乘法公式--平方差公式ppt(1)

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《乘法公式》PPT课件教学课件初中数学1

分析： (a+b)2
(a−b)2
4ab
(a+b)2 =a2+2ab+b2
a2+b2
(a−b)2
=a2−2ab+b2 ab=？
巩固练习
练习已知(a+b)2=7，(a−b)2=3，求a2+b2的值.
解： ∵ ( a + b ) 2= a 2+ 2 a b + b 2，
(a−b)2=a2−2ab+b2，
(a±b)2 = a2±2ab+b2. (a±b)2=a2±2ab+b2． (a+b)(a−b)=a2−b2. 平方差公式：(a+b)(a−b) =a2−b2. 例运用乘法公式计算： (a+b)(a−b) =a2−b2； = x4−8x2y2+16y4； x2+y2= (x−y)2+2xy 例运用乘法公式计算：两数和的完全平方公式：乘法交换律： a×b=b×a. (1) (x+y+1)(x+y−1)
例题讲解
例求代数式的值：
(2) 已知x−y=6，xy=−8，求x2＋y2的值.
分析： x−y , xy
x2＋y2
(x−y)2=x2−2xy+y2
x2+y2= (x−y)2+2xy
例题讲解
例求代数式的值： (2) 已知x−y=6，xy=−8，求x2＋y2的值. 解： ∵ ( x − y ) 2= x 2− 2 x y + y 2，
= x2+6xy+9y2−x2+9y2
4.灵活运用公式：
= x2+6xy+9y2−(x2−9y2)

八年级数学《平方差公式》课件图文详解

知2－导
利用这个公式，可以直接计算两数和乘以这两数的差.
这两个特殊的多项式相乘，得到的结果特别简洁:
(a + b) (a－b)=a2 －b2.
这就是说，两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差. 这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式，有时也简称为平方差公式.
知2－讲
平方差公式：两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差．用式子表示为：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
-2 0192 =2 0192-1-2 0192=-1.
总结
知3－讲
本题运用转化思想求解．运用平方差公式计算两数乘积问题，关键是找到这两个数的平均数，再将原两个数与这个平均数进行比较，变形成两数的和与这两数的差的积的形式，利用平方差公式可求解．
知3－练
1 计算2 0162－2 015×2 017的结果是( )
项的平方减去相反项的平方 . 3. 理解字母a,b的意义，平方差公式中的a,b既
可代表一个单项式，也可代表一个多项式 .
知1－讲
知1－练
1 下列计算能运用平方差公式的是( )
A．(m＋n)(－m－n)
B．(2x＋3)(3x－2)
C．(5a2－b2c)(bc2＋5a2)
D.
2 3
m2
3 4
解: (1) (a+3)(a-3)=a2-32=a2-9. (2)(2a+3b)(2a-3b)=(2a)2-(3b)2=4a2-9b2. (3) (1+2c)(1-2c)=12-(2c)2=1-4c2. (4)(-2x-y)(2x-y)=(-y-2x)(-y+2x)=(-y)2-(2x)2=y2-4x2.
n3

平方差公式课件PPT

$(a+b-c)^2 = a^2 + b^2 - c^2 + 2ab - 2bc$
$(a-b+c)^2 = a^2 - b^2 + c^2 + 2(ab)c$
平方差公式的其他变种形式
$(a+b)^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ $(a-b)^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$
平方差公式课件
目录
CONTENTS
• 平方差公式的基本概念 • 平方差公式的推导过程 • 平方差公式的证明 • 平方差公式的应用举例 • 平方差公式的变种 • 总结与回顾
01 平方差公式的基本概念
平方差公式的定义
总结词
平方差公式是数学中一个重要的恒等式，用于表示两个数的平方差与这两个数之间的关系。
$(a+b+c)^3 = (a+b+c)(a^2 - ab + b^2 - ac + bc - c^2)$
06 总结与回顾
本节课的重点回顾
01
02
03
04
平方差公式的形式和结构
平方差公式的推导过程
平方差公式的应用范围和条件
平方差公式的代数表示和几何意义
本节课的难点解析
01
02
03
04
如何理解和记忆平方差公式的形式和结构
目标
证明该公式成立
证明的步骤
01
02
03
步骤1
展开左侧，得到 $(a+b)(a-b) = a^2 b^2 + ab - ab$
步骤2
合并同类项，得到 $(a+b)(a-b) = a^2 b^2$

《平方差公式说》课件

围。
二次项系数不为1的平方差公式推广
当二次项系数不为1时，平方差公式仍然成立，但形式会有所不
同。
推广后的公式可以适用于更广泛的情况，包括二次项系数不为1
的等式和恒等式。
通过推广平方差公式，我们可以更好地理解和应用数学中的一些
基本概念和原理。
平方差公式的其他形式和推广
除了标准的平方差公式外，还有许多其他形式和推广的平方差公式。
03
CATALOGUE
平方差公式的证明
利用数学归纳法证明
总结词
数学归纳法是一种证明数学命题的重要方法，通过归纳递推的方式，证明命题对所有自然数都成立。
详细描述
首先证明基础步骤，即n=1时命题成立；然后假设n=k时命题成立，推导出n=k+1时命题也成立；最后由归纳递推得出，命题对所有自然数n都成立。
利用多项式乘法法则推导
总结词
通过多项式乘法法则，将平方差公式进行拆解和重组，推导出其公式形式。
详细描述
首先将平方差公式中的每一项视为一个多项式，然后利用多项式乘法法则，将每一项与另一项相乘，得到的结果再合并同类项，最终推导出平方差公式。
利用因式分解法推导
总结词
通过对平方差公式进行因式分解，将其拆解为更简单的形式，从而推导出其公式形式。
通过学习和掌握这些公式，我们可以更好地理解和应用数学中的一些基本概念和原理，从而更好地解决实际问题。
这些公式可以用来解决一些特定的问题，例如求解某些数学问题和证明某些等式。
THANKS
感谢观看
平方差公式的应用范围
01
02
03
04
在代数中，平方差公式常用于因式分解和多项式简化。
在几何中，它可以用于计算某些图形的面积和周长。

《平方差公式》PPT课件 (共18张PPT)

•
1、实现自己既定的目标，必须能耐得住寂寞单干。
•
2、世界会向那些有目标和远见的人让路。
•
3、为了不让生活留下遗憾和后悔，我们应该尽可能抓住一切改变生活的机会。 4、无论你觉得自己多么的不幸，永远有人比你更加不幸。
•
5、无论你觉得自己多么的了不起，也永远有人比你更强。
•
6、打击与挫败是成功的踏脚石，而不是绊脚石。
2、利用平方差公式填表。
(a-b)(a+b)
a b a2-b2
(1+x)(1-x)
1x
12-x2
(-3+a)(-3-a) -3 a (-3)2-a2
(1+a)(-1+a)
a1
a2-12
(0.3x-1)(1+0.3x) 0.3x 1 ( 0.3x)2-12
3、判断下列式子是否可用平方差公式。
（1)（-a+b)(a+b)
随堂练习
1、a 3ba 3b
2、3 2a 3 2a
3、51 49
4、3x 43x 4 2x 33x 2
拓展应用
1、利用平方差公式计算：
2 12 122 124 128 1
2 (1 1) (1 1) (1 1) (1 1 ) (1 1 )
2
2
4
16
256
小结：
通过本节课的学习你有什么收获？
•
4、斗争是掌握本领的学校，挫折是通向真理的桥梁。——歌德
•
激励自己的座右铭
•
1、请记得，好朋友的定义是：你混的好，她打心眼里为你开心；你混的不好，她由衷的为你着急。
•
2、要有梦想，即使遥远。
•

乘法公式ppt课件

感悟新知
(2)几何图形证明法(数形结合思想)
知2－讲
图14.2－2 ①：大正方形的面积为(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab；
图14.2－2 ②：左下角正方形的面积为(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
感悟新知
知2－讲
3. 完全平方公式的几种常见变形
(1)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；
原式＝x2－4xy＋4y2；
(4)(－2xy－1)2.
原式＝4x2y2＋4xy＋1.
感悟新知
知2－练

2
例 4 计算：(1)999 ；(2) .
解题秘方：将原数转化成符合完全平方公式的形式，再
利用完全平方公式展开计算即可.
感悟新知
(1)9992；
知2－练
解：9992＝(1 000－1)2＝1 0002－2×1 000×1＋12
(2)(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab；
(3)(a－b)2＝(a＋b)2－4ab；
(4)(a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2)；
(5)(a＋b)2－(a－b)2＝4ab；
感悟新知
知2－讲

2
2
2
(6)ab＝［(a＋b) －(a ＋b )］＝

［(a＋b)2－(a－b)2］；
(7)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc；
公式进行计算.
感悟新知
知2－练
(1)(x＋7y)2；
解：(x＋7y)2＝x2＋2·x·(7y)＋(7y)2
括号不能漏掉.
＝x2＋14xy＋49y2；
(2)(－4a＋5b)2；
(－4a＋5b)2 ＝(5b－4a)2

§ 4.3(1)运用公式法-平方差

15:18
13
例2 .把下列各式分解因式
(1)9(m + n)2 - (m - n)2
(2)2x3 - 8x
(3)a4-b4
15:18
14
（1）9(m+n)2－(m-n)2
解：9(m+n)2－(m-n)2
＝[3(m+n)]2－(m-n)2 ＝[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)]
15:18
有公因式先提公因式，然后再进一步分解因式
16
(3)解:a4-b4 =(a2-b2)(a2+b2) =(a+b)(a-b)(a2+b2)
通过做第(3)小题你总结出什么吗? 分解因式一直到不能分解为止.所以分解后一定检查括号内是否能继续分解.
15:18
17
当多项式的各项含有公因式时,通常先提出这个公因式,然后
(3)x2 - (a + b - c)2;
（4）-16x2 + 81y2
15:18
23
解:(4) -16x2 + 81y2 = 81y 2-16x2 = (9y)2-(4x)2 = (9y+4x)(9y-4x)
北师大版八年级数学下册
§4.3 运用公式法(1) ——平方差公式
15:18
1
1.平方差公式
(1)整式乘法 (a+b)(a-b)=a2-b2 如:(x+5)(x-5) = x2-52=x2-25
(2)因式分解. a2-b2=(a+b)(a-b) 如x2-25 = x2-52=(x+5)(x-5) 9x2-y2 = (3x)2-y2=(3x+y)(3x-y)

人教版八年级数学上册《14.2乘法公式》PPT课件

填一填
ab 1x –3 a a1 0.3x 1
a2–b2 12–x2 (–3)2–a2 a2–12 ( 0.3x)2–12
探究新知
做一做
口答下列各题： (1)(–a+b)(a+b)=__b_2_–_a_2 ___. (2)(a–b)(b+a)= __a_2_–_b_2____. (3)(–a–b)(–a+b)= _a_2_–_b_2___. (4)(a–b)(–a–b)= __b_2_–_a_2___.
解：原式＝4x2–y2–(4y2–x2) ＝4x2–y2–4y2＋x2 ＝5x2–5y2.
当x＝1，y＝2时，原式＝5×12–5×22＝–15.
巩固练习
3. 先化简,再求值: (3–x)(3+x)+(x+1)(x–1),其中x=2. 解：(3–x)(3+x)+2(x+1)(x–1)
=9–x2+2(x2–1) =9–x2+2x2–2 =7+x2 当x=2时，原式=7+22 =7+4=11
巩固练习
1. 利用平方差公式计算： (1)(3x–5)(3x＋5)； (3)(–7m＋8n)(–8n–7m)．
(2)(–2a–b)(b–2a)；
解：(1)原式=(3x)2–52＝9x2–25； (2)原式=(–2a)2–b2＝4a2–b2； (3)原式=(–7m)2–(8n)2＝49m2–64n2；
探究新知
素养考点 1 利用平方差公式计算
例1 计算：(1) (3x＋2 )( 3x–2 ) ； (2)(–x+2y)(–x–2y).
解： (1)原式=(3x)2–22
=9x2–4； (2) 原式= (–x)2 – (2y)2

平方差公式课件(市一等奖)

平方差公式的特点
形式特点：形如a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) 结构特点：左边是两个相同的二项式相减，右边是两个相同的二项式相加符号特点：当a、b同号时，结果为正；当a、b异号时，结果为负代数式特点：左边是两个相同的代数式相减，右边是两个相同的代数式相加
平方差公式的应用
第四章
练习与巩固
第六章
基础练习题
计算(a+b)^2的值
计算(a^2-b^2)^2的值
计算(a-b)^2的值计算(a^2+b^2)^2的值
提升练习题
计算(a+b)(a-b)的值计算(2x+y)(2x-y)的值计算(3a+2b)(3a-2b)的值计算(-5m+6n)(-5m-6n)的值
综合练习题
文字，以便观者准确地理解您传达的思想
归纳法证明法：通过归纳法，从特殊到一般，逐步推导出平方差公式的结论。以上是几种常见
04
的平方差公式的证明方法，可以根据不同的需求和实际情况选择合适的方法进行证明。
以上是几种常见的平方差公式的证明方法，可以根据不同的需求和实际情况选
择合适的方法进行证明。
证明过程演示
平方差公式的应用范围
代数式变形：利用平方差公式对代数式进行变形和化简
计算：利用平方差公式计算一些数学表达式的结果
证明：利用平方差公式证明一些数学命题
应用题：利用平方差公式解决一些实际问题
平方差公式的应用实例
计算平方差公式中的a和b的值
计算平方差公式中的c的值
计算平方差公式中的d的值
计算平方差公式中的e的值
平方差公式的应用技巧
识别平方差公式形式：首先需要识别题目中的平方差公式形式，以便正确应用。

浙教版数学七年级下册3.4《乘法公式》ppt课件

29.5m，30m，27m。现将这4块苗圃的边长都增加1.5m，求各苗圃的面积分别增加多少m2？
解：设原正方形苗圃的边长为a (m)，边长增加1.5m后，新正方形的边长为(a+1.5) m。 (a+1.5)2-a2=a2+3a+2.25-a2=3a+2.25 当a=30.1时，3a+2.25=3×30.1+2.25=92.55 当a=29.5时，3a+2.25=3×29.5+2.25=90.75 当a=30 时，3a+2.25=3×30 +2.25=92.25 当a=27 时，3a+2.25=3×27 +2.25=83.25 答：4块茶花苗圃的面积分别增加了92.55m2，90.75m2，92.25m2， 83.25m2。
习
观察上述1、2两题的计算结果，你发现有什么规律？你能用你的发现来猜测第3题的结果吗？
你能用一个图形的面积直观地表示（a＋b）2的
(a+b)2= a2 +结2a果b 吗+b？2 的图形理解
完全平方和公式：
b ab
b²
(a+b)²
a a² ab
a
b
(a b)2 a2+2ab +b2
完全平方公式:
小明写出了如下的算式:(a−b)2 [a+(−b)]2 他是怎么想的? 你能继续=做下去吗?
(a−b)2= [a+(−b)]2 = a2 +2a(-b)+ (−b)2
= a2 –2ab+ b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b2的图形理解
完全平方差公式：
b ab b²

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计算下列多项式的积,你能发现什么规律?
2-1 =x² x -1² (1)(x+1)(x-1)=___________;
2- 4 =m² m -2² (2)(m+2)(m-2)=__________;
-1² 4x2-1 =(2x)² (3)(2x+1)(2x-1)=_________.
用字母表示你所发现的规律： _______________________ 你能用语言叙述这一规律吗?
例3 (1)(y+2)(y-2)-(3-y)(3+y)
(2)(3m-4n)(4n+3m)-(2m-3n)(2m+3n) (3)(-2a2+7)(-2a2-7)
思考题
(x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16)
(1+3b) (1-3b) (4a+3) (4a-3) 2 2 (3x+2y ) (3x-2y ) (x+y+z)(x+y-z)
1.下列多项式相乘，哪些可用平方差公式？怎样用公式计算？ 1) (a+b)(-b+a) 2) (ab+1)(-ab+1) 3) (-2xy+z)(-2xy-z) 4) (a2-3bc)(3bc+a2) 5) (a+b)(b-c) 6) (a+b)(-a-b)
3.将下列各式变形为可利用平方差公式计算的形式：
平方差公式
有一位狡猾的地主, 把一块边长为a米正方形的土地.租给李老汉种植.今年,他对李老汉说:“我把你这块地一边增加4米,另一边减少4 米,继续租给你,你也没有吃亏,你看如何?”李老汉一听,觉得好象没有吃亏,就答应了.同学们,你们觉得李老汉有没有吃亏?
4
原有面积:a² 现有面积:(a+4)(a-4)
a
4
.
• 学习目标
理解平方差公式,并能用其进行计算
• • • • 1、平方差公式用符号怎样表示。 2、平方差公式用文字语言怎样叙述。 3、理解运用平方差公式应该具备的条件。
多项式乘法,计算下列式子:
(1)(6 y 1)(3 y 4)
(2)(4 x 5)(2 x 3)
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,然后把所得的积相加.
风采展示2
计算下列多项式的乘法
(4)(a 3b)(a 3b)
2 2 1 3 1 3 2 2 (5)( x y )( y x ) 3 2 2 3
拓展应用
计算下列多项式的乘法
(1)102 98
(2)( y 1)( y 1)( y 1)
2
1 2 (3)9 8 3 3
本节课你有哪些收获？你有什么困惑？
(b+2a )(2a-b) (-4a-1)(4a-1) (3+2a)(-3+2a) (-0.3x-1)(-0.3x+1)
(x+y+1)(x-y-1) (a+b+c) (a+b-c) (a+b+c) (a-b+c) (x+3) (x-3) (x2+9) (x4+81)
（ )( ）=n2-m2 ( ) ( ) =4x2-9y2 （5+a）( ) =25-a²
(7)(3 m)(m 3)
风采展示1
下面各式的计算对不对?如果不对,应当怎样改正?
(1)(x 2)( 2)
风采展示2
2
计算下列多项式的乘法
2
(1)(x y)(x y)
(2)(b 2a)(2a b)
(3) x 2 y)( x 2 y)
结构
开放训练应用拓展
下列各式能否用平方差公式进行计算？
(1)(x 0.1)(x 0.1)
1 1 (2)( x y )( x y ) 2 2
(3)(x 3)( x 3)
开放训练应用拓展
(4)(x 2 y)(2 y x)
(5)(8 a)(a 8)
(6)( 2a 3b)( 2a 3b)
平方差公式
(a b)(a b) a b
2
2
即:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.
(a b)(a b) a b
2
左边: 右边:
(1)公式左边两个二项式必须是
2
相同两数的和与差的积.
特征
(2)公式右边是这两个数的平方差； (3)公式中的 a 和 b 可以代表数, 也可以是代数式．
1) (a-b+c)(a-b-c) 2) (a+2b-3)(a-2b+3) 3) (2x+y-z+5)(2x-y+z+5) 4) (a-b+c-d)(-a-b-c-d)
5.计算：
1) (y+2)(y-2) - (3-y)(3+y) 2) –3x(x+1)(x-1) - x(3x+2)(2-3x)
1) (a+2b+3)(a+2b-3) 2) (a+2b-3)(a-2b+3) 3) (a-2b+3)(a-2b-3) 4) (a-2b-3)(a+2b-3) 5) (3a-5b-2c)(-3a-5b+2c) 6) (x+y+m+n)(x+y-m-n)
4.下列各式哪些能用平方差公式计算？怎样用？