：1）设S R ⊂，若:,M R x S x M ∃∈∀∈≤，则称M 是数集S 的一个上界，这时称S 上有界；若:,L R x S x L ∃∈∀∈≥，则称L 是数集S 的一个下界，这时称S 下有界；当S 既有上界又有下界时就称S为有界数集。

2）设S R ⊂，若:,M R x S x M ∃∈∀∈≤，且0,:x S x M εε∀>∃∈>-，则称M 是数集S 的上确界，记sup M S =；若:,L R x S x L ∃∈∀∈≥，且0,:x S x L εε∀>∃∈<+，则称L 是数集S 的下确界，记inf L S =。

2、性质： 1）（确界原理）设S R ⊂，S ≠∅，若S 有上界，则S 有上确界；若S 有下界，则S 有下确界。

2）当S 无上界时，记sup S =+∞；当S 无下界时，记inf S =-∞。

3）sup()max{sup ,sup };inf()min{inf ,inf }AB A B A B A B ==。

4）sup inf();inf sup()S S S S =--=--。

5）sup()sup sup ;inf()inf inf A B A B A B A B +=++=+。

6）sup()sup inf A B A B -=-。

（武大93） 7）设(),()f x g x 是D 上的有界函数，则inf ()inf ()inf{()()}sup ()inf ()sup{()()}sup ()sup ()x Dx Df Dg D f x g x f D g D f x g x f D g D ∈∈+≤+≤+≤+≤+3、应用研究1）设{}n x 为一个正无穷大数列，E 为{}n x 的一切项组成的数集，试证必存在自然数p ，使得inf p x E =。

（武大94） 二、数列极限 1、定义：1）lim 0,():,||n n n a a N N n N a a εεε→∞=⇔∀>∃=>-<，称{}n a 为收敛数列；2）lim 0,:,n n n a M N n N a M →∞=+∞⇔∀>∃>>，称{}n a 为+∞数列；3）lim 0,:,n n n a M N n N a M →∞=-∞⇔∀>∃><-，称{}n a 为-∞数列；4）lim 0,:,||n n n a M N n N a M →∞=∞⇔∀>∃>>，称{}n a 为∞数列；5）lim 0n n a →∞=，称{}n a 为无穷小数列；2、性质1）唯一性：若lim ,lim n n n n a a a b a b →∞→∞==⇒=。

大一高数数列的极限证明经典例题
高数数列极限证明：
一、定义
1、定义数列：用a1，a2，a3，…an来表示，其中每个数字
ai(i=1,2,3，…，n)都是实数，n∈N。

2、定义极限：若存在一个实数L，使得对于任意的正数ε，总存在一个正整数N，使得当n>N时，就有|an–L|<ε，即an收敛于L时，就称L是数列{an}的极限。

二、证明
1、准备工作：假设an收敛于L，即存在正整数N，使得当n>N时，就有|an–L|<ε。

2、正式证明：证明L是数列{an}的极限：
（1）对于任意ε>0，
因为L是数列{an}的极限，故对于ε我们找到了N，使得当n>N时，就有|an-L|<ε。

（2）得出结论：因此，L是数列{an}的极限。

三、总结
通过上述定义和证明，高数数列的极限的证明就完成了，它的总结如下：
1、当我们假设数列{an}的极限为L，对任意正数ε>0，总存在一个正整数N，使得当n>N时，就有|an-L|<ε，即已经证明L是数列{an}的极限。

2、本题中，通过定义和证明，让我们清楚了解了高数数列的极限的概念和证明方法，也可以为下一步探讨极限打下坚实基础。

高等数学数列极限收敛60道典型例题分步骤详解数列收敛，换言之就是数列极限存在，此类问题历来都是高数考试的重点和难点，也是倍受命题老师青睐的“宠儿”。

数列收敛题型大致可分为两大类：第一类，数列的一般项（也称“通项”）已知；第二类，数列的一般项（通项）未知，尤其是由递推公式60道数列收敛典型例题，每道题都给出了详细的解题步骤。

网友们请注意，本文60个例题中如果用方括号标明年份的，均为当年考研真题。

第一类数列的一般项（通项）已知1.【2008真题】设解：原式. 具体求解过程如下（运用“两边夹”定理）：2.✧解法（一）原式✧解法（二）原式=3.✧解法（一）分子有理化（分母视为“1”）原式✧解法（二）利用等价无穷小替换原式【注：】4.✧解法（一）✧解法（二）原式【注：, 】5.解：本题求极限，推荐“两边夹定理”。

解题过程如下：令显然可知，当因此，根据“两边夹定理”得到6.解：本题求极限推荐“两边夹定理”.令7.解原式=8.解原式=】9.解法（一）利用公式原式】==１✧．原式=】==１10.解：原式。

正确的解法如下：原式==【注：】==11.✧解法（一）利用等价无穷小替换原式=】==✧解法（二）利用中值定理，注意求导公式原式【注：】=12.【2002真题】，✧解法（一）利用等无穷小替换✧原式===✧解法（二）利用“两边夹定理”，【注意：】原式=13.✧原式=【注：】=✧解法（二）利用等价无穷小替换原式=】14.解：此数列求极限推荐等价无穷小替换。

解法如下：原式==】=】15.✧解法（一）利用等价无穷小替换原式【注：】=【注：归结原则】✧【注：】16.解：本题求极限，“两边夹”定理、单调有界准则、定积分定义等方法似乎均不太“给力”，需将变量连续化，也就是将离散变量n替换为连续变量x，再运用包括洛必达法则在内的求解函数极限的方法.详细过程如下：17.✧解法（一）利用导数定义原式===【注：的指数部分，正是按定义所求的函数在处的导数.】【】=✧解法（二）拉格郎日中值定理，注意求导公式原式=====【注：=【注：本题推荐中值定理。

求数列极限的方法总结及例题以《求数列极限的方法总结及例题》为标题，写一篇3000字的中文文章一、什么是数列极限数列极限是数学中非常重要的概念，它是指当数列中的每一项都确定时，其值是无限值，而它表示的数字则不会变化。

数列极限是描述数字趋势的一种抽象思想，它可以帮助我们理解许多数学问题。

然而，要求出数列极限的思路并不是十分简单，需要我们熟悉一些基本的数学知识和求极限的方法来推导出最终的结果。

二、常用的求极限的方法1.t极限定义法。

在求极限的过程中，极限定义法是最基本也是最强有力的一种方法，它可以使用限定条件将极限运算表达式化简，这样最终可以得出一个易于理解的极限表达式。

2.t化为无穷积分法。

将极限表达式进行拆分变形，将复杂的极限表达式化为无穷积分的形式，利用积分的性质来求解极限。

3.t求解解微分方程求解极限。

这种求极限的方法由求解解微分方程的极限问题引出，其本质是求解极限问题时将表达式进行拆分化简，将复杂的极限表达式化为微分方程来求解极限。

4.t比较定理。

具有相同极限值的函数可以用比较定理来求极限，其本质是利用比较定理来求出未知项的极限值。

三、例题例1：已知数列{an}为正数序列，且满足liman= 0，求lim(1/an)解：用极限定义法求解，lim(1/an)=lim(1/liman)=1/0，根据定义，1/0不存在，即数列的极限不存在。

例2：已知数列{an}为正数序列，求lim(1/an+1/bn)解：用比较定理求解，lim(1/an+1/bn)=lim(1/an)+lim(1/bn)根据定义， lim(1/an)=lim(1/bn)=0，所以lim(1/an+1/bn)=0+0=0。

四、总结从上面的分析中可以发现，要求数列极限的法子有很多，只需要熟悉基本思路，就可以把数列极限问题解决出来。

其中极限定义法是最基本也是最强有力的一种方法，它可以将极限运算表达式简化；而化为无穷积分法可以将复杂的极限表达式化为无穷积分的形式；求解解微分方程求解极限方法则是求解极限问题时将表达式进行拆分；比较定理则是利用比较定理来求出未知项的极限值。

【课堂例题】例1.考察下列数列，写出它们的极限：(1)35721 ,,,,, 123nn+(2)11111,,,,,(), 248162n---(3)230.99,0.99,0.99,,0.99,n例2.判断数列15.9,6.01,5.999,6.0001,6(),10n+-有没有极限，并说明理由.例3.下列数列是否存在极限?(1)1,1,1,,1,(2)1,1,1,,(1),n---(3)771,101,10 nnann⎧≤⎪=⎨>⎪⎩【知识再现】1.一般地，在n 无限增大的变化过程中，如果无穷数列{}n a 中的n a 常数A ，那么A 叫做数列{}n a 的极限，或称数列{}n a 于A ，记作 .2.两个常见数列的极限： ①1limn n→∞= ；②当a 满足 时，lim n n a →∞= .【基础训练】1.下列数列中，极限存在的数列是（ ）（A ）(1)10,1,0,1,,,2n -+ ； （B ）23,,,,,n ππππ ； （C ）2482,,,,,39273n ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ； （D ）39273,,,,,2482n⎛⎫ ⎪⎝⎭.2.分别判断数列{}n a 是否有极限，并利用两个常见数列的极限简述理由.(1)1n n a n +=， ；(2)112nn a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， .3.判断下列数列是否有极限，若有，写出极限值：(1)7,7,7,,7, ；(2)3,3,3,,3(1),n --⋅- ； (3)2,4,6,,2,n ；(4)1210,,,,1,23n--- . 4.数列{}n a 的通项公式1,12011,1,2012,2nn n n n a n +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭⎩则lim n n a →∞= . 5.(1)已知数列{}n a 的通项公式3221n n a n +=-，填写下表，并判断这个数列是否有极限.(2)已知数列{}n a 的通项公式221,n n a n +=填写下表，并判断这个数列是否有极限.6.判断下列关于数列极限的叙述是否正确，若不正确请举出反例. (1)如果11,2n n >所以11lim lim 2n n n n→∞→∞>.(2)如果lim ,n n a A →∞=那么对一切正整数n ，都有n a A ≤.(3)如果22lim ,n n a A →∞=那么lim n n a A →∞=7.利用计算器，判断下列数列是否存在极限.(1)n a = (2)1sinn b n n=.【巩固提高】8.举出两个极限为2的数列,要求一个各项均大于2,另一个各项均小于2.9.已知数列{}n a 与{}n b 的通项公式分别是(1)21nn n a n -⋅=-，**11,21,12,2,n n k k N nb n k k N n⎧+=-∈⎪⎪=⎨⎪-=∈⎪⎩，判断这两个数列是否有极限，并简述理由.(选做)10.利用数列极限定义，证明：33lim 144n n n →∞=+.【温故知新】 11.已知数列1(1)n a n n =+，前n 项和为n S ，则lim n n S →∞= .【课堂例题答案】例1.(1)21lim2n n n →∞+=;(2)1lim()02n n →∞-=;(3)lim 0.990n n →∞=例2.1lim[6()]610nn →∞+-=因为11lim |6()6|lim()01010n nn n →∞→∞+--==例3.(1)lim11n →∞=；(2)极限不存在；(3)lim 0n n a →∞=【知识再现答案】1.无限趋近于；收敛；lim n n a A →∞=.2.0，||1a <，0 【习题答案】 1.C2.(1)1lim 1,|1|,lim |1|0n n n n n a a a n →∞→∞=-=∴-= (2)1lim 1,|1|,lim |1|02n n n n n n a a a →∞→∞=-=∴-= 3.(1)7；(2)无；(3)无；(4)-1； 4.05.(1)3lim n n a →∞=n6.(1)不正确，limlim 2n n n n →∞→∞= (2)不正确，0,lim 0n nn →∞>= (3)不正确，22lim(1)1,lim(1)1n n →∞→∞-=-≠7.(1)1n =;(2)1lim(sin )1n n n→∞=8.112,2n n a b n n=+=-,答案不唯一. 9.lim n n a →∞不存在，21()2n a n →→∞，211()2n a n -→-→∞； lim n n b →∞不存在，22()n b n →→∞， 211()n b n -→→∞.一个数列的极限若存在，则极限值是唯一的.10.证：0ε∀>，存在031[]1164n ε=-+ 当0n n >时，3333||314416416()16n n n εε-=<=++因此33lim144n n n →∞=+ 证毕 11.1。

数列的极限一、知识要点1数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即|a n －a |无限地接近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限记作l i m n n a a →∞=．（注：a 不一定是｛a n ｝中的项）2几个重要极限：（1）01lim=∞→nn （2）C C n =∞→lim （C 是常数）（3）()()()⎪⎩⎪⎨⎧-=>=<=∞→1,11,110lim a a a a a nn 或不存在，（4）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=>=++++++++----∞→)()()(0lim 011101110t s t s b a t s b n b n b n b a n a n a n a s s s s t t t t n 不存在3.数列极限的运算法则:如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞→∞→那么B A b a n n n +=+∞→)(lim B A b a n n n -=-∞→)(limB A b a n n n .).(lim =∞→0(lim≠=∞→B B Ab a nn n4．无穷等比数列的各项和⑴公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n 项的和，当n 无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做lim n n S S →∞=⑵1lim ,(0||1)1n n a S S q q→∞==<<- 二、方法与技巧⑴只有无穷数列才可能有极限，有限数列无极限.⑵运用数列极限的运算法则求数列极限应注意法则适应的前提条件.（参与运算的数列都有极限，运算法则适应有限个数列情形） ⑶求数列极限最后往往转化为()N m nm ∈1或()1<q q n型的极限.⑷求极限的常用方法： ①分子、分母同时除以m n 或n a .②求和（或积）的极限一般先求和（或积）再求极限. ③利用已知数列极限（如() 01lim,10lim =<=∞→∞→nq q n n n 等）. ④含参数问题应对参数进行分类讨论求极限.⑤∞－∞,∞∞,0－0,0等形式，必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限 题型讲解例1 求下列式子的极限： ①nnn )1(lim-∞→； ②∞→n lim 112322+++n n n ； ③∞→n lim 1122++n n ； ④∞→n lim 757222+++n n n ; （2）∞→n lim （n n +2－n ）;（3）∞→n lim （22n +24n +…+22n n ） 例2()B A b a B b A a n n n n n n n +=+==∞→∞→∞→lim lim ,lim 是的（ ）A 充分必要条件B 充分不必要条件C 必要不充分条件D 既不充分又不必要条件例3 数列{a n }和{b n }都是公差不为0的等差数列，且nn n b a ∞→lim =3,求n nn nb a a a 221lim +++∞→ 的值为例4 求nn nn n a a a a --∞→+-lim （a >0);例5 已知1)11(lim 2=--++∞→b an n n n ,求实数a,b 的值;例6 已知等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q ,且有∞→n lim （q a +11－q n ）=21,求a 1的取值范围例7 已知数列｛a n ｝是由正数构成的数列，a 1＝3，且满足lg a n ＝lg a n －1＋lg c ，其中n 是大于1的整数，c 是正数．（1）求数列｛a n ｝的通项公式及前n 和S n ；（2）求∞→n lim 1122+-+-n n n n a a 的值．数列极限课后检测1下列极限正确的个数是（ ）①∞→n lim αn 1=0（α＞0） ②∞→n lim q n =0 ③∞→n lim n n n n 3232+-=－1 ④∞→n lim C =C （C 为常数） A 2 B 3 C 4D 都不正确 3下列四个命题中正确的是（ ）A 若∞→n lim a n 2＝A 2，则∞→n lim a n ＝AB 若a n ＞0，∞→n lim a n ＝A ，则A ＞0C 若∞→n lim a n ＝A ，则∞→n lim a n 2＝A 2D 若∞→n lim （a n －b ）＝0，则∞→n lim a n ＝∞→n lim b n5若数列{a n }的通项公式是a n =2)23()1(23n n n n n ------++,n =1,2,…,则∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）等于（ ） A 11 B 17 C 19 D 256数列{a n }中,n a 的极限存在，a 1=51,a n +a n +1=156+n ,n ∈N *,则∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）等于（ ）A 52B 72C 41D 254 7．∞→n lim n n ++++ 212=__________∞→n lim 32222-+n nn =____________∞→n lim ［n （1－31）（1－41）（1－51）…（1－21+n ）］= 8已知a 、b 、c 是实常数，且∞→n lim c bn c an ++=2,∞→n lim b cn c bn --22=3,则∞→n lim acn c an ++22的值是（ ）9 {a n }中a 1=3，且对任意大于1的正整数n ,点（n a ,1-n a ）在直线x －y －3=0上，则∞→n lim2)1(+n a n =_____________10等比数列{a n }公比q =－21,且∞→n lim （a 1+a 3+a 5+…+a 2n －1）=38,则a 1=_____________11已知数列｛a n ｝满足（n －1）a n +1=（n +1）（a n －1）且a 2=6,设b n =a n +n （n ∈N *）（1）求{b n }的通项公式；（2）求∞→n lim （212-b +213-b +214-b +…+21-n b ）的值 12已知{a n }、{b n }都是无穷等差数列,其中a 1=3,b 1=2,b 2是a 2与a 3的等差中项,且∞→n limn n b a =21, 求极限∞→n lim （111b a +221b a +…+nn b a 1）的值例题解析答案例1n的分子有界，分可以无限增大，因此极限为0；②112322+++n n n 的分子次数等于分母次数，极限为两首项(最高项)系数之比； ③∞→n lim1122++n n 的分子次数小于于分母次数，极限为0解：①0nn =； ②2222213321lim lim 3111n n n n n n n n→∞→∞++++==++； ③∞→n lim 2222121lim lim 0111n n n n n n n→∞→∞++==++ 点评：分子次数高于分母次数，极限不存在；分析:（4）因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以n 2后再求极限；（5）因n n +2与n 都没有极限，可先分子有理化再求极限；（6）因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限解:（1）∞→n lim 757222+++n n n =∞→n lim 2275712nn n +++52 （2）∞→n lim （n n +2－n ）=∞→n limnn n n ++2=∞→n lim1111++n21（3）原式=∞→n lim22642n n ++++ =∞→n lim 2)1(n n n +=∞→n lim （1+n1）=1 点评：对于（1）要避免下面两种错误：①原式=)75(lim )72(lim 22+++∞→∞→n n n n n =∞∞=1,②∵∞→n lim（2n 2+n +7）,∞→n lim （5n 2+7）不存在，∴原式无极限对于（2）要避免出现下面两种错误：①∞→n lim （n n +2－n ）=∞→n limn n +2－∞→n lim n =∞－∞=0;②原式=∞→n limn n +2－∞→n lim n =∞－∞不存在对于（3）要避免出现原式=∞→n lim 22n +∞→n lim 24n +…+∞→n lim22n n =0+0+…+0=0这样的错误 例2 B例3 数列{a n }和{b n }都是公差不为0的等差数列，且nn n b a ∞→lim =3,求n nn nb a a a 221lim +++∞→ 的值为解：由nnn b a ∞→lim=3⇒d 1=3d 2，∴n n n nb a a a 221lim +++∞→ =2121114])12([2)1(limd d d n b n d n n na n =-+-+∞→43 点评：化归思想 例4 求nn nn n a a a a --∞→+-lim （a >0);解：nnnn n a a a a --∞→+-lim =⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧<<-=+-=>=+-∞→∞→).10(111lim ),1(0),1(11111lim 2222a a a a a a a n nn n n n 点评：注意分类讨论例5 已知1)11(lim 2=--++∞→b an n n n ,求实数a,b 的值; 解：11)()1(lim 2++-+--∞→n b n b a n a n =1，∴⎩⎨⎧=+-=-1)(01b a a ⇒a=1,b=─1例6已知等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q ,且有∞→n lim （q a +11－q n ）=21,求a 1的取值范围 解:∞→n lim （q a +11－q n ）=21, ∴∞→n lim q n 一定存在∴0＜|q |＜1或q =1当q =1时，21a －1=21,∴a 1=3 当0＜|q |＜1时，由∞→n lim （q a +11－q n ）=21得q a +11=21,∴2a 1－1=q ∴0＜|2a 1－1|＜1∴0＜a 1＜1且a 121 综上,得0＜a 1＜1且a 1≠21或a 1=3 例7 已知数列｛a n ｝是由正数构成的数列，a 1＝3，且满足lg a n ＝lg a n －1＋lg c ，其中n 是大于1的整数，c 是正数．（1）求数列｛a n ｝的通项公式及前n 和S n ；（2）求∞→n lim1122+-+-n n n n a a 的值．解:（1）由已知得a n ＝ｃ·a n －1,∴｛a n ｝是以a 1＝3，公比为c 的等比数列，则a n ＝3·ｃn －1∴S n ＝⎪⎩⎪⎨⎧≠>--=).10(1)1(3)1(3c c cc c n n 且（2）∞→n lim1122+-+-n nn n a a ＝∞→n lim n n n n c 3211--- ①当c =2时，原式＝－41; ②当ｃ＞2时，原式＝∞→n lim c cc n n 3)2(23)2(11+⋅---＝－c 1;③当0＜ｃ＜2时，原式=∞→n lim 11)2(32)2(31--⋅+-n n c c c 21点评：求数列极限时要注意分类讨论思想的应用 试卷解析 1 答案:B3解析:排除法，取a n ＝（－１）n ，排除A ；取a n ＝n1，排除Ｂ；取a n ＝b n ＝n ，排除D ．答案:C 5 解析:a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-++--+--------),(22323),(2)23(23为偶数为奇数n n nn nnn n n n 即a n =⎪⎩⎪⎨⎧--).3),(2(为偶数为奇数n n n n∴a 1+a 2+…+a n =（2－1+2－3+2－5+…）+（3－2+3－4+3－6+…）∴∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）=411213132122221-=-+-----+91191-=.2419答案:C6 解析:2（a 1+a 2+…+a n ）=a 1+［（a 1+a 2）+（a 2+a 3）+（a 3+a 4）+…+（a n －1+a n ）］+a n =51+[256+356+…+n 56]+a n ∴原式=21［51+511256-+∞→n lim a n ］=21（51+103+∞→n lim a n ） ∵a n +a n +1=156+n ,∴∞→n lim a n +∞→n lim a n +1=0∴∞→n lim a n =0答案:C7解析:原式=∞→n lim2)1(2++n n n =∞→n lim 221212nnn ++=0∞→n lim 32222-+n n n =∞→n lim 23221nn -+21 解析:∞→n lim ［n （1－31）（1－41）（1－51）…（1－21+n ）］=∞→n lim ［n ×32×43×54×…×21++n n ］=∞→n lim 22+n n=2 答案:C 8解析:答案:D 由∞→n lim cbn can ++=2,得a =2b由∞→n lim b cn c bn --22=3,得b =3c ,∴c =31b ∴c a =6∴∞→n lim a cn c an ++22=∞→n lim 22na c n ca ++=ca =69析:由题意得n a －1-n a =3 （n ≥2）∴{n a }是公差为3的等差数列，1a∴n a =3+（n －1）·3=3n ∴a n =3n 2∴∞→n lim 2)1(+n a n=∞→n lim 12322++n n n =∞→n lim21213nn ++=3 10析:∵q =－21,∴∞→n lim （a 1+a 3+a 5+…+a 2n －1）=4111-a 38∴a 1=2 11 解:（1）n =1时，由（n －1）a n +1=（n +1）（a n －1）,得a 1=1n =2时，a 2=6代入得a 3=15同理a 4=28,再代入b n =a n +n ,有b 1=2,b 2=8,b 3=18,b 4=32,由此猜想b n =2n 2要证b n =2n 2,只需证a n =2n 2－n①当n =1时，a 1=2×12－1=1成立②假设当n =k 时，a k =2k 2－k 成立那么当n =k +1时，由（k －1）a k +1=（k +1）（a k －1）,得a k +1=11-+k k （a k －1） =11-+k k （2k 2－k －1）=11-+k k （2k +1）（k －1）=（k +1）（2k +1）=2（k +1）2－（k +1） ∴当n =k +1时，a n =2n 2－n 正确，从而b n =2n 2（2）∞→n lim （212-b +213-b +…+21-n b ）=∞→n lim （61+161+…+2212-n ）=21∞→n lim ［311⨯+421⨯+…+)1)(1(1+-n n ］ =41∞→n lim ［1－31+21－41+…+11-n －11+n ］=41∞→n lim ［1+21－n 1－11+n ］8312 解:{a n }、{b n }的公差分别为d 1、d 2∵2b 2=a 2+a 3,即2（2+d 2）=（3+d 1）+（3+2d 1）,∴2d 2－3d 1=2又∞→n limn n b a =∞→n lim 21)1(2)1(3d n d n -+-+=21d d =21,即d 2=2d 1, ∴d 1=2,d 2=4∴a n =a 1+（n －1）d 1=2n +1,b n =b 1+（n －1）d 2=4n －2∴n n b a 1=)24()12(1-⋅+n n =41（121-n －121+n ）∴原式=∞→n lim 41（1－121+n ）=41。

第一讲 极限一般地，在n 无限增大的变化过程中，如果无穷数列{a n }中的项a n 无限趋近于某个常数A ，那么称A 为数列{a n }的极限。

记作lim n n a A →∞=。

读作“n 趋向无穷大时，数列{a n }的极限等于A ”。

例 判断下列数列是否有极限，如果有极限，给出它的极限；如果没有极限，说明理由。

（1）14，1，94，4，254，…，24n ，…；（2）-1，1，-1，1，…，(1)n -，…； （3）-3，-3，-3，…，-3，…。

例 判断下列说法是否正确，并说明理由。

（1）数列3，3，3，…，3的极限是3。

（2）数列11012n nn a n =⎧=⎨⎩≥的极限是0；（3）数列(1)n n a =-的极限为1lim 1n n n a n →∞⎧=⎨-⎩为偶数为奇数。

（4）数列1n a n n=+满足1lim ||lim 0n n n a n n →∞→∞-==，所以lim n n a n →∞=。

（5）在n 无限增大的变化过程中，如果无穷数列{a n }中的项a n 越来越接近于某个常数c ，那么称c 是数列的极限。

一些基本结论极限的准确定义定义 若对任何ε＞0，总存在正整数N ，当n ＞N 时，|x n -a |< ε，即(,)n x U a ε∈，则称数列{x n }收敛，a 称为数列{x n }当n →∞时的极限，记为lim n n x →∞=a 或 x n →a （n →∞）．数列极限的运算性质如果lim n →∞a n =A ，lim n →∞b n =B ，那么（1）lim n →∞(a n ±b n )=lim n →∞a n ±lim n →∞b n =A ±B ；（2）lim n →∞(a n ×b n )=lim n →∞a n ×lim n →∞b n =A ×B ；（3）lim n n na b →∞=lim lim n nn n a b →∞→∞=A B （B ≠0，b n ≠0）。

求数列极限的方法总结及例题关于数列极限的几个有关问题： 1、定义在数学中，数列极限是指对数列的各项，分别取某个确定的量x(一般是正数或0)时，对数列的极限。

数列的极限是很重要的概念，也是整个数学的一个非常重要的概念。

2、怎样求n个数？分成两种情况：第一种情况，已知数列的前n项和为c，求其极限n(n是自然数)就是一项一项去求；第二种情况，对数列的每一项取自然数a，则该数列的极限就是这个数列与取极限的那个自然数a之差的绝对值。

如果是已知前n项的和，且满足条件1， 2， 3，…， n，则一次可以把它们写成几个递减的数列的和。

对数列求极限，实际上是对数列中未知数的求导数，用高中阶段所学的求导方法即可。

3、能不能用分类讨论法来证明数列？可以的。

但需要你对数列有比较全面的了解。

如果只是熟悉数列，想通过直接求极限来证明，显然行不通。

但是如果是通过给数列分类，利用分类求和公式证明也是可以的。

如果数列中出现了极限，则说明数列发生了变化。

数列的极限就是该数列与取极限的那个自然数a之差的绝对值。

所以我们可以先将数列进行分类，再分别求出每一类的极限，利用它们之间的关系进行推理证明。

当然还可以借助等比数列的前n项和公式求出数列的极限。

4、数列中的项，怎样才可以取到最大或最小值呢？我们认为，对于任意给定的数列，数列的极限都不会出现两个，并且最大或最小的数都是唯一的，而不是任意取的。

因此，如果数列中存在两个极限，则只能从这两个极限中选取一个。

也就是说，取极限时，我们可以根据极限的性质进行取舍。

5、数列中的某些数据怎样才可以取到最大或最小值呢？我们认为，数列极限都是取到极限中的某一个数，而不是在极限中取最大或最小值。

数列中的数据最大或最小值就是极限值的两倍。

也就是说，对于数列最大或最小值，我们可以用两个不同的数据取它的最大或最小值，从而取到两个不同的极限值。

例如，如果数列中存在两个极限，且两个极限都是1，则数列极限只能取1，但是对于数列的某些数据，如果数据是2， 4， 8，…，则我们完全可以用数据是2取它的极限值。